Решения задач очного тура 2012/2013 уч. г.
advertisement
Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет Олимпиада “Математика и алгоритмы”, 2012 год 6–7 класс. 1. Одно из возможных решений приведено на рисунке. Буквой Q обозначен ферзь, R — ладьи, B — слоны, K — кони и P — пешки. 2. Приведем последовательность действий, позволяющих поймать одну овцу. Первый пастух встанет в первую комнату второго ряда, а второй обойдет сначала комнаты, находящиеся слева под ней, а затем — справа под ней. Очевидно, что если овца находится в помещениях под комнатой, в которой стоит первый, то после этих действий пастухи ее поймают. Если это не так, то она находится в комнатах другой части лабиринта. Следует повторить аналогичные действия из второй вершины второго ряда. Очевидно, что при переходе пастухов из левых комнат лабиринта в правые овца не сможет перебежать в оставленную ими первую часть, не встретившись с ними. Тем самым, такими действиями пастухи поймают какую-нибудь овцу. Поэтому, повторив ту же последовательность действий три раза, пастухи поймают всех овец. 3. Заметим, что в каждом столбце может стоять не больше двух пулеметчиков, так как любой пулеметчик бьет столбец от своей клетки до края доски в выбранном направлении. Тогда всего пулеметчиков не больше 16. Пример, когда можно расставить ровно 16 пулеметчиков, приведен на рисунке (стрелкой показано направление, в котором расположен прямоугольник). 4. Предположим, что соревнования выиграл Александр. Для удобства восприятия составим таблицу, что нам тогда известно об истинности некоторых высказываний всех четверых: Участник высказывание 1 высказывание 2 Александр ложь истина Борис неизвестно истина Владимир неизвестно неизвестно Геннадий неизвестно ложь высказывание 3 неизвестно неизвестно ложь неизвестно Заметим, что и Александр, и Владимир, и Геннадий солгали по крайней мере по разу, следовательно все три раза сказать правду мог только Борис. Отсюда получаем, что он занял третье место, а Геннадий выступил хуже него, то есть мог занять только четвертое. Владимиру остается только второе место. Проверяем, что в этом случае все сходится (заполняем таблицу до конца): Участник высказывание 1 высказывание 2 Александр ложь истина Борис истина истина Владимир ложь ложь Геннадий ложь ложь высказывание 3 истина истина ложь истина Теперь предположим, что первое место занял не Александр. Пусть это был Владимир. Тогда все четверо солгали хотя бы один раз (второе высказывание Александра, Бориса и Геннадия, а также третье высказывание Владимира ложны), что невозможно. Пусть это был Геннадий. Тогда среди высказываний Александра, Владимира и Геннадия есть правдивые (вторые высказывания Александра и Геннадия и третье высказывание Владимира). Следовательно, Борис солгал все три раза, а Владимир солгал в своем втором высказывании. Заметим, что среди высказываний Александра и Владимира есть ложные. Следовательно, все три раза правду должен был сказать Геннадий. Представим то, что нам известно, в таблице: Участник высказывание 1 высказывание 2 Александр истина истина Борис ложь ложь Владимир ложь ложь Геннадий истина истина высказывание 3 ложь ложь истина истина Заметим, что при таком распределении Владимир и Александр должны были разделить второе место (третье высказывание Геннадия и первое высказывание Александра истинны), но, по условию, такой ситуации быть не может. Пусть теперь выиграл Борис. Тогда среди высказываний Бориса, Владимира и Геннадия есть ложные, откуда следует, что Александр трижды сказал правду. Таким образом, Александр занял второе место, Геннадий — четвертое, а Владимиру осталось третье. Заносим теперь все, что становится нам известно про истинность высказываний, в таблицу, и видим противоречие с условием (никто не солгал три раза): Участник высказывание 1 высказывание 2 Александр истина истина Борис ложь истина Владимир ложь истина Геннадий истина ложь высказывание 3 истина истина ложь ложь Таким образом, единственный возможный вариант распределения мест: 1) Александр, 2) Владимир, 3) Борис, 4) Геннадий. 5. Рассмотрим какую-нибудь грань. Пусть в вершинах стоят числа a, b, c, d. Тогда на ребрах стоят числа a + b, b + c, c + d, d + a, а в центре грани — число a + b + c + d. Их сумма равна 4(a + b + c + d), что, конечно, делится на 4. 6. Анне следует ставить числа как угодно, только не в клетки, соседние с правой верхней, пока программа не поставит туда свое число. В тот момент, когда других ходов не будет, на доске свободными останутся всего три пустых клетки, т. е. будет сделан 64 − 3 = 61 ход, т.е. очередь программы, и именно она вынуждена ставить число в эти клетки. Но тогда Анна ставит число в угловую клетку и взламывает программу. 7. Расставим корзины по порядку против часовой стрелки. Обозначим вес арбуза, напротив которого стоит корзина грузоподъемностью 1 килограмм через n. Если n нечетно, попадут в корзины с грузоподъемностью от 1 до n−1 и тогда арбузы весом от n до n+3 2 2 до 1 попадут в корзины грузоподъемностью придут в негодность. Арбузы весом от n+1 2 n+1 до n и будут отвезены на продажу. Арбузы весом от 100 до n+101 попадут в корзи2 2 n+101 ны грузоподъемностью от n + 1 до 2 и придут в негодность. Арбузы весом от n+103 2 до n + 1 попадут в корзины грузоподъемностью от n+103 до 100 и будут отвезены на 2 n+1 99+n продажу. В итоге, на продажу будут отвезены по крайней мере 2 + 2 = 50 + n > 50 арбузов. Если n четно, тогда арбузы весом от n до n2 + 1 попадут в корзины с грузоподъемностью от 1 до n2 и придут в негодность. Арбузы весом от n2 до 1 попадут в корзины грузоподъемностью n2 + 1 до n и будут отвезены на продажу. Арбузы весом от 100 до n2 + 51 попадут в корзины грузоподъемностью от n + 1 до n2 + 50 и придут в негодность. Арбузы весом от n2 + 50 до n + 1 попадут в корзины грузоподъемностью от n2 + 51 до 100 и будут отвезены на продажу. В итоге, на продажу будут отвезены по крайней мере n2 + n2 + 50 = 50 + n > 50 арбузов. Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет Олимпиада “Математика и алгоритмы”, 2012 год 8–9 класс. 1. Заметим, что f (x) = f ( x2 + x2 ) = f ( x2 ) + f ( x2 ) = 2f ( x2 ); Следовательно: f ( x2 ) = 12 f (x). ) = f ( 12 + 23 +· · ·+ 2011 ) = f ( 12 +1+ 21 +· · ·+ Интересующая нас сумма f ( 21 )+f ( 32 )+...+f ( 2011 2 2 + 1006 ) = f (1006· 1006 ) = f (2012·503· 12 ), 1005+ 12 ) = f (1+2+· · ·+1005+1006· 12 ) = f ( 1005·1006 2 2 2 , что, конечно, что равно 12 f (2012 · 503) = 12 f (2012 + · · · + 2012) = 12 · 503f (2012) = 503·2013 2 не является целым числом, так как в числителе стоит нечетное число. 2. Угол KDL — прямой, т.к. он равен половине развернутого угла BDC (DK и DL — биссектрисы). Биссектриса DL является одновременно высотой, т.к. треугольник ADC равнобедренный по условию и, следовательно угол DLA тоже прямой. Таким образом, четырехугольник AKDL является прямоугольником, следовательное, его диагонали равны, т.е. |AD| = |KL|. Так как треугольник ADC равнобедренный, то |AD| = |DC|, откуда следует, то |KL| = |DC|. 3. Сумма чисел от 1 до n равна n·(n+1) . Зачеркивание трех цифр означает вычитание не 2 = более чем трехзначного числа (назовем его a) и деление на 1000. Поэтому n·(n+1) 2 n·(n−1999) n+1 n · 1000 + a. Отсюда n · ( 2 − 1000) = a, и это число трехзначное. То есть < 2 1000 или n(n − 1999) < 2000, откуда следует, что n ≤ 1999. Однако, в этом случае a = n(n−1999) ≤ 0, что немедленно означает, что a = 0, а тогда n = 1999. 2 4. Первым делом Анна ставит 1 в левую верхнюю клетку. Дальше на ход программы в столбце она отвечает аналогичным ходом в тот же столбец (если программа увеличила на 1 число из предыдущего столбца, то увеличивает на 1 другое число того же столбца, а если уменьшила, то уменьшает). Пока программа не запрещает делать такой ход после каждого ходя Анны полностью заполнены все столбцы от левого конца полоски до некоторого места и в последнем столбце стоят два последовательных числа. Когда программа запретит ход, шпионка ставит в ту горизонталь, в которую ставил компьютер, число равное, предыдущему числу в этой горизонтали. Далее есть два варианта игры компьютера. Если программа поставит число в одну из пропущенных клеток, то Анна поставит число в оставшуюся и продолжит действовать, как раньше. Если компьютер поставит число в следующий столбец, то Анна тоже поставит число в этот столбец, а две пропущенных клетки останутся “на будущее”. Далее Анна продолжит действовать по прежнему принципу. Если программа поставит число в одну из оставленных клеток, то и в оставшуюся из двух Анна сможет поставить свое число. Таким образом, как бы ни ставила свои числа программа, шпионке есть куда ставить свои числа. Следовательно, она сумеет взломать программу. 5. Заметим, что в каждом столбце может стоять не больше двух пулеметчиков, так как любой пулеметчик бьет столбец от своей клетки до края доски в выбранном направлении. Тогда всего пулеметчиков не больше 16. Пример, когда можно расставить ровно 16 пулеметчиков, приведен на рисунке (стрелкой показано направление, в котором расположен прямоугольник). 6. Если суммы в каждой строке и каждом столбце различны, то они (упорядоченные по возрастанию) не меньше 0, 1, 2, 3, . . . , 4023. Следовательно, удвоенная сумма всех чисел в таблице не меньше, чем 0 + 1 + 2 + 3 + · · · + 4023 = 8094276. Отсюда наименьшая сумма чисел в таблице не меньше 4047138. Пример, реализующий эту сумму приведен на рисунке (каждый следующий квадрат получается прибавлением 2 к каждому числу предыдущего квадрата). 7. Фермер может действовать следующим образом. Он положит в корзину грузоподъемность 19 килограммов один из арбузов (обозначим его вес x). Далее фермер положит арбуз весом x + 10 килограммов в корзину грузоподъемностью 18 килограммов, арбуз весом x + 20 килограммов — в корзину грузоподъемностью 17 килограммов и так далее пока арбузы ломают корзины. Грузоподъемность первой не сломанной корзины обозначим k, а вес положенного в нее арбуза — y. Далее фермер положит арбуз весом y − 1 килограммов в корзину грузоподъемностью k − 1 килограммов, арбуз весом y − 2 килограмма — в корзину грузоподъемностью k − 2 килограмма, и так далее, пока корзины выдерживают арбузы. Первый арбуз, сломавший корзину имеет вес 100 килограммов и теперь фермер знает вес всех арбузов. У фермера заведомо есть целые корзины грузоподъемностью от 20 до 99 килограммов. Если соответствующий арбуз есть в наличии, то фермер положит его в корзину, если он разбит при попытке положить его в корзину на первом этапе, то фермер положит в корзину грузоподъемностью z килограммов арбуз, вес которого равен грузоподъем- ности корзины, которую сломал арбуз веса z килограммов. Таким образом, фермер расфасует 80 арбузов. Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет Олимпиада “Математика и алгоритмы”, 2012 год 10–11 класс. 1. Заметим, что f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0) = 2f (0), следовательно f (0) = 0. Также заметим, что f (−n) = f (0 − n) = f (0) − f (n) = −f (n) для любого n (то есть функция является четной), следовательно, в частности: f (−2012) = −f (2012) = −2013. Тогда искомая сумма представляется следующим образом: f (−2012) + f (−2011) + f (2011) + f (−2010)+f (2010)+· · ·+f (−1)+f (1)+f (0) == f (−2012)+f (0)+f (0)+· · ·+f (0)+f (0) = −2013 + 0 = −2013. 2. Пусть в круге стоят числа a1 , a2 , . . . , an . По условию произведение любых соседних чисел является точным квадратом. Рассмотрим при произвольных i и j произведение (ai ·ai+1 )·(ai+1 ·ai+2 )·· · ··(aj−1 ·aj ), которое, с одной стороны, является точным квадратом, как произведение точных квадратов, а с другой — равно ai ·aj ·(ai+1 )2 ·(ai+2 )2 ·· · ··(aj−1 )2 . Следовательно ai · aj — тоже точный квадрат. 3. Так как CHBT — параллелограмм, то прямая T C перпендикулярна AC и |AT |2 = |AC|2 + |CT |2 = |AC|2 + |BH|2 . Пусть CC 0 — высота, тогда |AC| = 2|CC 0 | (так как угол A = 30◦ ). Аналогично (так как угол HBA = 60◦ ), |BH| = 2|BC 0 |. Осталось заметить, что |BC|2 = |CC 0 |2 + |BC 0 |2 . 4. Если суммы в каждой строке и каждом столбце различны, то они (упорядоченные по возрастанию) не меньше 0, 1, 2, 3, . . . , 4025. Следовательно, удвоенная сумма всех чисел в таблице не меньше, чем 0 + 1 + 2 + 3 + · · · + 4025 = 8102325. Отсюда наименьшая сумма чисел в таблице не меньше 4051163. Пример, реализующий эту сумму приведен на рисунке (каждый следующий квадрат получается из предыдущего квадрата прибавлением 4 к числам, стоящим на диагонали). 5. Если по крайней мере две области не были к кому-нибудь присоединены, то в конце будет по крайней мере две области. Поэтому, хотя бы 2011 изначальных областей были к кому-то присоединены. Тем самым, минимальная сумма, которую наместники могли заплатить равна 1 + 2 + · · · + 2011. Покажем, что этот минимум достигается. Действительно, присоединим районы с площадями 1, 2, 3 . . . , 2011 к району площади 2012. Очевидно, что затраченная сумма будет 1 + 2 + · · · + 2011 = 2011·2012 = 2023066. 2 6. Маша должна посчитать сумму количество кучек и количество камней. Если это число нечетно, то она первым ходом выкидывает кучку размером в один камень, а если четно, то перекидывает кучку размером в один камень в любую другую. Далее она действует по следующей схеме: если в какой-то кучке оказался ровно 1 камень, то она перекидывает его в любую другую кучку, если таких кучек нет, то она самую маленькую кучку помещает в самую большую (если же осталась всего одна кучка, то выкидывает из нее камень). Таким образом, перед ходом Сони никогда не будет кучки в один камень, и она не сможет сохранить четность суммы количества камней и кучек, т. е. величина камни+кучки после хода Сони всегда будет четным, а после хода Маши — нечетным. Когда останется всего один камень, величина камни+кучки будет равна двум, т.е. четному числу, следовательно это произойдет после хода Сони. Тогда последний ход сделает Маша и выиграет. 7. Фермер может действовать следующим образом. Он положит в корзину грузоподъемность 19 килограммов один из арбузов (обозначим его вес x). Далее фермер положит арбуз весом x + 10 килограммов в корзину грузоподъемностью 18 килограммов, арбуз весом x + 20 килограммов — в корзину грузоподъемностью 17 килограммов и так далее пока арбузы ломают корзины. Грузоподъемность первой не сломанной корзины обозначим k, а вес положенного в нее арбуза — y. Очевидно, k ≥ 9. Далее фермер положит арбуз весом y − 1 килограммов в корзину грузоподъемностью k − 1 килограммов, арбуз весом y − 2 килограмма — в корзину грузоподъемностью k − 2 килограмма, и так далее, пока корзины выдерживают арбузы. Первый арбуз, сломавший корзину имеет вес 100 килограммов и теперь фермер знает вес всех арбузов. Последняя использованная корзина имеет грузоподъемность k − y килограммов. У фермера заведомо есть целые корзины грузоподъемностью от 20 до 99 килограммов. Если соответствующий арбуз есть в наличии, то фермер положит его в корзину, если он разбит при попытке положить его в корзину на первом этапе, то фермер положит в корзину грузоподъемностью z килограммов арбуз, вес которого равен грузоподъемности корзины, которую сломал арбуз веса z килограммов. Таким образом, фермер расфасует 80 арбузов. Если y ≥ 5, то на втором этапе фермер положил в корзины по крайней мере пять арбузов. Если y < 5, то на втором этапе фермер положил в корзины y арбузов. Арбузы весом y +1, y +2, . . . , 5 фермер положит в корзины соответствующей грузоподъемности. Он может это сделать, т.к. из условий k ≥ 9 и y ≤ 4 получаем, что k − y ≥ 5. Наконец, в корзину грузоподъемностью 100 килограмм фермер положит любой из оставшихся арбузов. Таким образом, по корзинам фермер расфасует 80 + 5 + 1 = 86 арбузов.
