Решения и критерии

Математический марафон старшеклассников
20 сентября 2015 г.
ГЕОМЕТРИЯ
Решения и критерии проверки.
1.
(1 балл) Чему равен угол при вершине в правильном шестиугольнике. Ответ обоснуйте.
1
 n  2 , а можно опираться на
n
разбиение шестиугольника на шесть равносторонних треугольников с общей вершиной в точке
пересечения диагоналей шестиугольника.
РЕШЕНИЕ. 120º. Можно воспользоваться формулой  
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Баллы
1
0,5
0
2.
Правильность (ошибочность) решения
Дан аргументированный ответ с использованием формулы или опорой на
разбиении шестиугольника на правильные треугольники.
Дан аргументированный, но ошибочной ответ, из-за арифметической ошибки
или описки.
Решение неверное. Задача не подходит ни под один из названных критериев.
(2 балла) В треугольнике ABC угол C равен 90º, высота СН  10 3 , sin A 
1
,. Найдите длину
2
СВ.
1 10 3

 АС  20 3 . (или воспользоваться
2
АС
теоремой об угле 30º в прямоугольном треугольнике).
1
1
(угол 30º или через тригонометрические формулы),
sin A   tgA 
2
3
1
CB
tgA 

 CB  20 .
3 20 3
РЕШЕНИЕ. АСН : sin A 
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Баллы
2
1
0,5
0
Правильность (ошибочность) решения
Дан аргументированный верный ответ
Дан аргументированный ответ. Допущена ошибка в тригонометрических
вычислениях
Ответ не верен, но присутствуют некоторые подвижки в решении (например,
найден сторона АС).
Решение неверное, продвижения отсутствуют или решение отсутствует.
3.
(2 балла) В равнобедренном треугольнике АВС с углом при вершине В в
30и боковой стороной 4, проведена высоты AN и ВР. Точка К – середина стороны
АB. Найдите площадь треугольника АРК.
РЕШЕНИЕ. КР – средняя линия, поэтому
АКР
подобен
АВС
с
коэффициентом подобия 1/2.
S AKP 1
1
1 1
 . S AKP  S ABC    4  4  sin 30   1.
4
4 2
S ABC 4
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Баллы
2
1
0,5
0
Правильность (ошибочность) решения
Дан аргументированный верный ответ
Дан аргументированный ответ. Допущена арифметическая ошибка или
описка. Отношение площадей подобных фигур взято как коэффициент
подобия, а не как его квадрат.
Ответ не верен, но присутствуют некоторые подвижки в решении.
Решение неверное, продвижения отсутствуют или решение отсутствует.
4.
(3 балла) В условиях предыдущей задачи, докажите, что окружность описанная вокруг
треугольника АВN, проходит через точку Р.
РЕШЕНИЕ. Треугольник АВN - прямоугольный, поэтому АВ – диаметр описанной окружности, К ее
центр и КА=КВ=КN как радиусы. Для того, чтобы доказать, что окружность описанная вокруг
треугольника АВN, проходит через точку Р, достаточно доказать, что КР – радиус.
1
1
Но КР  ВС  АВ  КА , ч.т.д. (или можно основываться на том, что ΔАКР равнобедренный, так
2
2
как подобен ΔАВС).
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Баллы
3
2
1
0,5
0
Правильность (ошибочность) решения
Дан аргументированный верный ответ
Доказательство в целом верное, однако присутствую неточности в логике
изложения.
Доказательство отсутствует. Отмечен факт того, что треугольник АВN
прямоугольный и определен радиус окружности, описанной около него.
Ответ не верен, но присутствуют незначительные подвижки в решении.
Решение неверное, продвижения отсутствуют или решение отсутствует.
5.
(4 балла) АВСА1В1С1 – прямая треугольная призма, все ребра которой равны 2, точка К –
середина ребра В1С1, точка Е – середина ребра АА1. Пусть  – плоскость, проходящая через точки
В, Е и С1. Верно ли утверждение?
a.
(1б) Расстояние между прямыми ВВ1 и АС больше, чем 1,5.
b.
(1б) Плоскость  перпендикулярна плоскости грани ВСС1В1.
c.
(2б) Линия пересечения плоскости  с плоскостью АВС параллельна прямой А1К.
Ответы обоснуйте.
РЕШЕНИЕ.
a.
ДА. Построим BH  AC (высота и медиана), BH является общим перпендикуляром
скрещивающихся прямых AC и BB1 , следовательно, является искомым расстоянием.
BH  4  1  3  1,7  1,5
b.
ДА. Треугольник ВЕС1 равнобедренный, поэтому ЕО  ВC1 (медиана и высота), ЕО  В1C по
той же причине (или ЕО  ВВ1 по теореме о трех перпендикулярах), следовательно ЕО  ВВ1C , а
значит исследуемые плоскости перпендикулярны по признаку перпендикулярности плоскостей.
c.
ДА. Линия пересечения является основанием ХС1В со средней линией АК1 ( АК ). Продлим
сторону С1Е до пересечения со стороной СА, получим точку Х. ХС1С подобен ХЕА с
коэффициентом подобия 2, поэтому ХА=АС.
2 способ. Без построения сечения. ЕО АВС и ЕО  ВЕС1 , поэтому по Лемме линия пересечения
плоскости  с плоскостью АВС параллельна прямой ЕО, а, следовательно, и А1К.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Баллы
Правильность (ошибочность) решения
4
Дан аргументированный верный ответ на все три вопроса
Дан аргументированный верный ответ на два вопроса и частично не верный
третий (например сечение построено верно, в доказательстве ошибка). Или
дан аргументированный верный ответ на два вопроса один из которых третий.
Дан аргументированный верный ответ на два вопроса (первый или второй)
или только на третий вопрос.
Дан аргументированный верный ответ на один вопрос (первый или второй)
или частично не верный третий (например сечение построено верно, в
доказательстве ошибка).
Ответ не верен, но присутствуют незначительные подвижки в решении.
Решение неверное, продвижения отсутствуют или решение отсутствует.
3
2
1
0,5
0
КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН И ТЕОРЕМА ВИЕТА
Задание 1 (1 балл) Решить уравнение: x  x  6  0
Решение:
x  t  0  t 2  t  6  0  t1  2; t2  3( посторонний )  x  4.
Ответ: x  4.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
1 балл
Обоснованно получен правильный ответ.
0,5
баллов
В ответе посторонний корень.
0 баллов
Решение не соответствует ни одному из перечисленных критериев.
Задание 2 (2 балла) Решить уравнение без использования вычислительной
техники: 80000000 x 2  79999999 x  1  0.
Решение Пусть x  t  0. Ответ t  1 очевиден, тогда
(теорема Виета) t  
x  1 , второй корень уравнения
1
 0 и других решений нет.
80000000
Ответ: x  1 .
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
2 балла
Обоснованно получены все правильные ответы.
1 балл
В ответе посторонний корень или отсутствует обоснование.
0 баллов
Решение не соответствует ни одному из перечисленных критериев.
Задание 3 (2 балла) Докажите, что уравнение ax 2  x  1  0 имеет корень на отрезке  0;1 при
любом положительном a.
Решение: y( x)  ax 2  x  1(график парабола)  y(0)  1; y(1)  a  0. Поэтому график параболы
пересекает ось абсцисс внутри отрезка  0;1 .
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
2 балла
Все рассуждения полностью обоснованы.
1 балл
Допущена описка или арифметическая ошибка.
0 баллов
Решение не соответствует ни одному из перечисленных критериев.
Задание 4 (3 балла) При каком
положительный корень?
a уравнение x 4  ax 2  a 2  3  0 имеет ровно один
Решение: Положим x 2  t  0 . Для того, чтобы биквадратное уравнение имело ровно один
положительный корень нужно, чтобы уравнение t 2  at  a 2  3  0 имело ровно один
положительный корень, а это возможнолибо когда корни квадратного уравнения разных знаков,
то есть при a 2  3  0   3  a  3 , либо когда D  3a 2  12  0  a  2 и корень
квадратного уравнения положителен. Пригодно лишь a  2.
Ответ: a  2;  3  a  3.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
3 балла
Приведена верная последовательность шагов решения
2 балла
Либо потеряно решение a  2 , либо присутствует постороннее
решение a  2 , либо имеются вычислительные ошибки.
1 балл
Потеряно решение a  2 , присутствует постороннее
решение a  2 , имеются вычислительные ошибки. Или не
рассмотрен случай D=0.
0 баллов
Решение не соответствует ни одному из перечисленных критериев.
Задание 5 (4 балла) Известно, что у уравнения x 4  x 2  a  0 есть 4 действительных корня.
1)Найдите сумму квадратов всех его корней. 2) Найдите сумму четвертых степеней всех его
корней.
Решение: 1) Положим
действительных корня
положительны.
x 2  t  0 . Для того, чтобы биквадратное уравнение имело 4
нужно, чтобы у квадратного уравнения все корни были
1)t 2  t  a  0  x1,2   t1 ; x3,4   t2  x12  x2 2  x32  x4 2  2(t1  t2 )  2(ТеоремаВиета).
2) x14  x12  a; x2 4  x2 2  a; x34  x32  a; x4 4  x4 2  a 
x14  x2 4  x34  x4 4  x12  x2 2  x32  x4 2  4a  2  4a.
Ответ: 1) 2. 2) 2  4a.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
4 балла
Обоснованно получен правильный ответ.
3 балла
При решении допущена описка или арифметическая ошибка.
2 балла
Выполнен лишь 1).
1 балл
В пункте 1) получен лишь ошибочный ответ 1.
0 баллов
Решение не соответствует ни одному из перечисленных критериев.
НЕРАВЕНСТВА
1.
(1 балл) Решите неравенство x 2  18 x  81  0
Решение: ( x  9) 2  0
 x  9 .
Ответ: x  9 .
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Баллы
Верно определен корень квадратного трехчлена, квадратный трехчлен
представлен в виде полного квадрата или верно изображена парабола. Верно
решено неравенство. Получен правильный ответ.
1
Верно определен корень квадратного трехчлена, квадратный трехчлен
представлен в виде полного квадрата или верно изображена парабола.
Неравенство решено неверно. Получен неверный ответ.
0,5
Ни одно из выше перечисленных действий не выполнено
0
2.
Правильность (ошибочность) решения
(2 балла) Решите неравенство
(25  x ) x  4  0
2
Решение: ОДЗ: x  4  0  x  4
25  x 2  0  x   ;5  5;

. С учетом ОДЗ x   4 5;.

 x  4
 x  4  0
Ответ: x   4 5;.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Баллы
2
1,5
1
0,5
0
3.
Правильность (ошибочность) решения
Полное верное решение.
Правильно записана ОДЗ, совокупность неравенств или верно произведено
разбиение на случаи, имеется арифметическая ошибка ИЛИ не записан ответ
Правильно записана совокупность неравенств или верно произведено
разбиение на случаи, ограничение на х отсутствует
Верно найдена ОДЗ или ограничение на х в системе.
Решение неверное, продвижения отсутствуют или решение отсутствует
(2 балла) Найдите произведение всех целых решений неравенства:
( x  2)( x  2) 2 (7  x)
0
( x  1)( x  5)
Решение:
( x  2)( x  2) 2 (7  x)
( x  2)( x  2) 2 ( x  7)
0 
0 
( x  1)( x  5)
( x  1)( x  5)
x   2;1  2 5;7.
Произведение всех целых решений (2)  2  6  7  168.
Ответ: -168.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Баллы
2
1,5
1
0,5
0
Правильность (ошибочность) решения
Полное верное решение.
Неравенство решено верно, при вычислении произведения допущена
арифметическая ошибка
Найдено решение неравенства, отличающееся от правильного конечным
числом значений.
Верно определены нули числителя и знаменателя, при этом они верно
обозначены на числовой прямой (темные и светлые точки), верно определен
знак в одном из крайних промежутков
Продвижения отсутствуют или решение отсутствует
(3 балла) Решите неравенство:
4.
5
x4  x3
x4  x3
x4  x3
 4
x4  x3
9 x4
Решение: ОДЗ: x  3 .
Умножим числители и знаменатели на положительные по ОДЗ сопряженные выражения.
5
x4  x3
x4  x3

x4  x3
x4  x3
4
x4  x3
x4  x3

x4  x3
x4  x3
9 x4
5( x  4  x  3 )  4( x  4  x  3 )  9 x  4
5 x4 4 x4 5 x3 4 x3 9 x4
9 x4  x3 9 x4 
x  3  0. С учетом ОДЗ x  3.
Ответ: x  3.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Баллы
3
2,5
2
Правильность (ошибочность) решения
Полное верное решение.
Решение, в целом, верное, но правильный ответ не получен из-за небольших
неточностей (возможна арифметическая ошибка) или отсутствует
Решение, в целом, верное, но последнее неравенство решено неверно.
Верно найдена ОДЗ, предложена идея умножения на сопряженные выражения,
но дальнейшее решение отсутствует или неверно.
1
Верно найдена ОДЗ.
0,5
Решение неверное, продвижения отсутствуют или решение отсутствует.
0
5.
(4 балла) Найти все значения параметра а, при которых существует положительное
решение неравенства 2  x  a  x 2 .
Решение: Эта задача сводится к следующей: найти все а, при которых система неравенств
 x  a  2  x2

2
имеет решение (сами решения не требуется находить!).
2  x  0
x  0

x  a  2  x 2
a  2  x  x 2
 x  a  2  x


  x  a  x 2  2  a  x 2  x  2

0  x  2


0  x  2
0  x  2
2
Решим неравенства в плоскости (x,a).
Построим графики a   x 2  x  2 и a  x 2  x  2 .
1
2
Это параболы a  ( x  ) 2 
9
1
9
и a  (x  )2  .
4
2
4
Первая парабола пересекает ось а в точке а=2.
1
2
9
4
Вершина второй находится справа от оси а в точке x  ; a   . Найдем абсциссы точек
пересечения парабол:
2  x  x 2  x 2  x  2  2x 2  4  x 2  2  x   2 .
Решение внутри области, образованной параболами и 0  x  2 .
 9
 4


Ответ: a  .  ;2 
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Баллы
3
2,5
Правильность (ошибочность) решения
Полное верное решение.
Решение верное, но из-за некоторых неточностей правильный ответ не получен
(возможна арифметическая ошибка) ИЛИ
при решении системы потеряно условие 0  x  2
2
1,5
1
0,5
0
Верно построена система неравенств, построены параболы (или определен вид
парабол, вершины). Но решение не завершено.
Верно построена система неравенств, но идеи ее решения отсутствуют или
неверны.
Предложены некоторые верные идеи решения (возможно, нерациональные), но
сами идеи не реализованы.
Верно раскрыт модуль, продвижения отсутствуют.
Решение неверное, продвижения отсутствуют или решение отсутствует.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
Задача 1.
Баллы
1
Правильность (ошибочность) решения
Полное верное решение.
Верная последовательность действий, но имеется арифметическая ошибка ИЛИ
0,5
Найдена верно только стоимость покупки, а сдача не найдена. ИЛИ
Указан только верный ответ без комментариев.
Решение неверное, продвижения отсутствуют или решение отсутствует.
0
Содержится только ответ без необходимых действий.
Задача 2.
Баллы
1
0,5
0
Правильность (ошибочность) решения
Полное верное решение.
Верные рассуждения, но имеется арифметическая ошибка.
Решение неверное, продвижения отсутствуют или решение отсутствует.
Задача 3.
Баллы
2
Правильность (ошибочность) решения
Полное верное решение (каждой букве верно сопоставлена цифра).
1,5
Трем буквам верно сопоставлены цифры.
1
Двум буквам верно сопоставлены цифры.
0,5
0
Только одной букве верно сопоставлены цифры.
Нет ни одной верной комбинации.
Задача 4.
Баллы
2
Правильность (ошибочность) решения
Полное верное решение.
1,5
Решение верное, но из-за некоторых неточностей правильный ответ не получен
(возможна арифметическая ошибка).
1
Получена верная система уравнений. Но ее решение неверное или не завершено, или
отсутствует.
0,5
0
Установлено верно одно или два соотношения между введенными переменными,
других продвижений нет.
Решение неверное, продвижения отсутствуют или решение отсутствует.
Задача 5.
Баллы
3
Правильность (ошибочность) решения
Полное верное решение.
Решение верное, но из-за некоторых неточностей правильный ответ не получен
(возможна арифметическая ошибка). ИЛИ
2,5
При решении системы верно найдена необходимая переменная, но не сделано
никаких замечаний о том, имеет ли смысл значение другой переменной в контексте
задачи.
2
Верна построена система уравнений, есть идеи решения. Но решение не завершено.
1,5
Верна построена система уравнений, но идеи ее решения отсутствуют или неверны.
1
Предложены некоторые верные идеи решения (возможно, нерациональные), но сами
идеи не реализованы (например, описано верно только одно из уравнений системы).
0,5
0
Задача 6.
Баллы
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
Есть разумные идеи, которые привели к одному из верных равенств (уравнений).
Решение неверное, продвижения отсутствуют или решение отсутствует.
Правильность (ошибочность) решения
Полное верное решение.
Решение верное, но из-за некоторых неточностей правильный ответ не получен
(возможна арифметическая ошибка или верные вычисления не доведены до
окончательного ответа).
Верна построена система уравнений, есть верные идеи решения. Но решение не
завершено.
Верна построена модель, но идеи ее решения отсутствуют или неверны.
Предложены некоторые верные идеи решения (возможно, нерациональные), но сами
идеи не реализованы (например, смоделировано несколько этапов движения
денежных средств, но верное уравнение или соотношение не получено).
Указан только верный ответ и сделана его проверка.
Решение неверное, продвижения отсутствуют или решение отсутствует.
Решения задач и ответы
1.
(1 балл). Летом килограмм клубники стоит 260 рублей. Маша купила 2 кг 200 г клубники.
Сколько рублей сдачи она должна получить с 1000 рублей?
Решение.
260  2,2 = 572 (руб.) – стоимость покупки;
1000 – 572 = 428 (руб.) – сдача.
Ответ. Сдача составит 428 рублей.
2.
(1 балл). Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 90 км/ч, вторые два часа – со скоростью
70 км/ч и последний час – со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении
всего пути.
Решение.
(90  2 + 70  2 + 60) : 5 = 76.
Ответ. Средняя скорость равна 76 км/ч.
3.
(2 балла). На графике изображена зависимость скорости движения легкового автомобиля на
пути между двумя городами от времени. На вертикальной оси отмечена скорость автомобиля в км/ч, на
горизонтальной – время в часах, прошедшее с начала движения легкового автомобиля.
Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику движения
автомобиля на данном интервале (ответ представьте в виде таблицы соответствия: буква - цифра).
Интервалы времени
Характеристики движения
А) первый час пути
1)
Б) второй час пути
2)
Автомобиль разгонялся, но его скорость не превышала
40 км/ч
В) третий час пути
Г) четвертый час пути
Ответ.
А – 2;
Б – 4;
Скорость автомобиля достигла максимума
3)
Автомобиль сделал остановку
4)
Автомобиль не разгонялся
В – 3;
Г – 1.
4.
(2 балла). Игорь и Паша могут покрасить забор за 9 часов. Паша и Володя могут
покрасить этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь – за 18 часов. За сколько часов
мальчики покрасят забор, работая втроем? Каждый из мальчиков все время работает с
постоянной производительностью.
Решение. Пусть
х – доля работы, которую выполняет за 1 час Игорь;
у – доля работы, которую выполняет за 1 час Паша;
z – доля работы, которую выполняет за 1 час Володя.
Тогда из условий задачи получим систему уравнений:
Сложив уравнения системы и разделив на 2, получим:
.
Следовательно, втроем они выполнят всю работу за 8 часов.
Примечание. Возможно, в решении будут использованы другие обозначения, что приведет
к другой системе уравнений.
Ответ. Втроем мальчики покрасят забор за 8 часов.
5.
(3 балла). Смешав 43%-ый и 89%-ый растворы кислоты и добавив 10 кг чистой
воды, получили 69%-ый раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%го раствора той же кислоты, то получили бы 73%-ый раствор кислоты. Сколько
килограммов 43%-го раствора использовали для получения смеси?
Решение. Пусть
х кг – 43%-го раствора;
у кг – 98%-го раствора.
Из условий задачи получим систему уравнений:
Умножим каждое уравнение системы на 100:
(*)
Вычитая из второго уравнения первое, получим: 500 = 4х + 4у + 40 
х+у=115. (**)
Приведя подобные в первом уравнении системы (*) и добавив уравнение (**), получим
новую систему:
. Умножив второе уравнение на 10 и вычитая из
полученного уравнения первое уравнение системы, найдем х:
х = 805 : 23, х = 35.
23х = 1150 – 345, т.е.
Заметим, что при таком значении переменной х, переменная у = 80 (имеет смысл).
Ответ. Использовали 35 кг 43%-го раствора.
6.
(3 балла). 30 декабря 2014 года Михаил взял в банке 16 550 000 рублей в кредит
под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 30 декабря каждого следующего
года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 10%),
затем Михаил переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Михаил
выплатил долг тремя равными платежами, т.е. за три года?
Решение.
Для удобства будем в расчетах использовать тыс. руб.
Из условий получим следующее уравнение:
Раскрыв скобки и приведя подобные, получим
(тыс. руб.)
Ответ. 6 655 000 рублей.
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ab  4b  2a  8
.
a 2  16
ab  4b  2a  8 b(a  4)  2(a  4) (a  4)(b  2) b  2



(a  4)( a  4)
(a  4)( a  4) a  4
a 2  16
(1 балл) Упростить
1.
Решение.
b2
a4
1 балл
Ответ.
2.
Верно выполнено разложение на множители числителя и знаменателя.
Получен верный ответ.
0,5
баллов
Ход решения верный, но допущена вычислительная ошибка, которая
привела к неверному ответу.
0 баллов
Решение неверное. Задача не подходит ни под один из критериев
(1 балл) Вычислить ( 27  2
Решение.
1
 12 )  12
3
1
 12  12  12  9  3  3  4  2 4  12  12  18  4  12  26
3
Правильно выполнены все вычисления. Получен верный ответ.
27  12  2
1 балл
0,5 баллов
Ход решения верный, но допущена вычислительная ошибка, которая
привела к неверному ответу.
0 баллов
Решение неверное. Задача не подходит ни под один из названных
критериев.
3.
(2 балла) Задание а) необходимо выполнять тем, кто по программе изучал
логарифмы, задание б) – тем, кто изучал производную. Баллы выставляются только за
одно из заданий или за а) или за б).
а) Найдите значение выражения при заданном условии log a 2 b a 2 b 4 , если log a b  4 .
Решение. Ответ: 4,5
1  log a 2 b 4
1  2 log a b 1  2  4 9

  4,5
log a 2 a b 1  log a 2 b 1  1 log b 1  1  4 2
a
4
4
4
18
 4,5
2 способ: log a b  4  b  a 4 , подставляем log a 2 a 4 a 2 a 4   log a 4 a 18 
4
2 балла
Верно выполнены все вычисления. Получен ответ.
1 способ: log a 2
a b 
2
b
4
log a 2 a 2 b 4
2


1 балл
Ход решения верный, но допущена вычислительная ошибка, которая
привела к неверному ответу.
0,5 баллов
Предприняты попытки воспользоваться свойствами логарифмов
(разложить произведение на сумму логарифмов, вынести степени), но
действия не доведены до конца, ответ не получен.
0 баллов
Решение неверное. Задача не подходит ни под один из названных
критериев
– значения функции y  0,2  x 5  x  4 в точке минимума и
m
максимума соответственно. Найдите значение
.
M
Решение. y   1  x 4  1 . Находим критические точки  x 4  1  0 , откуда x1  1 и
б) Пусть
m и M
. Получаем,
x2  1 . Исследуем знаки производной на интервалах
что x=-1 точка минимума, а x=1 точка максимума. Значения функции в найденных точках
m 3,2 2
m  y (1)  0,2  1  4  3,2 и M  y (1)  0,2  1  4  4,8 . Тогда

 .
M 4,8 3
2
Ответ:
3
2 балла
Верно найдены все значения. Получен правильный ответ.
1 балл
Нашли отношение не значений функции, а значений аргументов. Либо
ход решения верный, но допущена вычислительная ошибка, которая
привела к неверному ответу.
0,5 баллов
Верно найдена только производная функции
0 баллов
Решение неверное. Задача не подходит ни под один из названных
критериев

3
 3
и  ( ; ) .
4
5
2 2



2 3
2
 
 ( 1  sin 2  ) 
Решение. sin(   )  sin   cos  cos   sin 
4
4
4
2 5 2
3 2
2 4
2
 3

 
Учитывая условие   ( ; ) , продолжаем равенство 
.
10
2 5
10
2 2
2 балла
Верно выполнены все действия. Получен правильный ответ.
4.
(2 балла) Найти
sin(  
) , если sin  
1 балл
Выполнено разложение по формуле. Подставлены значения, записано
как найти cos  через основное тригонометрическое тождество.
Допущена вычислительная ошибка, которая привела к неверному
ответу
0,5 баллов
Есть некоторые подвижки. Например, верно выполнено только
разложение по формуле и подставлены известные значения.
0 баллов
Решение неверное. Задача не подходит ни под один из названных
критериев
5.
(3 балла) Найдите наименьшее значение выражения 4 x 2  28 xy  6 y  50 y 2  17 и
значения x и y, при которых оно достигается.
Решение. 4 x 2 28 xy  49 y 2  y 2  6 y  9  26  (2 x  7 y) 2  ( y  3) 2  26 . Откуда, получаем
21
y  3; x 
 10,5 . Наименьшее значение выражение равно (-26).
2
Ответ: -26; x=10,5; y=3.
3 балла
Аргументировано получен верный ответ
2 балла
Ход решения верный. Допущена вычислительная ошибка, приведшая к
неверному ответу
1 балл
Есть некоторые рассуждения в верном направлении, но найдены не все
значения
0 баллов
Решение неверное. Задача не подходит ни под один из названных критериев
(3 балла). Известно, что a  b  c  7 , а
6.
1
1
1


 0,7 . Найдите сумму
ab bc ac
a
b
c


.
bc ac ba
Решение.
1
1
1


)  4,9 . Раскроем скобки
ab bc ac
abc abc abc
c
a
b


 1
1
1
 4,9 .
Откуда
значение
ab
bc
ac
ab
bc
ac
a
b
c


 4,9  3  1,9
искомого выражения
bc ac ba
2 способ: Выражаем из a  b  c  7 поочередно a, b, c и подставляем в искомое
выражение
a
b
c
7  (b  c) 7  (a  c) 7  (b  a)
7
7
7






1
1
1 
bc ac ba
bc
ac
ba
bc
ac
ab
1
1 
 1
 7


  3  7  0,7  3  1,9
ab bc ac
Ответ: 1,9.
3 балла
Аргументировано получен верный ответ
1
способ:
Перемножим
(a  b  c)  (
2 балла
Ход решения верный. Допущена вычислительная ошибка, приведшая к
неверному ответу
1 балл
Есть некоторые рассуждения в верном направлении, но найдены не все
значения
0 баллов
Решение неверное. Задача не подходит ни под один из названных критериев
УРАВНЕНИЯ
Задание 1 (1 балл) Решить уравнение:
.
Решение:
Ответ: 2.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
1 балл
Обоснованно получен правильный ответ.
0,5 балла
Решение не доведено до конца или допущена арифметическая ошибка.
0 баллов
Решение не соответствует ни одному из перечисленных критериев.
Задание 2 (1 балл) Решить уравнение:
Решение:
, при условии
Ответ:
.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
1 балл
Обоснованно получен правильный ответ.
0,5 балла
Решение не доведено до конца или допущена арифметическая ошибка.
0 баллов
Решение не соответствует ни одному из перечисленных критериев.
Задание 3 (2 балла) Решить уравнение:
Решение:
15  x  0
x  3
 x  3


3  x  0
 2
9  x  0
 x  18 x  45  9  x  2

2
 x  18 x  45  81  18 x  x
15  x  2 15  x 3  x   3  x  36
 9  x  3

 x  1
Ответ:
.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
2 балла
Обе части уравнения верно возведены в квадрат, верно решено
полученное уравнение, верно указана область допустимых значений,
произведен отбор корней (с помощью условия на правую часть
или с помощью проверки).
1 балл
Допущена описка или арифметическая ошибка.
0,5 балла
Обе части уравнения верно возведены в квадрат, решено полученное
уравнение, но не указана область допустимых значений. Или не
произведен отбор корней (с помощью условия на правую часть
или с помощью проверки).
0 баллов
Уравнение решено с арифметической ошибкой и не произведен отбор
корней.
Задание 4 (2 балла) Решить уравнение:
Решение:
Ответ:
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
2 балла
Приведена верная последовательность шагов решения: 1) верно
числитель разложен на множители, 2) верно указана ОДЗ, 3) верно
выполнены вычисления и отобран корень.
Или обе части уравнения домножены на знаменатель, верно решено
полученное уравнение 3-ей степени, учтена ОДЗ.
1 балл
Допущена описка или арифметическая ошибка.
0 баллов
Решение не соответствует ни одному из перечисленных критериев.
Задание 5 (3 балла) Решить систему уравнений:
Решение: преобразуем второе уравнение:
Сделаем замену:
Ответ:
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
3 балла
Обоснованно получен правильный ответ.
2 балла
При решении допущена описка или арифметическая ошибка.
1 балл
Не верно выделен полный квадрат во втором уравнении. С учетом этой
ошибки решение доведено до конца, но получен не верный ответ
0 баллов
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.
Задание 6 (3 балла) При каких значениях параметра, а уравнение
имеет ровно один корень?
Решение:
Следовательно,
является посторонним корнем, т. е. не удовлетворяет ОДЗ
Или корни совпадают
Ответ:
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
3 бала
Верно выполнены все этапы решения: а) определена ОДЗ; в) найдены
возможные корни; с) с учетом требования условия «единственный корень»
верно выписано условие (5
); d) рассмотрен случай совпадения корней.
2 балла
В целом решение верное, но допущена описка или негрубая ошибка.
1 балл
Ответ неполный, не рассмотрен случай совпадения корней, или случай когда
один из корней не удовлетворяет ОДЗ.
0 баллов
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.