НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ РАСТЕКАНИЕ КАПЛИ ВЯЗКОЙ

Вестник Челябинского государственного университета. 2012. № 31 (285).
Физика. Вып. 15. С. 16–19.
О. Н. Лямина, В. П. Семёнов, С. И. Кадченко
НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ РАСТЕКАНИЕ КАПЛИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
ПО ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ТРУБЕ
Действие поверхностных сил обусловливает стекание жидкой пленки при конденсации пара
в пучке горизонтальных труб в виде отдельных капель и струй. Предложена математическая модель неизотермического процесса растекания капель вязкой жидкости по горизонтальным цилиндрическим поверхностям.
Ключевые слова: растекание капли, цилиндрическая поверхность, конденсация.
Основополагающей идеей для расчета процессов теплообмена при конденсации пара является
теория Нуссельта. Эта теория конденсации пара
на вертикальном ряде горизонтально расположенных труб основана на допущении о непрерывном характере течения по каждой трубе и перетекания конденсата с трубы на трубу в виде
сплошной пленки. Исследование реального механизма накопления и отвода конденсата в межтрубном пространстве горизонтальных трубных
пучков показало, что отвод конденсата происходит в виде капель или струй. Они формируются
из массы конденсата, скапливающегося в поддонном слое. Переход от режима течения пленки
без отрыва капель с боковой поверхности к режиму со срывом определяется числом Вебера,
характеризующим связь динамического напора
и сил поверхностного натяжения в конденсате.
Распределение капель вдоль нижней образующей зависит от удельной плотности теплового
потока, условий натекания пара на поверхность
конденсации и взаимного расположения трубок
в трубном пучке.
Рядом экспериментальных исследований установлено влияние эффектов дискретного перетекания на местную теплоотдачу. С помощью метода скоростной киносъемки авторы показали,
что теплообмен при конденсации пара на горизонтальных трубах во многом определяется
картиной отрыва и падения капель конденсата
с вышележащих труб на нижележащие [1–3].
В известной нам научной литературе подробно
изучены задачи растекания капель по плоским
твердым поверхностям и полностью отсутствует
теоретическое описание процесса неизотермического растекания капель по горизонтальным цилиндрическим поверхностям.
Постановка и методика решения задачи
Положим, что капля вязкой несжимаемой
жидкости, боковая поверхность которой в на-
чальный момент времени ограничена сферической поверхностью, а поверхность основания —
частью цилиндрической поверхности, начинает
растекаться по нагретой горизонтальной цилиндрической поверхности (рис. 1). Введем цилиндрическую систему координат с началом в точке 0, лежащей на пересечении оси цилиндрической трубы и перпендикуляра к оси трубы,
проходящего через центр пятна контакта капли
с подложкой. Допустим, что течение жидкости
в капле происходит симметрично относительно плоскостей z = 0 и φ = π/2, поэтому исследуем процесс нагрева и растекания капли в облаπ
⎧
⎫
сти W = ⎨r ≥ rmò ,0 ≤ φ
φ ≤ , z ≥ 0 ⎬ (рис. 1). Ось 0z
2
⎩
⎭
направим по оси цилиндрической трубы. Пусть
кинематическая вязкость ν , теплопроводность
λ и теплоемкость c жидкости зависят от температуры.
Для нахождения области исследования Ω
в начальный момент времени необходимо знать
величину угла φ0 и значение полярного радиуса
r для точек, принадлежащих внешней границе
капли ∂ Ω . Нетрудно показать, что в начальный
момент времени
⎛
r2 ⎞
ϕo0 = arcsin ⎜1 − k 2 ⎟ ,
⎝ 2 ròm ⎠
а значение полярного радиуса r для точек, принадлежащих границе ∂ Ω ,
r ∂Ω = rmò sin ϕ + rêk2 − z 2 − rmò2 cos 2 ϕ.

Массовая сила тяжести F , действующая на
каплю жидкости, имеет следующие проекции на
оси цилиндрической системы координат:
Fr = –g sinφ, Fφ = –g cosφ, Fz = 0.
Рассмотрим процесс растекания капли жидкости при условии, что кинематическая вязкость,
теплопроводность и теплоемкость жидкости зависят от температуры.
17
Неизотермическое растекание капли вязкой жидкости по горизонтальной трубе
y
rк
∂Ω
М
rт
x
z
Рис. 1. Принципиальная схема расположения одной четвертой части капли и части
цилиндрической трубы в начальный момент времени. Здесь rт — радиус трубы; rк — радиус капли;
∂Ω — подвижная граница капли жидкости, соприкасающаяся с нагретым газом
Используя общепринятые обозначения в безразмерном виде, система дифференциальных
уравнений, описывающая исследуемый процесс,
имеет вид


⎧ ∂V 
1 
ν 
F − Eu ∇p +
+ V ∇V =
ΔV ,
⎪ Sh
Fr
Fr
Re
∂t
⎪

⎪
∇ V = 0,
⎨
⎪
⎡∂T 
⎤
⎪
c⎢
Fo ∇ ( λ ∇ T ) ,
+ V ( ∇ T ) ⎥ = Fo
⎣ ∂t
⎦
⎩⎪
( )
(1)
( r , ϕ, z ) ∈ Ω. .

Здесь V — вектор скорости жидкости; p —
давление; t — время; F — массовая сила тяжеr
V2
Fr = * —
сти; Sh = * — число Струхаля; Fr
V*t*
r* F*
p
число Фруда; Eu = * 2 — число Эйлера;
ρ* V*
V r
Re = * * — число Рейнольдса; T — темпераν*
λ*
Fo =
тура; Fo
— число Фурье. Звездочкой
c* ρ* V* r*
обозначены характерные величины.
Система дифференциальных уравнений (1) решается при следующих начальных и граничных
условиях:


V (r , ϕ, z ,0) = V0 (r , ϕ, z ), p (r , ϕ, z ,0) = p0 (r , ϕ, z ),
T (r , ϕ, z ,0) = T0 (r , ϕ, z ), T (rmò , ϕ, z , t ) = Tmò (ϕ, z , t ),
−λ
∂T
∂r
= Bi (T − Tãг )
∂Ω
∂Ω


, V (rmò , ϕ, z , t ) = 0,
p (rmò , ϕ, z , t ) = pаà +
ρ* g* r*
h,
p*
(2)
2
h = r ∂Ω − ròm2 cos 2 ϕ − rmò sin ϕ,

 ∂T
∂V
∂p
= 0,
= 0,
= 0,
∂ z z =0
∂ z z =0
∂ z z =0

 ∂T
∂V
∂p
= 0,
= 0,
= 0,
∂ ϕ ϕ= π
∂ ϕ ϕ= π
∂ ϕ ϕ= π
2
2
2

где V0 — вектор начальной скорости, p0 — гидродинамическое давление в капле в начальный
момент времени; T0 — начальная температура
ρgr
сред; * * * h — добавочное давление на подp*
ложке.
Кроме того, на границе ∂Ω выполняются
условия динамического равновесия [4]:
−σ K nr = σ′r r nr + σ′r ϕ nϕ + σ′r z nz +
−σ K nϕ = σ′ϕ r nr + σ′ϕϕ nϕ + σ′ϕ z nz +
∂σ
,
∂r
1 ∂σ
,
r ∂ϕ
−σ K nz = σ′z r nr + σ′z ϕ nϕ + σ′z z nz +
(3)
∂σ
.
∂z
Здесь σ — поверхностное натяжение воды;
K — кривизна поверхности капли; σ′rr, σ′rφ,
σ′rz, σ′φφ, σ′zφ, σ′zz — компоненты тензора вязких
18
О. Н. Лямина, В. П. Семёнов, С. И. Кадченко
напряжений в цилиндрической системе координат; nr , nφ, nz — проекции единичной нормали
к поверхности капли на соответствующие оси
цилиндрической системы координат, направленные внутрь капли.
Система уравнений (1) решается численными методами. Для разработки алгоритма решения начально-краевой задачи (1–3) проведем
процесс дискретизации системы уравнений (1)
и области исследования, заменяя частные производные по времени на n-м временном шаге
δt-эквивалентными им конечно-разностными
выражениями:
 n  n  n −1
n
⎛ ∂V ⎞ V − V
⎛ ∂ T ⎞ T n − T n −1
=
,
. (4)
⎜⎜
⎟⎟
⎜
⎟ =
δt
δt
⎝ ∂t ⎠
⎝ ∂t ⎠
Подставляя (4) в (1), получим
 n  n −1 δt ⎡ 1  n −1
⎤
Eu∇p n ⎥ +
V
= V + ⎢ F − Eu
⎪
Sh
Sh ⎣ Fr
Fr
⎦
⎪
⎪
(5)
n −1
 n −1  n −1  n −1 ⎤
δt ⎡ ν
⎪
+
Δ
V
−
V
∇
V
,
⎪
⎢
⎥
Sh
Sh ⎣ Re
⎨
⎦
⎪
 n
⎪
∇ V = 0,
⎪
⎪
 n−1
δδt t ⎡
⎪ n
n −1
n −1
n −1
n −1
n −∇
1 T n)−1− V
∇
λ
∇ T∇nT−1n)−⎤⎥1 ⎤ .
⎡Fo
(
(
⎪TT n ==TT n −1++ n −1 ⎢ Fo
∇
λ
∇
−
Fo
T
V
(
)
( ⎦ )⎦⎥
c c n −1⎣ ⎣⎢
⎩
+
После элементарных преобразований получим
дифференциальное уравнение Пуассона вида
(
1 ⎡ 1  n −1 ν n −1  n −1  n −1  n −1
∇
ΔV − V
∇V
F +
Eu ⎢⎣ Fr
Re
Fr
Δp n =
∂ pn
1 ⎡ 1  n −1 ⎤
= Δp n −
∇
F ⎥+
Eu ⎢⎣ Fr
Fr
∂τ
⎦
1 ⎡ ν n −1  n −1  n −1  n −1 ⎤
+
∇⎢
ΔV − V
∇V
⎥.
Eu ⎣ Re
⎦
⎧⎪  n −1 δt ⎡ 1  n −1
n
∇ ⎨V +
⎢ Fr F − Eu ∇p +
Sh
⎣ Fr
⎩⎪
T
100
(p )
n m
( )
= pn
m −1
 n −1
−V
(
⎧⎪ 1
⎡ 1  n −1 νn −1  n −1
+ δτ ⎨
∇⎢ F
+
ΔV
−
Re
⎪⎩ Eu ⎣ Fr
 n −1 ⎤  n −1  n −1
∇V
−V
∇V
,
⎥⎦
)
(8)
Процесс решения уравнения (7) с использова-
нием (8) прекращается, когда | ( p
40
0,0061
)}
(
m = 1, ∞.
60
0,006
(7)
Решение уравнения (7) ищется с помощью
итерационной схемы
80
20
)
(
)
Для нахождения итерационной схемы вычисления значений гидродинамического давления
 n
p n на n -м временном слое подставим V из
первого уравнения системы (5) во второе уравнение. В результате получим
)⎤⎥⎦ .(6)
При решении дифференциального уравнения
(6) воспользуемся псевдонестационарным методом [5], идея которого состоит в получении решения стационарной задачи путем построения
эквивалентной нестационарной задачи и ее решения маршевым методом вплоть до достижения стационарного состояния. Рассмотрим соответствующее нестационарное уравнение
⎧⎧⎪
(
)
(
ν n −1  n −1  n −1  n −1 ⎤ ⎪⎫
ΔV − V
∇V
⎥ ⎬ = 0.
Re
⎦ ⎭⎪
0,0062
0,0063
0,0064
Рис. 2. Графики температурного поля капли при t = 0,0272c
с
n
)
m0
− ( pn )
m0 −1
|<
19
Неизотермическое растекание капли вязкой жидкости по горизонтальной трубе
< ε p , m0 ∈ N . В этом случае p n ≈ ( p n ) и мы
получаем численное решение уравнения (6).
Далее, применяя
первое равенство системы
n
V
;
потом, используя третье урав(5), находим
n
нение (5), находим T . Зная поле скоростей
и применяя закон сохранения массы, находим
форму капли на n -м временном шаге.
Для проведения численного эксперимента составлена программа в среде Maple, позволяющая
находить решение поставленной задачи на основе разработанного выше алгоритма. На рис. 2
построены графики распределения температуры жидкой капли в момент времени t = 0,0272 с
после начала ее растекания по цилиндрической
трубе в плоскости z = 0 . Графики температурного поля капли изображены в декартовой системе координат. По оси абсцисс откладывается
радиус поверхности жидкой капли, а по оси ординат — температура капли.
Снизу вверх от горизонтальной оси изображены графики температуры капли при различных
π
значениях полярного угла φ с шагом
в диа8
π
до 0 . Расчет проведен при rm =
пазоне от
2
= 0,006 м, rk = 0,002 м, Tm = 80 °C, Tг = 100 °C.
m0
Выводы
Разработан алгоритм решения задачи неизотермического растекания вязкой несжимаемой
жидкости по горизонтальной цилиндрической
трубе с учетом сил поверхностного натяжения.
Проведенные численные расчеты показали вычислительную эффективность разработанного
алгоритма.
Список литературы
1. Шкловер Г. Г., Буевич А. В. О механизме
течения пленки при конденсации пара в горизонтальных трубных пучках // Теплоэнергетика.
1978. № 4. С. 62–65.
2. Шкловер Г. Г., Семенов В. П., Росинский А. З.
Анализ механизма стекания пленки в горизонтальном трубном пучке при конденсации // Теплообмен, температурный режим и гидродинамика
при генерации пара. Л. : Наука, 1981. С. 87–93.
3. Видин Д. В. Теоретические основы теплотехники. Тепломассобмен. М. : РГБ, 2004. 175 с.
4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая
физика. Т. 6. М. : Наука, 1988.
5. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Т. 1. М. : Мир, 1991.