экономико- математические методы и модели в логистике

МИНИСТЕ РС ТВО ОБР АЗОВ АНИЯ И Н АУКИ РОССИЙС К ОЙ ФЕДЕР АЦИИ
ГОСУД АР С ТВЕННОЕ ОБР АЗОВ АТЕЛЬНОЕ УЧРЕ ЖДЕН ИЕ
ВЫСШ ЕГО ПРОФЕССИО Н АЛЬН ОГО ОБР АЗОВ АНИЯ
«С АН К Т-ПЕ ТЕРБУРГСКИЙ ГОСУД АРС ТВЕННЫЙ УНИВЕ РСИ ТЕ Т
ЭКОНОМИКИ И ФИН АН СОВ »
К АФЕДР А К ОММЕР ЦИИ И ЛОГИСТИКИ
Б.К. ПЛОТКИН
Л.А. ДЕЛЮКИН
ЭКОНОМИКОМАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
И МОДЕЛИ В ЛОГИСТИКЕ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
ИЗД АТЕЛЬС ТВО
С АНК Т-ПЕ ТЕРБУРГСК ОГО ГОСУД АРС ТВЕНН ОГО УНИВЕРСИ ТЕТА
ЭКОНОМИКИ И ФИН АН СОВ
2010
2
ББК 65.40
П 39
Плоткин Б.К., Делюкин Л.А.
Экономико-математические методы и модели в логистике: Учебное
пособие. – СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2010. – 96 с.
В учебном пособии представлен широкий круг экономикоматематических методов и моделей логистики. Приведены основные понятия о
методах и моделях, используемых в логистике, даётся классификация экономико-математических моделей логистических процессов и операций. Особое внимание уделено моделям управление запасами, а также моделям логистических
систем массового обслуживания. Излагаются основные положения оптимизации по Парето.
Рекомендовано студентам, аспирантам и соискателям факультета коммерции и маркетинга, изучающим дисциплины логистического цикла.
Рецензенты: д-р экон. наук, проф. С.Г. Плещиц
канд. экон. наук, проф. В.И. Ченцов
© СПбГУЭФ, 2010
ВВЕДЕНИЕ
3
Логистика как наука и практическая деятельность стала неотъемлемой частью и инструментом современной экономики. По своей сущности
логистика носит универсальный характер, ибо все субъекты интегрированного рынка занимаются логистикой и используют логистические методы управления производством и торговлей.
В общем виде логистика определяется как управление потоками в
экономике. Отсюда возникает необходимость логистизации производственно-коммерческой деятельности. Под логистизацией понимается представление экономических процессов в виде постоянно циркулирующих
потоков – материальных (товарных), финансовых, информационных, которые в той или иной форме образуют логистические системы.
Универсальность логистики выражается ещё и в том, что логистическая система есть субъект интегрированного рынка, который порождает
или через который проходят экономические потоки. Из этого следует, что
любое предприятие – будь то производственное, сферы обслуживания или
торговое – представляет собой логистическую систему.
В таком случае логистика составляет инструментарий управления
производственно-коммерческой деятельностью, в котором используются
специальные концепции логистики и экономико-математические методы.
Применение математики в экономике является одним из важнейших направлений в развитии экономической теории и коммерческой деятельности, в том числе и логистики. Как в теории, так и в практике логистика
достигла такого уровня, когда применение математических методов стало
не только возможным, но и необходимым.
В настоящем пособии в основном рассматриваются модели и методы
коммерческой логистики, т. е. коммерческие аспекты логистики. Будучи
прикладной экономической наукой нового научно-практического направления, логистика базируется на положениях экономической теории, которые в большинстве случаев представлены в математической форме, а поэтому равным образом должна быть математизированы. Необходимость
применения математики в логистике обусловлена еще и тем, что одним из
принципов логистики является усиление расчетного начала в организации
процессов товародвижения (от древнегреч. logiste – искусство счета). Тем
самым логистика отражает количественную сторону потоковых экономических процессов.
Арсенал математических методов в логистике включает широкий
круг разделов математики, а именно:
1. Классический математический анализ.
2. Теория вероятностей.
3. Математическая статистика.
4
4.
5.
6.
7.
8.
Теория массового обслуживания.
Математическое (линейное программирование).
Теория надежности.
Теория игр.
Гармонический анализ.
Целью преподавания дисциплины является изучение теоретических
положений и практических вопросов применения экономикоматематических методов и построения математических моделей при организации и управлении логистическими процессами товародвижения и
производственно-коммерческой деятельности.
Для достижения поставленной цели студенты в результате изучения
дисциплины должны знать теоретические положения построения экономико-математических моделей, отражающих логистические процессы и
операции с использованием различных методов. Так, в частности, студенты должны отработать практические навыки в применении математических методов в моделировании и решении задач по логистике, т. е уметь:
1.
Строить математические модели логистики с помощью методов
классического математического анализа.
2.
Выводить формулу Уилсона для расчета оптимального размера партии поставки и других параметров процесса поставок.
3.
Представлять процессы логистики в виде элементарных функций с
последующим исследование их на экстремум.
4.
Строить графики, иллюстрирующие зависимости и взаимосвязи в
логистике.
5.
Выявлять стохастические величины и оценивать вид распределения
вероятностей.
6.
Определять тесноту связи между величинами статистических процессов.
7.
Строить уравнения регрессии, описывающие логистические процессы.
8.
Интерпретировать функционирование объектов в логистике как систем массового обслуживания.
9.
Вычислять параметры систем массового обслуживания в логистических процессах.
10. Строить уравнения регрессии, описывающие логистические процессы.
11. Применять компьютерные технологии для решения логистических
задач с помощью математических методов.
5
Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
ОБ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДАХ
И МОДЕЛЯХ В ЛОГИСТИКЕ
Логистические потоковые процессы в форме системы товародвижения на практике образуют следующие блоки:
1) закупки (снабжение);
2) сбыт (продажи);
3) перемещение (транспортировка);
4) складирование (запасы).
Каждое предприятие в силу универсальности логистики – в той или
иной мере выполняет указанные блоки в своей производительнокоммерческой деятельности. Вследствие чего эти блоки увязываются в
единую систему с помощью управления (рис. 1.1).
Закупки
(снабжение)
Перемещение
(транспортировка)
Управление
Складирование
(запасы)
Сбыт
(продажи)
Рис. 1.1. Логистический функциональный блок
Как следует из рис. 1.1, управление есть тот инструмент, который
обеспечивает системность логистических процессов и их результативность, а вместе с этим – результативность производственно-коммерческой
деятельности. Результативность в логистике выражается количественно, а
поэтому управление включает математические методы.
Таким образом, при рассмотрении математических методов и моделей в логистике исходным положением являются теория и практика
6
управления. При этом следует иметь в виду, что в числе величин, которыми оперирует математика в логистике, важное место занимают стоимостные, т. е. экономические, параметры. Именно поэтому в логистике речь
идет об экономико-математических методах и моделях. Так, в частности, в
указанных моделях – в зависимости от моделируемых ситуаций – используются следующие стоимостные параметры:
1) стоимость выполнения заказа (поставки);
2) стоимость содержания единицы запаса за определенный период;
3) постоянные (условно-постоянные) расходы;
4) стоимость перевозки единицы груза;
5) убытки от отказа в обслуживании;
6) убытки от простоя транспортных или иных технических средств;
7) потери от дефицитов товаров.
Перечисленные параметры конкретизируются в зависимости от моделируемых ситуаций.
Кроме того, в ряде моделей, прежде всего динамических, присутствуют временные параметры (интервалы поставок, время хранения запаса,
время транспортировки и т. п.), которые в свою очередь также определяют
стоимостные характеристики логистичеких процессов.
Логистика предусматривает управление движением материальных и
финансовых потоков в цепях поставок. Управление есть комплекс управляющих воздействий на потоковые процессы, т. е. на логистические процессы и операции (см. рис. 1.1).
В логистике требуется обеспечить прохождение материального потока от начальной до конечной точки его траектории с наименьшими затратами живого и овеществленного труда. Однако для принятия управленческого решения требуется модель управляемого процесса. Таким образом, модель представляет собой отображение управляемого процесса
или отображение процесса или объекта в целях управления или изучения.
Любое отображение – есть модель.
Модели бывают абстрактные и физические. Физические модели
строятся с помощью физических тел, например в виде макетов. Для построения абстрактных моделей требуется язык, так в частности словесные
описания процесса или объекта будут его моделью. Такие модели называются вербальными. Вербальные модели недостаточно точно
отображают моделируемый объект, что обусловлено объективными свойствами обычного живого языка.
Качество модели характеризуется ее адекватностью, т. е. степенью
приближения к реальному процессу или объекту. Максимальной адекватностью обладают математические модели, т. е. модели, построенные с помощью математического языка. В данном случае математический язык
объективно является точным и лаконичным.
7
Математические модели отображают процесс или объект с помощью
математической символики, что дает основание говорить о математической орфографии. Такие модели, как правило, имеют иллюстративный характер.
В современных условиях логистические процессы могут быть также
выражены с помощью массива цифр при использовании компьютерных
технологий. Цифровые компьютерные модели также входят в разряд математических моделей, поскольку отражают количественную сторону
логистических процессов. Классификация моделей представлена на
рис. 1.2.
Модели
Математические
Аналитические
Вербальные
Числовые
Детерминированные
Стохастические
Однофакторные
Многофакторные
Расчетные
(оптимизационные)
Иллюстрированные
Запасов
Потоков
Производственно-коммерческая деятельность
Товародвижение
Рис. 1.2. Классификация экономико-математических моделей
в логистике
8
В приведенной классификации следует обратить внимание на группу
расчетных моделей, которые по своей сущности являются оптимизационными. Данное утверждение обосновывается тем, что модели указанной
группы имеют целью получения наилучшего, т. е. оптимального результата.
Математическая модель предопределяет и методы решения. Любая
модель в той или иной форме содержит целевую функцию и ограничения.
Поэтому модель может интерпретироваться как задача, в которой даны
исходные данные и требуется определить значение искомых величин. Нахождение этих величин и определяет метод решения задачи для построенной модели. Методы могут интерпретироваться как модели, доведенные
до численного результата. В логистике в ряде случаев методы и модели
могут совпадать (рис. 1.3).
Математика
Методы
Модели
Логистика
Производство
Коммерция
Производственно-коммерческая
деятельность
Эффект
Рис. 1.3. Взаимосвязь методов и моделей
9
Процесс построения модели именуется как процесс моделирования
или просто моделирование той или иной логистической операции.
Таким образом, имеет место следующая последовательность:
1) наличие ситуации в том или ином логистическом процессе;
2) характеристика этой ситуации;
3) выявление проблемы – выявление той проблемы, которую ставит
данная ситуация;
4) характеристика проблемы;
5) определение цели для разрешения данной проблемы;
6) постановка задачи (в данном случае задача ставится в обычном
арифметическом смысле по схеме: «дано – найти»);
7) построение модели (изначально модель отображает ситуацию, но
для построения конкретной модели необходима задача, поэтому используют и такое выражение «модель – задачи»);
8) исследование модели и выявление метода;
9) разработка алгоритма – «правила – решения» задачи согласно модели;
10) процесс решения – осуществляется с помощью разработанного
алгоритма;
11) принятие решения;
12) выполнение решения (полученное управленческое решение преобразовывается в управляющие воздействия, которые и доводятся до
управляемого процесса логистической системы);
13) результат;
14) анализ результата.
12
7
1
2
3
4
5
6
10
8
11
14
13
9
Рис. 1.4. Сетевой график моделирования ситуации в логистике
10
С помощью результатов анализа определяются степень адекватности
модели и эффективность методов ее решения, на основании этого анализа
в модель и в метод вносятся определенные коррективы. Представленная
последовательность действий может быть изображена в виде сетевого
графика (рис 1.4).
Как показывает график на (рис. 1.4), процесс моделирования логистичеких ситуаций является сложным, поскольку ряд действий выполняется параллельно, некоторые действия непосредственно и опосредованно
связаны между собой. Так, в частности, при анализе результата внедрения
управленческого решения (событие 14) учитывается исходная ситуация
(событие 1) и поставленная цель решения проблемы (событие 5). При всей
сложности моделирования прослеживаются этапы: «ситуация – модель –
метод – результат». Из этого следует, что модель является первичной по
отношению к методу.
В ситуациях, связанных с логистической деятельностью, присутствуют экономические, а точнее, коммерческие составляющие. Так, в частности, многие модели предусматривают минимизацию затрат на те или
иные логистические процессы или операции. Однако к настоящему времени логистика под влиянием практики и накопленной научной информации подразделилась на отдельные, относительно самостоятельные логистические научные дисциплины – функциональные и отраслевые (предметные). C точки зрения применения экономико-математических методов
и моделей логистика включает следующие логистические научные дисциплины:
1. Коммерческая логистика, в том числе логистика закупочная (снабжения) и распределительная (сбытовая).
2. Производственная (внутрипроизводственная) логистика.
3. Транспортная логистика.
4. Складская логистика.
Перечисленные логистики являются наиболее распространенными, но
при этом функционируют такие логистики, как услуг, недвижимости и др.
Основные логистические дисциплины как объекты экономикоматематических методов и моделей представлены в табл. 1.1.
Сведения, приведенные в табл. 1.1, показывают, с одной стороны,
соотношение понятий методов и моделей, а с другой стороны, охват
разделами математики совокупности основных логистических научных
дисциплин. В этом смысле метод есть инструмент для построения модели.
Так, например, с помощью методов классического математического
анализа строится ряд моделей формирования и управления запасами, в
частности, модель (формула) Уилсона для определения оптимального
размера партий поставок.
11
Таблица 1.1
Математические методы и модели в логистических дисциплинах
(логистиках)
№
п/п
1
2
Методы
Классический
математический
анализ
Теория
вероятностей
Модели
Оптимальный размер партий
поставок (формулы Уилсона)
Расположение баз снабжения (Оптимизационная модель). Прикрепление предприятий потребителей к базам снабжения (Гравитационная модель)
Межотраслевые
потоки
(Модель
межотраслевого
баланса)
Законы распределения стохастических логистических
величин
Модели приемки продукции
3
4
5
6
7
8
Математическая
статистика
Теория
массового
обслуживания
Линейное
программирование
Корреляционнорегрессионные модели
Модели работы логистических систем (складов, магазинов и др.)
Транспортная задача
Задача на раскрой материалов
Задача ассортиментной загрузки производства
Теория
графов Сетевые модели (сетевые
(теория
сетевого графики)
планирования
и управления)
Теория игр
Максиминные и минимаксные стратегии
Гармонический
Модели периодических коанализ
лебаний логистических величин (спроса, продаж, расходования материалов)
Логистические
дисциплины
Коммерческая логистика
Складская логистика
Коммерческая
стика
логи-
Логистики: коммерческая, производственная,
транспортная,
складская
Коммерческая логистика
Коммерческая логистика
Логистики: коммерческая,
транспортноскладская
Транспортная
логистика
Производственная
логистика
Коммерческая логистика
Логистики: коммерческая, производственная
Логистический
менеджмент
Логистики: коммерческая, производственная
12
Наличие в логистических процессах случайных величин служит
основанием для применения методов теории вероятностей, математической статистики и теории массового обслуживания. На основе указанных
методов разрабатываются стохастические модели.
Проблема рационального использования ресурсов послужила
импульсом для разработки соответствующих математических методов,
что привело к созданию специального раздела математики –
математического (линейного и нелинейного, динамического) программирования.
Хотя модель является первичной по отношению к методу, однако
именно метод формирует модели, отображающие соответствующие
логистические ситуации.
Вопросы для самоконтроля:
1. Какие логистические блоки составляют процесс товародвижения на
интегрированном рынке?
2. Какую роль играет управление в логистической системе
товародвижения и в иных потоковых процессах?
3. Что представляет собой управление?
4. Что является необходимым условием для осуществления процесса
управления?
5. По какой причине математические методы и модели в логистике именуются как экономико-математические?
6. Перечислите и охарактеризуйте стоимостные параметры в экономикоматематических моделях логистики.
7. Перечислите и охарактеризуйте временные параметры в экономикоматематических моделях логистики и как они влияют на стоимостные
показатели?
8. На какие классификационные группы подразделяются экономикоматематические модели в логистике?
9. Охарактеризуйте каждую группу экономико-математических моделей,
используемых в логистике;
10. Как связаны или в каком соотношении находятся математические методы и модели в логистике?
11. Какие научные логистические дисциплины (логистики) являются объектами приложения математических методов?
12. Охарактеризуйте совокупность экономико-математических моделей по
разделам математики, применяемых в основных логистических дисциплинах (логистиках).
13
Наличие в логистических процессах случайных величин служит
основанием для применения методов теории вероятностей, математической статистики и теории массового обслуживания. На основе указанных
методов разрабатываются стохастические модели.
Проблема рационального использования ресурсов послужила
импульсом для разработки соответствующих математических методов,
что привело к созданию специального раздела математики –
математического (линейного и нелинейного, динамического) программирования.
Хотя модель является первичной по отношению к методу, однако
именно метод формирует модели, отображающие соответствующие
логистические ситуации.
Вопросы для самоконтроля:
1. Какие логистические блоки составляют процесс товародвижения на
интегрированном рынке?
13. Какую роль играет управление в логистической системе
товародвижения и в иных потоковых процессах?
14. Что представляет собой управление?
15. Что является необходимым условием для осуществления процесса
управления?
16. По какой причине математические методы и модели в логистике именуются как экономико-математические?
17. Перечислите и охарактеризуйте стоимостные параметры в экономикоматематических моделях логистики.
18. Перечислите и охарактеризуйте временные параметры в экономикоматематических моделях логистики и как они влияют на стоимостные
показатели?
19. На какие классификационные группы подразделяются экономикоматематические модели в логистике?
20. Охарактеризуйте каждую группу экономико-математических моделей,
используемых в логистике;
21. Как связаны или в каком соотношении находятся математические методы и модели в логистике?
22. Какие научные логистические дисциплины (логистики) являются объектами приложения математических методов?
23. Охарактеризуйте совокупность экономико-математических моделей по
разделам математики, применяемых в основных логистических дисциплинах (логистиках).
14
Глава 2. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ
КЛАССИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
В ЛОГИСТИКЕ
Предметом изучения в математическом анализе являются переменные
величины в их взаимозависимости. Важнейшим понятием математического
анализа является функция. С помощью функций математически выражается многообразие количественных закономерностей в логистических процессах движения материальных ресурсов. Необходимым условием для
применения методов математического анализа являются установление
функциональных зависимостей, после чего полученная функция исследуется на экстремум и подвергается всестороннему анализу.
В управлении логистическими процессами довольно часто встречаются ситуации, когда та или иная величина увеличивается в зависимости от
увеличения данного фактора. В то же время другая величина уменьшает
свое значение с ростом данного фактора. В этом случае функция имеет
следующий вид:
y  ax 
b
x
Графически это выглядит так (рис. 2.1):
у
у
ах
b/х
х(opt)
х
Рис. 2.1. Графический вид функции и ее исследование на экстремум
В подобных функциях для оптимального значения проводится ее исследование на экстремум, т. е. находится первая производная, которая
приравнивается к нулю:
y  a 
b
 0,
x2
15
отсюда:
b
a .
x opt 
Пример: оптовая база отгружает свою продукцию потребителям, погрузка осуществляется с помощью специальных погрузчиков, стоимость
содержания одного погрузчика составляет Sn, содержание одной автомашины составляет Sa – представленная ситуация моделируется с помощью
представленной выше функции.
Допустим, время погрузки одной автомашины одним погрузчиком
составляет 8 часов, при этом стоимость содержания автомашины за это
время составляет 18 тыс. рублей, содержание одного погрузчика обходится
в 2 тысячи рублей в час (табл. 2.1).
Таблица 2.1
Расчет суммарных затрат на организацию погрузки
1
Время погрузки
Затраты на
погрузчики Sn
Затраты по
автотранспорту Sa
Суммарные затраты
Количество погрузчиков
2
3
4
8
4
2,7
2
2
4
6
8
18
9
6
4,5
20
13
12
12,5
Оптимальное значение погрузчиков определяется непосредственно
по формуле оптимальности:
nopt 
Sa
18

 9  3.
Sn
2
В производственно-коммерческой деятельности главной проблемой
является калькуляция экономических параметров в математических моделях.
2.1.
Определение оптимального
(Базисная модель)
размера
партии
поставки
Представленной моделью описывается обширный класс задач по
управлению запасами. Запасы являются ключевой категорией в логистике.
16
С точки зрения логистики запасы – это материальный поток с нулевой скоростью физического перемещения. Запасы обладают двойственной природой: с одной стороны, они имеют положительное значение, а с другой стороны, они обладают отрицательным качеством. Положительное значение
запасов заключается в том, что с ростом величины запаса возрастает надежность функционирования системы, т. е. обеспечивается надежное, бесперебойное обеспечение материальными ресурсами производства или надежность реализации товара. Но запасы обладают и отрицательным свойством, которое заключается в том, что в запасах иммобилизируются
(омертвляются) материальные и финансовые ресурсы. Отсюда и возникают
проблемы оптимизации запаса, т. е. определение того уровня запаса, при
котором общие издержки при управлении запасом будут минимальными.
Оптимизация уровня запасов выполняется исходя из того, что имеет
место две группы затрат: это затраты на хранение запаса и затраты на доставку продукции и совершение заказа, отсюда проблема: поставлять продукцию большими или малыми партиями.
При поставках крупными партиями сокращаются транспортные расходы, но увеличиваются затраты на хранение. При поставках малыми партиями – уменьшаются затраты на хранение запаса, но возрастают транспортные расходы. Следовательно, проблема оптимизации запасов сводится к проблеме оптимизации партии поставки.
Общие издержки управления запасами (Собщ) складываются из стоимости доставки продукции – выполнения поставки (Сдост) и затрат на хранение запаса (Схр). Тогда стоимость доставки – выполнения поставки,
можно представить в следующем виде:
Cдост = К+цV,
где К – условно-постоянная часть на транспортировку;
ц – затраты, зависящие от величины партии поставки.
Затраты на хранение запаса:
С хр  hcV T ,
где hc – стоимость хранения единицы запаса в сутки;
V – средний запас;
T – время хранения запаса.
Для определения затрат на хранение необходимо вычислить средний
запас. Средний запас вычисляется с помощью среднего в интегральном
исчислении, т. е. по формуле:
17
1
S
T
t T
 f (t )dt,
0
где S – средняя величина запаса;
Т – длительность расхода запаса;
Функция изменения запаса выглядит следующим образом (рис. 2.2):
t T
 f (t )  V  bt
0
v
V-bt
V
t
T
Рис. 2.2. Графическое изображение функции изменения запасов
Вычисляется средний запас:
T
1
1  T bt 2
S   (V  bt )dt  Vt 0 
T 0
T
2
при T 
T
0
 1
bT 2 
  VT 

T
2


,
V
,
b
S V 
bV
V V
V   ,
b2
2 2
Таким образом, в логистике запасов при линейном потреблении материальных ресурсов средний запас равняется половине партии поставки.
Получаем выражение общих затрат:
Собщ  hc
VV
 K  цV .
2 b
Полученные общие затраты относятся на единицу хранимого запаса,
т. е. Собщ делится на V:
Собщ 
hc K
  ц.
2b V
18
Далее находится первая производная, которая приравнивается к нулю:
СVобщ 
hc K

 0,
2b V 2
отсюда оптимальный размер партии поставки:
 2bk 
 ,
Vopt  
h
 c 
Полученная формула именуется формулой Уилсона.
В логистической деятельности используется также и такой вывод
формулы Уилсона:
С= Схр + Сдост,
где Схр – издержки хранения запаса;
Сдост – издержки доставки (выполнения поставки).
V
С хр  h ,
2
где h – издержки хранения единицы запасов за год.
Издержки доставки – это издержки, независящие от величины партии поставки, но зависящие от количества поставок в год:
Сд=dN,
где d – стоимость выполнения одной поставки;
N – количество поставок за год.
В свою очередь количество поставок за год равно:
M
,
V
где М – годовая потребность в материальных ресурсах;
V – размер партии поставки, отсюда получаем:
N
hV dM

2
V
От этого выражения находится первая производная, которая приравнивается к нулю:
С 
С 
dC h dM
 
 0,
dV 2 V 2
отсюда оптимальный размер поставки:
Vopt 
2dM
h
Пример: потребность предприятия в стальном прокате равна М=100
тонн в год. Выполнение заказа, т. е. независящие расходы равны d=700
рублей, а содержание единицы запаса h=500 рублей. Определяется оптимальный размер партии поставки.
19
Vopt 
2  100  700
 17т .
500
В годовом исчислении оптимальный размер партии поставки используется в производственно-коммерческой деятельности предприятия.
При этом издержки хранения определяются путем непосредственной
калькуляции, а стоимость выполнения заказа определяется как совокупность транзакционных издержек. В данном случае транзакционные издержки включают издержки на поиск поставщиков, на ведение деловых
переговоров, на организацию транспортировки продукции.
Формулы Уилсона для определения оптимального размера партии
поставки как в суточном, так и в годовом исчислении дают один и тот же
результат.
В первом случае в качестве основных параметров используется суточное потребление продукции – b и издержки содержания единицы запаса в одни сутки. Во втором случае используется годовая потребность и издержки содержания единицы запаса в год, т. е. имеет место следующее
тождество:
2kb

hc
2dM
h .
В обеих формулах параметры k и d равны, так как выражают затраты
на одну поставку, т. е. независящие от количества продукции в поставке.
Относительно предыдущих параметров имеют место следующие равенства:
k=d,
h= 365 hc ,
M = 365 b,
где М – это расход данного материального ресурса за год.
По условию задачи за год расходуются все материальные ресурсы,
поставляемые на предприятие, а поэтому получаем, что:
Vopt 
2  k  b  365

hc  365
2 d  M
.
h
На практике в основном применяется формула Уилсона в годовом
исчислении.
20
2.2. Определение
оптимального
размера
партии
поставки
при периодическом поступлении и равномерном расходе
материальных ресурсов
Рассматриваемая ситуация иллюстрируется графиком на рис. 2.3.
V
3(t)
max
3(t) =V - bt
3(t) =(a-b)t
0
V/a
Т
Рис. 2.3. Графическое изображение размера запаса при периодическом
поступлении и равномерном расходе материальных ресурсов
Из графика следует, что материальные ресурсы поступают на предприятие и расходуются предприятием одновременно.
Следовательно, имеется запас:
З (t ) 
V
a
( a b ) t
V
V
V bt
при t 
a
b
при0t 

,
Рассматривается равенство:
(a-b)t=V–bt,
отсюда
at – bt=V-bt,
at=V,
t
V
a
Согласно общему правилу для определения партии поставки необходимо вычислить средний запас за период Т, где
а – среднесуточное поступление материальных ресурсов,
b – среднесуточный расход материальных ресурсов на предприятии.
21
Вычисляется средний запас:
V
 Va

V
b
 1  ( a  b )t 2 V
1
bt 2
a
b
З    (a  b)tdt   (V  bt )dt   
0  Vt V 
T 0
2
2
V
 T 
a
a


2
1  V ( a  b)  V ( a  b)


T  2ab 
2a
, при a > b
V
b
V
a
 1 V 2 V 2 
 

  
T
2
b
2
a



Далее применяется стандартная процедура, т. е. определяются общие
издержки как сумма издержек по хранению и доставке:
С хран
V ( a  b) V
V 2 ( a  b)
 hc З T  hc
 hc
,
2a b
2ab
С дост  К  цV ,
Выражение общих издержек примет вид:
Собщ
V 2 ( a  b)
 hc
 K  цV .
2ab
Общие издержки относятся на единицу продукции, тогда
Собщ  hc
V (a  b) K
  ц.
2ab
V
Полученная функция исследуется на экстремум
 
СVооб
hc ( a  b) K
 2  0,
2ab
V
отсюда оптимальный размер партии поставки:
Vopt 
2 Kab
2bK

hc (a  b)
hc
a
.
a b
Таким образом, при определении оптимального размера партии поставки к стандартной формуле Уилсона добавляется поправочный коэфa
ab
фициент
, этот поправочный коэффициент применяется и для формулы Уилсона в годовом исчислении.
22
2.3. Определение оптимального размера партии поставки при
периодическом поступлении и равномерном расходе материальных
ресурсов
Рассматриваемая ситуация иллюстрируется графиком на рис. 2.4.
З(t)
Зн
b
V
t1
t2
t
V-Зн
T
Рис. 2.4. Графическое изображение размера запаса при периодическом
поступлении и равномерном расходе материальных ресурсов
Обозначения на графике: Зн – начальный запас;
t1 – период наличия запаса на складе;
t2 – период отсутствия запаса на складе, при
этом t2 =T - t1.
Задача сводится к количественному определению размера снижения
и установления величины начального запаса. Таким образом, следует минимизировать сумму следующих издержек:
1) расходы по доставке;
2) расходы по хранению запаса;
3) потери от дефицита.
Все эти издержки рассчитываются на единицу продукции:
Сдост  К  цV ,
C хран  hc
Зн
Зн З н
З н2
t1  hc
 hc
.
2
2 b
2b
Потери от дефицита – это дополнительные затраты от дефицита в
период t2, к таким потерям относятся: простой оборудования, простой
персонала, упущенная выручка и др.
t 2  T  t1 
V Зн V  Зн


,
b b
b
23
отсюда издержки вследствие дефицита:
V  Зн V  З н
g (V  Зн ) 2
С деф  g

,
2
b
2b
где g – стоимостная оценка дефицита (издержки вследствие дефицита на
единицу);
V  Зн
2 – средний объем дефицита;
V  Зн
b
– длительность дефицита.
Общие затраты составят:
hc 32н g (V  Зн ) 2
Собщ  К  цV 

.
2b
2b
Издержки на единицу продукции примут вид:
С общ
K
hc 3 2н g (V  З н ) 2

ц

.
V
2Vb
2Vb
После преобразования получим:
2
hc 32н gV 2 2gVЗн gЗн
K
2
2
Собщ   ц 



V
2Vb 2Vb
2Vb
2Vb  K  ц  Зн (hc  g)  gV  Зн g .
V
2Vb
2b
b
Далее следует определить:
V – размер поставки;
Зн – начальный размер запаса, для этого решается следующая система
дифференциальных уравнений:
dC
2
K З (h  g ) g
 2  н c 2

0
dV
2b
V
2bV
dС общ З н (hc  g ) g

 0
dЗ н
Vb
b
(1)
(2)
Из уравнения (2) данной системы получаем:
hc  g Зн g
  ,
b
V b
(3)
отсюда
Зн
g

,
V hc  g
(4)
после преобразования уравнения (1) системы, получаем:
K
V2
(h  g )  З н
 c
 
2b
V
2
g

 
.
2b

(5)
24
Подставляя в уравнение (5) отношение начального запаса к объему партии
поставки (4), получаем:
K ( hc  g )
g2
g



,
2
2
V
2b
( hc  g )
2b
(6)
отсюда оптимальный размер партии поставки:
2 Kb (hc  g )
Vopt 

.
hc
g
Оптимальное значение начального запаса следует из формулы (4):
З н ( opt ) 
2 Kb
g

,
hc
(hc  g )
таким образом, при допущении дефицита в базисную модель Уилсона
вносится коэффициент, равный
g
.
( hc  g )
2.4. Определение места дислокации базы снабжения
Рассматривается следующая логистическая задача: снабжение острова А осуществляется через железнодорожную станцию В. От береговой линии остров удален по прямой на расстояние a км, а железнодорожная станция – на расстояние b км. Расстояние между основаниями перпендикуляров, проведенных к береговой линии через точки А и В, равно с км. Стоимость перевозки одной тонны груза на расстояние в 1 км: по суше – SC, по
морю – SM. Определить, где разместить перевалочную базу D, чтобы стоимость перевозки была минимальна.
Расчетная схема представлена на рис 2.5.
A
α
x
a
В
А
D
c
b
β
B
Рис. 2.5. Схема расположения объекта доставки по отношению
к пункту отгрузки
25
Решение:
Обозначим расстояние B D через х. Тогда DA  c  x , отсюда получаем длину пути:
2
2
по суше: b  x ,
2
2
по морю: a  (c  x) .
Стоимость перевозки одной тонны груза из В в А выразится следующим образом:
y  S C b 2  x 2  S M a 2  (c  x ) 2 .
Определим минимум полученной функции, для чего найдем первую
производную и приравняем ее к нулю:

yx 
SC x
b2  x2

S M (c  x )
a 2  (c  x ) 2
 0,
из чего следует:
x
b2  x2

cx
a 2  (c  x) 2
 S M  Sc
или
sin  S M

.
sin  SC
Таким образом, перевалочную базу D следует расположить так, чтобы выполнялось равенство:
sin  S M

.
sin  SC
2.5. Прикрепление предприятий-потребителей к базам снабжения
Рассматриваемая ситуация формируется следующим образом: имеется несколько баз снабжения и множество предприятий-потребителей. Задача заключается в том, что необходимо прикрепить предприятия – потребителей к определенным базам снабжения. Для решения данной задачи может
быть использована так называемая гравитационная модель.
Указанная модель именуется гравитационной, так как она по структуре имеет сходство с формулой Всемирного закона тяготения И. Ньютона.
26
Базы снабжения: 1, 2…i…m.
Предприятия-потребители: 1, 2…j…n, при этом m ≤ n.
Гравитационная модель имеет следующий вид:
Fij  
b j  qi
l
2
ij
,
где Fij – «сила тяготения» между i-й базой и j-м потребителем – оценочный показатель для сравниваемых вариантов размещения;
bi – годовая потребность j-го потребителя;
qi – мощность i-й базы;
lij – расстояние между i-й базой и j-м потребителем;
γ – константа модели.
Для предприятий-потребителей и баз, расположенных в местах с напряженным дорожным движением, большое значение имеет время следования транспорта tij, поэтому гравитационная модель примет следующий
вид:
Fij  
b j  qi
lij2
.
При сравнении вариантов выбирается вариант с наибольшим числом Fij.
Гравитационная модель адекватно описывает функционирование
торговых сетей, а именно: расположение распределительных центров
(складов) и прикрепленных к ним магазинов.
2.6. Модель межотраслевого баланса
Межотраслевые потоки на макрологистическом уровне, то есть материальные потоки между отраслями экономики, отображаются с помощью модели межотраслевого баланса.
Межотраслевой баланс показывает объемы производства и их распределение между отраслями и конечными потребителями. Под отраслью
понимается совокупность предприятий, производящих однородную продукцию, следовательно, межотраслевые потоки – материальные потоки в
групповой (укреплённой) номенклатуре. Согласно межотраслевому балансу вся производимая продукция данной отрасли направляется к другим
отраслям на производственное потребление и на конечное потребление.
Конечное потребление включает:
1) экспорт;
2) государственный резерв;
3) личное потребление граждан.
27
Часть продукции отрасль оставляет себе, для своих нужд. Например,
для дальнейшего передела, для контроля и испытаний, сертификации, для
рекламы и др. Таким образом, можно составить систему уравнений, показывающих объем производства и его распределение.
В межотраслевом балансе отрасли-производители одновременно являются отраслями потребителями:
1, 2…i…m – отрасли-производители продукции;
1, 2…j…n – отрасли-потребители продукции, при этом:
m = n,
i = j.
Система уравнений, описывающая производство и потребление,
имеет следующий вид:
Х1 = х11 + х12 + …х1j + х1n + y1
Х2 = х21 + х22 + …х2j + х2n + y2
…………………………………………………
Хi = хi1 + хi2 + …хij + хin + yi
………………………………………………..
Хm = хm1 + хm2 + …хmj + хmn + ym
Полученная система уравнений может быть выражена в компактной
форме:
n
X i   xij  yi ,
j 1
где Хi – объемы производства i-й отрасли;
хij – объемы поставок из i-й отрасли в j-ю отрасль, т. е. объемы межотраслевых поставок;
уij – объемы конечного потребления.
В межотраслевом балансе объемы производства и потребления исчисляются в групповой (укрупнённой) номенклатуре. Например, черные
металлы, цветные металлы, цемент, строительные материалы, пиломатериалы и т. п. Такой перечень охватывает наименования всех видов продукции производимых в стране. Однако полученная система уравнений не
имеет решений, так как количество неизвестных больше числа уравнений.
Для того чтобы система имела решение, вводится величина, которая
называется коэффициентом прямых затрат:
aij 
xij
xj
.
Коэффициент прямых затрат показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо затратить для получения единицы продукции
j-й отрасли.
28
По своему экономическому смыслу коэффициент прямых затрат
представляет собой нормы расходов, ибо именно норма расхода – это расход данного материала для производства единицы продукции.
Отсюда получаем значения межотраслевых поставок:
хij  aij  X j .
тогда новая система уравнений примет вид:
Х1 = а11Х1 + а12Х2 + …а1jХj + а1nХn + y1
Х2 = а21Х1 + а22Х2 + …а2jХj + а2n Хn + y2
…………………………………………………
Хi = аi1 Х1 + аi2 Х2 + …аijХj + аin Хn + yi
………………………………………………..
Хm = аm1Х1 + аm2 Х2+ …аmjХj + аmn Хn + ym
или в компактном виде:
n
X i   aij X j  yi .
j 1
Полученная система уравнений имеет решения, так как количество
неизвестных равно количеству уравнений в системе. Такая система уравнений именуется моделью межотраслевого баланса. Эту модель ещё именуют как модель «затраты – выпуск» (input – output).
Модель была предложена американским экономистом лауреатом
Нобелевской премии по экономике Василием Васильевичем Леонтьевым.
Пример решения межотраслевого баланса для трёх отраслей
представлены в табл. 2.2.
Таблица 2.2
Коэффициент прямых затрат и конечное потребление
Отрасли
производства
1
1
2
3
а11= 0,7
а21= 0,1
а31= 0,1
Отрасли-потребители
2
а12= 0,1
а22= 0,2
а32= 0,4
3
Конечное
потребление
а13= 0,1
а23= 0,2
а31= 0,3
11
7
5
По данным таблицы составляется система уравнений:
Х1 = 0,7Х1 + 0,1Х2 + 0,1Х3 + 11
Х2 = 0,1Х1 + 0,2Х2 + 0,2Х3 + 7
Х3 = 0,1Х1 + 0,4Х2 + 0,3Х3 + 5
29
Полученная система уравнений решается классическим алгебраическим методом с помощью компьютерных технологий по стандартным
программам.
Получаем решения системы уравнений:
Х1 = 53,23;
Х2 = 22,28;
Х1 = 27,4.
Через коэффициенты прямых затрат получаем межотраслевые поставки и баланс в целом (табл. 2.3).
Таблица 2.3
Межотраслевые поставки и баланс в целом
Отрасли
производства
1
2
3
Отрасли-потребители
1
2
3
37,26
5,32
5,3
2,23
4,47
8,9
2,74
5,48
8,2
Конечное
потребление
Итого
11
7
5
53,23
22,28
27,4
Кроме коэффициентов прямых затрат в межотраслевом балансе вычисляются коэффициенты полных затрат:
C ij  a ij   bijk
,
где Сij – коэффициент полных затрат;
aij – коэффициент прямых затрат;
bijk – коэффициент косвенных затрат k-го порядка.
Прямые затраты определяются материальной субстанцией данного
товара. Полные затраты учитывают косвенные затраты материальных ресурсов, израсходованных на предыдущих стадиях изготовления продукции. В каждой продукции или в каждом товаре имеют место затраты всех
прочих товаров. Вследствие всеобщего характера косвенного потребления
сдвиги в ценах даже самых отдаленных товаров могут повлиять на стоимость данной продукции.
Коммерческая логистика предусматривает мониторинг цен целого
ряда важнейших видов материальных ресурсов:
1) нефть;
2) бензин;
3) зерно;
4) черные металлы;
5) цветные металлы.
В рыночной экономике межотраслевой баланс составляется государственными органами статистики по отчетным данным предприятия, как
30
исполнительный баланс. В таком балансе исчисляются прямые и полные
затраты в рублях на 1 тысячу рублей произведенной продукции (табл. 2.4).
Таблица 2.4.
Межотраслевой баланс (фрагмент)
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
Затраты в рублях на 1000 руб.
продукции
прямые
полные
I. Расход черных металлов
Металлические конструкции
376,94
535,82
Метизы
355,27
508,63
Тракторы и сельхозмашины
130,48
284,43
Подъемно-транспортное
108,16
206,79
оборудование
Автомобили и запчасти
66,8
135,54
к ним
Электротехническая
60,49
116,18
продукция
Приборы
11,33
35,46
II. Расходы электроэнергии
Продукты основной химии
92,08
152,24
Цемент
72,06
101,73
Химические волокна и нити
64,41
113,06
Металлические конструкции
20,41
67,61
Автомобили и запчасти
14,2
45,82
к ним
Приборы
9,71
30,55
Наименование
произведенной продукции
Отношение
полных затрат к
прямым
1,42
1,43
2,17
1,91
2,03
1,92
3,13
1,65
1,41
1,35
3,31
3,22
3,15
По величине прямых затрат каждое предприятие оценивает свой
уровень материалопотребления. Таким образом, межотраслевой баланс
адекватно отражает систему межотраслевых потоков на макрологистическом уровне.
Упражнения для самоконтроля:
1. Дано:
– среднесуточное потребление материала – 0,55 т/сутки;
– издержки содержания запаса – 0,033 руб./т-сутки;
– условно-постоянные расходы – 12 руб.
Определить
– оптимальный размер партии поставки.
2. Дано:
– годовая потребность предприятия в данной продукции – 200 т;
– издержки содержания запаса – 12 руб./т-год
– условно-постоянные расходы – 12 руб.
31
Определить:
а) оптимальный размер партии поставки;
б) общие затраты содержания запаса и выполнения поставки
в) сравнить исходные данные упражнений 1 и 2.
3. Дано:
– потребность предприятия в продукции – 1000 т/год;
– издержки хранения запаса – 400 руб./т – год;
– стоимость выполнения поставок – 700 руб.
Определить:
а) оптимальный размер партии поставки;
б) количество поставок в год;
в) интервалы между поставками;
г) общие затраты содержания запаса и выполнения поставок.
4. Дано:
– потребность предприятия в продукции – 600 т/год;
– издержки содержания запаса – 15 руб./т – год;
– условно-постоянные расходы – 45 руб.
Определить:
а) оптимальный размер партии поставки;
б) общие затраты содержания запаса и выполнения поставок;
в) составить таблицу, показывающую влияние величины партий поставок
на общие издержки, т. е. С = f(V), при размерах партий поставок в т: 20,
40, 60, 80, 100, 120.
г) составить таблицу, показывающую влияние стоимости запаса на оптимальный размер партии поставки, при следующих издержках хранения,
руб./т-год: 5, 10, 15, 20, 25, 30.
5. Дано:
– годовая потребность предприятия – 1800 т;
– среднесуточное потребление материала – 9 т/сутки;
– среднесуточный расход материала – 5 т/сутки
– издержки содержания запаса – 12 руб./т – год;
– условно-постоянные расходы – 12 руб.
Определить:
– оптимальный размер партии поставки.
6. Дано:
– годовая потребность предприятия – 1800 т;
– издержки содержания запаса – 12 руб./т – год;
– потери от дефицита – 44 руб./т – год;
– условно-постоянные расходы – 12 руб.
32
Определить:
а) оптимальный размер партии поставки;
б) величину начального запаса;
в) максимальный дефицит
г) длительность дефицитной ситуации.
7. Дано:
– коэффициент прямых затрат;
– значение величины конечного потребления (табл. 2.5).
Таблица 2.5
Коэффициент прямых затрат и конечное потребление
Отрасли
производства
1
2
3
Отрасли-потребители
1
2
а11= 0,3
а21= 0,7
а31= 0,6
а12= 0,1
а22= 0,4
а32= 0,3
Определить:
межотраслевой баланс для трех отраслей.
3
Конечное
потребление
а13= 0,2
а23= 0,1
а31= 0,3
13,0
17,7
19,7
33
Глава 3. МЕТОДЫ И МОДЕЛИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
В ЛОГИСТИКЕ
Случайные отклонения сопутствуют любому закономерному процессу, а тем более логистическим процессам в рыночной экономике.
Практика ставит такие задачи, в которых различные факторы играют существенную роль в рассматриваемых процессах, однако число этих факторов столь велико, что проследить причинно-следственные связи между
ними не всегда представляется возможным. Элементы неопределенности,
сложности, многопричинности присущи случайным явлениям и процессам в логистике, а поэтому требуются специальные методы для их исследования, изучения и управления. Такие методы и разрабатывает теория
вероятностей. Таким образом, теория вероятностей в логистике рассматривает случайные величины, обусловленные логистическими процессами
и операциями.
Так, в частности, в логистике имеют место следующие стохастические случайные величины:
1. Спрос (платежеспособность).
2. Объем реализации (объем продаж).
3. Длительность (период реализации).
4. Выручка от реализации продукции.
5. Издержки:
- общие;
- логистические;
- транзакционные.
6. Время погрузки-выгрузки транспортных средств.
7. Время доставки (перемещения продукции).
8. Уровень использования грузоподъемности и грузовместимости
транспортных средств.
9. Время обслуживания покупателей (потребителей).
10. Товарооборот торгового предприятия.
11. Оборот оптово-торговой базы.
12. Поток потребителей (поток заявок на обслуживание).
13. Время занятости средств обслуживания.
14. Движение товарного запаса.
15. Объем партии отгрузки реализуемой продукции.
16. Распределение продукции по группам АВС.
17. Процесс поставки – надежность поставок и другие.
Если изучаемое явление представляется в виде полной группы событий, которые несовместимы и равновозможны, то вероятность данного
34
события равна отношению числа m благоприятствующих этому событию
случаев к общему числу n возможных случаев, т. е. вероятность равна:
p
m
.
n
На практике рассматривается статистическая вероятность, в результате накопленных статистических данных о благоприятствующих событиях m и общего числа событий n.
Так, например, в логистике используется такая величина, как надежность снабжения. Надежность снабжения в большинстве случаев величина
случайная и определяется за определенный период времени как отношение числа поставок, выполненных согласно договору поставки, к общему
числу поставок.
Допустим, за рассматриваемый период было выполнено поставщиком 24 поставки, из них 18 поставок соответствуют параметрам, предусмотренным договором поставки. Отсюда надежность равняется:
p
18
 0,75.
24
Поставка соответствующей надежности определяется следующими
параметрами: количество, качество, сроки поставок.
Случайные величины характеризуются законом распределения или
плотностью распределения вероятностей.
х
р
х1
р1
х2
р2
…
…
хn
рn
x1, x2, … xn – конкретные значения, принимаемые данной величиной;
p1, p2, … pn – вероятности указанных значений, при этом:
n
 P  1.
i
i 1
В логистике наиболее распространенными являются следующие законы распределения вероятностей: нормальное, экспоненциальное, биноминальное, Пуассона.
35
3.1. Нормальный закон распределения вероятностей
Плотность нормального распределения имеет следующий вид:
y
 ( x a )2
1
 2
e
2 2
,
где а – центр распределения вероятностей или математическое ожидание
данной случайной величины, т. е. а = М (х);
σ- среднеквадратичное отклонение данной случайной величины.
На практике исчисляются соответствующие статистические оценки.
Так, оценкой для математического ожидания будет средняя величина
а) простая:
х
х
n
или
б) средневзвешенная
х
х n
i
n
i
, x  a , при n   ,
где n – количество данных в рассматриваемом статистическом массиве.
Математическое ожидание есть то теоретическое значение данной
случайной величины, к которому стремится средняя величина при неограниченном увеличении количества данных.
Среднеквадратичное отклонение:

 (х  х )
2
i
n
или  
 (х  х )
n
i
2
ni
.
i
В логистике то или иное значение величины оценивается значением x  x   , при этом вычисляется коэффициент вариации.
k

.
x
При достаточно больших количествах данных σ определяется по
следующей формуле:
x x
  max min ,
3
при n>30, где
x max  x min – размах значений
36
На рис. 3.1. представлен график нормального закона распределения
вероятностей.
у
х
а
Рис. 3.1. Нормальный закон распределения вероятностей
3.2. Экспоненциальный закон распределения вероятностей
Плотность экспоненциального закона распределения вероятностей
имеет следующий вид:
у   е  t ,
где е – основание натурального логарифма, е= 2,72…
Экспоненциальный закон описывает временные параметры случайных логистических процессов. Под экспоненциальный закон подпадают
следующие случайные величины:
1) время обслуживания покупателей;
2) время погрузки-выгрузки транспортных средств;
3) время, затрачиваемое на выполнение прочих логистических операций
4) интервал между заявками, приходящими на обслуживание.
Особенностью экспоненциального закона является то, что он определяется одним параметром λ. При этом

1
,
Т
где Т – среднее значение исследуемого временного параметра.
37
Для величин, подчиняющихся экспоненциальному закону, математическое ожидание М и среднеквадратичное значение равны между собой.
М 
1
,


1
.

На рис. 3.2 представлен график экспоненциального закона.
у
х
Рис. 3.2. Экспоненциальный закон распределения вероятностей
Экспоненциальный закон описывает распределение номенклатуры
продукции в зависимости от частоты её использования в производственно-коммерческой деятельности на группы А, В и С.
3.3. Биноминальный закон распределения вероятностей
Биноминальный закон распределения вероятностей выражается
формулой:
Pn,m  C nm p m q n m
.
Указанный закон определяет вероятности наступления m событий из
общего числа событий n, где p – вероятность наступления одного события
из данной группы событий;
q – вероятность ненаступления указанного события, q = 1- р.
С nm
Величина
– количество сочетаний из n по m, определяется по
формуле:
С nm 
где n! = 1·2·3·…·n (n – факториал).
n!
,
m!(n  m)!
38
Для вычисления числа сочетаний используется равенство:
С nm  C nn  m .
При биноминальном распределении наивероятнейшее число событий равно:
N  n  p.
Пример: База снабжает 10 потребителей. Вероятность поступления
заявки от одного потребителя р = 0,8 (q = 0,2), тогда наивероятнейшее
число заявок равно: n p = 10 · 0,8 = 8 заявок. Определить вероятности поступления заявок 0, 1, 2…10.
Решение:
Определяется вероятность поступления наивероятнейшего количества заявок:
P10,8  C108  0,88  0,2 2
.
Вычисления:
С108  С102 
10! 1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 9  10


 45,
2!8!
2 1 2  3  4  5  6  7  8
2
0,88 = 0,17,
0,22 = 0,04, отсюда вероятность при m=8
Р10,8 = 45·0,7·0,004 = 0,306.
Аналогичным способом вычисляются остальные вероятности. Результаты приведены в табл. 3.1 и на рис. 3.3.
m
0
P10,m 0
1
0
2
0
Таблица 3.1
4
5
6
7
8
9
10
0,01 0,03 0,08 0,20 0,30 0,27 0,13
3
0
P10,m
0,35
0,3
0,25
P
0,2
0,15
0,1
0,05
0
4
5
6
7
8
9
m
Рис. 3.3. График распределения вероятностей Р10,m
10
39
3.4. Распределение Пуассона
Вероятность того, что в течение времени t произойдет ровно m событий, определяется по формуле:
(  t ) m  t
Pm (t ) 
e .
m!
Распределение Пуассона показывает вероятность наступления определенного числа событий за данный промежуток времени. В логистике с
помощью формулы Пуассона определяется вероятность поступления автомашин на базу, например, в течение одного часа. Из этого следует, что
формула Пуассона моделирует случайный процесс поступления заявок на
то или иное обслуживание, именно поэтому формула Пуассона является
одной из основных в теории массового обслуживания.
3.5. Сравнение законов распределения вероятностей: критерии согласия
В теории вероятностей разработаны методы, позволяющие оценивать степень соответствия фактических распределения вероятностей их
теоретическим значениям. С этой целью используется так называемые
критерии согласия, наиболее известным из которых является критерий χ2
(«критерий хи-квадрат»). Указанный критерий позволяет сравнивать между собой эмпирические законы распределения, полученные по одним и
тем же исходным фактическим данным.
Чем меньше значение χ 2, тем лучше данный эмпирический закон согласуется с теоретическим. Для сравнения эмпирических законов распределения вероятностей вычисляются значения χ 2 по следующей формуле:
(пФ  пТ ) 2
X 
,
пТ
2
где пф и пт – соответственно фактические и теоретические значения частот
исследуемых законов распределения.
Величина χ 2 также является случайной, а поэтому подчиняется своему закону распределения. Методический подход к сравнению эмпирических законов распределения иллюстрируется примером.
Следует установить, какой закон распределения вероятностей – нормальный или экспоненциальный – лучше отражает распределение данной
величины, т.е. осуществляется проверка гипотез. В качестве исследуемой
величины прият объем реализации (продаж) определенного товара. Исходные данные о реализации товара представлены в табл. 3.2.
40
Таблица 3.2
Сведения о реализации товара (исходные данные)
Реализация
(тыс. руб.)
3,5
3,8
2,7
14,5
18,3
13,4
7,5
24,8
16,5
12,4
34,5
41,2
27,4
24,5
25,5
дата
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Дата
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Реализация
(тыс. руб.)
27
29,5
22,1
48,3
64,5
18,5
19,5
27,4
35
42
54
32,1
14,5
9,4
10
Задача формулируется следующим образом: построить распределение
вероятностей величины спроса на данный товар, если в результате проведенного исследования получены результаты о реализации, в тыс. руб. в день.
Для построения нормального и экспоненциального законов распределения вероятностей вычисляются среднее значение реализации товара в
день х , среднеквадратическое отклонение σ, а также параметр экспоненциального закона λ. Для расчета указанных величин ряд фактических данных упорядочивается от хmin до хmax. Необходимые вычисления представлены в табл. 3.3.
По итогам табл. 3.3 получаем:
1) среднее значение реализации
х
х
n
i

724,3
 24,1
30
;
2) среднеквадратическое отклонение:
 ( х  хi  6646,05  14,9 ;

n
30
3) параметр экспоненциального распределения:

1
 0,041 ;
24,1
4) вид нормального закона:
у
1
е
 2

( а х)2
2

1
е
14,9  2  3,14

( 24 ,1 х ) 2
214 , 9

 0,0268  е
( 24 ,1 х ) 2
29 , 8
;
41
5) вид экспоненциального закона:
у  0,041  е 0, 041х .
Таблица 3.3
Расчет средней реализации и среднеквадратического отклонения
Итого:
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
30
( x  xi ) 2
457,96
424,36
412,09
275,56
216,09
198,81
136,89
114,49
92,16
92,16
57,76
33,64
31,36
21,16
4,00
0,16
0,49
1,96
8,41
10,89
10,89
29,16
64,00
108,16
118,81
292,41
320,41
585,64
894,01
1632,16
х  xi
21,4
20,6
20,3
16,6
14,7
14,1
11,7
10,7
9,6
9,6
7,6
5,8
5,6
4,6
2,0
-0,4
-0,7
-1,4
-2,9
-3,3
-3,3
-5,4
-8,0
-10,4
-10,9
-17,1
-17,9
-24,2
-29,9
-40,4
0
хi
2,7
3,5
3,8
7,5
9,4
10,0
12,4
13,4
14,5
14,5
16,5
18,3
18,5
19,5
22,1
24,5
24,8
25,5
27,0
27,4
27,4
29,5
32,1
34,5
35,0
41,2
42,0
48,3
54,0
64,5
724,3
6646,05
Далее следует установить интервалы значений и вычислить фактические частоты двумя способами:
а) через нормальное распределение (табл. 3.4, рис. 3.4)
Таблица 3.4
№
п/п
1
2
Интервал
Количество
случаев
Частоты
0-10
10-20
20-30
6
8
8
3
3
0,2
0,27
0,27
0,1
0,1
Свыше
60
Итого
1
1
30
0,03
0,03
1
30-40 40-50 50-60
42

у  0,0268  е
( 24.1 х ) 2
29 ,8
Рис. 3.4. Нормальный закон распределения вероятностей
б) через экспоненциальное распределение (табл. 3.5, рис. 3.5)
Таблица 3.5
№
1
2
Интервал
Количество случаев
Частоты
0-20
14
0,47
20-40
11
0,37
40-60
4
0,13
Свыше 60
1
0,03
Итого
30
1
у  0,041  е 0.041 х
Рис. 3.5. Экспоненциальный закон распределения вероятностей
43
На основании полученного выражения для экспоненциального закона определяются его теоретические значения (табл. 3.6)
Таблица 3.6
Построение теоретического распределения
реализации продукции по экспоненциальному закону
№
1
Показатели
-0,041х
0
0
20
-0,82
40
-1,64
60
-2,46
2
е-0,041х
1
0,44
0,194
0,0085
3
0,041·е-0,041х
0,041
0,018
0,008
0,003
4
е хi  e  xi 1
0,023
0,01
0,005
0,038
5
Частота теоретическая
0,61
0,26
0,13
1
Примечание: для определения теоретических частот (строка 5) значение суммы 0,038 (строка 4) принимается за единицу.
Вероятности по гипотезе нормального закона для каждого интервала
определяются с помощью функции Лапласа:
х
2
Ф( х) 
е  t dt.

 0
Вероятность в интервале [a; b]:
b

1
Р(а  x  b)   f ( x)dx 
 e
 2 a
Введем обозначения:
xm
t
,
 2
am

,
 2
( xm)2
2

dx .
bm
 2 .
Тогда:
P (a  x  b )  [Ф (  )  Ф ( )] .
Функция Лапласа табулирована и при вычислении вероятностей
конкретных значений интервалов используются ее табличные значения.
Для того чтобы проверить, насколько соответствует теоретическое
распределение фактическому, необходимо использовать критерий согласия. Рассчитаем значение χ 2 для экспоненциального и нормального распределений. Значение χ 2, которое будет меньше, говорит о более высоком
уровне соответствия данного теоретического распределения фактическому (табл. 3.7).
44
Таблица 3.7
Расчеты экспоненциального распределения
№
п/п
1
2
3
4
5
Величины
0-20
20-40
40-60
Свыше 60
Итого
nф
nт
(nф- nт)
(nф- nт)2
( nф  n т ) 2
47
61
-14
196
37
26
11
121
13
13
0
0
3
3
9
100
100
0
3
3,21
4,65
0
-
7,86
nт
2
Х 
(nф  nт ) 2
 3,21  4,65  7,86 .
nт
Расчеты для нормального распределения:
а) рассчитываются вероятности для каждого из интервалов (с помощью
табличных значений функции Лапласа):
10 24,1  0  24,1
P(0  x  10)  Ф
  Ф
  Ф(0,95)  Ф(1,617)  0,12 ,
14
,
9
14
,
9

 

 20  24,1 
 10  21,4 
P(10  x  20)  Ф
  Ф
  Ф(0,275)  Ф(0,95)  0,20 ;
 14,9 
 14,9 
 30  24,1
 20  24,1
Р(20  x  30)  Ф
  Ф
  Ф(0,395)  Ф(0,275)  0,41;
 14,9 
 14,9 
 40  24,1
 30  24,1
Р(30  x  40)  Ф
  Ф
  Ф(1,067)  Ф(0,395)  0,19 ;
 14,9 
 14,9 
 50  24,1
 40  24,1
Р(40  x  50)  Ф
  Ф
  Ф(1,738)  Ф(1,067)  0,08;
14
,
9
14
,
9




 60  24,1
 50  24,1
Р(50  x  60)  Ф
  Ф
  Ф(2,4)  Ф(1,738)  0,02 .
14
,
9
14
,
9




б) рассчитываются nт для каждого интервала:
1) 0,12 · 30 = 3,6;
2) 0,20 · 30 = 6,0;
3) 0,41 · 30 = 12,3;
4) 0,19 · 30 = 5,7;
5) 0,08 · 30 = 2,4;
6) 0,02 · 30 = 0,6.
45
(пф пт)2
в) рассчитываются значения
пт
для каждого интервала:
2
(6  3,6)
 1,6 ,
3,6
(8  6,0) 2
 0,47 ,
2)
6,0
1)
3)
4)
5)
6)
(8  12,3) 2
 1,5 ,
12,3
(3  5,7) 2
 1,28 ,
5,7
(3  2,4) 2
 0,15 ,
2,4
(1  0,6) 2
 0,26 .
2,4
Отсюда значение χ 2:
(nф  nт )2
Х 
 1,6  0,67  1,5  1,28  0,15  0,26  5,46 .
nт
2
При вычислении значения χ2 в качестве фактических частот (пф)
принято количество случаев (табл. 3.4, строка 1).
Производится сравнение полученных результатов:
1) Х2 = 7,86 – при экспоненциальном распределении;
2) Х2 = 5,46 – при нормальном распределении;
5,46 < 7,86 – следовательно, теоретическое нормальное распределение в большей степени соответствует фактическому, чем экспоненциальное.
В общем случае ряд логистических процессов, а именно: продажи, отгрузка продукции с оптово-торговых предприятий, движение запасов, оказание услуг при поставках продукции, расходование материальных ресурсов и т.п. описывается нормальным законом распределения вероятностей.
Отличительным признаком такого распределения является наличие выраженной симметрии случайных величин относительно их среднего значения. Для указанных процессов нормальный закон применим для всей продукции, определенных ассортиментных групп или отдельных наименований товаров.
При АВС – анализе структуры логистических процессов, получаемые характеристики в стоимостном или натуральном выражениях подчинены экспоненциальному распределению.
46
Тот факт, что реализация продукции соответствует нормальному закону, имеет важное значение для логистики, поскольку позволяет определять величину товарного запаса, для чего рекомендуется следующая формула:
V  G  3 ,
где V – необходимая величина товарного запаса на определенный период;
G – средняя реализация в единицу времени (день, неделя, месяц);
 – среднеквадратическое отклонение.
Для рассматриваемого примера товарный запас равен:
V = 24,1 + 3·14,9 = 68,8 тыс. руб.
Данная модель показывает, что любое требование покупателя на то
или иное количество товара должно быть удовлетворено с вероятностью
близкой к 1. В этой модели используется правило «трех сигм»: в нормальном законе 3σ соответствует вероятности 0,99.
В современных условиях компьютерные технологии позволяют отслеживать в текущем режиме времени среднюю реализацию и среднеквадратические отклонения и, соответственно, корректировать величину
товарного запаса.
Предоставленная модель определения товарного запаса может быть
использована как для розничной, так и для оптовой торговли.
Упражнения для самоконтроля:
1. Дано:
Сведения о реализации продукции (табл. 3.8).
Таблица 3.8
Объемы
реализации,
млн руб.
Количество
случаев
До 1
1-2
2-3
3-4
4-5
5-6
Свыше
6
2
4
6
10
8
3
2
Определить:
а) вычислить параметры закона распределения вероятностей;
б) построить график закона распределения вероятностей.
2. Дано:
- время погрузки одной автомашины, час-мин:
2-40, 1-25, 1-10, 1-45, 0-30, 0-35, 0-35, 0-40, 0-40, 1-45, 1-20, 0-56, 0-50, 045, 0-40, 0-40, 4-10, 3-10, 3-15, 3-25.
Сгруппировать ряд времени погрузки автомашин, вычислить параметры Закона распределения вероятностей, построить график.
47
3. Дано:
- база снабжает 10 магазинов, вероятность поступления заявки от одного
магазина – 0,4.
Определить:
- наивероятнейшее число заявок;
- вероятность поступления наивероятнейшего числа заявок;
- вероятность поступления заявок от 5 магазинов.
4. Дано:
- время работы базы с 800 до 2000 ежедневно;
- ежедневное поступление заявок – 36 автомашин.
Определить вероятности поступления на базу в течение одного часа 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6 автомашин.
5. Дано:
- среднее число заявок, поступающих в систему в течение одного часа – 5.
Вычислить распределение вероятностей поступления в систему в течение одного часа от 0 до 10 заявок, построить график.
Глава 4. МЕТОДЫ И МОДЕЛИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИКИ В ЛОГИСТИКЕ
Методы математической статистики позволяют выявлять характер
действия факторов – причин на следствия. Эти методы дают возможность
по одним величинам вычислять другие, недоступные или малодоступные.
Методы математической статистики позволяют предвидеть течение
и развитие логистических процессов. При помощи методов математической статистики решаются такие вопросы, как построение кривых распределения вероятностей и оценка степени согласия фактических характеристик с теоретическими, позволяют определять эмпирические зависимости,
оценивать тесноту связи между изучаемыми величинами.
В логистике наиболее часто применяется корреляционнорегрессионный анализ, с помощью которого выявляются качественные и
количественные влияния различных факторов на показатели логистической деятельности.
Этот анализ позволяет измерять тесноту связи между величинами и
строить теоретические зависимости влияния одной величины на другую,
т. е. уравнения регрессии. Вычисленное уравнение товарооборота на издержки есть не что иное, как уравнение регрессии.
Теснота связи при линейной зависимости измеряется коэффициентом корреляции r, а теснота связи при нелинейной зависимости измеряется корреляционным отношением h. Для нужд логистики целесообразно
48
использовать линейные зависимости и тесноту связи измерять с помощью
коэффициента корреляции. В данном случае подразумевается линеаризация зависимостей.
Коэффициент корреляции изменяется от 0 до 1, 0<r<1
Чем ближе значение показателей тесноты связей к единице, тем
сильнее влияние одной величины на другую, а стремление к нулю указывает на ослабление тесноты связи.
Применительно к логистике используется шкала тесноты связи
(табл. 4.1)
Таблица 4.1
Шкала тесноты связи
Значения r, h
0,9 – 1
0,75 – 0,9
0,5 – 0,75
0,3 – 0,5
Менее 0,3
Характеристика степени тесноты связи
Очень сильная зависимость
Сильная зависимость
Средняя по тесноте зависимость
Слабая зависимость
Очень слабая зависимость
Представленная шкала измерения тесноты связи иллюстрируется
графиком (рис. 4.1).
0,5  r  0,75
0,75  r  1
у
0  r  0 ,5
у
у
х
х
а) сильная
зависимость
б) средняя
зависимость
х
в) слабая
зависимость
Рис. 4.1. Графики, иллюстрирующие тесноту связи
между зависимыми случайными величинами
Коэффициент корреляции определяется по следующей формуле:
 ( x  xi )( y  yi )
r
,
 ( x  xi ) 2  ( y  yi ) 2
где х и у – средние значения исследуемых величин.
Расчет коэффициента корреляции предлагается вести в табличной
форме (табл. 4.2).
49
Таблица 4.2
Расчет коэффициента корреляции
Исх. данные
Х
У
х1
у1
х2
у2
…
…
хi
уi
…
…
хn
уn
Σхi
Σуi
х  хi
y  yi
( х  хi )( y  yi )
( х  хi ) 2
( y  yi ) 2
...
...
...
...
...
…
…
…
…
…
0
0
( х  хi )( y  yi )
 ( х  хi ) 2
 ( y  yi ) 2
Другой составляющей корреляционно-регрессионного анализа является определение уравнения, связывающего исследуемые величины, т. е.
установление вида уравнения регрессии. С этой целью в математической
статистике используется метод «наименьших квадратов». Согласно этому
методу, сумма квадратов отклонений фактических данных от теоретических значений соответствующих величин, полученных по уравнению регрессии, должна быть наименьшей.
Сущность метода «наименьших квадратов» иллюстрируется графиком (рис. 4.2).
у
уi
Δi
~у
i
~у
2
у1
Δ2
у2
Δ1
~у
1
х
Рис. 4.2. График метода «наименьших квадратов»
y
На графике фактическое значение величины обозначено i , а теоре~
тическое значение, полученное из уравнения регрессии - yi . Отсюда раз-
~


(
y

yi ) . Уравнение регрессии должно удовлеi
ность отклонений
творять условию:
    ( y  ~y )
2
i
i
2
 min .
50
Для использования метода «наименьших квадратов» решаются системы нормальных уравнений.
Для линейной зависимости у = а0 + ах система нормальных уравнений имеет вид:
a0 n  a1  x   y
a 0  x  a1  x 2   xy
y
Для обратной зависимости
уравнений:
nb  a 
b
,
a
b
x
решается следующая система
n
  yn
x
n
n
 a 2
x
x
,
При вычислении параметров уравнения регрессии исходными данными являются попарно упорядоченные фактические значения исследуемых величин х и у. В нормальных уравнениях неизвестными являются параметры ао и а1.
Пример: Имеются данные о товарообороте торгового предприятия
за определенный период в млн руб. и соответствующих издержках обращения (табл. 4.3).
Таблица 4.3
Товарооборот, млн руб.
Издержки, %%
х
У
1
10
3
5
5
7
8
3
12
1
Подготовка данных для составления системы нормальных уравнений
ведется в табличной форме (табл. 4.4).
Таблица 4.4
Х
1
3
5
8
12
29
у
10
5
7
3
1
26
х2
1
9
25
64
144
243
ху
10
15
35
24
12
96
51
По итогам табл. 4.4 составляется система нормальных уравнений:
5ао +29а1 = 26
29ао +243а1 = 96.
Решение данной системы дает результат:
ао = 7,5
а1 = - 0,4,
отсюда получаем зависимость уровня издержек (у) от величины товарооборота (х):
у = 7,5 – 0,4х.
В корреляционно-регрессионном анализе уравнение регрессии целесообразно вычислять через коэффициент корреляции. Получаемое таким
образом уравнение регрессии идентично уравнению, параметры которого
определяются по методу «наименьших квадратов» с помощью нормальных уравнений.
Уравнение регрессии для величин, связанных прямой линейной зависимостью, определяется по следующей формуле:

у  у  r y (x  x) ,
x
где σх и σу – соответственно среднеквадратические отклонения величин х и
у, т.е.
2
х 
 (х  х ) ,
i
n
2
y 
( y  y ) ,
i
n
где n – количество данных в исследуемом статистическом ряду.
y
br
 x – есть коэффициент регрессии.
Выражение
При положительном значении коэффициента корреляции (r > 0) с
увеличение одной величины х, увеличивается и зависимая от нее величина
у и, наоборот, при отрицательном значении r с увеличением величины х,
величина у уменьшается. Соответственно положительные и отрицательные коэффициенты могут принимать и коэффициенты регрессии.
В логистике корреляционно-регрессионному анализу подвергается
совокупность пар величин, например:
х – доля производственных услуг при поставках продукции,
у – общие издержки потребителя.
х – расходы на рекламу в процентах от общих издержек,
у – объем продаж (млн. руб./мес.).
х – товарный запас (тыс. руб.),
у – объем продаж (тыс. руб./день.).
52
х – надежность снабжения (поставок),
у – величина производственного запаса.
х – доля поставок точно в срок (% от объема поставок),
у – величина производственного запаса (млн руб.).
х – надежность снабжения (поставок), 0  R  1 ,
у – величина производственного запаса (млн руб.).
Возможны и другие варианты логистических величин для расчета
парной корреляции и регрессии.
В логистике также применяется многофакторный корреляционнорегрессионный анализ. Например:
Исходные данные:
у – издержки обращения;
х1 – среднее расстояние перемещения продукции, км;
х2 – уровень механизации перегрузочных и складских работ, %%;
х3 – доля складских поставок, %%;
х4 – объем производственных услуг, тыс. руб.
Фактические данные перечисленных величин представлены в табл. 4.5.
Таблица 4.5
№
1
2
3
4
5
6
7
8
у
25,5
27,2
30,1
38,6
41,0
43,3
45,0
50,5
х1
120
180
220
380
470
560
800
1000
х2
75
77
80
85
85
90
91
92
х3
50
42
38
32
25
22
20
18
х4
1,2
1,5
2,8
3,4
3,2
4,2
4,5
4,8
После соответствующих вычислений получаем уравнение множественной регрессии:
у= 0,0088х1 + 0,589х2 – 0,274х3 + 0,386х4-6,441
Корреляционно-регрессионный анализ требует большой вычислительной работы. Поэтому математико-статистические расчеты осуществляются
по специальным программам с помощью компьютерных технологий.
Результаты корреляционно-регрессионного анализа в логистике
служат действенным инструментом планирования и прогнозирования
производственно-коммерческой деятельности.
53
Упражнения для самоконтроля:
Выполнить корреляционно-регрессионный анализ по следующим данным:
1) х – расходы на рекламу в %% от общих издержек;
у – объем продаж, млн руб./мес.
х
у
10,0
21,2
2,5
10,2
7,3
18,7
12,0
24,5
14,0
27,8
8,5
16,0
1,5
12,5
1,2
10,8
5,0
14,3
7,0
17,3
8,3
22,5
15,0
28,0
2) х – товарный запас, тыс. руб.;
у – объем продаж, тыс. руб./день.
Х
У
420
12,3
385
10,7
225
5,7
310
6,2
280
6,0
303
8,2
3) х – надежность снабжения (поставок), 0  R  1 ,
у – величина производственного запаса, млн руб.
Х
У
0,72
5,4
0,64
4,8
0,82
2,4
0,55
6,6
0,52
7,8
0,60
5,7
4) х – грузооборот оптово-торговой базы (металлопродукция), тыс.т/год;
у – издержки обращения базы, руб./т.
Х
У
420
70
380
85
290
80
160
140
120
100
10,0
1,5
11,2
0,8
5) х – доля поставок «точно в срок», %%;
у – величина производственного запаса, млн руб.
Х
У
5,0
2,5
7,8
3,2
8,0
2,2
6) х – цена товара по данной ассортиментной группе, руб./ед.;
у – объем продаж, тыс. руб.
Х
У
45
640
50
610
60
450
70
430
75
230
80
250
7) х – цена данного товара, руб.;
у – скорость реализации, дни.
Х
У
120
25
135
28
140
36
145
42
150
48
5,2
63
7,5
85
8) х – стаж работы продавца (менеджера), лет;
у – объем продаж, тыс. руб./день.
Х
У
2
36
2,5
34
3,2
42
9) х – трансакционные издержки товаропроизводителей, млн. руб./год;
у – общие издержки производства, млн руб.
Х
У
6,0
292,8
7,1
275,2
12,1
246,8
15,3
220,3
16,2
215,6
18,0
220,4
18,8
204,3
54
Глава 5. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ ТЕОРИИ
МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ В ЛОГИСТИКЕ
Теория массового обслуживания – это раздел математики, изучающий системы, предназначенные для обслуживания массового потока требований (заявок) случайного характера. Все логистические системы функционируют как системы массового обслуживания.
Одним из определений логистической системы является следующее:
логистическая система – это субъект интегрированного рынка, через который проходят экономические потоки, а также предприятия, обеспечивающие прохождение этого потока. В общем виде в состав экономического
потока входят следующие потоки:
 материальные (товарные);
 финансовые;
 информационный.
В логистике теория массового обслуживания, как правило, исследует
и определяет количественные параметры материального потока. Таким
образом, логистическая система, а также система массового обслуживания, имеет «вход» и «выход», а также обладает внутренним состоянием.
Система имеет в своем составе аппараты или каналы обслуживания.
Основополагающее значение в теории массового обслуживания имеют
понятия потока. В логистике в основном рассматривается простейший
или пуассоновский поток заявок. Этот поток обладает следующими признаками:
1. Стационарность – вероятность появления того или иного числа заявок
на отрезке времени t зависит только от длины этого отрезка и не зависит
от того, где именно располагается этот участок на оси времени;
2. Ординарность – в каждый момент времени в систему приходит только
одна заявка;
3. Отсутствие последействия – все заявки приходят в систему независимо
друг от друга.
Рассматриваемый поток называют «пуассоновским», так как количество заявок m, приходящееся на отрезок времени t, распределено по закону Пуассона:
(t ) m t
Рт (t ) 
e ,
m!
где λ – плотность потока заявок, т. е. количество заявок в единицу времени.
Общая схема системы массового обслуживания представлена на
рис. 5.1.
55
Система массового обслуживания
λ
μ
Каналы обслуживания
1
2
…
k
…
n
Рис. 5.1. Схема системы массового обслуживания
Обозначения на схеме (рис. 5.1.):
λ – плотность входного потока (количество заявок в единицу времени), т. е.

N
,
T
где Ν – количество заявок, пришедшее в систему за время Т;
μ – плотность выходного потока, т. е.
1
 ,
t
где t – среднее время обслуживания одной заявки.
Плотность выходного потока μ есть величина, обратная среднему
времени обслуживания одной заявки. Плотность входного потока - величина постоянная λ = const. Постоянство плотности входного потока выражает стационарный характер простейшего потока системы массового обслуживания.
Внутреннее состояние систем – это вероятности того, что занято то
или иное количество каналов обслуживания. Состояние системы обслуживания с отказами описывается формулой Эрланга следующего вида:
Рк 
1 
 
к!   
2
к
 1
1  
1      ...   
 2!   
п!   
п
,
где Рк – вероятности состояния системы ( 0  к  п ), т.е.
Р0 – вероятность того, что все каналы обслуживания свободны;
Р1 – вероятность того, что занят 1 канал обслуживания;
Р2 – вероятность того, что занято 2 канала обслуживания;
……………………………………………………….
Рк – вероятность того, что занято k каналов обслуживания;
………………………………………………………..
Рn – вероятность того, что заняты все n каналов обслуживания или вероятность отказа в обслуживании.
56
При использовании моделей и методов теории массового обслуживания необходимо установить:
 в чем заключается физическое содержание заявки,
 что является аппаратом обслуживания;
 в чем заключается функционирование всей системы массового обслуживания.
Далее исследуется характер потока заявок, определяются его основополагающие параметры. Одним из объектов исследования логистических систем является изучение условий образования очередей на обслуживания.
Очереди образуются из-за недостаточного количества обслуживающих каналов, высокой интенсивности потока заявок, медленного обслуживания заявок. Все эти причины могут действовать отдельно или все
вместе. Таким образом, размер и вероятность образования очереди определяют два параметра:
1) n – количество каналов обслуживания;


 – приведенная плотность потока заявок.
2)
Если поток заявок будет простейший, а заявки не уходят из очереди
до тех пор, пока не будут обслужены, то при:
1)

n

– каждая заявка рано или поздно дождется обслуживания;

n

–
2)
число заявок, стоящих в очереди, будет со временем неограниченно возрастать.
Из этого следует, что в практической логистической деятельности
при управлении материальным потоком отслеживается соотношение
входного и выходного потоков с ориентацией на количество аппаратов
обслуживания. При
шимся.

n

процесс обслуживания становится установив-
Пример 5.1: Отгрузка производится с 4 погрузочных площадок.
Груз со склада выдается с 8 до 20 часов ежедневно. В день обслуживается
24 автомашины, среднее время обслуживание – погрузки 30 минут. Определить характеристики обслуживания.
В рассматриваемой задаче:
 Склад – система массового обслуживания, она же логистическая система;
 Канал обслуживания – погрузочная площадка, оборудованная соответствующей механизацией;
57
 Поток заявок – машины, прибывающие на склад за грузом;
 Обслуживание – погрузка автомашины.
Поток заявок принимается простейшим (пуассоновским), тогда:

24
2
12
– автомашины/час;
1
2
0,5
– машины за час;
 2
 1
 2
.

1. Определяются вероятности того, что в течение одного часа на
склад прибудут 0, 1, 2, 3, … и т. д. автомашин.
Исходные данные: λ = 2,
t = 1,
m = 0, 1, 2, 3, 4…
Результаты расчета по формуле Пуассона представлены в табл. 5.1.
Таблица 5.1
Количество
автомашин
0
1
2
3
4
5
6
7
(заявок)
Вероятности 0,135 0,270 0,270 0,132 0,092 0,036 0,012 0,007
Как показывают данные табл. 5.1, наиболее вероятен приход на
склад 1 и 2 заявок в течение одного часа, высока вероятность прихода 3
заявок, а вероятность прибытия на склад в течение одного часа 4 и более
автомашин весьма низка; довольно часто вообще отсутствие заявок в течение одного часа.
2. По формуле Эрланга определяются вероятности состояния системы, т. е. склада. Результаты расчета представлены в табл. 5.2.
Таблица 5.2
Количество
площадок
Вероятности
состояния
0
1
2
3
4
0,369
0,369
0,184
0,062
0,016
Как показывают данные табл. 5.2, вероятность того, что все площадки свободны, является относительно высокой – 37 %, такую же вероятность имеет занятость одной площадки, вероятность занятости двух площадок – 18%, вероятность занятости трех площадок относительно не велика – 6 % и, примерно, 1% – вероятность образования очереди.
58
В том случае, если бы машины приходили бы на склад одна за другой по расписанию в виде детерминированного потока, то для их обслуживания понадобилась только одна площадка.
Однако в реальности поток автомашин является случайным (стохастическим), данное обстоятельство заставляет иметь дополнительные площадки или обладать резервом пропускной способности. Отсюда и возникает необходимость определения оптимального количества каналов обслуживания.
Для решения этой задачи сопоставляются затраты на содержание резервных каналов обслуживания (они будут расти) и убытков от отказа в
обслуживании (они будут уменьшаться).
Аналогичным образом определяются размеры складской площади. В
этом случае системой массового обслуживания будет склад. Обслуживание заключается в хранении поступающих товаров, каналом обслуживания будет складская площадь.
Аналогичным образом рассчитываются затраты на содержание дополнительной складской площади или убытки от сокращения отказов в
приеме товаров на хранение. В данном случае интенсивность потока заявок – это среднее количество товаров, поступающее на хранение.
Интенсивность выходного потока – есть величина обратная среднему времени хранения.
Пример 5.2: Определить полезную площадь склада при следующих
исходных данных:
 грузооборот склада - Q = 150 тыс. т;
 период поступления продукции - Т = 365 суток;
 средний вес одной партии - d = 455 т;
 средний срок хранения - tхр = 10 суток;
 нагрузка на 1 м2 склада - q = 1 т/м2;
 стоимость содержания 1 м2 - S1 = 10 руб./м2
 потери от отказа в приеме груза на склад - S2 = 500 руб./сутки
Решение:
Под заявкой понимается груз, поступающий на склад, обслуживание заключается в хранении груза на складе, аппарат обслуживания – складская
ячейка. Поток заявок – простейший, тогда:
Q
150000

 0,9
T  d 455 365
партий в сутки,
1
   0,1 ;
t xp
площадь ячейки – 455 м2.

59
Если обслуживание склада и движение через него материальных ресурсов происходило бы строго регулярно, т. е. детерминированно, то полезная площадь склада может быть определена по формуле:
Q
,
qo
F
где Q – грузооборот склада за год, тыс. т,
q – допустимая нагрузка на склад, т/м2,
о – количество оборотов склада за год, которое равно:
365
,
t xp
о
где tхр – срок хранения груза на складе.
Отсюда следует:
F
Q  t xp
q  365 , или
F
150000  10
 4110
365
м 2,
что соответствует 9 ячейкам.
Однако на практике материальные ресурсы поступают на склад случайным образом, а поэтому необходимо иметь резерв складской площади.
По формуле Эрланга рассчитывается вероятность отказа в приеме груза на
склад при различном числе ячеек, начиная с n = 10 (табл. 5.3).
Таблица 5.3
Число ячеек, n
Вероятность отказа, Pn
Полезная площадь, м2
10
0,179
4550
11
0,140
5005
12
0,078
5460
13
0,042
5915
14
0,030
6370
Результаты расчетов показывают, что с увеличением складской
площади вероятности отказа в приеме груза будут уменьшаться. Однако
увеличение складской площади требует дополнительных затрат. Поэтому
обоснованный вывод о размере складской площади будет сделан на основании сопоставления расходов на содержание склада и потерь, вызываемых отказом в приеме груза.
Оптимальный размер складской площади определяется из выражения:
F резерв  S1  365 Pn  S 2  min
Расчет оптимального размера полезной складской площади приведен
в табл. 5.4.
60
Таблица 5.4
Число Полезн. Резерв Расходы Вероятн. Кол. Потери Суммарные
ячеек,
скл.
скл. на резерв отказа, суток
от
издержки
2
2
n
пл., м пл., м площади,
Рn
в году отказа,
руб./год
руб./год
отказа руб./год
10
4550
455
4550
0,179
65,5
32750
37300
11
5005
910
9100
0,140
51
25500
34600
12
5460
1365
13650
0,078
27,5
13750
27400
13
5915
1820
18200
0,042
15,5
7750
25950
14
6370
2275
22750
0,030
11
5500
28250
Согласно данным табл. 5.4, при n = 13 полезная складская площадь в
5915 м2 является оптимальной, в этом случае суммарные издержки на содержание резервной складской площади и от убытков в приеме груза будут минимальными.
Вероятности состояния систем обслуживания с очередями определяются следующей формулой:
к
1 
 
к!   
Рк 
,
А
(1)
где к изменяется от 0 до n, при к = 0 получаем вероятность того, что все
аппараты обслуживания свободны, а при к = n – вероятность того, что все
аппараты обслуживания заняты.
Вероятность застать все аппараты обслуживания занятыми и S заявок, стоящих в очереди равны:
Рs  n 
1
n! ns

  

A
n s
,
(2)
Среднее число заявок в свою очередь, определяется формулой:
S

 

n 1
  1    2
: nn! 1   
  n   
,
A
(3)
В формулах (1), (2) и (3) через А обозначено следующее выражение:
п 1
n
1 
А    
к 0 к!  
к

 

  


п! п  


61
Пример 5.3: В магазине обслуживание покупателей осуществляют
два продавца. Магазин работает с 10 ч. до 19 ч. с часовым обеденным перерывом. В среднем за день магазин посещают 120 человек, среднее время обслуживания одного покупателя 5 минут. Необходимо определить характеристики обслуживания.
Решение:
Поток заявок – простейший, его плотность

120
 0,25 ,
480

1
 0,20 ,
5

 1,25 n  2 .

По формулам (1) и (2) рассчитываются вероятности состояния системы (магазина), результаты расчета приведены в табл. 5.5.
Таблица 5.5
Продавцы Продавцы заняты
свободны,
к=1
к=2
к=0
Вероятности
0,233
0,293
0,182
Состояния
системы
Наличие очереди, чел.
S=1
S=2
S=3
0,114
0,073
0,044
На основании полученных данных определяется вероятность наличия очереди:
Р = 1 – (Р0 + Р1+ Р2) или Р = 1 – (0,233 + 0,293 + 0,182) = 0,292.
Пор формуле (3) определяется средняя длина очереди:
S = 0,7 чел.
Таким образом, в рассматриваемом примере вероятность образования очереди сравнительно высока, однако если покупатель и застает очередь, то в среднем не более одного человека.
Методы теории массового обслуживания применяются в некоторых
задачах управления запасами. С точки зрения теории массового обслуживания запас – это «очередь» товаров, ожидающих «обслуживание», т. е.
спрос со стороны потребителей. Если товары поступают на склад и уходят
со склада по пуассоновскому закону с плотностями соответственно λ и μ,
то вероятность наличия на складе n единиц товара - Рn, а вероятность отсутствия товара – Pо определяются соответственно следующими формулами:

Рп   

п
 
1   ,
 
Ро  1 

.

Затраты на содержание аппаратов обслуживания, так же как и величина убытков от отказов в обслуживании, определяются методом прямой
калькуляции для данной системы обслуживания или для данной логистической системы.
62
Упражнения для самоконтроля:
1. Продовольственный магазин самообслуживания имеет два расчетнокассовых узла, в которые в течение одного часа приходят в среднем 30
покупателей, время обслуживания – 2 минуты.
Определить:
- вероятность образования очереди покупателей в расчетно-кассовые
узлы;
- вероятность застать расчетно-кассовые узлы свободными.
2. На базу в течение 12 часов приходят под погрузку товаров 24 автомашины. Обслуживание автомашин осуществляется с 4 погрузочных площадок, время погрузки – 30 мин. Содержание одной погрузочной площадки –
25 тыс. руб./год, убытки от отказов в обслуживании автомашины – 5 тыс.
руб. в сутки.
Определить:
- вероятности занятости 0, 1, 2, 3 и 4 погрузочных площадок;
- количество погрузочных площадок при детерминированном потоке автомашин;
- оптимальное количество погрузочных площадок при стохастическом потоке автомашин
3. Имеется склад с годовым грузооборотом 182,5 тыс. тонн, период прохождения груза – 365 суток. Средний срок хранения – 5 суток. Груз поступает партиями в 250 тонн и в этом количестве хранится в соответствующих секциях, нагрузка на склад – 1 т/м2. Эксплуатационные расходы
по содержанию складской площади – 10 руб./м2 – год; убытки от отказа
склада в приемке груза на хранение – 200 руб./сут.
Определить оптимальную величину складской площади при стохастическом потоке грузов, поступающих на склад.
63
Глава 6. МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
В ЛОГИСТИКЕ
В логистике имеется ряд ситуаций, которые описываются моделями
линейного программирования. Эти ситуации формулируются в виде задач.
К таким задачам в логистике относятся:
 транспортная задача;
 задача на раскрой материалов;
 задача размещения баз снабжения;
 задача по оптимизации ассортиментной загрузки производства.
6.1. Транспортная задача
Наиболее распространенной является транспортная задача линейного программирования. Эта задача формируется следующим образом:
товары, сосредоточенные в m пунктах отправления в количествах а1,
а2, …, аm, необходимо доставить в каждый из n пунктов назначения в количествах b1, b2, …, bn. Стоимость перевозки товара из i пункта отправления в j пункт назначения равна сij. Следует определить оптимальный план
развозки, т. е. найти хij для этого оптимального плана.
В общем виде модель линейного программирования состоит из целевой функции и ограничений (условий). Для транспортной задачи целевая функция имеет следующий вид:
m
n
L   Cij X ij  min .
i 1 j 1
Целевая функция предусматривает минимизацию перевозки всех товаров из пункта i в пункт j.
Ограничения:
n
m
x
i 1
ij
 bi ,
x
ij
 ai ,
xij  0 .
j 1
Ограничения показывают, что все имеющиеся товары, сосредоточенные во всех i-х пунктах отправления, должны быть полностью доставлены в требуемых количествах в пункты потребления j.
Сущность транспортной задачи иллюстрируется следующим примером (числа условные):
Имеются следующие количества товаров, находящихся в трех пунктах отправления: а1 = 6, а2 = 8, а3 = 10, потребность в этих товарах в следующих четырех пунктах назначения b1 = 4, b2 = 6, b3 = 8, b4 = 6.
Стоимость перевозок из пункта i в пункт j единицы товара представлена в табл. 6.1.
64
Таблица 6.1
j
I
1
2
3
1
2
3
4
4
4
1
2
3
2
3
2
2
4
1
1
Для решения транспортной задачи предварительно составляется исходный план перевозки по правилу «Северо-западного угла» (табл. 6.2).
Таблица 6.2.
j
I
1
2
3
Итого
1
2
4
2
4
4
6
3
4
4
8
4
Итого
6
6
6
8
10
24
Далее определяется стоимость перевозки по исходному плану:
4 · 4 = 16;
2 · 2 = 4;
4 · 3 = 12;
4 · 2 = 8;
4 · 2 = 8;
6 · 1 = 6.
Итого: 54.
Исходный план с помощью специальных алгоритмов улучшается до
оптимального, т. е. когда стоимость перевозки будет минимальна. С этой
целью используются такие алгоритмы, как симплекс-метод, метод потенциалов и др.
Используя указанные алгоритмы, получаем оптимальный план развозки продукции (табл. 6.3).
Таблица 6.3
j
I
1
2
3
Итого
1
2
3
4
6
4
4
6
2
6
8
6
6
Итого
6
8
10
24
65
Определяется стоимость перевозки по оптимальному плану:
4 · 1 = 4;
6 · 2 = 12;
2 · 2 = 4;
6 · 1 = 6;
6 · 2 = 12.
Итого: 38.
Алгоритмы решения задач линейного программирования предусматривают перебор возможных вариантов, ориентируясь на целевую функцию и ограничения. Стоимость перевозки по оптимальному варианту – 38
стоимостных единиц, экономия составила 16 стоимостных единиц или
29,6%.
В реальных условиях транспортная задача линейного программирования применяется в сетевой торговле при развозке товаров с распределительных центров каждому магазину сети, в соответствии с потребностями
каждого магазина.
В условиях рыночной экономики, когда действует рынок транспортных услуг, грузоотправители выбирают себе подходящего перевозчика согласно своим критериям оптимальности по Парето и независимо друг от
друга. Однако за определенный период времени (например, за год) суммарный объем транспортной работы для совокупности грузоотправителей
и грузополучателей установится на оптимальном уровне согласно модели
транспортной задачи линейного программирования
6.2. Раскройная задача линейного программирования
При раскрое материалов образуется два вида отходов:
1) концевые отходы, обусловленные некратностью исходного материала
и нарезаемых заготовок;
2) отходы, обусловленные требованиями комплектности.
Целевая функция:
n
L   C j x j  min .
j 1
Целевая функция предусматривает минимум отходов, при соблюдении требований комплектности, отсюда
Ограничения:
n
К
j 1
ij
x j  a1 ,
66
где виды заготовок по размерам:
1, 2, …. j … n – варианты раскроя материала;
1, 2, …. i … m – виды заготовок;
аi – количество заготовок в комплекте;
кij – количество заготовок i вида в варианте раскроя j;
сj – концевые отходы в варианте раскроя j.
Требуется определить хj, количество исходного материала (прутков,
листов), раскраиваемых по каждому варианту, которое удовлетворяет требованию комплектности и обеспечивает минимум отходов.
Для решения задачи предварительно составляется таблица возможных вариантов раскроя, абстрагируясь на этом этапе от требований комплектности.
Пример: Требуется изготовить 100 комплектов заготовок длиной
1,5 м; 2,1 м; 2,9 м. Из прутков металлопроката длиной 7,4 м.
Простейший способ раскроя – изготовления из каждого прутка по
комплекту: 7,4 = 1,5 + 2,1 + 2,9 + 0,9, где 0,9 – концевые отходы.
Для решения данной задачи методом линейного программирования
предварительно составляется таблица возможных вариантов раскроя
(табл. 6.4).
Таблица 6.4.
Варианты раскроя
Заготовки
1,5
2,1
2,9
Отходы,
м
1
2
3
4
5
6
3
1
1
2
2
2
-
2
1
3
1
-
1
1
1
0
0,1
0,2
0,3
0,8
0,9
Количество
заготовок в
комплекте
100
100
100
Целевая функция: L = 0х1 + 0,1х2 + 0,2х3 … = min
Ограничения:
3х1 + 1х2 + 2х3 + 0х4 + 3х5 + 1х6 = 100
0х1 + 0х2 + 2х3 + 2х4 + 1х5 + 1х6 = 100
1х1 + 2х2 + 0х3 + 1х4 + 0х5 + 1х6 = 100
Для решения раскройной задачи используются либо общие методы
(общие алгоритмы), либо специальные алгоритмы решения раскройной
задачи. В настоящее время непосредственно решение задач линейного
программирования осуществляется с помощью компьютерных технологий. В результате решения данной задачи получаем:
67
х1 = 30, х2 = 10, х4 = 50.
Полученный результат означает, что по первому варианту следует
раскроить 30 исходных прутков, по второму – 10, по четвертому – 50.
Итого для данного раскроя требуется 90 исходных прутков.
Согласно полученным результатам имеем:
Заготовки
1,5
2,1
2,9
Отходы, м
х1
90
30
0
х2
10
20
1
х4
100
50
15
Итого
100
100
100
16
Таким образом, алгоритм решения задачи предусматривает перебор
возможных вариантов раскроя, ориентируясь на целевую функцию и требования комплектности.
При простом раскрое необходимо иметь 100 исходных прутков при
этом отходы составят 90 метров, т. е. 13,8%. При оптимальном раскрое
потребуется 90 исходных прутков, а отходы составят 16 метров, т. е. 2,5%.
В некоторых случаях, например при массовом производстве комплектность задается в виде соотношения по каждому виду заготовок. Например, в данной задаче имеет место отношение 1 : 1 : 1.
6.3. Размещение баз оптово-торговых предприятий
Рассматриваемая модель предусматривает минимизацию суммарных
затрат на доставку продукции от проектируемых баз снабжения до существующих предприятий-потребителей и затрат на эксплуатацию указанных баз.
Целевая функция:
m
n
m
L   Cij xij   f ( xi )  min .
i 1 j 1
i 1
Ограничения:
m
x
i 1
m
ij
 bj ,
x
ij
 xi ,
i 1
где 1, 2, …. i … m – возможные пункты размещения баз;
1, 2, …. j … n – существующие пункты расположения потребителей;
Сij – стоимость перевозки единицы продукции от i-й базы до j-го потребителя;
bj – годовой объем потребления j-го потребителя;
хij – объем поставок с i-ой базы j-му потребителю;
f(х) – затраты на эксплуатацию базы как функция от мощности базы хi.
68
Упражнения для самоконтроля:
1. Дано:
- ресурсы поставщиков, ед.: 120
110
70
Итого: 300 ед.
- потребности потребителей, ед.: 50
60
90
100
Итого: 300 ед.
- стоимость перевозки единицы груза из пункта i в пункт j (Сij):
J
I
1
2
3
1
2
3
4
2
1
4
2
2
6
4
4
7
6
5
10
Определить оптимальный план перевозки грузов.
2. Дано:
- ресурсы поставщиков, ед.: 300
300
400
Итого: 1000 ед.
- потребности потребителей, ед.: 50
150
500
300
Итого: 1000 ед.
- стоимость перевозки единицы груза из пункта i в пункт j (Сij):
J
I
1
2
3
1
2
3
4
8
5
2
6
4
4
4
8
4
4
6
8
Определить оптимальный план перевозки грузов.
69
3. Дано:
- ресурсы поставщиков, ед.: 1200
800
2000
Итого: 4000 ед.
- потребности потребителей, ед.: 320
280
600
1300
1000
500
Итого: 4000 ед.
- стоимость перевозки единицы груза из пункта i в пункт j (Сij):
j
I
1
2
3
1
2
3
4
5
6
4
6
4
12
8
2
10
12
2
3
12
8
6
4
14
8
10
16
Определить оптимальный план перевозки грузов.
4. Дано:
- ресурсы поставщиков, ед.: 1300
700
1000
Итого: 3000 ед.
- потребности потребителей, ед.: 300
400
800
500
300
700
Итого: 3000 ед.
- стоимость перевозки единицы груза из пункта i в пункт j (Сij):
J
I
1
2
3
1
2
3
4
5
6
2
4
6
4
5
6
4
5
6
6
6
10
8
4
10
10
4
12
Определить оптимальный план перевозки грузов.
70
В следующих упражнениях (5-8) требуется выполнить раскрой исходного материала на заготовки (по длинам) в указанном количестве –
комплектности.
5. Дано:
- длина исходного материала: 4,5 м;
- заготовки и комплектность: 0,8 м – 200 шт., 1,2 м – 200 шт., 1,8 м – 300 шт.,
Определить оптимальный план раскроя исходного материала.
6. Дано:
- длина исходного материала: 3,4 м;
- заготовки и комплектность: 0,8 м – 200 шт.,
1,5 м – 200 шт.,
1,8 м – 300 шт.,
Определить оптимальный план раскроя исходного материала.
7. Дано:
- длина исходного материала: 130 см;
- заготовки и комплектность: 40 см – 400 шт.,
50 см – 200 шт.,
70 см – 100 шт.,
Определить оптимальный план раскроя исходного материала.
8. Дано:
- длина исходного материала: 130 см;
- заготовки и комплектность: 40 см – 100 шт.,
50 см – 200 шт.,
70 см – 300 шт.,
Определить оптимальный план раскроя исходного материала.
Глава 7. МЕТОДЫ И МОДЕЛИ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ
В ЛОГИСТИКЕ
Важное место в номенклатуре материальных ресурсов занимают запасные части, а также материалы для ремонтно-эксплуатационных нужд.
Значение запасных частей в обеспечении ритмичной и эффективной работы оборудования всех отраслей хозяйства общеизвестно. Отсюда следует,
насколько важна и ответственна работа по определению необходимого
количества запасных частей.
Наличие необходимого комплекта запасных частей – существенный
фактор надежности. В общем виде необходимое количество запасных частей определяется надежностью оборудования.
71
Хотя надежность относится к категории абстрактных качественных понятий, однако математика дает понятию надежности точный смысл. Надежность может быть объективно оценена, измерена и испытана. Всеми этими
вопросами занимается математическая дисциплина – теория надежности.
Надежность определяется как свойство системы (элемента), обусловленное главным образом её безотказностью и ремонтопригодностью и
обеспечивающее выполнение своих функций в установленном объеме.
За количественную меру надежности R(t) принимается вероятность
безотказной работы в течение времени t. Иными словами, зная плотность
распределения f(t) времени безотказной работы, имеем:

R(t )   f (t )dt .
t
Основные характеристики надежности:
- интенсивность отказов (по определению)
 (t ) 
f (t )
,
R(t )
- наработка на отказ – среднее время работы между двумя соседними отказами
t
T0   i .
n
Большое значение для практики имеет экспоненциальный закон надежности, для которого:
 t
f
(
t
)


e
1. Плотность распределения времени безотказной работы:
;

2. Интенсивность отказов:
 t
R
(
t
)

e
3. Надежность:
.
1
 сопst
То
;
График функции экспоненциального закона надежности представлен
на рис. 7.1.
R(t)
l
e  t
0
t
Рис. 7.1. График функции экспоненциального закона надежности
72
Пример 7.1. На участке цеха работают 15 однотипных станков. Согласно технико-экономическим условиям станок должен работать с надежностью не ниже 0,90. Наработка на отказ – 1000 часов. Годовая загрузка одного станка – 3000 часов.
Необходимая надежность поддерживается заменой деталей во время
профилактических осмотров. Определить годовую потребность в комплектах заменяемых деталей.
Решение:
Необходимое количество комплектов будет равно количеству профилактических осмотров (рис 7.2).
R(t)
1
0,9
0
tp
tp
tp
Рис. 7.2. График профилактических осмотров
Определяется периодичность профилактических работ исходя из
экспоненциального закона надежности:
tp 
ln R (t )
 100 часов.

ln R (t )   t p
,
,
Отсюда необходимое количество запасных деталей для одного станка:
n = 3000 : 100 = 30 комплектов,
для всего станочного парка:
N = 30 · 15 = 450 комплектов.
R (t )  e
 t p
Пример 7.2. Надежность оборудования обеспечивается постоянным
наличием запасных частей. Надежность работы деталей, определяющих
требуемое функционирование данного оборудования, – 0,8. Стоимость
одного комплекта запасных частей – 300 руб.; потери от отказа оборудования – 100 руб. в сутки (числа условные).
Определяется необходимое количество резервных комплектов деталей для оборудования.
73
Решение: Данная задача относится к числу так называемых задач с
«постоянным параллельным резервированием». Вероятность отказа такой
резервированной системы определяется формулой:
Q  qn ,
где q – вероятность отказа одного комплекта деталей, т. е. q = 1 – p,
n- количество комплектов в резерве.
Расчет приведен в табл. 7.1.
Таблица 7.1
Количество Стоимость ВероятВремя
Потери Суммарные
резервных резервных
ности
простоя
от
расходы
комплектов комплектов, отказа оборудования откаруб.
от отказов
зов,
в году, сутки
руб.
1
300
0,2
73
7300
7600
2
600
0,04
14,5
1450
2050
3
900
0,008
3
300
1200
4
1200
0,0016
0,5
150
1350
Как показывают данные табл. 7.1, необходимо иметь 3 комплекта запасных частей – при этом количестве суммарные расходы будут минимальны.
Решение задачи иллюстрируется графиком (рис. 7.3).
Тыс.
руб.
3
3
Рис. 7.3. Суммарные расходы
n
74
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Вопросы для самоконтроля:
Дайте определение надежности системы.
Как математически выражается надежность?
Что представляют собой интенсивность отказов и наработка на отказ?
Приведите характеристики экспоненциального закона надежности.
Приведите график экспоненциального закона надежности.
Как определяется периодичность профилактических работ при экспоненциальном законе надежности?
Как определяется потребность в запасных частях?
Упражнения для самоконтроля:
1. Дано:
- плановый период работы оборудования: 1500 ч,
- допустимая надежность работы оборудования: 0,75;
- наработка на отказ: 500 ч.
Требуемая надежность работы оборудования поддерживается с помощью профилактических работ.
Определить необходимое количество профилактик.
2. Дано:
- надежность работы детали: 0,9;
- убытки от отказа оборудования: 50 тыс. руб.
- стоимость детали: 20 тыс. руб.
- Определить оптимальное количество запасных частей (деталей).
75
Глава 8. ТЕОРИЯ ГРАФОВ В ЛОГИСТИКЕ
В настоящее время теория графов обладает достаточно развитым специфическим аппаратом. Методы теории графов находят широкое применение в экономике, в частности, в виде системы сетевого планирования и
управления. При помощи сетевого планирования и управления достигается рациональное использование материальных ресурсов, осуществляется
надежное и ритмичное материально-техническое обеспечение.
Основные понятия сетевого планирования и управления:
- сетевая модель – сетевой график – сеть – ориентированный граф,
моделирующий процесс,
- работа – некоторый однородный процесс,
действительные работы,
- Работы
фиктивные работы ( - - - - ),
ожидания,
- событие – конечный результат работы,
- путь – совокупность работ.
Параметры сетевого графика:
1. Ранний срок свершения события - tр (i).
2. Поздний срок свершения события - tn (i).
3. Резерв события - R(i).
4. Резерв работы - r (ij).
5. Длительность критического пути - Ткр.
Перечисленные параметры определяются следующими формулами:
- Ранний срок свершения (завершения) события:

t p ( j )  max t p (i)  t (ij )

.
- Поздний срок свершения (завершения)события:
i

t n (i )  min t ( i )  t (ij )
j

.
- Резерв события:
R ( i )  t n (i )  t p (i ) .
- Резерв работы полный:
rпл (ij)  tn ( j )  t (ij )  t p (i) .
76
- Резерв работы свободный:
rсв (ij )  t р ( j )  t (ij)  t p (i )
.
В общем виде события представляют собой вершины графа, работы –
дуги графа. На рис.8.1 представлен фрагмент сетевого графика с указанием основных параметров.
R
R
tn(i)
tp(i)
tp(j)
tn(j)
j
i
Рис. 8.1. Фрагмент сетевого графика
Пример 8.1. Определить ранние и поздние сроки событий, а также
критический путь. Вид сетевого графика и длительности работ представлены на рис. 8.2.
4
2
6
2
2
2
3
3
1
3
5
4
7
6
4
Рис. 8.2. Вид сетевого графика и длительности работ
Решение:
Определяются ранние и поздние сроки, а также критический путь:
tp(1) = 0;
tp(2) = tp(1) + t (1,2) = 0 + 2 =2;
tp(3) = tp(1) + t (1,3) = 0 + 3 =3;
tp(4) = tp(1) + t (1,4) = 0 + 4 =4;
t p (3)  t (3,5)  3  3  6
t p (5)  max 
t p (4)  t ( 4,5)  4  6  10
t p (2)  t (2,6)  2  4  6
t p (6)  max 
t p (3)  t (3,6)  3  2  5
2  4  2  8
t p (7)  max 3  3  1  7
4  6  1  11
tp(5)= 10;
tp(6) = 6;
tp(7) = 11;
77
tn(6) = tn(7) - t (6,7) = 11 - 2 =9;
tn(5) = tn(7) - t (5,7) = 11 - 1 =10;
tn(4) = tn(5) - t (4,5) = 10 - 6 =4;
t n (6)  t (3,6)  9  2  7
t п (3)  min 
t n (5)  t (3,5)  10  3  7
tn(3) = 7;
tn(2) = tn(6) - t (2,6) = 9 - 4 =5;
t n ( 2)  t (1,2)  5  2  3
t п (1)  min t n (3)  t (1,3)  7  3  4
t n ( 4)  t (1,4)  4  4  0
tn(1)=0
3
2
3
4
5
9
6
2
6
2
0
4
0
0
2
2
3
3
0
3
7
10
3
1
10
5
1
0
11
11
7
6
4
0
4
4
4
Рис. 8.3
Критический путь проходит через события 1, 4, 5, 7. Для событий
находящихся на критическом пути, ранние сроки равны поздним, а поэтому отсутствует резерв. Длительность критического пути определяет длительность всего процесса (рис. 8.3).
На основании рассчитанного сетевого графика составляется планграфик поставок – материальные ресурсы должны быть поставлены в период между ранними и поздними сроками данного события, т. е. к началу
следующей работы.
Пример 8.2. Составить сетевой график организации снабжения цехов предприятия материалами.
Решение:
Исходя из принятого порядка выдачи материалов цехам, разработан
следующий сетевой график:
78
7
6
9
3
1
2
4
10
5
11
12
15
14
8
13
Рис. 8.4
Перечень событий сетевого графика, представленного на рис. 8.4:
1. Получена производственная программа цеха.
2. Определение потребности цеха в материалах.
3. Разработка календарного плана-графика снабжения цеха.
4. Составление требований на материалы.
5. Передача требований на материалы в отдел снабжения.
6. Информация складу о необходимых материалах.
7. Проверка товароведческих характеристик требуемых материалов.
8. Определение остатков (запасов) требуемых материалов.
9. Подготовка истребованных материалов к выдачи цехам.
10. Оформление документов на отпуск материалов цехам.
11. Проверка материалов по количеству, качеству и комплектности.
12. Отгрузка (отпуск) материалов цехам.
13. Определение потребности в транспортных средствах.
14. Организация транспортировки материалов в цехи.
15. Получение материалов цехами.
Оценив длительность работ (время между событиями), можно рассчитать оптимальный график организации материально-технического
обеспечения. Сетевые графики просчитываются с помощью компьютерных технологий.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Вопросы для самоконтроля:
Что представляет собой сетевой график?
Охарактеризуйте структуру сетевой модели.
Перечислите параметры сетевого графика.
По каким формулам вычисляются параметры сетевого графика?
Составьте сетевую модель организации закупок материальных ресурсов для производственных нужд.
Составьте сетевую модель работы оптово-торговых предприятия.
Постройте сетевую модель организации поставок по системе «точно в
срок».
79
Глава 9. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В ЛОГИСТИКЕ
Гармонический анализ (ряды Фурье) является одним из разделов
классической высшей математики. Любая периодическая функция может
быть точно или приблизительно разложена в тригонометрический ряд:
f ( x)  ao  a1 sin x  a2 sin 2 x  ...  ai sin ix  ...  an sin nx  b1 cos x 
 b2 cos 2 x  ...  bi cos ix  ...  bn cos nx.
С помощью гармонического анализа изучается влияние сезонности
или иных факторов периодичности на величину спроса и потребления материальных ресурсов, что необходимо для прогнозирования конъюнктуры
рынка.
Изучаемая фактическая периодическая зависимость может быть
представлена в следующем виде:
 2 
 2 
 2 
 2 
у  а о  A1 sin 
t   A 2 sin 
t   ...  B1 cos 
t   B 2 cos 
t   ... ,
 T 
 T 
 T 
 T 
где Т – полный период;
i – номер гармоники, т. е. синусоиды или косинусоиды;
2
t
Т –
 360o

переменная в радианной мере или градусной мере  T

t 
;
Аi, Вi – коэффициенты гармоник.
Для получения значений ао, Аi, Вi используются следующие формулы:
Ai 
1 T
ао   y t ;
Т t 1
2 T
 2 
y sin

T
 T
t
t 1
it  ;

2 T
 2 
Bi   yt cos
it  .
T t 1
 T 
80
Пример.
Определить периодичность потребления электроэнергии на базе оптово-торгового предприятия. В табл. 9.1 приводятся фактические данные
удельного расхода электроэнергии.
Таблица 9.1
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Месяцы
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
Июль
Август
Сентябрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь
ИТОГО:
Удельный расход,
кВт.ч/т
15,5
14,3
15,2
14,6
11,2
8,4
8,0
8,2
8,7
14,0
14,5
15,0
147,6
Решение: Рассчитывается периодическая функция с четырьмя гармониками:
i = 1, 2, 3, 4.
t = 1, 2, 3, …10, 11, 12.
Т = 12.
уt – фактические данные об удельном расходе электроэнергии (на 1
тонну перегруженного груза на базе оптово-торгового предприятия),
кВт.ч/т. Определяется коэффициент:
ао 
147,6
 12,3 .
12
Следует отметить, что ао – есть средняя величина из исходных данных, т. е. в данном случае средний удельный расход электроэнергии. Расчет коэффициента А1 приведен в табл. 9.2. Аналогичным образом ведется
расчет коэффициентов А2, А3, А4, а также В1, В2, В3, В4.
i=1
T
1
2
Таблица 9.2
x
30
60
sin x
0,5
0,866
yt
15,5
14,3
уi·sin х
7,75
12,38
81
Продолжение табл. 9.2
T
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
sin x
1
0,866
0,5
0
-0,5
-0,866
-1
-0,866
-0,5
0
yt
15,2
14,6
11,2
8,4
8,0
8,2
8,7
14,0
14,5
15,0
Итого:
А1 
уi·sin х
15,20
12,64
5,60
0
-4,00
-7,10
-8,70
-12,12
-7,25
0
14,40
14  40
 2,40 .
6
В целом теоретическая периодичность удельного расхода электроэнергии выражается следующей функцией:
y  12,30  2,40 sin x  1,20 sin 2 x  0,38 sin 3 x  0,56 sin 4 x  3,12 cos x  0,20 cos 2 x 
 0,18 cos 3 x  0,48 cos 4 x.
В табл. 9.3 приведено сравнение фактических данных с расчетными.
Таблица 9.3
Месяца
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Фактические данные
15,50
14,30
15,20
14,60
11,20
8,40
8,00
8,20
8,70
14,00
14,50
15,00
Расчетные данные
15,41
14,57
14,80
14,86
11,11
8,32
8,36
7,66
9,24
13,47
14,88
14,92
Отклонения
0,09
0,27
0,40
0,26
0,09
0,08
0,36
0,54
1,04
0,53
0,38
0,08
Уровень соответствия фактических и расчетных данных, полученных с помощью гармонического анализа, оценивается методами математической статистики.
82
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Вопросы для самоконтроля:
Что представляет собой гармонический анализ, как раздел высшей
математики?
Что представляют собой ряды Фурье?
Охарактеризуйте структуру членов рядов Фурье?
По каким формулам вычисляются члены рядов Фурье?
Назовите величины коммерческой и логистической деятельности,
подверженные сезонным колебаниям?
Постройте график, иллюстрирующий периодические потоковые
процессы в логистике.
Составьте условный пример для конкретного периодического процесса в логистике.
83
Глава 10. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИГР
При решении практических задач, в том числе и в области управления материальными ресурсами, возникает необходимость анализировать и
принимать решения в ситуациях, где две или более сторон преследуют
противоположные цели, при этом результат каждого мероприятия одной
из сторон зависит от того, какой образ действий предпримет другая сторона. Такие ситуации называются «конфликтными ситуациями».
Необходимость исследовать и моделировать подобные ситуации вызвала к жизни специальный математический аппарат. Теория игр представляет собой математическую теорию конфликтных ситуаций. Цель
данной теории – разработка методов и – с их помощью – рекомендаций по
рациональному образу действий для каждой стороны в ходе конфликтной
ситуации.
Будем рассматривать парную игру, в которой участвуют две стороны
А и В с противоположными интересами. Под игрой понимаются мероприятия, состоящие из ряда действий сторон А и В. Чтобы игра могла
быть подвергнута математическому анализу, должны быть точно сформулированы правила игры, т. е. совокупность условий, регламентирующих
возможные варианты действий сторон, а также установлены объем информации о поведении другой стороны, последовательность чередования
«ходов», исход игры. В данном случае под «ходом» понимается отдельное
решение той и другой стороны, принимаемое в процессе игры.
Игра называется игрой с нулевой суммой, если одна сторона выигрывает то, что проигрывает другая, т. е. сумма выигрышей обеих сторон
равна нулю. В игре с нулевой суммой интересы сторон прямо противоположны.
В игре ходы делятся на личные и случайные. Личным ходом называется сознательный выбор стороной одного из возможных решений в данной ситуации. Случайным ходом называется выбор решения с помощью
того или иного механизма случайного выбора. В этом случае необходимо
знать распределение вероятностей для каждого хода.
Игры бывают с полной и неполной информацией. Большинство игр,
имеющих практическое значение, являются играми с неполной информацией, так как неизвестность действий другой стороны является существенным элементом конфликтных ситуаций.
Одним из основных понятий теории игр является понятие «стратегия». Стратегией называется совокупность правил, определяющих однозначный выбор решения в ответ на ход другой стороны. Различают чистые
стратегии, т. е. сторона придерживается одной стратегии, и смешанные
84
стратегии, т. е. сторона пользуется в той или иной комбинации несколькими стратегиями.
Конечной игрой называется игра, в которой у каждой стороны имеется конечное число стратегий. Конечная игра, в которой сторона А имеет
m стратегий, а сторона В – n стратегий, называется игрой m х n.
Рассмотрим игру m х n, где i – номер нашей стратегии, а j – номер
стратегии противоположной стороны. Необходимо определить для себя
оптимальную стратегию.
Сторона А имеет совокупность стратегий от Аi до Аm. Выбирая стратегию Аi, другая сторона ответит на неё стратегией Вi, для которой наш
выигрыш аij минимален. Таким образом, в i-й строке матрицы (табл. 10.1)
выделяется минимальное значение αi из представленных значений аij выигрыша, т. е.
 i  min aij ,
(1)
j
Выбирая какую-либо стратегию Аi, мы должны рассчитывать, что в
результате разумных действий другой стороны мы не выиграем больше,
чем αi. Действуя наиболее осторожно, т.е. избегая всякого риска, мы
должны остановиться на стратегии Аi, для которой число α является максимальным, т. е.
  max ai ,
i
или принимая во внимание формулу (1) получаем:
  max min aij .
i
j
Величина α называется нижней ценой игры, иначе – максиминным
выигрышем или максимином.
Таким образом, при максиминной стратегии – при любом поведении
другой стороны – нам гарантирован выигрыш не меньше α.
Аналогичное рассуждение проводится для другой стороны.
Для другой стороны получаем следующие зависимости:
 j  max aij ,
  min  j ,
j
i
или
  min max aij .
j
i
Величина β называется верхней ценой игры или минимаксом. Придерживаясь своей минимаксной стратегии, другая сторона в любом случае
проиграет сумму не более чем β.
85
Таблица 10.1
В
А
А1 а
… …
Аi
… …
Аm
βj
αi
В1
В2
…
Вj
…
Вn
а11
…
аi1
…
аm1
β1
а12
…
аi2
…
аm2
β2
…
…
…
…
…
…
а1j
…
аij
…
аmj
βj
…
…
…
…
…
…
а1n
…
аin
…
аmn
βn
α1
…
αi
…
αm
Возможны случаи, когда нижняя цена равна верхней, т. е.:
α = β.
Тогда в платежной матрице игры имеется элемент одновременно
минимальный в своей строке и максимальный в своем столбце – этот элемент называется седловой точкой.
Седловой точке соответствует пара минимаксных оптимальных
стратегий. В теории игр доказывается, что всякая игра с полной информацией имеет седловую точку.
Основная теорема теории игр: каждая конечная игра имеет, по крайней мере, одно решение (возможно, в области смешанных стратегий).
Выигрыш, полученный в результате решения есть цена игры:
    .
Таким образом, требуется найти решение игры, т.е. две оптимальные
стратегии для сторон А и В:
SA 
где
p
i
 1,
q
j
A1 A2 ...Am
p1 p 2 ... p m
SВ 
,
В1 В2 ...Вn
q1q2 ...qn
,
 1.
Математическая модель игры:
m
Целевая функция

i
 min .
i 1
n
m
Условия
n
 a   1,
ij

i 1
i

1
.
i 1 j 1
Следовательно, для решения рассмотренных классов игр используются методы линейного программирования.
86
Основные положения теории игр моделируют коммерческие переговоры между сторонами производственно-коммерческой деятельности, например между поставщиком-продавцом и потребителем-покупателем.
В такой ситуации имеют место следующие аналогии:
1) игра – ведение коммерческих переговоров на предмет заключения
коммерческой сделки- договора поставки;
2) игроки – сторона А и сторона В, соответственно, поставщик и потребитель;
3) ходы – решения и действия сторон, обусловленные правилами игры –
регламентом ведения коммерческих переговоров;
4) результат игры – достижение компромисса интересов – оптимального
решения (по Парето);
5) цель игры – юридическое оформление результатов игры – заключение
договора.
Коммерческие переговоры, как «игра с нулевой суммой» выражает
не только процесс достижения компромисса интересов, но и обеспечивает
взаимную выгоду сторон.
Вопросы для самоконтроля:
1. Что представляет собой теория игр?
2. Что понимается под «игрой» в теории игр?
3. Какая игра называется игрой с нулевой суммой?
4. Какие ходы могут быть в игре согласно теории игр?
5. На какие группы подразделяются игры с точки зрения наличия информации?
6. Какая игра называется конечной?
7. Что представляют собой максиминные и минимаксные стратегии?
8. Что представляет собой платежная матрица игры?
9. Что такое седловая точка в теории игр?
10. Сформулируйте основную теорему теории игр;
11. Какие процессы производственно-коммерческой деятельности моделируются с помощью положений теории игр?
12. Проведите аналогию между игрой и коммерческими переговорами.
87
Глава 11. СУЩНОСТЬ И ОСОБЕННОСТИ ОПТИМИЗАЦИИ
ПО ПАРЕТО
В современной экономике, в том числе в производственнокоммерческой деятельности, все явления, системы и процессы отражают
столкновение интересов субъектов рынка. Указанные субъекты выступают на рынке как продавцы и покупатели – отсюда следует главный конфликт экономики: продавцы стремятся продавать дороже, а покупатели
хотят купить дешевле – у каждого свой интерес.
Рыночный механизм саморегулирования и правовые управляющие
воздействия создают условия для согласования – компромисса интересов
участников рынка. Согласование интересов сторон представляет собой
наилучшее, а потому оптимальное решение конфликтной ситуации.
Таким образом, для решения конкретных задач примирения различных интересов применяется свой метод оптимизации, который, в отличии
от классического именуется оптимизацией по Парето – по имени итальянского ученого Вильфредо Парето (1848-1923).
В оптимизации по Парето присутствуют отмеченные необходимые и
достаточные условия оптимизации: задача, множество вариантов, критерии оптимальности, целевая функция, ограничения, алгоритм решения.
Однако все эти условия соответствуют интересам каждой стороны, а задача с ее моделью отражает конфликтную ситуацию.
Важно отметить, что в экономике модели оптимизации по Парето
носят вербальный характер с определенными численными параметрами,
при этом решение, несомненно, будет оптимальным, поскольку так или
иначе будет достигнут компромисс интересов, т. е. Парето-оптимум. Такой результат есть следствие действия критерия Парето, который гласит:
«Следует считать, что любое изменение, которое никому не причиняет
убытков и которое приносит некоторым людям пользу по их собственной
оценке, является улучшением».
Критерий Парето выражает одно из фундаментальных понятий экономики – субъективную полезность. В свою очередь критерий Парето
включает совокупность оценок, вследствие чего оптимизация по Парето
является многокритериальной.
В оптимизации по Парето интересы сторон выражаются в виде действий в конкретной ситуации, например, в акте купли-продажи, при заключении сделок и т. п. Данную цель вполне правомерно интерпретировать как
целевую функцию. В данном случае цель и целевая функция становятся
равнозначными и, как правило, формулируются вербальным образом.
Ограничения характеризуют реальные возможности каждой стороны
в данной ситуации и выражаются конкретными величинами, например,
имеющейся суммой денежных средств, производственной мощностью,
торговой площадью, временем и т. п.
88
Схема оптимизации по Парето приведена на рис. 11.1.
Рынок
Производственно-коммерческая деятельность
Продавца
Покупателя
Интересы
Интересы
Столкновение интересов:
конфликтная ситуация
Задача
Варианты: поле
решения
Критерии Парето
Целевая
функция
Целевая
функция
Ограничения
Ограничения
Модель
Алгоритм
Решение: компромисс интересов
Парето-оптимум
Рис. 11.1. Схема оптимизации по Парето
Цели, в основе которых – интересы и ограничения, отражают реальную конфликтную ситуацию, а потому представляют модель ситуации.
Как и в общем случае, модель определяет алгоритм решения задачи –
конфликтной ситуации. В данном случае алгоритм представляет собой
правила разрешения конфликтной ситуации. Так, в качестве такого алго-
89
ритма, выступают правила торговли, правила биржевых торгов, правила
ведения деловых переговоров и т. п. Получаемое решение есть компромисс интересов при полном согласии сторон, а потому является оптимальным по Парето.
Поскольку компромисс означает взаимные уступки, то не исключено, что в оптимальном варианте стороны могут испытывать неудовлетворенность, но при этом они должны осознавать, что лучшего варианта быть
не может.
Оптимизация по Парето означает улучшение одних показателей при
условии, чтобы другие не ухудшались, а также таких, когда план развития
экономической системы должен учитывать интересы составляющих ее
подсистем (групп экономических объектов) (рис 11.2).
Удовлетворение
потребностей
группы Y
Z
E
YE
B
C
A
XE
D
Удовлетворение потребностей группы X
Рис. 11.2. Исходное состояние экономической системы,
как объекта оптимизации по Парето
Согласно рис. 11.2 точка А – исходное состояние экономической
системы, состоящее из двух подсистем Х и Y (группы). Это состояние
улучшают только те решения, которые находятся в области Z (точка С) и
на ее границах В, А, D.
Решение Е не удовлетворяет требованию оптимума Парето: потребности группы Y увеличены за счет снижения уровня удовлетворения потребностей группы Х (благосостояние группы Y достигнуто за счет снижения удовлетворения потребности группы Х), т.е. YЕ > ХЕ.
Если х1 и у1 соответственно отображают максимальные значения целевых функций подсистем Х и Y при независимом друг от друга функционировании, то участок FF1 множества Парето (недостигаемый для каждого из них в отдельности) требует их совместной деятельности. Этот
участок есть ядро экономической системы (рис.11.3).
90
Y
Р
F1
В
G
F
у1
A
D
Р1
х1
Х
Рис. 11.3. Множество по Парето, ядро экономической системы
и оптимумы по Парето
Чем более тесно взаимосвязаны подсистемы Х и Y, тем меньше различия между множеством Парето (оптимумы Парето) и ядром системы, т. е.:
F  F1
или
 F1  G

F  G
Выбор единственного наилучшего плана (решения) – точка G – есть
результат согласованности интересов Х и Y, т. е. F = G = F1.
Таким образом, оптимумов по Парето может быть много, но существенно меньше вариантов развития системы – поля решений и еще меньше
в ядре экономической системы, что позволяет сужать выбор вариантов,
подлежащих рассмотрению в процессе оптимизации.
Введем обозначения:
V – количество вариантов развития экономической системы – поле решения;
М – количество оптимумов по Парето, всего;
N – количество оптимумов по Парето в ядре экономической системы.
Отсюда получаем соотношение:
V > M > N,
а при F = G = F1 имеет место один оптимум по Парето.
Наличие нескольких оптимумов по Парето для данной экономической системы обусловлено субъективной полезностью, соответственно
оценки критерия Парето зачастую также субъективны и определяются не
только расчетом, но и экспертным путем.
Так, например, критерий Парето для оптимизации хозяйственных
связей (выбор поставщика) включает следующие параметры-оценки:
91
1) надежность поставок;
2) сроки поставок;
3) качество закупаемых товаров;
4) цена закупаемых товаров;
5) наличие сопутствующих услуг;
6) порядок оплаты поставляемых товаров;
7) географическое местоположение поставщика;
8) расстояние до поставщика;
9) условия транспортировки;
10) тара и упаковка;
11) послепродажный сервис;
12) гибкость поставок;
13) условие утилизации отходов,
14) восприимчивость поставщика к научно- техническому прогрессу;
15) качество предыдущих поставок,
16) деловая репутация поставщика.
Математическая формулировка оптимизации по Парето представляется следующим образом. Система включает участников, каждый из которых характеризуется целевой функцией
f i x  ,
i = 1, 2, 3, … i…m.
Вектор Х определяет состояние системы; совокупность всех допустимых состояний есть х, х  Х .
Допустимое состояние Х* называется оптимальным по Парето, если
не существует другого допустимого состояния, которое было бы для всех
участников не хуже и хотя бы для одного – лучше, чем Х*.
Эквивалентное определение: Х* оптимально по Парето, если из соотношений
f i ( X )  f ( X * ) i = 1, 2… i…m,
следуют равенства
f i ( X )  f ( X * ) i = 1, 2… i…m.
Задачу определения всех оптимальных по Парето состояний называют векторной задачей оптимизации, а сами такие состояния – эффективными точками.
Если функции f i  x  вогнуты, а множество х замкнуто и выпукло, то
для любого оптимума Парето Х* существуют неотрицательные числа –
взвешивающие коэффициенты, а1…аm, не все равные нулю и такие, что
максимум суммы
92
m
множество х достигается в точке Х*.
 a f X 
i
i
i 1
Обратно, если все взвешенные коэффициенты положительны, то
вектор, максимизирующий взвешенную сумму целевых функций на допустимом множестве, оптимален по Парето.
Для пояснения математической формализации рассмотрим задачу
выбора поставщика.
Вектор Х характеризует экономическую систему, которая включает
множество поставщиков со своими показателями и условиями поставок. В
данном случае вектор рассматривается в математическом смысле как упорядоченное множество элементов – компонент.
Допустим состояния задаются матрицей, т. е.:
х  х ij  xij
Таблица 11.1
№
1
2
3
4
5
6
…
i
…
m
х
Надежность
Сроки
Качество
Цена
Услуги
Оплата
…
…
…
Репутация
Итого:
1
х11
х21
х31
х41
х51
х61
…
…
…
хm1
х1
2
х12
х22
х32
х42
х52
х62
….
…
…
хm2
х2
…
…
…
…
…
…
…
...
…
…
…
…
j
х1j
х2j
х3j
х4j
х5j
х6j
…
…
…
хmj
хj
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
n
х1n
х2n
х3n
х4n
х5n
х6n
…
…
…
хmn
хm
Представленная матрица есть не что иное, как поле решения или совокупность вариантов, из которых следует выбрать наилучший, т. е. оптимальный (табл. 11.1).
Индекс i есть перечень оценок критерия Парето для выбора поставщика – от надежности (i = 1) и до его деловой репутации (i = m =16).
Индекс j показывает список поставщиков, составляющих экономическую, при этом каждый поставщик характеризуется конкретными значениями той или иной оценки.
Указанные оценки подразделяются на следующие группы:
1) постоянные параметры – константы;
2) параметры, значения которых оцениваются экспертным путем;
3) Параметры, значения которых определяются по договоренности
сторон, например продавца и покупателя.
93
В данном примере оценки распределяются следующим образом:
Группа 1:
– географическое местоположение поставщика;
– расстояние до поставщика.
Группа 2:
– гибкость поставок;
– восприимчивость поставщика к научно-техническому процессу;
– качество предыдущих поставок;
– деловая репутация поставщика.
Группа 3:
– надежность поставок;
– сроки поставок;
– цена закупаемых товаров;
– наличие сопутствующих услуг;
– порядок оплаты поставляемых товаров;
– условия транспортировки;
– тара и упаковка;
– послепродажный сервис;
– утилизация отходов.
Из изложенного следует, что m  n. Каждый элемент матрицы представляется числом. Значимость каждой оценки с точки зрения субъективной полезности – различна: это учитывается шкалой баллов с учетом весовых коэффициентов а1. Оптимум по Парето будет соответствовать максимуму суммы баллов соответствующего столбца:
m
Х *  Х opt  max  xij  max X j ,
i 1
таким образом, Парето-оптимум есть m-мерный вектор для конкретного j,
т. е.
Х *  X opt  ( xij ) opt  ( x1 j , x 2 j ,...xij ,...x mj )
,
Для j = const, при котором сумма хj = max (1  j  n)
Для рассматриваемого примера m = 16, т. е. 16-мерный вектор для
конкретного поставщика.
Важно подчеркнуть, что общее состояние данной экономической
системы как объекта оптимизации и область допустимых состояний оцениваются каждым участником рынка, руководствуясь своей субъективной
полезностью.
94
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Вопросы для самоконтроля:
Что выражает оптимум по Парето в рыночной экономике?
Что представляет собой поле решений в оптимизации по Парето?
Какую ситуацию отражает модель оптимизации по Парето?
Как формулируется критерий Парето?
Что выражает собой критерий Парето в логистике?
Составьте сетевой график оптимизации по Парето.
Что представляет собой экономическая система в оптимизации по
Парето?
Изобразите графически ядро экономической системы, множества и
оптимумы по Парето.
В чем заключается многокритериальность оптимизации по Парето?
Назовите критерии для оптимизации хозяйственных связей по поставке продукции.
Какие компоненты (величины) входят в математическую формулировку оптимизации по Парето?
Почему задачу определения оптимальных по Парето состояний называют задачей векторной оптимизации?
Приведите математическую формулировку оптимизации по Парето.
Какую роль играют весовые (взвешивающие) коэффициенты в оптимизации по Парето?
Представьте Парето-оптимум в виде m-мерного вектора для конкретных задач оптимизации в логистике.
95
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Гасс С. Линейное программирование / Пер. с англ. – М.: Физматиздат,
1961. – 303 с.
Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании
и экономике / Пер. с англ. – М.: Мир, 1964. – 420 с.
Кантрович Л.В. Математические методы организации и планирования
производства. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1939.
Ланкастер К. Математическая экономика / Пер с англ. – М.: Советское радио, 1972. – 464 с.
Мак-Кинси Дж. Введение в теорию игр / Пер. с англ. – М.: Физматиздат, 1960. – 420 с.
Модели и методы теории логистики / Под ред. В.С. Лукинского. –
СПб.: Питер, 2007. – 448 с.
Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост / Пер. с англ. – М.:
Наука, 1972. – 280 с.
Основы логистики / Под ред. В.В. Щербакова. – СПб.: Питер, 2009. –
432 с.
Плоткин Б.К. Экономико-математические методы и модели в управлении материальными ресурсами. – СПб.: Изд-во СПбУЭФ, 1992. – 64 с.
Фиакко А. Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование / Пер. с
англ. – М.: Мир, 1972. – 240 с.
Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 616 с.
Экланд И. Элементы математической экономики / Пер. с англ. – М.:
Мир, 1983. – 248 с.
Экономико-математические методы в снабжении /Под общей редакцией проф. В.М. Лагуткина. – М.: Экономика, 1971. – 367 с.
Экономическая энциклопедия. – М.: Экономика, 1999. – 1055 с.
96
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение…………………………………………………………………
Глава 1. Основные понятия об экономико-математических
методах и моделях в логистике………………………………………
Глава 2. Детерминированные методы и модели классического
математического анализа в логистике……………………………...
2.1. Определение оптимального размера партии поставки (Базисная
модель)…………………………………………………………………...
2.2. Определение оптимального размера партии поставки при
периодическом поступлении и равномерном расходе материальных
ресурсов…………………………………………………………………..
2.3. Определение оптимального размера партии поставки при
периодическом поступлении и равномерном расходе материальных
ресурсов…………………………………………………………….…….
2.4. Определение места дислокации базы снабжения………………...
2.5. Прикрепление предприятий-потребителей к базам снабжения…
2.6. Модель межотраслевого баланса…………………………………..
Глава 3. Методы и модели теории вероятностей в логистике……
3.1. Нормальный закон распределения вероятностей…………...……
3.2. Экспоненциальный закон распределения вероятностей…………
3.3. Биноминальный закон распределения вероятностей…………….
3.4. Распределение Пуассона…………………………………………...
3.5. Сравнение законов распределения вероятностей: критерии
согласия…………………………………………………………..............
Глава 4. Методы и модели математической статистики в
логистике………………………………………………………………..
Глава 5. Стохастические методы и модели теории массового
обслуживания в логистике……………………………………………
Глава 6. Модели линейного программирования в логистике……
6.1. Транспортная задача……………………………………………….
6.2. Раскройная задача линейного программирования………………
6.3. Размещение баз оптово-торговых предприятий…………………
Глава 7. Методы и модели теории надежности в логистике……..
Глава 8. Теория графов в логистике…………………………………
Глава 9. Гармонический анализ в логистике………………………
Глава 10. Основы теории игр…………………………………………
Глава 11. Сущность и особенности оптимизации по Парето……..
Библиографический список…………………………………………..
Стр.
3
5
13
14
19
21
23
24
25
32
34
35
36
38
38
46
53
62
62
64
66
69
74
78
82
86
94
97
Учебное пособие
Плоткин Борис Кальмович
Делюкин Леонид Анатольевич
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
И МОДЕЛИ В ЛОГИСТИКЕ
Редактор В.М. Макосий
Подписано в печать 6.12.10. Формат 60х84 1/16.
Усл. печ. л. 6,0. Тираж 160 экз. Заказ 589. РТП изд-ва СПбГУЭФ.
Издательство СПбГУЭФ. 191023, Санкт-Петербург, Садовая ул., д. 21.