Матрицы, определители, с

Матрицы, определители, с-мы лин. ур-ний.
 a11

a
1.Матрица—прямоугольная табл. вида: A   21
...

a
 m1
 a11 ... ... a1n 


 0 a22 ... a2 n 
---нижняя треугольная М.
A
0
0 ... ... 


0
0 0 ann 

Св-ва:
(А+В)+С=A+(В+C)---ассоциативность.
А+0=А
А=(аij)
 -число  •А=(  • аij) 1*А=А
 (А+В)=  А+  В---дистрибутивность
...
...
....
...
... a1n 

... a2 n 
(mxn).
... ... 

... amn 
А+В=В+А
А-А=А+(-А)=0
  ( А)  ( )  А
(   ) А  А  А
2. А=АMxN
согласованные
В=ВNxR
С=АВ
С=СMxR
n
cij   ais bsj  ai1b1 j  ai 2b2 j  ...  ain bnj
S 1
Св-ва:
2.1. А•0=0•А=0
2.3. (АВ)С=А(ВС)
2.5. А(В+С)=АВ+АС
2.2. A•I=I•A=A
2.4. (А+В)С=АС+ВС 2.6.  (АВ)=(  А)В=А(  В)
А•В ≠ В•А --- в общих случаях
Док-во к 2.3.: Аmxn Bnxk Ckxl
D=AB ------ mxk; DC=mxl;
E=BC -------nxl; AE=mxl
k
k
n
k
n
n
k
n
k
( DC ) ij   d is c sj   (  air brs ) c sj   (  air brs c sj )   (  air brs c sj )   air (  brs c sj ) 
S 1
S 1 r 1
S 1 r 1
r 1 S 1
r 1
S 1
n
  air ( E ) rj  ( A( E )) ij
r 1
 a11

a
3. A   21
...

a
 m1
 a11

a
Т
A   12
...

a
 1n
a12
a 22
...
am2
a 21
a 22
...
a 2n
... a1n 

... a 2 n 
Если Ат=А, то А---симметричная. (аij=aji)

... ...

... a mn 
... a m1 

... a m 2 
Св-ва:3.1. (АТ)Т=А 3.2.(  А)Т=  АТ 3.4. (АВ)Т=ВТАТ 3.3. (А+В)Т=АТ+ВТ
... ... 

... a mn 
4. М  1,2,3,..., nПерестановкой из n эл-тов наз всякое положение эл-тов мн-ва М в определённом
порядке (или упорядоченный набор этих эл-тов).
Теорема1: Число всех перестановок из n эл-тов Pn=n!
Док-во: n способов для заполнения 1-го места
(n-1) для --//-- 2-го места
Для двух мест n(n-1) --- способов. И т. д.
5. Перестановка наз чётной, если её число инверсий чётное (и наоборот).
(инверсия – если  i   j , при i>j, то пара АЛи и АЛж образует ИНВЕРСИЮ)
Теорема2:Транспозиция меняет чётность перестановки.
Док-во: Транспозиция соседних эл-тов меняет чётность перестановки
Была (…,АЛи,АЛи+1,…)---чётная. Стала (…,АЛи+1,АЛи,…)---нечётная
Число инверсий при транспозиции соседних эл-тов меняется на 1, тем самым меняется чётность.
6. Определителем n-го порядка матрицы А называется число detА или |А| и равно алгебраической
сумме всяких эл-тов, взятых ровно по одному из каждой строчки и каждого столбца, снабжённых
знаком (-1)s+t, где s-число инверсий перестановки первых индексов данного произведения, а t- --//-вторых индексов --//--, т. е. det A   a
a
...a
 (1) s  t ,
i j i j
i j
11 2 2
n n
s  inv (i1 , i 2 ,..., i n ) , t  inv ( j1 , j 2 ,..., j n )
Св-во1: Определитель не меняется при транспонировании.
Док-во:
|Ат|=|А|
| AT |
(1) t a'
a'
...a'

(1) t  0 a'
a'
...a'
| A |


1j
2j
nj
j 1 j 2
j n
1
2
n ( j ,..., j )
1
2
n
( j ,..., j )
1
n
1
n
a’ --- транспонированное a
7. Св-во2: Если матрица А имеет нулевую строку, то её определитель равен 0.
Док-во: Согласно общему определению определителя в каждом произведении будет множитель нуль,
зн. и сумма равна 0.
Св-во3: Общий множитель какой-либо строки можно выносить за знак определителя, а зн. и столбца.
Док-во:
a11
a12 ... a1n
a11 a12 ... a1n
...
...
... ...
...
... ... ...
t
t
m a m1 a m 2 ... a mn   (1) a1 j1 ...(a mjn ...a njn )    (1) a1 j1 ...(a mjn )...a njn   a m1 a m 2 ... a mn
...
...
... ...
...
... ... ...
a n1
a n 2 ... a nn
a n1 a n 2 ... a nn
8. Св-во4: Если в опр-ле поменять местами две строчки, то изменится знак опр-ля.
Док-во:
...
... ... ...
a
... a
11
1n
m a
a
... a
( m)
(k )
k1
k2
kn
a
... a
mn ; | A' |
... a
...a
; S-нечётное.
| A | m1
...
... ... ...   (1) t a ... a
1j
kj
mj
nj
a
... a
1
m
k
n
k1
kn
k a
a
... a
m1
m2
mn
a
... a
n1
nn
...
... ... ...
Св-во5: Если в опр-ле есть две равные строки, то он равен 0.
Док-во: Пусть в опр-ле m-тая и k-тая строчки равны. Поменяем их местами и получим: |А|=-|А|  |А|=0
Св-во6: Если в опр-ле есть две пропорциональные строки, то опр-ль равен 0.
Док-во: Если вынести коэффициент пропорциональности  , то получим две равные строки, при этом
опр-ль станет равным 0.

9. Св-во7: Если в опр-ле строка представлена в виде суммы вида a m1  bm1 , a m2  bm2 ,..., a mn  bmn , то
опр-ль равен сумме двух опр-лей, у которых в m-той строке первые слагаемые у первого опр-ля и
вторые слагаемые у второго опр-ля. Все остальные эл-ты остаются неизменными.
a
*****************************************************
*************************
************************
*****************************************************
**************************
*************************
b ,a
 b ,..., a
b
 a , a ,..., a
 b , b ,..., b
m1 m1 m2 m2
mn mn
m1 m2
mn
m1 m2
mn
b
)...a
  (1) t a ...a
...a
  (1) t a ...b
...a
Док-во:  (1) t a ...(a
1j
mj
mj
nj
1j
mj
nj
1j
mj
nj
1
m
m
n
1
m
n
1
m
n
Св-во8: u1, u2,…, uk---некоторые строки матрицы
 1,  2,…,  k  R---числа
 1u1+  1u1+…+  1u1---линейная комбинация строк u1, u2,…, uk
Если в опр-ле явл. линейной комбинацией др. строк, то опр-ль=0
Док-во: (из св-ва 7)
Св-во9: Если к какой-либо строке матрицы добавить другую строку этой матрицы, умноженную на
число, то опр-ль не изменится.
Док-во: (из св-тв 7-8).
10. Св-во10: Опр-ль ∆-ной матрицы равен произведению диагональных эл-тов.
Св-во11: Опр-ль матрицы след. вида:
А
* * *
1
0 А
* *
2
| A |  | A | ... | A | , где А1,А2,…,АК---квадратные матрицы, Аi---блочные матрицы.
1
2
k
0
0 ... *
0
0
0
А
k
11. Теорема (о разложении опр-ля по эл-там строки)
Сумма произведений эл-тов строки матрицы А на их алгебраические дополнения равна
n
опр-лю данной матрицы. | А | a A  a A  ...  a A   a A
k1 k1
k2 k2
kn kn
ki ki
i 1
Док-во: В опр-ле матрицы А представим в виде суммы n слагаемых:
ak1+0+0+…+0, 0+ak2+0+…+0, …, 0+0+…+akn
* * * * * *
*
* * *
* * * *
*
0 0 ... 0  0 a
0 ... 0  ...  0 0 0 ... a
Тогда: | A | a
k1
k2
kn
* * * * * *
*
* * *
* * * *
*
a
1j
| 0...0...a ...0 | a 0 ... 0 1
kj
kj
a
nj
[]
0
0 ... 0  a 0 ... 0 1 0 ... 0
kj
0
Загоняем переставлением 1 на место [] и получим:
1 0 ... 0
(k  1)  ( j  1) 0
k j
a (1)
 a (1)
M a A
kj
kj
ij
kj kj
...
M
kj
0
12. Теорема: замещения.
Сумма произведений некоторых n-чисел на алгебраическое дополнение эл-тов k-той строки матрицы А,
равна опр-лю матрицы, которая получается из м-цы А, если в ней k-тую строку заменить строкой
(любой).
Теорема: аннулирования.
Сумма произведений эл-тов в какой-либо строке на алгебраические дополнения равна 0.
13. Теорема: об определителе произведения.
Опр-ль произведения двух матриц равен произведению опр-лей этих матриц. |АВ|=|А|*|В|.
A 0
Док-во:
| A |  | B |
I B
A
I
0
0

B I
AB
AB 0
 (1) n
 (1) n | AB | (1) n  (1) 2n | AB || AB |
B
B I
14. Обратной для данной матрицы наз. матрица А-1, которая обладает след. св-вом: А*А-1=А-1*А=I
Как бы теорема (о единственности): Если для матрицы А сущ. обратная, то она единственная.
Как бы док-во: А-11, А-12 --- возможные обратные матрицы.
A  1  A  1I  A  1 ( AA 1 )  ( A  1 A) A  1  IA  1  A  1
1
1
1
2
1
2
2
2
Как бы теорема(о вырожденной матрице): Если А---вырожденная, то обратной м-цы не существует.
Как бы док-во: Аij---алгебраические дополнения эл-тов aij матрицы А.
~
Составим присоединённую м-цу A :


 A11 A21 ... An1 




0
|
A
|
0
0
~


n
A
... A  A  A 
 0, i 
~ A
22
n2 ;
i
,
j
:
a
A

A   12
;




0
0
....
0
ik jk | A |, i 
...
... ... ...



k 1


 0

A
A
... A 
0
0
|
A
|


2n
nn 
 1n
 1 ~
1 ~
~
A  A | A | I ; A  
 A   I  A 1 
A
| A|
| A| 
15. Св-ва обратных матриц:
1. (А-1)-1=А
2. (АВ)-1=В-1А-1
(АВ)=(В-1А-1)=А(ВВ-1)А-1=АIА-1АА-1=I
3. (Аn)-1=(А-1)n
4. (АТ)-1=(А-1)Т
(АТ)(А-1)Т=(А-1А)Т=IТ=I
| A|
0
0
0
j

j 
16. Системой m линейных ур-ний с n неизвестными x1, x2,…,xn наз.
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1

 a11 ... a1n 


a 21 x 2  a 22 x 2  ...  a 2n x n  b2
, где A   ... ... ...  ---матрица коэффициентов системы ,

............................................
a

 m1 ... a mn 
a x  a x  ...  a x  b
m2 2
mn n
m
 m1 1
b 
x 
 1
 1
числа aij---коэффициенты, b1,b2,…, bn---свободные члены, b   ...  ---вектор-столбец, x   ... 




b 
x 
 m
 m
АХ=b---краткая запись. Реш-ем с-мы наз. совокупность чисел х1=α1,х2=α2,…,хn= αn , при подстановке
 
 1
которых получится правильное равенство.    ...  ---столбец решений.


 
 n
Матричный способ решения:
А=Аnxn |A|≠0 --- невырожденная. Ах=b (2). Рассмотрим обратную матрицу А-1. Умножим обе чести
равенства (2) на А-1.
А-1Ах=А-1b; Ix=A-1b  x=A-1b (3)
Чтобы получить решение с-мы (2) нужно умножить обратную м-цу на b. Если м-ца □ и невырожденная,
то решение с-мы единственное.
17.Ф-лыКрамера:
 A11 A21
 x1 

 
 x2  1  A12 A22
 ...    ...
...
  A
x 
A
A
2n
 n
 1n
A  b 
n1  1 
... A  b 
n2
2 ;
... ...  ... 
 
... A  b 
nn  n 
...
 a11 ... b1 ... a1n 


i
1
1  a 21 ... b2 ... a 2n 
; xi 
; i  1, n ;
x 
A b  A b  ...  A b 


i | A | 1i 1
2i 2
ni n | A | ... ... ... ... ...



a
... b
... a 
n
nn 
 n1
i ---опр-ль м-цы, который получается заменой i-го столбца на столбец свободных членов.   А


18. A=Anxn. Отметим r сток и столбцов. Рассмотрим м-цу из эл-тов, находящихся на пересечении. Такая
м-ца и её опр-ль наз. минором порядка r. Рангом матрицы А наз. наибольший из порядков миноров
отличных от нуля. Такой минор наз. базисным. rgA---обозначение ранга.
Св-ва ранга матрицы:
1. 0  rgA  min m, n 2. rgA  0  A  0 3. A  Anxn , то rgA  n  A ---невырожденная. 4. rgAT  rgA
5. Если в м-це все миноры порядка k равны нулю, то все миноры более высокого порядка также равны
нулю.
Док-во к 5: минор порядка k+1 разложим как опр-ль по эл-там строки. Получим с точностью до знака
сумму произведений эл-тов данного минора на миноры порядка k, которые равны нулю.
19. Теорема (о неизменности ранга при элементарных преобразованиях): Ранг м-цы не меняется при
элементарных преобразованиях строчек и столбцов.
Док-во: 1. При перестановке миноры исходной м-цы либо не изменяются, либо поменяют знак. Тем
самым все ненулевые миноры остаются ненулевыми, т. е. ранг не меняется.
2. При умножении строки м-цы на число   0 , миноры содержащие эту строку увеличатся в
 раз. Набор ненулевых миноров не изменится, и зн. сохранится ранг.
20. A=Amxn u1, u2,…,un---строчки
Данная совокупность строк наз. линейно-зависимой, если сущ. числа  ,  ,...,  (не все=0) такие, что
1 2
k
 u1   u 2  ...   u k  0 (*). Если (*) возможно только в случае     ..    0 , то данный
1
2
k
1
2
k
набор строк наз. линейно-независимым.
Св-ва: 1.Если в наборе есть нулевая строка, то он линейно-зависим. u1=0, u2,…, uk≠0,
1  0  0  u 2  ...  0  u k  0 .
2.Если к линейно-зависимой добавить какую-либо строку, то она будет линейно-зависимой
 u1   u 2  ...   u k  0  u k 1  0
1
2k


O
3.Если из лин.-завис. совокупности строк удалить строку, то получим линейно-независимую.
4.Если в совокупности есть одинаковые строки, то она будет линейно-зависимой
Теорема(критерий линейной зависимости): Совокупность строк линейно-зависима тогда и только
тогда, когда одна из строчек явл. линейной комбинацией др. строчек.
Док-во: u1, u2,…,un--- линейно-зависимые. Покажем: u1---линейная комбинация др. строчек.


Действительно, сущ.  ,  ,...,    0 такие что
1 2
k 1
λ
λ
λ
 u1   u 2  ...   u k  0  u   2 u  3 u  ...  k u .
1
2
k
1
λ 2 λ 3
λ k
1
1
1
Обратно: Пусть u1   u 2   u 3  ...   u k , зн. 1  u1   u 2  ...   u k  0
2
3
k
2
k
21. Теорема(о базисном миноре):Строки и столбцы, на пересечении которых находятся эл-ты базисного
минора, также наз. базисными.1.Любая строка матрицы явл. линейной комбинацией базисных строчек.
2.Базисные строчки линейно-независимы.
 a11 ... a1r 


Док-во к 1: Можно считать, что базисным явл. минор, состоящий из M   ... ... ...  , расположенный
 a ... a 
rr 
 r1
в левом верхнем углу м-цы А. В противном случае можно переставить столбцы и строки так, что эл-ты
базисного минора окажутся в левом верхнем углу. rgA=const.
i---столбец j---строка
a11 ... a1r a1 j
 ij 
... ... ...
a r1 ... a rr
...
,
a rj
ai1
aij
air
1  j  n , i  1, m , зн.  i j  0 при  i и j.
Если i,j>r, то  i j ---это минор порядка r+1, зн. =0
Если i и/или j ≤ r, то  i j  0 , т. к. имеются равные строки.
Разложим рассматриваемый опр-ль по эл-там последней строки:
D
0  a  D  a  D  ...  a  D  ...  a  M  a    a    a  ...    a , где    i .
i
i1 1
i2 2
ir
r
ij
ij
1 i1
2 i2
r ir
M
Коэффициенты  не зависят от номера строки i . Используя такие равенства при i  1, M , можем
 a1 j 
 a11 
 a12 
 a1r 








a 
a
a
a






записать:  2 j     21     22   ...    2r  , т. е. j-тый столбец есть линейная комбинация
1 ...
2 ...
r ...
 ... 






a 
a 
a 
a 
 mj 
 m1 
 m2 
 mr 


базисных столбцов.
Док-во к 2: Предположим, что базисные строки линейно-зависимы, тогда одна из базисных строчек явл.
линейной комбинацией др. строчек, тогда и в базисной матрице тоже самое, но в этом случае базисный
минор =0, чего быть не должно.
22. AX=b (1)
Теорема Кронекера-Капели: (1)---совместная, когда ранг расширенной м-цы данной с-мы = рангу м-цы
коэффициентов: rg(A|b)=rgA.
 
 1 
 1
 
 
 2 
...   2   b ,
Док-во: x   , x   ,..., x   существуют, то A   b ,  
1
1 2
2
n
n
1
2
n ...
...
 
 
 
 
 n
 n
... 
где  1,  2,…,  n---столбцы м-цы А .
А=  
1
2
n
      ...     b ,зн. столбец свободных членов явл. линейной комб-цией столбцов м-цы А.
1 1
2 2
n n




Вычитая в (A|b) из последнего столбца соответствующую линейную комб-цию, получим (А|0). В
результате ранг м-цы не меняется. rg(A|b)=rg(A|0)=rgA. Предположим rg(A|b)= rgA, зн. столбец
свободных членов b не входит в число базисных столбцов расширенной м-цы. Согласно теореме о
базисных минорах, столбец b явл. линейной комбинацией базисных столбцов, а зн. и всех столбцов
 
 1
 
матрицы А, т. е. b        ...     b  A 2   совместность системы (1)
1 1
2 2
n n
...
 
 
 n
23. Ах=0---однородная с-ма.
Если Ах=b в столбце b есть один ненулевой эл-т, то неоднородная. Однородная всегда совместна.
0
 
0
x    ---тривиальное решение. Остальные решения, нетривиальные.
...
 
0
 
Теорема о сущ-нии нетривиального решения: С-ма линейных однородных ур-ний с м-цей
коэффициентов mxn имеет нетривиальное решение тогда, когда rgA<n (n---число неизвестных, Amxn).
Док-во: Пусть сущ-ет ненулевое решение x   , x   ,..., x   , Ах=0,
1
1 2
2
n
n
Тогда       ...     0 (не все  )  1,  2,…,  n---линейно-зависимые, не все базисные,
1 1
2 2
n n
i
зн. число базисных столбцов < n. rgA<n.
Св-ва множества решений: 1 однородная с-ма с квадратной м-цей коэффициентов имеет
нетривиальное решение если она вырожденная.
2 однородная с-ма с квадратной м-цей коэффициентов имеет тривиальное
решение если она невырожденная.
24.Теорема о структуре общего решения с-мы линейных однородных ур-ний: Пусть A=Amxn, тогда
система Ах=0 имеет n-r линейно-независимых решений, где r ---ранг м-цы А. Любое решение данной
системы явл. их линейной комбинацией.
Док-во: rgA=r---ранг. Сущ. r линейно-независимых столбцов м-цы, а остальные столбцы---их линейные
комбинации. Без ограничения общности можно считать, что  1,  2,…,  r  .
ij

       ...   
       ...     
0
r 1
11 1
12 2
1r r
11 1 12 2
1r r
r 1

       ...   
       ...     
0
r2
21 1
22 2
2r r
21 1
22 2
2r r
r2
 
 
  ...  


 
  ...  
   0
n
n  r1 1
n  r2 2
n  rr r
n  r1 1
n  r2 2
n  rr r
n
   n  r1 
  11 
   21 






  n  r2 
  12 
   22 


 ... 
 ... 
...






(1)   1r 
(1)    2r 
(n  r )    n  rr 
(2)
(n  r )
(1)
AX  0 x


0 x 
AX
0 x

 AX

0


 1 
 0 


 0 
 1 
0






...
 ... 
 ... 


 0 
 0 


1






x
(1)
, x
(2)
,…, x
(n  r )
---эти решения линейно-независимы если составить из них м-цу, то последние n-r
1 0 0 0
0 1 0 0
1 0
0 0 .... 0
0 0 0 1
Совокупность n-r линейно-независимых решений наз. фундаментальной системой решений.
строк образуют минор М: | M |
25. Теорема о структуре общего решения линыйных неоднородных ур-ний: A=Amxn всякое решение
()
(0)
()
неоднородной с-мы AX=b представлено так: x  x
 x , где x ---некоторое частное решение,
(0)
x ---общее решение соответствующей однородной с-мы (AX=0).
()
(0)
()
(0)
()
(0)
Док-во: A   x  x   Ax  Ax
 b  0  b , x  x ---решение


()
Пусть Х---некоторое решение, тогда AX=b (1); AX*=b (2). Вычитая (2) из (1) получим: A x  x   0


()
(1)
(n  r )
()
(0)
()
(0)
 с x  ...  c
x
xx
x ; xx
x ; xx
1
nr
(1)
(n  r )
c R
---фундаментальная с-ма решений
x ,..., x
i