теория и моделирование транспортных потоков и

ТЕОРИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРАНСПОРТНЫХ
ПОТОКОВ И СИСТЕМ
Конспект лекций по дисциплине
«Теория и моделирование транспортных потоков и систем»
Омск – 2012
1
Министерство образования и науки Российской Федерации
ГОУ ВПО «Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия
(СибАДИ)
Кафедра организации и безопасности движения
ТЕОРИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРАНСПОРТНЫХ
ПОТОКОВ И СИСТЕМ
Конспект лекций по дисциплине
«Теория и моделирование транспортных потоков и систем»
Составитель: П.Н. Малюгин
Омск
СибАДИ
2012
2
УДК 625.72
ББК 39.375
Работа одобрена научно-методическим советом специальности 190702 –
Организация и безопасность движения в качестве конспекта лекций по
дисциплине «Теория и моделирование транспортных потоков и систем».
Теория и моделирование транспортных потоков и систем: конспект
лекций по дисциплине «Теория и моделирование транспортных потоков и
систем»/ сост. П.Н. Малюгин. Рукопись, электронный вариант. – Омск:
СибАДИ, 2012. – 45 с.
Изложены параметры транспортных потоков, влияние факторов на
параметры, математические модели, описывающие распределения параметров,
простая динамическая теория транспортного потока и теория следования за
лидером.
Предназначен для бакалавров специальности «Организация и
безопасность движения» 190702 дневной и заочной форм обучения.
Табл. 3. Ил. 27. Библиогр.: 2 назв.
3
Содержание
Введение …………………………………………………………….
§1. Параметры транспортного потока …………………………….
1.1. Скорость транспортного потока ………………………………
1.2. Интенсивность движения транспортного потока ……………
1.3. Плотность транспортного потока …………………………….
1.4. Взаимосвязь между параметрами транспортного потока …...
§2. Влияние факторов на скорость ТП ……………………………
2.1. Распределение скоростей автомобилей в ТП …………………
2.2. Нормальный закон распределения ………………………… …
2.3. Факторы, влияющие на скорость ТП …………………………
§3. Влияние факторов на интенсивность ТП …………………….
§4. Состояния потока автомобилей ……………………………….
§5. Интервалы между автомобилями …………………………….
§6. Математические модели, выражающие распределения ……..
интервалов между автомобилями
6.1. Закон Пуассона …………………………………………………
6.2. Применение поправок к закону Пуассона ……………………
6.3. Распределение Пирсона III типа ………………………………
6.4. Смешанные распределения …………….………………………
6.5. Области применения распределений ….………………………
§7. Моделирование движения плотных потоков …………………
7.1. Простая динамическая теория движения плотного потока …
7.2. Динамическая теория следования за лидером ……………….
7.3. Макроскопическая теория ТП …………………………………
Библиографический список…………………………………..
4
5
6
6
7
7
8
9
9
14
17
20
22
24
25
25
28
29
30
31
32
33
37
42
45
Введение
Целью дисциплины является изучение характеристик транспортных
потоков, моделей транспортных потоков, способов применения моделей
при проектировании и организации дорожного движения.
В конспекте лекций изложено следующее:
–параметры транспортных потоков;
–распределение скоростей движения автомобилей в транспортных
потоках и его математическое описание;
–факторы, влияющие на скорость автомобилей в транспортных
потоках;
–изменение интенсивности движения транспортных потоков в
течение года, недели и суток; факторы, влияющие на интенсивность
транспортных потоков;
–параметры, характеризующие состояние транспортного потока;
классификация состояний транспортных потоков;
–математические модели, описывающие распределение интервалов
между автомобилями в транспортных потоках;
–модели движения плотного потока.
5
§1. Параметры транспортного потока
Транспортный поток образуется при движении по дороге
автомобилей, связанных между собой.
Основными параметрами транспортного потока являются:
скорость потока V, интенсивность потока , плотность потока .
1.1. Скорость транспортного потока
Скорость V транспортного потока (ТП) принято измерять в км/ч или
м/с. Наиболее часто применяют единицу измерения км/ч. Скорость потока
измеряют в двух направлениях, а на многополосной дороге скорость
измеряют в каждой полосе.
Для измерения скорости потока на дороге проводят сечения. Сечение
дороги представляет собой линию, перпендикулярную оси дороги,
проходящую через все ее ширину.
Скорость ТП измеряют на участке или в сечении.
Участок представляет собой отрезок дороги, заключенный между
двумя сечениями. Расстояние l, м между сечениями выбирают таким
образом, чтобы обеспечить приемлемую точность измерения скорости.
Замеряют время t, с прохождения автомобилем участка – временной
интервал. Измерения проводят для заданного числа n автомобилей и
вычисляют средний временной интервалt:
t = (t1 + t2 + …+ tn)/n.
Вычисляют среднюю скорость на участке:
V = l /t.
То есть, скорость транспортного потока является средней скоростью
движущихся в нем автомобилей.
Для измерения скорости ТП в сечении используют дистанционные
измерители скорости (радар, лампа – фара) или специальные детекторы
скорости. Замеряют скорости v для n автомобилей и вычисляют среднюю
скорость на участке:
V = (v1 + v2 + …+ vn)/n.
Используют следующие термины.
Средняя временная скорость V – средняя скорость движения
автомобилей в сечении.
Средняя пространственная скоростьV – средняя скорость проезда
автомобилями значительного участка дороги. Она характеризует среднюю
скорость ТП на участке в некоторое время суток.
Время поездки – время, затрачиваемое автомобилем на
прохождение единицы длины дороги.
6
Суммарный пробег – сумма всех путей автомобилей на участке
дороги за заданный интервал времени.
1.2. Интенсивность движения транспортного потока
Интенсивность движения , авт/ч равна числу автомобилей,
проходящих сечение дороги за единицу времени. При высоких
интенсивностях движения использует более короткие интервалы времени.
Интенсивность
движения
измеряется
наиболее
просто:
подсчитывают число n автомобилей, проходящих через сечение дороги за
заданную единицу времени T, затем вычисляют частное  = n/T.
Используют дополнительно следующие термины.
Объем движения – число автомобилей, пересекших сечение дороги
в заданную единицу времени. Объем измеряется числом автомобилей.
Часовой объем движения – число автомобилей, прошедших через
сечение дороги в течение часа.
1.3. Плотность транспортного потока
Плотность  ТП равна числу автомобилей, расположенных на
участке дороги заданной длины. Обычно используют участки 1 км,
получают плотность авт/км, иногда используют более короткие участки.
Плотность обычно не измеряют, а рассчитывают по скорости и
интенсивности движения ТП. Однако для измерения плотности можно
использовать аэрофотосъемку, башни или высокие здания.
Используют
дополнительные
параметры,
характеризующие
плотность ТП.
Пространственный интервал или кратко интервал lП, м –
расстояние между передними бамперами двух, следующих друг за другом,
автомобилей.
Средний пространственный интервалlП – среднее значение
интервалов lП на участке. ИнтервалlП измеряют в метрах на один
автомобиль.
Пространственный интервалl П, м легко рассчитать, зная плотность
, авт/км потока:
lП = 1000/.
7
1.4. Взаимосвязь между параметрами транспортного потока
Соотношение между скоростью, интенсивностью и плотностью
потока называется основным уравнением транспортного потока:
 = V  .
Основное уравнение связывает между собой три независимые
переменные, являющиеся средними значениями параметров ТП. Однако в
реальных дорожных условиях переменные связаны между собой.
При увеличении скорости ТП интенсивность движения сначала
возрастает, достигает максимума, а затем снижается (рис. 1). Снижение
обусловлено увеличением интервалов lП между автомобиля и снижением
плотности ТП (см. рис. 1).
При большой скорости автомобили быстро проходят участки, но
расположены далеко друг от друга. Целью же управления движением
является достижение максимальной интенсивности потока, а не скорости.
Рис. 1. Взаимосвязь между интенсивностью, скоростью
и плотностью ТП:
а) зависимость интенсивности ТП от скорости; б) зависимость
плотности ТП от скорости
8
§2. Влияние факторов на скорость ТП
Величина средней скорости движения зависит от интенсивности
движения, установленных ограничений (знаков), от погодных условий и
освещенности и др. факторов.
Исследованиями установлено, что средняя скорость обычно
располагается в диапазоне от Vmin до Vmax:
Vmin – минимальное значение скорости, определяемое техническими
характеристиками автомобилей (обычно 30 км/ч);
Vmax – максимальное значение скорости, зависящее от имеющихся на
участке ограничений скорости; величину Vmax трудно спрогнозировать.
В большинстве случаев скорость ТП считают независимым
параметром.
2.1. Распределения скоростей автомобилей в ТП
При моделировании потоков используют законы распределения их
параметров. Фактические данные о распределениях параметров ТП на
магистрали можно получить лишь экспериментальным путем.
Рассмотрим экспериментальное измерение распределения скоростей
автомобилей в ТП и обработку получаемых результатов.
Методика измерения
Для измерения скоростей АТС обычно применяют радары. Они
позволяют замерить скорость одиночного автомобиля и автомобиля,
движущегося в группе. Погрешность измерения скорости радаром не
превышает 1 км/ч. Скорость можно измерять на расстоянии до 300 м.
Наименьшее значение скорости обычно ограничено величиной 20
км/ч, наибольшее значение составляет 200 км/ч.
При измерении используют метод стационарных наблюдений. Этим
методом также пользуются при измерении пространственных и временных
интервалов между автомобилями.
А. Перед замерами на дороге проводят сечение. Сечение проводят в
том месте дороги, где поток движется равномерно.
Б. Выбирают число замеров N. Обычно число замеров принимают
100. Для получения высокой точности измерение число замеров
увеличивают.
В. Обеспечивают случайный порядок измерений. Для этого
автомобили выбирают таким образом, чтобы они контролировались в
случайном порядке.
Г. Подготавливают сводку наблюдений.
Сводка наблюдений представляет собой таблицу, имеющую три
9
столбца. В первый столбец записывают номер автомобиля, начиная с 1, во
второй столбец – скорость его движения. При обработке результатов
измерений в третий столбец записывают номер диапазона, в котором
располагается скорость автомобиля.
Д. Пункты измерения:
1) Измеряют скорость автомобиля, например, первым проехавшим
сечение; 2) Заносят результат измерения в сводку наблюдений; 3)
Повторяют пункты 1) и 2) до достижения заданного числа замеров.
Обработка сводки наблюдений
Обычно результаты измерений обрабатывают вручную.
А. Используя фактические значения скоростей, фактический
диапазон скоростей автомобилей разбивают на интервалы.
Например: 0-40, 40-50, 50-60, 60-70, 70-80, 80-90, 90-100 и более 100
км/час. К первому интервалу относят автомобили, скорость которых
меньше 40 км/ч, ко второму – от 40 до 50 км/ч, к третьему – от 50 до 60
км/ч, и т. д. К последнему интервалу относят автомобили, скорость
которых больше или равна 100 км/ч. Получают 8 интервалов, которые
указывают в первом столбце таблицы (табл. 1).
Б. Находят частоту n – число автомобилей, скорость которых
располагается в каждом интервале.
Для этого в сводку наблюдений сначала записывают в третий
столбец номер интервала. Затем подсчитывают частоту для каждого
интервала, и заполняют второй столбец таблицы 1. Контролируют сумму
частот: она равна числу N.
В. Находят частости.
Частость равна отношению частоты к числу замеров N. Частость
соответствует вероятности события, заключающегося в том, что скорость
автомобиля располагается в заданном интервале. Вычисляют частости и
заполняют третий столбец таблицы 1. Контролируют сумму частостей: она
равна единице.
Таблица 1
Распределение скоростей движения автомобилей
Vc,
Диапазоны,
Частота Частость Накопленная частость
км/ч
км/ч
1: 0-40
2
0,02
0,02
20
2: 40-50
6
0,06
0,08
45
3: 50-60
20
0,20
0,28
55
4: 60-70
36
0,36
0,64
65
5: 70-80
22
0,22
0,86
75
6: 80-90
10
0,10
0,96
85
7: 90-100
4
0,04
1,00
95
8: >100
0
0
1,00
105
Сумма
100
1,00
10
Г. Находят накопленные частости.
Накопленная частость на интервале k равна сумме частот на
интервалах 1, 2, …, k – 1, k. Накопленная частость равна числу
автомобилей (в %), скорость которых меньше средней скорости интервала.
Для диапазона, соответствующего максимальной скорости, накопленная
частость равна 1.
Д. Результаты представляют в виде гистограмм.
Для построения графиков вычисляют среднее значение скорости Vc
на интервалах. Они указаны в четвертом столбце таблицы 1.
Примеры построения гистограмм показаны на рис. 2, 3, 4.
Ниже приведены диаграммы, построенные по результатам замеров
скоростей на ул. Волгоградская г. Омска в 2010 г. В дневные часы
интенсивность ТП на улице составляет 900 авт/час. Распределение частот
показано на рис. 2. Распределение частостей отражено на рис. 3.
Распределение накопленных частостей показано на рис. 4.
Средняя скорость ТП равна 66 км/ч. Закон распределения скоростей
приближается к закону нормального распределения. По гистограммам
легко видеть, что 36% автомобилей превышают скорость 70 км/ч.
В вечерние часы повышается интенсивность ТП на ул.
Волгоградская, и достигает 1100 авт/час. Получаемое распределение
частот показано на рис. 5. Поток состоит из 88% легковых автомобилей,
8% грузовых и 2% автобусов.
Средняя скорость ТП теперь равна 73 км/ч. Распределение частот
становится несимметричным относительно средней скорости ТП. Теперь
60% автомобилей превышают скорость 70 км/ч. При этом 14%
автомобилей движутся со скоростью более 90 км/ч, создавая высокую
опасность движению. Имеет место массовое нарушение ПДД.
Фактические данные о распределении скоростей автомобилей ТП
используют для контроля: соблюдения водителями правил дорожного
движения, состояния дорог, эффективности средств организации
движения, качества работы служб ГИБДД и др.
11
Рис. 2. Гистограмма распределения частоты скоростей в дневные часы
Рис. 3. Гистограмма распределения частости скоростей
Рис. 4. Гистограмма распределения накопленной частости
12
Рис.5. Гистограмма распределения частости скоростей в вечерние часы
Гистограммы также представляют в виде графиков. Для этого
используют средние значения скоростей Vc на интервалах см. табл. 1.
Значения частостей отражают на графике точками (рис. 6). Точки
соединяют прямыми линиями.
Рис. 6. График изменения частости скоростей
Результаты замеров вводят в компьютер, используя программу Excel.
Вычисляют коэффициенты функции, выражающей нормальный закон
распределения по команде НОРМРАСП. График дополняют плавной
кривой, рассчитанной на ПК.
13
2.2. Нормальный закон распределения
В большинстве практических случаев нормальный закон отражает
распределение случайной величины. Он широко применяется в теории
массового обслуживания и используется при обработке результатов
статистических измерений.
В нормальном законе используется функция вида
y(x) = ex.
Функция ex называется экспонентой. Символ e является константой,
имеющей значение 2,71. Число 2,71 является основанием натурального
логарифма. Прологарифмируем экспоненту:
ln(ex) = x.
Экспонента применяется в различных законах распределения, которые
будут рассмотрены в данном курсе. График функции представлен на рис.
7.
Рис. 7. График функции экспонента
От переменной x функция зависит следующим образом:
-при x > 0 значения функции быстро увеличиваются с ростом x;
-при x = 0 имеем e0 = e1/e1 = e1 – 1 = 2,71/2,71 =1;
-при x < 0 имеем e–x = 1/ex;
-при уменьшении x < 0 значения функции быстро снижаются,
асимптотически приближаются к нулю, но не достигают нуля.
В практических приложениях используется в основном область
изменения переменной x < 0. Запишем некоторые значения функции:
e–1 = 0,37; 1 – e–1 = 0,63.
Например, в теории автомобиля функция M = Mmax (1 – e–t/) применяется
для описания процесса нарастания тормозного момента M при применении
пневматической тормозной системы. В формуле Mmax – максимальный
момент, , с – постоянная времени. Комбинациями экспонент описываются
14
различные колебательные процессы, для чего переменная x представляется
комплексной переменной.
Нормальный закон распределения выражается формулой:
 ( x  xср )2
pe
22
/(
2  ),
где: p – вероятность события, заключающегося в том, что случайная
величина x равна значению переменной x; значение p соответствует
частости (см. рис. 3);
 – среднее квадратичное отклонение;
xср – среднее значение случайной величины.
Выразим
нормальным
законом
распределение
скоростей
автомобилей в транспортном потоке:
f(V) = ey/(  (2)), y = – (V – Vср)2/(2 2),
где , км/ч – среднее квадратичное отклонение скорости от среднего
значения Vср.
График функции f(V) зависит от двух параметров Vср и . На рис. 8
приведены графики функции f(V) для различных значений Vср и .
Рис.8. Функции нормального распределения скоростей:
1 –  = 5, 2 –  = 7,5, 3 –  = 10, 4 –  = 12,5 км/ч
График функции f(V) симметричен относительно среднего значения
скорости. При малом значении  график имеет явно выраженный
экстремум. При увеличении  максимум функции снижается, и функция
растягивается по скорости.
По графику можно ориентировочно найти среднюю скорость и
среднее квадратичное отклонение (рис. 9). Среднее значение скорости
соответствует максимуму функции. Для расчета среднего квадратичного
отклонения на графике находят значение максимума Fmax и вычисляют 0,61
Fmax. Затем проводят горизонтальную линию. Расстояние между точками
пересечения этой линии с кривой слева и справа равно .
15
Рис.9. Определение оклонения  по графику функции
Интеграл от функции f(V) по скорости от V = 0 до заданного
значения скорости описывает функцию, выражающую накопленную
частость. График накопленной частости для законов, приведенных на рис.
8, отражен на рис. 10.
Рис.10. График накопленной частости
На рис.10 кривые пронумерованы в том же порядке, что и на рис. 8.
16
2.3. Факторы, влияющие на скорость ТП
На скорость транспортного потока влияют следующие факторы:
водитель; тип автомобиля; тип и состояние дороги; интенсивность
движения; плотность потока; окружающая среда и др.
Известно, что пол водителя и наличие в автомобиле пассажиров не
оказывают существенного влияния на скорость ТП. Однако одиночные
водители склонны двигаться с большей скоростью, чем водители с
пассажирами. С опасными скоростями чаще едут мужчины, а не женщины.
Тип автомобиля влияет на скорость намного больше, чем фактор
водителя. В нашем регионе на междугородней дороге легковые
автомобили обычно движутся со скоростью 110 … 120 км/ч, превышая
разрешенную скорость 90 км/ч. Грузовые автомобили с грузом движутся
со скоростью 80 км/ч, без груза – 90 … 100 км/ч.
На скорость автомобилей существенно влияют тип и состояние
дороги, кривизна, подъемы и уклоны, число полос, тип покрытия,
расстояние видимости и др.
На скоростных дорогах в хорошем состоянии скорость движения
определяется геометрией элементов этих дорог. Можно сказать, что
скорость зависит от категории дороги.
В городских условиях скорость зависит от интенсивности движения,
дорожных знаков, средств регулирования и помех движению. На
городских дорогах скорости меньше, чем на междугородных дорогах.
Средняя скорость на регулируемой, городской дороге с высокой
интенсивностью движения редко превышает 35 км/ч. На нерегулируемой,
городской дороге с высокой интенсивностью движения скорость
составляет 35 … 50 км/ч, а на скоростной дороге – 64 … 97 км/ч.
При движении автомобиля по кривой в плане дороги средняя
скорость снижается и составляет 80 … 85% от предельной скорости,
рассчитанной по сцеплению.
В справочнике /1/ приводится эмпирическая формула:
V = 75 – 1220  K,
где V, км/ч; K = 1/RП – кривизна, 1/км, RП – радиус поворота. В формуле
скорость прямолинейного движения равна 75 км/ч.
Следует заметить, что в США применяют мили и другие не
стандартные единицы измерения. Поэтому в формулах нужно проверять
размерность величин.
При движении одновременно на подъеме и по кривой снижение
скорости  V, км/ч можно приближенно вычислить по формуле /1/:
 V = 1220  K + 1,37 ,
где K, 1/км – радиус поворота; , % – угол подъема.
17
На спусках скорость легковых автомобилей возрастает примерно на
3%, грузовых автомобилей и автобусов – на 5%. При движении на подъеме
скорость грузового автомобиля линейно снижается и в конце подъема
достигает скорости «вползания», равной максимальной скорости движения
грузовика на подъеме.
Скорость движения автомобилей зависит от расположения полосы
движения на дороге. Например, на трехполосной дороге наибольшая
средняя скорость наблюдается на средней полосе. На крайней правой
полосе движутся грузовые автомобили, что снижает скорость других
автомобилей. На этой полосе скорость потока равна скорости движения
грузовых автомобилей. На крайней левой полосе скорость зависит от
наличия перекрестков, на которых автомобили выполняют повороты,
создавая помехи движению.
На рис. 11 показано распределение скоростей на четырехполосной,
междугородней дороге. На графиках приведена накопленная частость.
Экспериментальные данные получены Шевяковым А.П.
По правой, крайней полосе 1 (см. рис. 11) движутся тяжелые
грузовые автомобили со средней скоростью 48 км/ч. По правой полосе 2
движутся грузовые автомобили со средней скоростью 60 км/ч. По полосе 3
движутся легковые автомобили со средней скоростью 70 км/ч. По полосе 4
движутся быстроходные легковые автомобили со средней скоростью 93
км/ч.
Рис.11. Распределение скоростей на четырехполосной дороге, средние скорости:
1 – 48 км/ч, 2 – 60 км/ч, 3 – 70 км/ч, 4 – 93 км/ч
Скорость движения автомобилей зависит от ширины полосы
движения. При наличии на полосе ограничений скорость ТП снижается на
2 … 5 км/ч. Ограничения создаются сужениями дороги, стоящими
транспортными средствами и др.
При увеличении интенсивности потока скорость движения
снижается. На рис. 12 показано влияние интенсивности, полученное в
США на горизонтальной дороге без ограничительных знаков и
18
светофоров. При высокой интенсивности 1100 авт/ч достигается
насыщение потока, и скорость ТП снижается до минимальной величины,
практически независимой от других факторов.
Скорость потока обычно связана с его плотностью линейной
зависимостью (рис. 13). Среднее значение скорости соответствует
критической плотности, которая примерно равна половине максимальной
плотности /1/.
Скорость автомобилей зависит от условий совершения обгона.
Обычно обгон выполняется, если скорости обгоняющего и обгоняемого
автомобиля отличаются на 16 км/ч. Обгоняющий автомобиль движется в
среднем со скоростью на 10 км/ч больше скорости потока.
Рис.12. Зависимость скорости ТП от интенсивности движения при
начальной скорости: 1 – 120 км/ч, 2 – 100 км/ч, 3 – 80 км/ч, 4 – 60 км/ч
Рис. 13. Зависимость скорости ТП от плотности
Скорость зависит от времени суток и погоды. В среднем на
городской дороге скорость автомобиля днем на 2 км/час больше, чем в
вечернее время, на загородной дороге – на 8 км/ч. В дождь скорость
19
снижается 7 … 23%, при плохой видимости на 4 … 38%, при
одновременном дожде и снижении видимости на 10 .. 50%.
Для того чтобы учесть одновременное влияние факторов,
выполнялись специальные исследования. По результатам исследований
получены формулы регрессии. К таким формулам, представленным в
иностранных и наших книгах, следует относиться осторожно, обязательно
их проверять.
§3. Влияние факторов на интенсивность ТП
В сельской местности наблюдается низкая интенсивность движения,
она составляет менее 1000 авт/сут (42 авт/ч). На большинстве городских
дорогах наблюдается средняя интенсивность движения – 4000 авт/сут (170
авт/ч, 64% дорог). На загруженных городских дорогах наблюдается
высокая интенсивность движения 10000 авт/сут (420 авт/ч) и более.
Изменение интенсивности в течение года подчиняется известным
закономерностям. Практически на всех дорогах наибольшая интенсивность
достигается в летний и осенний периоды. На рис. 14 показано
распределение интенсивности по месяцам года /2/ на незагруженных
дорогах.
Рис. 14. Изменение интенсивности движения в течение года
на дорогах: 1 – в пригородной зоне мегаполисов; 2 – в промышленных районах города; 3 – в сельскохозяйственных районах;
4 – в курортной зоне
На курортных дорогах в августе – октябре наблюдается один
максимум интенсивности (кривая 4). В сельской местности пик
интенсивности приходится на август и сентябрь (уборка урожая, кривая 3).
На дорогах промышленной зоны городов интенсивность изменяется
незначительно (кривая 2). На пригородных дорогах пик интенсивности
приходится на месяцы июль – октябрь (кривая 1). Минимум
интенсивности приходится на месяцы январь – март.
20
Годовая интенсивность ТП не является постоянной. Сильянов В.В.
/2/ указывает на средние темпы прироста интенсивности: 1 … 12%. В
литературе также имеются формулы регрессии, описывающие прирост
интенсивности. Однако, в связи с резким увеличением числа легковых
автомобилей в России, эти формулы устарели. При организации ДД
следует использовать фактические данные, затем экстраполировать
прирост интенсивности. В книге /2/ описана методика экстраполяции, и
применяемые для этого логистические кривые.
Пример экстраполяции отражен на рис. 15. Точками показаны
имеющиеся данные интенсивности за последние годы. По методу
наименьших квадратов проведена линия, на которой выделена
прогнозируемая интенсивность. Для вычисления коэффициентов линии
можно использовать программу Excel.
Рис. 15. Пример линейной экстраполяции интенсивности движения
Интенсивность движения зависит от дня недели. По данным /1/
наибольшая интенсивность наблюдается в пятницу (рис. 16). Она
достигает 125% от среднесуточной интенсивности. Наименьшая
интенсивность движения имеет место в воскресенье (72%).
Рис. 16. Изменение интенсивности движения в течение недели
в процентах от среднего ее значения
21
В течение суток интенсивность движения существенно изменяется.
Зависимость интенсивности от времени суток имеет один или два
максимума (рис.17) в рабочий день /2/. На дороге категории V один
максимум приходится на часы 12…14 (3). На дороге категории III имеют
место два максимума (2), приходящиеся на часы 10…11 и 18…19. На
дороге первой категории (1) также наблюдаются два максимума (10…11 и
19…20 ч).
Рис. 17. Изменение интенсивности движения в течение суток
в процентах от среднего ее значения на междугородних дорогах
Изменение интенсивности движения в течение суток на городских
магистралях намного больше, чем показано на рис. 17, и оно зависит от
расположения магистрали и режима работы предприятий. Поэтому при
разработке организации движения замеряют фактическую интенсивность
движения ТП, включая ее распределение по полосам. Эта,
исследовательская часть работы, имеется в каждом дипломном проекте по
ОДД.
§4. Состояния потока автомобилей
Автомобили, движущиеся в ТП, взаимодействуют друг с другом.
Водители совершают обгоны, выдерживают дистанцию и др.
Состояние ТП характеризуют коэффициентами: загрузки движением
kЗ, скорости движения kV, насыщенности движения kН.
Коэффициент загрузки движением равен отношению фактической
интенсивности движения Ф к пропусканной способности дороги П, авт/ч:
kЗ = Ф/П.
Коэффициент скорости движения равен отношению фактической
скорости движения VФ к желаемой скорости VЖ в свободных условиях:
kV = VФ/VЖ.
22
Коэффициент
насыщенности
движения
равен
отношению
фактической плотности потока Ф к максимальной плотности max на
данной дороге:
kН = Ф /max.
Все коэффициенты являются безразмерными и изменяются от 0 до 1.
Исследованиями установлено 4 наиболее характерных состояний
движения ТП: А, Б, В и Г. Их называют уровнями удобства движения.
Уровень удобства отражает состояние потока, условия труда
водителей, комфортабельность поездки, экономичность перевозок и
уровень аварийности.
Значения коэффициентов kЗ, kV и kН для различных уровней удобства
приведены в таблице 2.
Таблица 2
Характеристики уровней удобства
Уровень
А
Б
В
Г
Напряженность Удобство Эффективность
водителя
движения работы дороги
0 - 0,2
0,9 - 1
0 - 0,1
Низкая
Удобно
Низкая
МалоСредняя
0,2-0,45 0,7 - 0,9 0,1-0,3
Нормальная
удобно
Неудоб0,45-0,7 0,55 - 0,7 0,3-0,7
Высокая
Наибольшая
но
0,7 - 1 0,55 - 0,4 0,7-1
Низкая
Неудовл.
Низкая
kЗ
kV
kН
Уровень удобства A соответствует свободному потоку, в котором
автомобили не взаимодействуют между собой, водитель может
выдерживать желаемую скорость движения. Свободный поток образуется
при интенсивности до 300 авт/ч.
Уровень удобства Б соответствует частично связанному потоку. В
потоке увеличивается число автомобилей, которые совершают обгоны или
вынужденно движутся за медленно движущимися автомобилями.
Образуются пачки автомобилей, скорость движения снижается на
10…30%, совершается много маневров и обгонов, возрастает
эмоциональная напряженность водителей. Частично связанный поток
образуется при интенсивности 300 … 600 авт/ч.
Уровень удобства B соответствует связанному потоку. На 30 …45%
снижается скорость движения потока, эмоциональное напряжение
водителей достигает наибольшего уровня. Они испытывают неудобства изза невозможности обгона медленно движущихся автомобилей, и из-за
непрерывного контроля дистанции. Резко снижается комфортабельность
поездки. Связанный поток образуется при интенсивности более 600 авт/ч.
Уровень удобства Г соответствует (букве) плотному или
насыщенному потоку. Движение автомобилей происходит с остановками,
состояние потока близко к затору. Скорость потока снижается и,
следовательно, снижается эмоциональная напряженность водителя.
23
§5. Интервалы между автомобилями
Данные о распределении пространственных и временных интервалов
между автомобилями необходимы для расчета фаз светофорных объектов.
В свободном потоке типа A интервалы lП между автомобилями мало
зависят от их типа (рис. 18) /2/.
Рис. 18. Зависимости пространственных интервалов lП от скорости:
1 – грузовой автомобиль за грузовым; 2 – грузовой автомобиль за легковым;
3 – легковой автомобиль за грузовым; 4 – легковой автомобиль за легковым
Значения интервалов получены по результатам аэрофотосъемки. По
графикам хорошо видно, что при скорости более 40 км/ч интервалы lП
начинают интенсивно увеличиваться. Расстояния между легковыми
автомобилями обычно меньше, чем между грузовыми автомобилями.
Пространственный интервал lП, м можно подсчитать по временному
интервалу t, с:
lП = t V/3,6 гдеV, км/ч.
На прямолинейных участках интервалы движения зависят не только
от скорости движения, но и от наличия в потоке медленно движущихся
автомобилей. Так, при увеличении в потоке числа медленных автомобилей
с 20% до 40% временной интервал t снижается с 4,3 до 2,2 с /2/.
Автомобили, движущиеся в свободном потоке, не оказывают
влияния друг на друга при временных интервалах более 8 с. В частично
связанном потоке автомобили движутся с интервалом 1,5 … 8 с. В
связанном потоке наблюдаются лишь малые интервалы 1,0 … 1,3 с.
24
При движении автомобилей на кривых в плане дороги наблюдается
уплотнение автомобилей и сокращение интервалов. Так, при уменьшении
радиуса поворота с 450 м до 100 м интервал t снижается с 3,2 до 2,1 с /2/.
При движении на подъеме увеличивается число медленно
движущихся автомобилей (в основном грузовых). Перед подъемом уже
формируются пачки автомобилей. Растет число минимальных интервалов
на 4 … 5%. Существенно затрудняются обгоны, а на спуске обгоны
облегчаются.
§6. Математические модели, выражающие распределения
интервалов между автомобилями
Важным показателем движения ТП является распределение
интервалов между автомобилями. Распределение интервалов является
основой для расчета процесса взаимодействия автомобилей в потоке и
выбора фаз работы светофорного объекта. Распределение интервалов
описывается различными законами, но с разной точностью. Одного
универсального закона не существует.
6.1. Закон Пуассона
Закон Пуассона применяется для описания распределения частости
автомобилей, проходящих через сечение дороги, а также частости
интервалов между автомобилями. Законом Пуассона распределение числа
автомобилей выражается наиболее просто.
Закон Пуассона описывает случайное распределение Пуассона, и
относиться к классу экспоненциальных распределений:
p(n) = e– t  (  t)n/n!,
где n – число автомобилей, проходящих через сечение дороги;
 – интенсивность движения, авт/ч;
t – интервал времени, ч.
В формуле закона применяется функция n!. Она вычисляется как
произведение, например 5! = 1  2  3  4  5 = 120.
Формула p(n) выражает вероятность прохождения n автомобилей
через сечение дороги от переменной n при постоянных значениях  и t.
По закону Пуассона можно также рассчитать распределение частоты
временных интервалов p(t). Теперь переменной является интервал t, а
значения n и  считаются постоянными.
Рассмотрим пример построения распределения Пуассона. Возьмем
три интенсивности движения:  = 200, 400 и 600 авт/ч. Примем интервал
времени 90 с (1,5 мин).
25
Заметим, что в формуле нужно согласовать друг с другом
размерности интенсивности движения и интервала t. Для согласования
приведем интервал t, сек к размерности t, час: 90 с = 90/3600 = 0,025 ч.
Подставляем в формулу p(n) закона значения , t, варьируем n, и
вычисляем вероятности p (частости). Получаем несимметричную функцию
распределения вероятности, показанную на рис. 19.
Для нормального закона переменная изменяется в диапазоне – …
+, а для закона Пуассона переменная n изменяется от 0 до ограниченного
значения. Если для нормального закона имеет место симметричное
распределение, то распределение Пуассона является несимметричным.
Распределение отражает, что при увеличении интенсивности
движения, возрастает частость прохождения через сечение небольшого
числа автомобилей. То есть, очередь из автомобилей перед светофором
сначала заполняется быстро, а затем медленно. Число автомобилей в
очереди, рассчитанное по нормальному закону, меньше, чем число
автомобилей, рассчитанное по закону Пуассона. Следовательно,
рассчитывая фазы работы светофора по нормальному закону, мы получим
постепенное накопление очереди автомобилей, которые не успеют
покинуть перекресток за заданный интервал времени.
Рис. 19. Вероятности (частости) прохождения n автомобилями сечения
дороги при интенсивностях 1 – 200, 2 – 400 и 3 – 600 авт/ч за время 1,5 мин
Рассмотрим теперь, для каких потоков справедливо распределение
Пуассона.
В качестве примера возьмем четырехполосную, прямолинейную
магистраль при интенсивностях движения до 500 авт/ч. По одной полосе
магистрали интенсивность движения составляет 500/4 = 125 авт/ч. По
данным Красникова А.Н. для такой магистрали распределение Пуассона
применимо (рис. 20).
На рис. 20 представлена зависимость частости временных
интервалов от интервалов.
26
Интервалы времени t связаны с числом n автомобилей, проходящих
через сечение дороги за время T. Пусть интенсивность потока  равна 400
авт/ч. В среднем автомобили следуют через интервал 9 с: 1/ = 3600/400 =
= 9 с. За время T = 90 с через сечение пройдет 10 автомобилей:
n = T/t = 90/9 = 10 авт.
Экспериментальные данные отражены на графике точками.
Рассчитанное распределение показано кривой 1. Легко видеть, что
экспериментальные данные хорошо описываются законом Пуассона. При
этом распределение частот имеет несимметричную форму.
На двухполосных дорогах распределение Пуассона применимо при
интенсивности до 100 авт/ч по одной полосе. На шестиполосных дорогах
распределение применимо при интенсивности до 1100 авт/ч (183 авт/ч по
одной полосе).
В среднем получаем, что распределение Пуассона справедливо при
интенсивности менее 180 авт/ч на одной полосе движения, то есть
применимо для свободного потока типа А.
Рис. 20. Распределение временных интервалов между автомобилями
при интенсивностях 1 – 400 и 2 – 1160 авт/ч
Для оценки справедливости распределений применяют критерий
Романовского В.И., который построен на статистическом критерии
согласия 2 (читается хи квадрат). Критерий 2 показывает, насколько
расчетная кривая отличается от экспериментальной кривой. Чем меньше
площадь, заштрихованная на рис. 20, тем меньше значение критерия 2.
Критерий Романовского В.И. рассчитывают по формуле:
R = (2 – )/(2 ),
где  – число степеней свободы. Число степеней свободы соответствует
числу неизвестных в функции p(, t, n). Для закона Пуассона  = 1.
27
Если величина R < 3, то считают: расчетная и экспериментальная
кривые отличаются не существенно. Если R  3, то различие существенно,
и данное распределение применять не корректно.
Для интенсивности  = 400 (кривая 1) имеем R = 1,8 – различие не
существенно. Для интенсивности  = 1160 (кривая 2) фактическое
распределение становится более несимметричным, имеет явно
выраженный максимум. Такое распределение не описывается законом
Пуассона: имеем критерий R = 9,4.
6.2. Применение поправок к закону Пуассона
Для расширения области применения распределение Пуассона
используют поправки к формуле p(, t, n).
1) Вводят коэффициент  в степень экспоненты:
p = e–  t  (  t)n/n!.
2) Прибавляют в экспоненту функцию влияния p, учитывающую
условия движения:
p = e–  t + p  (  t)n/n!.
3) Учитывают естественную ограниченность временного интервала:
p = e–k  t  (  t)n/n!, где k = (t – tmin)/(tср – tmin),
где tср – среднее значение интервала, заданное интенсивностью ;
tmin – минимальное значение интервала между автомобилями.
Распределение 3), получаемое при учете ограниченности временного
интервала, называют смещенным распределением.
По данным Красникова А.Н. введение коэффициента  позволяет
добиться лучших результатов, показанных на рис. 21.
28
Рис. 21. Распределение временных интервалов, рассчитанное
с поправочным коэффициентом : 1 –  = 0,5; 2 –  = 1; 3 –  = 1,5
Если  = 1, то имеем обычное распределение Пуассона. Если  < 1, то
максимум на диаграмме становится меньшей величины, а при  > 1 –
большей величины.
Однако введение указанных поправок не позволяет существенно
расширить область применения распределения Пуассона. Например,
одновременное введение коэффициента  и применение смещенного
распределения позволят описывать распределения лишь до интенсивности
250 авт/ч на двухполосных дорогах (125 авт/ч на полосе).
6.3. Распределение Пирсона III типа
Для описания интервалов между автомобилями иногда используют
логарифмический закон распределения. Распределение отличается
высокой асимметричностью, применяется при образовании пачек
автомобилей (уровень удобства B).
Более широкое применение получило распределение Пирсона III
типа. Закон описывает вероятность распределения интервалов времени
между автомобилями следующей функцией:
p = ak  e–a t  tk–1/Г(k),
где p – вероятность или относительное число интервалов.
k, a – коэффициенты; t, с – интервал времени;
Г(k) – гамма функция (в формуле константа).
Значение
функции
Г(k)
легко
вычисляется
численным
интегрированием по x от 0 до 50. Это значение мало изменяется, и
примерно равно 0,9. Среднее значение интервала равно tс = k/a, дисперсия
 = k/a2.
На рис. 22 и 23 показаны в качестве примера функции Пирсона при
29
варьировании коэффициентов k и a.
Рис. 22. Распределение интервалов времени между автомобилями,
рассчитанное по закону Пирсона типа III для a = 0,3:
1 – k = 1,4; 2 – k = 1,5; 3 – k = 1,6; 4 – k = 1,7
Запишем значения коэффициентов для рис. 22:
a = 0,3; k = 1,4, 1,5, 1,6, 1,7; tс = 4,67, 5, 5,33, 5,67;
 = 15,6, 16,7, 17,8, 18,9; Г = 0,887, 0,886, 0,893, 0,909.
Запишем значения коэффициентов для рис. 23:
k = 1,7; a = 0,2, 0,25, 0,3, 0,35; tс = 8,5, 6,8, 5,67, 4,86;
 = 42,5, 27,2, 18,9, 13,9; Г = 0,909.
Рис. 23. Распределение интервалов времени между автомобилями,
рассчитанное по закону Пирсона III типа для k = 1,7:
1 – a = 0,2; 2 – a = 0,25; 3 – a = 0,3; 4 – a = 0,35
Это распределение применимо на дорогах с двумя полосами и
интенсивностью движения до 650 авт/ч, на автомагистралях с четырьмя
30
полосами – до 1250 авт/ч (325 на одну полосу).
6.4. Смешанные распределения
Наибольшее практическое применение получило трехкомпонентное,
смешанное распределение, предложенное Лобановым Е.М., которое
называют составным распределением. Вероятность p(t) интервалов
времени складывается из трех слагаемых:
p (t )  A p1 (t )  B p2 (t )  C p3 (t ) ,
где p1 (t ), p2 (t ), p3 (t ) – функции, выражающие распределения интервалов
соответственно в свободном, частично связанном и связанном потоке.
Коэффициенты A, B, C равны долям интенсивности движения в свободной,
частично связанной и связанной части потока от общей интенсивности.
Смешанное
распределение
позволяет
хорошо
описывать
распределение интервалов на магистралях с непрерывным движением: на
дорогах с двумя полосами движения при интенсивности до 450 авт/ч, с
четырьмя полосами – до 1000 авт/ч, и с шестью полосами – до 2000 авт/ч.
Кроме
рассмотренных
распределений
иногда
используют
распределение Эрланга и Гамма. Формулы, выражающие эти
распределения можно найти в книге /2/.
6.5. Области применения распределений
Рассмотренные распределения применяются
транспортных потоков типа А, Б и В (табл. 3).
для
описания
Закон распределения
интервалов
Пуассона
Пуассона с поправками
Пирсона III типа
Эрланга
Гамма
Смешанное распределение
Уровень
удобства
А
А
Б, В
Б
Б
А, Б, В.
Таблица 3
Интенсивность движения
2х пол. 4х пол. 6ти пол.
200
500
1100
250
600
1200
650
1250 2250
300
800
1200
250
850
1300
450
1000 2000
Распределения являются основой для теоретического описания
движения ТП при невысокой его плотности (коэффициент загрузки kз 
0,5). Такие потоки образуются часто. Для них требуется применение
мероприятий по повышению безопасности движения, а также
планировочных мероприятий и мероприятий по организации движения.
Вероятностные законы применяют при решении следующих задач:
– оценка эффективности планировочных решений и средств
31
регулирования;
– оценка пропускной способности участков пересечения,
переплетения и слияния потоков;
– выбор оптимального режима работы светофорных объектов;
– оценка аварийности движения.
Следует заметить, что на практике наиболее часто применяют
распределение Пуассона. Оно наиболее простое, что значительно
упрощает аналитический аппарат. Все основные решения, применяемые в
теории массового обслуживания, получены на основе распределения
Пуассона. Для других распределений аналитические решения, пригодные
для практического применения, еще не разработаны. В связи с
применением в светофорных объектах микропроцессоров последнее
замечание не уже имеет принципиального значения. Современные
микропроцессоры позволяют быстро вычислять интегралы и другие
сложные функции.
§7. Моделирование движения плотных потоков
Потоки, в которых автомобили движутся в тесном взаимодействии
друг с другом, относят к плотным потокам. Они образуются при уровнях
удобства В и Г.
Для описания движения ТП при высокой плотности применяются
три теории: динамическая теория следования за лидером, спектральная
теория взаимодействия автомобилей в колонне и макроскопическая теория
транспортного потока.
Существуют два подхода к описанию движения плотного потока:
1) учитывают взаимодействие между отдельными автомобилями;
2) представляют поток в виде сплошной среды.
Первый подход принято называть микроскопическим подходом, а второй –
макроскопическим подходом.
При микроскопическом подходе используют закономерности
взаимодействия одиночных автомобилей между собой в плотном потоке.
Наибольшее внимание обращают на механизмы воздействия автомобилей
друг на друга, детально рассматривая работу системы «автомобиль водитель».
В плотном потоке режим движения автомобилей устанавливается в
зависимости от решений, принимаемых водителями. Действия водителя
32
зависят от дистанции между автомобилями, скорости, состояния покрытия
дороги, технического состояния автомобиля и обстановки на соседних
полосах движения. Движение потока также зависит от времени реакции
водителей. Частично используют сведения, полученные в курсе «Теория
автомобиля».
Модели, получаемые при микроскопическом подходе, позволяют
рассчитывать пропускную способность дорог, среднюю скорость
движения, плотность ТП. Микроскопический подход дает хорошие
результаты при рассмотрении коротких участков дорог.
При макроскопическом подходе поток представляют в виде
сплошной среды, например, сжимаемой или несжимаемой жидкости. Это
позволяет использовать математический аппарат, разработанный в
гидродинамике или динамике газов.
Получают
общие
параметры,
выражающие
плотность,
интенсивность и скорость ТП. Дополнительно получают параметр,
характеризующий энергетическое состояние потока. Последний параметр
не привычен для автомобилистов. Модели, получаемые по второму
подходу, позволяют рассчитать общие параметры ТП и связи между ними.
Однако опускаются механизмы взаимодействия автомобилей друг с
другом, которые детально рассматриваются при первом подходе.
7.1. Простая динамическая теория движения плотного потока
Рассмотрим
параметры,
характеризующие
взаимодействие
автомобилей в плотном потоке.
Динамические модели, относящиеся к первой группе, построены на
двух гипотезах: все автомобили движутся в потоке с одинаковой средней
скоростью; расстояние между автомобилями достаточно для их полной
остановки.
Скорость V потока считают независимым параметром. Основной
задачей простой динамической теории является описание зависимости
пространственного интервала lП от скорости и влияющих факторов.
Плотность и интенсивность ТП находят по этому интервалу.
Пространственный интервал lП связывают с минимальным, безопасным
расстоянием d между бамперами автомобилей.
В первом приближении расстояние d считают суммой:
d = lа + lр + lо,
(7.1)
где lа – длина переднего автомобиля; lр = V  tр – путь, проходимый
задним автомобилем за время реакции водителя; lо – запас пути.
Фактически полагают, что тормозные пути переднего и заднего
автомобилей одинаковые.
33
Применение формулы (7.1) дает большие погрешности, так как не
учитываются сцепление шин с покрытием, различие тормозных свойств
автомобилей и времени реакции водителей.
Во втором приближении расстояние d находят с учетом тормозного
пути lт заднего автомобиля:
d = lа + lр + lо + lт.
(7.2)
Тормозной путь lт вычисляют по приближенной формуле:
lт = V2/(2  g  ),
где – коэффициент сцепления шин с покрытием дороги, g = 9,81.
Фактически полагают, что тормозной путь переднего автомобиля равен
нулю.
Формула (7.2) лучше описывает экспериментальные зависимости
интервала d от скорости на разных дорогах. Однако она дает завышенные
значения интервала d, так как передний автомобиль не может мгновенно
остановиться. Формула отражает процесс экстренного торможения
автомобиля, но не учитывает различие тормозных свойств переднего и
заднего автомобилей.
Для учета указанного различия формулу (7.2) усложняют:
d = lа + lр + lо + lт2 – lт1,
(7.3)
где lт1, и lт2 – тормозной путь переднего и заднего автомобилей.
Применение формулы вида (7.3) позволяет получить результаты,
более близкие к фактическим данным. При расчете можно подбирать
значения параметров, отражающих влияющие факторы: время реакции
водителя; эксплуатационное состояние тормозов; сцепление шин с
покрытием дороги.
Однако результаты расчетов по формуле (7.3), полученные разными
исследователями, существенно отличаются (рис. 24). Разница обусловлена
различием значений параметров, отражающих влияющие факторы,
которые используют исследователи.
Рис. 24. Зависимости пространственных интервалов от скорости,
рассчитанные разными исследователями
Экспериментальные исследования, выполненные разными авторами,
34
показали, что фактически нет такого существенного различия в величинах
расстояний d (рис. 25). Однако время реакции водителей изменяется в
широких пределах. Например, при движении в потоке время реакции
одного водителя изменяется в течение 2 часов от 0,45 до 1,2 c. Если у
переднего автомобиля несправна система сигнализации и не работает
сигнал торможения, то при больших расстояниях водитель заднего
автомобиля реагирует на торможение иногда через 5 … 6 c.
Рис. 25. Экспериментальные зависимости пространственных интервалов
от скорости: 1 – Хорошилов Н.Ф., 2 – Сильянов В.В., 3 – США
Эксперименты, выполненные Лобановым Е.М, показали, что время
реакции водителя существенно зависит от времени рабочего дня. В первой
половине рабочего дня время изменяется от 0,3 до 0,77 c при среднем
значении 0,42 c. Во второй половине рабочего дня время изменяется от
1,13 до 2,25 c при среднем значении 1,4 c. То есть, увеличивается почти в
два раза. Установлено, что время реакции водителя распределяется по
нормальному закону (рис. 26). Лобановым Е.М. разработана методика
расчета времени реакции водителя в различных дорожных условиях.
Рис. 26. Распределение времени реакции водителя на двухполосной дороге:
35
1 – при ожидаемом сигнале; 2 – при неожиданном сигнале
В книге Сильянова В.В. описано основное уравнение простой
динамической модели плотного потока в следующем виде:
d = lо + lр + lт2 – lт1 + lj.
(7.4)
Расстояние lо между остановившимися автомобилями принимается в
зависимости от скорости движения:
V, км/ч
20 40 60 80 100
lо, м
3 6 10 12 15
Путь заднего автомобиля lр за время запаздывания водителя
вычисляется по формуле:
lр = t  V2  (tр + tmin),
где: t > 1 – параметр безопасности, зависящий от величины времени
запаздывания;
V2 – скорость заднего автомобиля; tр – время реакции водителя; tmin –
минимальное время, необходимое водителю для осознания ситуации (см.
на рис. 26 смещение кривой 2 относительно кривой 1).
Разность lт2 – lт1 тормозных путей вычисляется по формуле:
lт2 – lт1 = V  (lт2 –lт1), lт1 = V12/(2  jmax)/k, lт2 = V22/(2  jmax),
где: V – параметр безопасности, зависящий от разности скоростей
переднего V1 и заднего V2 автомобиля; если разность V2 > V1, то параметр
V  1; если V2 < V1, то V < 1;
параметр k  1 учитывают в том случае, если водитель заднего
автомобиля тормозит с замедлением меньше максимального;
jmax – максимальное замедление переднего автомобиля, которое
может ожидать водитель заднего автомобиля; оно ограничено
коэффициентом сцепления шин;
Поправка lj учитывает способность водителя заднего автомобиля
чувствовать величину замедления переднего автомобиля. Поправка
вычисляется с помощью функции:
lj = f (а, jmax, t, tр, V2),
где: а – дополнительный коэффициент, учитывающий способность
водителя заднего автомобиля чувствовать замедление.
Формула (7.4) позволяет учесть все особенности процесса
торможения двух автомобилей. Полный вид функции поправки можно
найти в работе Wohl M, Martin V. “Traffic System Analysis”. 1967 – 570 p.
При практическом применении основного уравнения (7.4)
необходимы значения 9 параметров. Они зависят от состава и скорости
потока, состояния водителей, сцепления шин с дорогой и др. Значения
параметров можно найти в специальной литературе.
Расстояния между двумя автомобилями, найденные по простой
модели, распространяют на весь поток автомобилей. Такой подход нельзя
36
считать корректным, так как не учитывается разнородность состава
плотного потока. На практике выполняют следующие действия:
– по формулам (7.3), (7.4) вычисляют расстояния для комбинаций
разных моделей автомобилей;
– используя экспериментальные данные, находят по эмпирическим
зависимостям те же расстояния для выбранных комбинаций;
– рассчитывают средние значения, полученные по расчетным и
эмпирическим зависимостям.
7.2. Динамическая теория следования за лидером
Теория следования за лидером является развитием простых
динамических моделей, рассмотренных выше. В основу тории положена
гипотеза: в плотном потоке взаимодействие автомобилей подчиняется
некоторому закону.
Движение автомобиля в потоке описывается дифференциальным
уравнением. Поэтому применяются начальные условия. Полагают, что в
начальном состоянии все автомобили движутся на расстоянии,
определенном правилами дорожного движения. Положение (координаты)
автомобилей на дороге определяют по переменной x.
Учитывают следующие расстояния, м:
lО – минимальное расстояние между стоящими автомобилями;
ln – длина автомобиля номер n;
lРn – путь автомобиля номер n за время реакции водителя tР.
Задний автомобиль имеет номер n, передний – номер n + 1 (рис. 22).
Задний автомобиль, движущийся со скоростью Vn, за время tР реакции
водителя проходит путь tР  Vn.
37
Рис. 22. Номера автомобилей на дороге
Запишем координату xn+1 переднего автомобиля, связывая ее с
координатой xn заднего автомобиля:
xn+1 = xn + lО + tР  Vn + ln+1.
(6.5)
Дифференцируем формулу (6.5) по времени t. Учитываем, что расстояния
lО, ln+1 являются постоянными:
xn+1/dt = dxn/dt + tР  dVn/dt.
(6.6)
Выражаем производные через скорости автомобилей:
xn+1/dt = Vn+1; dxn/dt = Vn; dVn/dt = jn,
2
где jn, м/с – ускорение заднего автомобиля. Получаем уравнение:
jn = (Vn+1 – Vn)/tР; x n  ( x n 1  x n ) / tр .
(6.7)
Уравнение (6.7) называют первым дифференциальным уравнением
теории следования за лидером. Оно выражает следующее: задний
автомобиль движется с ускорением прямо пропорциональным разности
скоростей переднего и заднего автомобилей. Время tР в дифференциальном
уравнении является постоянной времени.
Отношение 1/tР называют коэффициентом пропорциональности 
или чувствительностью водителя заднего автомобиля и записывают
уравнение в виде:
jn =   (Vn+1 – Vn).
(6.8)
Основной принцип модели следования за лидером заключается в
том, что водитель реагирует на разность скоростей, которая
рассматривается как раздражение. Реакцией водителя является ускорение,
которое создается разгоном автомобиля с помощью педали «газ» или
торможением с помощью педали «тормоз».
Запишем уравнения (6.7) для двух автомобилей:
x n 1  ( x n 2  x n1 ) / tр ;
(6.9)
x n  ( x n 1  x n ) / tр .
где xn+2 – перемещение переднего, третьего n + 2 автомобиля. Мы
получили систему двух дифференциальных. Однако эта система
фактически выражает запаздывание движения автомобиля n + 1
относительно автомобиля n + 2, и запаздывание автомобиля n
38
относительно автомобиля n + 1. Оно выражается в сдвиге по времени
расстояний и уменьшении амплитуды их изменения.
Исследования, выполненные зарубежными учеными Д. Гейзис, Р.
Герман и Р. Потс, показали, что коэффициент  не является постоянным.
Он зависит от расстояния d между автомобилями и характерной, средней
скорости потока v0:
 = v0/d.
(6.10)
При уменьшении расстояния и увеличении скорости v0 водитель вынужден
быстрее реагировать на раздражение.
Запишем уравнение (6.8) с учетом формулы (6.10):
jn = v0  (Vn+1 – Vn)/d.
(6.11)
Это уравнение называют вторым основным уравнением теории
следования за лидером. Из него следует: ускорение заднего автомобиля
прямо пропорционально разности скоростей переднего и заднего
автомобилей, и обратно пропорционально расстоянию между ними. В этом
уравнении теперь не присутствует время реакции водителя (см. уравнение
6.7).
Системы дифференциальных уравнений, составленные из уравнений
(6.11), описывают движение автомобилей в пачке, состоящей из трех и
более автомобилей.
По уравнению (6.11) реакция водителя зависит не только от
расстояния до следующего перед ним автомобиля. Для анализа этой
взаимосвязи
предложена
обобщенная
формула
коэффициента
чувствительности  водителя заднего автомобиля, учитывающая число m
автомобилей в пачке:
 = З v0m/dсk,
где З  1 – коэффициент, учитывающий чувствительность водителя
заднего автомобиля; dс – среднее расстояние между автомобилями в
группе. Степень k обычно принимают в пределах от m – 2 до m.
Запишем коэффициент  в том виде, в каком он участвует в формуле
(6.10):  = v0/d. Подставляем размерности и получаем: (м/с)/м = с–1. То
есть, обратная величина 1/ также является постоянной времени T.
Пусть поток движется со скоростью 8 м/с (менее 10 км/ч), T = 3 с.
Построим график изменения скорости заднего автомобиля при
скачкообразном увеличении скорости переднего автомобиля на 4 м/с (рис.
23).
Зависимость скорости от времени выражается экспоненциальным
законом с постоянной времени 3 с, для которого на рис. 23 величина

= = 0,63  4 = 2, 52 м/с.
Выполнены расчеты движения пачки из 4 автомобилей. Выявлены
следующие особенности и закономерности.
39
Рис. 23. График приближения скорости заднего автомобиля
к скорости переднего автомобиля 12 м/с
Уравнения (6.7) и (6.11) фактически уже не учитывают расстояния lО
и ln между автомобилями в пачке, которые были использованы в расчетной
схеме, хотя они имеются в начальных условиях. При увеличении скорости
переднего автомобиля пачка растягивается по пути, а при снижении
скорости – сжимается. В результате расстояния d между автомобилями не
связаны с расстояниями lО, ln и lРn.
Для уточнения уравнений предлагается ввести в формулы
дополнительный член:
x n  v0 ( x n 1  x n ) / d  ( x n1  x n   ) /  d , (6.12)
где  – пространственный интервал между автомобилями при средней
скорости потока (см. рис.20); d = (2 … 4)  v0/d – время реакции водителя
на изменение интервала между автомобилями. По величине
дополнительный член меньше первого члена в 2 … 4 раза. Он учитывает
стремление водителей выдерживать безопасное расстояние или
образовывать пачку автомобилей.
При расчете приходится учитывать ограничение максимального
замедления автомобиля сцеплением шин с дорогой, и ограничение
максимального ускорения по внешней, скоростной характеристике
двигателя.
Рассмотрим движение пачки из 4 автомобилей при служебном
торможении первого автомобиля с замедлением 3,5 м/с2 в течение 1,5 с.
Отношение v0/d примем 0,5 с. Ограничим максимальные ускорения
автомобилей 3 м/с2, минимальные замедления – минус 7 м/с2. Примем
начальную скорость 60 км/ч. Результаты расчета отобразим на рис. 24 и
рис. 25.
Пусть передний автомобиль №4 снизил скорость и движется с этой
скоростью равномерно.
40
Водитель, следующего за ним автомобиля №3, тормозит с
запаздыванием с максимальным замедлением 4,2 м/с2. Для выравнивания
скорости водитель вынужден разгонять автомобиль, что сопровождается
увеличением расхода топлива.
Рис. 24. Ускорения автомобилей в пачке при снижении скорости
переднего автомобиля: 4 – передний автомобиль №4; 3 – №3; 2 – №2; 1 – №1
Водитель автомобиля №2, сначала тормозит с большим
запаздыванием с максимальным замедлением 4,4 м/с2. Для выравнивания
скорости затем разгоняет автомобиль с максимальным ускорением 1,2 м/с2.
Водитель последнего автомобиля №1, тормозит с максимальным
замедлением 5,1 м/с2, и разгоняет автомобиль с максимальным ускорением
уже 2,8 м/с2, применяя небольшое замедление для достижения скорости
потока.
Расчеты показывают, если передний автомобиль в течение 1,5 с
тормозит с замедлением 5 м/с2, то последний автомобиль уже тормозит
юзом.
Графики на рис. 24 отражают напряженную работу водителей.
Расстояния между автомобилями группы показаны на рис. 25. Расстояния
изменяются плавно, что указывает на их невысокую информативность для
оценки работы водителей.
На рис. 26 показаны графики изменения ускорений автомобилей в
пачке при разгоне переднего автомобиля с ускорением 2 м/с2 в течение 0,7
с со скорости 16,7 м/с до 20 м/с. Интервал  между автомобилями 34 м.
Водители автомобилей №3, №2, №1 нажимают на педаль «газ» с
запаздыванием и автомобили движутся с ускорением, немного больше
ускорения переднего автомобиля. Для выравнивания скоростей применяют
замедление, которое можно получить при торможении двигателем.
41
Рис. 25. Расстояния между автомобилями в пачке при снижении скорости
переднего автомобиля: 4 – №4 и №3; 3 – №3 и №2; 2 – №2 и №1
Существует другой подход к определению коэффициента
чувствительности  и времени реакции водителя в потоке. Он основан на
том, что при движении по дороге водитель видит перед собой сечение Q
находящегося перед ним автомобиля. Коэффициент связывают с
площадью этого сечения и получают аналогичное дифференциальное
уравнение:
k *  m ( x n 1  xn   ) ( x n 1  x n ),
(6.13)
где k* = f (Q0) коэффициент пропорциональности, m > 1 – степень,
учитывающая нелинейность зависимости площади Q от расстояния 
между автомобилями, Q0, м2 – лобовая площадь автомобиля (площадь
Миделя).
Это позволяет учесть состав транспортного потока. Например,
известно, что водитель, движущийся за автомобилем большого сечения,
для улучшения видимости выдерживает большую дистанцию.
При равномерном движении потока автомобилей расстояния между
автомобилями выравниваются, и мы имеем устойчивое движение. Такое
движение называют асимптотически устойчивым.
При движении потока с минимальными расстояниями между
автомобилями образуются незатухающие колебания расстояний между
автомобилями. Движение становится колебательным.
Если в потоке имеют место кратковременные торможения отдельных
автомобилей под действием внешних факторов, то движение не
стабилизируется, образуются заторы. К образованию заторов приводит
установка лишних светофорных объектов, оборудование чрезмерного
числа пешеходных переходов, и др.
42
Рис. 26. Ускорения автомобилей в пачке при разгоне переднего автомобиля
со скорости 16,7 до 20 м/с: 4 – передний №4 автомобиль; 3 – №3; 2 – №2; 1 – №1
Теорию следования за лидером используют при расчете процесса
разгона пачки автомобилей с перекрестка, при расчете заполнения очереди
на перекрестке и др.
Теорию следования за лидером можно применять при расследовании
ДТП, в которых имело место движение пачки автомобилей.
7.3. Макроскопическая теория ТП
Разработаны модели ТП, построенные на учете макроскопических
явлений, имеющих место в потоке.
Поток нельзя представить как обычную не сжимаемую жидкость.
Если такая жидкость движется по трубе переменного сечения, то в
широком месте скорость потока снижается, а в узком месте увеличивается.
В узком месте автомобили должны двигаться с большой скоростью с
прежними пространственными интервалами. Это противоречит свойствам
ТП: при увеличении скорости интервалы увеличиваются.
Поток нельзя представить в виде обычного газа. Газ может
сжиматься, а транспортный поток при низкой скорости становится
плотным и не сжимается.
Поэтому поток представляют в виде сжимающейся жидкости,
которая имеет одновременно свойства жидкости и газа. Он состоит из
близко расположенных друг к другу автомобилей, образующих сплошную
среду. Такой, гидродинамический подход, разработан Д. Дрю (США).
Законы движения сжимающейся жидкости известны. Они
разработаны в гидродинамике: закон неразрывности; закон сохранения
количества движения; закон сохранения энергии.
Для описания транспортного потока применяют, рассмотренное
43
выше, основное уравнение, связывающее его интенсивность , плотность 
и скорость V:
 = V  .
Объем жидкости, проходящей через трубу, определяется величиной
подаваемой на ее вход жидкости. Движение сжимающейся жидкости во
многом соответствует движению не сжимаемой жидкости: объем
жидкости, входящей в трубу равен объему жидкости, выходящей из трубы.
Это свойство выражает закон неразрывности.
Закон неразрывности накладывает ограничение на поток: движение
должно быть установившемся. Процесс заполнения трубы противоречит
закону неразрывности жидкости. Это не позволяет моделировать
заполнение свободных дорог автомобилями, остановку транспортного
потока перед светофором (гидроудар), и др. Поэтому макроскопическую
модель применяют для описания установившегося (стационарного)
транспортного потока.
Пусть поток располагается в некоторой трубе (рис. 27), и движется
вправо по переменной x. Движения потока происходит по времени t.
Выделим в потоке участок длиной x (см. рис. 27). Пусть за интервал
времени t на этот участок прибывает N1 автомобилей и выбывает N2
автомобилей. Тогда число N автомобилей, находящихся на этом участке,
будет равно разности: N = N1 – N2. Если N > 0, то плотность  на участке
увеличится, если N < 0, то плотность уменьшится.
Рис. 27. Схема к составлению уравнений макроскопической модели ТП
Однако для равномерно движущейся жидкости масса, входящая на
участок x, равна массе жидкости, выходящей из участка. Поэтому
транспортный поток представляют стационарным, и принимают
следующие условия (ограничения): если на участке увеличивается
плотность, то уменьшается скорость движения; если уменьшается
плотность, то скорость – повышается.
Дифференцируем основное уравнение ТП:
d/dt = V  d/dt +   dV/dt = 0.
В эту формулу не входит расстояние, что не позволяет составить модель
ТП. Поэтому принимают: плотность связана с расстоянием x, а
44
интенсивность со временем t, и составляют уравнением неразрывности:
 

 0.
x t
(6.14)
Оно содержит частные производные по расстоянию и времени. Сумма
скорости изменения интенсивности  по расстоянию и скорости изменения
интенсивности (за счет изменения плотности) по времени равна нулю.
Уравнение отражает, что число Nвх входящих слева в поток автомобилей
равно числу Nвых выходящих из него справа автомобилей (см. рис. 27).
Запишем уравнение движения потока автомобилей, используя
известное уравнение, описывающее движение потока сжимаемой
жидкости:
dV
C 2 

,
dt
 x
(6.15)
где C – постоянная, отражающая сжимаемость потока.
Запишем смысл этого уравнения: ускорение ТП (–dV/dt) прямо
пропорционально производной плотности потока по расстоянию, и
обратно пропорционально величине плотности потока.
Если на участке x плотность потока снижается (d/dx < 0), то
скорость V потока увеличивается. Если на участке плотность потока
увеличивается, то скорость V потока уменьшается. Увеличение и снижение
скорости потока зависит от его плотности и сжимаемости. При малой
плотности  поток быстро реагирует на изменение плотности на участке.
При большой плотности скорость потока изменяется медленно.
Вывод сложных формул, выражающих закон сохранения количества
движения и энергии потока, опускаем.
Из уравнений (6.14) и (6.15) составляют систему дифференциальных
уравнений с частными производными с неизвестными V и .
Интенсивность  выражают через скорость и плотность, используя
основное уравнение ТП. Задают начальные условия. Теперь их называют
граничными условиями. Магистраль представляют состоящей из
различных участков. Для каждого участка в уравнения (6.14) и (6.15)
вводят соответствующие граничные условия и коэффициенты,
учитывающие ширину дороги на участке, наличие препятствий движению
и др.
Получают математическую модель ТП, по которой рассчитывают
квазистационарное его движение. Однако эта модель является сложной и
редко применяется в практических расчетах.
Библиографический список
1. Автомобильные перевозки и организация дорожного движения:
45
Справочник. Пер. с англ. /В.У. Рэнкин, П. Клафи, С. Халберт и др. – М.:
Транспорт, 1981. – 592 с.
2. Теория транспортных потоков в проектировании дорог и
организации движения. Сильянов В.В. М.: Транспорт, 1977, 303 с.
46