БАЛКИ И ПЛИТЫ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ А.Ю. ЦВЕЙ

МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ)
А.Ю. ЦВЕЙ
БАЛКИ И ПЛИТЫ
НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
ЛЕКЦИИ С ПРИМЕРАМИ РАСЧЕТА ПО СПЕЦИАЛЬНОМУ
КУРСУ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
(МАДИ)
А.Ю. ЦВЕЙ
БАЛКИ И ПЛИТЫ
НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
ЛЕКЦИИ С ПРИМЕРАМИ РАСЧЕТА ПО СПЕЦИАЛЬНОМУ
КУРСУ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
Утверждено
в качестве учебного пособия
редсоветом МАДИ
МОСКВА
МАДИ
2014
УДК 539.31.6
ББК 30.121
Ц26
Рецензенты:
д-р техн. наук, проф. И.В. Демьянушко,
канд. техн. наук, доц. В.И. Иванов-Дятлов
Цвей, А.Ю.
Ц26
Балки и плиты на упругом основании. Лекции с примерами
расчета по специальному курсу строительной механики: учеб.
пособие / А.Ю. Цвей. – М.: МАДИ, 2014. – 96 с.
В предлагаемом курсе лекций профессора А.Ю. Цвея рассматриваются различные методы расчета балок и плит на «винклеровом» упругом основании. Особое внимание уделено методу конечных элементов. Общность исходных предпосылок, заключающаяся в дискретизации расчетной системы: «балка (или плита), лежащая на упруго смещающихся линейных связях и нагруженная сосредоточенными силами в узлах», позволяет применить МКЭ в едином виде для обоих изучаемых объектов.
Лекции, содержащие теоретические основы разных методов и
многочисленные примеры расчета, читались автором в специальном курсе строительной механики студентам 4 курса факультета
«Строительство аэропортов» МАДИ в 2003–2006 гг. В 2008 г. метод
конечных элементов в предлагаемом виде для расчета балок и плит
на упругом основании был доложен автором на 66-ой научной конференции МАДИ(ГТУ).
Подробность и доступность изложенного материала позволяет рекомендовать пособие для обучения студентов, а также аспирантам и инженерам, для практической работы.
УДК 539.31.6
ББК 30.121
© МАДИ, 2014
© А.Ю. Цвей, 2014
3
Коллегам по работе в МАДИ
и моим бывшим студентам
посвящаю
От автора
Содержание учебного пособия посвящено различным методам расчѐта
балок и плит на упругом основании, и прежде всего, методу конечных элементов (МКЭ), широко используемому в инженерной практике. Здесь предлагается особая трактовка рассматриваемого метода расчѐта.
Автор считает целесообразным оба объекта – балку и плиту на упругом
основании изучать в одном, специальном курсе строительной механики, а
не так, как это делается до сих пор. (Балка на упругом основании рассматривается в курсе «Сопротивление материалов» с применением метода начальных параметров, а плита – в курсе «Теория упругости» с применением
метода конечных разностей.)
В теории и расчѐтах обоих объектов методом конечных элементов в
предлагаемой трактовке нет принципиальных различий. Дискретизация
обеих систем: «балка» или «плита» – «основание» – «нагрузка» проводится
одинаково. Одинаков и математический аппарат расчѐта, требующий знания основ линейной алгебры.
Учебное пособие основывается на лекциях, которые автор в течение четырѐх лет читал в виде элективного курса на 4-м курсе дорожностроительного факультета МАДИ. Содержание изложено в виде 16 лекций
и сопровождается многочисленными примерами расчѐта.
Лекции различны по объѐму и в ряде случаев носят ознакомительный характер. Это позволяет лектору самому определять необходимость и глубину изучения различных разделов курса.
В конце пособия имеется перечень литературы, которая в той или иной
степени использовалась автором. В этом перечне находятся и авторские
«Лекции по сопротивлению материалов» в 3-х частях. В определѐнной степени настоящее пособие может рассматриваться как продолжение курса
этих «Лекций».
Автор счѐл возможным в последней главе пособия предложить примеры
задач для возможной самостоятельной работы студентов.
В Приложении содержатся необходимые сведения из линейной алгебры.
***
Автор выражает искреннюю благодарность проректору МАДИ П.И. Поспелову, заведующей кафедрой «строительная механика» И.В. Демьянушко
и заведующему отделом оперативной полиграфии В.Ф. Дѐмушкину за помощь в опубликовании настоящего труда.
Автор признателен рецензентам И.В. Демьянушко и В.И. Иванову-Дятлову за прочтение рукописи книги и сделанные замечания.
Особой благодарности заслуживают сотрудники института Н. Томахина,
М. Фаттяхов и М. Бугольц за помощь в оформлении рукописи.
4
РАЗДЕЛ 1. РАСЧЁТ БАЛОК НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
Л е к ц и я 1. Тема 1. Общие понятия о работе и методах
расчѐта балок и плит на упругом основании
1.1. Особенности работы балок и плит на упругом основании
В рассматриваемом пособии объектами изучения являются балки и
плиты, опирающиеся на непрерывное («континуальное») основание.
Примером может являться балка, лежащая на грунте. Расчѐтная
схема этого объекта называется балкой на упругом основании (БУО)
(рис. 1.1,а). Заметим, что помимо континуального основания балка
может иметь и дискретные опоры, как абсолютно жѐсткие, так и упруго податливые. Аналогичные рассуждения относятся и к плитам на
упругом основании (рис. 1.2,а).
Существуют разные модели упругого основания. Простейшей из них
и широко применяемой в расчѐтах является модель так называемого
«винклерова» основания, которая схематично изображѐна для балки
на рис. 1.1,б, а для плиты – на рис. 1.2,б.
В основе гипотезы Винклера (1867) лежит «клавишная» (или «пружинная») модель. Согласно которой в любой точке i балки (или плиты), находящейся под нагрузкой, возникает отпор (реакция) r основания, прямо пропорциональный величине просадки (перемещения) v
(для балки) или w (для плиты). Для балки эта зависимость выражается формулой:
(
)1,
(1.1)
где – коэффициент «постели», определяющий жѐсткость основания;
– ширина балки по поверхности еѐ соприкосновения с основанием. Исходными расчѐтными размерностями величин, , r,
являются меганьютоны (или тонны) и метры.
Значения коэффициентов постели могут существенно различаться даже для грунтов естественного основания.
Из СНиПа ([9], стр. 56), следует, например, что:
для глины – 90 МН/ ;
для песка средней крупности = 120–160 МН/ ;
для крупного песка = 160–180 МН/ .
Ясно, что соотношение жѐсткостей балки и упругого основания существенно влияет на еѐ работу и, соответственно, на результаты расчѐта. Поэтому определение коэффициента постели должно осуществляться с максимально возможной точностью.
1
В пособии используется обе системы измерения: СИ и техническая. При этом
принято считать, что 1МН ≈ 100 т (1т ≈ 0,01 МН).
5
Рис. 1.1.
Отметим, что «пружинная» модель основания предполагает двустороннее сопротивление нагрузке (как сжатию пружины, так и еѐ растяжению). Это противоречит реальному основанию, которое не может
удержать балку (или плиту) от отрыва. Впрочем, при гравитационном
действии сосредоточенных сил P или распределѐнной нагрузки q(z) –
в балке или q(x,y) – в плите отрыв, чаще всего не осуществим хотя
теоретически можно представить и иное.
Итак, отпор основания rпредставляет собой функцию r(z) – для балки (рис. 1.1,в,г) или r (x,y) – для плиты (рис. 1.2,в). Следовательно,
полная интенсивность p нагрузки на балку или на плиту будет складываться из внешней нагрузки q и отпора основания r. Для балки с учѐтом зависимости (1.1) получают:
6
p(z) = q(z) + k·b·v(z).
(1.2)
Рис. 1.2.
1.2. Основы численных методов расчѐта
балок и плит на упругом основании
Как будет показано ниже, при расчѐте балок на «винклеровом» упругом основании возможно точное решение, а при расчѐте плит – нет.
В инженерной практике применяются приближѐнные, численные
методы расчѐта, основанные на дискретизации системы. Для выполнения этого (рис. 1.3,а–в) необходимо:
а) наметить узловые точки i путѐм разбиения оси балки на участки
(интервалы) длиной s или нанесения «сетки» размером s·t на поверхность плиты;
б) свести внешнюю распределѐнную нагрузку q(z) или q(x,y) к сосредоточенным узловым силам P;
в) заменить континуальное основание дискретными упруго податливыми опорами (пружинами), определив при этом их жѐсткости c.
7
Рис. 1.3.
Такую дискретизацию континуальной системы можно назвать физической дискретизацией. Она позволяет рассчитывать рассматриваемые системы численными методами. Одним из них является широко
применяемый на практике метод конечных элементов (МКЭ).
Возможен и другой вариант численного метода, при котором интегрирование дифференциального уравнения задачи сводится к решению системы алгебраических уравнений. В этом заключается метод
конечных разностей (МКР), который основан на математической
дискретизации задачи.
Тема 2. Расчѐт балок на упругом основании точным методом
2.1. Дифференциальное уравнение изгиба
балки на упругом основании
На рис. 2.1 изображена балка АВ на упругом основании, несущая
нагрузку q(z) на участке СД.
8
В соответствии с гипотезой Винклера (1.1) эпюра реакций основания r(z) будет подобна эпюре прогибов v(z). Отметим, что в связи с
малым влиянием отпора основания за пределами балки предполагается, что реакции основания возникают только под балкой. Это можно
считать некоторым недостатком применяемой гипотезы.
Вывод дифференциального уравнения задачи основан на общем
дифференциальном уравнении изгиба балки:
EJ·v// (z) = –M(z ),
(2.1)
где E – модуль упругости; J – момент инерции сечения балки.
С учѐтом того что M//(z) = p(z), после двойного дифференцирования
уравнения получают:
–
– –
(2.2)
При этом предполагается, что положительные значения p, r и q направлены вверх.
Рис. 2.1.
Обычно уравнение (2.2) записывают так:
(2.3)
где интенсивность нагрузки q положительна при направлении вниз.
Полученное неоднородное дифференциальное уравнение четвѐртого порядка записывают в виде:
(2.4)
где величина
[1/м]
(2.5)
называется модулем деформации; он отражает отношение жѐсткостей основания (постели) и балки.
9
Если на балку будут действовать только сосредоточенные силы Р,
то q = 0, и уравнение (2.4) примет вид:
(2.6)
Значительные удобства при расчѐте можно получить, если уравнение (2.4) дважды продифференцировать. Тогда с учѐтом (2.1) получают:
(2.7)
Если интенсивность внешней нагрузки q = const или изменяется по
линейному закону q = a + b·z, то
= 0 и уравнение (2.7) будет однородным относительно M(z):
(2.8)
2.2. Интегрирование дифференциального уравнения
по методу начальных параметров
Общий интеграл уравнения (2.8), как известно, записывается так:
(2.9)
где Ai – произвольные постоянные; а, ri – корни характеристического
уравнения:
имеющие следующие комплексные выражения:
Переходя от показательных функций
к гиперболо- тригонометрическим, получают выражение (2.9) в следующем виде:
(2.10)
где Сi – произвольные постоянные;
и
– гиперболические синус и косинус, связанные с показательными функциями следующими зависимостями:
При этом
Дифференцируя последовательно функцию M(z) (2.10), получают
выражение Q(z), p(z), p/(z): (подробный вывод в книге В.А. Киселѐва [2]).
Далее водят обозначения:
Mo = Mz=o, Qo = Qz=o, рo = рz=o и p/o = p/z=o.
(2.11)
10
Эти факторы называются начальными параметрами.
После ряда преобразований получают значения произвольных постоянных С, выраженные через начальные параметры.
Затем начальные параметры Mo, Qo, рo и p/o выражают через значения произвольных постоянных Сi. В результате функция M(z), Q(z),
p(z) и p(z) представляют в форме метода начальных параметров. Они
выглядят так:
(2.12)
–
(2.13)
–
–
–
(2.14)
–
–
(2.15)
В этих уравнениях коэффициенты А, В, С и D являются гиперболотригонометическими функциями Крылова. Они записываются так:
(2.16)
–
Отметим, что произведение (m z) представляет собой безразмерную координату, что позволяет табулировать значения функции (2.16).
(Таблицы содержатся, например, в [2], стр.41–56).
Функции Крылова имеют взаимную дифференциальную зависимость:
что отражено на условной круговой диаграмме (рис. 2.2).
Рис. 2.2.
В методе начальных параметров два начальных параметра всегда
известны и зависят от условий закрепления балки на левом конце, а
11
два других – неизвестны; они определяются из двух граничных условий (условий закрепления) на правом конце. Таким образом, неизвестные начальные параметры находятся из решения системы двух
уравнений.
Л е к ц и я 2. Продолжение темы 2
2.3. Применение метода начальных параметров к расчѐту балок,
имеющих несколько участков нагрузки. Граничные условия
Как известно из метода начальных параметров ([5] ч. 1, §8.5), уравнение любой функции S(z) на (n + 1)-oм участке можно представить в
следующем виде:
(2.17)
где S(n) – функция на предыдущем, (n)-ом участке балки; ΔSa – приращение функции при переходе на участок (n + 1). Индекс а указывает
на расстояние от начала координат (z = 0) до начала (n + 1)-го участка
(рис. 2.3). В общем виде выражения S для балки на упругом основании записываются так:
–
–
–
–
р(n+1) = р(n) + Ма(–4m2)Cm(z–a) + ∆Qа(–4m)Dm(z–a) +
+ ∆раAm(z–a) + ∆р’(1/m)Bm(z–a),
=
+ ∆Ма(–4m3)Bm(z–a) + ∆Qа(–4m2) Cm(z–a) +
+ ∆ра(–4m)Dm(z–a) + ∆р'аAm(z–a).
(2.18)
(2.19)
(2.20)
(2.21)
В этих формулах ∆Ма, ∆Qа, ∆ра и ∆ра' – приращения соответствующих значений S при переходе с участка (n) на участок (n + 1).
Правило знаков для приращений ∆Sа то же, что и для начальных
параметров. На рис. 2.3. показана нагрузка, при которой все ∆Sа > 0.
Отметим, что в сплошных балках (без шарнирных включений) приращения ∆vа и ∆vа' равны нулю; поэтому все приращения функции S
известны.
Покажем на примере (рис. 2.4,а–в), как записываются выражения
начальных параметров и граничных условий (на правом конце балки)
при разных опорных закреплениях. При этом учтем, что согласно (2.3)
p = q + k·b·v и p/ = k·b·v/
12
и, следовательно,
v=
–
v/ =
Рис. 2.3.
Рис. 2.4.
–
(2.22)
13
Итак, если левый конец балки:
а) заделан: vо = 0 и vо/ = 0; поэтому pо = –qA и pо' = –(qв–qа)/l,
Мо = ?, Øо = ?;
б) шарнирно опѐрт: Мо = 0 (или Мо = Ма) и vо = 0; и поэтому
pо = 0 (или pо = qа); Qо = ?, pо = ?;
в) свободен: Мо = 0 (или Мо = Ма), Qо = 0 (или Qо = P); pо = ?, pо/ = ?
Начальный параметр считается положительным, когда в сечении
правее граничной точки действие любого силового фактора создаѐт
момент, направленный по часовой стрелке.
Граничные условия на правом конце балки, зависящие от условий
еѐ закрепления (рис. 2.4), позволяют определить два неизвестных начальных параметра. Это относится к сплошным балкам с любым числом участков.
Л е к ц и я 3. Продолжение темы 2
2.4. Примеры точного расчѐта балки на упругом основании
Пример 2.1. Построим эпюры М, Q, p и v для балки, которая изображена на рис. 2.5,а. Расчѐтные данные:
L = 12 м, b = 1 м, k = 2·103 т/м3, E = 2·106 т/м2, J = 4·10–4 м4, q = 2 т/м.
Порядок расчѐта:
1. Определяем модуль деформации m, по формуле (2.5)
2. Записываем значения начальных параметров и известных граничных условий на правом конце балки.
Здесь: M0 = 0, Q0 = ?, p0 = –q, p/0 = ?, Ml = 0, рl = q.
Отметим, что в этой задаче в силу симметрии вместо второго граничного условия (pl = q), можно использовать условие Qz = 0,5l = 0.
Применим за основу расчѐта этот вариант.
3. Составляем систему двух уравнений для определения неизвестных начальных параметров.
4. Для построения требуемых эпюр разбиваем ось балки на 4 участка (интервала) и, используя таблицу коэффициентов А, В, С, D, получаем их значения для узловых точек 0–4 (см. табл. 2.1).
5. Используя данные табл. 2.1, составляем систему уравнений для
определения неизвестных начальных параметров.
14
6. Из решения этой системы уравнений получаем:
и
.
Рис. 2.5.
Таблица 2.1
z
0
3
6
9
12
mz
0
1.5
3.0
4.5
6.0
A
1
0.1664
–9.967
–9.489
193.68
B
0
1.2486
–4.248
–26.745
68.658
C
0
1.0620
0.7069
–21.996
–28.181
7. Записываем выражение A, B, C, D в общем виде.
D
0
0.5490
2.8346
–8.629
–62.510
15
8. Используя эти выражения и табл. 2.1, найдѐм значение искомых
функций для узловых точек, и построим соответствующие эпюры (рис.
2.5, б–г).
Из анализа полученных эпюр следует, что эпюры Mp и р симметричны (что, кстати, свидетельствует о точности вычислений), а эпюра
Q – кососимметрична. Легко убедиться в том, что между эпюрами соблюдаются необходимые дифференциальные зависимости.
Обратим внимание на «необычность» эпюры моментов (рис. 2.5,б).
Здесь величина момента посредине балки существенно меньше, чем
в четвертях пролѐта. Это объясняется тем, что полная интенсивность
распределѐнной нагрузки p(z) зависит как от q(z), так и от отпора r(z).
Как видно, из эпюры р(z) (рис. 2.5,в), полная интенсивность нагрузки
существенно уменьшается от опор к средине балки, где она даже изменяет знак.
Эпюру прогибов V(z) (рис. 2.5,г) строим в соответствие с формулой
(1.2), учитывая при этом что интенсивность p имеет положительное
направление вверх, а интенсивность q – вниз. В результате получим:
при z = 3 м v =
–
–
при z = 6 м v =
–
–
.
Принимая q = 2 т/м, получим vz=3 = 0.988 m–3 = 0.988 мм и Vz=6 = Vz=9 =
= 1.098 мм.
Пример 2.2. На рис. 2.6,а изображена шарнирно-опертая по концам
балка на упругом основании со следующими расчѐтными данными:
l = 8 м, b = 1 м, q = 0,04 МН/м, E = 1·104 МН/м2, k = 30 МН/м3.
Проведѐм анализ влияния соотношения жѐсткостей балки и основания на характер прогибов и моментов при следующих вариантах
высоты балки:2
1) h = 0.2 м, 2) h = 0.3 м, 3) h = 0.5 м, 4) h = 0.6 м.
Вычислив по формуле (2.5) значения m, получим:
2) m = 1,831 1/м, 2) m =1,351 1/м, 3) m = 0,921 1/м и 4) m = 0,803 1/м.
На рис. 2.6,б изображены эпюры прогибов V при различных высотах
балки (и соответственно, при разных модулях деформации m).Как видим, эти эпюры незначительно отличаются между собой и Vmax =
= 1.5 мм.
2
Этот анализ был выполнен группой студентов потока 4СА во главе с И.С. Никитиным в 2003 г.
16
Рис. 2.6.
Совершенно иная картина наблюдается в эпюрах моментов М (рис.
2.6,в), где в зависимости от высоты балки (и модуля деформации m),
моменты существенно различны от Mmax = 0.5·10–2 МН/м (в 1-ом случае) до Mmax = 3,5·10–2 МН/м (в 4-ом случае).
Можно рекомендовать специалистам обратить на это обстоятельство особое внимание.
Пример 2.3. Построим эпюры M, Q, p и v для свободно лежащей на
упругом основании балки, изображѐнной на рис. 2.7а, при следующих
расчѐтных данных:
17
Р = 8·10–2 МН, q = 4·10–2 МН/м, E = 2·104 МН/м2, k = 20 МН/м3, h = 0.2 м, l = 4 м.
Выполним расчѐты в той же последовательности, что и ранее.
а) Определим модуль деформации:
m=
= 0.7825
Отметим, что для избежание сложной интерполяции искомых функций, значение m округлим; при этом удобно пользоваться табличными
данными А, В, С, D. Можно показать, что округление величины m в
этом случае соответствует увеличению высоты h на 0,45%.
Рис. 2.7.
б) Составим таблицу значений величин А, В, С, D для выбранных
узлов точек 0–4 (табл. 2.2).
18
Таблица 2.2
m = 0.78 1/м
z
0
1
2
3
4
m·z
0
0,78
1,56
2,34
3,12
A
1
0,938
0,0268
–3,644
–11,343
B
0
0,770
1,254
0,0935
–5,527
C
0
0,303
1,137
1,847
0,122
D
0
0,079
0,615
1,835
2,886
в) Запишем уравнения M(z), Q(z), p(z) в общем виде. В соответствии
с начальными параметрами и условиями приращения, показанными
на рис. 2.7,а, искомые уравнения будут иметь вид:
г) С учѐтом граничных условий
систему уравнений:
получим следующую
–
–
–
,
из решения которой получим:
д) Запишем выражения функций S в числовом виде:
Вычислив значения этих функций в узлах, построим соответствующие эпюры (рис. 2.7,б–г).
Определим значения прогибов в узловых точках балки. Эпюра показана на рис. 2.7,д.
Максимальный прогиб балки на левом конце равен:
Доведѐм пример расчѐта до определения напряжений. Здесь
19
Л е к ц и я 4. Тема 3. Расчѐт неразрезных балок
на упруго смещающихся опорах методом сил
3.1. Общие понятия и основы расчѐта
Как уже отмечалось ранее ( 1.2), расчѐт балки на упругом основании любым численным методом сводится к расчѐту неразрезной балки на упруго смещающихся опорах. При этом нагрузка на балку заменяется сосредоточенными силами Pi, приложенными в узлах балки
(рис. 3.1,а).
Рис. 3.1.
Зная величины сил Pi, коэффициентов податливости опор , длины
пролѐтов l между опорами и жѐсткость балки EI, можно эту статически
неопределимую систему рассчитать известными методами строительной механики: методом сил или методом перемещений (см., например [5], ч. 2).
Сначала рассмотрим применение метода сил. Как известно, согласно этому методу расчѐт статически неопределимой системы заменяется расчѐтом статически определимой системы, которую получают
из заданной системы путѐм устранения лишних связей; затем связи
заменяют неизвестными силами Хi и составляют систему канонических уравнений вида:
20
,
(3.1)
где единичные коэффициенты
и грузовые члены
определяются
по формулам Мора.
Число основных неизвестных Хi, равно степени статической неопределѐнности n системы. Для неразрезной балки n на две единицы
меньше числа вертикальных опорных связей (n = CB – 2).
Существуют два варианта выбора основой системы для неразрезной балки на упруго смещающихся опорах. Согласно первому варианту (рис. 3.1,б), основную систему получают путем разрезания лишних
упруго – смещающихся связей. В этом случае основными неизвестными являются сосредоточенные силы Xi в разрезанных «пружинах».
Собственные единичные перемещения
в канонических уравнениях (3.1), определяются по формуле:
(3.2)
где
– перемещение i-го узла от единичной силы
, зависящее от
изгибной деформации балки и определяемое по формуле Мора
,
(3.3)
где – коэффициент податливости i-ой упругой связи (пружины), совпадающий в данном случае с перемещением пружины от силы Хi = 1.
Напомним, что податливость представляет собой величину, обратную жѐсткости Ci связи
1 / С.
(3.4)
Для жѐстких опор
и соответственно Ci = ∞.
Пример 3.1. Поясним сказанное на примере расчѐта балки, изображѐнной на рис. 3.2,а.
Так как степень статической неопределѐнности равна двум, система
канонических уравнений (3.1) будет иметь вид:
(a)
Принимая для удобства вычислений:
(C =
),
(б)
после построения эпюр моментов (рис. 3.2, б–е) и соответствующего
интегрирования (перемножения) эпюр получим:
21
(в)
–
–
Рис. 3.2.
Из решения системы уравнений (а) получим:
Х1 =
; Х2 =
(г)
Эпюру моментов Mp в балке (рис. 3.2,д) построим в соответствие с
формулой.
p
=
1X1
+
2X2
+ Mp0.
(3.5)
Здесь на участке 2–3 моменты получаются равными нулю. Это частный случай; при другом значении
эпюра моментов будет отлична от нуля.
22
По общей формуле Мора
(3.6)
найдѐм перемещение узлов 1 и 2. Здесь
–
–
(д)
Перемещения узлов могут быть найдены и по формуле:
(3.7)
Легко убедиться в том, что значения
и
, полученные по разным формулам, совпали. Это свидетельствует о точности вычислений.
3.2. Применение уравнения пяти моментов
Второй вариант применения метода сил к расчѐту неразрезных балок на упруго смещающихся опорах заключается в выборе иной основной системы (рис. 3.1,в): врезаются шарниры в узлы над промежуточными опорами. В этом случае основными неизвестными являются
моменты Xi = Mi.
Такая расчѐтная схема позволяет локализовать эпюры моментов;
от каждой пары Xi = Mi они возникают только на двух пролѐтах балки,
примыкающих к i-той опоре. Это приводит к упрощению вычислений
коэффициентов
канонических уравнений (рис. 3.3,б–д). Существенно упрощается и определение грузовых членов
, поскольку
опорные реакции возникают только в тех опорах, где действуют сосредоточенные силы Р (рис. 3.3,е).
Напомним, что формула Мора представляет собой возможную работу, которая в данном случае будет зависеть не только от изгибных
деформаций балки, но и от деформации упругих опорных связей
(«пружин»).
Покажем, как выводятся коэффициенты канонического уравнения
для i-той опоры.
Рассмотрим два состояния системы, одно из которых соответствует
моменту Мi, а другое – последовательно моментами Mi–2, Mi–1, Mi+1, Mi+2.
В этом случае (рис. 3.3,б,д)
–
–
(а)
–
–
Здесь первое слагаемое равно нулю, поскольку эпюры Mi–2 и Мi не
имеют общего участка интегрирования («перемножения»), а второе
слагаемое представляет собой возможную работу силы
(из со–
стояния i–2) на перемещение
(из состояния i).
23
Рис. 3.3.
Из аналогичных рассуждений при S = const получим:
–
–
–
–
–
–
–
(б)
24
Выражение грузового члена
(рис. 3.3,д,е) будет иметь вид:
–
–
–
,
(в)
где – реакция в опоре от силы Pi.
Таким образом, канонические уравнения метода сил при выборе такой основной системы при s = const для опоры I будет иметь вид:
+
–
–
–
–
–
.
(3.8)
Полученное уравнение (3.8) называется уравнением пяти моментов.
После определения искомых неизвестных X = M можно найти перемещения V упругих опор. В соответствие с рис. 3.3 перемещение
опоры i:
–
–
(3.9)
Покажем, как применяется этот вариант расчѐта балки, на примере,
рассмотренном ранее.
На рис. 3.4 (для удобства рассуждений) начнѐм нумерацию опор с
нуля; тогда номера опорных связей и основных неизвестных будут
совпадать (Xi = Mi).
Учитывая, что в данном примере
получим следующие
уравнения:
для опоры 1: (i = 1,
X0 = 0, R1 = P)
–
для опоры 2: (l = 2,
;
(a)
.
(б)
X3 = 0, R2 = 0)
–
–
Решая совместно уравнения (а) и (б) с учѐтом принятого значения
, найдѐм
X1 = M1=
и X2 = M2 = 0.
(в)
Таким образом, получены те же значения опорных моментов, что и
ранее (в примере 3.1).
25
Рис. 3.4.
3.3. Аналогия методу расчѐтными уравнениями
неразрезной балки на упруго смещающихся опорах
и балки на упругом основании
Представляет интерес получение дифференциального уравнения
изгиба балки на упругом основании на основе уравнения пяти моментов (3.8).
Рекомендуем читателю внимательно рассмотреть вывод этого
уравнения, иллюстрирующего связь континуальных и дискретных подходов к решению одной и той же задачи.3
Полагая в равнении (3.9) s = , будем считать, что балка опирается
на множество не связанных между собой пружин, расстояние между
3
Идея вывода содержится в книге И.М. Рабиновича [4], ч. 2.
26
которыми представляет собой малую величину
можно записать:
. В этом случае
(3.10)
где q – интенсивность распределенной нагрузки.
Умножив в уравнении (3.9) числитель и знаменатель первого слагаемого на величину
получим:
–
–
(3.11)
Выражение в квадратных скобках представляет собой центральную
разность второго порядка (см., например, [5], ч. 3). Следовательно, это
выражение можно записать так:
–
–
(3.12)
Переходя от конечно малой величины
к бесконечно малой dz,
т.е. считая расстояние между опорами бесконечно малыми, получим:
Тогда уравнение (3.11) примет вид:
(3.13)
Учитывая, что
–
, получим:
v=–
или, разделив все слагаемые на величину
.
Далее, умножив числитель и знаменатель второго слагаемого на
величину b (ширину балки), получим:
(3.14)
Выражение b
представляет собой податливость основания на
площади b
. Поскольку коэффициент постели k является жѐсткостью основания на площади (b·d·z), т.е. k =
, то формулу 3.14 можно записать так:
(3.15)
Как видим, эта формула в точности совпадает с ранее полученным
уравнением (2.5); что и требовалось доказать.
27
Л е к ц и я 5. Тема 4. Расчѐт неразрезных балок
на упруго смещающихся опорах методом перемещений
4.1. Общие понятия и основы расчѐта
Метод перемещений, лежащий в основе МКЭ, заключается в следующем. Во все узлы стержневой системы вводятся жесткие связи −
линейные и угловые. Этим введѐнным (наложенным) связям задаются
неизвестные перемещения Z – соответственно – линейные и угловые.
Одновременно считается, что реакция Ri в каждой i-ой введѐнной связи
от всех факторов – неизвестных перемещений Zi и от нагрузки – равна
нулю. Это записывается в виде системы канонических уравнений:
-----------------
(4.1)
-------------------------------
где n – число введѐнных связей, соответствующее числу основных
неизвестных Zi; rik – «единичная» реакция в связи i – от перемещения
Zk = 1; Rip – реакция в i-той связи от нагрузки.
В матричной форме система канонических уравнений (4.1) имеет
вид:
,
(4.2)
где R – матрица жѐсткости системы:
R=
,
(4.3)
где – матрица-столбец основных неизвестных;
– матрица-столбец
реакций в связях от нагрузки.
Отметим, что на главной диагонали матрицы (4.3) расположены
собственные единичные реакции, которые всегда положительны
(rii > 0), а на других диагоналях – побочные реакции (rik = rki), которые
могут иметь разные знаки и, в частности, равняться нулю.
Расчѐт неразрезной балки на упруго смещающихся опорах имеет
некоторые особенности. Поясним их на примере балки, изображѐнной
на рис. 4.1,а. На рис. 4.1,б показана основная система и основные неизвестные метода перемещений.
Как видим, основная система представляет собой последовательно
сочленѐнные в узлах однопролѐтные балки, заделанные по концам
(при условии введения жѐстких узловых связей во все узлы, в том
28
числе и в концевые) (рис. 4.2,а). На рисунке показаны единичные эпюры моментов от
а также соответствующие единичные реакции в линейных и угловых связях.
Если конец балки имеет шарнирное опирание (рис. 4.2,г), то вводить
в этот узел жѐсткую угловую связь не обязательно. В этом случае
единичные эпюры моментов и единичные реакции в связях будут
иметь вид, изображенный на рис. 4.2,д и рис. 4.2,е соответственно.
Отметим, что здесь концевые ординаты всех эпюр моментов и величины опорных реакций записаны через так называемую погонную
жѐсткость i, которая определяется формулой:
i=
где l – длина пролѐта (расстояние между соседними опорами).
Рис. 4.1.
(4.4)
29
Если нагрузкой на балку являются сосредоточенные силы Pi в узлах, то моменты в сечениях балки не возникают, и эпюра M0p будет
нулевой.
В этом случае реакции Rip возникнут только в узлах, где действует
сила Pi. При этом,
R ip = –Pi.
На рис. 4.1,в–к показаны различные линейные и угловые реакции,
возникающие при линейном и угловом перемещениях узла (рис. 4,а,б).
Обратим внимание на нумерацию вводимых связей. Здесь номера
линейных связей и соответствующих линейных перемещений совпадают с номерами смещающихся опорных связей. А номера угловых
связей и соответствующие угловые перемещения начинаются с
(n + 1), где n – число опорных связей.
Как видим, единичные эпюры моментов в основной системе будут
не нулевыми только на двух участках балки, примыкающих к рассматриваемому узлу (здесь узел 4). Следовательно, отличными от нуля
будут только коэффициенты
Все остальные побочные коэффициенты
будут нулевыми.
Реакция
определяется путем вырезания i-того узла в k-том единичном состоянии балки и составления соответствующего уравнения
равновесия
В каждом из этих уравнений будут
помимо искомой реакций
содержаться соответствующие поперечные силы или изгибающие моменты в сечении балки, примыкающих к
узлу i.
Отметим, при этом, что положительные направления реакции совпадают с положительными направлениями неизвестных перемещений Zi.
Так, например, из рассмотрения равновесия вырезанных узловых
связей 4 и 11 (рис. 4.1) в соответствие с рис. 4.2 получим:
Аналогично найдѐм
При расчѐте неразрезных балок на упруго смещающихся опорах
собственные единичные реакции , возникающие в линейных связях
зависят не только от изгибных деформаций балки, но и от деформации опорной «пружины». Следовательно,
30
,
(4.5)
где
– жѐсткость i-той опорной связи («пружины»). В рассматриваемом примере:
Рис. 4.2.
Напомним, что жѐсткость «пружины» Сi связана с еѐ податливостью
зависимостью
(4.6)
31
4.2. Пример расчѐта
Рассчитаем ранее рассмотренную балку (рис. 3.2) методом перемещений. На рис. 4.3,а–ж последовательно изображены основная
система с основными неизвестными, единичные и окончательная
эпюра моментов Мр.
Рис. 4.3.
Отметим, что здесь принят другой путь нумерации связей.
Полагая, как и прежде, С =
, определим в соответствие со сказанным выше единичные реакции; после чего получим следующую
систему уравнений:
32
–
–
–
–
–
(a)
–
–
Из решения системы уравнений найдѐм искомые линейные и угловые перемещения Zi ( с учѐтом того, что S =
)
–
–
–
–
(б)
–
Эпюра моментов Mp в балке строится по формуле:
Mp =
(4.7)
Здесь член
отсутствует, поскольку, как уже отмечалось, от сосредоточенных сил Pi, приложенных над опорами i, моменты в сечениях балки не возникают.
В соответствие с рис. 4.3,в–е найдѐм:
–
–
–
(в)
–
–
–
На рис. 4.3,ж представлена суммарная эпюра Mp.
Как видим, она в точности совпадает с эпюрой, полученной при расчѐте балки методом сил. Совпали так же и перемещения опорных
связей
–
–
.
Л е к ц и я 6. Тема 5. Расчѐт балок на упругом основании
методом конечных элементов (МКЭ)
5.1. Дискретизация системы
Как уже отмечалось выше, при расчѐте балки на упругом основании
МКЭ сначала надо провести дискретизацию системы: «балка – основание – нагрузка».
33
Поясним сказанное на примере расчѐта балки, изображѐнной на
рис. 5.1.
Рис. 5.1.
1. Разбиваем ось балки на участки (интервалы) длиной s(l) между
узловыми точками i. Обычно принимают число участков равным 4–8,
что обеспечивает хорошую аппроксимацию упругой линии V(z).
2. Под каждой узловой точкой i балки вводим упруго-смещающуюся
опору (пружину)4. Жѐсткость C1 опорной связи определяем из следующих рассуждений.
Обозначая, как и ранее, через k – коэффициент постели, b – ширину
балки, запишем:
для промежуточных опорных связей:
Ci = kbs [МН/м] или [т/м];
(5.1)
для концевых опорных связей:
Ci = kb0.5s [МН/м] или [т/м].
(5.1а)
3. Произвольную нагрузку на балку приводим к узловым силам Pi
путем распределения нагрузки на каждом участке по правилу рычага
(см. рис. 5.1,в).
Теперь рассчитываемая система представляет собой неразрезную
балку на упруго смещающихся опорах при действии сосредоточенных
4
Замену континуального основания дискретным автор применил ранее при исследовании распределения контактных давлений в барабанном тормозе автомобиля (Труды МАДИ, вып. 42. 1972: Труды МАДИ, вып. 76, 1974).
34
сил Pi в узлах. Расчѐт такой балки методом перемещений был рассмотрен в предыдущем параграфе.
Здесь после введения линейных и угловых связей во все узлы i
балка будет представлять собой совокупность сочлененных между
собой однопролѐтных балок, которые и являются балочными конечными элементами (рис. 5.2).
Отметим, что если в узле имеется линейная связь (шарнирное опирание), то вводят только угловую связь, если же узел i является заделкой, то в него, естественно, ничего не вводят.
5.2. Матрица жѐсткости балочного элемента
Основной задачей МКЭ для любого конечного элемента является
вывод матрицы жѐсткости Rэ.
Для балочного элемента (рис. 5.2), в котором на концах введено по
две связи, общий вид матрицы жѐсткости записывается так:
Rэ =
(5.2)
Здесь каждый коэффициент rik представляет собой реакцию в связи
i от перемещения
связи k.
Рис. 5.2.
Как будет показано ниже, все коэффициенты ri имеют точные значения, поскольку в этой одномерной задаче функция перемещений
v(x), может быть задана точно в отличие от других конечных элементов, например, пластин (см. ниже).
Вывод матрицы жѐсткости Rэ балочного элемента проводят в такой последовательности.
1. В концевые узлы элемента вводят по две связи линейные и угловые. Угловую связь обозначают черным прямоугольником, а линейную
– в виде спаренных стерженьков с шарнирами по концам. Одновременно с вводимыми связями прикладывают соответствующие линейные и угловые перемещения Zi. При этом положительные линейные
перемещения направлены вниз, а угловые – по часовой стрелке. То
же правило знаков сохраняется и для соответствующих реакций rik
рис. 5.2.
35
Далее задают функцию формы – функцию упругой линии балки в
виде параболы 3-ей степени:
V = a1 + a2x + a3x2 + a4x3,
(5.3)
где ai – неопределѐнные параметры (по числу неизвестных перемещений Z), а x – абсцисса.
В соответствии с уравнением (5.3) записывают функцию углов поворота сечения:
V/(x) = +а2х + а32x + a43x2.
(5.4)
Функции (5.3) и (5.4) в совокупности определяют перемещения (линейные и угловые) всех сечений балки, что в матричном виде записывается так:
(5.5)
где
– матрица-столбец (вектор) четырѐх параметров aj, а L –
координатная матрица, имеющая вид:
L=
=
2. Записывают вектор узловых перемещений
нения (5.3) и (5.4), получают:
(5.6)
. Используя урав-
(5.7)
Полученные уравнения (5.7) позволяют выразить перемещения Zj в
матричной форме в следующем виде:
(5.8)
где H – матрица связи между узловыми перемещениями Zj и параметрами aj, имеет вид:
H=
(5.9)
Таким образом, формула (5.8) в развернутом виде записывается
так:
(5.8′)
36
3. На основе матрицы связи H получают обратную матрицу H–1, называемую также матрицей влияния.
Напомним, что произведение матриц H H–1 = E, где Е – единичная
матрица (см. приложение).
Далее выражают матрицу неопределенных параметров, а через
матрицы Z и H–1:
H–1
(5.10)
4. Согласно формулам (5.6) и (5.10) можно записать матрицу перемещений u (5.5) в следующем виде:
–
(5.11)
5. Матрицу-вектор относительных деформаций æ при изгибе
балки записывают в соответствии с общей формулой кривизны оси
балки.
æ=
=
.
(5.12)
В результате получают:
–
(5.13)
–
или
(5.13а)
где B – матрица «деформационных коэффициентов»
B=
(5.14)
6. Вектор изгибающих моментов
соответствии с формулой (5.15).
в сечениях балки получают в
–
æ
(5.15)
7. Далее получают вариацию потенциальной энергии
деформации элемента балки длиной dx. С учѐтом формул (5.13а) и (5.15)
выражение
записывается так:
–
–
(5.16)
Чтобы получить вариацию потенциальной энергии всего балочного
конечного элемента, интегрируют полученное выражение (5.16) по
длине l. Поскольку координата x содержится только в матрицах B и ,
получают:
–
–
(5.17)
37
8. Вариацию работы
сывают так:
узловых сил Р на перемещениях
запи-
(5.18)
Здесь обобщенными узловыми силами являются сосредоточенные
силы Р и сосредоточенные моменты М во всех четырѐх введѐнных
связях. Поскольку они определяют поперечные силы Q и изгибающие
моменты М в концевых сечениях балочного элемента, матрицу
можно представить так:
,
(5.19)
где индексы л и пр соответствуют левому и правому концам балочного
конечного элемента.
9. Из равенства вариации работы узловых сил (5.19) и вариации потенциальной энергии деформации конечного элемента балки (5.14)
(5.20)
получают следующую зависимость:
–
–
,
(5.21)
которая представляет собой связь между вектором узловых сил и
вектором узловых перемещений .
Зависимость (5.21) аналогична зависимости между узловой силой Р
и перемещением 5. Напомним, что
(где С – жѐсткость
«пружины»). Следовательно,
P=
(5.22)
В данном случае роль жѐсткости пружины выполняет матрица жѐсткости Rэ, таким образом:
Rэ
(5.23)
Из сравнения выражений (5.21) и (5.23) получают матрицу жѐсткости балочного конечного элемента:
–
Rэ =
–
(5.24)
В результате соответствующих матричных операций получают
матрицу жѐсткости балочного конечного элемента Rэ
–
Rэ =
–
–
–
–
–
5
См., например [5], ч. 2.
,
(5.25)
38
где, как известно, rik = rki.
Подчеркнѐм ещѐ раз, что в рассматриваемом случае коэффициенты rik матрицы жѐсткости имеют точные значения, поскольку функция
формы имела точное выражение.
Отметим, что вывод этой матрицы можно было бы осуществить, не
прибегая к достаточно громоздким преобразованиям, записанным к
тому же в матричном виде. Это можно было бы сделать, используя,
метод начальных параметров.6
Однако, было важно показать в какой общей последовательности
выводятся матрицы жѐсткости любого конечного элемента, например,
– пластины (см. ниже).
Л е к ц и я 7. Продолжение темы 5
5.3. Формирование общей матрицы жѐсткости R
и грузовой матрицы Rр. Примеры расчѐта
Как уже отмечалось выше, расчѐт балки на упругом основании МКЭ
сводится к расчѐту балки на упруго-смещающихся опорах с нагрузкой
в виде сосредоточенных сил.
Заметим, что при формировании общей матрицы жѐсткости – R нет
необходимости строить единичные эпюры , как это делалось ранее;
еѐ можно построить на основе полученной матрицы жѐсткости Rэ балочного конечного элемента, имеющего заделки по концам (рис. 5.2).
Как уже отмечалось выше, если балочный элемент имеет шарнирное опирание на конце, то в этот узел надо ввести угловую связь вместе с неизвестным угловым перемещением Zy, и принять перемещение линейной связи
= 0. Это позволяет использовать жѐсткости
элемента Rэ (5.5), и тем самым унифицировать расчѐт.
При этом можно рекомендовать следующую нумерацию вводимых и
имеющихся связей: линейные связи нумеровать нечѐтным рядом чисел – 1, 3, 5 …, а угловые – чѐтным – 2, 4, 6 … .
Поясним сказанное на примерах.
Пример 5.1. На рис. 5.3,а изображена балка на упругом основании,
которая ране была рассчитана точным методом (пример 2.1).
На рис. 5.3,б изображена еѐ дискретная система «балка – основание – нагрузка», а на рис. 5.3,в основная система метода перемещений вместе с основными неизвестными Zi. При этом учитывается симметричность задачи; поэтому расчѐт ведется для одной половины
балки (рис. 5.3,г).
В соответствие с расчѐтными данными:
k = 2·103 т/ , b = 1 м, E = 2·106 т/м2, J = 4·10–3 м4, q = 2 т/м, l = 12 м
6
См., например [5], ч. 3, стр. 157.
39
получим следующие значения жѐсткости «пружин» и узловых сосредоточенных сил (рис. 5.3,б):
С1 = С3 = kbs = 6·103 т/м; P1 = P2 = 6 т.
(а)
Рис. 5.3.
Следовательно, при расчѐте половины балки (рис. 5.3,г):
(б)
Как видим, здесь в каждом узле балки введено по две связи – линейная и угловая и, соответственно, два неизвестных Z.
В этом примере Z2 = 0 в силу симметрии задачи и Z5 = 0 поскольку
линейная опорная связь абсолютно жѐсткая. С учѐтом этого система
канонических уравнений для всей балки записывается так:
(в)
40
В матричной форме система канонических уравнений МКЭ имеет
вид:
,
(5.26)
где R – общая матрица жѐсткости системы, коэффициенты rik которой
можно найти, используя, «передвижной балочный элемент» (рис. 5.2).
В рассмотренном примере этот элемент сначала располагаем на
пролѐте 1–3 (АВ), а затем – на пролѐте 3–5 (ВС). Используя матрицу
жѐсткости конечного элемента – следующим образом значения коэффициентов общей матрицы жѐсткости.
Подчеркнѐм еще раз, что в узлах сопряжения двух балок реакции rik
складываются (например,
).
–
–
–
–
(г)
Итак, общая матрица жѐсткости R системы (без записи нулевых
строк и столбцов (2 и 5)) будет выглядеть так:
–
R=
х –
(д)
Общая грузовая матрица – столбец Rр формируется просто. Здесь:
р
=
=
(е)
41
Решая7 систему уравнений (в) и учитывая, что Z2 = Z5 = 0, получим
следующие значения всех перемещений Zi.
–
–
–
–
–
–
(ж)
По значениям линейных перемещений
построим эпюру
перемещений V(x) (рис. 5.3,д). При q = 2 т/м, следует, что отклонение
приближенных значений, полученных по МКЭ, составляют для 1-ой
точки 0,17%, а для точки 3–8,8%.
Определение моментов в сечениях балки осуществляется в соответствии с формулой (5.15)
–
где
,
–
(5.14):
(з)
Отметим, что здесь абсцисса х отсчитывается от начала (левого
конца) балочного элемента, т.e. 0
.
Обратим внимание на то, что в формуле (5.15) выражение в квадратных скобках представляет собой кривизну упругой линии. Поставив
в это выражение знак «минус», получим выражение моментов для построения эпюры со стороны растянутого волокна, как это применялось
нами ранее. Тогда это уравнение будет иметь вид:
–
–
(5.15а)
Прежде, чем приступать к перемножению матриц в этой формуле,
получим матрицу влияния для балочного элемента при S = 3 м. Здесь
согласно (5.9)
(и)
H=
и, следовательно,
–
–
–
–
(к)
–
7
Для решения системы уравнений автором использована компьютерная программа MATHPROF (Linear Algebra).
42
Легко убедиться в том, что здесь H· –
. Обратим особое внимание на то, что матрица-вектор перемещений записывается для каждого конечного элемента длиной S отдельно.
На основе полученных значений Zi (ж) запишем для участка А – В и
В – С (рис. 5.3,в,г).
–
–
–
–
(л)
–
–
–
Перемножение трех матриц по формуле (5.15,а) проведѐм в следующем порядке: ABC = (AB)C. Выполним перемножения в учебных
целях подробно.
В начальном сечении балочного элемента АВ (х = 0):
–
–
–
–
–
–
(м)
–
Далее,
Таким образом, (5.15а),
МА = –2·
–
–
–
(н)
Поступая аналогичным образом для определения момента в концевом сечении элемента АВ (х = 3), получим: В = 0,924 тм.
Представляет интерес определение надопорного момента в начальном сечении балки ВС. Здесь х = 0 и так же, как и в (н), результат
перемножения будет тот же.
Далее для сечения правее В:
и, следовательно,
МВпр = –2
–
–
–
(п)
43
Как видим, значение МВсл = МВпр, что свидетельствует о высокой
точности расчѐтов.
По полученным значениям
и М1 (н) и М3 (п) построены
эпюры перемещений V (рис. 5.3,д) и моментов М рис. 5.3,е).
Сравнение с точным решением задачи (пример 2.1) показывает, что
эпюра моментов сохраняет свой непривычный «двугорбый» вид. Объяснение этому было дано ранее. При этом в четвертях переплета полученные моменты более точных (при q = 2 т/м) на 9,5%. Для такой
необычной эпюры моментов при выбранных редких интервалах (S =
= l/4) это вполне приемлемо.
Пример 5.2. На рис. 5.4,а изображена свободно лежащая на упругом основании балка, расчѐт которой был проведѐн, ранее точным
методом (пример 2.3). При тех же расчѐтных данных:
Р = 8·102 МН, q = 4·102 МН/м, Е = 2·104 МН/м2,
k = 20 МН/м3, H = 0,2 м, l = 4 м
сначала проведѐм дискретизацию системы (рис. 5.4,б).
Здесь
Р1 = 8·10–2 МН, Р3 = 0, Р5 = 0,5qs = 2·10–2 МН,
Р7 = qs = 4·10–2 МН, Р9 = 0,5qs = 2·102 МН.
(а)
Соответственно,
С1 = С9 = 0,5·k·b·s = 10 МН/м, С3 = С5 = С7 = k·b·s = 20 МН/м.
(б)
Напомним, что нумерация опор идет по нечетному ряду чисел.
Используем в этом примере понятие погонной жѐсткости i.
МН·м.
i=
(в)
Определим значение единичных реакций Rik, поступая аналогично
рассуждениям в предыдущем примере. Полученные значения Rik сведены в табл. 5.1. Таким образом, матрица жѐсткости системы будет
иметь следующий вид.
Таблица 5.1
Матрица жѐсткости R
Множитель i = 1,333 МН/м
12.75
6
–12
6
0
0
0
0
0
0
6
4
–6
2
0
0
0
0
0
0
–12
–6
25.5
0
–12
6
0
0
0
0
6
2
0
8
–6
2
0
0
0
0
0
0
–12
–6
25.5
0
–12
6
0
0
0
0
6
2
0
8
–6
2
0
0
0
0
0
0
–12
–6
25.5
0
–12
6
0
0
0
0
6
2
0
8
–6
2
0
0
0
0
0
0
–12
–6
12.17
–6
0
0
0
0
0
0
6
2
–6
4
44
Грузовая матрица Rp – имеет вид:
–
Rp =
(е)
Из решения системы уравнения (5.26) получим (после деления на
величину i) следующие значения неизвестных Zi (с множителем 10–3):
–
–
–
(ж)
Рис. 5.4.
По значениям нечетных неизвестных Zi строим эпюру прогибов V
(в мм) (рис. 5.4,г). В скобках указаны точные значения ординат, полученные ранее (рис. 2.7).
Как видим, наибольшее отклонение от точного значения в узле 1
(–14%), где приложена сосредоточенная сила Р.
На рис. 5.4,д изображена эпюра моментов Мр, по характеру совпадающая с точной. Отклонение от М = Мmax здесь составляет –13%.
45
Л е к ц и я 8. Тема 6. Расчѐт балок на упругом основании
методом конечных разностей (МКР)
6.1. Основы метода
Метод конечных разностей (МКР), основанный на математической
дискретизации задачи, в настоящее время применяется реже, чем метод конечных элементов (МКЭ). Однако ввиду простоты метода и в
связи с тем, что он до сих пор используется в учебных целях при расчѐтах плит на упругом основании, его изложение здесь представляется целесообразным.
Исходные предпосылки метода8 поясним, рассматривая график
произвольной функции y(x) (рис. 6.1).Суть метода заключается в замене производных функции y(x) в точке i разностными значениями
функции в близлежащих узловых точках. Так, например, /(x) в точке i
приближенно определяет формулой:
y/(x)
–
–
,
(6.1)
где S – шаг (интервал) между узловыми точками. Иными словами роль
касательной к кривой y(x) в точке i заменяют секущей, проходящей
через концы ординат точек (i – 1) и (i + 1).
Рис. 6.1.
Конечно, тангенс угла наклона секущей – будет отличаться от тангенса угла наклона касательной – , но при уменьшении интервала S,
.
Выражение (6.1) называется главной центральной разностью.
Можно доказать, что запись производной y/(x) в таком виде эквивалентна аппроксимации функции y(x) квадратной параболой на участке
трех смежных точек (i – 1), i и (i + 1).
8
См. подробнее, например, в [5], ч. 3, § 19.5.
46
На основе формулы (6.1) записывают выражения последующих
производных (для точки I):
–
–
–
–
–
–
–
–
–
(6.2)
–
В соответствии с этими формулами основное дифференциальное
уравнение изгиба балки
EJ
(z) = q(z),
(6.3)
где q(z) – интенсивность распределенной нагрузки, представляют так:
–
–
–
–
(6.4)
где – прогиб балки в i-той точке; S – шаг (интервал) между узловыми
точками (обычно принимают S = const).
Уравнения (6.4) составляют для каждой узловой точки, которая может иметь перемещение v.
Таким образом, в МКР интегрирование дифференциального уравнения заменяется решением системы алгебраических уравнений. В
этом заключается математическая дискретизация задачи.
Достоинство метода конечных разностей в применении к балкам на
упругом основании заключается в том, что структура записи уравнения (6.4) для них остается неизменной. Поскольку в i-том узле согласно (1.1) действует также отпор основания ri = k·b·vi, формула (6.4)
записывается так:
–
–
–
–
(6.5)
Отметим, что в таком виде уравнение (6.5), записывается для промежуточных узловых точек.
Если концы балки свободны от закреплений, то для концевых узлов
уравнение (6.5) будет выглядеть так (для левого конца):
–
–
–
–
(6.5а)
где –
– – прогибы фиктивных, «законцевых» точек.
При действии сосредоточенных сил вместо (q·s) записывают Рi.
Составив и решив систему уравнений (6.5), находят неизвестные
перемещения Vi. Затем в соответствии с общей формулой
М=–
47
находят значения изгибающих моментов в узловых точках i:
Mi = –
–
–
(6.6)
Недостаток МКР заключается в сложности записи граничных условий в случае отсутствия жѐстких опор (заделки или шарнирной опоры). Здесь рассматриваются только два случая9 (рис. 6.2,а,б).
Рис. 6.2.
а) Заделка.
Из условия
согласно (6.1) получают
или vn+1 = vn–1 (на правом конце).
–
(6.7)
б) Жѐсткое шарнирное опирание.
Из условия М0 = 0 согласно (6.6) получают
–
–
или vn+1 = –vn–1 (на правом конце),
(6.8)
где n – номер последней опоры.
В формулах (6.7) и (6.8) –
vn+1 представляют собой прогибы
фиктивных, «законцевых» точек; они присутствуют в записываемых
уравнениях для концевых точек.
Поясним сказанное на примерах.
9
Запись разнообразных граничных условий МКР рассмотрена автором в книге
«Строительная механика и расчѐт металлоконструкций строительных и дорожных машин» 1988.
48
6.2. Примеры расчѐта
Пример 6.1. Рассчитаем балку (рис. 6.3,а), которая ранее была решена точным способом (рис. 2.5,а) и МКЭ (рис. 5.3,а).
Проведѐм расчѐт в 2-х вариантах:
1) ось балки разбита на 4 интервала (s = l/4);
2) ось балки разбита на 8 интервалов (s = l/8).
Рис. 6.3.
Вариант 1
Используя симметрично задачи, запишем уравнение для двух узловых точек 1 и 2, предварительно вычислив:
49
–
(а)
–
–
С учѐтом (6.8) получим уравнения:
–
–
(б)
–
–
Из совместного решения этих уравнений найдѐм:
–
–
(в)
Моменты в узловых сечениях найдѐм по (6.6).
(г)
Вариант 2
Поступая аналогично предыдущему и учитывая, что в этом случае S =
= 1,5 м, получим уравнения (6.5) для четырѐх узловых точек. Здесь:
–
(а/)
Следовательно, уравнения МКР
–
–
–
–
(б/)
–
–
Из решения этой системы уравнений найдѐм:
(в/)
Аналогично предыдущему найдѐм моменты в узловых сечениях
(г/)
М1 = 0,807 тм, М2 = 0,121 тм.
Результаты расчѐта балки с применением разных методов расчѐта
сведены в табл. 6.1.
Таблица 6.1
Прогибы
[мм]
Моменты
[тм]
М1
М2
МКЭ
МКР (4-уч)
МКР (8-уч)
Точно
Значение
Погрешгрешность
Значение
Погрешгрешность
Значение
Погрешность
0,988
1,099
0,844
0,174
0,900
1,096
0,924
0,06
–9,8%
–0,20%
9,4%
!
0,932
1,056
0,806
0,248
–6%
–4%
–4,7%
!
0,973
1,084
0,807
0,121
–1,5
–1,4
–4,6
!
50
Из полученных результатов следует, что при расчѐте балки на упругом основании методом конечных разностей погрешность в вычислениях перемещений
составляет 4–6% при разбиении оси на
4 участка и 1,4–1,5% при разбиении на 8 участков.
Погрешность значений моментов в узле 1 составляет 4,6–4,7%. Что
касается момента в сечении 2 (там, где существенная «впадина»), то
ввиду малых значений моментов отклонения в их значениях и по МКР,
и по МКЭ весьма велики.
Следовательно, при расчѐте балки на упругом основании численным
методом желательно основание балки разбивать на 6–8 участков.
Последнее замечание относится и к расчѐту плит (пластин) на упругом основании; тем более, что в существующих домашних заданиях
стороны пластин разбиваются на четыре части.
Подчеркнѐм еще раз, что отпор упругого основания существенно
влияет на внутренние силы в сечениях балок и плит.
РАЗДЕЛ II. РАСЧЁТ ПЛИТ (ПЛАСТИН) НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
Л е к ц и я 9. Тема 7. Основы теории расчѐта пластин
на поперечную нагрузку
7.1. Общие понятия и основные уравнения
На рис. 7.1,а изображена пластина, имеющая прямоугольное очертание, контур и толщину h. Рассматриваемые пластины называются
жесткими. У них толщина h имеет размер на порядок меньше сторон а
и в (h
Прогибы w в таких пластинах от действия поперечной
нагрузки обычно составляют доли толщины.
а)
б)
Рис. 7.1.
При расчѐте жѐстких пластин принимаются следующие гипотезы.
Гипотеза прямых нормалей, согласно которой прямолинейный
элемент, нормальный к серединной плоскости, после деформации
пластины остается прямолинейным и нормальным к еѐ серединной
поверхности (рис. 7.1). Одновременно с этим предполагается, что вы-
51
сота h не изменяется. Эта гипотеза аналогична гипотезе плоских сечений в теории бруса.
Гипотеза о ненадавливании слоев друг на друга, аналогичная гипотезе о не надавливании волокон друг на друга в брусе.
Гипотеза о нерастяжимости срединнного слоя. В теории бруса аналогичная гипотеза о нерастяжимости срединной (нейтральной) линии.
На основе гипотезы о ненадавливании слоев считают, что в любой
точке пластины
и, таким образом, имеется плоское напряженное состояние. При этом полагают, что и
, т.е. все точки, лежащие на нормали, будут иметь одинаковые перемещения w. Таким образом, при действии поперечной нагрузки перемещение любой точки
пластины вдоль оси z будут зависеть только от координат x и y:
w = w(x.y).
(7.1)
Как будет показано ниже, перемещения точек вдоль осей x и y,а
также деформации, напряжения и внутренние силы будут выражаться
через производные от функции w(x.y). Поэтому выражение (7.1) называется разрешающей функцией.
Поскольку функция (7.1) зависит от двух переменных, то все операции над ней будут выражаться в частных производных.
На основании приведенных гипотез можно перемещения u (вдоль
оси x) и v (вдоль оси y) любой точки выразить так (см. рис. 7.1,б):
–
–
(7.2)
Далее, линейные и угловые деформации можно записать в виде:
–
–
(7.3)
–
Отметим, что вторые производные в (7.3) и (7.4) являются относительными деформациями изгиба и кручения, называемые кривизнами:
(7.4)
Из обобщенного закона Гука получают выражения напряжений:
–
–
–
(7.5)
–
–
где
–
Пуассона.
52
На основе (7.5) из рассмотрения вырезанной из пластины элементарной призмы dx
(рис. 7.2) находят выражения
,
и
записанные также через распределяющую функцию (7.1):
–
–
(7.6)
–
Рис. 7.2.
Отметим, что все моменты являются распределѐнными («погонными») с размерностью силы, а индексы x и y изгибающих моментов соответствуют плоскостям xz или yz, в которых они действуют.
В выражениях (7.7) через D обозначают «погонную» цилиндрическую жѐсткость пластины:
D=
–
(7.7)
Цилиндрическая жѐсткость имеет размерность модуля упругости
E – [MПа].
Напомним, что принимается 1 МПа = 10 кг/см2 = 100 т/м2 или 1 МПа =
= 0,1 кН/см2 = 1 МН/м2. Размерность цилиндрической жѐсткости D: [тм]
или [МН·м].
7.2. Дифференциальное уравнение упругой поверхности
пластины. Граничные условия
Для вывода уравнения, связывающего разрешающую функцию
w(x,y) с нагрузкой q(x,y), сначала выражают поперечные силы
через моменты
,
и
. Аналогично тому, как в теории бруса (см.
[5], рис. 8.5):
Q = dM/dz и q = –dQ/dz,
53
здесь из соответствующих условий статики получают
–
(7.8)
Выражая в соответствии с (7.6) поперечные силы и интенсивность
нагрузки q через разрешающую функцию w(x,y) получают следующее
дифференциальное уравнение упругой поверхности пластины
+2
(7.9)
Это уравнение, носящее имя Софи Жермен, непосредственно связывает разрешающую функцию w(x,y) с нагрузкой q(x,y). Поэтому оно
называется основным.
В курсе сопротивления материалов аналогичная зависимость прогибов v(z) от нагрузки q(z) имеет вид:
(7.10)
Итак, основная задача расчѐта пластин заключается в отыскании
разрешающей функции w(x,y) удовлетворяющей уравнению (7.9). Это –
необходимое, но недостаточное условие, поскольку искомая функция
w(x,y) должна еще удовлетворять граничным (контурным) условиям.
На рис. 7.3 изображена прямоугольная пластина ABCD, имеющая по
краям следующие закрепления: а) жѐсткое защемление («заделка»),
б) шарнирное опирание и в) свободный край. На этом примере покажем запись граничных условий через разрешающую функцию w(x,y).
Рис. 7.3.
На заделанном краю (AB) кинематические факторы – прогибы и углы поворота должна быть равны нулю, т.е.
(7.11)
На шарнирном краю (AD) и (DC) должны быть равны нулю прогибы
и погонные изгибающие моменты. Например, на краю AD:
54
–
(7.12)
Ввиду того, что при непрерывном шарнирном опирании края кривизна
равна нулю, граничные условия записываются так:
(7.13)
Для шарнирного края DC запись аналогична:
На свободном краю (BС) должны соблюдаться три граничных условия:
Мх = 0; Mxy = 0; Qx = 0.
Чтобы избежать «лишнего» граничного условия вводят понятие
приведенной поперечной силы Q10 (допущение Кирхгофа):
После этого граничные условия на свободном краю записываются так:
(7.14)
–
Заметим, что найти разрешающую функцию (7.1), одновременно
удовлетворяющую дифференциальному уравнению (7.9) и граничным
условиям, можно лишь в исключительных случаях.
Примером точного решения задачи является расчѐт эллиптической
(в частности – круглой) пластины, защемленной по контуру и нагруженной равномерно распределѐнной нагрузкой q(x,y) = const (рис.
7.4,а,б). В этом случае разрешающая функция записывается так:
–
(7.15)
Для круглой пластины (а = b = r), защемленной по контуру, прогиб
в центре (x = 0, y = 0),
(7.16)
10
См., например [5], § 13.2.
55
При расчѐте прямоугольных пластин с разными контурными условиями ранее применялись различные приближѐнные методы. В справочно-технической литературе содержатся многочисленные таблицы,
позволяющие рассчитывать пластины на поперечные нагрузки11. Все
это относится к пластинам без упругого основания.
Рис. 7.4.
7.3. Учет упругого основания
Для пластины (плиты), лежащей на упругом основании, дифференциальные уравнение (7.9) существенно изменится.
Согласно гипотезе Винклера (1.1) полная интенсивность нагрузки в
этом случае определяется суммой давлений:
p(x,y) = q(x,y) – r(x,y) = q(x,y) – kw(x,y),
(7.17)
где q(x,y) – нагрузка на плиту; r(x,y) – отпор основания; k – коэффициент постели.
С учѐтом выражения (7.17) дифференциальное уравнение упругой
поверхности плиты на упругом основании примет следующий вид:
(7.18)
Найти разрешающую функцию w(x,y), удовлетворяющую уравнению
(7.18), в общем случае, невозможно. Поэтому для расчѐта плит на упругом основании применяют приближѐнные численные методы – ме11
Обычно пластину на упругом основании называют плитой.
56
тод конечных элементов (МКЭ) и метод конечных разностей (МКР).
Перейдем к изложению этих методов расчѐта в применении к плитам
на упругом основании.
Л е к ц и я 10. Тема 8. Расчѐт плит на упругом основании
методом конечных разностей (МКР). Примеры расчѐта
8.1. Основные уравнения расчѐта прямоугольных
пластин в конечных разностях
Для записи уравнения (7.9) в конечных разностях предварительно
записывают выражения четвертых производных от функции w(x,y).
Используя передвижную сетку с центром в точке i (рис. 8.1,а), имеющую постоянные интервалы s и t в направлении осей x и y, после проведения соответствующих преобразований получают «дифференциальное» уравнение (7.9) в следующем виде (при t = s):
20
–8(
(8.1)
где
– величина интенсивности нагрузки в точке i.
Рис. 8.1.
Для удобства вычислений на рис. 8.1,а представлена схема расположения коэффициентов этого уравнения.
Уравнение (8.1) называется основным, поскольку оно непосредственно связывает перемещение w с нагрузкой q. Используя это уравнение аналогично предыдущему, получают выражения изгибающих и
крутящих моментов, записанные в конечных разностях. Они имеют
следующий вид:
–
–
–
–
–
–
(8.2)
57
–
–
(8.3)
Для каждой точки контура плиты следует записать два граничных
условия. В эти уравнения помимо значений прогибов плиты внутри
контура войдут значения прогибов фиктивных «законтурных» точек.
Здесь, так же, как ранее для балок, рассмотрим лишь два основных
случая закрепления краев плиты: жѐсткое защемление и шарнирное
опирание (параллельное осям координат).
Для жѐсткого защемления (заделки) (рис. 8.2,а) для точки j на контуре получим:
(8.4)
–
Рис. 8.2.
Для шарнирного края
точку j, в соответствии с (8.1) получим:
–
Поэтому, помещая центр i в
–
(8.5)
Поясним сказанное на примерах.
Пример 8.1. На рис. 8.3,а изображена квадратная пластина, шарнирно опертая по краям и несущая равномерно распределѐнную нагрузку q = const. Найдѐм прогибы w и погонные моменты
действующие в сечениях пластины.
Разбивая каждую сторону пластины на 4 части (s =
), в силу
двойной симметрии получим 3 характерные узловые точки. С учѐтом
шарнирных краев после последовательного помещения передвижной
сетки (рис. 8.1,б) в характерные узлы получим следующую систему
уравнений.
–
–
–
–
где
=
,
58
Решая совместно эти уравнения, найдѐм
Рис. 8.3.
По полученным значениям wi на рис. 8.3 построена эпюра прогибов w.
Максимальный прогиб в центре пластины равен:
(8.6)
(расхождение с точным значением менее 1%).
Изгибающие моменты в центре пластины при
Мmax = –qs22(1 +
–
(расхождение с точным значением около 4,5%).
Доведѐм пример до числа. Полагая:
равны (8.2)
59
E=2
D=
, l = 2 м, h = 0.2 м,
,q=2
Wmax = 0,088 мм, Мmax = 1,462 т. (8.7)
–
8.2. Расчѐт плит на упругом основании МКР
Если помимо контурных опираний у плиты имеется упругое основание, то основное уравнение (8.1) будет записываться так:
–
(20 +
+
(8.8)
где
– сосредоточенная сила в узле i.
Пример 8.2. Рассматривается та же плита, что и ранее (рис. 8.3),
только нагрузкой является сила Р, действующая в центре (узел 1).
Расчѐтные данные:
E=2
, Р = 10 т, l = 4 м, h = 0.1 м,
.
Исследуем, как изменяются прогибы и изгибающие моменты Mx1 и
Myi в центре плиты при следующих коэффициентах постели k:
1) k = 0, 2) k = 0.2 103 т/м3, 3) k = 2 103 т/м3, 4) k = 20 103 т/м3.
В общем виде система уравнений (8.8) для трех узловых точек будет выглядеть так:
–
–
–
(a)
–
После решения этой системы уравнений, согласно (8.2) выражения,
моментов Mx1 и Mx2 для узла 1, 2 запишутся так:
–
–
–
(б)
–
Предварительно вычислив
D=
–
–
найдѐм следующие значения прогибов при различных k [т/м3]
(в)
60
Погонные моменты Mx1 и Mx2, соответствующие прогибам (8.1) будут
равны:
1) при k = 0
2) при k = 0,2·
3) при k = 2·
4) при k = 20·
,
,
,
= 0,669 т
= 0,474 т
= 0,177т
= 0,022 т.
(г)
По найденным значениям w и M на рис. 8.4,б,в изображены эпюры
прогибов и моментов по линии AB плиты, наглядно показывающие
влияние коэффициентов постели на эти факторы. Здесь размерность
всех величин показаны в системе СИ.
Рис. 8.4.
61
Л е к ц и я 11. Тема 9. Расчѐт пластин методом
конечных элементов
9.1. Общие понятия. Вывод матрицы жѐсткости
прямоугольного элемента пластины
При расчѐте пластин (плит) на поперечную нагрузку обычно применяются конечные элементы двух видов: прямоугольного и треугольного очертания (рис. 9.1,а,б).
Для расчѐта прямоугольных пластин чаще всего принимаются прямоугольные элементы. Они получаются делением сторон пластины на
целые числа s =
иt=
, где в общем случае m ≠ n (рис. 9.1,а).
Для расчѐта пластин со сложным контуром или имеющих отверстия
применяются треугольные элементы. Их преимущества очевидны
(рис. 9.1,б): они могут быть разных размеров, что позволяет составить
любую расчетную сетку.
Рис. 9.1.
Однако, при применении треугольных конечных элементов менее
точно, чем в прямоугольных элементах, учитывается непрерывность
углов поворота вдоль сторон сопрягаемых элементов. Кроме того в
ряде случаев распределенная нагрузка q(x,y) приводится к узловым
силам менее точно.
Ниже рассматриваются только прямоугольные конечные элементы.
Прежде, чем выводить матрицу жѐсткости
такого элемента (рис.
9.2) отметим, что в каждый его узел (i, j, k, l) вводится три обобщенные
62
связи – одна линейная (вдоль оси z) и две угловые, препятствующие
углам поворота в плоскостях xz и yz.
Рис. 9.2.
Одновременно с ведѐнными (или «наложенными») связями вводятся соответствующие линейные и угловые перемещения Z.
Следовательно, каждый прямоугольный элемент имеет двенадцать обобщенных узловых перемещений Z (в треугольном элементе
пластины их – девять).
Перемещения w(x,y) точек внутри элемента могут быть найдены
только после определения узловых перемещений Z.
Обычно вводимые угловые связи изображаются в виде параллелепипедов, а линейные – в виде спаренных стерженьков с шарнирами
по концам. При этом положительные угловые перемещения направляются в сторону осей x и y, а линейные перемещения направляются
вниз. Те же направления считаются положительными и для возникающих в связях реакций rik.
Заметим, что в целях упрощения наложенные связи на рисунке иногда не показывают, а сразу изображают вводимые перемещения Z −
прямоугольным отрезком или дугой с точкой на конце.
Вывод матрицы жѐсткости элемента пластин
осуществляется в
такой последовательности.
1. Задают функцию формы – функцию упругой поверхности элемента – W(x,y) в виде неполного полинома четвертой степени:
(9.1)
Заметим, что этот полином является неполным так как в нѐм отсутствуют члены, содержащие x4, y4 и x2y2.
Нетрудно убедиться в том, что функция (9.1) удовлетворяет однородному дифференциальному уравнению, полученному из уравнения
С. Жермен.
63
Однородным оно является потому, что в МКЭ сосредоточенные силы Р прикладываются в узлах, и следовательно, q(x,y) = 0.
В соответствии с выбранной функцией формы составляют выражения угловых перемещений
. Затем записывают матрицу пере-
мещений
(9.2)
где – матрица-столбец двенадцати независимых параметров ai;
координатная матрица, имеющая вид:
–
(9.3)
Таким образом, каждая строка матрицы перемещений u представляет собой функцию, зависящую от координат x и y.
2. Подставляя в матрицу L последовательно координаты четырѐх
узлов:
i(x = 0, y = 0), j(x = a, y = 0), k(x = a, y = b), l(x = 0, y = b),
получают квадратную матрицу размером 12×12, которая, как и ранее,
называется матрицей связи H.
Для квадратного элемента (b = a) матрица связи H представлена в
табл. 9.1.
Таблица 9.1
H=
.
Матрица связи H позволяет выразить вектор узловых перемещений
через вектор параметров :
H
(9.4)
64
3. На основе этого выражения записывают вектор неопределѐнных
параметров :
–
(9.5)
где, как и ранее, – – обратная матрица или матрица влияния (см.
табл. 9.2).
4. С учѐтом полученного выражения (9.5) вектор перемещений
можно записать так:
=L
–
(9.6)
Из (9.6) следует, что линейные и угловые перемещения всех точек
прямоугольного элемента выражаются через двенадцать узловых перемещений Z.
5. Матрицу-вектор относительных деформаций
, представляющий собой кривизны при изгибе
(
,
)
и при кручении
(
)
записывают так:
.
(9.7)
Этот вектор относительных деформаций связывает с вектором неопределенных параметров следующей зависимостью:
(9.8)
С учѐтом формулы (9.5) получают:
–
(9.9)
где B − матрица деформационных коэффициентов, полученная
дифференцированием строк координатной матрицы (9.3).
(9.10)
65
6. В соответствии с выражениями (7.7) получают вектор обобщенных внутренних сил (погонных изгибающих и крутящих моментов):
(9.11)
Этот вектор связывают с вектором соответствующих относительных
деформаций (9.7) формулой:
(9.12)
где С – матрица физических констант, имеющая для изотропных
материалов вид:
C = –D
(9.13)
–
где D – цилиндрическая жѐсткость, – коэффициент Пуассона.
В соответствии с (9.9) формулу (9.12) можно представить так:
–
(9.14)
Таким образом, и внутренние силы в конечном элементе выражаются через узловые перемещения .
7. Для записи вариации потенциальной энергии деформации конечного элемента сначала составляют это выражение для бесконечно малого элемента dx·dy·dz. Согласно формулам (9.12) и (9.14) получают:
–
–
(9.15)
Проинтегрировав это выражение по объему конечного элемента V =
= a·b·h, получают:
–
–
(9.16)
8. Вариация работы узловых сил Р имеет следующее выражения:
(9.17)
9. Связь между реакцией и перемещением выражается зависимостью (см. (5.23)):
(9.18)
Из равенства вариаций потенциальной энергии пластины и вариации работы узловых сил:
(9.19)
66
получают (после сокращения на
–
) следующее выражение:
–
(9.20)
10. Из сравнения формул (9.18) и (9.20) получают матрицу жѐсткости квадратного элемента пластины
–
–
(9.21)
Как видим, выражения матриц жѐсткости элемента пластины и балочного элемента (5.25) структурно совпадают.
Полагая
, после соответствующих математически операций и
подстановки координат х и у узлов i, j, k, l, получают матрицу жѐсткости
квадратного элемента, которая изображена в табл. 9.312.
Л е к ц и я 12. Продолжение темы 9
9.2. Порядок и пример расчѐта пластин МКЭ
Покажем порядок расчѐта на примере квадратной пластины, шарнирно отѐртой по краям и несущей равномерно распределенную нагрузку q = const.
Рассчитаем одну и ту же пластину в двух вариантах:
1) разбивая каждую сторону пластины на две части (S =
);
2) разбивая сторону пластины на четыре части.
Здесь, как и далее, будем полагать
Пример 9.1. Рассмотрим 1-ый вариант расчѐта пластины (рис. 9.3,а).
Последовательность расчѐта следующая.
1. Определение общего числа неизвестных узловых перемещений .
Здесь в силу двойной симметрии вводится две связи: одна – линейная в центре пластины и одна – обобщенная угловая связь – в четырѐх точках В посредине сторон (связи на рисунке не показаны). Одновременно с введением (наложением) связей вводится два соответствующих независимых перемещения
–
и
–
поворота. Следовательно, общее число неизвестных равно двум (n = 2).
2. Составление системы канонически уравнений метода перемещений.
В матричной форме система канонически уравнений, как известно,
записывается в следующем виде:
R
(9.22)
где R – матрица жѐсткости системы; – матрица-столбец основных
неизвестных;
– матрица-столбец реакций от нагрузки.
12
В общем виде коэффициенты матрицы жѐсткости прямоугольного элемента
приведены в справочнике [7], стр. 252.
Таблица 9.2
67
Таблица 9.3
Матрица жѐсткости Rэ квадратного элемента пластины при
-
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
68
Симметрично
–
–
–
–
–
–
(множитель D/5а2)
69
Для рассматриваемого примера система канонических уравнений
имеет вид:
(a)
Здесь, например, коэффициент
представляет собой реакцию в
первой (линейной) связи от обобщенного перемещения
, т.е. от
одновременного поворота четырех угловых связей, введѐнных в узлы В.
Свободные (грузовые члены)
являются реакциями в связях от
нагрузки.
Рис. 9.3.
3. Формирование общей матрицы жѐсткости R пластины. Для
определения коэффициентов
матрицы R в данном случае можно,
используя двойную симметрию задачи, рассмотреть четверть пластины (рис. 9.3,б).
На основе матрицы жѐсткости
квадратного конечного элемента
(см. рис. 9.2 и табл. 9.3) получим:
–
–
(б)
4. Формирование матрицы нагрузки .
При формировании матрицы узловых сил любую распределѐнную
нагрузку q(x,y) заменяют эквивалентными узловыми силами. Из условия равенства возможных работ узловых сил и распределѐнной нагрузки получают формулу, (приводимую здесь без вывода)
70
=
–
(9.23)
Отметим, что в этом выражении из матрицы берѐтся только первая строка, соответствующая функции формы (9.1).
В результате интегрирования и перемножения матриц получают
матрицу – столбец нагрузки , имеющую 12 строк, которая содержит
сосредоточенные силы и сосредоточенные моменты в узлах; они
соответствуют нумерации основных неизвестных
На рис. 9.4 показаны реакции в узлах квадратной пластины a от
действия распределений нагрузки q = const. Реакции в виде сосредоточенных сил равны qa2/4, а в виде сосредоточенных моментов
qa3/24.
Отметим, что узловые силы, эквивалентные нагрузке q, имеют противоположное направление.
Рис. 9.4.
Поясним вывод матрицы узловых сил (9.23) на примере квадратного элемента пластины.
Сначала возьмем двойной интеграл первой строки матрицы . Поскольку здесь q = const, то:
.
(в)
Покажем подробно вычисление некоторых элементов матрицыстолбца
шем:
. В соответствии с данными матрицы
= q(
–
–
(табл. 9.2), запи-
,
в развѐрнутом виде (см. табл. 9.4).
Используя правило перемножения матриц13, получим:
13
См. приложение в конце пособия.
71
1-я строка
2-я строка
Последняя, 12-я строка
–
–
–
=–
Матрица-столбец нагрузки (узловых сил) , представляющая в виде
строки, имеет вид:
–
–
–
–
–
(а)
Здесь моменты
имеют отрицательный знак. Это
объясняется тем, что все реакции в узлах элемента должны быть направлены в сторону, противоположную неизвестным Z (рис. 9.4), а
указанные моменты совпадают с их направлениями.
При формировании матрицы узловых сил
для всей пластины
(при действии распределѐнной нагрузки q(x,y)) силы в узлах сопрягаемых элементов алгебраически складываются.
Отметим, что чаще всего узловыми моментами пренебрегают, и
учитывают только сосредоточенные силы Р. При регулярной и достаточно густой сетке (s
это оправдано. Во-первых, влияние узловых моментов на результаты расчѐта меньше, чем влияние узловых
сил Р. Во-вторых, что более существенно, для внутренних узлов пластины в местах сопряжения берется (в отличие от узловых сосредоточенных сил) разность моментов ввиду противоположности их направлений.
5. Определение основных неизвестных Z.
Матрицу основных неизвестных получают в соответствии с формулой (9.21)
–
(9.24)
Заметим, что знак «минус» в правой части (9.24) не ставится ввиду
противоположности направлений реакций и основных неизвестных
(см. рис. 9.4).
72
Продолжая рассмотрение примера (рис. 9.3,а,б), проведѐм расчѐт
пластины в двух вариантах: 1) без учета узловых моментов и 2) с учѐтом узловых моментов.
Вариант 1
Здесь
–
Система канонических уравнений для четверти пластины при учете
данных табл. 9.3 имеет вид.
–
–
Так как здесь a =
(г)
получим
(д)
Вариант 2
Здесь учитывается узловой момент M = qa2/24. Система уравнений
имеет вид:
–
(е)
–
Из решения этой системы уравнений найдѐм:
(ж)
Из сравнения с точным значением
([7], стр. 257)
следует, что без учета узловых моментов прогиб
получился
меньше на 17,8%, а с учѐтом узловых моментов больше на 4,6%.
Следует отметить, что при делении сторон пластины на 4 и более
частей в учете узловых моментов нет необходимости14; это будет
видно из рассмотрения следующего примера.
Продолжим изложение порядка расчѐта пластины МКЭ.
6. Определение погонных моментов в сечениях пластины.
Изгибающие и крутящие распределенные (погонные) моменты в
различных сечениях пластины находят в соответствии с формулой
(9.14)
14
В справочнике [7] расчѐт пластины с учѐтом узловых моментов не рассматривается. Здесь это выполнено в учебных целях.
73
–
(9.25)
–
В матрицу
подставляют значения координат x и y. Покажем это на примере. Определим погонные моменты
и
в центре пластины (x = 0; y = 0). Рассматривая четверть пластины и полагая
, сначала получим:
C
–
=
= –D
(з)
Умножая эту матрицу на матрицу
–
(табл. 9.2), получим
–
=
–
–
–
–
–
= –D –
–
–
–
–
–
–
–
(9.26)
–
Матрицу
умножим на матрицу–столбец , имеющую следующий
вид (в записи строки)
–
–
(и)
Заметим, что знак «минус» у угловых перемещений
поставлен
из-за их первоначальной направленности в сторону, противоположную принятым угловым перемещениям (см. рис. 9.2).
В результате перемножения матриц
и получим выражение для
определения погонных изгибающих моментов
и
. В центре пластины
=
=D(
–
).
(к)
Подставляя в это уравнение найденное значение Z для первого и
второго варианта, получим в центре пластины
Вариант 1
=
(л)
Вариант 2
=
(м)
Сравнивая полученные результаты с точным значением Mx =
= 0.0479ql2 ([7], стр. 257), видим, что в 1-ом варианте приближенное
значение М выше на 19,8%, а во втором еще больше (!) – на 28,1%.
74
Ниже показано, что при более густой сетке точность расчѐта будет
значительно выше.
Обратим внимание на то, что при расчѐте четверти пластины значение погонного крутящего момента
согласно таблицам (3) и (4)
не равно нулю, что противоречит кососимметричности этого силового
фактора. Поэтому значение
можно получить только из рассмотрения всей пластины целиком.
Л е к ц и я 13. Продолжение темы 9
9.3. Пример расчѐта
Пример 9.2. Проведѐм расчѐт той же пластины, разбивая каждую
еѐ сторону на 4 части (рис. 9.5,а). В этом случае с учѐтом двойной
симметрии получим семь неизвестных Z. Как и прежде, рассмотрим
расчѐт четверти пластины (рис. 9.5,б).
Рис. 9.5.
75
Составим матрицу жѐсткости R пластины с учѐтом того, что a =
= 0,25l. Как и ранее, для удобства вычислений коэффициентов
используем передвижной квадратный конечный элемент (рис. 9.5,в) и
соответствующие ему реакции , содержащиеся в табл. 9.3.
Вынося за матрицу R лишь цилиндрическую жѐсткость D и учитывая, что l = 2 м покажем подробно вычисления коэффициентов лишь
двух строк матрицы R.
–
,
–
,
Полностью матрица жѐсткости R для четверти пластины показана в
табл. 9.5.
Матрица нагрузки (только сосредоточенных сил) получена с учѐтом площадей распределѐнной нагрузки, приходящихся на соответствующий узел. Здесь матрица-столбец (в виде строки) выглядит так
при q =
(а)
Основные неизвестные Z найдѐм в соответствии с формулой (9.24).
Из решения системы канонических уравнений15 получены следующие
перемещения (D = 1.465·
):
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
(б)
Таблица 9.5
–
–
–
–
R=D
–
15
–
Для решения системы алгебраических уравнений была использована компьютерная программа Mathprox.
76
Как видим, в этом случае
= 0.0864·
–
что менее точно-
го значения
= 0.00406
= 0.0887· – всего на 2,6%.
Переходим к определению погонных изгибающих моментов. Здесь
необходимо сделать особое пояснение.
Как и ранее, моменты в сечениях пластины находятся по формуле
(9.25), где выражение
(при
для рассматриваемого конечного элемента а
представлен формулой (9.26). Остается написать
матрицу-столбец
Выполняя перемножение матриц (9.26) и (г) получим для данного
случая (точка 1):
–
–
–
–
–
Теперь запишем выражение
и
(г)
в общем виде (с учѐтом того,
что а = 0,5 м и
После приведения подобных членов получим:
–
–
–
(д)
Перемножая вторую строку матрицы (9.26) на матрицу
виде, получим:
–
–
–
в общем
(е)
Как и следовало ожидать, выражения (д) и (e) получились одинаковыми.
Подставляя значения
в формулу (д), получим
=
= 1,465
–
–
= 0,4063 т.
Таким образом, погонные моменты
и
определяемые по методу конечных элементов, выше точных на 6% (в первом приближенным
(пример 9.1) погрешность составила +19,8%).
Мы рассмотрели определение погонных моментов в центре пластины (в точке 1). Чтобы, например, определить моменты
и
, надо
«передвижной» квадратный элемент поместить в поле В (рис. 9.5,б) и
совместить узел 1 квадрата с узлом 2 пластины.
77
Л е к ц и я 14. Тема 10. Расчѐт плит на упругом основании
методом конечных элементов
10.1. Общие понятия. Дискретизация системы
Как уже отмечалось (
точный расчѐт плиты на упругом основании невозможен. Достаточно точным можно считать МКЭ. Суть его в
предлагаемой трактовке заключается в следующем.
На прямоугольную плиту (пластину), как и ранее, наносят сетку с
прямоугольными или квадратными ячейками. Внешняя нагрузка приводится к узловым сосредоточенным силам Рi.
Континуальное основание заменяют дискретным, вводя в каждый
узел могущий иметь линейное перемещение, упруго смещающуюся
связь («пружину»). Жѐсткость каждой пружины – Ci определяется реакций площади упругого основания, приходящегося на узел
Ci =
(10.1)
где а и b – размеры сторон прямоугольного элемента; k – коэффициент постели;
– коэффициент площади, приходящейся на узел. При
q = const эти коэффициенты равны (рис. 10.1):
–
–
(10.2)
–
При квадратной сетки:
Ci =
(10.1а)
Рис. 10.1.
Кроме вводимых пружин плита изначально может иметь распределенные по краям или сосредоточенные опирания – жѐсткие или податливые.
Итак, в чем состоит суть предлагаемого варианта метода конечных
элементов при расчѐте плит на упругом основании?
78
В матрице жѐсткости пластины –
к каждой соответственной
реакции линейной связи (и только линейной!) –
прибавляется жѐсткость соответствующей пружины – Ci.
Таким образом, для квадратного элемента с учѐтом формулы
(10.1а)
(10.3)
Поясним сказанное на примере.
Пример 10.1. Рассчитаем ранее рассмотренную пластину (рис. 9.3)
в которой помимо шарнирных закреплений по краям имеется упругое
основание. Примем следующие исходные данные (рис. 10.2):
E=2
,
,q=2
, l = 2 м, h = 0.2 м.
Рис. 10.2.
Исследуем влияние коэффициента постели на результаты расчѐта.
Для этого рассмотрим следующие варианты
1) k = 0, 2) k = 2
4) k = 10
, 3) k = 5
, 5)
,
(а)
Сначала определим цилиндрическую жѐсткость пластины D. Здесь
D=
-
= 1.465
(б)
Система канонических уравнений (без учета узловых моментов) в
отличие от формулы (г) в примере 9.1 будет выглядеть так:
79
–
(в)
–
Как видим, влияние коэффициента постели – k отразится здесь
только в коэффициенте
. Представим этот коэффициент в общем
виде
(г)
где А = 1,25
Обозначим
.
(д)
Тогда коэффициент
в матрице [Rэ] запишется так:
(е)
,
и система уравнений (в) будет иметь вид:
–
–
(ж)
–
Следовательно, при a = 1 м получим (×
–
:
(з)
В соответствии с формулой (к) в §9.2 найдѐм значения
в центре плиты. Здесь
=
=
–
–
–
(и)
–
–
На рис. 10.3 показаны графики изменения значений
зависимости от коэффициента постели k.
в
80
Рис. 10.3.
Пример 10.2. Рассмотрим расчѐт той же плиты при более частой
сетке (S = 0.25, l = 0.5 м) (рис. 9.5,а). В этом случае в матрице жѐсткости (табл. 9.4) изменяются лишь реакции в линейных связях: 1, 2, 5.
Так при a = 0.5 м
или
(a)
Определим
ента постели k
при различных значениях коэффици-
(б)
Коэффициент
равен
(в)
81
Коэффициент
равен
(г)
Остальные коэффициенты матрицы жѐсткости R (табл. 9.4) остаются без изменений.
Решая систему уравнений в соответствии с формулой (9.24), получим матрицы перемещений Z.
При
–
При
–
–
–
–
(д)
вектор перемещений Z имеет вид
–
–
–
–
–
(е)
–
–
–
–
–
(ж)
При
На рис. 10.4,а,б показаны эпюры прогибов w по линии AB плиты при
различных значениях коэффициента постели. Как следует из полученных результатов, максимальное перемещение
в центре пли–
ты при
м, что ненамного меньше
значения
= 0,0864 – , полученного при расчѐте пластины без упругого основания. Это объясняется сравнительно высокой жѐсткостью
плиты по сравнению с коэффициентом постели. При k =
,
т.е. при увеличении коэффициента постели, относительная жѐсткость
–
уменьшается и
, что снижает максимальный прогиб
на 20%.
Перейдем к определению погонных изгибающих моментов в центре
плиты, которые определяются по формуле (9.25):
= CB
–
(з)
Здесь матрица
для квадратного конечного элемента (9.5в) при
х = 0 и y = 0 представлена формулой (9.26). Для получения вектора
перемещений
надо «передвижной» конечный элемент (рис. 9.5,в)
«поместить» на поле элемента плиты так, чтобы точки i и C совпали.
В результате получим:
82
(е)
=
Рис. 10.4.
Для получения матрицы-столбца погонных моментов
строки матрицы
(9.25) на матрицу – вектор (е)
. Умножим
После приведения подобных членов получим:
–
–
–
Подставляя в эту формулу с учѐтом величины
ния
при разных коэффициентах постели k, найдѐм
1) при
;
2) при
(ж)
значе-
;
3) при
.
Из анализа полученных результатов следует, что при увеличении
жѐсткости основания изгибающие моменты
в центре пластины уменьшаются, что естественно, так как изгибные деформации
плиты становятся меньше.
83
Доведѐм этот пример до определения максимальных нормальных
направлений в сечении С. По известным формулам сопротивления
материалов получим (при
):
Л е к ц и я 15. Продолжение темы 10
10.2. Расчѐт плиты, свободно лежащей на упругом основании
Пример 10.3. На рис. 10.5,а изображена плита, свободно лежащая
на упругом основании и нагруженная в центре силой Р.
Расчѐтные данные: E = 2
, м = 0.3, P = 0.1 МН, 1 = 2 м, h =
3
3
= 0.1 м, к1 = 10 МН/м , к2 = 50 МН/м , к3 = 100 МН/м3.
Проведѐм расчѐт в первом приближении, разбивая каждую сторону
плиты на две части (а = 0.5; l = 1 м). В результате получим сетку с 9
узлами (рис. 10.5,б). Теперь, плита будет опираться не на континуальное основание, а на 9 упругих «пружин», жѐсткость которых определяется формулой:
(a)
где – коэффициент площади; а – размер стороны квадратного элемента; k – коэффициент постели.
Учитывая двойную симметрию задачи, введем 5 независимых
обобщенных связей (3 линейных и 2 угловых) и вместе с ними соответствующие перемещения (рис. 10.5,в).
Как и раннее, при расчѐте рассмотрим четверть плиты (рис. 10.5,г).
Так как на каждую пружину приходиться четверть квадрата а, то жѐсткость каждой пружины будет равна
с = 0,25
(б)
Таким образом, при а = 1 м получим:
в случае к1 = 10 МН/м3, с = 2,5 МН/м;
в случае к2 = 50 МН/ м3, с = 12,5 МН/м;
в случае к3 = 100 МН/м3, с = 25 МН/м.
(в)
Вычислим коэффициенты матрицы жѐсткости R, используя значения r в «передвижном» конечном элементе (рис. 10.5,д) и данные
табл. 9.3.
Предварительно определим значение цилиндрической жѐсткости
D=
-
(г)
84
Отметим, что значения всех коэффициентов
не зависят от коэффициента постели k.
кроме
,
Рис. 10.5.
При a = 1 м, получим (вынося множитель D за матрицу)
(д)
Подставляя в эти формулы последовательно значения k, получим
(без множителя D):
,
(е)
85
Покажем подробное вычисление остальных коэффициентов R (cм.
рис. 10.5,г,д). Затем все реакции сведѐм в табл. 10.1.
Как и ранее, вынося множитель за матрицу, получим
–
–
(ж)
Рекомендуем читателю внимательно посмотреть, как определяются
значения коэффициентов общей матрицы жѐсткости R при помощи передвижного конечного элемента и его матрицы жѐсткости (табл. 9.3).
Для проверки правильности вычисления коэффициентов R можно
рекомендовать следующий приѐм. Полагая в (д) к=0 (основания нет),
матрица R должна получиться особенной, т.е. решения не будет.
Таблица 10.1
11,93
17,4
25,63
–9,12
–1,44
4,28
1,72
–4,56
10,79
15,27
23,12
–4,56
–1,58
1,58
–1,12
–4,88
1,52
0,48
0,48
1,82
R=D
–1,44
–9,12
2,14
0,86
–1,58
1,58
11,93
17,4
25,63
–0,56
–2,44
Так как рассматривается четверть плиты, то
грузовая матрица-столбец Rр будет имеет вид:
= P/4 = 0.025 МН, и
МН.
(з)
Rр =
Перемещения Z найдѐм из решения системы алгебраических уравнений. В соответствии с формулой:
= Rp
–
и данные табл. 10.1 получим следующие значения Z:
(и)
86
= 12,8 мм,
= 4,5 мм,
= 2,5 мм.
Погонные изгибающие моменты
как и прежде, по формуле
=
где матрица
в центре плиты найдѐм,
(л)
,
определяется формулой (9.26), а вектор
имеет вид:
(м)
После умножения матрицы на вектор получим выражения изгибающих моментов Mx = My в центре квадратной плиты (при а = 1 м):
–
–
= D(7.8
–
–
–
).
=
(н)
Учитывая, что в данном примере D = 0,183 МН , после подстановки значений D и Z (к) в эту формулу получим:
при
при
при
М1 = 0,0405 МН;
50 МН/м М1 = 0,0285 МН;
100 МН/м3 М1 = 0,013 МН.
3
(о)
Как видим, увеличение жѐсткости основания приводит к уменьшению деформации плиты, а следовательно, к уменьшению изгибающих
моментов и напряжений. Так, в центре плиты максимальные нормальные напряжения при
100 МН/м3 будут равны:
= 0.013/(1
/6) = 7.8 МПа.
Отметим, что рассмотренный пример выполнен исключительно в
учебных целях.
Л е к ц и я 16. Заключение
Подведем итог сказанному выше, изложим еще раз порядок расчѐта
прямоугольных плит на упругом основании методом конечных элементов в предлагаемой автором форме.
1. Проводят дискретизацию системы «плита – основание – нагрузки», для чего:
87
а) на поверхность плиты наносят прямоугольную сетку с ячейками
s t, разбивая каждую сторону плиты на 4–6 частей. (Для удобства расчѐтов можно принимать квадратную сетку, где s = t). Перемещения узловых точек сетки в этом случае обеспечивают достаточную хорошую
аппроксимацию упругой поверхности плиты.
б) взамен континуального (непрерывно сплошного) основания плиту
«подпирают» в узлах сетки упруго податливыми связями – «пружинами». Жѐсткость i-той пружины определяется площадью основания,
приходящегося на i-ый узел:
C=
,
где k – коэффициент постели; s – сторона квадратной ячейки; – коэффициент площади;
в) внешнюю нагрузку заменяют сосредоточенными силами Pi, приложенными в узлах сетки. Обычно для этого применяют правило рычага.
2. Выводят матрицу жѐсткости
квадратного конечного элемента,
имеющую размер 12х12 (см. табл. 9.3).
3. Формируют общую матрицу жѐсткости плиты R, для чего:
а) вычисляют коэффициенты
общей матрицы жѐсткости плиты
(пластины) без учета упругого основания путем сложения коэффициентов , приходящихся на узел i. При этом используют «передвижной
квадратный конечный элемент», который последовательно совмещают с каждым квадратом пластины, примыкающей к узлу i. Значение
определяется суммой коэффициентов .
Значения остальных коэффициентов общей матрицы жѐсткости остаются без изменения;
б) к каждой собственной реакции
в линейной связи прибавляют
жѐсткость - пружины. Таким образом, полная реакция
4. Формируют матрицу узловых сил . Соответственно определяется матрица узловых реакций.
5. Записывают в матричной форме систему канонических уравнений
метода перемещений:
R
,
где – вектор неизвестных перемещений;
– вектор реакций в линейных связях от нагрузки; R – общая матрица жѐсткости плиты.
6. Вектор-матрицу перемещений находят в соответствии с формулой:
88
Для этого можно использовать любую программу решения систем
алгебраических уравнений (например, программу MathProf).
7. Получают матрицу
погонных моментов (
, возникающих в узловых сечениях плиты. Для этого совмещают «передвижной» конечный элемент с ячейкой сетки, содержащей i-ый узел. При
этом узел l передвижного квадрата должен совпадать с узлом i.
Задачи для самостоятельного решения
Ниже показаны схемы плит на упругом основании, которые могут
быть рекомендованы студентам, изучающим специальный курс строительной механики, для самостоятельного расчѐта методом конечных
элементов.
Для плиты на упругом основании составить расчѐтные уравнения и
найти прогибы w и погонные изгибающие моменты в центре (схема
плиты на рисунке).
а)
б)
l
в)
l
г)
l
l
Порядок расчѐта (для одной из схем плиты)
1. Определить для плиты при заданной расчетной сетке число вводимых связей и перемещений Z с учѐтом схемы симметрии.
2. Определить число линейных упруго-податливых связей (пружин)
и их жѐсткость.
3.Составить матрицы жѐсткости R и нагрузки Rp при расчѐтных данных, указанных в таблице.
4. Найти перемещение , используя любую программу решения
системы алгебраических уравнений.
5. Определить прогиб
и изгибающие моменты
в центре
плиты.
89
Таблица расчѐтных данных
E=2x
Схема
а
б
в
г
Нагрузка P или q
2
Рт, МН
q, МН/м
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0,03
0,04
0,05
l, м
h, м
к,
МН/м3
2
3
4
5
0,10
0,12
0,15
0,20
10
30
50
100
E,
МН/м2
2
1,2
1
1,4
ПРИЛОЖЕНИЕ
Некоторые сведения из теории матриц
Матрицей А называется таблица из m строк и n столбцов, содержащая элементы
(где i-номер строки, а j-номер столбца):
А=
(1)
Если в матрице n = 1, то она называется матрицей-столбцом или
вектором-матрицей
а=
(2)
Вектор-матрицу а можно записать и так:
а=
(3)
Если размеры матрицы А равны (m = n), то она называется квадратной, имеющий порядок n (или m). В квадратной матрице элементы, у которых i = j, называются главными, а остальные (I
– побочными.
Линия, образованная главными коэффициентами, называется главной диагональю.
Если все главные элементы матрицы равны единице, а побочные
элементы равны нулю, матрица называется единичной:
E=
(4)
90
Квадратная матрица называется симметричной, если побочные коэффициенты
равны
(5)
Каждой квадратной матрице А соответствует определитель D (А),
составленный из еѐ элементов. Он называется определителем матрицы – D(A).
Если D(A)=0, матрица А называется особенной; если же D(A) 0,
матрица называется неособенной. Определители D(А) вычисляются
по известным формулам линейной алгебры.
Транспонирование матрицы А заключается в том, что меняются
местами строки и столбцы. Транспонированная матрица
(или )
записывается так:
(6)
Матрица
, полученная транспонированием матрицы-столбца a,
называется матрицей-строкой
(7)
Две матрицы А и В одинакового размера считаются равными, если
все элементы этих матриц попарно равны между собой (
Суммой матриц А и В, имеющих одинаковый размер m , называют матрицу С, элементы которой
(8)
Суммирование матриц подчиняется следующим правилам:
(9)
Произведением матрицы А и скаляра
рой каждый элемент
является матрица В, у кото(10)
Результатом перемножения двух прямоугольных матриц – А,
имеющей m строк и n столбцов, и матрица В, имеющей nстрок и k, является матрица С, состоящая из m строк и n столбцов
С = АВ =
(11)
Если число столбцов первого множителя и число строк второго
множителя совпадают, то матрицы А и В называются соответственными. В этом случае перемножение матриц невозможно.
91
Каждый элемент
– матрицы C определяется по формуле
=
(12)
Поясним на примере перемножение двух соответственных матриц
–
А=
иВ=
(а)
–
–
–
–
С = АВ =
=
–
–
–
(б)
–
–
–
Одно из главных отличий матричной алгебры от элементарной заключается в том, что закон коммутативности умножения здесь не
соблюдается, т.е.
АВ ВА.
(13)
Покажем это на примере перемножения матриц В и А (а). В результате получим совершенно другую матрицу С
=
–
–
(в)
=
Здесь число строк матрицы
равно числу строк, матрицы В, а
число столбцов, равно числу столбцов матрицы А.
В рассматриваемых примерах (б) и (в) матрицы В и А являются соответственными.
Квадратные матрицы являются соответственными, если они
одинакового порядка, хотя при перемножении элементы матриц
могут не совпадать.
Если же произведение квадратных матриц
AB = BA,
(14)
то матрицы называются коммутирующими.
При умножении матрицы-строки А на матрицу-столбец В получают
матрицу С, содержащую лишь один элемент, т.е. являющуюся скаляром
С=
=
= C.
(15)
92
При умножении квадратной матрицы А на матрицу-столбец В получают матрицу-столбец С
С=
(16)
Каждый элемент матрицы С имеет вид:
Систему линейных алгебраических уравнений (например, систему
канонических уравнений метода сил)
–
–
(17)
–
можно представить в матричной форме
DX = –
,
(18)
где D – квадратная матрица коэффициентов
D=
А
–
:
.
(19)
(20)
(21)
Если перемножаются три матрицы
С=
,
(22)
то после введения обозначения В =
получают: С = В
Транспонированную матрицу
можно получить так
=
и
=
.
.
Таким образом,
(23)
Обращение матриц составляют одну из наиболее важных задач
линейной алгебры.
Если систему алгебраических уравнений (17) решать относительно
, то в матричной форме в соответствии с формулой (21) можно записать:
93
X=–
–
=–
.
(24)
В общем случае:
X=
где
–
–
,
(25)
является матрицей обратной А.
Обратная матрица
–
существует лишь в случае, когда она не
является особенной (вырожденной), т.е. если D·
–
.
–
Квадратная матрица
называется обратной для квадратной
матрицы А, если произведение этих матриц дает единичную матрицу
А
–
=
–
А = E.
(26)
От изменения последовательности выполнения транспортирования
и обращения матрицы результат не изменится, т.е.
–
–
(27)
ЛИТЕРАТУРА
1. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич;
пер. с англ. – М.: Мир, 1975.
2. Киселѐв, В.А. Расчѐт балок на упругом основании / В.А. Киселев. –
М.: МАДИ, 1981.
3. Медников, И.А. Методические указания по расчѐту плит. В 2 ч. /
И.А. Медников. – М.: МАДИ, 1987.
4. Рабинович, И.М. Курс строительной механики. Ч. 2 / И.М. Рабинович. – Госстройизд,1954.
5. Цвей, А.Ю. Лекции по сопротивлению материалов с примерами
расчѐтов. В 3 ч. / А.Ю. Цвей. – М.: МАДИ.
6. Цвей, А.Ю. Применение метода конечных элементов к расчѐту балок и плит на упругом основании / А.Ю. Цвей // Тезисы докладов на 66ой научно-исследовательской конференции. – М.: МАДИ, 2008.
7. Справочник по теории упругости / под ред. П.М. Варвака. – Киев:
Будiвельник, 1974.
8. Справочник проектировщика (расчѐтно-теоретический). – М.:
Стройиздат, 1973.
9. СНиП 32-03-0.6 Аэродромы / Министерство регионального развития РФ. – М., 2012.
94
СОДЕРЖАНИЕ
От автора ............................................................................................... 3
РАЗДЕЛ 1. РАСЧЁТ БАЛОК НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ ................ 4
Лекция 1. Тема 1. Общие понятия о работе
и методах расчѐта балок и плит
на упругом основании ............................................ 4
1.1. Особенности работы балок
и плит на упругом основании .......................... 4
1.2. Основы численных методов расчѐта
балок и плит на упругом основании ............... 6
Тема 2. Расчѐт балок на упругом
основании точным методом .................................. 7
2.1. Дифференциальное уравнение
изгиба балки на упругом основании ............... 7
2.2. Интегрирование дифференциального
уравнения по методу
начальных параметров ................................... 9
Лекция 2. Продолжение темы 2 ....................................................... 11
2.3. Применение метода начальных параметров
к расчѐту балок, имеющих несколько
участков нагрузки. Граничные условия. .................... 11
Лекция 3. Продолжение темы 2. ...................................................... 13
2.4. Примеры точного расчѐта балки
на упругом основании ................................................. 13
Лекция 4. Тема 3. Расчѐт неразрезных балок на упруго
смещающихся опорах методом сил. ................... 19
3.1. Общие понятия и основы расчѐта ................ 19
3.2. Применение уравнения пяти моментов ....... 22
3.3. Аналогия между расчѐтными уравнениями
неразрезной балки на упруго
смещающихся опорах
и балки на упругом основании. ..................... 25
Лекция 5. Тема 4. Расчѐт неразрезных балок на упруго
смещающихся опорах
методом перемещений. ....................................... 27
4.1. Общие понятия и основы расчѐта ................ 27
4.2. Пример расчѐта ............................................. 31
Лекция 6. Тема 5. Расчѐт балок на упругом основании
методом конечных элементов (МКЭ). ................. 32
5.1. Дискретизация системы ................................ 32
5.2. Матрица жѐсткости балочного элемента ..... 34
95
Лекция 7. Продолжение темы 5. ...................................................... 38
5.3. Формирование общей матрицы жѐсткости R
и грузовой матрицы Rр. Примеры расчѐта. ............... 38
Лекция 8. Тема 6. Расчѐт балок на упругом основании
методом конечных разностей (МКР). .................. 45
6.1. Основы метода. ............................................. 45
6.2. Примеры расчѐта .......................................... 48
РАЗДЕЛ II. РАСЧЁТ ПЛИТ (ПЛАСТИН)
НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ. .......................................... 50
Лекция 9. Тема 7. Основы теории расчѐта пластин
на поперечную нагрузку: ...................................... 50
7.1. Общие понятия и основные уравнения........ 50
7.2. Дифференциальное уравнение
упругой поверхности пластины.
Граничные условия. ...................................... 52
7.3.Учет упругого основания ................................ 55
Лекция10. Тема 8. Расчѐт плит на упругом основании
методом конечных разностей (МКР).
Примеры расчѐта ................................................ 56
8.1. Основные уравнения расчѐта
прямоугольных пластин
в конечных разностях ................................... 56
8.2. Расчѐт плит на упругом основании МКР ..... 59
Лекция 11. Тема 9. Расчѐт пластин методом
конечных элементов. ......................................... 61
9.1. Общие понятия. Вывод матрицы
жѐсткости прямоугольного
элемента пластины ..................................... 61
Лекция 12. Продолжение темы 9. .................................................... 66
9.2. Порядок и пример расчѐта пластин МКЭ. ............... 66
Лекция 13. Продолжение темы 9 ..................................................... 74
9.3. Пример расчѐта ........................................................ 74
Лекция 14. Тема 10. Расчѐт плит на упругом основании
методом конечных элементов. ........................ 77
10.1. Общие понятия.
Дискретизация системы. ......................... 77
Лекция 15. Продолжение темы 10.................................................... 83
10.2. Расчѐт плиты, свободно лежащих
на упругом основании. ............................................ 83
Лекция 16. Заключение ...................................................................... 86
Задачи для самостоятельного решения ............................................ 88
Приложение. ........................................................................................ 89
Литература .......................................................................................... 93
Учебное издание
ЦВЕЙ Александр Юрьевич
БАЛКИ И ПЛИТЫ
НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
Лекции с примерами расчета
по специальному курсу строительной механики
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Корректор М.Н. Бугольц
Подписано в печать 18.04.2014 г. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 6,0. Тираж 150 экз. Заказ . Цена 100 руб.
МАДИ, 125319, Москва, Ленинградский пр-т, 64.