исследование влияния времени моделирования сигнала
advertisement
ІНФОРМАЦІЙНІ СИСТЕМИ І МОДЕЛЮВАННЯ УДК 621.3 629.735.015.017.2 ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ВРЕМЕНИ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИГНАЛА ВОЗМУЩЕНИЯ НА ТОЧНОСТЬ СТАБИЛИЗАЦИИ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ Гученко Н.И., Славко Е.Г., Серик М.Ю., Иванова М.Н. Кременчугский государственный политехнический университет Введение. В практике постоянно возникает необходимость управления динамическими системами (рис.1), т.е. системами, параметры которых изменяются с течением времени под влиянием разнообразных факторов и внешних возмущений. К таким системам, в частности, относятся технические системы управления, экономические и экологические системы и т.п. Очень часто поведение подобных систем может быть описано обыкновенными дифференциальными уравнениями. f(t) δ(t) Динамическая система y(t) Рисунок 1 - Схема динамической системы: δ(t) – управляющее воздействие f(t) – внешнее воздействие; y(t) – выходной параметр системы Важной практической задачей является стабилизация выходного параметра (параметров) y(t) динамической системы при действии на нее случайных возмущений т.е. задача регулирования. Она имеет как самостоятельное, так и более широкое значение. В частности, полноценное управление системой невозможно, если не удается ее стабилизировать. Если динамика объекта и сигнал возмущения точно известны априори, то управляющее воздействие δ(t) может быть запрограммировано до начала управления. Если динамика объекта и сигнал возмущения известны не точно, т.е. априорной информации недостаточно для достижения требуемого качества управления, то ее недостаток может быть компенсирован текущей информацией поступающей уже в самом процессе управления. В частности, возможен прогноз будущего поведения системы на основании анализа ее предыдущего поведения и выработка управляющего воздействия с учетом этого прогноза. Разработка алгоритмов обеспечивающих стабилизацию управляемой системы в условиях малой априорной информации об управляемом процессе является важной практической проблемой. Имеется значительное количество методов прогноза, наиболее употребительными из которых являются метод скользящего среднего и экспоненциального сглаживания [1,2]. Общей чертой указанных методов является то, что все они предполагают пассивное получение информации об управляемом процессе путем использования различных измерительных устройств. В проведенных ранее одним из авторов исследованиях [3,4,5] было выявлено, что человек– оператор, стабилизируя динамическую систему, в отличие от технических систем управления, применяет оригинальный метод прогнозирования, который заключается в том, что, используя объект управления как датчик, человек способен активно отслеживать (моделировать) сигнал внешнего возмущения с помощью собственного сигнала управления (рис.2). Точнее, человек вводит сигнал управления эквивалентный по своему действию на объект суммарному действию всех внешних возмущений. Таким образом человек–оператор наблюдает в течение некоторого интервала времени за поведением сигнала внешнего возмущения. Затем он аппроксимирует сигнал некоторой регрессионной зависимостью, прогнозирует дальнейшее поведение этого сигнала, причем делает это даже с упреждением (рис.3), и вводит полученный сигнал в инвертированном виде, как управляющий. Рисунок 2 - Пример сопровождения оператором сигнала возмущения в идеальной системе слежения (1 – сигнал возмущения, 2 – управляющий сигнал оператора) Возникают вопросы: насколько такой метод прогнозирования и управления целесообразен и эффективен; может ли он быть использован в технических системах управления; в течение какого времени есть смысл отслеживать сигнал с точки зрения конечного результата, а именно, точности Вісник КДПУ. Випуск 2/2006 (37). Частина 1 12 ІНФОРМАЦІЙНІ СИСТЕМИ І МОДЕЛЮВАННЯ стабилизации т.к., естественно, в процессе такого слежения система еще больше отклоняется от заданного положения или состояния. Цель работы. Целью данного исследования является проверка гипотезы о существовании оптимального с точки зрения отклонения системы от заданного положения времени слежения за сигналом возмущения при использовании метода стабилизации применяемого человекомоператором. Материалы и результаты исследования. Интуитивно выдвинутая гипотеза представляется правильной т.к., с одной стороны, чем больше время слежения, тем больше информации о сигнале возмущения мы получаем и тем точнее можем его аппроксимировать и экстраполировать, т.е. тем точнее можем запрограммировать компенсирующее воздействие. С другой стороны, чем больше время слежения, тем дальше от заданного положения уходит система под совместным действием возмущения и эквивалентного ему управляющего сигнала. Поскольку в данный момент теоретическое решение поставленного вопроса полностью отсутствует, то для получения предварительных результатов был выбран метод имитационного моделирования. Было проведено моделирование функционирования динамической системы под действием внешних возмущений с изменением параметров системы и графическим отображением происходящих процессов в среде пакета MathCAD. Адекватным математическим способом описания поведения динамических систем являются дифференциальные уравнения. В данном исследовании предполагается, что неуправляемое поведение системы описывается обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами (1). d y (t ) dy ( t ) + a1 + a0 y ( t ) = b0 f ( t ) dt 2 dt 2 a2 (1) Было выбрано три различных динамики, которые, согласно исследованиям, представленным в [6], имеют различные оценки управляемости по шкале Купера–Харпера, принятой в испытаниях летательных аппаратов: А1 - превосходная управляемость, компенсация пилота не важна для достижения желаемых характеристик точности стабилизации, коэффициенты уравнения a2=1, a1=4, a0=6, b0=6; А4 – хорошая управляемость, желаемые характеристики точности могут быть достигнуты при умеренных усилиях пилота, коэффициенты уравнения a2=1, a1=4, a0=10, b0=10; В6 – плохая управляемость, достижение желаемых характеристик требует значительных усилий пилота, коэффициенты уравнения a2=1, a1=4, a0=40, b0=40. Целью такого выбора было желание выявить влияние степени управляемости системы на характер исследуемых зависимостей. Внешние возмущения, которые влияют на поведение динамических систем, обычно могут быть описаны детерминированными или случайными функциями времени. В качестве внешнего возмущения в данном исследовании была выбрана смесь неслучайного тренда в виде гармонического воздействия и белого шума с равномерным распределением. Это позволило в процессе моделирования варьировать отдельно параметры тренда и случайного возмущения. Изучалось влияние шумов с относительно небольшой интенсивностью. Гармоническое воздействие описывалось уравнением f ( t ) = A sin (ω t + ϕ ) , (2) где A – амплитуда, ω – частота, φ – фазовый сдвиг. Рисунок 3 - Усредненный по нескольким периодам управления и сглаженный сигнал оператора (1), гармонический сигнал возмущения (2), инвертированный (начиная с точки окончания слежения) сигнал возмущения (3) в идеальной системе компенсаторного слежения Шум характеризовался автокорреляционной функцией Ry (τ ) = σ 2 e −α τ заданной (3) или спектральной плотностью S y (ω ) = 2σ 2α , π (ω 2 + α 2 ) (4) где α параметр затухания, σ среднеквадратическое значение шума, τ - временной сдвиг [7]. Рекуррентное соотношение, позволяющее определить следующее значение шума по предыдущему, имело вид y k σ⋅ x + e − α ⋅ ∆t k ⋅y k− 1, (5) где σ = 0,1, α = 0,2, - параметры шума принятые при моделировании; ∆t =0,25 - принятый интервал Вісник КДПУ. Випуск 2/2006 (37). Частина 1 13 ІНФОРМАЦІЙНІ СИСТЕМИ І МОДЕЛЮВАННЯ квантования по времени. Полученная последовательность значений шума интерполировалась кубическим сплайном. В нашем исследовании мы предполагаем, что существует возможность абсолютно точно отследить сигнал внешнего возмущения за счет введения соответствующего управляющего сигнала, не вдаваясь в механизм такого слежения. Посколько человек-оператор реагирует на конкретную реализацию случайного сигнала возмущения и время наблюдения за ней мало, то возможно два существенно различных с точки зрения прогнозирования варианта поведения конкретной реализации шума: 1) в начале наблюдения производная сигнала шума отрицательна – величина шума при его прогнозе по результатам наблюдении за ним недооценивается; 2) в начале наблюдения производная сигнала шума положительна – величина шума при его прогнозе по результатам наблюдении за ним переоценивается. Эти случаи рассматривались отдельно. Процедура моделирования заключалась в следующем: • Выбирался конкретный вариант динамики системы; • Выбирались параметры шума; • Для заданных динамики и шума менялось время слежения за сигналом возмущения (наблюдаемое количество отсчетов сигнала); • Наблюдаемый сигнал возмущения аппроксимировался зависимостью f ( t ) = A sin (ωt + ϕ ) . (6) с переоценкой или недооценкой величины воздействия. Качественная картина получалась различной (рис.4). Типичные полученные зависимости показаны на рис.5. а) б) Рисунок 4 - Поведение системы при действии управляющего сигнала и при его отсутствии: а) недооценка шума в начале наблюдения; б) переоценка шума в начале наблюдения. I – максимальное отклонение в процессе слежения за сигналом возмущения, II – максимальное отклонение системы при вводе управляющего сигнала запрограммированного на основании прогноза; 1 – сигнал возмущения, 2 - управляющий сигнал; 3 – выходной сигнал системы Неизвестные параметры A, ω, φ рассчитывались по методу наименьших квадратов. • На основании полученной аппроксимации производилась экстраполяция (прогнозирование) значений сигнала возмущения на период времени существенно больший времени наблюдения за ним; • В качестве управляющего сигнала на интервале слежения за сигналом возмущения вводилась точная копия сигнала возмущения. На последующем интервале в качестве управляющего вводился спрогнозированный сигнал возмущения в инвертированном виде; • Производилось численное решение дифференциального уравнения, описывающего поведение системы, методом Рунге-Кутта четвертого порядка с фиксированным шагом [8]. Фиксировались максимальное отклонение системы в процессе слежения за сигналом возмущения и Рисунок 5 - Типичный вид полученных в ходе максимальное отклонение в процессе управления. численного эксперимента зависимостей: 1 – Для каждой динамики выполнялось по десять реальное внешнее возмущение f(t); 2 – прогноз имитаций при различных реализациях шума, внешнего возмущения fp(t); 3 – инвертированное которые генерировались с разными начальными прогнозируемое возмущение fpi(t); 4 – управляющий значениями генератора случайных чисел. При этом сигнал δ(t); 5 – выходной сигнал системы yc(t) часть реализаций в начальный момент имели тенденцию к превышению тренда, а часть - к занижению. Соответственно прогнозирование шло Вісник КДПУ. Випуск 2/2006 (37). Частина 1 14 ІНФОРМАЦІЙНІ СИСТЕМИ І МОДЕЛЮВАННЯ Полученные значения заносились в массивы данных, которые затем подвергались статистической обработке [9]. Были найдены математическое ожидание, декомпозиция дисперсий, проводилась проверка данных по критериям Стьюдента, Дарбина-Уотсона. Поскольку никаких теоретических соображений по виду искомой зависимости не имелось, то было принято решение на данном этапе исследований подобрать вид аппроксимирующей функции из числа простейших. Был проведен статистический анализ подобранной модели [9] на адекватность, равенства математического ожидания компоненты нулю, независимости значений уровней случайной компоненты (отсутствие автокорреляции), соответствия распределения случайной величины нормальному распределению, найдены статистические характеристики. Хотя данная модель (рис.6) не отвечает критериям адекватности, она имеет достаточно высокий коэффициент детерминации близкий к 1 (R=0,941). Это дает возможность утверждать, что модель достаточно точно описывает полученную в ходе эксперимента зависимость. о поведении системы в условиях более интенсивных шумов – тема будущих исследований. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Рисунок 6 - Полученные в численном эксперименте значения и аппроксимирующая функция для зависимости максимального отклонения системы от времени наблюдения за сигналом возмущения Выводы. Таким образом, полученные при имитационном моделировании результаты подтверждают выдвинутую гипотезу о существовании оптимального времени слежения за поведением системы, обеспечивающего наиболее эффективное управление системой по критерию максимального отклонения. Оптимальное время слежения за слегка зашумленной реализацией гармонического возмущения составляет примерно 1/16 периода возмущения. Интересно, что существенной разницы в результатах для различных динамик выявлено не было. Возможно, это является следствием первоначально принятого допущения об абсолютной точности слежения за сигналом возмущения, которое является удобной для исследователя абстракцией и на практике не выполняется. Решение этого вопроса, как и вопроса 9. ЛІТЕРАТУРА Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М. "Мир" 1976 Анализ временних рядов. Электронный учебник StatSoft, Inc., 1984-1998, Материалы сайта http://www.mstu.edu.ru Гученко М.І. Активний резонанс - принцип реакції оператора на вхідний сигнал в системі компенсаційного стеження. - Адаптивні системи автоматичного управління. Міжвідомчий науково-технічний збірник. № 4’(24) «Системні технології».- Дніпропетровськ, 2001, - С.30-38. Гученко М.І. Експериментальне підтвердження адекватності активно-резонансної моделі динаміки людини-оператора в системі компенсаційного стеження. Вісник Кременчуцького державного політехнічного університету, Випуск 1,2003(18), - С.186-190. Гученко М.І. Активно-резонансний алгоритм стабілізації. - Нові технології. Науковий вісник Інституту економіки та нових технологій ім. Ю.І.Кравченка, № 1(2), 2003, - С.57-61. Tanaka K., Norihisa H., Noguchi K. On the relationship between pilot rating and pilots dynamics. Part I. “Transactions of Japan Society for Aeronautical and Space Sciencies”, vol.21, 53, nov.1978, pp.128-138. Лебедев А.Н. Методы цифрового моделирования и идентификации стационарных случайных процессов в информационноизмерительных системах. – Л.: Энергоатомиздат, Ленинградское отд-ние, 1988. - 64 с. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. – Томск: МП”Раско”,1991 –272 с. Кляйнен Д. Статистические методы в имитационном моделировании. Вып.1, 2. – М.: Статистика, 1978. Статья поступила 30.11.05 г. Рекомендовано к печати д.т.н., проф. Андрусенком А.М. Вісник КДПУ. Випуск 2/2006 (37). Частина 1 15
