Обучение фрактальной геометрии студентов вуза как средство

ОБУЧЕНИЕ ФРАКТАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ СТУДЕНТОВ ВУЗА
КАК СРЕДСТВО ИНТЕГРАЦИИ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
В. С. Секованов, д.п.н., профессор кафедры прикладной математики и
информационных технологий
Костромской государственный университет им. Н. А. Некрасова
Фрактальная
геометрия
–
молодое
быстроразвивающееся
математическое направление, связанное не только с выдвижением новых
математических идей, но и интеграцией с другими науками. Идеи
фрактальной геометрии в настоящее время применяются в физике, медицине,
психологии, экономике, лингвистике и других областях.
Развитие фрактальной геометрии связано с разработкой новых
компьютерных технологий, поскольку построение фракталов невозможно без
компьютерных средств. Компьютерная графика за последние годы сделала
большой шаг в своем развитии. Появился термин фрактальная графика и
специальные редакторы работы с ней.
Мы приведем здесь три способа построения фракталов, которые дают
возможность моделировать различные объекты и процессы (см. также [1–3]).
Важно отметить, что освоив алгоритмы построения фракталов, у
студента появляются универсальные методы для создания различных
математических моделей как в природе, так и в обществе.
I. Построение итераций фракталов с помощью L – систем. При
использовании L-систем в качестве подсистем вывода используется тертлграфика (turle – черепаха). Суть построения многих фракталов на плоскости
такова (снежинка Коха, дракон Хартера-Хайтвея и др.): выбираются аксиома
(обычно отрезок, ломаная, треугольник, квадрат и т. д.) и порождающее
правило (ломаная линия). За один шаг алгоритма каждый из отрезков
ломаной «ползущая черепашка» заменяет порождающим правилом в
соответствующем масштабе. Запишем построение фрактала (модификации
кривой Коха) в виде таблицы 1.
Вход
Аксиома (axiom):
Порождающее
правило (newf):
Начальный
угол
(α):
Угол
поворота
(θ):
Таблица 1
‘F’
‘F-F++F--F++F-F’
0
π/3
На рис. 1 изображены три итерации фрактала. Аксиомой является
отрезок (задается в виде ‘F’) и аксиомой является ломаная линия (задается в
виде‘F-F++F--F++F-F’).
Рис 1
II. Построение итераций фракталов на комплексной плоскости. В
комплексной
плоскости
(заполняющие
множества
Жюлиа)
фракталы
программируются с помощью итерированных функций комплексного
переменного f ( z )  z 2  c , c  C . После десятка итераций становится ясно, к
какому аттрактору устремится точка z комплексной плоскости.
Рис 2
Если ее орбита ограничена, то компьютерная программа отмечает
данную точку отдельным (черным) цветом. Заполняющее множество Жюлиа
будет состоять именно из точек, орбиты которых ограничены. На Рис. 2
приведен
фрактал,
построенный
итерацией
функции
f(z)
=
z2 –
0,24251+0,8271i.
III. Построение фракталов с помощью аффинных преобразований.
При построении итераций фракталов в данном случае подбираются
коэффициенты матрицы нескольких аффинных преобразований. Затем
происходят
процессы
итерации.
Рассмотрим
применение
аффинных
преобразований на примере построения пыли Серпинского (Рис. 3 – 4).
Рис. 3
Для построения пыли Серпинского использовались четыре сжимающих
аффинных преобразования, каждое из которых переводит исходный квадрат
в соответствующие квадраты.
 x  1 / 3 0  x   0 
     ;
T1    
 y   0 1 / 3  y   0 
 x  1 / 3 0  x   0 
   

T2    
 y   0 1 / 3  y   2 / 3 
 x  1 / 3 0  x   2 / 3 
 x  1 / 3 0  x   2 / 3 
   
 ; T4    
   

T3    
 y   0 1 / 3  y   2 / 3 
 y   0 1 / 3  y   0 
T3
T2
T1
T4
Рис. 4
Не только указанные выше классические математические объекты
можно построить с помощью сжимающих аффинных преобразований.
помощью
сжимающих
аффинных
преобразований
можно
С
построить
множество объектов природы, которые нас окружают.
Построим «ветвь куста». В качестве начальной фигуры возьмем
квадрат единичной длины и к каждой его точке применим совокупность
аффинных преобразований, записанных в матричной форме.
Построение данного фрактала осуществляется с помощью аффинных
преобразований A1, A2, A3, A4, A5, A6. Укажем первые 6 итераций множества
«Ветвь куста».
1
3
5
2
4
3
5
6
Рис. 5
Заметим, что с ростом числа итераций действительно возникает все
более и более четкое изображение ветви куста. После шестой итерации
фрактала получим рисунок, изображенный выше (Рис. 5). Если раскрасить
этот объект, то получится фигура очень похожая на ветвь куста.
Опыт преподавания фрактальной геометрии в рамках спецкурсов и
факультативов
показывает,
что
обучение
фрактальной
геометрии
обуславливает актуализацию знаний учащихся и обеспечивает включение их
в самостоятельный поиск решений нестандартных задач, способствует
интеграции модальностей восприятия обучаемых и развитию креативности
учащихся
посредством
формирования
системы
креативных
качеств,
адекватных специальным видам творческой математической деятельности.
Следует отметить, что при обучении фрактальной геометрии у
студентов усиливается уровень мотивации как к математике так и
информатике.
Литература
1.
Секованов В.С. Элементы теории фрактальных множеств:
Учебное пособие /ГОУВПО Костром. гос. ун-т. – Кострома: КГУ им. Н.А.
Некрасова, 2005. –135 с.
2.
Секованов
В.С.
Методическая
система
формирования
креативности студентов университета в процессе обучения фрактальной
геометрии. Костром. гос. ун.-т. Из-во КГУ, 2006. –279 с.
3.
В. С. Секованов, В.С. Скрябин Использование информационных
и коммуникационных технологий в процессе обучения фрактальной
геометрии Информатизация образования – 2008. Международная научнометодическая конференция. Славянск-на-Кубани 2008. С. 391– 395.