Уравнения в целых числах

Занятие 21. Уравнения в целых числах
1. Сколько всего решений у уравнения x+y=10
a) в натуральных числах;
b) в целых числах;
c) в действительных числах?
2. Ученику прислали задание из 20 задач. За каждую верно решенную задачу ему
ставят 8 баллов, за каждую неверно решенную – минус 5 баллов, за задачу,
которую он не брался решать – 0 баллов. Ученик получил в сумме 13 баллов.
Сколько задач он брался решать?
3. Найдите все решения уравнения 8x–5y=0 в целых числах.
4. a) Решите уравнение 8x–5y=13 в целых неотрицательных числах, при условии
x+y20;
b) Найдите все решения уравнения 8x–5y=13 в целых числах.
5. Истратив половину денег, я заметил, что осталось вдвое меньше рублей, чем было
первоначально копеек, и столько же копеек, сколько было первоначально рублей.
Сколько денег я истратил?
x  y  z  12

6. Дана система уравнений 
28 x  30 y  31z  365
a) Найти какое-нибудь решение в натуральных числах.
b) Найти все решения в натуральных числах.
7. Для участников матбоя и членов жюри было приготовлено конфет столько же,
сколько булочек и стаканов чая вместе. Каждый школьник съел по конфете и
выпил по стакану чая, после чего осталось стаканов чая и конфет вместе столько,
сколько булочек. Найдется ли стакан чая для заглянувшего к ним члена жюри?
8. Летела стая одноголовых сороконожек и трехглавых драконов. Всего у них
а) 26 голов и 298 ног;
b) 39 голов и 648 ног.
Сколько ног у дракона?
Задачи потруднее
9. Аня, Боря и Вася составляли слова из заданных букв. Все составили разное число
слов: больше всех - Аня, меньше всех - Вася. Затем ребята просуммировали очки за
свои слова. Если слово есть у двух игроков, за него дается по 1 очку, у одного
игрока - 2 очка, а слова, встречающиеся у всех троих, вычеркиваются. При каком
наименьшем количестве слов у Ани может случиться так, что больше всех очков
набрал Вася, а меньше всех - Аня?
10. Будильник был заведен на 8 часов, но Петя проснулся раньше и заметил, что
часовая стрелка является биссектрисой угла между минутной и, показывающей на
цифру 8, стрелкой звонка будильника. Петя сообразил, что такое случилось в
последний раз до звонка. Когда проснулся Петя?
11. После удачного налета атаман Рустам взял себе одиннадцатую часть всех
захваченных пленниц, а остальных распределил между членами шайки согласно их
заслугам. Косой, которому досталось меньше всех пленниц, затеял драку с
атаманом и был побежден в честном бою. Труп его достался шакалам, а пленницы
– атаману, после чего у атамана оказалась одна восьмая всех пленниц. Доказать,
что после драки у атамана осталось не больше 25 разбойников.
Стокгольм, 7 мая 2005 г , Кружок при школе Сони Ковалевской http://shap.homedns.org/sks/ryska/