Станкевич Максим (ГИ-11-4)

Вариант 23.
Даны точки А(3; 2; 0), В(5; 0; 0), С(1; 0; 0), Д(1; 0; 5).
1) Вычислить массу тетраэдра АВСД с плотностью Р(x,y,z)=x.
2) Вычислить циркуляцию векторного поля
вдоль сторон треугольника
(обход против часовой стрелки)
непосредственно и с помощью формулы Грина.
3) Вычислить циркуляцию векторного поля
вдоль сторон треугольника
(обход против часовой
стрелки со стороны нормали, составляющей с осью z острый угол)
непосредственно и с помощью формулы Стокса.
4) Вычислить поток векторного поля F={6x+4y; -6z+6y; 5x+2y} через грани
тетраэдра АВСД непосредственно и с помощью формулы
Остроградского-Гаусса.
Задание №1
D (1; 0; 5)
4
z
C (1; 0; 0)
2
B (5; 0; 0)
0
A (3; 2; 0)
2
0
y
4
3
4
5
1
2
x
Массу тетраэдра
с плотностью (
помощью тройного интеграла по объёму ∭
Уравнения прямой
—
)
(
будем вычислять с
)
.
.
Уравнения прямой
—
Уравнение плоскости
векторов ⃗⃗⃗⃗⃗
(
) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
.
получаем из условия компланарности
(
), ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
) (M – точка на
искомой плоскости) |
|
Тогда
∭ (
)
∫
∫
∫
1
y
A
2
Задание №2
1.5
I) Непосредственно
Циркуляцию векторного
1
поля
вдоль сторон треугольника
можно вычислить с помощью
криволинейного второго рода
0.5
C
B
2
)
(
)
∮ (
ограничивающая область Д.
3
4
, где Г — замкнутая ломаная
5
,
В силу аддитивности криволинейного интеграла запишем
∮ (
(
)
∫ (
(
)
)
(
))
(
(
)
)) (
)
(
)
)
(
(
)
∫ (
. Тогда ∫ (
Для
1
∫ (
. Тогда ∫ (
Для
∫ (
)
)
)
(
∫
)
)
.
Здесь и далее численное значение интегралов получено в математическом пакете Mathematica 5.0
.
x
. Тогда ∫ (
Для
∫ (
(
(
))
В итоге ∮ (
)
(
)) (
(
)
(
)
)
)
II) По формуле Грина
∫(
)
∬(
(
)
(
)
(
))
∫
∫
Задание №3
I) Непосредственно
𝑛⃗
Циркуляцию векторного поля
вдоль сторон треугольника
можно
вычислить с помощью криволинейного
второго рода
∮(
)
(
)
)
, где Г — замкнутая ломаная
D
(
, ограничивающая площадь .
В силу аддитивности криволинейного интеграла можно записать
∮
∫
∫
∫
Уравнение прямой
изменяется от
{
—
, где от
до
до .
Аналогично получаем параметрические уравнения в координатной
форме для прямых
и
—{
.
—{
,
.
Вычислим каждый интеграл по отдельности:
∮(
(
)
∫ (( (
)
)
(
( (
∮(
∫ (( (
)
)
(
∫ (( (
(
)
)
( (
)
(
)
(
))
( ))(
)) ( )
)
(
) )( )
)
(
(
(
)
(
)
))
) )(
(
)
)
)
( (
∮(
) ) (
(
)
(
)
(
)
(
(
)
(
))
)
)
))(
)
Тогда
∮(
(
)
)
(
)
II) По теореме Стокса
∮ (
∬ (
(
)
(
))
)
)
(
)
))
(
(
(
)
( (
(
))
)
.
Плоскость
задаётся уравнением
Направляющие косинусы вектора нормали к плоскости равны
√
√
√
√
√
√
.
,
√
( )
( )
Тогда
∯ ((
√
)
(
√
)
∬ ((
√
(
√
)
(
)
(
)
(
)
√
)
)
.
∫
∫ ((
)
)
Задание №4
I) Непосредственно
Поток векторного поля
через грани
тетраэдра
вычислим через поверхностный интеграл II-го рода
)
∯(
(
)
(
)
В силу аддитивности запишем
∯
∬
,где
∬
∬
— плоскость
,
— плоскость
∬
,
,
— плоскость
— плоскость
.
D
𝑛
4
𝑛
z
𝑛
C
2
B
0
A
𝑛
2
0
y
4
5
2
3
4
x
1) Для плоскости
вектор нормали имеет
направляющие косинусы
√
1
√
√
√
√
√
. Тогда перейдём к поверхностному
интегралу I-го рода:
∬ ((
)
√
(
)
√
Перейдём к двойному интегралу по области
(
)
:
√
)
∬ ((
√
)
√
(
(
)
∫ ((
∫
(
)
(
)
)
)
)
(
)
(
)
)
2) Для плоскости
нормали к плоскости равны
√(
)
√(
)
√
∬ ((
√(
√
)
.
)
∬(
направляющие косинусы вектора
(
)
√
)
(
(
)
√
)
(
√
Проекция плоскости
(
), а прямая
на плоскость
имеет уравнение
)
)
√
обозначим
, где
.
𝐴
∬ ((
)
√
(
∬ (( (
)
)
∬ (( (
)
)
∫
∫ ( ( (
)
√
√
)
√
)
(
)
(
)
)
(
√
√
))
)√
)√
вектор нормали имеет вид ⃗⃗⃗⃗
3) Для плоскости
Тогда
)
∬(
(
)
∬((
Прямая
)
(
(
) (
)
)
(
)
)
имеет уравнение
) (
∬((
))
∫
.
∫
вектор нормали имеет вид ⃗⃗⃗⃗
4) Для плоскости
Тогда
)
∬(
(
)
∬((
) (
∬(
)
(
(
)
))
(
∫
)
) (
∫ (
)
Окончательно получаем
∯(
)
(
)
(
)
))
II) По формуле Остроградского-Гаусса
)
∯(
(
∭(
∫
∫
(
)
)
∫
(
(
(
)
)
)
(
))