Министерство образования и науки Российской Федерации УДК 539.3 ГРНТИ 30.19.15 № Регистрации 01201171619 УТВЕРЖДЕНО: Исполнитель: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Вычислительный центр им. А.А.Дородницына Российской академии наук От имени Руководителя организации ______________/___________/ М.П. НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ОТЧЕТ о выполнении 5 этапа Государственного контракта № 14.740.11.0995 от 23 мая 2011 г. и Дополнению от 13 марта 2012 г. № 1 Исполнитель: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Вычислительный центр им. А.А.Дородницына Российской академии наук Программа (мероприятие): Федеральная целевая программа «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг., в рамках реализации мероприятия № 1.2.2 Проведение научных исследований научными группами под руководством кандидатов наук. Проект: Разработка математических моделей и комплекса программ для прогнозирования свойств наноструктурированных материалов с учётом масштабных эффектов. Руководитель проекта: ______________/Тучкова Наталия Павловна (подпись) Москва 2013 г. 1 СПИСОК ОСНОВНЫХ ИСПОЛНИТЕЛЕЙ по Государственному контракту 14.740.11.0995 от 23 мая 2011 на выполнение поисковых научно-исследовательских работ для государственных нужд Организация-Исполнитель: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Вычислительный центр им. А.А.Дородницына Российской академии наук Руководитель темы: кандидат физикоматематических наук ______________________ Тучкова Н. П. подпись, дата Исполнители темы: доктор технических наук, профессор ______________________ Лурье С. А. подпись, дата кандидат физикоматематических наук, звание не указано ______________________ Кожевников И. Ф. подпись, дата кандидат физикоматематических наук, звание не указано ______________________ Холомеева А. А. подпись, дата без ученой степени, без ученого звания ______________________ Саганов Е. Б. подпись, дата без ученой степени, без ученого звания ______________________ Харченко К. Д. подпись, дата кандидат физикоматематических наук, без ученого звания ______________________ Соляев Ю. О. подпись, дата кандидат физикоматематических наук, звание не указано ______________________ Буров А. А. подпись, дата без ученой степени, без ученого звания ______________________ Нефедов П.В. подпись, дата без ученой степени, без ученого звания ______________________ Попова Е. И. подпись, дата без ученой степени, без ученого звания ______________________ Ифраимов С.В. подпись, дата 2 РЕФЕРАТ Отчет 130 с., 2 ч., 30 рис., 1 табл., 29 источн., 1 прил. моделирование , демпфирующие свойства , нанокомпозиты , армированные резины , градиентная модель вязкоупругости , комплексное представление Папковича-Нейбера В отчете представлены результаты исследований, выполненных по 5 этапу Государственного контракта № 14.740.11.0995 "Разработка математических моделей и комплекса программ для прогнозирования свойств наноструктурированных материалов с учётом масштабных эффектов" (шифр "2011-1.2.2-111-001") от 23 мая 2011 по направлению "Проведение научных исследований научными группами под руководством кандидатов наук в следующих областях:- математика;- механика" в рамках мероприятия 1.2.2 "Проведение научных исследований научными группами под руководством кандидатов наук.", мероприятия 1.2 "Проведение научных исследований научными группами под руководством докторов наук и кандидатов наук" , направления 1 "Стимулирование закрепления молодежи в сфере науки, образования и высоких технологий." федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы. Цель работы - Построение модели динамических свойств микро/нанокомпозитов на основе градиентных моделей, создание численных алгоритмов и тестовых программ. Методы механики композитных материалов в адаптации к градиентной постановке теории упругостии теории теплопроводности, метод трех фаз Эшелби, модифицированные метод трех фаз с приближенным учетом межфазного слоя, блочный метод. Модели строятся на основе вариационной формулировки, что обеспечивает их корректность и согласованность. Для моделирования демпфирующих свойств использовался метод комплексных модулей. Для реализации численных алгоритмов и программы использовано комплексное представление Папковича-Нейбера. В работе использованы системы Mathematica, Maple, язык программирования С++, среда Visual C. Разработаны методы прогноза демпфирующих характеристик дисперсных нанокомпозитов. Созданы численные алгоритмы для моделирования демпфирующих характеристик композитов со сферическими и цилиндрическими многослойными нановключениями на основе градиентных моделей с использованием метода комплексных модулей и процедуры осреднения Эшелби. Построены варианты градиентных моделей для армированных резин. Разработан вариант градиентной модели Муни-Ривлина для несжимаемых армированных резин и построено решение прикладных задач о колебаниях армированных шин в стационарном режиме. 3 СОДЕРЖАНИЕ СПИСОК ОСНОВНЫХ ИСПОЛНИТЕЛЕЙ ........................................................ 2 СОДЕРЖАНИЕ ....................................................................................................... 4 ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. 6 ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МИКРО/НАНОКОМПОЗИТОВ НА ОСНОВЕ ГРАДИЕНТНЫХ МОДЕЛЕЙ, СОЗДАНИЕ ЧИСЛЕННЫХ АЛГОРИТМОВ И ТЕСТОВЫХ ПРОГРАММ. ... 8 1. ПРОГНОЗ ДЕМПФИРУЮЩИХ ХАРАКТЕРИСТИК ДИСПЕРСНЫХ НАНОКОМПОЗИТОВ............................................................................................ 8 1.1. Вводные замечания ......................................................................................... 8 1.2. Алгоритм определения эффективных свойств композитов с использованием метода комплексных модулей ................................................. 12 1.3 Алгоритм численной оценки диссипативных свойств. Моделирование (пространственно - временное моделирование) методом конечных элементов ............................................................................................................... 15 1.3.1. Стационарный случай ................................................................................. 17 1.3.2. Метод КЭ для временной области............................................................. 17 1.3.3. Алгоритм численной реализации .............................................................. 18 1.3.4. О численном моделировании динамических характеристик наполненных композитов с учетом масштабных эффектов (с использованием градиентной модели)............................................................................................. 19 1.4. Аналитический метод оценки диссипативных свойств дисперсных композитов со сферическими включениями, имеющими вызкоупругие покрытия ................................................................................................................ 22 1.4.1. Чистая дилатация на бесконечности ......................................................... 24 1.4.2.Чистый сдвиг 0 на бесконечности ............................................................ 25 1.4.3. Алгоритм оценки модулей потерь............................................................. 26 1.4.4. Некоторые примеры .................................................................................... 27 1.5. Моделирование диссипативных свойств композиционного материала, армированного короткими волокнами ................................................................ 29 1.5.1.Алгоритм оценки диссипативных свойств ................................................ 31 1.5.2. Классическая модель композиционного материала, армированного короткими волокнами. .......................................................................................... 32 1.5.3. Композиционный материал, армированный короткими волокнами, классическая модель. ............................................................................................ 35 1.5.3. Композиционный материал, армированный короткими волокнами. Градиентная модель межфазного слоя. .............................................................. 42 1.5.4. Моделирование свойств композиционного материала, армированного короткими волокнами. Когезионно-адгезионная модель. ............................... 46 1.5.5. Заключение по разделу ............................................................................... 49 4 1.6. Вязкоупругая градиентная модель. Комплексная аналогия ..................... 50 1.6.1. Комплексное представление Папковича-Нейбера................................... 53 1.6.2. Вычисление эффективного модуля потерь .............................................. 57 1.6.3. Блочный метод наименьших квадратов .................................................... 59 1.6.4. Принципы реализации алгоритмов блочного метода ............................. 64 1.7. Определение диссипативных свойств волокнистых, армированных волокнами с тонким вязкоупругим покрытием. ................................................ 69 1.7.1. Определение эффективных механических свойств монослоя, армированного волокнами с дополнительным покрытием. ............................ 71 1.7.2. Определение объёмной жесткости в плоскости изотропии для волокнистого композита. ...................................................................................... 74 1.7.3. Определение модуля сдвига в плоскости изотропии волокнистого композита. .............................................................................................................. 75 1.7.4. Определение модуля сдвига в направлении армирующих волокон. ..... 77 1.7.5. Определение модуля Юнга в направлении армирующих волокон. ...... 78 1.7.6. Определение эффективных диссипативных характеристик. .................. 79 1.7.7. Пример.......................................................................................................... 80 1.8. Определение диссипативных свойств волокнистых, армированных волокнами с учетом градиентных эффектов (для сверхтонких армирующих волокон). ................................................................................................................. 86 2. ПОСТРОЕНИЕ ВАРИАНТОВ ГРАДИЕНТНЫХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ АРМИРОВАННЫХ РЕЗИН. ................................................................................ 92 2.1. Об учете градиентных эффектов в модели Муни-Ривлина для резин. .. 92 2.1.1. Случай больших деформаций. ................................................................... 95 2.1.2. Кинематические соотношения и вариационные формы ....................... 100 2.2. Общие замечание о задачах колебания армированных шин. .................. 104 2.3. Моделирование колеса с армированной шиной ....................................... 106 2.4. Уравнения движения.................................................................................... 110 ЗАКЛЮЧЕНИЕ. .................................................................................................. 121 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ................................................................................... 122 ПРИЛОЖЕНИЕ А. ЗАЯВКА НА ПАТЕНТ «СПОСОБ СОЗДАНИЯ КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА С ПОВЫШЕННЫМИ ДЕМПФИРУЮЩИМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ». ....................................... 125 Реферат ................................................................................................................. 125 Описание .............................................................................................................. 125 Формула изобретения. ........................................................................................ 129 5 ВВЕДЕНИЕ Данный отчет посвящен изучению диссипативных характеристик модифицированных нанокомпозитов. В нем изложены результаты исследований по разработке численных алгоритмов для моделирования демпфирующих характеристик композитов со сферическими и цилиндрическими нановключениями на основе градиентных моделей с использованием метода комплексных модулей и процедуры осреднения Эшелби. Исследован вариант модели Муни-Ривлина для несжимаемых армированных резин и решение прикладных задач о колебаниях армированных шин в стационарном режиме, а также использование вариационного принципа Гамильтона-Остроградского для анализа малых колебаний. Показано, что применение сферических включений и волокон с вязкоупругими покрытиями позволяет повысить диссипативные свойства композита. Принципиальным является и тот результат, что в таких системах с тонкими покрытиями волокон эффективный модуль потерь системы может многократно превышать модуль потерь вязкоупругого слоя покрытия. Отметим, что использование достаточно толстых покрытий волокон (традиционный путь) также позволяет повысить демпфирующие свойства композитов, однако приводит к значительному уменьшению эффективных модулей упругости композиционного материала, так как вязкоупругое покрытие обычно имеет низкие жесткостные свойства. В исследованиях показано, что наиболее эффективным представляется случай, когда покрытие является весьма и весьма тонким. В проекте рассматриваются не только традиционные структуры (дисперсные композиты, армированные сферами и короткими волокнами, волокнистые и слоистые композиты), но также и новые перспективные композиты, армированные волокнами с выращенными на их поверхности специальными 6 щетинистыми покрытиями. Эти покрытия влияют на адгезионные свойства с матрицей и увеличивают эффективные свойства композита. С другой стороны они играют роль тонких дополнительных покрытий и могут существенно изменять динамические свойства композитов (демпфирующие характеристики). Отметим, что так как особые диссипативные эффекты проявляются для очень тонких (по отношению к размеру включений) покрытий, то возникает проблема оценки влияния масштабных эффектов, особенно когда диаметры волокон (включений) сами по себе являются малыми. В данном отчете показана возможность учета таких эффектов путем использования градиентных моделей и моделей адгезии, разработанных авторами и участниками проекта. Структура отчета следующая. Сначала будет описан общий алгоритм определения эффективных диссипативных характеристик. Затем будут последовательно приведены аналитические решения для каждого конкретного класса рассматриваемых композитов, построенные авторами проекта и указаны конкретные алгоритмы оценки их эффективных диссипативных свойств. Далее будет изложено построение вариантов моделей для армированных резин. И в завершение отчета прилагается заявка на патент на изобретение «Способ создания композиционного материала с повышенными демпфирующими характеристиками», правообладателем которого является Вычислительный центр РАН. 7 ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МИКРО/НАНОКОМПОЗИТОВ НА ОСНОВЕ ГРАДИЕНТНЫХ МОДЕЛЕЙ, СОЗДАНИЕ ЧИСЛЕННЫХ АЛГОРИТМОВ И ТЕСТОВЫХ ПРОГРАММ. 1. ПРОГНОЗ ДЕМПФИРУЮЩИХ ХАРАКТЕРИСТИК ДИСПЕРСНЫХ НАНОКОМПОЗИТОВ. 1.1. Вводные замечания В этой главе рассматриваются последовательно различные типы дисперсных композитов. Сначала изучаются дисперсные композиты со сферическими включениями, имеющими вязкоупругие покрытия, что позволяет изучить механизмы диссипации и объяснить появления аномально высоких свойств в дисперсно армированных композитах. Предполагается, что эффективная среда (композит) нагружен однородными деформациями, изменяющимися по гармоническому закону 0 sin t . Соответствующие напряжения изменяются следующим образом 0 sin t . Эффективные модули определяются при этом в соответствии с равенством Еeff 0 (1 i tan ) , Еeff (i) 0 (1 i tan ) E iE , E E tan . Затем рассматриваются композиты, в которых включения могут быть чрезвычайно малыми (микро и наноразмерными) и поэтому для которых существенными при оценке диссипативных свойств могут быть не только вязкоупругие свойства полимера в области контакта с измененной морфологией- межфазные слои, но и адгезионная диссипация. Далее рассматриваются модели и алгоритмы оценки диссипативных свойств дисперсных композитов, с короткими волокнами ( в том числе микро-нановолокнами-нанотрубками). 8 Для всех рассмотренных проблем используется фактически один и тот же алгоритм. краткое описание которого дается в разделе 1.2.. В дальнейшем этот алгоритм конкретизируется для конкретных моделей и конкретных задач. Общая схема метода реализуется на основе принципа соответствия упругой и вязкоупругой задач. Кратко остановимся на особенностях реализации метода для градиентных моделей и моделей учитывающих адгезионные свойства контакта фаз. Оценка диссипативных свойств неоднородных структур предлагается осуществлять по эффективным характеристикам композита, которые определяют поведение материала в рамках классической теории упругости. Т.е. на макроуровне материал не является градиентным. Это вполне обосновано, так как градиентные эффекты локализуются в окрестности границ контакта и характеризуют свойства локального (межфазного слоя). Адгезионные характеристики контакта также дают только более полное описание условий контакта фаз и формально присутствуют как параметры в выражениях для эффективных свойств. Поэтому все особенности указанного класса задач проявляются лишь на этапе формулировки моделей деформирования неоднородных структур с учетом градиентных эффектов и адгезионных свойств, в постановке соответствующих краевых (контактных) задач, а также на этапе оценки эффективных свойств композита. Сценарии реализации диссипативных свойств композитов при этом могут быть различными. В первую очередь мы полагаем, что одна или несколько фаз композита обладают некоторыми вязкоупругими свойствами. Следовательно их модули упругости принимаются комплексными при использовании принципа соответсвия упругой и вязкоупругой задач. При этом масштабные характеристики градиентных моделей, имеющих размерность длины и определяющих протяженность зоны локальных 9 (межфазных) взаимодействий в контактных задачах, считаются действительныими. С другой стороны адгезионные параметры отражают качество сцепления фаз и могут быть также причиной, влияющей на диссипативные свойства. Поэтому в рамках используемой процедуры мы предполагаем формально, что соответствующие адгезионные модули упругости могут быть комплексными. Остановимся кратко на характеристиках демпфирования композитов, рассмотрев простой качественный пример. Полагаем, что на данной круговой частоте комплексный модуль определяется равенством E E i E где мнимая часть формально 2 определяет скорость диссипации энергии в единице объема U E 0 , где 0 - амплитуда гармоники деформаций, прикладываемых к вязкоупругому континууму. Нетрудно видеть, что эффективный комплексный модуль для слоистой двухфазной среды, с вязкоупругими свойствами при чистом сдвиге определяется равенством 1 1 f f Geff G1 G2 , где f - объемное содержание второго слоя, G1 и G2 комплексные модули слоев системы. Пусть первый из слоев является упругим G1 b , а второй вязкоупругим G2 a( 1 i ) . Оба параметра a , b и параметр являются действительными. Рассмотрим для примера слоистую периодическую следующими характеристиками G1 = 30 GPa и рассматриваем упругую постоянную Ceff , 2 0.02 1 i структуру со GPa. Мы также писывающую деформации в направлении координаты z. Мы полагаем здесь, что C1 80 GPa для первой фазы (стекло) для второй фазы C2 3.5 1 i0.1 GPa (вязкоупругий полимер в состоянии стеклования). Рисунок потерь 1 показывает что изменяя величину f, сдвига проходит через максимум, эффективный модуль достигая значительных 10 максимальных значений, многократно превышающих модуль потерь вязкого слоя. Замечательно, что эффективный модуль потерь сдвига примерно в 300 раз превышает модуль потерь вязкоупругого полимера. Кривые, приведенные на рисунке 1, показывают, что оба модуля при Ceff Geff , проходят через максимум при изменении величины f. Однако эти максимумы достигаю для разных значений f и имеют разные амплитуды. Это значит, что проблема определения оптимальных диссипативных свойств должна быть рассмотрена аккуратно. Рис. 1. Эффект значительных эффективных диссипативных потерь слоистой структуры. Проанализируем асимптотическое поведение модуля потерь сдвига при a b 0 . Найдем величину объемного содержания для которого реализуется максимум f 1 2 a b (1) Величина максимума при этом равна b eff 1 2 1 2 . (2) Таким образом следует отметить следующее. 11 Можно убедиться, что эффективный модуль потерь такой системы возрастает с ростом f , достигая максимального значения при некотором значении f 0 , а затем убывает при возрастании f вплоть до единицы. Такое поведение диссипативных свойств с одним пиком диссипативных свойств известно. Показано, что максимальное значение эффективного модуля потерь для такой двухслойной системы достигается для достаточно больших значение толщины вязкоупругого слоя и не зависит от амплитуды модуля упругости вязкоупругого слоя a . Важно отметить, что если в такой системе первый из слоев является упругим и выполнен, например, из стекла, а второй слой является полимерной матрицей с типичными для таких материалов значениями параметров - объемного комплексного модуля C2 и комплексного модуля сдвига G2 , то эффективный сдвиговой модуль потерь слоистой системы при сдвиге многократно превышает модуль потерь вязкого слоя. Этот необычный синергетический эффект во многом объясняет возможность получения композитных систем, аномально высокие демпфирующие свойства которых реализуются при сохранении высоких механических свойств. Сначала подобный эффект найден для композита со сферическими включениями, имеющими вязкоупругие покрытия. При этом численным и аналитическим путем установлен факт наличия «второго» пика в зависимости модуля потерь от толщины покрытия для весьма малых значений толщин вязкого слоя. Далее мы покажем, что для волокнистой системы имеется такой же эффект, т.е. кроме пика в зависимости модуля потерь от толщины вязкоупругого покрытия волокон, реализующегося при больших толщинах покрытия, имеется второй пик, который реализуется для весьма тонких покрытий волокон. 1.2. Алгоритм определения эффективных свойств композитов с использованием метода комплексных модулей 12 Для определения эффективных диссипативных модулей композита (модулей потерь) будем использовать метод комплексных модулей. Предполагаем, что во всех рассматриваемых случаях удается построить аналитические решения или указать последовательность конечных преобразований в которых используются явные выражения для модулей упругости компонент и в процедурах вычислений используются рациональные выражения не допускающие многозначности. Тогда для определения эффективных динамического модуля и модуля потерь используется метод комплексных модулей, в соответствие с которым, в полученные решения для эффективных упругих модулей композита подставляются значения комплексных модулей тех фаз (компонент) которые могут проявлять вязкоупругие свойства. Выделяя действительную и мнимую часть, в итоге, получаем значения эффективных динамическимх модулей упругости (действительная часть) и модулей потерь (мнимая часть) композита, определяющих диссипативные свойства. При использовании градиентных моделей масштабный параметр принимается действительным. При одновременном моделировании адгезионных свойств на контакте фаз параметры адгезии (адгезионные модули) входят в выражения для эффективных свойств через рациональные выражения. Поэтому метод комплексных модулей позволяет учесть эффекты адгезии. Для этого сначала введем модель адгезионной диссипации. Для адгезионных жесткостей (взаимодействий), как показали авторы проекта ранее, в простейшем случае могут быть использованы трактовки жесткостей пружинок на поверхности. Полагаем поэтому, что при колебаниях адгезионные жесткости могут принимать комплексные значения. Более того, вполне рациональным выглядит ситуация когда эти модули являются чисто мнимыми. Тогда с адгезией связаны чисто необратимые эффекты типа трения. 13 В общем случае алгоритм определения эффективных динамических модулей и модулей потерь ( плотность энергии диссипации) может быть представлен в форме следующих стадий: 1. Построение моделей эффективных свойств позволяющих вычислить эффективные характеристики композитов как функции от модулей упругости компонент (фаз)- E (i ) , G(i ) или Сijkl ( i - количество фаз) геометрических (i ) характеристик композитов (диаметров включений, объемной доли включений, геометрических характеристик дополнительных покрытий)- D(i ) , от масштабных параметров моделей (один масштабный параметр l1 для моделей типа модели Айфантиса-Гао, модели межфазного слоя Лурье или два скалярных параметра l1 , l2 в общей модели Миндлина) адгезионных параметров идеальной адгезии Aijkl (записываются через три скалярных параметра [1] F , F , F ), два параметра поврежденной адгезии в градиентной модели по нормали к поверхности и в трансверсальном направлении A, B [1], или , в общем случае дополнительно через тензор модулей градиентной адгезии Aijklmn . 2. Выбирается сценарий диссипации- выделяются факторы контролирующие диссипативные процессы и вводятся соответствующие характеристики в модель деформирования а) если процесс диссипации связан с вязкоупругими свойствами отдельных слоев и ли вязкоупругими свойствами матрицы (или отдельных фаз), то в полученных выражениях для эффективных характеристик композита формально соответствующие модули упругости заменяются на комплексные E (i ) E (i )1 iE (i ) 2 , G(i ) G(i )1 iG(i ) 2 . б) если процесс диссипации контролируется адгезионными процессамит диссипации(типа трения), то соответствующие адгезионные модули принимаются комплексными F 1F i2 F , F 1F i2 F , F 1F i 2 F и т.д. 14 в) в случае если процесс диссипации связан и с вязкоупругими свойствами компонент и с адгезионной диссипацией, все соотвтетсвтующие модули принимаются комплексными. 3. В полученных выражениях для эффективных свойств Eeff (i ), Gtff (i) и т.д. выделяется действительная част и мнимая часть. Мнимая часть определяет модули потерь композита. 1.3 Алгоритм численной оценки диссипативных свойств. Моделирование (пространственно-временное моделирование) методом конечных элементов Будем использоваться метод конечных элементов для определения общих, эффективных свойств композитного, многофазного материала, с учетом свойств и морфологии отдельных фаз. В общем случае при численном моделировании будет рассматриваться периодическая структура, с периодически распределенными включениями. Для учета морфологии в структурированных материалах могут быть использованы, например, методы конечных элементов с адаптивной сеткой в форме тетраэдра на основе сетки [1-4] см. рис. 2. Будем полагать, что реализуется идеальное сцепление между фазами. Остановимся на изучении динамических свойств многофазного материала методом конечного элемента. 15 Рис. 2. Моделирование диссипативных свойств композита со сферическими включениями, имеющими вязкие покрытия с использованием адаптивных тетроганальных элементов: представительный элемент из 27 включений с дополнительным слоем Запишем основные соотношения. Для заданной частоты колебаний ω, используем линейные определяющие соотношения: σ D(ε - ε0 ) Q(ε - ε0 ) . D, Q -тезор модулей упругости и тензор вязкости, зависящие от координат. Принцип возможной работы используется для получения уравнений движения: ε T σdV 0 . Подставляя напряжения, с помощью определяющих соотношений в последнее равенство, найдем уравнения движения в дискретной форме: Kа + Са = f . Здесь а и а определяют системы векторов перемещений и скоростей для выделенных мод. Входящие в записанное выражение матрицы: K BT DBdV , C BTQBdV , f BT (Dε0 + Qε0 )dV Матрица B является матрицей деформации-перемещения, определяющей изменение деформаций, связанных с перемещениями [5] ε Bа . 16 1.3.1. Стационарный случай Рассмотрим периодические возмущения структуры f = f0 ei x . Для квазистационарного описания системы полагаем, что перемещения также изменяются по гармоническому закону а (а' iа'')ei x . Подставляя это соотношение в уравнения движения и проведя соответствующие преобразования, получим следующую многоразмерное соотношение, для седловой точки. К С а' f0 С К а' ' 0 Эту систему уравнений также можно попытаться решить напрямую, с помощью косой проекции на подпространство Крылова, используя соответствующий решатель (например, GMRES), или решатель метода сопряженных градиентов, или с помощью метода итераций Удзавы [4]. Но в настоящее время эти техники решения подобных проблем с точкой перегиба для высокой размерности, (106 и более степеней свободы), возникающей в рассматриваемых задачах, при учете свойств структуры (морфологии) в тонких слоях нельзя считать удовлетворительными из-за численной неустойчивости процесса. 1.3.2. Метод КЭ для временной области Полагаем, что для времени t n вектор перемещения а( n ) и вектор скорости а( n ) являются известными. Чтобы получить численную схему для интервала времени t n , t n 1 t n t мы запишем уравнение движения для времени t n 1 , Ка(n+1) + Cа(n+1) = f (n+1) Здесь вектор перемещения и вектор скорости а и а являются действительными функциями времени. 17 Формула для осреднения скоростей а(n+1) 1 (n+1) (n) (а - а ), 2t Мы получаем устойчивый алгоритм типа Кранка-Николсона t (n+1) t (n+1) t f C а(n) а(n) C K а 2 2 2 На каждом шаге по времени требуется решить систему линейных уравнений для компонент перемещений. Так как обе матрицы C, K являются положительно определенными, то в предложенной численной схеме алгебраическая система уравнения также является положительно определенной. Таким образом, можно использовать предобусловленный метод (решатель) сопряженных градиентов для обновления вектора смещения на каждом шаге итерации. И более того, при достаточно малых Δt вектор а(n) образует отличное от начального приближение а(n+1) . Поэтому на практике здесь имеет место достаточно быстрая сходимость метода сопряженных градиентов. 1.3.3. Алгоритм численной реализации При численной реализации можно использовать различные интерполяционные полиномы. Для тестовой реализации указанного нового алгоритма использовался кубический интерполяционный полином для перемещений. В результате формировалась матрица деформации - смещения размерности 20×20 тетраэдрических элементов. Проведенная для структуры, показанной на Рис. 2, тестовая компьютерная реализация подтвердила достаточно точное воспроизведение аналитических решений при описании слоистой морфологии композита. В качестве начальных условий могут приниматься нулевые значения перемещений и скоростей в начальный момент времени (Т = 0), а(n) 0 , а(n+1) 0 . Затем следует приложить внешние деформации ε 0 , изменяемые по времени по гармоническому закону. При этом требуется выбрать шаг 18 интегрирования по времени. Для достижения достаточной точности шаг должен быть выбран так, чтобы было реализовано конечное число точек интегрирования на периоде. Например, от 30 до 50 точек интеграции за период. Для каждой точки интегрирования, рассчитывается среднее напряжение. Полученные соответствующими используются для значения гармоническими определения напряжения сравниваются функциями, которые эффективных комплексных с затем упругих постоянных. Например, для одномерных гармонических деформаций sin t , следует определять соответствующую зависимость напряжений sin(t ) . Тогда эффективный модуль сдвига определялся по формуле eff 0 (1 i tan ) . 1.3.4. О численном наполненных моделировании динамических характеристик композитов с учетом масштабных эффектов (с использованием градиентной модели) Использование описанного выше метода для оценки динамических свойств непосредственно для градиентной модели представляется сложной задачей, которую, по-существу, надо решать заново. Однако в настоящее время отсутствует методика расчета методом конечных элементов для градиентной упругости. Поэтому предлагается иной подход. Предлагается алгоритм, в соответствии с которым вместо использования градиентной теории при описании краевых условий контакта фаз будем использовать классическую модель включения (в данном случае сферы) и матрицы. В зоне контакта предлагается ввести дополнительный межфазный слой, характеристики которого находятся из упрощенной постановки тестовой задачи, которая 19 имеет точное решение и позволяет определить характеристики межфазного слоя через свойства контактируемых фаз и масштабный параметр, который имеет четкий физический смысл: он определяет длину градиентных эффектов, локализованных в окрестности границ контакта. Такой подход позволяет приближенно учесть градиентные эффекты (масштабные эффекты), а также адгезионные характеристики контакта, и всю эту информацию ввести в модель через межфазный слой, который вводится как дополнительный в классической постановке. В результате, задача сводится к уже рассмотренной, но с дополнительным слоем, характеристики которого (толщина и механические свойства) содержат всю информацию о градиентных эффектах. Предлагаемая модель, содержит единственный дополнительный параметр по сравнению с классической моделью Эшелби. Для определения модулей упругости промежуточного слоя используется известное аналитическое решение, получаемое рамках одномерной задачи градиентной теории упругости. Для этого исследуемый материал (матрица и включение) рассматривается в рамках контактной одномерной задачи последовательносоединенных фаз. Модуль Юнга промежуточного слоя определяется из решения одномерной задачи на растяжение, а модуль сдвига – из задачи чистого сдвига. Для учёта адгезионных характеристик используется также одномерная постановка задачи, но при этом на границе контакта учитываются адгезионные взаимодействия (в постановке задачи учитывается дополнительная поверхностная энергия деформаций). В результате модель позволяет учесть адгезионные эффекты, масштабные эффекты и морфологические изменения в матрице композита на этапе определения характеристик промежуточного слоя, и, следовательно, учесть влияние данных эффектов на осреднённые упругие и диссипативные свойства композита. Возможность такого подхода основана на анализе общей структуры решения градиентной теории (обобщенной теореме Папковича-Нейбера), что 20 позволяет утверждать, что все градиентные эффекты описываются фундаментальными решениями уравнений Гельмгольца, т.е. меняются как экспоненты с показателями, определяемыми масштабными параметрами. В качестве тестовой выбирается одномерная постановка градиентной упругости. 1:волокно 2:фиктивное покрытие, определяемое межфазными r эффектами (градиентность) 3: матрица 4: «эффективная» матрица 4 3 2 1 R R 1 R ∞ 2 3 Рис. 3. Модель квази - классического включения с межфазным градиентным слоем. Для приближенного учета градиентных эффектов в рамках классической модели следует определять свойства межфазного слоя [6]. Для этого определяем модули упругости межфазного слоя по нижеследующим формулам. Модуль Юнга: Ef E3a1 cth(a1R1 ) E1a3 cth(a3 ( R3 R1 )) a1 cth(a1R1 ) a3 cth(a3 ( R3 R1 ) Здесь: a1 С , a3 E1 С , E3 Отметим, что для эффективного модуля, при C , имеет место переход к классической формуле Рейса.. 21 Модуль сдвига межфазного слоя: Gf G3b1 cth(b1R1 ) G1b3 cth(b3 ( R3 R1 )) , b1 cth(b1R1 ) b3 cth(b3 ( R3 R1 ) где G1 , G3 - модули сдвига включения и матрицы, b1 С С , b3 . G1 G3 Протяжённость межфазного сдвигового слоя во включении и в матрице определяется по формулам: d1 th ( b3 ( R3 R1 )) th ( b1R1 ) , d3 . b1R1 b3 ( R3 R1 ) Коэффициент Пуассона и объёмный модуль межфазного слоя определяются по классическим формулам: f E f 2G f 2G f , kf Ef Gf 9G f 3E f ; Все характеристики (модуль Юнга, модуль сдвига и ширина) межфазного слоя вычисляются через градиентный параметр С, модули упругости, матрицы, включения, объёмную долю включений. Можно принять, что a1 a3 , b1 b3 , т.е. в общем случае вводится только два масштабных параметра, характеризующих протяженность межфазных зон. В записанные выше соотношения вводятся и адгезионные параметры [6]. В результате, задача определения динамических свойств решается в рамках описанной выше численной процедуры для включения с дополнительным градиентным слоем. 1.4. Аналитический метод оценки диссипативных свойств дисперсных композитов со сферическими включениями, имеющими вызкоупругие покрытия 22 Приведем кратко основные соотношения, позволяющие аналитическим путем давать оценки эффективных модулей потерь композита армированного сферами с дополнительным вязкоупругим слоем (см. Рис . 4) Рис. 4. Модель четырехфазного композита , армированного сферами. Включение имеет радиус R1 , вязкоупругий слой характеризуется радиусом R2 , далее идет матрица, определяемая радиусом R3 , который выбирается так, чтобы имело место заданное объемное содержание включения. Объемное содержание включения вычисляется так: f R2 R3 3 . Следовательно, включение вместе с вязкоупругим покрытием имеет объемную долю равную f. Используется самосогласованный метод трех фаз. Эффективная среда считается изотропной и характеризуется двумя модулями упругостимодулем объемного сжатия и модулем сдвига. Контакт фаз предполагается идеальным. Сначала, в соответствии, с общей процедурой, определяется эффективный модуль объемного сжатия из задачи об объемном осесимметричном деформировании. Затем находится эффективный модуль сдвига из задачи о чистом сдвиге. Т.е. на бесконечности в эффективной матрице реализуется однородное поле деформаций чистого сдвига 23 1 0 0 ε0 0 0 1 0 0 0 0 Приведем основные соотношения для каждой из этих задач. 1.4.1. Чистая дилатация на бесконечности В этом случае вектор перемещений u определяет радиальные перемещения и зависит только от вектора r. Следовательно, уравнение равновесия имеет вид grad div u 0 и 2 i 1 d r ur div u 2 const 3ai , r dr (3) или uri ai r bi r2 (4) где uri - радиальные смещения компонент в i-ой фазе. Коэффициент b1 очевидно равен нулю и a4 0 / 3 , для удовлетворения условиям на бесконечности. Радиальные напряжения в каждой фазе находятся в виде rri 3Ki ai 4i bi r3 , (5) здесь Ki и i объемный модуль и модуль сдвига в каждой из фаз. Коэффициенты определяется из условий контакта фаз, сформулированных для rr и ur на трех границах r Ri между фазами i и i + 1: rri ( Ri ) rri 1 Ri ur Ri ur i i 1 Ri . Теперь можем определить эффективный (6) объемный модуль Keff , требуя, чтобы дилатация в эффективной матрице была равна дилатации заданной на бесконечности. Другими словами, в соответствии с методом 24 самосогласованных фаз, условие осреднение, позволяющее получить дополнительное соотношение к краевым условиям контакта имеет вид: E ij1 ui0 ij0 ui1 ds 0 (i, j 1, 2,3) (7) S Это условие и дает дополнительное равенство b4 0 , которое также исключает величину eff из числа неизвестных. В результате, находим все постоянные ai и bi , и величину эффективного модуля Keff . 1.4.2.Чистый сдвиг 0 на бесконечности В этом случае перемещения определяются формулами (i ) 6 i C 5 4 i Di 2 Bi r 3 3 4i ur Ai r sin cos 2 1 2 i r 1 2 i r 2 7 4 i C D (i ) Bi r 3 2 4i 2 2i sin cos cos 2 u Ai r 1 2 i r r u( i ) Ai r 7 4 i Bi r 3 2 C4i 2 D2i sin sin 2 1 2 i r r где Ai , Bi , Ci и Di - неизвестные постоянные. Коэффициенты C1 (8) и D1 должны быть приняты нулю для отсутствия сингулярности при r 0 , а B4 0 и A4 0 , чтобы удовлетворить условиям на бесконечности. Для определения всех постоянных записываются условия контакта фаз. Условия контакта включают в себя условия равенства угловых и радиальных перемещений (ur , uq ) , а также радиальных и касательных напряжений (s i ,s i ) : rr rq ur(i ) ( Ri ) ur(i 1) ( Ri ) (i ) ( i 1) u ( Ri ) u ( Ri ) , i 1, 2,3 (i ) ( i 1) ( R ) ( R ) rr i rr i (i ) ( R ) (i 1) ( R ) r i r i (9) 25 Напряжения находятся по соотношениям Гука s rr = 2 m e rr + l Q, s qq = 2 m eqq + l Q, s zz = 2 m e zz + l Q, s rq = 2 m e rq , s q z = 2 m eq z , s rz = 2m e rz , (10) Q = e rr + eqq + e zz. В результате, после удовлетворения условиям контакта (9) (см . также (10)) и условия самосогласованности (7) находятся все постоянные в (8) и эффективный модуль сдвига eff 4 . Отметим, что замыкающее условие A4 0 следует непосредственно из (7). 1.4.3. Алгоритм оценки модулей потерь Опишем кратко алгоритм оценки модулей потерь. 1. Определяем эффективные характеристики для эффективной среды: - эффективный объемный модуль Keff , по формулам (3)-(6) и (7), т.е. b4 0 . - эффективный модуль сдвига - eff , по формулам (8)-(10) и (7), т.е. b4 0 . Эффективные упругости фаз, характеристики геометрических являются характеристик функциями, модулей композита (радиуса включения, толщины дополнительного слоя), относительного объемного содержания. 2. Полагаем в полученных явных соотношениях (в полученной системе уравнений) для тех фаз j , которые обладают вязкоупругими свойствами, вместо этих j (i) j ij , величин K j (i) K j iK j соответствующие , j , K j , комплексные j , K j - модули: соответственно, динамические модули и модули потерь фазы j . 3. Выделяем в полученных в результате соотношениях действительную и мнимую части и находим модули потерь (диссипаитивные свойства) и динамические модули: Im( Keff (i )), Keff Re( K eff (i )) K eff Im( eff (i )), eff Re( eff (i )) eff 26 1.4.4. Некоторые примеры Сначала рассмотри композит, в котором свойства включения и матрицы являются одними и теми же и упругими. параметры для матрицы и включения K1 3 GPa и Приняты следующие 1 1 GPa, для вязкого слоя- K1 3 GPa and 2 a 1 i GPa, a и действительные параметры. Принимаем, что η = 0.5 – типично для полимера в области температуры стеклования. На бесконечности задается гармонический закон изменения деформаций ε0 ε0eit . Задается чистый сдвиг. Расчеты проведены для случая 1 rad/s. Показано, что для случая параметров a = 0.01 GPa and η = 0.5 имеет место два пика, соответствующих максимуму диссипации. Первый соответствует толщине вязкогослоя R 0.2 ( и R толщина покрытия и радиус включения). Здесь (для максимума) тензор деформации ε1 диагональный, ( 1ij 0, i j ). В то время как для второго пика, на R 0.007 - (очень тонкое включение) тензор деформации ε2 в точности такой же как и на бесконечности (чистый сдвиг), но имеющий амплитуду в 50 раз большую. Чтобы понять изменение механизмов диссипации рассмотрим предельное поведение структуры при a 0 , см. Рис. 5. Видим, что оба максимума не зависят от абсолютной величины параметра жесткости a, а только сдвигаются вдоль оси пропорционально a. Т.е. мы получили тот же эффект, что был получен для слоистой структуры. Видно, что на различных толщинах пики диссипации определяются разными механизмами - для второго пика диссипация контролируется сдвиговыми деформациями. 27 0.05 0.04 " [GPa] 10 -5 10 -4 10 -3 0.03 0.02 0.01 0.00 1E-7 1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 0.01 0.1 1 /R Рис. 5. Прогноз двух пиков в процессах диссипативных потерь для матрицы и включения: K = 3 GPa , μ = 1 GPa. Для покрытия K = 3 GPa и μ = a (1 + i 0.5) GPa В качестве примера рассмотрим дисперсный композит со стеклянными включениями, покрытыми вязкими включениями и полимерной матрицей. Типичные свойства матрицы и включения приведены в таблице1. Таблица 1. Объемный модуль K [GPa] стекло Комплексный модуль сдвига μ [GPa] 40 30 4 1 + i 0.02 Полимер на Tg 3.5 (1 + i 0.1) 0.01 (1 + i) Вязкоупругий 3 0.001 (1 + i 0.1) Полимерная матрица ниже Tg полимер , выше Tg Результаты расчета приведены на Рис. 6. для f 0.5 . Видим, что потери на втором пике примерно в 20 раз превышают модуль потерь чистой матрицы. Потери могут быть и дальше увеличены, если увеличивать объемную долю волокон или уменьшать их размер. Интересно, что для второго пика на R 0.005 объемная доля покрытия весьма мала – около 1%, а механические характеристики композита относительно велики. 28 0.4 0.20 at Tg " [GPa] tan 0.3 above Tg 0.15 0.10 0.2 0.1 0.05 0.00 1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 0.01 0.1 /R 1 0.0 1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 0.01 0.1 1 /R Рис. 6. прогноз эффективных свойств композита, f 0.5 . Действительная часть модуля сдвига может быть получена из равенства tan . 1.5. Моделирование диссипативных свойств композиционного материала, армированного короткими волокнами В данном разделе отчета дается алгоритм оценки диссипативных свойств рассматриваемых композитов на основе последовательности аналитических результатов моделирования эффективных механических жесткостных характеристик. Для построения математической модели композиционного материала рассмотрим фрагмент композита из работы [7], который представляет собой цилиндрическое волокно, окруженное цилиндрической матрицей. Рассматривается композит с малой объёмной долей включений, когда можно не учитывать взаимное влияние включений. Для всех рассмотренных здесь случаев используется одна и та же постановка задачи. Для получения приближенных оценок механических характеристик рассматривается двумерная постановка. Считается, что фрагмент нагружается в направлении ориентации включений, как показано на Рис. 7, 8. Будем использовать также следующие упрощения. Полагаем, что 29 вектор перемещений Ri (i 1,2) имеет единственную проекцию R - на ось волокна. Такую постановку задачи будем называть биплоской постановкой. Считается при этом, что нагружение композита в направлении армирования передается исключительно за счет продольных сдвигов. Возможность применимости такой модели будет обсуждаться ниже. Решение задачи в рамках предложенной расчетной схемы строится методом В.З. Власова. Индексом M обозначены параметры, относящиеся к матрице, а индексом D - параметры, относящиеся к волокну (дефекту). Введены обозначения: l - длина включения, EM , D , GM ,G , - модуль Юнга и модуль сдвига, hM , D толщина слоя матрицы вокруг волокна и радиус волокна. Рис. 7 Фрагмент композита с продольным расположением волокон Рис. 8. Схема нагружения. 30 Для получения аналитических соотношений при оценке эффективных жесткостей используется вариационная постановка. Так как подробное описание реализации метода была приведено в предыдущем разделе, здесь для всех рассматриваемых случаев мы приведем последовательно расчетные формулы для эффективных свойств, являющиеся основой алгоритма оценки диссипативных свойств. 5.1.1.Алгоритм оценки диссипативных свойств Алгоритм может быть представлен в форме следующих этапов: 1. Построение моделей эффективных свойств позволяющих вычислить эффективные характеристики композитов как функции от модулей упругости компонент (фаз) - EM , D , GM ,G , геометрических характеристик композитов (диаметров включений, объемной доли включений, геометрических характеристик дополнительных покрытий) hM , D , l (длина включения), : f относительная объемная доля включений, от масштабных параметров моделей, если учитываются масштабные эффекты по градиентным моделям, адгезионных параметров адгезии - два параметра в общем случае (сдвиговая адгезия и поверхностное натяжение). 2. Выбирается сценарий диссипации - выделяются факторы, контролирующие диссипативные процессы, и вводятся соответствующие характеристики в модель деформирования а) если процесс диссипации связан с вязкоупругими свойствами матрицы), то в полученных выражениях для эффективных характеристик композита формально соответствующие модули упругости матрицы заменяются на комплексные EM E ( M )1 iE ( M ) 2 , GM ,G G( M )1 iG( M ) 2 . б) если процесс диссипации контролируется адгезионными процессами диссипации (типа трения), то соответствующие адгезионные модули принимаются комплексными 31 в) в случае, если процесс диссипации связан и с вязкоупругими свойствами матрицы, и с адгезионной диссипацией, все соответствующие модули принимаются комплексными. 3. В полученных выражениях для эффективных свойств Eeff (i ), Gtff (i) и т.д. выделяется действительная часть и мнимая часть. Мнимая часть определяет модули потерь композита. 1.5.2. Классическая модель композиционного материала, армированного короткими волокнами. Лагранжиан классической теории упругости имеет вид: L A R Ri 1 Eijnm n dV , 2 xm x j i, j, n, m 1,2,3 , (11) здесь Eijnm - тензор модулей упругости, A - работа внешних сил, Ri компоненты вектора перемещений. Как принято в тензорной алгебре, по повторяющимся индексам проводится суммирование. Для биплоской постановки выражение для лагранжиана (11) принимает вид: L A 1 R R R R [E G ]dxdy 2 x x y y (12) При реализации метода В.З. Власова, распределение перемещений вдоль оси волокна задается в виде линейной функции от x : R( x, y) xR1 ( y) . Используются обозначения: bM , D 1 12 E M , D - показатели затухания классического краевого эффекта; l GM ,D M ,D th (bM , D hM , D ) (bM , D hM , D ) - относительная объемная доля однородного состояния, ( 1 M , D ) – относительная объемная доля краевых эффектов. Для ячейки с длинным волокном lim M , D 1 . В то же время lim M , D 0 l l 0 Решение краевой задачи для перемещений представляется в виде: 32 PM PD chbD y PD E ( E E )C Db chb h D M D D D R( x, y ) xR1 ( y ) x PM ( PM PD )C chbM ( y hM hD ) Mb E M EM ED chbM hM (13) Для сдвиговых деформаций получим соответственно: bD shbD y C Db chb h P P D D ( x, y ) xR1 ( y ) ( M D ) x b shbM ( y hM hD ) EM ED C Mb M chbM hM (14) Вычисляются нормальные и касательные напряжения: PM PD chbD y PD ( E E )C Db E D chb h M D D D ( x, y ) ER1 ( y ) P ( PM PD )C E chbM ( y hM hD ) Mb M M EM ED chbM hM bD shbD y C Db G D chb h P P D D , ( x, y ) GxR1 ( y ) ( M D ) x bM shbM ( y hM hD ) EM ED C G Mb M chbM hM (15) где C Db C Mb E M M hM E M M (1 f ) [ E M M hM E D D hD ] [ E M M (1 f ) E D D f ] E D D hD ED D f [ E M M hM E D D h D ] [ E M M (1 f ) E D D f ] Здесь: f (16) hD - относительная объемная доля включений. (hD hM ) Значения основных переменных на линии контакта волокна и матрицы: R1 (hD ) [ PD D hD PM M hM ] [ E D D h D E M M hM ] 1 ( PM E D PD E M ) D hD M hM [ E M M hM E D D h D ] 12 G R1 (hD ) 2 D l 1 ( PM E D PD E M ) D hD M hM [ E M M hM E D D h D ] GM 12 ( P E PD E M ) D hD M hM ( x, h D ) 2 x M D [ E M M hM E D D h D ] l (17) [ PD D hD PM M hM ] E D [ E h E h ] M M M D D D ( x, h D ) E [ PM M hM PD D hD ] M [ E M M hM E D D h D ] 33 Определение модуля Юнга эквивалентного материала. Для полученного решения (13)-(16) можно подсчитать потенциальную энергию составного фрагмента. Полагаем PD PM P , тогда потенциальная энергия составного фрагмента приобретает следующий вид: h h 1 1 1 U lP 2 [ M D ( )(C Db D hD C Mb M hM )] 2 EM ED EM ED h (C Db D hD C Mb M hM ) hD (C Db D hD C Mb M hM ) 1 lP 2 [ M ] 2 EM ED (18) Потенциальная энергия эквивалентного гомогенного фрагмента с модулем E , имеет вид: U0 1 1 l ( h D hM ) P 2 . 2 E Из равенства (19) потенциальных энергий для композита (18) и эквивалентной однородной среды (19) следует: hM h D hM h f h D h f E EM ED (20) Формула для эффективного модуля эквивалентной гомогенной среды имеет в виде: 1 E 1 f hf ( hM h D ) EM f hf ( hM h D ) ED (21) Здесь введено определение «обменной доли» композита h f : h f (C Db D hD C Mb M hM ) bM , D 1 12 E M , D l GM ,D M ,D ( E D E M ) D h D M hM [ E M M hM E D D h D ] (22) th (bM , D hM , D ) (bM , D hM , D ) Физический смысл обменной доли h f состоит в том, что матрица «отдает» включению часть своей объемной доли. Значения коэффициента Пуассона нанотрубки в работе [7] также не приводились, поэтому было принято одно из возможных значений 34 коэффициента Пуассона нанотрубки 0,45 [7]. Диаметр эффективного волокна D=1.8 нм, а диаметр нановолокна d=0.34∙D=0.612нм. Использование классической постановки приводит к результатам, значительно отличающимся от экспериментальных данных [7]. Однако предложенная методика может использоваться для приближенной оценки. Плоская постановка позволяет получить решение для структуры с большей жесткостью чем у волокнистого композита, т.е дает некоторую оценку сверху. Известно, что в окрестности волокна наблюдается изменение структуры матрицы, которое композиционном в предложенной материале, в теории окрестности не границы учитывается. фаз, В вероятно, реализуется особое локальное напряжённо-деформированное состояние, которое можно связать с проявлением масштабных эффектов. Для описания такого напряжённо-деформированного состояния следует использовать теорию межфазного слоя [8], так как в ней свойства материала описываются дополнительной физической константой. Предложенную расчётную схему предлагается использовать в рамках градиентной модели. 1.5.3. Композиционный материал, армированный короткими волокнами, классическая модель. Учет двух типов адгезионного взаимодействия фаз Предлагается модель волокнистого композита в плоской постановке, армированного одинаково ориентированными короткими включениями при растяжении в направлении армирования. Модель учитывает два типа адгезионных взаимодействий волокна и матрицы. Первый – поверхностное натяжение поверхности контакта, второй – трение покоя. Оба эффекта одновременно моделируются единым фиктивным «клеевым» слоем, при этом, жесткость на растяжение «клеевого» слоя определяет первый тип адгезионных взаимодействий, а жесткость на сдвиг – второй тип адгезионных взаимодействий. 35 Плотность лагранжиана имеет вид: 2 R 1 R Lz Az {E G }dxdy 2 x y 2 h / 2 l / 2 g ( RM ( x, hD hg / 2) RD ( x, hD hg / 2)) 2 1 Gg [ ] dxdy 2 l / 2 hg / 2 hg ( (23) l / 2 hg / 2 1 1 E g [( RM ( x, hD hg / 2) RD ( x, hD hg / 2))]2 dxdy 2 l / 2 hg / 2 4 x x где Eg , Gg , hg - модуль Юнга, модуль сдвига и толщина «клеевого» слоя, g g Gg / hg - адгезионнный модуль сдвига, eg Eg hg / 4 - адгезионнный модуль поверхностного натяжения. Последние два слагаемых в (23) можно трактовать как потенциальную энергию деформации сдвига и растяжения фиктивного клеевого слоя l / 2 hg / 2 1 1 R Ue E g dxdy 2 l / 2 hg / 2 4 x 2 ( l / 2 hg / 2 1 1 E g [( RM ( x, hD hg / 2) RD ( x, hD hg / 2))]2 dxdy 2 l / 2 hg / 2 4 x x (24) В соответствии с методом В.З. Власова (см. (23),(24) L z Az 1 2 hD hM 0 [ Elr 2 Gl 3 r 2 ]dy 12 3 1 ggl 1 [rM (hD ) rD (hD )] 2 e g l[(rM (hD ) rD (hD ))]2 2 12 2 ( (25) Вариационное уравнение получено в соответствии с принципом Лагранжа из требования стационарности лагранжиана (25): L hD 0 GD l 3 [ PD l E D lrD rD ]rD dy 12 hD hM hD GM l 3 [ PM l E M lrM rM ]rM dy 12 l3 G D rD (0)rD (0) 12 l3 {G M rM (hD ) / 2 G D rD (hD ) / 2 12e g / l 2 [rM (hD ) rD (hD )]} [rM (hD ) rD (hD )] 12 l3 {G M rM (hD ) / 2 G D rD (hD ) / 2 g g [rM (hD ) rD (hD )]} [rM (hD ) rD (hD )] 12 l3 G M rM (hD hM )rM (hD hM ) 0 12 ( (26) 36 Уравнения Эйлера, совпадают с уравнениями, указанными в 1.5.2. Формулировка граничных условий вытекает из вариационного уравнения (26) Касательные напряжения на осях симметрии волокна и матрицы равны нулю. На границе контакта матрицы и волокна: непрерывная часть касательных напряжений пропорциональна скачку (разрывной части) перемещений на границе контакта, а скачок (разрывная часть) касательных напряжений пропорционален непрерывной части перемещений на границе контакта. Математическая формулировка граничных условий будет выглядеть следующим образом: rD (0) 0 r ( h h ) 0 M M D 2 G M rM (hD ) / 2 G D rD (hD ) / 2 12e g / l [rD (hD ) rM (hD )] 0 G r (h ) / 2 G r (h ) / 2 g [r (h ) r (h )] 0 D D D g D D M D M M D ( (27) В случае, когда g g имеет место полный геометрический контакт волокна и матрицы, т.е. перемещения на границе раздела фаз равны rD (hD ) rM (hD ) , и, соответственно, скачок перемещений должен быть равен нулю. При этом скачок в касательных напряжениях никак не связан со скачком перемещений и может быть любым. В случае, когда eg 0 , имеет место полный силовой контакт волокна и матрицы, т.е. касательные напряжения на границе раздела фаз равны GD rD (hD ) GM rM (hD ) , и, соответственно, скачок касательных напряжений должен быть равен нулю. При этом скачок в перемещениях никак не связан со скачком в касательных напряжениях и может быть любым. Таким образом, полный контакт фаз имеет место как двойной предельный случай при g g и eg 0 . Введем обозначения: bM ,D th (bM , D hM , D ) 1 12 EM ,D M ,D l GM ,D (bM , D hM , D ) Для ячейки с длинным волокном lim M , D 1 . В то же время lim M , D 0 l l 0 37 Общее решение контактной задачи (27) представлено в виде: PM PD chbD y PD E ( E E )C Db chb h D M D D D R( x, y ) xr ( y ) x PM ( PM PD )C chbM ( y hM hD ) Mb EM EM E D chbM hM Система уравнений (27) относительно констант ( (28) интегрирования принимает следующий вид: EM ED PM PD PM PD C Mb ( 2 M hM e g ) C Db ( 2 D hD e g ) e g ( E E ) /( E E ) M D M D 2 2 2 C ( E M h g l ) C ( E D h g l ) g l Mb M M g Db D D g g 2 12 2 12 12 ( (29) Решение для постоянных интегрирования: PM P D) EM ED ED 1 l2 l 2 ED {e g ( D hD g g ) g g ( D hD e g )} P P 2 12 12 2 ( M D) EM ED ( C Mb PM P D) EM ED EM 1 l EM l2 {g g ( M hM e g ) e g ( M hM g g )} PM PD 12 2 2 12 ( ) EM ED 2 C Db ( ( (30) Здесь - определитель системы: ( EM E E l2 l2 E M hM e g )( D D hD g g ) ( M M hM g g )( D D hD e g ) 2 2 12 2 12 2 (31) Подставляя (30) в (28), можно получить общее решение задачи, которое в силу громоздкости не приводится. Определение модуля Юнга эквивалентного материала. Вычислим потенциальную энергию составного фрагмента, используя теорему Клапейрона. Для PD PM P выражение для потенциальной энергии приобретает следующую форму: U h 1 2 hM 1 1 lP [ D ( )(C Db D hD C Mb M hM )] 2 EM ED EM ED 1 2 hM (C Db D hD C Mb M hM ) hD (C Db D hD C Mb M hM ) lP [ ] 2 EM ED ( (32) 38 ( Чтобы найти потенциальная модуль энергия Юнга эффективного рассмотренного составного континуума, фрагмента сравнивается с потенциальной энергией эквивалентного гомогенного 1 2 фрагмента с модулем E : U 0 l (hD hM ) P 2 1 E Из условия равенства потенциальных энергий для композита и эквивалентной однородной среды получим соотношение для определения эффективного модуля композита E Eeff : hM hD hM h f hD h f E EM ED (33) h f (CDb D hD CMb M hM ) Исследуем параметр h f теории волокнистых композитов как функцию адгезионных параметров, используя (30), (33): h f (CDb D hD CMb M hM ) 1 [ 2 E E l E l2 E ( M M hM eg )( D D hD g g ) ( M M hM g g )( D D hD eg ) 2 2 12 2 12 2 PM PD ( ) l2 l2 E EM E D E D {eg ( D hD g g ) g g ( D D hD eg )} D hD P P 12 12 2 ( M D) 2 EM E D 1 2 E E l E l2 E ( M M hM eg )( D D hD g g ) ( M M hM g g )( D D hD eg ) 2 2 12 2 12 2 P P ( M D) 2 l E l2 E E D EM {g g ( M M hM eg ) eg M ( M hM g g )} M hM ] P P 12 2 12 ( M D) 2 EM E D eg Eg hg / 4 , ( (34) g g Gg / hg Из (19) следуют выводы: 1. При g g , eg 0 величина обменной объёмной доли стремится hf снизу к величине glim g eg 0 ( ED EM ) D hD M hM , полученной при ( EM M hM ED D hD ) полном контакте. 39 2. При произвольном g g и eg 0 величина обменной объёмной доли стремится lim h f eg 0 сверху к ( ED EM ) D hD M hM E h E h ( ED D hD EM M hM 12 M M M 2 D D D ) ggl величине: , полученной при силовом контакте. 3. При lim h f 0 эффективный модуль стремится к величине, g 0 g eg 0 определяемой осреднением по Рейссу. При этом силовое взаимодействие фаз отсутствует, так как касательные напряжения в фазах на границе контакта равны нулю. Результаты. Для получения решений и построения адгезионной модели будут применяться параметры из работы [9]. Модуль Юнга включения предполагается равным модулю нанотрубки, не погруженной в матрицу ED 435,97 ГПа . 1. Кривые на рис. 9 демонстрируют зависимости осредненного модуля Юнга композита от длины включения при полном контакте, при контакте с учётом только сдвиговой адгезии при различных значениях адгезионного модуля g g и при фиксированном значении eg 0 . Для сравнения приведены данные из работы [9] для двух разных адгезионных взаимодействий (функционализированное и нефункционализированное волокно). На рисунке видно, что решение (так же, как и в главе 3) находится в рамках вилки Фойгта-Рейсса. Данные из работы [9] вилку Фойгта-Рейсса пересекают. Таким образом, сдвиговые адгезионные взаимодействия не могут объяснить эффект аномального усиления композита. 40 Данные Одегард и др. адгезия 1 Е - Эффективный модуль Юнга композита, ГПа 12 10 Данные Одегард и др. адгезия 2 8 eg=0 g=0.0256 ГПа/нм 6 Осреднение по Фойгту Ev=5.2507 ГПа eg=0 g=0.0064 ГПа/нм 4 Решение без учета адгезии eg=0 g=0.0016 ГПа/нм 2 Осреднение по Рейссу Er=0.9091 ГПа 0 0 50 eg=0 g=0.1024 ГПа/нм 100 eg=0 g=0.4096 ГПа/нм 150 200 250 300 350 400 Решение с учетом адгезии eg=0 g=0.0004 ГПа/нм 450 l - длина волокна, нм Рис. 9. Зависимость эффективного модуля Юнга от длины волокна с учетом адгезии. Учитываются только сдвиги eg 0 , g g - произвольно При значении параметра g g и изменении e g , все кривые эффективных модулей лежат между кривой, не учитывающей адгезию, кривой определяемой параметрами g g и eg eg _ max . В модели, показанной на Рис. 9., параметр e g изменялся в диапазоне от 2 до 24 ГПа нм . На графике видно, что силы поверхностного натяжения раздвигают вилку Фойгта-Рейсса (рис. 9). При этом, модель не может объяснить эффект аномального усиления, возникающий на коротких волокнах. Полученная модель и ее решение позволяют сделать следующие выводы: 1. Адгезионный параметр g может играть роль параметра качества технологии изготовления композитов с короткими волокнами. Предложенная модель деформирования позволяет учесть эффект влияния адгезии как некоторую степень поврежденности границы контакта. Адгезионный параметр e g дает возможность учесть расширение вилки Фойхта-Рейсса при одних и тех же классических параметрах фаз, что не может быть объянснено в рамках чисто классической модели. 41 2. Если считать результаты исследований группы Одегарда соответствующими эксперименту, то результат, полученный в настоящей работе, позволяет объяснить эффект аномального усиления, описанный в работе[9] для длинных волокон. Для получения хорошего согласования в диапазоне коротких волокон необходимо использовать либо эквивалентный диаметр волокна, либо когезионно-адгезионную модель, которая позволит поднять график в диапазоне коротких волокон. 1.5.3. Композиционный материал, армированный короткими волокнами. Градиентная модель межфазного слоя. Установлено, что модель композита, построенная с использованием классической теории упругости не позволяет получить результаты, подтвержденные экспериментом. Положение не спасает ни учет краевых эффектов вдоль оси волокна, ни учет адгезионных взаимодействий между волокном и матрицей. Поэтому, для описания композита полимерная матрица/нановолокно, в работе использована градиентная модель межфазного слоя. Ожидается, что и с точки зрения динамических свойств композита, градиентные модели могут внести существенные поправки. Построенное аналитическое решение и предложенная общая методика позволяют указать корректную процедуру оценки диссипативных свойств подобных композитов с нановключениями, обеспечивающие уточненный учет масштабных эффектов. Окончательные выводы можно делать конечно только на основании сравнений с экспериментальными данными. Исходная постановка взята из работы в форме: Ri Rn 2 Ri 2 Rn 1 L A [Cijnm Cijknml ]dV 2 x j xm xk x j xl xm Ri (35) - вектор перемещений, Cijnm ij nm in jm im jn - тензор классических модулей ( , - коэффициенты Ламе), Cijknml - тензор когезионных модулей, аналогичный тензору модулей шестого ранга в модели 42 A PiV Ri dV Pi F Ri dF Тупина. - работа внешних объёмных PiV и поверхностных сил Pi F , L - лагранжиан, xl - компоненты пространственного радиус-вектора, ij - дельта Кронекера, V - рассматриваемый объём. В общем случае тензор модулей Cijknml для сред Тупина содержит одиннадцать независимых модулей. В модели (11) их два. Можно упростить структуру тензора Cijknml , вводя упрощающую «гипотезу пропорциональности» неклассических модулей: 1 Crijk Crnml C Cijknml (36) В результате, получена градиентная модель межфазного слоя, которая содержит лишь один неклассический механический параметр для каждой из фаз - параметр C . Лагранжиан (35) с учетом (36) для выбранной расчетной схемы имеет вид: L A 1 R R R R 1 2R 2R 2 { E G ( E G ) }dxdy 2 x x y y C xx yy (37) Здесь E - модуль Юнга, G - модуль сдвига. Искомое решение строится методом Власова, и распределение перемещений выбирается тоже в виде R( x, y) xr ( y) . Тогда, после внутреннего интегрирования по координате x , лагранжиан принимает вид: hD hM 1 L plrdy 2 0 Здесь p - hD hM {Elrr 0 Gl 3 G2 l3 r r r r }dy 12 C 12 кусочно-постоянная внешняя (38) нагрузка. Вариационное уравнение получено в соответствии с принципом Лагранжа (38): L l hD hM 0 { p Er G l2 G2 l 2 r r }rdy 12 C 12 l2 G l2 G2 l 2 l{(G r )r (G r r )r} 12 C 12 C 12 y hD (39) 0 43 Вариационное уравнение (39) определяет соответствующие уравнения равновесия и весь спектр граничных условий. Уравнения равновесия для каждой из фаз имеют вид G2 l 2 l2 r G r Er p C 12 12 (40) Таким образом, формулировка граничных условий будет следующей: G D rD (0) 0 G D rD (0) G D2 rD(0) 0 CD rD (h D ) rM (h D ) G r (h ) G r (h ) M M D D D D 2 GD G2 rD(h D ) G M rM (h D ) M rM (h D ) G D rD (h D ) CD CM G G D rD (h D ) M rM (h D ) C D CM (41) G M rM (h D hM ) 0 G M rM (h D hM ) G M2 rM (h D hM ) 0 CM Индексом D обозначены параметры, относящиеся к волокну, индексом М – параметры, относящиеся к матрице. Характеристические уравнения для уравнений (40) равновесия будут выглядеть следующим образом: G 4 12 E k k2 2 C lG D,M 0 (42) Здесь k - характеристическое число. Корни характеристических уравнений (42) имеют вид: 1 1 48 k1, 2,3, 4 D , M E Cl 2 (43) G 2 C Заметим, что корни становятся кратными, если C 48E / l 2 , а при C 48E / l 2 - комплексно- сопряженными. Приведем решение для случая, когда k1, 2,3, 4 D,M D,M i D,M комплексно сопряжённые корни 44 характеристического уравнения. Здесь D,M - действительная часть числа, D, M - мнимая часть числа, i– мнимая единица. Для волокна 0 y hD : rD ( y) PD C D1ch D y cos D y C D 2 sh D y sin D y ED Для матрицы hM y hM hD : rM ( y ) PM C M 1ch M ( y hM hD ) cos M ( y hM hD ) EM C M 2 sh M ( y hM hD ) sin M ( y hM hD ) Эта система уравнений позволяет определить постоянные интегрирования в решении дифференциальных уравнений CD1 , CD 2 , CM 1 , CM 2 и построить решение в целом. Численно решая систему (41) относительно C M 1 , CM 2 , C D1 , C D 2 , были найдены искомые перемещения и напряжения композита. Алгоритм определения эффективного модуля композита сводится к сравнению потенциальных энергий композита и эквивалентной гомогенной среды. В соответствии с теоремой Клапейрона вычисление потенциальной энергии составного фрагмента дает: 1 1 U A l 2 2 1 lPD 2 1 lPM 2 1 lPM 2 hD hM Pr ( y)dy 0 hD PD 0 D hD hM PM C M 1ch M ( y hM hD ) cos M ( y hM hD ) dy EM E hD C D1ch D y cos D y C D 2 sh D y sin D y dy hD hM C M2 (44) sh M ( y hM hD ) sin M ( y hM hD ) dy hD Чтобы найти модуль Юнга эффективного континуума, сравним потенциальную эквивалентного энергию (17) гомогенного с потенциальной фрагмента с энергией модулем для U0 E : U 0 0,5l p x (hD hM ) E . 2 45 Здесь p x - нагрузка, приложенная к гомогенному образцу, аналогичная нагрузке, приложенной к составному фрагменту. Из равенства потенциальных энергий гомогенной среды и композиционного материала (44) получим выражение для модуля Юнга эффективного континуума E , E Eeff : D P E p x (hD hM ) D C D1 ch D y cos D y C D 2 sh D y sin D y dy 0 E D h hD hM hD PM C M 1 ch M ( y hM hD ) cos M ( y hM hD ) dy EM hD hM C hD M2 (45) sh M ( y hM hD ) sin M ( y hM hD ) dy Далее, получение эффективного модуля E осуществлялось численно, поэтому аналитическая формула не приводится. Результат, полученный с использованием градиентной модели межфазного слоя, близок к экспериментальным данным. 1.5.4. Моделирование свойств композиционного материала, армированного короткими волокнами. Когезионно-адгезионная модель. Рассмотренная в этом разделе модель, является обобщением моделей, рассмотренных в предыдущих разделах. Вариационное уравнение получено в соответствии с принципом Лагранжа: 46 hD L l [ PD E D rD 0 l hD hM hD 2 GD l 2 G l 2 IV rD D rD ]rD dy 12 C D 12 2 G l2 G l 2 IV [ PM E M rM M rM M rM ]rM dy 12 C M 12 2 G l2 l 2 GD l2 l{( rD )G D rD (G D rD D rD)rD } 12 C D 12 C D 12 2 y hD y 0 GM l 2 l 2 GM l2 l{( rM )G M rM (G M rM rM )rM } 12 C M 12 C M 12 ggl3 y hD hM y hD ggl3 [rM (hD ) rD (hD )]rM (hD ) 12 12 e g l[(rM (hD ) rD (hD ))]rD (hD ) e g l[(rM (hD ) rD (hD ))]rM (hD ) [rM (hD ) rD (hD )]rD (hD ) Формулировка граничных условий будет следующей: G D rD (0) 0 G D rD (0) G D2 rD(0) 0 CD GM GD C rD (h D ) C rM (h D ) M D G D rD (hD ) G M rM (h D ) (46) 2 2 24e g GD GM [(G D rD (hD ) C rD(h D )) (G M rM (hD ) C rM (hD ))] l 2 [(rM (hD ) rD (hD ))] 0 D M 2 2 GD GM rD(h D )) (G M rM (hD ) rM (h D ))] 2 g g [rM (hD ) rD (hD )] 0 [(G D rD (h D ) CD CM GM rM (hD hM ) 0 GM rM (hD hM ) GM2 rM (hD hM ) 0 CM Алгоритм определения эффективного модуля композита сводится к сравнению потенциальных энергий композита и эквивалентной гомогенной среды. В соответствии с теоремой Клапейрона, потенциальная энергия составного фрагмента: 47 1 1 A l 2 2 U 1 lPD 2 1 lPM 2 1 lPM 2 hD PD 0 D E hD hM hD hD hM Pr ( y)dy 0 C D1ch D y cos D y C D 2 sh D y sin D y dy PM C M 1ch M ( y hM hD ) cos M ( y hM hD ) dy EM hD hM C M2 sh M ( y hM hD ) sin M ( y hM hD ) dy hD Чтобы найти модуль Юнга эффективного континуума, сравним записанную потенциальную энергию с потенциальной энергией U 0 для эквивалентного гомогенного фрагмента с модулем E : Из равенства потенциальных энергий гомогенной среды и композиционного материала (получим выражение для модуля Юнга эффективного континуума E : hD PD E p x (hD hM ) C D1 ch D y cos D y C D 2 sh D y sin D y dy 0 E D hD hM hD PM C M 1 ch M ( y hM hD ) cos M ( y hM hD ) dy EM ( (47) C M 2 sh M ( y hM hD ) sin M ( y hM hD ) dy hD hD hM Выражение (39) можно представить в виде: hM hD hM h f hD h f E EM ED ( (48) где h f : hf hD 1 1 1 P( ) EM ED 1 1 1 P( ) EM ED 1 1 1 P( ) EM ED eg Eg hg / 4 , C D1 ch D y cos D y C D 2 sh D y sin D y dy 0 hD hM C M1 ch M ( y hM hD ) cos M ( y hM hD ) dy hD (49) hD hM C ( M2 sh M ( y hM hD ) sin M ( y hM hD ) dy hD g g Gg / hg 48 1.5.4. Заключение Полученные для разных моделей аналитические представления, фактически дополняют описанный алгоритм, делают его завершенным. Укажем особенности реализации алгоритма для различных моделей. 1. Для классической модели композита с короткими волокнами следует в качестве базовых использовать формулы (21), (22) и в них для определения диссипативных свойств следует принять bM , D и M , D в качестве действительных параметров вычисленных по действительным свойствам фаз, в остальных соотношениях следует положить EM (i) и GM (i) . 2. Для композита с учетом двух типов адгезии в качестве расчетных следует использовать формулы (28)-(31) и (33),(34). Следует принять bM , D и M , D в качестве действительных параметров вычисленных по действительным свойствам фаз, в остальных соотношениях следует положить EM (i) и GM (i) . 3. Для когезионнй модели композита расчетными являются формулы (34),(36), (38). В них следует принять bM , D и в M , D качестве действительных параметров вычисленных по действительным свойствам фаз, в остальных соотношениях следует положить EM (i) и того вводится действительный масштабный GM (i) . Кроме параметр , EM / C GM / C, ED / C GD / C 0 4. Для общей градиентной модели с адгезиолнными взаимодействиями следует как и в предыдущем пункте принять bM , D и M , D в качестве действительных параметров вычисленных по действительным свойствам фаз, в остальных соотношениях следует положить EM (i ) и GM (i) . Кроме того вводится действительный масштабный параметр , EM / C GM / C, ED / C GD / C 0 49 1.6. Вязкоупругая градиентная модель. комплексная аналогия Рассматривается вязкоупругая градиентная модель теории упругости (модель Миндлина). На основе этой модели разрабатывается аналитикочисленный алгоритм характеристик вычисления (эффективного эффективных модуля потерь) демпфирующих для композиционных материалов с вязкоупругой матрицей и жесткими упругими включениями цилиндрической формы. Этот алгоритм опирается на известную комплексную аналогию между вязкоупругими задачами и линейными уравнениями теории упругости с комплексными модулями, устанавливаемую при помощи интегрального преобразования (Фурье или Лапласа) для интегрального образа вектора перемещений. Предполагается, что мы рассматриваем задачу в образах преобразования Лапласа или рассматриваем гармонические колебания вязкоупругого тела (преобразование Фурье). Это позволяет свести градиентное уравнение вязкоупругости к градиентному уравнению теории упругости с комплексными модулями, и воспользоваться комплексным представлением Гельмгольца для описания полей перемещений и напряжений через вспомогательные векторные потенциалы. Градиентная модель вязкоупругости в терминах интегрального преобразования Фурье или Лапласа (т.е. в рамках комплексной аналогии) включает в себя градиентное уравнение теории упругости четвертого порядка с двумя дополнительными вещественными параметрами l1 и l2 , определяющими масштабные эффекты в структурно-неоднородном материале: Hij L jk Rk Fk 0 , L jk ij2 K i j , 3 (50) Hij ij l12 ij2 l22i j ; (51) здесь соответственно K и – комплекснозначные объемный модуль и 50 модуль сдвига, Rk – компоненты интегрального образа вектора перемещений, l1 и l2 – масштабные параметры в градиентной модели Миндлина. Структура разрешающего градиентного уравнения оператора позволяет представить общее поле перемещений R Rk в виде суммы двух составляющих: классического поля перемещений U , удовлетворяющего классическому уравнению теории упругости с комплексными модулями, и «когезионного» поля перемещений u , удовлетворяющего неклассическому уравнению Гельмгольца для оператора Ляме – уравнению когезионного поля. Структура уравнения (50) позволяет сформулировать соответствующую теорему о разложении общего поля перемещений R на сумму (разность) двух независимых векторных функций U и u , трактуемых как классическое поле перемещений и дополнительное когезионное поле перемещений, отвечающее за масштабные эффекты в градиентной теории упругости Миндлина. Классическое поле перемещений вводится, как действие дифференциального оператора H на общее поле перемещений: U = HR . Из (50) и (51) получаем классическое уравнение для перемещений U : LU + F 0 , Когезионным U = HR . полем u (52) называем разность между общим и классическим полем перемещений u U R . Из вида оператора H , см. формулу (51), получаем конструктивную формулу для определения u : u = l122 R l22 div R . (53) Таким образом, общее поле перемещений (и соответствующие им напряжения) состоят из двух компонент – классического и когезионного полей: R U u, (54) Покажем, что вектор-функция u удовлетворяет неклассическому уравнению теории упругости с оператором H : 51 Hu + FH 0 , u l122 R l22 div R . (55) Для этого применим дифференциальный оператор H к уравнению (53), и учтем следствия из уравнения (52), справедливые для вектор-функции U = HR : 1 4 div U K div F , 3 2U 1 3K div F F . 3K 4 Тогда с учетом последних соотношений получим следующее уравнение для Hu : Hu l12 2 HR l22 div HR = l12 2U l22 div U l12 3K 3l22 l12 l12 (3K ) 3l22 F div F div F = F div F. 3K 4 3K 4 (3 K 4 ) Таким образом, когезионное поле перемещений удовлетворяет уравнению (55) с правой частью FH , определяемой формулой: FH l12 F+ l12 (3K ) 3l22 div F . (3K 4 ) (54) На границах раздела различных фаз материала (вязкоупругая матрица, жесткое включение) ставятся контактные условия для перемещений и соответствующих им напряжений, учитывающие адгезионные эффекты на поверхности включений, и вытекающие из уравнений (50) – (52): Ri 0, n Ri Rj M i ( s ) M i ( ) M i ( n ) Dij pi U 0. n s (57) Здесь M i ( n ) M ij (u) n j , M i ( s ) M ij (u) s j , M i ( ) M ij (u) j – проекции матрицы когезионных моментов M ij (u) ui n j u j ni K 2 3 um nm ij на три направления, одно из которых – нормаль n в заданной граничной точке, а два остальных – любые два ортогональных касательных направления s , в этой же точке. Матрица параметров D ij представляет собой тензорную матрицу адгезионных коэффициентов, определяемую двумя 52 дополнительными неклассическими модулями A и B , обеспечивающими учет поверхностных эффектов взаимодействия в направлении нормали (параметр A ) и по касательной (параметр B ) к поверхности раздела фаз в композитном материале, Dij Ani n j B (ij ni n j ) . Заметим, что когезионные силы, порождаемые когезионными моментами, могут быть вычислены по следующей простой и удобной формуле: pi* u M i(s) s M i ( ) div M i M i (n) , n Mi M ij . (58) 1.6.1. Комплексное представление Папковича-Нейбера Аналитическую работу с решениями уравнения (50), (51) облегчает представление общего поля перемещений через вспомогательные потенциалы, удовлетворяющие уравнениям Гельмгольца, Лапласа или Пуассона (см. [18]). Такое представление для классической составляющей общего поля перемещений (52) дает формула Папковича-Нейбера, выражающая перемещения U ( P) через два комплексных потенциала, удовлетворяющих уравнению Пуассона: векторный потенциал f 0 ( P) и скалярный потенциал 0 ( P) ; в случае однородного уравнения (50) или (52) они удовлетворяют уравнению Лапласа: U ( P) 3K 0 r f 0 1 f 0 ( P) , 3 K 4 2 2 f 0 ( P ) F ( P) 0 , (59) 20 ( P) r F ( P) 0 . (60) Представление Папковича-Нейбера в форме (59), (60) определяет решение неоднородного уравнения (52) и устанавливает структуру его фундаментального решения. Оно является несколько переопределенным, его тождественные необходимым решения и (нулевое достаточным ядро) определяются соотношением следующим между гармоническими функциями 0 и f 0 : 53 f0 , 2 0 . 0 r 4(1 ) , (61) На основе уравнений (61) можно сформулировать точные условия единственности представления (59); в частности, если 4(1 ) n , где n – целое, таким условием единственности для однородного уравнения является условие 0 0 . Для уравнения когезионного поля существует аналогичное представление. Структура общего решения уравнения (55) для когезионного поля u , аналогичное представлению (59), (60) дается следующей теоремой (см. [18, 19]). Теорема 1 (обобщенное представление Папковича-Нейбера). Любое решение уравнения (6) может быть представлено в виде u ( P) l12 f div f * f через два векторных потенциала (62) f и f * , удовлетворяющих уравнению Гельмгольца: 2 f l12 f = FH , 2 f * l12 l22 f * FH . 1 (63) (64) Доказательство общности представления (62) основывается на теореме Гельмгольца [19] о разложении векторного поля u ( P) на вихревую и потенциальную составляющие: u ( P) rot ( P) ( P) . (67) Пусть FH 0 , т.е. рассмотрим однородное уравнение (55). После подстановки разложения Гельмгольца в уравнение (55), получаем rot l122 l12 l22 2 0 . Откуда следует, что потенциалы и удовлетворяют однородному уравнению Гельмгольца (63) и (64). Тогда, вводя векторные потенциалы f и f * , удовлетворяющие однородному уравнению Гельмгольца, таким образом, 54 чтобы rot f = и div f * = (это всегда можно сделать [19]), преобразуем разложение Гельмгольца (65) к виду (62): u rot rot rot f div f * 2 f div f div f * l12 f div f * f . Представление (62) является несколько переопределенным, его тождественные решения (нулевое ядро) определяются следующими необходимыми и достаточными условиями для вектор-функций f и f * : f , 2 l12 = 0 , f * l12 div , (66) 2 * l12 l22 * 0 . 1 (67) На основе уравнений (66), (67) можно сформулировать точные условия единственности представления (62); в частности для однородного уравнения (55) таким условием единственности является следующее дифференциальное соотношение в некоторой точке P0 области представления перемещений: n f ( P0 ) n f * ( P0 ) , wm z nm wm z nm 1 i , w 2 x y 0 m n. На основании теоремы 1 общее решение градиентной теории упругости в постановке Миндлина представляется в следующем виде через потенциалы f * , f , f 0 и 0 , удовлетворяющие уравнениям (60), (63), (64): R ( P) f 0 ( P) Это 3K 0 r f 0 ( P) l12 f ( P) div f * f . 2 3K 4 представление позволяет работать вместо (68) градиентного уравнения четвертого порядка с более простыми уравнениями второго порядка (Гельмгольца и Пуассона). Для случая однородного уравнения (именно этот случай и фигурирует в аналитико-численном методе вычисления эффективного модуля потерь в композитном материале) уравнения (60), (63), (64) упрощаются и приобретают форму однородных уравнений Лапласа и Гельмгольца. 55 С математической точки зрения последнее утверждение означает, что перемещения в однородной градиентной модели Миндлина описываются специальным представлением, аналогичным представлению Гельмгольца, через векторные и скалярные вспомогательные потенциалы, удовлетворяющие уравнению Гельмгольца и Лапласа. В настоящей работе это представление используется для получения в аналитической форме решения вспомогательных задач теории асимптотического усреднения в области с включениями цилиндрической (рис. 10) или сферической (рис. 11) формы, необходимых для точного вычисления модуля потерь, а также для построения аппроксимирующих решение задачи на ячейке систем функций, отвечающих необходимым условиям сшивки на границе включений. Рис. 10. Примеры регулярной структуры – цилиндры. Рис. 11. Примеры регулярной структуры – сферические включения. 56 1.6.2. Вычисление эффективного модуля потерь В работе развивается аналитико-численный алгоритм асимптотического усреднения Бахвалова для оценки эффективного модуля потерь в структурно-неоднородных материалах (композитах) с вязкоупругой матрицей. Асимптотический подход (с геометрическим малым параметром – характерным размером структурной неоднородности) позволяет корректно и математически строго сформулировать алгоритм определения эффективных механических характеристик, а также эффективного модуля потерь, в случае произвольной геометрии включений. Методика асимптотического усреднения предполагает наличие периодической структуры в композите и основывается на решении ряда вспомогательных задач на ячейке периодичности, соответствующей представительному элементу структурнонеоднородного материала, с включениями произвольной геометрической формы. Эти задачи определяют т.н. функции быстрых переменных. Геометрическая структура ячейки периодичности может быть сложной и содержать несколько случайным образом расположенных в ячейке включений. Эффективное решение этих задач, или явный аналитический вид для функций быстрых переменных позволяют с высокой степенью точности проанализировать зависимости эффективных характеристик от параметров материала наполнителя и матрицы и от параметров когезионного поля, описывающего масштабные эффекты в градиентных моделях теории упругости. Для включений определенной геометрической формы (цилиндрической или сфероидальной формы) разработан эффективный аналитический аппарат построения аппроксимирующих вспомогательные потенциалы специальных функций, адекватно учитывающих структуру неоднородностей и структуру поля напряжений вблизи включений, что предопределяет возможность высокоточного (аналитического) вычисления эффективных характеристик. Методика асимптотического усреднения основывается на методе “многих масштабов”, согласно которому наряду с медленными переменными 57 P вводятся быстрые переменные 1 P , и градиентная система уравнений рассматривается как векторное уравнение, зависящее от двух типов переменных – быстрых и медленных, причем зависимость от переменной предполагается периодической с периодом 1 (что соответствует расположению включений с периодом ). Асимптотическое разложение для решения градиентного уравнения теории упругости ищется в виде формального асимптотического ряда по степеням геометрического параметра – периода, с которым повторяются микровключения: R ( P) R ( P, ) l 0 i ( i1 l Ni ( ) Di V ( P) , (69) il ) где V ( P) – решение дифференциального оператора с постоянными коэффициентами – усредненного оператора, который естественным образом возникает в методе (медленная функция), Ni ( ) – матричные функции, являющиеся последовательными решениями цепочки задач на ячейке периодичности с включением (быстрые функции, периодические с периодом 1), i – мультииндекс, Di V ( P) – всевозможные производные порядка l по медленным переменным. Функции быстрых переменных первого порядка Ni1 ( ) определяются из решения задачи на ячейке для градиентного уравнения теории упругости с условиями сопряжения (57), и позволяют построить асимптотику первого порядка, достаточную для аппроксимации НДС в периодической структуре и для определения тензора эффективных модулей. Уравнение для V ( P) имеет вид: 2 V ( P) ˆ Akj F 0, xk x j ( Ni2 H i2 )( ) Aˆi1i2 Ai1i2 ( ) Ai1l ( ) , (70) l Hi2 l122 Ni2 l22 div Ni2 , L() 2 () K div() . (71) 3 Эффективная среда в общем случае является анизотропной и характеризуется эффективным тензором упругих констант cˆkjpq , связанными 58 с компонентами матриц Aˆkj aˆkjpq из (70) формулой cˆkpjq aˆkjpq ; исходная матрица Ai1i2 ai1i2 pq выражается через коэффициенты Ляме по следующей формуле: ai1i2 pq i1q i2 p i1i2 pq K 2 3 i1 p i2q . Метод асимптотического усреднения позволяет вычислить анизотропные характеристики эффективной среды, и может применяться для включений не только сферической и цилиндрической, но и произвольной формы. Для включений сферической формы эффективная среда характеризуется тремя модулями: kˆ cˆ1111 , ˆ ĉ1122 и ˆ ĉ1212 , которые выражаются (с учетом симметрии) через вектор-столбец N11 и N12 матрицы N1 . Для определения этих характеристик достаточно решить две векторные задачи на ячейке периодичности для вектор-столбцов N11 и N12 . Эффективные модули потерь характеризуются мнимыми частями комплекснозначных модулей k̂ и ̂ . Для включений цилиндрической формы эффективная среда характеризуется большим числом модулей, для вычисления которых требуются вектор-столбцы N11 , N12 и N13 матрицы быстрых переменных. Направления поперек волокон характеризуются эффективными модулями kˆ cˆ1111 , ˆ ĉ1122 и ˆ ĉ1212 , которые вычисляются через вектор-столбец N11 и N12 матрицы N1 . В общем случае включений произвольной формы требуются все функции быстрых переменных первого порядка. 1.6.3. Блочный метод наименьших квадратов Для точного решения задачи на ячейке в работе развивается блочный анналитико-численный решении задачи, основанный на аппроксимации решения точными соотношениями по системам специальных функций, адекватных форме включения, и на сшивке отдельных локальных решений в 59 блоках в единое решение с помощью метода наименьших квадратов. Этот метод может быть применен в случае произвольной геометрии включений, разбитой на односвязные криволинейные блоки, аппроксимируемые более простыми функциями; а также в случае конкретной геометрии включений (сферической или цилиндрической формы), аппроксимируемые функциями, аналитически учитывающими геометрию включений в своей структуре. В общем случае метод использует разбиение области с включением на более простые односвязные подобласти-блоки с криволинейной границей, G Bk , Βk Βl , k l (рис. 12). Рис. 12. Разбиение области с включением на односвязные блоки Вспомогательные потенциалы f 0 , f , f * для решения однородного уравнения градиентной теории упругости с помощью обобщенного представления Папковича-Нейбера (68), (60), (63), (64) (функции F , FH и 0 тождественно равны нулю), аппроксимируются в этом случае при помощи разложений типа Тейлора по регулярным (комплекснозначным) функциям, удовлетворяющим однородному уравнению Гельмгольца или Лапласа: f ( P) Re Anm (n ) m Bnm (n ) m . M n (72) n 0 m 0 (n ) m ( P) n 2m m ! 2 2 I m /2 m n 2 2 r eim e nz wm e nz , Для моделирования физических процессов в средах с волокнами нам потребуются также дополнительный (сингулярный) класс функций (n) m ( P) с целыми отрицательными показателями степени, которые образованы как 60 разность двух функций: первая образована отрицательной степенью, а вторая представляет собой комплексно сопряженный добавок, образованный сочетанием положительной степени и логарифма: (n) m ( P) m nm w z wm ln w hm d 2 2 m 2 4 (m 1)! m! d z ( m) z n m m 1 , hm , k 1 k (n)0 ( P) ln w z n ln w z n , (n ) m ( P) 2m m ! n2 2 m /2 Km w (n)0 ( P) K0 Методика n 2 2 r eim e nz m nz e n2 2 r e nz построения wm ln w hm 4 (m 1)! m! m e nz , ln w e nz ln w e nz . аппроксимирующих систем функций основывается на анализе формального ряда, соответствующего процедуре квазиразделения переменных в уравнении Гельмгольца. Для аппроксимирующих систем функций сформулированы простые эффективные алгоритмы рекуррентного интегрирования специальных вычисления, функций. дифференцирования Эти формулы и эффективно используются в алгоритме метода наименьших квадратов при формировании матрицы функционала. В случае включений сферической или цилиндрической формы метод использует разбиение области с включением на односвязные и двусвязные подобласти-блоки с криволинейной границей, G Bk , Βk Βl , k l (рис. 13), ассоциируемые с вязкоупругой матрицей, включением и межфазным слоем, если он учитывается (двухблочная или трехблочная схема). 61 Рис. 13. Разбиение области с включением на односвязные и двухсвязные блоки Вспомогательные потенциалы аппроксимируются в этом случае при помощи разложений типа Лорана по регулярным и сингулярным специальным функциям: f ( P) Re Anm (n ) m Bnm (n ) m + Сnm (n ) m Вnm (n ) m . (73) M n n 0 m 0 Этот ряд является аналогом разложения (72) и является обобщением ряда Лорана для функций комплексной переменной. Сшивка локальных представлений осуществляется при помощи квадратичного функционала квадратичные слагаемые, на системе блоков осуществляющие Bk , содержащего минимизацию невязки в контактных условиях (57) на поверхности включений и необходимые граничные условия периодического скачка для функций быстрых переменных на границе ячейки периодичности. Оптимизация системы функционалов блочного метода наименьших квадратов приводит к системе линейных уравнений, имеющей разреженную блочную структуру и плотно заполненные блоки. Для каждого блока k конструируется функционал, состоящий из слагаемых, входящих в контактные условия (57) на поверхности включений, и нормы квадратичной невязки по общей границе для функций из соседних блоков: 62 Fk p U k p* u k p U p u * j j 2 L2 ( kj ) Rj Rk M ( n ) ( Rk ) D M (n) ( R j ) D n n Rk R j Fj Rk R j L2 ( kj ) n n (74) 2 , L2 ( kj ) 2 2 , (75) L2 ( kj ) k j – общая часть границы блоков, совпадающая с поверхностью включений. Для блоков, примыкающих к границе ячейки периодичности, эти функционалы в соответствии с условиями периодического скачка имеют вид: Fk Rk R j L ei Fj Rk R j L ei 2 L2 ( Sk ) 2 L2 ( S j ) Rk R j n n 2 Rk R j n n 2 , (76) , (77) L2 ( Sk ) L2 ( S j ) S k и S j – границы блоков k и j , примыкающие к параллельным сторонам ячейки и связанные между собой условием параллельного переноса вдоль соответствующей координатной оси, см. рис. 14; Rk и R j соответствующие значения локальных функций на границах S k и S j . Рис. 14. Моделирование условий “периодического скачка”. Для вычисления функционалов (72) – (76), и тем самым для формирования блочной матрицы, требуется вычислять интегралы по границе криволинейных блоков. Эта задача алгоритмически решается при помощи 63 модифицированных квадратур Гаусса, явно учитывающих кривизну границы: Rk R j 2 Dr Rk ( Pr) R j ( Pr) ; 2 L2, h ( kj ) (78) r Pr – граничные точки, Dr – веса, с которыми входят нормы невязок в общую сумму квадратуры, рис. 15. Pr Рис. 15. Конструирование квадратуры Гаусса на криволинейной поверхности. Оптимизация функционалов приводит к системе линейных уравнений с плотной блочно-разреженной матрицей с относительно небольшим числом блоков и относительно большим размером каждого блока. Блочная система уравнений решается прямым методом блочного исключения ГауссаЖордана. 1.6.4. Принципы реализации алгоритмов блочного метода Вычисление необходимых величин, входящих в контактные условия на поверхности включений (нормальная производная, матрица моментов M ij , классические и когезионные поверхностные силы pi и pi* ) осуществляется при помощи рекуррентных соотношений, установленных для аппроксимирующих систем функций. Интегрирование производится на тех же узлах и с теми же весами, что и для квадратичной невязки для перемещений и нормальных производных. В дискретной норме L2,h ( S ) невязка минимизируемых моментов 64 переписывается в виде нормы отклонения матрицы коллокации от соответствующего граничного условия, например, для вектора перемещений R имеем: Rh 2 AX H , 2 L2, h ( S ) A X R ( Pr) , H h( Pr) , где Pr – множество граничных точек в дискретной норме L2,h ( S ) , X – вектор неизвестных коэффициентов в разложении (62) вспомогательных потенциалов. Здесь A – матрица, составленная из значений специальных функций (и их производных) на множестве точек Pr . Вычисление матрицы A сводится к эффективному вычислению значений специальных функций, а также их различных производных при помощи рекуррентных соотношений. Вычисление значений функционалов (64) сводилось, таким образом, к вычислению коллокационного вектора V ( Pr) nm ( Pr) на заданном наборе точек Pr . Отметим, что все вычисления производятся над полем комплексных чисел (т.е. в комплексной арифметике). В результате минимизации невязки сшиваемых значений получаем блочную систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов в решении: Tk X k Tkl X l H k , k 1, 2, N; (79) l здесь Tk – матрица Грама используемой системы функций, X k – неизвестные коэффициенты в разложении вспомогательных функций в k -м блоке, Tkl – матрицы, обеспечивающие сшивку локальных решений между блоками, H k – вектор граничных условий в блоке, N – общее число блоков, совпадающее с числом минимизируемых функциональных соотношений. Размер каждого блока совпадает с числом неизвестных коэффициентов в разложениях (72), (73). Общий алгоритм решения краевой задачи блочным методом может быть представлен в виде схемы на рис. 15, и может быть 65 сформулирован следующим образом: 1) построение блочной структуры с помощью конечно-элементного разбиения области с включением на элементарные блоки; 2) построение узлов и весов квадратуры Гаусса для граничных элементов каждого блока; 3) вычисление коллокационного вектора V ( Pr) в узлах квадратуры и необходимых моментных характеристик для формирования функционалов (69) – (72) (производных, напряжений и т.д.), сводящихся к вычислению рекуррентных соотношений между компонентами коллокационного вектора; 4) заполнение блочной произведений матрицы через коллокационного вычисление вектора и его скалярных моментных характеристик; 5) решение блочной системы линейных уравнений при помощи блочного варианта метода исключения Гаусса или итерационного параллельного алгоритма; 6) обработка результата: визуализация картины НДС в блоке, вычисление эффективных характеристик. Следует отметить, что на каждом шаге блочного алгоритма имеется значительный ресурс параллелизма, поэтому в работе развиваются параллельные алгоритмы формирования и решения блочной системы уравнений. Блоки обрабатываются независимо, за исключением самого решения блочной системы уравнений. Структура алгоритма хорошо согласуется с архитектурой современных многоядерных вычислительных комплексов (несколько ядер на общей памяти для интенсивных вычислений в блоке плюс взаимодействие между блоками на уровне распределенной памяти), и поэтому имеет смысл говорить о развитии параллельной версии алгоритмов блочного метода. 66 Рис. 15. Организация вычислений в бюлочном методе наименьших квадратов. Для решения системы уравнений (79) применялось два метода – прямой и итерационный. Первым является блочная реализация прямого метода исключения Гаусса с непосредственным обращением на каждом шаге исключения диагональной матрицы Tk методом Гаусса-Жордана (с полным выбором ведущего итерационная схема элемента в обобщенных блоке). Вторым минимальных методом невязок является GMRES с предобуславливателем, построенным на основе неполного треугольного разложения ILUT (с отбрасыванием элементов, превышающим некоторый заданный порог). Тестирование метода включает в себя, в первую очередь, тестирование алгоритмов вычисления и рекуррентного дифференцирования специальных функций, использующихся для вычисления коллокационного вектора. Здесь была разработана система тестов для проверки рекуррентных аналитических соотношений (удовлетворение функций уравнению Гельмгольца, корректность нормировки, корректность градиента и Гессиана) путем их сопоставления с результатами приближенного численного дифференцирования. Криволинейные квадратуры Гаусса тестировались для 67 сферических сегментов, на которых могли быть вычислены некоторые стандартные интегралы от полиномиальных функций в аналитическом виде. Для хранения и формирования блочной системы уравнений был создан специальный класс, повторяющий блочную структуру задачи, и содержащий необходимые средства для оперирования с коллокационными векторами. С точки зрения линейной алгебры матрица системы уравнений является плотной блочно разреженной матрицей, с относительно небольшим числом блоков и относительно большим размером каждого блока. Блочный алгоритм исключения по Гаусса жестко привязан к структуре разбиения области на блоки, использует предварительную перенумерацию блоков с помощью алгоритма обратного Cuthill-Mckee метода, а также хранение матрицы на уровне отдельных блоков в формате разреженной строки, т.е. хранятся только не нулевые матричные блоки, которые порождаются по ходу процедуры исключения Гаусса. Вычисление результатов решения задачи (картина НДС в ячейке) осуществляется при помощи того же коллокационного вектора, и задействует уже отлаженные процедуры рекуррентного вычисления и дифференцирования специальных функций. В целом алгоритм формирования, решения и визуализации результатов был протестирован на однородной параллелепипедной ячейке с условиями периодического скачка и одноосного растяжения, а также для слоистой среды при условии нагружения образца поперек слоев. Для этих задач численное решение (блочным методом) было сопоставлено с аналитическим решением, которое могло быть построено для этих случаев. Тестирование показало сходимость к решению с увеличением максимальной степени M используемых функций. С увеличением M погрешность max функциональной L2 невязки быстро падает, обеспечивая сшивку высокого порядка для функций и их дифференциальных характеристик, см. рис. 16. 68 Рис. 16. Погрешность функциональной невязки. 1.7. Определение диссипативных свойств волокнистых, армированных волокнами с тонким вязкоупругим покрытием. Мы будем рассматривать волокнистые композиционные материалы, в которых армирующие волокна покрыты вязкими промежуточными слоями с целью увеличения демпфирующих свойств такого комбинированного композита. Характеристики вязкоупругого слоя в рамках линейной вязкоупругости можно оценивать в рамках метода комплексных модулей упругости. На данной круговой частоте комплексный модуль определяется равенством E E i E где мнимая часть формально определяет скорость диссипации энергии в единице объема U E 02 , где 0 - амплитуда гармоники деформаций, прикладываемых к вязкоупругому континууму. Нетрудно видеть, что эффективный комплексный модуль модуль для слоистой двухфазной среды, с вязкоупругими свойствами при чистом сдвиге определяется равенством 1 1 f f , где f - объемное содержание Geff G1 G2 второго слоя, G1 и G2 комплексные модули слоев системы. Пусть первый из слоев является упругим, а второй вязкоупругим G2 a( 1 i ) . Можно убедиться, что эффективный модуль потерь такой системы возрастает с ростом f , достигая максимального значения при некотором значении f 0 , а затем убывает при возрастании f вплоть до единицы. Такое поведение 69 диссипативных свойств с одним пиком диссипативных свойств известно. Интересно отметить, что максимальное значение эффективного модуля потерь для такой двухслойной системы достигается для достаточно больших значение толщины вязкоупругого слоя и не зависит от амплитуды модуля упругости вязкоупругого слоя a . Мы покажем, что для волокнистой системы имеется такой же пик для эффективного модуля потерь, но возникает и второй пик вязкоупругих свойств реализующийся для весьма тонких вязкоупругих покрытий волокон. По сути, речь идет о наноразмерных толщинах покрытия, составляющего менее 20% от толщины волокна, что означает, что для стандартных волокон (например, углеродных), толщиной 14 мкм, покрытия будут иметь толщину, порядка, сотен нанометров. В результате, будет показано, что применение волокон с вязкоупругими покрытиями позволяет повысить диссипативные свойства композита. Принципиальным является и тот результат, что в таких системах с тонкими покрытиями волокон эффективный модуль потерь системы может более чес в пять раз превышать модуль потерь вязкоупругого слоя покрытия. Отметим, что традиционное применение достаточно толстых покрытий волокон также позволяет повысить демпфирующие свойства композитов, однако приводит к значительному уменьшению эффективных модулей упругости композиционного материала, так как вязкоупругое покрытие обычно имеет низкие жесткостные свойства. Сначала решается задача об определении эффективных упругих свойств монослоя с волокнистыми включениями. Волокна представляются цилиндрами бесконечной длины, погружёнными в матрицу композита. Покрытие на волокнах моделируется путём введения дополнительного цилиндрического слоя вокруг волокон. Рассматриваемый композит (монослой) является трансверсально-изотропным и характеризуется пятью модулями упругости: модули Юнга и модули сдвига вдоль и поперёк волокон и коэффициент Пуассона. Для определения данных модулей 70 решаются задачи объёмного сжатия и чистого сдвига в плоскости изотропии и задачи одноосного растяжения и сдвига вдоль волокон. Для определения эффективных диссипативных упругих модулей применяется метод комплексных модулей, в соответствие с которым, в полученные решения для эффективных упругих модулей композита подставляются значения комплексных модулей. Выделяя действительную и мнимую часть, в итоге, получаем значения эффективных модулей упругости и модулей потерь композита, определяющих диссипативные свойства. Далее рассматривается слоистый композит состоящий из монослоев с волокнами, имеющими вязкоупругие покрытия и предлагается алгоритм определения оптимальных характеристик вязкоупругих покрытий, которые обеспечивают максимальные демпфирующие свойства слоистого композита заданной структуры. 1.7.1. Определение эффективных механических свойств монослоя, армированного волокнами с дополнительным покрытием. Рассматриваем волокнистый однонаправленный композиционный материал (монослой) с волокнами с покрытием. Волокно представлено цилиндром бесконечной длины и радиуса R1, с покрытием радиуса R2. Вокруг находится слой матрицы с внешним радиусом R3. Для определения эффективных свойств будем использовать метод трёх фаз [10], [11]. Будем считать, что вокруг слоя матрицы находится «эффективная» матрица, обладающего эффективными свойствами композита. Для решения задачи вводится цилиндрическая система координат. Приведём основные соотношения теории упругости, которые используются в дальнейшем. Соотношения Коши в цилиндрических координатах r , , z имеют вид: 71 ur u 1 u ur , , zz z .S r r r z 1 1 ur u u r , 2 r r r 1 u u 1 u 1 u z rz z r , z 2 r z 2 z r rr (80) . Здесь: ur , u , uz - компоненты вектора перемещений, rr , , zz , r , rz , z - компоненты тензора деформаций. Запишем также уравнения равновесия в цилиндрических координатах: rr 1 r rz rr 0, r r r z r r 1 z 2 r 0, r r z r rz 1 z zz rz 0, r r z r (81) Здесь: rr , , zz , r , rz , z - компоненты тензора напряжений. Закон Гука в цилиндрических координатах имеет вид: rr 2 rr , 2 , zz 2 zz , r 2 r , z 2 z , rz 2 rz , rr zz . (82) Здесь: , - параметры Ламе, - объёмная деформация. Для определения эффективных характеристик используется интегральная формула Эшелби, которая представляет собой энергетическое соотношение на поверхности контакта матрицы и эффективной матрицы [11]: ò (s u 1 0 ij i S ) - s ij0ui1 ds = 0 (i, j = 1,2,3) (83) Где поверхность S - поверхность контакта матрицы и эффективной матрицы, ij0 , ui0 - компоненты тензора напряжений и вектора перемещений на поверхности контакта при решении однородной задачи, 72 ij1 , ui1 - компоненты тензора напряжений и вектора перемещений на поверхности контакта при решении контактной задачи. Метод трёх фаз Эшелби был предложен в работах [12, 13]. Для композита с волокнистыми включениями рассматриваются две постановки задач – в плоскости изотропии и в перпендикулярной к ей плоскости (деформирование в направлении оси волокон). Эффективный объёмный модуль и модуль сдвига в трансверсальной плоскости определяются, соответственно, по методу Эшелби из решения задач всестороннего растяжения (сжатия) поперек волокон и чистого сдвига в трансверсальной плоскости, которые решаются в полярных координатах. Модуль сдвига вдоль волокон определяется по методу Эшелби из решения задачи чистого сдвига вдоль волокон в цилиндрической системе координат. Эффективные модуль Юнга и коэффициент Пуассона в направлении волокон определяются совместно из решения задачи об одноосном растяжении в цилиндрической системе координат. Эффективный коэффициент Пуассона определяется, как отношение, поперечной эффективной деформации к продольной при растяжении вдоль волокон. Для определения эффективного модуля Юнга будет использоваться подход, основанный на предположении равенства средних деформаций в направлении радиальной координаты в рассматриваемом композите и в соответствующей эффективной гомогенной среде. Диссипативные характеристики волокнистого композита предлагается определять по методу комплексных модулей. Для этого в полученное решение для эффективных модулей подставим комплексные значения для модулей сдвига волокна, матрицы и покрытия. Выделяя действительную и мнимую часть решения для эффективных модулей, получим, соответственно, модули упругости композита и соответствующие модули потерь. 73 1.7.2. Определение объёмной жесткости в плоскости изотропии для волокнистого композита. При постановке задачи всестороннего растяжения(сжатия) в плоскости изотропии, предполагается, что в среде заданы единичные радиальные деформации на бесконечности. При этом, в фазах композита возникают только радиальные перемещения uri (r ) (отсутствуют перемещения в направлении угловых координат), которые имеют следующий вид: uri (r ) Ai r Bi r (i 1...4) (84) где индексы означают: 1 – перемещения во включении, 2 – перемещения в промежуточном слое, 3 – перемещения в матрице композита, 4 – слой «эффективной» матрицы, введённой в соответствие с используемым методом Эшелби. Для исключения сингулярности в нуле следует принять B1 B4 0 . Из условия однородной единичной деформации на бесконечности следует, что A4 1 . На контакте фаз ставятся условия непрерывности по радиальным перемещениям и напряжениям. Система граничных условий задачи имеет вид: i i 1 ur ( Ri ) ur ( Ri ) , (i 1...3) i i 1 rr ( Ri ) rr ( Ri ) (85) В рассматриваемой постановке присутствуют радиальные и угловые деформации, которые определяются по соотношениям Коши (80): rri (r ) u ir r Ai Bi r2 Bi r2 rri (r ) i (r ) u ir r u ir r 2 Ai i (r ) u ir r Ai В соответствии с законом Гука (82) найдем радиальные напряжения: 74 æ s rri (r ) = 2 m i e rri + l iq = 2 m i æAi æ æ Bi æ B + 2l i Ai = 2K i Ai - 2Gi 2i 2æ r æ r s qqi (r ) = 2 m i eqqi + l iq = 2 m i æAi + æ Bi æ B + 2l i Ai = 2Ki Ai + 2Gi 2i 2æ r æ r s (r ) = 2 m i e + l iq = 2l i Ai i zz i zz Уравнения Равновесия (2) выполняются. Интегральная формула Эшелби (4) для определения эффективного объёмного модуля ставится на границе матрицы и «эффективной матрицы» и имеет вид: 2 3 rr u 4r rr4 u 3r 3 u4 4 u3 zz3 uz4 zz4 uz3 d 0 r R3 0 Так как в записанном равенстве присутствуют только радиальные перемещения, не зависящие от угловой координаты, окончательно, формула Эшелби принимает вид: rr3 u 4r rr4 u3r 0 (86) Система уравнений (85),(86) включает 6 неизвестных коэффициентов, входящих в определение перемещений (84) и неизвестный эффективный объёмный модуль композита и состоит из 7 уравнений. Выражение для определения эффективного объёмного модуля следует из формулы Эшелби, после подстановки перемещений и напряжений: 1 K3 A3 B3G3 2 R3 K eff R3 K A R B G A R B R 1 A3 R3 B3 0 R3 2 K eff 3 3 3 3 3 3 3 3 3 (87) 3 Здесь: K 23eff - эффективный объёмный модуль волокнистого композита в плоскости изотропии. 1.7.3. Определение модуля сдвига в плоскости изотропии волокнистого композита. 75 В случае чистого сдвига в среде присутствуют как радиальные так и угловые перемещения. Условия контакта включают в себя условия равенства угловых и радиальных перемещений (ur , u ) , а также радиальных и касательных напряжений ( i , i ) . rr r Общий вид функций перемещений и напряжений в задаче чистого сдвига: 1 1 uri Ai 4 i r 3 Bi 3 4(1 i )Ci Di r cos(2 ) r r 1 1 ui Ai (6 4 i )r 3 Bi 3 (2 4 i )Ci Di r sin(2 ) r r 1 1 (88) i 2 3Bi 4 4Ci 2 Di Gi cos(2 ) r r rr 1 1 i 2 6 Ai r 2 3Bi 4 2Ci 2 Di Gi sin(2 ) r r r (i 1, 2,3, 4) В выражениях напряжений и перемещений фазы волокна необходимо принять: B1 C1 0 , чтобы исключить сингулярность в точке r 0 . В фазе эффективной матрицы также считаем B4 C4 0 вследствие предположения однородности поля перемещений, а при записи напряжений, следует учесть, что G4 G23eff . Из условия заданных однородных единичных деформаций на бесконечности следует, что A4 0 и D4 1 . Условия контакта на всех граничных поверхностях слоистой структуры записываются следующим образом: ur(i ) ( Ri ) ur(i 1) ( Ri ) (i ) ( i 1) u ( Ri ) u ( Ri ) , i 1, 2,3 (i ) ( i 1) rr ( Ri ) rr ( Ri ) (i ) ( R ) (i 1) ( R ) r i r i (89) Интегральная формула Эшелби (82) для определения G23eff приобретает здесь следующий вид: r R3 3 rr ur4 rr4 ur3 r3 u4 r4 u3 dS 0 (90) 76 Подставляя в (90) приведённые выше выражения напряжений и перемещений с помощью (88), и учитывая (89) получим простое аналитическое выражение для определения эффективного модуля сдвига поперёк волокон. По известным значениям эффективных объемного модуля и модуля сдвига, определяем эффективный модуль Юнга при растяжении поперёк волокон композита по формуле: eff 22 E eff eff 9 K 23 G23 eff eff 3K 23 G23 (91) 1.7.4. Определение модуля сдвига в направлении армирующих волокон. В задаче чистого сдвига вдоль волокон композита перемещения и напряжения, удовлетворяющие уравнениям равновесия (81) имеют вид: 1 ui Ai r Bi cos( ) r 1 rri Gi Ai Bi 2 cos( ) r (i 1...4) Для исключения сингулярности следует принять B1 B4 0 . Условие заданных однородных деформаций следует: A1 1 . Для определения неизвестных коэффициентов необходимо записать условия контакта. При этом будем учитывать, что вдоль волокон условия контакта выполняются автоматически, а напряжения и перемещения вдоль угловой координаты отсутствуют. Следовательно, система граничных условий состоит из условий равенства радиальных перемещений и напряжений на границах: i i 1 ur ( Ri ) ur ( Ri ) , (i 1...3) i i 1 rr ( Ri ) rr ( Ri ) 77 Интегральная формула Эшелби (3) для определения G12eff имеет здесь следующий вид: r R3 3 rr ur4 rr4 ur3 dS 0 Подставляя в записанную выше формулу Эшелби выражения для перемещений и напряжений, получим: 1 1 2 eff G A B r G A r B 3 3 3 12 3 3 cos ( )d 0 r2 r r R3 Окончательно, проводя упрощения, найдем: G12eff A R 3 A R 3 3 3 2 2 B3 B3 S G3 (92) 1.7.5. Определение модуля Юнга в направлении армирующих волокон. Зададим вдоль оси цилиндра однородную деформацию 0 . Таким образом, все перемещения вдоль оси цилиндра равны во всех фазах и изменяются по линейному закону, а напряжения определяются из закона Гука: wi (r ) 0 z i 2i zz i ( rr zz ) 2i 0 i ( rr 0 ) zz Ei 0 i rr Перемещения и напряжения вдоль радиуса цилиндра имеют вид: ui (r ) Ai r Bi 1 r 1 rr i 0 2 Ai (i Gi ) 2 Bi Gi 2 , (i 1, 2,3, 4) r , i где: Ai , Bi - неизвестные коэффициенты, r - координата вдоль радиуса цилиндров. i , Gi - параметры Ламе и модули сдвига в направлении вдоль волокон. 78 Для исключения сингулярности в нулевой точке необходимо принять в первой фазе коэффициент B1 0 . Во внешнем бесконечном слое эффективной матрицы поле перемещений предполагается однородным, поэтому также необходимо принять B4 0 . Условия контакта в направлении растяжения (вдоль волокон) по перемещениям и напряжениям выполняются автоматически. Перемещения вдоль угла θ отсутствуют. Поэтому необходимо записать условия контакта только в направлении радиуса цилиндров. Приравнивая радиальные перемещения и напряжения на границах контакта между слоями ( r {R1 , R2 , R3} )получаем следующую систему граничных условий для определения неизвестных констант: i i 1 ur ( Ri ) ur ( Ri ) , (i 1...3) i i 1 ( R ) ( R ) rr i rr i Эффективный модуль Юнга композита определим из условия средних напряжений в направлении волокон исходной трёхфазной среды и эквивалентной гомогенной среды: 3 E11eff i 1 Ri Ri 1 Ei i rri R3 (93) Эффективный коэффициент Пуассона eff определяется в рамках рассматриваемой постановки, как отношение деформации вдоль радиуса цилиндра к деформации вдоль волокон на границе R3 : eff u3 r w3 A3 R3 B3 R3 z 0 R3 (94) 1.7.6. Определение эффективных диссипативных характеристик. 79 Эффективные диссипативные характеристики волокнистого композита будем определять по методу комплексных модулей. Для вычислений удобно определять характеристики материалов через модуль всестороннего сжатия и модуль сдвига, так как известно, что при всестороннем нагружении демпфирования практически не возникает, то есть мнимая часть комплексного объёмного модуля будет равна нулю для всех материалов. Таким образом, в полученные решения для эффективных модулей (4), (7)(10) подставим комплексные значения для модулей сдвига волокна, матрицы и покрытия: Gi Gi Gi (i 1...3) Здесь Gi - классических модуль сдвига, Gi - мнимый сдвиговой модуль материала (модуль потерь). Выделяя действительную и мнимую часть решений для эффективных модулей (4), (7)-(10), получим, соответственно, эффективные модули упругости композита и соответствующие эффективные модули потерь. 1.7.7. Пример. Для численных вычислений будем использовать данные статьи [14], где выполнены эпоксидного расчёты диссипативных связующего со свойств сферическими композита на включениями основе стекла. В соответствии с [14], определим вязкоупругие свойства материалов через модуль всестороннего сжатия и модуль сдвига и примем следующие исходные параметры фаз: Материал Объемный модуль, Комплексный ГПа сдвига, ГПа модуль 80 Стеклянные волокнавключения 50 30 3 0.02 + i 0.01 2.5 2.5 + i 0.005 Вязкое полимерное покрытие из полиуретана Эпоксидная матрица В качестве материала вязкоупругих покрытий на волокнах используются полиуретаны горячего отверждения, например, российские марки СКУ-ПФЛ100, СКУ-ПФЛ-7, НИЦ-ПУ-5. Последний вариант обладает повышенной ударовязкостью и износостойкостью на сдвиг и применяется в бронежилетах. Кроме этого может быть использован высокомодульный полиэтилен, на основе которого, в настоящее время, выполняются бронекаски с наполнителем из кевлара. Результаты вычислений эффективных вязкоупругих свойств композита в зависимости от толщины покрытия в полулогарифмических координатах представлены на рис. 17-20. Пунктиром обозначены характеристики композита с объёмной долей волокон 30%, штриховой линией – 40% и сплошной линией – 50%. 81 Рис. 17. Зависимость эффективного модуля Юнга в направлении волокон Е1eff от толщины покрытия. Рис. 18. Зависимость эффективного модуля Юнга в поперечном направлении Е2eff от толщины покрытия. Рис. 19. Зависимость эффективного модуля Сдвига в направлении вдоль волокон G12eff от толщины покрытия. Рис. 20. Зависимость эффективного модуля Сдвига в поперечном eff направлении G23 от толщины покрытия. 82 Зависимость упругих модулей Е2eff и G12eff содержит два выраженных пика диссипативных свойств. При этом один из пиков соответствует очень малой относительной толщине вязкого покрытия на волокнах (амплитуда этого пика увеличивается при увеличении объёмной доли волокон). Таким образом, появляется возможность получения повышенных диссипативных свойств монослоя в области малых толщин покрытия, при которых сохраняются высокие жесткостные свойства материала. При этом происходит увеличение модуля более чем в пять раз и падение модулей упругости не более чем на 15-20%. Ранее данный эффект был установлен в работе [14] для композитов со сферическими включениями. Отметим, что напряжённо-деформированное состояние покрытия на включениях на первом и втором пиках диссипативных свойств различается. В случае малых толщин в покрытии возникают значительные сдвиговые деформации и объёмные деформации, практически, отсутствуют. Наибольшие сдвиговые деформации возникают в покрытии в точках с угловой координатой q = {p / 4, 3p / 4, 5p / 4, 7p / 4}, тензор деформаций в этих точках имеет следующий вид: æ e e = æ rr æ æ e rq Отметим, e rq æ æ eqq 0 ± 9,72 æ æ= æ æ æ 0 æ æ æ ± 9,72 что на бесконечности заданы единичные сдвиговые деформации, а уровень деформаций, реализующихся в покрытии, почти в десять раз выше. Наибольшие объемные деформации реализуются в точках с угловой координатой q = {0, p / 2, p , 3p / 2, 2p } , тензор деформаций в этих точках имеет следующий вид: Второй пик значений модуля потерь на рисунках 18 и 20 соответствует большим значениям толщин покрытия. При этом в покрытии возникают 83 сопоставимые по значениям сдвиговые и объемные деформации. Максимальные сдвиговые деформации при q = {p / 4, 3p / 4, 5p / 4, 7p / 4}: æ ± 1,94 æ 0 e= æ æ ± 1,94 æ æ 0 Максимальные объемные деформации в точках q = {0, p / 2, p , 3p / 2, 2p } : Рассматриваемая модель позволяет выбрать оптимальную толщину покрытия на волокнах, при которой могут быть получены наиболее высокие демпфирующие свойства монослоя. Далее рассмотрим изотропный в плоскости слоистый композит, составленный из четырёх однонаправленных слоёв с углами армирования i 0о, +45о, -45о и 90о. Физические соотношения для слоистого композита с изотропным армированием имеют вид [15]: x B11 x B12 y y B21 x B22 y x B33 xy Здесь: x , y , xy - деформации слоистого композита в плоскости, x , y , x - соответствующие напряжения. Коэффициенты в физических соотношения имеют следующе представление: k i ; Bpq hi bpq 1 hi hi / h ; k h hi ; p, q 1, 2,3 1 b11i E1i cos 4 i 2 E1i 12i sin 2 i cos 2 i E2i sin 4 i G12i sin 2 2i ; i b12i b21 ( E1i E2i 4G12i )sin 2 i cos 2 i E1i 12i (sin 4 i cos 4 i ); i b22 E1i sin 4 i 2 E1i 12i sin 2 i cos 2 i E2i cos 4 i G12i sin 2 2i ; hi - толщина монослоя, h - общая толщина слоистого композита, h - относительная толщина монослоя в пакете. 84 Эффективные модули упругости для ортотропного варианта армирования определяются по формулам [15]: Ex B11 B22 B122 B22 ; Ey B B B11 B22 B122 ; Gxy B33 ; xy 12 ; yx 12 . B11 B11 B22 Рассмотрим четырёхслойный пакет, со слоями равной толщины (при этом относительная толщина каждого слоя составляет 0,25). В этом случае имеют место равенства[15]: Ex B11 B22 B122 B B B122 ; E y 11 22 B22 B11 xy B12 B yx 12 . B11 B22 Результаты вычислений упругих параметров слоистого композита представлены на рис. 21-22. Пунктиром обозначены характеристики композита с объёмной долей волокон 30%, штриховой линией – 40% и сплошной линией – 50%. Рис. 21. Зависимость модуля Юнга и модуля потерь слоистого пакета от толщины покрытия. Рис. 22. Зависимость вязкоупругих сдвиговых свойств слоистого пакета от толщины покрытия. 85 Отметим, что осредненные модули упругости слоистого пакета ниже модулей упругости монослоя в направлении волокон, что характерно для данного типа композитов, однако происходит повышение диссипативных характеристик. Пик модулей потерь смещается в область больших толщин покрытия, что является более выгодным с технологической точки зрения. Изменение объёмного содержания включений приводит к значительному повышению амплитудных значений как диссипативных, так и жесткостных характеристик слоистого композита, при этом эффективный коэффициент Пуассона композита практически не изменяется. Важным обстоятельством является тот факт, что слоистый пакет обладает изотропией в плоскости, вследствие этого композит позволяет демпфировать внешние нагрузки, действующие в различных направлениях. 1.8. Определение диссипативных свойств волокнистых, армированных волокнами с учетом градиентных эффектов (для сверхтонких армирующих волокон). Для учета градиентных, масштабных и адгезионных эффектов будем рассматриваеть модель композита с цилиндрическими (в общем случае – многослойными) включениями, вокруг которых находится дополнительный межфазных слой (см. рис. 23). Рис. 23. К методу трех фаз для включения с межфазным слоем 86 Характеристики межфазного слоя определяются из решения одномерной задачи градиентной теории упругости на растяжение и на сдвиг. Рис. 24. Задача о растяжении и сдвеге двухфазного фрагмента. Двухфазная модель в задаче на растяжение в рамках одномерной постановки градиентной модели (рис. 24) полностью определяется функционалом следующего вида: L 0: R R1 3 E2 E2 L Ав [ E1 r1 '' 1 r1IV ] r1 dx [ E3 r3 '' 3 r3 IV ] r3 dx С1 С3 0 R1 E32 r3 ''') r3 С3 E12 r1 ''') r1 С1 x R1 x 0 ( E3 r3 ' E2 1 r1 '' А1r1 ' r1 ' С1 x R1 x 0 E2 3 r3 '' А3r3 ' r2 ' С3 ( E1 r1 ' x R3 x R1 x R3 x R1 , (93) Здесь Ав - вариация работы внешних сил, E1,2 1,2 21,2 - модули Юнга фаз, r1 r1 ( x) - перемещения во включении, r3 r3 ( x) - перемещения в матрице, f - объемная доля включений. С1 , С3 – градиентные параметры модели, который характеризует протяжённость локального поля вблизи границы среды, вызванного, например, локальным изменением морфологии матрицы; А1 А3 А - адгезионные параметры поверхностей, которые можно считать равными, так контактирующих в решении эти два параметра будут везде входить в виде суммы. В рамках данной постановки, параметр A будет определять степень повреждённости контакта между матрицей и включением. 87 Можно показать, что эффективный модуль одномерного фрагмента без учёта адгезии (A=0) может быть преобразован к следующему виду: Eeff R (1 s1 ) ( R3 R1 )(1 s3 ) [ s1R1 s3 ( R3 R1 )] 1 E3 Ef E1 1 Где: Ef a1 E3a1 cth(a1R1 ) E1a3 cth(a3 ( R3 R1 )) . a1 cth(a1R1 ) a3 cth(a3 ( R3 R1 ) (4) С3 С1 , a3 , E1 E3 Отметим, что для эффективного модуля, при C , имеет место переход к классической формуле Рейса. В случае учёта адгезии выражение для эффективного модуля будет иметь сложное аналитическое представление и будет содержать в себе параметр адгезии А. При проведении вычислений в рамках модифицированной модели Эшелби в выражение (94) подставляются значения упругих модулей фаз композита, благодаря чему удаётся определить модуль Юнга ( E f ) межфазного слоя. Комплексный модуль межфазного слоя определяется путем подстановки комплексных модулей фаз в выражение (94). Протяжённость локального поля (межфазного слоя) в матрице и включении, определяются также из решения одномерной задачи и имеет вид: s1 th ( a3 ( R3 R1 ) ) th ( a1R1 ) , s3 a3 ( R3 R1 ) a1 R1 (95) В данном случае параметры a1 и a3 вычисляются через классические модули Юнга фаз. Постановка задачи чистого сдвига полностью аналогична постановке задачи о растяжении одномерного двухфазного фрагмента (93), при замене модулей Юнга на модули сдвига и перемещений на угловые перемещения. Кроме этого, в задаче сдвига будет иным модуль адгезии. 88 Модуль сдвига межфазного слоя: Gf G3b1 cth(b1R1 ) G1b3 cth(b3 ( R3 R1 )) b1 cth(b1R1 ) b3 cth(b3 ( R3 R1 ) (96) Где G1 , G3 - модули сдвига включения и матрицы, b1 С3 С1 , b3 . G1 G3 Протяжённость межфазного сдвигового слоя во включении и в матрице определяется по формулам: d1 th ( b3 ( R3 R1 )) th ( b1R1 ) , d3 . b1R1 b3 ( R3 R1 ) (97) Коэффициент Пуассона и объёмный модуль межфазного слоя определяются по классическим формулам: f E f 2G f 2G f , kf Ef Gf 9G f 3E f ; (98) В рамках градиентной контактной задачи возможно использование единственного неклассического градиентного параметра С, который характеризует свойства контакта материала фаз матрицы и включения и определяется следующим выражением: С С3 С1 . Е1 Е3 Таким образом, все характеристики (модуль Юнга, модуль сдвига и ширина) межфазного слоя вычисляются через градиентный параметр С , модули упругости, матрицы и включения, объёмную долю включений и по адгезионным параметрам. Для определения эффективного модуля упругости и модуля потерь композита, армированного длинными волокнами малого диаметра (ориентировочно, менее 1 мкм) используется подход, основанный на использовании модифицированного метода трех фаз Эшелби. В данном случае волокна моделируются цилиндрами бесконечной длины, вокруг 89 которых располагается межфазный слой. Свойства межфазного слоя (физические модули и ширина) определяются из решения одномерной задачи в рамках градиентной теории. Все эффективные упругие и диссипативные модули волокнистого композита определяются с учётом ширины межфазного слоя, размера включений и адгезионных взаимодействий на внутренних границах контакта, за счёт использования решения одномерной градиентной модели. При этом в модели появляется единственный дополнительный масштабный параметр, по сравнению с классической постановкой без учёта межфазного слоя и два дополнительных параметра, отвечающих за адгезионные взаимодействия при действии растягивающих и сдвиговых напряжений, соответственно. Общий вид постановки задачи классической теории упругости в цилиндрической системе координат и метод определения эффективных свойств (метод трех фах Эшелби) были приведены в п. 1.4.1. В соответствии с предлагаемой методикой характеристики второго промежуточного слоя (объёмный модуль, модуль Юнга, модуль сдвига, толщина) полностью определяются характеристиками межфазного слоя, полученными из одномерной задачи и даваемые соотношениями (94)-(98). Модули потерь находятся методом комплексных модулей. Для этого в полученные решения для эффективных упругих модулей подставим комплексные значения для модулей сдвига волокна, матрицы. Выделяя действительную и мнимую часть решения для эффективных модулей сдвига, получим соответствующие диссипационные и упругие модули композита. Отметим важное обстоятельство. В то время как в классическом подходе эффективные характеристики композита, определяются только физическими модулями компонент и отношением радиусов слоёв, в предлагаемом модифицированном подходе эффективные характеристики зависят также от радиуса самого включения, как от параметра. Это определяется градиентным решением, использованным для определения 90 характеристик межфазного слоя ( E f , G f , s1 , s2 , d1 , d2 зависят от радиуса включения). 91 2. ПОСТРОЕНИЕ ВАРИАНТОВ ГРАДИЕНТНЫХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ АРМИРОВАННЫХ РЕЗИН. 2.1. Об учете градиентных эффектов в модели Муни-Ривлина для резин. Изложим кратко основные понятия механики деформирования упругого твердого тела, которые понадобятся при переходе к большим деформациям. Положение каждой точки деформируемого тела, определяемое радиус вектором r с компонентами x1=x, x2=y, x3=z, после деформации имеет радиус-вектор r с штрихованными компонентами. Смещение точки тела изображается вектором деформации u r r с компонентами u i x i x i . Рассмотрим две бесконечно близкие точки с радиус-вектором между ними d l . Его длина до деформирования определяется следующим соотношением: dl dx12 dx22 dx32 , а после деформирования: dl dx12 dx22 dx32 Если использовать общее правило написания сумм, когда суммирование происходит по повторяющимся («немым») индексам, то можно записать: dl 2 dxi2 , переписываем dl 2 dl 2 2 dl 2 dxi2 dxi dui . 2 выражение для Подставив dui dl 2 в ui dxk , xk виде: ui u u dxi dxk i i dxk dxl xk xk xl Поскольку во втором члене индексы k и l являются немыми, можно u u записать его в симметричном виде: i k dxi dxk .Поменяв xk xi местами в третьем члене индексы i и l, получим окончательно: dl 2 dl 2 2uik dxi dxk , где 1 u u u u uik i k l l . 2 xk xi xi xk 92 Этим выражением определяется изменение элемента длины при деформировании тела. Предполагается здесь, что тензор uik есть тензор деформации; по своему определению он симметричен: uik uki . Как и всякий симметричный тензор, uik можно привести в каждой точке к главным осям. Это значит, что можно выбрать такую систему координат – главные оси тензора, - в которой из всех компонент uik отличны от нуля только диагональные компоненты u11, u22, u33. Эти компоненты – главные значения тензора деформации – обозначим как u(1), u(2), u(3). В этом случае элемент длины примет следующий вид: dl 2 ik 2uik dxi dxk = 1 2ul dx12 1 2u 2 dx22 1 2u 3 dx32 , где ik – единичный тензор (символ Кронекера). Это выражение распадается на три независимых члена. Это значит, что деформацию можно рассматривать как совокупность трех независимых деформаций по трем взаимно перпендикулярным направлениям – главным осям тензора деформации. Каждая их этих деформаций представляет собой простое растяжение (или сжатие) вдоль соответствующего направления: длина dx1 вдоль первой из главных осей превращается в длину: l dxl 1 2u dxl и аналогично для двух других осей. Величины 1 2u 1 i представляют собой, следовательно, относительные удлинения i вдоль этих осей: i dxi dxi . dxi В случае малых деформаций из последнего выражения следует, что i u (i ) . Закон Гука для малых деформаций записывают в виде: 93 xx 1 xx yy zz E zz 1 zz xx yy E xz 1 xz , G yz yy 1 yy xx zz E 1 1 E yz , xy xy , G G G 2(1 ) где: ij - тензор напряжений, Е – модуль Юнга, - коэффициент Пуассона, сдвига, ij (i,j = G x,y,z)- – модуль относительные деформации, через которые тензор деформации выражается в виде u xx uij u xy u xz u xy u yy u yz xx u xz 1 u yz xy 2 u zz 1 xz 2 1 xy 2 yy 1 yz 2 1 xz 2 1 yz 2 zz Перепишем в более симметричном виде уравнения закона Гука в главных осях: xx 1 E 1 xx yy zz , yy xx yy zz xx yy 1 E 1 zz 1 E xx yy zz zz 1 Введем величину p - гидростатическое давление: 1 xx yy zz p Примем условие несжимаемости, из которого следует = 0.5. Уравнения закоена Гука примут вид: ii 3 ii p 2E (99) Наконец, запишем в общем виде выражение для плотности энергии упругого изотропного тела при малых деформациях: U 2 uii2 uik2 Величины и называют коэффициентами Ламэ. 94 2.1.1. Случай больших деформаций. Перейдем к рассмотрению больших деформаций. Мы не будем подробно излагать основные принципы построения уравнений нелинейной механики и давать обзора на эту тему. Мы лишь отметим основные идеи, сыгравшие ключевую роль в описании упругих свойств эластомеров. Уравнения теории конечной упругости строятся по принципу аналогии с теорией малых деформаций. В основе этих работ лежит предположение о том, что для случая конечных деформаций могут быть записаны уравнения, аналогичные (99): 1 2 ii 3 ii p . E (100) Знак «» над параметрами указывает на их отличие от случая малых деформаций. Применим уравнения (100) к случаю одноосного растяжения вдоль оси х под действием приложенного напряжения . С использованием равенства i 1 2u 1 получим: 12 3 p E 22 3 p E 32 3 p E Здесь i = i + 1- степень удлинения по оси i. Из условия несжимаемости 123 = 1 и из полученных выражений следует 22 32 1 1 3p ; E p E ; 31 E 2 1 1 3 1 (101) Уравнение (101) представляет основной результат теории Ривлина. Другие работы, позволяющие строить теорию упругости для больших деформаций исходя из основных принципов механики (однородность, изотропность, симметрия), нам неизвестны. Принцип, заложенный в обсуждаемые работы, оказался недостаточно универсальным. Как показали многочисленные эксперименты, уравнения (101) достаточно хорошо 95 воспроизводят эксперимент только для ненаполненных набухших резин в условиях одноосного растяжения. Для изучения свойств материалов в различных условиях нагружения при больших деформациях удобно в качестве исходных использовать упругие потенциалы. При этом задаются компоненты деформации, а компоненты напряжения получают с помощью упругого потенциала U, представляющего собой в общем случае зависимость плотности энергии деформации от инвариантов тензора деформации. Можно показать, что для главных напряжений справедливы соотношения ii 2 i2 U 1 U U 2 I3 I1 i I 2 I 3 (i=1,2,3), (102) Где I1 =12 + 22 + 32 , I2 =12 + 13 + 23, I3 = 123 - первый, второй и третий инварианты тензора деформации. Если материал несжимаем (что справедливо для резины, если она работает в условиях, отличных от трехосного деформирования), то I3 = 1 и U – функция только от I1 и I2. В этом случае напряжения определяются с точностью до произвольного гидростатического давления p, потому что это давление не вызывает изменения i. Выражение для главных напряжений примет вид ii 2 i2 U 1 U p. I1 i2 I 2 (103) Соотношение (103) не является самым общим, т.к. при его выводе использованы инварианты I1 , I2 , I3 . Важной и трудной проблемой является нахождение вида потенциала U, достаточно точно описывающего эксперимент. Решать эту задачу можно тремя принципиально различными способами. Первый основан на использовании молекулярно-кинетических представлений об энтропийной природе упругости макромолекул и классической теории высокоэластичности полимерных сеток. Результатом этой теории является 96 зависимость условного напряжения f при одноосном растяжении от степени удлинения : f KkT 1 2 . V0 Здесь: К – общее число цепей в образце, k – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура, V0 – объем образца. Если использовать соотношения, связывающие степени удлинения по главным осям i со степенью одноосного удлинения при условии несжимаемости 1 = , 2 = 3 = а также связь U с f, f 1 , U , то можно получить уравнение состояния резины: U KkT I1 3 2 Учет в ограничений, (104) классической теории приводящих к макромолекулярных клубков и, высокоэластичности изменению стерических равновесных соответственно, плотности размеров энергии деформации приводит к следующей зависимости: U NkT 2 Еще 2 1 1 1 2 2 1 2 3 3 3 3 1 2 3 одним высокоэластичности примером для использования построения уравнения (105) варианта теории состояния сшитого эластомера являются работы, где на основе представлений о наличии внешнего поля, оказывающего механическое воздействие на сегменты макромолекул, составляющих вулканизационную сетку, получен потенциал Хазановича – Бартенева вида U 3kT 0 1 2 3 3 . 2m (106) 97 Здесь:m – объем сегмента Куна цепи, 0 - среднее значение относительного удлинения цепи в недеформированном состоянии. Эксперимент [16-18] показал, что для ненаполненных резин (106) лучше описывает поведение материала, чем (105) в области малых и средних деформаций. Второй способ построения упругого потенциала для произвольных деформаций основан на принципе аналогии с уравнениями механики малых деформаций, о чем говорилось выше. Добавим к этому, что выражение (106), проинтегрированное и представленное в инвариантном виде, запишется так: U C I1 3 , (107) что совпадает с уравнением (105), являющимся основным результатом классической теории высокоэластичности. Потенциал (107) называют «неогуковым». Наконец, третий, наиболее распространенный способ построения упругого потенциала не имеет достаточно строгого обоснования. Он состоит в том, что исследователь, основываясь на каких-либо структурных или иных представлениях, записывает выражение, являющееся комбинацией инвариантов, а параметры этого выражения подбирает эмпирически с использованием, например, метода наименьших квадратов. Перечислим кратко наиболее известные потенциалы. Потенциал Муни [19]: U C1 I1 3 C2 I 2 3 . (108) Наиболее общая форма линейной зависимости U от I1 и I2. Потенциал обеспечивает хорошо воспроизводимую на эксперименте линейную зависимость напряжения от деформации при простом сдвиге, но основное его достоинство в практически идеальной воспроизводимости кривых одноосного растяжения ненаполненных резин , что послужило его широкому распространению при интерпретации как эксперимента, так и различных вариантов теории высокоэластичности, учитывающей топологические и 98 стерические взаимодействия между цепями вулканизационной сетки. При других видах НДС (двухосное однородное растяжение, чистый сдвиг) корреляция с экспериментом слабая. Выражение (108) часто называют потенциалом Муни-Ривлина, но приоритет принадлежит Муни. Потенциал Черных [20]: U n2 C1 1n 2n 3n 3 C2 1 n 2 n 3 n 3 . (109) Кроме общего случая, используются варианты при n = 1 или при C2 = 0. На основе большого числа экспериментов в разных условиях нагружения для разных резин показано, что из потенциалов (8 –12) наиболее предпочтительным является (109) при n = 1. Потенциал Бидермана [21]: U C1 I1 3 C2 I 2 3 C3 I1 3 C4 I1 3 . 2 3 (110) Использовался при расчетах резинотехнических изделий. Потенциал Исихары и др.: U C1 I1 3 C2 I 2 3 C3 I1 3 . 2 (111) Является частным случаем (110) при С4 = 0. Приведем кратко соображения позволяющие развить градиентная теория резиноподобных сред с потенциалами типа (104)-(110). Для построения математической модели и формулировки соответствующей краевой задачи используется вариант «кинематического» вариационного принципа, развитый в работах авторов проекта. В соответствии с ним модель среды полностью задается разнообразием вводимых кинематических связей. Изложим кратко алгоритм построения градиентной модели сплошной среды, предполагая, что рассматриваются линейные, обратимые процессы. Алгоритм сводится к следующим шагам: 1. Формулируются свойственные среде кинематические связи. 99 2. По кинематическим связям строится возможная работа внутренних сил, причем спектр внутренних сил определяется множителями Лагранжа, на которых вводятся кинематические связи. 3. С помощью интегрирования по частям находится линейная вариационная форма для возможной работы внутренних сил. Определяется список аргументов. 4. Записываются условия интегрируемости линейной вариационной формы, т.е. условия существования потенциальной энергии. 5. Строится потенциальная энергия, лагранжиан, вычисляется его вариация. В результате дается полная математическая формулировка моделей, записывается вариационное уравнение, определяющее уравнения равновесия и весь спектр граничных условий. В указанном алгоритме особое место занимают кинематические модели изучаемых сред. Далее кратко обсуждаются примеры описания кинематики для различных моделей сред по мере их усложнения, приводятся вариационные постановки моделей и даются физические трактовки физических постоянных, ответственных за описание адгезионных свойств упругих тел. Приводятся примеры моделирования известных поверхностных эффектов, показывающих, что построенная континуальная теория адгезионных взаимодействий дает адекватное описание известных поверхностных явлений. 2.1.2. Кинематические соотношения и вариационные формы 1. Классическая теория упругости и идеальная адгезия твердых тел. Постулируя непрерывность среды в объеме тела (отсутствие дефектов), следует ввести в качестве кинематических связей между двенадцатью зависимыми кинематическими переменными: деформациями, поворотами и перемещениями, девять несимметричных соотношений Коши: d ij Ri , j (112) 100 где dij ij k Эijk - тензор дисторсии, ij - тензор деформаций, k псевдовектор поворотов, Эijk - псевдотензор Леви-Чивиты, Ri - вектор перемещений. Варьируя соотношения Коши, домножая их на неопределенные множители Лагранжа ij и интегрируя по объему тела, формулируется возможная работа внутренних сил (реактивных силовых факторов, обеспечивающих выполнение выбранных кинематических связей). Для моделирования адгезионных эффектов предлагается ввести соотношения (112) в качестве связей между дисторсией и перемещениями не только в объеме среды, но и на поверхности. между дисторсией и перемещениями не только в объеме среды, но и на поверхности. Тогда в отличие от девяти соотношений Коши в объеме, на поверхности среды можно сформулировать только шесть соотношений Коши, потому что нормальные производные на поверхности не определены. Возможная работа записывается в виде U ij (dij Ri , j )dV aik (dij Ri , j )( jk n j nk )dF (113) in - дельта Кронеккера, n j -вектор нормали к поверхности. Возможная работа преобразуется путем взятия по частям в линейную вариационную форму. Для обратимых физически линейных процессов выбор такой кинематической модели приводит к лагранжиану простейшей несимметричной классической теории упругости сред с идеальными адгезионными свойствами поверхности. 2. Простейшей вариант теории сред с сохраняющимися дислокациями. Соотношения (112) определяют кинематические связи между двенадцатью зависимыми степенями свободы ij , , k и Ri , которыми наделен произвольно выбранный бесконечно малый параллелепипед. Условия интегрируемости соотношений (112) (условия интегрируемости перемещений), называемые соотношениями Папковича, можно представить в виде d in , m Эnmj 0 . 101 Положим, что условия интегрируемости перемещений не выполняются (иначе говоря, соотношения Папковича являются неоднородными): d in , m Эnmj ij . (114) Непрерывный тензор "несовместностей" ij перемещений является тензором плотности дислокаций и подчиняется дифференциальному закону сохранения: ij , j 0 . Решение неоднородных уравнений Папковича (114) представляется в виде суммы решения однородного уравнения Папковича d ij0 ( d 0 in 0 in (1 3) 0 in 0 k Эink , 0 Rk , k , ij0 Ri , j / 2 R j , i / 2 Rk , k ij / 3 , k0 Ri , j Эijk / 2 ) и частного решения неоднородных уравнений Папковича. d ij dij0 d ij , dij0 Ri , j (115) Очевидно, что наряду с d ij можно рассмотреть как независимые «обобщенные перемещения» следующие величины: ij , k и , d ij ij ij / 3 k Эijk , их нельзя выразить через собственно перемещения Ri . «Обобщенные перемещения» связаны со своей «обобщенной деформацией» – тензором "несовместностей" ij (аналог соотношений Коши): d in , m Э nmj ( in in / 3 k Эink ), m Э nmj ij 0 . Пользуясь терминологией среды Коссера, k0 называют стесненным вращением, а k – свободным вращением или спином. Аналогично будем называть ij0 и 0 – стесненными деформациями, а ij и – свободным деформациями. Возможная работа с учетом (112), (115) имеет вид U [ ij (dij0 Ri , j ) mij (ij din , m Эnmj )]dV Это позволяет построить вариационную модель теории сред с сохраняющимися дислокациями с когезионными. Действительно, в 102 результате нетрудно видеть, что для модели среды с сохраняющимися дислокациями имеем U U V dV U F dF , UV UV (dij0 ; dij ; ij ; Ri ) , U F U F (dij ; Ri ) . Выражение взаимодействия. U F U F (dij ; Ri ) определяется (116) адгезионные В дальнейшем они не рассматриваются. Список аргументов установлен. Теперь ясно, что прямой путь записи частного вида функционала для градиентной модели с сохраняющимися дислокациями состоит в том, чтобы величины i (i = i + 1) в потенциалах (104)-(110) заменить на величины i i , i - главные деформации тензора ij (см (115)).. При такой замене имеем частный случай модели без повышения порядка задачи, т.к. градиентные составляющие, связанные с ij игнорируются. В более общем случае можно ввести следующий потенциал: U C1 I1 (i i ) 3 C2 I 2 (i i ) 3 D1 I1 ( i ) 3 D2 I 2 ( i ) 3 (117) Где i - главные значения псевдотензора ij , Ck , Dk -параметры модели При этом переход к модели квазиконтинуума типа обобщенной среды Аэро-Кувшинского можно осуществить на основе обобщенной гипотезы Аэро-Кувшинского: d ij a R Rk R ij b i c j xk x j xi Для тензора деформаций ij aI1ij (b c) ij или uij aI1 ij (b c) uij В таком случае градиентная модель может быть получены из модели (117) путем соответствующих замен даваемых последними равенствами. Наконец можно предложить более простую градиентную модель, которая также соответствует (116) и является наиболее простой моделью. 103 Предлагаю следующий вариант градиентной высокоэластичности с потенциалом Мини Ривлина: U C1 ( I 1 3) C2 ( I 2 3) c1 1 1 c 2 2 2 c3 3 3 xi xi xi xi xi xi где , и - главные деформации. 1 2 3 2.2. Общие замечание о задачах колебания армированных шин. Малые колебания шин исследовались многими авторами. Явление прецессии стоячих волн в тонком упругом кольце, вращающемся с постоянной угловой скоростью, впервые были отмечены в работе [16]. Было показано, что если в кольце возбуждены стоячие волны, то на вращение кольца с постоянной угловой скоростью волна отвечает поворотом на некоторый другой угол, зависящий от номера собственной формы (СФ), относительно инерциального пространства. Инертные свойства упругих волн обсуждались в [17] при вращении нерастяжимого кольца с переменной угловой скоростью и в [18] при вращении осесимметричной оболочки с постоянной угловой скоростью. Колебания гибкого растяжимого вращающегося кольца рассматривались в [19] с учетом геометрической нелинейности. Влияние вращения на собственные частоты (СЧ) нагруженной шины изучались в [20] с использованием конечно-элементной модели армированной шины, состоящей из бандажа без протектора и двух боковых поверхностей. В частности, рассматривался эффект «взаимного разбегания» частот, вызванный апериодичностью формы нагруженной шины. Модель армированной шины была предложена в работе [21]. В случае качения колеса без проскальзывания в заранее неизвестной зоне контакта была получена полная система уравнений движения. Был изучен стационарный режим качения по прямой с постоянной скоростью. В рамках данного проекта изучаются малые колебания ненагруженной и нагруженной шины, вращающейся с постоянной угловой скоростью. Предложенная модель 104 использовалась при изучении малых колебаний невращающейся ненагруженной или нагруженной шины в окрестности положения равновесия [22]. В работе [20], опубликованной в 2009 году отмечено, что эффект разбегания частот никогда не изучался применительно к динамике вращающейся шины. В связи с этим возникла идея провести аналитические исследования, т.к. в работах В.Г. Вильке и И.Ф. Кожевникова как раз и был предложен вариант модели радиальной шины, позволяющий в значительной мере аналитически проанализировать эволюцию параметров шины при качении. Изучением малых колебаний вращающейся шины (по сведениям автора) в настоящее время занимаются два научных коллектива: [20] и [29]. В обоих исследованиях используется конечно-элементная модель шины. В работе [20] собственные формы не приводятся, а в работе [23] не возник эффект разбегания частот. Современные задачи исследования динамики все чаще и чаще требуют возможности реализации быстрых моделей. Поэтому актуальной является задача построения моделей, способных моделировать сложные динамические процессы с приемлемой точностью и не требующих одновременно значительных вычислительных ресурсов. Существует два подхода: модельный и феноменологический. При феноменологическом подходе соотношения, характеризующие зависимости сил и моментов, приложенных к диску колеса, от параметров движения, носят эмпирический характер. При этом внутренняя структура деформируемой периферии и детальный характер взаимодействия с опорной поверхностью не рассматриваются. Таким образом, объект изучения представляется в виде «черного ящика», поведение и свойства которого определяются его внешними характеристиками. На этом подходе основано большое количество современных исследований. В противоположность феноменологическому подходу в данной работе используется модельный подход, допускающий математическое описание 105 деформируемой периферии. Таким образом, мы предлагаем одну из возможных математических моделей радиальной шины. 2.3. Моделирование колеса с армированной шиной Предположим, что колесо с армированной шиной состоит из диска (0), сочлененного с боковыми поверхностями шины (1,2), и бандажа (3) (Рис. 25а). Диск колеса представляется абсолютно твердым телом. Боковые поверхности шины представлены в недеформированном состоянии частями двух торов. Боковины обладают упругими свойствами, и их материал описывается в рамках модели несжимаемой резины Муни - Ривлина. Бандаж шины, армированный нерастяжимыми нитями (кордом), в недеформированном состоянии представлен круговым цилиндром радиуса r и высоты 2l (ширина бандажа). Рис. 25. Модель колеса с армированной шиной Введем неподвижную систему координат OX 1 X 2 X 3 таким образом, что шина контактирует по части бандажа с опорной плоскостью OX 1 X 2 и подвижную систему координат Cx1 x2 x3 с началом в центре масс диска точке C (Рис. 25б). 106 Обозначим через ( X 1 , X 2 , X 3 ) координаты точки C в неподвижной системе координат. Положение бандажа определяется двумя углами поворотов 0 , относительно осей OX 3 и Cx2 , соответственно. Радиус-вектор точки бандажа для фиксированных 0 , определяется в виде: где l i , e i - орты осей OX i и Cxi , соответственно; значение параметра 1 ( 1 ) соответствует линии сопряжения бандажа и первой (второй) боковины, значение 0 соответствует срединной линии бандажа l0 ; rU i ( , , t ) - компоненты вектора перемещения точки бандажа в подвижной цилиндрической системе координат. Деформации бандажа рассматриваются с учетом точных нелинейных условий нерастяжимости армирующих волокон , Решение , данной системы где представляется радиальная, - в следующем касательная и виде боковая компоненты вектора перемещений точек l0 в подвижной системе координат Cx1 x2 x3 (рисунок 25б). Полученный результат выражает тот факт, что цилиндрическая поверхность при условии нерастяжимости и ортогональности волокон, соответствующих изменению координат и , изометрична цилиндрической поверхности с образующей, заданной деформированной плоской срединной линией l0 бандажа, и семейством ортогональных к ней прямых. Радиусы-векторы точек боковых поверхностей шины определяются соотношениями 107 3 R j ( , ,t ) X i l i 3 ( )1 ( )2 ( ){( 1) j ae 2 ce1 i 1 3 b3 ( )[1 Vii ]}, I 1 I 2 , i 1 1 0 I 1 [ 1 , 2 ], I 2 [ 2 , 1 ], j 1,2, 1 ( ) 0 cos 0 sin 0 sin , cos где a, b, c - постоянные величины. Углы поворота , системы координат связанной с диском малы, поскольку они определяют смещение бандажа шины относительно диска за счет деформаций боковых поверхностей шины. Будем считать, что боковые поверхности шины представляются мембраной, состоящей из несжимаемой резины (модель Муни-Ривлина), армированной нерастяжимыми стальными нитями, соответствующими изменению угла , т.е. Rj () 1 2 (V2 V1 ) (V2 V1 )2 (V1 V2 ) 2 V3 2 0 , () . b C точностью до членов первого порядка малости относительно компонент вектора V и их производных данное равенство принимает вид V2 V1 0 . Края боковой поверхности шины сочленяются с диском шины и с краями бандажа, откуда все компоненты вектора V выражаются через . Потенциальная энергия растяжения резины в модели Муни-Ривлина представляется функционалом 2 [ V] b где k1 , k2 2 c [k1 ( I c 3) k 2 ( II c 3)]( cos )d d , III c 1 , b 0 I1 I 2 - постоянные положительные коэффициенты, I c , II c , III c - инварианты тензора конечных деформаций Коши- Грина. В случае двумерной сплошной среды тензор Коши-Грина C2 определяется из соотношений 108 dR 2j ( Rj 2 2 Rj Rj ) d 2 d d b 2 d 2 c ( cbcos )d ( cbcos )d c c c 11 12 , C 2 11 12 . bd bd c12 1 c12 1 Главные удлинения 1, 2 в этом случае удовлетворяют равенствам 2 12 22 c11 1, 12 22 c11 c12 . Произведя соответствующие вычисления, найдем 2b [V3V2 sin V1 cos ] , c bcos b c12 (V2 V3 sin ) V3 , c b cos c11 1 L1 L2 , L1 Здесь L2 - малая величина второго порядка относительно компонент вектора V и их производных. R R T В трехмерном случае тензор Коши-Грина равен C ( r ) ( r ), R R ( r, t ) , а его инварианты связаны с главными удлинениями 1, 2 , 3 соотношениями Ic 3 k 1 2 k , II c 3 i j 2 i 2j , III c 12 22 32 . В модели несжимаемой резины Муни-Ривлина III c 1, I c 12 22 1 12 22 , I c 12 22 12 22 . 12 22 Таким образом, функционал потенциальной энергии деформаций примет вид 2 ( k1 k 2 )b3 c [ V ] [4(V3V1cos V2 sin ) 2 (V2V3sin ( cos )V3 ) 2 ]d d . c bcos b 0 I1 I 2 Предполагается, что площадка контакта шины с плоскостью OX 1 X 2 представляется прямоугольником постоянной ширины, равной ширине бандажа, и переменной длины, определяемой двумя функциями времени 1 (t ), 2 (t ) (Рис. 25б), которые заранее неизвестны и находятся из уравнений движения. Не нарушая общности, можно принять, что колесо катится вдоль оси OX 1 , когда срединная линия l0 бандажа совпадает с этой осью. 109 2.4. Уравнения движения Пусть колесо катится без проскальзывания и без подпрыгивания. Это означает, что скорости точек в зоне контакта равны нулю. Уравнения движения, описывающие поведение механической системы, и условия на границе заранее неизвестной зоны контакта были получены из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского для неконсервативных систем Кинетическая энергия колеса T складывается из кинетической энергии диска и кинетической энергии шины в предположении, что вся масса шины равномерно распределена по l0 с линейной плотностью Работа сил A состоит из работы внешних сил и моментов, приложенных к диску колеса , из работы потенциальных сил (работа давления на возможных перемещениях и вариация потенциальной энергии растяжения резины согласно модели Муни-Ривлина при деформациях боковых поверхностей шины и бандажа) и из работы реакций связей (условия качения колеса без проскальзывания и подпрыгивания и условие нерастяжимости срединной линии бандажа) 110 Полная система четырнадцати уравнений относительно четырнадцати неизвестных имеет следующую структуру: три уравнения Лагранжа второго рода с неопределенными множителями Лагранжа (особенность этих уравнений - наличие интегральных членов) четыре уравнения движения в частных производных три уравнения связей и четыре условия, накладываемые на скачки функций в концевых точках зоны контакта (динамические граничные условия) 2.5. Ненагруженная вращающаяся шина Пусть колесо ненагружено и вращается с постоянной угловой скоростью . Тогда Уравнения движения и условие нерастяжимости l0 имеют вид Данная система с помощью некоторых преобразований сводится к одному уравнению и условию периодичности соответствующей функции 111 Собственные колебания шины, описываемые этим уравнением, найдем методом Фурье (метод разделения переменных) Тогда Решение этого уравнения представим в форме где p j - корни характеристического уравнения Так как функция X ( ) должна быть 2 -периодической, то в решении следует оставить только экспоненты с чисто мнимыми показателями, т.е. Бесконечный спектр частот находится аналитически из характеристического уравнения Таким образом, СЧ ненагруженной вращающейся шины выражаются через СЧ ненагруженной невращающейся шины. График зависимости СЧ n n /(2 ) от угловой скорости вращения колеса представлен на Рис. 26а. Экспериментальные СЧ, соответствующие ненагруженной невращающейся шине, нанесены в виде черных квадратов. На оси ординат из каждой точки, соответствующей СЧ ненагруженной невращающейся шины, выходит две ветви (для верхней ветви n 0 , для нижней ветви n 0 , где n 0 ), т.е. каждой СЧ невращающейся шины соответствуют две СЧ вращающейся шины. Если перейти от переменной к переменной t , что означает 2 переход от Лагранжева описания к Эйлеровому, то график зависимости СЧ 112 от угловой скорости вращения колеса представлен на Рис. 26б (для верхней ветви n 0 , для нижней ветви n 0 , где n 0 ). Рис. 26 - СЧ ненагруженной вращающейся шины, как функции угловой скорости вращения, (а) Лагранжево описание, (б) Эйлерово описание. Черные квадраты - экспериментальные СЧ 113 2.6. Нагруженная вращающаяся шина Рассмотрим задачу о малых колебаниях шины в окрестности стационарного режима качения без проскальзывания с постоянной угловой скоростью. Предположим, что Перейдем от Лагранжева описания к Эйлеровому. Представим функции, определяющие деформации срединной линии бандажа, функции, определяющие зону контакта, и множители Лагранжа в следующем виде Учтем правила дифференцирования Тогда решение, описывающее стационарный режим качения удовлетворяющее уравнениям и граничным условиям, находится и из следующей системы Переменные U vib , Vvib , определяющие малые колебания шины в окрестности стационарного режима, удовлетворяют следующей системе 114 С помощью некоторых преобразований можно свести данную систему к одному уравнению относительно функции Vvib и граничным условиям Представим функцию, определяющую малые колебания в виде Подставив это выражение в уравнение, получим уравнение на функцию X ( ) и следующее характеристическое уравнение Коэффициенты Gi в решении определяются из граничных условий Данная однородная система имеет ненулевое решение, если ее определитель равен нулю: Здесь 2 1 определяет длину зоны контакта. Из этого частотного уравнения определяется бесконечный спектр СЧ, где p j - корни характеристического уравнения (данное алгебраическое уравнение четвертой степени можно разрешить аналитическим методом Феррари). Зависимость первых двадцати СЧ от угловой скорости вращения проиллюстрирована на Рис. 27a. 115 Рис. 27. - Нагруженная вращающаяся шина: СЧ, как функции угловой скорости вращения при Эйлеровом описании Из рис.27 видно, что увеличение угловой скорости вращения приводит к уменьшению ненагруженной величин СЧ. вращающейся Ранее наблюдавшееся шины вследствие раздвоение вращения в СЧ случае нагруженной вращающейся шины не наблюдается вследствие нарушения 116 круговой симметрии, вызванной наличием зоны контакта. Помимо этого, наблюдается интересный эффект «взаимного разбегания» частот (Рис. 27б): СЧ, как функции угловой скорости вращения, приближаются друг к другу, а затем неожиданно «разбегаются», вместо того, чтобы пересечься. Соответствующие СФ имеют вид где постоянные Gi находятся из граничных условий Функция Vvib представляется линейной комбинацией действительной и мнимой СФ, соответствующих одной и той же СЧ. В конечном счете, действительная СФ переходит в мнимую СФ и наоборот Таким образом, речь идет об одной и той же СФ, которая вращается на плоскости. Действительные СФ представлены на рисунке 28 для 175 рад/с (угловая скорость вращения до «области разбегания» 180-190 рад/с, вращение диска колеса происходит по часовой стрелке.) 117 Рис. 28 - СФ нагруженной вращающейся шины для 175 рад/с, (а) 1 =90.13 Гц, (б) 2 =94.93 Гц, (в) 3 =100.46 Гц, (г) 4 =102.72 Гц, (д) 5 =112.78 Гц, (е) 6 =124.47 Гц и на Рис. 29 для 200 рад/с (угловая скорость вращения после «области разбегания»). Можно заметить, что третья и четвертая СФ взаимодействуют в «области разбегания» и, в конечном итоге, меняются местами. Рис. 29 - СФ нагруженной вращающейся шины для 200 рад/с, (а) 1 =85.89 Гц, (б) 2 =90.49 Гц, (в) 3 =97.53 Гц, (г) 4 =100.54 Гц, (д) 5 =106.92 Гц, (е) 6 =117.77 Гц 118 За эволюцией третьей СФ нагруженной вращающейся шины можно проследить на Рис. 30. Для 3, 100, 130 рад/с третья СФ нагруженной вращающейся шины имеет, соответственно, три, четыре, пять узлов и подобна третьей, четвертой, пятой СФ нагруженной невращающейся шины. Таким образом, третья СФ эволюционирует из трехузловой в пятиузловую форму, в то время, как СЧ уменьшается со 116.91 Гц до 102.81 Гц. Рис. 30. - Эволюция третьей СФ нагруженной вращающейся шины (а) 3 рад/с, 3 =116.91 Гц, (б) 100 рад/с, 3 =107.71 Гц, (в) 130 рад/с, 3 =102.81 Гц 2.7. Заключение по разделу. Таким образом, проведено исследование малых колебаний ненагруженной и нагруженной вращающейся шины. Найдены СЧ и СФ колебаний. Каждая СЧ ненагруженной невращающейся шины соответствует двум СЧ ненагруженной вращающейся шины. Это хорошо известный эффект: в неподвижной структуре две противоположно бегущие волны накладываются друг на друга, и образуется стоячая волна, а во вращающейся структуре эти две волны имеют различные скорости. Начиная с некоторого номера, обе ветви СЧ, рассматриваемых как функции угловой скорости вращения, растущие из точки, соответствующей СЧ ненагруженной невращающейся шины монотонно возрастают (Лагранжево описание). Нижняя ветвь первой СЧ обращается в ноль при некотором значении угловой скорости вращения. При Эйлеровом описании ни одна из частот не обращается в ноль, что совпадает с результатами других статей. В случае нагруженной 119 вращающейся шины при определении частоты малых колебаний длину зоны контакта можно принять постоянной, поскольку ее изменение определяет поправки в частоту второго порядка малости в рамках принятой модели. Найдены множители Лагранжа, определяющие добавку к натяжению срединной линии бандажа и добавки к реакциям в продольном направлении в граничных точках зоны контакты в процессе малых колебаний. Увеличение угловой скорости вращения приводит к уменьшению величин СЧ. Ранее наблюдавшееся разделение СЧ ненагруженной вращающейся шины вследствие вращения в случае нагруженной вращающейся шины не наблюдается из-за нарушения круговой симметрии, вызванной наличием зоны контакта. Помимо этого, наблюдается интересный эффект «взаимного разбегания» частот: СЧ, как функции угловой скорости вращения, приближаются друг к другу, а затем неожиданно «разбегаются», вместо того, чтобы пересечься. СФ взаимодействуют в «области разбегания» и, в конечном итоге, обмениваются друг с другом. Результаты этого анализа могут быть использованы при оценке уровня шумов, возникающих при движении транспортного средства по неровной дороге. Модель адаптирована к результатам экспериментов. 120 ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Пятый этап проекта посвящен моделированию динамических свойств дисперсных и волокнистых композитов и построению соответствующих алгоритмов оценки диссипативных свойств. Весь цикл запланированных работ выполнен полностью. Рассмотрен весь спектр композиционных материалов, начиная от дисперсных композитов и закачивая волокнистыми и слоистыми композитами, для которых развивается единая методика оценки эффективных диссипативных характеристик. Рассмотренный класс задач объединен тем, что для всех задач удается построить аналитические решения для оценок эффективных характеристик (жесткостей, модулей потерь). Поэтому дальнейшее использование комплексных модулей упругости делает эту методику весьма эффективной. Последовательно рассмотрены дисперсно-армированные композиты со сферическими включениями. Анализ диссипативных свойств, изучение механизмов диссипации композитов, армированных включениями с тонкими вязкоупругими покрытиями, позволил впервые обнаружить эффект аномально высоких демпфирующих свойств такого рода композитов, если толщина вязкоупругих покрытий выбрана оптимальным образом. Разработан алгоритм определения оптимальных характеристик таких композитов. При этом показано, что рациональные (оптимальные) характеристики межфазного слоя-покрытия находятся в весьма узком диапазоне, а композит оптимальной структуры обладает замечательными демпфирующими свойствами, имея при этом высокие жесткостные свойства. Указанный алгоритм полностью перенесен на волокнистые и слоистые композиционные материалы, которые составляют основу конструкционных авиационных материалов. Для демпфирующих свойств дисперсных и волокнистых композитов развит алгоритм, учитывающих масштабные эффекты (размер включений) и адгезионные свойства. Представлен алгоритм оценки динамических свойств для композитных, армированных короткими волокнистыми включениями (нанотрубками), который сводится к построению аналитических построений для эффективных характеристик и использованию метода комплексных модулей и с определением эффективных динамических свойств композита. Этот метод применим для оценки свойств наномодифицированных связующих. Он позволяет учесть диаметр, длину включений, характеристики изменённой морфологии матрицы в окрестности включений, адгезионные свойств контакта. Развиваются и численные подходы, один из которых позволяет описать динамические процессы в рамках метода конечных элементов, а второй основан на асимптотическом методе осреднения и блочном методе решения контактной задачи матрица-включение на ячейке (с учетом когезионных и адгезионных свойств). Рассмотрены возможности использования градиентных обобщений для несжимаемых высокоэластичных сред, типа резин. Указан алгоритм моделирования этих материалов в рамках гипотезы больших деформаций. Дан пример конкретной задачи для задачи колебания армированных шин, где используется модель Муни-Ривлена. Этот подход позволяет моделировать динамические свойств такой комплексной структуры в зависимости от размера и формы контактной области колеса с поверхностью. 121 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. 1. Gusev A. J. Mech. Phys. Solids 1997, 45, 1449-1459. 2. Gusev A. Macromolecules 2001, 34, 3081-3093. 3. Palmyra 2.4, MatSim GmbH, Zürich, Switzerland, http://www.matsim.ch. 4. Gusev, A. Phys. Rev. Lett. 2004, 93, 034302. 5. Saad, Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems; PWS Publishing: Boston, 1996. 6. Лурье С.А., Соляев Ю.О. Модифицированных метод Эшелби в задаче определения эффективных свойств со сферическими микро- и нановключениями, Вестник ПГТУ. Механика, 2010, № 1, с.80-90 7. G.M. Odegard, T.S. Gates, K.E. Wise, C. Park, and E.J. Siochi: Constitutive modeling of anotube-reinforced polymer composites. National Aeronautics and Space Administration Langley Research Center, Hampton, VA 236812199. 8. Лурье, С.А. Белов П.А. Вариационная формулировка математических моделей сред с микроструктурами//Сб. Математическое моделирование систем и процессов. – 2006. Т.14. – С.114-132. 9. Odegard G.M., Frankland S.J.V., Gates T.S., Effect of Nanotube Functionalization on the Elastic Properties of Polyethylene Nanotube Composites // AIAA J. 2005, V. 43, pp. 1828–1835. 10.Christensen R.M., Lo K.H. Solutions for effective shear properties in three phase and cylinder models // J. Mech. And Phys. Solids. 1979. № 27. P. 315 – 330. 11.Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982. 335 с. 12.Kerner E.H. The elastic and thermoelastic properties of composite media / Kerner E.H. // Proc. Phys. Soc. – 1956. –V. 69 – P. 808. 13.Van der Pol C. On the rheology of concentrated dispersions // Rheol. Acta – 1958. –V. 1 – P. 198. 122 14.Gusev A.A., Lurie S.A. Loss amplification effect in multiphase materials with viscoelastic interfaces // Macromolecules. 2009. V. 42. I. 14. P. 5372 – 5377. 15.Васильев В.В. Композиционные материалы: Справочник. М.:Машиностроение, 1990. 512с. 16.Bryan G.H. On the beats in the vibrations of a revolving cylinder or bell // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Mathematical and Physical Sciences. 1890. V. 7. P. 101-111. 17.Журавлев В.Ф., Климов Д.М. О динамических эффектах в упругом вращающемся кольце // Изв. АН СССР. Мех. тверд. тела. 1983. № 5. С. 17-23. 18.Егармин Н.Е. О прецессии стоячих волн колебаний вращающейся осесимметричной оболочки // Изв. АН СССР. Мех. тверд. тела. 1986. № 1. С. 142-148. 19.Вильке В.Г. Аналитическая механика систем с бесконечным числом степеней свободы. Ч. 2. // М.: Изд-во Мех.-мат. факультета МГУ, 1997, 160 с. 20.Lopez I., van Doorn R.R.J.J., van der Steen R., Roozen N.B., Nijmeijer H. Frequency loci veering due to deformation in rotating tyres // Journal of Sound and Vibration. 2009. V. 324. № 3-5. P. 622-639. 21.Вильке В.Г., Кожевников И.Ф. Об одной модели колеса с армированной шиной // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 2004. № 4. C. 37-45. 22.Кожевников И.Ф. Колебания свободной и нагруженной шины // ПММ. 2006. T. 70. № 2. C. 250-256. = Kozhevnikov I.F. The vibrations of a free and loaded tyre // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2006. V. 70. № 2. P. 223-228. 23.Brinkmeier M., Nackenhorst U. An approach for large-scale gyroscopic eigenvalueproblems with application to high-frequency response of rolling tyres // Computational Mechanics. 2008. V. 41. № 4. P. 503–515. 123 124 ПРИЛОЖЕНИЕ А. ЗАЯВКА НА ПАТЕНТ «СПОСОБ СОЗДАНИЯ КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА С ПОВЫШЕННЫМИ ДЕМПФИРУЮЩИМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ». РЕФЕРАТ Изобретение относится к материаловедению, разработке новых композиционных материалов, обладающих особыми свойствами и предназначенных для использования в авиационной промышленности, в частности, для создания элементов авиакосмических систем и конструкций. Известны способы создания композиционных материалов с включениями сферической или иной геометрической формы. Прототипом данного изобретения можно считать способ создания волокнистого композиционного материала с включенными в его состав волокнами, на которые наносится жидкая смазка-покрытие, состоящая, в частности, из силикона (патент US 4035550). При этом толщина покрытия определяется посредством использования эмпирического соотношения и составляет величину в пределах от 40 нм до 1 мм. Недостаток данного способа состоит в том, что он ограничен использованием только жидких покрытий. Этот недостаток преодолевается в заявляемом изобретении. Предлагаемый способ создания композиционных материалов позволяет применять не только жидкие покрытия-прослойки в композиционном материале, но и покрытия из твердых веществ. Также в предлагаемом способе толщина покрытия выбирается с использованием точного аналитического расчета механических свойств композиционных материалов, что позволяет выбрать оптимальную толщину покрытия с целью получения требуемых свойств различных типов композиционных материалов – как волокнистых, так и дисперсных, причем эту процедуру можно использовать как для твердых, так и для жидких покрытий. ОПИСАНИЕ Изобретение относится к материаловедению, разработке новых композиционных материалов, обладающих особыми свойствами и предназначенных для использования в авиационной промышленности, в частности, для создания элементов авиакосмических систем и конструкций. Из уровня техники известно изобретение, раскрытое в Сущность заявленного эффективных модулей технического упругости решения состоит композиционного в заявке JP2010250796. способе материала со определения сферическими 125 включениями, отличающийся использованием специально разработанной расчетной схемы, построенной на основе самосогласованного метода Эшелби. Данный способ позволяет эффективно определять упругие свойства композиционного материала. К недостаткам данного способа относится невозможность его использования для определения демпфирующих свойств композиционного материала. Известны другие аналоги заявляемого технического решения: в заявках JP2004093530, JP2005092718 предложен метод определения демпфирующих свойств волокнистых композиционных материалов, отличающийся использованием метода конечных элементов. В заявке JP2005092718 также предложено использовать двумерные конечно-элементные модели композиционного материала, построенные на основе фотоснимка его структуры. Такие фотоснимки могут быть получены с помощью микроскопа. Эти методы в принципе возможно применять к различным типам композиционных материалов, в том числе к материалам с многослойной структурой покрытий. Однако оба упомянутых метода обладают недостатками, так как они не могут обеспечить оптимальное решение поставленной задачи с точки зрения временных затрат и эффективности. Эти недостатки обусловлены следующими особенностями технических решений, раскрытых в заявках JP2004093530, JP2005092718: предлагаемые в данных заявках способы определения демпфирующих свойств композиционных материалов не предполагают использование явных аналитических решений механики композиционных материалов, которые позволяют быстро и в удобной форме подобрать оптимальную микроструктуру исследуемого композиционного материала для получения требуемых свойств. Известны технические решения, раскрытые в заявках JP2010205254, US 20100223017 (COMPUTATIONAL METHOD OF MATERIAL CONSTANT OF COMPOSITE MATERIAL AND VOLUME FRACTION OF MATERIAL COMPONENT IN COMPOSITE MATERIAL, AND RECORDING MEDIUM). В данных заявках предлагается способ определения динамических свойств композиционного материала со сферическими включениями, основанный на использовании самосогласованного метода и метода комплексных модулей, известных из механики композиционных материалов. Однако этот метод не позволяет определять свойства дисперсных или волокнистых композиционных материалов, армированных включениями с тонкими покрытиями. В то же время влияние дополнительных вязкоупругих покрытий на включениях может быть чрезвычайно значительным и позволяет получать композиционные материалы с более высокими характеристиками демпфирования, сохраняя при этом достаточно высокую жесткость композиционных материалов. 126 Ближайшим аналогом заявляемого технического решения, т.е. его прототипом можно считать изобретение, защищенное патентом US 4035550 (Fiber reinforced composite of high fracture toughness). В данном изобретении предложен способ создания волокнистого композиционного материала с волокнами, на которые наносится жидкая смазка-покрытие (состоящая, в частности, из силикона). Толщина этого покрытия определяется посредством использования эмпирического соотношения и составляет величину в пределах от 40 нм до 1 мм. Недостаток технического решения по патенту US 4035550 состоит в том, что данный способ ограничен использованием только жидких покрытий. Этот недостаток преодолевается в заявляемом изобретении. Предлагаемый нами способ создания композиционных материалов позволяет применять не только жидкие покрытия-прослойки в композиционном материале, но и покрытия из твердых веществ. Также в предлагаемом способе толщина покрытия выбирается с использованием точного аналитического расчета механических свойств композиционных материалов, что позволяет выбрать оптимальную толщину покрытия (эту процедуру можно использовать и для жидких покрытий) с целью получения требуемых свойств различных типов композиционных материалов – как волокнистых, так и дисперсных. Таким образом, техническая задача, решаемая заявленным изобретением, состоит в оптимизации способа получения композиционного материала с требуемыми демпфирующими свойствами, а также в расширении области применения данного способа, которое выражается в возможности его применения к композиционным материалам как с жидкими, так и с твердыми покрытиями входящих в состав данного материала структурных включений (армирующие волокна, дисперсные включения и т.д.). Указанная техническая задача решается следующим образом. При создании полимерных волокнистых композиционных материалов, содержащих армирующие волокна или дисперсные включения (стеклянные, углеродные, керамические или др.), на эти армирующие волокна или дисперсные включения наносится тонкое вязкоупругое покрытие. При этом предлагаемый способ отличается тем, что: 1. Для получения оптимальных динамических свойств композиционного материала толщина аналитического покрытия, математического наносимого на расчета использованием с включения, выбирается модели путем механики композиционных материалов. При этом в качестве модели композиционного материала выбирается трехфазный композиционный материал со сферическими или цилиндрическими включениями и для расчета используется самосогласованный метод трех фаз и метод комплексных модулей. 127 2. По результатам расчета толщина покрытия выбирается в области толщин менее 10% от диаметра армирующих волокон, что позволяет получить наиболее высокие значения модулей упругости и модулей потерь композиционного материала. 3. В качестве покрытия может использоваться вязкоупругий материал, как в твердом, так и в жидком состоянии (например, полиуретан или силикон). Именно данные существенные признаки предлагаемого способа позволяют решить сформулированную выше соответствующего техническую технического задачу результата: и обеспечить оптимизация достижение способа получения композиционного материала с заданными демпфирующими свойствами, применимость данного способа для композиционных материалов с различными (как жидкими, так и твердыми) покрытиями включений. Предлагаемый способ используется для композиционных материалов, выполняемых на основе полимерной, углеродной или иной матрицы. В качестве армирующего наполнителя могут использоваться длинные ориентированные волокна, короткие дисперсные волокна или дисперсные частицы. На включения предварительно наносится вязкоупругое покрытие, которое состоит из твердого или жидкого материала (например, полиуретан или силикон или другой материал, близкий по свойствам). Толщина включения предварительно рассчитывается с использованием модели механики композиционных материалов для двухслойного включения сферической или цилиндрической формы с использованием самосогласованного метода трех фаз и метода комплексных модулей с целью получения наиболее высоких характеристик демпфирования и жесткости. По результатам расчета строится зависимость модулей упругости и диссипативных модулей от толщины вязкоупругого покрытия. Оптимальная толщина покрытия выбирается в области толщин менее 10% от диаметра используемых включений таким образом, что бы обеспечить достижение требуемых демпфирующих свойств. На Фиг.1 представлено схематическое изображение сечения композиционного материала, содержащего матрицу 1, цилиндрическое или сферическое включение 2 с дополнительным слоем покрытия 3. На Фиг.2 представлен график характерной зависимости сдвигового модуля потерь слоистого композиционного материала от толщины покрытия, отнесенного к радиусу включений. Как видно из представленного графика, максимум функции сдвигового модуля потерь приходится на область малых толщин покрытия. Предпочтительный вариант осуществления заявляемого изобретения состоит в выполнении следующих шагов: 128 1. Выбирается материал матрицы композиционного материала, материал и тип армирующих наполнителей, материал покрытия. 2. Проводится математический расчет с использованием модели механики композиционных материалов для двухслойного включения сферической или цилиндрической формы с использованием самосогласованного метода трех фаз и метода комплексных модулей. 3. По результатам расчета выбирается толщина покрытия на включениях менее 10% от диаметра включений, которая обеспечивает максимальные значения модулей упругости и модулей потерь композиционного материала для заданной частоты вибраций. 4. На включения наносится покрытие рассчитанной толщины. Включения с нанесенным покрытием используются в дальнейшем для получения изделия из композиционного материала. Хотя настоящее изобретение было описано на примере конкретных вариантов его осуществления, для специалистов будут ясны возможности многочисленных модификаций данного изобретения, не выходящие за границы объема ее правовой охраны, определяемого прилагаемой формулой. ФОРМУЛА ИЗОБРЕТЕНИЯ. 1. Способ создания композиционного материала с повышенными демпфирующими свойствами, заключающийся в том, что при создании полимерного волокнистого композиционного материала, содержащего армирующие волокна или дисперсные включения, на эти армирующие волокна или дисперсные включения наносится тонкое вязкоупругое покрытие, и отличающийся тем, что - толщина покрытия, наносимого на включения, выбирается менее 10% от диаметра армирующих волокон и уточняется путем аналитического математического расчета с использованием модели механики композиционных материалов. 2. Способ по п.1, отличающийся тем, что в качестве покрытия используется вязкоупругий материал в твердом состоянии. 3. Способ по п.1, отличающийся тем, что в качестве покрытия используется вязкоупругий материал в жидком состоянии. 4. Способ по п.1, отличающийся тем, что при аналитическом математическом расчете толщины покрытия, наносимого на включения в составе композиционного материала, в качестве модели композиционного материала выбирается трехфазный композиционный 129 материал со сферическими включениями и для расчета используется самосогласованный метод трех фаз и метод комплексных модулей. 5. Способ по п.1, отличающийся тем, что при аналитическом математическом расчете толщины покрытия, наносимого на включения в составе композиционного материала, в качестве модели композиционного материала выбирается трехфазный композиционный материал с цилиндрическими включениями и для расчета используется самосогласованный метод трех фаз и метод комплексных модулей. 130