Сопромат

Техническая механика II
Лекции по сопротивлению материалов
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Косой изгиб призматического стержня
Совместное действие изгиба и растяжения или сжатия
Ядро сечения при внецентренном сжатии
Совместные действия изгиба и кручения призматического стержня
Расчет балок переменного сечения
Расчет балки на упругом основании
Энергетические методы расчета деформаций
Теорема Кастильяно
Теоремы о взаимности работ и Максвелла — Мора
Расчет статически неопределимых балок. Способ сравнения деформаций
Устойчивость сжатых стержней. Формула Эйлера
Анализ формулы Эйлера
Пределы применимости формулы Эйлера
Прочность при циклически изменяющихся напряжениях
Диаграмма усталостной прочности
Расчет коэффициентов запаса усталостной прочности
Основы вибропрочности конструкций
Расчет динамического коэффициента при ударной нагрузке
Оценка прочности при ударной нагрузке
Лекция № 1. Косой изгиб призматического стержня
Вид деформации является сложным, когда в поперечном сечении стержня возникают
два и более силовых факторов. Сложный вид деформации можно рассматривать как
сумму простых видов, изученных ранее (растяжение, изгиб, кручение), если применим
принцип независимости действия сил (частный случай принципа суперпозиции или
наложения, применяемый в механике деформируемого твердого тела).
Напомним формулировку принципа независимости действия сил: напряжение
(деформация) от группы сил равно сумме напряжений (деформаций) от каждой силы в
отдельности. Он справедлив, если функция и аргумент связаны линейной
зависимостью. В задачах механики материалов и конструкций становится
неприменимым, если:

напряжения в какой-либо части конструкции от одной из сил или группы сил

превышают предел пропорциональности
;
деформации или перемещения становятся настолько большими, что нарушается
линейная зависимость между ними и нагрузкой.
Например, дифференциальное уравнение изгиба стержня является нелинейным и
вытекающая из него зависимость прогиба f от нагрузки Р для консольной балки,
изображенной на рис. 1, а, также является нелинейной (рис. 1, б). Однако, если
прогибы балки невелики (f<<l) настолько, что (dv/dz)2<<1 (так как dv/dz ~ f/l), то
дифференциальное уравнение изгиба становится линейным (как видно из рис. 1, б,
начальный участок зависимости Р от f, описываемый этим уравнением, также является
линейным).
а) расчетная схема б) линейное и нелинейное сопротивления
Рис.1. Модели изгиба балки:
Известно, что косой изгиб имеет место, когда силы, его вызывающие, не лежат в
одной из главных плоскостей инерции. Однако, если разложить внешние силы по
главным осям инерции Ох и Оу, то получим две системы сил P1x, P2x, …, Pnx и P1y, P2y,...,
Pny, каждая из.которых вызывает прямой изгиб с изгибающими моментами
соответственно My и Мx (рис. 2). Применяя принцип независимости действия сил,
нормальные напряжения
(рис. 3) определим как алгебраическую сумму напряжений
от Mx и Мy:
Чтобы не связывать себя формальными правилами знаков, слагаемые будем
определять по модулю, а знаки ставить по смыслу. Прогибы балки определим как
геометрическую сумму прогибов от прямых изгибов (рис. 2)
.
Таким образом, расчет на косой изгиб с применением принципа независимости
действия сил сводится к расчету на два прямых изгиба с последующим алгебраическим
суммированием напряжений и геометрическим суммированием прогибов.
Рис.2. Расчетная модель косого изгиба бруса
Рис.3. Связь нормального напряжения с внутренними изгибающими моментами
В случае поперечных сечений, имеющих две оси симметрии и выступающие угловые
точки (рис. 4) с равными по модулю и максимальными одноименными координатами
и
будут равны
напряжения в этих точках
Слагаемые в этом выражении рекомендуется определять по модулю, а знаки ставить
по смыслу. Например, на рис. 5 верхний ряд знаков «+» и «—» соответствует
напряжениям от Мx, а нижний ряд — от My, и напряжения в этих точках будут равны
Рис.4. Симметричные варианты сечений
Рис.5. Расстановка знаков от действия моментов
Условие прочности для балок из пластичного материала с указанным типом сечений
запишется в виде
В остальных случаях для определения max а (или max dp и max
для хрупкого
материала) необходимо по общей формуле проверить напряжения во всех
подозрительных точках.
Есть и другой путь: положив
, получим уравнение нейтральной линии. Так как
напряжения в точках поперечного сечения будут пропорциональными расстояниям от
нейтральной линии, то max
будут возникать в наиболее удаленных от нее точках.
Лекция № 2. Совместное действие изгиба и растяжения или сжатия.
Изгиб балки при действии продольных и поперечных сил.
На практике очень часто встречаются случаи совместной работы стержня на изгиб и
на растяжение или сжатие. Подобного рода деформация может вызываться или
совместным действием на балку продольных и поперечных сил, или только одними
продольными силами.
Первый случай изображен на Рис.1. На балку АВ действуют равномерно
распределенная нагрузка q и продольные сжимающие силы Р.
Рис.1. Совместное действие изгиба и сжатия.
Предположим, что прогибами балки по сравнению с размерами поперечного сечения
можно пренебречь; тогда с достаточной для практики степенью точности можно
считать, что и после деформации силы Р будут вызывать лишь осевое сжатие балки.
Применяя способ сложения действия сил, мы можем найти нормальное напряжение в
любой точке каждого поперечного сечения балки как алгебраическую сумму
напряжений, вызванных силами Р и нагрузкой q.
Сжимающие напряжения
от сил Р равномерно распределены по площади F
поперечного сечения и одинаковы для всех сечений:
нормальные напряжения от изгиба в вертикальной плоскости в сечении с абсциссой х,
которая отсчитана, скажем, от левого конца балки, выражаются формулой
Таким образом, полное напряжение в точке с координатой z (считая от нейтральной
оси) для этого сечения равно
На Рис.2 изображены эпюры распределения напряжений в рассматриваемом сечении
от сил Р, нагрузки q и суммарная эпюра.
Наибольшее напряжение в этом сечении будет в верхних волокнах, где оба вида
деформации вызывают сжатие; в нижних волокнах может быть или сжатие или
растяжение в зависимости от числовых величин напряжений
и
условия прочности найдем наибольшее нормальное напряжение.
. Для составления
Рис.2. Сложение напряжений сжатия и изгиба
Так как напряжения от сил Р во всех сечениях одинаковы и равномерно
распределены, то опасными будут волокна, наиболее напряженные от изгиба. Такими
являются крайние волокна в сечении с наибольшим изгибающим моментом; для них
Таким образом, напряжения в крайних волокнах 1 и 2 среднего сечения балки
выражаются формулой
,
и расчетное напряжение будет равно
Если бы силы Р были растягивающими, то знак первого слагаемого изменился бы,
опасными были бы нижние волокна балки.
Обозначая буквой N сжимающую или растягивающую силу, можем написать общую
формулу для проверки прочности:
(27.1)
Описанный ход расчета применяется и при действии на балку наклонных сил. Такую
силу можно разложить на нормальную к оси, изгибающую балку, и продольную,
сжимающую или растягивающую.
Внецентренное сжатие или растяжение.
Вторым практически важным случаем сложения деформаций от изгиба и от
продольных сил является так называемое внецентренное сжатие или растяжение,
вызываемое одними продольными силами. Этот вид деформации получается при
действии на стержень двух равных и прямопротивоположных сил Р, направленных по
прямой АА, параллельной оси стержня (Рис.3 а). Расстояние точки А от центра тяжести
сечения ОА=е называется эксцентриситетом.
Рассмотрим сначала случай внецентренного сжатия, как имеющий большее
практическое значение.
Нашей задачей явится нахождение наибольших напряжений, материале стержня и
проверка прочности. Для решения этой задачи приложим в точках О по две равные и
противоположные силы Р (Рис.3 б). Это не нарушит равновесия стержня в целом и не
изменит напряжений в его сечениях.
Силы Р, зачеркнутые один раз, вызовут осевое сжатие, а пары сил Р, зачеркнутые
дважды, вызовут чистый изгиб моментами
. Расчетная схема стержня показана
на Рис.3 в. Так как плоскость действия изгибающих пар ОА может не совпадать ни с
одной из главных плоскостей инерции стержня, то в общем случае имеет место
комбинация продольного сжатия и чистого косого изгиба.
Так как при осевом сжатии и чистом изгибе напряжения во всех сечениях одинаковы,
то проверку прочности можно произвести для любого сечения, хотя бы С—С (Рис.3 б,
в).
Отбросим верхнюю часть стержня и оставим нижнюю (Рис.3 г). Пусть оси Оу и Oz
будут главными осями инерции сечения.
Рис.3. а) расчетная схема б) преобразование нагрузок в)приведенная расчетная схема
г) механизм исследования напряжений
Координаты точки А, — точки пересечения линии действия сил Р с плоскостью
сечения, — пусть будут
и
. Условимся выбирать положительные направления осей
Оу и Oz таким образом, чтобы точка А оказалась в первом квадранте. Тогда
будут положительны.
и
Для того чтобы отыскать наиболее опасную точку в выбранном сечении, найдем
нормальное напряжение
в любой точке В с координатами z и у. Напряжения в
сечении С — С будут складываться из напряжений осевого сжатия силой Р и
напряжений от чистого косого изгиба парами с моментом Ре, где
напряжения от осевых сил Р в любой точке равны
, где
. Сжимающие
— площадь поперечного
сечения стержня; что касается косого изгиба, то заменим его действием изгибающих
моментов в главных плоскостях. Изгиб в плоскости х Оу вокруг нейтральной оси Oz
будет вызываться моментом
и даст в точке В нормальное сжимающее напряжение
Точно так же нормальное напряжение в точке В от изгиба в главной плоскости х Oz,
вызванное моментом
, будет сжимающим и выразится формулой
.
Суммируя напряжения от осевого сжатия и двух плоских изгибов и считая сжимающие
напряжения отрицательными, получаем такую формулу для напряжения в точке В:
(1)
Эта формула годится для вычисления напряжений в любой точке любого сечения
стержня, стоит только вместо у и z подставить координаты точки относительно главных
осей с их знаками.
В случае внецентренного растяжения знаки всех составляющих нормального
напряжения в точке В изменятся на обратные. Поэтому для того, чтобы получать
правильный знак напряжений как при внецентренном сжатии, так и при внецентренном
растяжении, нужно, кроме знаков координат у и z, учитывать также и знак силы Р; при
растяжении перед выражением
должен стоять знак плюс, при сжатии — минус.
Полученной формуле можно придать несколько иной вид; вынесем за скобку
множитель
; получим:
(2)
Здесь
и
— радиусы инерции сечения относительно главных осей (вспомним, что
и
).
Для отыскания точек с наибольшими напряжениями следует так выбирать у и z,
чтобы
достигло наибольшей величины. Переменными в формулах (1) и (2) являются
два последних слагаемых, отражающих влияние изгиба. А так как при изгибе
наибольшие напряжения получаются в точках, наиболее удаленных от нейтральной
оси, то здесь, как и при косом изгибе, надо отыскать положение нейтральной оси.
Обозначим координаты точек этой линии через
и
; так как в точках нейтральной
оси нормальные напряжения равны нулю, то после подстановки в формулу (2)
значений
и
получаем:
или
(3)
Это и будет уравнение нейтральной оси. Очевидно, мы получили уравнение прямой, не
проходящей через центр тяжести сечения.
Чтобы построить эту прямую, проще всего вычислить отрезки, отсекаемые ею на осях
координат. Обозначим эти отрезки
Оу, надо в уравнении (3) положить
и
. Чтобы найти отрезок
, отсекаемый на оси
;
тогда мы получаем:
(4)
и
подобным же образом, полагая
;
получаем:
(5)
Если величины
и
положительны, то отрезки
и
будут отрицательны, т. е.
нейтральная ось будет расположена по другую сторону центра тяжести сечения, чем
точка А (Рис.3 г).
Нейтральная ось делит сечение на две части — сжатую и растянутую; на Рис.3 г
растянутая часть сечения заштрихована. Проводя к контуру сечения касательные,
параллельные нейтральной оси, получаем две точки
и
наибольшие сжимающие и растягивающие напряжения.
, в которых будут
Измеряя координаты у и z этих точек и подставляя их значения в формулу (1),
вычисляем величины наибольших напряжений в точках
и
:
Если материал стержня одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то условие
прочности получает такой вид:
Для поперечных сечений с выступающими углами, у которых обе главные оси
инерции являются осями симметрии (прямоугольник, двутавр и др.)
Поэтому формула упрощается, и мы имеем
и
Если же материал стержня неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то
необходимо проверить прочность стержня как в растянутой, так и в сжатой зонах.
Однако может случиться, что и для таких материалов будет достаточно одной
проверки прочности. Из формул (4) и (5) видно, что положение точки А приложения
силы и положение нейтральной оси связаны: чем ближе подходит точка А к центру
сечения, тем меньше величины
и
и тем больше отрезки
и
. Таким образом, с
приближением точки А к центру тяжести сечения нейтральная ось удаляется от него, и
наоборот. Поэтому при некоторых положениях точки А нейтральная ось будет
проходить вне сечения и все сечение будет работать на напряжения одного знака.
Очевидно в этом случае всегда достаточно проверить прочность материала в точке
Разберем практически.важный случай, когда к стержню прямоугольного сечения
(Рис. 4) приложена внецентренно сила Р в точке А, лежащей на главной оси сечения
Оу. Эксцентриситет ОА равен е, размеры сечения b и d. Применяя полученные выше
формулы, имеем:
Рис.4. Расчетная схема бруса прямоугольного сечения.
Напряжение в любой точке В равно
.
так как
Напряжения во всех точках линии, параллельной оси Oz, одинаковы. Положение
нейтральной оси определяется отрезками
Нейтральная ось параллельна оси Oz; точки с наибольшими растягивающими и
сжимающими напряжениями расположены на сторонах 1—1 и 3—3.
Значения
и
получатся, если подставить вместо у его значения
Лекция № 3. Ядро сечения при внецентренном сжатии
. Тогда
При конструировании стержней из материалов, плохо сопротивляющихся растяжению
(бетон), весьма желательно добиться того, чтобы все сечение работало лишь на
сжатие. Этого можно достигнуть, не давая точке приложения силы Р слишком далеко
отходить от центра тяжести сечения, ограничивая величину эксцентриситета.
Конструктору желательно заранее знать, какой эксцентриситет при выбранном типе
сечения можно допустить, не рискуя вызвать в сечениях стержня напряжений разных
знаков. Здесь вводится понятие о так называемом ядре сечения. Этим термином
обозначается некоторая область вокруг центра тяжести сечения, внутри которой можно
располагать точку приложения силы Р, не вызывая в сечении напряжений разного
знака.
Пока точка А располагается внутри ядра, нейтральная ось не пересекает контура
сечения, все оно лежит по одну сторону от нейтральной оси и, стало быть, работает
лишь на сжатие. При удалении точки А от центра тяжести сечения нейтральная ось
будет приближаться к контуру; граница ядра определится тем, что при расположении
точки А на этой границе нейтральная ось подойдет вплотную к сечению, коснется его.
Рис.1. Комбинации положения сжимающей силы и нейтральной линии
Таким образом, если мы будем перемещать точку А так, чтобы нейтральная ось
катилась по контуру сечения, не пересекая его, то точка А обойдет по границе ядра
сечения. Если контур сечения имеет «впадины», то нейтральная ось будет катиться по
огибающей контура.
Чтобы получить очертание ядра, необходимо дать нейтральной оси несколько
положений, касательных к контуру сечения, определить для этих положений отрезки
и
и вычислить координаты
и
точки приложения силы по формулам,
вытекающим из известных зависимостей:
это и будут координаты точек контура ядра
и
.
При многоугольной форме контура сечения (Рис.2), совмещая последовательно
нейтральную ось с каждой из сторон многоугольника, мы по отрезкам
координаты
и
и
определим
точек границы ядра, соответствующих этим сторонам.
При переходе от одной стороны контура сечения к другой нейтральная ось будет
вращаться вокруг вершины, разделяющей эти стороны; точка приложения силы будет
перемещаться по границе ядра между полученными уже точками. Установим, как
должна перемещаться сила Р, чтобы нейтральная ось проходила все время через одну и
ту же точку В (
, ) — вращалась бы около нее. Подставляя координаты этой точки
нейтральной оси в известное уравнение нейтральной оси (линии), получим:
Рис.2. Ядро сечения для многоугольной формы поперечного сечения
Таким образом координаты
и
точки
приложения силы Р связаны линейно. При
вращении нейтральной оси около постоянной точки В точка А приложения силы
движется по прямой. Обратно, перемещение силы Р по прямой связано с вращением
нейтральной оси около постоянной точки.
На Рис.3 изображены три положения точки приложения силы на этой прямой и
соответственно три положения нейтральной оси. Таким образом, при многоугольной
форме контура сечения очертание ядра между точками, соответствующими сторонам
многоугольника, будет состоять из отрезков прямых линий.
Рис.3. Динамика построения ядра сечения
Если контур сечения целиком или частично ограничен кривыми линиями, то
построение границы ядра можно вести по точкам. Рассмотрим несколько простых
примеров построения ядра сечения.
При выполнении этого построения для прямоугольного поперечного сечения
воспользуемся полученными формулами.
Для определения границ ядра сечения при движении точки А по оси Оу найдем то
значение
, при котором нейтральная ось займет положение Н1О1. Имеем:
откуда
Таким образом, границы ядра по оси Оу будут отстоять от центра сечения на 1/6
величины b (Рис.4, точки 1 и 3); по оси Oz границы ядра определятся расстояниями
(точки 2 и 4).
Для получения очертания ядра целиком изобразим положения нейтральной оси
и
, соответствующие граничным точкам 1 и 2.
При перемещении силы из точки 1 в точку 2 по границе ядра нейтральная ось должна
перейти из положения
в положение
поворачиваясь вокруг точки D.
, все время касаясь сечения, т. е.
Рис.4. построение ядра для прямоугольного сечения.
Для этого сила должна двигаться по прямой 1 — 2. Точно так же можно доказать, что
остальными границами ядра будут линии 2—3, 3—4 и 4—1.
Таким образом, для прямоугольного сечения ядро будет ромбом с диагоналями,
равными одной трети соответствующей стороны сечения. Поэтому прямоугольное
сечение при расположении силы по главной оси работает на напряжения одного знака,
если точка приложения силы не выходит за пределы средней трети стороны сечения.
Рис.5. Динамика изменения напряжений при изменении эксцентриситета.
Эпюры распределения нормальных напряжений по прямоугольному сечению при
эксцентриситете, равном нулю, меньшем, равном и большем одной шестой ширины
сечения, изображены на Рис.5.
Отметим, что при всех положениях силы Р напряжение в центре тяжести сечения
(точка О) одинаково и равно
главной оси.
и что сила Р не имеет эксцентриситета по второй
Для круглого сечения радиуса r очертание ядра будет по симметрии кругом радиуса
. Возьмем какое-либо положение нейтральной оси, касательное к контуру. Ось Оу
расположим перпендикулярно к этой касательной. Тогда
Рис.6. Ядро сечения для двутавра — а) и швеллера — б)
Таким образом, ядро представляет собой круг с радиусом, вчетверо меньшим, чем
радиус сечения.
Для двутавра нейтральная ось при обходе контура не будет пересекать площади
поперечного сечения, если будет касаться прямоугольного контура ABCD, описанного
около двутавра (Рис.6а). Следовательно, очертание ядра для двутавра имеет форму
ромба, как и для прямоугольника, но с другими размерами.
Для швеллера, как и для двутавра, точки 1, 2, 3, 4 контура ядра (Рис.6 б)
соответствуют совпадению нейтральной оси со сторонами прямоугольника ABCD.
Лекция №4. Совместные действия изгиба и кручения призматического стержня
Исследуем этот вид деформации стержня на примере расчета вала кругового
(кольцевого) поперечного сечения на совместное действие изгиба и кручения (рис. 1).
Рис.1. Расчетная схема изогнутого и скрученного вала
Примем следующий порядок расчета.
1. Разлагаем все внешние силы на составляющие
P1x, P2x,..., Pnx и P1y, P2y,..., Pny.
2. Строим эпюры изгибающих моментов My и My. от этих групп сил.
У кругового и кольцевого поперечного сечений все центральные оси главные,
поэтому косого изгиба у вала вообще не может быть, следовательно, нет смысла в
каждом сечении иметь два изгибающих момента Mx, и My а целесообразно их заменить
результирующим (суммарным) изгибающим моментом (рис. 2)
,
который вызывает прямой изгиб в плоскости его действия относительно нейтральной
оси п—п, перпендикулярной вектору Мизг. Эпюра суммарного момента имеет
пространственное очертание и поэтому неудобна для построения и анализа. Поскольку
все направления у круга с точки зрения прочности равноценны, то обычно эпюру Мизг
спрямляют, помещая все ординаты в одну (например, вертикальную) плоскость.
Обратим внимание на то, что центральный участок этой эпюры является нелинейным.
Рис.2. Формирование результирующего изгибающего момента
3. Строится эпюра крутящего момента Мz.
Наибольшие напряжения изгиба возникают в точках k и k/, наиболее удаленных от
нейтральной оси (рис. 3),
.
где Wизг — момент сопротивления при изгибе.
В этих же точках имеют место и наибольшие касательные напряжения кручения
,
где Wр— момент сопротивления при кручении.
а) эпюры напряжений б) распределение напряжений
Рис.3. Напряженное состояние вала:
Как следует из рис. 3, напряженное состояние является упрощенным плоским
(сочетание одноосного растяжения и чистого сдвига). Если вал выполнен из
пластичного материала, оценка его прочности должна быть произведена по одному из
критериев текучести. Например, по критерию Треска—Сен-Венана имеем
.
Учитывая, что Wр=2 Wизг, для эквивалентных напряжений получаем
,
где
—эквивалентный момент, с введением которого задача расчета
вала на совместное действие изгиба и кручения, сводится к расчету на эквивалентный
изгиб.
Аналогично для Мэкв по.критерию Губера—Мизеса получаем
Тогда условие прочности для вала из пластичного материала будет иметь вид
.
Для стержня из хрупкого материала условие прочности следует записать в виде
,
где Мэкв должен быть записан применительно к одному из критериев хрупкого
разрушения. Например, по критерию Мора
где
.
Обратим внимание на особенности расчета при сочетании изгиба, растяжения и
кручения стержня прямоугольного поперечного сечения (рис. 4.) Для выявления
опасной точки здесь должны быть сравнены напряжения косого изгиба с растяжением в
точке А, с эквивалентными напряжениями в точках В и С.
Рис.4. Модель расчета напряжений при сочетании кручения, растяжения и изгиба.
Полученные соотношения приобретают крайнюю необходимость и востребованность
при выполнении Вами курсового проекта по основам конструирования при расчете на
прочность и жесткость валов передач.
Лекция № 5. Расчет балок переменного сечения.
Подбор сечений балок равного сопротивления.
Все предыдущие расчеты относились к балкам постоянного сечения. На практике мы
имеем часто дело с балками, поперечные размеры которых меняются по длине либо
постепенно, либо резко.
Ниже рассмотрено несколько примеров подбора сечения и определения деформаций
балок переменного профиля.
Так как изгибающие моменты обычно меняются по длине балки то, подбирая ее
сечение по наибольшему изгибающему моменту, мы получаем излишний запас
материала во всех сечениях балки, кроме того, которому соответствует
. Для
экономии материала, а также для увеличения в нужных случаях гибкости балок
применяют балки равного сопротивления. Под этим названием подразумевают балки, у
которых во всех сечениях наибольшее нормальное напряжение одинаково и должно
быть равно допускаемому.
Условие, определяющее форму такой балки, имеет вид
и
Здесь М(х) и W(x) — изгибающий момент и момент сопротивления в любом сечении
балки; W(х) для каждого сечения балки должен меняться пропорционально
изгибающему моменту.
Эти условия справедливы и для сечения с наибольшим изгибающим моментом; если
обозначить
моментом
— момент сопротивления балки в сечении с наибольшим изгибающим
, то можно написать:
(1)
Покажем ход вычислений на примере. Рассмотрим балку пролетом l, защемленную
концом А и нагруженную на другом конце силой Р (Рис.1). Выберем сечение этой балки
в виде прямоугольника; задачу о надлежащем изменении момента сопротивления
можно решать, меняя высоту или ширину балки или тот и другой размер вместе.
Рис.1. Расчетная схема балки равного сопротивления
Пусть высота балки будет постоянной
, а ширина переменной—
. Момент
сопротивления в сечении на расстоянии х от свободного конца будет
изгибающий момент
,а
; момент сопротивления опорного сечения
наибольший изгибающий момент в опорном сечении
,a
. В расчете имеют
значения лишь абсолютные величины М(х) и
По формуле (1) получаем:
откуда
т. е. ширина меняется по линейному закону в зависимости от х. При
ширина равна
.
Вид балки в фасаде и плане показан на Рис.1. Такое очертание балки получается,
если учитывать ее прочность только по отношению к нормальным напряжениям;
ширина
в сечении В обращается в нуль.
Однако необходимо обеспечить прочность и по отношению к касательным
напряжениям. Наименьшая ширина балки, требуемая этим условием, определится из
уравнения
или, так как
Таким образом, исправленное очертание балки предопределяет минимальный размер
ширины и утолщение свободного края консоли.
Определение деформаций балок переменного сечения.
При определении прогибов и углов поворота для балок с переменным сечением
надлежит иметь в виду, что жесткость такой балки является функцией от х. Поэтому
дифференциальное уравнение изогнутой оси принимает вид
где J(x) — переменный момент инерции сечений балки.
До интегрирования этого уравнения можно выразить J(x) надлежащей подстановкой
через J, т. е. через момент инерции того; сечения, где действует
; после этого
вычисления производятся так же, как и.для балок постоянного сечения.
Покажем это на примере, разобранном выше. Определим прогиб балки равного
сопротивления, защемленной одним концом, нагруженной на другом конце силой Р и
имеющей постоянную высоту. Начало координат выберем на свободном конце балки.
Тогда
Дифференциальное уравнение принимает вид:
Интегрируем два раза:
Для определения постоянных интегрирования имеем условия: точке А при
и угол поворота
или
прогиб
и
отсюда
и
Выражения для у и
принимают вид;
Наибольший прогиб на свободном конце балки В получится при
: он равен
Если бы мы всю балку сделали постоянного сечения с моментом инерции J, то
наибольший прогиб был бы
т. е. в 1
раза меньше.
Таким образом, балки переменного сечения обладают большей гибкостью по
сравнению с балками постоянной жесткости при одинаковой с ними прочности. Именно
поэтому, а не только ради экономии материала, они и применяются в таких
конструкциях, как рессоры.
Лекция № 6. Расчет балки на упругом основании.
Общие понятия.
К числу статически неопределимых балок может быть отнесена балка на упругом
основании. Так называется балка, опирающаяся по всей своей длине (Рис.1) на
упругое основание, оказывающее в каждой точке на балку реакцию,
пропорциональную у — прогибу балки в этой точке. Коэффициент пропорциональности
обозначается буквой k.
Введение предположения о пропорциональности реакций прогибу является
приближением, хотя и достаточно близким к действительным условиям.
Рис.1. Расчетная схема балки на упругом основании.
Предложение ввести в расчет коэффициент пропорциональности к, именуемый
«коэффициентом постели», было впервые сделано русским академиком Николаем
Ивановичем Фуссом в 1801 году. Принимая это предположение, получаем, что
интенсивность реакции основания в каждой точке сила равна ky и измеряется в
единицах силы и длины; размерность коэффициента k при этом будет сила и квадрат
длины. Будем считать, что основание оказывает реакцию при прогибах балки как вниз,
так и вверх.
На практике задачи о расчете балки на упругом основании встречаются в
железнодорожном деле (рельс, шпала), в строительстве — фундаменты различных
сооружений, передающие нагрузку на грунт.
Статически неопределимой такая балка будет потому, что условие статики— сумма
нагрузок равна всей реакции основания — не дает возможности установить
распределение этой реакции по длине балки, а значит, вычислить изгибающие
моменты и поперечные силы.
Интенсивность реакции в каждой точке связана с прогибами балки. Поэтому для
решения задачи необходимо найти сначала уравнение изогнутой оси
, а уже
затем формулы для вычисления изгибающего момента и поперечной силы. Ход
решения оказывается обратным обычному.
Найдем уравнение изогнутой оси для балки постоянного сечения, лежащей на
упругом основании и нагруженной сосредоточенными силами
... (Рис.1). Начало
координат возьмем в любой точке, ось х направим вправо, ось у вертикально вверх.
Направление нагрузок вверх будем считать положительным. Напишем обычное
дифференциальное уравнение изгиба
Так как М(х) нам неизвестен, то постараемся связать прогибы непосредственно с
нагрузкой, для этого дифференцируем дважды предыдущее уравнение:
(1)
где q(x)—интенсивность сплошной нагрузки, действующей на балку в сечении с
абсциссой х.
Сплошной нагрузкой для нашей балки является лишь реакция упругого основания.
Интенсивность ей пропорциональна прогибам; эта нагрузка направлена вверх, т. е.
положительна, когда прогибы идут вниз, т. е. отрицательны, и наоборот. Таким
образом, эта нагрузка имеет знак, обратный знаку прогибов:
Тогда
(2)
(3)
Если обозначить
, то общий интеграл уравнения (25.3) имеет вид:
(25.4)
Постоянные А, В, С, D должны быть определены в каждом частном случае нагрузки и
длины балки. Величина
имеет измерение обратное длине.
Расчет бесконечно длинной балки на упругом основании, загруженной одной
силой Р.
Наиболее просто решается задача об изгибе бесконечно длинной балки, нагруженной
одной сосредоточенной силой (Рис.2). Помимо непосредственного практического
значения решение этой задачи позволит путем последовательных приближений
рассчитывать и балки конечной длины.
Рис.2. Расчетная схема балки бесконечной длины.
Начало координат расположим в точке приложения силы Р. Определим постоянные А,
В, С и D. Так как вся реакция основания, равная силе Р должна быть конечной
величиной, то прогибы балки в точках, бесконечно удаленных от точки приложения
силы, должны обращаться в нуль:
(5)
При бесконечно больших значениях х два вторых слагаемых в правой части формулы
(4) обращаются в нуль благодаря множителю
нуль лишь при
, два же первых могут обратиться в
и
таким образом,
(6)
Далее, по симметрии нагрузки и реакции основания, касательная к изогнутой оси в
точке приложения силы должна идти параллельно оси абсцисс:
Дифференцируя (6), получаем:
Подставляя в это выражение
и приравнивая результат нулю, находим:
D — С = 0 и C=D;
таким образом, уравнения будут:
(7)
(8)
Для определения последней постоянной С имеем еще одно уравнение: нам известна
величина поперечной силы в начале координат.
Разрезав балку сечением в точке О справа от силы Р и рассматривая правую часть
балки, видим, что поперечная сита в этом сечении равна реакции основания,
действующей на правую половину балки со знаком минус; так как реакция направлена
вверх (для правой половины) и вся реакция основания равна Р, значит, поперечная
сила в сечении при х = 0 равна
Но, с другой стороны
(9)
Таким образом,
(10)
Вычисляем, пользуясь (8),
и
:
(11)
(12)
Подставляя (12) в (10) и приравнивая х нулю, получаем:
и
Теперь значения у и ее производных получают вид
Таким образом, напряженное состояние и деформации балки на упругом основании
всецело определяются нагрузкой и коэффициентом
жесткостей балки и упругого основания.
, зависящим от соотношения
Лекция № 7. Энергетические методы расчета деформаций.
Постановка задачи.
Кроме рассмотренных способов вычисления прогибов и углов поворота сечений
балок существует более общий метод, пригодный для определения деформаций любых
упругих конструкций. Он основан на применении закона сохранения энергии.
При статическом растяжении или сжатии упругого стержня происходит превращение
потенциальной энергии из одного вида в другой; часть потенциальной энергии
действующего на стержень груза полностью переходит в потенциальную энергию
деформации стержня. Действительно, если мы будем нагружать стержень путем
постепенного подвешивания к его нижнему концу очень малых грузов dP, то при
добавлении каждого такого груза подвешенная уже часть нагрузки опустится и ее
потенциальная энергия уменьшится, а потенциальная энергия деформации стержня
соответственно увеличится.
Это явление имеет место при любом виде деформации всякой упругой конструкции
при статической нагрузке; такую конструкцию можно рассматривать как своеобразную
машину, преобразующую один вид потенциальной энергии в другой.
Мы условились называть «статической» такую нагрузку, которая возрастает
постепенно и таким образом, что ускорениями элементов конструкции можно
пренебречь; передача давлений (сил) от одной части конструкции на другую не меняет
характера движения, этих частей, т. е. их скорость остается постоянной и ускорение
отсутствует.
При этих условиях деформация конструкции не будет сопровождаться изменением
кинетической энергии системы, и будет иметь место лишь преобразование
потенциальной энергии из одного вида в другой. При этом мы пренебрегаем
магнитными, электрическими и тепловыми явлениями, сопровождающими упругие
статические деформации тела лишь в очень слабой мере.
Так как характер движения всех элементов конструкции с течением времени не
меняется, то в каждый момент времени будет иметь место равновесие как для каждой
части конструкции в целом под действием внешних сил и реакций, так и для каждого
элемента этой части под действием внешних сил и напряжений, приложенных к этому
элементу. Деформации конструкции, напряжения в ее частях и реакции, передающиеся
от одной части на другую, успевают следовать за ростом нагрузки.
Таким образом, можно сказать, что полное преобразование одного вида
потенциальной энергии в другой имеет место, если деформация происходит без
нарушения равновесия системы. Мерой энергии, превратившейся в другой вид,
является величина работы, произведенной силами, действующими на конструкцию.
Обозначим величину накопленной потенциальной энергии деформации через U, а
уменьшение потенциальной энергии внешних нагрузок
. Тогда величина
измеряется положительной работой этих нагрузок
, с другой стороны, накоплению
потенциальной энергии деформации U соответствует отрицательная работа внутренних,
междучастичных сил А, так как перемещения точек тела при деформации происходят в
обратном по отношению к внутренним силам направлении.
Закон сохранения энергии при деформациях упругих систем принимает вид:
заменяя в этой формуле величины
и U численно равными им значениями работ
—А, получаем иную формулировку этого закона:
и
или
Эта формулировка закона сохранения энергии совпадает с так зазываемым
«началом» возможных перемещений в применении к упругим системам. Последнее
равенство выражает, что при перемещениях без нарушения равновесия сумма работ
всех сил, приложенных к точкам тела, равна нулю.
Таким образом, начало возможных перемещений в применении к упругим системам
является следствием закона сохранения энергии.
Таким образом, потенциальная энергия деформации
сил
численно равна работе внешних
, проделанной ими этой деформации:
Вычисление потенциальной энергии.
При вычислении потенциальной энергии будем предполагать, что деформации не
только материала, но и всей конструкции, следуя закону Гука, пропорциональны
нагрузкам, т. е. линейно с ними связаны и растут постепенно вместе с ними.
Известно, что при статическом растяжении или сжатии стержня силами Р величина
работы
, а следовательно, и величина энергии U равняется:
В случае сдвига
При кручении
Так же как и при кручении, может быть вычислена потенциальная энергия при чистом
изгибе.
Концевые сечения балки под действием изгибающих моментов(Рис.1) повернутся на
угол
, где
— центральный угол изогнувшейся по дуге радиусом р оси балки.
Рис.1. Модель расчета потенциальной энергии при чистом изгибе.
Тогда
так как из общей теории изгиба
а
Из полученных выражений следует, что потенциальная энергия деформации равна
половине произведения силы или пары сил на перемещение по ее направлению того
сечения, где эта сила приложена. Условимся называть термином «обобщенная сила»
всякую нагрузку, вызывающую соответствующее нагрузке перемещение, т. е. и
сосредоточенную силу, и пару сил, и т. п.; перемещение же, соответствующее этой
силе, будем называть «обобщенной координатой».
«Соответствие» заключается в том, что речь идет о перемещении того сечения, где
приложена рассматриваемая сила, причем о таком перемещении, что произведение его
на эту силу дает нам величину работы; для сосредоточенной силы это будет линейное
перемещение по направлению действия силы — прогиб, удлинение; для пары сил —
это угол поворота сечения по направлению действия пары.
Иначе: потенциальная энергия деформации численно равна половине произведения
обобщенной силы на соответствующую ей координату.
,
где Р—обобщенная сила,
— обобщенная координата.
Полученные соотношения также показывают, что потенциальная энергия является
функцией второй степени от независимых внешних сил, так как в эти формулы не
входят реакции, зависящие от приложенных к элементу сил и связанные с ними
уравнениями равновесия. Из тех же формул видно, что величина потенциальной
энергии деформации является функцией второй степени от «обобщенных координат»
системы и вполне ими определяется. Таким образом, порядок приложения нагрузок в
этом отношении безразличен, важна лишь окончательная форма деформированного
элемента. Поэтому, хотя результаты этого параграфа получены в предположении, что
нагрузка возрастает статически, при сохранении равновесия в течение всего процесса
нагружения, однако выведенные формулы сохраняют силу и при любом способе
приложения нагрузок, лишь бы значения сил и деформаций были связаны линейной
зависимостью и относились к тому моменту, когда установится равновесие
конструкции.
Известно также, что в общем случае изгиба изгибающий момент М(х) является
величиной переменной. В любом сечении ему будет сопутствовать поперечная сила
Q(х). Поэтому рассматривать следует уже,не всю балку в целом, а лишь бесконечно
малый элемент балки длиной dx.
Рис.2. Энергетическая модель поперечного изгиба
Под действием изгибающих усилий сечения элемента (рис.2, а) поворачиваются и
образуют между собой угол
(Рис.2, б). Касательные же усилия стремятся вызвать
(Рис.2, в) перекос элемента; таким образом перемещения от нормальных напряжений
идут перпендикулярно к направлению касательных напряжений, и наоборот.
Это позволяет независимо вычислять работу изгибающих и касательных усилий.
Обычно работа касательных усилий оказывается малой по сравнению с работой
нормальных, поэтому мы пока ею будем пренебрегать. Элементарная работа
нормальных усилий (как и в случае чистого изгиба) равна:
или
Рис.3. Расчетная схема примера расчета потенциальной энергии при поперечном
изгибе.
Вся потенциальная энергия изгиба получится суммированием по длине балки
Знак предела интегрирования условно указывает, что интегрирование должно
охватить всю балку; в тех случаях, когда для М(х) мы имеем несколько участков, то
интеграл приходится разбивать на сумму интегралов.
Вычислим потенциальную энергию балки на двух опорах, нагруженной силой Р
(Рис.3). Эпюра моментов имеет два участка; поэтому
Лекция № 8. Теорема Кастильяно.
Установим теперь метод определения перемещений, основанный на вычислении
потенциальной энергии деформации. Поставим задачу нахождения перемещений точек
упругой системы по направлению действия приложенных к этой системе внешних сил.
Будем решать эту задачу в несколько приемов; сначала рассмотрим более простой
случай (Рис.1), когда на балку в сечениях 1, 2, 3,... действуют только сосредоточенные
силы
,
)... и т. д. Под действием этих сил балка прогнется по кривой
останется в равновесии.
Прогибы сечений 1, 2, 3,..., в которых приложены силы
,
,
,... и т. д. Найдем один из этих прогибов, например
котором приложена сила
,
,
и
,..., обозначим
— прогиб сечения, в
.
Переведем балку, не нарушая равновесия, из положения в смежное положение
показанное на фиг. 328 пунктиром. Это можно сделать различными приемами:
добавить новую нагрузку, увеличить уже приложенные и т. д.
,
Мы представим себе, что для перехода к смежному деформированному состоянию
к
силе
сделана бесконечно малая добавка
(Рис.1); чтобы при этом переходе не
нарушать равновесия, будем считать, что эта добавка прикладывается статически, т. е.
возрастает от нуля до окончательного значения медленно и постепенно.
Расчетная модель к теореме Кастильяно.
При переходе от состояния балки к состоянию
все нагрузки Р опустятся, значит,
их потенциальная энергия уменьшится. Так как равновесие не нарушалось, то
уменьшение, энергии нагрузок
целиком преобразовалось в увеличение
потенциальной энергии деформаций балки dU. Величина
измеряется работой
внешних сил при переходе балки из положения в положение II:
Изменение dU потенциальной энергии деформации, являющейся функцией сил
,
,..., произошло за счет очень малого приращения одной из этих независимых
переменных
, поэтому дифференциал такой сложной функции равен:
,
Что касается величины
, то эта работа в свою очередь является разностью работы
нагрузок Р для положений
и :
Работа
при одновременном и постепенном возрастании сил Р равна:
При вычислении работы
учтем, что ее величина всецело определяется
окончательной формой деформированной балки и не зависит от порядка, в котором
производилась нагрузка.
Предположим, что мы сначала нагрузили нашу балку грузом
; балка очень
немного прогнется (Рис.2, положение III), и прогибы ее в точках 1, 2, 3 будут
. Работа статически приложенной нагрузки
будет равна
. После этого
начнем постепенно нагружать балку одновременно возрастающими грузами
,
,
.
Рис.2. Расчетная модель к теореме Кастильяно.
К первоначальным прогибам
стадии нагружения силы
,
добавятся прогибы
,
произведут работу
(Рис.2). При этой
, кроме
этого, произведет работу уже находившийся на балке груз
; он пройдет путь
,и
так как при втором этапе нагружения он оставался постоянным, то его работа равна
Балка займет положение
, показанное на Рис.2 пунктиром.
Таким образом, полная работа, проделанная внешними нагрузками при переходе
балки из недеформированного состояния в положение , будет равна.
Теперь вычислим
Пренебрегая слагаемым второго порядка малости, получаем:
Подставляя полученные значения dU и
в исходное уравнение, находим
или
Таким образом, в рассмотренном случае прогиб точки приложения сосредоточенной
силы
, равен частной производной потенциальной энергии деформации по этой силе.
Полученный результат можно обобщить. Пусть на балку помимо сосредоточенных сил
Р действуют в разных сечениях еще пары сил М (Рис.3). Мы можем повторить
предыдущие рассуждения, считая, что балка переводится из положения в положение
путем добавки
к паре
. Весь ход рассуждений остается без изменений, надо
будет лишь при вычислении работы моментов
на углы поворота
станет
,
,
... умножать их не на прогибы, а
,... тех сечений, где эти пары приложены. Тогда dU будет равно
, и в итоге получим:
Рис.3. Обобщенная расчетная модель к теореме Кастильяно.
Так как
— это перемещение, соответствующее силе
,a
— перемещение,
соответствующее силе
то полученные нами результаты можно формулировать так:
производная потенциальной энергии деформации по одной из независимых внешних
сил равна перемещению, соответствующему этой силе. Это и есть так называемая
теорема Кастильяно, опубликованная в 1875 г.
Заметим, что присутствие на балке сплошной нагрузки не меняет предыдущих
выводов, так как всякую сплошную нагрузку можно рассматривать как состоящую из
большого числа сосредоточенных сил.
Предыдущий вывод был сделан для балки, но совершенно ясно, что его можно
повторить для любой конструкции, деформации которой следуют закону Гука.
Для случая изгиба нами была получена формула, связывающая величину
потенциальной энергии U с изгибающими моментами:
Изгибающий момент является линейной функцией нагрузок
приложенных к балке:
,
…,
,
,..., q,
в этом легко убедиться, просмотрев формулы для вычисления изгибающих моментов
при построении эпюр. Следовательно, потенциальная энергия является функцией
второй степени от независимых внешних нагрузок.
Вычислим частную производную от U по одной из внешних сил, например
Получаем:
.
Здесь мы имеем дело с так называемым дифференцированием определенного
интеграла по параметру, так как М(х)— функция и
и х, интегрирование производится
по х, а дифференцирование по параметру
. Как известно, если пределы интеграла
постоянны, то следует просто дифференцировать подинтегральную функцию.
Таким образом, прогиб в точке приложения сосредоточенной силы
равен:
а угол поворота сечения с парой
Напомним, что знак предела l условно показывает, что интеграл должен охватить всю
балку.
Примеры приложения теоремы Кастильяно.
Определим (Рис.4) прогиб свободного конца В балки, защемленной другим концом А.
Балка нагружена сосредоточенной силой, приложенной в точке В. В данном случае
возможно непосредственное применение теоремы Кастильяно, так как отыскивается
прогиб сечения, где приложена сосредоточенная сила Р
Рис.4. Пример расчетной схемы для расчета перемещений.
Начало отсчета абсциссы х сечения можно выбирать произвольно, лишь бы формула
для М (х) была возможно проще. Отсчитывая х от точки В, получаем для момента в
любом сечении балки
и
Подставляя эти значения в формулу для
балки от 0 до l, получаем:
и интегрируя, чтобы охватить всю длину
Лекция № 9. Теоремы о взаимности работ и Максвелла — Мора.
Пользуясь понятием о потенциальной энергии, можно установить следующую
зависимость между деформациями в различных сечениях балки.
Если к балке, нагруженной силой
то к прогибу точки приложения силы
приложить затем статически силу
от этой же силы
в сечении 2,
прибавится (Рис.1) прогиб
от силы
, равный
; первый значок у буквы у указывает точку, для которой
вычисляется прогиб; второй — обозначает силу, вызывающую этот прогиб.
Рис.1. Расчетная схема к теореме о взаимности работ
Полная работа внешних сил составится из трех частей: работы силы
ею прогибе
приложения
, т. е.
, работы силы
, т. е.
приложения от силы
на вызванном ею прогибе ее точки
, наконец, работы силы
, т. е.
на вызванном
на прогибе ее точки
.
Таким образом, накопленная в стержне при действии обеих сил энергия будет равна:
Это количество энергии деформации зависит лишь от конечных значений сил и
прогибов и не зависит от порядка нагружения.
Если к балке, загруженной силой
вычислений, получим:
, приложить затем силу
то, повторив цепь
Сравнивая оба значения U, получаем:
т. е. работа силы
(или первой группы сил) на перемещениях, вызванных силой
(второй группой сил), равна работе силы
на перемещениях, вызванных силой
.
Это и есть теорема о взаимности работ. Ее можно сформулировать и иначе: работа
первой силы (
первой.
) при действии второй (
) равна работе второй силы при действии
Теорема Максвелла—Мора.
Прогиб балки в точке приложения сосредоточенной силы Р равен:
аналогичное выражение мы имеем и для угла поворота с заменой производной
на
. Выясним, что представляют собой эти производные.
Если на балке расположена какая угодно нагрузка из сосредоточенных сил
,
,
,..., моментов
,
,..., сплошных нагрузок
, ..... то момент М(х) в любом
сечении такой балки выражается линейной функцией от нагрузок:
Рис.2. Частная расчетная модель метода Максвелла — Мора.
Коэффициенты
,
,..., ,
…, ,
... являются функциями пролета балки,
расстояний точек приложения сил и моментов от опор и абсциссы х взятого сечения.
Пусть мы отыскиваем прогиб точки приложения силы
так как
,
,...,
,
,...,
,
...,
,
,...,
,
; тогда
…,
,
... при этом
дифференцировании постоянны. Но
можно рассматривать как численную величину
момента М в любом сечении балки от действия так называемой единичной нагрузки, т.
е. силы
; действительно, подставляя в формулу вместо
его частное значение,
единицу, и приравнивая все остальные нагрузки нулю, получаем
.
Например, для балки, изображенной на Рис2, а, изгибающий момент равен:
Производная
; но это как раз и будет выражение изгибающего момента
нашей балки, если мы ее нагрузим силой 1, приложенной в той же точке В, где
расположена сила Р (Рис.2, б), и направленной в ту же сторону.
Аналогично, производная изгибающего момента М (х) по паре сил
численно
представляет собой изгибающий момент от пары с моментом, равным единице,
приложенной в том же сечении, где имеется пара
, и направленной в ту же сторону.
Таким образом, вычисление производных изгибающего момента можно заменить
вычислением изгибающих моментов от единичной нагрузки. Эти моменты мы будем
обозначать буквой
.
Таким образом, для отыскания перемещения
(прогиба или угла поворота) любого
сечения балки, вне зависимости от того, приложена или не приложена в этом сечении
соответствующая сила, необходимо найти выражение для изгибающего момента М от
заданной нагрузки и момента
от соответствующей единичной нагрузки,
приложенной в сечении, где ищем перемещение
формулой
; тогда это перемещение выразится
Эта формула была предложена Максвеллом в 1864 г. и введена в практику расчета О.
Мором в 1874 г. Если мы в полученном выражении под
подразумеваем прогиб, то
момент
надо вычислять от сосредоточенной единичной силы, приложенной в той
точке, где мы отыскиваем прогиб; при вычислении же угла поворота в качестве
единичной нагрузки прикладывается пара сил с моментом, равным единице.
Для примера рис.2 имеем:
(рис.2,а)
(рис.2,
б)
Знак плюс означает, что направление перемещения совпадает с направлением
единичной нагрузки, знак минус — наоборот.
Если при определении изгибающих моментов придется делить балку на участки, то
соответственно и интеграл в формуле распадется на сумму интегралов.
Сравнивая формулу Кастильяно с формулой Мора, нетрудно заметить, что они
отличаются лишь одним множителем. В теореме Кастильяно
Мора
.
или
, в теореме
Следовательно, производная от изгибающего момента по обобщенной силе — это то
же самое, что изгибающий момент от силы
.
Метод Верещагина.
Способ Максвелла — Мора в значительной степени вытеснил на практике
непосредственное применение теоремы Кастильяно. В справочниках обычно
приводятся таблицы интегралов
нагрузки.
для наиболее часто встречающихся типов
Наш соотечественник А. Н. Верещагин в 1924 г. предложил упрощение вычислений.
Так как единичной нагрузкой бывает обычно либо сосредоточенная сила, либо пара
сил, то эпюра
оказывается ограниченной прямыми линиями. Тогда вычисление
при любом очертании эпюры М можно произвести следующим образом. Пусть
эпюра М (Рис.3) имеет криволинейное очертание, а эпюра
Произведение Mdx можно рассматривать, как элемент
заштрихованный на чертеже.
Так как ордината
интеграл
равна
— прямолинейное.
площади эпюры М,
, то произведение
, а весь
представляет собой статический момент площади эпюры М
относительно точки А, умноженный на
.
Рис.3. Расчетная модель метода Верещагина.
Но этот статический момент равен всей площади
расстояние от ее центра тяжести
но величина
Отсюда
равна ординате
и искомое перемещение равно
эпюры М, умноженной на
до точки А. Таким образом,
эпюры
под центром тяжести эпюры М.
Таким образом, для определения перемещения
надо вычислить
— площадь
эпюры М, умножить ее на ординату
эпюры от единичной нагрузки под центром
тяжести площади
и разделить на жесткость балки.
Определим этим способом угол поворота сечения D балки, изображенной на Рис.4, а;
Балка загружена моментом М, приложенным в сечении В к консоли АВ. Эпюра М
показана на Рис.4, б. Прикладываем в сечении D единичную пару, выбирая ее
направление произвольно (Рис.4, в). Эпюра моментов от единичной нагрузки показана
на рис.4, г. Так как М на участках DC и СВ равен нулю, то остается лишь один интеграл
для участка АВ.
а) расчетная схема б)грузовая эпюра в)фиктивное состояние г) эпюра моментов от
единичного момента
Рис.4. Иллюстрация метода Верещагина:
Площадь
равна
; ордината эпюры
отсюда искомый угол поворота
под центром тяжести площади
равна
равен
Знак плюс показывает, что вращение происходит по направлению единичной пары, т.
е. по часовой стрелке.
Лекция № 9. Расчет статически неопределимых балок. Способ сравнения деформаций.
Общие понятия и метод расчета.
До сих пор мы рассматривали только статически определимые балки, у которых три
опорные реакции определялись из условий равновесия. Очень часто, по условиям
работы конструкции, оказывается необходимым увеличить число опорных
закреплений; тогда мы получаем так называемую статически неопределимую балку.
Рис.1. Схемы статически неопределимых балок
Например, для уменьшения пролета балки АВ на двух опорах (Рис.1, а) можно
поставить опору еще посредине, а для уменьшения деформаций балки, защемленной
одним концом (Рис.1, б), можно подпереть ее свободный конец.
Для подбора сечения таких балок, так же как и в рассмотренных ранее задачах,
необходимо построить обычным порядком эпюры изгибающих моментов и поперечных
сил, а стало быть, определить опорные реакции.
Во всех подобных случаях число опорных реакций, которые могут возникнуть,
превышает число уравнений статики, например, для балок рис.2. Соответственно:
четыре, четыре и пять опорных реакций.
Рис.2. Механизм появления дополнительных связей
Поэтому необходимо составить дополнительные уравнения, выражающие условия
совместности деформаций, которые вместе с обычными уравнениями равновесия и
дадут возможность определить все опорные реакции.
Определим опорные реакции и построим эпюру моментов для балки, находящейся
под действием равномерно распределенной нагрузки q рис.3. Сначала изобразим все
реакции, которые по устройству опор могут возникнуть в этой балке. Таких реакций
может быть на опоре А три: вертикальная А, горизонтальная
и опорный момент
,
на опоре В возможно появление лишь одной реакции В. Таким образом, число опорных
реакций на одну больше, чем уравнений статики.
Одна из реакций является добавочной, как говорят, «лишней» неизвестной. Этот
термин прочно укоренился в технической литературе; между тем, принять его можно
лишь условно.
Рис.3. Исходная расчетная схема статически неопределимой балки.
Действительно, добавочная реакция и соответствующее ей добавочное опорное
закрепление являются «лишними» только с точки зрения необходимости этих
закреплений для равновесия балки как жесткого целого. С точки же зрения инженера
добавленное закрепление во многих случаях не только не является лишним, а
наоборот, позволяет осуществить такую конструкцию, которая без него была бы
невозможна. Поэтому мы будем пользоваться термином «лишняя опорная реакция»,
«лишняя неизвестная» лишь условно.
Составим все уравнения статики для нашей балки, приравнивая нулю сумму
проекций всех сил на направление оси балки, на перпендикуляр к ней, и сумму
моментов относительно точки А. Получим систему:
,
Из первого уравнения сразу определяется опорная реакция
других остаются лишь два уравнения.
Для определения трех
За лишнюю реакцию можно взять любую из этих трех: попробуем взять реакцию
опоры В. В таком случае мы должны считать, что рассматриваемая балка получилась из
статически определимой балки АВ, защемленной концом А, у которой потом поставили
добавочную опору в точке В. Эта статически определимая балка, которая получается из
статически неопределимой при удалении добавочного, лишнего опорного закрепления,
называется основной системой. Выбрав какую-либо из реакций за лишнюю
неизвестную, мы тем самым выбираем основную систему.
Попробуем теперь превратить основную систему без опоры В в систему, полностью
совпадающую с заданной статически неопределимой балкой (Рис.3).
Рис.4. Эквивалентная система
Для этого загрузим ее сплошной нагрузкой q и в точке В приложим лишнюю реакцию В
(Рис.4).
Однако этого мало: в балке, представленной на рис.4, точка В может перемещаться
по вертикали под действием нагрузок q и В; между тем, в нашей статически
неопределимой балке точка В не имеет этой возможности, она должна совпадать с
опорным шарниром. Поэтому, чтобы привести к окончательному совпадению, надо к
последней добавить условие, что прогиб точки В основной системы под действием
нагрузок q и В должен быть равен нулю:
Это и будет добавочное уравнение, определяющее реакцию В; оно является условием
совместности деформаций в рассматриваемом случае: конец В балки не отрывается от
опоры.
Решение этого добавочного уравнения возможно несколькими способами.
Способ сравнения деформаций.
Выполняя решение уравнения
, названного уравнением совместности
деформаций, можно рассуждать следующим образом.
Прогиб точки В основной системы под действием нагрузок q и В складывается из двух
прогибов: одного
, вызванного лишь нагрузкой q, и другого
реакцией В. Таким образом,
, вызванного
(1)
Остается вычислить эти прогибы. Для этого загрузим основную систему одной
нагрузкой q (рис.4, а).
Рис.4. Расчет прогиба от исходной нагрузки — а) и реакции — б)
Тогда прогиб точки В будет равен:
При нагружении основной системы реакцией В (Рис.4,б) имеем:
Подставляя эти значения прогибов в уравнение (1), получаем:
Отсюда
В этом способе мы сначала даем возможность основной системе деформироваться под
действием внешней нагрузки q, а затем подбираем такую силу В, которая бы вернула
точку В обратно. Таким образом, мы подбираем величину неизвестной дополнительной
реакции В с тем расчетом, чтобы уравнять прогибы от нагрузки q и силы В. Этот способ
и называют способом сравнения деформаций.
Рис.5. Эпюры поперечных сил и внутренних изгибающих моментов.
Подставляя значение лишней реакции В в уравнения статики, получаем
Выражение изгибающего момента получаем, рассматривая правую часть балки (Рис.4)
и подставляя значение В:
Поперечная сила Q выражается формулой
Эпюры моментов и поперечных сил изображены на рис.5. Сечение с наибольшим
положительным моментом соответствует абсциссе
, определяемой равенством
т.е.
Отсюда
соответствующая ордината эпюры моментов, равна:
Лекция № 10. Применение вариационных методов.
Раскрытие статической неопределимости для балки, может быть произведено и при
помощи теоремы Кастильяно.
«Лишнюю» опорную реакцию В (Рис.1, а) заменяем «лишней» неизвестной силой В,
действующей вместе с заданной нагрузкой q на основную статически определимую
балку АВ (фиг. 361, б).
Рис.1. Исходная, а) и основная — б) расчетные схемы
Дифференцируя по силе В потенциальную энергию и вычисляя таким образом прогиб
, следует
приравнять нулю.
(1)
Остается вычислить М и
, установить пределы интеграла и взять его.
Будем считать, что сечение балки не меняется по длине. Тогда уравнение (1) примет
вид:
или
отсюда
Далее решение не отличается от описанного в способе сравнения деформаций.
Раскрытие статической неопределимости возможно выполнить также и по теореме
Мора. При решении по Мору, кроме первого состояния нагружения основной балки
заданной нагрузкой и лишней неизвестной силой (Рис.2, а), следует показать ту же
балку во втором состоянии загружения — силой
(Рис.2,б).
Вычисления при обозначениях, принятых на Рис. 2, дают:
а) исходная модель, б) фиктивная модель нагружения, в) грузовая эпюра моментов, г)
эпюра моментов от реакции В, д) единичная эпюра моментов
Рис.2. Решение методом Мора и Верещагина
т.е. то же, что и при использовании теоремой Кастильяно.
При решении того же примера по способу Верищагина к двум схемам состояний
загружения (Рис.2 а и б) следует построить эпюры моментов: от нагрузки q (Рис.2, в)
от силы B (Рис.2 г), и от силы
Величина моментных площадей:
от нагрузки q:
от нагрузки В:
(Рис.2, д).
Ординаты эпюр единичной нагрузки:
для умножения на
:
для умножения на
:
Прогиб в точке В
Отсюда
Совпадение результатов расчета опорной реакции очевидно.
Выбор лишней неизвестной и основной системы.
В предыдущем примере мы выбрали за лишнюю неизвестную реакцию В. Мы могли
бы выбрать и момент
. Соответственно изменилась бы основная система и ход
решения. Окончательный же результат, конечно, получился бы прежним. Возьмем за
лишнюю неизвестную опорный момент
(Рис.3, а). Какой будет основная система?
Чтобы получить ее, надо отбросить то опорное закрепление, которое создает момент
, т. е. защемление конца А. Чтобы на конце А не было опорного момента, там
следует поставить шарнирно-неподвижную опору.
Основной системой будет балка, изображенная на Рис.3, б. Загрузим ее внешней
нагрузкой и опорным моментом
(фиг. 363, в).
Чтобы эти балки работали одинаково, надо для балки Рис.3, в написать
дополнительное условие, что сечение А под действием изображенных нагрузок не
может поворачиваться; накладываем это ограничение на перемещение,
соответствующее выбранной лишней неизвестной:
Далее, применив для решения уравнения
теорему Кастильяно, имеем
а) заданное. б) основная, в) эквивалентная
Рис.3. Расчетные схемы:
следовательно,
Для нахождения М и
выразим реакцию В основной системы через
произведем все обычные вычисления:
.
находим:
Отсюда
,
и
т. е. той же величине, которая была получена раньше. Дальнейший ход решения не
отличается от разобранного выше.
Решение той же основной системы (Рис.4, а) с применением способа Верещагина
потребует изображения второго состояния загружения основной системы моментом
(Рис.4, б) и построения эпюр изгибающего момента: от заданной нагрузки q
(Рис.4, в), от момента
Вычисляем
(Рис.4, г) и от единичной нагрузки;
(Рис.4, д).
:
а)исходная схема, б) нагружение единичным моментом, в) грузовая эпюра, г)
моментная эпюра, д) единичная эпюра моментов
Рис.4. Динамика расчета по методу Верещагина:
Как видно, уравнение для определения
теореме Ка-стильяно.
полностью совпадает с найденным по
Сравнивая два варианта решения поставленной задачи с лишней неизвестной В и с
лишней неизвестной
, видим, что при применении способа Кастильяно первый
вариант менее сложен по вычислениям. Это объясняется тем, что основной системой в
первом варианте является балка, защемленная одним концом, во втором же — балка на
двух опорах; для второй — вычисления сложнее. Таким образом, лишнюю неизвестную
и, следовательно, основную систему надо выбирать с таким расчетом, чтобы выкладки
(вычисление изгибающих моментов и т. д.) были проще.
Если бы мы выбрали за лишнюю неизвестную реакцию А, то основную систему
следовало бы так устроить, чтобы опора А не давала возможности поворота сечения и
горизонтальных перемещений, но допускала бы вертикальные движения.
За лишнюю неизвестную нельзя брать лишь ту реакцию, при отбрасывании которой
мы получим изменяемую, неустойчивую основную систему.
Общий план решения статически неопределимой задачи.
Таким образом, общий метод решения, статически неопределимых задач распадается
на ряд отдельных этапов.
В дух предыдущих лекциях приведены два варианта решения задачи: с лишней
реакцией В и с лишней реакцией
. Для развертывания добавочного условия даны
также два варианта решения: способом сравнения деформаций и с применением
теоремы. Кастильяно.
Если бы число реакций статически неопределимой балки было нe четыре, как в
рассмотренном примере, а больше, то соответственно увеличилось бы число лишних
неизвестных; загрузив основную систему внешней нагрузкой и этими лишними
неизвестными, мы можем написать дополнительные условия, ограничивающие
деформации балки в тех сечениях, где эти лишние реакции приложены. Таким путем
будет получено столько же дополнительных уравнений, сколько лишних неизвестных.
Следовательно, общий метод определения добавочных опорных реакций в статически
неопределимых балках основан на том, что якая дополнительная опора, вводя лишнюю
неизвестную реакцию, в то же время накладывает дополнительное ограничение в
основной статически определимой системе на перемещение, соответствующее лишней
неизвестной реакции. Выражая уравнением это ограничение, получаем столько
дополнительных уравнений, сколько добавлено новых опорных закреплений.
Определение деформаций статически неопределимых балок.
После того, как определены опорные реакции, построены эпюры изгибающих
моментов и поперечных сил, подобраны сечения статически неопределимой балки,
определение ее деформаций ничем- не отличается от таких же вычислений для
статически определимой балки.
Необходимо лишь отметить, что в этом случае мы будем иметь избыточное число
уравнений для определения постоянных интегрирования. Этот избыток равен числу
лишних неизвестных. Избыточные уравнения при правильно найденных реакциях
обратятся в, тождества, ибо они уже и были использованы при нахождении лишних
неизвестных. Так для балки, с левым (А), жесткозащемленным и правым (В),
шарнирноопертыми концами с пролетом l, получим следующее дифференциальное
уравнение изогнутой оси:
Интегрируем:
(а)
(b)
Постоянных интегрирования две, условий же для их определения можно написать три,
а именно:
в точке А при
прогиб
и угол поворота
;
В х=0 у = 0.
Третье из этих уравнений обратится в тождество, ибо оно уже было нами
использовано при составлении дополнительного уравнения, из которого мы нашли для
В значение
. Заметим, что мы могли бы использовать уравнение изогнутой оси
балки для нахождения лишней неизвестной. Приняв за лишнюю неизвестную реакцию
В, составим и проинтегрируем дифференциальное уравнение изогнутой оси; получим
формулы (а) и (b).
Используя граничные условия в точках А и В, получим три уравнения, из которых
найдем реакцию В и постоянные интегрирования С и D.
Лекция № 11. Устойчивость сжатых стержней. Формула Эйлера.
Во всем предыдущем изложении мы определяли поперечные размеры стержней из
условий прочности. Однако разрушение стержня может произойти не только потому,
что будет нарушена прочность, но и оттого, что стержень не сохранит той формы,
которая ему придана конструктором; при этом изменится и характер напряженного
состояния в стержне.
Наиболее типичным примером является работа стержня, сжатого силами Р. До сих
пор для проверки прочности мы имели условие
Это условие предполагает, что стержень все время, вплоть до разрушения работает
на осевое сжатие. Уже простейший опыт показывает, что далеко не всегда возможно
разрушить стержень путем доведения напряжений сжатия до предела текучести или до
предела прочности материала.
Если мы подвергнем продольному сжатию тонкую деревянную линейку, то она может
сломаться, изогнувшись; перед изломом сжимающие силы, при которых произойдет
разрушение линейки, будут значительно меньше тех, которые вызвали бы при простом
сжатии напряжение, равное пределу прочности материала. Разрушение линейки
произойдет потому, что она не сможет сохранить приданную ей форму прямолинейного,
сжатого стержня, а искривится, что вызовет появление изгибающих моментов от
сжимающих сил Р и, стало быть, добавочные напряжения от изгиба; линейка потеряет
устойчивость.
Поэтому для надежной работы конструкции мало, чтобы она была прочна; надо,
чтобы все ее элементы были устойчивы: они должны при действии нагрузок
деформироваться в таких пределах, чтобы характер их работы оставался неизменным.
Поэтому в целом ряде случаев, в частности, для сжатых стержней, помимо проверки на
прочность, необходима и проверка на устойчивость. Для осуществления этой проверки
надо ближе ознакомиться с условиями, при которых устойчивость прямолинейной
формы сжатого стержня нарушается.
Рис.1. Расчетная схема
Возьмем достаточно длинный по сравнению с его поперечными размерами стержень,
шарнирно-прикрепленный к опорам (Рис.1), и нагрузим его сверху центрально силой Р,
постепенно возрастающей. Мы увидим, что пока сила Р сравнительно мала, стержень
будет сохранять прямолинейную форму. При попытках отклонить его в сторону,
например путем приложения кратковременно действующей горизонтальной силы, он
будет после ряда колебаний возвращаться к первоначальной прямолинейной форме,
как только будет удалена добавочная сила, вызвавшая отклонение.
При постепенном увеличении силы Р стержень будет все медленнее возвращаться к
первоначальному положению при проверках его устойчивости; наконец, можно довести
силу Р до такой величины, при которой стержень, после небольшого отклонения его в
сторону, уже не выпрямится, а останется искривленным. Если мы, не удаляя силы Р,
выпрямим стержень, он уже, как правило, не сможет сохранить прямолинейную форму.
Другими словами, при этом значении силы Р, называемом критическим
, мы будем
иметь такое состояние равновесия, когда исключается вероятность сохранения
стержнем заданной ему прямолинейной формы).
Переход к критическому значению силы Р происходит внезапно; стоит нам очень
немного уменьшить сжимающую силу по сравнению с ее критической величиной, как
прямолинейная форма равновесия вновь делается устойчивой.
С другой стороны, при очень небольшом превышении сжимающей силой Р ее
критического значения прямолинейная форма стержня делается крайне неустойчивой;
достаточно при этом небольшого эксцентриситета приложенной силы, неоднородности
материала по сечению, чтобы стержень искривился, и не только не вернулся к прежней
форме, а продолжал искривляться под действием все возрастающих при искривлении
изгибающих моментов; процесс искривления заканчивается либо достижением
совершенно новой (устойчивой) формы равновесия, либо разрушением.
Исходя из этого, мы должны практически считать критическую величину сжимающей
силы
эквивалентной нагрузке, «разрушающей» сжатый стержень, выводящей его (и
связанную с ним конструкцию) из условий нормальной работы. Конечно, при этом надо
помнить, что «разрушение» стержня нагрузкой, превышающей критическую, может
происходить при непременном условии беспрепятственного возрастания искривления
стержня; поэтому если при боковом выпучивании стержень встретит боковую опору,
ограничивающую его дальнейшее искривление, то разрушение может и не наступить.
Обычно подобная возможность является исключением; поэтому практически следует
считать критическую сжимающую силу низшим пределом «разрушающей» стержень
силы.
Рис.2. Аналогия понятия устойчивости из механики твердого тела
Явление потери устойчивости при сжатии можно по аналогии иллюстрировать
следующим примером из механики твердого тела (рис.2). Будем вкатывать цилиндр на
наклонную плоскость ab, которая потом переходит в короткую горизонтальную
площадку bс и наклонную плоскость обратного направления cd. Пока мы поднимаем
цилиндр по плоскости ab, поддерживая его при помощи упора, перпендикулярного к
наклонной плоскости, он будет в.состоянии устойчивого равновесия; на площадке bс
его равновесие делается безразличным; стоит же нам поместить цилиндр в точку с, как
его равновесие сделается неустойчивым— при малейшем толчке вправо цилиндр
начнет двигаться вниз.
Описанную выше физическую картину потери устойчивости сжатым стержнем легко
осуществить в действительности в любой механической лаборатории на очень
элементарной установке. Это описание не является какой-то теоретической,
идеализированной схемой, а отражает поведение реального стержня под действием
сжимающих сил.
Потерю устойчивости прямолинейной формы сжатого стержня иногда называют
«продольным изгибом», так как она влечет за собой значительное искривление
стержня под действием продольных сил. Для проверки на устойчивость сохранился и
до сих пор термин «проверка на продольный изгиб», являющийся условным, так как
здесь речь должна идти не о проверке на изгиб, а о проверке на устойчивость
прямолинейной формы стержня.
Установив понятие о критической силе, как о «разрушающей» нагрузке, выводящей
стержень из условий его нормальной работы, мы легко можем составить условие для
проверки на устойчивость, аналогичное условию прочности.
Критическая сила
вызывает в сжатом стержне напряжение, называемое
«критическим напряжением» и обозначаемое буквой
. Критические напряжения
являются опасными напряжениями для сжатого стержня. Поэтому, чтобы обеспечить
устойчивость прямолинейной формы стержня, сжатого силами Р, необходимо к условию
прочности
где
добавить еще условие устойчивости:
— допускаемое напряжение на устойчивость, равное критическому, деленному
на коэффициент запаса на устойчивость, т. е.
.
Для возможности осуществить проверку на устойчивость мы должны показать, как
определять
и как выбрать коэффициент запаса
.
Формула Эйлера для определения критической силы.
Для нахождения критических напряжений
надо вычислить критическую силу
, т.
е. наименьшую осевую сжимающую силу, способную удержать в равновесии слегка
искривленный сжатый стержень.
Эту задачу впервые решил академик Петербургской Академии наук Л. Эйлер в 1744
году.
Заметим, что самая постановка задачи иная, чем во всех ранее рассмотренных
отделах курса. Если раньше мы определяли деформацию стержня при заданных
внешних нагрузках, то здесь ставится обратная задача: задавшись искривлением оси
сжатого стержня, следует определить, при каком значении осевой сжимающей силы Р
такое искривление возможно.
Рассмотрим прямой стержень постоянного сечения, шарнирно опертый по концам;
одна из опор допускает возможность продольного перемещения соответствующего
конца стержня (рис.3). Собственным весом стержня пренебрегаем.
Рис.3. Расчетная схема в «задаче Эйлера»
Нагрузим стержень центрально приложенными продольными сжимающими силами
и дадим ему весьма небольшое искривление в плоскости наименьшей жесткости;
стержень удерживается в искривленном состоянии, что возможно, так как
.
Деформация изгиба стержня предположена весьма малой, поэтому для решения
поставленной задачи можно воспользоваться приближенным дифференциальным
уравнением изогнутой оси стержня. Выбрав начало координат в точке А и направление
координатных осей, как показано на рис.3, имеем:
(1)
Возьмем сечение на расстоянии х от начала координат; ордината изогнутой оси в
этом сечении будет у, а изгибающий момент равен
По исходной схеме изгибающий момент получается отрицательным, ординаты же при
выбранном направлении оси у оказываются положительными. (Если бы стержень
искривился выпуклостью книзу, то момент был бы положительным, а у —
отрицательным и
.)
Приведенное только что дифференциальное уравнение принимает вид:
деля обе части уравнения на EJ и обозначая дробь
Общий интеграл этого уравнения имеет вид:
через
приводим его к виду:
Это решение заключает в себе три неизвестных: постоянные интегрирования а и b и
значение
, так как величина критической силы нам неизвестна.
Краевые условия на концах стержня дают два уравнения:
в точке А при х = 0 прогиб у = 0,
В х = 1 у = 0.
Из первого условия следует (так как
и cos kx =1)
0 = b.
Таким образом, изогнутая ось является синусоидой с уравнением
(2)
Применяя второе условие, подставляем в это уравнение
у=0их=l
получаем:
Отсюда следует, что или а или kl равны нулю.
Если а равно нулю, то из уравнения (2) следует, что прогиб в любом сечении стержня
равен нулю, т. е. стержень остался прямым. Это противоречит исходным предпосылкам
нашего вывода. Следовательно, sin kl = 0, и величина
бесконечный ряд значений:
где
может иметь следующий
— любое целое число.
Отсюда
, а так как
то
и
Иначе говоря, нагрузка, способная удержать слегка искривленный стержень в
равновесии, теоретически может иметь целый ряд значений. Но так как отыскивается,
и интересно с практической точки зрения, наименьшее значение осевой сжимающей
силы, при которой становится возможным продольный изгиб, то следует принять
.
Первый корень =0 требует, чтобы
было равно нулю, что не отвечает исходным
данным задачи; поэтому этот корень должен быть отброшен и наименьшим корнем
принимается значение
. Тогда получаем выражение для критической силы:
(3)
(Здесь J—минимальный момент инерции поперечного сечения стержня.) Это — так
называемая формула Эйлера для сжатого стержня с шарнирно-опертыми концами.
Значению критической силы (3) соответствует изгиб стержня по синусоиде с одной
полуволной [формула (2)]
Лекция № 12. Анализ формулы Эйлера
Значениям критической силы высших порядков соответствуют искривления по
синусоидам с двумя, тремя и т. д. полуволнами (Рис.1):
(1)
Таким образом, чем больше точек перегиба будет иметь синусоидально-искривленная
ось стержня, тем большей должна быть критическая сила. Более полные исследования
показывают, что формы равновесия, определяемые формулами (1), неустойчивы; они
переходят в устойчивые формы лишь при наличии промежуточных опор в точках В и С
(рис.1).
Рис.1
Таким образом, поставленная задача решена; для нашего стержня наименьшая
критическая сила определяется формулой
а изогнутая ось представляет синусоиду
Величина постоянной интегрирования а осталась неопределенной; физическое
значение ее выяснится, если в уравнении синусоиды положить
посредине длины стержня) получит значение:
; тогда
(т. е.
Значит, а — это прогиб стержня в сечении посредине его длины. Так как при
критическом значении силы Р равновесие изогнутого стержня возможно при различных
отклонениях его от прямолинейной формы, лишь бы эти отклонения были малыми, то
естественно, что прогиб f остался неопределенным.
Он должен быть при этом настолько малым, чтобы мы имели право применять
приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси, т. е. чтобы
прежнему мало по сравнению с единицей.
было по
Получив значение критической силы, мы можем сейчас же найти и величину
критического напряжения
, разделив силу
на площадь сечения стержня F; так как
величина критической силы определялась из рассмотрения деформаций стержня, на
которых местные ослабления площади сечения сказываются крайне слабо, то в
формулу для
входит момент инерции
поэтому принято при вычислении
критических напряжений, а также при составлении условия устойчивости вводить в
расчет полную, а не ослабленную, площадь поперечного сечения стержня
. Тогда
Таким образом, критическое напряжение для стержней данного материала обратно
пропорционально квадрату отношения длины стержня к наименьшему радиусу инерции
его поперечного сечения. Это отношение
называется гибкостью стержня и играет
весьма важную роль во всех проверках сжатых стержней на устойчивость.
Из последнего выражения видно видно, что критическое напряжение при тонких и
длинных стержнях может быть весьма малым, ниже основного допускаемого
напряжения на прочность
. Так, для стали 3 с пределом прочности
допускаемое напряжение может быть принято
напряжение для стержня с гибкостью
; критическое же
при модуле упругости материала
будет равно
Таким образом, если бы площадь сжатого стержня с такой гибкостью была подобрана
лишь по условию прочности, то стержень разрушился бы от потери устойчивости
прямолинейной формы.
Влияние способа закрепления концов стержня.
Формула Эйлера была получена путем интегрирования приближенного
дифференциального уравнения изогнутой оси стержня при определенном закреплении
его концов (шарнирно-опертых). Значит, найденное выражение критической силы
справедливо лишь для стержня с шарнирно-опертыми концами и изменится при
изменении условий закрепления концов стержня.
Закрепление сжатого стержня с шарнирно-опертыми концами мы будем называть
основным случаем закрепления. Другие виды закрепления будем приводить' к
основному случаю.
Если повторить весь ход вывода для стержня, жестко защемленного одним концом и
нагруженного осевой сжимающей силой на другом конце (Рис.2), то мы получим другое
выражение для критической силы, а следовательно, и для критических напряжений.
Рис.2. Расчетная схема стержня с жесткозакрепленным одним концом.
Предоставляя право студентам проделать это во всех подробностях самостоятельно,
подойдем к выяснению критической силы для этого случая путем следующих простых
рассуждений.
Пусть при достижении силой Р критического значения колонна будет сохранять
равновесие при слабом выпучивании по кривой АВ. Сравнивая два варианта изгиба
видим, что изогнутая ось стержня, защемленного одним концом, находится совершенно
в тех же условиях, что и верхняя часть стержня двойной длины с шарнирнозакрепленными концами.
Значит, критическая сила для стойки длиной с одним защемленным, а другим
свободным концами будет та,же, что для стойки с шарнирно-опертыми концами при
длине
:
Если мы обратимся к случаю стойки, у которой оба конца защемлены и не могут
поворачиваться (Рис.3), то заметим, что при выпучивании, по симметрии, средняя часть
стержня, длиной
, будет работать в тех же условиях, что и стержень при шарнирноопертых концах (так как в точках перегиба С и D изгибающие моменты равны нулю, то
эти точки можно рассматривать как шарниры).
Рис.3. Расчетная схема с жесткозакреплеными торцами.
Поэтому критическая сила для стержня с защемленными концами, длиной
критической силе для стержня основного случая длиной
, равна
:
Полученные выражения можно объединить с формулой для критической силы
основного случая и записать:
здесь
— так называемый коэффициент длины, равный:

при шарнирных концах (основной случай)

одном свободном, другом защемленном

обоих защемленных концах
,
,
.
Для стержня, изображенного на рис.4, с одним защемленным, а другим шарнирноопертым концами, коэффициент
критическая сила:
оказывается примерно равным
,а
Рис.4. Потеря устойчивости стержня с одним жесткозакрепленным и другим шарнирноопорным торцом
Величина
называется приведенной (свободной) длиной, при помощи
коэффициента длины любой случай устройства опор стержня можно свести к
основному; надо лишь при вычислении гибкости вместо действительной длины стержня
ввести в расчет приведенную длину
. Понятие о приведенной длине было впервые
введено профессором Петербургского института инженеров путей сообщения Ф.
Ясинским).
На практике, однако, почти никогда не встречаются в чистом виде те закрепления
концов стержня, которые мы имеем на наших расчетных схемах.
Вместо шаровых опор обычно применяются цилиндрические шарниры. Подобные
стержни следует считать шарнирно-опертыми при выпучивании их в плоскости,
перпендикулярной к оси шарниров; при искривлении же в плоскости этих осей концы
стержней следует считать защемленными (с учетом оговорок, приведенных ниже для
защемленных концов).
В конструкциях очень часто встречаются сжатые стержни, концы которых
приклепаны или приварены к другим элементам, часто еще с добавлением в месте
прикрепления фасонных листов. Такое закрепление, однако, трудно считать
защемлением, так как части конструкции, к которым прикреплены эти стержни, не
являются абсолютно жесткими.
Между тем, достаточно возможности уже небольшого поворота опорного сечения в
защемлении, чтобы оно оказалось в условиях, очень близких к шарнирному опиранию.
Поэтому на практике недопустимо рассчитывать такие стержни, как стойки с абсолютно
защемленными концами. Лишь в тех случаях, Когда имеет место очень надежное
защемление концов, допускается небольшое (процентов на 10—20) уменьшение
свободной длины стержня.
Наконец, на практике встречаются стержни, опирающиеся на соседние элементы по
всей плоскости опорных поперечных сечений. Сюда относятся деревянные стойки,
отдельно стоящие металлические колонны, притянутые болтами к фундаменту, и т. д.
При тщательном конструировании опорного башмака и соединения его с фундаментом
можно считать эти стержни имеющими защемленный конец. Сюда же относятся мощные
колонны с цилиндрическим шарниром при расчете их на выпучивание в плоскости оси
шарнира. Обычно же трудно рассчитывать на надежное и равномерное прилегание
плоского концевого сечения сжатого стержня к опоре. Поэтому грузоподъемность таких
стоек обычно мало превышает грузоподъемность стержней с шарнирно-опертыми
концами.
Значения критических нагрузок могут быть получены в виде формул типа эйлеровой
и для стержней переменного сечения, а также при действии нескольких сжимающих
сил.
Лекция № 13. Пределы применимости формулы Эйлера
Казалось бы, что полученные в предыдущих параграфах результаты решают задачу
проверки сжатого стержня на устойчивость; остается выбрать лишь коэффициент
запаса
. Однако это далеко не так. Ближайшее же изучение числовых величин,
получаемых по формуле Эйлера, показывает, что она дает правильные результаты
лишь в известных пределах.
На рис.1 приведена зависимость величины критических напряжений, вычисленных
при различных значениях гибкости для стали 3, обычно применяемой в металлических
конструкциях. Эта зависимость представляется гиперболической кривой, так
называемой «гиперболой Эйлеpa»:
При пользовании этой кривой надо вспомнить, что представляемая ею формула
получена при помощи интегрирования дифференциального уравнения
изогнутой оси, т. е. в предположении, что напряжения в стержне в момент потери
устойчивости не превосходят предела пропорциональности.
Рис.1. Гиперболическая зависимость критического напряжения от гибкости стержня
Следовательно, мы не имеем права пользоваться величинами критических
напряжений, вычисленных по формуле Эйлера, если они получаются выше этого
предела для данного материала. Иначе говоря, формула Эйлера применима лишь при
соблюдении условия:
или
Если из этого неравенства выразить гибкость
Эйлера получит иной вид:
, то условие применимости формул
Подставляя соответствующие значения модуля упругости и предела
пропорциональности для данного материала, находим наименьшее значение гибкости,
при которой еще можно пользоваться формулой Эйлера. Для стали 3 предел
пропорциональности может быть принят равным
, поэтому, для стержней
из этого материала можно пользоваться формулой Эйлера лишь при гибкости
т. е. большей, чем 100 %
Для стали 5 при
чугуна — при
формула Эйлера применима при гибкости
, для сосны — при
; для
и т. д. Если мы на Рис.1 проведем
горизонтальную линию с ординатой, равной
, то она рассечет гиперболу
Эйлера на две части; пользоваться можно лишь нижней частью графика, относящейся к
сравнительно тонким и длинным стержням, потеря устойчивости которых происходит
при напряжениях, лежащих не выше предела пропорциональности.
Теоретическое решение, полученное Эйлером, оказалось применимым на практике
лишь для очень ограниченной категории стержней, а именно, тонких и длинных, с
большой гибкостью. Между тем, в конструкциях очень часто встречаются стержни с
малой гибкостью. Попытки использовать формулу Эйлера для вычисления критических
напряжений и проверки устойчивости при малых гибкостях вели иногда к весьма
серьезным катастрофам, да и опыты над сжатием стержней показывают, что при
критических напряжениях, больших предела пропорциональности, действительные
критические силы значительно ниже определенных по формуле Эйлера.
Таким образом, надо найти способ вычисления критических напряжений и для тех
случаев, когда они превышают предел пропорциональности материалов, например, для
стержней из мягкой стали при гибкостях от 0 до 100.
Необходимо сразу же отметить, что в настоящее время важнейшим источником для
установления критических напряжений за пределом пропорциональности, т. е. при
малых и средних гибкостях, являются результаты экспериментов. Имеются попытки и
теоретического решения этой задачи, но они скорее указывают путь к дальнейшим
исследованиям, чем дают основания для практических расчетов.
Прежде всего надо выделить стержни с малой гибкостью, от 0 примерно до 30—40; у
них длина сравнительно невелика по отношению к размерам поперечного сечения.
Например, для стержня круглого сечения гибкости 20 соответствует отношение длины к
диаметру, равное 5. Для таких стержней трудно говорить о явлении потери
устойчивости прямолинейной формы всего стержня в целом в том смысле, как это
имеет место для тонких и длинных стержней.
Эти короткие стержни будут выходить из строя главным образом за счет того, что
напряжения сжатия в них будут достигать предела текучести
(при пластичном
материале) или предела прочности
(при хрупких материалах). Поэтому для
коротких стержней, до гибкости примерно 30 40, критические напряжения «будут
равны, или немного ниже (за счет наблюдающегося все же некоторого искривления оси
стержня), соответственно или
(сталь), или
(чугун, дерево).
Таким образом, мы имеем два предельных случая работы сжатых стержней: короткие
стержни, которые теряют грузоподъемность в основном за счет разрушения материала
от сжатия, и длинные, для которых потеря грузоподъемности вызывается нарушением
устойчивости прямолинейной формы стержня. Количественное изменение соотношения
длины и поперечных размеров стержня меняет и весь характер явления разрушения.
Общим остается лишь внезапность наступления критического состояния в смысле
внезапного резкого возрастания деформаций.
В сжатых стержнях большой гибкости, для которых применима формула Эйлера,
после достижения силой Р критического значения обычно наблюдается резкий рост
деформаций. До этого момента прогибы, как правило, растут с ростом нагрузки, но
остаются незначительными. Теоретически можно было бы ожидать, что до критической
силы стержень будет оставаться прямым; однако ряд неизбежных на практике
обстоятельств — начальная кривизна стержня, некоторый эксцентриситет приложения
нагрузки, местные перенапряжения, неоднородность материала — вызывают
небольшие прогибы и при сжимающих силах, меньших критических.
Подобный же характер имеет и зависимость укорочений от напряжения при сжатии
коротких стержней; мы имеет ту же внезапность роста деформаций при определенной
величине напряжений (когда
).
Нам остается теперь рассмотреть поведение сжатых стержней при средних величинах
гибкости, например для стальных стержней при гибкостях от 40 до 100; с подобными
значениями гибкостей инженер чаще всего встречается на практике.
По характеру разрушения эти стержни приближаются к категории ^ тонких и
длинных стержней; они теряют свою прямолинейную форму и разрушаются при
явлениях значительного бокового выпучивания. При опытах для них можно отметить
наличие ясно выраженной критической силы в «эйлеровом» смысле; критические
напряжения получаются выше предела пропорциональности и ниже предела текучести
для пластичных и предела прочности для хрупких материалов.
Однако потеря прямолинейной формы и понижение критических напряжений по
сравнению с короткими стержнями для этих стержней «средней» гибкости связаны с
такими же явлениями нарушения прочности материала, какие вызывают потерю
грузоподъемности в коротких стержнях. Здесь комбинируются и влияние длины,
понижающее величину критических напряжений, и влияние значительного роста
деформаций материала при напряжениях за пределом пропорциональности.
Экспериментальное определение критических сил для сжатых стержней
производилось неоднократно как у нас, так и заграницей. Особенно обширный
опытный материал собрал проф. Ф. Ясинский, составивший таблицу критических
(«ломающих») напряжений в. зависимости от гибкости для целого ряда материалов и
положивший начало современным методам расчета сжатых стержней на устойчивость.
На основании полученного опытного материала можно считать, что при критических
напряжениях, меньших предела пропорциональности, все эксперименты подтверждают
формулу Эйлера для любого материала.
Для стержней средней и малой гибкости были предложены различные эмпирические
формулы, показывающие, что критические напряжения при таких гибкостях меняются
по закону, близкому к линейному:
где а и b — коэффициенты, зависящие от материала, a
— гибкость стержня. Для
литого железа Ясинский получил: а = 338,7МПа, b = 1,483 МПа. Для стали 3 при
гибкостях от = 40 до = 100 коэффициенты а и b могут быть приняты: а = 336 МПа;
b = 1,47МПа. Для дерева (сосна): а = 29,3 МПа; b = 0,194 МПа.
Иногда удобны эмпирические формулы, дающие для неупругой области изменение
критических напряжений по закону квадратной параболы; к ним относится формула
Здесь при
= 0 считают
для пластичного и
для хрупкого
материала; коэффициент а, подобранный из условия плавного сопряжения с
гиперболой Эйлера, имеет значение:
для стали с пределом текучести

сосны прочности

чугуна
= 280 МПа а = 0,009 МПа
= 30; а = 0,0008 »
= 420; а = 0,044 »
При наличии приведенных здесь данных может быть построен полный график
критических напряжений (в зависимости от гибкости) для любого материала. На Рис.2
приведен такой график для строительной стали с пределом текучести
пределом пропорциональности
и
.
Рис.2. Полный график критических напряжений для строительной стали.
График состоит из трех частей: гиперболы Эйлера при
, наклонной прямой
при
и горизонтальной, или слабо наклонной, прямой при
. Подобные
же графики можно построить, комбинируя формулу Эйлера с результатами
экспериментов, и для других материалов.
Таким образом, можно считать, что задача определения критических напряжений для
стержней любой гибкости решена с достаточной для практических целей точностью.
Проверка сжатых стержней на устойчивость.
Ранее было отмечено, что для сжатых стержней должны быть произведены две
проверки:
на прочность
на устойчивость
где
Для установления допускаемого напряжения на устойчивость нам остается теперь
выбрать только коэффициент запаса k.
На практике этот коэффициент колеблется для стали в пределах от 1,8 до 3,0.
Коэффициент запаса на устойчивость выбирается выше коэффициента запаса на
прочность, равного для стали 1,5 — 1,6.
Это объясняется наличием ряда обстоятельств, неизбежных на практике (начальная
кривизна, эксцентриситет действия, нагрузки, неоднородность материала и т. д.) и
почти не отражающихся на работе конструкции при других видах деформации
(кручение, изгиб, растяжение).
Для сжатых же стержней, ввиду возможности потери устойчивости, эти
обстоятельства могут сильно снизить грузоподъемность стержня. Для чугуна
коэффициент запаса колеблется от 5,0 до 5,5, для дерева — от 2,8 до 3,2.
Чтобы установить связь между допускаемым напряжением на устойчивость [
допускаемым напряжением на прочность [ ], возьмем их отношение:
]и
или<
Обозначая
получим:
здесь
— коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения для сжатых
стержней.
Имея график зависимости
от
для данного материала, зная
или
и
выбрав коэффициенты запаса на прочность
и на устойчивость
, можно составить
таблицы значений коэффициента
в функции от гибкости. Такие данные приводятся в
наших технических условиях на проектирование сооружений; они сведены в таблицу.
Пользуясь этой таблицей, можно произвести подбор сечения сжатого стержня. Так
как величина площади сечения зависит от [
], а это напряжение в свою очередь
через коэффициент
связано с гибкостью стержня
, т. е. с формой и размерами его
сечения, то подбор приходится осуществлять путем последовательных приближений в
таком, например, порядке.
Выбираем форму сечения и задаемся его размерами; вычисляем наименьший радиус
инерции и гибкость; находим по таблице коэффициент
и вычисляем допускаемое
напряжение на устойчивость
с величиной [
; сравниваем действительное напряжение
]; если условие устойчивости
не удовлетворено, или удовлетворено с большим запасом, меняем размеры сечения и
повторяем расчет. Конечно, окончательно выбранное сечение должно удовлетворять и
условию прочности
В практических расчетах условие устойчивости иногда записывается так:
В левой части
Таблица.
представляет собой расчетное (условное) напряжение.
Пример.
Подобрать двутавровое сечение стойки с одним защемленным концом, сжатой силами Р
= 400 кН; длина стойки l=1,5 м. Основное допускаемое напряжение
(Рис.3).
Рис.3. Расчетная схема сжатой стойки.
Так как в условии устойчивости
нам не известно ни
, ни
этих величин необходимо задаться. Примем для первого приближения
случае необходимая площадь поперечного сечения стержня будет равна
, одной из
. В этом
или
По сортаменту выбираем двутавр No 24, b с площадью
радиус инерции сечения
Коэффициент
равен
. Соответствующая гибкость стойки
по интерполяции между значениями его из таблицы для
коэффициент
и
. Расчетным напряжением будет:
Перенапряжение составляет
;
. Наименьший
. Подбираем двутавр No 27, а.
; наибольшая его гибкость
. Так как
, то расчетное напряжение
Перенапряжение составляет теперь
что допустимо.
Лекция № 14. Прочность при циклически изменяющихся напряжениях.
Многие детали машин в процессе работы испытывают напряжения, циклически
меняющиеся во времени. Так, например ось вагона, вращающаяся вместе с колесами
(рис. 1), находятся под действием периодически меняющихся сил и испытывает
циклически изменяющиеся напряжения, хотя внешние силы сохраняют свою величину.
Рис.1. Расчетная схема оси вагона.
Для оси вагона на рис. 1 показана эпюра изгибающих моментов. В точке А поперечного
сечения (рис. 2, а) имеем:
Расстояние y от точки А до нейтральной оси меняется во времени
где
— угловая скорость вращения колеса.
Следовательно,
Таким образом, нормальное напряжение в сечениях оси меняется по синусоиде с
амплитудой
(рис. 2, б).
Рис.2. Изменение напряжения в точке А.
Опыт показывает, что при переменных напряжениях после некоторого числа циклов
может наступить разрушение детали, в то время как при том же неизменном во времени
напряжении
разрушения не происходит.
Рис.3. Иллюстрация усталостной прочности.
Число циклов до момента разрушения зависит от величины
и меняется в весьма
широких пределах. При больших напряжениях для разрушения бывает достаточно 5—
10 циклов. Это хорошо видно хотя бы на примере многократного изгиба куска
проволоки (рис. 3).
При меньших напряжениях деталь выдерживает миллионы и миллиарды циклов, а
при еще меньших — способна работать неограниченно долго.
После разрушения на поверхности излома детали обнаруживаются обычно две ярко
выраженные зоны ( рис. 4 и 5). В одной зоне кристаллы различаются невооруженным
глазом с большим трудом. Поверхность излома имеет сглаженные очертания. В другой
зоне явно выступают признаки свежего хрупкого разрушения. Кристаллы имеют острую
огранку и блестящую чистую поверхность.
В целом создается первое впечатление, что подобного рода разрушение связано с
изменением кристаллической структуры металла. Именно этим и объяснялось в свое
время разрушение при циклических напряжениях. Описанное явление получило тогда
название усталости, а направление исследований, связанных с прочностью, стало
называться усталостной прочностью. В дальнейшем точка зрения на причины
усталостного разрушения изменилась, но сам термин сохранился.
В настоящее время установлено, что структура металла при циклических нагрузках
не меняется. Начало разрушения носит чисто местный характер. В зоне повышенных
напряжений, обусловленных конструктивными, технологическими или структурными
факторами, может образоваться микротрещина. При многократном изменении
напряжений кристаллы, расположенные в зоне трещины, начинают разрушаться и
трещина проникает в глубь тела.
Соприкасающиеся поверхности в зоне образовавшейся трещины испытывают
контактное взаимодействие, в результате чего кристаллы истираются, а поверхности
приобретают внешний вид мелкозернистой структуры. Так образуется одна из зон
поверхности будущего излома.
В результате развития трещины сечение ослабляется. На последнем этапе происходит
внезапное разрушение. Излом имеет характерную поверхность с неповрежденными
чистыми кристаллами.
Из фотографии (рис. 4) видно, что разрушение бруса произошло в результате
развития трещины, образовавшейся у края сечения. Разрушение рельса (рис. 5)
обусловлено развитием трещины, образовавшейся внутри сечения в зоне местного
порока.
Теоретический анализ усталостной прочности связан с большими трудностями.
Природа усталостного разрушения обусловлена особенностями молекулярного и
кристаллического строения вещества. Поэтому схема сплошной среды, которая с
успехом применялась в рассматривавшихся до сих пор задачах, в данном случае не
может быть принята в качестве основы для исследования.
Рис.4. Характерные признаки уталостного разрушения
Рис.5. Характерные признаки усталостного разрушения рельсы
Для создания достаточно стройной теории усталостной прочности необходимо
проникнуть в особенности строения кристаллов и межкристаллических связей с
последующим привлечением аппарата статистики.
В настоящее время, однако, физические основы теории твердого тела не находятся
еще на такой стадии развития, чтобы на их базе можно было бы создать методы
расчета на усталостную прочность, удовлетворяющие запросам практики. Поэтому
приходится идти по пути накопления экспериментальных фактов, из совокупности
которых можно было бы выбрать подходящие правила как руководство для расчета.
Объединение и систематика экспериментальных данных и представляет собой в
настоящее время содержание теории усталостной прочности.
Отсутствие единых основополагающих законов в этой теории лишает ее стройности.
В результате полученные экспериментальные зависимости не являются
универсальными, а сами расчеты; дают сравнительно невысокую точность.
Основные характеристики цикла и предел усталости
Рассмотрим вначале случай одноосного напряженного состояния.
Закон изменения главного напряжения о во времени представлен кривой, показанной
на рис. 6.
Наибольшее и наименьшее напряжения цикла обозначим через
отношение называется коэффициентом цикла
и
. Их
Рис.6. Закон изменения главного напряжения во времени.
В случае, когда
,
и цикл называется симметричным. Такой цикл, в
частности, имеет место в рассмотренном выше примере вращающейся оси вагона.) Если
или же
цикла r = 0 или
подобными.
, цикл называется пульсационным (рис. 7). Для пульсационного
. Циклы, имеющие одинаковые показатели r, называются
Рис.7. Симметричный а) и пульсационные б) циклы
Любой цикл может быть представлен как результат наложения постоянного
напряжения
на напряжение, меняющееся по симметричному циклу с амплитудой
(рис. 6). Очевидно, при этом:
(1)
,
Считается общепризнанным, что усталостная прочность детали не зависит от закона
изменения напряжений внутри интервала
. Поэтому между циклами,
показанными, например, на рис. 8, различия не делается. Точно та к же считается
несущественным и влияние частоты изменения цикла. В итоге цикл определяется
только величинами
и
или же
и
.
Рис.8. Виды пульсаций в циклах.
Теперь перейдем к механическим характеристикам материала. И условиях
циклических напряжений они определяются путем специальных испытаний.
Наиболее распространенными являются испытания в условиях симметричного цикла.
При этом обычно используется принцип чистого изгиба вращающегося образца (рис. 9).
Рис.9. Модель усталостного испытания.
Для испытаний в условиях несимметричных циклов используются либо специальные
машины, либо же вводятся дополнительные приспособления. Так, например, можно на
испытуемом образце установить пружину, создающую постоянное растяжение образца
с напряжением
. Во время испытания на это напряжение накладывается напряжение
от изгиба, меняющееся по симметричному циклу.
Путем многократных испытаний (если имеется достаточное количество образцов)
можно определить число циклов, которое выдерживает образец до разрушения, в
зависимости от величины
рис.10
цикла. Эта зависимость имеет вид кривой, показанной на
В связи с тем, что число циклов с уменьшением
возрастает в высокой степени,
предпочитают в ряде случаев по оси абсцисс откладывать не число N а его логарифм.
Опыт показывает, что для большинства черных металлов можно указать такое
наибольшее максимальное напряжение, при котором материал не разрушается при
любом числе циклов. Такое напряжение называется пределом усталости, или пределом
выносливости.
Предел выносливости обозначается через
, где индекс r соответствует
коэффициенту цикла. Так, для симметричного цикла обозначение предела
выносливости принимает вид
, для пульсирующего
или
. и т. д.
Рис.10. Зависимость числа циклов разрушения от максимального напряжения.
Для цветных металлов и для закаленных до высокой твердости сталей не удается
установить такое число циклов, выдержав которое, образец не разрушился бы в
дальнейшем. Поэтому в подобных случаях вводится понятие условного предела
выносливости. За условный предел выносливости принимается напряжение, при
котором образец способен выдержать
циклов.
Определение предела выносливости является трудоемкой операцией, поэтому был
сделан ряд попыток связать эмпирическими формулами предел выносливости с
известными механическими характеристиками материала.
Обычно считается, что для сталей предел выносливости при изгибе составляет
половину от предела прочности:
Для высокопрочных сталей можно принять:
Для цветных металлов предел выносливости изменяется в более широких пределах:
Аналогично испытанию на чистый изгиб можно вести испытание «а кручение в
условиях циклически изменяющихся напряжений. В этом случае:
Указанные соотношения и все им подобные следует, однако, применять с большой
осторожностью, поскольку они получены только для определенных материалов и в
определенных условиях испытаний (при изгибе, при кручении).
В связи с этим следует указать, что предел усталости не является характеристикой
только свойств материала, как, например, модуль упругости или коэффициент
Пуассона. Он зависит также от метода ведения испытаний. Расчетное напряжение для
образца не определяет полностью процесс усталостного разрушения. В результате
образования трещины величина напряжений и законы их распределения в образце
непрерывно меняются в зависимости от условий дальнейшего развития трещины.
Последние же в свою очередь зависят от абсолютных размеров образца и характера
приложения внешних сил. Все это неминуемо сказывается на предельном числе циклов
и на величине предела усталости.
В результате указанных обстоятельств, например, предел усталости, полученный в
условиях циклического растяжения и сжатия, оказывается на 10—20% ниже, чем
предел усталости, полученный при изгибе. Предел усталости при кручении сплошных
образцов отличается от предела усталости, полученного для полых образцов, и т. п.
Лекция № 15. Диаграмма усталостной прочности.
Положим, имеется машина, на которой можно производить усталостные испытания в
условиях любого несимметричного цикла. Задавая постоянное значение
, находим
путем последовательных испытаний образцов такое наибольшее значение амплитуды
, при котором материал способен еще выдержать неограниченное число циклов.
Если для взятого материала такого предельного напряжения не существует, величина
определяется по условному базовому числу N.
В результате проведенной серии испытаний устанавливается предельное значение
, соответствующее некоторому напряжению
. Полученный результат может быть
графически изображен точкой в системе координат
,
( рис. 438). Сумма
координат этой точки дает предельное максимальное напряжение цикла, т. е. предел
усталости
, где:
Продолжая такие испытания и дальше, получаем множество точек, через которые
проводится предельная кривая, характеризующая прочностные свойства материала в
условиях несимметричных циклов. Эта кривая носит название диаграммы усталостной
прочности (рис. 1).
Точки А к С диаграммы соответствуют пределам прочности.при простом растяжении и
сжатии. Точка В отражает результаты испытания в условиях симметричного цикла.
Полученная диаграмма дает возможность судить о прочности конструкции,
работающей при циклически изменяющихся напряжениях.
Положим, для некоторой детали цикл характеризуется значениями напряжений
и
. Эти величины могут рассматриваться как координаты рабочей точки в плоскости
,
. Если рабочая точка располагается ниже предельной кривой, рассматриваемая
деталь может в условиях циклически изменяющихся напряжений работать
неограниченно долго. Если рабочая точка оказывается выше предельной кривой,
деталь разрушится после некоторого числа циклов.
Так как построение диаграммы усталостной прочности связано с весьма трудоемкими
испытаниями, предпочитают обычно полученную кривую АВС заменять двумя прямыми
АВ и ВС, как это отмечено пунктиром на рис. 2. Рабочая область при этом несколько
сокращается, что дает погрешность в запас прочности.
Рис.1. Реализация предельного напряжения.
Рис.2. Диаграмма усталостной прочности.
Одновременно отсекается сомнительная зона разброса экспериментальных точек.
Для построения упрощенной диаграммы достаточно располагать пределом усталости
при симметричном цикле
, и иметь значения пределов прочности
и
.
Рабочая точка в плоскости
,
не может занимать произвольное положение. Она
должна находиться в области осуществимых циклов, которая определяется
следующими очевидными условиями:
и
Так как:
,а
то область осуществимых циклов имеет верхнюю границу в виде двух прямых:
и
Эти прямые вместе образуют треугольник АСD (рис.3), который и представляет собой
область осуществимых циклов.
Рис.3. Область осуществимых циклов
Рис.4. Область допустимых циклов с ограничениями на пластические деформации.
Для пластичных материалов таким же способом может быть отмечена область упругих
деформаций. Граница этой области очерчивается сверху прямыми:
и
В результате получаем треугольник
(рис. 3).
Если рабочая точка оказывается в пределах этого треугольника» пластические
деформации в детали не возникают. Рабочая точка, находящаяся за пределами
треугольника А'С'D', но остающаяся внутри треугольника АСD, свидетельствует о том,
что в детали возникают пластические деформации. Если, наконец, рабочая точка
оказывается за пределами треугольника АСD, при первом же цикле происходит
разрушение детали.
При расчетах конструкций, предназначенных на длительные сроки службы,
напряжения цикла ограничиваются как по условиям усталостной прочности, так и по
условиям недопущения пластических деформаций. Поэтому, объединяя диаграммы,
показанные на рис. 2 и 3, получаем рабочую область в виде многоугольника А'КВLС'
(рис.4). Рабочая точка (р. т.) исследуемого цикла для рассчитываемой детали должна
находиться в пределах указанного многоугольника.
Теперь возникает вопрос, как определить координаты рабочей точки и как
определить коэффициент запаса детали в условиях циклического нагружения. Оба эти
вопроса содержат в своем решении ряд специфических особенностей, к рассмотрению
которых сейчас и перейдем.
Лекция № 16. Расчет коэффициентов запаса усталостной прочности.
Одним из основных факторов, которые необходимо учитывать при практических
расчетах на усталостную прочность, является фактор местных напряжений.
а) растяжение, б) изгиб, в) контактные напряжения
Рис.1. Очаги концентрации местных напряжений:
Многочисленные теоретические и экспериментальные исследования показывают, что
в области резких изменений в форме упругого тела (входящие углы, отверстия,
выточки), а также в зоне контакта деталей возникают повышенные напряжения с
ограниченной зоной распространения, так называемые местные напряжения.
Например, при растяжении полосы с небольшим отверстием рис. 1, а) закон
равномерного распределения напряжений вблизи отверстия нарушается. Напряженное
состояние становится двухосным, а у края отверстия появляется пик напряжения.
Аналогично при изгибе ступенчатого стержня (рис. 1, б) в зоне входящего угла
возникает повышенное напряжение, величина которого зависит в первую очередь от
радиуса закругления r. При прессовой посадке втулки на вал (рис. 1, в) у концов
втулки и вала также возникают местные напряжения. Подобных примеров можно
привести очень много.
Величина местных напряжений в зависимости от геометрической формы детали
определяется обычно теоретически при помощи методов математической теории
упругости.
Основным показателем местных напряжений является теоретический коэффициент
концентрации напряжений:
Рис.2. Зона расчета номинального напряжения
где
— наибольшее местное напряжение, а
—так называемое номинальное
напряжение. Это — то напряжение, которое определяется по формулам сопротивления
материалов без учета эффекта концентрации. Обычно подсчет
ведется по наиболее
ослабленному сечению детали, как, например, по сечению АА (рис. 2).
Например, для полосы с отверстием (рис. 1, а)
для случая изгиба ступенчатого стержня (рис. 1, б)
Однако, если при подобных подсчетах возникают трудности, за номинальное
принимается напряжение в неослабленном сечении. Например, при кручении вала,
имеющего поперечное отверстие (рис. 2), имеем:
где
— полярный момент сопротивления неослабленного сечения.
Так или иначе, номинальное напряжение выбирается в первую очередь из
соображений, связанных с простотой расчета.
Величина теоретического коэффициента концентрации определена для большинства
встречающихся на практике типовых конструктивных элементов.
Рис.3. Определение коэффициента концентрации для полосы с отверстием — а), с
использованием графика — б)
Данные по величине
приводятся в виде таблиц; в справочной литературе по
машиностроению. Так, например, на рис. 3 показана зависимость теоретического
коэффициента концентрации от соотношения геометрических размеров полосы с
отверстием.
Наличие местных напряжений оказывает на прочность детали различное влияние в
зависимости от свойств материала и от характера нагружения. В связи с этим в отличие
от теоретического вводится понятие эффективного коэффициента концентрации
причем делается различие между постоянными и циклически изменяющимися
напряжениями.
,
При постоянных напряжениях (при r=1) под эффективным коэффициентом
концентрации понимается отношение
где
—предел прочности для образца, не имеющего очагов концентрации, а
условный предел прочности для образца, обладающего очагами концентрации
напряжений.
—
При испытании, например, призматического стержня с отверстием (рис. 4, а)
эффективный коэффициент концентрации напряжений вблизи отверстия определяется
отношением разрушающей нагрузки Р к разрушающей нагрузке Р'. То же самое имеет
место и для образца с выточкой (рис. 4, б).
Для пластичных материалов местные напряжения в условиях постоянной нагрузки не
оказывают на прочность детали существенного влияния. Обычно в зоне повышенных
напряжений образуются местные пластические деформации без образования трещины,
Весь остальной объем тела за пределами этой зоны работает упруго, и несущая
способность сохраняется практически до тех же значений сил, что и при отсутствии
очагов концентрации. Это дает право при статическом нагружении не учитывать
местных напряжений.
Рис.4. эффект концентрации местных напряжений для детали с отверстием — а) и с
выточкой — б)
Таким образом, можно считать, что для пластичных материалов:
Для хрупких материалов значение
коэффициента концентрации
приближается к значению теоретического
. Здесь, правда, возможны исключения. Для чугуна,
например, независимо от формы детали,
. Объясняется это структурными
особенностями чугуна, имеющего в своей массе включения графита. Каждое включение
является очагом концентрации, приводящим к существенно большим местным
напряжениям, чем те, которые обусловливаются конструктивными факторами
(выточками, отверстиями и пр.).
В условиях циклически изменяющихся напряжений (при
коэффициент концентрации определяется отношением:
где
— предел усталости гладкого образца, а
имеющего очаги концентрации напряжений.
) эффективный
—предел усталости образца,
Величина
, также как и
зависит не только от геометрической формы детали, но
и от механических свойств материала. Концентрация напряжений существенно
сказывается на усталостной прочности и хрупких и пластичных материалов, поскольку
и в том и в другом случае при многократном изменении напряжений разрушение
начинается с образования местной трещины.
Числовое значение эффективного коэффициента концентрации может быть
определено только на основе усталостного испытания большого числа образцов из
различных материалов. В настоящее время в этом направлении накоплен достаточно
большой экспериментальный материал. Сопоставление полученных результатов
позволяет в некоторой ограниченной мере установить соотношение между
эффективным и теоретическим коэффициентами концентрации в виде
(13.6)
где q — так называемый коэффициент чувствительности материала к местным
напряжениям.
Величина q зависит в основном от свойств материала. Так, например, можно считать,
что для высокопрочных легированных сталей величина q близка к единице. Для
конструкционных сталей в среднем
, причем более прочным стал ям
соответствуют большие значения q. Для чугуна q = 0 и
.
Коэффициент чувствительности зависит также в некоторой степени и от
геометрических особенностей очага концентрации. Наблюдается некоторое снижение q
в случае больших коэффициентов
.
При расчетах на усталостную прочность наличие местных напряжений учитывается
путем введения поправок в числовые значения координат рабочей точки ( р. т.) на
диаграмме усталостной прочности. Так, если расчет детали по номинальным
напряжениям дает характеристики цикла
и
, то с учетом местных напряжений
следует соответственно принять значения координат рабочей точки в виде
, где
и
принимается обычно равным единице.
Из всего изложенного следует, что наличие концентрации напряжений снижает
усталостную прочность детали. Поэтому при проектировании машин следует стремиться
к тому, чтобы влияние местных напряжений было сведено к минимуму. Достигается это,
прежде всего, конструктивными мерами. Для ответственных деталей, работающих в
условиях циклических напряжений, внешние обводы стремятся сделать возможно
более плавными, радиусы закругления во внутренних углах увеличивают, необходимые
отверстия располагают в зоне пониженных напряжений и т. д.
Рис.5. Конструкция галтели и проставочных колец
На рис. 5, а показана конструкция галтели с глубоким поднутрением, уменьшающим
местные напряжения. Для увеличения радиуса галтели могут применяться также
проставочные кольца, как это показано на рис. 5, б. Для снижения местных
напряжений иногда практикуется введение разгрузочных канавок (рис. 6, а), наличие
которых благотворно сказывается на усталостной прочности вала. Такого же рода
разгрузочные канавки могут применяться и в местах посадки (рис. 6, б).
Рис.6. Конструкции разрушенных канавок — а), в том числе в местах посадок — б)
Влияние состояния поверхности и размеров детали на усталостную прочность
Так как при циклических напряжениях начало разрушения связано с образованием
местной трещины, понятна та роль, которую играет в усталостной прочности детали
состояние ее поверхности. Совершенно очевидно, что в случае чистой и тонко
обработанной поверхности предел усталости возрастает. При грубой обработке наличие
мелких поверхностных дефектов приводит к снижению показателей усталостной
прочности. При этом для материалов, обладающих большой чувствительностью к
местным напряжениям, влияние состояния поверхности будет более заметным.
При расчетах на усталостную прочность особенности, связанные с обработкой
поверхности детали, учитываются коэффициентом качества поверхности:
где
,—предел усталости, полученный на образцах, имеющих стандартную обработку
поверхности. В качестве таковой — принимаете» обычно шлифовка.
предел
выносливости для образцов, состояние поверхности которых соответствует состоянию
поверхности рассчитываемой детали.
На графиках рис. 7 приведены ориентировочные значения коэффициента качества
поверхности различных сталей в зависимости от их предела прочности.
Рис.7. График определения коэффициента качества состояния поверхности
Предел прочности для шлифованных образцов принят за единицу (прямая 1). Прямая
2 относится к образцам с полированной поверхностью. Прямая 3 — к образцам,
имеющим поверхность, обработанную резцом. Прямая 4 дает значения коэффициента
качества поверхности, имеющей мелкую насечку, а 5 — относится к поверхности,
необработанной после проката. Для поверхностей, корродированных в пресной и
морской воде, значения
, задаются прямыми 6 и 7.
Коэффициент качества поверхности вводится при расчетах в ординату рабочей точки
(р. т.) на диаграмме усталостной прочности. Так, если рассчитанная по номиналу
амплитуда цикла равна
, то после введения поправки на качество поверхности она
принимает значение
. Абсцисса рабочей точки
остается при этом неизменной,
поскольку при постоянных напряжениях качество поверхности на прочность детали
влияния не оказывает.
Из всего сказанного видно, что для повышения усталостной прочности необходимо
добиваться высокой чистоты поверхности, особенно вблизи очагов концентрации
напряжений. Ответственные детали, работающие в тяжелых условиях циклически
изменяющихся напряжений, обычно шлифуются и даже полируются.
Большие возможности для повышения усталостной прочности открывают
специальные способы обработки поверхности. Сюда относится поверхностное
азотирование, которое дает особо ощутимые результаты при наличии концентрации
напряжений Предел усталости может быть повышен также путем обкатки поверхности
роликами.
Рис.8. График определения масштабного коэффициента.
Особенно большой эффект при наличии очагов концентрации дает дробеструйная
обработка поверхности, заключающаяся в обдувке детали чугунной или стальной
дробью. В результате такой обработки образуется поверхностный слой с остаточными
напряжениями сжатия, что препятствует возникновению местных трещин в
дальнейшем.
При расчете детали на усталостную прочность наряду с фактором состояния
поверхности необходимо учитывать также еще так называемый масштабный фактор.
Величина предела усталости зависит от абсолютных размеров испытываемых
образцов. Объясняется это, как уже указывалось выше, тем, что усталостное
разрушение определяется не только напряжением в наиболее опасных точках, но
также и общими законами распределения напряжений в объеме тела в процессе
образования и развития трещин.
Опыты, проведенные по определению предела усталости для образцов различных
размеров, показали, что с увеличением последних предел усталости уменьшается.
Отношение предела усталости детали
к пределу усталости образцов
стандартного размера
называется коэффициентом масштабного фактора,
или просто масштабным фактором,
При определении масштабного фактора предполагается, что состояние поверхности
испытываемых деталей и образцов одинаково.
На рис. 8 дается ориентировочная зависимость масштабного фактора от диаметра
вала для случая изгиба и кручения.
Кривая 1 получена для углеродистой стали при отсутствии местных напряжений.
Кривая 2—для легированной стали
при отсутствии
концентрации напряжении и для углеродистой стали при умеренной концентрации.
Кривая 3 относится к легированной стали при наличии концентрации напряжений, а 4
— к сталям, имеющим высокую степень концентрации напряжений. Как видно из этих
кривых, масштабный фактор более резко сказывается при больших местных
напряжениях.
При расчетах на прочность коэффициент
, так же как и
, вводится только в
ординату рабочей точки; вместо номинального значения амплитуды цикла
значение
берется
.
Коэффициент запаса усталостной прочности и его определение
Построим диаграмму усталостной прочности и нанесем на ней рабочую точку цикла.
Диаграмма строится, как это было показано выше, на основе заданных механических
характеристик материала
,
и
, а рабочая точка определяется по
номинальным значениям напряжений цикла
и
. С учетом поправки на
концентрацию напряжений, на поверхностный и масштабный факторы координаты
рабочей точки примут значения
и
(рис. 9).
Условимся под запасом усталостной прочности понимать отношение отрезка ОВ к
отрезку ОА (см. рис. 9)
Рис.9. Диаграмма усталостной прочности.
Это отношение характеризует степень близости рабочих условий к предельным для
данного материала. В частном случае, когда напряжения не меняются во времени (
= 0), данное определение запаса прочности совпадает с обычным.
При подсчете запаса прочности можно прибегать к графическому построению
диаграммы усталостной прочности и глазомерной оценке соотношения между
отрезками. Точность такого определения остается в пределах точности определения
исходных величин и последующих поправок.
В большинстве случаев для определения n предпочитают пользоваться расчетными
формулами. Они получаются из геометрических соотношений отрезков, показанных на
рис. 9.
Уравнения прямых СD и ОB будут:
,
Исключая из этих уравнений
, находим абсциссу точки B, те.— отрезок Оb,
Искомый запас усталостной прочности:
Так как:
то
Если точка В находится на прямой, ограничивающей цикл по пределу текучести
(точка В' на диаграмме рис. 9), расчет на усталостную прочность заменяется обычным
расчетом по пределу текучести.
Все рассмотренные до сих пор вопросы усталостной прочности относились к случаю
одноосного напряженного состояния. Совершенно аналогичным образом могут быть
получены соотношения усталостной прочности для чистого сдвига (кручения). В
случаях более общего напряженного состояния задача существенно усложняется.
Известны многие попытки создания гипотез усталостной прочности в сложном
напряженном состоянии. Все они сводились в основном к обобщению известных
гипотез предельных состояний на случай циклических напряжений. Такой путь, однако,
до сих пор не дал положительных результатов, и в настоящее время приходится
пользоваться в основном экспериментально установленными зависимостями.
Для наиболее часто встречающегося на практике расчета при двухосном
напряженном состоянии
, общепринятой в настоящее время является эмпирическая
формула Гафа и Полларда
где n — искомый запас усталостной прочности;
предположении, что касательные напряжения
— запас усталостной прочности в
отсутствуют;
— запас по
касательным напряжениям, установленный в предположении, что
.
Приведенная формула применима не только в случае синфазного изменения
но и при таких циклах, когда максимумы
и достигаются не одновременно.
и
,
Лекция № 17. Основы вибропрочности конструкций
Постановка задачи. Явление Резонанса.
До сих пор мы решали основную задачу сопротивления материалов, определяли
размеры поперечных сечений частей конструкции и выбирали для них материал лишь
при статическом действии нагрузок.
Статическое действие нагрузок имеет место, когда при передаче давления от одной
части конструкции на другую или при действии объемных сил механическое движение
этих частей не меняется с течением времени. В этом случае каждый элемент
конструкции находится в равновесии под действием внешних нагрузок и напряжений.
Постоянство движения характеризуется тем, что скорость рассматриваемых деталей и
каждой их части не меняется — отсутствует ускорение частиц этих элементов. Наличие
же ускорения частиц рассматриваемого тела или соприкасающихся с ним деталей
характеризует уже воздействие динамической нагрузки. Так, давление земли на
подпорную стенку будет статической нагрузкой, так как ни стенка, ни земляная масса
не движутся, — скорость их постоянна и равна нулю.
Точно так же статическим будет действие поднимаемого груза на канат при
постоянной скорости подъема груза. Наоборот, это действие будет динамическим, если
груз поднимается с ускорением. Динамическую нагрузку испытывают шатуны паровых
машин и двигателей внутреннего сгорания, так как отдельные элементы их движутся с
переменной скоростью. В качестве других примеров конструкций, работающих на
динамическую нагрузку, можно указать на фундамент машины, имеющей вращающиеся
части, расположенные внецентренно относительно оси вращения, — они будут
испытывать центростремительное ускорение; можно указать на фундамент и шток
парового молота, так как боек молота при ковке теряет свою скорость за очень
короткий период времени, что связано с сообщением ему весьма больших ускорений.
Уже из этих примеров видно, что на практике мы можем встречаться с различными
видами ускорения рассматриваемой детали или соприкасающихся с ней тел; оно может
быть постоянным по величине и направлению или только по направлению; может быть
знакопеременным.
При переменных и знакопеременных напряжениях мы встречаемся с явлением
разрушения от постепенно развивающейся трещины — с явлением усталости. При
резком изменении скорости движения элемента конструкции в зависимости от передачи
на него давлений от соседних деталей, когда имеет место явление удара, может
обнаружиться хрупкость в таких материалах, которые при статическом действии
нагрузок оказывались пластичными. Поэтому при проверке прочности деталей
конструкций, подвергающихся действию динамических нагрузок, приходится
интересоваться влиянием этих нагрузок не только на величину напряжений в детали,
но и на сопротивляемость материала.
Влияние ускорений точек деталей конструкции на напряженное состояние материала
может быть учтено следующим образом. Если какое-либо тело движется с ускорением,
то это значит, что на него передаются (к нему приложены) силы (давления) от других
тел; по закону равенства действия и противодействия оно передает на эти тела равные
приложенным силам и противоположно направленные реакции, называемые силами
инерции. Это рассуждение применимо также и к каждому элементу движущегося с
ускорением тела; этот элемент будет передавать на прилегающие части материала
усилия, равные силе инерции этого элемента.
Таким образом, при ускоренном движении частей конструкции в них возникают
добавочные вполне реальные напряжения, которые эквивалентны статическим
напряжениям, вызванным силами инерции; от каждого элемента стержня на соседние
части материала будут передаваться такие напряжения, как будто бы к нему была
приложена соответствующая сила инерции.
Отсюда получаем практическое правило для определения напряжений в части
конструкции, точки которой испытывают ускорения: надо вычислить эти ускорения и в
дополнение к внешним силам, действующим на рассматриваемый элемент конструкции,
нагрузить его соответствующими силами инерции. Дальше следует вести расчет так,
как будто на стержень действует статическая нагрузка.
Здесь надо различать три случая. Если величина и расположение внешних сил,
приложенных к рассматриваемому элементу, не зависят от его деформаций, если эти
деформации не изменяют характера движения стержня, то ускорения его точек
вычисляются по правилам кинематики твердого тела, и учет динамических воздействий
сводится к добавочной статической нагрузке соответствующими силами инерции. Это
имеет место в большинстве практически важных случаев (за исключением удара).
Если при этом ускорение будет меняться, то, как правило, возникнут колебания
рассматриваемой части конструкции, которые могут в некоторых случаях дать явление,
резонанса, связанное с резким увеличением деформаций и напряжений. Эти
напряжения могут достигать весьма большой величины и будут прибавляться к тем,
которые учитываются путем введения в расчет статической нагрузки силами инерции.
Наконец, могут быть случаи (удар), когда величина ускорений, а значит, и
соответствующих сил инерции будет зависеть от деформируемости рассматриваемых
элементов; в этом случае при вычислении сил инерции приходится использовать и
данные сопротивления материалов.
Способ проверки прочности для каждого из указанных случаев покажем на примерах.
Влияние резонанса на величину напряжений.
Если на балке расположена машина с вращающимся грузом, имеющим
эксцентриситет по отношению к оси вращения (Рис.1,). то
Рис.1. Расчетная схема неуравновешенного ротора машины
Сила инерции груза будет вызывать в балке напряжения и деформации,
периодически меняющие свой знак. Балка будет совершать колебания с периодом,
равным периоду вращения груза. Это будут так называемые вынужденные колебания.
Если период вынужденных колебаний совпадет с периодом свободных колебаний
стержня, то мы получим явление резонанса, при котором амплитуда (размах)
колебаний будет резко расти с течением времени. Наличие сил трения, сопротивление
воздуха и т. д. ограничивают на практике рост этой амплитуды; однако она может
достичь очень большой величины, значительно превышающей те деформации, которые
испытывала бы конструкция под действием ускорений той же величины, но не
меняющих знака.
Известен случай, когда при резонансе угол закручивания вала увеличился в шесть
раз по сравнению с тем углом, который был до наступления резонанса, — это был
случай поломки коленчатых валов двигателей «Цеппелина» при первом его перелете
через Атлантический океан.
Таким образом, явление резонанса, если оно длится некоторое время, а не сбивается
немедленно по возникновении, ведет к постепенному росту деформаций и
пропорциональных им напряжений в конструкции, что может вызвать поломку.
Поэтому, как правило, при проектировании конструкций, испытывающих переменные
ускорения с постоянным периодом, необходимо избежать возникновения явления
резонанса.
Так как период раскачивающих (возмущающих) сил обычно является заданным, то в
распоряжении проектировщика остается лишь период собственных свободных
колебаний конструкции, который надо подобрать так, чтобы он в должной мере
отличался от периода изменений возмущающей силы.
Вопросы, связанные с определением периода, частоты и амплитуды свободных и
вынужденных колебаний, рассматриваются в курсах теоретической механики. Поэтому
ограничимся лишь приложением полученных там выводов к определению напряжений
и проверке прочности элементов конструкции при колебаниях.
Вычисление напряжений при колебаниях.
Упругая система, выведенная каким-либо путем из равновесия, приходит в
колебательное движение. Колебания происходят около положения упругого
равновесия, при котором в нагруженной системе имели место статические деформации
и соответствующие им статические напряжения
(
или
— в зависимости от
вида деформации). При колебаниях к статическим деформациям добавляются
динамические, зависящие от вида колебательного движения и от величины размаха
(амплитуды) колебаний. В связи с этим изменяются и напряжения
. Таким образом,
при расчете колеблющейся системы на прочность необходимо уметь вычислять
динамические добавки к статическим деформациям и соответствующим им
напряжениям.
Во многих случаях характер колебаний системы может быть определен одной какойнибудь величиной (одной координатой). Такие системы называются системами с одной
степенью свободы; таковы, например, растянутая или сжатая незначительного веса
пружина с грузом на конце, совершающая продольные колебания; небольшого
(сравнительно с грузом Q) собственного веса балка, изображенная на Рис.2,
колеблющаяся в направлении, перпендикулярном к ее оси, и т. п.
Рис.2. Динамическая модель колебаний системы с одной степенью свободы.
При колебаниях систем с одною степенью свободы полные деформации системы в
каком либо сечении могут быть найдены путем сложения статической деформации с
добавочной деформацией при колебаниях. Для проверки прочности системы, очевидно,
необходимо найти наиболее опасное сечение с наибольшей в процессе колебаний
суммарной величиной деформации. В простейших случаях для этого потребуется
сложить наибольшую статическую деформацию
колебаний А, т. е.
с наибольшей амплитудой
Пока система деформируется в пределах упругости, напряжения пропорциональны
деформациям. Поэтому
где
— коэффициент динамичности при колебаниях. Условие прочности в этом случае
должно иметь такой вид:
Таким образом задача нахождения динамических напряжений и проверки прочности
при колебаниях может быть сведена к определению статических напряжений и
коэффициента динамичности
. Так как последний зависит от величины А, то нужно
уметь определять наибольшее значение амплитуды колебаний в разных случаях.
Как известно, дифференциальное уравнение движения колеблющегося груза Q в
случае свободных колебаний можно представить в виде уравнения равновесия, в
котором кроме внешней силы (веса груза Q) и силы упругого сопротивления системы
учитывается также и сила инерции:
(1)
Здесь х — координата, полностью определяющая положение груза Q во время
колебаний; Р — полное упругое сопротивление системы при колебаниях;
—
так называемая восстанавливающая сила (добавочное упругое усилие, возникающее в
системе в результате перемещения точки приложения груза Q на расстояние х при
колебаниях), которую в пределах упругости можно считать пропорциональной
координате х (
); с — коэффициент пропорциональности, представляющий собой
усилие, необходимое для того, чтобы вызвать равную единице статическую
деформацию системы в направлении действия груза Q. Если статическая деформация
от груза Q равна
, то
.
Решение уравнения (1) приводит к таким формулам для вычисления частоты
периода
и
свободных колебаний:
и
Свободные колебания невесомого тела суть простые гармонические колебания с
частотой (периодом), равной частоте (периоду) колебаний математического маятника,
длина которого равна статической деформации системы от груза Q. Так, например,
если груз Q растягивает призматический стержень,
при изгибе балки на двух шарнирных опорах грузом Q посредине пролета
и т.д.
Если на упругую систему, кроме груза Q и силы упругого сопротивления системы Р, в
том же направлении действует периодически меняющаяся возмущающая сила S и сила
сопротивления среды R, то дифференциальное уравнение движения груза Q при
колебаниях также может быть представлено в виде уравнения равновесия, подобного
уравнению (1):
(2)
Силу сопротивления среды R на практике в довольно большом числе случаев можно
считать пропорциональной первой степени скорости колебательного движения, т. е.
. Если возмущающая сила S меняется по синусоидальному закону:
,
где
,а
— частота возмущающей силы, то уравнение (2) может быть
переписано так:
или
(3)
Здесь
— так называемый коэффициент затухания колебаний,
a
— найденная выше частота свободных колебаний системы, возникающих при
отсутствии как возмущающей силы S так и силы сопротивления R.
Решение уравнения (3) приводит к такому выражению для амплитуды А
вынужденных колебаний при наличии сил сопротивления:
Здесь
— статическая деформация системы от наибольшей величины возмущающей силы S
(
). Отношение амплитуды вынужденных колебаний А к величине деформации
называется коэффициентом нарастания колебаний
:
Таким образом, формула (35.21) для динамического коэффициента
теперь такой вид:
получает
В этом выражении не учтена амплитуда собственных колебаний системы, которая
может иметь сколько-нибудь существенное значение лишь в самом начале процесса
колебаний; при наличии сил сопротивления она довольно быстро уменьшается с
течением времени.
На рис.3 приведены графики изменения коэффициента нарастания колебаний
зависимости от величины отношения
при разных значениях коэффициента
в
затухания колебаний n ( отношения
). Если частота изменения возмущающей силы
близка к частоте свободных колебаний системы, т. е.
, и если величина
коэффициента затухания колебаний сравнительно невелика, то знаменатели формул и
для A и
будут очень малыми, амплитуда колебаний и коэффициент нарастания
колебаний будут очень большими. В этом случае даже небольшая возмущающая сила
может вызвать высокие напряжения (явление резонанса).
Рис.3. Амплитудно-частотные характеристики системы.
С увеличением сил сопротивления явление резонанса становится все менее
заметным. Заметим, однако, что силы сопротивления значительно уменьшают величину
амплитуды вынужденных колебаний только вблизи от резонанса
других величинах отношения — влияние сил сопротивления незначительно.
Из рис. 3 видно, что если частота
при
изменения возмущающей силы S очень мала, то
амплитуда колебаний приближается к величине
, коэффициент нарастания
колебаний стремится к единице и наибольшие напряжения в системе могут быть
вычислены как статические напряжения от груза Q и наибольшего значения
возмущающей силы S.При очень большой частоте изменения возмущающей силы S
амплитуда колебаний и коэффициент нарастания колебаний стремятся к нулю, груз Q
можно рассматривать как неподвижный; поэтому наибольшее напряжение в системе
равно статическому напряжению от груза Q.
Это обстоятельство имеет очень большое практическое значение; оно используется
при конструировании разного рода поглотителей колебаний, сейсмографов,
вибрографов и других приборов. В машиностроении амортизаторы, предохраняющие
основания машин от усилий, возникающих при колебаниях, подбираются так, чтобы
частота собственных колебаний машины на амортизаторах была значительно меньше
частоты изменения возмущающей силы.
Учет массы упругой системы при колебаниях.
Если колеблющаяся система, несущая груз Q, обладает довольно значительной
распределенной массой (число степеней свободы, следовательно, велико), то
упрощенные расчеты, будут иметь уже значительную погрешность. В этом случае
дифференциальные уравнения движения составляются с учетом массы системы. При
решении подобного рода задач удобнее исходить не из условий равновесия, а из
закона сохранения энергии.
Полагая, что количество энергии, сообщенное системе при выведении ее из
положения равновесия и представляющее собой сумму кинетической и потенциальной
энергии груза и упругой системы, при свободных колебаниях остается постоянным,
получаем уравнение
(4)
Это уравнение показывает, что при колебаниях происходит непрерывный процесс
преобразования энергии из одного вида в другой, не сопровождающийся какими-либо
потерями энергии. Когда упругая система достигает одного из крайних положений, в
котором скорость колебательного движения равна нулю, а следовательно, равна нулю
и кинетическая энергия (T=0), потенциальная энергия груза и системы достигает
наибольшего значения
; наоборот, в положении равновесия
и
.
Заметим, что принцип, положенный в основу этого уравнения, применим лишь для
систем с одной степенью свободы, так как закон сохранения энергии не учитывает
обмена энергии, происходящего в системах с несколькими степенями свободы. Таким
образом, решение задачи о колебаниях системы с большим числом степеней свободы
здесь сводится к простейшей задаче и мы сможем приближенно найти лишь одну
(первую) частоту свободных колебаний.
Рассмотрим теперь некоторые примеры использования исходного уравнения.
В качестве первого примера исследуем колебания груза Q, подвешенного к нижнему
концу призматического стержня длиной l, площадью поперечного сечения F и удельным
весом (Рис. 4). Выведенный из положения равновесия и затем предоставленный
самому себе груз начнет совершать продольные колебания около положения
равновесия. Составим выражения для U и Т колеблющейся системы: груз — стержень.
Рис.4. Расчетная схема колебаний подвешенного груза
Потенциальная энергия системы по сравнению с положением равновесия изменится
на
, где
— потенциальная энергия системы в начальный момент (в
положении равновесия), a
— в момент t.
Потенциальную энергию груза Q в начальный момент обозначим через
потенциальная энергия стержня в тот же момент равна
деформация стержня от груза Q.
, где
;
— статическая
Таким образом,
В момент t, когда груз переместится на расстояние х и стержень получит такую же
дополнительную деформацию х, потенциальная энергия груза уменьшится на Qx, а
сила упругого сопротивления стержня и статическая деформация его увеличатся в
отношении
. Поэтому
(5)
Кинетическая энергия системы складывается из кинетической энергии груза
и
стержня
. Кинетическая энергия груза
. При вычислении кинетической
энергии стержня учтем, что в некоторый момент t скорость груза и нижнего конца
стержня равна х', а верхнего — нулю. Скорости промежуточных сечений будут иметь
значения, заключающиеся между этими двумя.
Предположим, что при колебаниях перемещения всех сечений стержня по отношению
к закрепленному концу меняются по тому же закону, что и при статическом
растяжении, т. е. пропорционально расстоянию от закрепленного сечения. Таким
образом, если нижнее сечение стержня переместилось на величину х, то сечение,
отстоящее от места защемления на
, переместится на величину
, скорость этого
сечения будет равна
. Живая сила элемента стержня длиной
от закрепленного конца, будет равна:
, отстоящего на
Кинетическая энергия всего стержня будет равна сумме величин
, т.е.
Таким образом, живая сила стержня равна живой силе груза, имеющего массу
, т.
е. равную трети массы стержня, и двигающегося с той же скоростью х', что и груз Q.
Полная же кинетическая энергия системы груз — стержень будет:
Подставляя Т и выражение U (4) в уравнение (5), дифференцируем последнее по t и
находим:
или
Здесь
— статическая деформация от груза
. Полученное
дифференциальное уравнение движения с учетом массы колеблющегося стержня
отличается от полученного ранее уравнения только величиной множителя при х и
полностью совпадает с ним, если пренебречь массой стержня. Поэтому поправка на
массу стержня, которую нужно ввести в предыдущие расчеты, состоит в том, что при
определении частоты свободных колебаний стержня статическая деформация его
вычисляется не от груза Q, но от груза Q, сложенного с одной третью веса стержня.
Таким образом, учет массы колеблющегося стержня уменьшает частоту свободных
колебаний и увеличивает их период. Величину
стержня.
называют приведенной массой
Лекция № 18. Расчет динамического коэффициента при ударной нагрузке.
Основные положения
Явление удара получается в том случае, когда скорость рассматриваемой части
конструкции или соприкасающихся с ней частей изменяется в очень короткий период
времени.
При забивке свай тяжелый груз падает с некоторой высоты на верхний торец сваи и
погружает ее в грунт; баба останавливается почти мгновенно, вызывая удар.
Аналогичные явления происходят при ковке; удар испытывают и проковываемое
изделие и шток молота с бойком, так как последний очень быстро останавливается при
соприкосновении с изделием. Во время удара между обеими ударяющимися деталями
возникают весьма большие взаимные давления. Скорость ударяющего тела за очень
короткий промежуток времени изменяется и в частном случае падает до нуля; тело
останавливается. Значит, на него от ударяемой детали передаются очень большие
ускорения, направленные в сторону, обратную его движению, т. е. передается реакция
, равная произведению массы ударяющего тела на это ускорение.
Обозначая это ускорение через а, можно написать, что реакция
, где Q —
вес ударяющего тела. По закону равенства действия и противодействия на ударяемую.
часть конструкции передается такая же сила, но обратно направленная (рис.1). Эти
силы и вызывают напряжения в обоих телах.
Рис.1. Расчетная схема ударного нагружения.
Таким образом, в ударяемой части конструкции возникают такие напряжения, как
будто к ней была приложена сила инерции ударяющего тела; мы можем вычислить эти
напряжения, рассматривая силу инерции
как статическую нагрузку нашей
конструкции. Затруднение заключается в вычислении этой силы инерции.
Продолжительности удара, т. е. величины того промежутка времени, в течении
которого происходит падение скорости до нуля, мы не знаем. Поэтому остается
неизвестной величина ускорения а, а стало быть, и силы
. Таким образом, хотя
вычисление напряжений при ударе представляет собой частный случай задачи учета
сил инерции, однако для вычисления силы
и связанных с ней напряжений и
деформаций здесь приходится применять иной прием и пользоваться законом
сохранения энергии.
При ударе происходит очень быстрое превращение одного вида энергии в другой:
кинетическая энергия ударяющего тела превращается в потенциальную энергию
деформации. Выражая эту энергию в функции силы
или напряжений, или
деформаций получаем возможность вычислить эти величины.
Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе.
Предположим, что очень жесткое тело А весом Q, деформацией которого можно
пренебречь, падая с некоторой высоты H, ударяет по другому телу B, опирающемуся на
упругую систему С (рис.2). В частном случае это может быть падение груза на конец
призматического стержня, другой конец которого закреплен (продольный удар),
падение груза на балку, лежащую на опорах (изгибающий удар), и т. п.
Рис.2. Динамическая модель ударного нагружения.
В течение очень короткого промежутка времени упругая система С испытает
некоторую деформацию. Обозначим через
перемещение тела В (местной
деформацией которого пренебрежем) в направлении удара. В упомянутых частных
случаях при продольном ударе за перемещение
продольную деформацию стержня
соответственно нужно считать
, при изгибающем ударе — прогиб балки
в
ударяемом сечении и т. п. В результате удара в системе С возникнут напряжения
(
или
— в зависимости от вида деформации).
Полагая, что кинетическая энергия Т ударяющего тела полностью переходит в
потенциальную энергию
деформации упругой системы, можем написать:
(1)
Так как к моменту окончания деформации ударяющее тело пройдет путь
его запас энергии будет измеряться произведенной им работой
, то
и будет равен:
(2)
Вычислим теперь
. При статической деформации потенциальная энергия
численно равна половине произведения действующей силы на соответствующую
деформацию:
(3)
Статическая деформация
в ударяемом сечении может быть вычислена по закону
Гука, который в общем виде можно записать так:
или
Здесь с — некоторый коэффициент пропорциональности (называемый иногда
жесткостью системы); он зависит от свойств материала, формы и размеров тела, вида
деформации и положения ударяемого сечения. Так, при простом растяжении или
сжатии
,и
; при изгибе балки, шарнирно закрепленной по концам,
сосредоточенной силой Q посредине пролета
и
; и т.д.
Таким образом, выражение для энергии может быть переписано так:
В основу этой формулы положены две предпосылки: а) справедливость закона Гука и
б) постепенный — от нуля до окончательного значения — рост силы Q, напряжений
и пропорциональных им деформаций
.
Опыты с определением модуля упругости по наблюдениям над упругими колебаниями
стержней показывают, что и при динамическом действии нагрузок закон Гука остается
в силе, и модуль упругости сохраняет свою величину. Что касается характера
нарастания напряжений и деформаций, то и при ударе деформация происходит, хотя и
быстро, но не мгновенно;
постепенно растет в течение очень короткого промежутка
времени от нуля до окончательного значения; параллельно росту деформаций
возрастают и напряжения
.
Реакция системы С на действие упавшего груза Q (назовем ее
следствием развития деформации
; она растет параллельно
) является
от нуля до
окончательной, максимальной величины и, если напряжения
не превосходят
предела пропорциональности материала, связана с ней законом Гука:
где с — упомянутый выше коэффициент пропорциональности, сохраняющий свое
значение и при ударе.
Таким образом, обе предпосылки для правильности формулы (3) принимаются и при
ударе. Поэтому можно считать, что вид формулы для
при статическом нагружении системы С силой инерции
(Здесь учтено, что по предыдущему
уравнение (1), получаем:
при ударе будет тот же, что и
, т. е.
.) Подставляя значения Т и
в
или
Отсюда
или, удерживая перед радикалом для определения наибольшей величины деформации
системы в направлении удара знак плюс, получаем:
(4)
Так как напряжения и усилия по закону Гука пропорциональны деформации, то
(5)
(6)
Из этих формул видно, что величина динамических деформаций, напряжений и
усилий зависит от величины статической деформации, т. е. от жесткости и продольных
размеров ударяемого тела; ниже это дополнительно будет показано на отдельных
примерах. Величина
(7)
в данном случае представляет собой динамический коэффициент.
Заменяя в этой формуле Н на
момент удара, получаем:
, где
— скорость ударяющего тела в начальный
(8)
Кроме того, так как
где
—энергия ударяющего тела к моменту начала удара, то выражение для
динамического коэффициента может быть представлено еще и в таком виде:
(9)
Если мы в формулах (4) и (5) положим
, т. е. просто сразу приложим груз Q, то
и
; при внезапном приложении силы Q деформации и напряжения
вдвое больше, чем при статическом действии той же силы.
Наоборот, если высота падения груза Н (или скорость
деформацией
) велика по сравнению с
, то в подкоренном выражении формул (4) — (8) можно пренебречь
единицей по сравнению с величиной отношения
следующие выражения:
. Тогда для
и
получаются
(10)
и
При очень большой величине отношения
перед корнем, т. е. написать:
можно пренебречь и единицей, стоящей
(11)
и
Динамический коэффициент в этом случае определяется по формуле
(12)
Необходимо отметить, что в то время как пренебрежение единицей 2Н в подкоренном
выражении допустимо уже при
(неточность приближенных формул будет не
больше 5%). пренебрежение единицей, стоящей перед корнем, допустимо лишь при
очень большой величине отношения
.
Так, например, для того чтобы приближенные формулы (11) и (12) давали погрешность
не более 10%, отношение
должно быть больше 110.
Формулы
и
, в которых
выражается через
, могут быть
использованы также для решения задачи о встречном ударе тел, двигающихся с
некоторой скоростью, при определении напряжений в цилиндре двигателя внутреннего
сгорания, вызванных резким повышением давления газа при вспышке горючей смеси и
др. На этом основании их можно считать общими формулами для расчета на удар.
Обобщая сказанное выше, можем наметить следующий общий прием решения задач
на определение напряжений при ударе. Применяя закон сохранения энергии, надо:
1) вычислить кинетическую энергию ударяющего тела Т;
2) вычислить потенциальную энергию
тел, воспринимающих удар, под нагрузкой их
силами инерции при ударе; потенциальная энергия должна быть выражена через
напряжение (
,
) в каком-либо сечении, через деформацию (удлинение, прогиб)
или через силу инерции
ударяющего тела;
3) приравнять величины
и Т и из полученного уравнения найти или
непосредственно динамическое напряжение, или деформацию, а по ней, пользуясь
законом Гука, напряжение или силу
напряжения и деформации.
и соответствующие ей динамические
Описанный общий прием расчета на удар предполагает, что вся кинетическая
энергия ударяющего тела целиком переходит в потенциальную энергию деформации
упругой системы. Это предположение не точно. Кинетическая энергия падающего груза
частично превращается в тепловую энергию и энергию неупругой деформации
основания, на которое опирается система.
Вместе с тем при высоких скоростях удара деформация за время удара не успевает
распространиться на весь объем ударяемого тела и в месте удара возникают
значительные местные напряжения, иногда превосходящие предел текучести
материала. Так, например, при ударе свинцовым молотком по стальной балке большая
часть кинетической энергии превращается в энергию местных деформаций. Подобное
же явление может иметь место даже и в том случае, когда скорость удара мала, но
жесткость или масса ударяемой конструкции велика.
Указанные случай соответствуют большим величинам дроби
. Поэтому можно
сказать, что описанный выше метод расчета применим, пока дробь
не превышает
определенной величины. Более точные исследования показывают, что ошибка не
превышает 10% если
. Так как эта дробь может быть представлена в виде
отношения
, то можно сказать, что изложенный метод применим, пока энергия
удара превышает не более чем в 100 раз потенциальную энергию деформации,
соответствующую статической нагрузке конструкции весом ударяющего груза. Учет
массы ударяемого тела при ударе позволяет несколько расширить пределы
применимости этого метода в тех случаях, когда масса ударяемого тела велика.
Более точная теория удара излагается в курсах теории упругости.
Лекция № 19. Оценка прочности при ударной нагрузке.
Вид формул, полученных для динамического коэффициента, показывает, какие
большие качественные различия ведет за собой количественное изменение периода
действия силы на тело.
Рассмотрим некоторые случаи удара при простейших деформациях. При этом для
нахождения коэффициента динамичности применим основные полученные формулы
для динамического коэффициента.
Для определения
,
и
используем зависимости:
и
В случае продольного растягивающего или сжимающего удара (Рис 1)
Рис.1. Модель продольного удара.
Для вычисления динамического коэффициента
следующих выражений:
После этого без затруднений вычисляются
,
может быть выбрано одно из
и
.
Приближенная формула для вычисления напряжений в данном частном случае
получает такой вид:
и
Замечаем, что как при статической, так и при динамической нагрузке напряжение в
сжатом стержне зависит от величины сжимающей силы и от площади поперечного
сечения стержня.
Но при статическом действии груза Q передающаяся на стержень сила равна Q и не
зависит от размеров и материала стержня, при ударе же величина силы
,
вызывающей напряжения в стержне, зависит от ускорения, передающегося от
ударяемого тела на ударяющее, т. е. от величины промежутка времени, в течение
которого изменяется скорость ударяющего тела. В свою очередь этот промежуток
времени зависит от величины динамической продольной деформации
, от
податливости стержня. Чем эта величина больше, т. е. чем меньше модуль Е и чем
больше длина стержня l, тем больше продолжительность удара, меньше ускорение и
меньше давление
.
Таким образом, при равномерном распределении напряжений, одинаковом во всех
сечениях стержня, динамическое напряжение будет уменьшаться с увеличением
площади поперечного сечения стержня и с увеличением его податливости (т. е. с
увеличением длины и уменьшением модуля упругости Е); именно поэтому смягчают
удар всякие рессоры и пружины, расположенные между ударяющимися деталями. Все
это и отражают приведенные выше формулы. В частности, с известным приближением
можно считать, что при продольном ударе величина напряжений зависит уже не от
площади, а от объема стержня.
Вычислив величину динамического напряжения, мы можем теперь написать условие
прочности в виде
где [
]—допускаемая величина нормальных напряжений при ударе, равная для
пластичного материала
. Величину коэффициента запаса
можно было бы
выбрать равной величине основного коэффициента запаса
при статическом действии
нагрузок, так как динамичность нагрузки уже отражена. Однако, ввиду некоторой
упрощенности изложенного метода расчета, этот коэффициент принимают несколько
повышенным — до 2. Кроме того, обычно в этих случаях применяют материал более
высокого качества (в отношении однородности и пластических свойств).
При изгибе величина статической деформации
статический прогиб балки
опирания балки.
, представляющей собой
с в месте удара, зависит от схемы нагружения и условий
Так например, для балки пролетом l, шарнирно закрепленной по концам и
испытывающей посредине пролета удар от падающего с высоты Н груза Q (Рис.2, а),
а) двухопорная балка, б) консольная
Рис.2. Модели удара:
получаем:
для консоли, испытывающей удар от груза Q, падающего на свободный конец консоли
(Рис 2, б):
Подставляя в формулу для коэффициента динамичности
значения
или
, находим
, а затем и величину динамических напряжений и деформаций. Так
например, в случае балки на двух опорах при вычислении динамического напряжения
имеем такую формулу:
Условие прочности в этом случае напишется:
Приближенные формулы для вычисления
двух опорах получают такой вид:
и
в случае удара по балке на
Аналогичные выражения для
Имея в виду, что
и
получаются и в случае удара по консоли.
и
можем представить выражение для
еще и в таком виде:
Из последней приближенной формулы видно, что динамические напряжения при
изгибе балки зависят от модуля упругости материала, объема балки, формы ее
поперечного сечения (отношение
), а также от схемы нагружения и условий
опирания балки (в данном случае в подкоренном выражении стоит
; для балок,
иначе загруженных и закрепленных, числовой коэффициент у
будет другим). Таким
образом, в балке прямоугольного сечения высотой h и шириной b, поставленной на
ребро или положенной плашмя, наибольшие напряжения при ударе будут одинаковы и
равны (по приближенной формуле):
так как в обоих случаях
Как известно, при одинаковой статической нагрузке наибольшие напряжения в
балке, положенной плашмя, будут в отношении
больше, чем напряжения в балке,
поставленной на ребро. Сказанное выше, разумеется, справедливо лишь до тех пор,
пока явление удара происходит в пределах упругости.
Сопротивление балок ударным нагрузкам зависит и от момента сопротивления и от
жесткости балки. Чем больше податливость, деформируемость балки, тем большую
живую силу удара она может принять при одних и тех же допускаемых напряжениях.
Наибольший прогиб балка дает в том случае, когда во всех ее сечениях наибольшие
напряжения будут одинаковыми, т. е. если это будет балка разного сопротивления;
такие балки при одном и том же допускаемом напряжении дают большие прогибы, чем
балки постоянного сечения, и значит, могут поглощать большую энергию удара.
Поэтому рессоры обычно и делают в форме балок равного сопротивления.
Рассмотрим теперь задачу определения напряжений при скручивающем ударе.
Если вращающийся вал внезапно останавливается торможением одного из его
концов, а на другом его конце на него передается живая сила маховика
,
скручивающая вал, то напряжения также могут быть определены указанным выше
методом. Вал будет скручиваться двумя парами сил (силы инерции маховика и силы
торможения) с моментом М.
В данном случае
и
Следовательно,
и
так как
и
Имея в виду, что живая сила маховика T0 равна
где
— момент инерции массы маховика, а
— угловая скорость, можем написать:
Замечаем, что и при скручивающем ударе наибольшие напряжения зависят от модуля
упругости и от объема вала.