М.Ю. Овсянников, С.Г. Кузнецова. Определение вертикального

Техническое обеспечение конструкционной безопасности зданий и сооружений
УДК 624.04
М.Ю. Овсянников, С.Г. Кузнецова
Пермский национальный исследовательский
политехнический университет
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРТИКАЛЬНОГО СМЕЩЕНИЯ ОПОРЫ
ДЛЯ ТЕХНИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ БЕЗОПАСНОСТИ
ДВУХПРОЛЕТНОЙ БАЛКИ НА УПРУГИХ ОПОРАХ
Рассматривается определение вертикального смещения опоры, обеспечивающее техническую безопасность двухпролетной неразрезной балки на упругооседающих опорах, при условии рационального проектирования. Для этого используется уравнение пяти моментов метода сил. Примерами конструкций, для
которых данная балка на упругих опорах является расчетной схемой, могут быть
рамы, системы перекрестных балок, наплавной мост на понтонах и др.
Ключевые слова: неразрезная регулярная балка, метод сил, уравнение пяти
моментов, упругооседающие опоры, вертикальное смещение опоры, распределенная нагрузка.
Для двухпролетной балки постоянной жесткости EI на упругооседающих опорах (рис. 1) [1] определим предварительное
вертикальное смещение ∆ опоры 1, обеспечивающее техническую безопасность, при выполнении условия
M1max = Mоп .
(1)
Рис. 1. Неразрезная регулярная балка (а)
и эпюра изгибающего момента (б)
73
Вестник ПНИПУ. Урбанистика. 2013. № 3
Балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой q.
Величина пролета — l. Характеристика податливости всех опор
одинакова и равна с.
Основной системой метода сил будет являться балка
с врезными шарнирами над опорами (рис. 2).
Рис. 2. Основная система метода сил
В отличие от неразрезных балок с жесткими опорами, балки на упругих опорах описываются уравнением пяти моментов.
Составим уравнение пяти моментов для регулярной балки:
Mn −2ϕ + Mn −1 (1 − 4ϕ) + 2Mn (2 + 3ϕ) + Mn +1 (1 − 4ϕ) + Mn +2ϕ =
=−
6EI
(βn + α n ) − ϕl(Rn −1 − 2Rn + Rn +1 ),
l
6cEI
; Rn , αn , βn — соответственно суммарная опорная
l3
реакция, левый и правый углы поворота сечений балки от нагрузки, включая заданную осадку опор, определяемые как для
свободно лежащих простых балок.
Для заданной балки уравнение пяти моментов будет выглядеть
следующим образом:
где ϕ =
2M1 (2 + 3ϕ) = −
где R0 = R2 =
6EI
(β1 + α1 ) − ϕl(R0 − 2R1 + R2 ),
l
(2)
ql3
∆
ql
− .
; R1 = ql; α1 = β1 =
24EI l
2
Чтобы определить предварительное смещение опоры 1 по
уравнению пяти моментов, необходимо найти значение опорного
момента M1 .
Для этого запишем уравнения для нахождения максимального изгибающего момента в пролете балки [2]:
74
Техническое обеспечение конструкционной безопасности зданий и сооружений

ql
qx2 Mоп
=
−
+
M
x
x,
 1max
2
2
l

Q = ql − qx + Mоп = 0.

l
2
(3)
Согласно условию (1), в системе уравнений (3) принимаем M1 max за M, а Mоп — за —М:

ql
qx2 M
−
x,
M = x −
l
2
2

Q = ql − qx − M = 0.

l
2
Решив эту систему, получаем
M = M1max = Mоп = 0,086ql2 ,


l M
= 0,414l.
x = −
2 ql

Следовательно, опорный момент M1 = −0, 086ql2 .
Подставим все найденные значения в уравнение (2):
∆
6cEI 
6EI  ql3

−2 ⋅ 0,086ql2  2 + 3 ⋅ 3  = −
⋅ 2
− −
l 
l

 24EI l 
ql 
6cEI  ql
− 3 ⋅ l  − 2ql +  .
l
2
2
(4)
Из уравнения (4) получаем предварительное смещение
опоры 1:
∆ = 0, 013
ql 4
− 0,758cql.
EI
При найденном значении предварительного вертикального
смещения ∆ опоры из условия рационального проектирования
двухпролетной регулярной балки на упругооседающих опорах
обеспечивается техническая безопасность.
75
Вестник ПНИПУ. Урбанистика. 2013. № 3
Библиографический список
1. Симинский К.К. Строительная механика. Неразрезные балки. – Киев: Изд-во
кассы взаимопомощи студ. Киев. политехн. ин-та, 1930. – 298 с.
2. Киселев В.А. Строительная механика. Общий курс: учеб. для вузов. – 4-е
изд., перераб. и доп. – М.: Стройиздат, 1986. – 520 с.
References
1. Siminskij K.K. Stroitelnaja mekhanika. Nerazreznye balki [Structural Mechanics.
Continuous beams]. Kiev: Izdatelstvo kassy vzaimopomoschi studentov Kievskogo
politekhnicheskogo instituta, 1930. 298 p.
2. Kiselev V.A. Stroitelnaja mekhanika. Obschii kurs [Structural Mechanics. Guideline]: uchebnik dlja stud. uchrezhdenij vyssh. prof. obrazovanija. Moscow: Stroyizdat,
1986. 520 p.
Получено 11.09.2013
M. Ovsyannikov, S. Kuznetsova
DETERMINATION OF THE VERTICAL OFFSET
OF BEARING FOR TECHNICAL SUPPORT SAFETY
DOUBLE-SPAN BEAM ON ELASTIC BEARINGS
In this paper we consider the determination of the vertical offset of bearing
which provides technical safety double-span beam on elastic bearings with rational
design. For this we use equation of the five moments. This beam on elastic supports
can be an example of such construction as frame, system of cross-beams, floating
bridge on pontoons, etc.
Keywords: continuous regular beam, area — moment method, equation of the
five moments, elastic bearings, vertical offset of bearing, distributed load.
Овсянников Михаил Юрьевич (Пермь, Россия) — студент гр.
ПГС 10—1, Пермский национальный исследовательский политехнический университет (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: mihovs@yandex.ru).
Кузнецова Светлана Григорьевна (Пермь, Россия) — канд. техн.
наук, доцент кафедры «Строительная механика и вычислительная
техника», Пермский национальный исследовательский политехнический университет (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29).
76
Техническое обеспечение конструкционной безопасности зданий и сооружений
Ovsyannikov Mikhail (Perm, Russia) — 3rd year student, Civil Engineering Faculty, Perm National Research Polytechnic University (614990,
Perm, Komsomolsky av., 29, e-mail: mihovs@yandex.ru).
Kuznetsova Svetlana (Perm, Russia) — Candidate of Technics, Associate Professor, Department «Structural Mechanics and Computer Engineering», Civil Engineering Faculty, Perm National Research Polytechnic University (614990, Perm, Komsomolsky av., 29).
77