Школьная олимпиада по математике. 2015 год. 4 класс. Ответы.

Школьная олимпиада по математике. 2015 год. 4 класс. Ответы.
Правильный ответ на каждую задачу стоит 2 балла, если не оговорено иное!
Задача 1.
Задача 2. 10 детей
Задача 3. Проверять ответ. Один из вариантов разрезания:
Задача 4. 552152015
Задача 5. 10
Задача 6. 30 золотых, 31 серебряных, 35 бронзовых
Задача 7. 20 разломов, 24 палочки
Задача 8. 4.
Задача 9. Слева направо: Шарик, дядя Федор, Матроскин, Печкин.
Задача 10. 32 км
Задача 11. 2.
Задача 12. 4 коробки по 7 яблок и 9 коробок по 8 яблок.
Задача 13. В 1993 году или в 2011 году.
Если указан только один верный ответ – 1 балл. Если 1 верный + 1 неверный – 0 баллов.
Оба верных ответа при отсутствии неверных – 2 балла. Два верных и один неверный –
1 балл. Два верных и два неверных – 0 баллов.
Задача 14. Внимательно проверять ответ! Вариантов много, один из них:
1·2+3+4+5-6-7+8 = 9. ЛЮБОЙ верный ответ стоит два балла. Отсутствие верного ответа – 0
баллов.
Задача 15. 12 способов.
Школьная олимпиада по математике. 2015 год. 5 класс. Ответы.
Правильный ответ на каждую задачу стоит 2 балла, если не оговорено иное!
Задача 1.
Задача 2. 46 кабин
Задача 3. 1008
Задача 4. 10012015
Задача 5. Проверять ответ! Скорее всего, он будет такой: 4 · 12 + 18 : (6 + 3) = 50. Если
дети найдут другой верный ответ, его необходимо зачесть.
Задача 6. 15 мальчиков, 10 девочек
Задача 7. 37 разломов, 46 палочек
Задача 8. 6.
Задача 9. Толя, Аня, Оля, Кира, Паша.
Задача 10. 0.
Задача 11. 48.
Задача 12. Проверять разрезание! Один из вариантов:
Любой другой верный ответ тоже зачесть!
Задача 13. Петр Сидорович.
Задача 14. Внимательно проверять ответ! Вариантов много, один из них:
1·2·3·4+5+6+7·8+9=100. ЛЮБОЙ верный ответ стоит два балла. Отсутствие верного ответа
– 0 баллов.
Задача 15. Алмаз нашёл Пили, топаз — Ели, а медный таз — Спали.
Школьная олимпиада по математике. 2015 год. 6 класс. Ответы.
Правильный ответ на каждую задачу стоит 3 балла, если не оговорено иное!
Задача 1. 14 и 11.
Задача 2. 45
Задача 3. 671
Задача 4. 100
Задача 5. 14
Задача 6. 10.
Задача 7. 130
Задача 8. 2.
Задача 9. 48 рублей
Задача 10. 18
Задача 11. 6
Задача 12. Внимательно проверять ответ! Вариантов много, один из них:
1+2+3−4−5+6·7+8·9=111. ЛЮБОЙ верный ответ стоит 3 балла. Отсутствие верного ответа –
0 баллов.
Задача 13. 2, 3 или 4.
Если указан только один верный ответ при отсутствии неверных – 1 балл. Два верных
ответа при отсутствии неверных – 2 балла. Три верных ответа при отсутствии
неверных – 3 балла. При наличии верных и неверных ответов количество баллов равно
разности между количеством верных и количеством неверных, но не меньше 0.
Задача 14. Единственный ответ:
Задача 15. 4
Школьная олимпиада по математике. 2015 год. 7 класс. Ответы.
Правильный ответ на каждую задачу стоит 3 балла, если не оговорено иное!
Задача 1. Миша старше на 3 месяца
Задача 2. 7
Задача 3. 537
Задача 4. 30
Задача 5. 77
Задача 6. Математик
Задача 7. 401, 402, 403, 404, 405.
Задача 8. 25.
Задача 9. 135 рублей
Задача 10. 33
Задача 11. 7 или 8.
Если указан только один верный ответ при отсутствии неверных – 1 балл. Два верных
ответа при отсутствии неверных – 3 балла. Два верных и один неверный – 1 балл. Если
неверных ответов не меньше, чем верных – 0 баллов.
Задача 12. Внимательно проверять ответ! Вариантов много, один из них:
1−2·3−4+5·6·7+8−9=200. ЛЮБОЙ верный ответ стоит 3 балла. Отсутствие верного ответа –
0 баллов.
Задача 13. 4 кг.
Задача 14. Единственный ответ:
Задача 15. Люся Егорова с Юрой Воробьёвым, Оля Петрова — с Андреем Егоровым, Инна
Крымова — с Серёжей Петровым, Аня Воробьёва — с Димой Крымовым.
Школьная олимпиада по математике. 2015 год. 8 класс. Ответы.
Правильный ответ на каждую задачу стоит 7 баллов.
1.Ответ : 1050
Решение: Заметим факты: при максимальном произведении в каждом из
сомножителей цифры идут в порядке убывания.( то есть 0 должен стоять в
конце одного из сомножителей). Без разницы, в конце, какого из двух
сомножителей поставить 0, произведение от этого не изменится. Поэтому
можно переставить его так, чтобы оба сомножителя стали двузначными.
После этого останется перебрать три варианта:
21 · 50 = 1050,
52 · 10 = 520, 51 · 20 = 1020
2. Ответ: нет
Решение: После каждого разрезания исчезает один «большой» листок и
появляются 6 «маленьких», поэтому каждая такая операция приводит к
появлению 6-1 = 5 новых кусочков, т.е. количество листков будет 5n + 1
(при делении на 5 дает в остатке 1). Значит число кусков никогда не
может быть равным 2015.
3.Ответ: нет
Решение: Заметим, что МАМА = МА ● 101. Так как 101 простое число и
на него делится произведение ДО ● ЧЬ, то одно из этих чисел должно
делиться на 101. Но двузначное число не может делиться на
трехзначное. Поэтому данный ребус не имеет решений.
4. Ответ: 165
Решение: Умножим первое равенство на 7, а второе на - 3 и сложим
полученные
равенства. Получим, что x2 + z2 =65.Учитывая, что x и z - натуральные
числа,
перебором находим, что
х =1
х=8
х=4
х=7
или
z =8
или
z=1
или
z=7
z=4
Подставим полученные результаты в любое из данных равенств.
1)
2)
3)
4)
Если х =1, z = 8, то у2 = 85, у – не натуральное;
Если х =8, z = 1, то у2 = 148, у – не натуральное;
Если х =4, z = 7, то у2 = 100, в этом случае x2 +y2 +zz = 165;
Если х =7, z =4, то у2 = 148, то у – не натуральное.
5. Ответ: периметр четырехугольника АМОК равен p.
Решение:
Школьная олимпиада по математике. 2015 год. 9 класс. Ответы.
Правильный ответ на каждую задачу стоит 7 баллов.
Задача 1.
Т.к 1+2015-2016=0, то х1=1, а по теореме Виета х1х2=-2016, то х2= -2016
Ответ: -2016;1
Задача 2 :
Так как трехзначное число не может начинаться с нуля, то двойка, после которой идет
нуль, не может стоять в разряде единиц одного из трехзначных чисел ряда.
Пусть двойка стоит в разряде десятков трехзначного числа.
Тогда идущий за ней нуль стоит в разряде единиц того же числа,
т.е. это число оканчивается на 20.
Таких чисел 9: 120, 220, .........., 920.
Наконец, если двойка, после которой идет нуль, стоит в разряде сотен, то
соответствующее трехзначное число начинается на 20.
Таких чисел 10: 200, 201, .........., 209.
Таким образом, всего после двойки нуль будет встречаться 19 раз.
Задача 3
Найдем ОД.З.
х2 -18х +81
18х − 81 − х2 ≥ 0;
0;
(х − 9)2 ≤ 0; (х − 9)2 = 0 ; х=9, у=9 или у=- 9.График уравнения – две точки: (9;-9),(9;9)
Задача 4.
Пусть x — меньшая сторона параллелограмма, тогда √3x — большая сторона. Пусть y —
меньшая диагональ, тогда √7 у— большая диагональ. Имеем: 2х2 + 2(√3х)2 = у2 + (√7у)2 ,
откуда х=у. Получаем: острый угол параллелограмма равен 30°, тупой — 150°.
Ответ: в 5 раз
Задача 5.
Площадь квадрата равна 100. Если представить 100 в виде суммы натуральных чисел, то число
слагаемых будет наибольшим, если разность между числами равна одному. Возьмем
прямоугольники площади 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Их суммарная площадь равна 55. Значит, сумма
площадей остальных прямоугольников равна 45. Заметим, что если площадь прямоугольника
больше 10, то она не может быть простым числом, иначе такой прямоугольник имеет сторону
больше 10 и не помещается в квадрат 10 × 10. Составными числами больше десяти являются числа
12, 14, 15, 16, 18,,… Любые четыре из них в сумме дают число больше 45. Сумму, равную 45, дают,
например, такие три числа: 12,15,18 или 14,15,16. Получаем, что число прямоугольников меньше
или равно 13.
Школьная олимпиада по математике. 2015 год. 10 класс. Ответы.
Правильный ответ на каждую задачу стоит 7 баллов.
1. Ответ: 4567.
Решение: разность прогрессии может быть равной лишь 1,-1,2,-2.так как четной
цифрой число заканчиваться не может, то начинаться оно должно с четной цифры
(при разности 1 или -1) или нечетной цифры ( при разности 2 или -2). Рассматривая
возможные варианты: 2345, 4567, 6789, 8765, 6543, 4321, 1357, 3579, 9753, 7531 –
находим единственное простое число: 4567.
2. Ответ: 245.
Решение: посадим в полдень мух А, В, С на секундную, минутную, часовую стрелки.
Когда стрелки встречаются, мухи, сидящие на них меняются местами. В результате,
в любой момент времени А впереди В(по суммарному пройденному расстоянию),
а В впереди С, но А обгоняет С не более, чем на круг. Все три мухи с полудня до
полуночи сделали 1+12+60*12=733 оборота (суммарное число оборотов, которое
делают три стрелки). Так как 733=244*3+1, то мухи В и С сделали по 244 оборота, а
А на один больше.
3. Ответ: (1;2;3), (3;2;1), (3;1;2), (1;3;2), (2;1;3), (2;3;1).
Решение: если х=у=с, то уравнение примет вид 3х=х³. оно не имеет натуральных
решений.
Если х≠у≠с и х≤у≤с, то х+у+с≤3с, откуда ху≤3. Значит ху=1, или ху=2, или ху=3.
Рассмотрев эти случаи, получим решение (1;2;3). Рассмотрев другие варианты
соотношений между переменными, получим остальные решения.
4. Ответ: первый.
Решение: покажем, что первый игрок не проиграет, так как каждым своим ходом
он может получать число вида 1011…11, которое не делится на 11 в силу того, что
разность сумм цифр, стоящих на четных и на нечетных местах, равна 1 или 2.
Действительно, первым ходом первый игрок заменяет вторую слева 1 на 0, а
далее, либо стирает 0, появившийся после хода второго игрока, либо, если тот стер
единственный ноль, опять заменяет вторую слева 1 на 0. Это он всегда сможет
сделать.
5. Ответ: 45°.
Решение: выполнив дополнительные построения, получим равнобедренный
прямоугольный треугольник ВКР (это нетрудно доказать), где угол К – прямой.
Значит, угол РВК=45°, а он равен искомому углу.
Р
В
А
С
К
Школьная олимпиада по математике. 2015 год. 11 класс. Ответы.
Правильный ответ на каждую задачу стоит 7 баллов.
1
1
1 1
1
1
1
1. Представим левую часть как (1 − ) + ( − ) + ⋯ + (
−
2
3
2 3
5
2 2013
1
1
1
1
). Легко заметить, что 2 (1 − 2015) < 2.
2015
2. sin200sin800sin1400= -sin20sin80-sin40=sin80 - (sin40+
sin20)=
= cos10-2cos10sin30= cos10 (1-2sin30)=0
3. Да, можно.
Например в первой группе 25,26,…,49, 53,54,…,77. Их сумма 2550. Во
второй все остальные.
4. Пусть прямые AE и ВС пересекаются в точке К, а ВС и ED в точке М.
Тогда, серединные перпендикуляры к отрезкам AB и CD являются
биссектрисами углов К и М соответственно, и пересекаются на
биссектрисе угла Е.
5. Заметим, что x=-1008 является корнем уравнения. Данная в левой
части уравнения сумма, монотонно возрастающая функция и имеет с
осью абсцисс единственную точку пересечения. Следовательно корень
x=-1008 единственный.