Распределение времени в модели экономического роста с

Распределение времени в модели экономического роста с учетом
накопления человеческого капитала
О.В. Мичасова
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
Введение
В моделях экономического роста с учетом человеческого капитала традиционно
рассматривается только та часть активного времени экономических агентов, которая
тратится либо на производственную деятельность, либо на увеличение количества
человеческого
капитала
(обучение,
рассматривается задача
повышение
максимизации
квалификации
домохозяйствами
и
т.д.).
Причем
дисконтированной
функции
полезности, которая зависит только уровня потребления. Однако возникает некоторое
противоречие со стандартным представлением рынка труда в макроэкономике, когда
экономические агенты сопоставляют полезность потребления с полезностью свободного
времени [1]. Отсутствие переменной досуга в функции полезности представляет
значительное упрощение, которое, с одной стороны, позволяет получить некоторые
аналитические результаты. С другой стороны, если потребление – единственный аргумент
функции полезности, то рост благосостояния обеспечивается увеличением дохода или
увеличением темпов экономического роста. Однако на практике такая зависимость не всегда
является очевидной, поскольку увеличение потребления не всегда приводит к росту
благосостояния. Поэтому учет в модели фактора времени, затрачиваемого экономическом
агентом на досуг, позволил бы уточнить результаты моделирования и сделать их более
адекватными с точки зрения поведения экономических агентов.
Постановка задачи
В работе анализируется расширенная модель Лукаса с учетом человеческого
капитала,
экстерналий
и
фактора
свободного
времени.
Производственный
сектор
описывается уравнением вида:
,
где
- это физический капитал,
– функция, описывающая экзогенный
технологический прогресс (
доля
времени,
которую
),
репрезентативный
производственной деятельности,
численность рабочей силы (
(1)
- доля физического капитала,
экономический
агент
посвящает
– человеческий капитал одного работника,
,
),
–
-
– эффективная рабочая
сила («внутренний эффект» человеческого капитала),
человеческого капитала (экстерналии),
физического капитала,
– «внешний эффект»
- положительный параметр,
- норма амортизации
- удельное потребление.
Дифференциальное уравнение, описывающее образовательный сектор (сектор, в
котором «создается» человеческий капитал), имеет более сложную структуру, чем в
классической модели Лукаса [5] и модели Псарианоса, учитывающей фактор свободного
времени [6]. Следует отметить, что рассматриваемая в работе производственная функция
человеческого капитала является нелинейной (линейность – это одна из основных причин
критики модели Лукаса), а также учитывает амортизацию человеческого капитала и внешний
эффект человеческого капитала (см., например, [3]).
(2)
Здесь
- положительный технологический параметр, ,
(эластичности), причем
,
и
– неотрицательные параметры
- норма амортизации.
Очевидно, что если обозначить долю времени, которую индивид посвящает досугу,
как
, то должно выполняться условие:
(3)
Индивиды стремятся максимизировать свою функцию полезности, выбирая уровень
потребления
и долю свободного времени
. Вид функции полезности обусловлен
некоторыми замечаниями. Так как в стационарном состоянии все переменные должны расти
с постоянным темпом, а доля свободного времени ограничена условием (3), поэтому темп
роста переменной
функция
полезности
на траектории сбалансированного роста должен быть равен 0. Чтобы
в
долгосрочном
временном
промежутке
соответствовала
предположению о непрерывном увеличении производительности труда и капитала,
предпочтения должны удовлетворять двум ограничениям: (a) эластичность межвременного
замещения для потребления должна быть постоянной и не зависеть от уровня потребления; и
(b) эффект замещения и доход, связанные с устойчивым ростом производительности труда
должны в точности компенсировать друг друга, чтобы предложение труда оставалось
постоянным, поэтому функция полезности имеет вид:
,
,
где
или
,
,
- величина, обратная эластичности межвременного замещения, и ограничение на
параметр
подразумевает, что функция
является вогнутой.
Оптимизационная задача, связанная с моделью экономического роста с учетом
фактора свободного времени, состоит в выборе таких управляющих параметров
и
,
, которые бы максимизировали величину полной
дисконтированной полезности:
(4)
на допустимых траекториях
динамической системы (1), (2) с учетом
,
(3) при соблюдении условия
,
(5)
Условие (5) имеет две трактовки, традиционные для неоклассических моделей
экономического роста:
1. «Задача социального планировщика» (social planner)
Существует некоторый гипотетический «социальный планировщик», выбирающий с
точки зрения всего общества в целом оптимальный путь (траекторию) экономической
системы, «изначально» располагающий исчерпывающей информацией о ее развитии и
способный воздействовать на все ее составные части. Поэтому можно сразу считать, что
,
.
2. «Задача о конкурентном равновесии» (competitive equilibrium)
Рассматривается ситуация, когда отдельные фирмы и домохозяйства не обладают
исчерпывающей информацией об экономическом развитии системы, но ожидают, что
накопление человеческого капитала будет следовать известной в каждый момент времени
функции
, которая является экзогенно заданной и на которую каждый агент
,
воздействовать не может. Далее каждым репрезентативным экономическим агентом
решается оптимизационная проблема выбора режима потребления. Экономическая ситуация
будет находиться в равновесии, если ожидаемое и реальное поведение совпадут, т.е.
,
.
Рассмотрим оба варианта данной оптимизационной задачи, следуя традиционной
схеме анализа таких задач, предложенной Р. Лукасом [5], основанной на принципе
максимума Л.С. Понтрягина и подробно изложенной в [2]. Основной целью такого анализа
является
решение
проблемы
существования
и
единственности
траекторий
сбалансированного роста, а также сравнение планового и конкурентного вариантов развития
экономики.
Сформулируем сначала необходимые условия оптимальности для обоих вариантов
поставленной выше оптимизационной задачи. Рассмотрим сначала вторую версию этой
задачи для дальнейшего удобства.
Задача о конкурентном равновесии
Как уже отмечалось выше, на
первом
этапе решения считаем
описывающую внешний эффект человеческого капитала (
функцию,
) экзогенно
,
заданной. В этих условиях репрезентативный экономический агент и решает задачу
оптимизации.
Для этого составим функцию Гамильтона-Понтрягина:
(6)
Заметим, что по своему экономическому смыслу функции
представляют собой цены ресурсов в момент времени
,
с позиций момента времени
.
Считая задачу невырожденной (
(система
,
цен
), с помощью замены переменных
«текущего» момента) переходим
к
«текущему»
гамильтониану:
(7)
Оптимальное распределение выбирается таким образом, чтобы оно максимизировало
«текущий» гамильтониан в каждый момент времени
должны удовлетворять «приведенные» цены
. Сопряженная система, которой
, будет иметь вид:
,
(8)
(9)
Ограничимся
удовлетворяют
рассмотрением
условиям
,
«внутреннего»
решения
,
задач
(управления
),
поэтому
необходимые условия экстремума «текущего» гамильтониана могут быть выражены в виде
системы уравнений:
,
,
которые, после соответствующих вычислений, принимаю вид:
(10)
=
(11)
(12)
Также должны выполняться условия трансверсальности:
,
.
(13)
На втором этапе исследования задачи о конкурентном равновесии следует в явном
виде учесть равенство
, потому что было сделано предположение о
,
том, что экономическая система должна находиться в равновесии, и только после этого
приступать к построению искомого решения.
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
Система (1)-(2) принимает вид:
,
(19)
(20)
Таким
образом,
для
определения
оптимальной
«равновесной»
траектории
репрезентативный экономический агент должен использовать уравнения движения (19) и
(20), уравнения для «сопряженных» переменных («теневых цен») (14) и (15), необходимые
условия экстремума (16) – (18) и условия трансверсальности (13).
Задача планировщика
Из формулировки этой задачи следует, что система (1)-(2) изначально принимает вид
(19)-(20), так как имеет место равенство
,
.
Поэтому функцию Гамильтона-Понтрягина можно записать в виде:
(21)
Считая задачу невырожденной (
замены переменных
,
), также как в предыдущем случае с помощью
переходим к «текущему» гамильтониану:
(22)
Сопряженная система для «приведенных» цен
, может быть записана в
,
виде:
(23)
(24)
Аналогично предыдущему случаю, ограничимся рассмотрением «внутреннего»
решения задач, поэтому необходимые условия экстремума принимаю вид:
(25)
=
(26)
(27)
Также должны выполняться условия трансверсальности:
,
.
(28)
Таким образом, социальный планировщик для определения оптимальных траекторий
должен использовать уравнения движения (19)-(20), уравнения для «сопряженных»
переменных
(23)-(24),
необходимые
условия
экстремума
(25)-(27)
и
условия
трансверсальности (28).
Общий вид оптимизационной задачи
При анализе этих задач, можно заметить, что различия присутствуют в уравнениях
для сопряженных цен (15) и (24). Если для этих различий ввести специальные дискретные
параметры
и
, то можно записать проблему об определении оптимальных траекторий в
расширенной модели экономического развития с учетом накопления человеческого капитала
в общем виде.
Уравнения движения:
,
(29)
(30)
Сопряженные уравнения:
(31)
(32)
Необходимые условия экстремума:
(33)
=
(34)
(35)
Условия трансверсальности:
,
Из системы (29)-(36) при
а при
,
.
(36)
получается задача о конкурентном равновесии,
,
- задача социального планировщика.
Целью дальнейшего изучения является доказательство существования траекторий
сбалансированного
роста
(balanced
growth
path,
BGP)
, для которой темпы роста переменных
–
таких
траекторий
и величины
являются постоянными. Чтобы выписать в явном виде выражения для темпов роста
переменных, указанных в определении траектории сбалансированного роста, cktletn
преобразовать задачу (29) – (36) таким образом, чтобы получить системы уравнений для
переменных
.
Литература:
1.
Барро Р.Дж., Сала-и-Мартин Х. Экономический рост. – М.: Бином. Лаборатория
знаний, 2010.
2.
Кузнецов Ю.А. Оптимальное управление экономическими системами. – Нижний
Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2008.
3.
Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Обобщенная модель экономического роста с учетом
накопления человеческого капитала // Вестник Санкт-Петербурского университета. Сер. 10.
2012. Вып. 4. С. 46-57.
4.
Gong G., Greiner A., Semmler W. The Uzawa-Lucas model without scale effects: theory and
empirical evidence // Structural change and economic dynamics. 2004. Vol. 15. No. 4. Pp. 401–420.
5.
Lucas R.E., Jr. On the mechanics of economic development // Journal of Monetary Economics.
1988. Vol. 22. No. 1. Pp. 3-42.
6.
Psarianos I.N. A note on work–leisure choice, human capital accumulation, and endogenous
growth // Research in Economics. 2007. Vol. 61. Pp. 208–217.