3. Расчет элементов ДК цельного сечения ЛЕКЦИЯ 3

«Конструкции из дерева и пластмасс» Лекция 3
3. Расчет элементов ДК цельного сечения
ЛЕКЦИЯ 3
3. Расчет элементов ДК цельного сечения
Деревянные конструкции должны рассчитываться по методу
предельных состояний.
ЛЕКЦИЯ 3
3. Расчет элементов ДК цельного сечения
Предельными являются такие состояния конструкций, при
которых они перестают удовлетворять требованиям
эксплуатации.
3.1. Центрально-растянутые элементы
Внешней причиной, которая приводит к предельному
состоянию, является силовое воздействие (внешние нагрузки,
реактивные силы). Предельные состояния могут также
наступать под влиянием условий работы, качества, размеров и
свойств материалов.
3.3. Изгибаемые элементы
3.2. Центрально-сжатые элементы
Различают две группы предельных состояний:
1 – по несущей способности (прочности, устойчивости).
2 – по деформациям (прогибам, перемещениям).
Первая группа предельных состояний характеризуется
потерей несущей способности и полной непригодностью к
дальнейшей эксплуатации.
В деревянных конструкциях могут возникать следующие
предельные состояния первой группы: разрушение (материала),
потеря устойчивости, опрокидывание, недопустимая ползучесть.
Вторая группа предельных состояний характеризуется
такими признаками, при которых конструкция становится
непригодной к нормальной эксплуатации. Пригодность
конструкции к нормальной эксплуатации обычно определяется
прогибами (деформациями).
Страница 1 из 19
СГУПС кафедра «Строительные конструкции и здания»
«Конструкции из дерева и пластмасс» Лекция 3
3. Расчет элементов ДК цельного сечения
Цель расчета конструкций – не допустить наступления ни
одного из возможных предельных состояний, как при
транспортировке и монтаже, так и при эксплуатации
конструкций.
Расчет по первому предельному состоянию производится на
расчетные значения нагрузок, по второму – на нормативные
значения.
Нормативные значения внешних нагрузок приведены в
СНиП «Нагрузки и воздействия». Расчетные значения
получают с учетом коэффициента надежности по нагрузке γf.
Конструкции рассчитывают на неблагоприятное сочетание
нагрузок (собственный вес, снег, ветер, технологические
нагрузки) вероятность которых учитывается коэффициентами
сочетаний (по СНиП «Нагрузки и воздействия»).
Деревянные элементы рассчитывают в соответствии со СНиП
II-25-80 «Деревянные конструкции».
Элементами ДК цельного сечения называют доски, бруски,
брусья и бревна цельного сечения с размерами, указанными в
сортаментах пилёных и круглых материалов. Они могут
являться самостоятельными конструкциями, например,
балками или стойками, или стержнями более сложных систем.
Усилия в элементах определяют общими методами
строительной механики.
Страница 2 из 19
СГУПС кафедра «Строительные конструкции и здания»
«Конструкции из дерева и пластмасс» Лекция 3
3. Расчет элементов ДК цельного сечения
3.1. Центрально-растянутые элементы
На растяжение работают нижние пояса и отдельные раскосы
ферм, затяжки арок и других сквозных конструкций.
Растягивающее усилие N действует вдоль оси элемента и во
всех точках поперечного сечения возникают растягивающие
напряжения σ, которые с достаточной точностью считаются
одинаковыми по величине.
Древесина на растяжение работает упруго. Разрушение
происходит хрупко в виде практически мгновенного разрыва.
Прочность растянутых элементов в тех местах где есть
ослабления снижается в результате концентрации напряжений
у краев ослаблений, что учитывается коэффициентом условий
работы mо=0,8.
Расчет прочности растянутых элементов выполняют по
формуле:
N
≤ Rр ,
Aнт
N – расчетная продольная сила;
Aнт – площадь рассматриваемого поперечного сечения,
причем ослабления, расположенные на участке длиной 20 см
считаются совмещенными в одном сечении;
Rр – расчетное сопротивление древесины растяжению.
Рис.3.1 – Растянутый элемент
а – график деформаций и стандартный образец;
б – расчетная схема;
в – характер разрушения, ослабления, поперечное
сечение и расчетная эпюра напряжений.
Страница 3 из 19
СГУПС кафедра «Строительные конструкции и здания»
«Конструкции из дерева и пластмасс» Лекция 3
3. Расчет элементов ДК цельного сечения
3.2. Центрально-сжатые элементы
На сжатие работают стойки, подкосы и отдельные стержни
ферм: верхние пояса (при узловой нагрузке), стойки, раскосы.
Сжимающее усилие N действует вдоль оси стержня.
Сжимающие напряжения σ предполагаются одинаковой
величины по сечению (эпюра прямоугольная).
Диаграмма работы древесины на сжатие имеет упругий и
упруго-пластический участки.
Разрушение происходит пластично в результате потери
устойчивости ряда волокон, о чем свидетельствует характерная
складка.
Рис.3.2 – Сжатый элемент
а – график деформаций и стандартный образец;
б – расчетная схема, характер разрушения при потере устойчивости,
поперечное сечение и эпюра напряжений;
в – типы опорных закреплений и расчетные длины.
1 – складки, 2 – разрыв.
Центрально сжатые элементы рассчитывают по прочности
и устойчивости в двух взаимно перпендикулярных
плоскостях.
Страница 4 из 19
СГУПС кафедра «Строительные конструкции и здания»
«Конструкции из дерева и пластмасс» Лекция 3
3. Расчет элементов ДК цельного сечения
3.2.1. Расчет на прочность
Расчет на прочность сжатых элементов выполняют по
формуле:
N
≤ Rс ,
Aнт
где:
N – расчетная продольная сила;
Aнт – площадь нетто рассматриваемого поперечного
сечения, причем ослабления, расположенные на участке
длиной 20 см считаются совмещенными в одном сечении;
Rс – расчетное сопротивление древесины сжатию.
Для досок 2-го сорта Rс=13 МПа.
Брусья имеют меньше перерезанных волокон при распиловке, чем доски, поэтому
для элементов 2-го сорта прямоугольного сечения с шириной сечения 11…13 см при
высоте сечения 11 см и более расчетное сопротивление сжатию вдоль волокон Rс =14
МПа.
Прочность брусьев с большими размерами сечения (ширина сечения больше 13
см и высота сечения 13 см и более) повышается до Rс =15 МПа.
Бревна совсем не имеют перерезанных волокон, поэтому их расчетное
сопротивление Rс =16 МПа.
Рис.3.3 – К определению площади поперечного сечения нетто
Aнт= Aбр-Aосл;
Aбр=b·h – площадь сечения брутто;
Aосл=b·2d – площадь ослаблений в сечении (на длине 20 см)
Страница 5 из 19
СГУПС кафедра «Строительные конструкции и здания»
«Конструкции из дерева и пластмасс» Лекция 3
3. Расчет элементов ДК цельного сечения
3.2.2. Расчет на устойчивость
Сжатые стержни, помимо расчета на прочность, должны
быть рассчитаны на устойчивость (продольный изгиб).
Явление продольного изгиба заключается в том, что гибкий
центрально-сжатый прямой стержень теряет прямолинейную
форму (теряет устойчивость) и начинает выпучиваться при
напряжениях, значительно меньших предела прочности.
Расчет сжатого элемента на устойчивость производят по
формуле
N
≤ Rс ,
ϕ ⋅ A расч
а)
б)
1
1-1
2
2
1
1
1-1
2
2
1
2-2
где:
N – расчетная продольная сила;
Rс – расчетное сопротивление древесины сжатию;
Арасч – расчетная площадь поперечного сечения, которая
принимается равной:
ƒ при отсутствии ослаблений Арасч= Абр,
ƒ при ослаблениях в опасных сечениях, не выходящих
на кромки, если площадь ослаблений не превышает 25%
площади сечения Абр, Арасч= Абр,
ƒ то же, если площадь ослаблений более 25% площади Абр,
Арасч= 4/3Ант,
ƒ при симметричных ослаблениях, выходящих на кромки
Арасч= Ант,
ƒ при несимметричном ослаблении, выходящем на кромки,
элементы рассчитывают как внецентренно сжатые.
2-2
Рис.3.4 – Ослабления поперечных сечений:
а – не выходящее на кромки элемента;
б – выходящее на кромки элемента.
Страница 6 из 19
СГУПС кафедра «Строительные конструкции и здания»
«Конструкции из дерева и пластмасс» Лекция 3
3. Расчет элементов ДК цельного сечения
φ – коэффициент продольного изгиба, учитывает влияние
гибкости элемента (λ) на устойчивость.
Гибкость элемента равна:
λ=
l0
,
i
где:
l0 – расчетная длина элемента, которая определяется
умножением его свободной длины l (расстояние между
раскреплениями сечений от смещения) на коэффициент μ0,
зависящий от типа закрепления концов элемента,
Рис.3.5 – Значения коэффициентов μ0
(красным цветом выделены зоны опасных сечений, ослабления в
которых влияют на устойчивость стержня)
l0 = μ0 ⋅ H ;
i – радиус инерции поперечного сечения элемента,
i=
I
.
A
Радиус инерции прямоугольного сечения i=0.289h, радиус
инерции круглого сечения i=d/4.
Страница 7 из 19
СГУПС кафедра «Строительные конструкции и здания»
«Конструкции из дерева и пластмасс» Лекция 3
3. Расчет элементов ДК цельного сечения
При гибкости более 70 ( λ > 70 ) сжатый элемент теряет
устойчивость, когда напряжения сжатия в древесине еще
невелики, и она работает упруго. Коэффициент продольного
изгиба в этом случае определяют по формуле Эйлера –
ϕ=
λ > 70
A
λ2
λ > 70
,
где:
А=3000 – для древесины,
А=2500 – для фанеры.
При гибкостях, равных и меньших 70 ( λ ≤ 70 ) элемент
теряет устойчивость, когда напряжения сжатия достигают
упругопластической стадии, в этом случае –
λ ≤ 70
2
⎛ λ ⎞
ϕ = 1− a⋅⎜
⎟ ,
⎝ 100 ⎠
λ ≤ 70
где:
а=0,8 – для древесины,
а=1 – для фанеры;
Страница 8 из 19
СГУПС кафедра «Строительные конструкции и здания»
«Конструкции из дерева и пластмасс» Лекция 3
3. Расчет элементов ДК цельного сечения
3.3. Изгибаемые элементы
Изгибаемые элементы воспринимают нагрузки,
действующие поперек продольной оси в одной из главных
плоскостей сечения. Такой вид изгиба называется
поперченным изгибом.
На поперечный изгиб работают: балки, стропила, прогоны,
обрешетки, настилы.
а)
б)
q
L
в)
L
Рис. 3.6 – Расчетные схемы изгибаемых элементов:
а – однопролетная шарнирно-опертая балка; б – то же, с консолями; в –
многопролетная шарнирно-опертая балка; г – однопролетная балка с жестким
защемлением опорных сечений; д – консольная балка
г)
д)
В изгибаемых элементах от нагрузок, действующих поперек
продольной оси, возникают изгибающий момент М и
поперечная сила Q, определяемые методами строительной
механики.
Например, в однопролетной балке пролетом l от
равномерно-распределенной нагрузки q возникают изгибающий
момент в середине пролета M=ql2/8 и поперечная сила в
опорном сечении Q=ql/2.
q
L
Эп.М
Рис.3.7 – Эпюры M и Q в однопролетной балке
Эп.Q
Страница 9 из 19
СГУПС кафедра «Строительные конструкции и здания»
«Конструкции из дерева и пластмасс» Лекция 3
3. Расчет элементов ДК цельного сечения
От изгибающего момента M в сечениях элемента возникают
нормальные напряжения σ и деформации изгиба, которые
состоят из сжатия в одной части сечения и растяжения в другой,
в результате чего элемент изгибается.
Рис.3.8 – Изгибаемый элемент
а – деформированный вид и эпюра изгибающих моментов;
б – поперечное сечение и эпюры нормальных напряжений σ при упругом и упругопластическом (перед разрушением) характере работы; в - разрушение древесины
от деформаций сжатия и растяжения при изгибе
Поперечная сила Q вызывает деформации сдвига вдоль оси
элемента и касательные напряжения τ, максимальные на
нейтральной оси элемента.
Рис.3.9 – Деформации сдвига при поперечном изгибе
а – деформированный вид балки цельного сечения и балки из двух несвязанных
между собой брусьев; б – эпюры сдвигающих усилий T по длине балки и касательных
напряжений τ по сечению; в – разрушение приопорных участков балки от
касательных напряжений
Страница 10 из 19
СГУПС кафедра «Строительные конструкции и здания»
«Конструкции из дерева и пластмасс» Лекция 3
3. Расчет элементов ДК цельного сечения
Диаграмма σ–ε при изгибе, как и при сжатии, примерно до
половины имеет линейное очертание (упругий характер
работы), затем изгибается (упруго-пластический), показывая
ускоренный рост прогибов.
Предел прочности чистой древесины на изгиб при
кратковременных испытаниях равен 80 МПа. Разрушение
образца начинается с появления складок в крайних сжатых
волокнах и завершается разрывом крайних растянутых.
Рис.3.10 – Изгибаемый элемент
а – график деформаций и стандартный образец; б – поперечное сечение и
эпюры σ; в - разрушение образца
В общем случае для изгибаемых элементов выполняют
четыре проверки:
ƒ прочность при действии максимальных нормальных
напряжений,
ƒ прочность при действии максимальных касательных
напряжений,
ƒ устойчивость плоской формы деформирования,
ƒ проверка по допускаемому прогибу.
Страница 11 из 19
СГУПС кафедра «Строительные конструкции и здания»
«Конструкции из дерева и пластмасс» Лекция 3
3. Расчет элементов ДК цельного сечения
3.3.1. Расчет на прочность при действии σmax
От изгибающего момента в сечениях элемента действуют
нормальные к сечению элемента напряжения σ, которые
сжимают одну часть сечения и растягивают другую:
Расчет прочности изгибаемых элементов на действие
максимальных нормальных напряжений выполняют по
формуле:
M
W расч
≤ Rи ,
где:
М – максимальный изгибающий момент;
Wрасч – расчетный момент сопротивления поперечного
сечения элемента.
Для элементов цельного сечения Wрасч= Wнт.
При вычислении Wнт ослабления сечения, расположенные
на участке элемента длиной до 200 мм, принимают
совмещенными в одном сечении.
Рис.3.11 – К определению момента сопротивления сечения нетто
I нт = I бр − I осл =
⎛ bd 3
⎞
bh 3
− 2⎜
+ bd ⋅ c 2 ⎟;
⎜ 12
⎟
12
⎝
⎠
I
W нт = нт
h/ 2
Момент сопротивления прямоугольного сечения без
ослаблений W=bh2/6, для круглого сечения W=π·d3/32.
Страница 12 из 19
СГУПС кафедра «Строительные конструкции и здания»
«Конструкции из дерева и пластмасс» Лекция 3
3. Расчет элементов ДК цельного сечения
Расчетное сопротивление изгибу по СП 64.13330.2011
«Деревянные конструкции» рекомендуется принимать таким
же, как и при сжатии вдоль волокон.
Для досок 2-го сорта Rи=13 МПа.
Брусья имеют меньше перерезанных волокон при распиловке, чем доски, поэтому
для элементов 2-го сорта прямоугольного сечения с шириной сечения 11…13 см при
высоте сечения 11 см и более расчетное сопротивление сжатию вдоль волокон Rи =14
МПа.
Прочность брусьев с большими размерами сечения (ширина сечения больше 13
см и высота сечения 13 см и более) повышается до Rи =15 МПа.
Бревна совсем не имеют перерезанных волокон, поэтому их расчетное
сопротивление Rи =16 МПа.
Клееные криволинейные элементы, изгибаемые моментом
М, уменьшающим их кривизну, следует проверять дополнительно на радиальные растягивающие напряжения по формуле:
ο r ≤ R р,90 ,
где:
σr – растягивающие радиальные напряжения;
Rр,90 – расчетное сопротивление древесины растяжению
поперек волокон.
Рис.3.12 – Растягивающие радиальные напряжения в криволинейном изгибаемом
элементе
Страница 13 из 19
М
М
ΔХ
СГУПС кафедра «Строительные конструкции и здания»
«Конструкции из дерева и пластмасс» Лекция 3
3. Расчет элементов ДК цельного сечения
3.3.2. Проверка на скалывание при изгибе
Выполняется по формуле:
Q ⋅ S бр
I бр ⋅ b
≤ Rск ,
где:
Q – расчетная поперечная сила;
Sбр – статический момент брутто сдвигаемой части сечения
относительно нейтральной оси;
Эп.τ
h
Сдвигаемая (отсеченная)
часть сечения
h/2
τmax
b
ц.т.
При проверке прочности сечения на максимальные касательные
напряжения, сдвигаемой частью сечения будет часть сечения, расположенная
по одну сторону от нейтральной оси.
Статический момент равен произведению площади части сечения на
расстояние от центра тяжести этой части до оси, относительно которой
определяется статический момент.
h/4
Рис.3.13 – Поперечное сечения элемента, эпюра касательных напряжений и
схема к определению статического момента сдвигаемой части сечения
h h
S бр = b ⋅ .
2 4
Iбр – момент инерции брутто рассматриваемого сечения,
bh 3
момент инерции прямоугольного сечения I бр =
;
12
b – ширина сечения;
Rск – расчетное сопротивление скалыванию при изгибе (для
древесины 1 сорта при скалывании вдоль волокон Rск=1,8 МПа
для неклееных элементов и Rск=1,6 МПа для клееных
элементов).
Страница 14 из 19
СГУПС кафедра «Строительные конструкции и здания»
«Конструкции из дерева и пластмасс» Лекция 3
3. Расчет элементов ДК цельного сечения
3.3.3. Расчет на устойчивость
Изгибаемые элементы прямоугольного сечения проверяют
на устойчивость плоской формы деформирования –
устойчивость из плоскости изгиба, на участке, на котором
сжатая кромка элемента может выйти из плоскости изгиба – по
формуле
lр
M
≤ Rи ,
ϕ M ⋅ W бр
где:
М – максимальный изгибающий момент на
рассматриваемом участке lp,
Wбр – максимальный момент сопротивления брутто на
рассматриваемом участке lp,
lр
lp – расстояние между опорными сечениями элемента, а при
закреплении сжатой кромки элемента в промежуточных точках
от смещения из плоскости изгиба – расстоянию между этими
точками.
lр
Рис.3.14 – К определению расчетного участка при потере устойчивости плоской
формы деформирования однопролетной шарнирно-опертой балки
φM – коэффициент устойчивости при действии момента.
Страница 15 из 19
СГУПС кафедра «Строительные конструкции и здания»
«Конструкции из дерева и пластмасс» Лекция 3
3. Расчет элементов ДК цельного сечения
Коэффициент φM для изгибаемых элементов прямоугольного
постоянного поперечного сечения шарнирно-закрепленных от
смещения из плоскости изгиба и закрепленных от поворота
вокруг продольной оси в опорных сечениях, следует определять
по формуле
b2
⋅ kф ,
ϕ M = 140 ⋅
l рh
b – ширина поперечного сечения,
h – максимальная высота поперечного сечения на участке lp,
kф – коэффициент, зависящий от формы эпюры на участке lp
При расчете изгибаемых элементов с линейно меняющейся
по длине высотой и постоянной шириной поперечного сечения
не имеющих закреплений из плоскости по растянутой от
момента кромке, или при числе таких закреплений меньше
четырех, коэффициент φM следует умножать на
дополнительный коэффициент kжм,
При подкреплении из плоскости изгиба в промежуточных
точках растянутой кромки на участке lp коэффициент φM
следует умножать на дополнительный коэффициент kпм.
Все коэффициенты приводятся в СП 64.13330.2011.
Проверку устойчивости плоской формы деформирования изгибаемых
элементов двутаврового или коробчатого сечения следует производить в тех
случаях, когда lp≥7b, где b – ширина сжатого пояса поперечного сечения.
Расчет следует производить по формуле:
M
≤R ,
ϕ M ⋅ W бр
с
где: φ – коэффициент продольного изгиба сжатого пояса; Wбр – момент
сопротивления брутто поперечного сечения, в случае фанерных стенок –
приведенный момент сопро-тивления в плоскости изгиба элемента; Rc –
расчетное сопротивление сжатию.
Страница 16 из 19
СГУПС кафедра «Строительные конструкции и здания»
«Конструкции из дерева и пластмасс» Лекция 3
3. Расчет элементов ДК цельного сечения
3.3.4. Проверка изгибаемых элементов по прогибам
Определяется относительный прогиб, значение которого не
должно превышать предельного значения,
регламентированного СНиПом:
f ⎡f⎤
≤
,
l ⎢⎣ l ⎥⎦
Таблица 3.1 – Предельно допустимые прогибы
Элементы конструкций
1. Балки междуэтажных перекрытий
2. Балки чердачных перекрытий
3. Покрытия (кроме ендов):
а) прогоны, стропильные ноги
б) балки консольные
в) фермы, клееные балки
г) плиты
д) обрешетки, настилы
4. Несущие элементы ендов
5. Панели и элементы фахверка
Предельные прогибы в долях
пролета, не более
1/250
1/200
1/200
1/150
1/300
1/250
1/150
1/400
1/250
Наибольший прогиб f шарнирно-опертых и консольных
изгибаемых элементов постоянного и переменного сечения
следует определять по формуле:
2
f ⎡
⎛ h⎞ ⎤
f = 0 ⎢1 + c⎜ ⎟ ⎥ ,
k ⎢
⎝ l ⎠ ⎥⎦
⎣
где:
f0 – прогиб балки постоянного сечения без учета деформаций
сдвига;
Страница 17 из 19
СГУПС кафедра «Строительные конструкции и здания»
«Конструкции из дерева и пластмасс» Лекция 3
3. Расчет элементов ДК цельного сечения
h – наибольшая высота сечения;
k – коэффициент, учитывающий переменность высоты
поперечного сечения, для балки постоянного сечения k=1;
с – коэффициент, учитывающий деформации сдвига от
поперечной силы.
Значения коэффициентов k и с приведены в СП
64.13330.2011.
Например, для шарнирно-опертых балок:
q l4
f0 = α ⋅ н ,
EI
α – коэффициент, зависящий от числа пролетов, равный для
однопролетной балки 5/384; двухпролетной – 2,13/384.
Несмотря на то, что перемещения сечений балки происходят поперек оси,
то есть поперек волокон, модуль упругости принимается вдоль волокон, так
как перемещения изгиба происходят за счет деформаций, направленных вдоль
волокон – деформации растяжения и сжатия.
Рис.3.15 – Направление деформация и прогиба по отношению к волокнам
изгибаемого элемента
Страница 18 из 19
СГУПС кафедра «Строительные конструкции и здания»
«Конструкции из дерева и пластмасс» Лекция 3
3. Расчет элементов ДК цельного сечения
3.3.5. Косой изгиб
Возникает в случае, когда плоскость действия нагрузок не
совпадает с главными плоскостями сечения балки, как
например, в брусчатых прогонах скатных покрытий.
В этом случае действующая нагрузка разделяется на два
главных направления (нормальную qx и скатную qy
составляющие). Напряжения и деформации рассчитываются
отдельно в каждой плоскости и затем суммируются.
у
х
Рис.3.16 – Расчетная схема при косом изгибе
qx=q·sinα; qy=q·cosα
Проверку прочности при косом изгибе производят по
формуле:
Mx My
+
≤ Rи .
Wx W y
Суммарный вертикальный прогиб находят геометрическим
суммированием прогибов относительно каждой из осей сечения:
f =
Страница 19 из 19
f x2 + f y2 .
СГУПС кафедра «Строительные конструкции и здания»