+ x

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«БРЯНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ АКАДЕМИКА И.Г. ПЕТРОВСКОГО»
Физико-математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
«Целозначные многочлены
и их основные свойства»
Выполнила:
студентка 3 курса ФМФ ОЗО
направления
«Педагогическое образование»,
профиль «Математика»,
М. А. Плетнева
Научный руководитель:
кандидат
физико-математических наук
М.М. Сорокина
Брянск 2014
Содержание
Введение…………………………………………………………………………. 3
Глава I. Обозначения, определения и известные результаты,
используемые в работе……………………………………………………………5
Глава II. Целозначные многочлены от одной переменной….………………...8
2.1. Многочлены от одной переменной и их свойства…..……………..8
2.2. Целозначные многочлены и их свойства ………………..………..18
Упражнение………………………………………………………………………22
Заключение……………………………………………………………………...23
Список используемой литературы…………………………………………...24
2
Введение
Данная
курсовая
работа
посвящена
изучению
целозначных
многочленов от одной переменной. Тема курсовой работы является
актуальной, так как многочлены играют ключевую роль в алгебре,
элементарной математике, алгебраической геометрии, объектом которой
являются множества, определённые как решения систем многочленов.
Особые
свойства
преобразования
коэффициентов
при
умножении
многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре, теории
узлов и других разделах математики, для кодирования или выражения
многочленами свойств различных объектов.
Понятие многочлена от одной переменной возникло в связи с задачей
решения
алгебраических
занимались
уже
в
уравнений
глубокой
от
древности.
одной
В
16
переменной,
веке
которой
итальянскими
математиками были найдены формулы для решения уравнений третьей и
четвертой степени. Позднее Н.Абель и П.Руффини доказали, что, начиная с
пятой степени, общей формулы, использующей, кроме сложения и
умножения, лишь извлечение корней, не существует, а Э.Галуа открыл
закономерности поведения корней, приложимые к каждому конкретному
уравнению.
Начиная с 20 века многочлены стали использоваться для новых целей.
Буквы, входящие в многочлен, стали играть роль символов, не связанную с
их конкретными значениями. Современная математика изучает и использует
в общем случае многочлены от одной переменной, у которых коэффициенты
являются объектами произвольной природы, а не только числами. Самые
разные области математики и ее приложений стали использовать символьное
исчисление многочленов, не зависящее от теории функций (математическая
логика, топология, теория информации, дискретная и компьютерная
математика и многие другие). В связи с тем, что многочлены содержат в себе
символьные исчисления, они стали использоваться как способ передачи
информации.
3
Целью курсовой работы является изучение целозначных многочленов
от одной переменной. Задачи исследования - рассмотреть основные понятия
и центральные результаты общей теории многочленов от одной переменной,
исследовать простейшие свойства и основные результаты о целозначных
многочленах.
Данная курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения и
списка используемой литературы. Первая глава носит вспомогательный
характер. Здесь рассматриваются основные обозначения, определения и
известные результаты, используемые в работе. Во второй главе представлено
основное содержание курсовой работы. Данная глава состоит из двух
разделов. В разделе 2.1 рассматриваются основные положения теории
многочленов от одной переменной. Раздел 2.2 посвящен изучению
целозначных многочленов и их основных свойств. В основе проведенного
исследования лежат результаты о целозначных многочленах, представленные
в книге В.В. Прасолова «Многочлены» [1].
4
Глава I. Обозначения, определения и известные
результаты, используемые в работе
Определение 1.1. Непустое множество K с определенными на нем
бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется
кольцом, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы кольца):
1. K - аддитивная абелева группа, т.е.
а) ассоциативность сложения на K: (a  b)  с = a  (b  с), a, b, с  K ;
б)  0  K: a  0  0  a  a, a  K ;
в) a  K ,  (a)  K : a  (a)  (a)  a  0 ;
г) коммутативность сложения на K: a  b  b  a, a, b  K .
2. В K выполняются дистрибутивные законы, т.е. a, b, с  K
а) (a  b)  с  a  с  b  с ‒ правый дистрибутивный закон,
б) с  (a  b)  с  a  с  b ‒ левый дистрибутивный закон.
Примеры. Множество ℕ не является кольцом, так как ℕ не является
аддитивной группой. Множества ℤ, ℚ, ℝ являются кольцами.
Определение 1.2. Кольцо K называется ассоциативным, если операция
умножения ассоциативна на K, т.е. (a  b)  с  a  (b  с) , a, b, с  K .
Определение 1.3. Кольцо K называется коммутативным, если
операция умножения коммутативна на K, т.е. a  b  b  a , a, b  K .
Определение
1.4.
Кольцо
K
называется
ассоциативно-
коммутативным, если K - ассоциативное кольцо и коммутативное кольцо.
Определение 1.5. Кольцо K называется кольцом с единицей, если в K
существует единичный элемент, т.е.  е  K : a  е  е  a  а , a  K .
Определение 1.6. Непустое множество Р с определёнными на нём
бинарными алгебраическими операциями + и ∙ называется полем, если
выполняются следующие аксиомы (аксиомы поля):
1. Р - аддитивная абелева группа, т.е.
5
а) ассоциативность операции +, т.е. (а+b)+с =а+(b+с),  а,b,c∈Р;
б)  0∈Р: а+0 = 0+а=а,  а∈Р;
в)  а∈Р,  (-а)∈Р: а+(-а) = -а+а=0;
г) коммутативность операции +, т.е. a+b = b+a ,  a,b∈P.
2. В Р выполняются дистрибутивные законы, т.е.
а) (a + b)‧ c = ac + bc,  a,b,c∈ P – правый дистрибутивный закон;
б) c‧ (a + b) = ca + cb,  a,b,c∈P – левый дистрибутивный закон.
3. Р# - мультипликативная абелева группа, т.е.
а) ассоциативность операции, т.е. (ab)c=a(bc),  a,b,c∈ P#;
б)  1∈ Р#: а‧1=1‧ а=а, ∀ а∈ Р#;
в)  а∈Р#,  а-1∈ Р#: а‧а-1 = а-1‧ а =1;
г) коммутативность операции ‧, т.е. ab = ba,  a,b∈P#.
Определение 1.7. Пусть K и L – ассоциативно-коммутативные кольца с
единицами. Кольцо L называется простым расширением кольца K с помощью
элемента u ∈ L, если выполняются следующие условия:
1) K – подкольцо кольца L;
2)  a  L,   0 ,1 ,, n  K : a   0  1  u   2  u 2   n  u n ,
и записывают L  K u .
Определение 1.8. Простое расширение K u  называется простым
трансцендентным расширением ассоциативно-коммутативного кольца K с
единицей, если для любого a  K u  выполняется:
a  a0  a1  u  a 2  u 2   a n  u n  0 , то ai  0, i  1, n.
Определение 1.9. Элементы а и b кольца K называются делителями
нуля, если a  0, b  0, но а b  0 .
6
Определение 1.10. Ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей
без делителей нуля называется областью целостности.
Теорема 1.1 (простейшие свойства полей).
1. Для поля Р выполняются все простейшие свойства колец.
2. В поле нет делителей нуля.
Теорема 1.2. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с
единицей. Тогда для K существуют простые трансцендентные расширения,
причём любые два из них изоморфны.
Теорема 1.3 (простейшие свойства колец). Пусть K – кольцо. Тогда для
K выполняются следующие утверждения.
1. Для кольца K выполняются все свойства аддитивной группы.
2. a  K : (a)  a .
3. a, b, с  K : (a  b)  с  a  с  b  с, т.е. в K выполняется
дистрибутивность умножения относительно вычитания.
4. a  K : a  0  0  a  0 .
5. a, b  K справедливы следующие равенства:
1) a  (b)  (a  b) ;
2) (a)  b  (a  b) ;
3) (a)  (b)  a  b .
6. Пусть a1 , a2 , , an , b  K . Тогда (a1  a2    an )  b =
a1  b  a2  b    an  b . Аналогично, b  (a1  a2    an ) =
b  a1  b  a2    b  an .
7
Глава II. Целозначные многочлены от одной переменной
2.1. Многочлены от одной переменной и их свойства
Определение 2.1.1. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с
единицей. Тогда по теореме 1.2 существует простое трансцендентное
расширение K x , которое называется кольцом многочленов над K от
переменной x. При этом K x удовлетворяет определениям 1.6 и 1.7, т.е.
K x - ассоциативно-коммутативное с единицей f ( x)  1 :
1) K  K[x];
2)  f ( x)  K [ х],  a0 , a1 ,, an  K :
f ( x)  a0  a1 x  a2 x 2    an x n ;
n
3) a 0    a n x  0  a0  0, ,a n  0 .
Определение 2.1.2. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с
единицей, 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 ∈ 𝐾[𝑥]
(𝑎𝑛 ≠ 0). Число n
называется степенью многочлена f и обозначается deg f , т.е. deg f = n
(степень многочлена – это степень переменной при старшем коэффициенте).
Определение 2.1.3. Нулевым многочленом называется многочлен, все
коэффициенты которого равны 0, и обозначается 0. По определению
полагают, что степень нулевого многочлена равна   . Таким образом, если
f ( x)  0 , то
deg f ( x)  0 (deg f (x)  N  {0}).
Теорема 2.1.1. Пусть K – ненулевое
ассоциативно-коммутативное
кольцо с единицей, f (x) , g (x )  K x . Тогда:
1) deg( f (x) + g (x ) )  max{deg f (x) , deg g (x ) };
2) deg( f (x) · g (x ) )  deg f (x) + deg g (x ) .
Доказательство.
Пусть f ( x)  a0  a1 x  a 2 x 2    a n x n , g ( x)  b0  b1 x  b2 x 2    bm x m .
Пусть, например, m  n. Тогда
m
m 1
n
1) f + g= (a0  b0 )  (a1  b1 )  x    (am  bm )  x  am 1 x    an x
8

deg (f +g)  max{deg f, deg g}.
2) f  g = a0  b0  (a0b1  a1b0 )  x  (a0b2  a1b1  b0 a2 )  x 2    anbm x m  n 
deg ( f  g )  n+m=deg f +deg g (если a n и bm - делители нуля, то deg fg <
m + n). Теорема доказана.
Следствие 2.1.1. Пусть K - область целостности. Тогда deg ( f  g ) =
deg f + deg g,  f, g  K x .
Теорема 2.1.2. Если K – область целостности, то K[х] - область
целостности.
Теорема 2.1.3. Пусть K – область целостности. Тогда для K[х]
существует поле частных.
Определение 2.1.4. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с
f ( x )  K [ х] делится на многочлен
единицей. Говорят, что многочлен
g ( x)  ( K [ х]) # , если  h( x)  K [ x] : f(x)=g(x)  h (x ) и обозначается f  g или
gf.
Простейшие свойства отношения делимости в K[x]:
1) рефлексивность ( f  f ) ;
2) транзитивность ( f  g и gh  f  h) ;
3) f  h и g h  ( f g )h ;
4) f h  ( f  g )h ;
5) 0 f .
В общем случае делимость в произвольных кольцах не обязана быть
однозначной, т.е. возможно, что a : b = c и a = b · с1, a = b · с2, где с1 ≠ с2 .
Делимость однозначна в области целостности.
Определение 2.1.5. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с
n
единицей, f(x) = a0+a1x+…+anx  K[x] (т.е. f(x)= ∑ai x ), c  K. Элемент
i
n
i =0
а0+а1с+а2с2+…+аncn  K называется значением многочлена f(x) в точке с (на
9
n
элементе с) и обозначается f(c), то есть f(c)=  a i c .
i
i:  0
Теорема
2.1.4
(теорема
Безу).
Пусть
K
-
ассоциативно-
коммутативное кольцо с единицей, f(x) K[x], c  K. Тогда существует q(x)
K[x]: f(x)=(x-c)q(x)+f(c).
Доказательство.
Пусть f(x) = a0+a1x+…+anxn  K[x]. Тогда f(c)=
a0+a1c+…+ancn и поэтому
f(x)-f(c)= a1(x-c)+a2(x2-c2)+a3(x3-c3)+…+an(xn-cn)=
= (x-c)(a1+a2(x+c)+a3(x2+xc+c2)+…+an(xn-1+xn-2c+…+cn-1)).
Таким образом, f(x)-f(c)=(x-c)q(x), где
q(x)=a1+a2(x+c)+a3(x2+xc+c2)+…+an(xn-1+xn-2c+…+cn-1).
Следовательно, f(x)=(x-c)q(x)+f(c). Теорема доказана.
Определение 2.1.5. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с
единицей, f(x) K[x]. Элемент с K называется корнем многочлена f(x), если
f(c)=0.
Следствие 2.1.2. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с
единицей, f(x) K[x], c  K. Тогда с - корень f(x)  f(x) делится на (x-c).
Доказательство. Пусть c - корень f(x)  f(с)=0  f(x)=(x-c)q(x), где
q(x) K[x]  f(x) делится на (x-c). Следствие доказано.
Следствие 2.1.3.
При делении многочлена f(x) на (x-c) получается
остаток r, равный f(c).
Теорема
2.1.5.
Пусть
K
–
область
целостности,
f(x)=а0+а1х+а2х2+…+аnxn  K[x], аn  0. Тогда многочлен f(x) имеет не более n
попарно различных корней. Другими словами, любой ненулевой многочлен n-й
степени над областью целостности имеет не более n попарно различных
корней.
Доказательство. Доказательство проведём методом математической
индукции по параметру n.
1) Пусть n=0  f(x)=a0  f не имеет корней, т.е. f имеет нуль корней и
10
значит 0  0=n – верно.
2) Пусть n >0. Предположим, что утверждение верно при n = l.
3) Докажем, что утверждение верно при n = l + 1: deg f = l + 1. Если f
не имеет корней, то число корней равно 0 и 0  l + 1 – верно. Пусть f имеет
хотя бы один корень и с1 – корень f(x) такой, что с1 K. Тогда по теореме Безу
f(x)=(x-c1)q(x), где q(x) K[x], причём deg q(x) = n -1=l  по пункту 2) q(x)
имеет не более l попарно различных корней.
Покажем, что все корни многочлена f(x), отличные от с1, являются
f (c2 ) =
также корнями многочлена q(x). Пусть с2 – корень f(x), с2  с1. Тогда 

0
(c2-c1)q(c2), т.е. (с2-с1)q(c2)=0. Так как K - область целостности, то q(c2)=0, и
значит, c2 - корень q(x). Таким образом, многочлен f(x) имеет корень с1, а
все остальные корни многочлена f являются также корнями многочлена q(x).
Так как многочлен q(x) имеет не более l попарно различных корней, то
многочлен f имеет не более, чем (l + 1) попарно различных корней.
Из 1)-3) по методу математической индукции следует, что утверждение
верно для любого n ℕ  0. Теорема доказана.
Следствие
2.1.4.
Пусть
–
K
область
целостности,
f(x)=а0+а1х+а2х2+…+аnxn  K[x]. Если многочлен f(x) имеет более n попарно
различных корней, то f(x) является нулевым многочленом.
n
n
i
Определение 2.1.6. Пусть f   ai x , g   bi x  K [x ] , где K –
i
i 0
i 0
ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Многочлены f и g
называются алгебраически равными, если ai  bi , i  0, n .
Определение 2.1.7. Многочлены f и g из
функционально
равными,
если
K [x ]
f (c)  g (c),  c  K ,
называются
т.е.
значения
многочленов f и g в любой точке кольца K совпадают.
Теорема 2.1.6. Пусть K – бесконечная область целостности, f , g
 K [x ] . Многочлены f и g алгебраически равны тогда и только тогда, когда
11
f и g равны функционально.
n
n
i 0
i 0
i
i
Доказательство. 1. Необходимость. Пусть f   ai x , g   bi x -
многочлены, равные алгебраически. Тогда ai = bi , i = 1, n . Это означает, что
n
bi c i = g (c) .
a c =∑
i =0
n
∀ c ∈ K : f (c ) =
i
i 0
i
Следовательно, многочлены f
и g
равны функционально.
2. Достаточность. Пусть многочлены f и g равны функционально, т.е.
f (c)  g (c),  c  K .
Рассмотрим
многочлен
h( x )  f ( x )  g ( x ) .
Покажем, что h(x)=0. Так как h(c)  f (c)  g (c)  0,  c  K , то с – корень
многочлена
бесконечное
h( x),  c  K . Это означает, что многочлен h имеет
множество
корней.
С
deg h( x) ≤max{deg f ( x), deg g ( x)} . Следовательно,
другой
стороны,
h(x) = 0 . Таким образом,
многочлены f и g равны алгебраически. Теорема доказана.
Теорема 2.1.7.
Пусть F – поле, f(x), g(x) F[x], g(x)  0. Тогда
существуют единственные многочлены q(x), r(x) F[x] такие, что f(x) =
g(x)q(x) + r(x), причем deg r(x) < deg g(x).
Доказательство. 1. Существование. Если f(x) = 0, то q(x) = 0, r(x) = 0,
причем deg r(x) = −  < deg g(x)  0. Если deg f(x) < deg g(x), то q(x) = 0,
r(x) = f(x), причем deg r(x) = deg f(x) < deg g(x).
Пусть теперь f(x)  0 и deg f(x)  deg g(x). Пусть f(x) = a0+a1x+…+anxn,
g(x) = b0+b1x+…+bmxm. Отсюда следует, что n ≥ m. Доказательство проведем
методом математической индукции по параметру n.
m n
1) Пусть n = 0. Тогда f(x) = a0  g(x) = b0. Так как F
существует элемент b0 -1 ∈ F , и значит,
поле, b0 ≠0 , то
a0 = b0
b0 -1 a0 + 0 , причем

 


r ( x)
f ( x) g ( x)
q ( x)
deg r(x) = −  <0 = deg g(x).
2) Предположим, что утверждение верно для любого многочлена степени,
12
меньшей n.
3) Докажем утверждение для многочлена степени n.
f(x) = a0+…+anxn
g(x) = b0+…+bmxm
∙bm-1∙anxn-m
h(x) = f(x) - g(x)∙bm-1∙anxn-m = a0+…+(anxn-bmbm-1anxmxn-m).
Поскольку h(x) - многочлен степени, меньшей n. Тогда по пункту 2)
существуют многочлены q1(x), r1(x) F[x]: h(x) = g(x)∙q1(x)+r1(x), где
deg r1(x) < deg g(x). Отсюда следует, что f(x) - g(x) = g(x)∙q1(x) + r1(x), и
1  q1 ( x))  r
( x) , причем deg r(x) < deg g(x).
значит, f ( x)  g ( x)  (

 1
r ( x)
q ( x)
Из 1)-3) по методу математической индукции следует, что утверждение
верно ∀ n ∈ℕ ∪{0} .
Единственность.
2.
Пусть
f(x)=g(x)∙q1(x)+r1(x)
(1)
и
f(x)=g(x)∙q2(x)+r2(x) (2). Покажем, что q1= q2, r1= r2. Вычтем из равенства (1)
равенство (2): 0 = g(x)(q1-q2) + (r1-r2)  r2-r1= g(x)(q1-q2) (3).
Допустим, что q1-q2  0. Согласно теореме 2.1.2, F[x] - область
целостности. Поэтому в F[x] нет делителей нуля и из (3) следует, что
r2
r1 ≠0 . Тогда, с одной стороны,
( 3)
 q 2 )  deg g , т.е. deg(r2 r1 ) ≥deg g .
deg(r2-r1)  deg ( g  (q1  q 2 ))  deg g  deg (q1 

0

0
С другой стороны, deg(r2
g.
Противоречие.
r1 ) = max {degr1,degr2 }< deg g , т.е. deg(r2-r1) < deg
Следовательно,
q1  q2  0  r2  r1  0 .
Теорема
доказана.
Определение 2.1.8. Пусть K – ассоциативно-коммутативное кольцо с
единицей. Элементы a и b кольца K называются ассоциированными в K и
обозначаются a∼b, если a  b и b  a .
13
Определение 2.1.9. Пусть F - поле, f(x) F  x  ,
n
n 1
1
f(x)= a0 x  a1 x  ...  an1x  an  F  x  .
a0 nx n 1  a1 (n  1) x n 2  ...  an 1
Многочлен
называется
формальной
вида
производной
многочлена f(x) и обозначается f ' (x).
Замечание 2.1.1. Нетрудно проверить, что формальная производная
многочлена удовлетворяет следующим свойствам:
1) (f +g) ' = f ' + g ' ;
2) (f·g) ' = f ' ·g + f ·g ' ;
3) (k·f) ' = k·f ' ;
4) ( f m ) ' = m· f m1 f ' .
Найдем значение многочлена f(x) и всех его производных в точке c F,
т.е. найдем f(c), f ' (c), f '' (c) = (f ' (c)) ' и т.д. Для этого запишем разложение
многочлена f(x) по степеням (x-c):
n
n 1
3
2
(*) f(x)= a0 ( x  c)  rn 1 ( x  c)  ...  r3 ( x  c)  r2 ( x  c)  r1 ( x  c)  r0  f(c)= r0 ,
f ' (x) = a0 n( x  c) n 1  rn 1 (n  1)( x  c) n 2  ...  r3 3( x  c) 2  r2 2( x  c)  r1  f ' (x) = r1 ,
f '' (x)= a0 n(n  1)( x  c)
n2
 rn 1 (n  1)(n  2)( x  c) n 3  ...  r3 3* 2( x  c)  r2 2
f''(x)=2 r2 . Аналогично,
f (3) (c)=3·2·1· r3 ,
f (4) (c)=4·3·2·1· r4

и т.д. Таким
(k )
образом, f (c)  k !· rk , k= 1, n (1).
Замечание 2.1.2. Подставим в формулу (*) вместо
rk соответствующие
выражения из (1):
f ( n ) (c)
f ( n1) (c)
f ''(c)
f '(c)
n
( x  c) 
( x  c)n1  ... 
( x  c) 2 
( x  c)  f (c),
f(x)=
n!
(n  1)!
2!
1!
-
формула Тейлора.
Определение 2.1.10. Многочлен f(x) положительной степени над полем
F называется неприводимым над F , если он не допускает представления в
виде произведения двух многочленов над полем F меньшей степени.
Определение 2.1.11. Многочлен f(x) положительной степени над полем
14
F называется приводимым над F, если он допускает представление в виде
произведения двух многочленов над полем F меньшей степени.
Примеры.
1) f(x) = x + 1 – неприводим над ℚ, ℝ, ℂ.
2) f(x) = x2 + 1 = ( x – i )(x + i ) – приводим над ℂ, неприводим над ℝ, ℚ.
3) f(x) = x4 + 1 = x4 + 2x2 + 1 – 2x2=( x2 + 1 - 2 x )( x2 + 1 + 2 x ) – приводим
над ℝ, ℂ.
Простейшие свойства неприводимых многочленов
Лемма 2.1.1. Многочлен первой степени неприводим над любым полем.
Лемма 2.1.2. Пусть F – поле, p1 ( x), p2 ( x) - неприводимые над F
многочлены. Если p1  p2 , то p1 ~ p 2 .
Замечание 2.1.3. Пусть F – поле. Тогда F – область целостности  F[x]
– область целостности  все элементы области целостности
F [x ]
подразделяются на 4 вида:
F[x] =
неприводимые  приводимые
обратимые

 

 

над F элементы над F элементы
нул ев ой
элементы 


м ногочл ен
делятся
делятся
deg 0  
( F [ x])  F #  F *
только
хотя
на
бы
deg0
обратим ые
на
0
и
на
ассоциированные
с
ним и
1 м ногочлен
не
яв ляющийся
обратим ым
и
ассоциированным
с
ним и
Лемма 2.1.3. Пусть F – поле, f(x) F[x], p(x) – неприводимый над F
многочлен. f / p тогда и только тогда, когда многочлены f и p взаимно
просты.
Лемма 2.1.4. Пусть F – поле, f1(x),…,fn(x)  F[x], p(x) – неприводимый
над F многочлен. Если ( f1  f 2  ...  f n )  p(x) , то хотя бы один из множителей
f1, f2,…, fn делится на p(x), то есть  i, 1  i  n : f i  p.
Теорема 2.1.8 (Основная теорема о многочленах). Любой многочлен
положительной степени над полем F допускает представление в виде
произведения неприводимых над F многочленов, причем такое представление
15
единственно
с
точностью
до
порядка
следования
множителей
и
ассоциированности.
Доказательство. 1) Существование. Пусть f(x) F(x) и deg f(x) = n > 0.
Доказательство проведем методом математической индукции по параметру n.
1. Пусть n = 1. Тогда многочлен f(x) неприводим над F , т.е.
f(x) = f(x) - искомое представление.
2. Допустим, что утверждение верно для любого многочлена
положительной степени меньшей n над полем F.
3. Докажем утверждение для многочлена f(x). Если f(x) неприводим
над F, то f(x) = f(x) – искомое представление. Пусть f(x) приводим над F.
Тогда f(x) = f1(x)  f 2 ( x) , где f1(x),f2(x) F[x] и 0 < deg fi < n, i= 1,2 . По пункту 2
f1(x) = p1(x)· p2(x) ∙ …∙pr(x) и f2(x) = q1(x) ∙…∙qs(x) – представления f1 и f 2 в
виде произведения неприводимых над F многочленов соответственно.
Поэтому f = f1·f2 = p1·…·pr· q1·…·qs – искомое представление.
Из 1-3 по методу математической индукции 
утверждение верно для
любого 𝑛 ∈ ℕ.
2) Единственность. Пусть f(x) = p1(x)·…·pr(x) и f(x) = q1(x)·…·qs(x) –
требуемые представления. Тогда p1  ...  pr  q1  ...  qs (1). Так как r,s  ℕ, то
либо r  s, либо r  s. Пусть, например, r  s. Так как левая часть (1) делится
на p1, то (q1·…·qs)  p1  по лемме 2.1.4 хотя бы один из множителей делится
на p1. Так как множители можно менять местами, то будем считать, что q1 
p1, и значит, по лемме 2.1.2, q1~q2 и, ввиду замечания 2.1.3, q1 = p1·a0 , где
a0  F#. Отсюда следует, что p1·…·pr = a0 · p1· q2·…·qs, и p2  ...  pr  a0  q2  ...  qs
(2). Так как левая часть (2) делится на р2, то как и выше, получим р2~q2 и
р2 = q2·b0, где b0  F#, причем p3  ...  pr  a0  q3  ...  qs (3) и т.д., через конечное
число шагов получим 1= а0· b 0·…·qr+1·…·qs (4). Допустим, что r < s . Тогда
1  qr+1 и поэтому degqr+1 = 0. Получили противоречие. Следовательно, r = s.
Таким образом, представление многочлена
f(x) в виде требуемого
произведения определяется однозначно с точностью до порядка следования
16
множителей и ассоциированности. Теорема доказана.
Определение 2.1.12. Пусть F - поле. Многочлен f(x) = а0xn+a1xn-1+…
+an-1x+an  F[x] называется нормированным или приведенным, если а0 = 1.
Следствие 2.1.5.
Любой многочлен f положительной степени над
полем F допускает представление в виде: f = a0·p1(x)·…·pr(x), где а0 F#,
p1,…,pr - неприводимые над F нормированные многочлены.
Замечание 2.1.4. Пусть f(x) F[x], F - поле, deg f(x) > 0. Тогда по
следствию 2.1.3 f(x) = a0·…·p1(x)·…·pr(x) (1), где а0  F#, p1(x),…,pr(x) неприводимые над F нормированные многочлены. Возможно, что среди
многочленов p1,…,pr есть равные. Перемножив равные множители в (1),
получим равенство вида f(x) = а0·p1k1·…·psks.
Определение 2.1.13. Пусть f(x) F[x], F - поле, deg f(x) > 0.
Представление многочлена f(x) в виде f(x) = a0· p1k1·…· psks (2), где а0  F#,
p1,…,ps - попарно различные неприводимые над полем F нормированные
многочлены, ki ≥ 1, i = 1, s , называется каноническим представлением
многочлена f, число ki называется кратностью множителя pi, i = 1, s . Если
ki=1, то pi называется простым неприводимым множителем многочлена f.
17
2.2. Целозначные многочлены и их свойства
Определение 2.2.1. Многочлен p(х) называют целозначным, если p(х)
принимает целые значения при всех целых значениях х.
𝑛
𝑛
𝑛!
Введем обозначения: пусть ( ) = 𝐶𝑛𝑘 , т.е. ( ) =
.
𝑘!(𝑛−𝑘)!
𝑘
𝑘
х
𝑥!
Лемма 2.2.1. Многочлен 𝐶𝑥𝑘 = ( ) =
является целозначным.
𝑘!(𝑥−𝑘)!
𝑘
х
Доказательство. Индукцией по k докажем, что многочлен 𝐶𝑥𝑘 = ( )
𝑘
является целозначным.
х
𝑥!
1. При k = 1 имеем 𝐶𝑥1 = ( ) =
= 𝑥 – целозначный многочлен.
1!(𝑥−1)!
1
2. Предположим, что утверждение верно при k = m, т.е.
предположим, что многочлен 𝐶𝑥𝑚 является целозначным.
3. Докажем, что утверждение верно при k = m+1. Действительно,
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥+1
𝑥+1
Поэтому
(
)− (
) = ( ).
(
)=(
)−( ).
𝑚+1
𝑚+1
𝑚
𝑚
𝑚+1
𝑚+1
𝑥
Следовательно, 𝐶𝑥𝑚+1 = (
) - целозначный многочлен.
𝑚+1
Из 1-3 по методу математической индукции утверждение верно для
любого натурального числа 𝑘. Лемма доказана.
Замечание. Целозначные многочлены исчерпываются многочленами
х
( ), причем требование p(n) ∈ ℤ при всех 𝑛 ∈ ℤ можно существенно
𝑘
ослабить, а именно, справедливо следующее утверждение.
Теорема 2.2.1. Пусть pk – многочлен степени k, принимающий целые
значения при х = n, n+1, …, n+k для некоторого целого числа n. Тогда
х
х
х
pk (х) = c0( ) +c1(
)+ c2(
) + ⋯ + сk , где с0,с1,…, сk – целые числа.
𝑘
𝑘−1
𝑘−2
х
х
х
х2
х
Доказательство. Многочлены ( ) = 1, ( ) = х, ( ) = − , …,
2
2
0
1
2
х
𝑥𝑘
=
+ … образуют базис в пространстве многочленов степени не выше
( )
𝑘!
𝑘
х
х
х
k, поэтому pk(х) = c0( ) +c1(
)+ c2(
) + ⋯ + сk, где с0,с1,…,сk –
𝑘
𝑘−1
𝑘−2
18
некоторые
числа. Достаточно доказать, что с0,с1,…,сk – целые числа.
Доказательство проведем индукцией по параметру k.
1. При k = 0 многочлен p0(х) = с0 принимает целое значение при x = n,
поэтому число с0 является целым.
2. Предположим, что требуемое утверждение верно для всех
многочленов степени не выше k.
х
3. Пусть многочлен pk+1(х) = c0(
+ ⋯ + сk+1 принимает целые
𝑘 + 1)
значения при х = n, n+1, n+k+1. Рассмотрим многочлен
х
х
х
∆pk+1(х) = pk+1 (х+1) − pk+1 (х) = c0( ) +c1(
)+ c2(
) + ⋯ + сk.
𝑘
𝑘−1
𝑘−2
Многочлен ∆pk+1(х) принимает целые значения при х = n, n+1, …, n+k.
Поэтому числа с0, с1, …, сk являются целыми, и значит, число сk+1 = pk+1 (n) −
𝑛
𝑛
𝑛
c0(
) − c1( ) − … − сk( ) также является целым. Теорема доказана.
𝑘+1
𝑘
1
Теорема 2.2.2. Пусть R(x) − рациональная функция, принимающая
целые значения при всех целых х. Тогда R(x) − целозначный многочлен.
Доказательство. Рациональную функцию R(x) можно записать в виде
R(x) =
𝑓(𝑥)
, где f и g – многочлены. Поделив многочлен f на многочлен g с
𝑔(𝑥)
остатком, получим R(x) = pk (х) + r(x), где pk – многочлен степени k, а r(x) →
0 при x → ∞. Таким образом, при больших n значения pk(n) мало отличаются
от целых чисел. Покажем, что pk(х) – целозначный многочлен. Аналогично,
как и при доказательстве теоремы 2.2.1, запишем многочлен pk(х) в виде pk
х
(х) = c0( ) + ⋯ + сk. При k = 0 число с0 должно сколь угодно мало
𝑘
отличаться от целого числа, поэтому с0 ∈ ℤ. Многочлен ∆pk(х) =pk (х+1) −
х
pk(х) = c0(
) + ⋯ + сk-1 при больших целых х тоже принимает почти
𝑘−1
целые значения, а его степень равна k−1. Применив к нему предположение
индукции, получим, что числа с0,с1,…, сk-1 являются целыми. Кроме того,
𝑛
𝑛
число сk = pk (n) − c0( ) − … −сk-1( ) также является целым.
𝑘
1
Покажем, что r(x) = 0. Как отмечено выше, r(n) ∈ ℤ при n ∈ ℤ и r(n)
19
→ 0 при n → ∞. Следовательно, r(n) = 0 при всех достаточно больших целых
n. Однако любая рациональная функция, имеющая бесконечно много нулей,
тождественно равна нулю. Теорема доказана.
Следствие 2.2.1. Пусть f(x) и g(x) – многочлены с целыми
коэффициентами, причем f(n) делится на g(n) при всех целых n. Тогда
х
f(x) = (∑𝑚
𝑘=0 (𝑘 )) 𝑔(𝑥), где с0,…, сm – целые числа.
Д.Пойа показал, что если целая аналитическая функция f(z)
принимает целочисленные значения при целых или натуральных значениях
переменной z и при этом возрастает не слишком быстро, то f(z) –
целозначный
многочлен.
Таким
образом,
справедливы
следующие
утверждения:
1)
если f(ℕ) ⊂ ℤ
и | f(z)| < Cek|z|, где k < ln 2, то f – целозначный
многочлен;
2)
если f(ℕ) ⊂ ℤ и | f(z)| < Cek|z|, где k < ln ((
3+√5 𝑧
)
2
− (
3−√5 𝑧
) )
2
показывает,
что обе оценки неулучшаемы.
Базисные целозначные многочлены от n переменных устроены
аналогично целозначным многочленам от одной переменной.
Теорема 2.2.3. Многочлен 𝑝𝑑1 …𝑑2 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ), где 𝑑𝑖
− степень по
переменной 𝑥𝑖 , принимает целые значения при 𝑥1 = 𝑎1 , 𝑎1 + 1, …, 𝑎1 + 𝑑1 ,…,
𝑥𝑛 = 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛 = 𝑛, …, 𝑎𝑛 + 𝑑𝑛 тогда и только тогда, когда
𝑥1
𝑥𝑛
𝑝𝑑1 …𝑑2 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) = ∑ 𝑐𝑘1 …𝑘𝑛 (𝑘 ) … (𝑘 ),
1
𝑛
где 𝑐𝑘1 …𝑘𝑛 − целые числа. В частности, такой многочлен принимает целые
значения при всех х1, …, хn.
Доказательство. Проведем рассуждения при n = 2 (общий случай
аналогичен).
При
фиксированном
x1∈ {𝑎1 , … , 𝑎1 + 𝑑1 }
многочлен
𝑝𝑑1 𝑑2 (𝑥1 , 𝑥2 ) принимает целые значения при 𝑥2 = 𝑎2 , … , 𝑎2 + 𝑑2 . Поэтому
согласно теореме 2.2.1 при 𝑥1 = 𝑎1 , … , 𝑎1 + 𝑑1 выполняется равенство
𝑥2
𝑑
𝑝𝑑1 𝑑2 (𝑥1 , 𝑥2 ) = ∑𝑘22=0 𝑐𝑘2 (𝑥1 ) … (𝑘 ), (1)
2
20
где 𝑐𝑘2 (𝑎1 ), … , 𝑐𝑘2 (𝑎1 +𝑑1 ) – целые числа. Если рассматривать равенство (1)
как соотношение для многочленов от переменных 𝑥1 и 𝑥2 , то 𝑐𝑘2 (𝑥1 ) –
однозначно определенный многочлен (степени не выше 𝑑1 ), который
принимает целые значения при 𝑥1 = 𝑎1 , … , 𝑎1 + 𝑑1 . Теорема доказана.
Определение 2.2.2. Биномиальным коэффициентом Гаусса или qбиномиальным коэффициентом называют величину
(𝑞 𝑛 − 1)(𝑞𝑛−1 − 1) ∙ … ∙ (𝑞 𝑛−𝑘+1 − 1)
𝑛
[ ] =
.
𝑘 𝑞
(𝑞 𝑘 − 1)(𝑞𝑘−1 − 1) ∙ … ∙ (𝑞 − 1)
При q→ 1 биномиальный коэффициент Гаусса переходит в обычный
𝑛
биномиальный коэффициент ( ). Биномиальный коэффициент Гаусса
𝑘
является
одним
из
многочисленных
q-аналогов
элементарных
и
𝑛
𝑛
𝑛+1
специальных функций. Тождество (
)=( )+(
) имеет q-аналог
𝑘
𝑘−1
𝑘
𝑛
𝑛
𝑛
вида [
] =[ ] +[
] 𝑞 𝑛−𝑘+1 .
(2)
𝑘+1 𝑞
𝑘𝑞
𝑘−1 𝑞
Для доказательства равенства (2) достаточно заметить, что после
сокращения общих частей числителей и знаменателей это равенство
принимает вид
(𝑞 𝑛+1 −1)
(𝑞 𝑘 −1)(𝑞 𝑛−𝑘+1 −1)
1
𝑞 𝑛−𝑘+1
= 𝑞𝑘 −1 + 𝑞𝑛−𝑘+1 −1.
В дальнейшем будем считать, что q, n и k – целые числа, причем q ≥ 2
и 1≤ k ≤ n.
В таком случае индукция по n на основе формулы (2)
𝑛
показывает, что [ ] – целое число.
𝑘𝑞
Рассмотрим многочлены f0, f1, f2,…, 𝑓𝑘 , где f0=1 и 𝑓𝑘 (𝑥) =
𝑞
−𝑘(𝑘−1)
2
(𝑥−1)(𝑥−𝑞)∙…∙(𝑥−𝑞 𝑘−1)
(𝑞−1)(𝑞 2 −1)∙…∙(𝑞 𝑘 −1)
при k ≥ 1. Тогда 𝑓𝑘 (𝑞 𝑛 )=0 при n=0,1,…,k-1 и
𝑛
𝑓𝑘 (𝑞 𝑘 )=1 (3). Кроме того, что 𝑓𝑘 (𝑞𝑛 ) = [ ] при n ≥ k. В частности, при
𝑘𝑞
всех натуральных n число 𝑓𝑘 (𝑞 𝑛 ) целое.
21
Упражнение
Задание 1. Доказать, что многочлен 𝑓𝑘 (𝑥) степени k принимает
целые значения при х = 1,q,q2,…,qk тогда и только тогда, когда 𝑝𝑘 (𝑥) =
𝑐𝑘 𝑓𝑘 (𝑥) + 𝑐𝑘−1 𝑓𝑘−1 + ⋯ + 𝑐1 𝑓1 (𝑥)+𝑐0 (1), где с0, с1,…,сk – целые числа.
Решение. Многочлены f0, f1, f2, …,𝑓𝑘 образуют базис линейного
пространства многочленов степени не выше k, поэтому равенство (1)
выполняется при некоторых с0, с1, …,сk ∈ ℂ. Необходимо лишь проверить,
что с0, с1, …,сk ∈ ℤ. Из (3) следует, что
𝑝𝑘 (1) = 𝑐0 ,
𝑝𝑘 (𝑞) = 𝑐1 + 𝑐0 ,
𝑝𝑘 (𝑞 2 ) = 𝑐2 + 𝑐1 𝑓1 (𝑞 2 ) + 𝑐0 ,
………………………………………..
𝑝𝑘 (𝑞 𝑘 ) = 𝑐𝑘 + 𝑐𝑘−1 𝑓𝑘−1 (𝑞𝑘 ) + ⋯ + 𝑐1 𝑓1 (𝑞𝑘 ) + 𝑐0 .
Поэтому последовательно получаем 𝑐0 ∈ ℤ ⟹ 𝑐1 ∈ ℤ ⟹ ⋯ ⟹ 𝑐𝑘 ∈ ℤ.
22
Заключение
В курсовой работе
— рассмотрены основные понятия теории многочленов от одной
переменной (определения кольца многочленов от одной переменной,
нулевого многочлена, степени многочлена, неприводимого многочлена над
полем, приводимого многочлена над полем и др.),
— изучены центральные результаты теории многочленов от одной
переменной (свойства степени многочлена, теорема о числе корней
многочлена,
теорема
о
функционально
и
алгебраически
равных
многочленах, теорема Безу, основная теорема о многочленах и др.);
— рассмотрены примеры многочленов от одной переменной;
— рассмотрены целозначные многочлены, их примеры и простейшие
свойства;
— изучены центральные результаты о целозначных многочленах
(теоремы 2.2.1-2.2.3);
— в качестве самостоятельного упражнения выполнено задание 1.
23
Список используемой литературы
1.
Прасолов В.В. Многочлены. – М.: МЦНМО, 2001.
2.
Винберг Э.Б. Курс алгебры. – М.: МЦНМО, 2011.
3.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Оникс, 2012.
4.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. В 3–х частях. Часть 1: Основы
алгебры: учебник. – М.: МЦНМО, 2009.
5.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. В 3–х частях. Часть 2: Линейная
алгебра: учебник. – М.: МЦНМО, 2012.
6.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. В 3–х частях. Часть 3: Основные
структуры алгебры: учебник. – М.: МЦНМО, 2009.
7.
Курош А.Г. Основы высшей алгебры. – СПб.: Лань, 2011.
8.
Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. – СПб.: Лань, 2007.
9.
Родина М.А., Солодовников А. С. Задачник–практикум по алгебре. – М.:
Просвещение, 1986.
10. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. – СПб.: Лань, 2007.
11. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре. – СПб.: Лань,
2008.
12. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. – СПб.: Лань, 2009.
13. http://www.13min.ru/video-uroki/video-uroki-matematikamnogochleny.html.
14. http://ipo.spb.ru/iumk2/MATH_XXI10/Modules/M_1.2/M_1.2.html.
24