УДК 519.68:[5/6+3], 544.72.05 Моделирование эволюции

И.В. Водолазская, Ю.Ю. Тарасевич, О.П. Исакова Моделирование эволюции фазового фронта в высыхающей
на горизонтальной подложке капле коллоидного раствора // Нелинейный мир, Т. 8, №3, 2010, с. 142-150
УДК 519.68:[5/6+3], 544.72.05
Моделирование эволюции фазового фронта в высыхающей
на горизонтальной подложке капле коллоидного раствора
Водолазская И.В., Тарасевич Ю.Ю., Исакова О.П.
Аннотация
Предложена и исследована модель, описывающая динамику фазового
фронта золь–гель и эволюцию формы капли коллоидного раствора, высыхающего на горизонтальном основании.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 09-0897010-р_поволжье_а «Моделирование процессов переноса, фазовых переходов и самоорганизации в системах нано- и микрочастиц»).
Ключевые слова: коллоидный раствор, испарение, гель, фазовая граница
Введение
В последние десятилетия внимание исследователей привлекли процессы, протекающие при испарении капель жидкости с твердой горизонтальной
подложки. Эти процессы инициированы как чисто научным интересом, так и
многочисленными приложениями. Процессы, протекающие при испарении
капли, находят применение в производстве наноструктур [1,2], создании
структурированных поверхностей микро- и наномасштабов [3,4], для растягивания ДНК и РНК [5], полиграфии и многих других приложениях. Испарение жидких образцов является ключевой проблемой в развитии технологии
микромассивов, включая однокристальных лабораторий (labs-on-a-chip), особенно в случае открытых реакторов [6]. Особый интерес представляет высыхание капель биологических жидкостей (жидкостей, содержащих молекулы
белка), которое используется в кристаллографии белка, в медицинской диагностике [7–9], при проведении тестирования новых лекарственных средств
[10], при сохранении биоматериалов [11].
1
И.В. Водолазская, Ю.Ю. Тарасевич, О.П. Исакова Моделирование эволюции фазового фронта в высыхающей
на горизонтальной подложке капле коллоидного раствора // Нелинейный мир, Т. 8, №3, 2010, с. 142-150
Как было показано в [12–14], капля жидкости на горизонтальной поверхности высыхает, как правило, при постоянной площади основания. Линия трехфазной границы жидкость–подложка–атмосфера остается при этом
неподвижной, краевой угол уменьшается. Закрепление линии трехфазного
контакта на поверхности (пиннинг) может быть вызвано как шероховатостью
поверхности, так и наличием в капле растворенных веществ и взвешенных
частиц. При свободном высыхании капли плотность потока пара максимальна вблизи линии трехфазного контакта [14], в капле возникают течения, выносящие на край капли растворенные и взвешенные вещества. Если искусственно препятствовать испарению капли на ее краю, то можно добиться изменения направления внутреннего течения, вплоть до его полного обращения к
центру капли [3,14].
При высыхании капли биожидкости, помещенной на горизонтальную
подложку, молекулы белка выносятся течениями на край капли и связываются между собой, образуя гель. После полного высыхания капли на подложке
остается белковый осадок в форме валика (кольца). Если увеличить первоначальную концентрацию белка в капле, можно наблюдать осаждение белка на
подложку, а также образование гелевой оболочки на поверхности, с которой
идет процесс испарения [15].
Трудность моделирования процессов, протекающих при высыхании
капель коллоидных растворов, связана с их необычайным разнообразием и
сложностью [25]. В частности, различные авторы придерживаются различных точек зрения о механизмах, приводящих к формированию твердой фазы.
Например, в работе [18] рассматривается конкуренция конвекции и седиментации, а в работе [22] — конвекции и диффузии.
В работе [12] были предложены две модели, позволяющие объяснить
формирование кольца из растворенного вещества на краю высыхающей капли коллоидного раствора. В предложенных моделях использовалась усредненная по всей поверхности плотность потока пара, и предполагалось, что
образующийся на краю капли гель не влияет на гидродинамические течения
2
И.В. Водолазская, Ю.Ю. Тарасевич, О.П. Исакова Моделирование эволюции фазового фронта в высыхающей
на горизонтальной подложке капле коллоидного раствора // Нелинейный мир, Т. 8, №3, 2010, с. 142-150
и на испарение. Данное предположение может быть справедливым, например, для неорганических гелей и не справедливым для белкового геля, который является гидрофильным. В одной из этих моделей авторы предположили
угол между касательной к поверхности жидкой фазы и горизонтом в точках
трехфазной границы золь–гель–атмосфера постоянным. Условие следовало
из аналогии с высыханием без пиннинга чистой капли, и в такой модели не
может получиться ситуации с горизонтальной или вогнутой свободной поверхностью жидкой фазы. В работах [13, 14, 16] описывается образование
кольцеобразного осадка в каплях жидкостей, содержащих растворенные вещества или взвешенные частицы, при этом осадок также не влияет на течения и испарение. Авторы использовали в расчетах модельный закон испарения с неограниченным потоком пара на краю. Кроме того, было введено
предположение о скорости роста кольца осадка. В работах [15,17] авторы
предложили считать функцию, описывающую профиль капли гладкой, в том
числе и на границе фаз. Это условие вытекало из предположения о том, что
частицы твердого вещества плотно заполняют все пространство между подложкой и свободной поверхностью жидкой фазы капли. Однако экспериментально это условие не подтверждается: профиль капли имеет особенность на
фазовой границе [12]. Во всех этих моделях не учитывалось изменение объемной доли коллоидных частиц в центральной части капли, вызванное испарением и процессами переноса, а также пренебрегалось осаждением вещества.
В работе [22] была теоретически проанализирована модель для предсказания конечной формы поверхности, высыхающего на твердом основании
полимерного раствора. Основное внимание уделяется анализу ситуации, когда раствор помещен в узкий длинный желоб, т.е. двумерной модели. Динамика концентрации описывается с помощью уравнения конвекции–
диффузии, аналогичного тому, который был предложен в [23]. Вопросы решения уравнения в области с подвижной границей, форма поверхности вблизи фазового фронта, адекватность предположения о совпадении усредненной
3
И.В. Водолазская, Ю.Ю. Тарасевич, О.П. Исакова Моделирование эволюции фазового фронта в высыхающей
на горизонтальной подложке капле коллоидного раствора // Нелинейный мир, Т. 8, №3, 2010, с. 142-150
скорости гидродинамического течения и скорости переноса коллоидных частиц не обсуждаются.
В работе [24] было численно и экспериментально исследовано формирование осадка при высыхании коллоидной капли на плоском основании.
Концентрация частиц определялась с помощью уравнения конвекциидиффузии.
В работе [18] авторы ввели в модель некий аналог взаимодействия частиц вещества и подложки, а также рассчитали изменение концентрации твердого вещества в объеме капли при высыхании для случая ньютоновской
жидкости с постоянными вязкостью, плотностью, поверхностным натяжением и нулевым градиентом температуры.
Теоретический анализ
При моделировании процессов массопереноса в высыхающих каплях
необходимо принимать во внимание несколько аспектов. Во-первых, растворенные или взвешенные частицы могут взаимодействовать друг с другом поразному. Простейшая ситуация — чисто механическое взаимодействие. Примером может служить высыхающая капля кофе. Частицы кофе при увеличении их концентрации образуют относительно плотную, но пористую среду.
При этом частицы взаимодействуют друг с другом механически, химические
связи не образуются, фазовый переход не происходит. Эта ситуация описывается моделями [16,26]. Во-вторых, при увеличении концентрации растворенных или взвешенных частиц может происходить фазовый переход. При
достижении концентрации насыщения растворенные вещества могут начать
кристаллизоваться. При повышении объемной доли коллоидных частиц выше критической возможен фазовый переход золь–гель, время которого зависит от ионной силы раствора. Экспериментально было установлено [15], что
при высыхании капли коллоидного раствора возможно три принципиально
разных режима: 1) t g ≪ td — время гелеобразования t g много больше времени высыхания td (раствор с низкой ионной силой I ); при высыхании капли
центральная часть остается жидкой, на краю образуется кольцо геля, которое
4
И.В. Водолазская, Ю.Ю. Тарасевич, О.П. Исакова Моделирование эволюции фазового фронта в высыхающей
на горизонтальной подложке капле коллоидного раствора // Нелинейный мир, Т. 8, №3, 2010, с. 142-150
по мере высыхания растрескивается радиально; 2) t g ≈ td — высыхающая капля покрывается корочкой геля, которая не препятствует испарению; форма
капли при высыхании сильно искажается (продольная неустойчивость), гель
растрескивается хаотически; 3) t g ≫ td — время гелеобразования t g много
меньше времени высыхания td ; капля практически сразу переходит в фазу
геля, образуется круговая трещина. Предложенные ранее модели [12,16]
предполагают, что переход в фазу геля происходит при достижении критического значения объемной доли коллоидных частиц. Однако, процесс гелеобразования зависит от ионной силы раствора. Предметом нашего рассмотрения является только первая ситуация, когда высыхающая капля в радиальном
направлении является двухфазной: центральная часть жидкая (золь), край капли твердый (гель).
Можно сформулировать следующие утверждения, которые предполагается использовать при описании процессов в испаряющихся каплях и моделировании эволюции фазового фронта.
1. В большинстве случаев внутри образовавшейся на краю капли второй фазы (например, белкового геля в случае капель биологических жидкостей)
отсутствуют гидродинамические потоки [22]. В работах [12,16] используется предположение о том, что наличие осадка (геля) не влияет на гидродинамические потоки, т.е. осадок является твердым и пористым. Вероятно, это предположение может быть справедливым для неорганических гелей (например, оксид кремния) и не справедливым для белкового геля, в
котором молекулы альбумина покрыты гидратной оболочкой («шубой» из
молекул воды). Отсутствие внутри геля заметных гидродинамических потоков следует, например, из того факта, что гель начинает растрескиваться
по краям в то время, когда центральная часть капли еще остается жидкой.
Следовательно, потеря жидкости за счет испарения не компенсируется
притоком ее из жидкой части капли; прямые измерения скорости течения
жидкости внутри геля подтверждают это утверждение [27].
5
И.В. Водолазская, Ю.Ю. Тарасевич, О.П. Исакова Моделирование эволюции фазового фронта в высыхающей
на горизонтальной подложке капле коллоидного раствора // Нелинейный мир, Т. 8, №3, 2010, с. 142-150
2. Нет никаких экспериментальных данных и теоретических моделей для
описания плотности потока пара над двухфазной каплей. С поверхности
гелей происходит испарение воды, но этот процесс принципиально отличается от испарения с поверхности жидкости, так как в первом случае
происходит испарение связанной воды, а в последнем — свободной.
Плотность потока пара над поверхностью геля незначительна и обусловлена медленным испарением «связанной воды».
3. На границе золь–гель скорость гидродинамического течения определяется
скоростью движения фазового фронта. Данное утверждение является
следствием закона сохранения вещества. Из закона сохранения вещества
следует, что рост области геля по направлению к центру капли невозможен, если нет течения вблизи границы раздела фаз.
4. Из экспериментальных наблюдений известно, что внутри испаряющейся
капли может существовать противоток, направленный от края капли к ее
центру. В случае капли биологической жидкости частицы, выносимые течением на край, частично прилипают к границе золь–гель, а частично уносятся назад в центральную часть капли. Роль конвекции, в частности течения Марангони, в формировании второй фазы до сих пор остается до конца не выясненной, а утверждения различных авторов — противоречивыми.
Описание модели
Рассматривая эволюцию фазового фронта в высыхающей капле коллоидной жидкости, мы делаем следующие предположения:
1. Рассматривается капля коллоидного раствора, содержащего растворитель и растворенное вещество, которые мы называем жидкостью и
твердым веществом; жидкость считается несжимаемой.
2. Капля размещена на горизонтальной подложке, ее высыхание проходит
в открытом пространстве при изотермических условиях и с закреплением трехфазной границы.
6
И.В. Водолазская, Ю.Ю. Тарасевич, О.П. Исакова Моделирование эволюции фазового фронта в высыхающей
на горизонтальной подложке капле коллоидного раствора // Нелинейный мир, Т. 8, №3, 2010, с. 142-150
3. Капля обладает осевой симметрией; поверхность на границе жидкая
фаза–атмосфера является частью сферы.
4. При накоплении на краю капли вынесенного течениями твердого вещества происходит фазовый переход, в капле различаются две области:
коллоидный раствор в центральной части (жидкая фаза) и гель на краю;
объемная доля коллоидных частиц в жидкой фазе зависит от времени
W (t ) , объемная доля коллоидных частиц в фазе геля постоянна и равна
W f , граница между жидкой фазой и гелем строго вертикальна.
5. Гелевая фаза полностью блокирует течение жидкости.
6. Испарение связанной воды с поверхности гелевой фазы не оказывает
влияние на гидродинамические течения внутри капли.
7. Процессы осаждения коллоидных частиц под действием силы тяжести
не учитываются.
8. Процесс образования гелевой оболочки на поверхности жидкая фаза–
атмосфера не рассматривается.
Данная модель позволяет исследовать процессы, происходящие в высыхающей капле раствора белка малой концентрации. В таких каплях процесс выноса белка на край капли преобладает над процессом осаждения его
на дно капли под действием силы тяжести, кроме того, коэффициент диффузии белка является малой величиной. При высыхании капли поверхность
жидкой фазы на границе с атмосферой близка к сферической, что подтверждается экспериментально [12, 13]. Отсутствие внутри геля заметных гидродинамических потоков следует, например, из того факта, что гель начинает
растрескиваться по краям в то время, когда центральная часть капли остается
жидкой. Следовательно, потеря жидкости за счет испарения не компенсируется притоком ее из жидкой части капли.
Геометрия центрального сечения капли представлена на рис. 1. Капля
имеет ось симметрии, начало цилиндрической системы координат выбираем
в центре основания капли, ось OZ направляем вертикально вверх, r — расстояние от оси. Границей между фазами является цилиндрическая поверх7
И.В. Водолазская, Ю.Ю. Тарасевич, О.П. Исакова Моделирование эволюции фазового фронта в высыхающей
на горизонтальной подложке капле коллоидного раствора // Нелинейный мир, Т. 8, №3, 2010, с. 142-150
ность радиусом rf и высотой h f , которая со временем перемещается по направлению к оси капли. Свободную поверхность жидкой фазы считаем частью сферы и описываем функцией:
2
 H 2 (0, t ) + rf 2 (t ) 
rf 2 (t ) − H 2 (0, t ) − 2h f (t ) H (0, t )
2
z ( r , t ) = h f (t ) + H ( r , t ) = 
.
 − r −

H
t
H
t
2
(0,
)
2
(0,
)


  r 2 
Для тонкой капли ( h f (t ) + H (r , t ) ≪ rf (t ) ): z (r , t ) ≈ h f (t ) + H (0, t ) 1 −    .
  rf  


Обозначим среднее по объему жидкой фазы значение объемной доли
твердого вещества W (t ) , эта величина по мере высыхания капли меняется со
временем. Объемная доля твердого вещества в геле — W f . Пусть в начальный момент времени капля была однофазной с радиусом основания R , высо-
z
C
B
hf
H+hf
той H 0 и с объемной долей твердого вещества W0 .
A
O
rf
R
r
Рис. 1. Центральное сечение высыхающей на горизонтальной подложке капли в некоторый момент времени t : светлая область — жидкая фаза, темная — гель. Штриховой линией обозначена область жидкой фазы спустя
промежуток времени dt
Рассмотрим объем жидкой фазы в некоторый момент времени t . Объем
жидкой фазы складывается из объема цилиндра радиусом rf и высотой h f и
объема шарового сегмента с радиусом основания rf и высотой H (0, t )
(рис. 1). Через малый промежуток времени dt в малом объеме, прилегающем
к фазовой границе, происходит переход твердого вещества в связанное состояние, следовательно, граница фаз перемещается ближе к оси капли, и усредненная объемная доля твердого вещества в жидкой фазе изменяется. За8
И.В. Водолазская, Ю.Ю. Тарасевич, О.П. Исакова Моделирование эволюции фазового фронта в высыхающей
на горизонтальной подложке капле коллоидного раствора // Нелинейный мир, Т. 8, №3, 2010, с. 142-150
пишем законы сохранения твердого вещества и всего вещества, находящегося в рассматриваемом объеме:
1
1


Wɺ  rf 2 h f + H 3 (0, t ) + H (0, t )rf 2  = rɺf rf ( 2W f h f − WH (0, t ) − 2Wh f ) −
6
2


1
−hɺ f Wrf 2 − Hɺ (0, t )W ( rf 2 + H 2 (0, t ) ) ,
2
(1)
1
I
rɺf rf H (0, t ) + hɺ f rf 2 + Hɺ (0, t ) ( rf 2 + H 2 (0, t ) ) = − ,
2
πρ
(2)
где точкой сверху обозначена производная по времени, у неизвестных функций rf (t ) , h f (t ) , W (t ) для краткости опущен аргумент t и I — масса растворителя, испарившегося за единицу времени с поверхности рассматриваемого
объема:
rf
2
 ∂H (r , t ) 
I = ∫ 2π r 1 + 
 J ( r , t ) dr ,
 ∂r 
0
(3)
здесь J ( r , t ) — масса растворителя, испаряющегося за единицу времени с
единицы площади свободной поверхности капли, или закон испарения. К настоящему времени в научной литературе предложено несколько законов испарения для конкретных частных моделей [14, 19, 20], в которых не учитывался состав испаряющейся жидкости и наличие подвижной границы двух
фаз, поэтому адаптация модельного закона к условиям нашей модели, по
всей видимости, была бы некорректной. Также следует отметить, что с поверхности белкового геля происходит испарение воды из связанного состояния, поэтому закон испарения для этого процесса, возможно, будет иметь
форму, отличную от предложенных. Нами были проведены исследования
влияния вида модельного закона испарения на результаты. Так как закон испарения входит только в подынтегральное выражение (3), то результаты оказались малочувствительными к конкретному виду функции J (r , t ) . Можно
ограничиться простейшим возможным модельным законом для плотности
потока пара над поверхностью капли:
9
И.В. Водолазская, Ю.Ю. Тарасевич, О.П. Исакова Моделирование эволюции фазового фронта в высыхающей
на горизонтальной подложке капле коллоидного раствора // Нелинейный мир, Т. 8, №3, 2010, с. 142-150
J (r , t ) = J 0 = const.
(4)
Количество растворителя, испаряющейся с поверхности жидкой фазы
капли за единицу времени, рассчитанное по формуле (3) будет равно:
I (t ) = π J 0 ( H 2 (0, t ) + rf 2 ) .
Для нахождения неизвестных функций: rf (t ) , h f (t ) , W (t ) и H (0, t ) используем наряду с законами сохранения два предположения: о скорости понижения высоты капли и о краевом угле на трехфазной границе гель–
жидкость–атмосфера. Экспериментальные данные [14,15,21] показывают, что
на начальном этапе испарения скорость понижения высоты υ высыхающей
капли с малой начальной концентрацией твердого вещества (несколько процентов и ниже) близка к постоянной величине, как в случае высыхания капли
чистого растворителя. Отклонения от линейной зависимости начинаются, когда концентрация твердого вещества в капле заметно возрастет из-за уменьшения массы растворителя; скорость понижения высоты капли при этом начинает уменьшаться. Для малых величин объемной доли растворенного вещества (достаточно малых, чтобы можно было пренебречь осаждением и образованием геля на поверхности капли) можно записать в первом приближении следующую зависимость между скоростью понижения высоты капли и
объемной долей растворенного в капле вещества W (t ) :
d (h f + H (0, t ))
dt

W
= −υ0 ⋅ 1 −
 W
f


 ,

(5)
где υ0 — скорость понижения высоты капли чистого растворителя.
Из физических соображений следует, что при движении фазовой границы (граница: жидкая фаза–гель–атмосфера) краевой угол θ между касательными, проведенными в точке границы к свободной поверхности жидкой
фазы и к свободной поверхности геля, сохраняется, если состав фаз не изменяется. При малых концентрациях твердого вещества в жидкой фазе капли
угол θ должен стремиться к углу θ0 (угол на границе: чистый растворитель–
10
И.В. Водолазская, Ю.Ю. Тарасевич, О.П. Исакова Моделирование эволюции фазового фронта в высыхающей
на горизонтальной подложке капле коллоидного раствора // Нелинейный мир, Т. 8, №3, 2010, с. 142-150
гель–атмосфера), а при больших концентрациях (W ≈ W f ) — к нулю. Для малых концентраций нашей модели можно предположить следующую линейную зависимость:



θ (t ) = θ 0 1 −
1
г

 ,

(6)
2
а
W
Wf
B
ж
Рис. 2. Область трехфазной границы: а — атмосфера, г — гель, ж — жидкая
фаза капли. Прямые 1 и 2 — касательные в точке В границы к свободным поверхностям геля и жидкой фазы капли; α — угол между касательными, β и
γ — углы между касательными и горизонтальным направлением
Угол γ между касательной к свободной поверхности жидкой фазы и
горизонтом и угол β между свободной поверхностью геля и горизонтом в
точке B с координатами ( rf , h f ) (см. рис. 1 и 2) определяются из соотношений:
tgγ (t ) =
2rf H ( 0, t )
rf 2 − H 2 ( 0, t )
tgβ (t ) = −
dh f
drf
,
(7)
.
Так как краевой угол θ = π − α = π − (π − γ + β ) = γ − β (см. рис. 2), и,
используя (7), получаем:

2r H (0, t ) 
hɺ f 1 + tgθ (t ) ⋅ 2 f 2
 = rɺf

r
−
H
(0,
t
)
f



2rf H (0, t ) 
 tgθ (t ) − 2
 ,
2
r
−
H
(0,
t
)
f


(8)
11
И.В. Водолазская, Ю.Ю. Тарасевич, О.П. Исакова Моделирование эволюции фазового фронта в высыхающей
на горизонтальной подложке капле коллоидного раствора // Нелинейный мир, Т. 8, №3, 2010, с. 142-150
где θ описывается формулой (6). Анализ формулы (8) показывает, что при
W → W f она переходит для тонкой капли в условие гладкости функции, опи-
сывающей профиль капли.
Нами было проведено моделирование для других предположений о
форме капли вблизи фазовой границы. Использование законов, предложенных в работах [12,16], приводит к результатам, не согласующимся с экспериментальными данными.
Результаты и их обсуждение
Результаты расчета модели представлены на рис. 3–6 для тонкой капли,
на рис. 7 и 8 — для высокой капли. На рис. 3 и 4 представлено влияние на результаты расчета множителя (1 − W / W f ) в условие на границе фаз. На рис. 5–
8 можно видеть влияние отношения скорости понижения высоты капли к усредненной по поверхности скорости испарения на профили капель различного размера.
12
И.В. Водолазская, Ю.Ю. Тарасевич, О.П. Исакова Моделирование эволюции фазового фронта в высыхающей
на горизонтальной подложке капле коллоидного раствора // Нелинейный мир, Т. 8, №3, 2010, с. 142-150
1,8
1,6
1,4
1,2
W/W0
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
500
1000
1500
2000
2500
t
Рис. 3. Изменение со временем усредненной по объему жидкой фазы объемной доли твердого вещества, нормированной на W0 ( W f = 0.5 ): сплошная линия — W0 = 0.01 и θ = θ 0 , штриховая — W0 = 0.01 и θ = θ 0 (1 − W / W f ) , пунктирная —
W0 = 0.1
и
θ = θ0 ,
штрих-пунктирная —
W0 = 0.1
и
θ = θ 0 (1 − W / W f )
13
И.В. Водолазская, Ю.Ю. Тарасевич, О.П. Исакова Моделирование эволюции фазового фронта в высыхающей
на горизонтальной подложке капле коллоидного раствора // Нелинейный мир, Т. 8, №3, 2010, с. 142-150
0,009
0,008
0,007
0,006
0,005
hf
0,004
0,003
0,002
0,001
0
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
rf
Рис. 4. Профиль гелевой фазы: сплошная линия — W0 = 0.01 , W0 = 0.1 и
θ = θ 0 , штриховая — W0 = 0.01 и θ = θ 0 (1 − W / W f ) , штрих-пунктирная —
W0 = 0.1 и θ = θ 0 (1 − W / W f ) . W f = 0.5
0,06
0,05
0,04
hf,
hf+H
0,03
0,02
0,01
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
r
Рис. 5. Эволюция профиля капли с параметрами H 0 / R = 0.06 , начальная объемная доля растворенного вещества W0 = 0.01 ( W f = 0.5 ), скорость понижения высоты капли υ0 = 1.65 ⋅ J 0 . Сплошная линия — момент окончания формирования гелевого валика t = t g , штриховая — начало высыхания капли,
пунктирная — t = 0.4t g
14
И.В. Водолазская, Ю.Ю. Тарасевич, О.П. Исакова Моделирование эволюции фазового фронта в высыхающей
на горизонтальной подложке капле коллоидного раствора // Нелинейный мир, Т. 8, №3, 2010, с. 142-150
0,06
0,05
0,04
hf,
hf+H
0,03
0,02
0,01
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
r
.
Рис. 6. Эволюция профиля капли с параметрами H 0 / R = 0.06 , начальная объемная доля растворенного вещества W0 = 0.01 ( W f = 0.5 ), скорость понижения высоты капли υ0 = 1.2J 0 .Сплошная линия — момент окончания формирования гелевого валика t = tg , штриховая — начало высыхания капли
0,6
0,5
0,4
hf,
hf+H
0,3
0,2
0,1
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
r
Рис. 7. Эволюция профиля капли с параметрами H 0 / R = 0.6 , начальная объемная доля W0 = 0.2 (W f = 0.5 ), скорость понижения высоты капли υ0 = 1.8 J 0 .
Сплошная линия — момент окончания формирования гелевого валика t = t g ,
штриховая — начало высыхания капли, пунктирная — t = 0.37t g , штрихпунктирная — t = 0.75t g
15
И.В. Водолазская, Ю.Ю. Тарасевич, О.П. Исакова Моделирование эволюции фазового фронта в высыхающей
на горизонтальной подложке капле коллоидного раствора // Нелинейный мир, Т. 8, №3, 2010, с. 142-150
0,6
0,5
0,4
hf,
hf+H
0,3
0,2
0,1
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
r
Рис. 8. Эволюция профиля капли с параметрами H 0 / R = 0.6 , начальная объемная доля W0 = 0.2 (W f = 0.5 ), скорость понижения высоты капли υ0 = 1.3 J 0 .
Сплошная линия — момент окончания формирования гелевого валика t = t g ,
штриховая — начало высыхания капли
Заключение
Предположения о значительном замедлении внутренних течений в
твердой фазе и простейших зависимостях скорости понижения высоты капли
и краевого угла от объемной доли твердого вещества позволили построить
согласующуюся с экспериментом модель, описывающую эволюцию формы
высыхающих капель коллоидных растворов и динамику фазовой границы
золь–гель. В отличие от предложенных ранее моделей мы используем только
легко измеряемые величины.
Список литературы
1. Helseth L. E., Fischer T. M. Particle interactions near the contact line in liquid
drops // Physical Review E. — 2003. — vol. 68. — P. 042601.
2. Govor L. V., Reiter G., Parisi J., Bauer G. H. Self-assembled nanoparticle deposits formed at the contact line of evaporating micrometer-size droplets //
Physical Review E. — 2004. — vol. 69. — P. 061609.
16
И.В. Водолазская, Ю.Ю. Тарасевич, О.П. Исакова Моделирование эволюции фазового фронта в высыхающей
на горизонтальной подложке капле коллоидного раствора // Нелинейный мир, Т. 8, №3, 2010, с. 142-150
3. Harris D. J., Hua Hu, Conrad J. C., Lewis J. A. Patterning Colloidal Films via
Evaporative Lithography // Physical Review Letters. — 2007. — vol. 98. — P.
148301.
4. Jun Xu, Jianfeng Xia, Suck Won Hong, Zhiqun Lin, Feng Qiu, Yuliang Yang.
Self-Assembly of Gradient Concentric Rings via Solvent Evaporation from a
Capillary Bridge // Physical Review Letters. — 2006. — vol. 96. — P. 066104.
5. Abramchuk S. S., Khokhlov A. R., Iwataki T., Oana H., Yoshikawa K. Direct
observation of DNA molecules in a convection flow of a drying droplet // Europhysical Letters. — 2001. — vol. 55. — 2. — P. 294.
6. Rieger B., van den Doel L. R., van Vliet L. J. Ring formation in nanoliter cups:
Quantitative measurements of flow in micromachined wells // Physical Review E. — 2003. — vol. 68. — P. 036312.
7. Савина Л. В. Кристаллоскопические структуры сыворотки крови здорового и больного человека. Краснодар: Советская Кубань, 1999. 96 с.
8. Шабалин В.Н., Шатохина С.Н. Морфология биологических жидкостей человека. М.: Хризостом, 2001. 304 с.
9. Рапис Е. Белок и жизнь (самосборка и симметрия наноструктур белка).
Иерусалим; М.: ЗЛ. Милта-ПКП ГИТ, 2002. 257 с.
10.Takhistov P., Chang H.-C. Complex Stain Morphologies // Ind. Eng. Chem.
Res. — 2002. — vol. 41. — P. 6256–6269.
11.Ragoonanan V., Aksan A. Heterogeneity in Desiccated Solutions: Implications
for Biostabilization // Biophysical Journal. — 2008. — vol. 94. — P. 2212–
2227.
12.Parisse F., Allain C. Shape Changes of Colloidal Suspension Droplets during
Drying // J.Phys. II France. — 1996. — vol. 6. — P. 1111–1119.
13.Deegan R.D., Bakajin O., Dupont T.F., Huber G., Nagel S.R., Witten T.A. Capillary flow as the cause of ring stains from dried liquid drops // Nature.—
1997. — vol. 389. — P. 827–829.
17
И.В. Водолазская, Ю.Ю. Тарасевич, О.П. Исакова Моделирование эволюции фазового фронта в высыхающей
на горизонтальной подложке капле коллоидного раствора // Нелинейный мир, Т. 8, №3, 2010, с. 142-150
14.Deegan R.D., Bakajin O., Dupont T.F., Huber G., Nagel S.R., Witten T.A. Contact line deposits in an evaporating drop // Physical Review E. — 2000. —
vol. 62. — P. 756–765.
15.Pauchard L., Parisse F., Allain C. Influence of salt content on crack patterns
formed through colloidal suspension desiccation // Physical Review E. —
1999. — vol. 59. — P. 3737–3740.
16.Popov Yu. O. Evaporative deposition patterns: Spatial dimensions of the deposit // Physical Review E. — 2005. — vol. 71. — P. 036313.
17.Deegan R. Pattern formation in drying drops // Physical Review E. — 2000. —
vol. 61. — P. 475–485.
18.Widjaja E., Harris M.T. Partiсle deposition study during sessile drop evaporation // AIChE Journal. — 2008. — vol. 54. — № 5— P. 2250–2260.
19.Cachile M., Benichou O., Cazabat A.M. Evaporating droplets of completely
wetting liquids // Langmuir. — 2002. — vol. 18. — P. 7985–7990.
20.Anderson D.M., Davis S.H. The spreading of volatile liquid droplets on heated
surfaces // Physics of Fluids. — 1995. — vol. 7. — P. 248–265.
21.Annarelli C.C., Fornazero J., Bert J., Colombani J. Crack patterns in drying protein solution drops // Eur. Phys. E. — 2001. — vol. 5. — P. 599–603.
22.Okuzono T., Kobayashi M., Doi M. Final shape of a drying thin film // Physical
Review E. — 2009. — vol. 80. — P. 021603.
23.Тарасевич Ю.Ю., Православнова Д.М. Качественный анализ закономерностей высыхания капли многокомпонентного раствора на твердой подложке // Журнал технической физики. — 2007. — Т. 77(2). — С. 17–21.
24.Bhardwaj R., Fang X., Attinger D. Pattern formation during the evaporation of
a colloidal nanoliter drop: a numerical and experimental study // New Journal of
Physics. — 2009. — vol. 11. — P. 075020 (33pp).
25.Яхно Т.А., Яхно В.Г., Санин А Г., Пелюшенко А.С., Шапошникова О.Б.,
Чернов А.С. Феномен высыхающей капли и возможности его практического использования // Нелинейный мир. — 2007. — № 1–2. — С. 54–65.
18
И.В. Водолазская, Ю.Ю. Тарасевич, О.П. Исакова Моделирование эволюции фазового фронта в высыхающей
на горизонтальной подложке капле коллоидного раствора // Нелинейный мир, Т. 8, №3, 2010, с. 142-150
26.Zheng R. A study of evaporative deposition process: Pipes and truncated transport dynamics // Eur. Phys. J. E — 2009. — Vol. 29. – P. 205–218.
27.Suzuki Y.Y., Tokita M., Mukai S. Kinetics of water flow through a polymer gel
// Eur. Phys. J. E. 2009. — Vol. 29. — P. 415–422.
19