Теория чисел План: Введение 1 История o 1.1 Древняя Греция o 1.2 Средневековье o 1.3 Ферма o 1.4 Эйлер o 1.5 Лагранж, Лежандр, Гаусс o 1.6 Современная теория чисел 2 Избранные проблемы теории чисел 3 Разделы теории чисел o 3.1 Элементарная теория чисел o 3.2 Алгебраическая теория чисел o 3.3 Аналитическая теория чисел o 3.4 Геометрическая теория чисел Источники Введение Теория чисел и выше арифметика - отрасль математики, которая началась с изучения некоторых свойств натуральных чисел, связанных с вопросами делимости и решения уравнений в натуральных (а впоследствии также целых) числах. В теории чисел в широком смысле рассматриваются как алгебраические, так и трансцендентные числа, а также функции различного происхождения, которые связаны с арифметикой целых чисел и их обобщений. В исследованиях по теории чисел, наряду с элементарными и алгебраическими методами применяются геометрические и аналитические. 1. История Теория чисел происходит из далекого прошлого, вавилонская глиняная табличка Plimpton 322 (18 в. до н.э.) содержит список целых решений уравнения , Позже названных пифагоровых тройками, числа в ней достаточно большие, чтобы быть найденными простым перебором. 1.1. Древняя Греция Весомый вклад в становление теории чисел оказали пифагорейцы, Евклид и Диофант. Часть книги Евклида Начала посвящена простым числам и делимости чисел, в частности он разработал алгоритм нахождения наибольшего общего делителя двух чисел ( алгоритм Евклида) и доказал бесконечность множества простых чисел. Вопрос о простые числа, со времен Евклида и по сей день, составляют одну из ведущих тем в теории чисел. Диофант Александрийский, в отличие от всех предыдущих математиков древней Греции, что решали задачи классической алгебры описывая их геометрически, использовал алгебраические сроки для задач, которые теперь относятся к алгебраической геометрии. За что вошел в историю математики как "отец алгебры". В своем труде "Арифметика", он перечисляет проработаны задачи по нахождению рациональных решений для систем полиномних уравнений. Теперь такие уравнения называются диофантовых. 1.2. Средневековье В работах Ариабхаты встречается аналог алгоритма Евклида. Брамагупта изучал Диофантом уравнений второй степени, в частности уравнение, которое позже назвали уравнения Пелля. Китайские математики известны своей теоремой об остатках, для доказательства которой требуется алгоритм Евклида. Многие произведения греческих и индийских математиков были переведены на арабский, в том числе "Арифметика" Диофанта и "Брама-спхута-сиддханта" Брамагупты. Это дало начало математике в арабских странах. В Европе, за исключением работы Фибоначчи о квадраты в арифметических прогрессиях, работы по теории чисел стали появляться только в период позднего Ренессанса после перевода "Арифметики" Диофанта на латынь. 1.3. Ферма Пьер Ферма (1601-1665) тщательно изучал "Арифметику" Диофанта, сначала его заинтересовали совершенные и дружественные числа, а затем Диофантом уравнения. Работы Ферма в теории чисел включает: Малую теорему Ферма : если a не делится на простое число p, тогда Теорема Ферма о сумме двух квадратов : если a и b взаимно просты, то не делится ни на какое простое число, равно -1 по модулю 4. Произвольное простое число равно 1 по модулю 4 может быть записано в форме формулировки Великой теоремы Ферма (1637): нет развязки в целых числах уравнения для всех Ферма привел доказательства для случая Попытки доказать великую теорему Ферма оказались чрезвычайно плодотворными для развития теории чисел, они привели к возникновению алгебраической теории чисел и, в определенной степени, абстрактной алгебры. 1.4. Эйлер Леонард Эйлер (1707-1783) начал интересоваться теорией чисел через задачи, сформулированные Ферма. Работы Эйлера в теорию чисел включает: Наведение доказательство для многих задач сформулированных Ферма и их обобщения. Доказательство великой теоремы Ферма для случая Связь между уравнением Пелля и цепными дробями. Начала аналитической теории чисел: сумма четырех квадратов, разбиение числа, пятиконечные числа, распределение простых чисел. Нашел порт между диофантовых уравнениями и эллиптическими интегралами. 1.5. Лагранж, Лежандр, Гаусс Лагранж (1736-1813) первым обобщил работы Ферма и Эйлера, от изучения уравнения Пелля он перешел к квадратичных форм. Лежандр (1752-1833) сформулировал квадратичный закон взаимности, доказал великую теорему Ферма для Гаусс (1777-1855) в своей книге Disquisitiones Arithmeticae (1798) доказал закон квадратичной взаимности, завершил разработку теории квадратичных форм, ввел обозначения для равенства чисел по модулю, разработал тесты простоты. 1.6. Современная теория чисел Работы Галуа, Дирихле, Римана и многих других продемонстрировали производительность аналитического направления в решении теоретико-числовых вопросов. Для нужд теории чисел были теперь использовались такие современные разделы математики как: комплексный анализ, теория групп, теория Галуа. 2. Избранные проблемы теории чисел Одна из привлекательных черт теории чисел - это огромное количество обманчиво простых вопросов, которые в то же время принадлежат к самым глубоким в математике. Это означает, что любое заинтересованное в математике человек может выйти с новой и привлекательной проблемой, формулировка которой не требует специальных знаний, и начать исследования по ней, получая предварительные результаты, но может случиться, что полный ответ неизвестна и требует совершенно новых идей, а часто и методов из совсем других областей математики, порой приводя к возникновению целого раздела математики. Немало вопросов теории чисел остаются открытыми на протяжении веков (например, великая теорема Ферма), и даже тысячелетий (см. проблема конгруэнтных чисел). Это особенно касается вопросов о простые числа. К тому же, любая уже решена проблема теории чисел с небольшим изменением условий ведет к новым, которые могут как намного легче, так и намного тяжелее исходное вопрос. В этом можно убедиться просмотрев следующую таблицу, в которой приведены некоторые из многих известных проблем теории чисел, в равной степени увлекали, и до сих пор восхищают, и любителей, и огромных мыслителей от глубокой античности и по настоящее время. Проблема Описание Произвольно большие простые числа. Существуют произвольно большие простые числа? Как их найти? Факторизация целых чисел. Разложить данное целое число в произведение простых. Комментарий Евклид доказал существование бесконечного количества простых чисел. Эратосфен предоставил метод проверки на простоту с помощью решета Эратосфена. Эффективные методы генерации больших простых чисел составляют чрезвычайно большой интерес криптографии. В 2002 г. Агравал-КайалСаксена доказали, что проверка на простоту может быть выполнена с полиномиальное время. Благодаря запросам по криптографии, разработано немало методов, но неизвестно, существует алгоритм факторизации по полиномиальное время. Шор изобрел такой алгоритм для квантового компьютера. Эйлер доказал, что любое четное совершенное число имеет вид Совершенное число равно сумме собственных делителей, Совершенные числа Наименьшие совершенные числа: и Найти все четные совершенные числа. Существуют нечетные совершенные числа? где - простое число Мерсенна. Неизвестно, конечное множество Мерсеннових простых. Неизвестно, существуют ли нечетные совершенные числа, но доказано, что если это так, то они должны быть очень большими. Два числа - дружеские, если каждое из Табит ибн Курри предоставил в 9 ст. правило них равно сумме делителей другого, для нахождения дружественных чисел, например, которое было переоткрыто Ферма и Декартом и обобщенно Ейлером, який також открытие которых Дружественные знайшов непарні дружні числа. Невідомо, чи приписывается Пифагору. числа. існує нескінченна кількість дружніх чисел, Предоставить формулы для нахождения але Боро висунув гіпотезу, що це так, і підтримав її обширними обчисленнями за дружественных чисел. Существуют допомогою комп'ютера. нечетные дружественные числа? Невідомо. Із abc гіпотези випливає велика теорема Ферма. abc гіпотеза Гіпотеза Гольдбаха. Постулат Бертрана. Формула для простих чисел. Будь-яке парне натуральне число є сумою двох простих. Невідомо. Восьма проблема Гільберта. Доведений Чебишевим елементарними методами. В аналогічному питанні про Для будь-якого існує принаймні існування простого між и одне просте число між и (гіпотеза Лежандра) очікується позитивна відповідь, але це ще не доведено. Ейлер знайшов поліном , всі значення якого - прості. Загальна відповідь Знайти формулу, яка надаватиме прості для невідома, але вважається, що точної числа. формули не існує. Поліном Матіясевича (від багатьох змінних) має властивість, що всі його додатні значення є простими. Асимптотична форма закона Закон розподілу Знайти кількість простих чисел. менших за простих чисел, доведена Адамаром і Ле Валле-Пуссеном за допомогою комплексного аналізу, а також Ердьошем і Сельбергом елементарними методами. Ріман відкрив явну формулу для через нулі дзета-функції Дійсна частина будь-якого нуля ріманової дзета-функції Гіпотеза Рімана. у смузі належать до прямої Невідомо. Одна з проблем тисячоліття. Невідомо. Але на відміну від всіх простих, Скінченна чи нескінченна множина пар ряд розповсюджений на простіпростих чисел вигляду ? близнюки, збігається. Також невідомо, чи скінченна множина простих Софі Жермен. Чи існує нескінченно багато простих За теоремою Діріхле про прості в чисел вигляду где - дані арифметичних прогресіях, доведенною у 19 взаємно прості числа? Арифметичні ст., відповідь на перше питання - так. прогресії Чи існує арифметична прогресія, яка простих чисел. складається виключно з простих чисел і Друге питання розв'язано у 2004 г. Беном Гріном і Теренсом Тао, і відповідь - так. довжина якої перевищує довільно велике натуральне число? Перші трансцендентні числа знайшов Ліувілль за допомогою діофантових Чи існують числа, які не задовільняють наближень. Трансцендентність доведена жодному алгебраїчному рівнянню з Ермітом, а - Ліндеманном. З теореми Трансцендентні раціональними коефіцієнтами, Ліндеманна випливає неможливість трансцендентні числа ? Алгебраїчні чи числа квадратури круга. Трансцендентність где трансцендентні числа - алгебраїчне число і - дійсне ірраціональне число доведена Гельфондом і Шнайдером. Прості числаблизнюки. Піфагорові трійки. Знайти всі трійки для яких виконується цілих чисел, Уравнение с Велика теорема має розв'язків у цілих числах Ферма. Рівняння Пелля. Знайти всі розв'язки рівняння у цілих числах. не Розв'язано за античних часів. Одна з найвпливовіших проблем в історії математики. Ферма навів доведення для і стверджував, що знайшов доведення у загальному випадку, яке або ніколи не існувало, або було втрачено. В 19 в. докладно досліджена, напередусім, Куммером, який довів її для всіх менших за 100 за допомогою вивчення однозначності факторизації у циклотомічних полях. Майже за 350 років після Ферма, у 1994 р. остаточно доведена Ендрю Вайлсом, який задля цього довів окремі випадки гіпотези Таніями-Шимури. Розв'язано індійськими математиками, і незалежно і пізніше - європейськими. Якщо замінити праву частину на ще й досі невідомо, для яких існуватиме розв'язок. Представлення цілих чисел сумами квадратів. Розв'язання довільних діофантових рівнянь. Критерій представлення сумою двох квадратів було сформульовано Ферма і доведено Ейлером, для трьох квадратів маємо результат Гауса. По теоремою Лагранжа (18 ст.), будь-яке натуральне число є сумою чотирьох квадратів. Визначити умови, за яких дане натуральне число є сумою квадратів і Питання кількості представлень вивчалося надати формулу для кількості багатьма видатними математиками (Гаус, представлень. Якобі, Мінковський, Рамануджан), але повна відповідь відома лише для спеціальних значень та декількох інших. У 2005 р. Конен і Імамоглу досягли часткової відповіді для парних Знайти алгоритм для з'ясування того, чи Неможливість існування такого алгоритму має дане діофантове рівняння розв'язки доведена Матіясевичем. Для довільного у цілих числах (десята проблема алгебраїчного числового поля, питання Гільберта). залишається відкритим (2007 р.). Если - прості числа, то виконується Квадратичний закон взаємності Гауса. символ Лежандра Гаус надав принаймні шість доведень свого закону. Певні узагальнення на алгебраїчні числові поля було отримано Е.Артіном і где Шафаревичем, але найбільш загальний закон взаємності ще досі не знайдено (дев'ята проблема Гільберта), хоча його існування дорівняє якщо випливає з гіпотез Ленглендса. и в ціле - квадрат іншому випадку. Чи виконується у кільці Однозначність факторизації цілих алгебраїчних чисел. цілих циклотомічних чисел однозначність факторизації на прості множники? Те саме питання для цілих алгебраїчних чисел у квадратичному полі Спеціальні значення Эйлер точно вычислил в положительных четных точках и отрицательных нечетных точках, доказав, Знайти суму ряда цілих значень для что и - Рациональные числа (рассмотрение значений требует надлежащего обоснования, так как ряд не совпадает!) Эти результаты Эйлера неоднократно обобщались и совершили огромное влияние на дальнейшее развитие теории чисел. Точное значение не найдено, но в 1978 г. АПЕР элементарными методами доказал его иррациональность. Неизвестно, рациональные Рамануджан нашел, но не довел, немало свойств функции например ее мультипликативность: если - взаимнопростые числа. Это было доказано Морделом и обобщены Гекке. До сих пор Арифметические Исследовать арифметические свойства коэффициентов Фурье модулярных свойства коэффициентов форм, например формы Рамануджана аналитических функций. неизвестно, может (гипотеза Лемера). равен нулю Коэффициенты мероморфных модулярных функций, таких как модулярных инвариант совершенно неожиданно представились связанные с наибольшей спорадической конечной простой группой Монстром. Часть этого monstrous moonshine доказал Борчердс. Kronecker's Judentraum Кронекер и Вебер доказали, что любое Если заменить рациональные числа на конечное абелева расширения поля гауссовские числа, или, более общим рациональных чисел - циклтомичне, т.е. образом, произвольное мнимое квадратичное находится в поле поле то за теорией построенном присоединением значений комплексного умножения надлежащие экспоненциальной функции. функции - это модулярные функции тесно Найти функции, с помощью которых можно построить абелевы расширения произвольного числового поля (Двенадцатая проблема Гильберта). Гипотеза Морделла. Уравнение где Полином с рациональными коэффициентами и род соответствующей алгебраической кривой больше единицы, имеет лишь связаны с модулярным инвариантом Известны еще некоторые обобщения (Шимура, Мазур-Уайлс), но вообще проблема остается открытой. "Общий" полином степени четыре и выше удовлетворяет условию гипотезы. Для степени две проблемы была предварительно решена Лежандром : решений или вообще не существует, или бесконечно много, и есть простой критерий, который отличает эти случаи. Для степени три получаем конечное множество решений в рациональных числах. эллиптическую кривую, для которых вопрос конечности или бесконечности числа решений до сих пор изучаются. Гипотеза Морделла была доказана в 1982 г. Фальтингсом. Рациональность дзета-функции доказана Гротендиком и Дворко, а гипотеза Римана Локальная дзета-функция гладкого Делинем. алгебраического многообразиях над конечным полем является рациональной Из этих результатов вытекают явные Гипотезы Вейля. функцией переменной для которой формулы и оценки для числа точек на выполняется функциональное алгебраическом многообразия над конечным уравнение типа дзета-функции Римана и полем, широко применятся в конструкции аналог гипотезы Римана. алгебраически-геометрических кодов и алгоритмах факторизации целых чисел. Доказана Эндрю Уайлс вместе с его Гипотеза учениками и сотрудниками. Работа Уайлс Любая эллиптическая кривая над Таниямыпривела к окончательному решению великой является модулярной. Шимуры. теоремы Ферма. 3. Разделы теории чисел Теорию чисел условно разделяют по методам исследований на следующие разделы. 3.1. Элементарная теория чисел В элементарной теории чисел, целые числа изучающих без использования методов по высшей математике. К этому разделу относятся такие вопросы, как делимость целых чисел, алгоритм Евклида вычисления наибольшего общего делителя, разложение числа на простые множители, совершенные числа, малая теорема Ферма, теорема Эйлера. 3.2. Алгебраическая теория чисел Алгебраическая теория чисел расширяет понятие числа. Алгебраическое число - это корень многочлена с рациональными коэффициентами. Место целых занимают цели алгебраические числа, то есть корни многочленов с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1. Поля алгебраических чисел называются Алгебраическими числовыми полями или сокращенно числовыми полями. В отличие от целых, среди алгебраических чисел закон однозначности разложения на простые множители может и не выполняться. Простейшие числовые поля - квадратичные поля, были изучены еще Гауссом в теории квадратичных форм. Их можно описать через идеалы и нормы. Изучение идеальных чисел узагальнилось в теорию идеалов, начатую Кумером и Дедекиндом. 3.3. Аналитическая теория чисел Раздел теории чисел, использующий методы математического анализа. Примером является применение комплексного анализа для доказательства теоремы о распределении простых чисел с использованием дзета-функции Римана. Также проблемами аналитической теории чисел являются: гипотеза Гольдбаха, проблема Уоринга, гипотеза Римана. Важным инструментом аналитической теории чисел является теория модулярных форм. 3.4. Геометрическая теория чисел ... См.. также Открытые математические вопросы Источники К. Айерлэнд, М. Роузен Классическое введение в современную теорию чисел. - С. 416. - Москва: Мир, 1987. Вейль А. Основы теории чисел. - С. 408. - Москва: Мир, 1972. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. - С. 187. - Москва: Мир, 1974. Это незавершенная статья математики. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее. Основные разделы Математики Алгебра Дискретная математика Дифференциальные уравнения Геометрия Комбинаторика Линейная алгебра Математическая логика Математическая статистика Математический анализ Теория вероятностей Теория множеств Теория чисел Тригонометрия Математическая физика Топология Функциональный анализ http://nado.znate.ru