СТРОИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ УДК 624.21 О ГИБКИХ

Вестник ХНАДУ, вып. 68, 2015
79
СТРОИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
УДК 624.21
О ГИБКИХ ПЛАСТИНАХ, ДВЕ СМЕЖНЫЕ СТОРОНЫ КОТОРЫХ
ЗАЩЕМЛЕНЫ, ДЛИННАЯ СТОРОНА – ШАРНИРНО ОПЕРТА,
А КОРОТКАЯ – СВОБОДНА
В.П. Кожушко, проф., д.т.н.,
Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет
Аннотация. Приведен расчет пластин по методу, разработанному автором, что позволяет
решать задачу о напряженно-деформированном состоянии пластины при воздействии на нее
любых поперечных внешних нагрузок.
Ключевые слова: поперечная полоса, продольная полоса, система уравнений, смешанный метод строительной механики, фиктивное защемление.
ПРО ГНУЧКІ ПЛАСТИНИ, ДВІ СУМІЖНІ СТОРОНИ ЯКИХ ЗАТИСНЕНІ,
ДОВГА СТОРОНА – ШАРНІРНО ОПЕРТА, А КОРОТКА – ВІЛЬНА
В.П. Кожушко, проф., д.т.н.,
Харківський національний автомобільно-дорожній університет
Анотація. Наведено розрахунок пластин за методом, розробленим автором, що дозволяє
розв’язувати задачу про напружено-деформований стан пластини при дії на неї будь-яких
поперечних зовнішніх навантажень.
Ключові слова: поперечна смуга, поздовжня смуга, система рівнянь, змішаний метод будівельної механіки, фіктивне затиснення.
ON FLEXIBLE PLATES TWO ADJACENT SIDES OF WHICH ARE RESTRAINED,
THE LONG ONE IS HINGED, AND THE SHORT SIDE IS FREELY SUPPORTED
V. Kozhushko, Prof., Doctor of Engineering Science,
Kharkiv National Automobile and Highway University
Abstract. The design of plates by the method developed by the author that makes it possible to solve
the problem of stress-strain state of the plate under the effect of any transverse external loads is presented.
Key words: horizontal line, longitudinal stripe, the system of equations, mixed method of structural
mechanics, fictitious jamming.
Введение
Тонкие пластины с рассматриваемыми условиями закрепления их граней встречаются
при проектировании и строительстве различных сооружений, поэтому расчет этих конструктивных элементов при воздействии на
них различных поперечных внешних нагру-
зок представляет определенный интерес в
теоретическом и практическом аспектах.
Анализ публикаций
На основе изучения целого ряда литературных источников по расчету тонких (жестких)
пластин [1–21] можно сделать вывод о том,
80
Вестник ХНАДУ, вып. 68, 2015
Таким образом, исследования напряженнодеформированного
состояния пластин с
предложенными условиями закрепленных
сторон дополнят сведения об их работе. Эти
исследования, на наш взгляд, дают возможность оценить работу пластин при воздействии на них любых поперечных нагрузок
единым методом.
приведенную к одному метру погонную
жесткость.
Поперечная полоса рассматривается как неразрезной элемент, опирающийся на упругооседающие опоры (рис. 1). Роль упругооседающих опор играют продольные полосы.
Для реализации задачи предлагается применить смешанный метод строительной механики, для чего вводится фиктивное защемление левого края поперечной полосы в
точке А (рис. 1).
y
l
что пластины с заданными в настоящей статье условиями опирания их сторон вообще
не рассматривались, поэтому хотелось бы
нашими исследованиями заполнить этот
пробел. В целом задача о работе прямоугольных пластин под воздействием поперечных нагрузок является сложной, даже при
иных (более простых) условиях закрепления
их граней. В замкнутом виде решения получены при воздействии на систему только
простейших поперечных нагрузок (распределенной нагрузки, сосредоточенной силы и
т.д.). При приложении к пластине иных
внешних нагрузок задача решается численными методами, а для некоторых условий
закрепления сторон пластин решений вообще нет.
Цель и постановка задачи
0
b
Рассматривается приближенный метод расчета исследуемых пластин, нагруженных
любой внешней поперечной нагрузкой.
x
P 1
A
B
Реализация задачи
Разрежем пластинку на систему продольных
и поперечных полос (рис. 1). Продольными
полосами будем называть полосы, выделенные параллельно длинной l стороне пластины, а короткими – полосы, расположенные
вдоль стороны b . Ширина продольных полос
d  b n , где b – ширина прямоугольной
пластины; n – количество продольных пластин, которое должно быть не менее десяти.
Поперечную полосу шириной 1 м следует
вырезать в том сечении по длине пролета l ,
в котором поставлена задача определения
внутренних усилий и перемещений пластины. Если пластина подкреплена ребрами, то
продольная полоса должна включать в себя
продольное ребро, которое будет учтено при
определении жесткости продольной полосы.
При определении жесткости поперечной полосы (если пластина имеет поперечные ребра
жесткости) рекомендуется вводить в расчет
12
0, 5d
MA
n
d
P 1
Mn
A
Zn
ZA Z Z
1 2
B
ZB
a1
a2
an
b
Рис. 1. Расчетная и основная схемы поперечной полосы
Предлагается усилия, передаваемые поперечной полосой на продольные, определять
Вестник ХНАДУ, вып. 68, 2015
от единичной поперечной силы Р=1, что
позволит построить линии влияния вертикальных усилий Z i и крутящих моментов
Mi .
При учете в работе только вертикальных сил
Z i количество неизвестных составит (п + 3).
Для их определения следует решить систему
уравнений (1).
( z )  Z    ( z )  Z  ( z )  Z B  1P  0;
n
1n
1B
 11 1
.........................................................................
( z )  Z    ( z )  Z  ( z )  Z    0;
n
B
nP
1
nB
nn
(1)
 n1
z
( z)
(
)
z
(
)
 B1  Z1     Bn  Z n   BB  Z B   BP  0;

Z1    Z n  Z A  Z B  1  0;
a1  Z1    an  Z n  b  Z B  M A  ai  0.
В системе (1) два последних уравнения представляют собой уравнения равновесия.
Методика определения увеличенных в
1 yi раз единичных перемещений (ikz ) и свободных членов  iP от силы Р=1 изложена в
работах автора [22, 23]. Если поперечная полоса имеет переменную жесткость, то она
заменяется ступенчатой полосой, изгибная
жесткость которой в пределах ширины d
продольной полосы применяется одинаковой.
Методика определения единичных перемещений (ikz ) и свободных членов  iP ступенчатых балок изложена в работах [23, 24].
Величина yi – это прогиб продольной полосы пролетом l от единичной распределенной
нагрузки q  1 в том сечении по ее длине, в
котором вырезана поперечная полоса
(рис. 2). При данных условиях закрепления
кромок пластины продольный элемент в статическом отношении представляет собой
консольную полосу.
q 1
81
Прогиб yi в сечении х равен
2
l 4 (1  vпр
)  x2
x3 x4 
yi 
 6 2  4 3  4 .
24 Eпр J пр  l
l
l 
(2)
Увеличенные в 1 yi раз единичные переме-
щения (ikz ) и свободные члены  iP определяем по следующим формулам
ik( z )  wik( z ) ;
(3)
( z)
 iP  wiP
,
(4)
где wik( z ) – вертикальное перемещение поперечной полосы в точке i от единичной силы
Z k  1 , приложенной в точке k ; wiP( z ) – вертикальное перемещение поперечной полосы
в i-й точке от силы Р=1;  – показатель, зависящий от соотношения изгибных жесткостей продольной Eпр J пр и поперечной
Eпопер J попер полос и их размеров

2
d 3 (1  vпопер
)
6Eпопер J попер  yi
.
(5)
Методика определения перемещений wik( z ) и
wiP( z ) приведена в работах [22–24].
Покажем, как определяется показатель α, если поперечная полоса вырезается в различных сечениях по длине продольной полосы.
Если короткая полоса вырезана в начале пластины ( x  l ) , то прогиб продольной полосы
yi 
2
l 4 (1  vпр
)
8Eпр J пр
,
(6)
а коэффициент

Eпр J пр
4d 3

.
4
3l Eпопер J попер
(7)
Если поперечная полоса вырезана в сечении
x  0,5l , то
x
l
Рис. 2. Расчетная схема продольной полосы
yi 
4
2
17 l (1  vпр )
,

384 Eпр J пр
(8)
82
Вестник ХНАДУ, вып. 68, 2015
Прогиб  поперечной полосы равен
а коэффициент

Eпр J пр
64d 3

.
4
17l Eпопер J попер
Таким образом, показатель  в последнем
случае будет примерно в 2,8235 раза больше
 для полосы, вырезанной в начале пластинки.
В формулах [2, 5–9] vпр и vпопер – коэффициенты Пуассона материала продольной и поперечной полос соответственно.
Главные единичные перемещения (iiz ) включают в себя прогиб i-й главной балки от распределенной нагрузки q  1 в том сечении,
где вырезана поперечная полоса, и прогиб
поперечной полосы в i-й точке от единичной
силы Z i  1 , приложенной в этой же точке
ii( z )    wii ,
(10)
где  – увеличенный в 1 yi раз прогиб продольной полосы.
Если бы длинные стороны были свободны,
то  =1. Но пластина слева защемлена, а правая сторона ее – шарнирно оперта. Следовательно, следует учесть влияние на прогиб
продольной полосы этих закреплений. Тогда

Ki
,
K1
Eпопереч  J попереч
(9)
(11)
где Ki – выражение, которым обозначена
часть формулы (12) по определению прогиба
поперечной полосы в точке i от единичной
сосредоточенной силы Р=1, приложенной в
этой же точке (рис. 3).
P 1
y
b
Рис. 3. Расчетная схема поперечной полосы
при определении ее прогибов от силы
P 1

1  2попереч

 

1 3
b 32  83  64  6 ,
12
(12)
где   y / b  относительное расстояние до
точки приложения силы P (расстояние до
i-й продольной полосы).
Примем, что
K i  32  83  64  6 .
(13)
Обозначим через K1 выражение (13) при
  0,5 .
Тогда для продольной полосы, расположенной на расстоянии   0,5b , величина  =1, а
для остальных продольных полос  ≠1.
Предложенный метод расчета позволяет
учесть влияние на распределительную способность пластины иных внутренних усилий. Покажем, как учесть влияние крутящих
моментов M i на напряженно-деформированное состояние (НДС) пластины. Для
этого необходимо решить систему (14) из
(2n  3) уравнений.
( z)
( м)
11
Z1 1(nz) Zn 1(bz)ZB  11
M1  1(nм) Mn  1P  0;

................................................................................................
( z) Z ( z) Z ( z)Z  ( м) M  ( м) M    0;
1
nP
nn n
nb B
n1
nn
n
 n1 1
b( z1) Z1 (bnz) Zn (bbz)ZB  (b1м) M1  (bnм) M  bP  0;
 ( z)
( z)
( z)
( м)
( м)
11 Z1  1n Zn 1b ZB 11 M1 1n Mn  1P  0;
................................................................................................

n( z1) Z1  (nnz) Zn (nbz) ZB (n1м) M1 (nnм) Mn  nP  0;

Z1  Zn  Z A  ZB 1  0;
a Z  a Z  bZ  M  M  M  a  0.
n n
B
1
n
A
i
 1 1
(14)
В системе (14): ik(м) – вертикальное перемещение поперечной полосы в точке i от единичного момента M k  1 , приложенных в
точке k ; (ikz ) – единичный угол поворота
поперечной полосы в точке i от единичного
момента Z k  1 , приложенных в точке k ;
ik(м) – единичный угол поворота поперечной полосы в точке i от единичного момента
M k  1 , приложенных в точке k ; iP – угол
Вестник ХНАДУ, вып. 68, 2015
поворота поперечной полосы в точке i от
внешней силы Р = 1.
Следует учесть, что главный единичный угол
включает в себя поворот проповорота (м)
ii
дольной полосы от единичных распределенных вдоль нее крутящих моментов и угол
поворота поперечной полосы.
83
9.
10.
11.
Методика определения единичных перемещений ik и единичных углов поворота ik
изложена в работах [23, 25, 26].
Выводы
Предложенный метод расчета позволяет
определить напряженное состояние пластин
с рассмотренными граничными условиями
при действии на них любых поперечно приложенных нагрузок.
12.
13.
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Вайнберг Д.В. Пластины, диски, балкистенки (прочность, устойчивость и колебания) / Д.В. Вайнберг, Е.Д. Вайнберг.
– К.: Гос. изд-во л-ры по стр-ву и архитектуре УССР, 1959. – 1049 с.
Вайнберг Д.В. Расчет пластины /
Д.В. Вайнберг, Е.Д. Вайнберг. – 2-е изд.,
перераб. и доп. – К.: Будівельник, 1970.
– 435 с.
Колманюк А.С. Расчет пластинок /
А.С. Колманюк. – М.: Госстройиздат,
1959. – 212 с.
Галеркин Б.Г. Собрание сочинений /
Б.Г. Галеркин. – М.: Изд-во АН СССР,
1953. – Т. 2. – 440 с.
Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий
и сооружений (расчетно-теоретический) /
В.Л. Агамиров, В.Н. Архангельский,
М.С. Бернштейн и др.; под. ред.
А.А. Уманского – М.: Госстройиздат,
1960. – 1040 с.
Кончковский З. Плиты. Статические расчеты / З. Кончковский; пер. с польск. –
М.: Стройиздат, 1984. – 480 с.
Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки
/ С.П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер; пер. с англ. – 2-е изд., стереотипное.
– М.: Наука, 1966. – 635 с.
Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела: учебное пособие
для вузов / Л.А. Толоконников. – М.:
Высшая школа, 1979. – 318 с.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Шадурский В.П. Таблицы для расчета
упругих прямоугольных плит: справочное пособие / В.П. Шадурский. – М.:
Стройиздат, 1976. – 152 с.
Масленников А.М. Расчет строительных
конструкций численными методами:
учебное пособие / А.М. Масленников. –
Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1987. – 224 с.
Строительная механика корабля и теория упругости: учебник для вузов: в 2 т.
Т.2: Изгиб и устойчивость стержней,
стержневых систем, пластин и оболочек
/ В.А. Постнов, Д.М. Ростовцев,
В.П. Суслов, Ю.П. Кочанов. – Л.: Судостроение, 1987. – 416 с.
Суслов В.П. Строительная механика
корабля и основы теории упругости /
В.П. Суслов, Ю.П. Кочанов, В.Н. Спихтаренко. – Л.: Судостроение, 1972. –
720 с.
Методы расчета стержневых систем,
пластин и оболочек. Ч.1 / А.В. Александров, Б.Я. Лащенков, Н.Н. Шапошников, В.А. Смирнов. – М.: Стройиздат,
1976. – 248 с.
Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела: учебное пособие /
Ю.Н. Работнов. – М.: Гл. ред. физ.-мат.
л-ры, 1979. – 744 с.
Ректорис К. Вариационные методы в
математической физике и технике /
К. Ректорис; пер. с англ. – М.: Мир,
1985. – 590 с.
Музыченко Ю.Н. Расчет пластинчатостержневых систем / Ю.Н. Музыченко.
– Ростов-на-Дону: Изд-во Рост. ун-та,
1974. – 202 с.
Власова Е.В. Метод расчета прямоугольных пластин при изгибе сосредоточенными силами: монография /
Е.В. Власова. – М.: Рос. гос. откр. техн.
ун-т путей сообщения, 2003. – 116 с.
Запорожец Е.В. Некоторые особенности
расчета балочных пластин и балок при
больших прогибах / Е.В. Запорожец,
В.Б. Запорожец, Л.В. Фролова // Вісник
Придніпр. держ. акад. буд-ва та архіт. –
2002. – Вип. 6. – С. 22–27.
Игнатьев Ф.В. Применение МКЭ в смешанной форме при расчете тонких пластин / Ф.В. Игнатьев // Вестник Волгоград. гос. архит.-строит. акад. Серия
«Естественные науки». – 2002. – №2. –
С. 251–255.
Габрусенко В.В. Работа железобетонных
плит, защемленных по трем сторонам,
84
21.
22.
23.
24.
Вестник ХНАДУ, вып. 68, 2015
при действии линейных загрузок с учетом перераспределения моментов /
В.В. Габрусенко // Изв. вузов. Стр-во. –
2003. – №1. – С. 103–107.
Джабидзе Г.О. Расчет на изгиб тонкой
плиты прямоугольной формы, когда три
её грани закреплены жестко, а четвертая
– свободна / Г.О. Джабидзе // Проблемы
прикл. мех. – 2003. – №4. – С. 87–93.
Кожушко В.П. Расчет пролетных строений балочных мостов разрезной системы / В.П. Кожушко // Сопротивление
материалов и теория сооружений. –
1980. – Вып. 36. – С. 118–122.
Кожушко В.П. Моделювання прольотних будов мостів: монографія / В.П. Кожушко. – Х.: ХНАДУ, 2010. – 196 с.
Кожушко В.П. Определение перемещений ступенчатых балок на упругооседающих опорах / В.П. Кожушко //
Науковий вісник будівництва. – 2002. –
Вип. 17 – С. 146-150.
25. Кожушко В.П. До розрахунку балочноконсольних прогінних будов на тимчасове навантаження / В.П. Кожушко //
Автом. дороги і дор. буд-во. – 1985. –
Вип. 37. – С. 56–60.
26. Кожушко В.П. Определение перемещений ступенчатых балок от единичных
изгибающих моментов / В.П. Кожушко
// Науковий вісник будівництва. – 2002.
– Вип. 18 – С. 73–76.
Рецензент: А.Г. Кислов, профессор, к.т.н.,
ХНАДУ.
Статья поступила в редакцию 23 января
2015 г.