10.1 Спектральная форма сигнала

10.1
Ñïåêòðàëüíàÿ ôîðìà ñèãíàëà
 ïðåäûäóùåé ãëàâå ìû ðàññìîòðåëè óðàâíåíèå äëÿ îïèñàíèÿ ýâîëþöèè ìàòðèöû ïëîòíîñòè â ñëó÷àå, êîãäà âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ïîäñèñòåìàìè çàâèñèò îò
âðåìåíè.  ýòîì ñëó÷àå ðåëàêñàöèÿ êîìïîíåíòîâ ìàòðèöû ïëîòíîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíûì çàêîíîì. Îäíàêî äëÿ àíñàìáëÿ ñèñòåì ìîæåò íàáëþäàòüñÿ ýôôåêòèâíàÿ ðåëàêñàöèÿ, îáóñëîâëåííàÿ íå âðåìåííîé çàâèñèìîñòüþ
íåðàâíîâåñíîãî ñîñòîÿíèÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè, à íåîäíîðîäíîñòüþ
âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ïîäñèñòåìàìè àíñàìáëÿ.  ýòîì ñëó÷àå íå áóäåò âîçíèêàòü èñòèííàÿ ðåëàêñàöèÿ â äèíàìè÷åñêîé ïîäñèñòåìå (â ñìûñëå óñòàíîâëåíèÿ
ðàâíîâåñèÿ), à áóäåò íàáëþäàòüñÿ ýôôåêòèâíàÿ ðåëàêñàöèÿ çà ñ÷åò ñòîõàñòè÷åñêîãî îòëè÷èÿ ñïåêòðà äëÿ ðàçëè÷íûõ ñèñòåì àíñàìáëÿ. Âîçíèêàåò òàê íàçûâàåìûé ýôôåêò íåîäíîðîäíîãî óøèðåíèÿ ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé. Èòàê, â ýòîé
ãëàâå ìû ðàññìàòðèâàåì ãàìèëüòîíèàí â âèäå:
b =H
ba + H
b b + Vb = H
b 0 + Vb ,
H
(1.1)
ãäå âçàèìîäåéñòâèå Vb íå çàâèñèò îò âðåìåíè.
Ìû âèäåëè â ïðåäûäóùåé ãëàâå, ÷òî ñðåäíåå çíà÷åíèå ëþáîé âåëè÷èíû ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî ñ ïîìîùüþ òåíçîðà Gik (t), ïîëó÷åííîãî â ðåçóëüòàòå ðàçëîæåíèÿ êàê îïåðàòîðîâ, òàê è ìàòðèöû ïëîòíîñòè ïî ñèñòåìå îðòîãîíàëüíûõ
îïåðàòîðîâ. Íàçîâåì åãî òåíçîðîì ðåëàêñàöèè:
Gik (t) = Tr(ui (t)uk ) ≡ hui (t)uk i.
Òåíçîð ðåëàêñàöèè ìîæíî ðàçëîæèòü â èíòåãðàë Ôóðüå è ïîëó÷èòü ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå èëè ôîðìó ëèíèè (ñèãíàëà), ñîîòâåòñòâóþùóþ äàííîé ñèñòåìå:
Z∞
Gik (t) =
dω
gik (ω)eiωt .
2π
(1.2)
−∞
Ñîîòâåòñòâåííî, ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ôîðìà ëèíèè åñòü:
Z∞
dtGik (t)e−iωt .
gik (ω) =
(1.3)
−∞
Ðåëàêñàöèîííûé òåíçîð îáëàäàåò íåêîòîðûìè ñâîéñòâàìè ñèììåòðèè, íàïðèìåð, îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè èíäåêñîâ. Çàïèøåì ïî îïðåäåëåíèþ:
´
³ −1
´
³
b
b
b
b
i~ Ht
−i~−1 Ht
−i~−1 Ht
i~−1 Ht
=
Gik (t) =Tr e
ui e
uk = Tr ui e
uk e
=Tr (ui uk (−t)) = Tr (uk (−t)ui ) = Gki (−t).
Äëÿ äàëüíåéøèõ öåëåé íàì ïîíàäîáèòñÿ ââåñòè íåêîòîðûå îáîçíà÷åíèÿ. Ïîñêîëüêó ìû èíòåðåñóåìñÿ òîëüêî âåëè÷èíàìè, õàðàêòåðèçóþùèìè äèíàìè÷åñêóþ ïîäñèñòåìó, âû÷èñëåíèå ñëåäà óäîáíî áóäåò ïðåäñòàâëÿòü â áàçèñå ñîába :
ñòâåííûõ ñîñòîÿíèé ãàìèëüòîíèàíà H
b a |gi = Eg |gi,
H
(1.4)
 íóëåâîì ïðèáëèæåíèè (êîãäà ïðåíåáðåãàåòñÿ âçàèìîäåéñòâèåì) âðåìåííàÿ
çàâèñèìîñòü (ïðåäñòàâëåíèå Ãàéçåíáåðãà) äëÿ îïåðàòîðà ui (t) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå:
hg|ei~
−1 Ht
b
ui e−i~
−1 Ht
b
ui |g 0 i = eiωn t hg|ui |g 0 i.
(1.5)
ãäå ωn ÷àñòîòà ïåðåõîäà ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè äèíàìè÷åñêîé ïîäñèñòåìû a. Íàïîìíèì, ÷òî îðòîãîíàëüíûå îïåðàòîðû ui â äàííîì ñëó÷àå îïðåäåëåíû òîëüêî
äëÿ äèíàìè÷åñêîé ïîäñèñòåìû, à ãàìèëüòîíèàíû äâóõ ïîäñèñòåì ìåæäó ñîáîé
êîììóòèðóþò. Ââåäåì îïåðàòîð ûi (ωn ) ñëåäóþùèì îáðàçîì:
½
hg|ûi |g 0 i ïðè Eg − Eg0 = ωn ,
0
hg|ûi (ωn )|g i =
(1.6)
0
ïðè Eg − Eg0 6= ωn .
Ðåëàêñàöèîííûé òåíçîð â íóëåâîì ïðèáëèæåíèè ðàâåí:
X
(0)
Gik (t) =
eiωn t hui (ωn )uk i.
(1.7)
n
Äëÿ ðåëàêñàöèîííîãî òåíçîðà (1.7) ñïåêòðàëüíàÿ ôîðìà ëèíèè åñòü ñóììà δ ôóíêöèé:
X
(0)
gik (ω) = 2π
hui (ωn )uk iδ(ω − ωn ).
(1.8)
n
Ïîñêîëüêó êàê ðåëàêñàöèîííûé òåíçîð, òàê è åãî ñïåêòðàëüíàÿ ôîðìà, îïðåäåëÿþòñÿ ñóììîé íåçàâèñèìûõ ñëàãàåìûõ, ìîæíî ââåñòè ñîîòâåòñòâóþùèå ôóíêöèè äëÿ öåíòðàëüíûõ ëèíèé:
gn(0) (ω) =2πδ(ω − ωn );
G(0)
n (t) =hui (ωn )uk i.
(1.9)
(1.10)
Âèäíî, ÷òî â íóëåâîì ïðèáëèæåíèè ñïåêòðàëüíûå ôîðìû ëèíèé ñèììåòðè÷íû
îòíîñèòåëüíî ðàññìàòðèâàåìîé ÷àñòîòû.
10.2
Ìîìåíòû îñíîâíûõ ëèíèé
Äëÿ ïîëíîãî ãàìèëüòîíèàíà òàêóþ ïðîñòóþ êàðòèíó ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé, âîîáùå ãîâîðÿ, ïðåäñòàâèòü íåëüçÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ó÷åò âçàèìîäåéñòâèÿ ïðèâåäåò íå òîëüêî ê èçìåíåíèþ ñïåêòðà, íî äëÿ áîëüøîãî ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû
ïîäñèñòåìû b ïðèâåäåò ê áîëüøîìó ÷èñëó ïîïðàâîê ê óðîâíÿì ýíåðãèè äèíàìè÷åñêîé ïîäñèñòåìû, ÷òî â ñâîþ î÷åðåäü ïðèâåäåò ê áîëüøîìó ÷èñëó áëèçêî
ðàñïîëîæåííûõ ÷àñòîò â ðåëàêñàöèîííîì òåíçîðå Gik (t). Åñòåñòâåííî, èíòåíñèâíîñòü (àìïëèòóäà) ðàçëè÷íûõ ëèíèé áóäåò îòëè÷àòüñÿ, ÷òî â ñïåêòðàëüíîì
ðàñïðåäåëåíèè áóäåò ýôôåêòèâíî âûãëÿäåòü êàê íåêîòîðîå óøèðåíèå ëèíèè 1 .
1 Âìåñòî
õîðîøî ðàçäåëåííûõ ëèíèé, êàæäàÿ èç êîòîðûõ îïèñûâàåòñÿ δ -ôóíêöèåé, ñïåêòðàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå çàìåíÿåòñÿ îãèáàþùåé ýòèõ îòäåëüíûõ ëèíèé, ÷òî è ïðåäñòàâëÿåòñÿ
â âèäå ñïåêòðàëüíîé ëèíèè ñ öåíòðîì, ñîâïàäàþùèì ñ îäíîé èç íåâîçìóùåííûõ ÷àñòîò ïåðåõîäà, èìåþùèì êîíå÷íóþ øèðèíó. Îòëè÷èå ôîðìû ñïåêòðàëüíîé ëèíèè îò δ -ôóíêöèè äëÿ
ðåëàêñàöèîííîãî òåíçîðà áóäåò ýêâèâàëåíòíî íàëè÷èþ ýôôåêòèâíîé ðåëàêñàöèè.
Òåì íå ìåíåå ìîæíî îæèäàòü, ÷òî ñïåêòðàëüíàÿ ëèíèÿ áóäåò áëèçêà ê ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî öåíòðàëüíîé ÷àñòîòû, ïîýòîìó ñïåêòðàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü ìîìåíòàìè ëèíèè â ñîîòâåòñòâèè ñ ìåòîäàìè
ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. À èìåííî, îïðåäåëèì k -ìîìåíò öåíòðàëüíîé ëèíèè ωn :
Z∞
Z∞
ωnk =
ω k gn (ω)dω, ãäå gn (ω) =
Gn (t)e−i(ω−ωn )t dt.
(2.1)
−∞
−∞
Ìû çäåñü äëÿ ïðîñòîòû, êàê è â ôîðìóëå (1.9) îïóñòèëè òåíçîðíûå èíäåêñû.
Ïàðöèàëüíûé ðåëàêñàöèîííûé òåíçîð Gn (t) îïðåäåëÿåòñÿ î÷åâèäíûì îáðàçîì:
Gn (t) = hui (t)uk i = hui (ωn , t)uk i ≡ eiωn t GI,n (t),
(2.2)
ãäå âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòü îðòîãîíàëüíîãî îïåðàòîðà ui (ωn , t) îïðåäåëÿåòñÿ â
ïðåäñòàâëåíèè âçàèìîäåéñòâèÿ:
dui
i
= [VI (t), ui ] ,
dt
~
(2.3)
à GI,n (t) ðåëàêñàöèîííûé òåíçîð â ïðåäñòàâëåíèè âçàèìîäåéñòâèÿ. Çäåñü îïåðàòîð VI (t) â ïðåäñòàâëåíèè âçàèìîäåéñòâèÿ îïðåäåëåí îáû÷íûì îáðàçîì äëÿ
ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì (1.1).
Òåïåðü ëåãêî ïîëó÷èòü, ÷òî ìîìåíòû ëèíèé ìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷åðåç
ïðîèçâîäíûå îò ïàðöèàëüíîãî ðåëàêñàöèîííîãî òåíçîðà:
ωnk = (−i)k
dn
Gn (t) |t=0
dtn
(2.4)
Òàêèì îáðàçîì, åñëè èçâåñòíû âñå ìîìåíòû ëèíèé, ìîæíî çàïèñàòü:
G(t) =
X
n
∞ k
XX
i k k
Gn (t) =
ω t .
k! n
n k=0
(2.5)
Ôîðìóëó (2.5) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü, âîñïîëüçîâàâøèñü îïðåäåëåíèåì (2.2):
G(t) =
X
iωn t
e
GI,n (t) =
n
X
n
iωn t
e
∞ k
X
i
∆ωnk tk ,
k!
k=0
(2.6)
ãäå òåïåðü ìîìåíòû ëèíèè îïðåäåëåíû â ïðåäñòàâëåíèè âçàèìîäåéñòâèÿ:
∆ωnk =
dn
hui (ωn , t)uk i |t=0
dtn
(2.7)
Ìîìåíòû ëèíèè ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç êîììóòàòîðû, äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó
óðàâíåíèÿ (2.3) èìååì:
dn
GI,n (t) |t=0 =
dtn
µ
¶k
i
−
h[ui (ωn , t); V, . . . , V ] uk i.
~
(2.8)
Çäåñü ââåäåíî îáîçíà÷åíèå:
[A; B1 , B2 , . . . , Bn ] = [. . . [[A, B1 ] , B2 ] , . . . , Bn ] .
(2.9)
Ê ñîæàëåíèþ, âû÷èñëèòü ìîìåíòû âñåõ ïîðÿäêîâ äëÿ ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé
íå óäàåòñÿ è, ñîîòâåòñòâåííî, íå óäàåòñÿ è ïðîñóììèðîâàòü ðÿä (2.5), ïîýòîìó
åãî ïðèõîäèòñÿ îáðûâàòü. Îäíàêî ýòî ïðèâîäèò ñðàçó ê ñëåäñòâèþ, ÷òî ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà îêàçûâàåòñÿ ñïðàâåäëèâîé òîëüêî äëÿ êîðîòêèõ ïðîìåæóòêîâ
âðåìåíè, êîãäà âûïîëíÿþòñÿ êðèòåðèè ïðèìåíèìîñòè âðåìåííîé òåîðèè âîçìóùåíèé â ñëó÷àå âû÷èñëåíèÿ ïîïðàâêè ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîðÿäêà. Ïîýòîìó,
÷òîáû èçáåæàòü íåæåëàòåëüíîãî îãðàíè÷åíèÿ ïðèìåíèìîñòè ôîðìóëû (2.5) ñ
ó÷åòîì êîíå÷íîãî ÷èñëà ÷ëåíîâ, çàìåíÿþò åå äðóãîé, èíòåðïîëÿöèîííîé, êîòîðàÿ îáëàäàåò íóæíîé àñèìïòîòèêîé è ñîâïàäàþùåò íà ìàëûõ ïðîìåæóòêàõ
âðåìåíè ñ ðåàëüíîé ôóíêöèåé ñ òî÷íîñòüþ äî ñîîòâåòñòâóþùåãî ÷èñëà ÷ëåíîâ
ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Òåéëîðà ïî ñòåïåíÿì t.
Ìû çäåñü íå áóäåì ïðîäåëûâàòü ýòó ïðîöåäóðó â îáùåì âèäå, à ïðîèëëþñòðèðóåì òîëüêî äëÿ îäíîãî èç âîçìîæíûõ ïðèáëèæåíèé.
10.3
Ñåêóëÿðíûå âçàèìîäåéñòâèÿ. Ìåòîä ñåìèèíâàðèàíòîâ (êóìóëÿíòîâ)
Âñïîìíèì íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû òåîðèè âîçìóùåíèé. Â ñòàöèîíàðíîé òåîðèè
âîçìóùåíèé (à èìåííî ýòîò ñëó÷àé ðàññìàòðèâàåòñÿ â äàííîé ãëàâå) ïîïðàâêà
ïåðâîãî ïîðÿäêà ê óðîâíÿì ýíåðãèè äëÿ íåâûðîæäåííîãî ñïåêòðà îïðåäåëÿåòñÿ
äèàãîíàëüíûì ìàòðè÷íûì ýëåìåíòîì. Äëÿ âûðîæäåííîãî ñïåêòðà ïîïðàâêè ê
äàííîìó óðîâíþ ýíåðãèè òàêæå áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ äèàãîíàëüíûìè ìàòðè÷íûìè ýëåìåíòàìè âîçìóùåíèÿ, íî äëÿ ïðàâèëüíûõ ôóíêöèé íóëåâîãî ïðèáëèæåíèÿ. Âñåãäà ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ íåâîçìóùåííîãî ãàìèëüòîíèàíà âûáðàíû ïðàâèëüíûå ôóíêöèè. Òîãäà î÷åâèäíî, äèàãîíàëüíûå ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû
áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ òîëüêî òîé ÷àñòüþ âîçìóùåíèÿ, êîòîðàÿ êîììóòèðóåò ñ
íåâîçìóùåííûì ãàìèëüòîíèàíîì. Èíûìè ñëîâàìè, îïåðàòîð âîçìóùåíèÿ âñåãäà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:
Vb = Vbsec + Vbns ,
(3.1)
ãäå
h
i
b 0 , Vbsec = 0,
H
h
i
b 0 , Vbns =
H
6 0.
Îïåðàòîð Vbsec íàçûâàåòñÿ ñåêóëÿðíîé ÷àñòüþ èëè ïðîñòî ñåêóëÿðíûì âçàèìîäåéñòâèåì. Î÷åâèäíî, ñåêóëÿðíîå âçàèìîäåéñòâèå èìååò îòëè÷íûå îò íóëÿ
òîëüêî äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ïî ñîñòîÿíèÿì íåâîçìóùåííîãî ãàìèëüòîíèàíà, à íåñåêóëÿðíàÿ ÷àñòü âçàèìîäåéñòâèÿ Vbns èìååò îòëè÷íûå îò íóëÿ òîëüêî
íåäèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû.
Ñåêóëÿðíàÿ ÷àñòü âçàèìîäåéñòâèÿ ïðèâîäèò ê ðàñùåïëåíèþ öåíòðàëüíûõ
ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé, ÷òî è íàáëþäàåòñÿ êàê åå ýôôåêòèâíîå óøèðåíèå. Íåñåêóëÿðíàÿ ÷àñòü âçàèìîäåéñòâèÿ ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ íîâûõ, êîìáèíèðîâàííûõ ÷àñòîò ωn + ωn0 , ÷òî ïðîÿâëÿåòñÿ êàê ïîÿâëåíèå ñàòåëëèòîâ (êðûëüåâ)
îñíîâíîé ëèíèè. Åñëè ëèíèé â ñïåêòðå g(ω) ìíîãî, ñàòåëëèòû ìîãóò ëèáî íå
ïðîÿâëÿòüñÿ, ëèáî ñìåøèâàòüñÿ ñ äðóãèìè ëèíèÿìè è ìîãóò áûòü ðàçðåøåíèÿ òîëüêî ïðè ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷íîñòè (ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòè) ïðèáîðîâ. Åñëè æå òî÷íîñòü ïðèáîðîâ íåäîñòàòî÷íà èëè íàáëþäàòåëü ñïåöèàëüíî íå
èíòåðåñóåòñÿ äåòàëüíîé ñòðóêòóðîé ëèíèè, íåñåêóëÿðíîé ÷àñòüþ âçàèìîäåéñòâèÿ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ìû çäåñü áóäåì èíòåðåñîâàòüñÿ òîëüêî ñåêóëÿðíûìè
âçàèìîäåéñòâèÿìè. Òîãäà Vsec,I (t) = Vbsec è íå çàâèñèò îò âðåìåíè. Îãðàíè÷èìñÿ
ðàçëîæåíèåì òîëüêî äî âòîðîãî ìîìåíòà. Â ýòîì ïðèáëèæåíèè â ôîðìóëå (2.6)
äëÿ ïàðöèàëüíîãî ðåëàêñàöèîííîãî òåíçîðà èìååì:
µ
¶
i
1
iωn t
2
Gn;ik (t) = e
hui uk i + h[ui , Vsec ] uk it − 2 h[[ui , Vsec ] , Vsec ] uk it .
(3.2)
~
2~
Âñïîìíèì ñâîéñòâà îðòîãîíàëüíûõ îïåðàòîðîâ:
hui uk i = Tr(ui uk ) = δik ,
l
h[ui , Vsec ] uk i = Tr([uk , ui ]Vsec ) = −iCik
Tr(Vsec ul ) = −i~Ωik ;
2
h[[ui , Vsec ] , Vsec ] uk i = ~2 σlk
.
(3.3)
 ôîðìóëàõ (3.3) ìîæíî ðàçëîæèòü ñåêóëÿðíóþ ÷àñòü âçàèìîäåéñòâèÿ ïî îðòîãîíàëüíûìè îïåðàòîðàì è ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ìîìåíòîâ:
l
l
l
~Ωik = Cik
Tr(Vsec ul ) = Cik
Vj Tr(uj ul ) = Cik
Vl .
(3.4)
Ìû çäåñü ó÷ëè îðòîãîíàëüíîñòü îïåðàòîðîâ. Äëÿ âòîðîãî ìîìåíòà ïîëó÷àåì:
h[[ui , Vsec ] , Vsec ] uk i = − h[ui , Vsec ] [uk , Vsec ]i =
n
2
−Vj Vl Tr([ui , uj ][uk , ul ]) =Cijm Ckl
Vj Vl Tr(um un ) = ~2 σlk
(3.5)
Êàê âèäíî èç ôîðìóëû (3.5), âòîðîé ìîìåíò âñåãäà íåîòðèöàòåëåí.
Îáû÷íî ðåëàêñàöèîííûé òåíçîð îïðåäåëÿþò äëÿ äèàãîíàëüíûõ êîìïîíåíòîâ, òîãäà, â ñèëó ïåðåñòàíîâî÷íûõ àíòèñèììåòðèéíûõ ñâîéñòâ êîýôôèöèåíòîâ
l
Cik
ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ïåðâûé ìîìåíò ðàâåí íóëþ è îñòàåòñÿ òîëüêî êâàäðàòè÷íàÿ çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè. Ïîëó÷åííóþ ôóíêöèþ çàìåíÿþò ãàóññîâîé ýêñïîíåíòîé:
¶
µ
1 2 2
(3.6)
Gn (t) ≈ exp iωn t − σn t .
2
Ïðîäåëàííàÿ âûøå ïðîöåäóðà ýêâèâàëåíòíà çàìåíå óñðåäíåíèÿ ýêñïîíåíòû óñðåäíåíèåì åå ïîêàçàòåëÿ, êîãäà â ïîêàçàòåëü ïîäñòàâëÿåòñÿ ñðåäíåå çíà÷åíèå êîððåëÿòîðà îòêëîíåíèé îò öåíòðàëüíîé ÷àñòîòû ñåìèèíâàðèàíòà (èëè êóìóëÿíòà). Ïîýòîìó ðàññìîòðåííûé ìåòîä è íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì ñåìèèíâàðèàíòîâ (ïîëóèíâàðèàíòîâ). Ïîëíàÿ ðåëàêñàöèîííàÿ ôóíêöèÿ (òåíçîð) ðàâíà ñóììå
ïàðöèàëüíûõ ðåëàêñàöèîííûõ ôóíêöèé:
¶
µ
X
1 2 2
(3.7)
G(t) =
exp iωn t − σn t .
2
n
Ôóíêöèþ (3.6) ìîæíî óòî÷íÿòü, âû÷èñëÿÿ ñëåäóþùèå ìîìåíòû, îäíàêî ñëåäóåò
ïîìíèòü, ÷òî â ñëåäóþùèõ ïîðÿäêàõ óæå íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü íåñåêóëÿðíóþ
÷àñòü âçàèìîäåéñòâèÿ, êîãäà íàðÿäó ñ çàòóõàþùèìè ñëàãàåìûìè ïîÿâÿòñÿ è
ñäâèãè ÷àñòîòû.
Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò, êîíå÷íî æå íå îïèñûâàåò òî÷íóþ ðåëàêñàöèîííóþ
ôóíêöèþ äåòàëüíî, îäíàêî åãî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îïèñàíèå îãèáàþùåé
ñïåêòðàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÷àñòîò â àíñàìáëå ïîäñèñòåì, âçàèìîäåéñòâèå êîòîðûõ ñ îêðóæàþùåé áîëüøîé ñèñòåìîé (òåðìîñòàòîì) èìååò ñòîõàñòè÷åñêîå
ðàñïðåäåëåíèå ïî àíñàìáëþ, íî íå ïî âðåìåíè.  ýòîì ñëó÷àå èñòèííàÿ ðåëàêñàöèÿ îòñóòñòâóåò, ïîñêîëüêó íåò ìåõàíèçìà óñòàíîâëåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Îäíàêî, áëàãîäàðÿ ñòîõàñòè÷åñêîìó õàðàêòåðó âçàèìîäåéñòâèÿ ïîäñèñòåì â àíñàìáëå, äëÿ ñðåäíèõ ïî àíñàìáëþ âåëè÷èí ñ òå÷åíèåì âðåìåíè íàðóøàåòñÿ êîððåëÿöèÿ, ÷òî ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü êàê ðåëàêñàöèþ ñðåäíèõ âåëè÷èí (è èíôîðìàöèè) â àíñàìáëå. Òàêóþ ðåëàêñàöèþ íàçûâàþò íåîäíîðîäíûì óøèðåíèåì
ñïåêòðàëüíîé ëèíèè. ×àñòî â ñèñòåìàõ íàáëþäàþòñÿ íàðÿäó ñ íåîäíîðîäíûì
âçàèìîäåéñòâèåì òàêæå è íåñòàöèîíàðíûå ïðîöåññû, êîãäà ñòîõàñòè÷åñêîå âçàèìîäåéñòâèå ìîæåò èçìåíÿòüñÿ â ðàçëè÷íûå ìîìåíòû âðåìåíè. Òàêîé ïðîöåññ
ìîæíî îïèñàòü ñ ïîçèöèé äèôôóçèè è â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå ìû ðàññìîòðèì
åãî îïèñàíèå.
10.4
Òåíçîð ðåëàêñàöèè ïðè íàëè÷èè äèôôóçèè
Ïóñòü âçàèìîäåéñòâèå â ãàìèëüòîíèàíå (1.1) ïî-ïðåæíåìó íå çàâèñèò îò âðåìåíè, îäíàêî ñàìà äèíàìè÷åñêàÿ ïîäñèñòåìà a ìîæåò èçìåíÿòü ñîâå ïîëîæåíèå ïî
îòíîøåíèþ ê òåðìîñòàòó â ïðîèçâîëüíûå ìîìåíòû âðåìåíè, òàê ÷òî ýôôåêòèâíî âçàèìîäåéñòâèå ñêà÷êîîáðàçíî èçìåíÿåòñÿ â ìîìåíò ti ïåðåõîäà ïîäñèñòåìû.
Ïðè ýòîì èçìåíÿåòñÿ íå âèä âçàèìîäåéñòâèÿ, à åãî ïàðàìåòðû (âåëè÷èíà âçàèìîäåéñòâèÿ). Âèäíî, ÷òî ñàìà ïîñòàíîâêà çàäà÷è ýêâèâàëåíòíà ðàññìîòðåíèþ
ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà. Èòàê, ñäåëàåì íåêîòîðûå ïðåäïîëîæåíèÿ.
1. Âçàèìîäåéñòâèå ñëó÷àéíî ìåíÿåòñÿ (ïî âåëè÷èíå) è îïèñûâàåòñÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèåé Vb (t) òàêîé, ÷òî â ìîìåíòû âðåìåíè ìåæäó ñîñåäíèìè ñêà÷êàìè
çíà÷åíèÿ Vb (ti ) è Vb (ti+1 ) ñîâåðøåííî íåñêîððåëèðîâàíû.
2. Ïðîöåññ èçìåíåíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ïîäñèñòåìû ñ òåðìîñòàòîì ïðîèñõîäèò ìãíîâåííî ïî ñðàâíåíèþ ñ âðåìåíåì ∆ti íàõîæäåíèÿ ïîäñèñòåìû â êàæäîì
ïîëîæåíèè.
Îáîçíà÷èì âåðîÿòíîñòü ïåðåñêîêà ïîäñèñòåìû â åäèíèöó âðåìåíè λ, ïðè÷åì ñàìà âåðîÿòíîñòü ïåðåñêîêà îò âðåìåíè íå çàâèñèò. Òîãäà î÷åâèäíî, åñëè
ïîäñèñòåìà îêàçàëàñü â äàííîì ïîëîæåíèè â ìîìåíò âðåìåíè ti−1 , ïëîòíîñòü
âåðîÿòíîñòè î÷åðåäíîãî ïåðåñêîêà â ìîìåíò âðåìåíè ti åñòü:
w(ti , ti−1 ) = λ exp [−λ(ti − ti−1 )] .
(4.1)
 êàæäîì ïîëîæåíèè ïîâåäåíèå ïîäñèñòåìû ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ðåëàêñàöèîííûì òåíçîðîì Gik (t) ñ âçàèìîäåéñòâèåì, ñòîõàñòè÷åñêè ðàñïðåäåëåííûì
ïî àíñàìáëþ ïîäñèñòåì. Ìû âèäåëè, ÷òî ðåëàêñàöèîííûé òåíçîð îïðåäåëÿåò
êîìïîíåíòû ìàòðèöû ïëîòíîñòè â ìîìåíò âðåìåíè t, åñëè çàäàíî çíà÷åíèå êîìïîíåíò ìàòðèöû ïëîòíîñòè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè. Ïîýòîìó ïàðàìåòðû
ðàçëîæåíèÿ ìàòðèöû ïëîòíîñòè ïî îðòîãîíàëüíûì îïåðàòîðàì áóäóò çàâèñåòü
îò íà÷àëüíîãî ìîìåíòà âðåìåíè t0 . Ñëåäîâàòåëüíî, ôîðìóëó (??) ãëàâû 9 íóæíî
îáîáùèòü:
ρi (t) = Gik (t, t0 )ρk (t0 ).
(4.2)
Åñëè ïîäñèñòåìà â ìîìåíò âðåìåíè t0 = τ îêàçàëàñü â îêðóæåíèè ñ âçàèìîäåéñòâèåì Vb (t0 ) ∼ V0 , â ìîìåíò âðåìåíè t êîìïîíåíòû åå ìàòðèöû ïëîòíîñòè
îïðåäåëÿþòñÿ êàê:
ρi (t) = Gik (t, t − τ )ρk (τ ).
(4.3)
Ó÷òåì òåïåðü, ÷òî ìîìåíòû âðåìåíè τ ïðîèçâîëüíû è óñðåäíèì ïî íèì êîìïîíåíòû ìàòðèöû ïëîòíîñòè. Äëÿ àíñàìáëÿ ïîäñèñòåì èìååì:
ρi (t) ≡Gik (t)ρk (0) = e−λt Gik (t)ρk (0)+
Zt
+λ e−λ(t−τ ) Gik (t − τ )ρk (t)dτ.
(4.4)
0
Ïåðâûé ÷ëåí â ôîðìóëå (4.4) îïðåäåëÿåò âêëàä â êîìïîíåíòó àíñàìáëÿ ïîäñèñòåì, íå èçìåíèâøèõ ñâîå ïîëîæåíèå çà âðåìÿ t.
Èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå (4.4) îáû÷íî ðåøàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ
Ëàïëàñà. Ïðè ýòîì îáû÷íî äëÿ ëàïëàñ-îáðàçà ïîëó÷àåòñÿ îòíîñèòåëüíî ïðîñòîå
âûðàæåíèå:
Z∞
Gik (p) = e−pt Gik (t)dt.
(4.5)
0
Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå îïðåäåëÿåòñÿ âû÷åòàìè â ïîëþñàõ ïîëó÷àþùåãîñÿ
ëàïëàñ-îáðàçà (4.5) è óæå íå ïðèâîäÿò â îáùåì ñëó÷àå ê ãàóññîâîé ýêñïîíåíòå. Â
ýòîì ñëó÷àå â ïîäñèñòåìå âîçíèêàåò èñòèííàÿ ðåëàêñàöèÿ.  ïðåäåëüíîì ñëó÷àå
ìåäëåííîé äèôôóçèè òåíçîð äåïîëÿðèçàöèè îñòàåòñÿ ýôôåêòèâíî ãàóññîâûì,
à ïðè áûñòðîé äèôôóçèè îí èìååò ýêñïîíåíöèàëüíûé õàðàêòåð.