XI Международная дистанционная олимпиада «Эрудит» Математика 8 класс I тур

XI Международная дистанционная олимпиада «Эрудит»
Математика
8 класс
I тур
Максимальное количество баллов – 30
Ответы
Задача № 1. (4 балла) Прямые АВ и СD пересекаются в точке M. MN
перпендикулярно CD. Биссектриса угла DMN составляет с MB угол, равный 1070.
Найти углы AMN, AMD, DMB.
Решение:
Проведем МК, биссектрису угла NMD. Угол КМD равен 450, а так как угол КМВ
равен 1070, то угол DMB будет равен 1070 – 450 = 620. Угол АМВ развернутый,
значит он равен 1800. < АМВ = < АМN + < NMD + <DMB
1800 = < АМN + 900 + 620. Значит < АМN = 280. < AMD = < АМN + < NMD,
следовательно < AMD = 280 + 900 = 1180.
Ответ: < АМN = 280 ; < AMD = 1180; <DMB = 620.
Задача № 2. (4 балла) На уроке математике ребятам были предложены карточки,
на которых были записаны различные степени. Тот, у кого получится большее
значение идет отвечать первым. У Лены на карточке было записано 100 20. А у
Светы 985010. Определите какая из степеней больше, и кто первым пойдет
отвечать.
Решение: Рассмотрим 10020: 10020 = (1002)10 =10 00010. Так как 10000>9850, то
10020> 985010. Лена пойдет отвечать первой.
Ответ: 10020> 985010. Лена пойдет отвечать первой.
Задача № 3. (6 баллов) Осваивая новые земли, колонисты нашли заболоченный
участок, но если осушить его, то земля будет пригодна для проживания. На дне
этого болота с постоянной силой бьют ключи. Если поставить 12 насосов, то
болото можно осушить за 4 дня, а если 9 насосов, то за 6 дней. Но у колонистов
только 6 насосов. За сколько дней они смогут осушить данное болото? (Объем
воды в болоте на момент начала осушения всегда одинаков).
Решение: Пусть объем воды в болоте - а литров и каждую минуту добавляется (за
счет подземных вод) р литров, а искомое время - х дней. Тогда 12 насосов
откачают за 4 дня 4р + а литров воды из болота, а каждый насос за один день
откачивает
литров. Значит 9 насосов за 6 дней откачают 6р + а литров воды
из болота, следовательно, каждый насос за день откачивает
. Так как, количество воды, которую откачивает насос за один день ,
постоянно, то
=
. Отсюда получим, что а = 12р. Так как у колонистов
всего 6 насосов, то за х дней они откачают хр +а литров воды, а значит каждый из
насосов за день откачает
12 дней.
Ответ: за 12 дней.
=
. Отсюда, заменив а на 12р, получим х =
Задача № 4. (6 баллов) Чтобы выложить мозаику размером 10х10 использовали
плитку 2х2 и 4х1. Если одну плитку 2х2 заменить плиткой 4х1, то снова выложить
плитками мозаику размером 10х10 не получится. Докажите это.
Решение: Решим задачу методом раскраски. Раскрасим доску в 2 цвета.
Каждая плитка 2х2 покрывает одну черную клетку и три белых, а плитка 4х1 две
черных и две белых клетки. Так как черных клеток нечетное число 25 штук, то
плиток 2х2 должно быть нечетное число. Если же одну плитку убрать, то останется
четное число плиток 2х2 и они будут перекрывать четное число черных клеток.
Значит покрыть25 черных клеток нельзя.
Задача № 5. (10 баллов) Вычислить, не используя, калькулятор:
1, 23454 + 0, 76554 - 1, 23453 *0, 76552 – 1, 23452*0, 76553 + 4, 938*3, 062.
Решение:
Пусть 0,2345 = а, тогда 1,2345 = 1+ а; 0,7655 = 1 – а.
(1+а)4 + (1 – а)4 – (1+а)3(1 – а)2 – (1+а)2(1 – а)3 = (1+а)4 + (1 – а)4 –
- (1+а)3(1 – а)2 ((1 + а) + (1 – а)) = (1+а)4 + (1 – а)4 – 2(1 +а)2(1 + а)2 = ((1+а)2 –
- (1 – а)2)2 = (1 + а2 + 2а – 1 – а2 – 2а)2 = (4а)2.
Пусть 0,938 = в, тогда 4,938 = 4 + в; 3,062 = 4 – в и
4,938 * 3,062 = (4 + в)(4 – в) = 16 – в2. Заметим так же, что 4*0,2345 = 0,938
получаем, что 4а = в. Из этого имеем: (4а)2 + 16 – в2 = в2 + 16 – в2 = 16.
Ответ: 16