1 Линейным пространством называется множество элементов

Линейные пространства. Эрмитово пространство.
Линейным пространством называется множество элементов любой природы, для которых
определены операции сложения и умножения на числа со значениями в том же множестве.
Эти операции должны обладать теми же свойствами, какими обладают соответствующие
операции над числами. В частности, должен существовать такой элемент O 0, что для любого
элемента a множества выполняется равенство a + O = a .
Если допускается умножение только на действительные числа, то пространство называется
действительным, если же на комплексные – то комплексным. Элементы линейного
пространства называются векторами.
Примеры линейных пространств.
r r
1.
Множество векторов (направленных отрезков) a , b ,... обычного пространства, либо
плоскости.
2.
Множество упорядоченных систем n действительных, либо комплексных чисел
v
r
a = ( a 1 , a 2 ,..., a n ), b = ( b1 , b 2 ,..., b n ), ....
r v
r r
Векторы a , b считаются равными, если a1 = b1 , a 2 = b2 ,..., a n = bn ; при этом пишут a = b .
Сумма
векторов и произведение вектора на число определяются следующим образом:
r
r
a + b = (a1 + b1 , a 2 + b2 ,..., a n + bn )
r
λ a = (λa1 , λa 2 ,..., λa n ) .
r
Роль нулевого элемента играет вектор 0 = (0,0,...,0) .
3.
Множество действительных или комплекснозначных функций f ( x), g ( x),... ,
определённых и непрерывных на отрезке [a, b] .
Можно рассматривать также функции от нескольких переменных.
В математике на эти функции накладываются дополнительные условия, и если они
выполнены, то линейное пространство называют гильбертовым (по имени нем. математика
Д.Гильберта).
r r r
Множество элементов a1 , a 2,..., a m линейного пространства называется линейно-зависимыми,
если существуют такие числа λ1 , λ 2 ,..., λ n , среди которых есть отличные от нуля, что
r
r r r
r
r
r
выполняется равенство λ1a1 + λ2 a 2, + ... + λm a m = 0 . то векторы a1 , a 2,..., a m называются линейно
зависимыми. Если же это равенство выполняется только при λ1 , = λ 2 = ... = λn = 0 , то векторы
называются линейно независимыми. (Другое определение линейной зависимости: векторы
линейно-зависимы, если хотя бы один из них линейно выражается через остальные).
Можно доказать, что множество векторов обычного пространства (пример 1) является
трёхмерным линейным пространством, линейное пространство из примера 2 – n -мерным
линейным пространством, множество функций из примера 3 –бесконечномерным линейным
пространством.
Определим понятие скалярного произведения в линейном пространстве.
В множестве направленных отрезков скалярное произведение определяется формулой
r^ r
r r
r r
(a , b ) =| a || b | cos(a , b ) .
В этом определении используются длины векторов и угол между
ними. Поэтому определять таким образом скалярное произведение в других линейных
пространствах нельзя. В общем случае определением скалярного произведения служит
перечисление основных свойств, которыми оно должно обладать.
Если каждой паре элементов a, b линейного пространства L поставлено в соответствие
число (a, b) так, что при этом
10 для любых a, b ∈ L выполняется равенство (a, b) = (b, a) *
20 для любого a ∈ L и любого числа λ выполняется равенство (a, λb) = λ (a, b)
30 для любых a, b ∈ L и любого числа λ выполняется равенство λ (a + b) = λa + λb
1
40 для любого a ∈ L выполняется равенство (a, a) ≥ 0 , причём (a, a) = 0 только при a = 0 ,
то говорят, что в этом пространстве задано скалярное произведение.
Если пространство действительное, то скалярное произведение (a, b) и число λ в свойствах
10– 40 предполагаются действительными, если же комплексное, то комплексными.
Свойства 10-40 называются основными потому, что остальные свойства скалярного
произведения можно получить из них как следствие. Например, справедливо равенство
(λ a, b) = λ * (a, b) , так как (λ a, b) = (b, λ a)* = (λ (b, a))* = λ * (b, a)* = λ * (a, b) .
Из свойства 10 следует, что скалярный квадрат (a, a) всегда является действительным
числом, так как при b = a получаем (a, a) = (a, a) * .
Элементы линейного пространства a, b называются ортогональными, если их скалярное
произведение равно нулю: (a, b) = 0 . Вектор a , удовлетворяющий условию || a ||= 1 , называется
единичным. Легко проверить, что если a ≠ 0 , то вектор
a
– единичный.
|| a ||
Нормой элемента a ∈ L называется число || a || = (a, a) ; если a ≠ 0 , то || a || > 0 .
Для линейного пространства из примера 2 скалярное произведение определяется
следующим образом:
(a, b) = a1*b1 + a 2 *b2 + ... + a n *bn , откуда || a || = | a1 | 2 + | a 2 | 2 +...+ | a n | 2
В линейном пространстве, элементами которого являются функции, скалярное
произведение определяется формулой
b
( f , g) =
b
∫ f * ( x) g ( x) dx , откуда || f ( x) || = ∫ | f ( x) | dx .
2
a
a
Комплексное линейное пространство, в котором определено скалярное произведение,
называется эрмитовым пространством (по имени франц. матем. Шарля Эрмита). Если же
пространство со скалярным произведением действительное, то его называют эвклидовым.
2