Тема 2-20: Аффинные пространства

Тема 2-20: Аффинные пространства
А. Я. Овсянников
Уральский федеральный университет
Институт математики и компьютерных наук
кафедра алгебры и дискретной математики
алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)
А. Я. Овсянников
Тема 2-20: Аффинные пространства
Понятие аффинного пространства является обобщением понятия
множества точек в аналитической геометрии.
А. Я. Овсянников
Тема 2-20: Аффинные пространства
Определение аффинного пространства
~ – конечномерное линейное пространство над F , V –
Пусть F – поле, V
непустое множество (его элементы называются точками и обозначаются
~ −→ V – отображение (операция
малыми латинскими буквами), + : V × V
~ называются,
откладывания вектора от точки). Элементы пространства V
как обычно, векторами, и обозначаются в этой теме малыми латинскими
буквами со стрелками: ~a.
Определение
~ , +),
Аффинным пространством над полем F называется тройка V = (V , V
если выполняются следующие условия:
1 ∀p ∈ V p + ~
0 = p,
~ (p + ~x ) + ~y = p + (~x + ~y ),
∀p ∈ V ∀~x , ~y ∈ V
→
~ : p + ~x = q (обозначение: ~x = −
3 ∀p, q ∈ V ∃!~
x ∈V
pq).
~ , +) называется dimV
~.
Размерностью аффинного пространства V = (V , V
Обозначение: dimV .
2
А. Я. Овсянников
Тема 2-20: Аффинные пространства
Примеры аффинных пространств
1. Геометрическое пространство
Множество точек – множество всех точек, рассматриваемых в геометрии;
линейное пространство – Vg ; операция откладывания вектора от точки
определена в аналитической геометрии (сл.6 т.1-12), здесь мы считаем,
−→
что A + AB = B для любых точек A, B.
2. Аффинное арифметическое пространство над полем F
−
→
V = (F n , F n , +).
Элементы множества F n рассматриваются и как точки, и как векторы, во
−
→
втором случае используется обозначение F n . Если p = (α1 , . . . , αn ) ∈ F n ,
−
→n
~x = (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ F , то по определению p + ~x = q, где
q = (α1 + ξ1 , . . . , αn + ξn ) ∈ F n .
3. Аффинное арифметическое пространство над полем R
−
→
V = (Rn , Rn , +).
4. Аффинное арифметическое пространство над полем C
−
→
V = (Cn , Cn , +).
А. Я. Овсянников
Тема 2-20: Аффинные пространства
Свойства аффинных пространств
Предложение
~ , +) – аффинное пространство над полем F . Тогда для
Пусть V = (V , V
любых p, q, r ∈ V справедливы равенства
−
→
1 p + pq = q,
2
−
→+−
→
→
pq
qr = −
pr .
Доказательство. Первое равенство следует из пункта 3 определения
аффинного пространства (сл.3). На основании пункта 2 определения
аффинного пространства и утверждения 1 получаем
→+−
→
→ +−
→
→
→+−
→
p + (−
pq
qr ) = (p + −
pq)
qr = q + −
qr = r , т.е. p + (−
pq
qr ) = r , откуда в
силу пункта 3 определения аффинного пространства следует 2.
А. Я. Овсянников
Тема 2-20: Аффинные пространства
Репер в аффинном пространстве
~ , +) – аффинное пространство над полем F , dimV = n.
Пусть V = (V , V
Определение
Репером (или системой координат) в аффинном пространстве V
называется совокупность (o; ~e1 , . . . , ~en ) из точки o ∈ V и базиса
~.
(~e1 , . . . , ~en ) линейного пространства V
Координатами точки p ∈ V в репере (o; ~e1 , . . . , ~en ) называются координаты
→ в базисе (~e , . . . , ~e ) линейного пространства V
~ . Обозначение:
вектора −
op
1
n
→ = γ ~e + . . . + γ ~e .
p(γ1 , . . . , γn ) или [p] = (γ1 , . . . , γn )> ; таким образом, −
op
1 1
n n
→ называется радиус-вектором точки p.
Вектор −
op
Предложение
Если в репере (o; ~e1 , . . . , ~en ) даны координаты точек p(γ1 , . . . , γn ) и
→ в базисе (~e , . . . , ~e ) суть
q(δ1 , . . . , δn ), то координаты вектора −
pq
1
n
→ = (δ − γ , . . . , δ − γ )> .
[−
pq]
1
1
n
n
В самом деле, согласно утверждению 2 предложения сл.5 имеем
−
→+−
→=−
→ откуда непосредственно следует требуемое.
op
pq
oq,
А. Я. Овсянников
Тема 2-20: Аффинные пространства
Замена репера
~ , +) заданы реперы
Пусть в аффинном пространстве V = (V , V
(o; ~e1 , . . . , ~en ) и (o 0 ; ~e10 , . . . , ~en0 ). Найдем связь между координатами [p] и
[p]0 точки p в этих реперах, предполагая известными координаты [o 0 ] в
репере (o; ~e1 , . . . , ~en ) и матрицу перехода T = (τij )n·n от базиса
B = (~e1 , . . . , ~en ) к базису B 0 = (~e10 , . . . , ~en0 ). Тогда B 0 = B · T . Согласно
→ −→
→=−
утверждению 2 предложения сл.5 имеем −
op
oo 0 + o 0 p, откуда
B · [p] = B · [o 0 ] + B 0 · [p]0 = B · [o 0 ] + (B · T ) · [p]0 = B · [o 0 ] + B · (T · [p]0 ) =
B · ([o 0 ] + T · [p]0 ). Таким образом, B · [p] = B · ([o 0 ] + T · [p]0 ), и потому
[p] = [o 0 ] + T · [p]0 ,
А. Я. Овсянников
[p]0 = T −1 · ([p] − [o 0 ]).
Тема 2-20: Аффинные пространства
Плоскости (линейные многоообразия)
~ , +) – аффинное пространство над полем F , dimV = n.
Пусть V = (V , V
Определение
~ ⊆V
~ – подпространство. Тогда множество
Пусть p ∈ V , U
~ называется плоскостью (или линейным многообразием)
U = {p + ~x |~x ∈ U}
~
с начальной точкой p и направляющим подпространством U.
~
Обозначение: U = p + U.
~ +) будет аффинным пространством.
Легко видеть, что тогда U = (U, U,
Его можно назвать аффинным подпространством аффинного
~
пространства V . Размерностью плоскости U называется dimU.
Обозначение: dimU. Если dimU = 0, то U = {p} также называется точкой,
при dimU = 1 U также называется прямой.
Заметим, что начальная точка всегда принадлежит плоскости.
А. Я. Овсянников
Тема 2-20: Аффинные пространства
Свойства плоскостей
Предложение
1
2
3
~ то для любой точки q ∈ U справедливо U = q + U.
~
Если U = p + U,
~ W =q+W
~ , то U ⊆ W тогда и только тогда, когда
Если U = p + U,
→∈W
~ ⊆W
~ и−
~.
U
pq
~ W =q+W
~ , то U = W тогда и только тогда, когда
Если U = p + U,
→∈W
~ =W
~ и−
~.
U
pq
→ тогда
~ Положим ~x = −
Доказательство. Покажем, что U ⊆ q + U.
pq,
~ откуда
p + ~x = q. Для любой точки r ∈ U имеем r = p + ~y , где ~y ∈ U,
~
~ ⊆ U. Если
r = p + ~x + (~y − ~x ) = q + (~y − ~x ) ∈ q + U. Покажем, что q + U
~
~
r ∈ q + U, то r = q + ~z , где ~z ∈ U, откуда
r = (p + ~x ) + ~z = p + (~x + ~z ) ∈ U. Утверждение 1 доказано.
~
Предположим, что U ⊆ W . Так как p ∈ U, имеем p ∈ W и W = p + W
→∈W
→
~ , так как q ∈ W и q = p + −
согласно утверждению 1. Отсюда −
pq
pq.
~ имеем p + ~x ∈ U, откуда p + ~x ∈ W и ~x ∈ W
~.
Далее, для любого ~x ∈ U
~
~
Таким образом, U ⊆ W .
→∈W
~ ⊆W
~ и−
~ . Тогда для любого ~x ∈ U
~ имеем
Предположим, что U
pq
−
→
−
→
→ + (~x − −
→ = q + (~x − −
→ ∈ W , так
p + ~x = p + (pq + ~x − pq) = (p + −
pq)
pq)
pq)
→∈W
~ . Утверждение 2 доказано.
как ~x , −
pq
Утверждение 3 непосредственно следует из утверждения 2.
А. Я. Овсянников
Тема 2-20: Аффинные пространства
Характеризация плоскостей с помощью прямых
~ , +) – аффинное пространство над полем F и char(F ) 6= 2.
Пусть V = (V , V
Лемма
Для любых различных точек p, q аффинного пространства существует
единственная прямая, содержащая эти точки. Обозначение: (p, q).
→ Тогда dimU = 1,
~ где U
~ = h−
Доказательство. Пусть U = p + U,
pqi.
−
→
~ – произвольная прямая,
поскольку pq 6= ~0, и q ∈ U. Пусть W = r + W
содержащая p и q. Тогда согласно утверждению 1 предложения сл.9
→∈W
→ 6= ~0 и
~ . Далее, −
~ , поскольку q ∈ W . Так как −
W =p+W
pq
pq
→
~ = 1, заключаем, что W
~ = h−
dimW
pqi.
Теорема
Непустое множество точек U аффинного пространства является
плоскостью тогда и только тогда, когдв либо U = {p}, либо для любых
различных точек p, q ∈ U имеет место (p, q) ⊆ U.
Доказательство. Пусть U – плоскость, содержащая более одной точки, и
→ ∈ U,
~ и потому −
~ откуда следует
p, q ∈ U, p 6= q. Тогда U = p + U,
pq
(p, q) ⊆ U.
А. Я. Овсянников
Тема 2-20: Аффинные пространства
Окончание доказательства теоремы
Пусть U 6= {p} и для любых различных точек p, q ∈ U имеет место
~ = {~x ∈ V
~ |p + ~x ∈ U} и
(p, q) ⊆ U. Зафиксируем p ∈ U. Положим U
~
~
~ Пусть
покажем, что U – подпространство V . Так как p ∈ U, имеем ~0 ∈ U.
~ причем ~x 6= ~y . Тогда по условию (p + ~x , p + ~y ) ⊆ U.
~x , ~y ∈ U,
~ при любом λ ∈ F .
Следовательно, p + ~x + h~y − ~x i ⊆ U и ~x + λ(~y − ~x ) ∈ U
~ ~y 6= ~0 и любого λ ∈ F имеет
Взяв ~x = ~0, получаем, что для любого ~y ∈ U,
~ т.е. U
~ замкнуто относительно умножения на любой скаляр
место λ~y ∈ U,
из F .
~ при λ = 1 (здесь используется предположение,
Для различных ~x , ~y ∈ U
2
~ откуда следует
что char(F ) 6= 2) получаем ~x + λ(~y − ~x ) = 21 ~x + 12 ~y ∈ U,
~
~
~ замкнуто
~x + ~y ∈ U. Поскольку ~x + ~x = 2~x ∈ U, заключаем, что U
~
относительно сложения. Следовательно, U – подпространство. Теорема
доказана.
Следствие
Пересечение любого множества плоскостей, если оно не пусто, является
плоскостью.
В самом деле, такое пересечение, если оно не пусто, удовлетворяет
условиям теоремы сл.10.
А. Я. Овсянников
Тема 2-20: Аффинные пространства
Пересечение двух плоскостей
Теорема
~ и W =q+W
~ – плоскости в аффинном пространстве
Пусть U = p + U
~
V = (V , V , +). Плоскости U и W имеют непустое пересечение тогда и
→∈U
~ +W
~ . Если U ∩ W 6= ∅, то
только тогда, когда −
pq
~ ∩W
~ ), где r ∈ U ∩ W .
U ∩ W = r + (U
Доказательство. Пусть U ∩ W 6= ∅ и r ∈ U ∩ W . Тогда r = p + ~x и r = q + ~y
→ + ~y ,
~ . Следовательно, p + ~x = q + ~y = p + −
~ ~y ∈ W
для некоторых ~x ∈ U,
pq
−
→
−
→
−
→
~
~
откуда ~x = pq + ~y и pq = ~y − ~x . Таким образом, pq ∈ U + W . Далее, по
~ и W =r +W
~ . Ясно,
утверждению 1 предложения сл.9 имеем U = r + U
~ ∩W
~ ) ⊆ U ∩ W . Покажем, что U ∩ W ⊆ r + (U
~ ∩W
~ ). Пусть
что r + (U
~ ~y ∈ W
~ . Так
s ∈ U ∩ W . Тогда s = r + ~x и s = r + ~y для некоторых ~x ∈ U,
~ ∩W
~ и s ∈ U ∩ W.
как ~x = ~y , заключаем, что ~x ∈ U
→∈U
→ = ~x + ~y для некоторых ~x ∈ U,
~ +W
~ . Тогда −
~
Предположим, что −
pq
pq
~
~y ∈ W . Покажем, что p + ~x = q − ~y . Имеем
→ − ~y = p + (~x + ~y − ~y ) = p + ~x . Теорема доказана.
q − ~y = (p + −
pq)
А. Я. Овсянников
Тема 2-20: Аффинные пространства
Композит двух плоскостей
~ , +). Тогда
Пусть U и W – плоскости в аффинном пространстве V = (V , V
~
U ∪ W ⊆ V . Так как V = p + V для любой точки p ∈ V , V является
плоскостью. Обозначим через hhU, V ii пересечение всех плоскостей,
включающих U ∪ W . Согласно следствию сл.11 hhU, V ii является
плоскостью.
Определение
Композитом плоскостей U и W называется плоскость hhU, V ii.
Композитом двух различных точек p, q в любом аффинном пространстве
является прямая (p, q).
В геометрическом пространстве (см. сл.4) композитом двух параллельных
или пересекающихся прямых будет проходящая через эти прямые
плоскость, а композитом двух скрещивающихся прямых – все
пространство.
А. Я. Овсянников
Тема 2-20: Аффинные пространства
Строение композита двух плоскостей
Строение композита выяснено в следующем утверждении.
Теорема
~ и W =q+W
~ – плоскости в аффинном пространстве
Пусть U = p + U
→
~ , +). Тогда hhU, V ii = p + (U
~ +W
~ + h−
V = (V , V
pqi).
→ Так как
~ , где Z
~ =U
~ +W
~ + h−
Доказательство. Положим Z = p + Z
pqi.
−
→
−
→
~ ⊆Z
~ , ясно, что U ⊆ Z . Поскольку W
~ ⊆Z
~ и qp = −pq ∈ Z
~ , в силу
U
утверждения 2 предложения сл.9 W ⊆ Z . Таким образом, hhU, V ii ⊆ Z .
~ – произвольная плоскость, включающая плоскости U и
Пусть P = r + P
W . Покажем, что Z ⊆ P. Этим будет доказано, что Z ⊆ hhU, V ii и теорема
~ В силу
будет доказана. Так как p ∈ U, имеем p ∈ P и потому P = p + P.
~ ⊆ P,
~ а из W ⊆ P —
утверждения 2 предложения сл.9 из U ⊆ P следует U
→ ∈ P.
→ ⊆P
~ и−
~ Следовательно, U
~ +W
~ + h−
~ и Z ⊆ P.
~ ⊆P
W
pq
pqi
Из доказанной теоремы и теоремы сл.12 с учетом теоремы сл.13 т.2-4
вытекает
Следствие
~ и W =q+W
~ . Тогда если U ∩ W 6= ∅, то
Пусть U = p + U
dimhhU, V ii = dimU + dimV − dim(U ∩ V ) и
~ ∩V
~ ) + 1 в противном случае.
dimhhU, V ii = dimU + dimV − dim(U
А. Я. Овсянников
Тема 2-20: Аффинные пространства
Взаимное расположение двух плоскостей
~ и W =q+W
~ – плоскости в аффинном пространстве
Пусть U = p + U
~
V = (V , V , +). Предположим, что dimU ≤ dimW ; это предположение не
ограничивает общности. Взаимное расположение плоскостей U и W
характеризуется двумя параметрами: логическим (U ∩ W = ∅ – да или
~ ∩W
~ ). При условии
нет) и целочисленным – размерностью dim(U
dimV ≥ dimU + dimW + 1 возможны 2(dimU + 1) способов взаимного
расположения плоскостей U и W . Минимальная размерность
пространства V , в котором возможно взамное расположение плоскостей U
~ ∩W
~ ), определяется из неравенства
и W с заданным значением dim(U
dimV ≥ dimhhU, V ii с помощью следствия сл.14.
Все 4 способа взаимного расположения двух прямых реализуются в
3-мерном пространстве (и изучены в аналитической геометрии).
Прямая и плоскость размерности 2 также могут располагаться 4-мя
способами, из которых в 3-мерном пространстве реализуется только 3
(прямая и плоскость размерности 2 могут скрещиваться в пространстве
размерности не меньше 4).
Две плоскости размерности 2 могут располагаться 6-ю способами, из
которых в 3-мерном пространстве реализуется только 3.
Плоскости U и W называются параллельными, если U ∩ W = ∅ и
~ ∩W
~ ) = dimU
~ (последнее условие равносильно включению U
~ ⊆W
~ ).
dim(U
Плоскости U и W называются скрещивающимися, если U ∩ W = ∅ и
~ ∩W
~ ) = 0.
dim(U
А. Я. Овсянников
Тема 2-20: Аффинные пространства
Задание плоскостей уравнениями в репере
~ , +) – аффинное пространство над полем F .
Пусть V = (V , V
Зафиксируем в нем репер (o; ~e1 , . . . , ~en ). Зафиксируем также набор
функций gj : F n −→ F (j = 1, . . . , k).
Определение
Геометрическим образом системы уравнений gj (x1 , . . . , xn ) = 0
(j = 1, . . . , k) относительно репера (o; ~e1 , . . . , ~en ) называется множество
всех точек p, строки координат которых в данном репере являются
решениями этой системы уравнений. Будем говорить также, что система
уравнений определяет свой геометрический образ, и что геометрический
образ задается системой уравнений.
Теорема
Совместная система линейных уравнений от n неизвестных над полем F с
основной матрицей A ранга r определяет в пространстве V плоскость
размерности n − r . Обратно, любая плоскость размерности d задается
системой из n − d линейных уравнений от n неизвестных над полем F .
А. Я. Овсянников
Тема 2-20: Аффинные пространства
Доказательство
Пусть A · x = b – совместная система линейных уравнений от n
неизвестных над полем F , где A ∈ F k×n , b ∈ Fk . Положим
~ = {~x ∈ V
~ |A · [~x ] = O}. Тогда для p, q ∈ U
U = {p ∈ V |A · [p] = b} и U
−
→
согласно предложению сл.6 имеем [pq] = [q] − [p], откуда
→ = A · ([q] − [p]) = A · [q] − A · [p] = b − b = O, т.е. −
→ ∈ U.
~
A · [−
pq]
pq
~
Зафиксируем p0 ∈ U. Тогда ясно, что U = p0 + U. Так как
~ изоморфно пространству решений однородной
подпространство U
системы линейных уравнений A · x = O, с помощью теоремы сл.8 т.2-6
заключаем, что dimU = n − r .
~ и dimU = d . Выберем в U
~ базис (~a1 , . . . ,~ad ). С
Обратно, пусть U = p + U
помощью теоремы сл.15 т.2-6 построим однородную систему A · x = O
линейных уравнений (из n − d уравнений), задающую линейную оболочку
системы строк [~a1 ]> , . . . , [~ad ]> . Положим b = A · [p]. Тогда геометрический
образ системы линейных уравнений A · x = b совпадает c U. Теорема
доказана.
А. Я. Овсянников
Тема 2-20: Аффинные пространства
Гиперплоскости
Определения
В случае задания плоскости системой линейных уравнений эти уравнения
называются координатными уравнениями данной плоскости.
Плоскость, заданная одним координатным уравнением, имеющим по
крайней мере один ненулевой коэффициент, называется гиперплоскостью.
Гиперплоскость в n-мерном аффинном пространстве является плоскостью
размерности n − 1. В 2-мерном геометрическом пространстве (на обычной
плоскости в 3-мерном геометрическом пространстве) гиперплоскостями
будут прямые, а в 3-мерном геометрическом пространстве – обычные
плоскости.
В силу теоремы сл.16 каждая плоскость является пересечением конечного
семейства гиперплоскостей (каждое уравнение системы определяет
гиперплоскость).
А. Я. Овсянников
Тема 2-20: Аффинные пространства
Параметрические уравнения плоскости
~ , +) – аффинное пространство над полем F . Зафиксируем
Пусть V = (V , V
в нем репер (o; ~e1 , . . . , ~en ). Рассмотрим отличную от точки плоскость
~ и выберем в U
~ базис ~a1 , . . . ,~ad . Тогда любая точка q ∈ U
U =p+U
может быть представлена в виде q = p + ξ1~a1 + . . . + ξd ~ad , откуда следует
равенство [q] = [p] + ξ1 [~a1 ] + . . . + ξd [~ad ]. Положим [~aj ] = (α1j , . . . , αnj )> ,
[p] = (β1 , . . . , βn )> , [q] = (x1 , . . . , xn )> . Получаем систему равенств
Параметрические уравнения плоскости

x1 = β1 + α11 ξ1 + . . . + α1d ξd ,



x2 = β2 + α21 ξ1 + . . . + α2d ξd ,
..............................................



xn = βn + αn1 ξ1 + . . . + αnd ξd .
Эти равенства естественно назвать параметрическими уравнениями
плоскости U. Здесь βj и αij – фиксированные скаляры, причем d =
= r((αij )n×d ), а ξ1 , . . . , ξd – независимые параметры, пробегающие поле F .
Параметрические уравнения получаются из координатных путем решения
системы линейных уравнений и записи общего решения в виде системы
линейных уравнений (см. сл.7 т.2-6).
Наиболее важны параметрические уравнения прямой в аффинном
пространстве xj = βj + αj t (j = 1, . . . , n, αj 6= 0 при некотором j).
А. Я. Овсянников
Тема 2-20: Аффинные пространства
Евклидовы аффинные пространства
Определение
~ , +) над полем действительных чисел
Аффинное пространство V = (V , V
~ – евклидово пространство.
R называется евклидовым, если V
Тогда V превращается в метрическое пространство путем определения
→ Проверим аксиомы
расстояния между точками p, q ∈ V : ρ(p, q) = |−
pq|.
метрического пространства. Ясно, что ρ(p, q) ≥ 0, ρ(p, q) = 0 ⇔ p = q,
→
→+−
→
→ + |−
→
ρ(p, q) = ρ(q, p). Так как |−
pr| = |−
pq
qr| ≤ |−
pq|
qr|, заключаем, что
ρ(p, r ) ≤ ρ(p, q) + ρ(q, r ).
Примеры: геометрические пространства на плоскости или в пространстве;
−
→
аффинные арифметические пространства (Rn , Rn , +) над полем R при
n = 2, 3, . . ..
А. Я. Овсянников
Тема 2-20: Аффинные пространства
Расстояние от точки до плоскости
Пусть U – плоскость, p ∈ V .
Определение
Расстоянием от точки p до плоскости U называется inf{ρ(p, r )|r ∈ U}.
Обозначение: ρ(p, U).
Предложение
~ – плоскость, p ∈ V . Тогда ρ(p, U) = |~z |, где ~z –
Пусть U = q + U
→ относительно U.
~
ортогональная составляющая вектора −
pq
→ = ~y + ~z , где ~y ∈ U,
~ ~z ∈ U
~ ⊥ . Возьмем r ∈ U,
Доказательство. Запишем −
pq
~ Так как
тогда r = q + ~x для некоторого ~x ∈ U.
−
→
→+−
→
~ имеем
pr = −
pq
qr = ~y + ~z + ~x = ~z + ~u , где ~u = ~y + ~x ∈ U,
−
→
2
~
~z 2 + ~u 2 = |~z |2 + |~u|2 ,
ρ(p, r ) = |pr| = |~z + ~u|. Далее, |~z + ~u|2 = (~z +
u
)
=
q
поскольку ~z ⊥ ~u . Таким образом, ρ(p, r ) = |~z |2 + |~u|2 ≥ |~z | и ρ(p, r ) = |~z |
→
при ~u = ~0, т.е. при таком выборе точки r , что −
qr = −~y . Предложение
доказано.
А. Я. Овсянников
Тема 2-20: Аффинные пространства
Расстояние между плоскостями
Определение
Расстоянием между плоскостями U и W евклидова аффинного
пространства называется число inf{ρ(p, r )|p ∈ U, r ∈ W }. Обозначение:
ρ(U, W ).
Предложение
~ W =q+W
~ – плоскости. Тогда ρ(U, W ) = |~z |, где ~z –
Пусть U = p + U,
→ относительно подпространства
ортогональная составляющая вектора −
pq
~
~
U + W.
Доказательство. Пусть r ∈ U, s ∈ W , т.е. r = p + ~x , s = q + ~y для
→
→
→
→
→+−
→
~ ~y ∈ W
~ . Тогда −
некоторых ~x ∈ U,
ps = −
pr + −
rs и −
ps = −
pq
qs, откуда
−
→
−
→
−
→
−
→
→ = ~u + ~z , где
~x + rs = pq + ~y . Следовательно, rs = pq − ~x + ~y . Запишем −
pq
−
→
⊥
~
~
~
~
~u ∈ U + W , ~z ∈ (U + W ) . Тогда rs = ~u + ~z − ~x + ~y = ~v + ~z , где
~ +W
~ . Имеем
~v = ~u − ~x + ~y ∈ U
2
→
→
|−
rs | = −
rs 2 = (~vq
+ ~z )2 = ~v 2 + ~z 2 = |~v |2 + |~z |2 , поскольку ~v ⊥ ~z . Значит,
→
ρ(r , s) = |−
rs | = |~v |2 + |~z |2 ≥ |~z |. Выбрав точки r , s так, чтобы
~v = ~u − ~x + ~y = ~0, получим ρ(r , s) = |~z |. Предложение доказано.
А. Я. Овсянников
Тема 2-20: Аффинные пространства
Расстояние от точки до гиперплоскости
~ , +) – аффинное евклидово пространство, (o; ~e1 , . . . , ~en ) –
Пусть V = (V , V
репер в нем и базис (~e1 , . . . , ~en ) – ортонормированный. Рассмотрим
гиперплоскость U, заданную в этом репере уравнением α1 x1 + α2 x2 + . . . +
+αn xn = β. Вектор ~n с координатами [~n] = (α1 , α2 , . . . , αn )> называется
~ то U
~
нормальным вектором гиперплоскости U. Если записать U = p + U,
состоит из всех векторов, координаты которых удовлетворяют уравнению
~⊥ и U
~ ⊥ = h~ni.
α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn = 0. Следовательно, ~n ∈ U
Предложение
Расстояние от точки q(γ1 , γ2 , . . . , γn ) до гиперплоскости U, заданной
уравнением α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn = β, может быть вычислено по
|α1 γ1 + α2 γ2 + . . . + αn γn − β|
p
формуле ρ(q, U) =
.
α12 + α22 + . . . + αn2
Доказательство. Пусть p ∈ U и [p] = (β1 , β2 , . . . , βn )> . Тогда α1 β1 + α2 β2 +
→
+ . . . + αn βn = β. Пусть ~z – ортогональная составляющая вектора −
pq
−
→
~
~
относительно U. Тогда ~z = δ~n. Запишем pq = ~y + ~z , где ~y ∈ U. Умножим
→ ~n) = (~y , ~n) + (~z , ~n) = δ~n2 . Отсюда
это равенство скалярно на вектор ~n: (−
pq,
−
→
−
→ n)
|(pq, ~n)|
→ = (γ − β , . . . , γ − β )> ,
δ = (pq,~
и |~z | = |δ||~n| =
. Так как [−
pq]
1
1
n
n
~
n2
|~n|
→ ~n) = α (γ − β ) + . . . + α (γ − β ) = α γ + . . . + α γ −
имеем (−
pq,
1 1
1
n n
n
1 1
n n
−(α1 β1 + . . . + αn βn ) = α1 γ1 + . . . + αn γn − β, откуда следует требуемое.
А. Я. Овсянников
Тема 2-20: Аффинные пространства
Квадрики в аффинном пространстве
~ , +) – аффинное пространство над полем F , char(F ) 6= 2
Пусть V = (V , V
и dimV = n. Пусть A ∈ F n×n – ненулевая симметрическая матрица,
b ∈ F n , x = (x1 , . . . , xn )> – столбец из неизвестных. Рассмотрим уравнение
x > · A · x + b · x + γ = 0,
(1)
где γ ∈ F . Это алгебраическое уравнение 2-й степени с n неизвестными.
Определение
Квадрикой в аффинном пространстве V называется геометрический образ
алгебраического уравнения 2-й степени с n неизвестными относительно
некоторого репера (o; ~e1 , . . . , ~en ).
Теорема
При изменении репера уравнение квадрики, заданной исходным
уравнением (1) остается алгебраическим уравнением 2-й степени с n
неизвестными.
За счет изменения репера уравнение (1) может быть приведено к одному
из следующих видов (r = r(A), λ1 , . . . , λr , µr +1 ∈ F \ {0}, δ ∈ F ):
1
λ1 y12 + . . . + λr yr2 + δ = 0,
2
λ1 y12 + . . . + λr yr2 + µr +1 yr +1 = 0.
А. Я. Овсянников
Тема 2-20: Аффинные пространства
Доказательство
Заметим, что в уравнении (1) x > · A · x – квадратичная форма от
переменных x1 , . . . , xn , b · x – линейная форма от тех же переменных. При
переходе от исходного репера (o; ~e1 , . . . , ~en ) к другому реперу
(o 0 ; ~e10 , . . . , ~en0 ) координаты точки p связаны формулой [p] = [o 0 ] + T · [p]0
(сл.7), где T – матрица перехода от базиса (~e1 , . . . , ~en ) к базису
(~e10 , . . . , ~en0 ). Полагая c = [o 0 ] и y = (y1 , . . . , yn )> , для преобразования
уравнения получаем формулу x = c + T · y . Имеем
(c + T · y )> · A · (c + T · y ) + b · (c + T · y ) + γ = 0. Преобразуем левую
часть: (c > + (T · y )> ) · (A · c + A · T · y ) + b · c + b · T · y + γ =
c> · A · c + c> · A · T · y + y > · T > · A · T · y + y > · T > · A · c + b · c + b · T · y + γ =
y > · (T > · A · T ) · y + (c > · A + b) · T · y + y > · T > · A · c + c > · A · c + b · c + γ.
Так как матрица y > · T > · A · c – квадратная порядка 1, имеем
y > · T > · A · c = (y > · T > · A · c)> = c > · A> · T · y , и преобразованное
уравнение приобретает окончательный вид
y > · (T > · A · T ) · y + (c > · (A + A> ) + b) · T · y + c > · A · c + b · c + γ = 0. (2)
Так как T – невырожденная матрица, r(T > · A · T ) = r(A). В частности,
T > · A · T 6= O и полученное уравнение является алгебраическим уравнением 2-й степени с n неизвестными, так как (c > · (A + A> ) + b) · T ∈ F n и
c > · A · c + b · c + γ ∈ F . Первое утверждение теоремы доказано.
А. Я. Овсянников
Тема 2-20: Аффинные пространства
Окончание доказательства
Заменим исходный репер (o; ~e1 , . . . , ~en ) репером (o; ~e10 , . . . , ~en0 ) с тем же
началом и матрицей перехода T , для которой замена переменных
x = T · y приводит квадратичную форму x > · A · x к каноническому виду
(сл.14 т.2-19). Тогда, так как r = r(A), уравнение (2) примет вид
λ1 y12 + . . . + λr yr2 + µ1 y1 + . . . + µn yn + ν = 0 Выделяя полные квадраты и
µ1
µr
перенося начало координат в точку o 0 (− 2λ
, . . . , − 2λ
, 0, . . . , 0) (нули возr
1
никают при r < n), получаем при r = n уравнение λ1 z12 + . . . + λn zn2 + δ = 0,
а при r < n – λ1 z12 + . . . + λr zr2 + µr +1 zr +1 + . . . + µn zn + κ = 0. Если во
втором случае µj = 0 при j = r + 1, . . . , n, то утверждение доказано.
Если µj 6= 0 при некотором j = r + 1, . . . , n, то P
зафиксируем такой индекс
и сделаем замену uk = zk при k 6= j, uj = zj + r +1≤`≤n,`6=j µµ` z` .
j
Уравнение примет вид λ1 u12 + . . . + λr ur2 + µj uj + κ = 0 Поменяв местами в
базисе (~e10 , . . . , ~en0 ) векторы ej0 и er0+1 , если j 6= r + 1, и сделав
параллельный перенос, чтобы избавиться от κ, если κ 6= 0, получим
требуемое. Теорема доказана.
А. Я. Овсянников
Тема 2-20: Аффинные пространства
Аффинные отображения
~ , +), W = (W , W
~ , +) – аффинные пространства над
Пусть V = (V , V
полем F .
Определение
Аффинным отображением аффинного пространства V в пространство W
~ ,W
~)и
~ где A : V −→ W , A
~ ∈ Hom(V
называется пара отображений (A, A),
~ имеет место равенство A(p + ~x ) = Ap + A~
~x .
для любых p ∈ V , ~x ∈ V
Последнее условие из определения аффинного отображения равносильно
тому, что для любых точек p, q ∈ V имеет место равенство
−−−→
→ =−
~ −
A(
pq)
ApAq.
Примеры аффинных отображений
1
Аффинным отображением аффинного пространства V на себя
~ , определяемый следующим образом:
является сдвиг на вектор ~a ∈ V
~
T~a (p) = p + ~a, T~a = E.
2
Аффинным отображением аффинного пространства V на себя
является центроаффинное преобразование, определяемое так:
~ ) – произвольный линейный оператор, c ∈ V –
~ ∈ Hom(V
A
→ для любой точки
~ −
фиксированная точка (центр), Ap = c + A(
cp)
p ∈ V.
А. Я. Овсянников
Тема 2-20: Аффинные пространства
Изоморфизмы аффинных пространств
~ , +), W = (W , W
~ , +) – аффинные пространства над
Пусть V = (V , V
полем F .
Определение
~ аффинного пространства V на
Аффинное отображение (A, A)
пространство W называется изоморфизмом, если A является биекцией V
~ на W
~.
~ – изоморфизмом V
на W , а A
Оказывается, условия из определения изоморфизма аффинных
пространств эквивалентны.
Теорема
~ аффинного пространства V
Для любого аффинного отображения (A, A)
на пространство W отображение A является биекцией тогда и только
~ является изоморфизмом.
тогда, когда A
Доказательство. Пусть отображение A : V −→ W является биекцией.
Зафиксируем точку p ∈ V . Так как A сюръективно, для любого вектора
~ существует точка q ∈ V такая что Aq = Ap + ~y . Тогда
~y ∈ W
−−−→
→ =−
~ −
~ – сюръективное отображение. Пусть A~
~ x = ~0.
A(
pq)
ApAq = ~y , т.е. A
Тогда A(p + ~x ) = Ap, откуда в силу инъективности A следует ~x = ~0.
~ – инъективное отображение и изоморфизм.
Следовательно, A
А. Я. Овсянников
Тема 2-20: Аффинные пространства
Изоморфные аффинные пространства
~ является изоморфизмом. Зафиксируем точку
Пусть линейный оператор A
−−−→
p ∈ V . Для любой точки r ∈ W положим ~y = A(p)r ; в силу
~ существует ~x ∈ V такой что A~
~ x = ~y . Следовательно,
сюръективности A
−−→
~ x = A(p) + ~y = A(p) + −
A(p + ~x ) = A(p) + A~
A(p)r = r . Таким образом, A
сюръективно. Докажем, что A инъективно. Пусть Ap = Aq для некоторых
−−−−−−→
→ = ~0. В силу инъективности A
~ −
~
p, q ∈ V . Тогда A(p)A(q) = ~0, откуда A(
pq)
−
→
получаем pq = ~0 и p = q. Теорема доказана.
Определение
~ , +), W = (W , W
~ , +) над полем F
Аффинные пространства V = (V , V
~
называются изоморфными, если существует изоморфизм (A, A)
−1 ~ −1
пространства V на пространство W (при этом (A , A ) является
изоморфизмом пространства W на пространство V ).
Теорема
~ , +), W = (W , W
~ , +) над полем F
Аффинные пространства V = (V , V
изоморфны тогда и только тогда, когда dimV = dimW .
Доказательство обеспечивается теоремой сл.13 т.2-8 и теоремой сл.28.
А. Я. Овсянников
Тема 2-20: Аффинные пространства
Изометрии аффинных евклидовых пространств
~ , +) – аффинное евклидово пространство и dimV = n.
Пусть V = (V , V
Определение расстояния между точками аффинного евклидова
пространства см. на сл.20.
Определение
Отображение A : V −→ V называется изометрией, если
ρ(p, q) = ρ(Ap, Aq) для любых p, q ∈ V .
Примеры изометрий
1
2
~ (см. сл.27).
Изометрией является сдвиг на вектор ~a ∈ V
Изометрией является центроаффинное преобразование, у которого
линейный оператор является ортогональным. Такое преобразование
называется ортогональным с центром c.
Предложение
Произведение изометрий является изометрией.
Доказательство. Пусть A, B – изометрии. Тогда для любых p, q ∈ V
имеем ρ(B(Ap), B(Aq)) = ρ(Ap, Aq) = ρ(p, q), что и требуется доказать.
А. Я. Овсянников
Тема 2-20: Аффинные пространства
Характеризация изометрий
Теорема
Любая изометрия есть аффинное отображение и является произведением
сдвига и ортогонального центроаффинного преобразования.
Доказательство. Пусть A – изометрия. Предположим сначала, что A
имеет неподвижную точку c и докажем, что A – ортогональное
−−−−−−→
~ положим A~
~x = −
преобразование с центром c. Для x ∈ V
cA(c + ~x ).
~ – ортогональный оператор. Поскольку Ac = c, имеем
Докажем, что A
~
~ получаем ρ(A(c + ~x ), A(c + ~y )) =
~
~
A0 = 0. Из определения A
−−−−−−−−−−−−−→
~ y − A~
~ x |. Так как A – изометрия,
= |A(c + ~x )A(c + ~y )| = |A~
ρ(A(c + ~x ), A(c + ~y )) = ρ(c + ~x , c + ~y ) = |~y − ~x |. Следовательно,
~ . Согласно теореме сл.31 т.2-18
~ y − A~
~ x | = |~y − ~x | для любых ~x , ~y ∈ V
|A~
~
отображение A – ортогональный оператор.
Предположим, что A не имеет неподвижных точек. Зафиксируем c ∈ V и
−−−→
положим ~a = A(c)c. Возьмем сдвиг T~a и положим B = T~a A. Согласно
предложению сл.30 B – изометрия. Она имеет неподвижную точку c:
−−−→
Bc = T~a (Ac) = Ac + A(c)c = c. Согласно доказанному в предыдущем
абзаце B – ортогональное преобразование с центром c. Следовательно,
B = T~a A, откуда A = T~a−1 B. Так как T~a−1 = T−~a , получаем A = T−~a B.
Теорема доказана.
А. Я. Овсянников
Тема 2-20: Аффинные пространства