19 - Квант

ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
ðîíàì ïðÿìûå X ′Y ′ è U ′V ′ (ðèñ.2). Î÷åâèäíî, ÷òî
A′X ′ B′U ′ C ′Y ′ D′V ′
⋅
⋅
⋅
= 1.
Ñëåäîâàòåëüíî,
X ′B′ U ′C ′ Y ′D′ V ′A′
AX BU CY DV
⋅
⋅
⋅
= 1 , è ïî òåîðåìå Ìåíåëàÿ òî÷êè
XB UC YD VA
Õ, Y, U, V ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè. Îòñþäà ñðàçó
ñëåäóåò óòâåðæäåíèå çàäà÷è.
À.Çàñëàâñêèé
Ô1823. Â ïîëå, íà ðàññòîÿíèè 1 êì îò ïðÿìîé äîðîãè,
ñòîèò è ðàçìûøëÿåò ïðîôåññîð Î÷êîâ, áîëüøîé
çíàòîê ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè. Íà ðàññòîÿíèè 2 êì
îò áëèæàéøåé ê ïðîôåññîðó òî÷êè äîðîãè À íàõîäèòñÿ æåëåçíîäîðîæíàÿ ñòàíöèÿ Æ. Ñêîðîñòü ïðè õîäüáå ïî ïîëþ ðàâíà 3 êì/÷, ïî äîðîãå – 4 êì/÷. Çà êàêîå
ìèíèìàëüíîå âðåìÿ ïðîôåññîð ìîæåò äîáðàòüñÿ äî
ñòàíöèè? À çà êàêîå âðåìÿ îí ñìîã áû äîáðàòüñÿ äî
ñåðåäèíû îòðåçêà ÀÆ?
Ïðîôåññîðó íóæíî ðåøèòü – èäòè ëè íà ñòàíöèþ ïî
ïîëþ âäîëü ïðÿìîé èëè äîéòè äî êàêîé-òî òî÷êè äîðîãè
è äàëüøå øàãàòü ïî íåé ñ áîëüøåé ñêîðîñòüþ, ÷åì ïî
ïîëþ. Â çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿ ñêîðîñòåé, ïðè
çàäàííûõ ïîëîæåíèÿõ íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé òî÷åê
ïóòè ìîæåò áûòü âûãîäíûì êàê ïåðâûé, òàê è âòîðîé
âàðèàíò.
Ìîæíî ðåøèòü çàäà÷ó «â ëîá», îáîçíà÷èâ áóêâîé õ
ðàññòîÿíèå îò òî÷êè À äî èíòåðåñóþùåé íàñ òî÷êè
äîðîãè, âûðàçèòü ÷åðåç õ âðåìÿ ïóòåøåñòâèÿ è âçÿòü îò
íåãî ïðîèçâîäíóþ. Ìèíèìóì ìîæåò äîñòèãàòüñÿ â
òî÷êàõ, ãäå ýòà ïðîèçâîäíàÿ îáðàùàåòñÿ â íîëü, è íà
ãðàíèöàõ îòðåçêà ÀÆ – èõ îáÿçàòåëüíî íóæíî ïðîâåðèòü.
Íî òîíêèé íàìåê íà ãåîìåòðè÷åñêóþ îïòèêó â óñëîâèè
çàäà÷è ïîäñêàçûâàåò íàì óäîáíóþ àíàëîãèþ – âåäü ëó÷
ñâåòà âñåãäà âûáèðàåò «ñàìóþ ëó÷øóþ» òðàåêòîðèþ!
Ïóñòèì ëó÷ ñâåòà òàê,
A
Æ
B Á
÷òîáû îí ïîñëå «ïðåëîìëåíèÿ» – âûõîäà
α
â ñðåäó ñ áîëüøåé
ñêîðîñòüþ – ïîïàë â
òî÷êó Æ (ñì. ðèñóíîê). Ïðè ýòîì óãîë
O
«ïðåëîìëåíèÿ» îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì 90°, òàê ÷òî ñèíóñ óãëà ïàäåíèÿ
ïîëó÷àåòñÿ ðàâíûì 0,75 (îòíîøåíèå ñêîðîñòåé – ýòî
«êîýôôèöèåíò ïðåëîìëåíèÿ»). Îáîçíà÷èì íóæíóþ
òî÷êó äîðîãè áóêâîé Á, òîãäà (ïîñêîëüêó tg α = 1,134 )
ÀÁ = 1134 ì è ÁÆ = 866 ì. Ïðè ýòîì âðåìÿ äâèæåíèÿ
ñîñòàâëÿåò
1512 ì
866 ì
ÎÁ ÁÆ
+
= 0,72 ÷ .
+
=
t1 =
3000
ì
÷
4000
ì ÷
v1
v2
À äëÿ ïóòåøåñòâèÿ â ñåðåäèíó îòðåçêà äîðîãè (òî÷êó
Â) âûãîäíî èäòè ïðÿìî ïî ïîëþ – ýòà òî÷êà íàõîäèòñÿ
«ëåâåå» òî÷êè Á.  ýòîì ñëó÷àå
1414 ì
= 0,47 ÷ .
t2 =
3000 ì ÷
À.Î÷êîâ
Ô1824. Íà áîëüøîé ïëîñêîñòè ïîñòðîåíà ñòåíà
âûñîòîé 30 ì. Íà ðàññòîÿíèè 30 ì îò ñòåíû íà óðîâíå
çåìëè ðàñïîëîæåíà èãðóøå÷íàÿ ïóøêà, à ìèøåíü óñ5*
«ÊÂÀÍÒÀ»
'
òàíîâëåíà íà ðàññòîÿíèè 80 ì îò ïóøêè íà ïðÿìîé,
ïåðïåíäèêóëÿðíîé ñòåíå. Ïðè êàêîé ñêîðîñòè ñíàðÿäà âîçìîæíî ïîïàäàíèå?
Ìîæíî ðåøàòü ýòó çàäà÷ó â îáùåì âèäå, èññëåäóÿ,
íàïðèìåð, óðàâíåíèå òðàåêòîðèè ñíàðÿäà, áðîøåííîãî
ïîä ïðîèçâîëüíûì óãëîì ñ íåèçâåñòíîé çàðàíåå ñêîðîñòüþ. Íî â äàííîì ñëó÷àå íàìíîãî ïðîùå ïîëó÷èòü
ðåøåíèå ïðÿìî â ÷èñëàõ.
Ïîíÿòíî, ÷òî âåðøèíà òðàåêòîðèè íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè 40 ì îò òî÷êè áðîñêà (ïî ãîðèçîíòàëè). «Ïîñòðîèì» åùå îäíó ñòåíó âûñîòîé 30 ì íà ðàññòîÿíèè
80 ì – 30 ì = 50 ì îò òî÷êè áðîñêà. ßñíî, ÷òî
òðàåêòîðèÿ, êîòîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò ìèíèìàëüíîé ñêîðîñòè âûïóùåííîãî ñíàðÿäà, ïî÷òè êàñàåòñÿ âåðõíèõ
òî÷åê ýòèõ ñòåí. Áóäåì îòñ÷èòûâàòü âðåìÿ îò ìîìåíòà
äîñòèæåíèÿ âåðõíåé òî÷êè òðàåêòîðèè. Òîãäà äî âòîðîé ñòåíû ñíàðÿä äîëåòèò çà âðåìÿ, êîòîðîå â ÷åòûðå
ðàçà ìåíüøå âðåìåíè äî ïàäåíèÿ (äî ñòåíû ïî ãîðèçîíòàëè 10 ì, à äî òî÷êè ïàäåíèÿ – 40 ì). Äâèæåíèå ïî
âåðòèêàëè – ñâîáîäíîå ïàäåíèå, ïîýòîìó çà â÷åòâåðî
ìåíüøåå âðåìÿ òåëî ïðîõîäèò ïî âåðòèêàëè 1/16 ÷àñòü
ïîëíîé âûñîòû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âûñîòà ñòåíû ñîñòàâëÿåò 15/16 îò âûñîòû òðàåêòîðèè, è ïîëíàÿ âûñîòà
ñîñòàâèò H = 30 ì × 16 15 = 32 ì . Îñòàëüíîå ñîâñåì
ïðîñòî – âðåìÿ ïîëåòà ðàâíî óäâîåííîìó âðåìåíè
ïàäåíèÿ ñ âûñîòû Í, ò.å. t = 2 2H g , è ãîðèçîíòàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñêîðîñòè ðàâíà
L
L
» 16 ì ñ .
vã = =
t
2 2H g
Âåðòèêàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñêîðîñòè ïðè áðîñêå ñîñòàâëÿåò
vâ = 2gH » 25 ì ñ .
Òàêèì îáðàçîì, ïîëíàÿ ñêîðîñòü ñíàðÿäà ïðè âûëåòå
ðàâíà ïðèìåðíî 30 ì/ñ (ñ÷èòàòü âñå òî÷íåå áåç ó÷åòà
ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà ïðîñòî íå èìååò ñìûñëà!).
À.Ñòðåëêîâ
Ô1825. Íà ãëàäêîì ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå íàõîäèòñÿ
êóá ìàññîé M = 2 êã, íà åãî âåðõíåé ãðàíè ëåæèò
áîëüøîé ëåãêèé ëèñò áóìàãè, íà íåì – êóáèê ìàññîé
m = 1 êã. Ëèñò áóìàãè òÿíóò ñ ãîðèçîíòàëüíîé ñèëîé
F = 15 Í. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó áóìàãîé è
êàæäûì èç êóáîâ µ = 0,7. Íàéäèòå óñêîðåíèÿ êàæäîãî
èç òåë. À êàêèìè áóäóò óñêîðåíèÿ ïðè ñèëå F1 = 10 Í?
Íà ëèñò áóìàãè äåéñòâóþò ñèëû òðåíèÿ ñî ñòîðîíû
íèæíåãî è âåðõíåãî êóáîâ, ïðè÷åì ñóììàðíàÿ ñèëà
òðåíèÿ íå ïðåâûøàåò çíà÷åíèÿ 2µmg = 14 H . Ýòî
çíà÷èò, ÷òî ïðè äåéñòâóþùåé ñèëå 15 Í ëèñò áóìàãè
äâèæåòñÿ ñ î÷åíü áîëüøèì óñêîðåíèåì (åãî ìàññà ïî
óñëîâèþ ìàëà), è îáà òåëà ïðîñêàëüçûâàþò îòíîñèòåëüíî ëèñòà. Ñèëû òðåíèÿ ïðè ýòîì ìàêñèìàëüíû, è
óñêîðåíèÿ êóáîâ ðàâíû, ñîîòâåòñòâåííî,
µmg
a1 = µg = 7 ì ñ2 è a2 =
= 3,5 ì ñ2 .
M
Ïðè ñèëå 10 Í ïî êðàéíåé ìåðå îäèí èç êóáîâ äâèæåòñÿ
âìåñòå ñ ëèñòîì áóìàãè (à ìîæåò áûòü, è îáà). Åñëè áû
îáà êóáà äâèãàëèñü âìåñòå ñ ëèñòîì áóìàãè (áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ), òî èõ óñêîðåíèå ñîñòàâèëî áû
F
= 3,3 ì ñ2 .
a3 =
M+m