3.5 Распространение света в кристаллах Файл

1
3.5. Распространение света в кристаллах
3.5.1. Двойное лучепреломление.
Кристаллы – оптически анизотропные объекты, т.е. их оптические свойства неодинаковы в
различных направлениях. Яркий пример – эффект двойного лучепреломления. В 1669 г. Эразм Бартолин
(Эразм Бартолин, датский физик, 1625–1698) наблюдал свойство двойного лучепреломления при
прохождении света через кристаллы исландского шпата СаСО3. В чем состоит явление? При прохождении
света через эти кристаллы наблюдается 2 луча, которые линейно поляризованы во взаимно
Необыкновенный
луч
Обыкновенный
луч
кристалл СаСО3
Оптическая
ось
перпендикулярных плоскостях:
Дадим основные определения и введем понятие оптической оси. Оптическая ось – это такое
направление или ось в кристалле, вдоль которого свет, распространяясь, не испытывает двойного
лучепреломления. Главная оптическая плоскость проходит через оптическую ось кристалла и волновую
r
нормаль падающего света (далее по тексту единичный вектор N ). На рисунке выше это плоскость самого
r
рисунка. Обыкновенный луч характеризуется вектором E о и поляризован перпендикулярно главной
r
оптической оси. Необыкновенный луч характеризуется вектором E e и поляризован в направлении главной
плоскости. При падении на кристалл естественного света интенсивность обыкновенного и необыкновенного
луча одинакова.
Если луч после первого кристалла (линейно поляризованный свет) бросить на 2-ой кристалл, то снова
получаем 2 луча: обыкновенный и необыкновенный.
Их
интенсивность зависит от угла α между
s
r
плоскостью колебаний в падающем луче и главной
Eo
E
плоскостью 2-го кристалла. Если разложить
r
амплитуду
падающей волны А0 по направлениям
r
α
Ee
E
вдоль и поперек главной оси
 E o = A0 Sinα
,

 E e = A0 Cosα
то получаем интенсивность
необыкновенного лучей:
(3.5.1)
обыкновенного
I o = I 0 Sin 2 α , I e = I 0 Cos 2 α ,
и
(3.5.2)
Тогда отношение интенсивностей для обыкновенного и необыкновенного лучей:
Io
= tg 2 α .
Ie
(3.5.3)
Соотношения (3.5.2) - (3.5.3) носят название закона Малюса (Этьен Луи Малюс, французский физик, 1775–
1812).
Причина необычного поведения света – различные показатели преломления кристалла для
распространения обыкновенного (света одной поляризации) и необыкновенного (света другой поляризации)
лучей. Показатель преломления кристалла зависит от поляризации света. Так, для исландского шпата
имеем: для обыкновенного луча n0 = 1.658, а для необыкновенного луча показатель преломления меняется
в диапазоне - 1.486 < ne < 1.658.
2
Вообще все кристаллы делятся на отрицательные кристаллы (исландский шпат), у которых ne ≤ n0, и
положительные кристаллы, у которых ne ≥ n0 (кварц).
3.5.2. Оптические свойства кристаллов.
В анизотропных средах связь между векторами электрической индукции и напряженностью
электрического поля усложняется (см Электромагнетизм, Глава 2)
Di = ε ij E j ,
i , j = 1,2 ,3
(3.5.4)
где εij - тензор диэлектрической проницаемости:
 ε11

ε ij =  ε 21
ε
 31
ε12
ε13 

ε 23 
ε 33 
ε 22
ε 32
(3.5.5)
Из закона сохранения энергии следует, что εij = εji , т.е. тензор диэлектрической проницаемости
симметричный, и из 9-ти компонент тензора – 6 независимых. Симметричность тензора позволяет привести
выражения для плотности электрической энергии к такой форме, в которую будут входить лишь квадраты
компонент поля (подробнее см Матвеев §39):
2
1
1  D x2 D y D z2 
2
2
2
w=
εx Ex + ε y E y + εz Ez =
+
+
8π
8π  ε x
εy
ε z 
(
)
(3.5.6)
Таким образом, существует такая система координат, связанная с кристаллом, в которой материальные
уравнения и выражения для плотности электрической энергии приобретают простую форму:
Dx = ε x E x , D y = ε y E y , Dz = ε z E z
(3.5.7)
В этой системе координат тензор диэлектрической проницаемости диагонален, при этом величины εx, εy, εz
называются главными диэлектрическими проницаемостями.
r
r
Из (3.5.7) следует важный вывод, что вектора D и E не коллинеарны. Исключение составляет случаи,
r
когда вектор напряженности E совпадает с одной из главных осей или когда εx = εy = εz (изотропная
среда).
В изотропных средах диэлектрическая проницаемость ε функция частоты (явление дисперсии),
особенно резко она меняется вблизи полос поглощения. Так же в оптически анизотропных средах
компоненты εij тоже меняются от частоты ω. Следовательно, с частотой падающего света меняются
r
направления вектора D , значения главных диэлектрических проницаемостей и направления осей εx, εy, εz.
Это явление называется дисперсией осей.
По своим оптическим свойствам кристаллы делятся на 3 группы.
I-ая группа. Кубические кристаллы – кубическая система, когда все три выбранных взаимноперпендикулярных направления эквивалентны: εx = εy = εz = ε:
r
r
D = εE
Кристаллы оптически изотропные и по оптическим свойствам эквивалентны аморфному телу.
II-ая группа. Кристаллы, в которых можно выбрать 2 или более кристаллографически эквивалентных
z
z
y
x
a
z
y
x
y
x
б
в
3
направлений, лежащих в одной плоскости. Это кристаллы тригональной (а), тетрагональной (б) и
гексагональной (в) систем. Эти плоскости перпендикулярны к оси симметрии третьего, четвертого и 6-го
порядков, при этом выполняется εx = εy ≠ εz. Группы I и II – одноосные кристаллы.
III группа. Кристаллы, в которых невозможно выбрать 2 кристаллографически эквивалентных
направления. Это кристаллы ромбической, моноклинной и триклинной систем: εx ≠ εy ≠ εz. Это оптически
двуосные кристаллы.
3.5.3. Объяснение явления двойного лучепреломления.
Пусть точка О является источником электромагнитных волн.
А) В изотропной среде волновая поверхность представляет
собой сферу, поскольку εx = εy = εz. Так как в каждой точке фронт
волны задается плоскостью, касательной к волновой поверхности. А
нормаль
к
этой
поверхности
определяет
направление
распространения волны,
т.е.
фазовую
скорость.
Для
изотропной
r
r
N
r
S
O
N
rс
направлением луча, т.е. с направлением распространения энергии S
среды
нормаль
к
волновой
поверхности
совпадает
электромагнитной волны.
Б) В анизотропной среде скорость распространения зависит от
направления и в этом случае волновая поверхность не является
r
сферой. Следовательно, нормаль к волновой поверхности N , т.е.
единичный вектор, определяющий направление распространения
постоянной
r
N
α
О
r
S
фазы,
и
вектор
Пойнтинга
r
S=c
r r
[
E , H ],
4π
определяющий направление распространения энергии (направление
групповой скорости или, иначе, луч света), не совпадают по
направлению. Если угол между ними равен α, то скорость
распространения энергии по нормали равна v N = v S Cosα .
Покажем из уравнений Максвелла, что в анизотропных средах
распространяются
две
волны.
Рассмотрим
плоскую
монохроматическую электромагнитную волну:
[(
[(
)]
)]
rr
r r
E = E 0 exp i ωt − k r ;
rr
r r
B = B0 exp i ωt −k r ;
[(
[(
)]
)]
rr
r r
D = D0 exp i ωt − k r ;
rr
r r
H = H 0 exp i ωt −k r
(3.5.8)
(3.5.9)
Запишем систему уравнений Максвелла для немагнитного диэлектрика (плотность тока равна нулю):
r
r ∂D
rot H =
r c∂ t
div D =0
r
r
∂B
rot E =−
r c∂ t
div B =0
(3.5.10)
r
r
Отметим, что задачу решаем в системе главных диэлектрических осей, при этом div E ≠0 , т.к. вектор E не
r
коллинеарен вектору D . Подставим плоскую волну (3.5.8) и (3.5.9) в уравнения (3.5.10), при этом
произведение волнового вектора на радиус-вектор равно:
rr n r r
k r =ω r N ,
c
где c/n – фазовая скорость в направлении нормали. Производные по времени и пространственным
координатам от плоской волны могут быть заменены на следующие множители:
∂
n
∂
n
∂
n
∂
⇒ −iω N y ;
⇒ −iω N z
⇒ iω;
⇒ −iω N x ;
(3.5.11)
∂y
∂z
c
∂t
c
∂x
c
r r
Тогда, полагая B= H для немагнитного диэлектрика, из первых двух уравнений (3.5.9) получаем,
соответственно:
[
]
r
r r
D =− n N , H ,
[
r
r r
H =n N , E
]
(3.5.12)
4
Отсюда видно, что нормаль к волновой поверхности перпендикулярна векторам напряженности магнитного
r
r r r
поля и электрической индукции N⊥H , D . Вектор Пойнтинга S = c
r
D
r
E
луча, перпендикулярен к векторам напряженности
r
магнитного поля H и напряженности электрического
r
N
r
H
r
D
r
E , однако не совпадает по направлению с
r
вектором нормали N , т.к. известно, что в анизотропной
r r
среде E и D не коллинеарны.
поля
r
S
r
H
r r
[
E , H ] , задающий направление
4π
Итак, при распространении электромагнитной
r
волны в анизотропной среде фазовая скорость v N , которая
r
E
r
r
направлена по вектору N , и групповая скорость v S , направленная по
r
S , не совпадают по направлению между собой.
r r
r
r
Следовательно, E⊥H , но E не ⊥ N . Строго говоря, в анизотропной
вектору
r
N
среде электромагнитная волна не является поперечной, т.к. есть
r
r
S
r
H
ненулевая проекция вектора E на направление распространения фазы
r
r
r
r
r
N и ненулевая проекция D на S . Вектор E коллинеарен D , если
волна распространяется вдоль одного из главных направлений в кристалле.
Итак, комбинируя уравнения (3.5.12) (подставляя второе в первое), получаем:
[
]
[[
] ]
(
(
)
(
))
r
r r
r r r
r r r r
D = n H ,N = n 2 N ,E ,N = n 2 E − N E ,N
(3.5.13)
r
rr
Умножим последнее равенство скалярно на D и, учитывая, что DN = 0 , имеем:
r r
D 2 = n 2 E,D
(3.5.14)
Далее, вспоминая n = c , получаем для скорости:
v
r r
2
2 E ,D
v =c
(3.5.15)
D2
При этом выясняется важная особенность: скорость электромагнитных волн v зависит от направления их
(
)
распространения и поляризации. Рассматривая совместно уравнения Максвелла, свойства волн в кристаллах
r
r
и связь между векторами D и E , можно получить формулы Френеля для анизотропной среды. В общем
случае это достаточно сложно, и мы здесь их не будем рассматривать.
3.5.4. Оптически одноосные кристаллы.
Наибольшее практическое значение имеют оптически одноосные кристаллы, которые симметричны
r
r
r
r
относительно оси вращения. Разложим вектора D и E на составляющие вдоль оптической оси D|| и E\\ и
r
r
перпендикулярные к оптической оси D ⊥ и E ⊥ . Тогда можно записать
r
r
D|| = ε|| E||
r
r
D⊥ = ε ⊥ E ⊥
(3.5.16)
(3.5.17)
где ε|| и ε⊥ - продольная и поперечная диэлектрические проницаемости.
Рассмотрим частные случаи.
r
r
А) Пусть вектор D перпендикулярен к главной плоскости кристалла (плоскость через N и оптическую
r
r
ось), т.е. D = D ⊥ и имеем только уравнение (3.5.17). В этом случае кристалл ведет себя как изотропная
r
r
среда с диэлектрической проницаемостью ε⊥, при этом D = ε ⊥ E . Тогда из (3.5.15) получаем скорость:
rr
DE
c2
=
v =c
D2 ε⊥
2
2
5
v = v⊥ ≡ v0 =
c
(3.5.18)
ε⊥
Это – скорость распространения обыкновенного луча. Таким образом, если электрический вектор
перпендикулярен к главной плоскости кристалла, то скорость волны не зависит от направления ее
распространения, и это есть обыкновенная волна.
r
r
Б) Пусть вектор D лежит в главной плоскости. Тогда вектор E тоже лежит в главной плоскости и
r
характеризует (по определению) необыкновенную волну. Вектор E можно разложить на две составляющие
r
– вдоль вектора D и вдоль вектора нормали:
r r
r
E = EN + ED
(3.5.19)
r
rr
Умножая (3.5.19) скалярно на D и учитывая, что DN = 0 , получаем следующее очевидное равенство:
rr
rr rr
rr
DE
DE = DE N + DE D = DE D
и
(3.5.20)
ED =
D
Пользуясь разложением (3.5.16) и (3.5.17), имеем:
rr
2
ED E|| D|| + E ⊥ D ⊥ 1  D|| D ⊥2 
(3.5.21)
=
=
+
ED =
ε ⊥ 
D
D
D  ε||
Вводя угол α между оптической осью и волновой нормалью,
r
N
α
оптическая
ось
получаем:
r
D
 N ⊥2 N ||2 
 Sin 2 α Cos 2 α 



+
= D
+
ED = D
 ε



ε
ε
ε
⊥
⊥ 
 ||

 ||
(3.5.22)
2
1 N ⊥2 N ||
=
+
ε ε||
ε⊥
(3.5.23)
Введем диэлектрическую проницаемость
Тогда можно (3.5.22) переписать:
D = εE D
(3.5.24)
Из (3.5.12) получаем (взяв равенства по модулю):
εE D =
c
c
H , H = ED
v
v
Откуда фазовая скорость (скорость по нормали):
2
N ⊥2 N ||
(3.5.25)
v=
=c
+
= v e = v||
ε||
ε⊥
ε
r
Эта скорость изменяется с изменением направления нормали N к фронту волны. По этой причине
возникает необыкновенная волна. Зависимость ее скорости v|| от направления распространения
r
r
обусловлена тем, что с изменением направления волновой нормали N меняется угол между вектором E и
c
оптической осью кристалла.
1) Когда N ⊥ = 0 , то необыкновенная волна распространяется вдоль оптической оси, то из (3.5.25)
следует, что скорость равна
v=
c
ε⊥
= v⊥ ≡ v0
(3.5.26)
Т.е. здесь нет различия между обыкновенной и необыкновенной волной (кроме поляризации).
2) Если N || = 0 , то скорость равна:
v=
c
ε||
(3.5.27)
6
Это скорость необыкновенной волны, максимально отличающаяся от скорости обыкновенного луча.
Итак, в общем случае, волна, попадающая в кристалл из изотропной среды, разделяется внутри
r
кристалла на две линейно поляризованные волны: обыкновенную, вектор электрической индукции D
которой перпендикулярен плавной плоскости, и необыкновенную с вектором индукции, лежащим в главной
плоскости. Для различных направлений – различные скорости. Законы преломления справедливы, но не для
лучей, а для волновых нормалей.
3.5.5. О построении лучей.
r
Итак, в обыкновенном луче колебания E происходят в направлении, перпендикулярном к главной
плоскости кристалла.
Построим диаграмму для одноосных кристаллов. Пусть плоскость листа – главная плоскость
кристалла. Окружность, или точнее сфера, характеризуется ε⊥ или скоростью обыкновенного луча, которая
постоянна для одноосных кристаллов. Поляризация этого
r
луча, обозначенная на рисунке точками, перпендикулярна
N1
плоскости листа.
Эллипс, точнее для одноосных кристаллов в
r
пространстве
эллипсоид
вращения,
характеризует
N3
скорость распространения необыкновенного луча. Его
скорость определяется соотношением (3.5.25) и меняется
r
е
в зависимости от направления распространения N
( N ⊥ = sin α и N || = cos α ) относительно оптической
r
N2
оси. На рисунке поляризация необыкновенного луча
обозначена обоюдной стрелкой, т.к. она параллельна
главной плоскости.
r
r
r
Рассмотрим 3 луча по направлениям N 1 , N 2 , N 3 , в
о
качестве примера.
r
А) Направление N 1 : угол α = 0, тогда лучи движутся, не
расщепляясь,
с
одинаковой
скоростью
Оптическая ось
v0 = ve = c
ε⊥
r
.
Б) Направление N 2 : угол α = π/2, тогда лучи движутся в одном направлении, но с разной скоростью
v0 = c
ε⊥
и ve = c
r
ε||
.
В) Направление N 3 : угол α произвольный, тогда лучи движутся, расщепляясь, с разной скоростью.
а
оптическая
ось
б
оптическа
я ось
е
е о
о
ne > no
ve < vo
ne < no
ve > vo
r
В общем случае, как уже упоминалось
вначале параграфа, существуют кристаллы
положительные (ne > no) и отрицательные (ne <
no), соответствующие диаграммы скоростей
которых изображены на рисунках а и б.
Полученные
диаграммы
скоростей
позволяют
построить
волновые
фронты
разделяющихся лучей. Покажем построение
волновых фронтов на нескольких примерах. Для
определенности рассмотрим положительный
кристалл и нормальное падение света на его
поверхность.
Рассмотрим
3
направления
распространения фронта волны N относительно оптической оси кристалла, соответствующие случаям А)
r
r
r
N 1 , Б) N 2 , В) N 3 .
Случай А): при таком нормальном падении, когда оптическая ось кристалла расположена
r
перпендикулярно поверхности и совпадает по направлению с N , обыкновенный и необыкновенный лучи
идут с одинаковой скоростью в одном направлении, т.е. лучи не разделяются.
7
r
N1
А
е
r
N2
Б
е
о
r
S
е
о
о
r
оптическая
оптическая
S
ось
ось
Случай Б): при таком нормальном падении, когда оптическая ось кристалла расположена параллельно
r
поверхности и перпендикулярна направлению N , обыкновенный и необыкновенный лучи идут опять не
разделяясь, одном направлении, но идут с различной скоростью. Для положительного кристалла
необыкновенный луч идет медленнее.
r
r
Итак, в случаясь А и Б лучи не разделяются, т.к. N совпадает с направлением S .
Случай В): при таком нормальном падении,
r
когда
оптическая ось кристалла расположена под
N
3
В
некоторым углом к поверхности и не совпадает по
оптическая
оптическая
r
направлению с N , обыкновенный и необыкновенный
ось
ось
лучи идут с различной фазовой скоростью, и
происходит пространственное разделение лучей.
Еще один пример построения фронта волны и
е
лучей приведен на следующем рисунке, где
о
е
о
рассмотрено падение световой волны под некоторым
углом и при произвольном направлении оптической
оси. Опять-таки для положительного кристалла на
границе сред строим диаграмму скоростей в точке 2, с
радиусом равным расстоянию, которое лучи успевают
пройти внутри за время, когда световая волна
достигнет точки 1. Затем строим касательные из
точки 1 к окружности и эллипсу диаграммы.
Перпендикуляры к касательным дают направление
распространения фронта волны, а направление лучей
проходят через точки касания и точку 2.
оптическая
ось
1
э/м
волна
2
кристалл
о
е
3.5.6. Поляризаторы и оптические пластинки.
(подробнее см литературу: Сивухин §77
22°
68°
и Матвеев §42).
1). Призма Николя (Уильям Николь,
шотландский физик, 1768–1851). Призма
е
изготовляется из 2-х кусков исландского
64°
шпата, вырезанных и отшлифованных
под определенными углами к угловым
оптическая
ребрам и оптической оси. Оба эти
о
ось
кусочка склеивают канадским бальзамом,
у которого показатель преломления (n =
1.55) занимает промежуточное значение между обыкновенным (n0 = 1.658) и необыкновенным (ne
=1.486) показателями преломления исландского шпата. Все углы и показатели рассчитаны так, что
обыкновенный луч испытывает полное внутренне отражение на границе шпата с канадским бальзамом, а
необыкновенный луч проходит через этот слой. В результате на выходе имеем линейно поляризованный
свет в плоскости перпендикулярной главной плоскости падения.
2). Призма Фуко (Жан Бернар Леон Фуко, французский физик, 1819–1868). Сделана по подобию призмы
Николя, в которой канадский бальзам заменен слоем воздуха. Для осуществления полного внутреннего
8
отражения изменены значения углов, под которыми вырезаются кристаллы. Призма Фуко может также
использоваться для ультрафиолетового излучения. Существует большое разнообразие призм, основанных
на тех же принципах и предназначенных для получения поляризованного света.
3). Поляроиды (турмалин), дихроичные пластинки. К ним относятся кристаллы и приборы, у которых
r
поглощение зависит от направления колебаний электрического вектора E .
Как отличить естественный свет от света, поляризованного по кругу? С помощью поляризаторов не
удается. Для этого используют четвертьволновую оптическую пластинку λ/4.
Кристаллическая пластинка вырезана из одноосного кристалла параллельно оптической оси. Тогда
необыкновенный (е) и обыкновенный (о) лучи не разделяются пространственно, а имеют различные
скорости. Тогда пластинка в λ/4 дает между лучами е и о разность фаз π/2. Разность хода лучей:
d (ne − no ) = ± λ 4
и
∆ϕ =
π
2π
d (ne − no ) = ± + mπ
2
λ
(3.5.28)
На выходе волны из пластинки получаем циркулярно-поляризованную волну, если на входе падает плоско
поляризованная волна. И, наоборот, из циркулярно-поляризованной волны при пропускании через
пластинку λ/4 получаем на выходе плоско поляризованную волну. При пропускании естественного света
через эту пластинку ничего не происходит с естественным светом – он остается неполяризованным. При
пропускании циркулярно-поляризованного света через пластинку λ/4 получаем плоско поляризованный
свет, а затем его можно пропустить через поляризатор. Поляризатор покажет линейно поляризованный свет:
максимум интенсивности при одной угле поворота и нулевое значение интенсивности пройденного света
при повороте на угол π/2. Для естественного света при различных углах поворота поляризатора
интенсивность пройденного света остается постоянной.
Для поворота плоскости линейной поляризации на угол некоторый угол можно
α α
использовать пластинку λ/2, которая дает следующую оптическую разность хода и фаз:
d (ne − no ) = ± λ 2 и ∆ϕ = ± π 2
(3.5.29)
Если линейная поляризация перед пластинкой λ/2 имела угол α по отношению к
оптической оси кристалла, то на выходе получим поворот плоскости поляризации на
угол 2α.
Литература к параграфу:
Сивухин Оптика §§75-77
Матвеев Оптика §§39-43
опт.
ось