Конспект урока математики в 9 классе по теме Разложение

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА
Разложение квадратного трёхчлена на множители.
1.
ФИО (полностью)
Торопова Нина Михайловна
2.
Место работы
МКОУ Михайловская основная общеобразовательная
школа
3.
Должность
Учитель
4.
Предмет
математика
5.
Класс
9
6.
Тема и
Разложение квадратного трёхчлена на множители
номер урока в теме
Урок №1
Базовый учебник
«Алгебра 9» Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. под ред.
7.
Теляковского
8. Цель
урока: Вывести формулу разложения квадратного трёхчлена на множители,
научить пользоваться данной формулой при решении упражнений.
9. Задачи:
- образовательные: актуализировать личностный смысл учащихся к изучению темы урока,
организовать поиск решения учебной задачи путем раскрытия субъективного опыта
учащихся; применение ранее полученных знаний в новой учебной ситуации.
- развивающие: развитие познавательного интереса к предмету, навыка устного счета.
- воспитательные: развитие дисциплины, концентрации внимания, эстетического вкуса.
10. Тип урока: объяснение нового материала.
11. Формы работы учащихся: объяснение учителя с привлечением учащихся к обсуждению
отдельных вопросов, коллективная работа при решении упражнений.
Ход урока.
I.
Сообщение темы и цели урока.
II.
Повторение и закрепление пройденного материала
1.Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешённых задач).
2.Контроль усвоения материала(письменный опрос)
Вариант 1.
1. Дайте определение многочлена n-й степени.
2. Найдите корни квадратного трёхчлена 3𝑥 2 − 5𝑥 − 2.
3. Найдите наименьшее значение выражения 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 + 6𝑦.
Вариант 2.
1. Дайте определение квадратного трёхчлена.
2. Найдите корни квадратного трёхчлена 7𝑥 2 − 4х − 3.
3. Найдите наименьшее значение выражения 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 8𝑦.
III. Объяснение нового материала.
Сначала необходимо актуализировать знания учащихся и создать у них мотивацию.
Поэтому следует разобрать, как разложить на множители квадратный трехчлен
методом группировки, рассмотрев несколько примеров:
а) х2 + 3х – 4 = х2 + 4х – х – 4 = х (х + 4) – (х + 4) = (х + 4) (х – 1);
б) –х2 + 3х + 10 = –(х2 – 3х – 10) = –(х2 – 5х + 2х – 10) = –(х (х – 5) +
+ 2 (х – 5)) = – (х – 5) (х + 2) = (5 – х) (х + 2);
в) 2х2 + 6х + 4 = 2 (х2 + 3х + 2) = 2 (х2 + х + 2х + 2) = 2 (х (х + 1) +
+ 2 (х + 1)) = 2 (х + 1) (х + 2).
Выполнение этих заданий позволит учащимся повторить метод группировки
разложения многочлена на множители, а также убедиться в том, что этот метод не
является достаточно удобным в данной ситуации. Учитель сообщает, что существует
теорема, позволяющая разложить на множители квадратный трехчлен более
простым способом.
Далее следует разобрать теорему, после чего предложить учащимся применить ее к
тем трехчленам, которые были разложены на множители методом группировки в
начале урока. Учащиеся убеждаются, что результаты получаются одинаковые.
На доску выносится запись:
ax2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2)
,
которая сохраняется до конца урока.
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке учащиеся выполняют задания на непосредственное применение
изученной теоремы. Использование теоремы для упрощения выражений лучше
рассмотреть на следующем уроке.
Упражнения:
1. № 76, № 77 (а, б).
2. № 79 (а), № 80.
В классе с высоким уровнем подготовки можно выполнить № 82.
Решение
Учащиеся могут подобрать такой трехчлен с конкретными коэффициентами и
разложить его на множители. Н а п р и м е р: х2 + 3х + 2 =
= (х + 1) (х + 2). Однако доказательство факта, данного в задаче, необходимо
провести в общем виде.
Пусть а = п, b = 2п, с = 3п. Тогда получим квадратный трехчлен пх2 +
+ 2пх + 3п. Его дискриминант равен –8п2, то есть трехчлен такого вида корней не
имеет, значит, не удовлетворяет условию задачи. Замечаем, что дискриминант будет
отрицательным в тех трехчленах, в которых а = 3п или с = 3п.
Условию будут удовлетворять только два трехчлена:
пх2 + 3пх + 2п и 2пх2 + 3пх + п. Разложим их на множители:
пх2 + 3пх + 2п = 0;
D = 9п2 – 8п2 = п2;
3п  п
3п  п
х2 
 2
 1
2п
2п
х1 =
;
;
2
пх + 3пх + 2п = п (х + 1) (х + 2);
2пх2 + 3пх + п = 0;
D = 9п2 – 8п2 = п2;
3п  п
1

2;
х1 = 4 п
х2 
3п  п
 1
4п
;
1

x 

2  (х + 1) = п (2х + 1) (х + 1).
2пх2 + 3пх + п = 2п 
Подставляя конкретные значения п, можно получить бесконечно много
квадратных трехчленов указанного вида: х2 + 3х + 2, 2х2 + 3х + 1, 2х2 + 6х + 4, 4х2 +
6х + 2 и т. п.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что такое квадратный трехчлен?
– Как найти корни квадратного трехчлена?
– Сформулируйте теорему о разложении квадратного трехчлена на множители.
– Любой ли квадратный трехчлен можно разложить на множители? От чего это
зависит?
Домашнее задание: № 77 (в, г), № 78, № 79 (б).
Д о п о л н и т е л ь н о: № 81.
Конспект урока по алгебре в 9 классе.
Тема: Разложение квадратного трехчлена на множители. Сокращение дробей.
Тип урока: закрепление знаний и способов действий.
Цели урока:
1. Обучающие:
- организовать деятельность учащихся по закреплению и развитию знаний о
разложении квадратного трехчлена на линейные множители, сокращение дробей;
- развивать навыки в применении знаний всех способов разложения на
множители: вынесение за скобки, с помощью формул сокращенного умножения и
способа группировки с целью подготовки к успешной сдаче экзамена по алгебре;
2. Развивающие:
- создать условия для развития познавательного интереса к предмету,
формирования логического мышления и самоконтроля при использовании
разложения на множители.
Оборудование: тестовые задания для проверки знаний, оценочная таблица, карточки
с творческим заданием.
План урока:
1. Организационный момент (1 мин)
2. Сообщение темы, цели, задач урока и мотивация учебной деятельности (2
мин).
3. Повторение теоретического материала и его применение на простых примерах
с помощью устного счета (7 мин).
4. Повторение решения уравнений. Обучающая самостоятельная работа (10
мин).
5. Закрепление знаний различных способов разложения многочлена на
множители с целью подготовки к итоговой аттестации (7 мин).
6. Контроль и самоконтроль знаний. Проверочная самостоятельная работа по
тестам (15 мин).
7. Подведение итогов урока (2 мин).
8. Задание на дом (1 мин).
Ход урока:
I.
Организационный момент.
Сообщение темы урока.
Основная задача урока повторить решение уравнений, научиться правильно
разлагать квадратный трехчлен на множители и применять разложение при
сокращении дробей. Учащиеся записывают дату и тему урока.
II.
Повторение теоретического материала и его применение на простых
примерах.
1. Запишите теорему о разложении квадратного трехчлена имеющего корни на
простые множители.
III.
2. Разложите квадратный трехчлен на множители: x 2  9 x  14
3. Какое значение переменной называется корнем квадратного трехчлена?
4. При каком значении p квадратный трехчлен x 2  px  10 будет иметь корень,
равный 2?
5. Какие еще способы разложения на множители вы знаете?
6. Разложите на множители:
4x3  x 2 ;
x 4  169x 2 ;
x 3  8 x 2  12 x ;
4x 2  4x  4 .
Почему последний многочлен нельзя разложить на простые множители?
7. Сократите дробь:
3m
27m3 ;
10 x ( y  3)
45 x 2 ( y  3) ;
( y  5) 2
5 y ;
9x2  y2
y 3 x .
IV. Повторение решения уравнений.
Знакомлю учащихся с заданиями. Напоминаю ход выполнения работы: первый
ученик, верно выполнивший все задания своего ряда, записывает на доске
полученные ответы, а затем помогает ученикам своего ряда в выполнении этих
заданий.
Самостоятельная работа.
Решение уравнений
1 ряд
1) 0,6 x 2  3,6 x  0
2) 5 x 2  125  0
3) x 2  9  0
4) x 2  7 x  20  0
5) 4 x 2  4 x  1  0
2 ряд
1) 3x 2  27  0
2) x 2  2 x  3  0
3) x 2  16  0
4) 2,4 x  0,4 x 2  0
5) 9 x 2  12 x  4  0
Закрепление знаний различных способов разложения на
множители.
Выполнение заданий, записанных на доске из «Сборника задания для
подготовки к итоговой аттестации в 9 кл.», под редакцией Л.В.Кузнецовой.
№ 1.4. (2 балла) Разложите на множители:
V.
2 x  y  y 2  4 x 2  (2 x  y)  ( y  2 x)( y  2 x)  ( y  2 x)(1  y  2 x)
№1.29. (4 балла). Сократите дробь:
1 
1

6 a   a  
6a  a  1
(2a  1)(3a  1) 3a  1
2 
3
 


8a  b  2ab  4 2a(4  b)  (4  b) (4  b)( 2a  1)
4b
2
Решим уравнение: 6a 2  a  1  0
D  1  24  25
Для решения этих заданий к доске вызываются ученики, которые еще
слабо выполняют такие преобразования.
Проверочная самостоятельная работа по тестам (прилагается
два варианта).
При выполнении заданий I части теста в предложенной строке пишется
ответ, либо выбирается верный ответ из предложенных 4 вариантов и
обводится в кружок.
При выполнении заданий II части необходимо полное решение.
По окончании работы выдаю учащимся листы с ответами и критериями
оценок. При проверке выполненной работы ученики карандашом
проставляют количество баллов напротив каждого задания. В конце
работы подсчитывают общее количество баллов и ставят себе оценку.
Ответы:
VI.
1
I вариант: Часть 1. 1) -3; 3 2)  x   3) Б

2
Часть 2. 1) x( x  1)( x  1)( y  1) 2) (b  a ) 3) a 
1
4
1
II вариант: Часть 1. 1) -2; 2 2)  x   3) А

2
Часть 2. 1) c 2 (c  1)(c  1)(a  1) 2) ( x  y ) 3) a  2
Верно выполненные задания:
Части 1 оцениваются в 0,5 балла;
части 2: 1) – в 2 балла; 2) – в 4 балла 3) – в 6 баллов.
Критерии оценки:
Оценка «3» от 1,5 баллов
Оценка «4» от 3,5 баллов
Оценка «5» от 7,5 баллов
1
4
VII. Подведение итогов урока.
Полученный результат выполненной работы и является итогом урока. Он
показывает насколько хорошо ученики разобрались с материалом.
VIII. Задание на дом. п 4 №83 ( д), е) ); №85; карточки.
Творческие задания на карточках
1. Разложите на множители квадратный трёхчлен
а) 5𝑥 2 − 2𝑎𝑥 − 3𝑎2
б) 7𝑥 2 + 3𝑎𝑥 − 10𝑎2
в) 𝑥 2 − (2𝑎 + 1)𝑥 + 𝑎2 + 𝑎 − 2
Ответ: а) (х-а) (5х+3а); б) (х-а) (7х+10а); в) (х-а+1) (х-а-2).
2. Разложите на множители многочлен
а) 𝑥 9 − 5𝑥 8 + 6𝑥 7
б) 𝑥 7 + 9𝑥 6 + 20𝑥 5
Ответ: а) х7 (х-2) (х-3); х5 (х+4) (х+5).
Тест 2
Вариант 1.
Часть 1.
1. Решите уравнение: 3x 2  27  0 .
Ответ:
2. Какой многочлен надо подставить вместо многоточия, чтобы было
верным равенство: 2 x 2  9 x  5  2( x  5)(...)
Ответ:
8a 2  16a  8
2a  2
А. 4a  1 Б. 4(a  1) В. 8(a 2  1) Г. 8(a  1)
3. Сократите дробь:
Часть 2.
1. (2 балла) Разложите на множители: x 3 y  xy  x 3  x
2a 2  2b 2  a  b
2. (4 балла) Сократите дробь:
1  2a  2b
3. (6 баллов) При каких значениях параметра a квадратное уравнение
ax 2  4 x  6  0 имеет один корень?
Вариант 2.
Часть 1.
1. Решите уравнение: 2 x 2  8  0 .
Ответ:
2. Какой многочлен надо подставить вместо многоточия, чтобы было
верным равенство: 2 x 2  5x  3  2( x  3)(...)
Ответ:
3a 2  3a  18
3a  6
А. a  3 Б. 3(a  3) В. (a  3) Г. 3(a  3)
3. Сократите дробь:
Часть 2.
1. (2 балла) Разложите на множители: ac 4  c 4  ac 2  c 2
y  x  3 y 2  3x 2
2. (4 балла) Сократите дробь:
3x  3 y  1
3. (6 баллов) При каких значениях параметра p квадратное уравнение
x 2  3x  p  0 имеет один корень?
Решение п.4 Разложение квадратного трёхчлена на множители
(на изучение пункта 4 отводится 3 урока)
№76
а)3𝑥 2 − 24𝑥 + 21 = 3(𝑥 − 1)(𝑥 − 7)
б)5𝑥 2 + 10𝑥 − 15 = 5(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)
1
1
1
1
6
2
3
6
в) 𝑥 2 + 𝑥 + = (𝑥 + 1)(𝑥 + 2)
г)𝑥 2 − 12𝑥 + 20 = (𝑥 − 10)(𝑥 − 2)
д)−𝑦 2 + 16𝑦 − 15 = −(𝑦 − 1)(𝑦 − 15) = (1 − 𝑦)(𝑦 − 15)
е)−𝑥 2 − 8𝑥 + 9 = −(𝑥 + 9)(𝑥 − 1) = (𝑥 + 9)(1 − 𝑥)
3
ж)2𝑥 2 − 5𝑥 + 3 = 2(𝑥 − 1) (𝑥 − ) = (𝑥 − 1)(2𝑥 − 3)
2
3
з)5𝑦 2 + 2𝑦 − 3 = 5 (𝑦 − ) (𝑦 + 5) = (5𝑦 − 3)(𝑦 + 5)
5
7
и)−2𝑥 2 + 5𝑥 + 7 = −2(𝑥 + 1) (𝑥 − ) = (𝑥 + 1)(7 − 2𝑥)
2
№77
1
1
1 2
1
а)2𝑥 2 − 2𝑥 + = 2 (𝑥 − ) (𝑥 − ) = 2 (𝑥 − )
2
2
2
2
2
2
б)−9𝑥 2 + 12𝑥 − 4 = −9 (𝑥 − ) (𝑥 − ) = (2 − 3𝑥)(3𝑥 − 2) = −(3𝑥 − 2)2
3
3
3
3
в)16𝑎2 + 24𝑎 + 9 = 16 (𝑎 + ) (𝑎 + ) = (4𝑎 + 3)(4𝑎 + 3) = (4𝑎 + 3)2
4
4
г)0,25𝑚2 − 2𝑚 + 4 = 0,25(𝑚 − 4)(𝑚 − 4) = (0,5𝑚 − 2)2
№78
а)2𝑥 2 + 12𝑥 − 14 = 2(𝑥 − 1)(𝑥 + 7)
б)- 𝑚2 + 5𝑚 − 6 = −(𝑚 − 3)(𝑚 − 2) = (3 − 𝑚) (𝑚 − 2)
в)3𝑥 2 + 5𝑥 − 2 = (3𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
2
2
3
3
г)6𝑥 2 − 13𝑥 + 6 = 6(𝑥 − ) (𝑥 − )
№80
Достаточно найти 𝖣
а)−3𝑦 2 + 3𝑦 + 11
𝖣=9-4∙ (−3) ∙ 11 = 9 + 132 = 141 = 0
б)4𝑏 2 − 9𝑏 + 7
𝖣=81-4∙ 4 ∙ 7 = 81 − 112 = −31 < 0
в)𝑥 2 − 7𝑥 + 11
𝖣=49-44=5> 0
г)3𝑦 2 − 12𝑦 + 12
𝖣=144-144=0
Ответ: а), в), г). – можно. Б) – нельзя
№81 Если а вынесем за скобки, то имеем:
𝑎(𝑥 2 + 𝑥 + 1),х2 + х + 1=0.
Ответ: нельзя
𝖣=1-4 = -3 < 0.
№83
а)
4𝑥+4
3𝑥 2 +2𝑥−1
б)
в)
г)
3𝑥−1
2𝑎2 −5𝑎−3
3𝑎−9
16−𝑏2
𝑏2 −𝑏−12
4
=
𝑦 2 −9
=
𝑟 2 −11𝑟+10
д)
е)
2𝑎+1
=
3
=−
2𝑦 2 +7𝑦+3
3𝑥 2 +16𝑥−12
10−13𝑥−3𝑥 2
4+𝑏
𝑏+3
2𝑦+1
1−𝑟
, где 4 − 𝑏 ≠ 0
, где 𝑟 − 10 ≠ 0.
𝑟+2
=−
, где 𝑎 − 3 ≠ 0.
, где 𝑦 + 3 ≠ 0.
𝑦−3
=
20+8𝑟−𝑟 2
, где 𝑥 + 1 ≠ 0.
𝑥+6
𝑥+5
2
, где 𝑥 − ≠ 0.
3
№84
𝑥 2 −11𝑥+24
а)
𝑥 2 −64
б)
2𝑦 2 +9𝑦−5
4𝑦 2 −1
(𝑥−8)(𝑥−3)
=
(𝑥−8)(𝑥+8)
=
1
2
2(𝑦− )(𝑦+5)
=
(2𝑦−1)(2𝑦+1)
𝑥−3
𝑥+8
=
, где 𝑥 − 8 ≠ 0.
𝑦+5
2𝑦+1
№85
а)
36−𝑥 2
6−7𝑥+𝑥 2
=−
При х=-9; −
6+𝑥
𝑥−1
6−9
−9−1
При х=-99, −
.
= −0,3
6−99
−99−1
При х=-999, −
= −0,93
6−999
−999−1
= −0,993.
, где 2𝑦 − 1 ≠ 0.
б)
4𝑥 2 +8𝑥−32
4𝑥 2 −16
При х =-1,
При х=5,
=
2∙10+4
−2+4
18
=
2∙10+8
−2+8
=
(2𝑥+4)
2∙5+4
=
(2𝑥−4)(2𝑥+8)
(2𝑥−4)(2𝑥+4) (2𝑥−4)(2𝑥+4)
(2𝑥+8)
2∙5+8
При х=10,
4(𝑥−2)(𝑥+4)
, где 2𝑥 − 4 ≠ 0
(2𝑥+4)
6
= = 3.
2
9
2
7
7
= =1 .
14
=
(2𝑥+8)
=
28
24
7
1
6
6
= =1 .
№86
у=х-4, у =
𝑥 2 −6𝑥+8
𝑥 −2
=
(𝑥−4)(𝑥−2)
𝑥−2
= 𝑥 − 4, где 𝑥 − 2 ≠ 0, 𝑥 ≠ 2.
Ответ: На втором графике надо удалить точку с абсциссой х=2.
Повторение.
№87
а)
𝑥 2 −1
2
− 11𝑥 = 11.
б)
𝑥 2 +𝑥
2
=
8𝑥−7
3
.
1
Ответ: -1;23.
Ответ:2; 2 .
3
№88
а) 4𝑥 2 − 6𝑥 + 2ху − 3у = 2х(2х − 3) + у(2х − 3) = (2х − 3)(2х + у).
б)
4𝑎3 + 2𝑏 3 − 2𝑎2 𝑏 − 4𝑎𝑏 2 = (4𝑎3 − 2𝑎2 𝑏) + (2𝑏3 − 4𝑎𝑏 2 ) = 2𝑎2 (2𝑎 −
𝑏) + 2𝑏 2 (𝑏 − 2𝑎) = (2𝑎 − 𝑏)(2𝑎2 − 2𝑏 2 ) = 2(2𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏).
№89
f(x)=0,8x+2,1
g(x)=-0,9x+3
0,8x+2,1=-0,9x+3
9
x= ;
1,7x=0,9
f(x) =
8
17
∙
9
10 17
+ 2,1 =
36
85
+2
1
10
=2
Ответ в I координатной четверти.
72+17
170
=2
89
170
.