Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
Национальный исследовательский университет
Кафедра общей физики
Машкович Е.А., Бакунов М.И.
АВТОКОРРЕЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ДЛИТЕЛЬНОСТИ
УЛЬТРАКОРОТКИХ ЛАЗЕРНЫХ ИМПУЛЬСОВ
Электронное методическое пособие
Блок мероприятий 2. Повышение эффективности научно-инновационной деятельности
Учебная дисциплина: "Оптика фемтосекундных лазерных импульсов"
Специальности: 010802 «Фундаментальная радиофизика и физическая электроника»,
230201 «Информационные системы и технологии»
Направления: 010800 «Радиофизика», 010400 «Информационные технологии»
Нижний Новгород
2011
АННОТАЦИЯ
В пособии изложены методы автокорреляционного анализа ультракоротких
лазерных импульсов. Рассмотрено влияние шумов и неоднозначностей при интерпретации
автокорреляционных функций.
Методическое пособие предназначено для студентов, магистрантов и аспирантов
ННГУ, специализирующихся в области лазерной физики.
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Оглавление
3
Введение
4
Временные и частотные измерения
4
Частотная область: спектр
5
Временная область: автокорреляция интенсивности
8
Автокорреляция третьего порядка
21
Тройная корреляция
27
Автокорреляция и спектр - совместный анализ
28
Автокорреляция с разрешением структуры
30
Кросс-корреляция
35
Систематическая ошибка в автокорреляции и спектре
36
Список литературы
41
3
ВВЕДЕНИЕ
Чтобы видеть действие в любом быстром событии, является ли это переключением
состояния в компьютерной микросхеме, взрыв динамита, или простое лопание мыльного
пузыря, требуется строб-импульс света с более короткой длительностью, чтобы
заморозить
действие.
Но
затем
для
измерения
строб-импульс
требуется
светочувствительный датчик, чьё время отклика еще меньше. И теперь снова для
измерения времени отклика светочувствительного датчика требуется еще более короткий
импульса света. Ясно, этот процесс продолжается, пока мы не достигаем самого короткого
случая, когда-либо создаваемого.
И этот случай - ультракороткий световой импульс. К настоящему моменту
произвести импульс длительностью меньшей 100 фс является обычным делом. И теперь
надо научиться измерять их электрическое поле от времени и частоты.
ВРЕМЕННЫЕ И ЧАСТОТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
Если для измерения импульса достаточно измерить его интенсивность и фазу во
временной или частотной области, то естественно спросить, чем эти измерения могут,
фактически, быть сделаны в каждой из областей. И ответ - автокорреляционной функцией
и спектром.
Для частотной области достаточно спектрометра. Действительно типичный
стандартный спектрометр достаточен, чтобы измерить весь спектральный состав и
величину большинства ультракоротких импульсов в видимом и ближнем инфракрасном
диапазонах. Фурье - спектрометры, используются для импульсов среднего ИК диапазона.
Так же применяют интерферометры, когда необходима более высокая разрешающая
способность.
К сожалению, до недавнего времени, не было возможно измерить фазовый спектр.
Сложные схемы были предложены для снятия фазового спектра, но они применимы
только к ограниченному спектральному диапазону или обладают ограниченной
точностью.
Эти
схемы
обладают
ограниченной
общностью,
неточны
и
не
подтверждаются на практике.
Во временной области главный прибор доступный для анализа ультракороткого
импульса - автокоррелятор интенсивности, который позволяет измерить интенсивность от
времени. Так как никакой более короткий процесс не доступен, автокоррелятор для
измерения использует измеряемый импульс.
4
ЧАСТОТНАЯ ОБЛАСТЬ: СПЕКТР
Измерение спектра
Как мы упоминали в частотной области, вообще довольно легко измерить спектр
импульса, S(ω). Спектрометры и интерферометры
выполняют эту задачу превосходно и
широко доступны. Наиболее распространенные спектрометры состоят из дифракционной
решётки и линейки фотодиодов.
Рис. 1. Экспериментальная схема Фурье - спектрометра
Фурье - спектрометры (Рис. 1), функционируют во временной области и измеряют
проходящую интегральную интенсивность от интерферометра Михельсона, которую
часто называют функцией когерентности света второго порядка:
Γ (τ ) =
( 2)
∞
∫ E (t ) E (t − τ )dt ,
*
(1)
−∞
пренебрегая постоянной составляющей. Эту величину также называют полевой
автокорреляцией или интерферограммой. Фурье преобразование от неё - спектр,
результат, известный как Теорема автокорреляции:
2
⎧∞
⎫
~
E (ω ) = ℑ⎨ ∫ E (t ) E * (t − τ )dt ⎬ .
⎩ −∞
⎭
(2)
Таким образом, все спектрометры, на основе дифракционной решетки или Фурье
преобразования, приводят к спектру.
5
Спектр и одномерная задача поиска фазы
Таким образом, казалось бы, что из спектра мы можем узнать только спектр и
ничего более. Так ли это?
Это более интересный вопрос, чем вы могли бы подумать, а именно какую ещё
информацию можно получить из спектра. Очевидно, если у нас есть только амплитудный
спектр, в чем мы испытываем недостаток, то это - фазовый спектр. Остановимся на этом
вопросе.
Если у нас есть некоторая дополнительная информация, такая как знание того, что
мы измеряем импульс? Что, если мы знаем, что интенсивность импульса от времени - ноль
вне конечного интервала времени? Или хотя бы асимптотично спадает к нулю при t → ∞?
Интересно узнать, насколько эта дополнительная информация позволяет нам ограничить
возможные импульсы, который соответствует данному спектру.
Безотносительно к типу дополнительной информации этот класс проблем
называют одномерной фазово-поисковой проблемой. Название очевидно: у нас есть
амплитудный спектр, и мы пытаемся восстановить фазовый спектр, используя эту
дополнительную информацию.
Вообщем, как вы, вероятно, подозреваете, одномерная фаза - поисковая проблема
является неразрешимой в почти всех практически интересных случаях, даже когда
включена вышеупомянутая дополнительная информация. Есть просто много (обычно
бесконечно много) импульсов, которые соответствует данному спектру и которые
удовлетворяют дополнительным ограничениям, такие как упомянутые выше.
Во-первых, есть очевидные неоднозначности. Ясно, если комплексная амплитуда
E(t) имеет данный спектр, то добавление сдвига фаз, даст E(t)exp(iφ0 ), что также приводит
к тому же самому спектру. Происходит преобразование смещения, E(t-t0). Нельзя не
сказать, что сопряженное зеркальное отображение, E*(-t), отвечает инверсии времени.
Таблица 1. "Тривиальные неоднозначности" в задаче поиска фазы, то есть, функции с той же
самой величиной Фурье преобразования как E(t). Эти неоднозначности воздействуют на
фазово-поисковые проблемы во всех измерениях, то есть, является ли они одномерным
параметром или много-размерным массивом. Но мы постараемся отличить их.
6
Из последних рассуждений заметим, что E*(-t), которой отвечает интенсивность, I(t), и фаза, -φ (-t), соответствует инверсии времени, важный факт, так что давайте проверим
его. Вспомним, что полное электрическое поле даётся выражением:
Σ(t ) =
1
1
I (t ) exp{i[ωt − φ (t )]}+
I (t ) exp{− i[ωt − φ (t )]} ,
2
2
(3)
где мы написали комплексно сопряженные величины. Если мы заменим
интенсивность и фазу этими новыми величинами, мы получим новое поле, которое
мы назовем Σ′(t ) :
Σ′(t ) =
1
1
I (−t ) exp{i[ωt + φ (−t )]}+
I (−t ) exp{− i[ωt + φ (−t )]}.
2
2
(4)
Мы можем переписать Σ′(t ) , перегруппировав минус знаки:
Σ′(t ) =
1
1
I (−t ) exp{− i[ω (−t ) − φ (−t )]}+
I (−t ) exp{i[ω (−t ) − φ (−t )]}, (5)
2
2
которое, исходя из выражения (3), точно равно Σ(−t ) .
Мы
выяснили,
что
есть
некоторые
очевидные
или
тривиальные
неоднозначности (как их часто называют). Можно ли смериться с ними? В
действительности, большинство экспериментаторов так и делают. Есть ли другие
неоднозначности?
К сожалению, да. В двух классических работах, написанных в 1956 и 1957,
E. J. Akutowicz показал, что знание спектра совместно с дополнительной
информацией, что E(t) имеет конечную продолжительность, все еще недостаточно,
чтобы единственным образом определить E(t). Действительно, он показал, что
бесконечно много полей импульса удовлетворяют этим ограничениям. И показал,
как их построить. Вы просто умножаете поле в спектральной области на
выражение формы:
ω − ωm*
,
m =1 ω − ωm
N
B(ω ) = ∏
7
(6)
где набор ωm– комплексные нули аналитического продолжения спектра ( ω
рассматривают, как комплексную). Ясно, что модуль данной величины единица (когда
ω действительна) и поэтому не изменяет спектр. Akutowicz также показал, что
вышеупомянутые значения ωm оставляют импульс с конечной длительностью. И у
большинства практически значимых функций присутствуют такие комплексные нули.
Конечно, в проблеме "измерения ультракоротких лазерных импульсов", мы не
можем ограничить наше внимание импульсами конечной длительности. Действительно,
большинство форм импульсов не конечны по длительности и вместо этого просто
асимптотически стремятся к нулю (такой как Гауссов или sech2). Вы могли бы
утверждать, что эта проблема - просто академический вопрос, но если вынудить импульс
иметь действительно конечный временной интервал тогда спектр будет иметь бесконечно
широкий спектр. Так, с каким предположение легче работать, импульс бесконечной
длительности во временной области или импульс с бесконечно широким спектром в
частотной области? Нам остаётся принять оба предположения.
Если импульс потенциально обладает бесконечной длительность, то мало того, что
ωm могут принимать любые значение с мнимой частью отличной от нуля, но по существу
любая фазовая функция умноженная на E(ω) приводит к тому же самому спектру.
Таким образом число неоднозначностей, связанных с измерением только спектра
импульса огромно. Например, Гауссов спектр с произвольным линейным чирпом
соответствует Гауссовой зависимости интенсивности от времени с любой длительностью
импульса. И конечно также, он может иметь любую фазовую дисторсию высшего
порядка. Число возможных импульсов, которые соответствует данному спектру, не
является только бесконечностью; это бесконечность высшего порядка.
ВРЕМЕННАЯ ОБЛАСТЬ: АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ ИНТЕНСИВНОСТИ
Измерение автокорреляционной функции интенсивности
Автокорреляционная функция интенсивности, является механизмом для измерения
интенсивности импульса от времени. Для снятия автокорреляционной функции
необходимо разделить импульс на два, обеспечить изменяемую задержку одного
относительно другого, и обеспечить пространственное перекрывания этих двух импульсов
в некоторой мгновенно отвечающей нелинейно-оптической среде, такой как кристалл для
генерации второй гармоники (SHG) (Рис. 2). В кристалле SHG происходит нелинейное
8
преобразование и выдаёт свет на удвоенной частоте входного света. Выражение для поля
имеет следующий вид:
SHG
Esig
(t ,τ ) ∝ E (t ) E (t − τ ) ,
где
τ
-
временная
задержка.
Интенсивность
(7)
поля
пропорциональна
произведению интенсивностей падающих на кристалл импульсов:
SHG
I sig
(t ,τ ) ∝ I (t ) I(t − τ ) .
Рис. 2. Экспериментальная схема автокоррелятора интенсивности с кристаллом
(8)
второй
гармоники (SHG). Импульс разделён на два, один из импульсов проходит линию задержки, и эти
два импульса перекрываются в кристалле SHG. Энергия импульса SHG измерена от задержки, и
позволяет снять автокорреляционную функцию. Отметим, что другие эффект, такие как двух
фотонная флюоресценция и поглощение могут также привести к автокорреляционной функции (с
использованием подобной геометрии).
Детекторы (даже стрик камеры) слишком медленны для временного разрешения
SHG
импульсов I sig
(t ,τ ) ,поэтому измерения производят к интегралу по времени:
A (τ ) =
( 2)
∞
∫ I (t ) I (t − τ )dt .
−∞
Уравнение (9) является определением автокорреляционной функции
интенсивности, или, для краткости, просто автокорреляцией. Она отличается от
автокорреляции по полю (1), которая содержит только информацию о спектре.
9
(9)
Ясно, что автокорреляция (по интенсивности) содержит данные о длительности
импульса, потому что генерация второй гармоники не возможна, если импульсы не
перекрываются в кристалле по времени.
На рисунке 3 показаны импульсы и их автокорреляции интенсивности.
Рис. 3. Примеры теоретической интенсивности импульса и их автокорреляционные функции.
Слева: интенсивность от времени. Справа: автокорреляционная функция интенсивности импульсов
в левой колонке. Верхний ряд: Гауссова интенсивность с 10 фс. Средний ряд: интенсивность sech2
с 7 фс. Нижний ряд: импульс, интенсивность которого определяется фазовым спектром третьего
порядка. Отметим, что автокорреляция теряет информацию о структуре импульса, и, в результате
у всех этих импульсов подобные автокорреляции.
Автокорреляция и одномерная задача поиска фазы
Автокорреляция всегда имеет максимум при
τ = 0, что отвечает полному
перекрытию импульсов по времени. Кроме того, автокорреляция всегда симметрична.
Проверим это, заменив в выражении (9) t на t-τ. Тогда получим выражение
A( 2) (τ ) =
∞
∫ I (t + τ ) I (t )dt ,
−∞
10
(10)
которое (если поменять местами члены в подынтегральном выражении) также
автокорреляция, но с заменой τ на -τ, что даёт
A( 2 ) (τ ) = A( 2 ) (−τ ) .В результате
автокорреляция не может отличить импульс от своего зеркального изображения.
Мы
можем
узнать
больше
об
автокорреляции,
применяя
теорему
об
автокорреляции к этому выражению:
2
~
~
A ( 2 ) (ω ) = I (ω ) ,
(11)
~
где I (ω ) является Фурье преобразованием от функции интенсивности (отметим, что это
не спектр, S(ω)). Другими словами Фурье преобразование от автокорреляции
квадратичное Фурье интенсивности.
Данный результат интересен, потому что он говорит, что Фурье преобразование
~
автокорреляции, A ( 2 ) (ω ) не только действительно, но также и неотрицательно. То что
~
~
A ( 2 ) (ω ) действительна, легко заметить: A ( 2 ) (ω ) симметрична и выражение i sin(ωt) в
Фурье преобразовании - интеграл нечетной функции по симметричному интервалу, и
~
следовательно равный нулю. Утверждение, что A ( 2 ) (ω ) неотрицательно для всех
значений
ω, является не столь очевидным и вызвано центрально пиковой природой
A( 2 ) (τ ) и её тенденция замывать колебательную структуру.
Теперь встаёт вопрос: возможно ли, за исключением неоднозначности в
направлении времени, единственным образом определить интенсивность, I(t) из A(2)(t), или,
~
~
что эквивалентно, от его Фурье образа A ( 2 ) (ω ) . Из выражения (11), видно, что A ( 2 ) (ω )
равна квадрату Фурье преобразования интенсивности I(t). Другими словами, если мы знаем
автокорреляцию интенсивности, у нас есть амплитуда, но не фаза Фурье преобразования
величины которую мы хотим найти, I(t).
Кажется знакомым. Это - другая одномерная фаза - поисковая проблема!
Немедленно, мы заключаем, что автокорреляция может страдать от тривиальных
неоднозначностей: абсолютный сдвиг фаз, смещение, и реверсирование времени. Однако,
абсолютный сдвиг фаз нарушает ограничение на действительность и может быть
отброшен. И мы не заботимся о смещении по времени. Неоднозначность реверсирования
времени важна, но мы уже знаем об этом, и мы решили, что можем жить с этим. Таким
образом, тривиальные неоднозначности не большая проблема в автокорреляции.
11
Но когда мы пытались извлечь фазовый спектр из спектра, мы нашли, что эта
одномерная фазово-поисковая проблема была уничтожена неоднозначностями. Так
извлекать интенсивность из автокорреляции также безнадежно?
Фактически можно надеяться, что нет. Эта одномерная фазово-поисковая проблема
отличается. Когда мы имели дело со спектром, мы пытались получить полное поле
импульса из спектра, и у нас была небольшая или никакая дополнительная информация.
Теперь, мы умерили свои амбиции и пытаемся найти интенсивность, I(t), не полное поле.
Теперь нам известно больше дополнительной информации: мы знаем, что I(t)
действительна и неотрицательна. Так автокорреляционная функция интенсивности
единственным образом определяет интенсивность?
Неоднозначности автокорреляции
Нет. Akutowicz дал хороший пример простой функции, которая не только
неотрицательная, но также обладает причинно следственной связью (ноль для
отрицательного времени), и у которой есть бесконечное число неоднозначностей.
Предполагаем, что интенсивность импульса спадает экспоненциально:
⎧exp(− βt ) if t ≥ 0
I (t ) = ⎨
,
if t < 0
⎩0
где
(12)
β > 0. Тогда легко создать неоднозначные интенсивности, I ′(t ) , которые остаются
не только неотрицательными, но также и причинными! Не удивительно, эта конструкция
содержит выражения вида:
ω + α − iβ ω − α − iβ ~
~
I ′(ω ) =
I (ω ) .
ω + α + iβ ω − α + iβ
(13)
Но в отсутствие конечной подставки, α+iβ не должна быть комплексным нолем
~
аналитического продолжения I (ω ) . С другой стороны ограничение неотрицательности
требует, чтобы |4β/α|<1.
~
Обратное Фурье преобразование I ′(ω ) :
12
t
I ′(t ) = I (t ) − 4 β ∫ cos[α (t − u )]exp[− β (t − u )]I (u )du
0
+
4β 2
α
t
∫ sin[α (t − u )]exp[− β (t − u )]I (u )du
(14)
0
для t ≥ 0. из интеграла получим:
2
⎫
⎧⎡ 4 β
⎤ 4β
I ′(t ) = exp(− β t )⎨⎢1 −
sin(αt )⎥ + 2 [1 − cos(αt )]⎬ .
α
⎦ α
⎭
⎩⎣
(15)
Таким образом, у затухающей экспоненциальной функции та же самая
автокорреляция, как и у бесконечного множества различных затухающих синусоид! На
рисунке 4 показаны некоторые из этих функций.
Рис. 4. Различная интенсивность (два верхних ряда) построена с помощью уравнения (14) с
одинаковой автокорреляцией интенсивности (нижний ряд). Первый ряд слева:
(экспоненциальное затухание); Первый ряд справа: α = 1.6 фс-1; Второй ряд слева:
Второё ряд справа:
α = 0.4 фс-1. На всех рисунках
α =
∞ фс-1
α = 0.8 фс-1;
β = 0.1 фс-1. Эта автокорреляция очень
похожа на многочисленные экспериментально снятые и опубликованные автокорреляции
ультракоротких лазерных импульсов.
Автокорреляция интенсивности не может единственным образом определить
интенсивность, и выше мы привели драматические примеры неоднозначностей.
13
Справедливо ли это для нескольких интенсивностей (двух и более) или для бесконечного
множества?
Но
возможно
они
представляют
только
небольшую
часть
всех
автокорреляций интенсивности? Мы должны также спросить, распределены ли
неоднозначные автокорреляции в функциональном пространстве таким способом, при
котором измеренная автокорреляция всегда в пределах ошибки одного эксперимента.
Если это так, тогда, даже если измеренная автокорреляция может единственным образом
определять интенсивность, она в пределах ошибки эксперимента одной из неоднозначных
автокорреляций, что тогда приводит к неоднозначности в интенсивности, и это нельзя
исключить. Связанный вопрос состоит в том, существует ли близкие неоднозначности,
для которых совсем другие интенсивности приводят почти к тем же самым
автокорреляциям, и следовательно не могут быть отличены в присутствии ошибки
эксперимента. Наконец, в худшем случае, каждая автокорреляция может соответствовать
многим интенсивностям, или даже бесконечному множеству. К сожалению, эти вопросы
на текущий момент остаются нерешёнными аналитически.
Мы можем решить этот вопрос на практики. Напишем компьютерную программу,
которая ищет интенсивность, по заданной автокорреляции. Мы сделали так и нашли, что
наша программа почти всегда находит две или больше интенсивности для данной
автокорреляции. Рисунки 5а и b дают примеры различной интенсивности импульса, у
которой та же самая автокорреляция в пределах довольно малой среднеквадратической
ошибки (~0.001). И мы заключаем, что если эти неоднозначности в интенсивности можно
аппроксимировать, этого достаточно, чтобы на практике рассматривать их как
неоднозначности.
Рис. 5a. Слева: Две интенсивности импульса, которые приводят к одинаковой
автокорреляции. Справа: Их автокорреляции интенсивности. Оба масштаба находятся в
условных единицах измерения.
14
Рис. 5b. Слева: Две дополнительной интенсивности импульса, которые приводит к
одинаковой автокорреляции. Справа: Их автокорреляция интенсивности. В этом
случае, несмотря на их ступенчатую форму, автокорреляции интенсивности этих
импульсов не отличаются от Гауссовой.
Из моделирования мы заключаем, что кроме неоднозначности в направлении
времени, по крайней мере некоторые (и вероятно большинство) автокорреляций имеют
неоднозначности в аппроксимации, что делает их экспериментально неразличимыми.
Таким образом, даже если бы специфическая автокорреляция, единственным образом
определяла импульс, крошечное количество шума в измерении этой автокорреляции
делала её подобной с автокорреляцией другого импульса.
Автокорреляции сложных импульсов
Фактически, для сложного импульса, можно показать, что когда структура
интенсивности усложняется, автокорреляция фактически становится более простой и
приближает к форме узкого выброса на постоянной подставке (независимо от структуры
интенсивности).
Чтобы увидеть этот замечательный факт, мы строим поле такого импульса как
E (t ) = I env(t )unoise (t ) , то есть, как произведение случайного шума с постоянным средним
и дисперсией, на медленно меняющуюся огибающую,
I env (t ) . Временные масштабы
быстрых изменений в интенсивности и фазе случайного шума, считаются, намного
меньше, чем ширина огибающей. Используя функции когерентности высшего порядка,
можно показать, что для большого круга случайно-шумовых моделей, автокорреляция
такого импульса может быть написана:
15
2
∞
A( 2 ) (τ ) ≈ Г (2) (τ ) + ∫ I env (t ) I env (t − τ )dt ,
(16)
−∞
где Г (2) (τ ) функция когерентности шума второго порядка. Ширина Г (2) (τ )
когерентности импульса τc,
2
- время
мера мелкомасштабной составляющей в шуме (и в
интенсивности импульса). Для сложного импульса τc намного меньше, чем длина
импульса. Второй член в уравнении (16) является автокорреляцией медленно меняющейся
огибающей интенсивности, ширина которой примерно равна ширине фактического
импульса. В то время как детали этого вычисления вне рамок этой книги, мы должны
упомянуть, что эти два слагаемых в уравнении (16) имеют равную высоту при τ = 0.
Мы получили кривую, которая содержит два слагаемых, узкий центральный
выброс
(первый
член),
названный
выбросом
когерентности
или
артефактом
когерентности с шириной τc, и широкую опору или крылья (второй член) с шириной
огибающей τp.
Рис. 6. Интенсивности с Гауссовой медленно меняющейся огибающей и сложной структурой
(слева) и их автокорреляции (справа). Поскольку сложность импульса увеличивается (сверху в
16
низ), автокорреляция приближает к форме "выброс когерентности на опоре", независимой от
структуры интенсивности импульса. Отметим, что при усложнении структуры импульса, выброс
когерентности сужается наряду с масштабом структуры, в то время как опора показывает ширину
огибающей интенсивности и приближается к Гауссовой.
Интересно, что измерение автокорреляции интенсивности одновременно приводит
к измерению спектра импульса и автокорреляции. К сожалению, мы ничего не можем
узнать о структуре интенсивности из-за наличия шумовой составляющей unoise (t ) . Примеры
автокорреляций сложной интенсивности импульса показаны на рисунке 6. Заметим, что
автокорреляция приближает к вышеупомянутой простой форме, поскольку сложность
импульса увеличивается.
То, что автокорреляция единственным образом не определяет интенсивность
сложных импульсов сильно преуменьшено!
Наконец, мы упоминали, что выброс когерентности – характерная мера спектра
импульса и опора - мера медленно меняющейся огибающей интенсивности. И таким
образом, встаёт задача о восстановлении спектра и огибающей по выбросу когерентности
и опоры. Вспомним, что спектр и Г (2) (τ ) являются образом и прообразом для
преобразования Фурье. Поскольку выброс когерентности определяется Г (2) (τ ) в квадрате,
восстановление спектра от выброса когерентности эквивалентно одномерной фазовопоисковой задаче! Таким образом, задача восстановления автокорреляции огибающей
интенсивности из опоры, также - одномерная фазово-поисковая задача!
Автокорреляции шумовых импульсных наборов
Даже простой импульс может привести к автокорреляциям с выбросом
когерентности на опоре, если измерения усредняются по набору шумовых импульсов.
Рассмотрим, например, двойной импульс. На рисунке 7 изображены двойные импульсы и
их автокорреляции, у которых видны три пика (в общем случае, 2N+1 пика для ряда из N
импульсов).
Если лазер генерирует двойные импульсы, он обычно делает это беспорядочно.
Такие импульсы будут иметь случайную задержку между собой. Так как типичный
ультрабыстрый лазер испускает импульсы с очень высокой частотой повторения (100
МГц), а большинство автокорреляторов снимают сразу несколько импульсов, то
автокоррелятор будет усреднять по целому набору импульсов.
17
В итоге мы получим график, который содержит два слагаемых, узкий центральный
выброс когерентности на широкой опоре, высота которой обычно будет намного меньше
½ величины, которую мы рассматривали в последнем разделе. Ясно выброс
когерентности - грубая мера отдельного импульса в пределах двойного импульсного
сигнала, и опора указывает на распределение задержки между импульсами. Даже когда
опора слаба, не делайте ошибку идентификация выброса когерентности, как
характеристики длительности импульса!
Рис. 7. Примеры теоретической интенсивности с двойными импульсами и их автокорреляции
интенсивности. Слева: Интенсивность от времени. Справа: автокорреляция интенсивности,
соответствующая интенсивности с левой стороны. Верхний ряд: Два импульса (Гауссовой формы
с 10 фс) с задержкой равной четырьмя длинам импульса. Второй ряд: те же самые два импульса,
но с задержкой в восемь длин импульса. Третий ряд: набор из двойных импульсов с переменной
задержкой. Средняя автокорреляционная функция от набора импульсов (третий ряд, справа).
Заметим, что структура размылась из-за большого усреднения по двойным импульсам с
переменной задержкой между ними. Длину импульса лучше оценивать по ширине опоры, чем
шириной выброса когерентности.
18
Теперь рассмотрим связанную задачу: импульс, интенсивность которого сложным
образом изменяется в пространстве. У такого импульса должна быть подобная
автокорреляция. Действительно, для импульса с почти любой сложной формой,
единственная форма автокорреляции - выброс когерентности на подставке.
Наконец, можно спросить, есть ли такая методика, которая может решить такой
сложный случай, как чрезвычайно сложный импульс или набор шумовых импульсов.
Перед нами ставится трудная задача измерения. Такие ситуации чрезвычайно
распространены и поэтому важно научиться их измерять. Заметим, что FROG измерения
были сделаны для чрезвычайно сложного импульса (с такой сложной структурой, что
трудно даже просто построить его). Кроме того этим методом был измерен набор
шумовых импульсов.
Автокорреляция и среднеквадратическая ширина импульса
Несмотря на ее недостатки, автокорреляция действительно дает нам некоторую
полезную информацию об импульсе. Она содержит удивительную информацию, которую
вы нельзя было ожидать: однозначное определение среднеквадратической (rms) ширины
импульса! Без предположений о форме импульса.
Из
теории
вероятности
следует,
что,
если
h(t)=f(t)∗g(t)
(свёртка),
то
среднеквадратические ширины этих функции связана простой Пифагоровой суммой:
(τ rms ) h2 = (τ rms ) 2f + (τ rms ) 2g .
(17)
Теперь автокорреляция – простая автосвёртка, но с измененным аргументом
A( 2 ) (t ) = I (t ) ∗ I (−t ) . Поскольку реверсирование времени в функции не изменяет её
ширину, ширина автокорреляции, (τ rms ) A , будет:
(τ rms ) 2A = 2(τ rms ) 2 .
(18)
Среднеквадратичная ширина автокорреляции отличается от среднеквадратичной
ширины импульса в √2 раз. Если вы искали rms ширину импульса, вы её нашли!
19
Автокорреляция и FWHM ширина импульса
К сожалению, обычно намного более интересна FWHM импульса, чем rms
значение. Это объяснимо тем, что rms ширина импульса более чувствительна к деталям на
крыльях импульса.
К сожалению, автокорреляция не столь информативна в этом случае. Чтобы
получить информации о FWHM ширине импульса из автокорреляции, необходимо
сделать
предположение
относительно
формы
импульса.
Как
только
сделано
предположение, можно получить мультипликативный коэффициент, который связывает
FWHM автокорреляции с FWHM импульса I(t). К сожалению, этот коэффициент
изменяется значительно для различных форм импульса. J.C. Diels и W. Rudolph
определили общие простые формы импульса с их автокорреляциями в их книге. Отметим,
что Гауссова интенсивность приводит к автокорреляции интенсивности, которая в √2 раз
шире, и sech2(t) интенсивность приводит к автокорреляции, которая в 1.54 раза шире.
Эта нехватка мощности со стороны автокорреляции привела к нежелательному
искушению выбрать "оптимистическую" форму импульса, как sech2(t), которая приводит
к большому мультипликативному коэффициенту (1.54), а не "пессимистическую" форму
импульса, такая как Гауссова, у которой меньший коэффициент (1.41), для того чтобы
получить более короткую ширину импульса для данной измеренной ширины
автокорреляции. Принято работать с наиболее короткими импульсами.
Посмотрим количественно, насколько точно автокорреляция определяет ширину
импульса, (см. Рис. 8), Zeek измерил реальный не усиленный лазерный импульс от
Ti:Sapphire лазера (использую FROG) и вычислил их автокорреляции. Потом он сравнил
ширину автокорреляции (FWHM) и фактическую ширину импульса (FWHM). Он нашел,
что мультипликативный коэффициент автокорреляции значительно отличается.
20
Рис. 8. Импульсы от Ti:Sapphire лазера и их коэффициенты автокорреляции. Слева: коэффициент
автокорреляции как функция ширины импульса. Отметем, что фактический коэффициент был в
3.2 раза больше. Справа: гистограмма коэффициентов автокорреляции.
В другом исследовании (см. Рис. 9), Zeek сравнил простые теоретические
импульсы,
имеющий
спектрально-фазовые
искажения
младшего
разряда
с
их
автокорреляциями. И снова, ширина импульса и автокорреляция значительно изменялись.
Он нашел, что коэффициент автокорреляции, редко превышает 1.5, таким образом,
использование величины 1.54 вообще недооценивает ширину импульса. Эти измерения
находятся в соответствии с измерениями, о которых сообщает Penman, и др.
На практики, у большинства ультракоротких импульсов нет простой формы
интенсивности. В результате, простой учёт формы импульса и деление на измеренную
ширину автокорреляции с соответствующим коэффициентом является безответственным,
если вы не включаете главную поправку.
Рис. 9. Теоретические коэффициенты автокорреляции для неидеального формы
импульса с разными порядками спектрального фазового искажения для Гауссова (слева)
и sech2 (справа) спектров. Фактические поправочные коэффициенты изображены для
соответствующей ширины импульса.
Так теперь, если вас спросят определить ширину импульса по автокорреляции, мы
надеемся, что вы сможете быстро возразить. И если, кроме того, у графика
автокорреляции есть даже малейший намек на крылья, можете возражать громко.
АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Неоднозначности при анализе автокорреляции интенсивности (второго порядка)
были проанализированы. В результате появилось несколько уточнений, и как итог 21
автокорреляция интенсивности третьего порядка, или просто автокорреляция третьего
порядка.
Схема экспериментальной установки и графики
Предположим, что мы можем сломать симметрию автокорреляции. Тогда
снимается неоднозначность с направлением времени. Для этого построим автокорреляцию
третьего порядка. Вместо кристалла SHG, который обеспечивает отклик второго порядка,
будем использовать среду с откликом третьего порядка.
Рис. 10. Экспериментальная схема автокоррелятора интенсивности третьего порядка, с
использованием поляризационного отверстия. Импульс разделяется на два, один («gate»
импульс) испытывает вращение поляризации на 45˚ и проходит через линию задержки;
другой («зонд» импульс) проходит через скрещенные поляризаторы. Потом эти два
импульса перекрываются в кристалле. «Gate» импульс наводит двулучепреломление в
кристалле, что немного вращает поляризацию «зонд» импульса и позволяет ему пройти
через поляризаторы, если импульсы накладывается по времени. Прошедшая энергия
импульса измеряется относительно линии задержки, что даёт автокорреляцию третьего
порядка.
Схема одного такого автокоррелятора поляризационным отверстием (PG)
приведена на рис. 10. Один импульс испытывает вращение поляризации на 45˚ и падает
на обычное стекло (или другую среду с мгновенным откликом) и создаёт там
индуцированное двулучепреломление. Стекло становится волновой пластинкой, но
только при наличии первого импульса. Пластинка вращает поляризацию другого
22
импульса и он частично может пройти через поляризатор находящейся после стекла. На
рисунках 11 и 12 показаны две другие схемы автокоррелятора третьего порядка.
Рис. 11. Экспериментальная схема автокоррелятора интенсивности третьего порядка, с
использованием самодифракции. Импульс разделяется на два, проходит линию
задержки, и рекомбинирует в среде с третьем порядке нелинейности, как и на
предыдущем рисунке, но здесь, импульсы индуцируют решетку в стекле, на которой
дифрагирует один из импульсов и распространяется в другом направление
определяемое волновыми векторами 2k1 - k2.
Рис. 12. Экспериментальная схема автокоррелятора интенсивности третьего порядка, с
использованием генерации третей гармоники(THG). Импульс разделяется на два, проходит линию
задержки, и рекомбинирует в среде с третьем порядке нелинейности, как и на предыдущем
рисунке, но здесь, импульсы генерируют третью гармонику.
23
Для PG автокоррелятора поле даётся выражением:
2
PG
Esig
(t ,τ ) ∝ E (t ) E (t − τ ) ,
(19)
где E(t) вертикально поляризованный импульс, и E(t-τ) - 45˚ поляризованный импульс,
прошедший через линию задержки. Тогда интенсивность сигнала на автокорреляторе
будет пропорциональна произведению трёх интенсивностей от двух импульсов.
2
PG
I sig
(t ,τ ) ∝ I (t ) I (t − τ ) .
(20)
PG
Время реакции детекторов гораздо больше характерного времени изменения I sig
(t ,τ )
интенсивности. И поэтому измеряемая величина будет интегралом по времени:
A (τ ) =
( 3)
∞
∫ I (t ) I
2
(t − τ )dt .
(21)
−∞
Этот результат - автокорреляция третьего порядка.
Другие геометрические конфигурации приводят к другим полям, но все они
приводят к тому же самому результату. Например, при самодифракции (Рис. 11) поле
даётся выражением:
SD
Esig
(t ,τ ) ∝ E 2 (t ) E ∗ (t − τ ) ,
(22)
которая даёт интенсивность сигнала:
SD
I sig
(t ,τ ) ∝ I 2 (t ) I (t − τ ) .
(23)
И интегральная интенсивность:
A( 3) (τ ) =
∞
∫I
2
(t ) I (t − τ )dt ,
−∞
24
(24)
которая простой заменой переменных, t → t -
τ, приводит к тому же самому результату,
за исключением симметрии по вертикальной оси.
Для THG схемы поле:
THD
Esig
(t ,τ ) ∝ E 2 (t ) E (t − τ )
(25)
интенсивность которого:
THD
I sig
(t ,τ ) ∝ I 2 (t ) I (t − τ )
(26)
Автокорреляцию третьего порядка, также можно получить с использованием
трёхфотоной флюоресценции.
Рис. 13. Примеры автокорреляций третьего порядка. Верхний ряд: Гауссова интенсивность с
10 фс. Второй ряд: sech2 интенсивность с 7 фс. Третий ряд: импульс, интенсивность которого
25
определяется спектральной фазой третьего порядка. Четвертый ряд: двойной импульс. Заметим,
что автокорреляция третьего порядка также не отображает структуру импульса.
Поскольку I(t) и I(t-t) входят в автокорреляцию третьего порядка асимметрично
(только одно слагаемое входит в квадрате), замена переменных, t на t-τ, более не даёт
A( 3) ( −τ ) , как для случая автокорреляции второго порядка. Автокорреляция третьего
порядка симметрична, только если симметрична интенсивность. На рисунке 13
построены автокорреляции третьего порядка для импульсов, автокорреляции второго
порядка которых были построены ранее на рисунке 3.
Нелинейность третьего порядка слабее, чем второго порядка, поэтому требует
большего количества энергии импульса и не работает для не усиленных импульсов от
типичных лазеров ультракоротких импульсов. Но оказывается полезной для усиленного
импульса и УФ импульсов (где SHG нельзя использовать).
Остаётся важный вопрос: автокорреляция третьего порядка единственным образом
определяет интенсивность импульса?
Автокорреляции третьего порядка сложных импульсов
То, что ответ на вышеупомянутый вопрос - "нет", вероятно, ясно. Это следует из
факта, что автокорреляция третьего порядка сложного импульса подобна автокорреляции
второго порядка: выброс когерентности на широкой опоре.
Медленные автокорреляции третьего порядка для сложного импульса
Теперь предположим, что для снятия автокорреляции, будет использоваться
нелинейная среда с большим временем отклика, которое намного превышает длину
импульса. Это нарушает предположение о мгновенности отклика среды, которое мы
делали всюду до этой главы. Действительно, попробуем измерить быстрый процесс
медленным.
Рассмотрим случай индуцированной решетки, когда дифрагированный сигнал
результат взаимодействия третьего порядка. В среде с большим временем отклика, у полос
индуцированной решетки есть тенденция расплываться, поскольку относительная фаза
входных лучей изменяется и интенсивность полос меняется назад и вперед из-за
изменения фазы импульса. Казалось бы, что использование медленной среды не подходит
для снятия быстроменяющейся информации, и даже хуже, ее эффективность должна быть
26
практически около ноля (кроме тех случаев, когда задержка - ноль и фазовые флуктуации
от двух лучей, которые создают их, уравновешиваются). Интересно, но это неверно.
Рассмотрим ту же самую модель сложного импульса как прежде, который состоит
из случайного шума, unoise (t ) , и медленно меняющейся огибающей интенсивности, I env (t ) .
Как и раньше, временной масштаб изменения случайного шума приблизительно равен
времени когерентности импульса, τс, которое мы считаем многим меньшим, чем длина
огибающей c шириной τp. Как для автокорреляций с мгновенным откликом среды, мы
нашли, что для набора шумовых сигналов, автокорреляция третьего порядка с
медленным откликом может быть записана как сумма двух слагаемых:
τ
A (τ ) ≈ Г (τ ) + с
τp
( 2)
(2)
∞
2
∫I
env
(t ) I env (t − τ )dt ,
(27)
−∞
где Г (2) (τ ) является функцией когерентности второго порядка случайного шума.
Вспомним, что ширина Г (2) (τ )
2
является временными масштабом мелкой структуры
интенсивности и время когерентности импульса, τc.
Как и прежде измеренная автокорреляция - сумма узкого выброса когерентности,
2
Г (2) (τ ) , и автокорреляция медленно меняющейся интенсивности. Однако, в этом
случае, опора намного меньше: отношение опоры к функции когерентности -
τc/τp,
намного меньше единицы. Но это не ноль. Онj стремится к нулю в пределе бесконечно
длинного импульса, когда полосы решетки практически уравновешиваются, но это не
ноль
для
импульса,
потому
что
индуцированная
решетка
уравновешивается полностью при конечном промежутке времени,
фактически
не
τp.
Таким образом, мы удивительно находим, что автокорреляция (третьего порядка)
с медленно меняющейся средой позволяет измерить спектр импульса и автокорреляцию
в одном измерении.
ТРОЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ
Более информативный выбор корреляционной функции - тройная корреляция:
A3 (τ ,τ ′) =
∞
∫ I (t ) I (t − τ ) I (t − τ ′)dt ,
−∞
27
(28)
которая является функцией двух различных задержек, τ и τ′. Тройная корреляция может
быть произведена по схеме автокорреляции (в среде с мгновенным откликом). Но,
вместо того, чтобы просто измерять энергию от задержки, она рассматривает
пересечение двух импульсов с третьей частью основного импульса в нелинейном
кристалле. Теперь энергия измеряется относительно задержки между первыми двумя
импульсами и, кроме того, задержки между последними двумя импульсами. Это можно
организовать, если разделить импульс на три части, создать для двух из них задержку по
времени и свести потом все три импульса в среде с нелинейностью третьего порядка.
Преобразование Фурье тройной корреляции - биспектр:
∞
~
A3 (ω , ω ′) = ∫
∫
∞
−∞ −∞
A3 (τ ,τ ′) exp(−iωτ − iω ′τ ′)dτdτ ′ .
(29)
Вы можете расслабиться, так как в большинстве случаев, тройная корреляция
единственным образом определяет интенсивность!
Наконец, измерения которые работают!
К сожалению, тройная корреляция не является самой удобной из методик, требуя
двух линий задержки и трех лучей. В то время как она действительно единственным
образом приводит к интенсивности, большинство исследователей считает построение
такой схемы - слишком большой ценой, чтобы получать эту информацию.
АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ И СПЕКТР - СОВМЕСТНЫЙ АНАЛИЗ
Если автокорреляция отдельно не определяет интенсивность, и спектр отдельно
не определяет поле, почему бы не использовать их вместе? Rundquist и Peatross сделали
это и назвали методом получения временной информации через интенсивность (TIVI).
Вдохновленные работами в области имеджинга и рентгенокристаллографии, они
отметили, что знание интенсивности, I(t), и спектра, S(ω), часто достаточно, чтобы найти
фазу в любой (и следовательно в обоих) области (временной и частотной). Алгоритм
используемый для нахождения фазы из интенсивности в обоих областях, назван
алгоритмом Gerchberg-Saxton, который включает предположения для фазы и Фурье
преобразования – прямого и обратного между этими двумя областями, заменяя величину
в соответствующей области измеренным значением.
28
Однако, интересно спросить, как хорошо эта процедура работает. Конечно, для
очень сложного импульса автокорреляция содержит так мало информации, что эта
процедура обречена потерпеть неудачу.
Но что, если мы положим простую форму импульса (с TBP ~ 1)? К несчастью,
никакая аналитическая работа не была выполнена по этой теме. Но недавно, Чанг и
Weiner провели численные вычисления, чтобы выяснить, могут ли автокорреляция и
спектр единственным образом определить интенсивность импульса и фазу в этом случае.
И они нашли многочисленные нетривиальные неоднозначности, в дополнение к
очевидной неоднозначности направления времени. Рисунки 14a и b дают примеры
неоднозначностей, которые они нашли.
Рис. 14a. Два импульса (верхний ряд) с различной интенсивностью и фазами, которые при
численном моделировании приводят к идентичным автокорреляциям (внизу справа) и спектрам
(внизу слева). Спектральная фаза обоих импульсов (пунктирная линия на нижнем левом
графике).
29
Рис. 14b. Ещё два импульса (верхний ряд) с различной интенсивностью и фазами, которые при
численном моделировании приводят к идентичным автокорреляциям (внизу справа) и спектрам
(внизу слева). Спектральная фаза обоих импульсов (пунктирная линия на нижнем левом
графике).
Даже если бы мы знали интенсивность и спектр, это не было бы достаточно,
поскольку знание интенсивности и спектра не достаточно для нахождения фазы во всех
практически интересных случаях. Saxton каталогизировал случаи, в которых больше чем
одна фаза точно или приблизительно согласована со специфической интенсивностью и
спектром. Приблизительные неопределённости включают функции со слабыми
колебательными компонентами в фазе и чьи относительные фазы из-за этого
неопределенны. И они также включают функции со слабыми мнимыми частями. Точные
неоднозначности следуют из интенсивности, которая симметрична в одной области и
которая не может различить правильную фазу и ее сопряженное комплексное число в
другой области.
АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ С РАЗРЕШЕНИЕМ СТРУКТУРЫ
Метод, который комбинирует данные, связанные с автокорреляцией и спектром в
единственном эксперименте, является интерферометрической автокорреляцией, часто
называемой фазочувствительной автокорреляцией и автокорреляция с разрешением
структуры (FRAC). Он был представлен Жан-Клодом Диелем в 1983 и стал очень
популярным. Он состоит в измерении энергии второй гармоники от задержки в
кристалле SHG, помещенного на выходе интерферометра Михельсона (см. Рис. 15).
Другими словами он включает измерение автокорреляции, используя коллинеарные
лучи, так, чтобы свет второй гармоники, созданный взаимодействием двух различных
лучей, когерентно взаимодействовал со второй гармоникой создаваемой каждым
отдельным лучом. В результате интерференция происходит из-за когерентного сложения
нескольких лучей, и интерференционные полосы зависят от задержки. Это отличает её
от обычной автокорреляции, которая часто упоминается как бесфоновая автокорреляция.
30
Рис. 15. Экспериментальная схема для автокорреляции с разрешением структуры
(FRAC).
Выражение для интенсивности FRAC:
∞
I FRAC (τ ) =
2
∫ [E (t ) + E (t − τ )]
2
(30)
dt
−∞
∞
=
∫ E (t )
2
2
+ 2 E (t ) E (t − τ ) + E (t − τ ) 2 dt .
(31)
−∞
Отметим, что, если убрать слагаемые с E (t ) 2 и E (t − τ ) 2 из вышеупомянутого
уравнения, у нас был бы только взаимный член, 2E(t)E(t-τ), который приводит к
обычному выражению для бесфоновой автокорреляции. Новые слагаемые, интегралы по
E (t ) 2 и E (t ) 2 , результаты генерации второй гармоники для каждого отдельного
импульса. Их интерференция, каждого импульса с собой и импульсов друг с другом,
приведет к дополнительной информация в FRAC, которая не присутствует в обычной
автокорреляции.
Интерференция
этих
новых
слагаемых
друг
с
другом
даст
интерферограмму второй гармоники импульса.
Раскроем выражение выше:
I FRAC (τ ) =
∞
∫ {I (t )
−∞
2
}
{
}
−∞
∞
∫ Re{E (t )
−∞
∞
+ I (t − τ ) dt + ∫ {I (t ) + I (t − τ )}Re E (t ) E ∗ (t − τ ) dt +
2
2
}
∞
E (t − τ ) dt + ∫ I (t ) I (t − τ )dt
∗
2
−∞
31
(32)
Или словами:
I FRAC (τ ) = Константа + Изменённая интерферограмма E(t) +
Интерферограмма 2-ой гармоники E(t) + Автокорреляция I(t)
(33)
Таким образом FRAC содержит константу, автокорреляцию, что-то родственное к
интерферограмме (здесь, как "измененная интерферограмма" из-за дополнительного
слагаемого, I(t) + I(t-τ), и интерферограмма импульса второй гармоники. Примеры FRAC
показаны на рисунке 16. Попробуем проанализировать составляющие.
Давайте начнем с постоянного члена. Он содержит не много информации. Этот
член полезен для подтверждения проверки правильности измерения. Легко показать, что
отношение пика к фону в следе FRAC равно восьми. Если это не так, то измерение надо
проводить заново. Но эта информация не поможет нам определить импульс.
Теперь рассмотрите последний член. Это - простая автокорреляция, о которой мы
уже довольно много узнали к настоящему времени.
Рассмотрим два интерференционных члена. Вспомним, что интерферограмма
приводит к полосам зависящим от задержки с учётом частоты света. И в сигнале FRAC
есть две интерферограммы с такими полосами. Полосы в измеренной интерферограмме
E(t) происходят на частоте ω. И полосы в интерферограмме 2-ой гармоники E(t)
происходят на частоте 2ω. В результате за исключением чрезвычайно короткого
импульса в нескольких периодов, различные слагаемые можно отличить по частоте
заполнения.
Вспомним, что интерферограмма - обратное преобразование Фурье от спектра.
Таким образом интерферограмма 2-ой гармоники E(t) приводит к спектру 2-ой
гармоники E(t).
Теперь давайте рассматривать измененную интерферограмму E(t). Этот член не
соответствует никакому известной или интуитивной величине. В пределе, когда
искажения находятся главным образом в фазе, т.е. величина, I(t) + I(t-τ), является
{
}
медленно меняющейся по сравнению с Re E (t ) E ∗ (t − τ )
то, остающийся интеграл
сводится к простой интерферограмме E(t). В этом пределе, этот член эквивалентен
спектру импульса.
32
Рис. 16. Импульсы и их FRAC измерения. Верхний ряд: 10 фс Гауссова интенсивность. Второй
ряд: 7 фс sech2 интенсивность. Третий ряд: импульс, интенсивность которого результат
спектральной фазы 3-го порядка. Четвертый ряд: двойной импульс. Отметем, что импульсы спутники из-за третьего порядка спектральной фаза, которые были невидимы в автокорреляции
интенсивности, фактически могут быть различимы в крыльях FRAC.
Когда искажения находятся главным образом в фазе:
I FRAC (τ ) ≈ Константа + Интерферограмма E(t) +
Интерферограмма E2(t) + Автокорреляция I(t).
(34)
Теперь вы могли бы подумать, что интерферограммы / спектры основной и
второй гармоники содержат эквивалентную информацию. Но это неверно.
Давайте рассмотрим спектр второй гармоники. Для начала поле второй
гармоники в частотной области – автосвёртка основного поля:
33
~
~
~
E2 (ω ) ∝ E (ω ) ∗ E (ω )
(35)
поэтому E2 (t ) ∝ E (t ) 2 . Таким образом, можно подумать, что спектр второй гармоники –
~
~
~
простая свёртка импульса с собой. Но это не случай S 2 (ω ) ∝ S (ω ) ∗ S (ω ) . Вот
контрпример: пусть E(t) ∝ sinc(t). Поле второй гармоники - E(t) в квадрате или
E2(t)
∝ sinc2(t). Поле в частотной области является Фурье преобразованием sinc(t),
или E(ω) ∝ rect(ω). rect(ω) может принимать значения 0 или 1 (кроме изолированных
точек), это также справедливо для S(ω) ∝ rect(ω). Поле второй гармоники в частной
~
области, E2(ω), автосвёртка E(ω): E2 (ω ) ∝ triangle (ω ) , которая в квадрате даёт спектр
~
второй гармоники - S 2 (ω ) ∝ triangle 2 (ω ) . Но автосвёртка спектра основного импульса:
~
~
S (ω ) ∗ S (ω ) ∝ triangle (ω ) , а не triangle 2 (ω ) .
Таким образом, FRAC измерение содержит не менее чем три значимых измерения
импульса. И, в пределе (когда фазовые искажения доминируют), у них есть особенно
простое описание.
В пределе, что искажения являются малыми, {I(t) + I(t-τ)} изменяются на
временных масштабах подобно
{
}
Re E (t ) E ∗ (t − τ )
и таким образом, им нельзя
пренебрегать. Это делает интерпретацию следа FRAC более трудной, и требует
компьютерного алгоритма для восстановления формы импульса.
FRAC полностью определяет поле импульса? Chung и Weiner, пролили свет на
вопрос о том, как хорошо FRAC определяет импульс, проводя FRAC измерения для
пары импульсов, которые привели к неоднозначностям в TIVI. И они нашли, что
получающиеся следы пар импульсов очень похожи, хотя не идентичны. Смотрите
рисунки. 18a и b.
34
Рис. 17a. Слева: FRAC измерение пары импульсов от рис. 14a. Разность между двумя следами
FRAC изображена ниже. Справа: FRAC того же самого пульса, но с сокращающем
коэффициентом 5. Отметим, что в обоих случаях два FRAC измерения очень подобны. FRAC
зависимости труднее различить при уменьшении длины импульса.
Рис. 17b. Слева: FRAC измерения пары импульсов из рис. 9b. Разность между двумя FRAC
измерениями изображена ниже. Справа: FRAC того же самого импульса, но сокращающим
коэффициентом 5. Отметим, что в обоих случаях два FRAC сигнала очень похожи. И их труднее
различить при уменьшении длины импульса.
С другой стороны Diels и сотрудники показали, что направление времени можно
найти включением второго измерения FRAC - фактически кросс-корреляция с
разрешением структуры - в которой стекло помещено в одно из плеч интерферометра.
Это ломает симметрию и приводит к асимметричному следу. Тогда, предполагая, что
дисперсия стекла известна, Diels показал, что в нескольких случаях два измерения FRAC
могут использоваться, чтобы полностью определить поле импульса. И снова тут не было
проведено должного исследования.
КРОССКОРРЕЛЯЦИЯ
Иногда, мы имеем более короткий процесс в наличии, чтобы измерить импульс. В
этом случаи, мы используем кросс-корреляцию (см. Рис. 18). Кросс-корреляция,
выражается
C ( 2) (τ ) =
∞
∫ I (t ) I
−∞
35
g
(t − τ )dt ,
(36)
где I(t) является неизвестной интенсивностью, и Ig(t) - интенсивность щелевого
импульса.
Когда доступен более короткий щелевой импульс, кросс-корреляция точно
приводит к интенсивности. Подстановкой δ (t) в Ig(t) легко находится I(t). Фактически,
вы не должны даже знать щелевой импульс, достаточно того, что он намного короче.
Задача состоит в том, что у вас не часто есть импульс дельта-функции, доступный в
лаборатории.
Рис. 18. Кросс-коррелятор. Более короткий импульс может выделить более длинный и
привести к интенсивности.
СИСТЕМАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА В АВТОКОРРЕЛЯЦИИ И СПЕКТРЕ
Случайность против систематической ошибки
Случайная ошибка - проблема в любом измерении, и проявляется в виде
шумоподобных сигналов, смотрите например рис. 19. С другой стороны неслучайная,
или систематическая ошибка приведёт к изменению следа от фактического, но при этом
не оставит никаких признаков своего наличия. В результате мы должны особенно
тщательно исключить систематическую ошибку при измерениях импульса (и всех
других измерениях в этом отношении). Малые девиации в автокорреляции могут
соответствовать большой девиации в импульсе, и систематическая ошибка может стать
настоящей проблемой в таком измерении.
36
Рис. 19. Точная автокорреляция (сверху). Снизу: то же самое измерение, но при наличии
случайной ошибкой (слева) и систематической ошибкой (справа).
Систематическая ошибка в измерениях спектра
Многочисленные источники систематических ошибок губят спектральные
измерения. Вот частичный список таких помех:
1. Рассеянный свет: Рассеянный свет с произвольным спектральным составом
может исказить спектральное измерение: введением света на новых частотах и
изменением относительной интенсивности спектра. Но рассеянный свет со спектром
полезного сигнала может испортить картину ещё больше. Предположим, что небольшая
часть энергии импульса, скажем
спектрометр с задержкой,
ε, отразилась от некоторой поверхности и попала в
τ, относительно остальной части импульса. Измеренный
спектр тогда будет:
S meas (ω ) =
∫ [E (t ) +
∞
]
ε E (t − τ ) exp(−iωt )dt
2
(37)
−∞
2
~
~
= E (ω ) + ε E (ω ) exp(iωτ )
≈ S (ω ) 1 + ε exp(iωτ )
{
2
(39)
}
≈ S (ω ) 1 + 2 ε cos(ωτ ) ,
37
(38)
40)
ε является малым и следовательно ε2 можно пренебречь.
где мы предположили, что
Таким образом, рассеянное излучение вводит модуляцию на частоте 2π / τ в измеряемый
спектр. Если
τ больше, то полосы будут очень близко расположены и возможно вне
разрешающей способности спектрометра (и следовательно явно не будут деформировать
измеряемый спектр). Для промежуточных значений
небольшая модуляция. И если
τ
в спектре будет проявляться
τ является малым, только часть модуляционного
периода может проявиться на всём спектре и следовательно не может быть воспринята
как модуляция (см. Рис. 20). Но однако может значительно деформировать спектр.
Неприятность ситуации в том, что модуляционная амплитуда 2√ε, и 1% рассеянного
излучения приводит к 20% амплитудной модуляции, которая является огромной 40%-ой
модуляцией от пика к пику (серьезным искажением для такого на вид небольшого
количества рассеянного света).
Рис. 20. Эффекты влияния рассеянного света при измерении спектра. Здесь мы добавили к
Гауссову спектру, дополнительный 1 % энергии света с идентичным спектром, но с небольшой
задержкой, что приводит к амплитуде частотных полос в 20 % (Спектр в относительных
единицах как функция отстройки от центральной частоты.)
2.
Спектральная
компонентов
и
неравномерная
устройств
эффективность:
прохождение,
отражение,
Для
всех
оптические
чувствительность,
или
эффективность зависит от длины волны. Измеряемый спектр должен учитывать эти
отличия.
3. Неверная калибровка: Хорошо известная вещь. Калибруйте свой спектрометр,
используя дуговую лампу с известными линиями спектра испускания.
4. Пространственно-временные эффекты: Например, более длинноволновые
спектральные компоненты луча могут находится в левой части луч, а коротковолновые
компоненты справа. Это явление называется пространственным чирпом, по аналогии с
38
временным чирпом. Любой дисперсионный элемент вводит такой эффект в луч.
Конечно, обычная практика - компенсировать дисперсию другим дисперсионным
элементом,
что
приводит
к
лучу
без
угловой
дисперсии,
но
с
большим
пространственным чирпом. В результате проведение спектрального измерения по малой
пространственной области луча приведет к различным спектрам для различных
областей.
Систематическая ошибка в измерениях автокорреляции
Многочисленные
присутствовать
во
источники
измеряемой
систематической
автокорреляции.
И
ошибки
трудно
могут
понять,
также
когда
в
автокорреляции отсутствуют такие искажения.
1. Дисперсия групповой скорости (GVD): Поскольку различные длины волн
распространяются с разной групповой скоростью в среде, импульс деформируется при
прохождении через любую среду (будь то линза или нелинейная среда). Импульс может
быть деформирован даже диэлектрическим покрытием на зеркале. Воздух может
деформировать импульс, чья длина волны в районе резонанса молекул воздуха, данный
эффект распространен для UV и IR, где дисперсия больше. Эти эффекты не могут быть
удалены из следа FRAC или автокорреляции в виду необходимости знания полного поля
импульса.
Поэтому очень важно минимизировать количество материала на пути луча и в
устройстве измерения импульса.
2. Асимметрия: выражение для автокорреляции подразумевает, что два импульса
идентичны. Если один проходит через большее количество оптических элементов чем
другой, то искажения из-за материальной дисперсии вызовут асимметрию в следе
автокорреляции. Этого эффекта трудно избежать, потому что необходим делитель луча,
который отражает один импульс, но пропускает другой, позволяя только последнему
пройти через стекло. Пластика компенсатора в другом луче помогает выравнивать
импульсы. Это особенно важно в FRAC.
3. Разброс групповой скорости (GVM): У нелинейно-оптического процесса,
используемого в устройстве измерения импульса, должна быть достаточная ширина
полосы, чтобы эффективно преобразовать весь спектр импульса в соответствующее
39
поле. Если ширины полосы нелинейной среды будет недостаточно, то устройство
измерения импульса приведет к ошибочному результату.
40
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ахманов С.А., Оптика фемтосекундных лазерных импульсов, Наука, 1988г.
2. Trebino R., The Measurement of Ultrashort Laser Pulses
3. Ландсберг Г.С., Оптика, М.: Физматлит, 2003
41