устойчивость наполняемой кубической ёмкости

Сборник 4‐й Всероссийской интернет‐конференции «Грани науки – 2015» УСТОЙЧИВОСТЬ НАПОЛНЯЕМОЙ КУБИЧЕСКОЙ ЁМКОСТИ
Савасина А.С.
МОУ «Гимназия №5» района Юбилейного города Королёва Московской области,
г. Королёв, Россия
email: asavasina@list.ru
В технике часто встречаются конструкции, наполняемые жидкостями. Это могут быть
бассейны, баки, водонапорные вышки, ёмкости для хранения топлива на заправочных
станциях, автомобили-цистерны и т.д. Устойчивость таких конструкций зависит от
наполнения жидкостью. Пустая ёмкость может быть устойчива, а наполненная водой
опрокинется из-за смещения центра тяжести вверх. Может наблюдаться обратная ситуация,
когда при наполнении ёмкости жидкостью центр тяжести системы сначала опускается,
конструкция становится более устойчивой. Задача исследования заключается в
количественном определении характеристик увеличения или уменьшения устойчивости
конструкции в процессе наполнения её жидкостью.
Объектом исследования выбрана простейшая конструкция в виде куба без крышки с
четырьмя боковыми гранями и дном, выполненными из однородного листового материала. В
последующем будут рассмотрены более сложные формы наполняемых ёмкостей.
Методическая схема расчёта устойчивости сводится к определению высоты
расположения центра тяжести над дном пустой и постепенно наполняемой жидкостью
конструкции. С математической точки зрения изучается система из двух тел, состоящая из
листового материала куба и жидкости с переменным уровнем. Эта система изучается на
предмет определения высоты расположения центра тяжести [1,2].
Сначала определим высоту расположения центра тяжести пустой ёмкости в виде куба
со стороной a . Для этого достаточно рассмотреть два тела – дно с площадью a 2 и боковую
поверхность из четырёх граней с площадью 4a 2 . Будем предполагать, что листовой материал
кубической ёмкости имеет поверхностью плотность  (кг/м2). При таких предположениях
центр тяжести пустого стакана находится на высоте xCT
a
4a 2   a 2  0
2

 0, 4a от дна.
4a 2  a 2
Заполним кубическую ёмкость жидкостью с плотностью  до высоты h от дна
стакана. Тогда масса жидкости будет равна m Ж   VЖ   a 2 h , а центр тяжести жидкости
будет находиться на половине высоты её уровня в кубическом стакане, то есть x Ж 
h
.
2
Определяем высоту расположения центра тяжести системы «стакан-жидкость»:
mC T  xC T  mЖ  x Ж 5a 2  0, 4 a   a 2 h  0,5 h 4 a   h 2
.
xC 


5a 2   a 2 h
10  2  h
mC T  mЖ
Введём в рассмотрение величину  

, имеющую размерность длины,

   м.
Тогда высота расположения центра тяжести частично заполненного кубического стакана
4 a  h 2
25 2  4 a
 0,5h  2,5 
.
определяется по формуле xC 
10  2 h
2h  10
Проверить правильность полученного выражения можно изучением четырёх
предельных случаев и анализом их физического смысла.
4 a  h 2
Почти пустой стакан: lim xC  lim
 0, 4a .
h 0
h 0 10  2 h
4 a  h 2
h
 lim   .
h  0 10  2 h
h 0 2
Очень высокий стакан: lim xC  lim
h 
Сборник 4‐й Всероссийской интернет‐конференции «Грани науки – 2015» 4 a  h 2
 0, 4a .
h  0 10  2 h
Очень тяжёлый стакан и лёгкая жидкость: lim xC  lim
 
4 a  h 2
 0,5h .
h  0 10  2 h
 0
Следующая задача является оптимизационной. При какой высоте уровня h жидкости в
кубическом стакане высота центра тяжести системы минимальна, то есть система наиболее
устойчива? Для этого надо потребовать выполнение необходимого условия экстремума, то
2  25 2  4 a 
dxC
 0 . Получаем уравнение 0,5 
 0 . Решением этого уравнения будут
есть
2
dh
 2h  10 
Очень лёгкий стакан и тяжёлая жидкость: lim xC  lim
два
значения,
выбираем
положительное,
имеющее
физический
смысл,
hОПТ  25 2  4 a  5 . Проверяем выполнение достаточного условия минимума.
Проведём анализ полученного результата на конкретном примере. Ребро куба
предположим равным а  100 м , можно предполагать 100 условным единицам длины. В
качестве материалов системы рассмотрим стальной лист толщиной 1 мм и воду, для которых
кг
кг

  7,8 2 ;   1000 3 ;    0, 0078 м . Получается оптимальный уровень воды в

м
м
стальном стакане hОПТ  1, 728 м , то есть заполнение на 1,7%. Вряд ли в строительных
сооружениях оптимальная высота может быть реализована. Действительно, грузовик с
кубическим кузовом для повышения устойчивости надо заполнить менее чем на 2%. Никто
не позволит в десятитонную автоцистерну залить для транспортировки всего 170 кг воды.
Приведённый пример характеризует реальные условия, при которых надо определять
не оптимальные, а рациональные характеристики сложных систем. В приведённом примере
не надо требовать минимизации высоты расположения центра тяжести. Если автоцистерна
создана, то она предполагается устойчивой, понижать высоту центра тяжести нет смысла.
Однако есть смысл определить, при каком уровне заполнения ёмкости устойчивость системы
начнёт уменьшаться. Это будет, если центр тяжести воды поднимется выше центра тяжести
пустого кубического стакана, то есть h РАЦ  2 x CT  2  0, 4 a  0,8 a . Заполнение кубического
стакана до 80% не ухудшает устойчивость конструкции, напротив, улучшает её. При
заполнении ровно на 80% устойчивость системы будет такой же, как и пустого стакана. Но
если превысить указанный уровень заполнения, то устойчивость системы начнёт
ухудшаться, потому что центр тяжести будет находиться выше, чем у пустого стакана.
Полученный результат имеет важное практическое значение для нештатных или
экстремальных условий при строительстве различных объектов. Например, необходимо
доставить раствор бетона к объекту, расположенному на косогоре. Бетоновоз может
опрокинуться. Физическая причина опрокидывания – высокое расположение центра тяжести
полностью загруженного бетоновоза. Но если вылить 20% раствора бетона, то центр тяжести
понизится до уровня конструкции изученной формы. Вполне возможно, что придётся вылить
98% раствора бетона, чтобы оставшиеся 2% доставить по назначению. Всё равно вылитый
раствор пропадёт. При последующих транспортировках надо будет предусмотреть другое
транспортное средство. Следовательно, задача рационализации устойчивости наполняемой
жидкостью системы является комплексной, требует сложного анализа нескольких факторов,
но её решение начинается с поиска оптимального решения как нулевого приближения.
1) Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. (В 3-х томах). М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2001.
2) Привалов И.И. Аналитическая геометрия (30-е изд., стереот.). Учебник для ВТУЗов. М.: Наука,
1966.