Document 2631082

УДК 621.313
Зюзев А.М., Метельков В.П.
(УГТУ-УПИ, г. Екатеринбург,
zuzev@ep.etf.ustu.ru)
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТАТОРА АСИНХРОННОГО
ДВИГАТЕЛЯ С УЧЕТОМ НАГРЕВА ЛОБОВЫХ ЧАСТЕЙ ОБМОТКИ
Наиболее подверженным тепловому воздействию элементом
асинхронного двигателя (АД) является изоляция обмотки статора [1].
При этом во многих случаях, особенно для двигателей закрытого исполнения, лобовые части обмотки имеют наиболее высокую температуру, что в наибольшей степени проявляется при нарастании температуры в переходных процессах пуска двигателя. Это объясняется тем,
что на начальных стадиях нагрева машины темп изменения температуры обмотки весьма высок, а сталь нагревается значительно медленнее
меди и обеспечивает более интенсивный отвод тепла от пазовых частей обмотки, чем воздух от лобовых частей.
Усредненная температура обмотки статора, получаемая из простейшей двухмассовой термодинамической модели (см. рис. 1), где
узел 1 объединяет лобовые и пазовую части обмотки статора, а узел 2
– пакет статора и корпус (в дальнейшем будем обозначать такую модель ЛП-С по первым буквам входящих в нее элементов), дает лишь
усредненную температуру обмотки. Это требует разработки модели и
метода расчета её параметров, которые обеспечили бы получение результатов, в большей степени соответствующих реальным тепловым
процессам в лобовых частях обмотки статора при ограниченном количестве информации о двигателе.
λ12
1
λ10
λ1л,1п 1п λ1п,2
2
1л
λ20
Рис. 1. Схема термодинамической модели статора АД (ЛПС). λ10, λ20 и λ12 - тепловые
проводимости
λ1л,2
2
λ10л
λ10п
λ20
Рис. 2. Схема термодинамических
связей в модели статора АД с разделением лобовой и пазовой частей
обмотки
Разделим лобовую и пазовую части обмотки так, чтобы двухмассовая тепловая схема статора могла быть представлена в виде трехмассовой (см. рис. 2). На рис. 2 пунктиром показана обмотка статора и обозначено: 1л – узел, соответствующий лобовым частям обмотки; 1п –
-129-
узел, соответствующий пазовой части обмотки; λ1л,1п – тепловая проводимость между лобовой и пазовой частями; λ1п,2 – тепловая проводимость между пазовой частью обмотки и сталью; λ10л – тепловая проводимость от лобовых частей обмотки в охлаждающую среду; λ20 – тепловая проводимость от стали статора в охлаждающую среду. Обозначим такую схему Л-П-С, подчеркнув дефисом разделение лобовых и
пазовой частей обмотки. Процессы в такой тепловой схеме описываются следующей системой дифференциальных уравнений:
C1л dτ 1л /dt =−λ11лτ 1л +λ1л , 2τ 2 +λ1л ,1пτ 1п + ΔP1л ;

C1п dτ 1п /dt =−λ11пτ 1п +λ1п, 2τ 2 +λ1 л ,1пτ 1 л + ΔP1п ;

'
C 2 dτ 2 /dt =−λ 22τ 2 +λ1 л , 2τ 1 л +λ1п, 2τ 1п + ΔP2 ,
(1)
где λ11л=λ10л+λ1л,2+λ1л,1п; λ11п=λ10п+λ1п,2+λ1л,1п; λ’22=λ20+λ1л,2+λ1п,2.
Схема на рис. 2 содержит шесть тепловых проводимостей, подлежащие определению, поэтому уравнений системы (1) недостаточно для
нахождения их величин. В плане выяснения повреждающего действия
высокой температуры на изоляцию интересует самый нагретый элемент обмотки, в качестве которого для двигателей закрытого исполнения, как было сказано, обычно выступают лобовые части. Это дает основания трансформировать схему на рис. 2 таким образом, чтобы
сгруппировать узлы, относящиеся к пазовой части обмотки и стали статора в один узел, как показано на рис. 3, выделив узел лобовых частей
(схема Л-ПС). У схемы Л-ПС узел 1л включает в себя только лобовые
’
части обмотки, а узел 2 объединяет пазовую часть обмотки и сталь.
Учтем, что в большинстве случаев можно пренебречь тепловым
потоком от пазовой части обмотки в охлаждающую среду (λ10п=0), так
как λ10п≠0 лишь при наличии радиальных вентиляционных каналов [2]. В
первом приближении также можно пренебречь и тепловым потоком
непосредственно между лобовой частью обмотки и сталью статора
(λ1л,2=0), поскольку этот поток проходит только через воздух, тепловое
сопротивление которого велико. В дальнейшем эти потоки будут косвенно учтены при определении параметров двухмассовой тепловой
схемы с выделением лобовых частей обмотки статора (Л-ПС). Эти соображения позволяют представить схему Л-П-С в упрощенном виде так,
как показано на рис. 4.
-130-
λ1п,2
λ1л,1п
λ12
'
2’
1л
λ10
1л
λ 20
'
2
1п
λ20
λ10
'
'
Рис. 3. Схема термодинамической модели статора АД с выделением лобовых частей обмотки
(Л-ПС)
Рис. 4. Упрощенная схема термодинамической модели статора АД
с разделением лобовых и пазовой
частей обмотки (Л-П-С)
Выясним взаимосвязи параметров схемы Л-П-С с параметрами
схем ЛП-С и Л-ПС. Далее для удобства некоторых преобразований будем использовать вместо тепловых проводимостей λ тепловые сопротивления R=1/λ. Индексы соответствующих проводимостей и сопротивлений совпадают. При разделении и слиянии источников тепловыделения в тепловых схемах будем пользоваться правилами эквивалентных
преобразований тепловых схем [2].
При переходе от схемы ЛП
−С (см. рис. 1) к схеме Л
−П−С после
разделения узла 1 на узлы 1л и 1п между ними появляется тепловое
сопротивление R1л1п. В соответствии с правилами эквивалентных преобразований тепловые сопротивления R’10 и R1п,2 выразим следующим
образом:
'
= R10 − ΔR1 ; R1п, 2 =R12 − ΔR2 ,
R10
(2)
где ∆R1=R1л1п ∆P1п(∆P1л+ ∆P1п) ; ∆R2=R1л1п ∆P1л(∆P1л+ ∆P1п) , а R12 определено исходя из схемы ЛП-С.
Для перехода от схемы Л−П−С к схеме Л−ПС необходимо объед инить узлы 1л и 2. Для этого представим схему −ПС
Л
так, как показано
’
на рис. 5. После замены узлов 1п и 2 одним узлом 2 , тепловое сопротивление R1п,2, располагавшееся между исходными узлами, разделится
на два тепловых сопротивления ∆R’1 и ∆R’2:
-1
-1
ΔR1' = R1п, 2 ΔP2 ( ΔP1п + ΔP2 ) ; ΔR'2 = R1п, 2 ΔP1п ( ΔP1п + ΔP2 ) .
−1
R1л,1п
-1
∆R1'
∆R'2
1л
2’
'
R10
R20
Рис. 5. К переходу от схемы Л−П−С к схеме Л−ПС
-131-
(3)
Соответственно, тепловые сопротивления схемы Л−ПС будут
иметь следующие величины:
'
R12
=R1 л ,1п + ΔR1' ;
(4)
R = R20 + ΔR .
(5)
'
20
'
2
Из (2) получим:
R1п, 2 = R12 − R1 л ,1п ΔP1 л ( ΔP1 л + ΔP1п ) .
-1
(6)
Из сопоставления схем на рис. 3 и рис. 5, используя соотношения
(3) и (4) с учетом (6) получим:
[
]
'
R12
= R1 л ,1п + R12 − R1 л ,1п ΔP1 л ( ΔP1 л + ΔP1п ) ΔP2 ( ΔP1п + ΔP2 ) .
-1
−1
(7)
Для модели Л-ПС этих данных достаточно. Для модели Л-П-С найдем R1л1п и R20. Используя соотношения (3) и (5) с учетом (6) получим:
[
]
R'20 =R20 + R12 −R1 л ,1п ΔP1 л ( ΔP1 л + ΔP1п ) ΔP1п ( ΔP1п + ΔP2 ) .
-1
Из (7) находим:
(
'
R1л ,1п = R12
− R12
-1
)
(8)
-1
ΔP1л ΔP2
ΔP2
 .
⋅1−
ΔP1п + ΔP2  ( ΔP1л + ΔP1п )( ΔP1п + ΔP2 ) 
Из (8) находим:
[
]
R20 =R'20 − R12 −R1 л ,1п ΔP1 л ( ΔP1 л + ΔP1п ) ΔP1п ( ΔP1п + ΔP2 ) .
-1
-1
(9)
(10)
Для схемы Л-ПС на рис. 3 может быть применена следующая методика определения ее параметров (далее величины со штрихом относятся к схеме на рис. 3, без штриха – к схеме на рис. 1).
Пренебрегая влиянием разницы температур пазовой части и лобовых частей обмотки в установившемся режиме на удельные теплоемкости и сопротивления, введем следующие обозначения:
c' =C1 л (C1п +C 2 ) =cµ л [c(1−µ л )+1] ;
p' = p'N =( ΔP2 N + ΔP1пN )/ ΔP1 лN =( p+1−µ л )µ л−1 ;
−1
b =b = ΔP1 лN /C1 лτ 1 л.устN =b ,
'
'
N
−1
(11)
(12)
(13)
где c=C1/C2; µл=m1л/m1; p=pN=∆P2N/ ∆P1N; b=bN=∆P1N/C1τ1устN. Здесь
С1=С1л+С1п – суммарная теплоемкость лобовых и пазовой частей обмотки; m1 и m1л – масса обмотки статора и масса лобовых частей обмотки;
∆P1лN – мощность потерь в номинальном режиме в лобовых частях обмотки; ∆P1пN – мощность потерь в номинальном режиме в пазовой части
обмотки; ∆P1N =∆P1лN +∆P1пN; τ1л.устN – установившееся превышение температуры лобовых частей в номинальном режиме (принимаем
τ1л.устN≈τ1устN).
Для схемы Л-ПС на рис. 3 запишем следующую систему уравнений:
-132-
C1 л dτ 1 л /dt =−λ'11 лτ 1 л +λ'12τ '2 + ΔP1 л ;
 '
'
'
'
C 2 dτ 2 /dt =−λ 22τ 2 +λ12τ 1 л + ΔP1п + ΔP2 ,
(14)
где λ’11л=λ’10+λ’12; λ’22=λ’20+λ’12. Здесь ∆P2 − мощность потерь в стали
статора (для двигателей закрытого исполнения сюда следует прибавить ту часть механических потерь, которая греет подшипниковые щи'
ты); C 2 − теплоемкость второй массы тепловой схемы (включая пазовую часть обмотки статора), рассчитанная с учетом величины тепловой
энергии, запасаемой в отдельных ее элементах; τ’2 − превышение температуры узла 2’ для схемы на рис. 3.
'
Теплоемкость C 2 рассчитывается с учетом величины тепловой
энергии, запасаемой в отдельных ее элементах:
C '2 =C1п +C 2ϑ ,
(15)
где C2 – учитывает теплоемкость пакета статора и корпуса; ϑ =τ2уст/τ1уст;
τ1уст и τ2уст − установившиеся значения перегрева для узлов 1 и 2 схемы
на рис. 1, которые существуют при номинальном режиме. С учетом (15)
’
можно уточнить выражение для c , записав его в следующем виде:
c' =cμл (c−cμл +ϑ )
−1
,
(16)
Запишем систему (14) для установившегося режима и, поделив
оба уравнения системы на С1л, при учете доли массы лобовых частей в
общей массе обмотки, получим:
'
' '
-1
α11
лτ 1 л −α12τ 2 = μ л ΔP1 л C л ;
 ' ' '
-1
α22τ 2 −α12τ 1 л = μ л ( ΔP1п + ΔP2 )C л ,
(17)
где α’11л=λ’11л/C1; α’12=λ’12/C1; α’22=λ’22/C1.
С учетом (12) и (13) преобразуем систему (17) к следующему виду:
где
'
'
'
α11
л −α12ϑ = μ л b;
 ' ' '
α22ϑ −α12 =b(1− μ л + p ),
'
’
ϑ =τ 2уст/τ1л.уст; b=∆P1/С1=(dτ1л/dt)нач.
(18)
Характеристическое уравнение системы (14) имеет два корня χ'1
и χ' 2 . Процессы в рассматриваемой термодинамической системе при
реальных значениях параметров двигателя носят апериодический характер и описываются суммой двух экспонент, которые имеют постоян'
−1
'
−1
ные времени, определяемые этими корнями: T1 = − χ'1 и T2 = − χ' 2 .
На основе теоремы Виета, устанавливающей связь между коэффициентами алгебраического уравнения второго порядка и его корнями, запишем следующие соотношения:
-133-
−1 '
'
' −1
' −1
α11
л +cμ л (c−cμ л +ϑ ) α 22 = μ лT1 + μ лT2 ;

'
'
'2
2 ' −1 ' −1
cμ л (c−cμ л +ϑ )−1 (α11
л α 22 −α12 )= μ лT1 T2 .
(19)
Рассмотрим возможности решения системы уравнений (18) и (19) с
целью определения значений параметров термодинамической модели.
В случае, когда отсутствует информация, позволяющая
предварительным расчетом определить величины µл и с’, следует
относить эти параметры к числу неизвестных, что увеличивает общее
количество параметров тепловой схемы, подлежащих определению.
При этом количество неизвестных параметров превышает количество
уравнений в системе (18), (19) и (21). В этом случае для схемы на рис. 4
может быть применена следующая методика определения неизвестных
параметров, состоящая из двух этапов.
На первом этапе определяются величины параметров для упрощенной тепловой схемы на рис. 1. В результате получаем значения
следующих величин: α10, α20, α12, а также Т1 и Т2.
На втором этапе определяем параметры для схемы на рис. 3. При
этом полагаем, что суммарная теплоотдача для всего двигателя во
внешнюю среду для схем на рис. 1 и рис. 3 должна быть одинаковой.
'
'
Поэтому параметры α10 и α 20 для схемы на рис. 3 считаем заданными,
используя соответствующие значения, найденные на первом этапе.
'
Также заметим, что большие постоянные нагрева двигателя T2 и Т2,
определяющие общее время его нагрева, практически одинаковы для
обеих схем. Это вытекает из того факта, что масса пазовой части обмотки мала по сравнению с суммарной массой пакета статора и корпуса (например, для двигателя 4A100L4 она составляет 5,08%) и, следо’
вательно, теплоемкости узла 2 в схеме на рис. 1 и узла 2 в схеме на
рис. 3 очень близки.
Таким образом, остаются неизвестными лишь четыре параметра:
'
'
'
α1 л , 1 п , µл, ϑ и T1 . Для их определения достаточно четырех уравнений
(18) и (19). Эти уравнения применительно к данному набору
параметров можно представить в более удобной для решения форме:
'
'
)−α12' ϑ' = μлb ;
+α12
(α10
 '
'
'
'
(α20 +α12 )ϑ −α12 =b(1− μ л + p );
 '
−1 '
−1
'
'
' −1
(α10 +α12 )+cμ л (c−cμ л +ϑ ) (α20 +α12 )= μ л (T1 +T2 );

−1
2 ' −1 −1
'
'
'
'
'2
cμ л (c−cμ л +ϑ ) [(α10 +α12 )(α20 +α12 )−α12 ]= μ лT1 T2 .
-134-
(22)
Заметим, что с точки зрения источников тепловой энергии узел 2 в
схеме на рис. 3 состоит из двух частей, тепловые проводимости от которых во внешнюю среду различны. Для источника мощностью ∆P1п
тепловая проводимость определяется суммой тепловых сопротивлений
’
−1
−1
λ12 и λ 20 и составляет λ 20 min =λ12λ20(λ12+λ12)-1. Для источника мощностью
'
∆P1ст+∆P1мех тепловая проводимость определяется только проводимостью λ20. Поэтому эквивалентная тепловая проводимость во внешнюю
среду от источника мощности ∆P1п+∆P1ст+∆P1мех будет находиться в
пределах λ 20 min < λ 20 <λ20 (соответственно α 20 min < α 20 <α20).
'
'
'
'
'
На рис. 6 показаны зависимости от α 20 величин α 12 , µл и T1 /T1 для
'
'
двигателя 4A100L4, построенные по результатам решения системы
уравнений (22). Здесь Т1 − малая постоянная времени для тепловой
схемы, показанной на рис. 1.
Эти зависимости соответствуют множеству вариантов искомых параметров. Остановимся на проблеме отбора правильного варианта
значений α 12 и µл. Корни характеристического уравнения для системы
(14), описывающей процессы в схеме Л-ПС обратно пропорциональны
'
'
µл. Следовательно, постоянная времени T1 пропорциональна µл. При
этом, если µл→1, то схема Л-ПС сводится к схеме ЛП-С. Тогда величина
'
'
T1 должна стремиться к Т1. Это дает основания полагать, что T1 /T1≈µл.
'
Точка пересечения зависимостей µл и T1 /T1 от α 20 на рис. 6 соответст'
'
вует выполнению условия T1 =µлT1. Она и определяет правильный вариант решения (отмечен на рис. 6 знаком «о»): α 20 =0,00326 1/с,
'
α 12 =0,0167 1/с, µл =0,536. Полученным результатам соответствуют теп'
о
о
ловые проводимости: λ 20 =4,31 Вт/ С и λ12 =22,08 Вт/ С.
'
'
Исходя из изложенного сформулируем порядок расчета параметров схемы Л-П-С:
1. Формируем набор исходных данных − c, p, b;
2. По уравнениям схемы ЛП-С находим α10, α20, α12, а также Т1 и Т2;
'
3. Принимаем α 10 = α 10 ; α 20 = α 20 и T2 =T2;
'
'
-135-
µ л , TT1 ,
'
1
0.8
'
-1
α12
X10, c
µ лo
0.6
0.4
α
T1'
T1
'
α12
µл
'o 0.2
12
0
3.18
3.2
3.22
3.24
3.26
3.28
-1
'
,c
α 20
3.3
-3
x 10
o
α '20
Рис. 6. К определению величин α 12 , α 20 и µл
'
'
4. Решаем систему уравнений (22) при различных α 20 и строим
'
'
'
графики зависимостей величин α 12 , µл и T1 /T1 от α 20 ;
'
5. По точке пересечения графиков T1 /T1 и µл находим значение
'o
α 20 , соответствующее адекватному решению системы;
'
( )
6. По зависимостям α 12 = f1 α 20
'
'
дим значения этих величин: α 12 и µ л ;
( )
и µ л = f 2 α 20
'
при α 20 = α 20 нахо'
'o
o
'o
7. Решая первое уравнение системы (22) относительно α 10 , уточ'
няем
значение
o
'o
'o
'
α 10 =µ л b−α 12 1−ϑ ;
( )
этой
величины
по
α 12 и µ л :
найденным
o
'o
8. По α 12 =α 12 , α 10 =α 10 , α 20 =α 20 и µ л =µ л рассчитываем λ12 , λ10 ,
'
'o
'
'o
'
'o
o
'
'
λ 20 , С1л и С1п;
'
9. С использованием формул (6), (9) и (10) по λ12 , λ10 , λ 20 рассчи'
'
'
тываем λ1 п ,2 , λ1 л ,1 п и λ 20 .
На рис.7 и 8 показаны графики изменения температуры в лобовых
(Л) и пазовой (П) частях обмотки двигателя 4A100L4 при двух
характерных
случаях
интенсивного
нагрева
двигателя
для
термодинамической модели по схеме Л-П-С с параметрами, определенными с помощью изложенного подхода, основанного на численном
решении системы уравнений (22) – графики 1. Для сравнения показаны
процессы, рассчитаные по подробной (включающей шесть узлов)
тепловой схеме – графики 2.
-136-
θo140
Л
θo180
1
Л
160
1
120
140
100
120
80
100
П
40
0
П
80
2
60
2
60
20
40
60
40
0
80
t, c
20
40
60
80
t, c
Рис. 8. Процессы нагрева при 10с
работы в режиме короткого
замыкания с последующим
разгоном при номинальном
моменте сопротивления
Рис. 7. Процессы нагрева при разгоне с
устройством плавного пуска за 40с при
номинальном моменте
сопротивления
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Федоров М. М. Динамические тепловые модели узлов электрических машин // Електромашинобудування та електрообладнання:
Міжвід. наук.-техн. зб.– 1999. Вип. 53. C. 70–73.
2. Сипайлов Г. А., Санников Д. И., Жадан В. А. Тепловые гидравлические и аэродинамические расчеты в электрических машинах – М.:
Высш. шк., 1989. – 239 c.
УДК 62-83:621.74
Сарваров А.С., Пермякова О.В.
(Магнитогорский государственный
технический университет
им.Г.И.Носова)
ВЕКТОРНОЕ УПРАВЛЕНИЕ АСИНХРОННЫМИ ДВИГАТЕЛЯМИ.
НАПРАВЛЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ
В настоящее время частотно-регулируемому электроприводу переменного тока уделяется большое внимание. Это происходит в связи с
тем, что асинхронный двигатель является надежным и простым по конструкции элементом автоматизированного электропривода, способ частотного регулирования скорости является наилучшим по основным показателям регулирования, а также в связи с тем, что появились быстродействующие микропроцессорные устройства и надежные источники
питания и преобразователи частоты.
Для обеспечения высоких динамических и статических показателей по равномерности частоты вращения и вращающего момента, для
создания высокого вращающего момента на малых и близких к нулевым частотах вращения применяются методы векторного управления
-137-