Билет 7 _1,2

Билет № 7
1. Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника.
2. Формула для радиуса окружности, описанной около правильного n-угольника. Запись, вывод.
Вопрос № 1
Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника
Теорема. В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший
угол; и наоборот, 2) против большего угла лежит большая сторона.
Сначала докажем, что против большей стороны лежит больший угол.
B
Дано: ∆ АВС, АВ > ВС.
Доказать: ∠С > ∠А.
D
2
1
C
A
Доказательство
На стороне АB отложим отрезок BD = BC. Так как ВС < АВ, то и BD < AB,
поэтому точка D лежит между точками А и В. Следовательно, ∠1 является частью ∠ С ∆ АВС. Значит, ∠С > ∠1.
Так как ∠2 – внешний угол ∆ АDС при вершине D, то ∠2 > ∠А, потому что
внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
Так как ВС = ВD по построению, то ∆ ВСD равнобедренный, поэтому ∠1 = ∠2
как углы при основании равнобедренного ∆ ВСD.
Получили. что, ∠С > ∠1, ∠1 = ∠2, ∠2 > ∠А, значит, ∠С > ∠А.
Итак, в треугольнике: против большей стороны лежит больший угол.
Теперь докажем, что против большего угла лежит большая сторона.
Дано: ∆ АВС, ∠С > ∠А.
Доказать: АВ > ВС.
Доказательство (методом от противного)
1) Предположим, что АВ > ВС – неверно. Тогда либо АВ = ВС, либо АВ <
ВС.
2) Если АВ = ВС, то ∆ АВС – равнобедренный и, значит, ∠С = ∠А.
Если АВ < ВС, то ∠С < ∠А по доказанному выше.
Получили, что∠С = ∠А или ∠С < ∠А. И то, и другое противоречит условию теоремы, что ∠С > ∠А.
3) Получили противоречие с условием теоремы. Значит предположение, что
АВ > ВС – неверно было неверным, значит АВ > ВС.
Итак, в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Ч.т.д.
Доказанную теорему можно сформулировать следующим образом: в треугольнике против меньшей стороны лежит меньший угол; и наоборот, против
меньшего угла лежит меньшая сторона.
Следствия
1) В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
2) Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
Вопрос 2
Формула для радиуса окружности, описанной около
правильного n-угольника. Запись, вывод
О
•
A3
An
R
r
A2
Дано: А1А2А3…Аn – правильный n-угольник,
А1А2 = А2А3 = … = Аn - 1 Аn = an,
ω(О; R) описана около n-угольника,
ω(O; r) вписана в n-угольник.
• а
H1 2n
Выразить: 1) R через r; 2) R через аn.
A1
Решение
Соединим точку О с вершинами А1 и А2 n-угольника А1А2А3…Аn. В получившемся ∆ А1ОА2 проведем высоту ОН1 = r.
Так как ОА1 = ОА2 = R, то ∆ А1ОА2 – равнобедренный, а высота ОН1 являа
∠А1ОА2
.
ется медианой и биссектрисой, поэтому А1 Н 1 = n , ∠А1ОН 1 =
2
2
Так как А1А2А3…Аn – правильный n-угольник, то центральный угол
360°
360° 1 180°
360°
∠А1ОА2 =
, а ∠А1ОН 1 =
:2=
⋅ =
.
n
n
n 2
n
Так как ОН1 − высота по построению, то ∆ А1ОН1 – прямоугольный.
В ∆ А1ОН1
OH 1
r
180° r
= ⇒ R=
;
cos ∠A1OH 1 =
; cos
180
°
OA1
n
R
cos
n
an
an
AH
180° 2
sin ∠A1OH 1 = 1 1 = 2 ; sin
=
⇒
OA1
R
n
R
an
an
an
2
.
R=
=
, т.е. R =
2 sin 180°
sin 180° 2 sin 180°
n
n
n
Ответ: R =
r
cos 180°
n
;R =
an
2 sin 180°
n
.
Если n = 3, то R3 =
r
cos 180°
r
r
= = 2r .
cos 60° 1
=
2
3
Если n = 4, то R4 =
r
cos 180°
=
4
Если n = 6, то R6 =
r
cos 180°
2
=
6
Если n = 3, то R3 =
r
r
=
= r 2.
2
cos 45°
а
2 sin 180°
r
r
2r 3
=
=
.
3
cos 30°
3
2
=
3
Если n = 4, то R 4 =
2
а
=
2 sin 180°
4
Если n = 6, то R6 =
а
2 sin 180°
r
cos 180°
n
R=
⇒ r = R cos
a
a
a 2
=
=
.
2
2 sin 45° 2 ⋅ 2
2
=
6
R=
a
a
a 3
=
=
.
2 sin 60° 2 ⋅ 3
3
a
a
=
= а.
2 sin 30° 2 ⋅ 1
180°
n
180°
⇒ a n = 2 R sin
n
2 sin 180°
an
n
2