Лабораторная работа 5 Баллистический маятник

Лабораторная работа 5
Баллистический маятник
1. Цель работы
Определение скорости пуль
2. Теоретические основы.
Рис. 1
Баллистический маятник представляет собой цилиндр массы M , подвешенный на двух длинных, невесомых и нерастяжимых нитях. В цилиндр стреляют пулей массы mn << M из пружинного пистолета,
закрепленного вблизи торца цилиндра (Рис. 1). Если расстояние между пистолетом и цилиндром мало,
скорость пули v перед ударом о цилиндр направлена горизонтально. Торец цилиндра покрыт пластилином, значит пуля ударяется о цилиндр абсолютно неупруго. При ударе полный импульс системы,
состоящей из пули и цилиндра, сохраняется, а механическая энергия не сохраняется, часть ее переходит в теплоту. До удара импульс был равен mn v, после удара пуля и цилиндр движутся вместе с
одинаковой скоростью V1 , поэтому закон сохранения импулься примет вид:
mn v = (mn + M )V1 → V1 =
mn v
.
mn + M
После удара маятник отклоняется от положения равновесия до тех пор, пока его скорость не обратится
в нуль. При этом механическая энергия сохраняется, начальная кинетическая энергия переходит в
потенциальную энергию. Обозначим максимальную высоту подъема h, тогда закон сохранения энергии
запишется:
(mn + M )V12
m2n v 2
= (mn + M )gh →
= (mn + M )gh.
2
2(mn + M )
Отсюда найдем начальную скорость пули:
v=
mn + M p
2gh.
mn
(1)
Рис. 2
Высоту подъема цилиндра измерять трудно, поэтому для определения h проводится измерение горизонтального смещения цилиндра x = CD = BC1 (Рис. 2). Длина нити l = OC = OC1 постоянна, поэтому
из △OBC1 катет OB = lcosα. Учтем, что 1 − cosα = 2sin2 (α/2). Высота подъема груза равна
h = BC = C1 D = OC − OB = l − lcosα = l(1 − cosα) = 2lsin2 (α/2).
Угол α мал, поэтому приближенно верны равенства sinα ≈ α, sinα/2 ≈ α/2. С учетом этого зависимость
высоты от угла поворота нити α примет вид:
h=
lα2
.
2
Из △OBC1 получаем, что sinα = BC1 /l = x/l ≈ α. Подставляя угол α в предыдущее уравнение,
получим выражение высоты подъема через горизонтальное смещение цилиндра:
h=
x2
.
2l
Из уравнений (1)-(2) следует, что начальная скорость пули равна:
r
mn + M
g
v=
x
.
mn
l
(2)
(3)
После проведения опытов с тремя пулями различной массы следует проверить правильность измерений.
Для этого используем то, что энергия, сообщенная пулям идеальной безмассовой пружиной, должна
быть одинакова. Действительно, коэффициент жесткости пружины k одинаков для всех пуль, максимальная деформация сжатой пружины ∆y от них не зависит. Поэтому кинетическая энергия любой
пули при вылете из пистолета равна начальной потенциальной энергии сжатой пружины:
mv 2
k∆y 2
=
.
2
2
3. Экспериментальная часть
3.1 Описание установки
Установка состоит из пружинного пистолета с набором пуль, массивного цилиндра, подвешенного на
четырех нитях и линейки для измерения горизонтального отклонения.
3.2 Методика проведения эксперимента.
1. Регулируя длины нитей, добиваются горизонтального расположения цилинда. Ось цилиндра должна
совпадать с осью пистолета. Линейкой измеряют не менее четырех раз длину нити l. В качестве длины
берут расстояние от точки подвеса до центра цилиндра. Данные заносят в таблицу.
2. Измеряют длину горизонтального смещения цилиндра x для каждой пули. Для этого отмечают
начальную и конечную координаты края цилиндра, их разность дает величину x. Измерения проводят
не менее четырех раз. Данные заносят в таблицу для данной массы пули.
3.3 Обработка результатов измерения.
1. Находят выборочное среднее значение длины нити l:
˜l = l1 + l2 + ... + ln ,
n
(4)
где n - число измерений. Вычисляют выборочное среднее значение смещения цилиндра x:
x̃ =
x1 + x2 + ... + xn
,
n
(5)
где n - число измерений. Вычисляют выборочное среднее знаячение скорости пули ( уравнение (3)):
r
mn + M
g
ṽ =
x̃
.
(6)
mn
l̃
Данные заносят в таблицу.
2. Вычисляют выборочное среднеквадратичное отклонение Sx величины смещения:
s
(x1 − x̃)2 + (x2 − x̃)2 + ..(xn − x̃)2
Sx =
,
(n − 1)
(7)
где n – число измерений смещения и заносят в таблицу. Затем вычисляют случайную погрешность
в измерении x. Для этого задают вероятность P , с которой хотят определить интервал нахождения
истинного среднего (например, P = 0, 95). Далее по числу измерений n находят в таблице коэффициент
2
Стьюдента tP ;n−1 . Для n = 4 и P = 0, 95 он равен tP ;n−1 = 2, 353. Случайная погрешность измерения
смещения x вычисляется по формуле:
Sx
∆c (x) = tP ;n−1 √ .
n
Приборная погрешность измерения смещения равна 0,001 м:
∆n (x) = 0, 001m.
Полная абсолютная погрешность зависит от случайной и приборной погрешности и равна
p
∆(x) = ∆2c (x) + ∆2n (x).
Затем округляют результаты вычисления среднего смещения и абсолютной погрешности. В качестве
абсолютной погрешности измерения длины подвеса берут приборную погрешность 0,001 м:
∆(l) = 0, 001m.
3. В качестве абсолютной погрешности измерения масс ∆(M ), ∆(mn ) берут значения, указанные на
установке.
4. Полную абсолютную погрешность ∆(v) в измерении скорости пули находят по формуле
s 2
2
2
2
∂v
∂v
∂v
∂v
2
2
2
∆(v) =
· ∆ (l) +
· ∆ (x) +
· ∆ (M ) +
· ∆2 (mn ).
∂l
∂x
∂M
∂mn
Округляют значение ṽ, учитывая величину ошибки. В итоге с вероятностью 0, 95 среднее экспериментальное значение скорости пули будет лежать в интервале
ṽ − ∆(v) < v < ṽ + ∆(v).
Заносят результаты в таблицу.
5. Проводят вычисления для остальных пуль.
6. Проводят вычисления кинетических энергий пуль. Делают выводы из работы.
Номер опыта i
l (c)
x (c)
1
l1
x1
2
l2
x2
3
l3
x3
...
...
...
n
ln
xn
mn = ..., M = ..., ˜l = ..., x̃... , ṽ = ...
Sx = ..., ∆c (x) = ..., ∆n (x) = ...
∆(x) = ..., ∆(v) = ...
Табл. 1
Контрольные вопросы.
1. Определение импульса. Закон сохранения импульса.
2. Определение кинетической энергии, потенциальной энергии в поле силы тяжести и энергии пружины.
Закон сохранения энергии.
3. Упругие и неупругие соударения.
4. Какие законы сохранения и в какие моменты времени используются в задаче?
5. Какие приближения используются в работе?
6. Каковы величины кинетических энергий пуль? Сравните их.
7. Почему мы используем термины выборочные средние и выборочные среднеквадратичные отклонения, а не просто средние и среднеквадратичные отклонения?
3