СИСТЕМАТИЧЕСКОЕ КОДИРОВАНИЕ КОДОВ n РЕГИСТРА СДВИГА

Ташатов Н.Н.
Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, г. Астана
СИСТЕМАТИЧЕСКОЕ КОДИРОВАНИЕ КОДОВ
РИДА – СОЛОМОНА С ПОМОЩЬЮ (n – k)-РАЗРЯДНОГО
РЕГИСТРА СДВИГА
Отображение элементов
описывается уравнением
поля
в
базисные
элементы,
которое
,
(1)
можно показать с помощью схемы линейного регистра сдвига с обратной
связью (linear feedback shift register – LFSR). Эта схема показана на рисунке
1.
Рисунок 1 – Отображение элементов поля в базисные элементы с
помощью схемы линейного регистра сдвига с обратной связью, построенного
на примитивном многочлене
При т = 3 схема генерирует 2т – 1 ненулевых элементов поля. Как и в
случае двоичных циклических кодов, обратная связь, показанная на рисунке
1, соответствует коэффициентам многочлена f(Х) = 1 +Х + Х3. Как показано
на рисунке 2, кодирование последовательности из 3 символов в
систематической форме на основе кода Рида-Соломона (7, 3), определяемого
генератором g(X) из уравнения
,
(2)
требует реализации регистра LFSR [1]. Видно, что элементы умножителя на
рисунке 2, взятые справа налево, соответствуют коэффициентам многочлена
в уравнении (2). Этот процесс кодирования является недвоичным аналогом
циклического
кодирования.
Здесь,
в
соответствии
с
уравнением
cверточных кодов
Ридаm
Соломона (n, k), ненулевые кодовые слова образованы 2 – 1 = 7 символами,
и каждый символ состоит из m = 3 бит [1, 2].
Рисунок 2 – Кодер линейного регистра сдвига с обратной связью
LFSR для кода (7, 3)
Здесь приведен пример недвоичного кодирования, так что каждый разряд
регистра сдвига, изображенного на рисунке 2, содержит 3-битовый символ.
Т.к. каждый коэффициент является 3-битовым, то они могут принимать одно
из 8 значений.
Недвоичные операции, осуществляемые кодером, показанным на
рисунке 2, создают кодовые слова в систематической форме, так же как и в
двоичном случае [3]. Эти операции определяются следующими шагами.
1. Переключатель 1 в течение первых k тактовых импульсов закрыт, для
того чтобы подавать символы сообщения в (n – k)-разрядный регистр
сдвига.
2. Переключатель 2 в течение первых k тактовых импульсов находится в
нижнем положении, что обеспечивает одновременную передачу всех
символов сообщения непосредственно на регистр выхода (на рисунке 2
это не показано).
3. После передачи k-го символа на регистр выхода, переключатель 1
открывается, а переключатель 2 переходит в верхнее положение.
4. Остальные (n – k) тактовых импульсов очищают контрольные
символы, содержащиеся в регистре, подавая их на регистр выхода.
5. Общее число тактовых импульсов равно n, и содержимое регистра
выхода является полиномом кодового слова
,
где р(Х) представляет собой кодовые символы, а m(Х) – символы
сообщения в виде многочленов.
Рассмотрим пример, закодировав сообщение из трех символов с
помощью кода Рида-Соломона (7,3), генератор которого определяется
уравнением
.
Крайний правый символ здесь является самым первым, и крайний правый
бит также является самым первым. Последовательность действий в течение
первых k = 3 сдвигов в цепи кодирования на рисунке 2 будет иметь
следующий вид.
Очередь ввода
Такт
0
Содержимое регистра
0
0
0
0
Таблица 1
Обратная связь
1
Видно,
что
2
3
после
0
третьего
такта
регистр
содержит
4 контрольных символа,
и
. Затем переключатель 1 переходит
в верхнее положение, и контрольные символы, содержащиеся в регистре,
подаются на выход. Поэтому выходное кодовое слово, записанное в
форме многочлена, можно представить в следующем виде:
,
(3)
Процесс проверки содержимого регистра во время разных тактов
несколько сложнее, чем в случае бинарного кодирования. Здесь сложение и
умножение элементов поля должны выполняться согласно таблицам 2 и 3.
Таблица 2. Таблица сложения для GF(8) при f(Х) = 1 + X + X3
0
0
0
0
0
0
0
Таблица 3. Таблица умножения для GF(8) при f(Х) = 1 + X + X3
Корни генератора многочлена g(X) должны быть и корнями кодового
слова, генерируемого g(X), т.к. правильное кодовое слово имеет следующий
вид:
U(X) = m(X)g(X).
(4)
Следовательно, произвольное кодовое слово, выражаемое через корень
генератора g(X), должно давать нуль. Покажем, действительно ли многочлен
кодового слова в уравнении (3) дает нуль, когда он выражается через какойлибо один из четырех корней g(X). Другими словами, это означает проверку
следующего:
.
Выполнив вычисления для разных корней, получим следующее:
Эти вычисления показывают, что кодовое слово, выражаемое через любой
корень генератора g(X), должно давать нуль.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое
применение. Изд. 2-е, испр.: Пер. с англ. – Издательский дом
«Вильямс», 2004. – 1104 с. ил.
2. Садыков А.А., Ташатов Н.Н., Бекманова Г.Т. Корректирующее
(восстанавливающее) кодирование информации. Коды Рида-Соломона
и вероятность появления ошибок. // Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева. –
2007. - №2. – с.69-74.
3. Ташатов Н.Н. Кодирование циклических кодов в систематической
форме. // Материалы II Международной научно-практической
конференции «Научный прогресс на рубеже тысячелетий - 2007», 1-15
июня 2007г., Днепропетровск (Украина) – Белгород (Россия), т.12, с.
12-14.