x - Кафедра Высшая и прикладная математика

ОБЩЕСТВО «ЗНАНИЕ» РОССИИ
ПРИВОЛЖСКИЙ ДОМ ЗНАНИЙ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
СРЕДНЕВОЛЖСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
I Международная
научно-техническая конференция
АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ
МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ
И СОЦИАЛЬНЫХ ПРОБЛЕМ
Сборник статей
14 – 15 сентября 2006 г.
Пенза
УДК 51
ББК 22.1
АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
МОДЕЛИРОВАНИЯ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ
И СОЦИАЛЬНЫХ ПРОБЛЕМ : Сборник статей I Международной
научно-технической конференции. – Пенза, 2006.
Под редакцией И.В. Бойкова, доктора физико-математических наук,
профессора
ISBN 5-8356-0529-3
 Пензенский государственный университет,
2006 г.
 АНОО «Приволжский Дом знаний», 2006 г.
2
Секция 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ПРОДОЛЖЕНИЯ
СТАЦИОНАРНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
А.В. Филиппов
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
Рассмотрим задачу продолжения потенциального векторного поля
,
если
известны его значения на замкнутой поверхности S, ограничиF
вающей заданное тело D.
Рассмотрим случай стационарного электромагнитного поля. Уравнение, описывающее электрическую составляющую E, имеет вид [1]:
−
1
4π

∫∫ (n ⋅ E ) grad
S

1
1 
E ( r ′ ) , r ′ ∈ D
+ [n × E] × grad
 ds = 
r − r′
r − r ′ 
 0, r ′ ∈ CD
(1)
Это классическая интегральная формула Стрэттона-Чу для стационарного электромагнитного поля.
Вычисления производятся по пространственной сетке S ′ , аппроксимирующей поверхность S [2]. Сетка
кающихся треугольников
S′
задана набором непересе-
∆ i , образующих в сумме непрерывную по-
верхность. Формула (1) примет вид:
E (r ′) = −
1
4π
N −1

i= 0 ∆i

∑ ∫∫  ( n ⋅ E ) grad
1
1  ,
+ [n × E ] × grad
 ds
r − r′
r − r ′ 
3
(2)
где r ′ ∈ D , r ∈ S ′ , N – размерность сетки S ′ .
Обозначим интеграл по
I i (r ′ ) =
∫∫
∆i
∆i как I ( r′) :
i

1
1  .
+ [n × E ] × g ra d
 ( n ⋅ E ) g ra d
 ds
r − r′
r − r ′ 

(3)
Заменим двойное векторное произведение в формуле (1.3) и вынесем из под знака интеграла независимые переменные ni = n ( ∆i ) и
Eɶ i = E ( ∆ i ) , где значение вектора нормали постоянно на всей поверхности треугольника, а значение вектора электрического поля берётся как среднее значение. Обозначим интеграл от градиента как
1
функцию
d s . Тогда формула (2) примет вид:
G i ( r ′ ) = ∫∫ g ra d
r − r′
∆i
1 N −1 
∑ n ⋅ Eɶ G ( r′) + ( ni ⋅ G i ( r′) ) Eɶ i − Eɶ i ⋅ G i ( r′) ni . (4)
4π i = 0  i i i
Как видно из формулы (1.1), при вычислении значений поля вне
области D мы будем получать нулевые значения. Для разрешения данной ситуации вычислим значение поля E на поверхности S1 тела D1
большего объёма, причем D ∩ D = D . Для этого составим систему
(
E ( r′) = −
)
(
)
1
линейных алгебраических уравнений, где неизвестными будут значения поля E на элементах поверхности S1, а коэффициентами – компоненты вектора Ii ( r′ ) . Поверхность S1 аппроксимируем поверхностной
сеткой
S1′ .
Система линейных алгебраических уравнений имеет вид:
N −1
∑  ( n
i=0
i
)
(
)
⋅ Eɶ i G i ( rk′ ) + ( n i ⋅ G i ( rk′ ) ) Eɶ i − Eɶ i ⋅ G i ( rk′ ) n i  = − 4π E ( rk′ ) , (5)
где rk′ ∈ S , а r скользит по поверхности
размерность сетки
S1′ , k = 0,1,..., N − 1 , N –
S1′ .
Распишем СЛАУ (5) для каждой координаты вектора E, для краткости записи введем обозначения G i ,k = G i ( rk′ ) , E k = −4π E ( rk′ ) ;
k = 0,1,..., N − 1 :
4
x
x
 N −1
ɶ
ɶ
 ∑  n i ⋅ E i G i , k  +  ( n i ⋅ G i , k ) E i  − 
 i=0
y
y
 N −1
 ∑  n i ⋅ Eɶ i G i , k  +  ( n i ⋅ G i , k ) Eɶ i  − 
 i=0
z
 N −1
z
 ∑  n i ⋅ Eɶ i G i , k  +  ( n i ⋅ G i , k ) Eɶ i  − 
 i=0
(
)
( Eɶ
i
x
⋅ G i , k n i  = [ E k ]
)
x
(
)
( Eɶ
i
y
⋅ G i , k n i  = [ E k ]
)
y
(
)
( Eɶ
i
z
⋅ G i , k n i  = [ E k ]
)
z
Разложим векторы Eɶ i , ni , G i , k по составляющим:
ɶ = ( E , E , E ) , n i = (nx , n y , nz ) , G i ,k = (Gx , G y , Gz ).
E
i
x
y
z
ɶ в k-й строке СЛАУ
Распишем сумму произведений для вектора E
i
по координатам (для краткости обозначений опустим индексы i, k):
x : G x ( n x E x + n y E y + n z E z ) + E x (G x n x + G y n y + G z n z ) − n x (G x E x + G y E y + G z E z )
y : G y ( n x E x + n y E y + n z E z ) + E y (G x n x + G y n y + G z n z ) − n y (G x E x + G y E y + G z E z )
z : G z ( n x E x + n y E y + n z E z ) + E z (G x n x + G y n y + G z n z ) − n z (G x E x + G y E y + G z E z )
Раскроем сумму произведений при орте i:
i : G x nx E x + G x n y E y + G x nz E z +
+ E xGx nx + ExG y n y + ExG z nz −
− nxG x E x − nxG y E y − nxG z E z
и сгруппируем по компонентам вектора E:
Ex : Gx nx Ex + Ex Gx nx + ExG y n y + Ex Gz nz − nx Gx Ex = Ex (G ⋅ n)
E y : Gx n y E y − nx Gy E y = E y (Gx ny − nx Gy )
Ez : Gx nz Ez − nxGz Ez = Ez (Gx nz − nxGz )
Проделаем эту процедуру также для остальных ортов:
i : E x (G ⋅ n ) + E y (G x n y − n x G y ) + E z (G x n z − n x G z )
j : E x (G y n x − n y G x ) + E y (G ⋅ n ) + E z (G y n z − n y G z ) .
k : E x (G z n x − n z G x ) + E y (G z n y − n z G y ) + E z (G ⋅ n )
Обозначим коэффициенты при составляющих вектора E:
Fxx = (G ⋅ n)
Fxy = (Gx n y − nx G y )
Fxz = (Gx nz − nx Gz )
Fyx = (Gy nx − n y Gx )
Fyy = G ⋅ n)
Fyz = (G y nz − n y Gz )
F = (Gz nx − nz Gx )
Fz = (Gz n y − nz G y )
Fzz = (G ⋅ n)
x
z
y
5
После проделанных выкладок СЛАУ (5) примет вид:
N −1

x
y
z
 ∑ F x ( i , k ) E x ( i ) + F x ( i , k ) E y ( i ) + F x ( i , k ) E z ( i ) = [E k
i=0

 N −1 x
y
z
 ∑ F y ( i , k ) E x ( i ) + F y ( i , k ) E y ( i ) + F y ( i , k ) E z ( i ) = [E k
 i=0
 N −1 x
y
z
 ∑ F z ( i , k ) E x ( i ) + F z ( i , k ) E y ( i ) + F z ( i , k ) E z ( i ) = [E k
 i=0
]
]
]
x
y
(6)
z
Коэффициенты F зависят только от пространственной сетки
S1′
и узлов rk′ . Правая часть – значения поля на поверхности S. СЛАУ решается методом градиентного спуска; в качестве критерия останова
итерационного метода используется значение погрешности приближения поверхности S пространственной сеткой S1′ . В результате получаем приближенные значения поля на поверхности
S1 , и по формуле (2)
можно вычислить значение электрического поля уже внутри области
D.
1
Результаты работы программы, реализующей предложенный алгоритм, приведены в таблице, в качестве модельной поверхности выбрана
сфера.
Погрешность продолжения стационарного электромагнитного поля
Число элементов покрытия
80
320
1280
Относительная погрешность решения уравнения
0,018
0,0074
0,0004
Погрешность приближения
поверхности (порядок)
7,17% (10-1)
1,91% (10-2)
0,39% (10-3)
Вывод. Предложенный алгоритм позволяет продолжить потенциальное векторное поле с наперёд заданной точностью. Точность данного метода можно широко варьировать выбором пространственной сетки и узлов коллокации.
Библиографический список
1. Жданов, М.С. Аналоги интеграла типа Коши в теории геофизических полей. – М.: Наука. 1984. – 327 с.
2. Бойков, И.В., Филиппов, А.В. Повышение точности приближенного вычисления поверхностных интегралов // Труды Международного
симпозиума «Надежность и качество». – Пенза, 2006. – С. 297 – 298.
6
MATRIX IMPULSIVE DIFFERENTIAL EQUATIONS
WITH IMPULSES AT VARIABLE TIMES
V.A. Chiricalov
Kyiv national T. Shevchenko university,
Kyiv, Ukraine
Introduction. The equations with impulses at variable times are more
comlicated [1], [2] than equations with impulses at fixed times, which was
considered in our previous investigation [3] – [8]. Essential difference between impulsive equations with impulses at variable times and with impulses
at fixed times is that solutions of the first equation, in general, do not depend
on initial condition continuously.
R n×m is the spase of n × m matrices, Ξ ⊂ R n×m is an open set,
R n×m is topologically equivalent nm - dimentional Euclidean space R nm ,
R + is nonnegative real line. We use Frobenius norm of matrices
Let
X
2
= Tr ( X ∗ X ) = ∑ xi , j [3]. The equations with impulses at varia2
i, j
ble times may be represented by
dX / dt = A(t ) X − XB(t ) + ∑ [ Di ] Xδ(t − τ i ( X )) + Fδ (t , X ), (1)
i
where Fδ (t, X) = F(t, X) +∑Fɶi (X)δ(t −τi (X)), τ i ( X ) ∈ {Si }: Ξ → R + , (i = 1, 2,...),
i
{S i } is a sequence of hypersurfaces in the extended phase space
R + × R nm ,
τ i ( X ) < τ i +1 ( X ) and lim i →∞ τ i ( X ) = ∞ . Here
~ ∈ R m×m , F , F~ ∈ R n×m are matrices,
X ∈ R n×m , A, Di ∈ R n×n , B, D
i
i
A(t ) ∈ C ( R + , R n× n ),
Fɶ ( X ) ∈ C (Ξ, R n×m ),
i
B(t ) ∈ C ( R + , R m× m ),
∆X (t ) = X (t + ) − X (t ),
F (t , X ) ∈ C ( R + × Ξ, R n× m ),
X (t + ) = limε →0 X (t + ε ),
t+ = t + 0.
Stability in equations with variable times of an impulsive effect. It is not
correct to consider Lyapunov stability of solutions of equation (1) in the
usual sense. Hence it becomes necessary to make the notion of the stability
of solutions of equations (1) more precise [2].
In most cases, the problem of stability of a certain solution of equation
(1) can be formulated in terms of stability of the trivial solution of some impulsive equation. But the procedure of this reduction for equation (1) is more
7
complicated [2]. Without lost of generality, in what follows, we will be considering the stability of trivial solution. Suppose that conditions mentioned
above hold. Matrix X (t ) ∈ Br (0) , here Br ( X 0 ) is the closed ball in the
matrix space
R n×m , X 0 is the center of the ball and r is its radius,
α, β > 0 . We suppose that the surfaces t = τ i ( X ) satisfy the Lipschitz
τ i ( X ′) − τ i ( X ′′) ≤ Li X ′ − X ′′ and they are separated from
each other uniformly with respect to X , i.e. for some θ > 0 is satisfied the
nequality min i (inf X τ i +1 ( X ) − sup X τ i ) ≥ θ .
condition
Together with equation (1), let us consider the bilinear homogeneous
~
impulsive matrix equation ( F (t , X ) ≡ 0 , Fi ≡ 0 ) where t i are constant
and
t − t i0 ≤ δ1 (ε) δ1 > 0 , δ1 (ε) → 0 for ε → 0 .
Theorem 1. Let the right-hand sides of equations (1) be such that ine-
F (t , X ) ≤ α(t ) X (t ) , F~i ( X ) ≤ β i (t ) X (t ) are satisfied,
τ i ( X ) ≥ τ i (([ I ] + [ Di ]) X + F~i ( X )) holds for all X (t ) ∈ Br (0) . If,
qualities
for any
t i which satisfies inequality t i − t i0 ≤ δ1 (ε) , solution of matrix
homogeneous equation are stable or exponentially stable, then the trivial
solution of nonhomogeneous equation (1) will be stable or exponentially
stable correspondingly, if
α(t ) , β i satisfy the conditions
∞
∫ α(t )dt < ∞ ,
t0
∏ (1 + β ) < ∞ .
i
i
Proof. Let
point
X (t ) be arbitrary solution of (1) which passing through the
X 0 ∈ Br1 (0) , ( r1 < r ), at t = t 0 . Denote by t i0 the times at which
this solution meets the hypersurfaces
τ i ( X ) , (it is the solutions of the equa-
t = τ i ( X (t )) ), because inequality τ i ( X ) ≥ τ i (([ I ] + [ Di ]) X + F~i ( X ))
is assumed to hold, (1) has a unique solution for all i at least for those values of t , for which solution X (t ) satisfied the condition X (t ) ≤ r . For
these value of t , X (t ) satisfies also the matrix differential equation
tion
8
dX / dt = A(t ) X − XB(t ) + ∑[Di ]Xδ(t − ti0 ) + Fδ (t, X ),
(2)
i
Fδ (t , X ) = F (t , X ) + ∑ F~i ( X )δ(t − t i0 ) . Equivalent integral
here
i
t
⌢
equation will be X (t ) = [U tt0 ] X 0 + ∫ [U st ]F ( s, X ( s ))ds + ∑ [U tt0 ]Fi ( X (ti0 )), ,
i
t0
where
i
⌢
Fi ( X ) = ([ I ] − [ Di ]) −1 F~i [3], [U tt0 ] is evolution operator of the
homogeneous matrix impulsive equation [5], it satisfys the condition
[U tt00 ] = [ I ] , with t replaced by t i0 . [I ] is identity operator in R n×m .
If the solution of homogeneous equation are exponentially stable, then
for all
t ≥ s the evolution operator admits the estimate [U st ] ≤ Ke − γ (t − s ) ,
K ≥ 1, γ > 0 . After astimating of right hand site of equation (3) and applying modified Gronwell-Bellman Lemma [4] we obtain the inequality
t
X (t ) ≤ K~e − γ (t −t0 ) X 0 , where K~ = K sup t ∏ (1 + Kβ i )e
∫
K α ( s ) ds
t0
.
i
The first statement of the Theorem we can proove the same way, and the
estimate follows from previous estimate if we take γ = 0 . Suppose that
following conditions hold:
F (t , X ) ≤ α X (t ) , F~i ( X ) ≤ α X (t ) .
Theorem 2. Let the right-hand sides of equation (2) be such that all inequalities mentioned above hold. If, for the operator
[U st ] estimate
[U st ] ≤ Ke − γ (t − s ) holds, then the trivial solution of matrix impulsive equation (1) is asymptotically stable for sufficiently small values of a constant
α.
Proof. The proof goes along the same lines as the proof of the previous
theorem. From the equivalent integral equation using modified GronwellBellman
lemma
we
can
obtain
the
estimate
X (t ) ≤ Ke − ( γ − Kα −(1 / θ) ln(1+ Kα ))(t −t0 ) X 0 , from which follow that trivial
solution is asymptotically stable, if α is so small that following inequality
γ − Kα − (1 / θ) ln(1 + Kα) > 0 is satisfied.
9
Библиографический список
1. Lakshmikatham, V., Bainov, D.D., Simeonov, P.S. Theory of impulsive
differential equations. – New York: Word Sientific, 1989.
2. Samoilenko, A.M., Perestyuk, N.A. Impulsive differential equations. –
Kyiv : Vischa shcola, 1986 (in Russian).
3. Chiricalov, V.A. Matrix impulsive system of differential equations with
bilinear main part : in Proceedings of Fifth Int. Conf. «Symmetry in Nonlinear
Mathematical Physics» (23 – 29 June, 2003, Kyiv, Ukraine), Editors
A.G.Nikitin, V.M.Boyko, R.O.Popovych and I.A.Yehorchenko. – Kyiv, Institute
of Mathematics. – 2004. – V.50. – Part 3. – 1282 – 1287.
4. Chiricalov, V.A. Matrix impulsive weekly nonlinear systems with bilinear main part // Proc. of Srednevolgsky Math. Society. – Saransk, Russia,
2004. – V.6. – No 1. – 96-107 (in Russian).
5. Chiricalov, V.A. Matrix impulsive system of differential equations and
its application to the theory of polyphase transmission lines // Int. J. Nonl. Phenomena in Complex Systems. – 2003. – V.6. – No. 3, 705 – 716.
6. Chiricalov, V.A. Impulsive matrix differential equations // Proceedings
the Institute of Mathematics of NAS of Belarus. – 2004. – V. 12. – No. 2. –
185 – 189.
7. Chiricalov, V.A. Periodic solutions of matrix impulsive differential equations and their application // Int. J. Nonl. Phenomena in Complex Systems. –
2005. – V. 8. – No. 2. – 121 – 133.
8. Chiricalov, V.A. Impulsive matrix differential equations and their application, in Proceedings of Int. Conf. «Diff. Eq. and Comp. Algebra Systems»
(DE\&CAS),(5-8 October, 2005, Brest, Belarus), Scientific Parpers, Part 1, Editors I.V.Gayshun and others. – Minsk : Belarusian State Pedagogical University,
2005. – 225 – 230 (in Russian).
ПРИМЕНЕНИЕ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
Н.В. Мойко
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
Многие задачи геофизики, теории рассеяния в акустике и электродинамике сводятся к решению краевых задач для уравнений Пуассона
10
и Гельмгольца, основные методы решения которых основаны на теории
потенциала. В данной статье предлагается и обосновывается вычислительная схема приближенного решения уравнения Лапласа ∆u = 0
при граничных значениях Дирихле u Γ = f , основанная на применении
гиперсингулярных интегральных уравнений.
Пусть в области G, ограниченной контуром Г, дано уравнение
∆ϕ = 0 при граничных условиях ϕ ( x) = f ( x) . Представляет значиΓ
тельный интерес построение параллельных методов решения задачи
Дирихле для уравнения Лапласа. Для определенности рассмотрим
трехмерный случай. Известно, что потенциал простого слоя
3
u ( x) = Φ( x, y )ϕ ( y ) ds ( y ) , x, y ∈ R \ Γ представляет собой решение
∫
Γ
задачи Дирихле для уравнения Лапласа, если ϕ(x) является решением
интегрального уравнения
(1)
Φ ( x, y )ϕ ( y ) ds ( y ) = f ( x), x ∈ Γ.
∫
Γ
Здесь
Φ ( x, y ) = x − y
−1
— фундаментальное решение уравне-
ния Лапласа.
Предположим, что правая часть
f ( x)
уравнения (1) дифферен-
цируема по одной из переменных. Вычислим производную по переменой
x1 от обеих частей уравнения (1). В результате имеем
∫ h( x, y )ϕ ( y)d ( y) = f ( x) , x ∈ Γ,
1
(2)
Γ
где h( x, y ) = − x1 − y1 . Разобьем поверхность Γ на N частей таким
3
x− y
образом, чтобы полученные в результате области деления имели примерно одинаковые площади и диаметры. Отметим, что осуществить
покрытие области Г N-конгруэнтными поверхностями возможно лишь
в исключительных случаях. Обозначим элементы покрытия границы Г
через σ k , k = 1, 2,…, N . Обозначим через M k = ( mxk , m yk , mzk ) центр
тяжести области
σ k . Так как точно вычислить центр тяжести M k об11
ласти
σk
невозможно, то под
Mk
близкие к центрам тяжести областей
будут пониматься узлы, достаточно
σ k . Через
M ∗k = (mx∗k , m∗y k , mz∗k )
обозначены узлы, принадлежащие поверхностям
σk
ким образом, чтобы расстояние между узлами
Mk
меньше или равно величине
hN .
и выбранные таи
M ∗k
было
Приближенное решение уравнения
(2) будем искать в виде вектора F = (ϕ ( M 1∗ ),…,ϕ ( M N∗ )), компоненты
ϕ ( M k∗ ), (k = 1, 2,…, N )
которого находим из системы линейных ал-
гебраических уравнений
N ,
∑ h ϕ (M
lk
k =1
где h =
k ,l
h( M
∫∫
σ
∗
k
∗
l
) = f1 ( M l∗ ), l = 1,2,…, N ,
(3)
, y )dy, k , l = 1, 2,…, N . Σ′ означает, что суммиро-
k
вание проводится по всем областям σ k , за исключением тех, которые
касаются области σ l . При этом суммирование проводится и по области
σl.
За счет выбора точек
M l∗ ,
l = 1,2,…, N , можно добиться того,
что система уравнений (3) будет однозначно разрешимой.
Известно, что при достаточно общих условиях, налагаемых на
функцию f и на гладкость поверхности Г, уравнение (2) имеет единственное решение
ϕ ∗ ( y ) ∈ H α , 0 < α ≤ 1.
Тогда система (3) одно-
значно разрешима при достаточно больших значениях N и справедлива
оценка ϕ ∗ − ϕ N∗ ≤ AN −α .
Ниже предлагается другой приближенный метод решения задачи
Дирихле для уравнения Лапласа, в котором не проводится предварительное дифференцирование. Пусть M = [ln N ]. Приближенное решение уравнения (2) будем искать из системы линейных алгебраических
уравнений
N
Σ
∗
k =1
hlkϕ ( M k∗ ) = f ( M k∗ ), l = 1,2,…, N ,
12
(4)
Σ∗ означает,
k − l ≥ M.
где
что суммирование проводится по
k
таким, что
Доказано, что при ряде условий система (4) однозначно разрешима
при достаточно больших значениях N и справедлива оценка
 ln N  где ϕ ∗ и ϕ ∗ – решения уравнений (2), а ϕ ∗ (t ) –
N
N
,
 N 
ϕ ∗ − ϕ N∗ ≤ A 
непрерывная поверхность, составленная из треугольников с вершинами
в точках ( M k∗ ,ϕ ( M k∗ )) , k=1,2,…, N.
Остановимся на процессе построения параллельных алгоритмов
решения задач Дирихле для уравнения Лапласа. Для удобства представим систему уравнений (3) в виде CX=F, где
X = xi ,
C = Cij ,
i, j = 1, 2,…, n ,
F = fi , i = 1,2,…, n. Будем решать систему уравнений на ком-
пьютере с
p
процессорами. Разобьем матрицу C на
k , l = 1, 2,… p, где Ckl = C( k −1) q +i ,( l −1) q +i ,
p2
блоков
Ckl ,
i, j = 1, 2,… , p . Аналогичным
образом векторы X и P представим в виде
X = ( X 1 ,…, X p ),
F = ( F1 ,…, Fq ) , где X k = ( xk +1 ,…, xk + p ) , Fk = ( f k +1 ,…, f k + p ) , k=1,2,…,p.
Воспользовавшись введенными обозначениями, представим систему
q
уравнений в виде
i = 1,2,…, p. Это позволяC ii X i = F i −
∑
j = 1, j ≠ i
C ii X j ,
ет построить итерационный метод
X im +1 = C ii−1 ( Fi −
p
∑
j =1, j ≠ i
C ij X mj ),
i = 1, 2,…, q, m = 0,1,… Сходимость итерационного процесса следует
из теоремы Банаха о сжимающих операторах
Решение модельных примеров показало высокую эффективность
предложенного алгоритма.
13
СИНГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
С КРАТНЫМ НЕНУЛЕВОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ЧАСТЬЮ
СПЕКТРОМ
З.Б. Маматова, А.М. Джураев
Ошский государственный университет,
г. Ош, Кыргызстан
В работе [1] с помощью метода регуляризации [2] изучена сингулярно – возмущенная начальная задача с кратным отрицательной действительной частью спектром для произвольной жордановой матрицы.
В работах [3 – 6] разработана теория асимптотического интегрирования
для краевых задач с кратным чисто мнимым спектром. Наша работа
посвящена разработке теории асимптотического интегрирования краевых задач с кратным ненулевой действительной частью спектром для
двухклеточной жордановой матрицы.
Пусть изучается краевая задача
Lεy(t , ε ) ≡ εy ′(t , ε ) − A(t ) y(t , ε ) = h(t ),
{y1 (0, ε ), y2 (0, ε ), y3 (1, ε ), y 4 (1, ε )} = y 0 .
(1)
Пусть A(t) – матрица-функция, эквивалентная двухклеточной жордановой матрице, и выполнены следующие условия:
10. A(t ) ∈ C ∞ ([0,1], С 4× 4 ), h(t ) ∈ C ∞ ([0,1], C 4 ),
20. Спектр
{λ (t )},
ij
i, j = 1,2 матрицы-функции A(t) при каждом
t ∈ [0,1] удовлетворяет требованиям: 1) λ
ij
( t ) = λ i ( t ), i = 1 , 2 ;
2) Re λ1 (t ) < 0, Re λ2 (t ) > 0.
30. Матрица-функция A(t) имеет жордановы цепочки векторфункций, т. е.
∀t ∈ [0,1]
A(t )ϕ i1 (t ) = λi (t )ϕ i1 (t ), A(t )ϕ i 2 (t ) = λi (t )ϕ i 2 (t ) + ϕ i ,1 (t ), i = 1,2.
0
4 . Каноническая структура матрицы A(t) не меняется на отрезке
[0,1].
Производные от собственных и присоединенных вектор-функций
разложим по базису
ϕ ij (t ), i = 1,2 : ϕ ij′ (t ) = ∑ C ijks (t )ϕ ks (t ).
2
k , s =1
Потребуем, чтобы для
Cii12 (t )
выполнялось условие
14
50. ∀t ∈ [0,1]
C ii12 (t ) ≠ 0, i = 1,2 .
Для асимптотического интегрирования краевой задачи (1) введем
дополнительные независимые переменные по формулам:
τ 1k =
[λ ( x) +
ε∫
1
]
t
ε g1,k ( x) dx ≡ ψ 1k (t , ε ), k = 1,2,
1
0
τ 2k =
1
ε
∫ [λ ( x) +
]
t
ε g 2,k ( x) dx ≡ ψ 2 k (t , ε ), k = 1,2 .
2
1
Введя
обозначения
τ=(τ11,τ12,τ21,τ22),
φ(t,ε)=(φ11(t,ε),φ12(t,ε),
φ21(t,ε),φ22(t,ε)) вместо искомого решения y(t,ε) задачи (1) будем изучать
новую «расширенную» функцию u(t,τ,ε) такую, что u(t,τ,ε)≡y(t,ε), при
τ=φ(t,ε).
Выделим две точки:
M 0 = M 0 (0,ψ (0, ε )); M1 = M1 (1,ψ (1, ε )),
и для определения функции u (t ,τ , ε ) поставим следующую задачу:
ε
(
)
∂u 2 2
∂u
+ ∑∑ λi (t ) + ε g i ,k (t )
− A(t )u = h(t ),
∂t i =1 k =1
∂τ ik
{u1 ( M 0 , ε ), u2 ( M 0 , ε ), u3 (M 1 , ε ), u 4 (M 1 , ε )} = y 0
(2)
(3)
при ε→0. Так как задача (2), (3) является регулярной по ε при ε→0, то
ее решение будем определять в виде ряда
∞
s
u (t , τ , ε ) = ∑ ε u s (t , τ )
(4)
s =0
с коэффициентами из пространства безрезонансных решений
U = { u (t ,τ ) : u =
2
2
2
∑ ∑∑ u
i , k =1 j =1 s =1
i , j ,k ,s
2
2
(t )ϕij (t )eτ ks + ∑∑ ui , j (t )ϕij (t ),
i =1 j =1
ui , j , k , s (t ), ui , j (t ) ∈ C ∞ ([0,1], C )} .
В пространстве безрезонансных решений U зададим следующие
операторы:
2
2
2
∂
∂
L0 ≡ A(t ) − ∑ λi (t )∑
, Li ≡ ∑ g i , k (t )
, i = 1,2,
∂τ ik
i =1
k =1 ∂τ ik
k =1
G0 ≡ diag{1,1,0,0}, G1 ≡ diag{0,0,1,1}, Gu ≡ G0 u ( M 0 , ε ) + G1u ( M 1 , ε ). (5)
Используем операторы (5) и расширенную задачу (2), (3) перепишем в виде
2
0
∂u
(6)
L0u = ε ∑ Li u + ε
− h, Gu = y .
∂
t
i =1
15
Степенной ряд (4) подставим в задачу (6) и получим следующие
итерационные задачи для определения коэффициентов
u s ( t ,τ )
ряда
(4):
L0 u 0 = − h(t ), Gu 0 = y 0 ,
(7)
2
L0u1 = ∑ Li u1 , Gu1 = 0,
(8)
i =1
2
L0 u s = ∑ Li u s −1 +
i =1
∂u s − 2
, Gu s = 0, s = 2,3,... .
∂t
(9)
Теорема. Пусть для задачи (1) выполнены условия 10. – 50, и решение задачи (6) определено из итерационных задач (7)-(9) в виде степенного ряда (4). Тогда сужение ряда (4) при τ=ψ(t,ε) и ε → 0 является
асимптотическим рядом для решения задачи (1).
Библиографический список
1. Елисеев, А.Г. Теория сингулярных возмущений для систем
дифференциальных уравнений в случае кратного спектра предельного
оператора,I,II // Изв. АН СССР (Сер. мат.), 1984. – Т.48, №5. – С. 999 –
1042.
2. Ломов, С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. – М. : Наука, 1981.
3. Dzhuraev, A.M. A problem with a multiple pure imaginary spectrum
// Ist Turkish world mathematics symposium. – Elazig: Firat University,
1999. – Р. 124 – 127.
4. Джураев, А.М., Туратов, С.Д. Краевые задачи для сингулярновозмущенных дифференциальных уравнений с кратным спектром//
Труды Всеросс. науч. конф. «Математическое моделирование и краевые задачи». – Часть 3. – Самара : СамГТУ, 2004. – С. 85 – 88.
5. Джураев, А.М. Об асимптотических методах для анализа математических моделей : сб. материалов Междунар. науч.-техн. конф.
«Наука и образование – 2004». – Мурманск : МГТУ, 2004. – С. 234 –
236.
6. Джураев, А.М., Туратов, С.Д. Асимптотическое интегрирование
краевой задачи для дифференциальных уравнений с кратным спектром
// Известия Тульского гос. ун-та. (Серия Математика. Механика. Информатика), 2005. – Т. 9. – Вып. 1. – С. 77 – 81.
16
РАЗНОСТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ НЕКОТОРЫХ
НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Ф.В. Лубышев, А.Р. Манапова
Башкирский государственный университет,
г. Уфа, Россия
Пусть Ω = {ξ = (ξ1 , ξ 2 ) ∈ R 2 : 0 < ξ α < lα , α = 1, 2}
– прямоугольник
в R с границей Г. Пусть управляемый процесс описывается в Ω
следующей задачей Дирихле для квазилинейного уравнения эллиптического типа:
2
∂
∂u  2
∂u
(1.1а)
L( g)u = −∑ k(ξ)  +∑bα (ξ)
+d(ξ) q(u) = f (ξ), ξ∈Ω,
∂ξα  α=1
∂ξα
α=1 ∂ξα 
2
u (ξ ) = 0, ξ ∈ Γ,
(1.1б)
q(u ), f (ξ ), bα (ξ ), α = 1,2
где
–
известные
функции;
– управление. Относительно заданных
g (ξ ) = ( g1 (ξ ), g 2 (ξ )) = (k (ξ ), d (ξ ))
функций будем предполагать:
f (ξ ) ∈ L2 ( Ω ) , bα (ξ) ∈L∞ ( Ω) : ζα ≤bα (ξ) ≤ζα п.в. на Ω, , α = 1, 2;
q(s ) определена на R
функция
со значениями в
R
и удовлетворяет
условиям: q(0) = 0, 0 ≤ q0 ≤ [q (s1 ) − q (s 2 )] / (s1 − s 2 ) ≤ Lq < ∞, для всех
s1 , s 2 ∈ R, s1 ≠ s 2 . Введем множество допустимых управлений
W∞1 (Ω ) × L∞ (Ω ),

∂k
U ( ) = ∏U ⊂ B =
U = k (ξ ) ∈ W (Ω ) : 0 < ν ≤ k (ξ ) ≤ ν ,
≤R ,
∂ξ
1
0
k
0
k =0

1
∞
α
α
α = 1,2, п.в. на Ω}, U1 = {d (ξ) ∈ L∞ (Ω ) : ζ 3 ≤ d (ξ ) ≤ ζ 3 , п.в. на Ω};
здесь п.в. – почти всюду. Предполагается выполнение следующих
условий: − m ≤ ζ1 ≤ ζ1 ≤ m, − p ≤ ζ 2 ≤ ζ 2 ≤ p, ν , Rα , m, p = Сonst > 0,
ζ 3 , ζ3
– некоторые постоянные;
−1
8 8 .
CΩ2 =  2 + 2 
 l1 l 2 
Здесь
λ
ν −(ε1 + ε2 )
m2 p2 
δ0 = max
+ λ − −  > 0,
2
ε1,ε2 >0
4ε1 4ε2 
cΩ
ε1+ε2≤ν
любая
17
из
следующих
констант:
a)
λ = q0 ζ 3 , ζ 3 ≥ 0;
b)
λ = ζ3
{
λ = − Lq ζ 0 , где ζ 0 = max ζ 3 , ζ 3
– любая константа, когда ; c)
}.
q(u) =u
J : U (0 ) → R1 в виде
Зададим функционал цели
3
g → J ( g ) = ∑ α k J k ( g ) = I (u (ξ; g )) ,
(1.2)
k =0
где отображение I : V → R , задаваемое на классе
задачи (1.1), определяется выражением
1
2
2
u → I ( u ) = α 0 ∫ ρ (ξ ) u d Ω + α1 ∫ u − u0 (ξ ) d Ω + ∫ ∑ α k +1
2
Ω
где u0 (ξ ),
Ω k =1
Ω
V
∂u
− ψ k ( ξ ) d Ω,
∂ξ k
решений
(1.3)
ψ k (ξ ) – заданные функции из W21 (Ω ), k = 1, 2 , а ρ(ξ) – за-
данная функция из L2 (Ω ) ,
α m = Const ≥ 0, m = 0,1, 2 , 3, α0 + α1 + α2 + α3 > 0. .
Поставим следующую задачу оптимального управления A (0 ) .
(0 )
(0 )
Задача A : Найти управление g ∗ ∈ U
такое,
что
J ( g ∗ ) = I (u (ξ; g ∗ )) = inf( 0 ) I (u (ξ; g )) = inf( 0 ) J ( g ) = J ∗ , где функцио(0 )
g∈U
g∈U
нал цели J : U (0 ) → R1 имеет вид (1.2), (1.3), g → J ( g ) = I (u (ξ; g )) ,
0
причем I : V = W21 (Ω ) → R1 – отображение, определяемое выражени-
( )
ем (1.3), u → I u , где
задачи состояния (1.1).
u = u (ξ; g ) ∈ V
– обобщенное решение
g ∈ U (0 ) существует единственное обобщенное решение u ≡ u (ξ; g ) ∈ V задачи (1.1) и справедлива оценка u (ξ; g ) ≤ C f (ξ )
. Более того, обобщенное
V
L (Ω )
Можно показать, что при любом
2
решение краевой задачи (1.1) принадлежит также пространству
0
2
W2,0
( Ω ) = W22 ( Ω ) ∩ W21 ( Ω ) , и при каждом фиксированном управлении
g ∈ U (0 ) справедлива оценка u ξ; g W 2 (Ω ) ≤ C f ξ L (Ω ) .
2
2
(
18
)
()
Рассмотрим
теперь
следующие
множества
ограничений


Uˆ 0 = k (ξ ) ∈ U 0 : ∫ k (ξ )dξ = M  и Uˆ 0 ( p ) = k (ξ ) ∈ U 0 : k p (ξ )dξ ≤ M 1p Ω ,
∫




Ω
Ω
где M = Const > 0 , ν ≤ M 1 ≤ ν , Ω = mesΩ – мера множества Ω ,
p ≥1
– целое число. При этом предполагаем, что положительные по-
стоянные
ν, ν , R1 , R2 , M
таковы, что множества
Û 0
и
Uˆ 0 ( p )
не
пусты.
Определяя теперь множества допустимых управлений для вектор(1)
функции управления g ξ в виде U
= Uˆ 0 × U 1 ⊂ U (0 ) ⊂ B и
()
U (2 ) ≡ U (2 ) ( p ) = Uˆ 0 ( p ) × U 1 ⊂ U (0 ) ⊂ B,
(1)
( 2)
p ≥ 1,
( 2)
задачи оптимального управления A и A = A
(1 )
Задача A : Найти управление g ∗
поставим
( p).
∈ U (1)
такое,
что
J ( g∗ ) = I ( u (ξ ; g∗ ) ) = inf(1) I ( u (ξ ; g ) ) = inf(1) J ( g ) = J ∗ , где функционал
(1)
g ∈U
цели
J :U
(1)
→R
1
g ∈U
имеет вид (1.2), (1.3),
g → J ( g ) = I (u (ξ; g )) ,
I : V → R – отображение, определяемое выражением (1.3),
u → I (u ) , где u = u (ξ; g ) ∈ V – решение задачи (1.1).
1
причем
2222
pppp
кое, что
AAAA
2222
AAAA
( ) : Найти
J ( g ∗ ) = I (u (ξ; g ∗ )) = inf
( )
Задача
( )
≡
( )
g∈U
p ≥1
2
управление g ∗ ∈ U (2 ) ≡ U (2 ) ( p ) та-
( p)
I (u (ξ; g )) = inf
(2 )
g∈U
( p)
J ( g ) = J ∗( p ) , где
- целое число, функционал цели J : U (2 ) ( p ) → R1 имеет вид
(1.2), (1.3), g → J (g ) = I (u (ξ; g )) , причем I : V → R1 – отображение,
определяемое выражением (1.3), u → I (u ) , где u = u (ξ; g ) ∈ V – решение
задачи (1.1).
Проблема численного решения поставленных нелинейных оптимизационных задач приводит к необходимости их аппроксимаций последовательностями конечномерных задач минимизации. При построении разностных аппроксимаций задач оптимального управления основной задачей является исследование предельного перехода решений
сеточных задач минимизации к решениям исходной задачи при сгуще19
нии сетки. В работе исследована корректность моделей оптимизации
0
1
p
p
Ah( ) , Ah( ) , Ah( ) = Ah( ) ( p ) нелинейного типа и их конечномерных сеточ-
ных аппроксимаций, установлены оценки точности аппроксимаций по
состоянию и функционалу и сходимость аппроксимаций по управлению.
Проведена регуляризация построенных аппроксимаций, позволяющая
строить минимизирующие последовательности для функционалов цели
задач оптимального управления, сильно сходящиеся в пространствах
управлений исходных постановок к множествам точек минимумов функционалов. Полученные результаты о сходимости конечномерных аппроксимаций не зависят от способа решения конечномерных сеточных задач
оптимального управления и развивают результаты работ [1] – [3].
Библиографический список
1. Лубышев, Ф.В. Разностные аппроксимации задач оптимального
управления системами, описываемыми уравнениями в частных производных. – Уфа : БашГУ, 1999.
2. Лубышев, Ф.В. Аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления для параболических уравнений с управлениями в коэффициентах // Докл. РАН, 1996. – Т. 349. – № 5. – С. 598 – 602.
3. Лубышев, Ф.В., Манапова, А.Р. О некоторых аппроксимациях задач оптимального управления коэффициентами квазилинейных эллиптических уравнений // Труды СВМО, 2006. – Т.8. – №1. – С. 250 – 259.
О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ НЕСТАНДАРТНЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В.С. Сизиков
Санкт-Петербургский государственный университет
информационных технологий, механики и оптики (СПбГУ ИТМО),
г. Санкт-Петербург, Россия
В большинстве теоретических исследований и практических приложений рассматриваются интегральные уравнения в стандартной
форме, а именно: уравнения, содержащие ядро, искомую функцию и
правую часть [1]. Методы решения таких уравнений хорошо разработаны [1, 2]. Однако некоторые из уравнений могут быть приведены к
форме, которую мы назовем нестандартной и которая может породить
эффективные методы их решения.
20
Некоторые интегральные уравнения в нестандартной форме.
Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение Абеля [1 – 3]:
R
s
∫
s −x
2
x
0≤ x≤ R,
y ( s) ds = f ( x),
2
(1)
где K ( x, s ) = s s 2 − x 2 – ядро; y (s ) – искомая функция, f (x ) –
правая часть. Уравнение (1) является уравнением, записанным в стандартной форме. Данное уравнение имеет аналитическое решение [2,
с. 98]:
R
2
f ′( x)
.
(2)
dx, 0 ≤ s ≤ R
∫
π s x2 − s2
Однако решение (2) содержит производную f ′(x) от обычно экспериментальной, а значит, зашумленной функции f (x) , а задача чисy( s) = −
ленного дифференцирования зашумленной функции некорректна [1, 2].
Кроме того, интеграл в правой части (2) является несобственным. Поэтому задача вычисления решения (2) не является тривиальной. В работе [3] для вычисления интеграла в (2) предложен метод, использующий
обобщенную квадратурную формулу, а для численного решения уравнения (1) – обобщенный метод квадратур. Эти методы позволяют обойти трудности, связанные с сингулярностями.
В данной работе для численного решения уравнения (1) предлагается иной прием, а именно: приведение уравнения (1) к нестандартной
форме без сингулярности. Для этого введем новую переменную интегрирования: t = s 2 − x 2 . Тогда уравнение (1) запишется в виде
R2 − x 2
∫
0
y
(
x2 + t 2
)
dt = f ( x),
0 ≤ x ≤ R.
(3)
Это – интегральное уравнение I рода в нестандартной форме. Характерные особенности уравнения (3): оно не содержит в явном виде
ядро, искомая функция y зависит от сложного аргумента x 2 + t 2 , уравнение не имеет сингулярности. Уравнениям в нестандартной форме
посвящено мало работ. В работах [4 – 8] рассматривается прикладная
задача малоуглового изотропного рассеяния рентгеновских лучей на
объекте, и непосредственно из физической формулировки задачи получено нестандартное интегральное уравнение типа (3):
21
b2 −θ2
2
∫
J
(θ
2
)
+ α 2 dα = I (θ),
a≤θ≤b
,
(4)
0
где J (θ) – искомая истинная интенсивность (индикатриса) рассеяния
рентгеновских лучей (интенсивность, которая была бы зарегистрирована в случае точечных источника-коллиматора и приемника-детектора),
θ << 1 – угол рассеяния, I (θ) – измеренная интенсивность в случае
щелевых коллиматора и детектора, a = θ min ≥ 0 , b = θ max > 0 . Задача
рассеяния описывается также уравнением [6, 8]:
∞
∫ w( x)
−∞
J
(
q2 + x2
)
где q = (4π λ) sin(θ 2) ;
dx = I (q ),
λ
(5)
− ∞ < q < ∞,
– длина волны; w( x ) =
∞
∫− ∞ g (t ) u ( x − t ) dt ;
g (x ) – распределение интенсивности вдоль щели коллиматора, u (x ) –
распределение чувствительности вдоль щели детектора (известные
функции).
Методы решения интегральных уравнений в нестандартной форме. Для решения уравнения (3) (а также (4) и (5)) предлагается метод
итераций (ср. [7]). Подынтегральная функция в (3) симметрична по x
и t . Кроме того, интегральный оператор Вольтерра в исходном уравнении (1) является положительно-определенным [1]. Поэтому в качестве итерационной схемы можно выбрать метод итераций Фридмана
[1, с. 272]:
y0 ( x) = 0 ,

y l ( x ) = y l −1 ( x ) + ν  f ( x ) −


R2 −x2
∫
y l −1
(
x2 + t2
0
)

dt  ,


где l = 1, 2, 3, … – номер итерации, а множитель
ν
(6)
0 ≤ x ≤ R,
определяется нера-
венством 0 < ν < 2 || A || . Здесь || A || – норма интегрального оператора, в качестве которой используем норму Гильберта–Шмидта [9] применительно к уравнению (1):
R  R s 2
 
 dx 
|| A ||=  ∫  ∫ 2
ds
2
 
 0  0 s − x
 
12
≥R
22
.
В результате
0 < ν < 2 R.
Вопрос о сходимости процесса итераций типа (6) и о выборе числа
итераций рассмотрен в работе [7] (применительно к уравнению (4)).
Там же приведен численный алгоритм реализации схемы типа (6) и
приведено численное решение примера, показавшее целесообразность
использования нестандартного уравнения (3) (или (4)) и эффективность
метода итераций его решения.
В работе [8] для решения уравнения (5) использован метод сплайнов в соединении с регуляризацией, также показавший свою эффективность.
Рассмотренный подход приведения исходного уравнения к нестандартному виду может быть применен для других интегральных, в
первую очередь, сингулярных уравнений.
Библиографический список
1. Верлань, А.Ф., Сизиков, В.С. Интегральные уравнения: методы,
алгоритмы, программы. – Киев : Наук. думка, 1986.
2. Сизиков, В.С. Математические методы обработки результатов
измерений. – СПб. : Политехника, 2001.
3. Сизиков, В.С., Смирнов, А.В., Федоров, Б.А. Численное решение сингулярного интегрального уравнения Абеля обобщенным методом квадратур // Изв. вузов. Математика, 2004. – №8. – С. 62 – 70.
4. Guinier, A., Fournet, G. Small-angle scattering of x-rays. – N.Y. :
Wiley, 1955.
5. Федоров, Б.А. Учет коллимационных искажений при малоугловом рассеянии рентгеновских лучей. Поправка на высоту щелей // Кристаллография. – 1968. – Т.13. – Вып. 5. – С. 763 – 769.
6. Schelten, J., Hossfeld, F. Application of spline functions to the correction of resolution errors in small-angle scattering // J. Appl. Cryst, 1971. –
Vol. 4. – P. 210 – 223.
7. Сизиков, В.С., Смирнов, А.В., Федоров, Б.А. Решение одномерной коллимационной задачи оценки рентгеновского изотропного рассеяния излучения методом итераций // Изв. вузов. Приборостроение,
2005. – Т.48. – №10. – С. 44 – 52.
8. Смирнов, А.В., Сизиков, В.С., Федоров, Б.А. Решение обратной
коллимационной задачи для рентгеновского малоуглового изотропного
23
рассеяния с помощью сплайновых функций // Изв. вузов. Приборостроение, 2006. – Т.49. – №1. – С. 41 – 47.
9. Колмогоров, А.Н., Фомин, С.В. Элементы теории функций и
функционального анализа. Изд. 6-е. – М. : Наука, 1989.
ЕСТЕСТВЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛУГРУПП
ЭНДОМОРФИЗМОВ ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА
В.Г. Шарапов
Волгоградский государственный университет,
г. Волгоград, Россия
Пусть ( M , F , µ ) − пространство Лебега, т. е. вероятностное пространство, метрически изоморфное отрезку [0, 1] с лебеговской σалгеброй и мерой Лебега.
Пусть
{Tα }, α ∈ Λ − конечная или счётная система эндомор-
физмов пространства Лебега, т. е. таких отображений
для которых Tα−1 A ∈ F
и
Tα : M → M ,
µ (Tα−1 A) = µ ( A) ∀A ∈ F
,
α ∈Λ .
{T }
α
Назовём систему
системой образующих полугруппы, если всякий
эндоморфизм полугруппы есть конечное произведение эндоморфизмов
этой системы. Аналогом степени одного эндоморфизма будет произведе-
ние
T ( n ) = Tn Tn −1 … T1 . Назовём последовательность эндоморфизмов
T1 , T2 ,…, Tn ,… эргодической, если ∀A ∈ F положительной меры и
∞
с измеримыми образами выполняется равенство µ  ∪ T ( n ) A  = 1 .
 n=1

Обозначим
ность
T ( − n ) A : = T1−1T2−1 …Tn−1 A . Назовём последователь-
T1 , T2 ,… перемешивающей, если lim µ (T ( − n ) A ∩ B ) = µ ( A) µ ( B ) .
n→ ∞
Назовём последовательность
T1 , T2 ,… точной, если ∀A ∈ F поло-
жительной меры с измеримыми образами
24
lim µ (T ( n ) A) = 1 .
n →∞
Эндоморфизм T называется автоморфизмом, если он взаимно однозначен и T−1 является эндоморфизмом.
Пусть T − эндоморфизм пространства ( M , F , µ ) . Введём пространство ( M 1 , F1 , µ1 ) , где M 1 = M × [0,1) , F1 = F × F[ 0,1) , µ1 = µ × µ[ 0,1) .
Здесь
F[ 0,1) − лебеговская σ-алгебра подмножеств отрезка [0, 1), а
µ[ 0,1) − лебеговская мера на этом отрезке.
Автоморфизм S пространства M1 называется естественным расширением эндоморфизма T пространства M, если существует σподалгебра F0 σ-алгебры F1 , для которой выполняются условия:
∞
1)
S −1F0 ⊂ F0 ; 2) хвостовая σ-подалгебра ∩ S1( − n ) F0 изоморфна
n =0
∞
∞

хвостовой σ-подалгебре ∩ T −n F ; 3) σ  ∪
S n F0  = F1 (здесь
n =0
 n =0

σ (E ) −
σ-алгебра, порождённая классом множеств E).
Если каждому эндоморфизму полугруппы эндоморфизмов поставить в соответствие его естественное расширение, получим группу автоморфизмов, которую будем называть естественным расширением
полугруппы эндоморфизмов, так же, как для одного эндоморфизма эргодические свойства последовательностей эндоморфизмов передаются
последовательностям естественных расширений.
Последовательность эндоморфизмов является точной, если хвостовая σ-алгебра
∞
∩ T1( − n ) F
n =0
является тривиальной, т.е. содержит
только множества меры 0 и 1 [3]. Автоморфизмы, обладающие этим
свойством, называются автоморфизмами Колмогорова, или Кавтоморфизмами. К-автоморфизмы являются перемешивающими [1].
Естественное расширение точной последовательности будем называть
К-последовательностью.
Часто построить группу автоморфизмов с данными эргодическими
свойствами труднее, чем полугруппу эндоморфизмов. Результаты этой
работы позволяют строить группы автоморфизмов (как естественные
расширения) с разными эргодическими свойствами. Построение естественных расширений эндоморфизмов описано в [3].
25
Приведём примеры, показывающие, что эргодические свойства
образующих полугруппы (группы) вообще не определяют эргодические
свойства последовательностей эндоморфизмов (автоморфизмов).
2 x,
0 ≤ x <1 8
,
.
Пусть

0≤ x <1 4
 2 x,

T1 x = 2 x − 1 4 (mod 1), 1 8 ≤ x < 5 8

2 x − 1,
5 8≤ x <1


T2 x =  2 x − 1 2 , 1 4 ≤ x < 3 4
 2 x − 1,
3 4 ≤ x <1

T1 ,T2 − неэргодические эндоморфизмы, T1 , T2 , T1 , T2 ,… − эргодическая последовательность. Ей соответствует эргодическая последовательность
0 ≤ y < 1.
естественных
расширений
S1 , S 2 , S1 , S 2 ,… , где при
 ( 2 x, y 2), 0 ≤ x < 1 8
( 2 x − 1 4 , 1 2 + y 2), 1 8 ≤ x < 1 4 ,

S 1 ( x, y ) = 
 ( 2 x − 1 4 , y 2), 1 4 ≤ x < 5 8
( 2 x − 1, 1 2 + y 2), 5 8 ≤ x < 1
( 2 x, y 2), 0 ≤ x < 1 4
(2 x − 1 2 , 1 2 + y 2), 1 4 ≤ x < 1 2 .

S 2 ( x, y ) = 
 ( 2 x − 1 2 , y 2), 1 2 ≤ x < 3 4
( 2 x − 1, 1 2 + y 2), 3 4 ≤ x < 1
Пусть
0 ≤ x <1 8
 2x + 3 4,

T1 x = 2 x + 1 2 (mod 1), 1 8 ≤ x < 5 8
 2x − 5 4,
5 8 ≤ x <1

,
0≤ x<3 8
 2x +1 4,

T2 x = 2 x − 1 2 (mod1), 3 8 ≤ x < 7 8
 2x − 7 4,
7 8 ≤ x <1

.
Эндоморфизмы
T1 ,T2 точны, последовательность
T1 , T2 , T1 , T2 ,…
∞
неэргодическая, так как если A = [0,1 4) , то lim µ  ∪ T1( n ) A  = 1 2 .
n → ∞  n =1

Следовательно, последовательность К-автоморфизмов S1 , S 2 , S1 , S 2 ,…
неэргодическая. Здесь при 0 ≤ y < 1
26
 ( 2 x + 3 4 , y 2), 0 ≤ x < 1 8
 (2 x + 1 2 , 1 2 + y 2), 1 8 ≤ x < 1 4 ,

S 1 ( x, y ) = 
( 2 x − 1 2 , y 2), 1 4 ≤ x < 5 8
 ( 2 x − 5 4 , 1 2 + y 2), 5 8 ≤ x < 1
( 2 x + 1 4 , y 2), 0 ≤ x < 3 8
 ( 2 x − 1 2 , 1 2 + y 2), 3 8 ≤ x < 3 4 .

S 2 ( x, y ) = 
 ( 2 x − 3 2 , y 2), 3 4 ≤ x < 7 8
 ( 2 x − 7 4 , 1 2 + y 2), 7 8 ≤ x < 1
Пусть
0 ≤ x <1 8
 2x ,

T1 x = 2 x − 1 4 , 1 8 ≤ x < 5 8
 2 x − 1,
5 8 ≤ x <1

Тогда при
,
0≤ x<3 8
 2x ,

T2 x = 2 x − 3 4 , 3 8 ≤ x < 7 8
 2 x − 1,
7 8 ≤ x <1

.
0 ≤ y <1
 ( 2 x , y 2), 0 ≤ x < 1 8
 ( 2 x − 1 4 , 1 2 + y 2), 1 8 ≤ x < 1 4 ,

S 1 ( x, y ) = 
( 2 x − 1 4 , y 2), 1 4 ≤ x < 5 8
 ( 2 x − 1, 1 2 + y 2), 5 8 ≤ x < 1
 ( 2 x , y 2), 0 ≤ x < 3 8
( 2 x − 3 4 , 1 2 + y 2), 3 8 ≤ x < 3 4 .

S 2 ( x, y ) = 
 ( 2 x − 3 4 , y 2), 3 4 ≤ x < 7 8
 ( 2 x − 1, 1 2 + y 2), 7 8 ≤ x < 1
Эндоморфизмы
T1 ,T2
неэргодические,
последовательность
T1,T2,T1,T2,… точна. Следовательно, последовательность S1 , S 2 , S1 , S 2 ,…
есть К-последовательность.
Библиографический список
1. Рохлин, В.А., Лекции по энтропийной теории преобразований //
УМН, 1967. – Т. 22. – Вып. 5. – С. 3 − 65.
2. Шарапов, В.Г., Эргодические свойства полугрупп эндоморфизмов пространства Лебега // Узбекский математ. ж. – 1991. – №6. –
С. 56 − 62.
3. Шарапов, В.Г., Измеримые разбиения и естественные расширения эндоморфизмов пространства Лебега // Труды СВМО. – 2006. –
Т. 8.
27
ОБ ОДНОМ ПРИБЛИЖЕННОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ
СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫХ СЛУЧАЯХ С КОМПЛЕКСНО
СОПРЯЖЕННЫМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Н.Ю. Кудряшова
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
При решении многих задач теории упругости, физики, аэродинамики, гравиметрии и других приходится сталкиваться с сингулярными
интегральными уравнениями (СИУ). В связи с тем, что точные решения
известны только для очень немногих классов СИУ, возникает необходимость в разработке численных методов решения СИУ. Приближенным методам вычисления сингулярных интегралов и решения СИУ
посвящены многочисленные работы, среди которых, в первую очередь,
следует указать монографии [2, 3].
Рассмотрим СИУ
a1 (t ) x(t ) + a2 (t ) x (t ) +
b1 (t ) x(τ )
b (t ) x (τ )
dτ + 2 ∫
dτ +
∫
πi γ τ − t
πi γ τ − t
(1)
+ ∫ h1 (t ,τ ) x(τ )dτ + ∫ h2 (t ,τ ) x (τ )dτ = f (t ), t ∈ γ ,
γ
γ
где функции a 2p (t ) − bp2 (t ); p = 1, 2, могут обращаться в нуль на множествах с мерой большей нуля; γ -единичная окружность с центром в
начале координат на комплексной плоскости. Будем предполагать, что
a1 (t ), a 2 (t ), b1 (t ), b2 (t ), x (t ), x (t ) ∈ H α . Перейдем с помощью преоб-
разования Гильберта [1] от уравнения (1) к следующему уравнению
a1 (e is ) x(e is ) + a2 (e is ) x (e − is ) −
−
ib1 (e is ) 2π iσ
σ −s
∫ x(e )ctg 2 dσ −
2π 0
(2)
ib2 (e is ) 2π − iσ
b (e is ) 2π iσ
b (e is ) 2π − iσ
σ −s
x(e )ctg
dσ + + 1
x (e )dσ + 2
∫
∫
∫ x(e )dσ +
2π 0
2
2π 0
2π 0
2π
2π
0
0
+ i ∫ h1 (e is , e iσ ) x(eiσ )dσ + i ∫ h2 (e is , e iσ ) x (e − iσ )dσ = f (e is ),0 ≤ s < 2π .
Введем обозначения a (e is ) = a ( s ) + ia ( s ),
p
p1
p2
h p (eis , e iσ ) = h p1 ( s,σ ) + ih p 2 ( s,σ ),
p=1,2,
28
b p (e is ) = b p1 ( s ) + ib p 2 ( s ),
x (e is ) = x1 ( s ) + ix 2 ( s ),
x (e −is ) = x1 ( s ) − ix2 ( s) . Приравнивая отдельно действительные и мнимые
части в уравнении (2) и вводя обозначения A11 ( s) = a11 ( s) + a21 ( s ),
A12 ( s ) = a22 ( s) − a12 ( s),
B11 ( s) = b12 ( s) + b22 (s),
B12 ( s) = b11 (s ) − b21 ( s ),
b (s)
H11(s,σ ) = 11 + h11(s,σ ) + h21(s,σ ),
2π
B22 ( s) = b12 ( s) − b22 ( s),
H 21 ( s,σ ) =
A22 ( s) = a11 ( s) − a21 ( s),
A21 ( s ) = a12 ( s) + a 22 ( s ),
b12 (s )
+ h12 ( s,σ ) + h22 ( s,σ ),
2π
H 22 ( s, σ ) = −
B21 ( s ) = −b11 ( s ) − b21 ( s ),
H12 (s,σ ) =
b21 (s)
+ h22 ( s,σ ) − h12 (s,σ ),
2π
b22 ( s )
+ h11 ( s, σ ) − h21 ( s, σ ),
2π
получим
систему уравнений
Ap1 ( s ) x1 ( s ) + Ap 2 ( s ) x2 ( s ) +
+
B p 2 ( s ) 2π
2π
∫ x2 (σ )ctg
σ −s
0
2
B p1 ( s ) 2π
∫ x1 (σ )ctg
2π
σ −s
2
0
2π
dσ +
(3)
2π
dσ + ∫ H p1 ( s, σ ) x1 (σ )dσ + ∫ H p 2 ( s, σ ) x2 (σ )dσ =
0
0
p = 1,2, 0 ≤ s < 2π .
= f p ( s ),
Построим вычислительную схему для приближенного решения
системы (3).
Выберем две системы узлов s = πk , s* = πk + h, 0 < h < π , k = 0,...,n.
k
k
n
Решение
xn( p ) ( s) =
будем
2 n−1
2n
в
виде
p = 1,2, где ψ k ( s) = 0, s =
∑ ak( p)ψ k (s),
k =0
гулярного интеграла
n
искать
j ≠ k , . Для синs = sk*
 1,
2π
σ −s
∫ x(σ )ctg 2 dσ
полиномов
s *j ,
построим две квадратурные
0
формулы:
2π
∫ x(σ )ctg
σ −s
0
2π
∫ x(σ )ctg
0
σ −s
2
2
dσ =
dσ =
2 n −1
∑
sk +1
∫
x ( sk* )
k = 0,
k ≠ j −1, j +1
2n−1
sk +1
k =0,
k ≠ j −1, j , j +1
sk
∑ x(sk* ) ∫ ctg
ctg
σ −s
sk
σ −s
2
dσ + x(s*j )
2
dσ + Rn(1) ,
s j +2
∫ ctg
s j −1
σ −s
2
dσ + Rn(2) .
(4)
(5)
Заменим первый сингулярный интеграл в первом уравнении и второй сингулярный интеграл во втором уравнении системы (3) квадратурной формулой (4), а второй сингулярный интеграл в первом уравнении и первый сингулярный интеграл во втором уравнении по квадра29
турной формуле (5). Регулярные интегралы заменим квадратурной
формулой прямоугольников. К системе (3) применим метод коллокации по узлам s k* , k = 0,...,2n − 1. Получим
2
∑
p =1
+
A1 p ( s *j ) x p ( s *j ) +
2
∑ A2 p ( s*j ) x p (s*j ) +
p =1
π
2
n
2 n −1
x1 ( s k*
k = 0,
k ≠ j − 1, j + 1
∑
s k +1
)
∫
ctg
σ − s *j
2
sk
dσ +

+


2 n −1
∑ ∑
p =1 k = 0
H 1 p ( s *j , s k* ) x p ( s k* ) = f 1 ( s *j ),

s j+2
s k +1
B21 ( s *j )  2 n −1
σ −s
σ − s 
*
dσ + x1 ( s *j ) ∫ ctg
dσ +
 ∑ x1 ( sk ) ∫ ctg

2π  k = 0,
2
2
sk
s j −1

 k ≠ j −1, j , j +1
+
π
2π

s j+2
s k +1
2 n −1
B12 ( s *j ) 
σ −s
σ −s

∑ x 2 ( s k* ) ∫ ctg 2 d σ + x 2 ( s *j ) ∫ ctg 2 d σ
2π
k
=
0
,
sk
s j −1
 k ≠ j − 1, j , j + 1

+
+
B11 ( s *j )
B22 ( s *j )
2π
2 n −1
s k +1
∑ x2 (sk* ) ∫
k = 0,
k ≠ j −1, j +1
ctg
sk
σ − s *j
2
dσ +
2 2 n −1
H 2 p ( s*j , sk* ) x p ( sk* ) = f 2 ( s*j ), j = 0,...,2n − 1.
∑
∑
n
(6)
p =1 k = 0
Пользуясь теоремой Адамара, нетрудно убедиться, что выбором
параметра h можно добиться того, чтобы система (6) была однозначно
разрешима. Справедливы оценки погрешности квадратурных формул
(4) и (5):
Rn(1) ≤
A
A
( 2)
ln n, Rn ≤ α ln n.
α
n
n
Теорема. Пусть уравнение (2) имеет единственное решение
x ( s ) = x1 ( s ) + ix2 ( s) ∈ H α , 0 < α ≤ 1 , и пусть ap(s), b p ( s ), f p ( s ) ∈ H α ,
*
p = 1,2 . Тогда существуют такие значения h, что система (6) имеет
единственное решение
x * − xn* ≤ 2 A
xn* ( s ) = xn(1) ( s ) + ixn(2) ( s ),
и справедлива оценка
3
ln n
.
nα
Библиографический список
1. Гахов, Ф.Д., Черский, Ю.И. Уравнения типа свертки. – М. :
Наука, 1978. – 296 с.
2. Лифанов, И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и
численный эксперимент. – М. : ТОО «Янус», 1995. – 520 с.
30
3. Бойков, И.В. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений. – Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2004. – 316 с.
О СТАБИЛИЗАЦИИ ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙ
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Е.В. Десяев
Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарева,
г. Саранск, Россия
Рассмотрим управляемую динамическую систему, движение которой может быть описано обыкновенным дифференциальным уравнением, приведенным к нормальному виду:
dy
(1)
= F (t , y, v).
dt
Здесь вектор y характеризует состояние динамической системы, а
вектор v – управляющее воздействие, приложенное к рассматриваемому объекту.
Рассмотрим программное движение системы, порождаемое управлением
v 0 . Этому движению соответствует частное решение
y = ϕ (t ) .
Будем называть это движение невозмущенным. Возмущенное движение системы, с которым сравнивается невозмущенное движение, также
описывается уравнением (1), но при значениях
тора
v(t ) , отличных от век-
v0 .
Составим уравнение возмущенного движения, сделав в системе (1)
замену переменных по формулам
x = y − ϕ (t ), u = v − v 0 ,
где x – возмущенное движение, u – отклонение управляющего воздействия от вектора v 0 .
Тогда система (1) примет вид:
dx
= X (t , x, u ) = F (t , x + ϕ (t ), u + v 0 ) − F (t , ϕ (t ), v 0 ) .
dt
31
(2)
Причем X (t ,0,0) = 0 , следовательно, система (2) допускает тривиальное решение x = 0 при управлении u = 0 [1].
Задача о стабилизации [1]. Требуется найти такое управляющее
воздействие u (t , x) , которое обеспечивает либо устойчивость, либо
асимптотическую устойчивость невозмущенного движения x = 0
в силу уравнения (1).
Реальной основой для сформулированной задачи является следующая ситуация [1]. Предполагается, что в ходе регулирования можно
измерять текущие значения всех координат x s (t ) ( s = 1....n ) вектора
x . На основе этого измерения управляющее устройство должно вырабатывать воздействия u j (t , x1 (t ), … , x n (t )) ( j = 1… r ) на объект, где
uj
– координаты вектора
u . Эти воздействия должны обеспечивать
либо устойчивость, либо асимптотическую устойчивость заданного
невозмущенного движения x = 0 .
Будем предполагать, что функции u j (t , x1 (t ), … , x n (t )) должны
быть определены и непрерывны в области
t ≥ 0, x s < H ( s = 1… n) ,
(3)
x s , являющиеся правыми частями уравнения (2).
Кроме того, примем, что функции x s и u j удовлетворяют усло-
где заданы функции
виям, которые обеспечивают существование и единственность решений
xs
при любых начальных условиях
считать,
что
функции
xs
t 0 , x s (t 0 ) из области (3). Будем
определены
для
всех
значений
− ∞ < u j < +∞ ( j = 1… r ).
Рассмотрим задачу о стабилизации для уравнения вида
xɺ = Ax + Bu + f ( x),
где A– матрица ( n × n ); B – матрица ( n × m) ;
(
)
(4)
f ∈ C(R n , R n ) ,
u ∈ C [T ,+∞ ), R n .
Причем отклонение управляющего воздействия будет иметь вид
u = C (t ) x , где C (t ) − (m × n) непрерывная матрица, T ≤ t < +∞ .
32
Уравнениями такого вида описываются многие механические системы, в частности, рассмотренное в работе [2] движение космического
аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации L1.
Для решения этой задачи применим теорему из [1], наложив новые
ограничения на функцию f (x) .
Теорема. Если уравнение
dz
= ( A + BC )z ,
dt
имеет устойчивое состояние равновесия,
(5)
+∞
∫Z
−1
( s ) ds < +∞
, где Z(t) –
T
фундаментальная матрица уравнения (5). Функция
f (x) удовлетворя-
f ( x ) ≤ ϕ ( x ) x , где ϕ ( x ) ≤ M , ϕ ( x ) → 0 при
x → 0 . Тогда состояние равновесия x = 0 уравнения (4) устойчиво по
ет неравенству
Ляпунову.
Доказательство. Так как Z (t ) ≤ C 0 , T ≤ t ≤ +∞ , то, применяя
формулу Лагранжа для уравнения (4), получим
x(t ) ≤ Z (t ) x0 + Z (t )
t
∫Z
t0
−1
t
(s) ϕ( x(s) ) x(s) ds ≤ C0 x0 + C0 M ∫ Z −1 (s) x(s) ds
,
(6)
t0
t ≥ t0 ≥ T .
Тогда из (6) на основании неравенства Гронуолла–Беллмана будем
иметь
+∞

.
x (t ) ≤ C 0 x 0 exp C 0 M ∫ Z −1 ( s ) ds 


t0


Отсюда следует устойчивость решения x = 0 для уравнения (4).
Доказательство закончено.
Ограничения, введенные на функцию f (x) , являются, конечно, не
единственными. Могут быть и другие виды малости.
Библиографический список
1. Воскресенский, Е.В. Оптимальная стабилизация программного
движения // Труды Средневолжского математического общества, 2003. –
Т.5. – №1. – С. 12 – 30.
2. Десяев, Е.В. Постановка задачи о стабилизации управляемого орбитального движения космического аппарата в окрестности коллинеарной
33
точки либрации L1 // Труды Средневолжского математического общества,
2006. – Т.8. – №1. – С. 208 – 211.
СИНГУЛЯРНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С МАТРИЦЕЙ И ФРЕДГОЛЬМОВЫМ
ОПЕРАТОРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ В БАНАХОВЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ
О.В. Коробова
Институт математики, экономики и информатики ИГУ,
г. Иркутск, Россия
Рассматривается сингулярная система дифференциальных уравнений
MB
du
= KAu (t ) + f (t )
dt
(1)
с начальными условиями
u (0) = u0 ,
(2)
где B, A – замкнутые линейные операторы из
E1 в E2 ; E1 , E2 – бана-
D( A) = D( B ) = E1 ,
D( A) ⊂ D( B ) ; М, K– матрицы размерности S × S ; u (t ) – S -мерная
ховы пространства; оператор В фредгольмов;
вектор-функция,
f (t ) – S – мерная достаточно гладкая вектор-
функция; u 0 ∈ C ( R
n
) . Пусть выполнено условие.
Оператор В имеет полный λl A -жорданов набор {λlj −1ϕi( j ) , i = 1, n, j = 1, pi },
оператор В* имеет
λl A * -жорданов
ϕ i , i = 1, n -базис в N(B), ψ i , i = 1, n
набор 
;
1
( j)
 ( pi − j +1) ψ i , i = 1, n, j = 1, pi 
 λl

– базис в N(B*).
Подстановкой u = Qv и умножением на P слева (P и Q – невырожденные матрицы) система (1) приводится к виду
E
B q
 0
где g (t )
q [1].
0  dv
L

= A
0  dt
0
0 
v (t ) + g (t ) ,
ES − q 
(3)
= Pf (t ) , q = rankM , L – некоторая матрица размерности
34
Решение системы (3) сводится к решению системы
dv
= ALv (t ) + g (t ) ,
dt
v (0) = v0 ,
B
(4)
(5)
 v1 (t ) 


где v (t ) =  ...  , и решению уравнений
 v (t ) 
 q 
0 = Avs (t ) + g s (t ) , s = q + 1, S .
(6)
Пусть оператор А имеет ограниченный обратный
Тогда уравнения (6) имеют решения
A−1 : E2 → E1 .
vs (t ) = − A−1 g s (t ) , s = q + 1, S .
Если оператор А не имеет обратного оператора, то тогда существует ΓA – оператор Шмидта, и решения уравнений (6) имеют вид
I
vs (t ) = −ΓA g s (t ) + ∑ ciν i
при
условии
i =1
νi
I
1
(− g s , µi ) = 0 ,
где
∈ N ( A) , µi 1I ∈ N ( A∗ ) .
Рассмотрим систему (4) с начальным условием (5). Пусть матрица
L имеет q собственных чисел λ1 ,..., λq . Для матрицы К существует
матрица C такая, что
C −1KC = diag (λ1 ,..., λq ) . С помощью замены
Cx = v и умножением слева на C −1 система (4) приводится к виду:
dx
B
= Adiag (λ1 ,..., λq ) x (t ) + h (t ) ,
(7)
dt
−1
где C g (t ) = h (t ) .
Система (7) расщепляется на q дифференциальных уравнений вида
B
dxl
= λl Axl (t ) + hl (t ) , l = 1, q
dt
(8)
с начальными условиями
xl (0) = xl 0 .
(9)
35
Обобщенное решение задачи (8)-(9) строится с помощью фундаментальных оператор-функций, которые соответствуют этим уравнениям.
Задачу Коши (8)-(9) в обобщенных функциях [2] можно переписать в виде сверточного уравнения относительно ~
xl (t ) ∈ K +′ ( E2 ) :
( Bδ ′(t ) − λl Aδ (t )) ∗ ~
xl = hl (t )θ (t ) + Bxl 0 δ (t ) , l = 1, q. (10)
Решением каждого сверточного уравнения (10) является функция
~
xl (t ) = ε l (t ) ∗ (hl (t )θ (t ) + Bxl 0 δ (t )) , l = 1, q,
(11)
ε l (t ) –фундаментальная оператор-функция дифференциального
оператора ( Bδ ′(t ) − λl Aδ (t )) на классе K +′ ( E 2 ) .
где
По теореме 1 из [3] дифференциальный оператор первого порядка
( Bδ ′(t ) − λl Aδ (t )) на классе K +′ ( E2 ) имеет фундаментальную оператор-функцию

n
pi

ε l (t ) = Γe λ AΓt  I − ∑∑ ⋅,ψ i( j ) Aϕ i( p − j +1) θ (t ) −
l
i


i =1 j =1
 


− ∑  ∑  ∑ ⋅,ψ i( j ) λl−k −1ϕ i( pi −k +1− j ) δ ( k ) (t ) , l = 1, q.
i =1 


 k =0  j =1
pi −1
n
pi − k
Теорема. Если оператор В фредгольмов и выполнено условие I, то
задача Коши (8)-(9) имеет обобщенное решение класса K +′ ( E1 ) вида
(11), или в развернутой форме
n  p i −1 k


v~l (t ) = −∑  ∑ ∑ cij λkl − jϕi( k +1− j ) δ ( pi −1− k ) (t ) + ( xl 0 +
i =1 


 k =1  j =1
pi
n
∑∑ c λ
i =1 j =1
t
+ ∫ Γe
0
ϕi( p +1− j ) +
pi − j
ij l
λl AΓ ( t −τ )
i
n
pi
( I − ∑∑ ⋅,ψ i( j ) Aϕi( pi +1− j ) )
i =1 j =1
n
pi
⋅ (λl Axl 0 + hl (τ ))dτ + + ∑∑ ξij (t )λlj −1ϕi( j ) )θ (t ) .
i =1 j =1
36
Здесь
cij = −
−
1
λ
pi
l
1
λl Axl + hl (0),ψ i( j ) −
λ
p i +1− j
l
0
1
λ
pi − j + 2
l
hl′(0),ψ i( j −1) − ...
hl( j −1) (0),ψ i(1) ,
pi − j
ξij (t ) = − ∑
k =0
1
λ
k+ j
l
hl( k ) (t ) − hl( k ) (0),ψ i( pi − k +1− j ) ,
i = 1, n, j = 1, pi .
Следствие. Если потребовать, чтобы сингулярные составляющие
обобщенных решений
v~l (t ) обратились в нуль, т.е. cij = 0 , то тогда
обобщенное решение совпадает с классическим (непрерывным).
Замечание. Полученные результаты можно обобщить на случай,
когда оператор В нетеров, а также, когда оператор А спектрально ограничен относительно В.
Библиографический список
1. Бояринцев, Ю.Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. – Новосибирск : Наука, 1988.
2. Владимиров, В.С. Уравнения математической физики. – М. :
Наука, 1981.
3. Фалалеев, М.В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах // Сиб.
мат. журнал. – 2000. – Т.41. – №5. – С. 1167 – 1182.
УРАВНЕНИЕ ТУРБУЛЕНТНОЙ ДИФФУЗИИ ПРИМЕСЕЙ
А.П. Седова
Северо-Западный государственный заочный технический университет,
г. Санкт-Петербург, Россия
Изменение содержание примесей во времени и пространстве описывается уравнением переноса примесей [1, 2]. При ламинарном движении массовая концентрация q может изменяться в движущемся объеме воздуха только под влиянием молекулярного обмена:
37
∂q
= Ε M,
∂t
(1)
где Ε M – молекулярный приток примеси к 1 кг воздуха за 1 с; dq/dt –
полная производная от q по времени t, характеризующая изменение q в
движущемся с воздушным потоком объеме воздуха.
Воспользуемся выражением для полной производной
dq ∂q
∂q
∂q
∂q
=
+u
+ν
+w
,
(2)
dt ∂t
∂y
∂x
∂z
где ∂q ∂t – локальная производная от q по t, характеризующая изменение q во времени в неподвижной точке пространства; u, v, w –
проекции мгновенной скорости движения частицы на оси x, y, z прямоугольной системы координат.
Используем уравнение неразрывности
∂ρ ∂ρu ∂ρv ∂ρw
+
+
+
=0,
∂z
∂t ∂x ∂y
(3)
где p – плотность воздуха.
При сложении уравнений (1) и (3) получим уравнение (4) , где
с=pq – объемная концентрация примесей.
∂с ∂uc ∂vc ∂wc
+
+
+
=Ем
∂t ∂x ∂y
∂z
(4)
Вследствие того, что частицы воздуха имеют некоторую одинаковую среднюю скорость переноса, составляющие u, v, w мгновенной
скорости могут быть представлены в виде сумм
/
u= u +u ; v =
/
/
v +v / ; w= w +w / ; с= с +c / ,
(5)
/
где u , v , w – составляющие пульсационной скорости движения; с –
мгновенная концентрация примеси.
Вставим выражения (5) в уравнение (4) и усредним его с учетом
известных свойств операции осреднения, где среднее значение пульсаций равно нулю. Получаем уравнение переноса примеси в турбулентной атмосфере:
38
∂ с ∂uc ∂ vc ∂ wc  ∂u / c / ∂ v / c / ∂ w / c /
+
+
+
=+
+
 ∂x
∂t ∂x ∂y
∂z
∂
∂z
y


 + ЕМ.


(6)
Средние значения произведений пульсации объемной концентрации на проекции пульсационной скорости движения частиц представляют собой составляющие турбулентного потока примеси (Q).
/
/
/
/
/
/
Qx= u c , Qy= v c , Qz= w c .
(7)
Удельный приток примеси ε связан с потоком Q соотношением
ε =-
1
ρ
divQ.
(8)
Запишем уравнение (8) в развернутом виде подставив выражения
(7) и найдем ρε – абсолютный приток примеси.
∂Q y ∂Q z

=-  ∂Q x +
+
 ∂x
∂y
∂z

 =-  ∂u / c / ∂ v / c / ∂ w / c /  .
(9)

 
+
+
∂y
∂z 
  ∂x
При решении прикладных задач часто используется полуэмпирическая теория турбулентности, где коэффициент турбулентности к является характеристикой интенсивности перемешивания (к – теория).
Пусть на некотором уровне z средняя удельная концентрация при-
ρε
меси, тогда на близко расположенном расстоянии z+ ∆ z равна
q + ∆q .
Наиболее часто в реальных условиях наблюдается убывание концентрации примеси с высотой
∆ q <0, однако в отдельных слоях возможно
∆ q >0. При перемешивании турбулентные частицы,
и возрастание
движущиеся вверх, переносят массу примеси, пропорциональную
частицы, которые движутся вниз – массу пропорциональную
q, а
q + ∆q .
Таким образом,
Qz=-pkz
∆q
,
∆z
(10)
где kz – вертикальный коэффициент турбулентности, pkz – вертикальный коэффициент турбулентного обмена. Таким образом, Qz>0 при
39
вертикальном градиенте -
∆q
∆q
>0, а производная
<0, и Qz<0 при ∆z
∆z
∆q
∆q
<0 и
>0.
∆z
∆z
Составляющие турбулентного потока примеси по горизонтальным
осям x и y будут иметь вид
Qx=-pkx
∆ q Q =-pk ∆ q
,
y
y
,
∆y
∆x
(11)
где kx и ky – горизонтальные коэффициенты турбулентности. Принято
считать, что kx= ky= kz.
Вводим в уравнение (6) среднюю удельную концентрацию примеси
q , связанную с объемной концентрацией соотношением с =p q ,
учитываем уравнение неразрывности (3) с осредненным движением и с
учетом выражений (10), (11) и (9) запишем уравнение переноса примеси в турбулентной атмосфере:
 ∂q
∂q
∂q
∂q  ∂
∂q ∂
∂q ∂
∂q
q
+u
+v
+ w  =
ρ kx
+ ρky
+ ρ kz
− ρ + EM ,
τ
∂x
∂y
∂z  ∂x
∂x ∂y
∂y ∂z
∂z
 ∂t
ρ 
где
(12)
τ
– время релаксации (время жизни частиц).
В связи с тем, что kx и ky известны лишь приближенно, а kz с высотой превышает изменение р, то в уравнении (12) пренебрегают зависимостью р полагая, что kx= ky= kz. Путём увеличения коэффициентов
турбулентности на некоторую малую величину, близкую к коэффициенту молекулярной вязкости. Знак осреднения над величинами опущен,
так как далее рассматриваются только их средние значения. Перепишем уравнение переноса примеси в турбулентной атмосфере (уравнение турбулентной диффузии примесей) в следующем виде:
 ∂ 2q ∂ 2q  ∂
 ∂q
∂q
∂q 
∂q q
∂q
= − u
+ v  − w + k z  2 + 2  + k z
−
∂t
∂
∂
x
y
∂
z
∂
z
∂z τ
x
y
∂
∂




Библиографический список
1. Владимиров, А.М., Ляхин, Ю.И., Матвеев, Л.Т., Орлов, В.Г.
Охрана окружающей среды. – Ленинград : Гидрометиздат, 1991. – 424
с.
2. www.Geomod.rsu.ru
40
ПРИМЕНЕНИЕ СМЕШАННЫХ СХЕМ МКЭ ДЛЯ РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ
М.М. Карчевский, А.Е. Федотов
Казанский государственный университет,
г. Казань, Россия
Рассматривается плоская стационарная задача фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному закону фильтрации с предельным градиентом [1], [2]:
v = − g ( ∇u ) ∇u
−1
∇u ,
где v - поле скоростей фильтрации; u - поле давлений жидкости. Изучается фильтрация в области Ω ⊂ R 2 с липшиц-непрерывной границей
Γ , на которой давление считается равным нулю, при наличии внутренних источников плотности f (x ) в Ω .
Иными словами, решается краевая задача
 g ( ∇u )

− div 
∇u  = f ( x), x ∈ Ω,
 ∇u



u ( x) = 0, x ∈ Γ.
Считаем, что функция
(1)
(2)
g , определяющая закон фильтрации, имеет
вид
0,
s < s0 ,

g (s) =  ∗
 g ( s − s 0 ), s ≥ s 0 ,
где s 0 ≥ 0 - заданное число, называемое предельным градиентом
сдвига. Уравнение (1) вырождается при
∇u ≤ s0 . Области, в которых
выполнено это условие, называются застойными зонами. Скорость
фильтрации в этих зонах обращается в нуль.
∗
Относительно функции g : [0,+∞) →
полненными условия:
g ∗ (0) = 0, g ∗ ( s ) > g ∗ (t ) ∀s > t ≥ 0;
R 1 предполагаются вы-
∃k > 0, s ∗ ≥ 0 : g ∗ ( s ∗ ) ≥ ks ∗ , g ∗ ( s ) − g ∗ (t ) ≥ k ( s − t ) ∀s ≥ t ≥ s∗ ;
∃L > 0 : g ∗ ( s ) − g ∗ (t ) ≤ L ( s − t ) ∀s ≥ t ≥ 0.
41
Интересен случай, когда в качестве функции плотности источников f (x ) рассматривается функция qδ (x) , где δ (x ) есть δ функция, сосредоточенная в начале координат. Это соответствует задаче с точечным источником интенсивности q . Предполагается, что
начало координат принадлежит
Определим по функции
Ω.
g оператор G ( R n ) → R n :
 g ( y ) y −1 y y ≠ 0;
Gy = 

0
y = 0.
Под обобщённым решением задачи (1),(2), следуя [2], будем понимать функцию v ∈W1 (Ω) , удовлетворяющую интегральному тождеству
∞
(3)
∫ (G(∇v( x)), ∇η ( x))dx = qδ (0) ∀η ∈ C0 (Ω) .
1
Ω
Существование решения этой задачи доказано в [2] на основе
представления его в виде v = v r + u , где u - функция из W2 (Ω) такая, что
∞
∫ (G (∇(vr + vΓ + u )) − G (∇vr ), ∇η )dx = 0 ∀η ∈ C 0 (Ω),
1
Ω
u ( x ) = − v r ( x ) ∀x ∈ Γ ,
v r - решение задачи (3) для круга Br = {x ∈ R n : x < r ⊃ Ω}.
Смешанная схема конечных элементов для задачи (3) принимает
вид (см. [3])
Ah (u h ) = 0 ,
(4)
где оператор
Ah определяется соотношениями:
Ah uh ⋅ vh = ∫ ( G (∇vr + ɶjh (uh )) − G (∇vr ), jh (vh ) ) dx ∀uh , vh ∈ M h ;
Ω
∫
ν
Ω
ɶjh (uh ) ⋅ qh dx + uh div qh dx = − vr qh ⋅ν dx ∀qh ∈ N h ;
∫
∫
Ω
Ω
- внешняя нормаль к
N h = {qh ∈ H (div ,Ω ) : qh
K
Γ ; M h = {vh ∈ L2 (Ω) : vh K ∈ Pk ( K ) ∀K ∈ Τh } ; ,
∈ RTk ( K ) ∀K ∈ Τh } ;
Τh - правильная регу-
лярная триангуляция.
Введём в рассмотрение конечномерные операторы
42
Сh vh ⋅ qh = ∫ vh div qh dx, Bh uh ⋅ vh = h −2ChT Сh ∀uh , vh ∈ M h , qh ∈ N h .
Ω
Для решения задачи (4) будем использовать итерационный метод
(см. [3]):
Bh
u hk +1 − u hk
τ
+ Ah u hk = 0, k = 0,1,2,… .
(5)
∗
Условия, налагаемые на функцию g , обеспечивают сходимость
потока (скорости фильтрации) при применении предлагаемого итерационного метода.
Решение задачи с использованием метода (5) удобно искать сначала на достаточно крупной сетке, грубо определяя расположение застойных зон, т. е. выделяя подобласти, в которых решение изменяется
достаточно мало, а затем уточнять положение застойных зон, решая
соответствующие задачи в этих подобластях на существенно более
мелкой сетке.
При численных экспериментах в квадратной
области
Ω = [0,1] × [0,1] с точечным источником в центре такой подход после
исключения симметричных подобластей позволил сократить время вычисления примерно в десять раз.
На рисунке изображены границы застойной области, полученные с
использованием итерационного метода (5) на мелкой сетке (пунктир) и
крупной сетке с последующим её измельчением в подобластях (сплошная
линия). При вычислениях полагалось, что q = 1 , s0 = 1, 7, и применялись
простейшие элементы Равьяра - Тома при k = 1 . Границы застойных
зон строились как линии, определяемые уравнением
43
j h (u h ) = s 0 .
Библиографический список
1. Карчевский, М.М., Ляшко, А.Д. О решении некоторых нелинейных задач теории фильтрации // Известия вузов. Математика. - 1975. №6. – С. 73 – 81.
2. Задворнов, О.А. Исследование нелинейной стационарной задачи
фильтрации при наличии точечного источника// Известия вузов. Математика. – 2005. – № 1. – С. 58 – 63.
3. Карчевский, М.М., Федотов, А.Е. Смешанный метод конечных
элементов для вырождающихся эллиптических уравнений// Учёные
записки Казанского государственного университета. - 2005. – Т. 147. –
Кн. 2. – С. 127 – 140.
КОЛЛОКАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ
ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Е.Г. Романова
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
Многие задачи теории упругости [1], аэродинамики [2], математической теории трещин [3] и т. д. приводят к необходимости вычисления гиперсингулярных интегральных уравнений. В статье предложен и обоснован сплайн-коллокационный метод решения таких уравнений.
Рассмотрим линейное интегральное уравнение
Kx ≡ a (t ) x(t ) +
b(t )
1
x(τ )
∫
π −1 (τ − t ) p
dτ +
1
∫
h(t ,τ ) x (τ ) dτ = f (t ),
(1)
−1
где t ∈ (−1, 1), p >1, p – целое число. Интеграл в уравнении (1) понимается как интеграл Адамара [4].
Будем предполагать, что функции
a (t ), b(t )
и
производные до r -го порядка по всем переменным и r >
f (t )
имеют
p − 1.
Построим вычислительную схему приближенного решения уравнения (1). Разделим сегмент [-1,1] на n частей точками t k = −1 + 2k n ,
∆k
сегменты ∆k =[tk , tk+1], k =0,1,…, n −1.
Введем узлы t = t + jh (r + 1) , j = 1, 2, …, r; k = 0, 1,…, n − 1 и h = 2 n. В кажkj
k
k = 0, 1,…, n − 1.
Обозначим через
44
∆k
Lr ( x, ∆ k ) , интерполирующий
функцию x(t) по узлам t kj , j = 1, 2, …, r ; k = 0, 1,…, n − 1 . Полином
дом сегменте
построим полином
имеет вид L ( x, ∆ ) =
r
k
r
∑ x (t kj ) ψ kj (t ),
где
ψ kj (t ) −
фундаменталь-
j =1
ный полином по узлам t kj , j = 1, 2, …, r ; k = 0, 1,…, n − 1. Сплайн,
составленный из полиномов Lr ( x, ∆ k ), k = 0, 1,…, n − 1 , обозначим
через xn (t ) . Каждому узлу
t kj
поставим в соответствие сегмент
∆ kj = [t kj − qh* , t kj + h* ], где h* (0 < h* < h / (r + 1)) и q – специальным образом, подобранные параметры.
Приближенное решение уравнения (1) будем искать в виде сплайна xn (t ) , составленного из полиномов Lr ( x, ∆ k ) со значениями
x = x (t ) , j = 1, 2, … , r ; k = 0, 1,… , n − 1, определяемыми из системы линейkj
kj
ных алгебраических уравнений вида
b(t kj )
b(t kj )
xn (τ )
K n x ≡ a (t kj ) xkj +
dτ +
∫
p
π ∆ kj (τ − t kj )
π
+
x (τ )
n −1
n
dτ +
∑' ∫
(
−
t kj ) p
τ
i =0 ∆i
n −1
∑ h (tkj ,τ ) xn (τ ) dτ =
i =0
(2)
f (t kj ),
j = 1, 2, …, r ; k = 0, 1,…, n − 1 , где ∑ ' означает суммирование по i ≠ k
-1, k, k+1.
Для обоснования вычислительной схемы (2) обозначим через
S n (t )
множество сплайнов вида
xn (t ) , построенных выше. Каждому
→
сплайну xn (t ) поставим в соответствии вектор X N = ( x1 , x 2 ,… , x N ), N = rn,
где
x v , v = 1, 2, … , N значение сплайна xn (t )
в соответствующем
узле xkj , k = 0,…, n − 1; j = 1, 2, …, r. Соответствие между сплайнами
→
xn (t )
и векторами
XN
может быть построено различными способа-
ми.
45
→
Обозначим через X N пространство векторов
X N с нормой
→
|| X N ||= max k x k . Обоснование разрешимости вычислительной схемы
будем проводить в пространстве X N .
Показано, что за счeт выбора параметров q и h* можно добиться
выполнения условий теоремы Адамара об обратимости матриц [5], и
*
тогда система (2) имеет единственное решение xn .
Оценим погрешность замены сингулярного интеграла в уравнении
(1) квадратурной формулой. Пусть уравнение (1) имеет единственное
*
решение x (t ). Обозначим через Pn оператор, ставящий в соответствие функции
t kj ,
x(t )
интерполяционный сплайн
xn (t )
по узлам
k = 0, 1,… , n − 1; j = 1,… , 2n − 1. Тогда
xn* − Pn x* = Kn−1(Kn (xn* − Pn x*)) = Kn−1(Pn f − Kn Pn x*) = Kn−1(Pn Kx* − Kn Pn x*) =
= K n−1 ( Pn Kx* − Pn KPn x* ) + K n−1 ( Pn KPn x* − Pn K n Pn x* ) .
(3)
Для
оценки первого слагаемого использовалась оценка
*
r
x * − Pn x * ≤ A n − r , так как x ∈W . Можно показать, что норма K n−1
как угодно мала, и также, что, при определенных условиях (указаны в
формулировке теоремы) || Pn Kx* − Pn KPn x* || ≤ A n − ( r − p +1) . Отсюда
из (3) имеем оценку нормы
xn* − Pn x * ≤ A n − ( r − p +1) и, следова-
тельно, x * − x * ≤ x * − P x * + P x * − x * ≤ A n − ( r − p + 1 ) .
n
n
n
n
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема. Пусть выполнены следующие условия:
1) уравнение (1) имеет единственное решение
1
2
α ≥ , r > p − 1;
2) заданные функции
a(t ), b(t ), f (t ) ∈ W r .
46
x* ∈ W r H α ,
Тогда существуют такие значения
(2) имеет единственное решение
xn* (t )
h* , q , что система уравнений
и справедлива оценка погреш-
ности || x * − xn * || ≤ A n − ( r − p +1) .
Библиографический список
1. Каландия, А.И. Математические методы двумерной упругости. –
М. : Наука, 1973. – 304 с.
2. Вайникко, Г.М. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения / Г.М. Вайникко, И.К. Лифанов,
Л.Н. Полтавский – М. : Янус – К, 2001. – 507 с.
3. Саврук, М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. –
Киев : Наук. думка, 1981. – 324 с.
4. Адамар, Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. – М. : Наука, 1978. – 351 с.
5. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц. – М. : Наука, 1967. – 576 с.
РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СЛАБОСИНГУЛЯРНЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА
С НЕДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ ЯДРАМИ
А.Н. Тында
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
В работе будем рассматривать нелинейные слабосингулярные интегральные уравнения Вольтерра вида
t
x(t ) = f (t ) − ∫
t0
где
H (t ,τ , x(τ ))
dτ , t ∈ [t 0 , T ], 0 < α < 1, (1)
(t − τ )α
H (t ,τ , x) – непрерывная функция своих аргументов, производные
которой по второй переменной могут иметь степенные особенности на
интервале
[t0 , T ] .
47
Такие уравнения имеют многочисленные приложения [1 – 4], а их
теоретическое исследование и численное решение сопряжено с рядом
трудностей (определение гладкостных свойств точного решения, построение подходящих квадратурных формул, обоснование алгоритмов и т. д.).
Некоторые выводы о гладкости решения уравнения (1) можно найти в
t 1/ 3 4
[1,2], где рассматривается уравнение вида x(t ) = 1 − 3 τ x (τ ) dτ , описы2/3
∫
π
0
(t − τ )
вающее распределение температуры поверхности пули при движении
через ламинарный слой.
Для решения уравнения (1) применим метод Ньютона-Канторовича,
для этого определим оператор
t
P( x(t )) ≡ x(t ) + ∫
t0
H (t ,τ , x(τ ))
dτ − f (t ), t ∈ [t0 , T ].
(t − τ )α
Уравнение (1) представим, таким образом, в виде
(2)
P ( x(t )) = 0.
x = x 0 (t ) :
Вычислим производную оператора (2) в точке
P ( x0 + sx) − P ( x0 )
=
s
t
H (t ,τ , x0 + sx) − H (t ,τ , x0 )
x(t ) + lim ∫
dτ =
s →0
(t − τ ) α s
t0
P ' ( x(t )) x = x
t
= x(t ) + ∫ lim
t0
где
s→0
H '3 (t ,τ , x) =
0 (t )
= lim
s →0
H '3 (t ,τ , x0 + θsx) sx
H ' (t ,τ , x0 (τ )) x(τ )
dτ = x(t ) + ∫ 3
dτ ,
(t − τ )α s
(t − τ )α
t0
t
∂H (t ,τ , x)
, 0 < θ < 1.
∂x
Таким образом, итерационный процесс для (1) можно записать в
виде
t
∆xm (t ) + ∫
t0
H '3 (t ,τ , xm−1 (τ ))∆xm (τ )
H (t ,τ , xm−1 (τ ))
dτ = f (t ) − xm−1 (t ) − ∫
dτ ,
(t − τ )α
(t − τ )α
t0
t
где ∆xm (t ) = xm (t ) − xm−1 (t ) . Имеем, m = 1,2,3,…, x0 (t ) = f (t ),
H '3 (t ,τ , xm−1 (τ ))xm (τ )
H ' (t ,τ , xm−1 (τ ))xm−1 (τ ) − H (t ,τ , xm−1 (τ ))
dτ = f (t ) + ∫ 3
dτ .
(t −τ )α
(t −τ )α
t0
t0
t
xm (t ) + ∫
t
48
(3)
Для решения линейных слабосингулярных интегральных уравнений на каждом шаге итерационного процесса (3) применим метод простых итераций:
t
xmn (t ) = Fm (t ) − ∫
t0
где
H '3 (t ,τ , xm−1 (τ )) xmn−1 (τ )
dτ , n = 1,2,…, xm0 (t ) = Fm (t ),
(t − τ )α
t
Fm (t ) = f (t ) +
∫
t0
H '3 ( t , τ , x m −1 (τ )) x m − 1 (τ ) − H ( t , τ , x m −1 (τ ))
dτ ,
(t − τ )α
m = 1, 2 , …
(4)
.
При этом для вычисления слабосингулярных интегралов, входящих в (4), используются квадратурная формула, построенная в [6], а в
качестве значений подынтегральных функций берутся значения соответствующих полиномиальных сплайнов, построенных по определенной заранее сетке узлов.
Численный эксперимент. В качестве модельных задач было рассмотрено несколько уравнений с различными свойствами гладкости
ядра H (t ,τ , x) и точного решения x (t ).
ным
Задача 1. (Ядро имеет неограниченные производные по переменt иτ )
(t − t0 ) 2 / 3τ 1 / 3 x 5 (τ )
dτ , t0 = 0, T = 0.3,
(t − τ ) 2 / 3
t0
t
x(t ) = 3 t + 73 (t − t0 ) 3 − 32 t (t − t0 ) 2 + 3t 2 (t − t0 ) − ∫
точное решение:
x(t ) = 3 t .
Задача 2. (Ядро и решение имеют неограниченные производные по
t)
t
x(t ) = 16
t3 + t − ∫
15
0
t x 4 (τ )
t −τ
dτ , t ∈ [0, 0,3],
точное
решение:
x(t ) = t .
Задача 3. ( H (t ,τ , x) и
x (t ) = t 2 +
256(t − 1)t
315
9/2
x(t ) – дифференцируемые функции)
(t − 1) x 2 (τ )
dτ , t ∈ [0,1], точное решение:
t −τ
0
t
−∫
x(t ) = t 2 .
49
Результаты вычислений для задач 1 – 3 приведены в следующей
таблице:
Число
итераций
МПП
10
10
10
5
10
10
10
10
15
15
10
10
Число
итераций
Н.-К.
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
5
Число
областей
разбиения
20
40
20
10
10
10
10
20
10
10
50
50
Степень
полиномов
0
0
1
2
2
3
4
4
3
3
4
4
Погрешность
в узлах для
задачи 1
0.0002
9.83e-05
3.75e-06
0.0002
1,18e-06
4,44e-07
2,34e-07
2,93e-08
1,62e-06
4,43e-07
1,31e-08
9,91e-10
Погрешность
в узлах для
задачи 2
0.00017
4.92e-05
2.51e-06
2,03e-06
5,50e-07
2,28e-07
1,30e-07
3,40e-08
0,00026
2,23e-07
1,61e-08
1,76e-09
Отметим, что в таблице приведены погрешности расчета узловых
значений функции x (t ) сразу для всего рассматриваемого интервала
[t0 , T ] . Между тем известно (см., например, [4]), что скорость сходимости метода Ньютона-Канторовича существенно зависит от длины
этого интервала. Поэтому для повышения точности можно последовательно применять предложенный метод на малых интервалах, а именно
к уравнениям
H (t ,τ , x(τ ))
dτ , t ∈ [t k −1 , tk ],
(t − τ )α
tk −1
t
x(t ) = f k −1 (t ) −
∫
k = 1, N , t0 < t1 < ⋯ < t N = T ,
*
k −1 i
где f (t ) = f (t ) − ∑ H (t ,τ , x (τ )) dτ , а
k −1
∫ (t − τ )α
i =1 ti −1
t
x* (t ) – приближенное ре-
шение уравнения (1), полученное на предыдущих участках.
Библиографический список
1. Diogo, T., Lima, P., Rebelo, M. Computational methods for a nonlinear Volterra integral equation // Proc. of the 7th Hellenic European Conf.
on Comp. Math. and its Applic. (HERCMA 2005), Athens, September. 22 –
24, 2005.
50
Погрешность
в узлах для
задачи 3
2.68е-05
1.14е-05
8.11e-07
3,44e-10
1,21e-11
1,20e-11
1,19e-11
1,18e-11
1,23e-11
1,18e-11
—
—
2. Diogo, T., Lima, P., Rebelo, M. Numerical solution of a nonlinear
Abel type Volterra integral equation// Commun. Pure Appl. Analysis, 5
(2006). – 277 – 288.
3. Brunner, H., Pedas, A., Vainikko, G. The piecewise polynomial collocation method for nonlinear weakly singular Volterra equation // Mathematics of Computation. – Vol.68. – №227 (1999). – 1079 – 1095.
4. Верлань, А.Ф., Сизиков, В.С. Интегральные уравнения: методы,
алгоритмы, программы. – Киев : Наукова Думка, 1986.
5. Канторович, Л.В., Акилов, Г.П. Функциональный анализ. – М.,
Наука, 1979.
6. Тында, А.Н. Смешанный сплайн-коллокационный метод решения слабосингулярных интегральных уравнений Вольтерра // Труды
СВМО. – Т. 7. – 2005. – №1. – С. 351 – 358.
ОПТИМАЛЬНЫЙ ПО СЛОЖНОСТИ МЕТОД РЕШЕНИЯ
СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Ю.Ф. Захарова
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
 a11 x1 + … + a1n xn = b1



⋱

 an1 x1 + … + ann xn = bn ,
у которой коэффициенты первой строки отличны от нуля, а n = 2 .
Для построения алгоритма матрица данной системы разбивается на
p
2 p−1 матриц размерности 2 × 2, и построим алгоритм, приводящий
данные матрицы к матрицам специального вида, действия над которыми описываются следующими утверждениями.
Утверждение 1. Если матрица имеет вид A =  E E  , где E –
A A 
4
 3
единичная матрица, а матрицы
A3 и A4 таковы, что существует об-
51
ратная матрица к матрице
−1
имеет вид A−1 =  ∆ ⋅ A4
 −1
∆ = A4 − A3 , то обратная к A матрица
−1
 − ∆ ⋅ A3
−∆
∆−1
.



Следствие. Какова бы ни была матрица
A
A =  1
 A3
A2
A4
,


для вычисления обратной матрицы необходимо существование обратных
−1
−1
A1 , A2 и ∆ = A4 ⋅ A2 − A3 ⋅ A1 . Тогда
матриц к матрицам
−1
 A−1 ⋅ ∆−1 ⋅ A ⋅ A
− A1−1 ⋅ ∆−1  .

A−1 =  1 −1 −1 4 2 −1
−1
A2 ⋅ ∆−1 
 − A2 ⋅ ∆ ⋅ A3 ⋅ A1
Утверждение 2. Существует быстрый алгоритм умножения двух
−1
b b   1 1 
матриц вида  1 2  ⋅ 
 , использующий 7 арифметических
 b3 b4   a3 a4 
операций.
Данный алгоритм назовем базовым.
Утверждение 3. Существует быстрый алгоритм умножения двух
−1
B B2   E E 
m
m
матриц вида  1
размерности 2 × 2 , построенный
 B B  ⋅  A A 
4  3
4
 3
на основании базового алгоритма, использующий q = (log 2 7 ) ⋅ 2 m ⋅ m 3
арифметических операций.
Группируя определенным образом полученные матрицы по 4 в одну группу, применяя к ним указанные утверждения и продолжая этот
процесс далее, на p -м этапе мы получаем следующее выражение:
 x1 
E
 
⋮  = D ⋅  A
 3
x 
 n
−1  b1 
E  
 ⋅ ⋮ ,
A4   
 bn 
D , A3 и A4 – матрицы размерности 2 p × 2 p и 2 p−1 × 2 p−1 соответственно, полученные на ( p − 1) -м этапе. Для умножения матриц
воспользуемся утверждением 3, что потребует ((log 2 7 ) ⋅ 2 p ⋅ p 3 ) арифмегде
тических операций. Еще ( 2 2 p +1 − 2 p ) действий понадобится для умножения результата на столбец свободных членов. Следует заметить, что
на первом и втором этапах можно не использовать приведенные утвер52
ждения и воспользоваться стандартными алгоритмами вследствие малой размерности обрабатываемых матриц. Суммируя число всех арифметических операций, необходимых для получения решения заданной
системы описанным методом, получаем следующее утверждение.
Утверждение 4. Существует алгоритм решения системы линейных алгебраических уравнений размерности n × n , где
пользующий следующее число арифметических операций:
p−1

(m − 1)3 
N = n2  6 + 2(log2 7) ⋅ ∑
+
2m 
m=3

n = 2 p , ис-
p −1
9

+n  + ( log2 7) ( 2log32 n − 3log22 n + log2 n −1) + ( log2 7) ⋅ ∑(m3 + 3m2 − 3m +1)  .
m=3
2

(1)
Рассмотрим данное соотношение как некоторую функцию
N (n ) .
N (n)
Рассмотрим также некоторую функцию погрешности ε ( n ) =
,
γ ⋅ n2
2
характеризующую отклонение функции N (n ) от значения γ ⋅ n , где
γ
– некоторая константа. Учитывая, что n
фик функции погрешности будет иметь вид:
= 2 p , получаем, что гра-
1.5
1
ε(p)
0.5
0
0
20
40
60
80
100
p
ε (20) = 1.0003642885365
ε (50) = 1.00000000003591
ε (100) = 1
ε (200) = 1
На данном рисунке приведены также значения функции погрешности при некоторых значениях p . Константа γ при этом равна
77.5875505124689 с точностью до 12-го знака после запятой.
Полученные данные позволяют сделать следующий вывод: при
n → ∞ число арифметических операций N (n) → 77,5875505124689 ⋅ n 2 .
53
Оценка снизу числа арифметических операций, необходимых для
решения системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными не может быть меньше
уравнений с
∪
∩
n 2 , так как для решения системы из n
n неизвестными диагонального вида требуется
n (n − 1)
2
арифметических действий.
Из сравнения этой оценки с оценкой (1) следует оптимальность по
порядку по сложности предложенного в работе алгоритма.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА С ОТКРЫТОЙ ГРАНИЦЕЙ
В.И. Крючко
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
При решении многочисленных задач геофизики, метеорологии,
электротехники возникают следующие задачи:
1. Исследуемый процесс описывается функцией, принадлежащей
некоторому классу Ψ . В результате измерений известны значения
функции ϕ ∈ Ψ в конечном числе точек M 1 ,..., M N . Требуется вос-
становить функцию в некоторой области Ω . При решении задач геофизики и метеорологии класс Ψ – множество гармонических функций. В других предметных областях класс Ψ описывается различными
дифференцируемыми операторами.
2. Процесс описывается функцией многих переменных, о которой
известно только то, что она принадлежит классу Липшица. Известны
результаты измерения функции ϕ в N произвольных узлах. Требуется определить минимальное и максимальное значения этой функции в
области Ω .
В данной работе предложен алгоритм решения этих задач.
Для краткости изложения ограничиваемся рассмотрением гармонических функций в трехмерном случае.
54
Постановка задачи. Пусть D = {( x, y, z ) : 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c} – параллелепипед со сторонами
a, b, c . Построим в D сетку ω с шагами
h1 = a /N1 , h2 = b/N 2 , h3 = c/N 3 , N * = N1 N 2 N 3 .
D1 = {( x , y , z ) : 0 + xε ≤ x ≤ a − xε , 0 + yε ≤ y + yε ≤ b, 0 + zε ≤ z ≤ c − zε } .
xε = α a , yε = α b , zε = α c , α ∈ ( 0,1/ 2 ) . D1 ⊂ D . Пусть задано
конечное число точек



ml  , ml ∈ D1 , где ml =  x ( ) , y ( ) , z ( )  ,
N

l =1

l
l
l 

N < N , в которых известны значения функции u ( x, y, z ) .
(m, ω ) обозначим расстояние от точки m до ближайшего
Через ρ
*
узла сетки. Через (ξ ,η , ζ ) обозначим индексы, по каждой переменной, ближайшего узла к точке m . Снесем значения функции, заданной
на хаотических узлах, на узлы регулярной сетки ω . Если существует
один или более узлов
( xξl , yηl , zζ l ) регулярной сетки, расстояние от
ml равно ρ (ml , ω ) = ρ (ml , ( xξ , yη , zζ )) , то в
качестве ближайшего возьмем любой из этих узлов ( xξl , yηl , zζ l ) и
которого до заданной точки
l
поставим точке
l
l
ml в соответствие индексы (ξl ,ηl , ζ l ) , задающие но-
мер узла сетки.
Таким образом, построено множество индексов M = {ξl ,ηl , ζ l } |kN=1 .
. ЗнаM , обозначим ω
чения функции в узлах сетки с индексами множества M , будем счи-
Узлы сетки
ω,
соответствующие множеству
тать приближенно равными значениям функции в соответствующих
узлах



N
ml  , т. е. u ( xξl , yηl , zζ l ) = u (ml ), l = 1,..., N . в области
l =1
D1 . Необходимо найти непрерывную функцию u ( x, y, z ) , которая
удовлетворяет внутри прямоугольной области D уравнению Лапласа:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
+
+
=0
(1)
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
точек вышеописанные значения.
и принимает на множестве ω
55
Метод решения.
Обозначим через
производные
∂ 2u
∂x 2
,
∂ 2u
∂y 2
uijk = u  xi , y j , zk  и аппроксимируем частные
∂ 2u
∂z 2
и
в каждом внутреннем узле сетки цен-
тральными разностными производными второго порядка. Заменим
уравнение Лапласа конечно-разностным уравнением. Погрешность аппроксимации дифференциального уравнения конечно-разностным
уравнением составляет
O  h12 + h22 + h32  .
Разностный аналог уравнения (1) задает систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных значений функции
u ( x, y, z ) в узлах сетки.
ui , j ,k
2 

( h1h3 ) 2  ui , j −1,k + ui , j +1,k 
1  ( h2 h3 )  ui −1, j ,k + ui +1, j ,k 
= 
+
+
2  ( h1h2 ) 2 + ( h1h3 ) 2 + ( h2 h3 ) 2 (h1h2 ) 2 + (h1h3 ) 2 + (h2 h3 ) 2

(h1h2 ) 2  ui , j , k −1 + ui, j ,k +1  
+
,
(2)
(h1h2 ) 2 + (h1h3 ) 2 + (h2 h3 )2 

где i = 1, 2,..., N1 − 1 , j = 1, 2,..., N 2 − 1 , k = 1, 2,..., N 3 − 1 . Будем
использовать следующий итерационный процесс: в качестве начальных
значений берутся значения
равные 0 в узлах
формуле
( s +1)
ui , j ,k
.
ω \ω
(
)
и
u i , j ,k , равные u xξl , yηl , zζ l в узлах ω
Последующие итерации осуществляются по



(s)
2  ( s)

( h1h3 ) 2  ui(,sj)−1,k + ui(,sj)+1,k 
1  (h2 h3 )  ui −1, j ,k + ui +1, j ,k 


=
+
+
2
2
2
2
2
2  (h1h2 ) + (h1h3 ) + ( h2 h3 ) ( h1h2 ) + ( h1h3 ) + (h2 h3 ) 2



(h1h2 ) 2  ui(,sj), k −1 + ui(,sj),k +1  

 
+
,
(3)
2
2
(h1h2 ) + (h1h3 ) + (h2 h3 )2 

где верхний индекс s обозначает номер итерации. При этом предпола равны
гается, что на каждой итерации значения u i , j , k в узлах ω
56
(
)
u xξl , yηl , zζ l . В качестве условия окончания итерационного процесса можно принять следующий критерий:
( s +1)
i, j,k
max u
i, j,k
где
ε
− ui(, j), k ≤ ε * ,
s
*
– наперед заданное значение.
Модельная задача: требуется восстановить функцию
u ( x, y, z ) = x 2 − 2 y 2 + z 2 , a = 2, b = 2, c = 2, α = 0, 2 на сет-
ке по заданным значениям.
Результаты решения модельной задачи
Общее число точек сетки, лежащей внутри области
Количество точек сетки
,
ω
D1 – 32768.
на которых известны значения функции
N = 3175 . Количество итераций равно 2000. Погрешность согласно
сеточному аналогу нормы в L2 составила:




 i, j,k

∑ (u
i, j , k


− u ( xi , y j , zk ) ) h1h2 h3 
2


1/ 2
= 0,1394.
ОБ ОДНОМ ИТЕРАЦИОННО-ПРОЕКЦИОННОМ МЕТОДЕ
РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
И.В. Бойков, Ю.Ф. Захарова
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
1. Приближенное решение линейных многомерных сингулярных интегральных уравнений.
Рассмотрим двумерное сингулярное интегральное уравнение
ϕ (t , Θ) x(τ )
(1.1)
a (t ) x(t ) + b(t ) ∫
dτ = f (t ),
r 2 (t ,τ )
G
где G – односвязное многообразие на плоскости E 2 . Будем считать,
что функции a (t ) , b(t ) , f (t ) и ϕ (Θ) удовлетворяют условию Гельдера с показателем α , ( 0 < α ≤ 1 ) по всем переменным.
57
Можно показать, что результаты, полученные для уравнения вида
(1.1) распространяются на уравнения вида
ϕ (t , Θ) x(τ )
a (t ) x(t ) + ∫
dτ = f (t ).
(1.2)
r 2 (t ,τ )
G
Построим вычислительную схему приближенного решения уравнения (1.1) в предположении, что G – квадрат [ − A, A]2 , где A – некоторое вещественное число. Из построения вычислительной схемы
очевидны изменения, которые необходимо ввести в вычислительную
схему в случае, когда G – произвольное односвязное многообразие.
Покроем область G квадратами
∆ kl = [tk , tk +1; tl , tl +1 ] ,
k , l = 0, N + 1 , tk = − A + 2 A
k ,
N +2
k = 0, N + 2 .
Наряду с квадратами ∆ kl , k , l = 0, N − 1 введем прямоугольники
∆kl , k , l = 1, N , которые определенным образом объединяют в себе
квадраты
∆ kl с границей области. Приближенное решение уравнения
(1.1) будем искать в виде кусочно-постоянной функции x N (t1,t 2 ) ,
равной константе xk ,l в квадрате ∆ kl , k , l = 1, N .
Неизвестные значения xk ,l определяются из системы линейных
алгебраических уравнений
N
N
a (t kl ) xkl + ∑∑ d ij (t kl ) xij + x kl d kl = f (t kl ) ,
(1.3)
j =1 i =1
где ∑ ∑
означает суммирование по прямоугольникам ∆ij , не имею-
щим общих граней с квадратом ∆ kl , t kl = (tk , tl ) , τ kl = (τ k ,τ l ) ,
 2A 
h2 = 

 N 
2
, d (t ) = ∫ ϕ  t kl − τ 
kl kl


∆ kl
dτ
,
2
r
(
t
,
)
τ
 kl
 r (t kl ,τ )
 t −τ 
dτ
,

d ij ( tkl ) = ∫ ϕ  kl
2
τ
r
(
t
,
)
kl
 r (t kl ,τ )
∆ kl 
tkl = (t k + h1 , tl + h2 ) ; величины h1 и h2 – параметры, которые выбира-
ются так, чтобы система уравнений (1.3) была однозначно разрешима.
Выбор параметров h1 и h2 основан на теореме С.Г. Михнева [1] о
необходимых и достаточных условиях существования многомерных
58
сингулярных интегралов и на теореме Адамара [2] о критериях разрешимости систем линейных алгебраических уравнений.
Справедливо следующее утверждение:
Теорема 1. Пусть оператор K непрерывно обратим, функции
ϕ (Θ) и f (t ) принадлежат классу Hα , ( 0 < α ≤ 1 ), характеристика
ϕ (Θ) обращается в ноль на двух отрезках, выходящих из полюса.
Тогда существует такое h (одно и то же для всех прямоугольников gkl , k , l = 1, N , используемых в вычислительной схеме (1.3),
h1 = h2 = h ), что система уравнений (1.3) однозначно разрешима и
при ряде дополнительных условий справедлива оценка
|| x * − x * ||≤ AMN −α
где x
*
N
*
и x N – решения уравнений (1.1) и (1.3) соответственно.
Утверждение теоремы 1 переносится и на сингулярные интегральные уравнения вида (1.2) с характеристиками, зависящими от t . При
этом параметры h1 и h2 зависят от параметра
квадрата
t и от номера i, j
∆ ij .
Точность приближенного решения сингулярного интегрального
уравнения (1.1) может быть значительно увеличена, если воспользоваться следующим итерационно-проекционным методом. Пусть
x N (t1 , t 2 ) – приближенное решение уравнения (1.1), полученное по
вычислительной схеме (1.3). Для нахождения приближенного решения
x N* (t1 , t 2 ) в предположении, что a (t ) ≠ 0 , проделаем одну итерацию:

ϕ (Θ) x (t ) 
x*N (t1 , t2 ) = a −1 (t ) ⋅  f (t ) − ∫ 2 N dt  .
r (t ,τ )
G


2. Приближенное решение нелинейных многомерных сингулярных интегральных уравнений
В этом параграфе строится и обосновывается проекционный метод
коллокационного типа для приближенного решения уравнения
a (t , x (t )) + ∫
E
ϕ (t , Θ, x (τ ))
r l ( t ,τ )
dτ = f ( t )
59
(2.1)
Уравнение (2.1) будем рассматривать в предположении, что функция a (t , x ) имеет вторую частную производную по второй переменной, а функция ϕ (t , Θ, x ) имеет вторую частную производную по третьей переменной, причем эти производные по всем переменным удовлетворяют условию Гельдера с показателем α , ( 0 < α ≤ 1 ).
Предположим, что на начальном элементе x0 оператор K ′( x0 )
непрерывно обратим в пространстве X . Приближенное решение уравнения (2.1) будем искать по итерационной схеме
xn +1 = xn − [ K ′( x0 )]−1 K ( xn ),
(2.2)
используя при этом известное утверждение о сходимости метода Ньютона-Канторовича.
Поскольку практическое применение итерационного процесса затруднительно, возникает необходимость в построении эффективной
вычислительной схемы. Для простоты обозначений будем полагать
l = 2.
Будем искать приближенное решение уравнения (2.1) в виде кусочно-постоянной функции x N ( t1 , t 2 ) , построение которой описано в
предыдущем параграфе. Значения xkl находятся из системы нелинейных алгебраических уравнений
N N
a (tkl , xkl ) + ∑ ∑ d ij (t kl ) = f (t kl ) , k , l = 2, N − 1,
(2.3)
i =1 j =1
где tkl = (tk , tl ),
2
 2A  ,
h2 = 
 ,
 N 
tkl = (tk + h1 , tl + h2 ),
d ij ( tkl ) =

∫ ϕ  t
∆ kl
kl
,
 dτ
tkl − τ
, xij  2
;
r ( tkl ,τ )
 r ( tkl ,τ )
способ определения величин h1 и h2 аналогичен описанному в предыдущем параграфе.
Систему уравнений (2.3) будем решать модифицированным методом Ньютона-Канторовича:
m +1
m
m
xN
= xN
− [ K N′ ( x 0N )]−1 K N x N
(2.4)
{ }N −1
m
m
′ 0
Здесь x N
= xkl
k ,l = 2 , а оператор K N ( x N ) определяется выраN N
жением a2′ (tkl , xkl ) + ∑∑ ϕ3′ tkl , tkl −τ , xij  dτ + ϕ3′ tkl , tkl −τ , xkl  dτ
2
2
∫
∫
i=1 j =1 ∆
ij

r(tkl ,τ )
 r (tkl ,τ )
60
∆kl

r(tkl ,τ )
 r (tkl ,τ )
, k, l = 2, N −1,
система уравнений (2.3) в операторной форме записывается в виде
выражения
K N xN .
При ряде условий (см., например, [3]) доказана сходимость итерационного метода (2.4). Решение модельных примеров для линейных и нелинейных многомерных сингулярных интегральных уравнений проиллюстрировали высокую эффективность предлагаемых методов.
Библиографический список
1. Михлин, С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. – М. : Физматгиз, 1962. – 254 с.
2. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц. – М. : Наука, 1967. – 576 с.
3. Бойков, И.В. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений. – Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2004. – 316 с.
О РАЗРЕШИМОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ,
ПОСТРОЕННОЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ВЕКТОРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ СО СДВИГОМ
А.В. Юденков, А.М. Володченков
ФГОУ ВПО «Смоленская сельскохозяйственная академия»,
г. Смоленск, Россия
Современное развитие горнопроходческой техники ставит все более сложные задачи по определению устойчивости и прочности подземных сооружений. Это, в свою очередь, требует использования более
сложных, чем традиционные, математических моделей.
В данной работе проводится исследование математической модели
основных задач статической теории упругости для тел, обладающих
плоской анизотропией, пригодной для работы с телами сложной конфигурации. Данный подход является продолжением методов, предложенных в основополагающих работах Г.С.Лехницкого, Г.Н.Савина,
Н.И.Мусхелишвили.
Известно, что основные параметры напряженного состояния плоской теории упругости анизотропного тела могут быть выражены через
функцию Эри U(x, y).
61
В анизотропном случае функция Эри имеет вид:
(1)
U ( x, y ) = Re[Ф1 ( z1 ) + Ф2 ( z2 )],
В свою очередь, первая основная задача теории упругости будет
иметь вид:
S
2 Re[Ф( z1 ) + Ф2 ( z 2 )] = − ∫ Yn ds + C1 = f1 (t ),
0
(2)
S
2 Re[µ1Ф( z1 ) + µ 2Ф2 ( z 2 )] = ∫ X n ds + C 2 = f 2 (t ),
0
где z k = x + µ k y (k = 1, 2) – обобщенные комплексные координаты,
µk
–
решения
определенного
характеристического
уравнения,
t ∈ L, L – граница области, занятой упругим телом.
Рассмотрим обобщенные комплексные координаты как обычные
комплексные координаты в областях D1 и D2, находящихся в аффинном
соответствии с областью D.
Пусть функции
ω (ξ ), ω 1(ξ )
и
ω 2 (ξ ) отображают области D,
D1 и D2 на внутренность единичного круга γ с границей Г. Краевое
условие (2) преобразуется к следующей системе
2 Re[ψ 1 (α 1 (σ )) + ψ 2 (α 2 (σ ))] = f1 (σ ),
(3)

2 Re[ µ1ψ 1 (α 1 (σ )) + µ 2ψ 2 (α 2 (σ ))] = f 2 (σ ), σ ∈ Г ,
µ
µ
1
1
где α k (σ ) = ω k−1 ( i(1 + k )ω (σ ) + (1 − k )ω (σ )) – функции сдви2
i
2
i
га, ψ k (ξ ) = Фk (ω k (ξ )) .
Известно [6], что система (3) равносильна следующей системе:
( µ 2 − µ1 )ψ 2 (α 2 (σ )) + ( µ 2 − µ1 )ψ 2 (α 2 (σ )) + A(σ , σ 0 )ψ 2 (α 2 (σ 0 )) dσ 0 +
∫Г


+ ∫ B (σ , σ 0 )ψ 2 (α 2 (σ 0 ) dσ 0 = Q2 (σ ),
 Г
ψ (α (σ )) + ψ (α (σ )) = Q (σ ).
1
1
1
 1 1
Здесь
Q1 (σ ) = f1 (σ ) − ψ 2 (α 2 (σ )) − ψ 2 (α 2 (σ )),
62
(4)
Q2 (σ ), A(σ , σ 0 ), B (σ , σ 0 ) – известные функции.
Можно показать, что если функции α k (σ ) представляют собой
полиномы, то система (4) решается в замкнутой форме. В частности,
ядра A(σ , σ 0 ) и B(σ , σ 0 ) являются вырожденными.
Для применения приближенных методов решения системы (4) в
работе доказаны следующие положения:
1. Система (4) имеет единственное решение при условии, что
f k (σ ) ≠ 0 (k = 1, 2).
Данное утверждение основывается на том, что система (4) является системой уравнений Фредгольма 2-го рода. При этом отсутствие
нетривиальных решений однородной системы (4) обеспечивает требование однозначности смещений при заданных напряжениях.
2. Система (4) является устойчивой относительно малых колебаний параметров f1 (σ ) и
f 2 (σ ) в случае, если f1(σ ) и f2(σ) удовле-
творяют условию Гельдера, т. е.
f k (σ 1 ) − f k (σ 2 ) ≤ A σ 1 − σ 2 ,
(5)
где А – некоторая константа.
3. Система (4) устойчива относительно малых изменений области
D в том случае если, контур при изменившейся области принадлежит
классу кривых Ляпунова.
В данном случае под малыми изменениями контура и области понимается малое изменение отображающих функций
ω (ξ ), ω1 (ξ )
ω 2 (ξ ) , что влечет, в свою очередь, малое изменение функций сдвига
α k (σ ) (k = 1, 2) .
и
Приведенные утверждения служат основой для возможности применения численных методов при решении математической модели (5).
При решении конкретных задач теории упругости функции сдвига
строились с помощью полинома Лагранжа. Узловые точки ищутся с
помощью алгоритмов, предложенных в работе [4]. При этом, естественно, данные области заменялись на близкие к ним. Величина максимального отклонения полученных областей от данных может служить критерием точности решения.
63
Библиографический список
1. Лехницкий, Г.С. Теория упругости анизотропного тела. – М. :
Наука, 1977. – 446 с.
2. Угодчиков, А.Г. и др. Решение краевых задач плоской теории
упругости на цифровых и аналоговых машинах. – М. : Высшая школа,
1970. – 528 с.
3. Михлин, С.Г. Интегральные уравнения. – М. – Л., 1949. – 378 с.
4. Володченков, А.М., Юденков, А.В. Моделирование основных
задач плоской теории упругости однородных анизотропных тел краевыми задачами со сдвигом //Журнал «ОП и ПМ». – М., 2006. – Т.13. –
С. 322 – 323.
РЕШЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РАДИАЛЬНО-БАЗИСНОЙ
НЕЙРОННОЙ СЕТИ*
В.И. Горбаченко, С.А. Москвитин
Пензенский государственный педагогический университет
им. В.Г. Белинского,
г. Пенза, Россия
В данной работе рассматривается градиентный алгоритм решения
коэффициентной обратной задачи математической физики. Для вычисления градиента применяется решение сопряженной задачи. Прямые и
сопряженные задачи решаются на радиально-базисных нейронных сетях.
Рассмотрим предлагаемый подход на примере одномерного уравнения:
∂
∂u 
 k ( u )  = f , 0 < x < l.
∂x 
∂x 
(1)
Краевая задача удовлетворяет граничным условиям первого рода
(2)
u ( 0 ) = 0, u ( l ) = g .
*
Работа поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований (проект РФФИ 06-07-89259 «Применение радиально-базисных нейронных
сетей для решения краевых задач»).
64
В коэффициентной обратной задаче зависимость
k( u)
неизвестна,
и ее необходимо найти по приближенно известным в результате измерений значениям решения ϕm в некотором множестве zm точек.
При использовании градиентных методов минимизируется функционал
M
2
J ( k ) = ∑ ( u ( zm , k ) − ϕ m ) .
(3)
m =1
Для минимизации функционала (3) необходимо вычислить его
градиент. Известно [1], что градиент функционала (3) можно выразить
через решение сопряженной задачи. Для функционала (3), уравнения
(1) и ограничений (2) можно записать Лагранжиан
 ∂ 
∂u 

L ( k ) = J ( k ) + ∫ψ   k ( u )  − f dx ,
∂x 
 ∂x 

0
l
где ψ – множитель Лагранжа.
Дадим коэффициенту
k
ствуют приращение решения
Вычисляя приращение
δL
градиента функционала
J k′
приращение
δu
δk ,
(4)
которому соответ-
и приращение Лагранжиана
δL.
Лагранжиана (4) и используя определение
[2], получаем
∂u ∂ψ
dx,
∂x ∂x
0
l
J k′ = ∫
где
u
(5)
– решение прямой задачи (1), а
ψ
– решение корректной со-
пряженной задачи, получающейся из приращения Лагранжиана:
M
∂
∂ψ 
,
k
=
2
ψ
(
)

 ∑ (ψ − ϕm ) δ ( x − zm )
∂x 
∂x 
m =1
ψ ( 0 ) = 0, ψ ( l ) = 0 ,
где δ ( x − zm ) –
(6)
(7)
δ -функция.
При использовании сеточных методов вычисление градиента (5)
представляет сложную задачу [3]. Для решения прямой (1) – (2)и сопряженной задач (6) – (7) предлагается использовать радиальнобазисные нейронные сети [4], применение которых основано на спо65
собности сети в результате обучения аппроксимировать неизвестное
решение дифференциального уравнения, пока не будет достигнута приемлемая величина нормы невязки на некотором множестве контрольных точек. Причем невязка вычисляется по уравнению и граничным
условиям. Обученная радиально-базисная сеть позволяет получить решение в любой точке области решения и аналитически вычислить, по
крайней мере, первые и вторые производные по пространственным переменным, необходимые для получения градиента функционала (5).
Алгоритм решения коэффициентной обратной задачи с использованием радиально-базисных нейронных сетей строится следующим
образом.
Задается некоторое приближение зависимости
k ( u ) . С помощью
радиально-базисной нейронной сети решаются прямая задача (1) – (2) и
сопряженная задача в приращениях (6) – (7). Алгоритмы решения дифференциальных уравнений в частных производных с помощью радиально-базисных нейронных сетей рассмотрены в [4]. Следует отметить,
что не требуется точное решение задач. Если решение прямой задачи
обеспечивает приемлемое значение функционала (3), то решение завершается. Так как обратные задачи являются некорректными, то для
их решения применяются методы регуляризации. В данном алгоритме
применена итерационная регуляризация [3], использующая в качестве
параметра регуляризации число итераций. Число итераций уточнения
коэффициента уравнения (1) должно быть согласовано с погрешностью
измерений значений
ϕm
в (3). Практически в ходе итерационного про-
цесса значение функционала (3) уменьшается до некоторой величины, а
затем начинает расти. Минимальное достигнутое значение функционала соответствует достижимой точности решения обратной задачи. Если
точность не достигнута, то по полученным решениям вычисляются
пространственные производные на некоторой сетке, и на этой сетке
определяется сеточный эквивалент градиента функционала (5). Одним
из градиентных методов корректируется вектор искомых коэффициентов. Хотя применение радиально-базисных сетей не требует разностной
аппроксимации, коэффициенты уравнения определяются на разностной
сетке.
Предложенный алгоритм реализован в системе MATLAB.
66
Библиографический список
1. Марчук, Г.И. Сопряженные уравнения: курс лекций. – М. :
ИВМ РАН, 2000. – 175 с.
2. Босс, В. Лекции по математике. Т.5: Функциональный анализ. – М.
: КомКнига, 2005. – 216 с.
3. Самарский, А.А. Численные методы решения обратных задач математической физики / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич. – М. : Едиториал
УРСС, 2004. – 480 с.
4. Яничкина, Е.В. Решение эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных с использованием радиально-базисных
нейронных сетей / Е.В. Яничкина, В.И. Горбаченко // VIII Всероссийская
науч.-техн. конференция «Нейроинформатика-2006», 24 – 27 января 2006
г.: сборник научных трудов. Ч. 3. – М. : МИФИ, 2006. – С. 15 – 21.
РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РАДИАЛЬНО-БАЗИСНЫХ
НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ*
Е.В. Артюхина, В.И. Горбаченко
Пензенский государственный педагогический университет
им. В.Г. Белинского,
г. Пенза, Россия
В настоящее время большой интерес вызывают методы решения
дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) с применением радиально-базисных функций (RBF) [1]. Эти методы могут
быть эффективно реализованы на радиально-базисных нейронных сетях (RBFNN). В [2] описаны общие принципы применения RBFNN для
решения ДУЧП. Некоторые практические подходы к использованию
RBFNN показаны в работе [3]. RBF-сеть рассматривают как аппроксиматор неизвестной функции решения:
*
Работа поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований (проект РФФИ 06-07-89259 «Применение радиально-базисных нейронных
сетей для решения краевых задач»).
67
m
(
)
i
i
i
u ( x ) = ∑ w( )φ ( ) x − c ( ) .
i =1
(1)
Для создания оптимальной сети можно использовать различные
виды RBF, наиболее часто используемыми являются мультиквадрик
(
)
n 2
2
2
φ = ( r 2 + a 2 ) , n = −1, 1, 2, 3,... , и гауссиан φ = exp − r a , где
a
– определенная пользователем константа. Обучение сети сводится к
нахождению неизвестных параметров: весов w , ширины a , центров
c.
В [4] рассмотрен подход к обучению нейронной сети, где радиально-базисная сеть явным образом аппроксимирует производные функции
u ( x ) . Из (1) производные функции u ( x ) рассчитываются сле-
дующим образом:
k ( )
m
∂ ku
(i ) ∂ φ
.
u j...l ( x ) =
= ∑w
∂x j ...∂xl i=1
∂x j ...∂xl
i
Для нахождения решения определяется функционал ошибки как
сумма квадратов невязок, получаемых при подстановке u и производных в уравнение и в граничные условия.
Предлагается другой подход к обучению, использующий конечноразностную аппроксимацию уравнения. При этом отпадает необходимость расчета явным образом частных производных. Функционал
ошибки определяется как сумма квадратов невязок, получаемых при
подстановке u в конечно-разностную аппроксимацию во внутренних и
граничных точках.
Как и в первом, так и во втором подходе для обучения сети используется градиентный алгоритм обучения, минимизирующий функционал ошибки путем настройки весов w , центров c и ширины a .
Рассмотренные алгоритмы экспериментально исследовались при
решении следующей задачи:
(2)
∆u = sin (π x1 ) ⋅ sin (π x2 ) , x ∈ Ω
u = 0, x ∈∂Ω Ω : x1 ∈ [ 0;3] x2 ∈ [ 0;3].
Во втором подходе конечно-разностная аппроксимация (2) имеет
вид:
4uij − ui +1 j − ui −1 j − uij +1 − uij −1 = − h 2 fij .
68
Функционал ошибки равен
I = ∑ (4uij − ui +1 j − ui −1 j − uij +1 − uij −1 + h 2 f ij ) 2 + ∑ ( ul − pl ) .
2
Для решения использовалась нейронная сеть, состоящая из 49
нейронов, с функциями активации типа гауссиан. Обучение сети происходило с оптимизацией всех трех параметров (весов, ширины, центров), контроль решения производится в 100 точках, равномерно расположенных на всей области сетки 10 ×10, с шагом 0,3. На рис. 1 показано изменение функционала ошибки в процессе обучения, наглядно
видно, что по второму подходу обучение происходит быстрее и достигается меньшая погрешность.
Рис. 1. Зависимость функционала ошибки от числа итераций:
а) первый подход; б) второй подход
На рис. 2 показаны графики решения, полученные в результате
обучения по первому и второму подходу. По второму подходу лучше
удовлетворяются нулевые граничные условия.
Рис. 2 Решение, полученное в результате обучения:
а) по первому подход; б) по второму подходу
Таким образом, предлагаемый подход обладает определенными
преимуществами перед известными подходами.
69
Библиографический список
1. Kansa, E.J. Motivation for using radial basis functions to solve PDEs //
http://uahtitan.uah.edu/kansaweb.html
2. Васильев, А. Н., Тархов, Д. А. Новые подходы на основе RBF-сетей
к решению краевых задач для уравнения Лапласа на плоскости // Нейрокомпьютеры: разработка, применение. – 2004. – №7 – 8. – С. 119 – 126.
3. Numerical solution of elliptic partial differential equation using radial
basis function neural networks / Li Jianyu, Luo Siwei, Qi Yingjiana, Huang
Yapinga // Neural Networks. – 2003. – 16(5/6). – P. 729 – 734.
4. Яничкина, Е.В., Горбаченко, В.И. Решение эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных с использованием радиально-базисных нейронных сетей //VIII Всероссийская науч.-техн. конференция «Нейроинформатика-2006»: – М.: МИФИ, 2006. - С. 15 – 21.
НЕОДНОРОДНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА
В НЕКОТОРОМ ПРОСТРАНСТВЕ ОБОБЩЕННЫХ
АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
А.В. Гуляев, Г.С. Зиновьева
Пензенский государственный педагогический университет
им. В.Г. Белинского,
г. Пенза, Россия
Введем в рассмотрение комплексный интеграл
F (z ) = −
1
1 a +b
τ dτ
π
∫
0
∫∫
E+
ζ
ζPn (ζ ) f  
 ξ dµdv
ζ − τb z
(*).
При a = b = 0 интеграл совпадает с известным оператором Венца
Tf
.
E + = { z ≤ 1}, Pn (ζ ) =
n
∑a ζ
k
k
( ) a, b > 0 .
, f ∈ Hα E+ ,
k =1
Теорема 1. Если
и
f ∈ H α (E + ), то F (z ) ∈ H α (E + ), 0 < α < 1
F ( z ) непрерывна на комплексной плоскости E .
Определение. К классу ω отнесем все функции определенного ин-
теграла (*).
70
F ( z ) ∈ ω является решением дифференци-
Теорема 2. Функция
ального уравнения
+
1
I a ,b D1 F = Φ ( z ) + Ψ ( z ) , z ∈ E ∪ E ,
E − = { z > 1} ;
′  
ζ 2 Pn (ζ )  f  ζ 

 ζ 
  d µ dν ;
Φ ( z ) = − ∫∫
π E+
ζ −z
(2)
1
Ψ (z ) = −
1
π
∫
γ
(1)
Pn (η) f (η)
dη, γ = { z =}
η− z
(3)
I a ,b F = ( a + b + 1) F + bD1 F ,
Ψ + ( z ) , z ∈ E +
Ψ (z) = 
−
−
Ψ ( z ) , z ∈ E ,
D1 F = zFz′ + z Fz′ .
Функции F ( z ) и Φ ( z ) назовем союзными.
Введем обозначения:
I a±,b D1 F (t ) − Φ ± (t ) = lim± (I a ,b D1 F ( z ) − Φ( z )).
z →t
Так как Φ ( z ) непрерывна на E = E1+ ∪ E − и имеют место равенства (1)-(3), то
I a+,b D1 F (t ) − I a−,b D1 F (t ) = Ψ + (t ) − Ψ − (t ) ≡ 2 Pn (t ) f (t ) (4)
Задача 1. Рассмотрим дифференциальное уравнение
I a ,b D1 F ( z ) − Φ(z ) = Ψ ( z ) , z ∈ E1+ ∪ E − ,
где
F (z ) ∈ ω
функции
F (z )
и Φ ( z ) – союзные.
Ψ ( z ) – кусочно-
аналитическая функция
Ψ + ( z ), z ∈ E +
Ψ (z ) =  −
−
Ψ ( z ), z ∈ E
I a+,b D1 F (t ) − I a ,b D1 F (t ) = 2 Pn (t ) f (t ), е ∈ γ .
Требуется найти функцию F ( z ) и союзную Φ (z ) .
Из сказанного выше единственным решением уравнения в классе
ω являются функции F (z ) и Φ(z ) , определенные равенствами (*) и
(2).
71
G(t ) и g (t ) (G (t ) ≠ 0 ) удовлетворяют условию
γ . IndG(t ) = k ≥ 0 . Найти функции F (z ) и Φ ( z ) , яв-
Задача 2. Пусть
Гельдена на
ляющиеся решениями уравнения (1) и удовлетворяющие краевому
условию
[
]
I a+,b D1 F (t ) − Φ (t ) = I a−,b D1 F (t ) − Φ (t ) G 2 (t ) + g (t ), t ∈ γ .
+
−
Решение. Пусть y + ( z ) = e Γ ( z ) , y − ( z ) = e Γ ( z ) z − 2 k ,
Γ( z ) =
1
2πi
∫
γ
2 ln G (η)
dη
η− z
Γ ( z ) = ln (t − k G (t )) + I 0 (t ), Γ − ( z ) = ln (t k G −1 (t )) + I 0 (t )
+
I 0 (t ) =
1
2πi
∫
γ
2 ln (η − k G (η))
dη, t ∈ γ
η− z
Тогда
y + (t ) = t − k G (t )e I 0 (t ) ,
y + (t )
= G 2 (t ), t ∈ γ
−
y (t )
и
I a+,b D1 F (t ) − Φ(t )
y (t )
+
=
y − (t ) = t − k G −1 (t )e I 0 (t ) ,
(4)
I a−,b D1 F (t )
y (t )
−
+
g (t ) .
y + (t )
(5)
Функция g (t ) удовлетворяет условию Гельдера, поэтому сущеy + (t )
ϕ( z ) , такая, что
g (t )
g (t ) dt .
= ϕ + (t ) − ϕ − (t ), ϕ ( z ) = 1
∫
y + (t )
2πi y + (t ) t − z
γ
ствует кусочно-аналитическая функция
Из равенств (5) и (6)
I a−,b D1 F (t ) − Φ(t )
y + (t )
− ϕ + (t ) =
I a−,b D1 F (t ) − Φ(t )
y − (t )
72
− ϕ − (t ) .
(6)
(7)
По обобщенной теореме Лиувилля
I a+,b D1 F (z ) − Φ(z )
I a−,b D1 F (z ) − Φ(z )
+
−
ϕ
(
z
)
=
− ϕ − (z ) = P2 k (z ) (8)
+
−
y (z )
y (z )
P2 k ( z ) =
2k
∑a z
e
.
e
e =1
Из равенства (8) следует
(P2 k ( z ) + ϕ + ( z ))y + ( z ), z ∈ E +
I a ,b D1 F ( z ) − Φ( z ) = 
(P2 k ( z ) + ϕ − ( z ))y − ( z ), z ∈ E −
X (t ) ∈ H α , такую, что
I a ,b D1 F ( z ) − Φ( z ) = 1 2 X (η) dη
(9)
Найдем функцию
2πi
∫ η− z
(10)
0
Из (4), (9), (10)
− k I 0 (t )
t e (P2 k (t )G (t ) − G −1 (t )) + ϕ + (t )G (t ) − ϕ − (t )G −1 (t ) = 2 X (t ), t ∈ γ
Из определения функции ϕ(t ) следует, что
g (t )
1 g (t )
ϕ + (t ) = + + I 1 (t ), ϕ − (t ) = −
+ I 1 (t )
2 y (t )
2 y + (t )
I 1 (t ) =
1
2πi
∫
γ
g (η) dη .
y + (η) η − t
Равенства (12) и (11) позволяют найти функцию X (t )
g (t )
(1 + G −2 (t )).
2 X (t ) = t − k e I (t ) (P (t ) + I (t ))(1 − G − 2 (t )) +
0
2k
1
Так как X (t ) ∈ H α , то функции
F (z ) = −
1
1 a +b
τ dτ
π
∫
0
Φ(z ) = −
1
π
∫∫
E+
∫∫
E+
2
ζ
ζX  
 ξ  dµdv
ζ − τb z
ζ
2ζ X  
 ξ  dµdv + 1
ζ−z
являются единственными решениями задачи в классе
73
ω.
(11)
(12)
Библиографический список
1. Векда, И.Н. Обобщенные аналитические функции. – М. : Наука,
1988.
2. Гахов, Ф.П. Краевые задачи. – М. : Физматгиз, 1963.
О СУЩЕСТВОВАНИИ АТТРАКТОРОВ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Е.В. Лютов
Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарева,
г. Саранск, Россия
Задаче существования полиномиальных аттракторов посвящено
большое количество работ, например, [1], [2]. Изучение этой задачи – важнейшая часть теории и приложений обыкновенных дифференциальных
уравнений. Среди всех задач такого рода особое место занимает задача
существования аттракторов у дифференциальных уравнений второго порядка, поскольку уравнениями такого вида описываются движения механических систем, а также многие другие физические процессы. Так,
например, задачи такого вида возникают при изучении явления рассеяния
энергии в механических системах. В теории гравитационного поля также
имеются уравнения второго порядка, решения которых при стремлении
независимой переменной к бесконечности сколь угодно приближаются к
многочленам первой степени [3]. В настоящей работе ищутся условия, при
которых решения дифференциального уравнения второго порядка имеют
полиномиальную асимптотику первого порядка.
Рассмотрим уравнение
x ′′ = f (t , x, x ′) ,
f ∈ C ([T ,+∞) × R 2 , R) ,
(1)
Определение 1. Будем говорить [1], что уравнение (1) имеет полиномиальную асимптотику первого порядка, если для всякого решения
x(t ) этого уравнения существует такой полином p(t ) = a 0 t + a1 , что
x(t ) = p (t ) + o(1) , x ′(t ) = p ′(t ) + o(1) при t → +∞ .
В работе [1] были найдены достаточные условия существования
полиномиальной асимптотики первого порядка решений уравнения (1).
Используем эти результаты для доказательства следующей теоремы, в
74
которой несколько изменены ограничения, накладываемые на функцию
λ.
Теорема 1. Пусть в уравнении (1)
t ≥ T , λ ∈ C ([T ,+∞) × R +2 , R+1 ) , R +
1
 | x| ′ ,
f (t , x, x ′) ≤ λ  t ,
, | x |
 t

= [0,+∞) , где
a) λ (t , α 1 , α 2 ) ≤ λ (t , β 1 , β 2 ) при α i ≤ β i , i = 1,2 и любом t ≥ T ;
b) решения уравнения dz = λ (t , z ) равномерно ограничены,
0
dt
λ 0 (t , z ) = λ (t , z , z ) ;
c)
+∞+∞
∫ ∫ λ0 ( s 2 , α )ds1 ds 2 = o(1)
при t → +∞ и любом α ∈ R +1 .
t s1
Тогда уравнение (1) имеет все решения
x(t ) такие, что
x(t ) → a 0 t + a1 , x ′(t ) → a 0 при t → +∞ .
Доказательство. На множестве T ≤ t 0 ≤ t < +∞ имеем
t
x(t ) = a 0 t + a1 + ∫ (t − s) f ( s, x( s), x ′( s))ds .
(2)
t0
Не теряя общности, считаем t ≥ 1. Тогда
t
a1 t
 x( s)
 .
x(t )
, x ′( s ) ds
≤ a0 +
+ ∫ f ( s, x( s ), x ′( s )) ds ≤ c1 + ∫ λ  s,
t
t
s

t0
t0 
Дифференцируя (2), получим
t
 x( s )

x ′(t ) ≤ c 2 + ∫ λ  s,
, x ′( s) ds .
s

t0 
Пусть
 x(t )

v(t ) = max
, x ′(t )  . Тогда, обозначая c 0 = max {c1 , c 2 },
t
 t

получим
t
t
 x( s )

v(t ) = c 0 + ∫ λ  s,
, x ′( s ) ds ≤ c 0 + ∫ λ 0 (s, v( s) )ds .
s

t0 
t0
75
Последнее неравенство означает, что
v(t )
есть решение уравне-
ния dz = λ0 (t , z ), и, значит, v (t ) ≤ C (r ) при v(t0 ) ≤ r. Следовательно,
dt
x(t ) ≤ C ⋅ t ,
x′(t ) ≤ C при t ≥ t0 .
Тогда из
t
t s1
t0
t0 t0
∫ (t − s) f (s, x(s), x′(s))ds = ∫∫ f (s2 , x(s2 ), x′(s2 ))ds1ds2
полу-
чим
+∞ +∞
x(t) = a0t + a1 + ∫
∫
+∞ +∞
f ( s2 , x(s2 ), x′(s2 )) ds1ds2 ≤ a0t + a1 + ∫ ∫ λ0 ( s2 ,C) ds1ds2
t s1
t0 s1
при t → +∞ . Последний интеграл сходится по условию теоремы. Теорема доказана. Следуя той же схеме, можно получить аналог теоремы 1
для многомерного случая.
Покажем различие условий теоремы из работы [1] и теоремы 1 на
α
α α − α2
примере. Пусть λ (t , α1 , α 2 ) = 31 + 1
, тогда λ0 (t , α ) = 3 . Очевидt
t
t
но, что решения уравнения
+∞ +∞
α
∫∫s
t
s1
3
dz z
=
dt t 3
ds1ds2 = o(1), тогда как условие
2
равномерно ограничены, и
+∞ +∞
 α1
∫ ∫  t
t
s1
3
+
α1 − α 2 
t
 ds1ds2 = o(1),

тре-
буемое в [1], не выполняется.
Приведем пример применения полученной теоремы к задаче рассеяния энергии. Пусть механическая система описывается уравнением
[4]:
1 dA(q )
∂R(q)
A(q )qɺɺ + qɺ T
qɺ = −C (t )q −
− K (q)qɺ , q ∈ R.
(3)
2
dq
∂q
dA( q)
.Тогда если
Предположим, lim dC (t ) < 0 и
lim
=0
t → +∞ dt
q → +∞ dq

dR
1 dA(q) 2 
 |q|

A−1 (q)  C (t )q +
+ K (q)qɺ +
qɺ  ≤ λ  t ,
,| qɺ |  ,
dq
2 dq
 t



76
где функция λ удовлетворяет всем условиям теоремы 1, то, следуя
работе [4], нетрудно показать, что в механической системе, описываемой уравнением (3), имеет место явление рассеяния энергии.
Библиографический список
1. Воскресенский, Е.В. Об аттракторах обыкновенных дифференциальных уравнений // Известия вузов. Математика, 2003. – №4. – С. 17 – 26.
2. Кудрявцев, Л.Д. О полиномиальных аттракторах обыкновенных
дифференциальных уравнений // Докл. РАН, 1997. – Т.354. – №2. –
С. 162 – 164.
3. Моисеев, Е.И., Садовничий, В.А. О краевых задачах для одного нелинейного уравнения теории гравитации. – М. : Изд-во МГУ, 1986. – 85 с.
4. Лютов, Е.В. О рассеянии энергии в механических системах // Материалы научной конференции XXXIV. Огаревские чтения. Прикладная математика. – Саранск : СВМО, 2005. – С. 45 – 47.
ОБРАТНАЯ КОЭФФИЦИЕНТНАЯ ЗАДАЧА
ДЛЯ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ В КРУГЕ
Г.С. Колгушкина
Пензенская государственная технологическая академия,
г. Пенза, Россия
В данной работе рассматривается решение обратной коэффициентной задачи для первой краевой задачи сопряжения в круге с использованием метода операторов преобразований. Указанная задача решена
как для скалярного, так и для матричного случая.
В нашей работе операторный метод развивается для задач математической физики неоднородных структур, при этом открыта возможность сведения задачи кусочно-однородной среды к соответствующей
однородной задаче; аналитическая форма получаемого таким методом
решения удобна для изучения его асимптотических свойств, упрощается вычислительная схема при применении численных методов.
Метод интегральных преобразований обладает рядом существенных преимуществ, к которым можно отнести стандартную технику вычислений, возможность представления решения в различных видах.
Это особенно важно в приложениях, когда необходимо получать решения в удобном для расчета виде, как для малых, так и для больших значений независимого переменного. Наконец, при наличии большого ко77
личества таблиц, прямых и обратных для данного вида преобразований
техника вычислений намного упрощается и ускоряется.
Рассмотрим первую краевую задачу сопряжения в круге по отысканию функции u ( r , ϕ ) = ( Θ ( r ) − Θ ( r − r0 ) ) u1 (r , ϕ ) + ( Θ ( r − r0 ) − Θ ( r − 1) ) u2 (r ,ϕ ), являющейся решением сепаратной системы уравнений Лапласа в круге:
 ∆u1 ( r , ϕ ) = 0, 0 ≤ r < r0 , 0 ≤ ϕ ≤ 2π

 ∆u2 ( r , ϕ ) = 0, r0 < r < 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2π ,
для которой выполняется граничное условие
u 2 (r ,ϕ ) r =1 = f (ϕ )
и условия сопряжения на некоторой окружности радиуса r0 : 0 < r0 < 1:
∂u (r ,ϕ )
u1 (r ,ϕ ) r =r = u 2 (r ,ϕ ) r =r ; k ∂u1 (r ,ϕ )
= 2
,
∂r
∂r
r =r
r =r
0
0
0
0
1, x > 0 – функция Хевисайта u ( r , ϕ ) ; u ( r , ϕ )
где
понима1
2
Θ( x ) = 
r =r
r =r
0, x < 0
ются как предельные значения функции u = u (r ,ϕ ) при стремлении к
0
окружности
r = r0
изнутри и извне соответственно;
0
k
– положитель-
ное действительное число.
Постановка обратной коэффициентной задачи: по известным значениям u1 r ,ϕ j , u1 r02 r ,ϕ j (0 < r < r0 , j = 1,2,..., n ) определить зна-
(
) (
)
чение коэффициента k из первой краевой задачи сопряжения.
Поставленная таким образом задача является некорректной [1]. В
настоящей работе для ее решения используется метод операторов преобразований.
При решении первой краевой задачи сопряжения в круге была получена следующая формула [3]:
uˆ (r ,ϕ ) =
1+ k
1− k
u1 (r ,ϕ ) +
u1 (r02 r ,ϕ ),
2
2
где uˆ (r ,ϕ ) – решение соответствующей однородной первой краевой
задачи.
Найдем коэффициент k из условия минимального отклонения
теоретических значений от практических:
2
 1 + k
1− k


u1 ( r , ϕ j ) +
u1 ( r02 r , ϕ j )  − uˆ ( r , ϕ j )  → min .
∑

2

j =1  2

n
78
Получим:
∑ (u ( r , ϕ ) + u ( r
n
k = −
j =1
j
1
2
0
1
r , ϕ j ) − 2 uˆ ( r , ϕ
)) ( u ( r , ϕ ) − u ( r
j
∑ (u ( r , ϕ ) − u ( r
n
j =1
j
1
2
0
1
j
1
r ,ϕ
))
j
1
2
0
r ,ϕ
j
))
.
2
В этой формуле участвуют наблюдаемые значения u(r,ϕ ), u(r 2r,ϕ )
j
j
0
и значения решения модельной задачи Дирихле uˆ ( r , ϕ j ) .
Найденная таким образом расчетная формула была проверена с
помощью MathCAD2001 на примере задачи Дирихле, в которой
5(2 − cosϕ )
16 − 2 cosϕ ,
f (ϕ ) =
−
2(5 − 4 cosϕ ) 64 − 16 cosϕ + 1
u1 (r ,ϕ j ) =
uˆ (r ,ϕ j ) =
4 − 2r cos ϕ j
4 − 4r cos ϕ j + r
2
(
)
, u r 2 r ,ϕ =
1 0
j
(1 − r ) f (t ) dt .
1
∫
2π 0 1 − 2r cos(ϕ j − t ) + r 2
2π
4 − 2rr02 cos ϕ j
4 − 4rr cos ϕ j + r r
2
0
2
,
4
0
2
0
2π j
,
r = 0, 25, r0 = 0,5 для коэффициента k
n
было получено расчетное значение k = 1, 406 при теоретическом значении k = 1,5 . Была замечена следующая тенденция: чем ближе выбирается окружность, на которой ведутся наблюдения к окружности сопряжения, тем точнее расчетное значение. Так, при r = 0, 49 расчетное
значение составляет уже k = 1, 494 .
При n = 50, ϕ j =
В векторном случае, т. е. если u1 (r ,ϕ ) – вектор, а k – симметрическая положительно определенная матрица второго порядка [2], расчетное значение можно найти по формуле
k = B −1 ⋅ C ,
где
 b1 j 
 b1 j  1
B =   (b
b ) ,   = ( u ( r,ϕ ) − u ( r 2 r,ϕ ) ) , ,
 b2 j 
1j
2j
 b2 j 
2
1
j
1
0
j
 b1 j 
 c1 j  1
C =   ( c1 j c2 j ) ,   = 2uˆ ( r , ϕ j ) − u1 ( r , ϕ j ) − u1 ( r02 r , ϕ j ) . .
 b2 j 
 c2 j  2
При этом справедливы все выводы, относящиеся к скалярному
случаю.
(
79
)
Библиографический список
1. Тихонов, А.Н., Арсеньев, В.Я. Методы решения некорректно поставленных задач. – М. : Наука, 1974. – 224 с.
2. Курош, А.Г. Курс высшей алгебры. – М. : Наука, 1971. – 432 с.
3. Зиновьева, Г.С., Операторный метод решения краевых задач сопряжения в кусочно-однородном круге // Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике : сб. материалов II Всероссийской научно-практической конференции. – Пенза, 2002. – С. 41 – 44.
Секция 2. ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ
И КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
СПОСОБ АППРОКСИМАЦИИ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ
В.М. Федосеев, Э.В. Карпухин
Пензенская государственная технологическая академия,
г. Пенза, Россия
Показательная функция занимает особое положение в классическом
математическом анализе, и, видимо, по этой причине вычислению её значений уделено внимание как никакой другой из функций. Исторически же
первым способом здесь явился отрезок ряда Тейлора, посредством которого Эйлер вычислил значение числа «е» с точностью до двадцати трёх знаков после запятой. В работах Эйлера имеется и другой способ задания показательной функции с помощью предельного равенства
n
e z = lim 1+ z  .
n→∞  n 
(1)
Однако в вычислительной практике данный способ распространения не получил по причине медленной сходимости последовательности, стоящей в правой части формулы. В самом деле имеет место оценка
n z 2e z
z
0 ≤ e z − 1 +  ≤
,
n

2n
из которой следует, что при
z ∈ [− 1;1]
для вычисления значений e z
с точностью до 10 −8 в формуле (1) следует принять
80
n = 1,5 ⋅108 , в то
время как в случае отрезка степенного ряда аналогичная точность получается при n = 11.
Расхождение между порядковым номером элемента последовательности из формулы (1) и показателем степени многочлена Тейлора велико,
но если сравнить данные способы по числу выполняемых арифметических
операций, то их характеристики оказываются примерно одинаковыми.
Поэтому в смысле вычислительной сложности способ, ориентированный
на формулу (1), не уступает степенному ряду. На его основе могут быть
построены эффективные и экономичные вычислительные алгоритмы, рассмотрение которых составляет содержание статьи.
В первом способе значения показательной функции предлагается вычислять посредством выражения
n

z
z2
z m  .
(2)

Tnm ( z ) = 1 + +
+⋯+
m
n 2!n 2
m
!
n


Формула (2) получена путём агрегирования формулы (1) с отрезком ряда Тейлора и позволяет, сочетая достоинства каждой из них, понизить вычислительную сложность алгоритмов при оптимальном выборе параметров n и m.
Для отклонения выражения (2) от показательной функции может
быть получена следующая оценка:
0 ≤ e z − Tnm ( z ) ≤
e z z m +1
.
(m +1)!nm
(3)
Вычислительные качества формулы (2) будут продемонстрированы в заключительной части статьи.
Другие вычислительные конструкции получаются путём агрегирования формулы (1) и рациональной аппроксимацией Паде R (z ) .
nm
В случае аппроксимации

z
 1+

Q1n ( z) =  2n
z

 1−

2n

z
имеем:
2
R11 ( z ) =
z
1−
2
1+
n


 ;




(4)
81
для аппроксимации
R22 ( z )


z
z2
 1+
+

2n 12n2
Q2n ( z ) = 

z
z2

+
 1−
2n 12n 2


будет
n



 .





(5)
При этом отклонения выражений (4) и (5) от показательной функции оцениваются неравенствами:
z
e z3
< 1 , z ∈  −1;1 ;
2
12n
4n2
z
e z5
0 ≤ e z − Q2n ( z) ≤
< 1 , z ∈  −1;1 .
4
720n
240n4
0 ≤ e z − Q1n ( z) ≤
(6)
(7)
Для других аппроксимаций Паде могут быть построены выражения, аналогичные (4) и (5).
В статье для вычисления значений показательной функции e z
предлагается три способа, основанных на формулах (2), (4) и (5). При построении данных формул в качестве исходного материала было использовано соотношение (1), которое было модифицировано путём агрегирования с указанными типами аппроксимаций показательной функции.
Цель работы состояла в построении алгоритмов, обладающих
наименьшей вычислительной сложностью, оцениваемой по числу выполняемых арифметических операций. Ниже приведена таблица, показывающая свойства полученных формул. При этом в качестве эталонов сравнения приняты отрезок ряда Тейлора и многочлен наилучшего равномерного
приближения. Для учёта погрешностей использованы формулы (3), (6) и
(7) при условии z ∈ [−1;1] .
Способ вычислений
Точность
n/m
Отрезок ряда Тейлора
Многочлен наилучшего
приближения
Формула (1)
10-8
10-8
11 / –
9/–
10-8
1,5 ⋅108
/–
30
Формула (2)
Формула (3)
Формула (4)
10-8
10-8
10-8
233 / 3
5⋅103 / –
23 / –
16
18
12
82
Количество
арифметических
операций
31
18
Данные таблицы свидетельствуют о том, что наименьшей вычислительной сложностью обладает алгоритм, основанный на формуле (5).
Количество использованных в нём арифметических операций в полтора
раза меньше, чем в случае многочленов наилучшего равномерного
приближения, и более чем в три раза меньше, чем у отрезка ряда Тейлора.
О РАВНОМЕРНОЙ ОЦЕНКЕ ОСТАТКА АППРОКСИМАЦИИ
НЕКОТОРЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Д.Г. Саникидзе, З.М. Нацвлишвили
Институт вычислительной математики им. Н. Мусхелишвили,
г. Тбилиси, Грузия
В работе [1] был изучен определенный вычислительный процесс
для сингулярных интегралов (в смысле главного значения по Коши)
вида
+1
ϕ (t )
dt (−1 < x < 1) .
t
x
−
−1
Указанный интеграл в [1] приближается выражением
S (ϕ ; x) = ∫
n
S n (ϕ ; x) ≡ ∑
( −1) k −1
n
k =1
где
n
k =1
n
1 − xkn2 Qn −1 ( x) + Tn ( x )ln 11+− xx  − Akn
(
), (2)
ϕ ( xkn ) −1 < x < 1
x − xkn
Tn ( x) = cos(n arccos x) ,
Qn −1 ( x) = ∑ Akn
(1)
x kn = c o s
2k − 1
π
2n
2
1
r (2k − 1) 
Tn ( x)
cos
π
, Akn = 1 − 2
2
4
−
1
n
r
n
x − xkn
r =1

нечетном и N = n − 2 при
N 2
∑
n
четном; в точках
(1 ≤ k ≤ n; n > 2) ,
( N = n − 1 при
x = xkn
под (2) по-
нимаются соответствующие предельные значения).
В упомянутой работе указана также оценка сверху остатка приближения интегралов (1) суммами S n (ϕ ; x ) в точках x ∈ ( −1,1) для
определенных классов функций ϕ (t ) , заведомо выполняющаяся равномерно на любом вложенном в (_1,+1) отрезке. Однако на основе такого рода оценок обычно невозможно утверждать что-либо относительно точности аппроксимации при сколь угодном приближении па83
раметра x к концам ±1. Более того, и ограниченность самого остаточного члена S (ϕ ; x) − Sn (ϕ ; x) при x → ±1 в общем случае не утверждается.
В связи с этим представляет интерес построение квадратурных
процессов, гарантирующих приближение сингулярных интегралов вида
(1) таким образом, чтобы соответствующий остаточный член равномерно на (_1,+1) стремился бы к нулю с увеличением n . Ниже поясняется, что такое приближение может быть осуществлено определенным
модифицированием указанных здесь сумм Sn (ϕ ; x) . С этой целью рас-
Sɶn , определенные следующим образом:
Sɶn (ϕ ; x) = S n (ϕ ; x ) , x ∈ [ xnn , x1n ] ;
смотрим суммы
k −1
n  ( −1)
1 − xkn2 Qn−1 ( x) − Akn ( −1) k −1 ( x 2 − 1)Tn ( x) 1 − x 

Sɶn (ϕ ; x) = ∑  n
+
ln
ϕ ( xkn ) +
2
x − xkn
1+ x 
k =1 
n
1
−
x
(
x
−
x
)
kn
kn


1
1− x ,
(−1)n−1 ( x − 1)ϕ (−1) + ( x + 1)ϕ (1)}Tn ( x)ln
{
2
1+ x
x ∈ (−1, xnn ) ∪ ( x1n ,1) .
При этом можно убедиться, что для rn (ϕ ; x) = S (ϕ ; x) − Sɶn (ϕ ; x )
+
справедливо
rn (ϕ ; x ) = Rn (ϕ ; x )ln
n (ϕ ; x)ln
rn (ϕ ; x) = R
+1
1− x
Rn (ϕ ; t ) − Rn (ϕ ; x )
+
dt ,
1 + x −∫1
t−x
+1
1− x
Rn (ϕ ; t ) − Rn (ϕ ; x)
+
dt ,
t−x
1 + x −∫1
x ∈ [ xnn , x1n ],
x ∈ ( −1, xnn ) ∪ ( x1n ,1),
где Rn (ϕ ; x ) – остаток интерполирования функции
выше узлам Чебышева –
{ xkn }k =1 , а
n
(3)
ϕ (t ) по указанным
n (ϕ ; x) –соответствующее выраR
жение при пополнении упомянутой системы узлов точками ±1 .
Согласно известным результатам (см. [3]), max Rn (ϕ ; x) не пре−1≤ x ≤1
восходит  8 +


4
π

ln n  En−1 (ϕ ) (где En −1 (ϕ ) – наилучшее приближение

ϕ (t ) в метрике С многочленами степени n − 1 ). Для Rɶ n (ϕ ; x ) , приме84
няя ряд несложных преобразований, может быть получена оценка
(смысл обозначения En (ϕ ′) , согласно предыдущему, ясен)
Rɶ n (ϕ ; x) ≤ (1 − x 2 ) Tn ( x) En (ϕ ′)ln (n + 1) ,
явным образом учитывающая соотношения Rɶ n (ϕ ; ±1) = 0 . Положив далее, что функция ϕ имеет на отрезке [_1,+1] производные вплоть до
порядка r , причем r -я производная принадлежит классу Гельдера с
показателем α ( 0 < α ≤ 1 ), то из предыдущих оценок следует:
Rn (ϕ ; x ) ≤
ln n
cr ln n , ɶ
Rn (ϕ ; x) ≤ cr (1 − x 2 ) r +α −1 ( −1 ≤ x ≤ 1) , (4)
n
n r +α
причем постоянная
cr
известным образом определяется.
Что же касается оценки интегралов в (3), то они сводятся (при
произвольно фиксированном β ∈ (0,1) ) к оценке выражения вида
H n (ϕ ; β ) = sup
t , x∈[ −1,+1]
Rn (ϕ ; t ) − Rn (ϕ ; x) . В связи с этим, если в доказаβ
t−x
тельстве леммы 2 из [1] принять
m = r ≥ 2 и под Ln−1 (ϕ ; t ) здесь под-
разумевать упомянутый выше интерполяционный многочлен по значениям
ϕ
в узлах
{ xkn }k =1 ,
n
то применением известного неравенства
Маркова
max Ln′ −1 (ϕ ; t ) ≤ n 2 max Ln −1 (ϕ ; t )
−1≤t ≤1
−1≤t ≤1
Ln−1 (ϕ ; t ) через соответствующую константу Лебега (см. [3]) для H n (ϕ ; β ) получаем оценку O ( n − r + 2 −α + β ) .
и оценки максимума модуля
Присоединяя к последней оценки для
max Rn (ϕ ; x )ln
xnn ≤ x≤ x1 n
1− x
1+ x
и
1 − x , получаемые использованием неравенств
Rɶ n (ϕ ; x)ln
x∈( −1, xnn )∪( x1 n ,1)
1+ x
(4) и полагая rn (ϕ ; ± 1) = lim rn (ϕ ; x) , мы для rn (ϕ ; x) получаем равноmax
x→±1
мерную относительно x ∈ [−1, +1] оценку O(n − r + 2−α +γ ) (при сколь
угодно малом γ ∈ (0,1) ) с известным образом определяемой константой.
85
Библиографический список
1. Саникидзе, Д.Г. О порядке приближения некоторых сингулярных операторов квадратурными суммами // Изв. АН Арм. ССР. Математика, 5. – 1970. – №4. – С. 371 – 384.
2. Саникидзе, Д.Г. Замечание о применении чебышевских узлов в
приближенном вычислении сингулярных интегралов с весовыми функциями Якоби // Труды Ин-та вычисл. матем. им. Н.И.Мусхелишвили
АН ГССР, XXVI:I. – 1972. – С. 221 – 233.
3. Натансон, И.П. Конструктивная теория функций. – М.-Л., 1949.
ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
И.В. Бойков
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
Начиная с 50 годов прошлого столетия приближенные методы вычисления сингулярных интегралов являются активно развивающимся
направлением вычислительной математики, развитию которого посвящены сотни статей и десятки монографий, в которых для различных
типов сингулярных интегралов предложены различные вычислительные схемы. В связи с обилием методов вычисления сингулярных интегралов возникает необходимость в критериях, позволяющих сравнивать
эти методы между собой.
Одним из критериев, позволяющих сравнивать различные алгоритмы, является оптимальность алгоритма по одному или нескольким
критериям.
Для вычисления сингулярных интегралов с фиксированной сингулярностью, сингулярных интегралов с ядрами Коши и Гильберта, полисингулярных интегралов с ядрами Зигмунда-Кальдерона-Михлина построены асимптотически оптимальные и оптимальные по порядку пассивные алгоритмы [1] – [3]. Для сингулярных интегралов с фиксированной сингулярностью, для сингулярных интегралов с ядрами Коши и
Гильберта и полисингулярных интегралов с ядрами Коши и Гильберта
построены асимптотически оптимальные и оптимальные по порядку по
сложности пассивные алгоритмы [2], [3].
Для вычисления сингулярных интегралов с ядрами Коши и Гильберта, полисингулярных интегралов с ядрами Коши и Гильберта, многомерных сингулярных интегралов с ядрами Зигмунда-Кальдерона86
Михлина построены [3] оптимальные по порядку по точности адаптивные алгоритмы.
Во всех работах, посвященных приближенным методам вычисления сингулярных интегралов, под приближенным методом понимается
квадратурная формула, построенная тем или другим методом.
Однако сингулярные и полисингулярные интегралы с ядрами Коши и Гильберта, а также многомерные сингулярные интегралы с ядрами Зигмунда-Кальдерона-Михлина, можно рассматривать как сопряженные функции и ставить задачу оптимального вычисления этих интегралов как задачу оптимального восстановления сопряженных функций.
Дадим соответствующие определения.
Вначале на примере интеграла с фиксированной особенностью
Jϕ =
ϕ (τ )
dτ
τ
−1
1
∫
дадим определение оптимальных по точности пассивных алгоритмов.
Поставим интегралу J ϕ в соответствие квадратурную формулу
N
ρ
Jϕ = ∑∑ pklϕ ( ) ( tk ) + RN ( tk , pkl ,ϕ )
l
(1)
k = 0 l =0
с погрешностью RN ( tk , pkl ,ϕ ) . Здесь tk , − 1 ≤ t0 < t1 < ... < t N ≤ 1, произвольные
узлы,
расположенные
на
сегменте
[-1,1],
pkl , k = 0,1,..., N , l = 0,1,..., ρ , − произвольные вещественные числа.
а
Если функция ϕ принадлежит функциональному множеству Ψ ,
то под погрешность квадратурной формулы (1) на множестве Ψ понимаем величину
RN (tk , pkl , Ψ ) = sup RN ( tk , pkl ,ϕ ) .
ϕ∈Ψ
Введем функционал
ζ N [Ψ ] = inf RN (tk , pkl , Ψ ),
tk , pkl
где нижняя грань берется по всевозможным узлам t k и коэффициентом
pkl .
87
Квадратурная формула с узлами
tk
и коэффициентами
pkl ,
pkl , k = 0,1,..., N , l = 0,1,..., ρ называется оптимальной, асимптотически
оптимальной, оптимальной по порядку, если
RN (tk , pkl , Ψ )
= 1, ∼ 1, 1.
ζ N [Ψ ]
Рассмотрим теперь постановки задачи построения оптимальных по
точности пассивных алгоритмов для сингулярных интегралов с переменной сингулярностью. Эти постановки изложим на примере сингулярных интегралов с ядром Коши:
1
ϕ (τ )
Kϕ = ∫
dτ , − 1 < t < 1.
τ −t
−1
Интегралу Kϕ поставим в соответствие квадратурную формулу
N
ρ
Kϕ = ∑∑ pklϕ ( ) ( tk ) + RN ( t , tk , pkl ,ϕ ) ,
l
(2)
k =0 l =0
погрешность которой определяется величиной
RN ( tk , pkl ,ϕ ) = sup RN ( t , tk , pkl ,ϕ ) .
−1<t <1
Здесь tk , − 1 ≤ t0 < t1 < ... < t N ≤ 1 произвольные узлы, расположенные на сегменте [-1,1],
pkl - произвольные вещественные числа.
Если функция ϕ принадлежит функциональному классу Ψ , то
под погрешность квадратурной формулы (2) на классе Ψ понимаем
величину
RN ( tk , pkl , Ψ ) = sup RN ( tk , pkl ,ϕ ) .
ϕ∈Ψ
Введем функционал
ζ N [Ψ ] = inf RN ( tk , pkl , Ψ ) ,
tk , Pkl
где нижняя грань берется по всевозможным узлам tk k = 0,1,..., N
и коэффициентам pkl k = 0,1,..., N , l = 0,1,..., ρ .
Квадратурная формула с узлами t k* , k = 0,1,..., N , с коэффициентами pkl* k = 0,1,..., N , l = 0,1,..., ρ называется оптимальной, асимптотически оптимальной, оптимальной по порядку, если
88
RN (tk* , pkl* , Ψ )
= 1, ∼ 1, 1.
ζ N [Ψ ]
Дадим еще одно определение оптимальных по точности пассивных
алгоритмов вычисления сингулярных интегралов с переменной сингулярностью.
Будем рассматривать интеграл Kϕ ( t ) как сопряженную функцию
ϕ (τ )
, − 1 < t < 1.
τ −t
−1
1
ϕɶ ( t ) = ∫
Пусть функция ϕ (t ) принадлежит классу Ψ . Тогда функция ϕɶ (t )
принадлежит классу Ψɶ .
Ставится задача: располагая N функционалами от функции
ϕ ∈ Ψ , построить оптимальный метод восстановления функции ϕɶ ∈ Ψɶ .
В [3] предложен следующий метод построения оптимальных по
порядку (в смысле данного определения) пассивных алгоритмов вычисления сингулярных интегралов с переменной сингулярностью.
ɶ,к
Пусть ϕ ∈ Ψ . На первом этапе алгоритма определяется класс Ψ
которому принадлежат функции ϕɶ ∈ Kϕ , ϕ ∈ Ψ.
На втором этапе вычисляются поперечники Бабенко и Колмогоро-
ɶ и строится локальный сплайн, приблива функционального класса Ψ
ɶ
жающий функции ϕɶ ∈ Ψ с точностью, совпадающей по порядку с величинами поперечников Бабенко и Колмогорова.
Алгоритм восстановления сопряженной функции ϕɶ ∈ Kϕ , ϕ ∈ Ψ
заключается в том, что функция ϕɶ (t ) аппроксимируется локальным
сплайном ϕɶ N (t ), составленным из интерполяционных полиномов.
В качестве значений функции ϕɶ (t ) в узлах интерполяции берутся
1
значения ϕɶ t = ϕ (τ ) , вычисленные по оптимальным квадратурным
() ∫
τ −t
−1
формулам.
В докладе дан обзор оптимальных по точности методов приближенного вычисления сингулярных, полисингулярных и многомерных
сингулярных интегралов, ранее опубликованных в [1] – [4], а также
89
приводятся оптимальные алгоритмы вычисления гиперсингулярных
интегралов, являющиеся развитием результатов работы [5].
Приведены также новые результаты. В частности, введен новый
класс гиперсингулярных интегралов и построены эффективные методы
вычисления интегралов, входящих в этот класс.
Библиографический список
1. Бойков, И.В. Оптимальные по точности алгоритмы приближенного
вычисления сингулярных интегралов. – Саратов : Изд-во Сарат. гос. ун-та,
1983. – 210 с.
2. Бойков, И.В. Пассивные и адаптивные алгоритмы приближенного
вычисления сингулярных интегралов. Ч. 2. – Пенза : Изд-во Пенз. ГТУ,
1995. – 128 с.
3. Бойков, И.В. Приближенные методы вычисления сингулярных и
гиперсингулярных интеграловю Ч. 1. – Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та,
2005. – 364 с.
4. Boikov, I.V. Numerical methods of computation of singular and
hypersingular integrals // International Journal of Mathematics and Mathematical
Sciences. – 2001. – V.28 – N3. – P.127 – 179.
5. Бойков, И.В. Приближенные методы вычисления интегралов Адамара и решения гиперсингулярных интегральных уравнений. И.В. Бойков,
Н.Ф. Добрынина, Л.Н. Домнин. – Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2006. –
188 с.
ОБ ОДНОМ АЛГОРИТМЕ АППРОКСИМАЦИИ
МНОГОЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИЙ ПЕРЕМЕННЫХ
Е.В. Исаев, Т.И. Шалдыбина
Пензенская государственная технологическая академия,
г. Пенза, Россия
В задачах анализа реализаций случайных полей, заданных на множествах точек, не обладающих достаточной регулярностью, приходится проводить аппроксимацию частей этих реализаций. Известные в
настоящее время алгоритмы аппроксимации, базирующиеся в основном на различных модификациях сплайнов, не в полной мере обеспе90
чивают эффективность дальнейшего использования получаемых результатов.
В настоящей работе изложен алгоритм аппроксимации полиномами, построенными на базовых функциях [1], для которых известны образы интегральных преобразований, применяемых при анализе случайных полей. Некоторые принципы, показывающие возможность создания такого алгоритма для одной из базовых функций, изложены в работе [2].
Пусть значения аппроксимируемой функции f ( x) заданы на
ε -сети
n
[3] точек внутри выпуклой области D пространства R ,
имеющей конечный диаметр. Здесь ε -сеть – это множество точек
A ⊂ D такое, что для любой точки x ∈ D найдётся хотя бы одна точка
a∈ A ,
среди
для которой
N
ρ ( x, a ) ≤ ε .
Кроме того, предполагаем наличие
заданных значений функции
f ( x) m локальных экстрему-
мов.
Локальными экстремумами будем называть точки
рых выполнены условия:
f ( xe ) ≤ f ( xr ) при xe
≠ xr
f ( xe ) ≥ f ( xr ) при xe ≠ xr
где
δ >ε
ρ ( xe , xr ) ≤ δ
(локальный минимум);
ρ ( xe , xr ) ≤ δ (локальный максимум),
ρ ( x p , xr ) ≤ δ и точка xr уже от-
при x p ≠ xr
несена к множеству экстремумов, то
xp
не относится к множеству
экстремумов.
Аппроксимирующий полином имеет вид:
m
 x − xˆ j 
fɶ ( x) = ∑ fˆjϕ 
 αˆ j 
j =1


где fˆj , xˆ j , αˆ j ,
ϕ ( x)
для кото-
− заданное фиксированное число. Если для некоторой точки
x p f ( x p ) = f ( xr )
ров,
xe ,
(1)
j = 1, m − совокупности n-мерных векторов парамет-
− базовые функции. Этот полином строится исходя из прин-
ципов эрмитовой интерполяции в локальных экстремумах. В частности,
выдвигается требование
91
fɶ ( xk ) = f ( xk ),
∂fɶ
∂x i
= 0, k = 1, m, i = 1, n ,
(2)
x = xk
где x k = ( x k ,..., x k ) − координаты k-го локального экстремума.
1
n
На основании указанных требований получается система m(n + 1)
нелинейных уравнений относительно m ( n + 1) неизвестных
fˆ1 ,..., fˆm ,
1
n
1
n
xˆ11 , ..., xˆ1n , xˆ 2 ,..., xˆ 2 ,..., xˆm ,..., xˆ m , для приближенного решения которой
строится процесс простых итераций.
Обозначим:
 x − xˆ j
ϕ j ( x) = ϕ 
 αˆ
j

,


ϕ i ( x) =
∂ϕ ( x) , i
ϕ ij ( x) , j = 1, m ,
λ
(
x
)
=
j
∂x i
ϕ j ( x)
m fˆ
m
, i
,
j
i
γ k = ∑ fˆjϕ j ( xk ) γ k = ∑ ϕ j ( xk )
ˆ
j =1 α j
j =1
i = 1, n, k = 1, m .
(3)
j ≠k
j≠k
На основании свойств базовых функций [1], в обозначениях (3) эквивалентная (2) система уравнений может быть представлена в виде:
f ( xk ) − γ
γ ki
1 i
k
, fˆ =
, k = 1, m, i = 1, n . (4)
λk ( xk ) = −
k
ϕ
(
)
x
f ( xk ) − γ
αˆ j
k
k
k
В силу свойства базовых функций, логарифмическая функция
λki ( x )
функции
ϕk ( x )
по i-му аргументу имеет обратную функцию
wki ( y ) . Тогда система уравнений (4) преобразуется в

,
γ ki
f ( xk ) − γ
xki − xˆki
k = 1, m, i = 1, n . (5)
i
k

 fˆ =
= wk −
,
i
 f ( xk ) − γ  k
ϕk ( xk )
αˆ k
k 

Таким образом, итерационная процедура расчёта совокупностей
1
n
1
n
параметров fˆ1 ,..., fˆm , xˆ11 , ..., xˆ1n , xˆ2 ,..., xˆ 2 ,..., xˆ m ,..., xˆ m формируется в
виде:
92
( xˆ )
i
k p+1
( ) , ˆ
f
( )  ( )

γi
k p
= xki −αˆki wki −
 f (xk ) − γ k

k
p
p+1
=
( )
f (xk ) − γ
k p
 xk −( xˆk ) 
p+1 
ϕ
 αˆ j



k = 1, m, i = 1, n,
(6)
,
где p – номер шага итераций.
Условия сходимости аналогичных (6) процедур приведены в [4],
причём, исходя из их сходимости, определяется совокупность параметров αˆ11 , ...,αˆ1n , αˆ 21 , ...,αˆ 2n , …, αˆ m1 , ...,αˆ mn . Итерации (6) останавливаются,
если в избранных нормах выполняются условия
( fɶ ( x ) )
k
p
причём нормы
− f ( xk ) ≤ ε 1 ,
1
i1и i
2
∂fɶ
∂xi
(7)
≤ ε2,
x = xk 2
выбираются так, чтобы одним числом опре-
делять всю совокупность экстремумов.
Построенная выше процедура может обеспечить требуемую точность приближения лишь в некоторых малых окрестностях локальных
экстремумов. В узлах, лежащих вне этих окрестностей, точность никак
не гарантирована. Поэтому необходимо прибегнуть к последовательным приближениям.
Суть её вполне очевидна. Пусть по исходным данным, в соответствии с вышеприведённой процедурой построен аппроксимирующий
полином fɶ0 ( x) . В требуемой норме на всей совокупности узлов оценивается
f ( x) − fɶ0 ( x ) . Если требуемая точность не достигнута, то ап-
проксимируется разность f1 ( x ) = f ( x) − fɶ0 ( x) . И так далее, до тех
пор, пока на очередном шаге не окажется
f r ( x ) ≤ ε , где
ε
− требуе-
мая точность аппроксимации. Результатом, таким образом, будет полином fɶ ( x) = fɶ0 ( x) + fɶ1 ( x) + ... + fɶr ( x) .
Сходимость последовательных приближений обеспечивается путём управления от шага к шагу величиной
цию локального экстремума.
δ , определяющей фикса-
Библиографический список
93
1. Исаев, Е.В., Ефимушкина, О.В. Свойства базовых функций при
моделировании многомерных многоэкстремальных зависимостей // В
сб. статей XVII Международной науч.-техн. конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании». – Пенза : НОУ «Приволжский Дом знаний». –
2006. – С. 39 – 43.
2. Ерохин, А.Т., Исаев, Е.В., Качалов, Е.И. Аппроксимация многоэкстремальных функций многих переменных // В сб. «Исследования по
теории динамической гравиметрии». – М. : Изд-во ИФЗ АН СССР,
1977. – С. 247 – 256.
3. Колмогоров, А.Н., Фомин, С.В. Элементы теории функций и
функционального анализа. – М. : Наука, 1972. – 497 с.
4. Исаев, Е.В., Ерохин, А.Т. Условия сходимости итерационных
процедур локальной аппроксимации в экстремумах // В межвуз. сб.
науч. тр. «Применение вычислительных методов в научно-технических
исследованиях». – Пенза : Пенз. политехн. ин-т, 1984. − С. 25 – 28.
Секция 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ЭКОНОМИКИ, ЭКОЛОГИИ, ДЕМОГРАФИИ,
СОЦИАЛЬНЫХ НАУК
ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НАСЕЛЕНИЯ
И.В. Бойков, А.Ю. Логинов
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
Численность популяции может меняться во времени различным
образом: расти, совершать колебания, падать, и причины этого могут
быть различны. Здесь мы рассмотрим демографическую модель и математический аппарат ее построения.
Для начала введем функцию p(t ,τ ), характеризующую численность населения возраста τ в момент времени t .
Очевидно, что t ∈ [ 0, ∞ ) , , а τ ∈ [ 0,T0 ] (продолжительность человеческой жизни ограничена). Тогда рассмотрим функцию численности
p(t ,τ ) над полуполосой [ 0, ∞ ) × [ 0, T0 ] .
94
Через функцию µ (t ,τ ) обозначим коэффициент смертности, такой, что, число умерших в момент времени t возраста τ находится по
формуле: p(t ,τ ) ⋅ µ (t ,τ ) .
Пусть a (t ,τ ) – коэффициент рождаемости, причем число родившихся в момент
времени
t
находится следующим
образом:
T0
∫ p(t − 1,τ ) ⋅ a(t ,τ )dτ .
Здесь численность населения берется в предыду-
0
щий момент времени исходя из естественных биологических явлений и
общепринятых статистических данных.
За v(t ,τ ) возьмем функцию, задающую коэффициент миграционного сальдо в момент времени t возраста τ . Само сальдо задается
формулой: p(t ,τ ) ⋅ v(t ,τ ). . Заранее оговоримся, что сальдо положительно, если иммиграция превышает эмиграцию, и отрицательно, если
наоборот.
Пусть функция p(t ,τ , θ ) описывает развитие популяции в
[ 0, ∞ ) × [0,T0 ]
в момент времени θ . В этом случае развитие популяции
p(t ,τ , θ ) по времени t можно исследовать по аналогии с движением
идеальной жидкости. Тогда уравнение развития популяции имеет вид
∂p
= div ( grad p ) + F ( t ,τ , θ ) ,
(1)
∂θ
где F(t ,τ ,θ ) – интенсивность источников в точке (t ,τ ) в момент времени θ .
Нетрудно заметить, что описываемая таким образом популяция
является стационарной (не зависит от θ ). Повторяя рассуждения, проведенные в [1] для потока идеальной жидкости, приходим к уравнению
div ( grad p ) = − F ( t ,τ ) .
Функции p(t ,τ ) ⋅ v(t ,τ ) и p(t ,τ ) ⋅ µ (t ,τ ) задают расположение и
мощность «стоков» и «истоков» внутри полуполосы.
Исходя из вышесказанного, следует, что стационарное состояние
«жидкости» можно описать уравнением Пуассона:
∆p(t ,τ ) = p(t ,τ ) ⋅ ( µ (t ,τ ) − v(t ,τ ) ) .
(2)
Правая часть уравнения записана таким образом, чтобы «стоки»
были со знаком «+», а «истоки» – со знаком «-».
95
Граничные условия для данного уравнения задаются следующим
образом:
T0
p (t , T0 ) = 0, p (t ,0) = ∫ p (t − 1,τ ) ⋅ a (t ,τ )dτ , p (∞,τ ) = 0, p (0,τ ) = p0 (τ ),
(3)
0
где p0 (τ ) известная функция, задающая начальное распределение
населения по возрастам.
В итоге, уравнение (2) с учетом (3) дают задачу Дирихле на полуполосе [ 0, ∞ ) × [ 0, T0 ] .
Одновременно задачу (2)-(3) можно трактовать как задачу с открытыми границами. Тогда, согласно [2], решение уравнения Пуассона
(2) в неограниченном пространстве, стремящееся к нулю на бесконечности, единственно.
Вычислительная схема строится следующим образом. Согласно [3,
4, 5] численность населения старше 100 лет настолько мала, что целесообразно взять T0 = 99 . Интервал [0,99] разбивается на 4: [0,19],
[20,39], [40,59], [60,99].
По времени берется шаг, равный одному году. Аппроксимируя
оператор Лапласа разностным оператором на пятиточечном регулярном шаблоне «крест», уравнение (2) принимает вид:
p i − 1 , j − 2 ⋅ p i , j + p i + 1, j
12
i = 1, ∞ ; j = 1, 3,
+
p i, j −1 − 2 ⋅ p i, j + p i , j +1
20 2
= pi, j ⋅ ( µ i, j − vi, j ),
(4)
где pi , j = p(i, j ⋅ 20) ; аналогичная сетка используется и для остальных
функций уравнений (2), (3).
В данной вычислительной схеме предполагается неизвестной лишь
pi +1, j .
Иначе говоря, для вычислений используются данные двух
предыдущих лет. В итоге, неизвестные значения находятся по формуле
pi , j −1 + pi , j +1
2 

pi +1, j = pi , j ⋅  µi , j − vi , j + 2 + 2  − pi −1, j −
.
(5)
20 
202

Приведем результаты численных экспериментов с предложенной
выше моделью.
За начальные данные были взяты показатели 1994-95 годов [3,4].
Пользуясь этими данными был рассчитан прогноз демографической
ситуации в Пензенской области на последующие 4 года. Полученные
результаты представлены в виде таблицы, в которой: в строках – дан96
ные за год; в столбцах – численность населения данного возраста в
данный год, далее – общая численность населения Пензенской области
в данный год, в скобках указана фактическая численность.
Распределение населения в тыс. человек в 1996 – 1999 гг.
Год
1996
1997
1998
1999
0-19
413.52
405,51
396,75
389,23
20-39
444,58
442,06
437,43
430,73
40-59
400,88
402,46
405,74
406,73
60-99
300,46
303,43
306,28
313,00
Общ.числ.
1559,4 (1562,5)
1553,4 (1555,5)
1546,2 (1548,8)
1538,6 (1541,8)
Данная задача носила тестовый характер, так как демографические
данные за прогнозируемые года известны. Непосредственная проверка
с реальными данными [3, 4] показала, что ни одна из полученных величин не отклоняется от реальной более чем 2%.
Приведенные выше результаты позволяют сделать вывод, что
предложенная демографическая модель населения Пензенской области
может быть эффективной при прогнозировании демографических ситуаций на период от 1 до 5 лет.
Библиографический список
1. Владимиров, В.С. Уравнения математической физики. – М. :
Наука, 1981. – 512 с.
2. Соболев, С.Л. Уравнения математической физики. – М., 1954. –
444 с.
3. Демографический ежегодник России : стат. сб. / Госкомстат
России. – М., 2002. – 397 с.
4. Регионы России. Социально-экономические показатели.2003 :
стат. сб. / Госкомстат России. – М., 2003. – 895 с.
97
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ЗЕМЕЛЬНЫХ РЕСУРСОВ
В.Ф. Майер, В.В. Сенкус
Новокузнецкий филиал-институт
Кемеровского государственного университета,
г. Новокузнецк, Россия
При двухуровневой системе (рис. 1), состоящей из центрального
органа (ЦО) и n элементов A , время функционирования системы раз-
i
бивается на плановые периоды с номерами
r = 0, 1, …
.
Рис. 1. Двухуровневая система управления
В каждом плановом периоде ЦО располагает запасом земельного
ресурса определенного вида в количестве R. Через
количество ресурса, распределяемого элементу
Ai
характеризуется функцией
количестве
стве
ri
элемент
yi = ϕi (ri ).
Ai
Ai .
ri
обозначается
Каждый элемент
ϕi (ri ) , т. е. при получении ресурса в
производит полезную продукцию в количе-
Функции
ϕi (⋅)
определяют количество выходной
продукции в едином выражении (например, денежном). Задаемся
функций
ϕi (ri ) , считая ϕi (ri ) = αi ri
(αi > 0) , что соответ-
ствует экономическим представлениям о монотонности возрастания
производственной функции и её вогнутости (связанной с насыщением).
98
Коэффициенты
αi
являются коэффициентами эффективности произ-
водства. Задачей центра является задача выявления условного экстремума:
n
n
(1)
∑ αi ri → max ; ∑ ri = R,
r , …, rn i =1
i=1
1
то есть такое распределение ресурса, при котором суммарное количество полезного продукта, производимого системой, максимально.
Задача становится нетривиальной, если учесть, что на верхнем
уровне отсутствует точная информация об элементах нижнего уровня.
У ЦО отсутствует достоверная информация о коэффициентах эффективности
αi ,
и он не имеет возможности решить задачу (1). Для
успешного распределения ресурса ему необходимо организовать сбор
данных (информации), а проблема порождает круг задач с наличием
интересов у элементов нижнего уровня.
Функция α r отражает предельные возможности элемента, а не
i
i
жесткую связь между его входом и выходом. Если элемент
Ai
не за-
интересован в результатах своего труда, то он получает ресурс в любом
количестве
ri
и может не использовать его (на выходе y = 0 ) или моi
жет использовать ниже своих предельных возможностей, получая выходной продукт в количестве y < α r .
i
i
i
Центр должен заинтересовывать участие ресурса в результатах его
использования, делать выигрыш элементов A равным D = βα r ,
i
i
i
i
где коэффициент пропорциональности β равен единице, что не меняет
выводов. Функции выигрыша элементов равны D = α r , и каждый
i
Ai
i
i
стремится к максимизации своего выигрыша. При этом ЦО органи-
зует работу системы в каждом r-м периоде и запрашивает элементы о
величинах коэффициентов α . Каждый элемент A выдает значения
i
i
r
параметров « x », а ЦО подставляет в (1) вместо неизвестных α
i
i
99
ве-
личины
ресурса
xir , что позволяет решать задачу оптимального распределения
(xr )2
rir = i
R,
∑(xir )2
i
(2)
в которой в зависимости от размера величины
xir , тот получает боль-
шее количество ресурса, кто сообщает наибольшую величину, так как
Di = αi ri монотонно возрастает по ri . В такой системе элементы
будут сообщать бóльшие и бóльшие величины x r , пока она не пойдет
i
«вразнос». Существуют две причины плохой организации работы системы: 1) каждая функция Di монотонно возрастает по
ri , поэтому все
элементы стремятся получить ресурса как можно больше; 2) элементы
не наказываются за обман. Для ликвидации первой причины используется механизм цен. Функции выигрыша элементов делаются равными:
(3)
Di = α i ri − λ ri ,
где λ – цена на ресурс; величина α r – доход элемента; λ r – деньги,
i
i i
уплаченные за ресурс; α r − λ r – прибыль. Функции выигрыша (3)
i
i
i
имеют вид, изображенный на рис. 2 (кривые соответствуют разным
ценам). Каждая функция (3) достигает максимума в некоторой точке
ri* ,
т. е. для каждого элемента существует оптимальное количество
получаемого ресурса. Следует отметить, что r* зависят от λ, причем
i
функции r* (λ ) монотонно убывают по λ (чем цена больше, тем оптиi
мальнее объем закупки ресурса).
100
Рис. 2. Функции выигрыша при различных ценах
При работе системы с функциями выигрыша (3), предполагается,
что она функционирует по-старому: в каждый период ЦО производит
опрос элементов нижнего уровня, а затем делит ресурс по правилу (2).
Для удобства анализа R = 1 , а величина ( xr )2 является запросом, на
i
ресурс, и правило (2) делит ресурсы пропорционально запросам. В зависимости от фиксированной цены возможны три варианта: I)
(дефицит ресурса); II)
(избыток ресурса); III)
∑ ri* < 1
i
∑ ri* > 1
i
*
∑ ri = 1. При
i
дефиците ресурса элементы в сумме хотят больше, чем имеется в наличии, поэтому при различных действиях центра кто-то получит меньше
желаемого количества и в следующем периоде увеличит запрос. В следующем периоде ресурса меньше, чем нужно, и его, возможно, получит
кто-нибудь другой, поэтому он будет увеличивать запрос. При наличии
дефицита ресурса запросы растут до бесконечности или некоторого
установленного предела, поэтому система идет «вразнос» или выходит
на некоторый предел запросов, что влечет распределение ресурса при
отсутствии достоверной информации. При избытке ресурса картина
будет неприглядной, так как элементы будут занижать запросы. Третий
вариант представляется благоприятным, все элементы желают столько,
сколько имеется в наличии. Последний вариант служит примером реализации популярной экономической идеи равновесных цен (равенство
III – следствие выбора подходящей цены). Любое отклонение цены от
равновесной приводит к нарушению равенства III, и система переходит
в режим работы I или II. При анализе дефицита и избытка ресурса неважно, что неравенства выполнялись с большим запасом. Можно прийти к мысли, что цена на ресурс должна изменяться, подстраиваться.
Если суммарный запрос превышает запас ресурса, то цена увеличива101
ется, если он меньше запаса ресурса – цена уменьшается. Способ имеет
свои недостатки: 1) если система является устойчивой, равновесное
распределение ресурса не совпадает с оптимальным; 2) если коэффициенты эффективности α меняются в течение времени, то «отставание»
i
траектории от квазиравновесия влечет за собой потери.
ПРИНЦИП СОГЛАСОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ЗЕМЕЛЬНЫХ РЕСУРСОВ
В.Ф. Майер
Новокузнецкий филиал-институт
Кемеровского государственного университета,
г. Новокузнецк, Россия
Принципы формирования законов управления отражают крайние
точки зрения. Принцип жесткой централизации (ЖЦ) выдвигает требование минимизации суммарных потерь (интересы центра). В основе принципа открытого управления (ОУ) лежит требование назначения элементам
только «предпочтительных» цен (в первую очередь учитываются интересы
элементов). Сравнение этих двух принципов показало определенные преимущества принципа ОУ, однако интересы центра и элементов во многом
совпадают. Если рассмотреть сумму целевых функций элементов
n
(1)
[λ x − z ] = λ R −Φ ( z ) → max,
∑
i=1
i
i
то вторая составляющая суммы
[−Φ ( z)] есть целевая функция цен-
тра. Близость интересов центра и элементов выражается в том, что существует цена
λɶ = R ,
H
при которой планы
xɶi = λɶ ri ,
обеспечиваю-
щие максимальную выгоду элементов, определяют оптимальный план с
позиций центра. Такой близости интересов центра и элементов может
не быть. Например, целевая функция центра
n
Φ (z) = ∑ pi zi , p > 0.
i=1
(2)
102
Вид целевой функции отражает неэквивалентность затрат
pi
элементов с позиций центра. Оптимальный план элемента отражается
целевой функцией (3):
ri
n rj
xi0 =
R, H ( p ) = ∑
.
pi H (p)
j =1 p j
Если коэффициенты
pi
(3)
не все равны между собой, то не суще-
ствует цены λ, при которой план {x 0} обеспечивает максимум прибыi
ли для элементов. Для закона ОУ при большом числе элементов план
x*
в ситуации равновесия близок к плану
чае не является оптимальным планом.
При жесткой централизации
xɶ , который в данном слу-
sj
s
R
.
xi (s) = i λ (s), λ (s) =
, S (p) = ∑
pi
S (p)
j pj
(4)
n
τ i ( si ) = si / pi , T ( s) = ∑ τ i ( si ) = S (p) и подставим закон (4) в целевые
i=1
 τ (s )  .
1 2
R2
xi =
τ i ( si ) 1 − i i 
2ri
2ri 
T 2 ( s)

Границы [d , D] широки, и ситуация равновесия s* лежит внутри
области возможных значений. Система уравнений для определения
равновесия имеет вид
T*
(5)
τ i* = ri i , Ti* = T * − ri*,
*
ri + Ti
где τ * = τ ( s*), T * = T (s* ) .
i
i i
функции элементов
λ xi −
При большом числе элементов τ * ≈ r и
x* ≈ xɶ, λ* ≈ λɶ .
Закон ЖЦ и закон ОУ эквивалентны в том, что план и цена в соответствующих ситуациях равновесия совпадают. Вывод справедлив не
только для закона жесткой централизации и для любого закона вида
103
τ (s )
R
,
xi (s) = i i R, λ (s) =
T (s)
T (s)
τ i (si )
где
функция
(6)
– строго монотонная, непрерывно дифференцируемая
si . Система (5) определяет ситуацию равновесия для любого
закона (6), если dτ ( s ) / d s ≠ 0 , который можно получить как решеi i
i
ние следующей задачи:
n p
n
∑ 2si x2j → min, ∑ xi = R,
i=1 i
i=1
λ xi −
При
(7)
1 x2 = max  λ z − 1 z 2  .
z 
2τ i (si ) i
2τ i (si ) 

τ i ( si ) = si
получаем закон ОУ, а при
(8)
τ i ( si ) = si / pi
полу-
чаем закон ЖЦ.
В общем случае функция λ x −
1
2 не является оценкой цеi 2τ (s ) xi
i i
левой функции элемента, она служит для выражения предпочтений
элементов к различным планам. Сообщая оценку s , элементы ин-
i
формируют центр, что при цене λ предпочтительный для него план
λτ ( s ) – это план, обеспечивающий максимум функции
i i
λ xi −
1 x 2 . Конкретные законы согласованного управления (СУ)
2τ i (si ) i
получаются при выборе конкретных функций предпочтения для всех
элементов и процедуры выбора решения. В законы СУ входят и законы
ЖЦ (например, если функция предпочтения не зависит от плана), и
законы ОУ (если функция предпочтения является оценкой целевой
функции элемента). Если обозначить η (λ , x , s ) – некоторую функ-
i
i i
цию предпочтения i -го элемента, ψ ( x, r ) – целевую функцию системы (центра), то в общем виде закон СУ можно записать как решение
задачи согласованного планирования (СП):
104
n
Ψ (x, s) → min ∑ xi = R, xi ≥ 0,
i=1
ηi (λ , xi si ) = max ηi (λ , z, si ).
z
(9)
(10)
Факт эквивалентности всех законов вида (6) можно теперь сформулировать как свойство инвариантности законов СУ с функциями
предпочтения
λ xi −
1 x2
2τ i (si ) i
(инвариантность понимается в смыс-
ле независимости равновесных планов
ций
τ i ( si ).
Ситуация равновесия
определяется из уравнений
x*
s*,
τ i (si* ) = sioy ,
сия для закона ОУ, например, при τ
и цены
λ*
от вида функ-
конечно, зависит от τ i ( si ) и
где
i = si / pi
s oy
– ситуация равнове-
имеем
si* = pi sioy .
Свойство инвариантности в определенном смысле имеет место и
для более общих законов, управления и для более общих моделей.
Законы согласованного управления получаются при выборе конкретных функций предпочтения для всех элементов и процедуры выбора решения. В законы согласованного управления входят и законы
жесткой централизации (например, если функция предпочтения не зависит от плана), и законы открытого управления (если функция предпочтения является оценкой целевой функции элемента).
Таким образом, решение задач управления распределением земельных ресурсов осуществляется в большинстве случаев как решение
задач оптимизации, где центр стремится определить игру между
остальными элементами системы, чтобы в равновесной точке достигался максимум его выигрыша.
105
ПРИМЕНЕНИЕ НЕЙРОСЕТЕЙ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ
ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО РЫНКА
И.А. Попов
Самарский государственный экономический университет,
г. Самара, Россия
Рассмотрим основную идею построения нейросетевых моделей. Для
этого обратимся к работе человеческого мозга. Нервная система и мозг
человека состоят из нейронов, соединенных между собой нервными волокнами. Нервные волокна способны передавать электрические импульсы
между нейронами. Все процессы передачи раздражений от органов чувств
к мозгу, процессы мышления и управления действиями реализованы в
живом организме как передача электрических импульсов между нейронами. Каждый нейрон имеет отростки нервных волокон двух типов – дендриты, по которым принимаются импульсы, и единственный аксон, по которому нейрон может передавать импульс. Аксон контактирует с дендритами других нейронов через специальные образования – синапсы, которые
влияют на силу импульса. При прохождении синапса сила импульса меняется в определенное число раз, которое называют весом синапса. Импульсы, поступившие к нейрону одновременно по нескольким дендритам,
суммируются. Если суммарный импульс превышает некоторый порог,
нейрон возбуждается, формирует собственный импульс и передает его
далее по аксону. Веса синапсов могут изменяться со временем, тогда меняется и поведение соответствующего нейрона.
Рассмотрим математическую модель описанного процесса. Выберем
модель нейрона с тремя входами (дендритами); синапсы этих дендритов
имеют веса w1, w2, w3. Пусть к синапсам поступают импульсы силы х1, х2,
х3 соответственно. Нейрон преобразует полученный суммарный импульс х
= w1х1 + w2х2 + w3х3 в соответствии с некоторой передаточной функцией
f(x). Сила выходного импульса y = f(x) = f(w1х1 + w2х2 + w3х3). Таким образом, нейрон полностью описывается своим весом и передаточной функцией.
Искусственная нейронная сеть – это набор нейронов, соединенных
между собой. Как правило, передаточные функции всех нейронов в сети
фиксированы, а веса являются параметрами сети и могут изменяться. Некоторые входы нейронов помечены как внешние входы сети, а некоторые
выходы – как внешние выходы сети. Подавая любые числа на входы сети,
106
мы получаем какой-то набор чисел на выходах сети. Таким образом, работа нейросети состоит в преобразовании входного вектора в выходной вектор, причем это преобразование задается весами сети. Практически любую
задачу можно свести к задаче, решаемой нейросетью.
Одной из основных областей применения нейросетевых технологий
являются задачи классификации, т.е. задачи, в которых нужно отнести
входные данные к одной из известных категорий.
Определим, как построить сеть. Этот вопрос решается в два этапа:
выбор типа (архитектуры) сети и подбор весов (обучение) сети. На первом
этапе следует выбрать: какие нейроны мы хотим использовать (число входов, передаточные функции); каким образом следует соединить их между
собой; что взять в качестве входов и выходов сети. Существует несколько
десятков различных нейросетевых архитектур, эффективность многих из
них доказана математически. Наиболее популярные и изученные архитектуры – многослойный персептрон, нейросеть с общей регрессией, сети
Кохонена.
На втором этапе следует «обучить» выбранную сеть, т.е. подобрать
такие значения ее весов, чтобы сеть работала нужным образом. В используемых на практике нейросетях количество весов может составлять несколько десятков тысяч, поэтому обучение – действительно сложный процесс. Для многих архитектур разработаны специальные алгоритмы обучения, которые позволяют настроить веса сети определенным образом.
Наиболее популярный из этих алгоритмов – метод обратного распространения ошибки, используемый для обучения персептрона.
При обучении сети имеется некоторая база данных, содержащая примеры. Учение представляет из себя процесс многократного предъявления
примеров на вход сети, в результате чего веса сети стабилизируются, причем сеть дает правильные ответы на все (или почти все) примеры из базы
данных. Когда величина ошибки достигает нуля или приемлемого малого
уровня, тренировку останавливают, а полученную сеть считают натренированной и готовой к применению на новых данных. Вся информация,
которую сеть имеет о задаче, содержится в наборе примеров. Качество
обучения сети напрямую зависит от количества примеров в обучающей
выборке, а также от того, насколько полно эти примеры описывают данную задачу.
107
Применение нейросети основано на том, что, грамотным образом
обученная, она может с большой вероятностью правильно реагировать на
новые, не предъявленные ей ранее данные.
Использование моделей нейросетей для исследования потребительского рынка позволяет решать следующие задачи:
прогнозирование свойств потребительского рынка. Для этого проводится предварительная сегментация рынка методом кластеризации при
помощи сетей Кохонена. Для потребителей каждого из кластеров подбираются подходящие коммерческие предложения, затем строится прогноз
объема продаж для каждого сегмента;
прогнозирование объемов продаж. Для этого необходимо построить
две нейросети. На вход первой сети с адаптивной архитектурой подаются
различные параметры товаров и рекламной политики, что позволяет классифицировать потребителей. Исходные данные и ответы первой сети подаются на вход пакета NeuroShell Predictor, который содержит самоорганизующуюся сеть, приспособленную для задач количественного прогнозирования.
Кроме этого, применение моделей нейросетей дает возможность создать систему поддержки принятия решений для увеличения объема продаж и развития с горизонтом планирования 3 года. Модель способна отображать увеличение объемов продаж и прибыльности при существенных
увеличениях сети реализации и выдавать рекомендации по концентрации
ресурсов на определенных видах продукции и сегментах рынка за счет
других.
Изложенные и некоторые другие методы хорошо зарекомендовали
себя на устойчивых западных рынках. При создании подобных систем на
российском рынке необходимо учитывать его нестабильность и особенности поведения российских потребителей. В изменчивых условиях торговым фирмам особенно важно иметь прогноз спроса клиентов и дохода
компании.
В настоящее время компания «НейроПроект» совместно с маркетинговой фирмой «Конси» ведут разработку системы анализа потребительского рынка и прогнозирования спроса на основе российских исторических данных.
Библиографический список
1. Бережная, Е.В., Бережной, В.И. Математические методы моделирования экономических систем. – М. : Финансы и статистика, 2005.
108
2. Косоруков, О.А., Мищенко, А.В. Исследование операций. – М. :
Экзамен, 2003.
3. Моисеева, Н.К., Конышева, М.В. Управление маркетингом: теория,
практика, информационные технологии. – М. : Финансы и статистика,
2005.
ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЫБРОСОВ
ЗАГРЯЗНЯЮЩИХ ВЕЩЕСТВ
И.В. Кузнецова, Т.Ф. Мамедова
Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарева,
г. Саранск, Россия
Прогнозирование динамики выбросов вредных веществ на экологическую ситуацию является актуальной задачей. Для этого традиционно используются статистические данные на конечном промежутке
времени. В статье для исследования предлагается новый подход, в основе которого находится математическая модель, предложенная Воскресенским Е.В. [1], [2], [3].
Рассмотрим вектор- функцию
x(t ) = colon( x1 (t ),..., xn (t )), t < +∞.
Компоненты этой вектор-функции выражают экологическую ситуацию в момент времени t в некоторой точке. Каждая координата есть
экологическая характеристика. Обязательные характеристики в нашем
случае: x1 (t ), x2 (t ), …
x n (t )
– величины выбросов загрязняющих ве-
ществ в момент времени t. В состав компонентов можно включить самые различные характеристики в зависимости от целей поставленной
задачи. Основная задача – это изучение свойств вектор-функции x (t ) .
Будем считать, что начало исследования
t = t0
и имеются статистиче-
ские данные, определяющие параметры процесса за определенные
промежутки времени. Для простоты будем предполагать, что статистические данные имеются на промежутке времени [T0 ,T1 ] , который разбит на равные промежутки точками ti ,
109
i = 0, p ; t0 = T0 , t p = T1.
Изменение параметров вектор-функции происходит непрерывно во
времени, и по статистическим данным можно определить значения
скоростей изменения параметров процесса, т. е. получить разделенные
разности
xɺi( j ) =
xi( j ) − xi(−j1) , где i = 1, p ; j = 1, n .
ti − ti −1
Норма векторов
xɺi
, пусть определяется формулой
xɺi = max xɺi( j )
j =1, n
.
Занесем все данные в таблицу.
…
tp
ti
t1
t2
xɺi(1)
xɺ1(1)
xɺ2(1)
xɺ (p1)
xɺi( 2)
xɺ1( 2)
xɺ2( 2)
xɺ (p2)
xɺi(n)
xɺ1( n )
)
xɺ (n
p
xɺi
xɺ1
xɺ 2( n)
xɺ2
…
Используя
xɺ p
таблицу,
строим
функцию
ψ (t ) ,
такую,
что
xɺ (ti ) ≤ ψ (ti ) . Для этого используем узлы интерполирования и значения ψ (t ) = xɺ (t ) . По этим узлам методом наименьших квадратов строi
i
ится функция ψ (t ) . Таким образом, мы фактически получаем зависимость скорости xɺ (t ) от времени t, причем за значение функции в узле
принимается значение
xɺ(t) .
Далее, используя опять метод наименьших квадратов, строим
функцию
ϕ ( x ) , такую, что xɺ (t ) ≤ ϕ ( x ) . Для этого снова состав-
ляем таблицу, в которой
x
упорядочиваем по возрастанию и прини-
маем за независимую переменную.
110
λ = λ (t , z )
Функцию
(
строим
таким
образом:
)
пусть
λ (ti , z j ) = min ψ (ti ), ϕ ( x j ) , где i = 1, p , j = 1, k , а z j = min xi ,
xi > z j −1
j = 2, k (k ≤ p − 1) .
где
Получим, что z1 < z2 < ⋯ < zk , где z1 = min xi , zk = max xi . .
i =1, p
Значение функции
λ = λ (t , z )
i =1, p
задается в узлах (ti , z j ), i = 1, p,
j = 1, k , т. е. количество исследуемых точек p ⋅ k .
ции
Затем методом наименьших квадратов строим приближение функλ = λ (t , z ) и в результате получаем аналитическое задание этой
функции, для которой будут выполняться оценки:
ψ (t ) + ϕ ( x )
xɺ ≤ λ (t , x ), xɺ ≤ ψ 1/ 2 (t )ϕ 1/ 2 ( x ), xɺ ≤
.
2
Исследуя асимптотическое поведение решений z + = z + (t , t 0 , z 0 )
и z−
= z − (t , t 0 , z 0 ) скалярных дифференциальных уравнений
dz
dz
= λ (t , z )
= −λ (t , z ) , удается сделать вывод о тенденциdt
dt
ях развития исследуемого процесса, т. е. возможное поведение решения
x = x(t , t 0 , z 0 ) .
Однако прежде чем исследовать асимптотическое
поведение решений, необходимо построить решение z + (t ) и z − (t )
соответствующих скалярных уравнений на отрезке [T ,T ] методом
0 1
Рунге-Кутта.
Так как
z − ≤ x(t : t 0 , z 0 ≤ z + , T0 ≤ t ≤ T1 , то для t ≥ T1 сле-
дует ввести управление
u
так, что
z − (t : t 0 , z 0 , u ) ≤ x(t : t 0 , z 0 , u ) ≤ z + (t : t 0 , z 0 , u )
t ≥ T1 . Тогда u
регулирует рост вектор-функции
x(t )
при
при
всех
x ≥ T1 .
По этому алгоритму был составлен прогноз динамики выбросов
загрязняющих веществ одного из предприятий г. Саранска. В частности, были получены верхняя и нижняя оценки возможных пределов
111
изменения вектор-функции
x(t ) = colon( x1 (t ),..., x n (t )) . Находясь
в пределах этих оценок, выбросы загрязняющих веществ не будут существенно влиять на экологическую ситуацию города.
Библиографический список
1. Воскресенский, Е.В. Методы сравнения в нелинейном анализе. –
Изд-во Саратовского университета, 1990. – 224 с.
2. Воскресенский, Е.В. Асимптотические методы: теория и приложения. – Саранск : СВМО, 2000. – 300 с.
3. Воскресенский, Е.В. Математическое моделирование демографической ситуации региона // Труды СВМО, 2005. – Т.7, №1. – С. 16 –
20.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ «КАЧЕСТВА ЖИЗНИ»
НАСЕЛЕНИЯ НИЖЕГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ
Ю.В. Сергеева
Нижегородский институт менеджмента и бизнеса,
г. Нижний Новгород, Россия
Целью большинства исследований в экономике является количественное изучение процессов. Это изучение производится либо путем
непосредственного измерения или путем математического моделирования. Экономико-математическое модель – это выраженная в формально-математических терминах экономическая абстракция, логическая структура которой определяется как объективными свойствами,
так и субъективным целевым фактором исследования, для которого это
описание предпринимается. Между моделью и ее прототипом не может
существовать взаимнооднозначного соответствия, так как модель – это
условный образ объекта, построенный для упрощения его исследования. Адекватность реальной действительности – основное требование,
предъявляемое к моделям.
Любое экономическое исследование всегда предполагает объединение теории (экономической модели) и практики (статистических
данных). Теоретические модели используют для описания и объединения наблюдаемых процессов, а сбор статистических данных – для эмпирического построения и обоснования моделей. Строя модели, ученые
112
выявляют существенные факторы, определяющие исследуемое явление, и отбрасывают детали, несущественные для решения поставленной проблемы. Модели позволяют выявить особенности функционирования экономического объекта и на основе этого предсказывать будущее поведение объекта при изменении каких-либо параметров. Возможность прогнозирования для любого экономического объекта означает получение лучших результатов или избежание потерь. Для построения модели используют эконометрические методы. Основа этих
методов – корреляционно-регрессионный анализ.
Главной целью административного управления регионом является
повышение качества жизни его населения. Чтобы качество жизни населения возрастало, необходимо уметь предвидеть динамику развития
региона, знать его слабые и сильные стороны. Создание модели «качества жизни» позволяет решить эти проблемы и ряд других, но усложняется из-за отсутствия общепризнанной системы показателей. Для создания модели «качества жизни» будем использовать метод «множественной линейной регрессии». Возьмем за основу 72 локальных показателя (таблица), влияющих на качество жизни населения Нижегородской области в период с 1990 – 2002 гг. Численную оценку качества
жизни населения (в баллах) проведем любым известным способом:
экспертным, балльным, комплексным. С помощью коэффициентов интеркорреляции исключим из модели дублирующие факторы. Для оценки мультиколлинеарности факторов может использоваться определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами.
Чем ближе к единице определитель матрицы межфакторной корреляции, тем меньше мультиколлинеарность факторов. После проделанных
вычислений остаются 15 показателей. Включить все оставшиеся показатели в модель нельзя, так как временной период n=13. Для нашего
случая самой оптимальной моделью (с точки зрения статистической
значимости) будет та, в которой число объясняющих переменных не
больше 6.
Система локальных показателей качества жизни населения.
Финансово-экономические
Доходы регионального бюджета на душу населения, руб.
Инвестиции в основной капитал на душу населения, руб.
Минимальный размер оплаты труда, руб.
Объем ВРП на душу населения, руб.
Остатки вкладов в сберегательном банке РФ на душу населения, руб.
Прибыль в экономике на душу населения, руб.
Расходы на алкогольные напитки, %
Расходы на непродовольственные товары, %
Расходы на питание вне дома, %
Медико-экологические
Выбросы загрязняющих веществ
в атмосферный воздух от стационарных источников на душу
населения, кг.
Заболеваемость населения, ед.
Мощность врачебных амбулаторно-поликлинических учреждений на 10 000 населения, посещений в смену.
Общие коэффициенты брачности, на 1 000 чел.
Общие коэффициенты разводимости, на 1 000 чел.
Объем оборотной и последовательно используемой воды на
113
Расходы на покупку питания для домашнего питания, %
Расходы на различные услуги, %
Среднедушевые денежные доходы населения, руб.
Среднедушевые денежные расходы населения, руб.
Среднемесячная номинальная начисленная заработная плата
работающих в экономике, руб.
Средний размер вклада в сберегательном банке, руб.
Средний размер назначенных пенсий пенсионеров, стоящих на учете
в органах социальной защиты, руб.
Стоимость основных фондов отраслей экономики на душу населения, руб.
Материального благосостояния
Ввод в действие жилых домов на 1000 населения, кв.м.
Наличие квартирных телефонов аппаратов сети общего пользования
на 100 семей городского населения, шт.
Наличие квартирных телефонов аппаратов сети общего пользования
на 100 семей сельского населения, шт.
Наличие собственных легковых автомобилей на 1000 населения, шт.
Оборот розничной торговли на душу населения, руб.
Объем бытовых услуг на душу населения, руб.
Объем платных услуг на душу населения, руб.
Объем продукции с/х на душу населения, руб.
Объем промышленной продукции на душу населения, руб.
Объем работ, выполненных по договорам строительного подряда, на
душу населения, руб.
Отправление пассажиров железнодорожным транспортом общего
пользования на душу населения, шт.
Перевозки пассажиров автобусами общего пользования на душу
населения, шт.
Площадь квартир, приходящаяся в среднем на одного жителя, кв.м.
Среднегодовая численность занятых в экономике, в % от общей
численности
Удельный вес населения в трудоспособном возрасте, %
Уровень безработицы, %
душу населения, куб.мет.
Ожидаемая продолжительность жизни, лет.
Потребление картофеля на душу населения, кг.
Потребление молока и молочных продуктов на душу населения,
кг.
Потребление мяса и мясопродуктов на душу населения, кг.
Потребление овощей и продовольственных бахчевых культур на
душу населения, кг.
Потребление растительного масла на душу населения, кг.
Потребление сахара на душу населения, кг.
Потребление хлебных продуктов на душу населения, кг.
Потребление яиц на душу населения, шт.
Улавливание загрязняющих атмосферу веществ, отходящих от
стационарных источников, на душу населения, кг.
Численность врачей на 10 000 населения, чел.
Численность лиц, впервые признанных инвалидами, на 10000
населения, чел.
Численность среднего медицинского персонала на 10 000 чел.,
шт.
Число больничных коек на 10 000 населения, шт.
Число детей, умерших в возрасте до 1 года, на 1000 родившихся
Число родившихся на 1000 населения, чел.
Число умерших на 1000 населения, чел.
Духовного благосостояния
Число зарегистрированных преступлений на 100000 населения,
шт.
Число преступлений, совершенных несовершеннолетними или
при их участии на 100000 населения, шт.
Численность зрителей театров на 1000 населения
Число посещений музеев на 1000 населения
Численность студентов государственных высших учебных
заведений на 10000 населения
Численность студентов государственных средних специальных
учебных заведений на 10000 населения
Число детей, приходящихся на 100 мест дошкольных учреждений, чел.
Численность учащихся дневных общеобразовательных школ на
10 000 населения, чел.
Численность учащихся учреждений начального профессионального образования на 10000 населения, чел.
Библиотечный фонд общедоступных библиотек на 1000 населения, экз.
Выпуск газет на 1000 населения, разовый тираж, экз.
Удельный вес расходов на социально-культурные мероприятия в
общем объеме расходов бюджета, %.
Годовой тираж книг и брошюр в среднем на 1000 населения, экз.
Годовой тираж журналов и других периодических изданий в
среднем на 1000 населения, экз.
Разовый тираж газет в среднем на 1000 населения, экз.
На основе проведенных исследований получилась следующая модель:
y = −61,3 + 0,34 ⋅ x1 − 0, 72 x2 + 1, 07 x3 − 0, 05 x4 + 0, 01x5 ,
где у – оценка качества жизни населения; х1-среднедушевые денежные
расходы населения, руб; х2 – число детей, умерших до 1 года, на 1000
родившихся; х3 – ожидаемая продолжительность жизни, лет; х4 – число
преступлений совершенных несовершеннолетними или при их участии
на 100000 населения, шт; х5 – библиотечный фонд общедоступных
библиотек на 1000 населения, экз.
2
= 0,99. ОценКоэффициент множественной корреляции R yx
1 x2 x3 x4 x5
ку надежности уравнения регрессии в целом дает F – критерий Фишера: Fфакт=496,35>> Fтабл=3,97. Статистическая значимость коэффициентов линейной регрессии доказывает t – критерий Стьюдента: получен114
ные расчетные значения для каждого коэффициента по абсолютному
значению больше tтабл=2,37.
Следовательно, полученная модель не случайна, она сформировалась под влиянием существенных факторов.
ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ БИОЛОГИИ
ДЛЯ ОПИСАНИЯ СООБЩЕСТВ ЭВОЛЮЦИОНИРУЮЩИХ
ПРОГРАММ
Е.А. Кольчугина
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
В конце XX века появились концепции, предполагающие применение основных принципов теории эволюции Дарвина для автоматизированного синтеза программ. Согласно некоторым из них множество
возможных программных решений функционирует в своего рода искусственном мире, приспосабливаясь к заданным внешним условиям,
взаимодействуя и конкурируя друг с другом, имитируя действия, свойственные живым организмам: питание, перемещение, воспроизводство.
Как и в случае теории эволюции Дарвина, в результате отбора сохраняются наиболее удачные программные решения. Одна из таких концепций была предложена в [1 – 2].
Для описания динамики изменения численности программ различных видов в сообществе можно воспользоваться моделью вольтерровского типа [3]:
n


dN i
= N i  ε i − ∑ γ ij N j  , i = 1, n,
dt


j =1
где
n
– число видов в системе;
нение численности особей
убыли;
γ ij
i
Ni
– численность
i вида; ε i
– изме-
вида за счет естественного прироста-
– элементы матрицы сообщества Γ = γ ij , отражающей
межвидовые взаимосвязи и отношения между особями внутри вида
(кооперация, симбиоз, конкуренция, «хищник-жертва» и т. д.).
В классических вольтерровских моделях сложно учесть фактор
изменяющегося пространственного распределения мигрирующих осо115
бей в случае пространства двух и более измерений. Но наиболее существенную проблему создает невозможность учесть особенности алгоритмов, используемых программами различных видов для решения
задач перемещения, питания, воспроизводства. Между тем именно особенности этих алгоритмов, а также уровень обучаемости и интеллектуальности программ имеют принципиальное значение для их выживания, а значит, они влияют на исход борьбы за существование в заданных условиях [4].
Обучаемость может привести к появлению и закреплению новых
стратегий поведения, а значит, и к перестройке всей модели взаимодействия видов программ.
Таким образом, построение и исследование моделей вольтерровского типа для сообществ программ можно рассматривать как этап,
результаты которого должны быть подкреплены результатами имитационного моделирования.
Библиографический список
1. Кольчугина, Е.А. Моделирование биоценозов // Новые информационные технологии и системы: Труды VI Международной науч.-техн. конференции. – Пенза : ПГУ, 2004. – С. 240 – 246.
2. Kolchugina E.A. Towards software design technology based on
biocoenosis model // Современные информационные технологии: Труды
Международной науч.-техн. конференции (Computer-based conference). –
Пенза: Пензенская государственная технологическая академия, 2004
(осенняя сессия). – С. 184 – 188.
3. Резниченко, Г.Ю. Математические модели в биофизике и экологии. – Москва-Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2003. –
184 с.
4. Свирежев, Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и
катастрофы в экологии. – М. : Наука, ГР Физ.-мат. лит., 1987. - 367 с.
116
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРИИ КАТАСТРОФ
ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ КРИЗИСНЫХ ЯВЛЕНИЙ
М.А. Асаул
ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет»,
г. Санкт-Петербург, Россия
Явления бифуркации, самоорганизации и эволюции структур не являются монополией физики. Поразительным является сходство уравнений,
относящихся к самым различным областям знаний. Универсальность процессов самоорганизации в различных областях определяет необходимость
поиска единого подхода и исследования широкого круга нелинейных
уравнений, возникающих в большом числе конкретных задач. Такой единый подход существует.
Анализ качественного поведения нелинейных динамических систем
при изменении описывающих их параметров является одним из основополагающих направлений в теории состояний, далеких от равновесия. В его
основе лежит одна из областей математики – теория особенностей гладких
отображений, формирование которой происходило на стыке топологии и
математического анализа. Теория катастроф – еще одно, более образное
название этой теории. В ней для анализа свойств систем дифференциальных уравнений уже не требуется предварительно находить полное множество решений. Дело в том, что в реальных условиях они могут меняться за
счет флуктуаций, и для сложных систем знание всех точных решений становится избыточным.
А. Пуанкаре и А.М. Ляпуновым почти 100 лет назад были получены
первые результаты, связанные с качественным изучением поведения решений систем дифференциальных уравнений. Значительный вклад в развитие их идей внесли А.А. Андронов и Л.С. Понтрягин, которые ввели
понятие грубости, т. е. структурной устойчивости системы. Но только с
50-х годов прошлого века началось интенсивное развитие как самой теории катастроф, так и ее многочисленных приложений1. Эта теория подводит эффективную стандартную базу под описание качественных изменений в линейных уравнениях, моделирующих системы, далекие от
1
Шелепин, Л.А. Вдали от равновесия. – М. : Знание, 1987. – 64 с. (Новое в
жизни, науке и технике. Сер. «Физика», №8).
117
равновесия. Она является основой анализа теории бифуркации в теории
переходов термодинамических систем в новые структурные состояния.
Еще в 1970 г. К. Боулдинг писал, что экономическая система может находиться в двух и более «равно хороших» состояниях, являющихся результатами мало в чем сходных системных стратегий, так что
соотнесение данной стратегии (принципов действия, критериев оптимальности, максимизируемого параметра) с оптимумом экономической
системы в основе своей произвольно1. Вблизи оптимума происходят
системные переходы, или переключения систем, для которых у экономической теории нет соответствующего языка.
Другими словами, в экономических системах могут существовать
такие состояния, вблизи которых системные законы, управляющие поведением, дальнейшим развитием данной системы, резко, т. е. без промежуточных переходов, изменяются. Причем изменяется система
управляющих «законов», соотнесенная с данной экономической системой, а не один или несколько управляющих параметров. Уловить эти
переходы хотя бы на самом общем уровне, когда экономическая система становится неожиданно качественно другой, экономическая теория
не в состоянии.
Вышесказанное как нельзя лучше иллюстрирует явление возникновения внезапного кризиса в экономической системе, например, организации. Конечно, множественность (и нередко произвольность, неочевидность) факторов, определяющих экономическую ситуацию, историческую картину экономических процессов, обусловливает то, что
это предположение не носит универсального характера. Иногда достаточно куда более тривиального объяснения потому, что вполне «эволюционным» путем изменилось соотношение факторов, существенно
влияющих на ситуацию.
Описанное с помощью системы нелинейных уравнений многомерное экономическое пространство существования организации, очевидно, также может напоминать рельефную карту, в которой невырожденные критические точки оптимизируемой функции (их может быть много) определяют максимумы, минимумы и седловые точки различного
типа. Минимумы, расположенные на дне «долин», называются аттрак-
1
Евстигнеев, В.Р. Идеи И.Пригожина в экономике. Нелинейность и финансовые системы // Общественные науки и современность. – М., 1998. – №1.
118
торами и разделяются седлами и хребтами, вершинами, образующими
границу раздела между бассейнами притяжения.
Управляющие параметры для деятельности каждой организации
могут быть различными, зависящими от целей ее функционирования.
Можно предположить, что возникновение кризисных явлений в организации происходит, когда значения управляющих параметров деятельностью организации принимают критические значения. Коренным
образом меняется поведение нелинейных функций, описывающих организацию как систему. Если система описывающих функцийкритериев составлена таким образом, что минимум каждой них будет
означать наступление негативных последствий для функционирования
фирмы, то попадание значений функций в «озеро» – аттрактор – может
означать наступление кризиса в организации.
Вывод можно сделать следующий. Естественно предположить, что
проблема формализации процесса функционирования организации, т. е.
определения управляющих параметров, критериев оптимизации и т. д.,
является задачей конкретного исследования в каждом конкретном случае. Но характеризовать построение системы описывающих уравнений
процесса функционирования организации с целью выявления критических точек – катастроф – должна однонаправленность по принципу:
минимум значений всех функций – «плохо», максимум – «хорошо».
Тогда задачей антикризисного управления при комплексном анализе
состояния организации по всем жизненно важным критериям стало бы
определение тенденции ее развития и принятие мер по регулированию
ситуации.
МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРАВЛЕНИЯ
БИЗНЕС-ПРОЦЕССАМИ ВУЗА
А.Н. Вихров
ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский
архитектурно-строительный университет»,
г. Санкт-Петербург, Россия
В современных условиях отношения вуза с окружающей средой
характеризуются углубляющейся асимметрией между запросами последней и способностью вуза удовлетворять их. В связи с этим сегодня
119
идет становление новой модели вузов, что является для них, как минимум, условием повышения качества оказываемых услуг и эффективности деятельности, а в конечном итоге – залогом сохранения статуса
компетентного социального института.
В основе этой модели лежит концепция предпринимательского вуза, отличительная особенность которого – в его гибкости, активной,
инновационной политике, сориентированной на упреждающие действия на рынке. Становление новой модели вуза, очевидно, предполагает целенаправленное преобразование всей системы экономических
отношений вуза с тем, чтобы они могли обеспечивать гибкость его деятельности. На наш взгляд, процесс управления бизнес-процессами в
этой новой структуре невозможен без глубоко использования стратегического планирования деятельности вуза и реорганизации внутривузовских организационно-экономических отношений. Перед выбором
стратегии развития необходимо идентифицировать миссию и цели вуза,
а также оценить состояние ее внешней и внутренней среды.
Одним из инструментов обобщенного представления о состоянии
вуза и окружающей его среды является SWOT-анализ – анализ сильных
и слабых сторон деятельности, благоприятных возможностей и потенциальных угроз для вуза. Каждый этап стратегического анализа требует
соответствующего методического обеспечения. В таблице приведен
наиболее часто применяемый набор инструментов – методов, моделей,
схем циклов, концепций, графиков. Здесь следует обратить внимание
на специфику использования метода SWOT, обобщающего большой
объем работы по диагностике позиции фирмы. Обычно предлагается
такой порядок: выявляются сильные стороны (S), слабые стороны (W),
возможности движения к цели (O), угрозы со стороны окружения (T),
согласуются силы и возможности для формирования стратегий развития.
На наш взгляд, новая модель должна базироваться на совокупности следующих основных принципов: академическая автономия вуза;
экономическая самостоятельность вуза; представление цели оказываемых вузом услуг в большей степени в функции спроса; организация и
управление подготовкой по специальности как организация и управление бизнес-процессом; организационная децентрализация вуза. Не
останавливаясь на принципах, подробно описанных в научных работах,
120
рассмотрим организацию и управление подготовкой по специальности
как организацию и управление бизнес-процессом.
Характеристика этапов стратегического анализа вуза
Этапы
1 – Анализ миссии и
целей
Идентификация
миссии и цели
развития
2 – Анализ внутренней среды
Оценка стратегического потенциала
3 – Анализ внешней
среды
Оценка стратегического климата (условий)
Инструменты
Модель производственнохозяйственной
системы вуза
Модель системы
стратегического
управления вуза
«Дерево цели»
ЖЦИзд
ЖЦТов
ЖЦТех
ЖЦОрг;
Схема «БФР»
СХЦ (БЕ, СПЕ);
График Портера
«рентабельность –
доля рынка»
Кривая обучения
Решения
Выбор структуры и
редакции миссии
Выбор (редакция)
цели развития
Выбор структуры
«дерева цели»
Выбор варианта
структуры внутренней среды (потенциала)
Выбор методов
Выбор оценки потенциала
ЖЦОтр
Анализ «поля сил»
STEP-анализ
Стратегические зоны
Контактные аудитории Котлера
Концепция движущих
сил
5 конкурентных сил
Портера
Ключевые факторы
успеха (КФУ)
Выбор варианта
структуры внешней
среды (условий)
Выбор методов
Выбор оценки климата
Задачи
4 – Анализ
среды в целом
Оценка стратегической позиции
Оценка конкурентного преимущества
Матрица Ансоффа
«продукт-рынок»
SWOT-анализ
Матрица «покупатель-продавец»
Матрица «ЖЦОтрКП»
Выбор варианта
структуры стратегического пространства
Выбор методов
Выбор оценки
позиции
Идентификация
стратегий по
позиции
Условные обозначения:
ЖЦИзд, ЖЦТов, ЖЦТех, ЖЦОрг, ЖЦОтр – схемы жизненных
циклов образовательных продуктов, технологий, вуза, образовательной
отрасли; БФР – бизнес-процессы продуктов – функции по стадиям
жизненного цикла – Ресурсы для исполнения функций; СХЦ – выделение стратегических хозяйственных центров (бизнес-единиц, стратегических производственных единиц). График Портера «рентабельность –
относительная доля рынка вуза». Анализ «поля сил» по Ансоффу;
STEP-анализ (СТЭП) – анализ сфер макросреды: социальной, технической, экономической, политической. Стратегические зоны Ансоффа:
структуризация микросреды вуза, ее отрасли, ближайшего окружения
на стратегические зоны хозяйствования (СЗХ), ресурсов (СЗР), капиталовложений (СЗК), технологий (СЗТ), группы стратегического влияния
(СГВ).
Организация и управление подготовкой по специальности как организация и управление бизнес-процессом означает переход от функциональной ориентации управления вузом к процессной ориентации.
121
Причинами такого перехода являются, с одной стороны, неэффективность функционально ориентированной организации в условиях современного рынка, а с другой стороны – изменившиеся возможности способов и методов поддержки принятия решений, т. е. доступность разнообразных средств информационного обеспечения деятельности вуза.
Каждый образовательный бизнес-процесс в качестве входа имеет абитуриентов, в качестве выхода – специалистов, а содержанием его является определенным образом организованное обучение и воспитание
студентов. При таком подходе объектами внутривузовских организационно-экономических отношений являются разработка, осуществление, управление, институциональное обеспечение образовательного
бизнес-процесса; а субъектами – вуз, трудовые коллективы подразделений, преподаватели, студенты, предприятия-заказчики. Выделение
образовательных бизнес-процессов, их анализ и совершенствование
представляют значительный резерв для повышения эффективности деятельности вуза. Среди основных преимуществ – простота проведения
оптимизации как самих процессов, с точки зрения их организации,
синхронизации, взаимосогласованности, так и ресурсов, потребляемых
процессами, особенно это касается кадровых ресурсов. Кроме того, так
как исходной точкой и конечным продуктом образовательного бизнеспроцесса является результат, происходит естественная переориентация
организации и управления на потребителя, которым и оценивается результат.
ОПТИМИЗАЦИЯ ИННОВАЦИОННОГО РАЗВИТИЯ
ОРГАНИЗАЦИИ
В.В. Асаул
ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет»,
г. Санкт-Петербург, Россия
В целях эффективного инновационного развития современная конкурентная структура1 должна включать в себя функциональные подразделе-
1
Конкурентная структура – совокупность предприятий различных организационно-правовых форм, объединенных трансакционными связями и (или) схе-
122
ния, отвечающие за реализацию соответствующих стадий комплексного
инновационного цикла. В этой связи естественно предположить, что становится необходимой оптимизация организационной структуры таких
подразделений или организаций, входящих в конкурентную структуру.
Этот процесс, в свою очередь, на наш взгляд, предполагает комплексное
использование количественных оценок: с точки зрения синергетической
концепции и с точки зрения классического оптимизационного подхода. К
первой из них отнесем возможность реализации синергетического эффекта
при формировании конкурентной структуры для реализации комплексного
инновационного цикла, ко второй – возможность применения традиционного оптимизационного подхода при решении практических задач инновационного развития предприятия.
Очевидными кажутся три проблемы применения оптимизационного
подхода к функционированию конкурентной структуры:
1) проблема размерности – сложность количественной оценки вкладов субъектов, входящих в конкурентную структуру, в инновационный
процесс;
2) проблема временного фактора – протяженность процессов во времени в условиях неопределенности и несовершенной информации делает
формализацию моделей их прогнозирования и развития задачей труднорешаемой;
3) проблема человеческого фактора – выбор в каждой конкретной ситуации приходится делать конкретному лицу в соответствии с одним выбранным из всего множества критерием.
Традиционно размерность задачи оптимизации в экономике сохранялась при сочетании расчетных параметров, как в натуральном выражении,
так и в денежном. Особенностью же инновационного развития предприятия сегодня является то, что оценить в натуральном выражении результат
работы того или иного структурного подразделения, отвечающего за соответствующую стадию инновационного цикла, достаточно сложно, что
приводит к выводу о том, что можно отказаться при принятии расчетных параметров от натурального выражения показателей и заменить их
стоимостным.
Наиболее простым для расчетов является применение линейного программирования для оптимизации той или иной функции. Другой вопрос,
что во времени результат деятельности любой фирмы не является линейной функцией (хотя и это не исключено). Ответом здесь может послужить
определение цели исследования – решение конкретной задачи инновацимой владения, реализующих полный инновационный цикл в одном или нескольких сегментах рынка (авт.).
123
онного развития на конкретный момент времени. (Состояние эмерджентности системы в данном случае не рассматривается ввиду того, что временной фактор представлен дискретно). Если эта задача будет формализована, то соответствующая экономико-математическая модель может быть
применима для решения этой же задачи через какой-то интервал времени с
соответствующими данными. По прошествии большого количества времени образуется выборка значений целевой функции, аппроксимация данных которой может оказаться и нелинейной. Эта нелинейная функция и
может оказаться той обобщенной синергетической функцией (С(Т)), образованной путем свертывания в нее различных конкретных факторов, так
как с течением времени, расширением информации могут изменяться как
коэффициенты целевой функции, так и ее аргументы (F1(X1), X1…Fi(Xi),
Xi…), образуя график так называемой скользящей оптимизации. Так
найденное оптимальное решение не будет «застывшим», раз и навсегда
найденным «оптимальным решением», а всего лишь одним из шагов в
реализации целей компании.
Основным принципом формирования критериев оптимизации инновационного развития организационной структуры организации должно
быть наличие реакции хотя бы одного из инструментов развития конкурентной структуры – системы трансакций, схемы владения или структуры
капитала – на изменение значения этого критерия.
Почти любая сложная практическая задача принятия решения является многокритериальной (многоцелевой). Само словосочетание «принятие
решения» подразумевает наличие субъекта, осуществляющего это действие. И здесь приходится столкнуться с третьей проблемой применения
оптимизационного подхода к функционированию конкурентной структуры – действием вышеназванного человеческого фактора. В связи с этим
особое значение приобретает теория принятия решений при наличии многих критериев (целевых функций).
Только в исключительном случае точки экстремумов, например,
максимумов целевых функций-критериев, могут совпадать, т. е. быть
X* = X1* = X2* = … = Xk*. В общем случае решения Xii* (i = 1,k) частных задач не совпадают, поэтому с математической точки зрения векторная задача является некорректной1. Если же представить С(X) как
некую синергетическую функцию, то максимальное ее значение может
быть достигнуто именно в этом исключительном случае совпадения
всех максимумов целевых критериев.
1
Не существует элемента X*, принадлежащего множеству M, чтобы все целевые функции достигали абсолютного максимума на множестве М на этом элементе X*, принадлежащем М.
124
Поэтому считается, что решением задачи векторной оптимизации
может быть только какое-то компромиссное решение, удовлетворяющее в
том или ином все компоненты векторного критерия, что для решения
частных задач инновационного развития организации может быть вполне
применимо. А синергетический «взрыв», на наш взгляд, может произойти
в исключительной точке – точке совпадения всех максимумов всех целевых критериев.
МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА
КАК ИНСТРУМЕНТ АНАЛИЗА ЭФФЕКТА
МЕРОПРИЯТИЙ ПО СНИЖЕНИЮ ЗАГРЯЗНЕНИЯ
АТМОСФЕРНОГО ВОЗДУХА АВТОТРАНСПОРТОМ
О.В. Кудрявцева
Московский государственный университет
им. М.В. Ломоносова,
г. Москва, Россия
Использование автотранспортом более экологичных видов топлива, в частности природного газа вместо дизельного топлива в настоящее время особенно актуально. При этом выброс оксида углерода может снижаться в 1,5 – 3,5 раза, оксидов азота – в 1,2 – 1,5 раза. Оценим
средствами модели межотраслевого баланса Леонтьева упущенный
экологический эффект, который возник бы в случае перевода на метан
в 2002 г. части автопарка России. Пусть на метан с дизеля в 2002 г. перевели бы 210 тыс. ед. автобусов и грузовиков. Для расчета предотвращенного выброса вредных веществ автотранспортом используем исходные данные ГНЦ НАМИ о выбросах вредных веществ автотранспортом, использующим дизельное топливо.
Тип автомобиля
Годовой пробег, км
Грузовые
Автобус
40000
54000
Средние выбросы вредных веществ, г/км
СО
NOх
9,5
16
9,5
16
Рассматриваем выбросы СО и NOх. Считаем, что теперь выброс
СО стал бы 9,5/3,5 г/км = 2,7 г/км; NOх – 16/1,5 = 10,7 г/км. Пусть участвуют 40000 автобусов и 170000 грузовиков. Тогда при том же пробеге они
выбросили бы СО вместо 9,5(40000 ⋅ 170000+54000 ⋅ 40000)г==8960000
⋅ 9,5кг=85120000кг 2,7(40000 ⋅ 170000+54000 ⋅ 40000)=24192000 кг, т. е.
реальный выброс всего автомобильного комплекса по СО (реальный
выброс – выброс, фиксируемый непосредственно) сократился бы
125
на 60,928 тыс. т и стал бы в 2002 г. не 11547,76, а 11486,83 тыс.т., т. е.
сократился бы на количество, ненамного меньшее того, которое выбросила за 2002 г. пищевая промышленность. Также было бы выброшено
NOх
не
16(40000 ⋅ 170000+54000 ⋅ 40000)=143360000
кг,
⋅
а 10,7(40000 170000+54000 ⋅ 40000)=95872000 кг, т. е. реальный выброс
всего автомобильного комплекса по NOх сократился бы на 47488 т. и стал
бы в 2002 г. не 2025,02, а 1977,532 тыс.т., т. е. сократился бы более чем на
такое количество, которое выбросила за 2002 г. вся нефтедобывающая
отрасль.
Количество выбрасываемого отраслью i загрязняющего вещества
(реальный выброс) зависит от межотраслевых отношений, установленных между этой отраслью и другими отраслями экономики, и от количества вещества, выбрасываемого отраслью i при производстве продукции для удовлетворения внешнего по отношению к рассматриваемым отраслям спроса на продукцию данной отрасли: zdi = Σzij + zdiy,
j=1…n. Технические коэффициенты выбросов загрязнителя (mij) – количество выбросов отраслью i при производстве продукции, потребляемой отраслью j, по отношению к общему количеству реального выброса отрасли j: mij= zij/ zdj = zdi*aij/ zdj, j=1…n. Тогда zdi= Σ mij zdj + zdiy,
j=1…n, или в матричном выражении zd= M zd + zdy, где M является
квадратной матрицей технических коэффициентов загрязнения воздуха
с элементами mij. Модель загрязнения определяется выражением:
zt= (E-M)-1 zdy, где (Е – M)-1 – обратная матрица Леонтьева для загрязнения воздуха, учитывающая и прямые, и косвенные выбросы, что помогает перейти от реального выброса zd к полному zt. Полный выброс сумма прямого и косвенного выбросов. Прямые выбросы отрасли i
– количество выбрасываемого загрязнителя отраслью i для удовлетворения своему ассортиментному вектору, равны zdi*уi; косвенные
выбросы отрасли i – количество выбрасываемого загрязнителя отраслью j в процессе производства продукции, требуемой отраслью i для
удовлетворения своему ассортиментному вектору. Индикатор выбросов на произведенную единицу продукции рассчитывается как zdi*=
zdi/ xi. Для расчета прямых выбросов на единицу продукции использовались данные системы таблиц «Затраты – выпуск» России за 2002 год.
Таблица 1
Выбросы оксида азота и оксида углерода сектором
«услуги транспорта и связи» в 2002 г.
126
Загрязнитель
оксид азота (как было)
Прямой выброс на единицу
Косвенный выброс
продукции, тонн на млн. руб. на единицу продукции,
(совпадает с реальным
тонн на млн. руб.
на ед. продукции)
1,23
0,20
оксид азота (если бы осуществился перевод)
оксид углерода (как было)
оксид углерода (если бы
осуществился перевод)
Полный выброс
на единицу
продукции, тонн
на млн. руб.
1,43
1,20
0,20
1,40
6,99
6,96
0,98
0,97
7,97
7,93
Прямой выброс на единицу продукции сектора «услуги транспорта
и связи» оксида азота уменьшился бы на 2,4%, а оксида углерода – на
0,4%.
Таблица 2
Вклад секторов экономики в полный выброс
и реальный выброс оксида азота в 2002 г, %
сектор
полный
реальный
полный
при снижении
реальный
при снижении
промышленность
33,2
38,7
33,4
39,2
сельское хозяйство
жилищно-коммунальное
хозяйство
2,2
3,8
0,3
2,9
2,2
3,9
0,3
2,9
услуги транспорта
и связи
остальные отрасли экономики
всего
28,3
57,3
28,1
56,7
32,4
0,8
32,4
0,8
100
100
100,0
100,0
Процентный вклад транспортного комплекса в реальный выброс немного уменьшается за счет повышения вклада промышленности. Вклад в
полный выброс в процентном отношении изменяется менее значительно (снижение не настолько велико, кроме того, полный выброс учитывает взаимосвязи между отраслями, а на этом фоне снижение реального
выброса не столь велико). Для того чтобы существенно повлиять на
структуру полного выброса секторов, необходимо провести более масштабное мероприятие, позволяющее или сильнее снизить реальный
выброс транспортного сектора, или снизить аналогичные выбросы других секторов, продукция которых активно используется транспортным
комплексом, в первую очередь, это промышленный комплекс.
127
ДЕМОГРАФИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ В АРХЕОЛОГИИ*
Н.П. Гуляева
Красноярский государственный университет
цветных металлов и золота,
г. Красноярск. Россия
В настоящее время в отношении социально-демографической интерпретации археологических и антропологических источников складывается парадоксальная ситуация: существует массовый материал,
полученный в результате раскопок погребальных памятников, специалисты все более проявляют интерес к построению социальных реконструкций на его основе, но до сих пор отсутствует принятая на вооружение сколько-нибудь значительной частью археологов методика его
обработки.
Оставляя в стороне причины подобного положения, остановимся
на последствиях:
1. Разнообразие применяемых методик, отсутствие единого алгоритма приводят к тому, что для сопоставления результатов исследований, проведенных различными авторами, необходимо проведение дополнительных корреляций.
2. Археологический и антропологический материал вводится в
научный оборот, публикуется в специальных изданиях, но не выходит
«за пределы» собственной, достаточно узкой отрасли науки. Таким образом, археологические источники анализируются археологами, антропологические – антропологами и т. п. Следует, кроме того, заметить,
что вследствие все углубляющейся специализации различных научных
направлений все более специализируется и язык, на котором разговаривают ученые, что крайне затрудняет процесс обмена данными.
При этом необходимость междисциплинарного подхода осознается весьма отчетливо. Причем, что крайне важно, осознается «снизу»,
практиками, которые, выходя на уровень более или менее серьезных
обобщений и анализа, упираются в собственную некомпетентность в
сопредельных областях знания.
*
Работа выполнена при поддержке Красноярского краевого фонда науки, грант
16G039.
128
Вариантом выхода из создавшегося положения становится все более расширяющаяся практика работы коллективами, состоящими из
представителей различных наук. Можно привести в пример немало
замечательных работ подобных «кооперативов», в которых исследуемый объект рассматривается пристально и всесторонне. Однако за
крайне редким исключением в них присутствует подробный и тщательный, профессиональный анализ каждого отдельно взятого аспекта
изучаемой проблемы при отсутствии обобщающего заключения, собирающего воедино результаты работы всех авторов.
Первым шагом при построении моделей социальной структуры
древних обществ, как правило, является реконструкция половозрастной
структуры населения, проводимая по антропологическим данным, полученным при исследовании погребальных комплексов. Однако, к сожалению, достаточно часто встречается прямая экстраполяция результатов половозрастных определений на демографическую структуру
древних обществ. То есть, зафиксировав среди костных останков долю
населения в возрасте х, равную n процентов, исследователь полагает,
что и в структуре изучаемого древнего общества население соответствующего возраста составляло указанные n процентов. Увы, но это не
соответствует действительности, так как первичные половозрастные
определения показывают только соотношение возрастов смертности,
но отнюдь не демографическую структуру живых.
Для того чтобы получить хотя бы приближенную модель половозрастной структуры, необходимо выполнить ряд преобразований.
В первую очередь, следует помнить, что антропологические определения по полу и возрасту дают лишь числа умирающих в возрасте х
(dх). В то же время dх есть разница между двумя смежными lx – числами
доживающих до возраста х и х+1. Соответственно, с переходом от возраста х к возрасту х +1 число доживающих lx будет последовательно
уменьшаться на величину числа умирающих в возрасте х, т. е. dx: lx + 1 =
lx - dx.
Если суммировать все dx от некоторого возраста и старше, то мы
получим совокупность всех доживших до этого возраста и умерших в
более старших возрастах (до предельного), что и будет составлять lx.
Таким образом,
w − 1
∑
j = x
d
j
= l
x ,
где w-1 – возраст, предшествующий предельному.
Точно так же считаются все последующие возрастные группы: lx+1,
lx+2…. lx(w-1).
129
Показатель lx, таким образом, определяет числа доживающих до
возраста х. Понятно, что при таком подходе lx всегда больше lx+1, а lx+1
больше, чем lx+2, и т. д., так как дожившие до возраста х умирают и в
этом возрасте, и в последующих возрастах. Для того чтобы определить
количество людей в возрасте х (Lx), необходимо «отсечь» верхние этажи возрастной пирамиды, то есть тех, кто миновал возраст х и дожил
до следующих возрастов lx+1, lx+2 и т.д. То есть lx −
w −1
∑d
i = x +1
i
= Lx .
При этом следует помнить, что в итоге мы получим не реальную
проекцию населения, фактически проживавшего на некоторой территории и оставившего тот или иной археологический памятник, а лишь
приближенную модель половозрастной структуры, априорно приняв
зафиксированный порядок вымирания как нормальный.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
В ЭКОТОКСИКОЛОГИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ
С.Н. Линченко, Г.В. Грушко
Кубанский государственный университет,
г. Краснодар, Россия
Высокая социальная и научно-практическая значимость организации
медико-экологического мониторинга и адекватной оценки на современном
уровне его результатов неоднократно становилась предметом дискуссий
научной общественности и средств информации. Поэтому проблема комплексного изучения и прогнозирования влияния экологических факторов
на структуру и динамику заболеваемости и смертность населения в условиях интенсивного поступления химических веществ остается актуальной
и приоритетной задачей. Приведенные обстоятельства диктуют необходимость более глубокого изучения как токсических и токсикодинамических
эффектов определенных химических соединений и их комплексов, так и
анализа состояния экосистем при выбросах химических агентов, его динамики и влияния на здоровье населения, что, в свою очередь, требует совершенствования информационных технологий, применяемых при оценке
влияния экотоксикологических факторов.
Познание закономерностей развития экотоксикологических ситуаций
определяется в настоящее время несколькими направлениями. С одной
стороны, разрабатываются научные и методические подходы к математи130
ческому моделированию и прогнозированию параметров многофакторных
моделей, описывающих состояние системы «выбросы – окружающая среда – здоровье населения», создаются системы комплексного химикобиологического и компьютерного мониторинга состояния здоровья населения в зависимости от нагрузки окружающей среды. С другой стороны,
ряд исследователей используют информационные технологии в разработке
проектов баз данных по сильнодействующим ядовитым веществам
(СДЯВ) и другим вредным факторам; структур баз данных по токсикологии экологических нагрузок и СДЯВ, средствам профилактики и лечения
пораженных. Наконец, особое место занимают работы по созданию систем
управления различными базами данных.
Известно, что математической основой моделирования и прогнозирования тех или иных параметров являются в основном факторный анализ,
алгоритмы которого подробно изложены в классической монографии
К. Иберла (1980), и все виды регрессионного и корреляционного анализов.
Настоящая работа содержит разработки регрессионных моделей,
внедряемых авторами при изучении структуры заболеваемости населения,
а также алгоритмическую основу их программной реализации. По результатам расчетов анализируется зависимость между содержанием ряда загрязняющих веществ в атмосферном воздухе, почве, воде и показателями
здоровья населения, а также выявляются ведущие факторы, способствующие росту частоты возникновения отдельных нозологических форм.
Вклад каждого из токсических агентов в структуру заболеваемости
населения оценивали по величине коэффициентов в предложенных моделях. В отличие от традиционного метода наименьших квадратов расчет
коэффициентов проводился с помощью обобщенного метода наименьших
квадратов (ОМНК), что позволило существенно уточнить модель, прогнозируя величину показателей заболеваемости. Следует отметить, что описываемая методология более адекватна для анализа экосистем, характеризующихся систематической эмиссией экотоксикантов в природную среду.
Для количественной характеристики степени воздействия антропогенных
токсических агентов на экосистему, а также процесса нормализации последней предлагается использовать элементы метрических топологических пространств. Суть метода заключается в том, что в качестве меры
близости между комплексами любых показателей, отражающих состояние
экосистем, использовалось расстояние между соответствующими векторами в эвклидовом пространстве Rn, а также в линейном нормированном
131
пространстве l1n с заданными весовыми коэффициентами, полученными на
основании экспертных оценок.
Алгоритм расчета может быть кратко изложен следующим образом.
Прежде всего находим вектор, описывающий средние значения учитываемых параметров в норме, т. е. вне воздействия химических агентов (либо
X1, Х2 и т.д. представляют ПДК - предельно допустимые концентрации для
каждого из них):
Χ = (Χ 1 , Χ 2 , … , Χ n ),
так называемый вектор нормативных средних. Под влиянием неких экотоксикологических воздействий исследуемые показатели в определенные
моменты времени должны изменяться по величине, а комплекс их для
каждого состояния будет соответственно характеризоваться отдельным
вектором:
(1)
[1]
(1)
Χ (1) = ( Χ 1 , Χ 2 , … , Χ n ),
и т. д., причем число таких векторов определяется количеством изучаемых
(2 )
(2 )
(2 )
Χ (2 ) = ( Χ 1 , Χ 2 , … , Χ n )
состояний экосистемы. Затем найдем расстояния (Pi) (i = 1,n) между нормативным вектором и каждым из отдельных, т. е.
(
) (
)
(
Ρ1 Χ, Χ (1) , Ρ2 Χ, Χ ( 2 ) , … , Ρn Χ, Χ (n )
)
по формулам
(
)
[
(
Ρ1 Χ, Χ (1) = C1 Χ1 − Χ1
(1)
)
2
(
+ … + Cn Χ n − Χ n
(1)
)]
2
1
2
и т. д. до Pn, где n – число наблюдений.
По каждому значению Pi представляется возможным характеризовать
отдельные эффекты. Усредняя массив (Pi), находим доверительные грани132
цы среднего, отвечающие 5%-ному уровню значимости (Р<0,05), для сопоставления c аналогичными величинами в различных вариантах.
(
)
[
(
Ρ2 Χ, Χ ( 2 ) = C1 Χ 1 − Χ 1
(2 )
)
2
(
+ … + Cn Χ n − Χ n
(2 )
)]
2
1
2
Индивидуальный комплекс эффектов характеризуется, таким образом, одной числовой величиной, отражающей степень отклонения изучаемой системы от ее традиционной нормы. Величина этого интегрального
показателя дает возможность судить о процессах нормализации экологической ситуации.
В нотации объектно ориентированных языков каждый вектор описывается как класс, наполненный определенным содержанием в виде конкретного объекта. Содержание или состояние объекта определяется значениями его собственных данных, а поведение - как значениями данных, так
и машинными инструкциями, в виде которых хранятся его методы. Конечно, эти машинные инструкции на самом деле находятся либо в самом
определении данного класса, либо в каком-то из его предков. В итоге методы становятся доступными для всех объектов, являющихся членами
этого класса. Конкретные методы описывают процедуру сравнения двух
векторов, и в дальнейшем вызов сравнения производится указанием описанного ранее конкретного метода.
Разработанный с учетом изложенных аспектов программный продукт
апробирован для расчета интегральных показателей состояния экосистем.
Применение ОМНК для построения моделей прогноза состояния системы «выбросы – окружающая среда – здоровье», таким образом, существенно уточняет последние. Предлагаемый интегральный показатель,
отражающий экологический статус в экстремальных ситуациях при выбросах химических веществ позволяет количественно характеризовать
степень воздействия экотоксикантов и процесс нормализации экосистемы,
а объектно ориентированное программирование значительно упрощает
реализацию данного метода, что в совокупности свидетельствует о целесообразности практического использования изложенной методики и дает
основание рекомендовать ее для анализа экотоксикологических ситуаций в
регионах России.
133
МОДЕЛИРОВАНИЕ СПРОСА ПРИ СЕЗОННОМ ХАРАКТЕРЕ
ПРОИЗВОДСТВА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КВОТИРОВАНИЯ
С.Г. Симагина
Самарский государственный аэрокосмический университет,
г. Самара, Россия
Сезонность спроса на выпускаемую продукцию является одной из
основных проблем, возникающих перед значительной частью предприятий и фирм. В связи с этим актуальным является моделирование
управления спросом, которое позволяет уменьшить негативные последствия сезонности и повысить рентабельность производства.
Квотирование – это определение и назначение потребителю (или
группе потребителей) соответствующих размеров заказываемой продукции.
Такой механизм позволяет более эффективно планировать загрузку производственных мощностей, уменьшает сезонность выпускаемой
продукции и более полно удовлетворяет интересы заказчиков.
Рассмотрим данный механизм на примере полиграфической продукции. Поскольку предприятия полиграфической промышленности
предлагают рынку услуги, то основные заказчики для них – это конечные потребители, которых можно разделить на две группы: базовые
конечные потребители (не менее 10% в объеме заказа) и конечные потребители (менее 10% в объеме заказа). Дилеры для рынка услуг не
являются характерными потребителями. В дальнейшем будем рассматривать группу базовых конечных потребителей.
Механизм квотирования спроса как моделирование спроса при сезонном характере выпуска продукции предполагает, что базовому конечному потребителю назначается ежемесячная квота заказа продукции в течение года, причем размер квоты может варьироваться в сезонный пик и межсезонье: Q(t)=Qt, t = 1,12 , где t – месяцы года; Qt – размер квоты в t – й месяц.
Рассмотрим отдельно квотирование в периоды сезонного повышенного спроса (сезонные пики) и периоды сезонного снижения спроса
(межсезонье). Это объясняется разными мотивами, побуждающими
предприятие прибегать к квотированию.
Необходимо заинтересовать потребителя в заказе именно размером квоты. Для этого вводится система поощрения: со стороны предприятия при соблюдении базовым конечным потребителем квот ему
продукция отпускается по базовой цене ниже рыночной, для издатель134
ства это является стоимостью полиграфических услуг С0 – базовая стоимость услуг ниже рыночной. При этом
C rt = Co + v Qrt − Qt , где v –
коэффициент увеличения цены при изменении размера заказа; Qrt –
фактический размер заказа в t – месяц.
Для определения размера квоты используем полученные для каждого типоразмера продукции индексы сезонности и определяем усредК + К равнt
ненный коэффициент Ксрi: К срi = сезt
, где Ксезt – значение ин2
декса сезонности по выбранному виду продукции; Кравнt – значение индекса сезонности при равномерной загрузке предприятия.
Размер квоты определяется по формуле Qt=КсрiQгодt , t=1,12, где
Qгодt – объем годовой потребности базового конечного потребителя.
В период сезонного спроса базовый конечный потребитель старается приобрести большее количество продукции. Предприятию в этот
период хотелось бы продать больше продукции, но оно ограничено в
производственных мощностях. Оптимальным в данном случае будет
такое значение v , при котором при отклонении от квоты базовый конечный потребитель получит такую же прибыль, как и при закупке в
размере квоты (рис. 1).
Рис. 1. Размер стоимости услуг в период сезонного повышения спроса
Квотирование в периоды снижения спроса носит другой характер
(рис. 2). В этот период предприятие заинтересовано в сбыте определенного количества продукции. Учитывая эти цели, значение ценового
коэффициента v можно устанавливать на таком уровне, чтобы компенсировать потери прибыли предприятия при уменьшении заказа базового конечного потребителя.
135
Рис. 2. Размер стоимости услуг в период сезонного снижения спроса
В результате получаем следующую систему стимулирования базового конечного потребителя к заказу квотированного количества продукции с помощью цены:
C0 , Qrt ≤ Qt − в сезонные месяцы

C + Ct Qt − Crt Qrt + C rt Qrt − Ct Qt , Qrt > Qt − в сезонные месяцы
 rt
Qrt

C rt = C0 , Qrt ≥ Qt − в межсезонье

C Q − Crt Qrt − С ( Qt − Qrt )
C rt + t t
,Qrt < Qt − в межсезонье,
Qrt

где Сt и Сrt – соответственно стоимость полиграфических услуг при
выпуске продукции в объеме квоты и при отклонении от нее; С – себестоимость изготовления продукции полиграфпредприятием.
Эта система не позволяет базовому конечному потребителю получить большую прибыль в сезонные месяцы, покупая больший объем
продукции, и позволяет предприятию сохранить заданный размер прибыли в межсезонье при снижении базовым конечным потребителем
объема заказов.
136
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АНАЛИЗА ЭКОНОМИЧЕСКИХ
СИТУАЦИЙ И ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
НА ПРЕДПРИЯТИЯХ МАЛОГО БИЗНЕСА*
Б.О. Хашир, О.З. Хуажев
Кубанский государственный технологический университет,
г. Краснодар, Россия
Компьютеризация экономических систем управления и их практическое использование повышают темпы развития экономики промышленных
предприятий в условиях свободного предпринимательства. Повышение
покупательной способности населения и возрастание объемов поступления на рынок новых отечественных товаров, улучшение их качества оказывает позитивное влияние на рост производительности предприятий,
промышленных фирм, коммерческих организаций.
На отечественных предприятиях по выпуску лесной продукции (фанеры, пиломатериалов и т. д.) наблюдаются позитивные тенденции обновления оборудования, технологий, повышения качества продукции. Предприятия лесной промышленности увеличивают объемы экспорта своей
продукции в страны дальнего и ближнего зарубежья.
Анализ возникающих перед руководителями предприятий лесного
производства финансово-экономических проблем показывает, что их опыт
и интуиция в современных условиях не в состоянии обеспечить принятие
наиболее эффективных управленческих решений в условиях конкуренции
и изменяющихся ситуаций на рынках сбыта лесной продукции.
В этой связи традиционные методы финансово-экономического
управления предприятиями лесного производства не дают возможности
вырабатывать и принимать оптимальные решения для получения максимально возможной прибыли. Прибыль, свободные финансовые средства
предприятия являются наиболее целесообразными источниками инвестиций в обновление технологий. В этом плане значение научных разработок
и применения систем компьютерной поддержки выработки управленческих решений трудно переоценить.
Оценка отчетов предприятий показывает, что экономичные процессы
лесного производства могут быть представлены в достаточно строгой математической форме, т. е. могут быть адекватно формализированы. Следовательно, возникающие в практике финансово-экономической деятельно*
Исследование выполнено при финансовой поддержке РГНФ в рамках научноисследовательского проекта РГНФ «Экономические аспекты управления малым бизнесом лесопромышленного комплекса», проект № 05-02-021-64а.
137
сти предприятий лесной промышленности процессы, различные ситуации
могут быть идентифицированы в виде экономико-математических моделей статики, которые дают возможность при выработке управленческих
воздействий находить с помощью данных месячных, квартальных отчетов
наиболее эффективные решения, обеспечивающие снижение издержек
производства и повышение объемов реализации и прибыли.
Особенно актуальным является экономико-математическое моделирование вариантов преодоления возникающих финансово-экономических
трудностей, определения наиболее целесообразных мероприятий, обеспечивающих приемлемую эффективность производства, и сбыта продукции.
Календарное планирование объемов выпуска лесной продукции на
текущий месяц, квартал, год зависит от спроса и цены разных видов лесной продукции, конкуренции других производителей, от наличия производственных мощностей, рабочей силы, необходимого объема оборотных
средств. Эта сложная организационно-экономическая задача требует своего оптимального решения с учетом имеющихся ресурсов и ограничений.
При решении управленческих задач, которые определяют объемы
выпуска разных видов фанеры на тот или иной период времени сразу возникает задача определения необходимой суммы собственных и привлекаемых финансовых средств для выполнения принятых заказов на производство и поставку различных видов лесной продукции.
Решение этой задачи с помощью использования целевой экономикоматематической модели должно быть направлено на наиболее эффективное использование собственных средств с минимизацией сумм кредитов
банка для пополнения оборотных средств.
Устойчивые связи предприятий лесного производства с поставщиками сырья, материалов, дают возможность использовать соответствующие
экономико-математические модели для снижения издержек на приобретение, хранение и управление ресурсными запасами предприятия.
Крупные комбинаты лесной промышленности России за последние
годы установили новейшее технологическое оборудование, перешли на
современные высокоэффективные технологии выпуска конкурентоспособной продукции. При этом возникает проблема расширения рынков
сбыта продукции и оптимизации загрузки производственных мощностей
предприятий по выпуску лесной продукции.
Особенности совершенствования управления с использованием экономико-математических моделей динамики движения денежных и материальных потоков, разработка и использование экономико-математических
моделей статики направлены на разрешение актуальных вопросов инструментальной поддержки принятия управленческих решений в сфере произ138
водственно-экономической деятельности предприятий лесной промышленности. В основе решения этих задач лежит учет фактических результатов производственно-экономической работы, отраженных в месячных,
квартальных отчетах. Такой подход к выработке управленческих решений
позволяет действительно в ряде случаев улучшить на очередной период
работы показатели в сфере финансово-экономической деятельности предприятия.
Но месячные, квартальные, полугодовые, годовые отчеты дают
показатели финансово-экономической деятельности в прошлых режимах работы на последний день того или иного периода года. Эти отчеты содержат достаточно достоверные результаты статики производственно-экономической работы на фиксированные дни календарного
года.
Такой подход к выработке управленческих решений с использованием данных месячных, квартальных, полугодовых, годовых отчетов
имеет свои существенные недостатки, так как не учитывает динамику
текущих изменений финансово-экономических ситуаций в работе
предприятия, например, в течение недели, месяца. В то время как по
динамическим ситуациям экономики, возникающим на всем протяжении недели, месяца, квартала, управленческие решения появляются
запоздалыми, так как они принимаются после анализа данных месячного, квартального отчета и соответствующих показателей финансовоэкономической деятельности. Запаздывание с принятием управленческих решений – это, в конечном счете, упущенная часть выручки, упущенная часть прибыли.
Учебная, научная литература в области экономико-математического
моделирования процессов, показателей микроэкономики посвящена математическим моделям статики, применение которых ориентируется обычно
на использование численных данных месячных, квартальных, годовых
отчетов.
Практика управления финансово-экономической деятельностью промышленных предприятий не имеет научных разработок, рекомендаций по
построению и использованию экономико-математических моделей динамики показателей экономичности процессов для контроля, анализа, прогноза, своевременной выработки управленческих решений, смягчающих
или устраняющих негативные последствия внезапно появившихся неблагоприятных экономических ситуаций. И наоборот, при возникновении
позитивных ситуаций в экономике предприятий запоздалые управленческие решения, появляющиеся после анализа месячных, квартальных отче139
тов, сопровождаются упущенной в течение месяца, квартала частью выручки, прибыли.
Экономико-математические модели статики в большинстве случаев
не позволяют получать достаточно достоверные данные по прогнозу показателей экономики предприятия на ближайшее время и на более удаленный период. В этом плане разработка и использование экономикоматематических моделей динамики изменения показателей финансовоэкономической деятельности во времени дает возможность повысить уровень эффективности, результативности управления экономикой предприятия за счет более точного прогноза и своевременного принятия управленческих решений с более эффективным использованием оборотных и свободных финансовых средств.
В практической деятельности предприятий по производству лесной
продукции финансовая устойчивость определяется также в статике анализа месячных, квартальных отчетов. Запас финансовой устойчивости на
последний день месяца, квартала определяется разницей между суммарной
выручкой за реализованную продукцию и валовыми затратами за соответствующий период времени. По величине запаса финансовой устойчивости
на последний день месяца, квартала определяется необходимая сумма
оборотных средств на очередной период и возможный резерв свободных
финансовых средств.
Такое положение не дает возможности в течение всего месяца, всего
квартала своевременно эффективно использовать свободные финансовые
средства, например, для приобретения и запуска в работу нового оборудования, технологий без риска расхода оборотных средств на эти мероприятия.
В этой связи разработка и использование математических моделей
динамики изменения по времени валовых затрат, выручки, прибыли предприятия дает возможность с высокой достоверностью расчетов прогнозировать запасы финансовой устойчивости на тот или иной период месяца,
квартала, определять на эти периоды суммы свободных финансовых
средств, не дожидаясь месячных отчетов, оперативно использовать динамические модели для повышения эффективности управления производственной, финансово-экономической деятельностью предприятии [3, 4].
Информационное обеспечение анализа финансово-экономических ситуаций при поиске управленческих решений на предприятиях лесного
производства характеризуется информационными показателями движения
140
денежных и материальных потоков, которые определяют их финансовое
состояние, в частности финансовую устойчивость.
Для создания систем компьютерной поддержки контроля, анализа,
прогноза, принятия управленческих решений в финансово-экономической
сфере деятельности предприятия по производству лесной продукции
необходимо учитывать и использовать численные значения, как минимум,
22 информационных показателей [1, 4].
Х(n) – объем производства лесной продукции на определенный период, м3.
П0 – выручка от реализации лесной продукции, тыс. руб.
Ц – продажная оптовая цена 1 м3 лесной продукции, тыс. руб.
Z(n) – постоянные издержки производства за какой-то период, тыс.
руб.
U(n) – переменные затраты, приходящиеся на производство лесной
продукции за какой-то период, тыс. руб.
Рпр – прибыль предприятия за какой-то период (без налогов на прибыль, акцизов и др. платежей), тыс. руб.
Ссрс(n) – собственные резервные финансовые средства предприятия,
тыс. р., которые могут быть использованы для обеспечения заданного
объема производства фанеры х(n), м3. Этот показатель определяется по
данным месячного отчета предприятия.
Скр(n) – сумма полученных кредитов банка, которые не должны погашаться в анализируемый период года ( месяц, квартал). Показатель входит в состав бухгалтерского отчета.
Х(n-r)⋅aт⋅Ц – выручка от произведенного ранее в период (n-r) объема
фанеры, поступившая в анализируемый период n, тыс. р., определяется по
учетным документам отдела сбыта и бухгалтерии предприятия.
ат – удельный относительный вес реализованной лесной продукции,
произведенный в период (n-r), выручка от которой поступает на счета
предприятия в период n. Этот показатель определяется расчетом.
а0⋅Ц – выручка от продажи части произведенной лесной продукции,
изготовленной в период (n), и реализованной в этот же период.
а0 - удельный относительный вес реализованной в период n м3 лесной
продукции, изготовленной в этот же период, находится по учетным данным отдела сбыта.
141
m – число периодов, необходимых для реализации выпущенной продукции (число кварталов, необходимых для реализации лесной продукции). Этот показатель определяется по учетным данным отдела сбыта.
Вв - валовая выручка по кварталам при реализации лесной продукции
вычисляется как произведение объема продаж (Хпрод) на цену 1 м3 лесной
продукции (Ц). Валовая прибыль по кварталам находится расчетом розницы между валовой выручкой Вв и валовыми затратами Ви. Налог на добавленную стоимость исчисляется по действующим нормативам.
Хпрод – объем продаж м3 лесной продукции, определяется по учетным
документам отдела сбыта предприятия.
Затраты на производство 1 м3 лесной продукции с учетом ее хранения
определяются по данным бухгалтерского учета.
Х(n-r)пр – объем лесной продукции, проданной в период (n-r), м3. Этот
показатель находится по учетным данным отдела сбыта.
Сумма возврата кредитов по кварталам регистрируется в документах
бухгалтерского учета предприятия.
mкр – срок предоставления кредитов зафиксирован в банковских документах предприятия.
αкр – процентная ставка по кредитам за год.
Таким образом, рассмотренные 22 информационных показателя финансово-экономической деятельности предприятия по производству лесной продукции составляют основу информационного обеспечения систем
компьютерной поддержки контроля, анализа, прогноза экономического
состояния предприятия и выработки ряда необходимых управленческих
решений.
Выводы:
1. Использование современных средств вычислительной техники, информационных технологий позволяет на предприятиях лесного производства автоматизировать сбор, обработку информации, выработку управленческих решений, особенно при неблагоприятном изменении экономических ситуаций. При этом очень важно достаточно надежно прогнозировать
дальнейшее развитие экономических ситуаций и в позитивном направлении корректировать их дальнейшее развитие, направленное на повышение
технико-экономической эффективности функционирования производства.
2. При выработке управленческих решений в экономике производства и реализации лесной продукции возникают сложные многоальтернативные задачи, оптимальное решение которых может быть получено с
142
помощью специальных экономико-математических моделей статики, алгоритмов и компьютерных программ. В основе выработки управленческих
решений по экономико-математическим моделям статики лежат данные
месячных, квартальных, полугодовых, годовых отчетов.
Библиографический список
1. Жданов, С.С. Экономические модели и методы в управлении. – М. :
Дело и сервис, 1998. – 173 с.
2. Лабскер, Л.Г. Математическое моделирование финансовоэкономических ситуаций с применением компьютера. – М. : МЭСИ,
1998. – 244 с.
3. Петровский, В.С. Экономико-математические методы. – Воронеж :
ВГЛТА, 2000. – 158 с.; Петровский, В.С. Моделирование систем управления. – Воронеж : ВГЛТА, 2000 – 178 с.
РЕДУКЦИЯ СИСТЕМЫ СТАТИСТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
РАБОТЫ КОМПАНИЙ СВЯЗИ МЕТОДОМ ГЛАВНЫХ
КОМПОНЕНТ
М.Ю. Карышев
Самарская государственная академия путей сообщения,
г. Самара, Россия
Право информации на статус полноценного и едва ли не главного
фактора экономического развития постиндустриального общества в
целом признано многими экспертами в России и за рубежом. «Неоспорим тот факт, что направления дальнейшего развития мировой экономики напрямую зависят от развития технологий и интенсивности инновационного процесса, где информационным и телекоммуникационным
технологиям отводится особая роль катализатора. Эти отрасли сегодня… создают предпосылки для появления новых отраслей» [1].
Итак, рынок информатизации как совокупность операций по созданию, распределению-перераспределению и потреблению информационных продуктов в своей инфраструктуре может быть подразделен
на две составляющие:
а) рынок информационных технологий – разработка все более эффективных программно-аппаратных средств, позволяющих повысить
143
производительность вычислительных процессов (производители информационных товаров);
б) рынок телекоммуникаций – естественная, объективная среда
распространения информации как экономического ресурса (производители информационных услуг).
Автором уже предпринималась попытка комплексного исследования телекоммуникационной составляющей информатизации экономики
[2]. Результатом этого стала разработка предварительного, упрощенного варианта системы статистических показателей деятельности региональных компаний связи на основе ведомственной статистики крупнейшего телекоммуникационного холдинга страны ОАО «Связьинвест». Наличие в данной системе статистических показателей, в некоторой степени являющихся дублирующими, определяет резонность
выделения небольшого числа неких общих факторов, которые столь же
хорошо описывали бы исследуемый объект и были бы удобны с точки
зрения содержательной интерпретации. Решение подобной задачи: редукции данных (по-другому, снижение размерности признакового пространства или числа переменных), возможно путем применения таких
очень схожих методов многомерного статистического анализа, как метод главных компонент (МГК) или факторный анализ (R-техника).
Теоретический базис и прикладные аспекты этих методов подробно
изложены, например, в [3]. В силу трудоемкости исчислений в расчетах
обычно пользуются различными пакетами прикладных программ, как
правило, STATISTICA или SPSS.
Настоящая система включает в себя два десятка индикаторов, изначально типически группирована, и теперь в каждой из групп выделены следующие обобщенные факторы (или главные компоненты):
(а) технико-инфраструктурная группа (показатели характеризуют
потенциальную и фактическую способность филиала осуществлять
услуги связи, его техническую оснащенность). Три выделенных обобщенных фактора объясняют 74,3% общей дисперсии после вращения
пространства переменных методом Varimax с предварительной стандартизацией данных;
(b) экономическая группа (демонстрирует структуру доходов филиалов в разрезе видов услуг связи, на одного работника филиала и
линию связи). В этом случае также экстрагированы три главные компоненты с совокупной долей объясненной вариации 67,0%, при этом
144
процедура вращения переменных более высокого результата по сравнению с изначально полученной структурой не дала;
(c) социально-потребительская группа (дает описание распределения совокупности основных клиентов; потребностей и обеспеченности
потребителей в основном средстве электросвязи – телефоне). Доля объясненной двумя новыми переменными дисперсии после применения
Varimax составила 61,7%.
В таблице приведены те исходные статистические индикаторы, которые имеют наибольшие значения факторных нагрузок, характеризующих меру корреляции с выделенными главными компонентами.
Статистический индикатор
Факторная
нагрузка
Главная
компонента
Доля международного
трафика в структуре
общего трафика дальней
связи, %
Цифровизация сельской
телефонной сети, %
Доля задействованной
емкости в структуре
установленной емкости
телефонной сети, %
Доход от услуг электросвязи на одну линию,
руб.
Доля дохода от услуг
мобильной и пейджинговой связи в общей
структуре доходов от
услуг электросвязи, %
Доходы от услуг электросвязи, тыс. руб.
Доля хозрасчетных организаций в структуре
основных клиентов
услуг электросвязи, %
Количество заявок на
установку телефона, ед.
0,845
F1 (а)
Доля объясненной дисперсии
0,280
0,909
F2 (а)
0,276
0,943
F3 (а)
0,187
-0,888
F1 (b)
0,352
-0,985
F2 (b)
0,166
0,814
F3 (b)
0,152
0,840
F1 (c)
0,347
0,725
F2 (c)
0,270
Проведенные расчеты привели к получению эффективного результата по редукции системы статистических показателей и выявлению
145
латентных, скрытых обобщающих факторов, позволяющих значительно упростить структуру вышеупомянутой системы. Рассматривая данное направление анализа в развитии, логично будет решить и равную
по важности выделения главных компонент задачу: классифицировать
полученное число обобщенных факторов по степени их значимости,
применяя для этого все те же методы вращения.
Автор приглашает к дискуссии и сотрудничеству (e-mail:
mike6376@mail.ru)
Библиографический список
1. Савинов, Ю.А., Абрамова, А.В. Влияние информационных технологий на конкурентоспособность стран в мировой экономике // Вопросы статистики. – 2006. – №5.
2. Карышев, М.Ю. Экономико-статистический анализ телекоммуникационной отрасли в контексте информатизации российского общества // Вопросы статистики. – 2006. – №5.
3. Дубров, А.М., Мхитарян, В.С., Трошин, Л.И. Многомерные статистические методы : учебник. – М. : Финансы и статистика, 2003. –
352 с.
АСПЕКТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ АДАПТАЦИОННОГО
МЕХАНИЗМА РЫНКА ТРУДА И ПОДХОДЫ
К ИНТЕГРАЛЬНОМУ ВЗАИМОДЕЙСТВИЮ
В.П. Беклемешев
Байкальский государственный университет экономики и права,
г. Иркутск Россия
Социализация экономических процессов в последнее время все
больше предопределяет качественные характеристики рабочей силы,
способности человека к трудовой деятельности, его умения, знания,
навыки как человеческий капитал. Учитывая специфические особенности формирования такого капитала по-особому следует подходить к
определению и формированию социального капитала как компонента
отдачи от использования инноваций в человеческий капитал. Так,
С.Ю. Рощин и Т.О. Разумова в моделировании социальных проблем
ориентируются «на затраты времени и денежных средств». При этом не
учитывается такой специфический компонент, как «талант», способность человека учиться, а следовательно, отображаются не достаточно
корректно результаты «выгодности» и отображения уровня оплаты
труда, моделирование их результатов. Это дает основание авторам счи146
тать, что формируется «общий и специфический человеческий капитал».
Опыт и практика исследований ряда региональных работ иркутских ученых ориентирует на использование ограниченности моделирования только управленческого труда. Отсутствие в предлагаемой трактовке решений по регламентации управленческой деятельности будет
увеличивать и сдерживать рост производительности труда, ухудшать
экономические показатели деятельности предприятий, ограничивать
порядок труда и трудовых отношений, «мотивационные» аспекты менеджмента, отражение взаимозаменяемости при управлении человеческими ресурсами.
Качественное проектирование позволит установить «цикл данных,
относящихся к стоимости человеческого капитала». Формирование
такого «цикла» представляет различные системы сбалансированных
показателей человеческого капитала как в организации адаптационного
механизма отдельных территорий, так и в целом государств, где процессы позиционирования будут осуществлять связь между управлением человеческим капиталом и другими видами капиталов с помощью
матрицы оценки исполнения процесса.
Опыт германских ученых в этом направлении подтверждает значимость фьючерсных компонентов управления человеческим капиталом и его конкуренции, эффективность внедрения аутсорсинга персонала, снижает затраты на управленческие и технологические инструменты в бизнесе. Анализ разработок последних лет позволяет констатировать, что качество моделирования процессов на рынке труда все
эффективнее влияет на создание стоимости человеческого капитала,
его социодинамику, что находит отражение в ряде таких процессов, как
переход от функциональной специализации к интеграции бизнеспроцессов; информационных технологий; переход к выполнению индивидуальных заказов покупателей; развитие мирового рынка услуг;
определение альтернативных подходов менеджмента социальных ресурсов человеческого капитала. Огромный опыт здесь отводится разработкам генетических алгоритмов эволюционных вычислений отбора
программ, классификационных систем, логики обучения. Основу этих
нововведений составляют нейронные сети, обучающие правила, генетические алгоритмы.
Сложность современного рынка труда характеризуется жесткими
условиями функционирования: высокой интенсивностью информационных потоков, множеством работодателей, конкурентной рабочей силы на занятие «выгодных» должностей и рабочих мест, инфраструкту147
рой и средой формирования стоимости труда и самого капитала. Появление различных инструментов анализа социальных аспектов внутреннего и внешнего потенциалов адаптации постоянно трансформирует
движение рабочей силы, заставляет своевременно сориентироваться в
информационном потоке, совершенствовать процессы адаптации в системе (например, появление базы адаптивного информационного взаимодействия специалиста). Благодаря зарубежному опыту начинает
внедряться и проектироваться гибридная система СЧМС, где определяются факторы и уровни состояния человеческого капитала с ориентацией на социальные компоненты.
Согласование динамических процессов трансформации состояний
и стратегий деятельности человека и смены режимов работы предопределяет динамику СЧМС, способствует качественному установлению
свойств социального капитала в рассмотрении устойчивости, стабильности, ошибочных действий в управлении адаптацией, трансформации
закона взаимной адаптации, т.е. его методологию взаимосвязанного
анализа, выбор оптимальной последовательности; предсказания снижения эффективности использования; технологий, подходов к качеству
менеджмента рынка труда.
Предпринятые в последнее время приоритеты социального развития говорят о том, что разбалансированность адаптационного механизма требует своего совершенствования, о его неспособности регулировать оценку рынка труда. Это подтверждается разработками ряда ученых, представленными в журнале «Вопросы экономики переходного
периода» В.А. Павленковым, А.В. Топилиным, С. Глазьевым. За 15 лет
рыночных реформ в российской экономике ни разу не было замечено
снижения цен, что явилось следствием отсутствия свободной конкуренции на российском рынке, постоянно отмечается получение монопольной сверхприбыли за счет потребителей, игра на различных компонентах социальной адаптации.
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ ДЕМОГРАФИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
А.Ю. Логинов
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия.
В [1] была предложена математическая модель демографического
развития, прогнозирующая не только численность и возрастную струк148
туру, но и социальное развитие общества. Система дифференциальных
уравнений демографической модели выглядела следующим образом:
n
, (1)
∂Pi (t ,τ )
∂P (t ,τ )
=− i
+ Pi (t ,τ ) ( vi (t ,τ ) − µi (t ,τ ) ) + ∑ λi , j (t ,τ ) Pj (t ,τ ), i = 1, n,
∂τ
∂t
j =1
где Pi (t ,τ ) – функция плотности (численности) населения i-той социальной группы в момент времени t возраста
τ ; vi (t ,τ ) ,
µ i (t , τ ) –
функции, задающие миграционное сальдо и смертность i-той – социальной группы момент времени t возраста τ ; λi , j (t , τ ) – функция, описывающая темпы перехода из i-той социальной группы в j-тую в момент времени t возраста τ .
В данной статье доказывается однозначная разрешимость предложенной модели.
Систему (1) перепишем в виде:
∂Pi ( t ,τ ) ∂Pi ( t ,τ )
(2)
+
= bi , i = 1, n ,
∂t
∂τ
где bi – функции, зависящие от t , τ , P1 , … , Pn .
Тогда (2) можно трактовать как систему квазилинейных дифференциальных уравнений с одинаковой главной частью
2
∂ui
∑ ∂x
j =1
где
= bi , i = 1, n ,
(3)
j
x1 = t , x2 = τ , ui = Pi .
Пусть дано решение системы (3):
ϕi ( x1 , x2 , u1 , … , un ) = 0, i = 1, n.
Дифференцируя (4), получаем следующие уравнения:
n 
∂ϕi
∂ϕ ∂u 
+ ∑  i k  = 0, i = 1, n, j = 1,2,
∂x j k =1  ∂uk ∂x j 
j , получаем
суммируя по
2
∂ϕi
n
 ∂ϕ 
i
∂uk  
  = 0, i = 1, n ,
k  j =1
j 
2
∑ ∂x + ∑  ∂u  ∑ ∂x
j =1
j
k =1

в силу (3) имеем
149
(4)
n
 ∂ϕi 
∂ϕi
+
∑
∑
 bk
 = 0, i = 1, n.
∂uk 
j =1 ∂x j
k =1 
2
Очевидно, что функции
ϕ = ϕi
(5)
системы (4) удовлетворяют соот-
ношению (5) тождественно относительно всех переменных, следовательно, они удовлетворяют дифференциальному уравнению
n
 ∂ϕ 
∂ϕ
+ ∑  bk
∑
 = 0. (6)
∂uk 
j =1 ∂x j
k =1 
Если ввести обозначения c1 = c2 = 1, c3 = b1 , … , cn + 2 = bn ,
x3 = u1 , … , xn+ 2 = un , то система (3) переходит в дифференциаль2
ное уравнение
∂ϕ
n+2
∑ c ∂x
i
i =1
= 0,
(7)
i
для функции
ϕ ( x1 , … , xn+ 2 ) .
Обратное получаем, повторяя рассуждения теоремы со стр. 126 [3].
В итоге получили, что система (3) эквивалентна одному линейно-
му дифференциальному уравнению для одной функции от n + 2 переменных.
Задача Коши для уравнения (7) формулируется следующим образом [2]. С помощью n + 1 независимых параметров s1 , … , sn +1 задано в пространстве n + 3 измерений начальное многообразие C ( x) , n + 1
измерений: xi = x ( s1 , … , sn +1 ) , u = u ( s1 , … , sn +1 ) , i = 1, n . В окрестности
C0 ( x) , проекции многообразия C(x) на пространство
x -ов,
требуется
найти такое решение u = u ( x1 , … , xn +1 ) дифференциального уравнения
(7), которое проходит через многообразие C ( x) , т. е. переходит тождественно
в
u = u ( s1 , … , sn +1 ) ,
если
xi = x ( s1 , … , sn +1 ) , i = 1, n .
150
величины
xi
заменить
на
В терминах системы (2) данная задача Коши означает начальные
данные в виде кривых Pi ( t ( s ), τ ( s ) ) , в окрестности которых и ищется
решение системы.
Из этих рассуждений следует однозначная разрешимость системы
уравнений (1) при заданных начальных и граничных условиях.
Библиографический список
1. Надев, А.Т. Систематика. – Кн. 4. Системы процессов. – Н. Новгород, 2000. – 177 с.
2. Курант, Р., Гильберт, Д. Методы математической физики. – Т. 2. –
М. :Технико-техническая литература, 1951.
МЕТОД МОДЕЛИРОВАНИЯ ПОВЕДЕНИЯ НА РЫНКЕ
ЦЕННЫХ БУМАГ ПРИ ПОМОЩИ ТРЕНД-АНАЛИЗА
М.А. Викулов
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
В последнее время в связи с бурным развитием технологий в области связи большое распространение получила электронная коммерция
во всех ее проявлениях, в торговле на фондовых рынках – в частности.
Для этих целей спроектировано большое число программных продуктов, позволяющих в режиме реального времени проводить операции по
купле и продаже ценных бумаг, золотовалютных активов. Большое
число участников этого рынка создает условия, при которых нет монополиста, а следовательно, процесс ценообразования подчиняется основному закону рынка – закону спроса и предложения.
С увеличением объемов оборотных средств, выведенных на рынок,
появляется потребность прежде всего минимизировать убытки, возможные при торговле на повышении и понижении курса акций. С этой
целью постоянно разрабатываются программно-технические средства,
позволяющие описать происходящие на рынке процессы, т. е. дать статистическое обоснование целесообразности совершения тех или иных
операций по покупке или продаже активов. Безусловно, возникает и
потребность в прогнозировании.
151
Под прогнозированием в этом смысле понимается специальное
научное исследование перспектив развития процесса ценообразования,
оценка показателей, характеризующих его для более или менее отдаленного будущего.
В финансовой теории различают два вида риска: несистематический (собственный) риск (влияние на компанию общеотраслевых факторов, потеря контрактов и т. д.), который можно редуцировать диверсификацией; систематический (рыночный) риск (экономическая депрессия, неожиданная инфляция, изменение процентных ставок и т. д.).
С этих позиций практический интерес представляет модель поведения трейдера в условиях реального рынка, который, опираясь на сигналы, вырабатываемые системой, производит те или иные операции. За
основу возьмем трендово-факторную прогностическую модель
~
by jk = f (bx1 jk −l ; bx2 jk −l ;…; bxi jk −l ;…; bxn jk −l ) ,
где
b y − средневременной прирост результативного показателя;
bx1 , bx2 , bxi , bxn − приросты факторов; k − номер прогнозируемого
периода времени; l − период упреждения.
Трендово-факторные модели позволяют выявить силу влияния
приростов основных факторов на величину прибавки результативного
показателя.
Предположим, что мы располагаем временным рядом, составленным
из
рыночных цен
акций
за
определенный
срок:
X = ( x0 , x1 ,…, x N −1 , x N ) . Назовем восходящим трендом такую по-
следовательность
xi , при которой x r ≤ x r +1 ≤ … ≤ x r + s −1 ≤ x r + s , т. е.
каждый последующий член последовательности не меньше предыдущего. Аналогично определим нисходящий тренд, когда члены последовательности убывают. Как только условие тренда нарушается, то говорим, что тренд закончен.
Разобьем рассматриваемый участок временного ряда на участки по
p значений ( p > 3 ) таким образом, что соседние участки пересекаются в одной точке. Далее построим аппроксимационные полиномы
второй степени для каждой группы из p точек:
152
Pi = a i y 2 + bi y + c + ξ (t ) ,
где
Pi − аппроксимационный полином, ai , bi и ci − параметры по-
линома,
ξ
− случайная величина, подчиненная равномерному закону
распределения, имеющая определенную нормировку (обычно 5% от
амплитуды колебания цены за рассматриваемый интервал времени).
Построим доверительный интервал для всего рассматриваемого
временного ряда. Методика определения ширины этого доверительного
интервала различается в зависимости от используемой модели. Наиболее предпочтительным является вариант динамической ширины этого
коридора, которая вычисляется с «эффектом памяти», или «запаздыванием»: чем меньше амплитуда колебаний на предыдущих участках, тем
уже коридор, и наоборот. Определим доверительный интервал следующим образом:
W xi = F ( xi −1 , xi − 2 , … , xi − m ) ,
где
W xi − ширина интервала для xi , m − величина «запаздывания».
Функция F может быть как линейной, так и нелинейной.
Располагая временным рядом, набором аппроксимирующих полиномов и доверительным интервалом на всем рассматриваемом участке,
можно заметить, что наиболее вероятные места перелома трендов − это
точки, где соответствующие кривые аппроксимационных полиномов
пересекают границу доверительных интервалов.
Зададим индикаторную функцию K (i ) следующим образом:
 − 1 Pj > x i + W x i , a j > 0

K =
0 иначе
1 P < x + W , a < 0
j
i
xi
j

Таким образом, K = −1 − перелом тренда вверх, что свидетельствует о возможном начале продолжительного восходящего тренда
(сигнал к покупке акций). Значение K = 1 говорит об обратном, а
именно, что начинается нисходящий тренд (можно продавать акции).
При K = 0 ситуация не располагает к активным действиям, движение
на рынке отсутствует, что называется «боковым» трендом.
Изложенный алгоритм программно реализован, и его использование дало значительный экономический эффект.
153
ОСОБЕННОСТИ ПОСТРОЕНИЯ СЕТЕЙ АЗС С УЧЕТОМ
ДАННЫХ О ПОТОКАХ ЗАЯВОК ФИЗИЧЕСКИХ ЛИЦ
А.А. Безродный
Саратовский филиал ООО «ЛУКОЙЛ-Нижневолжскнефтепродукт»,
г. Саратов, Россия
Введение
Сети автозаправочных станций являются основой для построения
структуры системы нефтепродуктообеспечения (НПО). Ввиду сложности исследуемой подсистемы системы НПО «Сети АЗС» и наличия существенных ситуационных особенностей объектов данного вида в зависимости от характеристик улично-дорожных сетей (УДС) населенных пунктов и загородных путей сообщения вопрос полноты и достоверности информации, необходимой для принятия решения, является
актуальным. Одним из способов ее получения является использование
данных систем обслуживания по микропроцессорным картам различных типов и видов, что позволяет обрабатывать большие (периоды
времени – 5 лет и более) массивы точных (не хуже 0,01 л.) данных о
потоках заявок автотранспортных средств (АТС) и операциях по их
обслуживанию. При этом указанный способ в отличие от ряда известных моделей и алгоритмов [1] (которые используются, главным образом, для оценки эффективности сетей АЗС населенных пунктов, экономических районов или государства в целом) представляет возможность
моделировать текущее и будущее состояние предприятия НПО, входящего в состав вертикально интегрированной нефтяной компании
(ВИНК), как отдельного хозяйствующего субъекта, типичного для системы НПО РФ. Уточнению ранее созданного алгоритма путем учета
данных по обслуживанию физических лиц и посвящена настоящая статья.
1. Сравнение источников данных о потоках автотранспортных средств
На сегодняшний день известно некоторое число моделей и методов построения и оптимизации сетей АЗС на основе данных о потоках
заявок АТС [1]. Краткая характеристика источников данных о потоках
АТС представлена в таблице.
154
Краткая характеристика основных источников данных о потоках АТС
Наименование
1. Данные АСУ ТП
АЗС
Содержательно описание
Регистрация данных о потоке заявок, обслуживаемых
на АЗС
Регистрация данных о потоке заявок по картам различных типов, обслуживаемых
на АЗС
Регистрация прохождения
АТС через выбранный разрез
элемента УДС
2. Данные обслуживания по картам различных типов
3. Данные натурных
наблюдений
Достоверность информации
Для обеспечения достоверности информации необходимо совместное использование с вариантом № 3
Аналог варианта № 1 с большим многообразием, точностью и временем хранения и обработки информации; также
используется совместно с № 3
Физическая модель дает высокую точность и достоверность, однако требует
существенных издержек на создание
и функционирование
В рамках выбранного формализма видно, что наибольший эффект
(наряду с использованием методов экспресс-оценки состояния и экспертных оценок) дает совместное применение методов №1 и 3 или №2
и 3, причем именно метод 2 (при наличии приемлемой в некотором
смысле модели адекватности данных об обслуженных потоках заявок)
является оптимальным по критерию полноты и точности информации и
стоимости ее сбора, обработки и анализа.
2. Уточнение данных о потоке заявок для физических лиц
Для уточнения структуры сети АЗС в рамках ранее созданного алгоритма используется информация о потоках заявок на обслуживание
по картам физических лиц сетей АЗС трех малых городов районного
подчинения и двух средних городов областного подчинения двух регионов средней полосы РФ (рис. 1).
С р е д н и й го р о д (1
С р е дн и й го р о д (5 0 0 т ы с . ж и т е ле й )
м л н . ты с . ж и те л е й )
Доля потребителей, %
1 0 0 %
Доля потребителей, %
9 0 %
8 0 %
7 0 %
6 0 %
5 0 %
1 0 0 %
8 0 %
6 0 %
4 0 %
2 0 %
0 %
7
8
4 0 %
9
1 0
Чи с л о А З С с е т и
3 0 %
2 0 %
М а л ы й го р о д (1 5 0 -3 0 0 т ы с . ж и т е л е й )
1 0 %
1 2
1 4
1 6
1 8
С РЕД Н ЕЕ З Н А ЧЕН И Е
М А К С
2 0
Доля клиентов
1 0 0 %
0 %
8 0 %
6 0 %
4 0 %
2 0 %
М И Н
0 %
П о л и н о м и а ль н ы й (С РЕД Н ЕЕ З Н А ЧЕН И Е)
3
П о л и н о м и а ль н ы й (М И Н )
4
5
6
7
Чи с л о А З С с е т и
П о л и н о м и а ль н ы й (М А К С )
Рис. 1. Число АЗС сети, перехватывающих более 80% потребителей,
при недоминирующем положении предприятия НПО ВИНК (доля рынка менее 25%) в условиях малого (0,5 млн. жителей и менее)
и среднего (0,5 – 1,5 млн. жителей) города1.
1
Доля потребителей и АЗС здесь и далее, если не указано особо, берется относительно признаваемого за 1 (100%) успешного (в терминах показателей эффективности функционирования) регионального предприятия НПО, находяще-
155
В рамках выбранного формализма (время наблюдения по картам
физических лиц 2,5 года; в число АЗС включены объекты одноименных
сетей соседних регионов, а также работающие по договору коммерческой концессии; численные значения характеристик сетей АЗС позволяют провести процедуры сращивания найденных зависимостей с созданием единого графического представления) можно сделать следующие основные выводы: число АЗС, посещаемых (т. е. необходимых)
физическими лицами, в среднем (с учетом доверительных интервалов в
предположении о нормальном характере распределения случайных
величин) выше такового для юридических лиц и/или отдельных принадлежащих им транспортных средств (выше мощность множества
целей, большая мобильность данной категории клиентов и т. п.), за исключением, быть может, участка максимального числа АЗС сети;
сеть АЗС представленной мощности в среднем не может обеспечить
полное удовлетворение потребностей физических лиц и объем перехвата наперед заданного потока; для решения данной задачи необходима
комплексная реализация элементов Плана маркетинга (повышение качества обслуживания потребителей, формирование положительного
имиджа сети, развитие системы обслуживания по картам).
сетиАЗС
характеристики
Статистические
100
10
1
1
6
11
16
21
Число АЗС в сети
Среднее число АЗС, посещаемых т ранспорт ом ПРЕД ПРИ ЯТИ Й и ОРГАНИ ЗАЦИ Й
Среднее число АЗС, посещаемых ОТДЕЛЬНЫМИ АТС предприят ий и организаций
Среднее число АЗС, посещаемых ПОТРЕБИ ТЕЛЯМИ - ФИ ЗИ ЧЕСКИ МИ ЛИ ЦАМИ
Полиномиальный (Среднее число АЗС, посещаемых т ранспорт ом ПРЕДПРИ ЯТИ Й и
ОРГАНИ ЗАЦИ Й )
Полиномиальный (Среднее число АЗС, посещаемых ОТДЕЛЬНЫМИ АТС предприят ий и организаций)
Полиномиальный (Среднее число АЗС, посещаемых ПОТРЕБИ ТЕЛЯМИ - ФИ ЗИ ЧЕСКИ МИ ЛИ ЦАМИ )
Рис. 2. Среднее число АЗС сети,
посещаемых различными категориями потребителей
Видно, что зависимости характеристик сети АЗС для предприятий
и организаций, а также отдельных транспортных средств с точностью
до представленных доверительных интервалов схожи, и далее, если не
указано особо, данная характеристика декомпозиции не подвергается.
гося в немонопольном (недоминирующем) положении в условиях малого,
среднего или крупного города.
156
3. Алгоритм размещения сетей АЗС с учетом использования
данных об обслуживании физических лиц
При использовании алгоритма считается, что данные о натурных
наблюдениях, результатах предыдущих исследований, БД АСУ АЗС, а
также статистическая информации по планам реконструкции и развития населенных пунктов и загородных путей сообщения существуют и
доступны исследователю. Более того, известные модели уровня сетей
АЗС прошли свою апробацию, применены к объектам сети региона, и
результаты их применения составляют банк моделей искусственного
интеллекта. Наконец, при определении приоритета источника информации используется отношение доминирования и следования вида
«точные данные» ⇒ «данные АСУ АЗС и БД системы обслуживания
по микропроцессорным картам» ⇒ «результаты имитационного моделирования и натурных наблюдений».
На первом этапе алгоритма проводится сбор информации о сетях
АЗС исходя из данных подсистемы системы НПО обслуживания по
микропроцессорным картам и задание допустимых отклонений определения адекватности модели и оценки результатов ее применения.
На втором этапе результаты применения математических моделей
для уровня сетей АЗС (в предположении о проведении процедур оптимизации структур подсистем уровня АЗС) сводятся воедино с определением уровней оценок числа и структуры АЗС, необходимых для обслуживания заданного потока заявок:
среднее число АЗС, необходимое для перехвата наперед заданного
потока АТС для УДС данного вида, находится по методике определения потребности и размещения АЗС в отдельном экономическом районе [2] с использованием экспертных оценок различных уровней и оснований декомпозиции [3] при известном общем числе АЗС региона;
верхняя граница числа АЗС сети (и площадок под их строительство) определяется по модели размещения объектов в местах максимальной плотности потока АТС [1];
нижняя граница числа АЗС сети определяется числом объектов
(площадок под их строительство), удовлетворяющих факторам размещения для соответствующих уровней (малый и город) и оснований (город, микрорайон, загородные пути сообщения) декомпозиции [4].
На третьем этапе определяется взаимное влияние АЗС на величину перехвата потока АТС объектами одноименной сети и проводится
уточнение данных этапа 2.
3.1. Для подсистем УДС осуществляется создание матриц смежности элементов УДС и сетей АЗС, отражающих значения их характери157
стик (расстояния между объектами сети, число равнозначных и неравнозначных перекрестков, компоненты показателей эффективности АЗС
и их сетей, смежность/соседство АЗС и т. п.) во временные периоды,
соответствующие наличию и отсутствию объектов сети (т. е. до и после
их ввода в эксплуатацию).
3.2. Строятся зависимости показателей эффективности исследуемой подсистемы (доход, издержки, нереализованные варианты развития) или их компонент (число клиентов, карт, договоров, элементарных
актов отпуска и т. п.) от числа АЗС во временные периоды, соответствующие их наибольшим изменениям (с учетом известных трендов
сезонности, соотношении спроса и предложения и иных макроэкономических зависимостей), и находятся точки перегиба соответствующих
функций как точки изменения знака производной, характеризующей
тип их приращения. Если данная точка не найдена, необходимы сбор
дополнительной информации и уточнение модели (переход на этап 1).
3.3. Проводится сбор информации, отражающей изменения показателей эффективности при создании и/или реконструкции АЗС или их
сетей с точностью до элементарного акта отпуска нефтепродуктов
в зависимости от характеристик УДС с использованием матриц смежности сетей АЗС и УДС, найденных при реализации п. 3.1.
3.4. Данные по обслуживанию предприятий и организаций определяют среднее значение числа АЗС, необходимых для предприятия оператора НПО ВИНК для достижения устойчивого недоминирующего
состояния в регионе; данные по обслуживанию физических лиц - верхнюю границу числа АЗС сети и целевое состояние развития.
3.5. Для мест максимальной плотности потока АТС, для которых
создание АЗС не уменьшает значение показателей эффективности более чем на наперед заданную величину, найденную на этапе 1, принимается решение о создании АЗС или их сети. В противном случае осуществляется уточнение модели, занесение данных в БД по АЗС и переход на этап 1.
На четвертом этапе осуществляется проверка адекватности модели.
4.1. Проводится создание (реконструкция) АЗС сети для тестирования и проверки адекватности модели.
4.2. В случае отклонения результатов моделирования и реальных
данных менее чем на наперед заданную величину, определенную на
этапе 1, модель считается адекватной и рекомендуемой для дальнейшего применения (занесение информации в БД АЗС и переход на этап 1).
158
4.3. В случае неадекватности модели, осуществляется занесение
данных в БД АЗС и переход к п. 1.1.
Заключение
1. Повышение степени полноты информации о сетях автозаправочных станций и улично-дорожных сетях населенных пунктов и загородных путей сообщения позволяет проводить процедуры уточнения
данных при принятии решений о строительстве и реконструкции объектов уровня иерархии «Сети АЗС» системы нефтепродуктообеспечения.
2. Система сбора и обработки информации об обслуживании клиентов по микропроцессорным картам различных типов позволяет с высокой степенью достоверности и адекватности (с учетом совместного
использования других моделей и методов оптимизации процессов и
объектов сетей АЗС) осуществлять мониторинг состояния действующих и прогнозирование развития будущих сетей АЗС.
3. По результатам развития ранее созданного алгоритма размещения объектов сетей АЗС на случай использования данных по обслуживанию физических лиц показано, что среднее число АЗС, посещаемых
физическими лицами, как правило, выше, чем число АЗС существующей сети, что, с одной стороны, предполагает больший уровень сложности структуры потребностей данной категории потребителей, а с
другой, говорит о необходимости решения задачи перехвата максимального объема потока путем реализации процедур Плана маркетинга.
фактически с помощью данного алгоритма определяется верхняя целевая граница развития сети АЗС регионального предприятия НПО
ВИНК при переходе от недоминирующего состояния к иному.
4. Адекватность модели подтверждается данными экспертов и результатами применения алгоритма последовательного уточнения данных о потоке автотранспортных средств, достоверность представленной информации – точностью используемой информационной системы
обслуживания по микропроцессорным картам, обоснованность выводов – результатами практического применения.
5. Для обеспечения необходимой полноты представления целесообразно распространение результатов исследований на случай крупного города (более 1,5 млн. жителей), что и будет осуществлено в рамках
дальнейших исследований.
Библиографический список
1. Безродный, А.А., Резчиков, А.Ф. Модели структур и алгоритмы
управления автозаправочными станциями. – Саратов : Сарат. гос. техн. унт, 2004. – 249 с.
159
2. Методика определения потребности и размещения АЗС в отдельном экономическом районе. – М. : НПО АЗТ, 1980. – 96 с.
3. Helms Todd P., Flone Chip. A collection of vintage gas stations. – Atgen
PA: Schiffer Publishing Ltd., 1997. – 159 c.
4. Безродный, А.А., Белов, Ю.Ф., Новиков, Р.В. Размещение автозаправочных станций в малом городе // Информационно-вычислительные
технологии и их приложения: сборник статей IV российско-украинского
научно-технического и методического симпозиума. – Пенза : РИО
ПГСХА, 2006. – С. 10 – 18.
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ НАСЕЛЕНИЯ
А.Ф. Зубков, Т.А. Шорникова
Пензенская государственная технологическая академия,
г. Пенза, Россия
Одной из задач демографического анализа является изучение изменений численности населения, размещенного на территории, представленной набором п связанных между собой регионов. Пусть вектор
N(t)={N1(t),...,Nn(t)} характеризует размещение населения по регионам
в момент времени t. Изменение этого размещения происходит под влиянием двух процессов: биологического воспроизводства (рождение и
смерть) и механического движения (миграция).
В простейшем случае каждый регион можно характеризовать скоростью биологического воспроизводства qi. Тогда изменение численности населения в i-ом регионе определяется следующим балансовым
равенством:
dN i
= q i N i (t ) + M i (t ),
i = 1,..., n,
dt
где Mi(t) – сальдо миграции в момент t.
Наблюдения за процессами, влияющими на изменение численности, показывают, что они происходят с существенно разными скоростями: время релаксации биологических процессов существенно больше, чем время релаксации процессов миграции. Это позволяет рассматривать этот процесс как последовательность локально-равновесных
состояний.
Мотивация миграционного поведения человека – весьма сложный,
многофакторный и не вполне детерминированный феномен. Удобной
его моделью является стохастическая модель с некоторыми априорны160
ми параметрами, а именно: априорными вероятностями. В рамках этой
модели человек, проживающий в регионе i, выбирает регион j с априорной вероятностью аij и независимо от других жителей этого региона.
В результате многократных выборов образуется между регионами i и j
поток Nij. В соответствии с макросистемной концепцией локальноравновесное распределение потоков между регионами есть распределение, максимизирующее энтропию:
N ij
H ( N ) = ∑ N ij ln
⇒ max
aij
ij
.
Перемещения людей между регионами сопровождаются расходованием некоторых ресурсов. Например, это могут быть затраты, связанные с созданием в регионах въезда новых рабочих мест и нового
жилья. В первом приближении можно считать, что эти затраты линейно
зависят от потоков, и ограничивается их общее количество:
∑c
ijk
N ij ≤ Tk
ij
k = 1,..., r
,
.
В этих неравенствах cijk – удельные затраты k-го ресурса. Кроме
этих, существует естественное балансовое ограничение следующего
вида:
∑N
ij
ij
≤ γ ∑ Ni
i
i = 1,..., n
,
.
Все параметры этой модели зависят от распределения населения
N(t), но характер зависимостей связан с феноменологией этих параметров. Так, априорные вероятности, которые как-то отражают привлекательность района въезда, зависят от количества населения в этом районе:
a ij = aij ( N j ).
Удельные затраты обычно зависят от населения в обоих регионах:
cijk = cijk ( N i N j ).
И наконец, запасы ресурсов зависят в общем случае от распределения населения:
Tk = Tk (N ).
Таким образом, пространственно-временное движение населения
может быть описано в терминах динамической модели автономной
макросистемы с самовоспроизведением и распределением ресурсов:
161
dN i
= qi N i (t ) + ∑ ( N *ji − N ij* )
dt
i = 1,..., n;
j
,
~
~
N ij* = arg max( H ( N , N ) | N ∈ D( N ))
где
,
~
N = [ N ij ]
.
Модели пространственной динамики населения являются инструментом анализа и прогнозирования в различных прикладных проектах.
В частности, в международных проектах по анализу рыночной конъюнктуры с «новой» экономикой можно изучать и прогнозировать влияние экономических изменений на распределение населения.
Библиографический список
1. Климонтович, Ю.Л. Статистическая теория открытых систем. –
М. : Янус, 1995.
2. Попков, Ю.С., Посохин, М.В., Гутнов, А.Э., Шмульян, Б.Л. Системный анализ и проблемы развития городов. – М. : Наука, 1983.
3. Хакен, Г. Информация и самоорганизация. – М. : Мир, 1991.
4. Шмульян, Б.Л. Энтропийная модель городской системы // Автоматика и телемеханика. – 1979. – №10. – С. 70 – 83.
ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛЕЙ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ
В.Ф. Шишов, С.В. Колесникова, Е.А. Перетрухин
Пензенская государственная технологическая академия,
г. Пенза, Россия
Статистическая информация об экологической ситуации в Пензенской области позволяет выделить ряд приоритетных проблем по улучшению экологической обстановки.
Основными факторами, определяющими наличие угроз экологической безопасности Пензенского региона, являются: сложное финансово-экономическое положение большинства природопользователей;
низкий уровень жизни основной части населения; нестабильность
предприятий; преимущественно остаточное финансирование природоохранных мероприятий; большой физический и моральный износ технологического оборудования, в том числе природоохранного назначения; снижение реальной управляемости предприятиями; недостаточное
162
использование методов экономической экспертизы в процессе выбора
решений; отсутствие долгосрочной экологической политики; несовершенство финансово-кредитной системы обеспечения природоохранной
деятельности; низкий уровень экологической культуры большей части
населения, руководителей различного уровня и др.
Определить точные размеры ущерба от экологических ситуаций в
привычном для экономистов стоимостном эквиваленте часто не представляется возможным.
Статистические данные о чрезвычайных экологических ситуациях
свидетельствуют, что за последнее время такие ситуации возникают все
чаще и имеют все более тяжкие последствия. Основными из чрезвычайных экологических ситуаций являются: весенние паводки, лесные
пожары, аварии на трубопроводах, сброс неочищенных сточных вод,
ураганы и др.
Ущерб, наносимый чрезвычайными ситуациями, очень сильно изменяется по годам. В этой связи возникает проблема прогнозирования
величины ущерба на следующий год. Так как этот ущерб по периодам
распределен очень неравномерно и величина его зависит от многих
факторов, то традиционные методы прогнозирования ущерба на следующий год зачастую неприменимы.
Поэтому предлагается оценивать ущерб на основе стохастических
моделей управления запасами с непрерывным случайным спросом:
S
∞
0
S
C (s) = c1 ∫ (s − r ) f (r )dr + c2 ∫ (r − s) f (r )dr ,
где r – ущерб за интервал времени T ; f (r ) – закон распределения
ущерба; s – уровень запаса материальных средств для ликвидации
(компенсации) ущерба; c1 – затраты на хранение запаса; c 2 – штраф за
дефицит.
Решение данного уравнения дает оптимальный уровень запаса:
c2
,
c1 + c 2
где F ( s ) = p ( r < s ) – функция распределения ущерба для соответF ( s0 ) =
ствующего закона распределения.
Таким образом, чтобы определить оптимальный уровень запаса,
необходимо, в первую очередь, определить закон распределения ущерба. Так как количество опытных данных является небольшой величиной, то возникают определенные трудности в определении закона рас163
пределения. Рекомендуется в этом случае использовать критерий ω ,
который дает хорошую сходимость результатов уже при объеме выборки n ≥ 40 и основывается на непосредственно наблюдаемых
(несгруппированных) значениях случайной величины ущерба.
Затраты на хранение c1 определяются темпом инфляции, а штраф
2
за дефицит
c 2 можно оценить процентной ставкой за кредит.
Библиографический список
1. Шишов, В.Ф. Основы статистической обработки опытных данных. – Пенза, ВАИУ, 1996.
2. Черчмен, У., Акоф, Р., Арноф, Л. Введение в исследование операций; пер. с англ. – М. : Наука, 1967.
3. Козлов, А.Ю., Мхитарян, В.С., Шишов, В.Ф. Статистические функции MS Excel в экономико-статистических расчетах. – М. :ЮНИТИДАНА, 2003.
БАЗОВАЯ МОНЕТАРНАЯ МОДЕЛЬ ВАЛЮТНОГО КУРСА
А.А. Танюхин
Санкт-Петербургский государственный университет
сервиса и экономики,
г. Санкт-Петербург, Россия
Монетарный подход в определении валютного курса появился в
качестве доминирующей модели обменного курса в начале современного плавания в ранних 1970-х годах и остается значимой парадигмой
валютного курса. Выводы Миза и Рогова, к которым они пришли в
1983 году, привели к переломам тогда интенсивно развивающегося на
Западе экономикса валютного курса. Они серьезно критиковали стандартные монетарные модели и, вообще говоря, были правы – прогнозы,
выдаваемые моделью, оказались не лучше даже, чем простой, ничего
не меняющий прогноз. Прошло с тех пор более двух десятилетий, однако, несмотря на достоинство оценивания постфактум, однозначно и
уверенно монетарные модели улучшить случайное блуждание не смогли.
Монетарный подход исходит из толкования валютного курса как
относительной цены двух валют и пытается смоделировать эту относительную цену с точки зрения относительных предложения и спроса на
164
эти валюты. В дискретном времени монетарные равновесия в зарубежной и отечественной странах описываются:
mt = pt + kyt - λit
m*t = p*t + k*y*t - λ∗i*t,
(1)
(2)
где mt, pt , yt и it обозначают предложение денег, уровень цен, доход и
уровень процентной ставки соответственно для момента t в виде логарифмов; k и λ являются положительными константами; звездочки
означают зарубежные переменные и параметры. В монетарной модели
реальная процентная ставка в долгосрочном плане экзогенна и определяется на мировых рынках по причине имплицитно подразумеваемой
идеальной мобильности капитала.
Еще одним структурным элементом монетарной модели является
абсолютный паритет покупательной способности (РРР), который полагает, что арбитражу на товарных рынках свойственно сдвигать обменные курсы для уравнивания цен в двух странах. Монетарная модель
предполагает, что РРР имеет постоянное действие, так что
(3)
st = pt – p*t,
где st – логарифм двустороннего номинального валютного курса (домашняя цена иностранной валюты).
Внутреннее предложение денег определяет внутренний уровень
цен, и, таким образом, обменный курс определяется соответствующими
денежными предложениями. Вычитание уравнения (2) из уравнения
(1), решение относительно (pt-p*t) и ввод результата в уравнение (3)
дает решение для номинального валютного курса:
st = (mt-m*t) – (kyt-k*y*t) + (λit−λ∗i∗t),
(4)
что является фундаментальным уравнением монетарной модели. Модель часто упрощают, когда предполагают, что эластичность доходов и
частичная эластичность процентных ставок по денежному спросу одинаковы для обеих стран (λ=λ∗ и k=k*). Уравнение приводится к более
простому:
st = (mt-m*t) – k(yt-y*t) + λ(it−i∗t).
Данное уравнение говорит о том, что рост внутреннего предложения денег относительно иностранной зарубежной массы вызывает
165
обесценение внутренней валюты с точки зрения зарубежной. Иными
словами, номинальный валютный курс st увеличивается. И наоборот,
рост реального внутреннего дохода, ceteris paribus, создает дополнительный спрос на национальную денежную массу. В попытке увеличить реальные денежные остатки национальные резиденты уменьшают
расходы, и цены будут падать до тех пор, пока не достигается равновесие денежного рынка. Посредством РРР падение внутренних цен (при
постоянстве зарубежных) предполагает удорожание внутренней валюты с точки зрения иностранной.
В модели далее подразумевается выполнение условия непокрытого
процентного паритета (UIP):
Et( ρ st+1) = (it-i*t),
(6)
где ρ – оператор первой разницы, так что ρ xt=xt-xt-1 для любого x;
Et( ρ st+1) обозначает ожидание рынком изменения обменного курса.
Ожидаемая степень обесценения национальной валюты ρ sеt+1 может
тогда заменить разницу номинальных процентных ставок (it-i*t) уравнения (5):
st = (mt-m*t) – k(yt-y*t) + λ Et( ρ st+1).
(7)
Используя тождество Et( ρ st+1)= Et(st+1)-st, уравнение (7), в свою
очередь, может быть уже записано как
st = (1+λ)-1(mt-m*t) – k(1+λ)-1 (yt-y*t) + λ(1+λ)-1 Et(st+1).
(8)
Итерируя далее уравнение (8), решение к (7) на базе рациональных
ожиданий можно записать как
∞
st = (1+λ)-1 ∑ (λ/(1+λ))i Et [(mt+i-m*t+i) – k (yt+i-y*t+i)],
(9)
i=0
где Et[…] обозначает математическое ожидание, обусловленное информацией, имеющейся в распоряжении на момент t. Из литературы
рациональных ожиданий хорошо известно, что уравнение (9) представляет собой лишь одно решение к (7) из бесконечно возможного набора.
В общем, с учетом определения обменного курса согласно уравнению
(9), скажем set, (7) имеет многочисленные решения рациональных ожиданий, подчиняющиеся
166
st=set + Bt,
(10)
где рациональное фиктивное слагаемое Bt удовлетворяет
Et[Bt+i]=λ-1(1+λ)Bt.
(11)
Таким образом, set просто представляет собой решение рациональных ожиданий к монетарной модели при отсутствии рациональных
фикций. Рациональные фиктивности являются значительными отклонениями от базовых макропоказателей модели, которые могут быть и
не обнаружены в спецификации типа (5). Следовательно, тесты на присутствие фиктивности могут интерпретироваться как важнейшие уточняющие тесты модели.
ПРИЕМЛЕМОСТЬ МОДЕЛИРОВАНИЯ ВАЛЮТНОГО КУРСА
НА БАЗЕ МОНЕТАРНЫХ МОДЕЛЕЙ
А.А. Танюхин
Санкт-Петербургский государственный университет
сервиса и экономики,
г. Санкт-Петербург, Россия
Одна из самых заметных трудностей экономикса валютного курса
заключается в том, что три структурных элемента монетарной модели –
уравнения денежного спроса, паритет покупательной способности
(РРР) и непокрытый процентный паритет (UIP) – довольно неудачно
проявляют себя на практике. Уравнения спроса на деньги демонстрируют неустойчивость, особенно в США. Смена валюты numeraire, как
мне представляется, не очень-то и поможет монетарной модели.
Относительно того, почему же РРР и UIP так плохо себя зарекомендовали, у научного экономического сообщества единого мнения
нет. По каким причинам плавающие валютные курсы характеризуются
такой волатильностью и не связаны с ценами и разницами межстрановых процентных ставок? Многие исследователи утверждают, что неудачи моделей валютных курсов, вероятно, объясняются переменчивыми ожиданиями либо отклонениями от рациональности. Для примера, Франкель (Frankel) видит в оторванности обменных курсов от макропоказателей действие часто внутренне противоречивых ожиданий
167
будущих значений валютного курса. Подвижность обменных курсов,
по существу, переводится в разряд искусственных колебаний. Четыре
основания свидетельствуют о том, что ожидания должны отрицать подобное отношение: 1) исследовательские меры валютно-курсовых ожиданий являются очень слабыми предсказателями. По мнению профессоров Франкеля и Сарно (Sarno), сами ожидания внутренне разнонаправлены и стохастичны; 2) отсутствие в ожиданиях рациональности
нередко выделяется как причина невыполнения UIP; 3) определенные
стремления утвердить новые условия торговли, по-видимому, создают
избыточные, скорректированные на риск доходы в явное нарушение
гипотезы эффективных рынков; 4) переход от фиксированного к плавающему валютному курсу, что меняет схему формирования ожиданий, перестраивает динамику номинальных и реальных обменных курсов, а также зависимость курсовых колебаний от UIP.
Дадим пояснения для последнего аргумента. Фиксированные валютные курсы заморозили какие-либо опасения инвесторов относительно будущей цены валюты, поскольку существовали правительственные обязательства стабилизировать ее стоимость. Если ожидания
основаны на макропоказателях, а не на иррациональном поведении,
тогда взаимосвязи между макропоказателями и обменными курсами в
рамках режима фиксированных курсов должны быть такими же, как
при плавающем режиме. Но положение дел несколько иное. Страны,
двигающиеся от плавающих валютных курсов к фиксированным, испытывают резкую перемену связи между ценами и обменными курсами. В частности, реальные валютные курсы (то есть курсы, скорректированные на инфляцию в обеих странах) показывают значительно
большую волатильность при режимах плавающего курса, в которых
ожидания не связываются с обещаниями правительственной интервенции. Этот факт иллюстрируется типичным случаем: когда в марте 1973
года правительство Германии прекратило фиксировать DEM к USD,
вариация реального валютного курса USD/DEM резко возросла. Этот
результат говорит о том, что вопреки гипотезе эффективных рынков
изменения ожиданий инвесторов могут в краткосрочном периоде разделить валютные курсы от фундаментальных значений. Подобным образом, UIP, объясняя курсы USD, очевидно, выполняет очень несущественную работу, в то время как в рамках частично фиксированных
курсов, встречавшихся в EMS, UIP представляет себя довольно уверен168
но. Действительно, Флуд (Flood) разработал основанную на UIP модель
валютного курса, которая объясняет, почему в краткосрочном периоде
UIP и прогнозы валютных курсов даже с совершенно рациональными
посредниками исполняется настолько слабо. UIP лучше всего проявляется на продолжительных, а не коротких горизонтах времени. Объединяющим звеном этих доводов является то, что колебания краткосрочных ожиданий не оказывают влияния на функционирование моделей.
Исследование различий уровней цен в разных странах позволило
выявить одну закономерность, которая не объясняется стандартным
монетарным подходом: уровни цен, выраженные в единицах одной и
той же валюты, пропорциональны показателям реального дохода на
душу населения. Результаты проведенного анализа роли товаров, не
участвующих в международной торговле, в формировании национального уровня цен, указывают на то, что различия цен на подобные товары в разных странах вносят заметный вклад в установление разных
уровней цен в бедных и богатых государствах. Существующие данные
указывают на то, что непродаваемые за рубеж товары оказываются более дорогими (в сравнении с товарами, участвующими в международной торговле) в более богатых странах.
Рассмотренная теория говорит о том, что курсы валют не должны
быть абсолютно непредсказуемыми. Однако высокая волатильность
обменного курса в условиях плавающего режима в явном виде не привязана и не отражена в высокой изменчивости других макроэкономических переменных. Валютные курсы – это проблема не только из-за их
подвижности, но также и по причине их разъединения от реальной экономики. Согласно условиям процентного паритета, различия в процентных ставках валют должны служить индикаторами их возможного
обесценивания. Но на практике неожиданные или непредвиденные колебания валют оказываются более существенными, чем изменения
процентных ставок, и намного превышают предсказываемые изменения
курсов. С другой стороны, обменные курсы даже должны быть непостоянными, поскольку для того чтобы посылать правильные ценовые
сигналы, им необходимо быстро реагировать на поступающие экономические новости.
169
Секция 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
В ФИЗИКЕ И ТЕХНОЛОГИЯХ
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ИЗМЕЛЬЧЕНИЯ
И МЕХАНИЧЕСКОЙ АКТИВАЦИИ МИНЕРАЛЬНОГО СЫРЬЯ
В ПРОИЗВОДСТВЕ СТРОИТЕЛЬНОЙ ИЗВЕСТИ
В.И. Колобердин
Ивановский государственный
архитектурно-строительный университет,
г. Иваново, Россия
Одним из путей интенсификации производства строительной извести
и снижения удельных энергозатрат является совмещённая обработка исходного сырья в пресс-сдвиговой установке интенсивного действия, где
происходят его измельчение (истирание), механическое активирование,
нагрев за счёт теплоты трения до температуры обжига и сама термическая
диссоциация. Протекающие в установке процесс измельчения и связанный
с ним процесс механической активации оказывают непосредственное влияние на кинетику термической диссоциации материала. В связи с этим в
данной статье представлены результаты исследований и моделирования
процессов измельчения и механической активации известняка в пресссдвиговой установке интенсивного действия. Механические воздействия
на частицу приводят к образованию системы дефектов структуры материала, снижению механической прочности частицы. Одновременно с образованием дефектов в частице происходит процесс релаксации напряжений,
«самозаживления» дефектов, причём эффект измельчения определяется их
количеством:
S = ϕ ′(N , z , γ , δ ,...)
(1)
где S – текущее значение удельной поверхности материала; N – количество дефектов; z , γ , δ , … – второстепенные факторы. Разложим
выражение (4) в ряд Тейлора и ограничимся первыми двумя членами
[1, с. 126]:
S ≈ S0 + α ⋅ n ,
(2)
где
n = N V – концентрация дефектов; V – объем вещества; S 0 –
исходная удельная поверхность материала.
170
Изменение концентрации дефектов в момент времени τ подчиняется уравнению их рождения и «гибели» («самозаживления»):
dn dτ = a ⋅ g д – β ⋅ n / τ р ,
где
(3)
g д – скорость нарастания удельной энергии деформации структу-
ры материала;
τ р – время релаксации напряжений, определяется опы-
том.
Интегрирование уравнения (3) даёт следующее выражение:
n = (a ⋅ τ p / β ) ⋅ g д ⋅ [1 – exp (-
β
⋅τ
τр
)].
(4)
Подставляя выражение (4) в уравнение (2), получим:
S − S 0 = ∆S = A0 ⋅ g изм ⋅ [1 – exp (- B ⋅ τ )], g д = g изм / c ′ ,
A0 = A c ′ ,
(5)
где α , a , β , с ′ – эмпирические коэффициенты; A = α ⋅ а / B ;
B = β /τ р .
В состав уравнения (5) входит величина релаксационной составляющей exp ( − B ⋅τ ) , которая в условиях скоротечного процесса измельчения с допустимой погрешностью в дальнейшем (7) будет заменена линейной зависимостью (1 − B ⋅τ ) . Рост плотности дефектов кристаллической решётки не только снижает механическую прочность
материала, разрушает его, но и ослабляет химические связи вещества,
повышает химическую активность материала [2, с. 186], снижает энергию активации химической реакции E на величину энергии механической активации ε . При описании процесса механической активации
известняка мы исходили из того, что причиной её возникновения в основном является рост плотности дефектов структуры в массе частицы.
Тогда в первом приближении можно считать, что энергия механической активации ε пропорциональна плотности дефектов структуры:
ε ≈ α1 ⋅ n,
(6)
где
α1
– коэффициент пропорциональности, определяется опытом.
171
Приравняв
n в выражениях (4) и (6), получим следующее:
S − S0
ε
⇒ ε = ψ 1 ⋅ ( S − S0 ) = ψ 1 ⋅ ∆S ,
=
α
α1
где ψ 1 = α1 α – коэффициент, определяется экспериментом.
(7)
Последнее математическое выражение показывает, что степень
механической активации определяется величиной вновь раскрытой
удельной поверхности ∆S , т. е. энергия механической активации ε
основном сконцентрирована на поверхности полученных в результате
измельчения частиц материала. Как показывает математическое выражение (5), величина вновь раскрытой удельной поверхности определяется скоростью удельного энергоподвода к измельчаемому материалу
g изм = g с и временем обработки материала τ .
Зависимость энергии механической активации (1)
и относительной скорости обжига известняка (2)
от скорости удельного энергоподвода (ϕ=1)
Представленные зависимости позволяют прогнозировать удельную
поверхность измельчаемого материала, степень его механической активации и относительную скорость обжига.
Библиографический список
1. Закгейм, А.Ю. Введение в моделирование химико-технологических
процессов. Математическое описание процессов. – М. : Химия, 1973. –
224с.
2. Ростовцев, С.Т. Теория металлургических процессов. – М. : Чёрная
и цветная металлургия, 1956. – 508 с.
172
РАЗЛИЧИМОСТЬ ПО НАБЛЮДЕНИЮ
ПРИ КОМПЬЮТЕРНОМ МОДЕЛИРОВАНИИ
СЛОЖНЫХ ПРОЦЕССОВ
П.Ю. Шляго
ФГУП «Научное конструкторско-технологическое бюро «Кристалл»,
Санкт-Петербургский государственный
электротехнический университет «ЛЭТИ»,
г. Санкт-Петербург, Россия
Рассмотрим схему моделирования сложных физических и иных
процессов. Основными математическими моделями таких процессов
являются нелинейные системы дифференциальных уравнений, траектории которых моделируют динамику изучаемых процессов. На практике изучение какого-либо процесса производится с помощью тех или
иных измеряющих устройств. Будем моделировать работу измеряющих
устройств отображениями фазового пространства в евклидово пространство некоторой размерности.
Различимость по наблюдению означает, что различные траектории
отображаются измеряющими устройствами на несовпадающие множества
пространства измерений. Так как основным методом практического исследования нелинейных систем дифференциальных уравнений является их
численное интегрирование, важной проблемой является проблема различимости нелинейных систем дифференциальных уравнений по наблюдению траекторий численных методов.
Получены условия, при которых различимость фиксированной системы дифференциальных уравнений по фиксированному численному
методу обеспечивается типичным измеряющим устройством.
Постановка задачи и основной результат
Рассмотрим гладкое многообразие X класса гладкости C l , где l
достаточно велико, и систему дифференциальных уравнений
(1)
xɺ = F (x) , x∈ X .
F ∈ Ω r , r ≥1, где Ω r – пространство всех векторных покласса C r , определенных на X . Пусть H ∈ Ψ r ( X , R k ) , где
Пусть
лей
Ψ r ( X , R k ) – пространство всех отображений класса C r из X
в R k , k ≥ 1. В H ∈ Ψ r ( X , R k ) введем C r -топологию Уитни.
173
Через
ϕ (t, x)
ными t = 0 ,
0
обозначим решение системы (1) с начальными дан-
x0 = x . Предположим для определенности, что все реше-
ния рассматриваемых систем продолжимы для всех t ∈ R .
Пусть dist – риманова метрика на многообразии X ; обозначим через R множество положительных чисел.
+
Будем называть гладким численным методом класса
ни p диффеоморфизм
Cm
и степе-
Φ : R+ × X → X
класса C m ( m ≥ 1, p ≥ 0 ), аппроксимирующий решения ϕ систе-
мы (1) в следующем смысле: для любого ограниченного подмножества
Y ⊂ X существует такая константа C(Y ) , что
dist (Φ(h, x),ϕ (h, x)) ≤ C (Y )h p +1
для всех h > 0 и x∈Y .
Как обычно, будем обозначать
Φl (h, x) = Φ(h, Φ(h,…Φ(h, x)…)) ,
где в правой части функциональный знак Ф повторяется l раз. Будем
полагать Φ0 (h, x) = x для всех h и x.
Рассмотрим для системы (1) гладкий численный метод Ф с шагом
h > 0.
Фиксируем некоторое натуральное число N. Назовем пару ( F , H )
различимой на множестве Y ⊂ X по численному методу Ф за N шагов, если для любой пары точек ( x, y ) , x ≠ y , x, y ∈Y существует
такое натуральное число
H (Φ n (h, x)) ≠
n ≤ N , что
H (Φ n (h. y)) .
Рассмотрим систему (1) в Rn . Пусть
ченное множество в
Rn , что K0 положительно инвариантно относи-
тельно системы (1), т. е.
ϕ (t , x) ∈ K при
0
K0 – такое открытое ограни-
x∈ K0 , t ≥ 0 .
Кроме того, предположим, что
F ( x) ≠ 0 при x ∈ K = K .
0
174
(2)
Был получен следующий результат:
Теорема. Для фиксированного векторного поля F класса гладкости
C 2 , обладающего свойством (2), C r -гладкого ( r ≥ 1) численного метода Ф степени 1 и числа
существует
такое
 2n 
N =   +1,
k
h0 > 0 ,
что
где
[ ] –целая часть числа,
множество
таких
функций
H ∈ Ψ r ( Rn , Rk ) , для которых пара ( F , H ) различима по численному
методу Ф с шагом h ≤ h за N шагов на компакте K, является множе0
ством второй категории по Бэру в
Ψ r ( Rn , Rk ) .
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ
ЛИТЕЙНОГО ПРОИЗВОДСТВА
А.А. Черный
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
В литейном производстве – разнообразные процессы, которые необходимо совершенствовать, оптимизировать или заменять новыми, более
эффективными, чаще на уровне изобретений. А это в современных условиях сложно или невозможно выполнить без математического моделирования, вычислительной техники.
Применительно к использованию в литейном производстве разработана оригинальная методика математического моделирования при планировании 32 .
В таблице представлен план проведения двухфакторных экспериментов 32 .
План проведения двухфакторных экспериментов 32
№, u
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x1,u
x1,1=x1a
x1,2=x1b
x1,3=x1a
x1,4=x1b
x1,5=x1a
x1,6=x1b
x1,7=x1e
x1,8=x1e
x1,9=x1e
x2,u
x2,1=x2a
x2,2=x2a
x2,3=x2b
x2,4=x2b
x2,5=x2e
x2,6=x2e
x2,7=x2a
x2,8=x2b
x2,9=x2e
175
yu
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
y8
y9
Для плана 32 уравнения регрессии определяются, исходя из соответствующих зависимостей:
y = a′o + a1n ⋅ x1n + a1r ⋅ x1r ,
где a′o = c′o ⋅ xo + c2n ⋅ x2n + c2r ⋅ x2r;
a1n = d′o + d2n ⋅ x2n + d2r ⋅ x2r ;
a1r = e′o + e2n ⋅ x2n + e2r ⋅ x2r .
После подстановки, перемножений и замены коэффициентов получается следующий полином для плана 32:
y = b′o ⋅ xo + b1n ⋅ x1n + b2n ⋅ x2n + b1n,2n ⋅ x1n ⋅ x2n + b1r ⋅ x1r +
+ b2r ⋅ x2r + b1n,2r ⋅ x1n ⋅ x2r + b2n,1r ⋅ x2n ⋅ x1r + b1r,2r ⋅ x1r ⋅ x2r
(1)
В уравнении регрессии (1) y – показатель (параметр) процесса;
xo=+ 1;
x1n =xn1 + v1 ; x1r = xr1 + a1⋅ xn1 + c1;
x2n =xn2 + v2 ; x2r = xr2 + a2⋅ xn2 + c2;
x1, x2 – 1, 2-й факторы (независимые переменные); n, r – изменяемые
числа показателей степени факторов; v1, a1, c1 – коэффициенты ортогонализации, определяемые при трех уровнях 1-го фактора, m=1 по формулам (2) – (4);
v2,a2, c2 – коэффициенты ортогонализации, определяемые при трех
уровнях 2-го фактора, m=2 по формулам (2) – (4);
b0′, b1n, b2n, b1n,2n, b1r, b2r, b1n,2r, b2n,1r, b1r,2r, – коэффициенты регресии.
Для уровней a, b, e факторы имеют следующие обозначения: x1a, x1b,
x1e, x2a, x2b, x2e.
Формулы для расчета коэффициентов ортогонолизации представлены ниже:
Vm = − xmn ;
am =
x x −x
n
m
r
m
(2)
n+r
m
2
x m2 n −(x mn )
(
n
;
(3)
)
(4)
Cm = − xmr + am x m ,
176
где
x mn =
1 n
(x ma + x mbn + x men ) ;
3
x m2 n =
xm =
x mr =
1 r
(x ma + x mbr + x mer );
3
1
1 2n
(x ma + x mb2 n + x me2 n ) ; x mn + r = (x man + r + x mbn + r + x men + r );
3
3
1
( xma + xmb + xme ) .
3
В связи с ортогональным планированием все коэффициенты регрессии и дисперсии в их определении рассчитываются независимо друг от
друга.
Формулы для расчета коэффициентов регресcии уравнения (1) имеют
следующий вид:
N
b0' =
N
∑ xo ,u ⋅ yu
u =1
N
∑
u =1
=
u =1
xo2,u
N
∑ yu
N
∑ x1n ,u ⋅ yu
; b1n = u =1 N
u =1
N
∑ x 2 n ,u ⋅ y u
b2 n = u =1 N
; b1n ,2n =
2
x
∑ 2n ,u
u =1
N
∑ x1r ,u ⋅ y u
b1r = u =1 N
∑
u =1
x12r ,u
N
∑ x1n ,u ⋅ x2n ,u ⋅ yu
u =1
N
;
∑ ( x1n ,u ⋅ x2n ,u )2
u =1
N
∑ x2r ,u ⋅ yu
; b2 r = u =1
N
∑
u =1
;
x 22r ,u
N
N
b1n ,2 r =
∑ x1n ,u ⋅ x2 r ,u ⋅ yu
u =1
N
∑ ( x1n ,u ⋅ x2 r ,u )
; b2 n ,1r =
2
b1r ,2 r =
∑x
u =1
N
1r ,u
⋅ x2 r ,u ⋅ yu
∑ ( x1r ,u ⋅ x2r ,u )2
∑ x2n ,u ⋅ x1r ,u ⋅ yu
u =1
N
∑ ( x2n ,u ⋅ x1r ,u )2
u =1
u =1
N
;
∑ x12n ,u
,
u =1
177
;
где
x1n,u = xn1,u+v1; x1r,u=xr1,u+a1⋅xn1,u+c1;
x2n,u = xn2,u+v2; x2r,u=xr2,u+a2⋅xn2,u+c2;
N – количество опытов в соответствующем уравнению регрессии плане
проведения экспериментов, т. е. N = 9 при планировании 32.
Выполняется расчет тех коэффициентов регрессии, которые входят в рассматриваемое уравнение регрессии.
Если числитель (делимое) каждой из формул для расчета коэффициентов регрессии заменить величиной дисперсии опытов s2{y}, а знаменатель (делитель) оставить прежним, то получаются формулы для
расчета дисперсий в определении соответствующих коэффициентов
регрессии s2{b'0}, s2{b1n}, s2{b2n}, s2{b1n,2n}, s2{b1r}, s2{b2r}, s2{b1n,2r},
s2{b2n,1r}, s2{b1r,2r}.
Сначала следует принимать n = 1, r = 2 и при этих числах показателей
степени факторов производить расчет коэффициентов регрессии, дисперсий в их определении, выявлять статистически значимые коэффициенты
регрессии. Математическая модель процесса получается после подстановки в уравнение регрессии статистически значимых и не равных нулю коэффициентов регрессии. Если при проверке выясняется, что математическая модель не обеспечивает требуемой точности, то следует изменить
величины показателей степени факторов и снова выполнять расчеты, пока
не будет достигнута требуемая точность.
Были выявлены математические модели процессов плавки металла на
газообразном топливе. На основе результатов моделирования оптимизированы процессы в газовых вагранках, разработаны на уровне изобретений
новые конструкции чугуноплавильных агрегатов, экологически чистые,
экономичные процессы.
Моделирование производится по компьютерной программе VN9, разработанной на языке Бейсик.
178
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСЧЁТА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ПРИМЕСЕЙ ДЛЯ КМОП–ТРАНЗИСТОРОВ
В.А. Тамаров
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
Как известно, полупроводниковая часть КМОП-транзисторов имеет
три характерные области: область подложки, имеющую постоянную концентрацию примесей NП; область кармана, которая формируется с помощью диффузии; область стока (истока), которая создаётся ионной имплантацией.
Целью настоящей работы является определение граничных условий,
что, в свою очередь, позволит определить параметры соответствующих
технологических процессов.
При создании кармана граничными условиями являются:
1). NП = NКП, где NКП концентрация примесей в кармане на границе
карман-подложка;
2). NК = N0, где NК – характеризует распределение примесей в кармане, N0 – поверхностная концентрация примесей в кармане. Величина N0
определяется пороговым напряжением МОП-транзистора U0, которое считается заданным.
Процесс диффузии, как правило, является двухстадийным: первая
стадия – стадия загонки примесей из бесконечного источника; вторая –
стадия разгонки примесей из ограниченного источника.
Этап разгонки при низкой концентрации примеси описывается уравнением [1]:


Q
x2
(1)
,
NK =
⋅ exp −
 4⋅ D ⋅t 
π ⋅ Dp ⋅ t p
p
p


где x – глубина диффузии; tp – время разгонки, Q – количество примеси, поступивший в карман за время загонки.
DЗ ⋅ t З
(2)
Q = 2 ⋅ N0 ⋅
,
π
где tз – время загонки; Dp, Dз – коэффициенты диффузии на этапах разгонки и загонки, соответственно.
Уравнение (2) справедливо при D P ⋅ t P ⟩⟩ DЗ ⋅ t З .
179
Так как при х = xК NK = NП, где xК – глубина кармана, то из (1)
найдём

xK 2
Q = N П ⋅ π ⋅ DP ⋅ t P ⋅ exp  −
 4 ⋅ Dp ⋅ t p


 .

(3)
Подставляя (3) в (1), получим
 x 2 − x2
N K = N П ⋅ exp  − K
 4 ⋅ Dp ⋅ t p


 .

При x=0 NК = N0 и из (4) следует, что

xK 2 
.
N 0 = N П ⋅ exp  −
 4 ⋅ D ⋅ t 
p
p 

Отсюда
tP =
xK 2
N
4 ⋅ DP ⋅ ln  0
 NП



(4)
(5)
(6)
.
Необходимая поверхностная концентрация при загонке определяется выражением
 D ⋅t 
N з = 0,5 ⋅ Q ⋅  з з 
 π 
−0,5
.
(7)
При выборе времени загонки необходимо соблюдать неравенство
DP
⋅ t P ⟩⟩ tЗ .
DЗ
На рис. 1 приведена зависимость NK(x).
Рис. 1. Зависимость концентрации примеси в в кармане от глубины
180
Эта зависимость построена при соблюдении граничных условий: NК
(xK)= NП, NК(0) = N0. Отметим, что на глубине перехода сток (исток) –
карман x = xc концентрация примеси NК(xc) = Nc. Очевидно, что это неравенство является граничным условием для расчёта профиля легирования
примесей в области стока (истока).
Наиболее универсальным способом построения профилей ионного
легирования является распределение Пирсона [2]:
D ⋅ FP ( x)
N ( x) =
,
∆RP ⋅ 2 ⋅ π
где D – доза облучения; FP(x) – функция распределения Пирсона; x –
безразмерная переменная глубины, связанная с абсолютной глубиной x
посредством формулы
x=
x − RP
,
∆R P
где Rp – средний проективный пробег; ∆Rp – средний квадратичный
разброс проективного пробега.
Функция распределения Пирсона имеет вид:
−q

 x V 
F P ( x ) = k ⋅ 1 +  −

r 
a

 − V ⋅ a r ctg  ax − Vr 
.
 ⋅e

(8)
где k – нормированный коэффициент распределения; a,v,r,q – постоянные коэффициенты, зависящие коэффициенты асимметрии и эксцесса
профиля распределения Пирсона 4 приведены в [2].
Во избежание высоких значений аргументов экспоненциальной
функции формулы (8) представлены в виде:
N ( x) =

  x V 2 
x V
⋅ exp ln k − q ⋅ ln 1 +  −   − V ⋅ arctg  −
a
r
∆RP ⋅ 2 ⋅ π


a r



10−7 ⋅ D

 .

(9)
Расчёт профиля легирования примесей начинаем с определения Rp,
который выбираем равным Rp =(0,6…0,8) xc . По таблице [2] определяем
энергию ионов Е. Затем рассчитываем коэффициенты a,v,r,q, нормированный коэффициент К и ∆Rp. С учетом того, что N(xc) = Nc, определяем необходимую дозу облучения из выражения (9):
D = 10 − 7 ⋅

2 ⋅ π ⋅ ∆ R P ⋅ N C ⋅ exp  −

2


V  
V   
x
x
 ln k − q ⋅ ln 1 +  C −   − V ⋅ arctg  C −   
r  
r  
 a
 a



Подставляя полученное значение D в формулу (9), получаем выражение для расчёта профиля ионного легирования с учётом граничных
условий. График распределения представлен на рис. 2.
181
Nm
N co
Nc
xc
Rp
x
Рис. 2. Зависимость концентрации примеси в стоке (истоке)
от глубины
В результате расчётов определяются максимальная концентрация
примеси, которая наступает при x = Rp, а также поверхностная концентрация области стока Nco. Таким образом, получаем детерминированную методику расчёта параметров процессов диффузии и ионного легирования, а
также профилей легирования КМОП – транзистора, размещённых в изолирующих карманах.
Библиографический список
1. Готра, З.Ю. Технология микроэлектронных устройств; справочник. – М. : Радио и связь, 1991.
2. Бубельников, А.Н. Моделирование интегральных микротехнологий, приборов, и схем: учеб. пособ. – М. : Высш. шк. 1989.
СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД
В ДИНАМИЧЕСКОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О РАЦИОНАЛЬНОМ
ИСПОЛЬЗОВАНИИ ГЛУБИННЫХ НАСОСОВ
Р.Ш. Марданов, Р.А. Султанов, А.Г. Фатыхов
Казанский государственный финансово-экономический институт,
г. Казань, Россия
На практике часто встречаются задачи, в которых на состояние системы и значения критерия заметное влияние оказывают случайные факторы. Стохастические задачи имеют место в случаях, например, когда
нельзя точно определить состояние системы на каждом этапе, или переменные, характеризующие состояние системы, являются случайными ве182
личинами с известной функцией распределения, или меняется цель задачи,
или же при планировании на длительный период и т. д.
Для нахождения оптимального решения многоэтапных экстремальных стохастических задач с аддитивным критерием можно использовать
метод динамического программирования [1].
Рассмотрим следующую задачу. На двух малых нефтяных месторождениях нефти пробурены скважины
M1
и
M2.
Известно, что
запасы нефти на месторождениях соответственно равны
V1
и
V2 .
Предполагается эксплуатация этих скважин одним глубинным насосом.
Будем рассматривать только два состояния работы насоса:
Состояние
S1
S1
и
S2 .
соответствует работе насоса на одной из скважин, уро-
вень в которой выше критического. Состояние
S2
соответствует слу-
чаю, когда уровень какой-либо из скважин ниже критического, в результате чего происходит поломка насоса.
M 1 , то с вероятностью p1 он
добывает часть η1 имеющегося запаса и с вероятностью 1 − p1 выхоЕсли насос работает на скважине
дит из строя вследствие несоответствия режима работы и уровня нефти
в скважине. Если насос работает на скважине
p2 он
1 − p2
добывает часть
η2
M 2 , то с вероятностью
имеющегося запаса и с вероятностью
выходит из строя.
Решается задача об определении последовательности использования насоса на скважинах
M1
и
M2
с целью максимизации отбора
нефти.
Для решения задачи разобьем время работы насоса на этапы. Процесс использования насоса можно начать либо со скважины
со скважины
M 1 , либо
M 2 . Если насос не вышел из строя на предыдущем эта-
пе, то необходимо решить, на каком из месторождений его следует использовать на последующих этапах.
Исходя из критерия задачи, воставляем функцию
f N (V1 ,V2 )
как ожидаемое количество нефти, добытой до выхода насоса из строя.
В одноэтапном процессе, в случае первоначального выбора скважины
183
M 1 , среднее количество добытого запаса составит p1η1V1
p 2η 2V2 – при выборе скважины M 2 . Следовательно,
f1 (V1 ,V2 ) = max( p1r1V1 ,
Рассмотрим
( N + 1)
и
p2 r2V2 ) .
– этапный процесс. Каким бы ни был пер-
воначальный выбор, его продолжение на оставшихся N этапах должно быть оптимальным. Ожидаемое количество добытой нефти в
( N + 1) -этапном процессе при первоначальном выборе скважины
M 1 будет
f M 1 (V1 ,V2 ) = p1[η1V1 + f N ((1 − η1 )V1 ,V2 )] ,
а при выборе скважины
(1)
M2
f M 2 (V1 ,V2 ) = p2 [η 2V1 + f N (V1 , (1 − η 2 )V2 )] .
(2)
По условию необходимо максимизировать общее количество добытой нефти. Поэтому получим основное функциональное уравнение
для ( N + 1) – этапного процесса, используя (1) и (2):
f N +1 (V1 ,V2 ) = max[ f M 1 (V1 ,V2 ), f M 2 (V1 ,V2 )] =
= max { p1[η1V1 + f N ((1 − η1 )V1 , V2 )], p2 [η 2 x + f N (V1 , (1 − η 2 )V2 )]} .
Данную задачу можно распространить на случай учета обводненности скважин.
Библиографический список
1. Беллман, Р. Динамическое программирование. – М. : ИЛ, 1960.
АНАЛИЗ МЕТОДОВ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
Е.А. Матвеева, А.Р. Диязитдинова, Е.А. Богданова
Поволжская государственная академия телекоммуникаций
и информатики,
г. Самара, Россия
Все стадии подготовки и реализации решения тесным образом связаны с информационными потоками и логико-аналитическими моделями
переработки информации и подготовки вариантов решений. Принятие
оптимальных решений должно быть с определенной степенью достовер184
ности, которая может быть оценена как качественными, так и количественными методами.
Дадим краткий обзор используемых методов принятия решений [1, 2,
3].
1. Методы анализа полезной стоимости альтернатив: используют несколько целевых функций, взвешенных по их значимости для ЛПР.
Отдельные цели указываются в форме частичной полезной стоимости и
сводятся в единую полезную стоимость для каждой альтернативы с присвоением весов критериям.
2. MAUT (метод теории полезности со многочисленными признаками): многоцелевая проблема решается с помощью единичных функций
полезности (ценности, приоритетов), выраженных количественно и основывающихся на нормах замены между критериями. Отдельным критериям
присваивают функции полезности – единичные функции полезности. Совокупность полезности (ценность) определяется как единая функция полезности, присваемая проявлениям целевых критериев. Данный метод позволяет за короткий промежуток времени найти оптимальное решение проблемы. Выбор осуществляется при помощи построения уравнений функции полезности по каждому из предлагаемых критериев с указанием
наихудшего и наилучшего их значения.
3. SMART. Представлен совокупностью следующих операций:
упорядочение критериев по важности;
присвоение наиболее важному критерию оценки 100 баллов и оценки
в баллах каждого из критериев;
сложение полученных баллов;
нормировка весов критериев;
измерение значения каждой альтернативы по всем критериям по шкале от 0 до 100 баллов;
определение общей оценки каждой альтернативы и выбор лучшей
альтернативы, имеющей наибольшую оценку;
оценка чувствительности результата к изменениям весов.
4. AHP (Аналитическое определение иерархий целей): используется
дерево критериев, в котором общие критерии разделяются на критерии
частного характера. Для каждой группы критериев определяются коэффициенты важности. Альтернативы также сравниваются между собой по отдельным критериям с целью определения каждой из них. Средством опре185
деления коэффициентов важности критериев либо критериальной ценности альтернатив является попарное сравнение. Результат сравнения оценивается по балльной шкале. На основе таких сравнений вычисляются коэффициенты важности критериев, оценки альтернатив и находится общая
оценка как взвешенная сумма оценок критериев.
5. ELECTRE (Метод ранжирования многокритериальных альтернатив): основан на попарном сравнении многокритериальных альтернатив, не основанном на теории полезности. Оценка каждой альтернативы
является не абсолютной, а относительной (по сравнению с другой альтернативой).
Основные этапы метода:
на основе сравнения суммы весов критериев рассчитываются индексы
согласия и несогласия с гипотезой о доминировании одной альтернативы
над другой;
задаются уровни согласия и несогласия, допустимые ЛПР для определения доминирования альтернатив;
из множества альтернатив удаляются доминируемые; если оставшееся «ядро» не удовлетворяет ЛПР, допустимые уровни согласия и несогласия изменяются, и процесс повторяется.
6. ПРИНН (принятие решений в условии неопределенности): использует набор в процедуре выбора, напоминающей согласование мнений
экспертов по методу Дельфи.
7. PROMETHEE (Метод оценки преимуществ альтернатив):
применяется при условии, что ЛПР не располагает полной и непротиворечивой информацией о проблеме. Для каждого критерия проводится попарное сравнение всех альтернатив друг с другом. Позволяет помочь идентифицировать несколько подходящих альтернатив при принятии решения.
В таблице приведены основные преимущества и недостатки рассмотренных выше методов.
При применении каждого из перечисленных методов предполагается,
что имеется конечное число измеряемых или оцениваемых альтернатив и
сформулированы один или несколько признаков сравнения, по которым
осуществляется сравнение свойств критериев. Следовательно, применяемые методы различаются лишь процедурой сравнения критериев.
186
Типы моделей
№
1
Название метода
Методы анализа полезной стоимости альтернатив
Преимущества метода
детальная проработанность процедур
выявления предпочтений ЛПР;
компенсируются неблагоприятные
проявления отдельных целевых функций.
2
MAUT –
Метод теории полезности со
многочисленными признаками
3
SMART
теоретически обоснованный метод,
ведущий к стабильному ранговому
порядку нахождения решения при
нескольких целевых функциях;
единая математическая теория, позволяющая обосновать конкретную функцию
полезности в зависимости от предпочтений ЛПР;
полученные результаты позволяют
оценивать любые, в том числе, вновь
появляющиеся альтернативы
прост и надежен при практическом
применении;
проверка чувствительности к изменениям весов позволяет учесть влияние
неточностей при измерениях и возможной зависимости между критериями.
4
AHP –
Аналитическое определение
иерархий целей
простота и наглядность;
направлен на сравнение реальных
альтернатив;
применяется когда ЛПР не могут дать
абсолютных оценок альтернатив по
критериям.
5
ELECTRE –
Метод ранжирования многокритериальных альтернатив
6
ПРИНН –
Принятие решений в условии
неопределенности
7
PROMETHEE –
Метод оценки преимуществ
альтернатив
поэтапность выявления предпочтений
ЛПР в процессе назначения уровней
согласия и несогласия и изучения ядер;
детальный анализ позволяет ЛПР
сформировать свои предпочтения,
определить компромиссы между
критериями.
применение эффективной группы
экспертов дает искажение не более 1% и
не требует непосредственного влияния
ЛПР на принятие решения;
минимальная загруженность ЛПР
учитывается несопоставимость и
неполнота информации;
определение предпочтительности и
доминирования альтернатив на основе
средневзвешенной всех показателей
приоритетности;
решения принимаются в условиях
структурирования приоритетов и учета
предпочтений ЛПР
187
Недостатки метода
требуется тщательный анализ и структурирование системы целей;
сложности в определении целевых критериев, их весов, показателей достижения целей,
функции преобразования;
- определение весов целей и частичной
полезности на основе функций преобразования получается на основе субъективных
оценок, что связано с высоким уровнем
затрат;
невозможность «в явном виде» использования для исследования влияния неопределенности реальных ситуаций, только в
сочетании с методами чувствительности и
риска;
непроверяемый характер аксиом, что
означает на практике требование к человеку
принимать на веру правила рационального
поведения, вытекающие из той или иной
теории.
строгие условия и большие затраты времени
на расчет данных;
непроверяемый характер аксиом, что
означает на практике требование к человеку
принимать на веру правила рационального
поведения, вытекающие из той или иной
теории.
субъективная роль ЛПР проявляется в
назначении баллов критериям;
не учитывает возможную зависимость
измерений и неаддитивность при определении общей ценности альтернативы
введение новой, недоминирующей альтернативы может привести к изменению
предпочтений между двумя ранее заданным
альтернативами;
используется дискретная шкала для оценки
элементов;
резкое увеличение количества оценок с
увеличением набора элементов. Не рекомендуется набор элементов больше 9;
пересчет отношений значимости элементов
в их важность осуществляется приближенным методом.
В целом не имеет строгого научного
обоснования и больше примыкает к
эвристическим методам.
сложность для ЛПР при назначении весов;
в ряде случаев при выделении ядер могут
возникать циклы
аксиоматический характер
необходим тщательный анализ системы
целей
Проведенный анализ показал, что рассмотренные методы, положенные в основу теории принятия решения, носят аксиоматический и эвристический характер, т. е. не имеют строгого научного доказательства. И
хотя рассмотренные методы не позволяют интеллектуализировать процесс
принятия решения, но их применение в системах поддержки принятия
решений позволяет сделать процесс принятия решений значительно более
осмысленным и эффективным.
Библиографический список
1. Ларичев, О.И. Теория и методы принятия решений, а также Хроника событий в Волшебных странах. – М. : Логос, 2000. – С. 88 – 110.
2. Матвеев, Л.А. Компьютерная поддержка решений : учебник. –
СПб. : Специальная литература, 1998. – 472 с.
3. Шелобаев, С.И. Экономико-математические методы и модели.
Учебю пособие для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : ЮНИТИ – ДАНА, 2005 – 287 с.
НЕЛИНЕЙНАЯ ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ ПАРАМЕТРОВ
В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ
А.С. Рошаль
Московский инженерно-физический институт
(государственный университет),
г. Москва, Россия
При исследовании сложных физических систем одной из важных
проблем является оценка степени влияния отдельных параметров или
групп параметров на функционирование системы. Качество системы может характеризоваться некоторой функцией или функционалом с заданным ядром, который представляется интегралом по области определения
параметров. Параметрам, сильно влияющим на функционирование системы, следует в дальнейшем уделять наибольшее внимание, тогда как параметры, влияние которых относительно невелико, можно задавать (экспериментально определять) весьма приближенно или даже опустить в описании системы. Степень влияния параметров или группы параметров на
физическую систему количественно будем оценивать величиной S (sensitivity), называемой «чувствительностью системы к параметру (к группе
параметров)».
Рассмотрим физическую систему, описываемую функцией u=u(x), которая может быть нелинейной и зависящей от конечного множества параметров xj (j=1,2,…,n) . Это множество можно представить в виде n188
мерного, в общем случае случайного вектора x=(x1, x2,…,xn), определенного в односвязной области V с плотностью распределения f(x). Плотность
f(x) считается известной. По некоторым параметрам область определения
может быть неограниченной, а по другим параметрам – ограниченной. В
простейшем случае можно полагать, что областью определения каждого
параметра xj является некоторый отрезок [cj, dj], так что область V представляет собой n-мерный параллелепипед объема V0=(d1-c1)(d2-c2)…(dn-cn),
причем параметры x равномерно распределены в V с плотностью
f(x)=1/V0. Пусть ха – подмножество некоторых т параметров из множества
n параметров х, а хb – подмножество остальных n-т параметров, т. е. x =
х\ха, х=ха ∪ хb. Обычно т=1, хотя возможны и оценки для большего числа
параметров т=2, 3 и более. Усредняя функцию и(х) по n-т параметрам хb,
введем функцию
иа(ха)=М[u(x)/xa]=
fa(xa)=
∫ f ( x)dx
b
∫f
b/a
( xb / x a )u ( x)dxb , fb/a(xb/xa)=f(x)/fa(xa),
.
(1)
Здесь ua(xa) – условное математическое ожидание функции и(х);
fb/a(xb/xa) – условная плотность распределения (при фиксированных
параметрах ха); fa(xa) – плотность распределения параметров ха. Чувствительность исследуемой системы к параметрам ха определим как
отношение дисперсий Sa=Da/D, где дисперсии
D=M[u2]-(M[u])2 , Da=M[ua2]-(M[ua])2,
а моменты распределения
М[u]=
∫ f ( x)u ( x)dx =M[u ], M[u ]= ∫ f ( x)u
2
a
(2)
2
( x)dx ,
M[ua2]= ∫ f a ( xa )ua2 ( xa )dxa .
(3)
В наиболее распространенном случае оценки чувствительности к
одному параметру xj подмножества a, b имеют вид: a=xj, b={x1, x2,…,xj1, xj+1,…,xn}, а чувствительность определяется равенствами
Sj=Dj/D (j=1, 2,…,n), Dj=M[uj2]-(M[uj])2, M[uj]=M[u],
M [u j ] =
2
∫f
j
( x j )u 2j ( x j )dx j ,
189
(4)
где плотность распределения
fj(xj)=
∫
f(x)dx1dx2…dxj-1dxj+1…dxn,
(5)
а uj по-прежнему определяется формулой (1), в которой a=1. Интегралы
во всех приведенных выше формулах вычисляются по всей области
определения соответствующих переменных интегрирования (параметров).
Оценка (4) является глобальной, поскольку она дает значение чувствительности, статистически усредненное по всей области изменения
параметров. Оценка (4) является, кроме того, нелинейной, так как она
справедлива при сколь угодно больших отклонениях от произвольно
выбранной точки x0. Поэтому такая статистическая оценка чувствительности имеет высокую информативность.
Можно доказать, что чувствительность 0 ≤
S a ≤ 1 при любых а,
причем Sa=0, если и(x) не зависит от ха, и Sa=1, если и(x) зависит только
от ха. В общем случае оценка Sa не обладает свойством аддитивности,
но если все параметры xj статистически независимы, то
где
Sαγ ≥ Sα + S γ ,
Sα , S γ – чувствительности к непересекающимся подмножествам
параметров х α , х γ . Отсюда сразу следует, что при этом сумма всех
чувствительностей заключена в интервале (0, 1).
Свойство аддитивности имеет место тогда и только тогда, когда
все параметры статистически независимы, а функция и(х) представляется в виде суммы некоторых независимых функций wj(xj), т. е.
n
n
j =1
j =1
u ( x) = ∑ w j ( x j ), f ( x) = ∏ f j ( x j ) .
(6)
При наличии аддитивности средняя чувствительность физической
системы ко всем параметрам х
n
Sx = ∑ S j
.
(7)
j =1
Сравнивая значения чувствительности к отдельным параметрам,
можно выявить параметры или подмножества параметров, оказывающих наиболее значительное влияние на физическую систему. Харак190
терный недостаток методов Монте-Карло – медленная сходимость порядка О(N-1/2), где N – число случайных точек (узлов интегрирования), используемых в расчетах. Ускорить сходимость до значения, близкого к O(N1
), можно, используя в расчетах неслучайные точки – так называемые пмерные
ЛП τ – последовательности. Как показывают численные эксперименты,
число узлов N, требуемое для достижения приемлемой погрешности, составляет при этом от нескольких десятков до нескольких тысяч в зависимости от числа параметров п, т. е. все-таки остается достаточно большим.
По-видимому. при существующем состоянии компьютерной техники использовать математическое моделирование для оценки функции и(х) можно лишь для числа параметров п не выше 5 – 7 и, соответственно, для значений N не более 210 – 211=1024 – 2048. Для большего числа параметров
описанный метод применим пока лишь для и(х), заданных аналитически
(формулой).
СИНЕРГЕТИКА РАСТВОРИМОСТИ ОКСИДОВ МЕТАЛЛОВ
В ПРОЦЕССЕ РЕАКЦИИ ПЕРЕЭТЕРИФИКАЦИИ
Л.Х. Нафадзокова, Г.В. Козлов
Кабардино-Балкарский государственный университет,
г. Нальчик, Россия
Новым направлением в поликонденсации является проведение реакции в присутствии неорганических соединений, которые, с одной стороны,
выполняют функцию катализатора реакции, а с другой, являются наполнителем образующегося полимера [1].
Исследование модельной реакции переэтерификации метилбензоата
гептпнолом-1 в присутствии шести оксидов металлов (СаО, ВаО, ZnO,
PbO, CoO и MgO) показало существенное влияние оксида (катализатора)
на величину константы скорости реакции первого порядка k1 – от 8,91×10-4
с-1 для СаО, до 1,96×10-4 с-1 для MgO, т. е. примерно в пять раз. Для объяснения этого эффекта авторы [1] рассмотрели ряд факторов: электронная
конфигурация атомов металлов, их растворимость в реакционной среде и
т. п. Тем не менее получить общего объяснения наблюдаемого эффекта не
191
удалось. Такое объяснение было получено в рамках синергетики наночастиц [2].
Интервал размеров частиц используемых оксидов металлов (220…700
нм) позволяет отнести их к разряду наночастиц (по крайней мере, формально) и применить для их описания законы синергетики наночастиц.
Иванова [2] ввела меру структурной стабильности атома ∆р и показала, что
этот параметр находится в периодической зависимости от массы атома М,
а порог адаптивности структуры атома Аm с увеличением М отвечает
условию
Am = M n* / M n*+1 = ∆max
p ,
где
M n*
и
M n*+1
(1)
– пороговые массы атомов, в пределах которых со-
храняется стабильная связь, ∆р=f(M), m – показатель периодичности
структуры при изменении М, равный m=1 для линейной и m=2 для нелинейной обратной связи.
Для расчета ∆р как функции М использованы полученные Ивановой соотношения для шести интервалов стабильной связи [2]. Зависимость k1 от полученных таким образом величин Аm при условии линейной обратной связи (m=1) в логарифмических координатах оказалась
линейной и аналитически описывается следующим образом:
ln k1 = −17 + 26, 2 Am .
(2)
Следовательно, чем выше адаптивность структуры атома металла,
входящего в состав оксида, характеризуемая величиной Am, тем выше его
каталитическая активность, характеризуемая величиной k1. Однако от величины Am зависит не только k1, но и растворимость оксида металла в реакционной среде.
Для оценки степени растворимости соединения металлов их прогревали с метилбензоатом или гептанолом-1 при тех же температурных и
временных условиях, что и в кинетических исследованиях. После прогревания жидкость отфильтровывали от нерастворившегося оксида и в фильтрате определяли содержание металла рентгенофлуоресцентным методом.
Показано, что при 443 К в метилбензоате растворяются только те оксиды,
которые являются лучшими катализаторами (высокоактивные), а в гентаноле-1 все исследованные соединения металлов практически не растворялись. Поэтому на рисунке приведена зависимость содержания металла (в
192
мольн. % от реагента) Смет как функция Аm для шести исследуемых оксидов.
Зависимость содержания металла в метилбензоате Смет
от его адаптивности Am
1/ 2
Как следует из приведенного графика, величина С мет (квадратичная
форма зависимости выбрана для ее линеаризации) является возрастающей
функцией Аm, как и k1. Аналитически соотношение между Смет и Аm дается
следующим эмпирическим уравнением:
/2
(3)
С 1мет
= 5,61( Аm − 0,213) ,
где Смет дается в мольн. % от реагента.
Таким образом, повышение степени адаптивности металла Аm приводит к росту его растворимости в метилбензоате. Это оказывает определенное влияние на величину k1 реакции переэтерификации. Однако следует
заметить, что это влияние не является определяющим, поскольку увеличение Смет по мере повышения Аm происходит медленнее, чем рост функции
k1(Am) (см. уравнение (2)). Так, увеличение Аm от 0,3 до 0,5 приводит к
росту k1 примерно в 190 раз, тогда как повышение Смет составляет только ~
11 раз. При минимальной (согласно правилу золотой пропорции [2]) величине Аm=0,213 Смет=0, т. е. металл в реакционной среде не растворяется.
Библиографический список
1. Васнев, В.А., Нафадзокова, Л.Х., Тарасов, А.Н. и др. Влияние неорганических соединений металлов на синтез полибутилентерефталата и
193
свойства образующихся in situ композиций // Высокомолекулярные соединения А. – 2000. – Т.42. – №12. – С. 2065 – 2071.
2. Иванова, В.С. Периодическая зависимость стабильности структуры
атомов и наночастиц от их массы как отражение свойств наномира // Труды Международного междисциплинарного симпозиума «Фракталы и прикладная синергетика». ФиПС-03. – М. : Изд-во МГОУ, 2003. – С. 271 – 274.
ПОДХОД К ЗАДАЧЕ ИДЕНТИФИКАЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫХ СТРУКТУР ОБУЧЕНИЯ
КАК К ЗАДАЧЕ IS-АНАЛИЗА
А.М. Бершадский, А.Б. Щербань, В.В. Эпп
Пензенский государственный университет,
Пензенская государственная технологическая академия,
г. Пенза, Россия
Постоянное повышение вычислительных мощностей компьютеров
позволяет использовать математические методы, которые ранее практически не применялись в связи с большой вычислительной сложностью в
естественнонаучных и социальных исследованиях. Для задач анализа и
синтеза структур очень важен сам процесс постановки задачи. Такие задачи желательно ставить и решать, абстрагируясь от особенностей процессов
на основе анализа структурного описания в рамках системного подхода.
Структурное описание в большинстве случаев можно свести к задачам структурной идентификации, в частности информационных структур,
и принятия решений на основе интерпретации полученных результатов [1]
в соответствии в S-принципом ситуационно-структурного управления [2].
В соответствии с S-принципом под структурной идентификацией понимается отображение оцениваемого структурного описания в пространстве
эталонных структурных образов, которое назовем пространством ситуационно-структурного управления [2], представляющим класс множеств
структурных состояний (множество структурных ситуаций) детерминированных (параметрически идентифицированных) по управлению, т. е. таких, оценочные параметры которых взаимно-однозначно соответствуют
параметрам управления (варианту принятия решений). В зависимости от
способа отображения и от целей оценивания анализируемой структуры,
могут решаться различные задачи структурной идентификации, совокупность которых составляет совокупность задач IS-анализа [2].
На основе решения задач IS-анализа, в частности в соответствии с
S-принципом, предлагается подход к решению одной из актуальных
194
практических задач – задачи подготовки специалистов необходимых
специальностей, которую условно можно назвать задачей оптимизации
перепрофилирования обучаемых в процессе обучения. Сущность этой
задачи на качественном уровне может быть определена следующем
образом. Пусть имеется некоторый класс множеств P={P1,P2,…Pk,Pm},
где Pk={S1k,S2k,…Sik,…Snk} множество информационных структур Sik Є Pk,
i=1,2,…n, каждая из которых описывает совокупный учебный план подготовки i-й специальности по k-курс включительно. Тогда под задачей оптимизации перепрофилирования будем понимать задачу поиска в классе
множеств P или в конкретном множестве Pk структур (подмножества
структур) Sik, эквивалентных (подобных), с точки зрения заданных критериев и ограничений подобия, некоторой эталонной структуре Sэk, описывающей учебный план подготовки по необходимой специальности, включая k-год обучения. Использование S-принципа при решении описанной
задачи состоит в проведении IS-анализа, в процессе которого могут решаться различные задачи установления эквивалентности (сходства) или
«близости» (частичной эквивалентности, частичного сходства) структурной связности эталонной структуры Sэk и структур класса множеств P.
Если упрощенно структуру оцениваемого учебного плана Sik Є Pk представить в виде семантической структуры (семантической структурной
модели) описываемой кортежи Hik=<Lik,Vik>,в котором Lik – множество
информационных элементов; Vik ={Vi1k, Vi2k,… Virk} – множество предикатов, видов отношений на множестве Lik X Lik и определяющих сигнатуру Hik, то в соответствии с S-принципом сформулированная на качественном уровне задача профессиональной переориентации может
быть поставлена как обратная задача IS-анализа т. е. как задача структурной идентификации Hэk=<Lэk,Vэk> в пространстве R={R1,R2,…Rk},
где Rk ={H1k,H2k,…Hjk,…Hnk}, Hэk –семантическая эталонная структура,
описывающая (идентифицирующая) учебный план подготовки по необходимой специальности. Такая задача может быть решена как задача
поиска обратного отображения Ψ:Hэk Rk, где Ψ – способ (правило)
формирования отображения; Ψ(Hэk) – образ эталонной семантической
структуры в пространстве образов Rk, удовлетворяющий условно
Ψ(Hэk)ЄRk. В соответствии с [2] данная задача может решаться в зависимости от способа отображения Ψ как обратная задача изоморфной
структурной идентификации ( ISI – задача). В интерпретации ISI, -задачи
IS-анализа эта задача может быть поставлена как задача поиска отображения Ψ ISI :Hэk Rk, удовлетворяющего условию:
195
∀ Sэk↔Hэk ∃ Htk∈ Rk↔Sk ∀ lэik,lэjk∈ Lэ ∃ ltik,ltj
∈ Ltk ∀ Vэdk∈ Vэk ∃ Vick∈ Vik(|Lэk|=|Ltk|&
&lэik↔ltik&lэjk↔ltjk&|Vэk|=|Vik|&Vэdk↔Vick&Vэdk(lэik,lэjk)=Vick(ltik,ltjk)). (1)
Для случаев представления семантических структур графовыми (гиперграфовыми) моделями в качестве методов решения поставленной задачи профессиональной переориентации могут использоваться графовые
методы IS-анализа, базирующиеся на методах установления изоморфизма
и частичного изоморфизма графов и гиперграфов. В качестве базового
метода решения поставленной задачи может быть упешно использован
базовый метод IS-анализа, разработанный ранее метод изоморфной структурной кристаллизации графов [3].
Библиографический список
1. Щербань, А.Б., Белова, О.А., Бученкова, Т.В. Использование принципа ситуационно-структурного управления при оценивание альтернатив
информационных систем // Труды международной НТ конференции «Современные информационные технологии». Пенза : ПГТА. – Вып.2. – 2005.
2. Щербань, А.Б. Задачи IS-анализа информационных структур. //
Труды международной НТК «Информационные системы и технологии2006». – Н. Новгород, 2006.
3. Бершадский, А.М., Щербань, А.Б. Универсальный алгоритм решения задачи выбора номенклатуры типовых элементов замены и покрытия
схемы элементами заданного набора. // Электронная техника. Серия 10. –
Вып.2 (8). – М. : ЦНИИ «Электроника», 1978.
ДЕСКРИПТОРЫ АВТОНОМНЫХ БЛОКОВ В ВИДЕ
ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДОВ
С ВИРТУАЛЬНЫМИ КАНАЛАМИ ФЛОКЕ
А.А. Туманов
3 центральный научно-исследовательский институт,
г. Москва, Россия
Электромагнитное поле внутри параллелепипеда (рисунок) будем
искать в виде суперпозиции прямых и обратных волн в каналах Флоке
[1]
3 ∞
6 ∞
3 ∞
6 ∞
+
−
+
−
,
(1)
+
−
+
−
Å = ∑∑ Ak (α ) Å k (α ) + ∑∑ Ak (α ) Å k (α )
α =1 k =1
α = 4 k =1
H = ∑∑ Ak (α ) H k (α ) + ∑∑ Ak (α ) H k (α )
α =1 k =1
196
α = 4 k =1
где
Ak±(α ) – коэффициенты. Поперечные компоненты электромагнит-
ного поля (1) на входных сечениях
s β (грани параллелепипеда) разло-
e 0n ( β ) , h 0n ( β )  :




жим в ортогональные ряды по базису
∞
∞
0
0
E β = ∑ a n ( β ) e n ( β ) ; H β = ∑ bn ( β ) h n ( β ) ,
0
n =1
0
n( β )
(2)
n =1
где e n ( β ) , h
– поперечные компоненты нормальных волн в каналах Флоке с относительной диэлектрической и магнитной проницаемостями
ε β0 , µ β0 .
Автономный блок с каналамиФлокс
0 0
Проектируя (1), (2) на базисы e n ( β ) , h k (α ) , получаем следую-
{
}
щую систему линейных алгебраических уравнений:
6
∞
6
∞
a n ( β ) = ∑∑ Yn ( β ) k (α ) Ak±(α ) , bn ( β ) = ∑∑ Z n ( β ) k (α ) Ak±(α ) ,
α =1 k =1
α =1 k =1
197
(3)
где
Y n ( β ) k (α ) =
∫ (E
±
k (α )
∗0
× h n(β ) ) ⋅ d s β
∗±
0
, Z
,
n ( β ) k (α ) = − ∫ ( H k (α ) × e n ( β ) ) ⋅ d s β
Sβ
Sβ
α , β = 1,2,...,6 , k = ( m ′, n ′) , n = ( m ′′, n ′′) , если
α ≤ 3,
то «+», если
3⟨α ≤ 6 , то «-».
Интегралы Yn ( β ) k (α ) вычисляются следующим образом.
Для сочетания индексов
63, 66:
Ε −Ε
Y
Ε −Η
n ( β ) k (α )
= δ knWnΕ( β ) , Y
Η −Η
Y
Ε −Ε
n ( β ) k (α )
=
Η −Η
Y
n ( β ) k (α )
Ε−Η
Y
n ( β ) k (α )
Η −Ε
n ( β ) k (α )
= δ knWnΗ( β ) , Y
Для сочетания индексов
61, 64:
Y
βα : 11, 14, 22, 25, 33, 36, 41, 44, 52, 55,
n ( β ) k (α )
n ( β ) k (α )
= 0,
= 0.
βα : 12, 15, 23, 26, 31, 34, 42, 45, 53, 56,
N kΕ(α ) N nΕ( β ) ωε 0ε 
,
′
′′
′′ 
 Ã k (α ) 2πm 2πn + χ k2(α ) 2πm WnΕ( β ) R1
aα bβ
a β 
χ k2(α ) χ n2( β ) 
N kΗ(α ) N nΗ( β )ωµ 0 µ 
′
′′ 
 Ã n ( β ) 2πn 2πm WnΗ( β ) R1 ,


b
a
χ k2(α ) χ n2( β )
α
β 

Η
Ε
N k (α ) N n ( β )  2
′
′′ 
 ω ε 0 εµ 0 µ 2πn 2πn WnΕ( β ) R1 ,
= 2
2

bα bβ 
χ k (α ) χ n ( β ) 
=−
;
N kΕ(α ) N nΗ( β ) Ã n ( β ) 
′
′′
′′ 
 Ã k (α ) 2πm 2πm − χ k2(α ) 2πn WnΗ( β ) R1
aα α β
bβ 
χ k2(α ) χ n2( β ) 

 2πm ′ 2πn ′′  bβ
2πm ′′  a β

−
sin  Ã k (α ) γ α +
sin 
.
 a
a β  2
bβ  2
a β  

α


R1 = 4 exp − ià k (α )
2πm ′′
2πm ′ 2πn′′
2 

à k (α ) γ α +
−
aβ
aα
bβ
Η−Ε
Y
n ( β ) k (α )
=−
Для сочетания индексов βα : 13, 16, 21, 24, 32, 35, 43, 46, 51, 54,
62, 65:
Ε −Ε

N kΕ(α ) N nΕ( β )ωε 0 ε  2πn ′′ 2
2πn ′ 2πm′′

χ
Y n ( β ) k (α ) =
+
Γk (α ) WnΕ( β ) R2 ,
k
(
α
)
2
2

bα a β
χ k (α ) χ n ( β )  bβ

Η
Η
Η −Η

N k (α ) N n ( β )ωµ 0 µ 
′
′′
 Ã n ( β ) 2πm 2πn WnΗ( β ) R2 ,
Y n ( β ) k (α ) = −
aα bβ 
χ k2(α ) χ n2( β ) 
Ε −Η
N kΗ(α ) N nΕ( β )  2
′
′′ 
 ω ε 0εµ 0 µ 2πm 2πm WnΕ( β ) R2 ,
Y n ( β ) k (α ) = − 2
2

aα a β 
χ k (α ) χ n ( β ) 
198
N kΕ(α ) N nΗ( β ) Ã n ( β ) 
′
′′
′′ 
 Ã k (α ) 2πn 2πn − χ k2(α ) 2πm WnΗ( β ) R2 ;
2
2

bα bβ
a β 
χ k (α ) χ n ( β ) 
 2πn ′ 2πm′′  a β

2πn′′  bβ

sin
sin Ã k (α ) γ α +
−



b
a
2
bβ  2
.
b

α
β 
β 

 
R2 = 4 exp − ià k (α )
γα
2πn ′ 2πm′′
2πn′′
2 

à k (α ) γ α −
−
bα
aβ
bβ
Η −Ε
Y
=
n ( β ) k (α )
Интегралы
Z n ( β ) k (α ) вычисляются следующим образом:
Для сочетания индексов
63, 66:
Ε −Ε
Z
= δ knVnΕ( β ) , Z
n ( β ) k (α )
= 0.
Для сочетания индексов
61, 64:
Ε −Ε
Z
n ( β ) k (α )
=−
Η −Η
Z
=
n ( β ) k (α )
Ε−Η
Z
n ( β ) k (α )
Η −Ε
Z
Η −Η
Ε −Η
n ( β ) k (α )
Η −Ε
Z
βα : 11, 14, 22, 25, 33, 36, 41, 44, 52, 55,
n ( β ) k (α )
n ( β ) k (α )
= 0, Z
n ( β ) k (α )
= δ knVnΗ( β ) ,
βα : 12, 15, 23, 26, 31, 34, 42, 45, 53, 56,

N kΕ(α ) N nΕ( β )ωε 0 ε 
,
′
′′
 à n ( β ) 2πn 2πm à k (α ) VnΕ( β ) R3
2
2


bα a β
χ k (α ) χ n ( β ) 

N kΗ(α ) N nΗ( β )ωµ 0 µ 
′
′′
′′ 
 Ã k (α ) 2πm 2πn + χ k2(α ) 2πm VnΗ( β ) R3 ,
2
2

aα bβ
a β 
χ k (α ) χ n ( β ) 
=
=−
N kΗ(α ) N nΕ( β ) Ã n ( β ) 
′
′′
′′ 
 Ã k (α ) 2πm 2πm − χ k2(α ) 2πn VnΕ( β ) R3 ,
2
2

aα a β
bβ 
χ k (α ) χ n ( β ) 
Ε
Η
N k (α ) N n ( β )  2
;
2πn′ 2πn′′  Η

ω ε 0 εµ 0 µ
bα
χ k2(α ) χ n2( β ) 

R3 = 4 exp − ià k (α )

aβ 

2 
Vn ( β ) R3
bβ 

 2πm′ 2πn ′′  bβ
2πm ′′  a β

sin  Ã k (α ) γ α +
sin 
−

 2
 a
a
bβ  2
.
β 

 α
γα
2πm′ 2πn ′′
2πm ′′
à k (α ) γ α +
−
aβ
aα
bβ
Для сочетания индексов βα : 13, 16, 21, 24, 32, 35, 43, 46, 51, 54,
62, 65:
Ε −Ε
N kΕ(α ) N nΕ( β ) ωε 0 ε 
′
′′ 
 Ã n ( β ) 2πm 2πn VnΕ( β ) R4 ,
Z n ( β ) k (α ) = −
2
2


a
b
χ k (α ) χ n ( β ) 
α
β 
199
Η −Η
Z
n ( β ) k (α )
Ε−Η
Z
n ( β ) k (α )
Η −Ε
Z
n ( β ) k (α )
N kΗ(α ) N nΗ( β ) ωµ 0 µ 
 Ã k (α )
χ k2(α ) χ n2( β ) 
N kΗ(α ) N nΕ( β ) Ã n ( β ) 
 Ã k (α )
=−
χ k2(α ) χ n2( β ) 
=
=
W
2πn ′ 2πn ′′
2πm ′′  Ε
− χ k2(α )
Vn ( β ) R 4 ,
bα bβ
a β 
N kΕ(α ) N nΗ( β )  2
′
′′ 
 ω ε 0εµ 0 µ 2πm 2πm VnΗ( β ) R4 ;
2
2

aα a β 
χ k (α ) χ n ( β ) 
bβ 


R4 = 4 exp − ià k (α )
2 

Ε
n( β )
2πn′ 2πm′′
2πn ′′  Η
+ χ k2(α )
Vn ( β ) R4 ,
bα a β
bβ 
 2πn ′ 2πm′′  a β

2πn ′′  bβ

sin
sin Ã k (α ) γ α +
−
 b
 2

;
a
bβ  2
β 
 α

γα
2πn ′ 2πm ′′
2πn′′
−
à k (α ) γ α +
bα
aβ
bβ
ε β0 Ã n ( β )
µÃ n0( β )
εà n0( β )
Η
Ε
=
, Wn ( β ) =
,V =
εà n0( β )
µ β0 Ã n ( β )
ε β0 Ã n ( β )
µ β0 Ã n ( β )
V =
µÃ n0( β )
Η
,
,
à n0( β ) = ω 2 ε 0 µ 0 ε β0 ⋅ µ β0 − χ n2( β ) .
1, если α ≤ 3,
.
− 1, если 3⟨α ≤ 6
γα = 
Запишем системы линейных алгебраических уравнений (3) в матричном виде:
(4)
a = Y ⋅ A , b = Z ⋅ A,
где
a
= ( a1(1) , a 2 (1) ,..., a1( 6 ) , a 2 ( 6 ) ,...),
b = (b1(1) , b2(1) ,..., b1( 6) , b2( 6 ) ,...) ,
A = ( A1+(1) , A2+(1) ,..., A1+(3) , A2+( 3) ,..., A1−( 4) , A2−( 4) ,..., A1−( 6) , A2−( 6 ) ,...) ,
исключая вектор A из (4) получаем многомодовую многоканальную
матрицу проводимости G автономного блока с виртуальными каналами
Флоке:
b = G ⋅ a, , G = Z ⋅ Y −1 .
Библиографический список
1. Никольский, В.В., Голованов, О.А. Радиотехника, электроника. –
1979. – Т. 24. – №6. – С. 1070.
200
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УСТРОЙСТВ
СВЕРХВЫСОКИХ ЧАСТОТ С ПОМОЩЬЮ АВТОНОМНЫХ
БЛОКОВ С ВИРТУАЛЬНЫМИ КАНАЛАМИ ФЛОКЕ
А.А. Туманов
3 центральный научно-исследовательский институт,
г. Москва, Россия
Задачи прикладной электродинамики и техники сверхвысоких частот
(СВЧ), решаемые с помощью автономных блоков с каналами Флоке
(АБФ), условно можно разделить на три группы:
1) нахождение собственных частот резонаторов и их возбуждение;
2) нахождение постоянных распространения волн в продольно регулярных волноведущих структурах и их возбуждение;
3) нахождение матриц рассеяния дифракции волн в устройствах и
приборах СВЧ.
Дифракционные задачи представляют наибольшую практическую
ценность для разработчиков радиоэлектронной аппаратуры СВЧ, но являются наиболее сложными в решении. Общим понятием дифракции является представление об отклике электродинамической системы на заданный
сигнал в виде приходящей волны или системы волн. Нахождение этого
отклика (поля дифракции) требует решения краевой (дифракционной) задачи для уравнений Максвелла. В современной электродинамике дифракционные задачи формулируются при помощи функционирования волноводных трансформаторов: металлические и радиопрозрачные тела находятся внутри изолированной оболочки с выходом в присоединенные волноводы или полосково-щелевые линии. Такой подход позволяет единообразно решать внутренние и внешние задачи электродинамики.
Вычислительный алгоритм решения дифракционной задачи методом
АБФ реализуется следующим образом. Область волноводного трансформатора расчленяется условными границами на АБФ, составляется декомпозиционная схема, на ее основе осуществляется рекомпозиция АБФ. В
результате получается матрица проводимости в базисе каналов Флоке относительно входных сечений волноводного трансформатора, которая преобразуется в матрицу проводимости в базисе собственных волн волноводов (полосково-щелевых линий), присоединенных к входным сечениям
волноводного трансформатора. На заключительном этапе матрица проводимости пересчитывается в матрицу рассеяния.
201
Таблица 1
m
à / k0
1
3
5
7
9
0,7934857
0,7587353
0,7583915
0,7583273
0,7583248
В табл. 1 приведены результаты расчета относительной постоянной распространения для прямоугольного волновода ( a = 23,0 мм,
b = 10, 0 мм, f = 10 ГГц , волна H 10 ) от размерности базиса на гранях
АБФ. Декомпозиционная схема состояла из одного АБФ с базисами на
гранях, совпадающих с поперечными сечениями прямоугольного волновода {E m 0 , H m 0 } , а вдоль длины резонатора – {E ±1m , H ±1m } . Пример является тестовым, точное значение относительной постоянной
распространения равно Г/k0=0,75832479. Наблюдается быстрая сходимость к тестовому значению постоянной распространения.
На рис. 1 показано перекрестное соединение полосковых линий
через отрезок связанных линий: а – 1–плата ( ε = 9, µ = 1 ),
a =20,0мм, d =1,0мм, b =0,5мм, b0 =5мм, l = 2,1 мм; б – S1 , S 2 входные сечения. Область между входными сечениями S1 и S 2 (волноводный трансформатор) расчленялась на 10 АБФ в полосковых линиях, присоединенных к входным сечениям, учитывались три типа
волн (основной и два запредельных).
Рис. 1. Перекрестное соединение полосковых линий
В табл. 2 приведены результаты расчета зависимости модуля коэффициента прохождения от размерности базиса на гранях АБФ. Результаты получены при ∆ = 0 ,1ìì , f = 20 ÃÃö . Пример является
тестовым, значение модуля коэффициента прохождения (элемент матрицы рассеяния S12 ) из [1] равно S12 = 0,512. Наблюдается хорошее
202
совпадение результатов, полученных различными методами. На рис. 2
показаны результаты расчета зависимости модуля коэффициента прохождения при связи линий через зазор от длины участка связанных линий при f =20ГГц: кривая 1 – ∆ =0,1 мм; 2 – ∆ =0,2 мм; 3 – ∆ =0,3
мм; 4 –
∆ =0,5 мм; 5 – ∆ =0,7 мм; 6 – ∆ =1,0 мм; f =20 ГГц.
Таблица 2
m
S12
1
2
3
4
5
6
0,5831
0,5232
0,5175
0,5163
0,5162
0,5162
Рис. 2. Зависимость модуля коэффициента прохождения
при связи линий через зазор от длины участка связанных линий
при f=20 ГГц
Результаты расчетов получены с помощью прикладных программ,
разработанных в среде Matlab.
Происхождение АБФ связано с каналами Флоке, в спектре которых
существуют TEM -волны, следовательно, метод АБФ должен оказаться
эффективным при решении задач прикладной электродинамики и техники
СВЧ, где существуют квази TEM -волны. Это полосково-щелевые структуры, распространение радиоволн в приземных условиях, задачи радиолокации. Результаты расчетов перекрестного соединения полосковых линий,
тройника на щелевых линиях и сравнение их с расчетами, полученными
методом автономных многомодовых блоков (АМБ) [2], показали существенное преимущество метода АБФ перед АМБ.
203
При расчете конструкций волноводных элементов на базе прямоугольных волноводов, напротив, метод АМБ имел преимущество перед
методом АБФ (происхождение АМБ связано с прямоугольными волноводами).
Комплексная декомпозиция электродинамических объектов на АБФ и
АМБ с учетом волноводной и полосково-щелевой особенностей объектов
позволяет эффективно решать задачи дифракции прикладной электродинамики и техники СВЧ.
Библиографический список
1. Голованов, О.А. Радиотехника и электроника. – 1985. – Т. 30. –
№.5. – С.901.
2. Никольский, В.В., Голованов, О.А. Радиотехника и электроника. –
1979. – Т. 24. – №.6. – С. 1070.
ПОСТРОЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ
ФОРМИРОВАНИЯ ЗОНЫ ПЕРВИЧНОГО ЗАГРЯЗНЕНИЯ
М.Н. Бардина
Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарева,
г. Саранск, Россия
В статье предложено несколько частных решений задачи одномерной фильтрации. Приведенные результаты получены для различных
зависимостей относительных фазовых проницаемостей (ОФП) от
насыщенностей – линейной, квадратичной, кубической и других.
1. Математическая модель. В настоящей работе рассмотрена математическая модель формирования зоны первичного загрязнения в
случае одномерных вертикальных потоков.
Математическая модель движение флюидов через водонасыщенный пласт описывается уравнениями [1 – 3]:
∂mSW ∂qW
+
= 0,
∂t
∂z
qW = −
kfW (S )
µW
∂ (1 − m )SO ∂qO
+
= 0 – уравнения сохранения масс;
∂t
∂z
grad PW ,
qO = −
kf O (S )
µO
grad PO – закон Дарси;
PW = PCW + ρW gz – зависимость напора от давления.
204
Возьмем для аппроксимации кривой капиллярного давления
PCW
аналитическое выражение, предложенное ван-Генухтеном P = 1 (1 − S β )γ ,
CW
W
α
n
где α , n – эмпирические постоянные и β = n − 1 , γ =
. Выберем
n −1
n
λ
для ОФП степенную зависимость по Баренблатту-Ентову fW = SW .
Начальные условия задачи:
SW ( 0, z ) = SW 0 ,
∂SW
( 0, z ) = ΨW 0 .
∂t
2. Построение точных решений. Результаты, приводимые ниже,
были получены путем построения решений типа бегущей волны
SW = SW (ξ ) , где ξ = z − Dt [4-5]. После прямой подстановки выражения
SW = SW ( z − Dt ) в уравнение движения воды, получаем, что
точными
решениями
ξ
ξ = ξ0 + ∫
ξ0
исходной
λ + β −1
SW
(1 − S ) ( a
β 1−γ
W
задачи
dSW
λ
0 + a1 SW + a2 SW )
будут
.
Ниже
интегралы
вида
приведены
не-
сколько частных решений.
λ=
2.1. Если
1
2
2
, n = 2 , то при 4a0 a1 − a2 > 0 , 4a0 a1 − a2 < 0
2
решения имеют вид
 2
a − a  a + a S + a1SW
SW + 1 2 2 ln  0 2 W

a1
a0
 a1

ξ = ξ0 + −
 2
a − a  a + a S + a1SW
SW + 1 2 2 ln  0 2 W

a1
a0
 a1

ξ = ξ0 + −
ξ

2a1 SW + a2 
−2 a a − a a + a 2

 + 2 20 1 1 2 2 2 arctg

a
4
a
a
−
a
4a0 a1 − a22 

1
0 1
2
ξ0
 −2a0 a1 − a1a2 + a22 2a1 SW + a2 − −4a0 a1 + a22
ln
+ 2
2

2a1 SW + a2 + −4a0 a1 + a22
 a1 −4a0 a1 + a2
ξ



ξ0
соответственно.
2.2. В случае
λ =1, n = 2 ,
a0
< 0 получена следующая завиa1 + a2
симость:
ξ
2 S − S
SW − − ( a1 + a2 ) / a0  .
a0
a0
W
W

ξ = ξ0 + 
+
ln ( a0 + ( a1 + a2 ) SW ) − −
ln
2
3
 a1 + a2
SW + − ( a1 + a2 ) / a0 
( a1 + a2 )
( a1 + a2 )
ξ0
2.3. При
a0 = 0 найден ряд решений:
205
2.3.1. Пусть
λ = 2, n = 2
a1
< 0 . Тогда
a2
и
ξ
 2 SW − SW a1
S − − a1 / a2  .
a
ξ = ξ0 + 
+ 2 ln ( a1 + a2 SW ) − − 13 ln W

a2
a2
a2
SW + − a1 / a2 

ξ0
2.3.2. В случае
λ = 3, n = 2
и
a1
< 0 решение определяется раa2
венством
 2 SW − SW
a1 4 −a1 / a2 − SW
a
a
1
1
4 −
−
+ 4 − 1 arctg 4 − 1 SW +
ln
a2
2a2
a2 4 − a1 / a2 + SW a2
a2
a2

ξ = ξ0 + 
ξ
+
1
2a2
−
a1 SW − − a1 / a2  .
ln

a2 SW + − a1 / a2 
ξ0
2.3.3. Если
λ = 4 , n = 2 , тогда могут быть получены соотноше-
ния

2 SW − SW
1
ξ = ξ0 + 
+

a2
6a2

3
(
)
2
SW + 3 a1 / a2
a1
1
ln
+
a2 S 2 − 3 a / a S + 3 ( a / a )2
3a2
W
1
2 W
1
2
2 3 a1 / a2 SW − 1
a1
arctg
−
a2
3
a1 SW + 3SW 6 a1 / a2 + 3 a1 / a2
−
ln
a2 SW − 3SW 6 a1 / a2 + 3 a1 / a2
−
2
3a2
6
a1
a
1
arctg 6 1 SW −
a2
a2
2 3a2
−
1
3a2
6
 a
 1
a1
arctg  2 6 1 SW − 3  +
a2
 a2
 3a2
6
3
ξ
6
a1
> 0;
a2
 a
  при
a1
arctg  2 6 1 SW + 3  
a2
 a2
  ξ0
(
)
2

− SW + 3 −a1 / a2
2 SW − SW
a1
1

3 −
ξ = ξ0 +
+
ln
−

a2
6a2
a2 S 2 + 3 −a / a S + 3 ( −a / a )2
W
1
2 W
1
2

1
3a2
−
1
6 a2
3
6
−
2 3 − a1 / a2 SW + 1 1
a1
−
arctg
a2
3a2
3
a1 SW − 6 − a1 / a2 SW + 3 − a1 / a2
1
ln
+
a2 SW + 6 − a1 / a2 SW + 3 −a1 / a2
3a2
6
−
S − 6 − a1 / a2
a1
−
ln W
a2
SW + 6 − a1 / a2
6
−
 2 SW − 6 −a1 / a2
a1
arctg 

a2
3

ξ



 ξ0
при a1 < 0. .
a2
Полученные аналитические решения задачи одномерных вертикальных потоков при различных значениях фильтрационных параметров позволяют судить о поведении профиля насыщенности. Так, являясь языкообразным, он с увеличением эмпирического параметра n
206
растягивает вдоль оси
ξ.
При переходе от линейной к квадратичной
или кубической зависимостям (т. е. увеличению
значительное растяжение вдоль той же оси.
λ ) происходит более
Библиографический список
1. Баренблатт, Г.И., Ентов, В.М., Рыжик, В.М. Движение жидкостей и
газов в природных пластах. – М. : Недра, 1984. – 207 с.
2. Николаевский, В.Н. Геомеханика и флюидодинамика. – М. : Недра,
1996. – 447с.
3. Басниев, К.С., Кочина, П.Я., Максимов, В.М. Подземная гидромеханика. – М. : Недра, 1993. – 416 с.
4. Баренблатт, Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная
асимптотика. Теория и приложения к геофизической гидродинамике. – Л. :
Гидрометеоиздат, 1982. – 256 с.
5. Полянин, А.Д., Зайцев, В.Ф., Журов, А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики. – М. : Физматлит, 2005. –
256 с.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СУШКИ ЗЕРНИСТОГО
МАТЕРИАЛА В ПНЕВМАТИЧЕСКОЙ ТРУБЕ
И.Е. Тимофеев, С.Х. Загидуллин, Е.Р. Мошев, Е.А. Шестаков,
И.И. Тимофеев
Пермский государственный технический университет,
г. Пермь, Россия
Трубы-сушилки, несмотря на простоту устройства, отличаются достаточной сложностью гидродинамики и тепломассообмена. Требуемые габариты аппарата и эффективность процесса сушки определяются
значениями скорости движения, температуры и влагосодержания материала.
Целью данной работы явилось установление математических зависимостей, позволяющих определять указанные параметры.
Как известно, коэффициент гидродинамического сопротивления
движущихся частиц является суммой двух слагаемых : коэффициента
лобового сопротивления ( ξ л.с ) и трения ( λТР ). При ламинарном и пе-
реходном режимах в силу небольших относительных скоростей внутри
207
движущегося пакета частиц превалируют силы трения ( ξ = λТР ). В
этом случае уравнение движения частиц можно представить как
Fин = Fсоп( λТР ) – Fтяж.
(1)
В турбулентном режиме при преобладании сил инерции учитывается только коэффициент лобового сопротивления ( ξ
= ξ л.с ). Тогда
уравнение (1) дополняется слагаемым (Fтр), отражающим интенсивное
взаимодействие частиц между собой и со стенкой трубы.
Fин = Fсоп( ξ л.с ) – Fтяж – Fтр.
(2)
Потери энергии ( ∆РТР ), обусловленные таким взаимодействием,
выражаются через зависимость [1]
l ρ (1 - ε )υТ 2
∆РТР = λм.тр Т
,
(3)
2D
а модифицированный коэффициент трения (λм.тр) определяется при известной скорости частиц через критерий Фруда.
C учетом (3) уравнение движения восходящего двухфазного потока на единицу длины вертикальной трубы можно преобразовать к виду
[2]:
2
dυ
dυ
dP
ρευ
ρευ
+ ρТ (1 − ε )υТ Т = − ρε g − ρТ (1 − ε )g −
−λ
−
dx
−λМ .ТР
dx
ρТ (1 − ε )υТ
2D
dx
2D
2
(4)
.
Гидродинамические характеристики двухфазного потока исследовали на экспериментальной установке. По высоте вертикальная труба
диаметром равная 0,1 м была разделена на три секции размерами 0,35;
0,31; 0,47 м. Между ними устанавливались отсекающие устройства.
Для определения λм.тр было использовано уравнение (4). Параметры
опытов: размер частиц речного песка – (– 0,5 + 0,315) мм, нагрузка –
(150…960) кг/ч, скорость воздуха– (8,5…12,9) м/с, температура – 20оС.
Опытные данные с достаточной для практических целей точностью
описываются зависимостью вида
0,5
(5)
λтр.т = 0,5Reотн
µ 0,2 ( x / D)0,1 exp (−4x / H ).
В математическом описании процесса сушки в вертикальной трубе
значительную роль играет скорость движения частиц. Согласно [3] силы, действующие на частицу, выражаются посредством коэффициентов
208
трения чистого газа ( λ ), Гастерштадта (Kr), восстановления нормальных составляющих скорости частиц ( k nγi ) и осаждения ( Eγ i ). В силу
случайного характера столкновения частиц численные значения
Eγ i
условны. Сила трения, выраженная через
отношением [4]
λυ
Kr
2D
λ
k nγi и
, Kr, характеризуется
(6)
.
С учетом зависимости [5] K = 1 λм.тр (7), при порозности частиц
Г
ε λ
(ε) в условиях пневмотрубы, равной единице, отношение (6) принимает
вид
λм.трυ
2D
(8)
,
Задержку частиц в зоне вбрасывания из-за их взаимных столкновений можно рассматривать как кратковременное возрастание условной массы частиц. Сила такого взаимодействия направлена навстречу
газовому потоку и характеризуется модифицированным коэффициентом трения. При таком допущении уравнение движения двухкомпонентного восходящего потока представляется как
dυТ ξρ S мид (υ − υТ )
g λм.трυ
=
− −
.
(9)
dx
2mТ υТ
2D
υТ
Алгоритм расчета скорости частиц речного песка в вертикальной
трубе был составлен на основе уравнений (5), (9). Расхождения между
данными опыта и расчета в виде остаточной дисперсии составили для
первого участка – 23,7%, второго – 10,9%, третьего – 9,6%.
В теории математического описания процесса сушки развиваются
как простые, так и сложные модели. В наиболее полных моделях в качестве исходных допущений принимают изменение температуры (t) и
влагосодержания (W) материала по экспоненциальному закону. Для
установления связи между t и W для хлористого калия были проведены
специальные опыты. Экспериментальные данные выражаются уравнением вида
2
t = 48,39 + 1,19W −0,55
209
(10)
с коэффициентом нелинейной корреляции R = 0,944. Средняя
квадратичная ошибка уравнения регрессии (10) составила
St = ± 7,02 °C , а коэффициента корреляции σ R = 0,004.
С целью установления связи коэффициентов уравнения (10) с параметрами сушки были проведены промышленные испытания пневматической сушилки по определению изменения t и W мелкозернистого
хлористого калия по высоте аппарата. В результате математической
обработки опытных данных получены зависимости [6]:
A
(11)
CW ( xi ) = [exp (−кxi / H ] ;
ti = (tМ .Т . − t Н ) + BWi -0,55 ;
(12)
κ = 10,7568 - 227,429WН + 2058,06W ;
A = 4,0331 - 2,2841M + 0,3921M 2 ;
2
Н
B = (0,2905M − 0,5332) ;
2
0,5
tМ .Т . = 18,4849lnI − 52,5695 при I < 732,7 кДж/кг;
tМ .Т . = 15,437lnI − 31,129 при I > 732,7 кДж/кг;
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
crθ H
(18)
.
( µWH QФ (t М .Т . ))
Выбор начальных параметров процесса в показателе М обусловлен
тем, что они являются определяющими характеристиками и поэтому
обеспечивают тот или иной режим сушки в аппарате. Представление
функции (18) в безразмерном виде снимает ограничение на одинаковость начальных влагосодержаний, и ее можно рассматривать как инвариантную характеристику заданного режима. Этот инвариант учитывает как гидродинамические условия, так и тепломассообменные, связывая тем самым не только оба условия, но и оба периода сушки.
Выражения (11 – 15) справедливы в интервале изменения величин:
θ = 350...700 °C, WH = 0, 04...0, 07 кг/кг, µ =1,5...2,0 кг/кг. СредM=
няя квадратичная ошибка и коэффициенты корреляции для уравнений
(13, 14, 15), соответственно, равны ±0,034 и 0,995; ± 0,017 и 0,972; ±
0,032 и 0,949.
Таким образом, математическое описание сушки зернистого материала с поверхностной влагой можно представить уравнениями вида 5,
9, 11 – 18.
210
Обозначения
Fин, Fсоп( λТР ), Fтяж, Fтр. – силы инерции, сопротивления, тяжести и
трения; l -длина;
ρ
,
ρТ
– плотность газа, частиц;
υ
,
υТ
– ско-
рость газа, частиц; D,H – диаметр, высота трубы; x – текущая высота
трубы;
g =9,81 м/с2; P – статическое давление; Reотн – относитель-
ный критерий Рейнольдса;
µ
– концентрация материала;
m , S мид –
масса и миделевое сечение частицы; θ – температура теплоносителя;
Q – теплота фазового перехода; Сw=W/Wн – безразмерное влагосодержание;
A, B, κ
– коэффициенты; t М .Т . – температура мокрого тер-
мометра; I – энтальпия теплоносителя; «н» – начальное.
Библиографический список
1. Муштаев, В.Н., Ульянов, В.М., Тимонин, А.С. Сушка в условиях
пневмотранспорта. – М. : Химия, 1984. – 232 с.
2. Полухин, А.Н., Шилкин, И.Ю., Володин, Н.П. Методика определения характеристик двухкомпонентных потоков при пневмотранспорте. // Известия высших учебных заведений. Пищевая технология. –
1985. – №5. – С. 56 – 60.
3. Фролов, В.Ф. Моделирование сушки дисперсных материалов. –
Л. : Химия, 1987. – 208 с.
4. Рашковская, Н.Б., Озерова, Н.В., Кушакова, А.Д., Осинский,
В.П. К вопросу сушки материалов в пневматической трубе – сушилке //
Хим. пром. – 1983. – №3. – С. 178 – 180.
5. Муштаев, В.И., Ульянов, В.М. Сушка дисперсных материалов.
М. : Химия, 1988. –352 с.
6. Тимофеев, И.Е., Пащенко, В.Н., Калегин, А.Д., Загидуллин, С.Х.
Влагосодержание и температура зернистого материала в математической модели процесса сушки // Сборник научных трудов 13 Международной научной конференции. – Санкт-Петербург, 2000. – Т. 3. –
С. 70 – 71.
211
УЧЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОСОБЕННОСТЕЙ В МЕТОДЕ
R-ФУНКЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ВОЛНОВОДЕ
Ю.С. Семерич
Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного
НАН Украины,
г. Харьков, Украина
Рассматривается задача распространения электромагнитных волн в
прямоугольном волноводе с геометрическими сингулярностями. Анализ распространения волн в волноводе сводится к решению задачи на
собственные значения для однородного уравнения Гельмгольца
− ∆u − γ 2 u = 0 ∀ ( x, y ) ∈ Ω ⊂ R
с краевым условием Дирихле для Е-волн
2
u ∂Ω = 0
(2)
и краевым условием Неймана для Н-волн
∂u
= 0,
∂n ∂Ω
где
∆
– оператор Лапласа;
(1)
Ω
(3)
– ограниченная односвязная область в
R 2 с кусочно гладкой границей ∂Ω ; n – вектор внутренней нормали
к ∂Ω .
Решение задач (1), (2) и (1), (3) производится с помощью метода
R-функций (международная аббревиатура R-functions method) в виде
так называемых, структур решений (международная аббревиатура General Structure of Solutions) [1]. Однако использование метода R-функций
для решения краевых задач в областях, содержащих геометрические
сингулярности, например, узкие врезы, трещины, включения и т. д.,
связано с проблемой нарушения свойства полноты структур решений.
В работе предлагается воспользоваться методом корректировки
структур решений, который обеспечивает их полноту. В соответствии с
этим методом, структуру решения задачи (1), (2) можно представить в
виде
u = ω [ q1Φ1 + q2 Φ 2 ] ,
(4)
212
где
qi ( x, y ) , (i = 1, 2 )
– так называемые «функции скачка», которые
строятся таким образом, что при подходе к разрезу по нормали с одной
его стороны стремятся к нулю, а при подходе с другой – к единице.
1
i
 2 1 + (− 1) , l = −0,
1
i
qi = 1 − (− 1) D1 [l , ω1 ]
=
1
ω1 =0
2
 1 − (− 1)i , l = +0.
2
Функция ω( x, y ) в структуре решения (4) является знакопостоян-
(
ной в области
(
(
)
Ω
)
)
и равна нулю на границе ∂Ω , а функция
Φ(x, y ) –
неопределенная компонента, для аппроксимации которой обычно используется представление в виде линейной комбинации системы базисных функций
n
Φ ( x, y ) ≈ Φ n ( x, y ) = ∑ ck ϕ k ( x, y ),
k =1
– неопределенные коэффициенты; {ϕ k ( x, y )} (k = 1, 2, ..., n ) – известная функциональная последовательность.
Структуру решения для задачи Неймана в случае естественных
краевых условий можно представить в виде
u = q1Φ1 + q2 Φ 2 .
(5)
Как известно, в окрестности особой точки Р для однозначного решения уравнений Максвелла необходимо, чтобы соблюдалось физическое ограничение на электромагнитное поле (условие на ребре), которое заключается в требовании конечности энергии электромагнитного
поля, запасенной в любом конечном объеме в окрестности ребра. Из
этого условия следует, что в окрестности особой точки P ни одна составляющая электромагнитного поля не может возрастать быстрее, чем
где
ρ
ck
при
ρ → 0,
а искомое решение имеет асимптотическое пред-
ставление для Е-волн
1
θ
u P = ρ 2 sin  
2
и для Н-волн
1
θ 
uP = ρ 2 cos   .
2
(6)
(7)
213
Таким образом, приближенное решение имеет вид
u = η ( ρ ) u P + uq ,
(8)
где η(ρ ) – бесконечно дифференцируемая функция, равная единице в
некоторой окрестности особой точки Р и нулю вне большей окрестности. Функция
uq
выбирается в виде (4) для задачи Дирихле, а при рас-
смотрении задачи Неймана – в виде (5).
В качестве функции η(ρ ) использовалась функция
 1,



η(ρ ) = 1 −



 0,
0 ≤ ρ ≤ R1 ;
ρ
k
k
∫ (t − R1 ) (R2 − t ) dt
R1
R2
∫ (t − R1 ) (R2 − t )
k
k
(9)
, R1 < ρ < R2 ;
dt
R1
R2 ≤ ρ < ∞,
принадлежащая классу C [ 0, ∞ ) .
k
Численная реализация и вычислительный эксперимент задачи проводились для прямоугольного волновода с вырожденными клинообразными и T-образным включениями с использованием пакета
Mathematica 4.2 и программирующей системы “ПОЛЕ-RL”. При этом в
качестве системы базисных функций для аппроксимации неопределенных компонент структур решений использовались кубические сплайны
Шенберга и полиномы Чебышева. Интегрирование осуществлялось
приближенно с помощью формулы Гаусса.
Оценка достоверности численных результатов обеспечивалась
сходимостью при увеличении порядка приближениям и сравнением с
результатами работы [2].
Библиографический список
1. Рвачев, В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. –
Киев : Наук. думка, 1982. – 552 с.
2. Swaminathan, M., Arvas, E., Sarkar, T.K., Djordjevic, A.R.
Computation of cutoff wavenumbers of TE and TM modes in waveguides of
arbitrary cross sections using a Surface Integral Formulation // IEEE Trans.
on Microwave Theory and Techn. – 1990. – 38. – №2. – P. 154 – 159.
214
РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
РЕЗУЛЬТАТОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
МЕТОДОМ ПЛП-ПОИСКА
И.Н. Статников, Г.И. Фирсов
Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН,
г. Москва, Россия
Эффективность планов экспериментов в ПЛП-поиске обусловлена
не только возможностью их использования в дисперсионном анализе
[1]. Эти планы оказываются эффективными и при построении регрессионных зависимостей, и вообще в регрессионном анализе как в вычислительном аспекте, так и с позиций ряда критериев оптимальности
этих планов [2]. Результатов по этим проблемам в ПЛП-поиске получено много, но они требуют проведения многочисленных обширных выкладок. Поэтому приведем только некоторые из них.
При построении регрессионных зависимостей вида
r
ˆ (q ) = ∑θ f (q ), q ∈ (0,1)
Φ
j j
(1)
j =0
важным критерием используемого плана экспериментов является Dоптимальность [3], в соответствии с которой тот план является Dоптимальным, у которого определитель информационной матрицы
Фишера М = FтF достигает максимального значениях. Здесь
F =  f ijò ( q ) 
; f ijò ( q ) = ( fi 0 ( q ), f i1 ( q ),..., f ij ( q )),
N 0 ×( r +1)
где N0 – число вычислительных экспериментов; r – число параметров.
Максимизация определителя |М| соответствует минимизации объема эллипсоида рассеяния, осями которого служат выборочными оценки
θˆ j
величин θj. Для некоторых значений
f j (q )
при построении
зависимостей (1) выведены методом математической индукции формулы для определителей информационных матриц Фишера, которые приводятся в таблице. Анализ формул в таблице показывает, что во всех
трех случаях с ростом величин r, числа экспериментов в одной серии I
и числа серий экспериментов Н значения определителей возрастают, но
неодинаково. Быстрее всего определители при фиксированных значениях r и Н растут с увеличением значения I в одной серии, а медленнее
всего – с увеличением значения Н при фиксированных значениях r и I.
Следовательно, планы экспериментов, которые строятся в ПЛП-поиске
215
и используются для построения регрессионных зависимостей (1), можно назвать сверх Р-оптимальными. Это приводит к тому, что ковариа-
θˆ j
ционные оценки
уже при небольших I, Н и реальных значениях r
быстро уменьшаются по величине. Так, например, для первой строки в
таблице оценка дисперсии θˆ0 имеет вид
σ 2 (θˆ0 ) =
16(5r + 4) I 4 − 120 I 2 + 21
σ 2,
4
2
HI [64 I + 40 I ( r − 3) + (21 − 5r )]
(2)
где σ2 – максимальное значение дисперсии k-го критерия; принимаем
2
2 , значение
, конечно, зависит от общего числа
max σ ijkh
σ 2 = max σ ijkh
экспериментов N0 = IН. Из (2) видно, что при фиксированных r и I ≥ 50
приходим к выражению
σ 2 (θɶ0 ) ≈ [(5r + 4) /(4 HI )]σ 2 ,
что при Н = 10, I = 50 и r = 3 дает σ 2 (θˆ ) ≈ 0, 0095σ 2 .
0
Формулы подсчета определителей для некоторых планов
fj(q)
qj
q
2
j
q 3j
Формула
HI [ H ( I − 1) /(12 I )]
2
r
HI [ H (720 I 3 ) r (64 I 4 − 120 I 2 + 21) r −1 × [64 I 4 − 120 I 2 + 21 + 5r (8 I 2 − 1)]
HI [ H /1344 I 5 )r (108 I 6 − 336 I 4 + 196 I 2 − 31)r −1 ×
×[108I 6 − 336 I 4 + 196 I 2 − 31 + 21I 2 r (4 I 2 − 1)]
Говоря об эффективности предлагаемых планов в вычислительном
аспекте, имелось в виду то обстоятельство, что для многих регрессионных зависимостей удается построить конечные формулы для подсчета
функций от параметров αj, необходимых при расчетах коэффициентов
θˆ0 . Так, для зависимостей (1) из таблицы необходимо подсчитывать
суммы
вида
St = ∑∑qit
i
при
I = ∑ 2ν l ,
l
i
где
i ∈  2ν l , 2ν l +1 − 1 ;
ν l = 1,2,3,...; l = 1, L; L – число двоичных групп, причем ν1 < ν2 < ... <
νL, т. е. ν1 = νmin, а νL = νmax; t = 1, 2, 3, ... Тогда при t = 1 получим
216
S1 = 0,5 H ∑ I l ,
где
I l = 2ν l ; если
t = 2, то S2 = H ∑
l
l
4 I l2 − 1
, и
12 I l
т. д. Естественно, что все эти формулы легко выводятся и для значений
параметров αihj, рассчитываемых по алгоритму, представленному в работе [4].
Библиографический список
1. Статников, И.Н., Фирсов, Г.И. Планирование вычислительного
эксперимента в задачах многокритериального моделирования динамических систем // Компьютерное моделирование 2005. – СПб. : Изд-во
политехнического университета, 2005. – С. 104 – 112.
2. Ермаков, С.М., Жиглявский, А.А. Математическая теория оптимального эксперимента. – М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. –
320 с.
3. Математическая теория планирования эксперимента / под ред.
С.М. Ермакова. – М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1983. – 392 с.
4. Статников, И.Н., Фирсов, Г.И. Об одной технологии дискретного зондирования пространства исследуемых параметров // Современные информационные технологии / Труды Международной науч.-техн.
конференции (весенняя сессия). – Пенза : Пензенская гос. технол. академия, 2004. – С. 63 – 68.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
И РЕСУРСОСБЕРЕГАЮЩАЯ ТЕХНОЛОГИЯ ПЛАВКИ
МАГНИЙСОДЕРЖАЩИХ ПРОДУКТОВ В СОЛЕВОЙ СРЕДЕ*
В.И. Грибов
ОАО «Российский институт титана и магния»,
г. Березники, Пермский край, Россия
Обсуждаемые в статье технологии можно отнести ко вторичной металлургии магния, к процессам переработки лома и магнийсодержащих
отходов рафинировочного и плавильного переделов с целью максимального извлечения магния при минимальном расходе энергии.
Перечень материалов, перерабатываемых на переделе вторичной металлургии, как и состав их, достаточно разнообразен. Неоднозначность
*
Работа выполнялась с участием А.И. Кулинского
217
состава одновременно переплавляемой массы магнийсодержащих материалов обусловливает и многофакторность технологии переработки.
Одним из наиболее значимых технологообразующих факторов является способность магния к окислению при температурах плавления, что
ведет к обязательному участию в процессе защитной среды – такой универсальной средой служит солевой флюс, который одновременно и рафинирует металл.
Сущность разделительной плавки кускового лома, как и брикетированного, заключается в том, что плавку ведут в расплаве флюса с плотностью большей, чем плотность магния и сплавов магния. При этом магний и
магниевые сплавы собираются после плавления в верхних слоях расплава,
а тяжелые приделки тонут на подину или остаются в плавильной корзине
[1].
Плавка кускового лома в спокойной ванне не вызывает проблем.
Плавка брикетированной стружки и опилок даже без перемешивания
протекает с участием диспергированного металла, поэтому потери металла
в этом случае больше, а флюс насыщается каплями металла.
Плавка тигельных остатков, изначально обогащенных оксидом магния, также требует специальной технологии.
Изучение влияния одновременно таких разносторонних факторов, как
состав, температура, время, значительно облегчается и ускоряется использованием математического моделирования процессов плавки статистическими методами [2].
Экспериментальные исследования по оптимизации технологии выполнены в промышленных условиях на печи с солевым обогревом.
Результаты обрабатывали на ЭВМ по методу многофакторного регрессионного анализа с использованием стандартных пошаговых процедур. В качестве независимых переменных использовали составляющие
расплава (MgCl2, BaCl2, KCl, NaCl, CaCl2, MgO, Mgмет), массу загруженного Тзаг и извлеченного Тизв металла, а в качестве параметра оптимизации
(ПО) – степень извлечения металла (η, %).
Оптимальная технология плавки брикетированной стружки в указанной выше солевой ванне включает следующие операции: перед удалением
шламосолевой смеси в печь вводят 400…600 кг магния-сырца, при температуре 750…780ºС проводят плавку в течение 30…40 мин и выбирают
слитый металл. Перед заменой флюса (3 – 4 раза в месяц) операцию доизвлечения металла повторяют 2 – 3 раза, при этом извлечение металла из
218
брикетов составляет 85…89%, содержание металла в шламе снижается с
20…35% до 7…9% мас.
Далее рассмотрим технологию извлечения металла из тигельных
остатков, образующихся при рафинировании магния флюсами и при выплавке сплавов также с использованием флюсов. Такие остатки накапливаются по мере их образования и состоят из смеси магния (20…50%), оксида магния (5…30%), фторидов и хлоридов щелочных и щелочноземельных металлов. Магний в смеси находится в основном в раздробленном
состоянии.
Исследования были направлены на установление условий максимального извлечения металла в слиток. В качестве количественной характеристики степени коалесценции использовали величину σ (% мас.) [2], характеризующую степень однородности распределения металла в отходах.
При этом в случае полного разделения металла и оксидно-солевой
смеси σ = 50…70, а в случае полного диспергирования σ = 0. Практически
хорошее разделение смеси происходит при σ = 25…30.
Рекомендована следующая технология разделительной плавки: температура плавки 720…750ºС, масса смеси на обработку – 100 кг/т, состав
смеси – 85% бариевого флюса + 15% CaF2, продолжительность отстоя –
40…60 мин, плотность солевой матрицы – 1,56…1,63 г/см3 достигается
корректировкой состава флюса и температуры расплава.
Контрольные плавки показали удовлетворительное соответствие расчетных и экспериментальных величин.
Технология металлургической подготовки с целью получения в металл-оксидно-хлоридной смеси гранул магния однородной величины противоположна задаче по коалесценции капель металла, а суть ее состоит в
том, чтобы покрытые оксидной пленкой гранулы металла имели «кажущуюся» плотность, равную плотности флюса.
Эксперименты показали, что достаточно равномерное распределение
капель достигается при значении σ ≤ 4,0. Для определения условий диспергирующей плавки можно рекомендовать такие параметры технологии:
температура расплава – 650…690ºС;
время перемешивание – 15…25 мин;
плотность хлоридной матрицы – 1,65…170 г/см3.
Кроме того, желательно наличие в расплаве пассиватора, например
SiO2, в количестве 0,245…1,0% масс.
Если получения однородности не требуется, то пассиватор (SiO2)
можно не вводить.
219
Библиографический список
1. Лебедев, О.А.. Производство магния электролизом. – М. : Металлургия, 1988, 286 с.
2. Афифи, А., Эйзен, С. Статистический анализ. Подход с использованием ЭВМ; пер. с англ. – М. : Мир, 1982, 488 с.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА СВАРКИ ВЗРЫВОМ
В ПРОГРАММЕ LS-DYNA
А.Е. Розен, И.С. Лось, А.В. Хорин, И.В. Денисов, Е.Г. Трошкина
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
Сварка взрывом относится к нестационарным процессам и характеризуется чрезвычайно малым временем протекания (порядка 10-6 с). В процессе сварки метаемый элемент под действием продуктов детонации
взрывчатого вещества движется в направлении неподвижного элемента и
соударяется с ним. При соударении происходит совместная пластическая
деформация металлических материалов, которая локализуется в зоне соударения. Часть кинетической энергии метаемого тела переходит в тепловую. Вдоль линии соединения возможно частичное оплавление соединяемых металлов. Структура и свойства материалов как в околошовной зоне,
так и по всему сечению зависят от параметров сварки: высоты заряда и
состава взрывчатого вещества, величины первоначального зазора между
свариваемыми элементами.
Выбор параметров обычно базируется на анализе результатов многочисленных экспериментов и использовании упрощенных математических
моделей. Путем подбора соответствующего сочетания параметров получают сварные соединения, отвечающие заданным требованиям прочности,
герметичности, с определенной геометрией линии сварного шва. Важным
является определение допустимого диапазона изменения параметров, в
котором обеспечивается воспроизводимость результатов и стабильность
свойств сварных соединений. Однако такой метод с экономической точки
зрения приемлем только для относительно дешевых материалов. Для получения биметаллических и многослойных материалов на основе тантала,
циркония, ниобия и специальных сплавов этот подход неприемлем. Высокая стоимость данных материалов значительно увеличивает затраты на
исследования. Существуют трудности в создании моделей, в полной мере
220
описывающих поведение плоских и цилиндрических элементов под действием продуктов детонации и соударение их с неподвижным элементом
при образовании сварного соединения.
В течение ряда лет для описания сварки взрывом были разработаны
упрощенные модели для определения верхней и нижней границ свариваемости, минимальной энергии, необходимой для пластической деформации
в зоне соединения, максимальной скорости разгона метаемой пластины и
др. Несмотря на разнообразие моделей и расчетных формул задача моделирования сварки взрывом не решена. В связи с развитием компьютерной
техники стало возможным выполнение значительного объема вычислений.
Применение более совершенных моделей позволит не только точно определять параметры сварки и получать соединения с заданными свойствами,
но и прогнозировать свойства и структуру сварных соединений.
В настоящей работе для сварки взрывом применили программу LSDYNA. LS-DYNA – многоцелевая программа, предназначенная для решения трехмерных динамических нелинейных задач механики деформируемого твердого тела, механики жидкости и газа, теплопереноса. В программе реализованы явный и неявный методы конечных элементов, многокомпонентная гидродинамика, вычислительная гидродинамика несжимаемых
потоков, бессеточный метод сглаженных частиц, бессеточный метод, основанный на методе Галеркина. В LS-DYNA использованы процедуры
автоматической перестройки и сглаживания конечно-элементной сетки
при вырождении элементов, т.е. произвольные лагранжево-эйлеровые сетки. Программный продукт LS-DYNA применяется для решения задач удара, разрушения, теплопереноса, гидро- и газодинамики, электромагнетизма, акустики, обработки металлов давлением.
В процессе исследования были решены несколько тестовых задач,
описывающих сварку взрывом, в том числе двумерный (рис. 1,а) и трехмерный (рис. 1,б) процесс метания пластины на неподвижное основание
зарядом взрывчатого вещества по параллельной схеме. Серию экспериментов по сварке проводили на пластинах из меди и алюминия. Параметры сварки, характеристики взрывчатого вещества и свариваемых металлов
в качестве исходных данных были заложены в программу LS-DYNA. Были рассчитаны следующие параметры: скорость точки контакта; скорость
соударения; динамический угол, давление продуктов детонации на поверхности метаемой пластины; давление в области контакта. Качественно
оценивался процесс образование кумулятивной струи и волнообразование.
221
Рис. 1. Геометрические модели процесса сварки взрывом:
а – двумерная; б – трехмерная
1 – метаемая пластина; 2 – заряд взрывчатого вещества;
3 – основание;4 – воздушный зазор
Анализ результатов позволил выявить наличие двух стадий: на первой стадии кумулятивная струя отсутствует, на второй – образуется и отчетливо видна на рис. 2.
Рис. 2
Моделирование показало наличие в зоне соединения волнового
профиля и неоднородностей. Результаты математического моделирования
хорошо согласуются с данными, полученными при исследовании микроструктуры и позволяют сделать вывод о возможности применения программы LS-DYNA для моделирования задач сварки взрывом с целью
обеспечения заданных свойств и структуры сварных соединений.
222
ИМИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ МЕТАЛЛООБРАБОТКИ
ПО ПОКАЗАТЕЛЯМ КАЧЕСТВА ИЗГОТОВЛЯЕМОЙ
ПРОДУКЦИИ
А.В. Шашок
Рубцовский индустриальный институт (филиал)
Алтайского государственного технического университета
им. И.И. Ползунова,
г. Рубцовск, Россия
Основным показателем надежности технологических систем (ТС)
металлообработки является надежность по показателям качества обрабатываемых деталей. Количественной оценкой данного показателя является величина
Pн.1
– вероятность того, что значения показателей
качества детали при обработке не превысят своих предельно допустимых значений:
Pн.1 = P ( x1min ≤ x1 ≤ x1max ,… , xsmin ≤ xs ≤ xsmax ) ,
где
x j ( j = 1,… ,s )
–
значение
j -го
(1)
показателя
качества;
, x max
– верхнее и нижнее предельно допустимое значение
x min
j
j
показателя качества. Оценку значений величины
Pн.1
j -го
предлагается осу-
ществляеть на основе моделирования функционирования ТС многоканальной системой массового обслуживания (СМО) с количеством каналов, равным количеству основных видов возможных отказов. Каждый канал моделирует процесс возникновения одного из отказов. Требованием на обслуживание считается заготовка, поступающая для обработки на технологическую операцию. Под обслуживанием требования понимается получение в результате обработки детали с одним или
несколькими отказами. СМО имеет два состояния: «0» – система «готова к обслуживанию» или содержит «обслуженное требование», т. е.
обработанную заготовку с одним или несколькими отказами; «1» – состояние «обслуживания требования», что соответствует обработке заготовки на технологической операции. Параметры СМО оценивются
выражениями:
223
λ01 =
где
T
1 − Pн.1. j ,
1,
µ10. j = λ01
T
Pн.1. j
(2)
- средняя интенсивность поступления заготовок в технологиче-
скую систему;
Pн.1.j
– вероятность отсутствия в обрабатываемой де-
j -му показателю качества. Вероятность Pн.1
тали отказа по
прини-
мается равной вероятности состояния «1» СМО, которая равна
s
1
1
Pн.1 = 1 + ( A − 1) exp ( − A )  ; A = ∑
− ( s − 1) .
A
P
j =1 н.1.j
Величины
Pн.1.j ,
(3)
в зависимости от вида модели, характеризую-
щей связь между значениями показателей качества обработанной детали и технологическими факторами, определяются либо с использованием методов параметрической теории надежности, либо методов теории
массового обслуживания.
В первом случае величина
Pн.1. j =
S x2j
(
x min
j
≤ xj ≤
x max
j
)
Pн.1.j
оценивается выражениями:

x j − x min
j
= Φ 
2
S + S x2min
j
 x j

 max
 +Φ  x j − x j

 2
S + S x2max
j

 x j
(4)
2
L
 ∂F j  2
 ∂F j  ∂F j 
= ∑
 σ zm + ∑ 

 ρ mkσ zmσ zk ,
m =1  ∂zm 
m=1,k =1  ∂zm  ∂zk 
L

;


(5)
m≠ k
где Φ […] – нормированная функция Лапласа;
j -го
показателя качества; S x и
j
отклонения значений
S
max( min)
xj
xj
– среднее и значение
– среднеквадратические
j -го показателя качества и его предельно допу-
стимого значения; ∂F ∂z и ∂F ∂z – частные производные функции
j
m
j
k
F j = F j ( z1 ,… ,z L ) , являющейся моделью связи между
j -м
показате-
лем качества и технологическими факторами z1 ,… , z L ; σ ,σ
–
zm
zk
среднеквадратические отклонения значений факторов
224
zm
и
zk
соот-
ветственно;
ρ mk
– коэффициент корреляции между факторами
zm
и
zk .
Во втором случае оценка значений величин
Pн.1.j
основана на
моделировании процесса образования отказа работой многоканальной
СМО с последовательно включающимися группами независимых каналов обслуживания. Требованием на обслуживание в СМО является обрабатываемая заготовка, под обслуживанием требования понимается ее
обработка без образования моделируемого отказа. Возможные состояния СМО: «0» – готовность СМО к обслуживанию; «1» – требование
обслуживается в одном канале,…; « k » – требование обслуживается в
k каналах системы. Интенсивности переходов СМО из состояния в
состояние равны:
λ01. j = λ12. j =⋯ = λki −1 .k j =
µk j .k j −1 = k j µ10. j .
1 ;
; µ
1
10. j =
max min
xj
x ( )
j
(6)
Количество каналов обслуживания СМО –
kj
принимается рав-
ным целому числу, удовлетворяющему одному из равенств:
  z max ( min )  
max ( min )
 jm
;
  , при z jm < z jm
k j = min  
L 
z jm  




z jm   , при z jm > z max( min ) ,

jm
k j = min  

L   z max ( min )  

  jm
где
z jm
(7)
(8)
– технологический фактор, изменение которого оказывает
наиболее существенное влияние на значение
j -го показателя качества
обрабатываемой детали; z jm , z max( min ) – значения факторов z , соjm
jm
ответствующие x j и x max ( min ) . Вероятность состояния « k » соответj
j
ствует вероятности получения результате обработки детали с j -м по225
казателем качества, значение которого превышает соответствующую
предельно допустимую величину. Тогда можно принять, что
−1
Pн.1. j
k
2


 µk .k −1  j
 µ21. j 
kj!
j j 
  µ10. j  k j !

= 1 − 1 + 
+
+⋯ + 
k j ! .


 λ01. j  k − 1 !  λ12. j  k − 2 !
λ


j
 j


 

 k j −1.k j 
(
)
(
(9)
)
ОБ ОДНОМ ЧИСЛЕННОМ МЕТОДЕ ВОССТАНОВЛЕНИЯ
ИЗОБРАЖЕНИЙ В ТОМОГРАФИИ
И.В. Бойков, Т.В. Черушева
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
Для исследования внутренней структуры объектов, в частности
для постановки медицинского диагноза, определения местонахождения
залежей полезных ископаемых, исследования строения небесных тел,
используются методы томографии, или так называемая неразрушающая
диагностика. В математической интерпретации эти задачи сводятся к
слабосингулярным уравнениям Фредгольма первого рода:
∞ ∞
,
(1)
x(τ 1 ,τ 2 )dτ 1dτ 2
∫ ∫
−∞ −∞
(τ 1 − t1 ) 2 + (τ 2 − t 2 ) 2
= S (t1 , t 2 )
π
где S (t , t ) = 1 q(t cosθ + t sin θ )dθ .
1 2
2
π∫ 1
0
Здесь х(t1 , t 2 ) – искомая функция, S (t1 , t 2 ) – известная функция.
В задачах томографии х ( t 1 , t 2 ) есть плотность вещества
в
направлении
луча
прямой,
уравнение
которой
t1 cos θ + t 2 sin θ = l , q(l ,θ ) = − ln[ I (l ,θ ) / I 0 (l ,θ )], I 0 (l ,θ ) – интенсивность излучающей трубки с координатами
(l ,θ ) , I (l ,θ ) – ин-
тенсивность рентгеновского луча, принятого на детекторе.
В данной работе предлагается приближенный метод решения основного уравнения рентгеновской томографии (1). Предлагаемый алгоритм имеет достаточно высокую точность и устойчивость к возмущениям.
226
S (t1 , t 2 ) известна в области GT , ограниченной
кусочно-гладким контуром Г. В качестве области GT при рассмотреПусть функция
нии задач томографии естественно взять круг с центром в начале координат. Однако, как будет видно из дальнейшего рассмотрения, предложенный алгоритм может быть распространен на произвольные односвязные области.
Уравнение (1) можно решать в различных постановках. В качестве
первой из них рассмотрим уравнение (1) в предположении, что областью интегрирования GT является единичный круг с центром в начале
координат.
Приближенное решение уравнения (1) будем искать в виде локального сплайна, определенного в области GT .
Обозначим через
GTk
области, элементы которых удовлетворяют
неравенствам (k-1)/N≤ρ(x,0)≤k/N, где k=1, 2, … , N, ρ(x,0) – расстояние
от точки х (х=(х1, х2)) до начала координат, Ν – натуральное число.
Каждую из областей
GTk , k=1, 2, …, N разделим на nk частей ∆ i ,
k
nk . Для этого на окружности радиуса ρ k = k / N возьмем
i=1,2,…,
nk равноотстоящих точек, где
nk = [2πρ k / h] + 1, h = 1/ N или nk = [2π k ] + 1.
Пусть это будут точки а1k ,..., ank . Через эти точки и начало координат
проведем
прямые,
∆ki
a1k ,..., ank . Через
из дуги
a ik , a ik+1
и прямых
aik , a ik
пересекающие
и
окружности
ρ k −1
в
точках
обозначим область aik , aik+1 , aik+1 , aik , состоящую
окружности
aik+1 , aik+1 , i
ρk ,
дуги
a ik+1 , a ik окружности
ρ k −1
= 1, 2,..., nk , k = 1, 2,..., N .
Функцию х(t1 , t 2 ) в области GT аппроксимируем локальным
сплайном х N (t1 , t 2 ) . Локальный сплайн хN (t1,t2) состоит из интерполяционных полиномов вида хN (t1 , t2 , ∆ ik ), i = 1, 2,..., nk , k = 1, 2,..., N .
227
х N (t1 , t 2 , ∆ki )
Для построения интерполяционного полинома
∆ki
в каждой области
перейдем к полярной системе координат. Пусть
∆ki
полярные координаты области
ϕik−1
≤ϕ
≤ ϕik .
ρ k −1 ≤ ρ ≤ ρ k ,
Пусть r – натуральное число. Построим интерполя-
переменным ρ и ϕ и по узлам
ρ k −1 + j1h / r , j1 = 1,..., r − 1 и ϕ kj ,i = ϕik−1 + (ϕik − ϕik−1 ) j2 / r , j2 = 1,..., r − 1.
ционный
ρ kj =
1
имеют вид
полином
по
2
Построенный таким образом интерполяционный полином обозначим
хN (t1 , t2 , ∆ik ),
через
а
через
ν i ,k , j1, j2
обозначим
узел
vi,k , j1, j2 = ( ρ kj ,ϕ kj ,i ), i = 1,2,...,nk , k = 1, 2,..., N ; j1 , j2 = 1, 2,..., r − 1.
1
2
Приступим к построению вычислительной схемы. Предварительно
продифференцируем уравнение (1) по переменным t1, t2 . В результате
имеем
x(τ 1 , τ 2 )(τ 1 − t1 )(τ 2 − t 2 ) dτ 1dτ 2
(1,1)
(2)
3
=S
(t , t ) .
∫∫
GT
Здесь
1 2
((τ 1 − t1 ) 2 + (τ 2 − t 2 ) 2 ) 5
через
S (1,1) (t1, t2 )
обозначены
частные
производные
2
∂ S (t1,t2) ∂t1∂ t2 , а интеграл слева понимается в смысле Адамара. Предполагается, что функция S(t1,t2) дифференцируема по обеим переменным
в области GT. В противном случае она может быть аппроксимирована
полиномом или локальным сплайном. Для получения наименьшей погрешности при дифференцировании во внутренних точках предпочтительнее аппроксимировать функцию S(t1,t2) сплайном.
Введем параметр η, величина которого по модулю меньше
1
. . Наряду с системой узлов ( ρ k , ϕ k , i ) введем новую систему
r (2 N π + 1) N
узлов
j1
k
k ,i
( ρ j1 , ϕ j2 ),
j2
определенную формулами
ρ
k
j1 =
ρ kj + η , ϕ
1
k ,i
k ,i
j2 = ϕ j2 + η,
i = 1,2,..., nk , k = 1,2,..., N , j1 , j2 = 1,2,..., r − 1.
Учитывая, что в каждой из областей ∆ki сплайн хN (t1,t2) есть полином хN (t1,t2∆ki), то приравнивая обе части уравнения (2) в узлах
k
k ,i
( ρ j1 , ϕ j2 ),
i = 1,2,..., nk , k = 1,2,..., N ; j1 , j2 = 1,2,..., r − 1 и потом заменяя
228
неизвестную функцию х(t1 , t 2 ) локальным сплайном, в результате
получаем систему уравнений
2
(3)
N nk
x N (τ1,τ 2 , ∆ki )(τ1 − v1ikj j )(τ 2 − vikj
)dτ1dτ 2
j
∑∑ ∫∫
1 2
3
2
где ( v1ikj1 j2 , , vikj
1 j2
хN (τ1,τ2,∆ki)=
1
= S (1,1) (vikj
,v 2 )
1 j2 ikj1 j2
1 2
2
((τ1 − v1ikj j ) 2 + (τ 2 − vikj
) 2 )5
1 2
1 j2
k =1 i =1 ∆ki
r
) – декартовы координаты точки
k
k ,i
( ρ j1 ,ϕ j2 ) ,
r
∑ ∑ almτ 1l τ 2m .
l =0 m =0
Введем
hlm(τ1,τ2,t1,t2)= τ 1l τ 2m (τ 1 − t1 )(τ 2 − t 2 )
обозначение
и построим вычислительную схему, принимая за узлы коллокации точp,n
ки в полярной системе координат ( ρ qр , ϕ qq
), где индексам k, i, j1, j2 соот-
ветствуют индексы p, n, q, qq. Тогда
r
r
∑ ∑ almhlm (ρ kj ,ϕ kj,i , ρ q ,ϕ qq ) ρdρdϕ
N nk
p
1
∑∑ ∫∫ l=0 m=0
3
k =1 i =1 ∆ki
p,n
2
p
p,n
= S (1,1) ( ρ q , ϕ qq )
p
p,n
((ρ kj − ρ q ) 2 + (ϕ kj ,i − ϕ qq ) 2 ) 5
1
2
.
(4)
Заменив интегралы в(4) квадратурной формулой, получим
r −1 r −1
r
r
p
a hlm ( ρ k ,ϕ k ,i , ρ ,ϕ
p,n
) ρ kj
∑ ∑ lm
j1 j2 q qq
1
l =0 m=0
I=
p
p,n
N r 2 k =1 i=1 nk j1=0 j2 =0
((ρ kj − ρ q )2 +(ϕ kj ,i −ϕ qq )2 )5
1
2
6π
N
nk
∑∑ ∑ ∑
+ R1
.
(5)
На главной диагонали элементы матрицы С системы уравнений (4)
равны
r
с j1 , j1 =
r
h( ρ kj , ρ q , ϕ kj , i , ϕ qq
r −1 r −1 ∑ ∑
∑ ∑ l =0m=0
5
2π
Nnk j = 0 j = 0
1
1
p, n
p
1
1
)
.
(6)
( 2η )
Выбирая параметр η, можно сделать значение выражения (6) сколь
угодно большим.
229
Элементы
c j1 , j2
ограничены по модулю величиной
r
r
∑∑
h lm
r −1 r −1
2π N 4 r 5
l =0 m=0
с j1, j2 ≤
.
nk
2
2
2 5/2
j1 =0 j2 =0 (rN − 1) + ( 4π + 2π + r − 1)
∑ ∑
[
]
Приведем теорему Адамара. Если диагональные элементы матрицы С
системы линейных алгебраических уравнений Сх=у превосходят сумму
недиагональных элементов, то данная система однозначно разрешима.
Выбирая значения η так, чтобы
p
p, n
h( ρ kj , ρ q , ϕ kj , i , ϕ qq ) >
1
2
25 / 2η 5 B ,
π ( Nr ) 5
(7)
где В – некоторая константа, зависящая от функции
h(τ 1 ,τ 2 , t1 , t 2 ) и
от чисел N,r, доказываем однозначную разрешимость системы уравнений (4).
Несмотря на то, что функция
x N (τ 1 ,τ 2 ) терпит разрывы на ли-
ниях сопряжения областей ∆ki , i = 1,2,..., n k , k = 1,2,..., N , интегралы в
левой части уравнения (3) существуют, так как узлы коллокации
vikj
1 j2
k
1
2
= (vikj
, vikj
) не лежат на линиях сопряжения областей ∆ i ,
1 j2
1 j2
i = 1,2,..., n k , k = 1,2,..., N .
Сформулируем теорему. Пусть уравнение (1) имеет единственное
*
решение х (t1 , t 2 ) . Тогда, если выбрать параметр η так, чтобы выполнялись неравенства (7), то система (4) будет иметь единственное
решение.
Погрешность данного метода имеет порядок
О(
2πh
).
N +r
Более предпочтительной схемой, чем предыдущая вычислительная
схема, является следующая.
Обозначим через v
ikj
1 j2
k
2
= (v1ikj j , vikj
) декартовы координаты то1 2
1 j2
k ,i
чек ( ρ , ϕ ) , i = 1,2,..., nk , k = 1,2,..., N , j1 , j2 = 1,2,..., r − 1 . Каждой
j1
j2
230
vikj
точке
поставим
1 j2
в
соответствие
прямоугольник
q, h *
2
2
∆ ikj1 j2 = [v1ikj1 j2 − qh* , v1ikj1 j2 + h* ; vikj
− qh* , vikj
+ h* ] , где
1 j2
1 j2
–
параметры, способ выбора которых аналогичен выбору параметра η,
0<h*<1/(2Nπ+1)/r, 0 < q < 1 .
Приближенное решение уравнения (2) ищем в виде сплайна
x N (t1 , t 2 ) c неопределенными пока значениями в узлах интерполяции. Эти значения определяются из системы алгебраических уравнений
∫∫
3
2
x N (τ 1 ,τ 2 )(τ 1 − v1ikj j )(τ 2 − vikj
)dτ 1dτ 2
1 2
1 j2
N −1 nl −1
+3
+
2
((τ 1 − v1ikj j ) 2 + (τ 2 − vikj
) 2 )5
1 2
1 j2
∆ ikj1 j2
∑ ∑ ∫∫
'
2
xN (τ1,τ 2 )(τ1 − v1ikj j )(τ 2 − vikj
)dτ1dτ 2
j
12
1 2
2
(τ1 − v1ikj j ) 2 + (τ 2 − vikj
)2
12
1 j2
l =1 m=1 ∆l
m
2
= S (1,1) (v1ikj j , vikj
),
1 2
1 j2
(8)
i = 1,2,..., nk , k = 1,2,..., N , j1 , j2 = 1,2,..., r − 1 ,
∆lm ,
где ΣΣ’ означает суммирование по таким областям
что
∆ ikj1 j2 ∉ ∆lm .
Интегралы, стоящие под знаком суммы, вычислим по формуле (5).
А для интегралов
J=
∫∫
2
x N (τ 1 ,τ 2 )(τ 1 − v1ikj j )(τ 2 − vikj
)dτ 1dτ 2
1 2
1 j2
2
((τ 1 − v1ikj j ) 2 + (τ 2 − vikj
) 2 )5
1 2
1 j2
∆ ikj1 j2
квадратурная формула будет следующей:
J = R1 +
1
* 2
r
r
∑ ∑
(qh ) k = 0 j 2 = 0
2
h sw ( ρ k , ϕ kj , v1ikj j , vikj
)
1 2
1 j2
2
(( ρ k − v1ikj j ) 2 + (ϕ kj − vikj
) 2 )5
1 2
1 j2
231
.
(9)
Таким образом, мы получаем систему линейных алгебраических
уравнений
2
N
r
+
h sw ( ρ k , ϕ kj , v1ikj j , vikj
)
3
j
∑ ∑
2
(qh* ) 2 k = 0 j 2 = 0
1 2
1 2
2
(( ρ k − v1ikj j ) 2 + (ϕ kj − vikj
) 2 )5
1 2
2
1 j2
 r −1 r −1 lm sw

2

a sw h ( ρ k , ϕ kj , v1ikj j , vikj
)
j2
1
2
1

6π
1  s = 0w = 0
(1,1) 1
2
(vikj j , vikj
)

=S
1 2
1 j2
2
k
2
2 5 
Nr 2 l =1 m =1 nl  (( ρ − v1
)
+
(
ϕ
−
v
)
)
k
j
ikj
j
ikj
j
1 2
1 2




N −1 nl −1
∑ ∑
∑∑
(10)
Повторяя рассуждения, проведенные выше, доказываем сходимость приближенного решения x N (t1 , t 2 ) к точному решению уравнения (2). Если выбрать q, h* такими, что для всех l, m, j1, j2 выполнялись бы неравенства
1
2
h( ρ k , ϕ kj , vikjf
, vikjf
)>
25 / 2 (qh* ) 5 B ,
(9)
π ( Nr )
где В – константа, зависящая от функции h, то система (8) будет иметь
единственное решение по теореме Адамара об обратимости матрицы.
Можно показать, что выбором параметров q , h * можно добиться
5
однозначной разрешимости системы уравнений (4).
Остановимся на вопросе дифференцирования функции S (t1 , t 2 ) ,
необходимом при переходе от уравнения (1) к уравнению (2). Как известно, дифференцирование является некорректной задачей и требует
методов регуляризации.
Опишем способ вычисления производных S (1,1) (t1, t2 ) не во всей
области GT , а только в точках коллокации. Будем приближать функцию S (t1 , t 2 ) в области ∆ki i = 1,2,..., n k , k = 1,2,..., N − 1 , интерполяционными полиномами степени r по каждой переменной. В результате в каждой области ∆ki i = 1,2,..., n k , k = 1,2,..., N − 1 , функция
S (t1 , t 2 )
приближается
интерполяционным
полиномом
S r (t1 , t 2 , ∆ki ) . Естественно строить этот полином по переменным r и
ϕ и по узлам ортогональных полиномов степени r+1, отображенным с
сегмента [-1, 1] на соответствующие сегменты [ρk,ρk+1 ] и [ ϕ ik , ϕ ( i +1) k ].
232
Нетрудно видеть, что если функция S (t1 , t 2 ) ∈ W r ,r ( M ) , то справедлива оценка S (t1 , t 2 ) − S r (t1 , t 2 ; ∆ki ) ≤ Ah −2 .
Воспользовавшись оценками модулей производных, получаем не(1,1)
равенство S
(t1 , t 2 ) − ( S r(1,1) (t1 , t 2 ; ∆ki )) ≤ Ah − r + 2 .
Таким образом, предложенный выше метод решения основного
уравнения томографии, заключающийся в переходе от уравнения (1) к
уравнению (2) и решению последнего по вычислительной схеме (4),
является эффективным при r > 2 .
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ ОБРАБОТКИ ПЛАСТИН
ИЗ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ МАТЕРИАЛОВ
Т.И. Игонина
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
Эксперименты проводились на разработанной установке для доводки, схема которой представлена ниже.
Схема доводки:
1 – притир; 2 –обрабатываемые пластины, 3 – планшайба;
4 – червячная передача; 5 – поводок
Образцы изготовлены из кремния диаметром 6,5 мм и толщиной 1
мм. Производительность доводки вычислялась по потере веса образцов,
определяемой на аналитических весах с точностью 0,1 мг, что соответствует в данных условиях примерно 1 мкм линейного съема. В качестве
233
абразива применяли алмазный порошок АСМ 5/3. Жидкая фаза состояла примерно на 90% из глицерина и на 10% из воды. Соотношение
твердой и жидкой фаз составляло примерно 1:10 по объему как рекомендуемое для алмазных порошков при доводке. Перед каждым экспериментом порция суспензии в объеме 5 мл наносилась на рабочую поверхность притира, а после окончания эксперимента тщательно удалялась. Материалом притира выбран серый чугун СЧ15-32 с HB=120 –
140.
В ходе проведения экспериментальных исследований были выбраны три уровня давления – 0,03 МПа; 0,1 МПа; 0,3 МПа. На каждом
уровне давления проводилось по пять экспериментов.
Результаты экспериментов по съему кремния (мг) приведены в
табл. 1.
Таблица 1
0,03 МПа
1,7
0,9
2,4
5,0
2,4
среднее 2,5
дисперсия 1,5
Давление
0,1 МПа
2,9
2,0
1,8
3,1
1,5
среднее 2,3
дисперсия 0,7
0,3 МПа
3,3
3,0
2,4
2,3
2,5
среднее 2,7
дисперсия 0,6
По результатам табл. 1 построен график.
Из графика видно, что производительность несколько снижается.
Это обусловлено недостаточной мощностью двигателя, обеспечивающего поступательное движение, таким образом фактическая длина пути
образца по притиру уменьшается. Повышение мощности должно привести к повышению производительности.
Произведем проверку по F-критерию значимости расхождения величины съема для различных давлений. В табл. 2 приведены кодированные значения съема, здесь из всех значений вычтено 2,6 мг [1].
234
Таблица 2
Давление
0,3 кг/см
-0,9
-1,7
-0,2
+2,4
-0,2
2
1 кг/см
+0,3
0,6
-0,8
+0,5
-1,1
2
3 кг/см
+0,7
+0,4
-0,2
-0,3
-0,1
Т0j
-0,6
-1,7
-0,5
n j
5
5
5
9,54
2,55
0,79
2
Т 00 =-2,8
N=15
k
nj
∑
i =1
xij2
nj
∑∑
i =1 i =1
xij2 = 12,88
Найдем общую сумму квадратов. Для этого нужно сложить квадраты всех показаний и вычесть поправочный член, который равен сумме всех наблюдений (-2,8), возведенной в квадрат и деленной на число
наблюдений (15).
nj
k
SSобщ = ∑∑ xij2 −
j =1 i =1
T00
( −2,8 )
= 12,88 −
= 12,36.
N
15
2
Сумма квадратов для давлений (вариантов испытаний) подсчитывается следующим образом:
k
T02j
j =1
nj
SSисп = ∑
T002 ( −0, 6 )
( −1, 7 ) ( −0,5) ( −2,8)
=
+
+
−
= 0,18.
N
5
5
5
15
2
−
2
2
2
Сумма квадратов для ошибки – остаток после вычитания суммы
квадратов для давлений из общей суммы квадратов:
SSош = SSобщ − SSисп = 12,36 − 0,18 = 12,18.
Таблица 3
Таблица дисперсионного анализа данных
Источник изменчивости
Между давлениями
Tj
Для каждого давления (ошибка
ε ij )
Число степеней
свободы
Сумма квадратов
Средний квадрат
2
0,18
0,09
12
12,18
1,015
235
Найдем отношение F:
0, 09
F 2,12 =
= 0, 089,
1, 015
что значительно ниже соответствующих табличных значений F.
Таким образом, гипотеза о равенстве средних значений съемов по
давлениям не отвергается. Следовательно, можно сделать следующий
вывод: при описанных выше условиях съем кремния при доводке в малой степени зависит от давления.
Библиографический список
1. Федоров, Л.П. Производство полупроводниковых приборов / Л.П.
Федоров, В.М. Багров, Ю.Н. Тихонов, – М. : Энергия. – 1989.
2. Реньян, В.Р. Технология полупроводникового кремния. –
М. : Металлургия. – 1979.
3. Пальмов, В.А. Тонкая пластинка под действием случайной нагрузки // Сб. Прикладная математика и механика. – М. : Энергия. – 1982.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ И ШЕРОХОВАТОСТИ ПРОЦЕССА
ДОВОДКИ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ МАТЕРИАЛОВ
В.А. Скрябин, Т.И. Игонина, А.С. Репин
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
На основные показатели процесса доводки решающее влияние оказывают режимы обработки, материал притира и соотношение твердостей
материалов притира и обрабатываемой детали.
Расчеты проводились для разработанной установки, схема которой
представлена ниже.
Образцы изготавливались из кремния диаметром 6,5 мм и толщиной 1 мм. В качестве абразива используется алмазный порошок АСМ
5/3. Материалом притира выбран серый чугун СЧ15-32 с 120 – 140НВ.
Съем металла и шероховатость обработанной поверхности для
данной схемы обработки определяются уравнениями[1]:
q = C q ⋅ v ⋅ p γ ⋅ d δ ⋅ wε ⋅ s − m ;
R z = cR z ⋅ d .
236
Схема доводки:
1 – притир; 2 –обрабатываемые пластины, 3 – планшайба;
4 – червячная передача; 5 – поводок
Из ранее проведенных исследований [2] имеем:
c q , c Rz – коэффициенты, зависящие от свойств обрабатываемого
материала, абразива и других условий обработки;
c q = 0,002 ;
c Rz = 0,015 ;
v – скорость доводки;
v = 36 м/мин;
p – давление на обрабатываемую поверхность;
p = 0,1 МПа;
d – средний диаметр основной фракции абразивного микропорошка;
d = 10 мкм;
w – концентрация абразивного порошка в жидкой фазе по массе;
w = 0,1 ;
s – площадь контакта обрабатываемой и рабочей поверхностей
инструмента;
s = 100 мм;
γ = 0,7 − 1,0 ; δ = 0,5 − 0,7 ; ε = 0,7 ; m = 0,3 – коэффициен-
ты.
Можно рассчитать, таким образом, производительность и шероховатость обработанной поверхности:
q = C q ⋅ v ⋅ p γ ⋅ d δ ⋅ w ε ⋅ s −m = 2,6 мкм/мин;
237
R z = c Rz ⋅ d = 0,05 мкм.
Используя вышеуказанные математические модели процесса доводки
полупроводниковых пластин, с учетом варьирования параметров, входящих в данные зависимости, можно прогнозировать производительность и
качество процесса обработки.
Библиографический список
1. Кожуро, Л.М. Отделочно-абразивные методы обработки./ Л.М. Кожуро, А.А. Панов, Э.Б. Пономарева. – М. : Высшая школа, 1983.
2. Кремня, З.И. Технология обработки абразивным и алмазным инструментом. – Л. : Машиностроение, 1989.
3. Ящерицын, П.И. Чистовая обработка деталей в машиностроении /
П.И. Ящерицын, А.Н. Мартынов, – М. : Высшая школа. – 1989.
МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЖИМНЫХ ПАРАМЕТРОВ ПРОЦЕССА
ОБРАБОТКИ СЛОЖНОПРОФИЛЬНЫХ ДЕТАЛЕЙ
УПЛОТНЕННЫМ АБРАЗИВОМ
В.А. Скрябин, Г.В. Тарабрин., Ю.В. Рыбаков
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
Анализ характера взаимодействия абразивных зерен с обрабатываемой поверхностью детали в способах обработки свободным абразивом
показал, что удаление припуска на обработку происходит за счет микрорезания поверхности детали выступами микро- и субмикрорельефа абразивных зерен [1]. Величина удаляемого припуска определяется высотой исходных неровностей поверхности детали от предшествующей обработки.
После удаления заданного припуска шероховатость поверхности детали
формируется под взаимодействием технологических режимов обработки и
геометрических параметров выступов микро- и субмикрорельефа абразивных зерен. Поэтому весьма важной является задача теоретического определения эффективных режимов обработки, обеспечивающих получение
необходимой величины шероховатости поверхности обработанных деталей, которые определяются техническими требованиями чертежа.
В качестве примера была поставлена задача по определению режимов
обработки колеса турбины турбокомпрессора дизеля, которые позволили
бы получить шероховатость обработанной поверхности, соответствующую Ra = 0,16 мкм. Следовательно, динамическая глубина внедрения единичных выступов микрорельефа поверхности абразивных зерен в данном
238
случае не должна превышать 0,8 мкм, т. е. hдин ≤ 0,8 мкм (Ra = 0,2·Rz; Rz =
hдин).
Для того чтобы по известной заранее из технических требований чертежа конечной шероховатости Ra определить эффективные режимы обработки, необходимо найти давление единичного абразивного зерна Р, при
котором обеспечивается внедрение микро- и субмикровыступов в обрабатываемую поверхность на заданную глубину hдин (Rz) = 5·Ra.
В соответствии с разделом сила Р2 определяется следующим образом:
3/ 2
π ⋅ HB  5Ra 
⋅
(1)
 ⋅ c + a − 0, 67 c ⋅ a ,
2 ⋅ C  1,3 
где НВ – твердость обрабатываемого материала; а и с – соответственно
большая и малая полуоси абразивных зерен, моделируемых эллипсоидом
вращения; Ra – конечная шероховатость обработанной поверхности детали.
По определенному значению Р2 можно определить давление, которое
необходимо подвести к эластичной оболочке камерного устройства при
обработке деталей типа тел вращения.
P2
P=
,
(2)


R22 − R12
1 − 2
2
 R2 + {(1 + ν) /(1 − ν)}R1 
где R1 – радиус уплотненного абразивного слоя, контактирующего с эластичной оболочкой камеры; R2 – радиус детали; ν – коэффициент Пуассона
обрабатывающей среды.
Приведем пример расчета давления обрабатывающей среды.
Исходные данные: шлифзерно карбида кремния зеленого марки 63С
зернистостью 50 с параметрами зерна а = 500 мкм = 0,5 мм; с = 283мкм =
0,283 мм. Материал детали –жаропрочный литейный труднообрабатываемый сплав ЖС3ДК твердостью 40…45 HRCЭ ( 350 НВ).
Радиус детали R2 = 114 мм, радиус эластичной оболочки R1 = 370 мм.
P2 =
P2 =
=
π ⋅ HB  5 Ra 
⋅

2 ⋅ C  1,3 
3/ 2
(
)
(
)
⋅ c + a − 0,67 c ⋅ a =
3,14 ⋅ 350  5 ⋅ 16 ⋅ 10 −2 ⋅ 10 −3 

⋅
2 ⋅ 0,532 
1,3

3/ 2
= 16 ⋅ 10 −3 кг (16 ⋅ 10 −2 Н );
239
(
)
⋅ 0,283 + 0,5 − 0,67 0,283 ⋅ 0,5 =
Р=
Р2


R −R
1 − 2
2
 R2 + (1 + ν) /(1 − ν)R1 
2
2
2
1
=
16 ⋅ 10−3


1142 − 3702
1 −
2
2
 114 + (1 + 0,2) /(1 − 0,2) ⋅ 370 
= 0,1МПа.
Библиографический список
1. Скрябин. В.А. Обеспечение качества обработки сложнопрофильных деталей технологических машин уплотненными мелкодисперсными
средами / В.А.Скрябин, В.Б. Моисеев, О.Ф. Пшеничный, Ю.В. Рыбаков. –
Пенза : Изд-во ПГТА, 2005. – 186 с.
Секция 5. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
В ОБРАЗОВАНИИ
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА БЕЗЫЗЛУЧАТЕЛЬНОГО
ПЕРЕНОСА ЭНЕРГИИ ПО ОБМЕННО-РЕЗОНАНСНОМУ
МЕХАНИЗМУ
А.В. Юденков, В.В. Юденков
ФГОУ ВПО «Смоленская сельскохозяйственная академия»,
г. Смоленск, Россия
Процесс переноса энергии по обменно-резонансному механизму уже
давно привлекает внимание исследователей разных стран. Первые работы
в этом направлении появились еще в 20-е годы ХХ в. Большой вклад в
изучение этого вопроса внесли Жан и Франсис Перрены, Фестер, Галанин,
Декстер, Вавилов, Ермолаев и др.
Такое внимание объясняется тем, что перенос энергии по обменнорезонансному механизму, или безызлучательный перенос энергии используется в различных областях техники и биологии. В частности, он играет
ключевую роль при разработке различного рода сцинтилляторов, люминофоров, в процессе фотосинтеза.
В работах С.И. Вавилова и Ф. Перрена была предложена модель
сферы действия тушения. В более поздних работах В.Л. Ермолаева
и А.Н. Теренина было обнаружено, что триплет-триплетный перенос
энергии происходит по обменно-резонансному механизму, а также
подтверждена модель Перрена. В 50-х годах ХХ в. Д.Л. Декстером была предложена модель, согласно которой плотность вероятности пере240
носа энергии по обменно-резонансному механизму определяется согласно уравнению
λ2
ν = z 2 ∫ f Д (λ)ε(λ)dλ ,
(1)
λ1
λ2
здесь
∫ f Д (λ)ε(λ)dλ
– интеграл перекрывания спектров донора и
λ1
акцептора; z2 – параметр уравнения Декстера, который в первых работах определить не удалось; fД(λ) – функция, описывающая спектр излучения донора, ε(λ) – функция, описывающая спектр поглощения акцептора [2].
В работах Декстера, Инокути и Хираяма было предположено, что
z2 зависит от расстояния между молекулами донора и акцептора R,
причем зависимость имеет вид:
−
2π
z (R ) =
ye
ℏ
2
2R
L
,
(2)
где у – безразмерный множитель, не зависящий от R; L – эффективный
Боровский радиус молекулы акцептора.
Однако экспериментально уравнение (2) не было подтверждено.
В работах [3], [4] для экспериментального исследования безызлучательного переноса энергии были использованы системы Шпольского. Такие системы обладают высокой информативностью и позволяют довести
точность измерения до 5%. (Для сравнения относительная погрешность
измерений для стеклующихся растворов составляет более 20%). В результате были установлены новые важные свойства безызлучательного переноса энергии. В частности, установлена зависимость эффективности переноса энергии от энергии возбуждающего кванта, от дипольного момента
донор – акцептор. Экспериментально также была подтверждена экспоненциальная зависимость параметра z2 от расстояния между донором и акцептором. На основе опытных данных была предложена видоизмененная
формула Декстера [5]. Однако уравнение получилось достаточно громоздким. В него входили параметры, которые было достаточно сложно определить как экспериментально, так и теоретически.
Поэтому в данной работе предлагается математическая модель безызлучательного переноса энергии по обменно-резонансному механизму на
241
основе системы массового обслуживания. Поскольку процесс передачи
энергии между определенной системой донор – акцептор обладает свойствами стационарности, ординарности и не имеет последствий, то можно
полагать, что процесс передачи энергии по обменно-резонансному механизму является пуассоновским.
Для примера рассмотрим процесс передачи энергии от донора к акцептору при монохроматическом источнике возбуждения.
Положим, что R0 – расстояние, на котором вероятность переноса
энергии уменьшается в е раз. Данную величину для каждой пары донор –
акцептор можно определить экспериментально.
Плотность вероятности передачи энергии будем определять по формуле
ν (R ) = R 0 e
−
R
R0
.
Вероятность того, что процесс передачи энергии не произойдет,
определяется по формуле
−
R
R0
.
P( R ) = 1 − e
Данная зависимость подтверждена экспериментально.
Таким образом, акцептор, который может находиться в двух состояниях (невозбужденном и возбужденном), находится под воздействием простейшего потока электронов. Данный процесс можно интерпретировать как работу простейшей СМО без очереди с одним обслуживающим каналом.
Аналогично можно рассмотреть процесс безызлучательного переноса энергии в зависимости от энергии кванта возбуждающего света.
Библиографический список
1. Ермолаев, В.Л., Теренин, А.Н. Внутримежмолекулярный перенос по триплетному уровню // J Chim Phys et phys. – chim boil. – 1958. –
V.55. – №9. – P.698-704.
2. Dexter, D.L. A Theory of Sensitized Luminescense in Solids //
J. Chemic Physiks. – 1953. –V.21. – №5. – P.846-847.
3. Гобов, Г.В., Юденков, В.В. Зависимость эффективности Т –
Т переноса энергии возбуждения между органическими соединениями
при 77 К от частоты возбуждающего света // Оптика и спектр. – 1987. –
Т.62. – В.1. – С. 75 – 77.
242
4. Юденков, А.В., Юденков, В.В., Ковальчук, В.А. Расчет параметров в математической модели Декстера безызлучательного переноса
энергии по обменно-резонансному механизму // Журнал «ОП и ПМ».
М., 2006. – Т.13. – С. 269 – 270.
КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ОЦЕНКА АДАПТАЦИИ УЧАЩИХСЯ
К УЧЕБНОЙ НАГРУЗКЕ
Н.Н. Овсянникова
ГОУ ВПО «Орловский государственный университет»,
г. Орел, Россия
Комплексный подход к количественной оценке физиологической
адаптации учащихся может быть применен в практике врачебнопедагогического контроля в образовательных учреждениях. Это представляется особенно важным в условиях перехода школы на профильное и предпрофильное обучение, в условиях возрастания учебной
нагрузки.
Формула функциональной цены адаптации, предложенная Г.И. Палевым, дает возможность подсчитывать интегральный показатель адаптации
учащихся. Для того чтобы эта формула учитывала еще и уровень отношения к учёбе, мы предлагаем использовать ее в модифицированном виде:
ФЦА=(УФН+УПЭН+СОУ)/(УОУ+УФР).
Для оценки величины УФН – уровень функционального напряжения
или уровень стресса – применяется прибор «МИР-21», выбор которого
определен его возможностями выявлять воздействие различных факторов,
в том числе учебного процесса, на психоэмоциональное состояние.
УПЭН – уровень психофизиологического напряжения подсчитывается по формуле
УПЭН =
Т +С
,
2
где Т – оценка тревожности по Дж. Тейлору, С – оценка тревожности
по Ч. Спилбергеру. С и Т рассчитываются по установленным в психофизиологической практике шкалам.
243
УФР – уровень физического развития – определялся методикой
Г.Л. Апанасенко (1988).
СОУ – оценка субъективного ощущения усталости – рассчитывается по анкетам.
УОУ – уровень отношения к учёбе – находится с помощью специально разработанной карты состояния мотивации учения А.К. Марковой, Т.А. Матиса, А.Б. Орлова.
В практической деятельности может быть использована таблица
Показатель
УФН – уровень функционального напряжения
(стресс)
УПЭН – уровень психофизиологического
напряжения
СОУ – субъективное
ощущение усталости
УОУ – уровень отношения к учёбе
УФР – уровень физического развития
ФЦА – функциональная цена адаптации
ФЦА=(УФН+УПЭН+СОУ)/(УОУ+УФР)
0 – норма
1 – напряжение
2 – перенапряжение
3 – истощение
УПЭН≤18 – нижний
18 <УПЭН≤ 32 – средний
УПЭН> 32 – высокий
УПЭН=(Т+С)/2
1 ≤СОУ≤ 1,3 – комфортное
1,4 ≤СОУ≤ 2,3 – умеренно-утомленное
2,4 ≤СОУ≤ 3,3 – значительное утомление
СОУ≥3,4 - переутомление
2 балла – отрицательное
4 балла – пассивное
6 баллов – положительное неосознанное
8 баллов – положительное осознанное
9 баллов – положительное активное
10 баллов – положительное личностнодейственное
УФР≤4 – низкий
5 ≤УФР≤ 8 – ниже среднего
9 ≤УФР≤13 – средний
14 ≤УФР≤ 16 – выше среднего
17 ≤УФР≤ 21 – высокий
Показатель ФЦА классифицируется, исходя из математических
расчётов, следующим образом: ФЦА≤1,05 – низкий показатель;
1,05<ФЦА<2,96 – средний показатель; ФЦА≥2,96 – высокий показатель.
Статистическая обработка экспериментальных данных наблюдения изменений ФЦА за некоторый промежуток времени проводится с
использованием традиционных методов математической статистики, с
244
определением средних значений всех полученных в ходе исследования
показателей (М), ошибки средней (m). Достоверность различий двух
сравниваемых средних величин оценивается в основном по критерию –
t – Стьюдента. В ряде случаев (если распределение отличается от нормального) применяются непараметрические критерии – Вилкоксона и
критерий знаков. Для выявления степени взаимосвязи между анализируемыми переменными применяется метод корреляционного анализа с
использованием пакета прикладных программ Microsoft Excel. За уровень статистически значимых отличий принимается изменение при
P<0,05.
Представленный комплекс показателей физического здоровья,
психоэмоционального состояния учащихся и напряжения регуляторных
систем их организма с учетом уровня отношения к учёбе является
адекватным для решения задач оценки адаптации учащихся к учебной
нагрузке разной интенсивности.
Библиографический список
1. Маркова, А.К., Матис, Т.А., Орлов, А.Б. Формирование мотивации учения. – М. : Просвещение, 1990.
2. Адаптация организма учащихся к учебной и физической нагрузкам / под редакцией А.Г. Хрипковой, М.В. Антроповой. – М., 1982.
3. Апанасенко, Г.Л. О возможности количественной оценки здоровья человека //Гигиена и санитария. – 1988. – №6.
ОБ ИНФОРМАТИЗАЦИИ ПОДГОТОВКИ
СПЕЦИАЛИСТОВ В ПРОФЕССИОНАЛЬНОМ ОБРАЗОВАНИИ
Г.В. Воробьев, С.А. Дочкин
Кемеровское высшее военное командное училище связи
(военный институт),
г. Кемерово, Россия
Информационные технологии (ИТ) в настоящее время глубоко
интегрировались в различные науки, развитие которых априорно невозможно без учета возможностей ИТ. Не является исключением
и педагогика, которая в процессе подготовки специалистов должна
являться заказчиком требований к ИТ (и к информатике). Однако
многие теоретические и практические задачи из области взаимодействия этих наук далеки от разрешения, темпы развития информатики и
ИТ превышают скорость сменяемости поколений потребителей науч245
ной продукции, отсутствует четко сформулированный заказ на реализацию достижений информатики и ИТ в системе подготовки специалистов.
При этом экономическая ситуация в России уже позволяет планово
поставлять различные аппаратно-программные и учебно-методические
комплексы в образовательные учреждения (ОУ). К примеру, исследование темпов информатизации в ОУ профессионального образования
(ПО) Кемеровской области показало, что почти 100% ОУ ПО имеют
компьютеры и соответствующее оборудование, 84,8 % ОУ имеют компьютерные классы, а 36,3% из них – по два класса и более. Но вместе
с этим по данным можно сделать вывод, что в ОУ НПО и СПО области
современные ИТ, как таковые, не используются. Ведь только в двух ОУ
(3,3%) отметили их наличие, а несколько колледжей и училищ (13,6%)
к ИТ отнесли разработанные программы и пособия. Данный факт свидетельствует как о действительно наличии проблемы использования
ИТ в ОУ ПО, так и о том, что, к сожалению, не все четко представляют
себе, что такое «компьютерная и информационная технология».
То есть, обеспечение ОУ производится без четкого научного обоснования, методом насыщения ОУ вычислительной техникой; причем отсутствие системного подхода к решению данной проблемы при высокой динамике качественных характеристик средств ИТ не позволяет пропорционально повысить эффективность воспитательно-образовательного процесса, так как современное информационное общество с растущим потоком
информации предъявляет повышенные требования не только к технической базе ИТ, наличию и качеству электронных изданий учебного назначения (ЭИУН), но и к самим пользователям: преподавателям и студентам.
Проведенное исследование также показало, что отношение у преподавателей училищ, лицеев и колледжей к ИТ и Интернет-приложениям в целом
положительное: 22% преподавателей их используют в своей профессиональной деятельности; а 58% – желают использовать ИТ. Причем 37%
преподавателей желали бы работать над ЭИУН, а 18% – создавать курсы
для дистанционного образования, тесты и обучающие программы. В целом
в ОУ ПО области только около 31% преподавателей используют компьютеры (ПК) в своей профессиональной деятельности, в некоторых ОУ (12%)
таких нет вообще, а в 8 ОУ (12%) их по одному человеку.
Причина подобного состояния дел может находиться в низком
уровне компьютерной грамотности преподавательского состава. По
данным анализа, 84,15% преподавателей владеют ПК, однако 38,5% из
них освоили компьютер самостоятельно, а 11,8% – во время обучения в
246
вузе, тем самым они не имеют глубокой подготовки в данном направлении, обеспечивающем использование, разработку и внедрение электронных продуктов и ИТ в учебный процесс ОУ ПО. Подобные показатели для студентов отличаются в другую сторону: только около 16%
учащихся незнакомы с ПК и ИТ, а 62% студентов удовлетворительно
владеют компьютером, причем 22% владеют им хорошо. Но почти 40%
студентов используют компьютер для развлечения и только 25,7% –
для учебы.
Достаточно интересны данные по использованию Web-ресурсов. С
учетом того, что 15,8% преподавателей имеют дома ПК, только треть
из них (8,3%) иногда используют Интернет, а 2,3 % – используют его
ресурсы регулярно. В то время как более трети учащихся имеют домашние компьютеры, из них более 16% иногда используют Интернет,
10% – это делают регулярно, а никогда не использовали данные ресурсы только 14,5%. Причем несмотря на то, что наибольший интерес студенты проявляют к развлекательным ресурсам Интернет (51,5%), на
втором месте по популярности стоят поисковые системы (информационные ресурсы) – 37,3% и образовательные ресурсы – 30,35%.
Итак, проблемой является низкий уровень подготовки педагогических кадров ОУ в вопросах использования ИТ, и в первую очередь административного аппарата, не понимающего значения ИТ. К сожалению, большинство руководителей ОУ перспективы развития и внедрения ИТ в своем ОУ видят в увеличении количества ПК и компьютерных классов. Необходима целенаправленная подготовка руководителей
и преподавателей по использованию и применению ИТ в учебном процессе. Следовательно, необходима единая система непрерывной многоуровневой подготовки, переподготовки и повышения квалификации
преподавателей, научно-педагогических работников, административноуправленческого персоналов ОУ ПО в целях оперативного и эффективного внедрения новейших ИТ.
В качестве важной задачи необходимо выделить и развитие понятийного аппарата, так как от обоснованной трактовки ИТ будет зависеть определение объекта, предмета и задач информатизации подготовки специалистов. Причем наиболее приемлем для описания системы
информатизации структурный подход, позволяющий создавать сложные
системы и целые комплексы, разбивая основную задачу на подзадачи. Но
моделирование системы информатизации подготовки специалистов, являющейся высокоинтеллектуальной системой, усложняется еще из-за
большого количества подзадач и сложных алгоритмов их взаимодействия,
247
что неизбежно приводит к постоянной и сложнофункциональной корректировке. В связи с этим представляется наиболее приемлемым использование такого направления структурного подхода как субъектный, что
позволит упростить решение задачи информатизации подготовки специалистов.
ЭЛЕКТРОННЫЙ УЧЕБНИК ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
И.А. Суздалева
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
Сегодня, в эпоху компьютеризации, очень актуально использование информационных технологий в процессе обучения. Как дополнительный источник к курсу истории математики, читаемому студентам
специальности «Прикладная математика», предлагается электронный
учебник по истории математики.
Электронный учебник – это компьютерное, педагогическое программное средство, предназначенное, в первую очередь, для предъявления новой информации, дополняющей печатные издания, служащее
для индивидуального и индивидуализированного обучения и позволяющее в ограниченной мере тестировать полученные знания и умения
обучаемого.
В современной системе образования все более высокие требования
предъявляются к содержанию и форме учебных материалов. Это обусловливает необходимость разработки новых технологий создания
учебно-методических материалов. В настоящее время существует несколько технологий такого рода, к которым можно отнести технологию
создания электронных учебников на базе языка разметки HTML.
Для создания электронного учебника по истории математики была
выбрана программа Macromedia Dreamweaver 8, поскольку ее возможности шире по сравнению с обычными функциями подобных редакторов.
Dreamweaver – это программа для создания Web-страниц. Она
представляет собой комбинацию средств для создания визуального
оформления, функций разработки приложений, поддержки редактирования кода. Dreamweaver позволяет создавать визуально привлекательные, основанные на стандартах сайты и приложения.
Dreamweaver имеет многодокументный интерфейс. Это означает,
что в одном и том же окне программы можно открыть сразу несколько
248
документов. В этом случае окна, содержащие открытые документы,
открываются внутри большого окна самой программы.
Dreamweaver относится к гибридным Web-редакторам, позволяющим работать как с самой Web-страницей, так и непосредственно с ее
HTML-кодом. Осуществляется это очень легко благодаря тому, что
Dreamweaver может отображать одновременно и HTML-код, и саму
страницу в одном окне.
Dreamweaver позволяет копировать и вставлять фрагменты документов Microsoft Word и Excel, полностью сохраняя формат шрифтов,
цвета и каскадные таблицы стилей.
Электронный учебник по истории математики, созданный с
помощью Macromedia Dreamweaver 8, состоит из 72 HTML-файлов
(каждый подраздел представляет собой отдельную HTML-страницу),
объединенных главным файлом. При его запуске появляется титульная
страница учебника. Далее после щелчка мыши по названию учебника
появляется страница оглавления.
Структура данного электронного учебника включает:
1. Оглавление, организованное с помощью гиперссылок.
2. Разделы, включающие описание и краткие характеристики
основных исторических периодов развития математики.
3. Задачи и вопросы по истории математики для самостоятельной работы студентов.
4. Возможные темы рефератов по истории математики.
5. Краткие биографии наиболее известных математиков. Отдельная страница посвящена математикам Пензенского края.
Усвоение учебного материала во многом зависит от композиционной структуры текста учебника и его объёма. Поэтому данный учебник разбит на разделы и подразделы. Каждый раздел представлен в
виде последовательности смысловых блоков- абзацев.
В электронном учебнике имеется большое количество рисунков,
портретов, таблиц. Кроме того, каждая глава, описывающая какой-либо
исторический период, сопровождается иллюстрациями, относящимися
к данному историческому отрезку времени. Это делает учебник более
наглядным и привлекательным.
Очень важную роль при создании электронного учебника имеет
выбор цвета, так как он во многом влияет на восприятие читателем
предлагаемой информации. Поэтому в данном учебнике выбраны цветовые оттенки, которые, возможно, не будут вызывать у читателя негативных эмоций.
249
Данный электронный учебник по истории математики предназначен для студентов специальности «Прикладная математика». Однако он
будет полезен и интересен студентам практически всех специальностей
с расширенным курсом высшей математики.
Библиографический список
1. Ганеева, А.Р. Принципы создания компьютерного учебника.
2. Ковальская, А.С., Сумина, Г.А. Создание мультимедийных
учебно-методических материалов с помощью технологии FLASH.
МАТЕМАТИКИ ПЕНЗЕНСКОГО КРАЯ
И.А. Суздалева
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
Математика – великая наука. Могущество и красота математической
мысли – в предельной четкости ее логики, изяществе конструкций, искусном построении абстракций. За тысячелетия своего существования математика прошла большой и сложный путь, на протяжении которого неоднократно изменялись ее характер, содержание и стиль изложения. Многие
ученые внесли свой вклад в развитие математической мысли. Среди этих
имен есть и наши земляки – математики Пензенского края.
Одним из наиболее известных является талантливый математик, профессор Московского государственного университета имени Ломоносова,
член-корреспондент Академии наук СССР Иван Иванович Привалов.
Семья Приваловых жила в городе Нижнем Ломове. Фамилия Приваловых была достаточно известна в Пензенской губернии. Им принадлежал
с 1884 года небольшой колокольный завод. Именно в этой семье и родился
12 февраля 1891 года Иван Иванович Привалов.
В 1900 году он начал учиться в Нижнеломовской частной прогимназии Добротиной. Осенью 1904 года родители для продолжения образования отвезли сына в город Нижний Новгород, где он успешно сдал экзамены в гимназию. Учась в гимназии, И.И.Привалов начал увлекаться математикой. Это увлечение и определило его дальнейшую судьбу. В 1908 году, успешно окончив гимназию, он поступил на физико-математический
факультет Московского университета. И.И. Привалов был способным,
талантливым студентом и поэтому по окончании университета в 1913 году
был оставлен при университете. В 1916 году его назначили приватдоцентом Московского университета.
250
В 1918 году И.И.Привалова перевели профессором в Саратовский
государственный университет, где он проработал до 1922 года и снова
вернулся в Московский университет профессором математического факультета. Иван Иванович одновременно работал и в Военно-Воздушной
Академии им. Жуковского, где ему было присвоено звание генералмайора.
В 1928 году И.И.Привалов принял участие в конференции по вопросам математики в городе Болонья. В 1939 году он был избран членкорреспондентом Академии наук.
Научную работу И.И.Привалов начал еще в студенческие годы. Его
блестящий талант проявлялся в различных областях математического анализа, но большая часть его работ связана с теорией функций комплексного
переменного. Основные результаты, полученные в этой области,
И.И.Привалов представил в 1941 году в монографии «Граничные свойства
однозначных аналитических функций». И.И.Привалов был автором работ
и по другим вопросам математики – теории тригонометрических рядов,
теории субгармонических функций. Ему принадлежат более шестидесяти
трудов, которые были опубликованы в различных научных математических журналах, а также отдельными изданиями.
И.И.Привалов был не только выдающимся ученым, но и первоклассным педагогом. Ему принадлежит ряд учебников для высшей школы:
«Введение в теорию функций комплексного переменного», «Ряды Фурье»,
«Интегральные уравнения», «Аналитическая геометрия», которые выдержали множество изданий. По этим учебникам учились и учатся студенты
многих вузов.
Умер Иван Иванович Привалов 13 июля 1941 года в г. Москве и похоронен на Ново-Девичьем кладбище. И.И.Привалов внес выдающийся
вклад в отечественную науку. Земляки чтят его память. Его именем названа одна из улиц в городе Нижнем Ломове.
Еще один талантливый математик нашего края – доктор физикоматематических наук, профессор Иван Петрович Егоров.
И.П.Егоров родился в 1915 году в селе Большая Садовка Пензенской
области в семье рядового сельского учителя. Еще в школе математика стала для И.П. Егорова любимым занятием. После школы была учеба в Кузнецком педагогическом техникуме, где И.П.Егоров поражал преподавателей своими способностями. Затем он поступил в Казанский университет.
Здесь на способного студента обратили внимание профессора
П.А.Широков и Н.Г.Чеботарев. Вскоре И.П.Егорову предложили учиться в
аспирантуре. Предметом его изучения были движения в римановых пространствах и пространствах афинной связности.
251
Некоторое время И.П.Егоров работал учителем в сельской школе.
Наукой занимался вечерами. В 1945 году он защитил кандидатскую, а в
1955 году – докторскую диссертацию, в которой были получены научные
результаты в области преобразования обобщенных геометрических пространств, ставшие классическими. Главные результаты И.П.Егорова изложены в монографии «Движения в пространствах афинной связности» и во
многих статьях. Известны также такие его работы, как «Введение в неевклидовы геометрии», «Лекции по аксиоматике Вейля и неевклидовым
геометриям», «Математические структуры», «Движения в обобщенных
пространствах», «Основания геометрии», учебное пособие «Геометрия».
Работы И.П.Егорова получили всеобщее признание не только в нашей
стране, но и за рубежом.
С 1943 года по 1954 год И.П.Егоров работал в Пензенском педагогическом институте, возглавляя кафедру высшей математики. Многие годы
И.П.Егоров руководил математическими семинарами. Многие его ученики
также стали известными математиками. В 1955–1956 гг. И.П.Егоров работал в ПСХИ, 1956 – 58 гг. в Горьковском педагогическом институте и университете, затем опять в Пензенском государственном педагогическом
институте (ПГПИ), в 1977 – 79 гг. в Мордовском университете, с 1979 по
1988 гг. снова в ПГПИ. Его работы (более 70) по теории движений в
обобщенных дифференциально-геометрических пространствах, по выделению пространств максимальной подвижности получили широкую известность и признание в СССР и за рубежом, вызвав появление новых исследований в Японии, Румынии, СШA и других странах. Умер И.П.Егоров
2 октября 1990 г. в г. Пензе.
Очень ярко проявились математические способности у пензенца Евгения Михайловича Никишина. Он родился 23 июля 1945 году в городе
Пензе. Окончил среднюю школу №2 города Пензы. После окончания школы Е.М. Никишин успешно поступил в Московский университет. Еще будучи студентом Е.М. Никишин опубликовал пять серьезных работ о сходимости функциональных рядов. Окончив аспирантуру, он защитил сразу
докторскую диссертацию, минуя кандидатскую.
С 1977 года и до конца жизни был профессором кафедры теории
функций и функционального анализа МГУ. Е.М.Никишину принадлежат
свыше 50 работ по различным направлениям математического анализа и
его приложений, теоретической механики. К сожалению, его жизнь рано
оборвалась. Он умер 17 декабря 1986 года в г. Москве.
Список математиков Пензенского края можно дополнить математиками, работавшими в Пензе, такими, как В.И.Левин, И.И. Этерманн,
Н.С. Синюков, Б.А. Трахтенброт, И.И. Рябцев и многие другие. Эти люди
252
посвятили всю свою жизнь служению великой науке и внесли весомый
вклад в развитие математической мысли.
Библиографический список
1. Кондратьев, А.Т. Математики – наши земляки // Из истории области: очерки краеведов. Вып.3. – Пенза, 1992.
2. Мысяков, А. Пространство Егорова // Наша Пенза. – 11.06.1996.
3. Кондратьев, А.Т. Последователи Лобачевского// Пензенская
правда. – 27.11.1977.
4. Рожков, М. Математики- пензенцы // Молодой ленинец. –
18.12.1963.
ОПТИМИЗАЦИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ В ПРОЦЕССЕ ИЗУЧЕНИЯ
ИНОСТРАННОГО ЯЗЫКА СРЕДСТВАМИ
ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В УСЛОВИЯХ
ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Г.В. Барышникова
Российский государственный социальный университет
(филиал в г. Пензе), Россия
Одним из создателей дидактики, наряду с Я.А. Коменским, является
немецкий педагог-демократ Адольф Дистервег, который определил дидактику как «науку об общих законах и правилах обучения» [1].
С тех пор дидактика является основой всех педагогических теорий и инноваций. Именно классические принципы дидактики (природосообразности
обучения; последовательности; проблемности обучения; принцип наглядности; принцип постепенности обучения; принцип развития; индивидуальный подход) лежат в основе современных инновационных образовательных систем, в том числе и инфокоммуникационного образования.
Конечно, основные принципы дидактики, обозначенные Дистервегом,
не могут быть использованы в настоящее время в чистом виде: необходимо адаптировать их для данного времени вообще и для современного образования, в частности. Ведь научная дидактика строится на основе исследования практики обучения и ее преобразования. Очевидно, что успешная
реализация этих дидактических принципов непосредственно зависит от
избираемой формы организации обучения.
За прошедшие с XIX в. столетия педагогическая наука значительно
продвинулась в разработке дидактических принципов воспитания и обучения, а современная ситуация мирового образовательного пространства
253
требует их усовершенствования в соответствии с целями и задачами социума и проблемами, которые ставятся перед образованием [2].
Так, одной из эффективных образовательных систем в сфере педагогических инноваций является дистанционное образование. В связи с этим
представляются актуальными разработка и последующее использование
наиболее оптимальных и универсальных методов и приемов, необходимых
для успешного функционирования этой системы. Методы реализации системы дистанционного образования определяются спецификой его содержания. «Дистанционное образование – это синтетическая, интегральная,
гуманистическая форма обучения, базирующаяся на использовании широкого спектра традиционных и новых информационных технологий и их
технических средств, которые используются для доставки учебного материала, его самостоятельного изучения, организации диалогового обмена
между преподавателем и обучающимися, когда процесс обучения некритичен к их расположению в пространстве и во времени, а также к конкретному образовательному учреждению» [3]. Дистанционное обучение основывается на личностно ориентированной педагогике, что обеспечивает
построение индивидуальной образовательной траектории обучения для
каждого студента, что особенно значимо в условиях заочной подготовки
специалистов.
Исследованию проблемы дистанционного обучения посвящено значительное количество научных работ, анализ которых позволил выявить
его положительные факторы и проблемные аспекты, связанные, в первую
очередь, с вопросами организации обучения и раскрытия роли самообразовательной деятельности студентов как основы профессиональной подготовки специалистов в условиях дистанционного образования.
Теоретическое осмысление практики дистанционного образования
показывает, что для него присущи пять общедидактических методов обучения: информационно-рецептивный, репродуктивный, проблемный, эвристический и исследовательский, которые охватывают всю совокупность
педагогических актов взаимодействия преподавателей и обучающихся как
при очном контакте, так и при интерактивном взаимодействии при использовании средств информационных технологий. В настоящее время в
дистанционном образовании, в частности при обучении иностранному
языку, широко используются традиционные регламентированные формы
обучения (лекции, семинары, консультации, экзамены, самостоятельная
работа и т. д.), специфика которых проявляется в частоте их применения в
учебном процессе и преимущественном использовании технических
средств и новых информационных технологий (компьютерные обучающие
254
программы, видео- и аудиолекции, деловые игры, тестирования, аудиотренинги, логические схемы базы знаний и т. д.).
Подробнее остановимся на использовании гипертекстовой технологии (Г.В. Кедрова, О.И. Руденко-Моргун, Е.В. Баранова, Е.В. Александрова [4] и др.), в частности на разработке гипертекста по иностранному языку, целью которого является оптимизация самостоятельной работы студентов-заочников в процессе изучения иностранного языка и их подготовка к дальнейшей самообразовательной деятельности.
Учитывая то, что гипертекст предназначен для студентов заочной
формы обучения, схема работы с ним выглядит следующим образом:
1) освоение материала (фонетического, лексического, грамматического);
2) самостоятельная работа студентов по пройденному материалу (выполнение тренировочных упражнений);
3) выполнение контрольной работы по данному уроку;
4) самостоятельный контроль проделанного;
5) овместный контроль (преподаватель + студенты), выполнение
упражнений для коррекции (во время сессии).
Урок состоит из нескольких разделов: фонетика, практика речи,
грамматика, время для отдыха. Весь материал и упражнения распределены
по определенным блокам, которые следуют непосредственно за изучаемым материалом, и студенты имеют возможность рассмотрения различных аспектов языка на каждом уроке.
Работа над языковым материалом гипертекста начинается с раздела
Фонетика, где студенты имеют возможность познакомиться с различными
фонетическими особенностями представленного в уроке лексического
материала, что облегчает им дальнейшую самостоятельную работу по
усвоению и закреплению лексики. Студентам также предоставляется возможность самостоятельно поработать над лексическим материалом с целью формирования навыков пользования словарем (Topical Vocabulary).
Новый лексический материал, встречаемый в тексте урока, с целью облегчения работы студентов дан с переводом непосредственно сразу после
текста (Vocabulary Notes). Неоднократное использование введенных и закрепленных слов в других разделах урока обеспечивает повторяемость
лексики, необходимую для владения активным и пассивным словарем.
Раздел Практика речи предусматривает задания на развитие умений
монологической и диалогической речи по определенной теме. Разговорные темы, представленные в гипертексте, отобраны с учетом требований
программы по иностранному языку для неязыковых заочных вузов, кото255
рая определяет объем, структуру и содержание изучения иностранного
языка в условиях заочного образования.
В конце гипертекста в разделе Грамматика в виде схем и таблиц собран необходимый грамматический материал, что очень важно для студентов заочной формы обучения, учитывая то, что им приходится самостоятельно изучать или повторять то или иное грамматическое явление.
Во время занятий предусмотрено время для релаксации студентов.
Для данной цели специально предназначены упражнения и тексты в разделе Время для отдыха.
Данный гипертекст представляет собой своего рода «самоучитель»
иностранного языка, одновременно являясь и «рабочей книгой», и «рабочей тетрадью». Такое совмещение функций очень удобно для студентовзаочников в процессе работы над ним: нет необходимости тратить время
на обращение к дополнительной учебной информации и на поиск грамматических и лексических тем, и всегда можно опереться на готовый учебный материал. Работая самостоятельно, студенты всегда могут проверить
себя, обратившись к теоретической части урока, проследить сущность того
или иного языкового явления и, как следствие, более глубоко усвоить
учебный материал.
Библиографический список
1. Дистервег, А. Избр. пед. соч. / А. Дистервег. – М. : Просвещение,
1956. – 373 с.
2. Волотиевич, М.Н. От традиционной к информационной дидактике
// Вестник Моск. ун-та. – Серия «Пед. образование». – 2003. – №1. – С. 2059.
3. Андреев А.А. Дидактические основы дистанционного обучения в
высших учебных заведениях : дис. …д-ра пед. наук. – М., 1999. – 289 с.
4. Александрова, Е.В. Повышение качества подготовки студентов заочной формы обучения на основе инфокоммуникационных технологий в
техническом вузе : дис. …канд. пед. наук. – Самара, 2005. – 180 с.
РОЛЬ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В ОБРАЗОВАНИИ
С.М. Файрушина
Набережночелнинский государственный педагогический институт,
г. Набережные Челны, Россия
В настоящее время развивается электронная педагогика как педагогическая система открытого образования, система педагогических методов,
методик, форм обучения и воспитания в высокотехнологичных информа256
ционно-образовательных средах. Новое время ставит перед педагогами
новые задачи по воспитанию конкурентоспособной личности, обладающей
информационной культурой. Под понятием «новые информационные технологии» мы понимаем использование компьютера, использование Интернет – ресурсов, создание мультимедийной презентации и использование их в учебном процессе. Использование новых информационных
технологий очень сложно, но дает очень много положительного. В
настоящее время рано говорить о полном компьютерном обучении,
правильнее будет – использование машин как поддержки, так как общение с природой, экскурсии, изучение натуральных объектов, живых
организмов естественной среды – все это машина не может заменить.
Информатизация образования нацелена на повышение эффективности
учебного процесса.
В понимании сущности инновационных процессов в образовании
лежат две важнейшие проблемы педагогики - проблема изучения, обобщения и распространения передового педагогического опыта и проблема
внедрения достижений психолого-педагогической науки в практику. Учитель может выступать в качестве автора, разработчика, исследователя,
пользователя, пропагандиста новых педагогических технологий, теорий,
концепций. Необходимость в инновационной направленности педагогической деятельности в современных условиях развития общества, культуры
и образования определяется рядом обстоятельств.
Во-первых, происходящие социально-экономические преобразования
обусловили необходимость коренного обновления системы образования,
методологии и технологии организации учебно-воспитательного процесса
в учебных заведениях различного типа. Инновационная направленность
деятельности учителей и воспитателей, включающая в себя создание,
освоение и использование педагогических новшеств, выступает средством
обновления образовательной политики.
Во-вторых, усиление гуманизации содержания образования, непрерывное изменение объема, состава учебных дисциплин, введение новых
учебных предметов требуют постоянного поиска новых организационных
форм, технологий обучения. В данной ситуации существенно возрастает
роль и авторитет педагогического знания в учительской среде.
В-третьих, изменения характера отношения учителей к самому факту
освоения и применения педагогических новшеств. В условиях жесткой
регламентации содержания учебно-воспитательного процесса учитель был
ограничен не только в самостоятельном выборе новых программ, учебников, но и в использовании новых приемов и способов педагогической деятельности. Если раньше инновационная деятельность сводилась в основ257
ном к использованию рекомендованных сверху новшеств, то сейчас она
приобретает все более избирательный, исследовательский характер. Именно поэтому важным направлением в работе руководителей школ, органов
управления образованием ставится анализ и оценка вводимых учителями
педагогических инноваций, создание условий для успешной разработки и
применения.
В-четвертых, вхождение общеобразовательных учебных заведений в
рыночные отношения, создание новых типов учебных заведений, в том
числе и негосударственных, создают реальную ситуацию их конкурентоспособности.
Практический опыт инновационной и реформаторской деятельности
в сфере российского образования позволяет выделить ряд факторов и
условий, о практическом выполнении которых необходимо всякий раз
помнить и инноваторам, и реформаторам любого ранга (от рядового учащегося до министра):
инновационные идеи должны быть убедительными, четкими, ясными,
адекватными реальным практическим потребностям совершенствования
образовательно-воспитательных систем в России, иметь точный адресат;
инновационные идеи должны быть развиты, трансформированы в
четкие и ясные цели, принципы, содержания доведены до уровня программ, учебных пособий, конкретных технологий обучения;
инновационная деятельность должна начинаться с локальных, комплексных (медико-социально-психолого-педагогических экспериментов).
Расширение зоны экспериментальной и инновационной деятельности
должно идти параллельно с обучением и переподготовкой педагогических
кадров;
необходимо правовое и экономическое обеспечение инновационной
деятельности (четкое определение, кто и что должен делать - финансовая
поддержка инновационной деятельности на всех этапах и уровнях).
Информационные технологии – это система методов и способов сбора, передачи, накопления, обработки, хранения и использования информации на основе применения компьютерных и других технологических
средств. Исходя из этого, можно выделить наиболее существенные признаки и характеристики информационных технологий для формирования
экологических знаний в преподавании естественнонаучных дисциплин:
1) технология разрабатывается под конкретный педагогический замысел, в основу которого положена определенная методическая, дидактическая, психологическая, философская позиция её автора;
258
2) информационные технологии планируются с учетом того, что они
могут быть воспроизведены любым педагогом и обеспечивают достижение намеченных результатов всеми учащимися;
3) технология обучения непременно включает в себя различные диагностические (дидактические, психологические и др.) процедуры, содержащие критерии, показатели, инструментарий измерения результатов деятельности субъектов педагогического процесса.
В повышении эффективности преподавания естественнонаучных
дисциплин большое значение имеют интегрированные технологии экологического характера. Предметы естественнонаучных дисциплин тесно связаны с информатикой. Информатика дает учащимся систему знаний и
умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности
человека, а также важных для изучения смежных дисциплин (математики,
физики, химии, биологии и др.)
Построение программ, имеющих упрощенный вычислительный характер, следует сопровождать примерами: определение роста или снижения выхлопных газов за период времени; определение (приближенное)
количества листьев на дереве при известной нормативной общей площади
листовой поверхности дерева или наоборот; определение атмосферных
выбросов при работе ТЭЦ по известному расходу топлива, определение
размеров популяций животных по практическим отловам.
Как показывают наши исследования, особое внимание развитию интегрированных связей уделяется в учебных программах естественнонаучных дисциплин, в которые, начиная с 80-х годов была включена специальная методическая рубрика почти по каждой учебной теме. Это ориентировало учителей на систематическое планомерное осуществление интегрированных связей по каждому курсу. Например, изучение физических аспектов природных явлений предполагает интеграцию, раскрывающую
закономерные зависимости: географические условия – физические явления, происходящие в биосфере, их влияние на изменение химических процессов, биологические последствия этих изменений; физический параметр
– его влияние на условия географической среды, влияние измененных
условий среды на другие физические и химические параметры – биологические и экологические последствия.
Библиографический список
1. Хабибуллина, Л.К. Современное образование: проблемы и перспективы. – Казань : Изд-во «Школа», 2005.
2. Дыганов, В.А. Использование компьютерных технологий при решении экологических задач повышенной трудности. – Казань : КГПУ,
1997.
259
3. Тягунова, Т.Н. Философия и концепция компьютерного тестирования. – М., МГУП, 2003.
ИССЛЕДОВАНИЕ СТАБИЛЬНОСТИ ПАРАМЕТРОВ
ПЛЕНОЧНЫХ РЕЗИСТОРОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
И.А. Аверин, Р.М. Печерская
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
В настоящее время производители и потребители приборов и элементов микро-, наноэлектроники предъявляют все более жесткие требования к временной стабилизации их выходных параметров. Поэтому
целью данного исследования является управление параметрами функциональных элементов микроэлектроники и их стабилизация во времени за счет выбора условий конденсации. В качестве объектов исследования выступают пленочные резисторы на основе хромоникелевых
твердых растворов различного состава.
Как показывают экспериментальные результаты, сопротивление R
таких пленочных резисторов растет в процессе эксплуатации t, причем
эту зависимость можно разделить на две области. Резкому росту сопротивления соответствует область I, а слабому возрастанию или стабилизации сопротивления во времени отвечает область II. Для характери-
стики первой области выберем время, а второй – величину ∆R , ответственную за интервал изменения сопротивления в данной области.
Представим уравнение, описывающее изменение сопротивления
пленочных резисторов в процессе эксплуатации. в виде двух слагаемых: первое слагаемое соответствует сопротивлению пленочного рези0
стора сразу после напыления R , а второе слагаемое – изменению
сопротивления за время эксплуатации. В аналитическом виде данное
уравнение записывается следующим образом:
R = R0 +
∆R
.
τ
exp  
t
(1)
260
Сопротивление R 0 задается технологическими режимами синтеза
пленок и определяется уравнением вида
пл
[ρ ⋅ x (Т , Т ) ⋅ γ пл
Ni (Т исп , Т п ) + ρ Cr ⋅ xCr (Tисп , Tп ) ⋅ γ Cr (Tисп , Tп )] ⋅ b
(2)
R 0 (Т , Т ) = Ni Ni исп п
,
исп
где
п
a ⋅ Vк (Т исп , Т п ) ⋅ tнап
ρ Ni , ρ Cr – соответственно удельное сопротивление никеля и хрома;
пл
γ пл
Ni , γ Cr – коэффициенты активности пленок по никелю и хрому со-
ответственно; a, b – соответственно ширина и длина пленочного резистора. Толщина пленок определяется условиями синтеза и задается в
виде произведения
Vк (Т исп , Т п ) ⋅ t нап , где t нап – время напыления.
Установлено, что зависимости τ , ∆R являются функциями состава
пленочных резисторов, задаваемого температурами испарения исходной загрузки и подложки. Так, например, зависимость ∆R от состава
пленок по хрому хорошо аппроксимируется уравнением вида
7
∆R(Тисп ,Тп ) = A∆R ⋅ xСr
(Tисп , Тп ),
.
6
(3)
7
где A ∆R = 1,1 10 (Ом/м.д. ) – коэффициент пропорциональности. По
мере увеличения содержания хрома в пленочных резисторах от 0,1 до
0,26 м.д. наблюдается рост величины ∆R почти на три порядка. Это
означает, что стабильность параметров таких резисторов во времени
определяется составом пленок, следовательно, выходные параметры
резисторов можно задавать на стадии синтеза пленки за счет выбора
условий конденсации.
Зависимость τ пленочных резисторов от состава и технологических режимов синтеза выражается зависимостью вида
−1,3
(4)
τ(Т исп , Т п ) = Aτ ⋅ xСr
(Tисп , Т п ) ,
где A τ = 38880 (с. м.д.1,3) – коэффициент пропорциональности.
Подставляя выражения (2) – (4) в (1), получим уравнение, описывающее изменение сопротивления пленочных резисторов на основе
хромоникелевых сплавов различных состава и толщины, синтезированных при вышеуказанных технологических режимах, в процессе эксплуатации:
261
R (Т исп , Т п , t нап , t ) =
пл
[ρ Ni ⋅ x Ni (Т исп , Т п ) ⋅ γ пл
Ni (Т исп , Т п ) + ρ Cr ⋅ x Cr (Tисп , Tп ) ⋅ γ Cr (T исп , T п ) ] ⋅ b
+
a ⋅ V к (Т исп , Т п ) ⋅ t нап
7
A∆R ⋅ x Сr
(Tисп , Т п )
.
−1, 3
 Aτ ⋅ x Сr
(Tисп , Т п ) 

exp
t


Таким образом, сопротивление пленочного резистора является
функцией четырех переменных, а именно: технологических режимов
синтеза и времени эксплуатации.
Количественно временная стабильность сопротивления пленочного резистора оценивается по величине коэффициента старения сопротивления K ст :
+
K cт =
δ R ⋅100%
R ⋅ ∆t
,
где δR – интервал изменения сопротивления пленочного резистора за
период времени ∆t .
При длительной эксплуатации пленочных резисторов K ст изменяется в 10 – 15 раз и приобретает постоянные значения, при этом зависимости для пленочных резисторов, сформированных при различных
технологических режимах, сближаются. Оптимальными режимами получения пленочных резисторов с точки зрения минимальных значений
коэффициента старения сопротивления от 0,003 до 0,004
% являсутки
ются высокие температуры испарения исходной загрузки.
Следовательно, представленная физико-математическая модель
позволяет не только прогнозировать выходные параметры пленочных
резисторов, но и установить условия конденсации, обеспечивающие
стабильные во времени эксплуатационные характеристики.
УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ КОМПЛЕКСЫ НА ОСНОВЕ
ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
И.А. Аверин, Р.М. Печерская
Пензенский государственный университет,
г. Пенза, Россия
При разработек учебно-исследовательских комплексов используются
новые информационные ресурсы и технологии для автоматизации экспе262
римента и решения практических задач, обеспечивающие повышение качества и эффективности процесса обучения. Структура разработанного
комплекса реализует основные дидактические принципы. По функциональным возможностям учебно-исследовательский комплекс отвечает
требованиям ГОС при многоуровневой подготовки специалистов при изучении общепрофессиональных и специальных дисциплин, обеспечивает
проведение различных видов занятий, включая лабораторные занятия,
курсовое и дипломное проектирование, учебно-исследовательскую работу
в рамках укрупненной группы специальностей и направлений подготовки
210000 – Электронная техника, радиотехника и связь, а также в научных
исследованиях для комплексного изучения свойств материалов электронной техники.
Учебно-исследовательские комплексы состоят из нескольких автоматизированных лабораторных стендов, подключенных к автоматизированной системе, управляемой компьютером-сервером. Выход в Internet осуществляется через коммуникационный сервер. Количество стендов в комплексе определяет функциональные возможности комплекса и задается
заказчиком. Например, учебно-исследовательский комплекс «Физическая
электроника» состоит из шести автоматизированных лабораторных стендов, предназначенных для исследования температурных, полевых и частотных зависимостей электрофизических и оптических свойств м.
Комплексы, кроме автоматизированных лабораторных стендов,
включают:
программное обеспечение;
методическое обеспечение.
Методическое обеспечение учебно-исследовательских комплексов
содержит дидактические единицы, предусмотренные ГОС, и необходимую
совокупность средств, позволяющие использовать его в процессах обучения и исследования:
тестовый материал, снабженный гиперссылками, статические и динамические диаграммы, компьютерная анимация, нормативно-справочные и
информационные данные для изучения электрофизических и оптических
свойств материалов электронной техники и приборов на их основе;
описание средств обработки и анализа экспериментальных данных.
Программное обеспечение учебно-исследовательских комплексов
включает следующее:
совокупность программ драйверов управления стандартными и специально разработанными средствами обмена информацией между узлами
автоматизированного лабораторного стенда, поддерживающие протоколы
сетевого обмена TCP/IP;
263
программное обеспечение сервера, предназначенного для обмена информацией между автоматизированными лабораторными стендами и рабочими местами пользователей;
программное обеспечение рабочих мест пользователей.
Использование в учебном процессе одного комплекта учебноисследовательского комплекса позволяет осуществлять фронтальное выполнение лабораторных работ, причем Пользователь может непосредственно управлять процессом исследования или находиться на удалении
от комплекса.
Для учебно-исследовательских комплексов разработаны схемы выполнения лабораторных работ в автоматизированном режиме при использовании удаленного доступа. Они включают: регистрацию Пользователя;
выбор объекта автоматизированного лабораторного стенда для выполнения эксперимента; контроля состояния стенда, тестовой проверки знаний
Пользователя; автоматизированное выполнение измерений и статистическую обработку результатов; правила к оформлению и содержанию отчета
о проделанной работе, представленные в разделах «Help» и «Порядок выполнения работы» для каждой лабораторной работы; итоговый контроль,
включающий контроль знаний Пользователя, правильности расчетов, построения графиков и оформления отчета.
Научно-технический уровень учебно-исследовательских комплексов
соответствует международным требованиям, что подтверждается результатами их экспонирования на межрегиональных и всероссийских выставках.
Таким образом, учебно-исследовательские комплексы обеспечивают
высокую эффективность процесса обучения, направленную на повышение
качества предоставляемых образовательных услуг при многоуровневой
подготовке специалистов.
264
СОДЕРЖАНИЕ
Cекция 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ............................................ 3
А.В. Филиппов
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ПРОДОЛЖЕНИЯ
СТАЦИОНАРНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ .......................... 3
V.A. Chiricalov
MATRIX IMPULSIVE DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH IMPULSES
AT VARIABLE TIMES ................................................................................ 7
Н.В. Мойко
ПРИМЕНЕНИЕ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА ............................................................... 10
З.Б. Маматова, А.М. Джураев
СИНГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
С КРАТНЫМ НЕНУЛЕВОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ
ЧАСТЬЮ СПЕКТРОМ .............................................................................. 14
Ф.В. Лубышев, А.Р. Манапова
РАЗНОСТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ
ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ .......................................... 17
В.С. Сизиков
О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ НЕСТАНДАРТНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ............................................................................................. 20
В.Г. Шарапов
ЕСТЕСТВЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛУГРУПП
ЭНДОМОРФИЗМОВ ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА ................................ 24
Н.Ю. Кудряшова
ОБ ОДНОМ ПРИБЛИЖЕННОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ
СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫХ СЛУЧАЯХ С КОМПЛЕКСНО
СОПРЯЖЕННЫМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ ................................................. 28
265
Е.В. Десяев
О СТАБИЛИЗАЦИИ ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙ
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ......................... 31
О.В. Коробова
СИНГУЛЯРНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С МАТРИЦЕЙ И ФРЕДГОЛЬМОВЫМ ОПЕРАТОРОМ
ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ............. 34
А.П. Седова
УРАВНЕНИЕ ТУРБУЛЕНТНОЙ ДИФФУЗИИ ПРИМЕСЕЙ .............. 37
М.М. Карчевский, А.Е. Федотов
ПРИМЕНЕНИЕ СМЕШАННЫХ СХЕМ МКЭ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ ............................................. 41
Е.Г. Романова
КОЛЛОКАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ
ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ................ 44
А.Н. Тында
РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СЛАБОСИНГУЛЯРНЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА
С НЕДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ ЯДРАМИ .......................................... 47
Ю.Ф. Захарова
ОПТИМАЛЬНЫЙ ПО СЛОЖНОСТИ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ............................... 51
В.И. Крючко
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА С ОТКРЫТОЙ ГРАНИЦЕЙ.... 54
И.В. Бойков, Ю.Ф. Захарова
ОБ ОДНОМ ИТЕРАЦИОННО-ПРОЕКЦИОННОМ МЕТОДЕ
РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ. ............................................................................................ 57
А.В. Юденков, А.М. Володченков
О РАЗРЕШИМОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ,
ПОСТРОЕННОЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ВЕКТОРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ СО СДВИГОМ............................... 61
266
В.И. Горбаченко, С.А. Москвитин
РЕШЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РАДИАЛЬНО-БАЗИСНОЙ НЕЙРОННОЙ
СЕТИ ........................................................................................................... 64
Е.В. Артюхина, В.И. Горбаченко
РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ
РАЗНОСТЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РАДИАЛЬНО-БАЗИСНЫХ
НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ............................................................................... 67
А.В. Гуляев, Г.С. Зиновьева
НЕОДНОРОДНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА
В НЕКОТОРОМ ПРОСТРАНСТВЕ ОБОБЩЕННЫХ
АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ............................................................. 70
Е.В. Лютов
О СУЩЕСТВОВАНИИ АТТРАКТОРОВ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ................................................ 74
Г.С. Колгушкина
ОБРАТНАЯ КОЭФФИЦИЕНТНАЯ ЗАДАЧА
ДЛЯ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ В КРУГЕ ........... 77
Cекция 2. ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ
И КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ............................................................... 80
В.М. Федосеев, Э.В. Карпухин
СПОСОБ АППРОКСИМАЦИИ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ................................................. 80
Д.Г. Саникидзе, З.М. Нацвлишвили
О РАВНОМЕРНОЙ ОЦЕНКЕ ОСТАТКА АППРОКСИМАЦИИ
НЕКОТОРЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ................................... 83
И.В. Бойков
ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ…………………………………….....86
Е.В. Исаев, Т.И. Шалдыбина
ОБ ОДНОМ АЛГОРИТМЕ АППРОКСИМАЦИИ
МНОГОЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИЙ ПЕРЕМЕННЫХ .............................................................. 90
267
Секция 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИКИ,
ЭКОЛОГИИ, ДЕМОГРАФИИ, СОЦИАЛЬНЫХ НАУК ..................... 94
И.В. Бойков, А.Ю. Логинов
ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НАСЕЛЕНИЯ ............................ 94
В.Ф. Майер, В.В. Сенкус
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗЕМЕЛЬНЫХ РЕСУРСОВ 98
В.Ф. Майер
ПРИНЦИП СОГЛАСОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ЗЕМЕЛЬНЫХ РЕСУРСОВ ............................... 102
И.А. Попов
ПРИМЕНЕНИЕ НЕЙРОСЕТЕЙ
ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО РЫНКА ................ 106
И.В. Кузнецова, Т.Ф. Мамедова
ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЫБРОСОВ
ЗАГРЯЗНЯЮЩИХ ВЕЩЕСТВ.............................................................. 109
Ю.В. Сергеева
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ «КАЧЕСТВА ЖИЗНИ»
НАСЕЛЕНИЯ НИЖЕГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ .................................. 112
Е.А. Кольчугина
ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ БИОЛОГИИ
ДЛЯ ОПИСАНИЯ СООБЩЕСТВ ЭВОЛЮЦИОНИРУЮЩИХ
ПРОГРАММ ............................................................................................. 114
М.А. Асаул
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРИИ КАТАСТРОФ
ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ КРИЗИСНЫХ ЯВЛЕНИЙ………………116
А.Н. Вихров
МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРАВЛЕНИЯ
БИЗНЕС-ПРОЦЕССАМИ ВУЗА............................................................ 119
В.В. Асаул
ОПТИМИЗАЦИЯ ИННОВАЦИОННОГО РАЗВИТИЯ
ОРГАНИЗАЦИИ ...................................................................................... 122
268
О.В. Кудрявцева
МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА
КАК ИНСТРУМЕНТ АНАЛИЗА ЭФФЕКТА
МЕРОПРИЯТИЙ ПО СНИЖЕНИЮ ЗАГРЯЗНЕНИЯ
АТМОСФЕРНОГО ВОЗДУХА АВТОТРАНСПОРТОМ ..................... 125
Н.П. Гуляева
ДЕМОГРАФИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ В АРХЕОЛОГИИ ........................ 128
С.Н. Линченко, Г.В. Грушко
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
В ЭКОТОКСИКОЛОГИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ ..................... 130
С.Г. Симагина
МОДЕЛИРОВАНИЕ СПРОСА ПРИ СЕЗОННОМ ХАРАКТЕРЕ
ПРОИЗВОДСТВА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КВОТИРОВАНИЯ ........ 134
Б.О. Хашир, О.З. Хуажев
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АНАЛИЗА ЭКОНОМИЧЕСКИХ
СИТУАЦИЙ И ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
НА ПРЕДПРИЯТИЯХ МАЛОГО БИЗНЕСА ....................................... 137
М.Ю. Карышев
РЕДУКЦИЯ СИСТЕМЫ СТАТИСТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
РАБОТЫ КОМПАНИЙ СВЯЗИ МЕТОДОМ
ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ...................................................................... 143
В.П. Беклемешев
АСПЕКТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ АДАПТАЦИОННОГО
МЕХАНИЗМА РЫНКА ТРУДА И ПОДХОДЫ
К ИНТЕГРАЛЬНОМУ ВЗАИМОДЕЙСТВИЮ..................................... 146
А.Ю. Логинов
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ ДЕМОГРАФИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ .... 148
М.А. Викулов
МЕТОД МОДЕЛИРОВАНИЯ ПОВЕДЕНИЯ НА РЫНКЕ
ЦЕННЫХ БУМАГ ПРИ ПОМОЩИ ТРЕНД-АНАЛИЗА..................... 151
А.А. Безродный
ОСОБЕННОСТИ ПОСТРОЕНИЯ СЕТЕЙ АЗС С УЧЕТОМ ДАННЫХ
О ПОТОКАХ ЗАЯВОК ФИЗИЧЕСКИХ ЛИЦ ...................................... 154
А.Ф. Зубков, Т.А. Шорникова
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ НАСЕЛЕНИЯ .. 160
269
В.Ф. Шишов, С.В. Колесникова, Е.А. Перетрухин
ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛЕЙ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ .................................................................. 162
А.А. Танюхин
БАЗОВАЯ МОНЕТАРНАЯ МОДЕЛЬ ВАЛЮТНОГО КУРСА .......... 164
А.А. Танюхин
ПРИЕМЛЕМОСТЬ МОДЕЛИРОВАНИЯ ВАЛЮТНОГО КУРСА
НА БАЗЕ МОНЕТАРНЫХ МОДЕЛЕЙ ................................................. 167
Секция 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
В ФИЗИКЕ И ТЕХНОЛОГИЯХ ........................................................... 170
В.И. Колобердин
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ИЗМЕЛЬЧЕНИЯ
И МЕХАНИЧЕСКОЙ АКТИВАЦИИ МИНЕРАЛЬНОГО СЫРЬЯ
В ПРОИЗВОДСТВЕ СТРОИТЕЛЬНОЙ ИЗВЕСТИ ............................. 170
П.Ю. Шляго
РАЗЛИЧИМОСТЬ ПО НАБЛЮДЕНИЮ ПРИ КОМПЬЮТЕРНОМ
МОДЕЛИРОВАНИИ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕССОВ ................................ 173
А.А. Черный
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ
ЛИТЕЙНОГО ПРОИЗВОДСТВА .......................................................... 175
В.А. Тамаров
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСЧЁТА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ПРИМЕСЕЙ ДЛЯ КМОП–ТРАНЗИСТОРОВ ...................................... 179
Р.Ш. Марданов, Р.А. Султанов, А.Г. Фатыхов
СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД
В ДИНАМИЧЕСКОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О РАЦИОНАЛЬНОМ
ИСПОЛЬЗОВАНИИ ГЛУБИННЫХ НАСОСОВ................................. 182
Е.А. Матвеева, А.Р. Диязитдинова, Е.А. Богданова
АНАЛИЗ МЕТОДОВ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ................................... 184
А.С. Рошаль
НЕЛИНЕЙНАЯ ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ ПАРАМЕТРОВ
В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ ...... 188
270
Л.Х. Нафадзокова, Г.В. Козлов
СИНЕРГЕТИКА РАСТВОРИМОСТИ ОКСИДОВ МЕТАЛЛОВ
В ПРОЦЕССЕ РЕАКЦИИ ПЕРЕЭТЕРИФИКАЦИИ ............................ 191
А.М. Бершадский, А.Б. Щербань, В.В. Эпп
ПОДХОД К ЗАДАЧЕ ИДЕНТИФИКАЦИИ ИНФОРМАЦИОННЫХ
СТРУКТУР ОБУЧЕНИЯ КАК К ЗАДАЧЕ IS-АНАЛИЗА ................... 194
А.А. Туманов
ДЕСКРИПТОРЫ АВТОНОМНЫХ БЛОКОВ
В ВИДЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДОВ
С ВИРТУАЛЬНЫМИ КАНАЛАМИ ФЛОКЕ ...................................... 196
А.А. Туманов
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УСТРОЙСТВ
СВЕРХВЫСОКИХ ЧАСТОТ С ПОМОЩЬЮ АВТОНОМНЫХ
БЛОКОВ С ВИРТУАЛЬНЫМИ КАНАЛАМИ ФЛОКЕ…………..…200
М.Н. Бардина
ПОСТРОЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ
ФОРМИРОВАНИЯ ЗОНЫ ПЕРВИЧНОГО ЗАГРЯЗНЕНИЯ .............. 204
И.Е. Тимофеев, С.Х. Загидуллин, Е.Р. Мошев, Е.А. Шестаков,
И.И. Тимофеев
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СУШКИ ЗЕРНИСТОГО
МАТЕРИАЛА В ПНЕВМАТИЧЕСКОЙ ТРУБЕ................................... 207
Ю.С. Семерич
УЧЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОСОБЕННОСТЕЙ
В МЕТОДЕ R-ФУНКЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ
РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
В ВОЛНОВОДЕ ....................................................................................... 212
И.Н. Статников, Г.И. Фирсов
РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО
ЭКСПЕРИМЕНТА МЕТОДОМ ПЛП-ПОИСКА .................................. 215
В.И. Грибов
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
И РЕСУРСОСБЕРЕГАЮЩАЯ ТЕХНОЛОГИЯ ПЛАВКИ
МАГНИЙСОДЕРЖАЩИХ ПРОДУКТОВ В СОЛЕВОЙ СРЕДЕ ....... 217
А.Е. Розен, И.С. Лось, А.В. Хорин, И.В. Денисов, Е.Г. Трошкина
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА СВАРКИ ВЗРЫВОМ
В ПРОГРАММЕ LS-DYNA ..................................................................... 220
271
А.В. Шашок
ИМИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ОЦЕНКИ
НАДЕЖНОСТИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ
МЕТАЛЛООБРАБОТКИ ПО ПОКАЗАТЕЛЯМ КАЧЕСТВА
ИЗГОТОВЛЯЕМОЙ ПРОДУКЦИИ. ..................................................... 223
И.В. Бойков, Т.В. Черушева
ОБ ОДНОМ ЧИСЛЕННОМ МЕТОДЕ ВОССТАНОВЛЕНИЯ
ИЗОБРАЖЕНИЙ В ТОМОГРАФИИ ..................................................... 226
Т.И. Игонина
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ ОБРАБОТКИ ПЛАСТИН
ИЗ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ МАТЕРИАЛОВ ................................. 233
В.А. Скрябин, Т.И. Игонина, А.С. Репин
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ И ШЕРОХОВАТОСТИ ПРОЦЕССА
ДОВОДКИ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ МАТЕРИАЛОВ ................... 236
В.А. Скрябин, Г.В. Тарабрин., Ю.В. Рыбаков
МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЖИМНЫХ ПАРАМЕТРОВ ПРОЦЕССА
ОБРАБОТКИ СЛОЖНОПРОФИЛЬНЫХ ДЕТАЛЕЙ УПЛОТНЕННЫМ
АБРАЗИВОМ ........................................................................................... 238
Секция 5. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
В ОБРАЗОВАНИИ.................................................................................. 240
А.В. Юденков, В.В. Юденков
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА БЕЗЫЗЛУЧАТЕЛЬНОГО
ПЕРЕНОСА ЭНЕРГИИ ПО ОБМЕННО-РЕЗОНАНСНОМУ
МЕХАНИЗМУ ......................................................................................... 240
Н.Н. Овсянникова
КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ОЦЕНКА АДАПТАЦИИ УЧАЩИХСЯ
К УЧЕБНОЙ НАГРУЗКЕ ........................................................................ 243
Г.В. Воробьев, С.А. Дочкин
О ИНФОРМАТИЗАЦИИ ПОДГОТОВКИ
СПЕЦИАЛИСТОВ В ПРОФЕССИОНАЛЬНОМ ОБРАЗОВАНИИ ... 245
И.А. Суздалева
ЭЛЕКТРОННЫЙ УЧЕБНИК ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ .......... 248
272
И.А. Суздалева
МАТЕМАТИКИ ПЕНЗЕНСКОГО КРАЯ .............................................. 250
Г.В. Барышникова
ОПТИМИЗАЦИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ В ПРОЦЕССЕ ИЗУЧЕНИЯ
ИНОСТРАННОГО ЯЗЫКА СРЕДСТВАМИ
ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
В УСЛОВИЯХ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ .................... 253
С.М. Файрушина
РОЛЬ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В ОБРАЗОВАНИИ .. 256
И.А. Аверин, Р.М. Печерская
ИССЛЕДОВАНИЕ СТАБИЛЬНОСТИ ПАРАМЕТРОВ
ПЛЕНОЧНЫХ РЕЗИСТОРОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ..................................... 260
И.А. Аверин, Р.М. Печерская
УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ КОМПЛЕКСЫ
НА ОСНОВЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ....................... 262
СОДЕРЖАНИЕ ........................................................................................ 265
273
АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
МОДЕЛИРОВАНИЯ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ
И СОЦИАЛЬНЫХ ПРОБЛЕМ
Сборник статей
Под редакцией И.В. Бойкова
Редактор Г.В. Семёнова
Ответственный за выпуск – ведущий специалист образовательных
программ ПДЗ А.И. Лунькова
Компьютерная верстка И.И. Мельзетдиновой
_________________________________________________________
Подписано в печать 8.09.2006
Формат 60×84 1/16
Бумага тип. № 1
Отпечатано на ризографе
Уч.-изд. л. 16,192
Тираж 100 экз.
Заказ 261
_________________________________________________________
АНОО «Приволжский Дом знаний»
440026, г. Пенза, ул. Лермонтова, 8
Множительный участок ПДЗ
440026, г. Пенза, ул. Лермонтова, 8
274
ДЛЯ ЗАМЕТОК
275
276
277
278