Фамилия_____________________________________________

Ôàìèëèÿ_____________________________________________
Èìÿ_____________________________________________
Îò÷åñòâî_____________________________________________
Ãðóïïà___________
Ðàçðåøàåòñÿ èñïîëüçîâàíèå êàëüêóëÿòîðà.
Îáîçíà÷åíèÿ:
E(X) - ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå
V ar(X) - äèñïåðñèÿ
Ac - îòðèöàíèå ñîáûòèÿ A
Òåñò
1
2
3
4
5
6
7
8
9À
9Á
Èòîãî
Òàáëèöà çàïîëíÿåòñÿ ïðîâåðÿþùèì ðàáîòó.
Êîììåíòàðèé:
Êîíòðîëüíàÿ áóäåò èìåòü àáñîëþòíî òàêîé æå ôîðìàò, êàê äåìî-âåðñèÿ.
Êîíòðîëüíàÿ áóäåò ñîäåðæàòü çàäà÷è òåõ æå òåì è òîãî æå óðîâíÿ ñëîæíîñòè.
ÓÄÀ×È!
1
2
ÃÓ-ÂØÝ, 2 êóðñ. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Êîíòðîëüíàÿ 1. demo-version.
×àñòü I.
Îáâåäèòå âåðíûé îòâåò:
1. Äëÿ ëþáîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
P (X > 0) ≥ P (X + 1 > 0).
2. Äëÿ ëþáîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ
E(X) < 2,
Äà. Íåò.
âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
P (X < 2) = 1.
Äà.
Íåò.
3. Åñëè
A ⊂ B,
4. Åñëè
X
òî
P (A|B) ≤ P (B|A).
- ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, òî
Äà. Íåò.
E(X) + 1 = E(X + 1).
Äà. Íåò.
5. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ÿâëÿåòñÿ íåóáûâàþùåé. Äà. Íåò.
6. Äëÿ ëþáûõ ñîáûòèé
A
è
B,
7. Äëÿ ëþáûõ ñîáûòèé
A
è
B
âûïîëíÿåòñÿ
âåðíî, ÷òî
P (A|B) + P (A|B c ) = 1.
P (A|B) ≥ P (A ∩ B),
Äà. Íåò.
åñëè îáå âåðîÿòíîñòè ñóùå-
ñòâóþò. Äà. Íåò.
8. Ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ìîæåò áûòü ïåðèîäè÷åñêîé. Äà. Íåò.
9. Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà
X
èìååò ôóíêöèþ ïëîòíîñòè, òî
10. Äëÿ íåîòðèöàòåëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
E(X) ≥ E(−X).
11. Âåðîÿòíîñòü áûâàåò îòðèöàòåëüíîé. Äà. Íåò.
[ïðàâèëüíî=+1
P (X = 0) = 0.
áàëë; íåò îòâåòà=íåïðàâèëüíî=0 áàëëîâ
]
Äà. Íåò.
Äà. Íåò.
ÃÓ-ÂØÝ, 2 êóðñ. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Êîíòðîëüíàÿ 1. demo-version.
×àñòü II
3
Ñòîèìîñòü çàäà÷ 10 áàëëîâ.
Çàäà÷à 1
Íà äåíü ðîæäåíèÿ ê Âàñå ïðèøëè äâå Ìàøè, äâà Ñàøè, Ïåòÿ è Êîëÿ. Âñå âìåñòå ñ Âàñåé
ñåëè çà êðóãëûé ñòîë. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî Âàñÿ îêàæåòñÿ ìåæäó äâóìÿ òåçêàìè?
Çàäà÷à 2
Ïîåçäà ìåòðî èäóò ðåãóëÿðíî ñ èíòåðâàëîì 3 ìèíóòû. Ïàññàæèð ïðèõîäèò íà ïëàòôîðìó
â ñëó÷àéíûé ìîìåíò âðåìåíè. Ïóñòü
Íàéäèòå
X
- âðåìÿ îæèäàíèÿ ïîåçäà â ìèíóòàõ.
P (X < 1), E(X)
Çàäà÷à 3
Æèòåëè óåçäíîãî ãîðîäà N íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà ãîâîðÿò ïðàâäó ñ âåðîÿòíîñòüþ
1
.
3
Â÷åðà ìýð ãîðîäà çàÿâèë, ÷òî â 2014 ãîäó â ãîðîäå áóäåò ïðîâåäåí ìåæïëàíåòíûé øàõìàòíûé òóðíèð. Çàòåì çàìåñòèòåëü ìýðà ïîäòâåðäèë ýòó èíôîðìàöèþ.
Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî øàõìàòíûé òóðíèð äåéñòâèòåëüíî áóäåò ïðîâåäåí?
Çàäà÷à 4
Âðåìÿ óñòíîãî îòâåòà íà ýêçàìåíå ðàñïðåäåëåíî ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó, ò.å. èìååò
p(t) = c · e−0.1t
çíà÷åíèå ïàðàìåòðà c
ôóíêöèþ ïëîòíîñòè
à) Íàéäèòå
ïðè
t > 0.
á) Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî Èâàíîâ áóäåò îòâå÷àòü áîëåå ïîëó÷àñà?
â) Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî Èâàíîâ áóäåò îòâå÷àòü åùå áîëåå ïîëó÷àñà, åñëè îí óæå
îòâå÷àåò 15 ìèíóò?
ã) Ñêîëüêî âðåìåíè â ñðåäíåì äëèòñÿ îòâåò îäíîãî ñòóäåíòà?
Çàäà÷à 5
Ñòóäåíò ðåøàåò òåñò (ìíîæåñòâåííîãî âûáîðà) ïðîñòàâëåíèåì îòâåòîâ íàóãàä. Â òåñòå 10
âîïðîñîâ, íà êàæäûé èç êîòîðûõ 4 âàðèàíòà îòâåòîâ. Çà÷åò ñòàâèòñÿ â òîì ñëó÷àå, åñëè
ïðàâèëüíûõ îòâåòîâ áóäåò íå ìåíåå 5.
à) Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñòóäåíò ïðàâèëüíî îòâåòèò òîëüêî íà îäèí âîïðîñ
á) Íàéäèòå íàèáîëåå âåðîÿòíîå ÷èñëî ïðàâèëüíûõ îòâåòîâ
â) Íàéäèòå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ÷èñëà ïðàâèëüíûõ îòâåòîâ
ã) Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñòóäåíò ïîëó÷èò çà÷åò
4
ÃÓ-ÂØÝ, 2 êóðñ. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Êîíòðîëüíàÿ 1. demo-version.
Çàäà÷à 6
X è Y çàäàí
Y = −1 Y = 0 Y = 2
X=0
0, 2
c
0, 2
X=1
0, 1
0, 2
0, 1
Íàéäèòå c , P (Y > −X) , E (X · Y ) , Corr(X, Y ), E (Y |X > 0)
Ñîâìåñòíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
òàáëèöåé:
Çàäà÷à 7
Âàñÿ ïðèãëàñèë òðåõ äðóçåé íàâåñòèòü åãî. Êàæäûé èç íèõ ïîÿâèòñÿ íåçàâèñèìî îò äðóãîãî ñ âåðîÿòíîñòüþ
Íàéäèòå
0, 9, 0, 7 è 0, 5 ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü N
- êîëè÷åñòâî ïðèøåäøèõ ãîñòåé.
E(N )
Çàäà÷à 8
Îõîòíèê, èìåþùèé 4 ïàòðîíà, ñòðåëÿåò ïî äè÷è äî ïåðâîãî ïîïàäàíèÿ èëè äî èçðàñõîäîâàíèÿ âñåõ ïàòðîíîâ. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ïðè ïåðâîì âûñòðåëå ðàâíà 0.6, ïðè êàæäîì
ïîñëåäóþùåì - óìåíüøàåòñÿ íà 0.1. Íàéäèòå
à) Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà ïàòðîíîâ, èçðàñõîäîâàííûõ îõîòíèêîì
á) Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
×àñòü III
Ñòîèìîñòü çàäà÷è 20 áàëëîâ.
Òðåáóåòñÿ ðåøèòü
îäíó
èç äâóõ çàäà÷ (9À èëè 9Á) ïî âûáîðó!
Çàäà÷à 9À
Ó Ìèñòåðà Õ åñòü
n
çîíòèêîâ. Çîíòèêè ìèñòåð Õ õðàíèò äîìà è íà ðàáîòå. Êàæäûé äåíü
óòðîì ìèñòåð Õ åäåò íà ðàáîòó, à êàæäûé äåíü âå÷åðîì - âîçâðàùàåòñÿ äîìîé. Ïðè ýòîì
êàæäûé ðàç äîæäü èäåò ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.8 íåçàâèñèìî îò ïðîøëîãî, (ò.å. óòðîì äîæäü
èäåò ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.8 è âå÷åðîì äîæäü èäåò ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.8 âíå çàâèñèìîñòè îò òîãî, ÷òî áûëî óòðîì). Åñëè èäåò äîæäü è åñòü äîñòóïíûé çîíòèê, òî ìèñòåð Õ îáÿçàòåëüíî
âîçüìåò åãî â äîðîãó. Åñëè äîæäÿ íåò, òî ìèñòåð Õ ïîåäåò áåç çîíòèêà.
Êàêîé ïðîöåíò ïîåçäîê îêàæåòñÿ äëÿ ìèñòåðà Õ íåóäà÷íûìè (ò.å. áóäåò èäòè äîæäü, à
çîíòà íå áóäåò) â äîëãîñðî÷íîì ïåðèîäå?
Òðåáóåòñÿ ðåøèòü
îäíó
èç äâóõ çàäà÷ (9À èëè 9Á) ïî âûáîðó!
Çàäà÷à 9Á
Íà÷èíàþùàÿ ïåâèöà äàåò êîíöåðòû êàæäûé äåíü. Êàæäûé åå êîíöåðò ïðèíîñèò ïðîäþñåðó 0.75 òûñÿ÷ åâðî. Ïîñëå êàæäîãî êîíöåðòà ïåâèöà ìîæåò âïàñòü â äåïðåññèþ ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.5. Ñàìîñòîÿòåëüíî âûéòè èç äåïðåññèè ïåâèöà íå ìîæåò.  äåïðåññèè îíà íå â
ñîñòîÿíèè ïðîâîäèòü êîíöåðòû. Ïîìî÷ü åé ìîãóò òîëüêî öâåòû îò ïðîäþñåðà. Åñëè ïîäàðèòü öâåòû íà ñóììó
√
0≤x≤1
òûñÿ÷ åâðî, òî îíà âûéäåò èç äåïðåññèè ñ âåðîÿòíîñòüþ
x.
Êàêîâà îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ïðîäþñåðà?