1.3.5. Метод эквивалентного источника напряжения

При
выполнении
и
оформлении
задания
необходимо
руководствоваться следующими правилами:
1. Работа должна быть написана четким почерком, либо напечатана
на сброшюрованных листах машинописного формата, либо в школьной
тетради в следующем порядке: титульный лист, текст задания, решение,
выводы. На каждой странице обязательно оставляются поля не менее 40
мм для замечаний и исправлений при защите работы. Рисунки и графики
помещаются по тексту в соответствующих местах или на отдельных листах;
выполняются в удобном для чтения масштабе, аккуратно и в соответствии с
требованиями ГОСТа и ЕСКД.
2. Исходная схема обязательно вычерчивается на откидном листе и
приклеивается.
3. Все расчетные формулы сначала записываются в буквенном
виде, а затем подставляются численные значения. Принятые
обозначения должны быть пояснены и использоваться от начала до
конца текста. Решение следует сопровождать краткими пояснениями.
4. Итоговые результаты подчеркиваются, либо выносятся в
отдельную строку или в таблицы.
5. Работа должна быть датирована и подписана студентом.
6. Титульный лист выполняется по образцу (приложение 1).
7. Номер варианта задания выбирается по двум последним цифрам
зачетной книжки или студенческого билета, или по указанию ведущего
преподавателя.
1. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
Расчет цепей с источниками постоянных воздействий
1.1. Задание
1. По заданному номеру варианта изобразить цепь, подлежащую
расчету, выписать значения параметров элементов.
2. Записать необходимое количество уравнений по первому и
второму законам Кирхгофа, подставить численные значения всех
коэффициентов. Полученную систему уравнений не решать.
3. Определить токи во всех ветвях цепи и напряжение на источнике
тока методом контурных токов.
4. Составить баланс мощностей и оценить погрешность расчета.
5. Рассчитать цепь методом узловых потенциалов, определить токи
во всех ветвях и напряжение на источнике тока. Результаты расчета
сравнить с полученными по п. 1.3.
6. Рассчитать ток в одной из ветвей методом эквивалентного
источника напряжения.
7. Рассчитать ток в одной из ветвей методом наложения.
Задание:
1.2. Выбор варианта и параметров элементов цепи
1. Конфигурацию электрической цепи (граф цепи) выбрать по рис. 1.1
в соответствии с номером варианта.
2. Расположение в ветвях цепи источников напряжения и тока
Определить по табл. 1.1 в зависимости от номера варианта.
Направление действия источников произвольное.
Численные значения параметров источников энергии приведены в
табл. 1.2.
B
A
A
6
2
1
3
B
4
1
5
6
C
2
3
4
5
D
7
7
C
а
A
б
D
B
6
1
B
1
2
3
4
5
A
2
7
3
D
Таблица 1.1
Расположение элементов в ветвях цепи
Номер
варианта
Граф
76
а
источник
напряжения
источник
тока
резисторы
7, 2
1
1, 2, 3, 4, 5, 6
3. Численные значения сопротивлений потребителей определить
следующим образом:
– для нечетных ветвей:
R1 = R3 = R5 = R7 = N + 0,1M,
– для четных ветвей:
R2 = R4 = R6 = 1,2N + 0,2M,
где N – шифр специальности (для специальности АЭП – 8)
M=13 – сумма цифр номера варианта.(Вариант №76)
Таблица 1.2
Ветви
Е, В
J, A
АЭП
АЭП
1
45
3
2
40
4
3
35
5
4
30
6
5
25
5
6
20
4
7
10
2
1.3. Методические указания
1.3.1. Метод уравнений Кирхгофа
1. Пронумеровать ветви (1, 2, 3,..., 7) и обозначить узлы (А, В, С, D) в
соответствии с графом цепи.
2. Произвольно выбрать и обозначить положительные направления
токов в ветвях и полярность напряжения на зажимах источника тока.
3. Для (n-1) узла записать уравнения по I закону Кирхгофа в форме
 Ik  0.
k
Алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна
нулю. Токи, направленные от узла, следует принять условно
отрицательными, а направленные к узлу – положительными (или
наоборот).
4. Произвольно выбрать и обозначить совокупность независимых
контуров и направление их обхода. Для каждого контура записать
уравнение по II закону Кирхгофа в форме
 I k Rk   Ek .
k
k
Алгебраическая сумма падений напряжения на потребителях
замкнутого контура равна алгебраической сумме напряжений источников
в нем.
При записи левой части положительными будут падения напряжения
на тех потребителях, в которых выбранное положительное направление
тока совпадает с обходом контура. При записи правой части источники ЭДС
(тока), потенциал которых возрастает в направлении обхода контура,
принимаются положительными.
Уравнения, записанные по I и II законам Кирхгофа, образуют систему,
число уравнений которой равно числу неизвестных величин.
1.3.2. Метод контурных токов (МКТ)
Применение метода к расчету электрической цепи позволяет
уменьшить общее количество уравнений системы до числа  (независимых
контуров). Для расчета цепи МКТ необходимо:
1. В произвольно выбранной совокупности независимых контуров
(п. 3.1.4) обозначить контурные токи. Направление контурных токов
выбирается совпадающим с направлением обхода контуров.
2. Для определения контурных токов составить систему уравнений в
следующей форме
 I 11 R11  I 22 R12    I pp R1 p  E 11 ,

 I 11 R 21  I 22 R 22    I pp R 2 p  E 22 ,


I R  I R    I R  E ,
22 p 2
pp pp
pp
 pp p1
где R11, ..., Rpp – собственное сопротивление контура (арифметическая
сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в контур);
R12 = R21, ..., R1p = Rp1 – общее сопротивление двух контуров, которое
может быть положительным, если контурные токи по общей ветви
протекают согласно; отрицательным, если контурные токи по общей ветви
протекают встречно; равным нулю, если два контура не имеют общей
ветви;
Е11, ..., Еpp – контурные ЭДС (алгебраическая сумма ЭДС, включенных в
ветви, образующие данный контур. Правило знаков аналогично II закону
Кирхгофа).
3. Решить полученную
методом, например:
систему
уравнений
любым
известным
– методом Гаусса (при помощи определителей);
– методом исключения (подстановки).
4. На основании полученных значений контурных токов рассчитать
токи во всех ветвях по I закону Кирхгофа как алгебраическую сумму
контурных токов, протекающих по данной ветви.
1.3.3. Метод узловых потенциалов (МУП)
Применение этого расчетного метода позволяет уменьшить
количество уравнений системы до (n-1), где n – число узлов электрической
цепи. Для расчета цепи МУП необходимо:
1. Потенциал одного из узлов (любого), обозначенных в п. 3.1.1,
условно принять равным нулю (этот узел называют опорным).
2. Для расчета (n-1) неизвестного потенциала составить систему
уравнений в следующем виде:
1G11   2G12     n1G1,n1  J 11 ,

1G 21   2G 22     n1G 2,n1  J 22 ,


1G n1,1   2G n1, 2     n1G pn1,n1  J n1,n1 ,

где G11, …, Gn-1,n-1 – собственная проводимость соответствующего узла
(арифметическая сумма проводимостей ветвей, присоединенных к
данному узлу);1
G12 = G21, ..., G1,n-1 = Gn-1,1 – общая проводимость двух узлов (взятая со
знаком "минус" сумма проводимостей ветвей, примыкающих
одновременно к этой паре узлов);
J11, …, Jn-1,n-1 – узловой ток некоторого узла, определяемый по формуле
При расчете собственной и общей проводимостей не учитываются ветви с
источниками тока, проводимость которых полагается равной нулю.
1
J i ,i   (  E k G k  J k ) ,
k
где
 E k Gk
– алгебраическая
сумма
произведений
напряжений
k
источников ЭДС на проводимость соответствующих ветвей, сходящихся в
узле k;
 J k – алгебраическая сумма токов источников тока, подключенных к
k
узлу k.
Со знаком "плюс" в эти суммы входят слагаемые, соответствующие
источникам, действующим в направлении рассматриваемого узла, со
знаком "минус" – остальные слагаемые.
3. Определить значения неизвестных потенциалов (решить систему
уравнений).
4. Определить токи во всех ветвях и напряжение на источнике тока на
основании соотношений, составленных по обобщенному закону Ома.
Результаты расчета сравнить с результатами, полученными по п. 3.2.4.
1.3.4. Баланс мощностей
Для любой автономной электрической цепи сумма мощностей,
развиваемых источниками энергии (Рист), равна сумме мощностей,
расходуемых в потребителях энергии (Рпотр).
 Pист   Рпотр
или
 ( Ek I k  U J
k
2
J
)

I
Rk .

k
k
k
k
В левую часть уравнения со знаком "плюс" войдут мощности
источников, отдающих энергию (рис. 1.2, а, в), а со знаком "минус" –
мощности источников, работающих в режиме потребителей (рис. 1.2, б, г).
Е
Е
+
I
P = E I
а
J
J
+
UJ
I
P = – E I
б
UJ
P = UJ  J
P = – UJJ
в
г
Рис. 1.2
1.3.5. Метод эквивалентного источника напряжения
Применение метода целесообразно для определения тока в какойлибо одной ветви сложной электрической цепи. При определении тока k-й
ветви методом эквивалентного источника напряжения исследуемая ветвь
размыкается, а вся остальная часть цепи, подключенная к зажимам этой
ветви, представляется в виде эквивалентного источника напряжения, ЭДС
которого равна Еэ.и, а внутреннее сопротивление Rвн. Расчет целесообразно
вести в следующем порядке:
1. Определить напряжение на зажимах эквивалентного источника Еэ.и,
равного Uхx (напряжению на зажимах разомкнутой ветви k в режиме
холостого хода). Для этого составить уравнение по II закону Кирхгофа для
любого контура цепи, включающего в себя разомкнутые зажимы
исследуемой ветви, предварительно рассчитав токи в ветвях цепи в
режиме холостого хода ветви k.
2. Определить внутреннее сопротивление эквивалентного источника
Rвн, равного Rвх (входному сопротивлению пассивной цепи относительно
зажимов ветви k; при этом все источники напряжения заменить
короткозамкнутыми участками, а ветви с источниками тока – разомкнуть).
3. Определить ток в ветви с сопротивлением Rk по закону Ома:
Ik 
U хх
Rвх  Rk
.
1.3.6. Метод наложения
Линейная электрическая цепь описывается системой линейных
уравнений Кирхгофа. Это означает, что она подчиняется принципу
наложения (суперпозиции), согласно которому совместное действие всех
источников в электрической цепи совпадает с суммой действий каждого
из них в отдельности.
Метод наложения опирается на принцип наложения и заключается в
следующем: ток или напряжение произвольной ветви или участка
разветвленной электрической цепи постоянного тока определяется как
алгебраическая сумма токов или напряжений, вызванных каждым из
источников в отдельности.
При использовании этого метода задача расчета разветвленной
электрической цепи с n источниками сводится к совместному решению n
цепей с одним источником.
Порядок расчета линейной электрической цепи методом наложения:
1. Произвольно задать направление токов в ветвях исследуемой
цепи.
2. Исходную цепь, содержащую n источников, преобразовать в n
подсхем, каждая из которых содержит только один из источников, прочие
источники исключаются следующим образом: источники напряжения
замыкаются накоротко, а ветви с источниками тока обрываются. При этом
необходимо помнить, что внутренние сопротивления реальных источников
играют роль потребителей, и поэтому они должны оставаться в подсхемах.
3. Определить токи каждой из подсхем, задавшись их направлением
в соответствии с полярностью источника, любым из известных методов. В
большинстве случаев расчет ведется по закону Ома с использованием
метода эквивалентных преобразований пассивных цепей.
4. Полный ток в любой ветви исходной цепи определяется как
алгебраическая сумма токов вспомогательных подсхем, причем при
суммировании со знаком «+» берутся токи подсхем, направление которых
совпадает с направлением тока в исходной цепи, со знаком «–» –
остальные.
1.4. Пример расчета
1.4.1. Задание
Рассчитать цепь, изображенную графом а, с параметрами: Е1 = 20 В;
Е6 = 40 В; J3 = 2А; R1 = R3 = R5 = R7 = 5,4 Ом; R2 = R4 = R6 = 6,8 Ом.
Подлежащая расчету цепь будет иметь вид (рис. 1.3).
R1
I1
I2
I
R3
A
R2
IV
E1
R4
R5
C
II
I4
J3
I5
B
I6
E6
+
_
D
R6
III
R7
I7
Рис. 1.3
1.4.2. Запись уравнений Кирхгофа
Для произвольно выбранных и обозначенных на схеме (см.
рис. 1.3) положительных направлений токов ветвей и совокупности
независимых контуров запишем:
– уравнения по I закону Кирхгофа:
для узла А: I1 – I2 – J3 = 0,
для узла В: I7 – I6 – I4 – I1 = 0,
для узла С: I4 + I2 – I5 = 0,
– уравнения по II закону Кирхгофа:
для контура I: I1R1 + I2R2 – I4R4 = E1,
для контура II: I4R4 + I5R5 – I6R6 = –E6,
для контура III: I6R6 + I7R7 = E6,
для контура IV: J3R3 – I5R5 – I2R2 = UJ.
После подстановки численных значений коэффициентов получаем
разрешимую систему уравнений с семью неизвестными величинами
I1 , I 2 , I 4 , I 5 , I 6 , I 7 , U J :
I 1  I 2  2,


I 7  I 1  I 4  I 6  0,


I 4  I 2  I 5  0,

5,4 I 1  6,8 I 2  6,8 I 4  20, 
6,8 I 4  5,4 I 5  6,8 I 6  40, 


6,8 I 6  5,4 I 7  40,

 6,8 I 2  5,4 I 5  U J  10,8.
1.4.3. Метод контурных токов
Для рассматриваемой четырехконтурной цепи (см. рис. 1.3) система
уравнений относительно контурных токов, совпадающих по направлению с
обходом контуров, примет вид
I 11 R11  I 22 R12  I 33 R13  I 44 R14  E11 , 

I 11 R21  I 22 R22  I 33 R23  I 44 R24  E 22 ,

I 11 R31  I 22 R32  I 33 R33  I 44 R34  E 33 ,
I 11 R41  I 22 R42  I 33 R43  I 44 R44  E 44 . 
Для выбранных контурных токов I44 = J3. Подсчитаем значения
коэффициентов системы:
– собственные сопротивления контуров:
R11  R1  R2  R4  19 Ом, R33  R6  R7  12,2 Ом,
R22  R4  R5  R6  19 Ом, R44  R2  R3  R5  17,6 Ом;
– общие сопротивления контуров:
R12  R21   R4  6,8 Ом, R13  R31  0,
R14  R41   R2  6,8 Ом, R23  R32   R6  6,8 Ом,
R24  R42   R5  5,4 Ом, R34  R43  0;
– контурные ЭДС:
E11  E1  20 В, E 22   E6  40 В,
E 33  E6  40 В, E44  U J .
После подстановки численных значений коэффициентов и
необходимых преобразований система уравнений примет вид
19I 11  6,8 I 22  0  I 33  33,6,


 6,8 I 11  19I 22  6,8 I 33  29,2,


0  I 11  6,8 I 22  12,2 I 33  40,

 6,8 I 11  5,4 I 22  0  I 33  U J  35,2.
В случае решения данной системы при помощи определителей
необходимо совместно решить систему из первых трех уравнений
относительно неизвестных токов I11, I22, I33, а затем из четвертого уравнения
системы определить UJ.
Результаты расчета системы уравнений следующие:
I 11  1,191 A,
I 22  0,4 A,
I 33  1,35 A, U J  20,05 B.
В соответствии с принятыми (см. рис. 1.3)
направлениями токов в ветвях вычисляем их значения:
I 1  I 11  1,191 A,
I 2  I 11  I 44  0,09 A,
I 3  J  2 A,
I 4  I 22  I 11  1,51 A,
I 5  I 22  I 44  1,6 A,
I 6  I 33  I 22  3,1 A,
I 7  I 33  3,5 A.
положительными
1.4.3. Баланс мощности
Мощность источников
Pист  E1 I 1  E 6 I 6  U J J  202 ,2 Вт.
Мощность потребителей
Pпотр  I 12 R1  I 22 R2  J 32 R3  I 42 R4  I 52 R5  I 62 R6  I 72 R7  202,17 Вт.
Оценим относительную погрешность расчета,

Р ист  Р потр
Р ист  Р потр
 100% 
202,2  202,17
 100%  0,074%.
202,2  202,17
1.4.4. Метод узловых потенциалов
Принимаем потенциал узла А равным нулю (см. рис. 1.3). Составим
систему уравнений по методу узловых потенциалов относительно В, С,
D:
 B G BB   C G BC   DG BD  J BB , 

 B GCB   C GCC   DGCD  J CC , 
 B G DB   C G DC   DG DD  J DD .
Выпишем и подсчитаем значения коэффициентов системы:
– собственная проводимость узлов
G BB 
1
1
1
1



 0,664 См,
R1 R4 R5 R7
GCC 
1
1
1


 0,479 См,
R2 R4 R5
G DD 
1
1
1


 0,517 См;
R5 R6 R7
– общие проводимости узлов
G BC  GCB  
1
 0,147 См,
R4
 1
1 
  0,332 См,
G BD  G DB  

R
R
7 
 6
1
GCD  G DC  
 0,185 См;
R5
– узловые токи
J BB  
E
E1 E 6

 9,582 A, J CC  0, J DD  6  J  7,882 A.
R1 R6
R6
Система уравнений после
коэффициентов примет вид
подстановки
численных
значений
0,664 B  0,147C  0,332 D  9,582, 

 0,147 B  0,479C  0,185 D  0,

 0,332 B  0,185C  0,517 D  7,882.
Результаты расчета системы уравнений:
 B  9,668 B,  C  0,6048 B,  D  9,249 B.
Рассчитаем значения токов в ветвях по обобщенному закону Ома
I1 
 B   A  E1
 1,191 A,
R1
I2 
I4 
 B  C
 1,51 A,
R4
I6 
 B   D  E6
 3,1 A,
R6
 A  C
 0,09 A,
R2
I5 
I7 
I 3  J  2 A,
C   D
 1,6 A,
R5
D  B
 3,5 A.
R7
1.4.5. Метод эквивалентного источника напряжения
Определим ток I2 методом эквивалентного источника напряжения в
соответствии с разделом 1.3.5 по формуле
I2 
U хх
.
Rвх  R2
Определим напряжение холостого хода Uxx между точками А и С,
когда ветвь 2 разомкнута, а сопротивление R2 удалено (рис. 1.4).
R1
A
I1х
R3
+
– Uхх
_
E1
R4
J3
R5
C
I4х
B
+
_
D
R6
E6
R7
Рис. 1.4
Для определения Uxx составим уравнение по II закону Кирхгофа для
контура цепи, обозначенного на рис. 1.4 и включающего в себя участок AС с
напряжением Uxx:
I 1x R1  U xx  I 4 x R4  E1 ,
так как I1x = J, то из вышеприведенного выражения следует, что для
определения Uxx необходимо вычислить ток I4x:
I 4x 
Методом двух узлов определим
U BD
.
R4  R5
E6
R6

 19,03 B,
1
1
1


R4  R5 R6 R7
J
U DB
I 4x 
U BD
 U DB

 1,56 A.
R4  R5 R4  R5
Тогда Uхх = –1,406 В.
Для подсчета Rвх относительно зажимов ветви 2 необходимо из цепи,
показанной на рис. 1.4, образовать пассивную цепь (рис. 1.5).
R1
A
C
R4
R6
R5
R7
Рис. 1.5
Тогда
Rвх  R AC

R6 R7 

R4  R5 
R

R
6
7 
 R1  
 9,16 Ом.
R6 R7
R4  R5 
R6  R7
Окончательно получаем
I2 
U xx
 0,09 A,
Rвх  R2
что совпадает с результатом, полученным в разделах 4.2 и 4.3.
1.4.6. Метод наложения
Определим ток I2 методом наложения в соответствии с разделом 1.3.6.
Подлежащая расчету цепь представляет собой суперпозицию трех подсхем (рис. 1.6).
R1
I 1E1
I2
E1
R1
R3
A
I 2E1
I2
I 2E6
I2
R2
R4
R2
R4
R5
C
R5
C
D
B
I5
E6
E6
R7
I 6E6
I6
б
R3
A
D
R6
R7
R1
I 5E6
B
R6
а
R3
A
R2
J3
R4
R5
C
D
B
R6
R7
R1
в
R1
R3
A
I 2J 3
R2
J3
R2
I2
C
C
R46
J3
R45
R45
B
R3
A
Е
D
Е
R56
RI
D
B
R7
г
RIII
Рис. 1.6
д
RII
Рассчитаем составляющую тока второй ветви I 2E1 от действия
источника ЭДС E1 (рис. 1.6, а), для чего воспользуемся законом Ома:
I 2E1  I 1E1 
E1
 1,25 A.
 R6 R7


 R5  R4
 R6  R7
 R R
1
2
R6 R7
 R5  R4
R6  R7
Рассчитаем составляющую тока второй ветви I 2E6 от действия
источника ЭДС E6 (рис. 1.6, б), для чего сначала определим ток I 6E6 по
закону Ома:
I 6E6 
E6
 R1  R2 R4

 R  R  R  R5  R7
 1

2
4
R1  R2 R4  R  R  R6
5
7
R1  R2  R4
 0,892 A.
По формуле токов в параллельных ветвях определим ток I 5E6 ,
I 5E6  I 6E6
Воспользовавшись
R7
R1  R2 R4  R  R  1,386 A.
5
7
R1  R2  R4
формулой
токов
в
параллельных
ветвях,
определим искомый ток I 2E6 ,
I 2E6  I 1E6  I 5E6
R4
 0,496 A.
R1  R2  R4
Для определения составляющей тока второй ветви I 2J 3 от действия
источника тока J 3 необходимо преобразовать треугольник сопротивлений
R4 R5 R6 в эквивалентную звезду (рис. 1.6, в, г) с сопротивлениями
R45 
R4 R5
R4 R6
 1,933 Ом, R46 
 2,434 Ом,
R4  R5  R6
R4  R5  R6
R56 
R5 R6
 1,933 Ом
R4  R5  R6
и треугольник сопротивлений R46 R56 R7 в эквивалентную звезду (рис. 1.6, д)
с сопротивлениями
RI 
R46 R56
 0,482 Ом,
R46  R56  R7
RIII 
RII 
R56 R7
 1,069 Ом,
R46  R56  R7
R46 R7
 1,346 Ом.
R46  R56  R7
После преобразований ток I 2J 3 определяется по формуле токов в
параллельных ветвях,
I 2J 3  J 3
R1  RIII
 0,846 A.
R1  RIII  R2  R45  RI
Полный ток
I 2   I 2E1  I 2E6  I 2J 3  0,09 A.
Полученный результат совпадает со значением, полученным другими
методами.