здесь - СГТУ

Задачи
1-го тура олимпиады по математике
СГТУ имени Гагарина Ю.А.
30.11.2012 г.
1-й курс.
1. (4 балла) Существует ли невырожденная матрица А размера 2005х2005 с
действительными элементами, такая, что A3  2 AT   , где  – нулевая матрица?
2. (4 балла) Вычислить определитель n-го порядка   
    
0
...
0
0
0
      ...
0
0
1
   ...
0
0
n  0
...
...
...
...
...
...
0
0
0
...      
0
0
0
... 1
 
cos(sin x)arcsin x .
1
3. (4 балла) Найти lim
x0
2
( n k ) p
1
, p  N , p  2.
n
k
k n p
5. (8 баллов). n, k  N , n  k . Доказать, что наибольший общий делитель чисел
C nk , Cnk1 , …, C nk k равен 1.
4. (8 баллов) Найдите предел последовательности xn 
1
p 2

p
1
2
3
4
x 1
2
x3
4
6. (2 балла) Построить график функции y 
.
1
x3 x4 x5
1
3
4
5
7. (8 баллов) Найти наименьшее n  N , при котором выполняется равенство
n
1 0
1 3 1
.

n
0 1
2 1
3
8. (8 баллов) Функция f (x) непрерывна и задана на всей оси.
Известно, что уравнение f ( f ( f ( x)))  x имеет решение. Доказать, что уравнение
f ( x)  x также имеет решение.
1 m
9. (4 балла) Найти тринадцатый член (9 x 
) , если биномиальный коэффициент
3x
разложения равен 105.
n
1
n
10. (4 балла) Для последовательности an  , где an  (2  cos )  (1  cos ), n  Z
3
n
6
найти
lima
n
n
и
lim an .
n
x y z
x  1 y  1 z  (a  2) 2


и   :
1 a 1
a
1
a
1) пересекаются; 2) скрещиваются; 3) параллельны; 4) совпадают?
12. (4 балла) Найти min 3  2i  z при z  1 .
11. (4 балла) При каких a прямые
13. (6 баллов) Доказать, что функция f ( x)  sin(cos x) равномерно непрерывна при x  R .
14. (8 баллов) В правильной треугольной пирамиде S ABC длина ребра основания равна
a , а угол  между апофемой и боковой гранью равен 45 0 . Найдите длину h высоты
пирамиды.
15. (6 баллов) Доказать, что при любом натуральном n число 116 n3  1 делится на 148.
16. (4 балла) Какая из функций f ( x) : 1, 1  0, 1 :
x
а) x  cos ;
б) x   x 2  1 ;
2
x 1
в) x  x ;
г) x 
;
2
x 1
д) x 
;
е) x  2 x1
3
инъективна, сюръективна или биективна?
Построить графики.
Задачи
1-го тура олимпиады по математике
СГТУ имени Гагарина Ю.А.
30.11.2012 г.
2-й курс
1. Найти уравнение множества центров сечений эллипсоида x 2  2 y 2  3z 2  4
параллельными плоскости x  y  z  1 .

1
y
2. Решить дифференциальное уравнение ( x  ye ) y  y 2 .
3. Цилиндр, образующие которого параллельны прямой
x  2t  3, y  t  7, z  2t  5, описан около сферы
x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  3  0. .
Составить уравнение этого цилиндра.
4. Найти площадь части конуса z 2  x 2  y 2 , лежащую над плоскостью OXY и
x
отсечённую плоскостью z  2 (  1) .
2
x 2 dy  y 2 dx
5.Вычислить криволинейный интеграл 
, где L - четверть астроиды
5
5
L
3
3
x y
x  R cos 3 t , y  R sin 3 t от точки M (R;0) до точки N (0; R) .
6. Найти кривую, проходящую через точку A(0;1) , для которой треугольник,
образованный отрезком оси OY , касательной к кривой в произвольной её точке и
радиусом-вектором точки касания – равнобедренный, причём его основанием служит
отрезок касательной от точки касания до оси OY .

7. Вычислить
x
2006
 e  x dx
0
8. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения
(1  x 3 ) y   6 x 2 y   6 xy  0 с начальными условиями y (0)  1, y (0)  0 и записать
решение в виде степенного ряда.

1
9. Найти область сходимости ряда  ( x n  n n ).
2 x
n 1
40 x  45
x2
10. Найти функцию f (x) , если f ( g ( x))   2
, а g ( x) 
.
x3
7 x  27 x  68
x
11. Решить уравнение  ( x)  5  6 x   (5  6( x  t )) (t )dt .
0
12. Исследовать на равномерную непрерывность функцию f ( x)  arctgx, x  R.
13 Найти множество точек на плоскости комплексной переменной z , которое
определяется условиями 1  z  1  i  2 .

e t
x t dt
14. Вычислить предел lim
.
x  0
1
ln
x
(10)
3
15. Найдите y , если y  ( x  4 x 2  2)e 2 x .
2

2
tg (2 x  x sin ), если x  0,
16. Является ли функция f ( x)  
x
0, если x  0
дифференцируемой в точке x  0 ? Если является, то найти f (0) .
Задачи
1-го тура олимпиады по математике
СГТУ имени Гагарина Ю.А.
30.11.2012 г.
3 –5-й курс
1

 x arctg
1. f ( x)  
x
0
при x  0,
.
при x  0
Будет ли функция f (x ) при x  0 непрерывной, дифференцируемой?
2. Найти наименьшее и наибольшее значения функции y  1  x 2  6 x на отрезке  2; 5.
3. Показать, что функция f ( x)  sin x 2 , непрерывна и ограничена на числовой прямой, не
является равномерно непрерывной на этой прямой.
( x  a ) x  a  ( x  b) x  b
4. Найти предел lim
.
x
( x  a  b) 2 x  a  b
5. Какая линия определяется уравнение I m ( z 2  z )  2  I m z ?
6. Решить дифференциальное уравнение y   cos( y  x) .
7. Три грани параллелепипеда лежат в плоскостях x  3z  18  0 , 2 x  4 y  5 z  21  0 ,
6 x  y  z  30  0 , а одна из его вершин А имеет координаты (-1; 3; 1). Составить
уравнения остальных граней параллелепипеда и его диагонали, проходящей через
вершину А.
8. В треугольнике АВС точка М - середина стороны АС, точки К и L на сторонах АВ и ВС
расположены так, что │АК│:│КВ│=3:5, а │ВL│:│LC│=2:3. Найти координаты вектора
BM в базисе AL, CK .
9. У билетной кассы стоят в очереди n  m человек; n из них имеют пятёрки, а остальные
m только десятки. Билет стоит 5 рублей. В начале продажи в кассе нет денег. Какова
вероятность того, что ни одному из покупателей не придётся ждать сдачи?
10. Докажите неравенство
4 x  x 1
 exp(ln 3 16 x 2  x 2  2,25 для всех допустимых значений x  R .
2
Достигается ли знак равенства?
11. Найти объём общей части двух сфер x 2  y 2  z 2  R 2 и x 2  y 2  z 2  2Rz .
dz
12. Вычислить интеграл 
, где С – квадрат с вершинами в точках
I z  Re z
C m
 1arctg (
z1  1,
z 2  i,
z3  1,
z 4  i .
 z  i  2  a,
13. При каких a  R система неравенств 
не имеет решений?
 z  a  1  a
14. Доказать, что для величин  i двугранных углов тетраэдра справедливо неравенство
6
 cos 
i 1
5
i
 2.
15. Доказать, что многочлен 2 x  a 2 x 4  2 x ln a  3 при любом a  0, a  1, a  R имеет
хотя бы один корень в интервале (-1; 0).

1
16. Найти сумму ряда 
.
n 1 n ( n  1)( n  2)