СЛАБЫЙ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ МЕХАНИЗМЫ

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2012, том 75, № 11, с. 1379–1386
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
СЛАБЫЙ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ МЕХАНИЗМЫ ФОТОРОЖДЕНИЯ
НЕЙТРИННЫХ ПАР В СИЛЬНО ЗАМАГНИЧЕННОМ
ЭЛЕКТРОННОМ ГАЗЕ
c 2012 г.
А. В. Борисов*, Б. К. Керимов , П. Е. Сизин1)
Московский государственный университет, Россия
Поступила в редакцию 28.11.2011 г.
Получены выражения для мощности нейтринного излучения вырожденного электронного газа в сильном магнитном поле в процессе фоторождения нейтринных пар за счет слабого и электромагнитного
механизмов взаимодействия (предполагается наличие у нейтрино электромагнитных формфакторов).
Показано, что нейтринная светимость среды в электромагнитном канале реакции может значительно
превосходить светимость в слабом канале. Получены относительные верхние ограничения на эффективный магнитный момент нейтрино.
1. ВВЕДЕНИЕ
Нейтринное излучение – основной механизм
энергопотерь звезд на поздней стадии их эволюции [1]. Мы будем рассматривать процессы, идущие во внешних областях нейтронных звезд, при
условиях, когда вещество практически прозрачно
для нейтрино, и рождающиеся нейтрино уносят
всю свою энергию, что приводит к охлаждению
звезды. В поверхностных областях этих звезд
могут существовать сильные магнитные поля H 1012 Гс, а для класса нейтронных звезд, называемых магнитарами, поля достигают значений
порядка 1014 −1016 Гс [2].
Основными процессами рождения нейтрино во
внешних областях нейтронных звезд являются:
аннигиляция электрон-позитронной пары e− e+ →
→ ν ν̄, фоторождение нейтринной пары на электроне γe± → e± ν ν̄, распад фотона γ → ν ν̄ и двухфотонная аннигиляция γγ → ν ν̄. Каждый из этих
процессов исследовался для различных значений
температуры и плотности среды. Основные результаты этих исследований приводятся в обзоре [3]. Однако при наличии магнитного поля вычисления усложняются. Светимость вырожденного нерелятивистского электронного газа за счет
излучения нейтрино найдена в [4]. В [5] найдены
светимости за счет этих процессов вырожденного
электронного газа для случая сверхсильного поля
(кроме электрон-позитронной аннигиляции, вклад
которой несуществен ввиду малости позитронной
фракции).
В настоящее время рассматриваются различные расширения стандартной модели, в которых
вводятся дополнительные частицы или предполагаются новые свойства у уже известных. Если
такие предположения справедливы, существуют
дополнительные каналы реакций, дающие вклад
в энергопотери астрофизических объектов. Одна
из таких возможностей – гипотетические электромагнитные формфакторы нейтрино. В минимальной стандартной модели электрослабого взаимодействия нейтрино являются безмассовыми и не
обладают электромагнитными дипольными моментами. Простое ее расширение приводит к появлению у массивного дираковского нейтрино магнитного дипольного момента (МДМ), обусловленного
однопетлевыми радиационными поправками, μν 3.2 × 10−19 (mν /1 эВ)μB [6] (mν – масса нейтрино, μB – магнетон Бора), что на много порядков
ниже существующих лабораторных, астрофизических и космологических ограничений на μν . Электромагнитные свойства нейтрино обсуждаются в
обзоре [7] (см. также [1]). Верхние ограничения
на электрический dν и магнитный μν дипольные
моменты нейтрино, получаемые из астрофизических и космологических рассмотрений, имеют порядок (10−12 −10−10 )μB и существенно зависят от
используемых моделей (см. [8], с. 559, и указанные
там ссылки). В частности, в [8] приведено полученное из анализа спектра солнечных нейтрино
консервативное ограничение [9]
μν < 0.54 × 10−10 μB .
(1)
1)
Московский государственный горный университет, Россия.
*
E-mail: borisov@phys.msu.ru
Недавнее ограничение, полученное в лабораторном
эксперименте GEMMA по рассеянию антинейтри-
1379
1380
БОРИСОВ и др.
но на электронах, таково [10]:
−11
μν < 3.2 × 10
μB .
(2)
Взаимодействие дираковского нейтрино с электромагнитным полем за счет его возможных электромагнитных дипольных моментов (ЭМДМ) μν ,
dν может быть описано вершинным оператором
γ ν̄ν-связи, имеющим вид [11–13] (см. также [1,
7])2)
V α (Q) =
= μB σ αβ Qβ f2ν (Q2 ) + iγ 5 g2ν (Q2 ) ,
(3)
Q – 4-импульс фотона; σ αβ = (γ α γ β − γ β γ α )/2. В
дальнейшем, учитывая относительную малость Q2
в рассматриваемых нами процессах, мы используем статические значения электромагнитных формфакторов нейтрино f2ν = f2ν (0) = μν /μB , g2ν =
= g2ν (0) = dν /μB .
При наличии у нейтрино ЭМДМ открывается
дополнительный электромагнитный канал излучения нейтринных пар. В связи с этим в работах [14–
16] были проведены исследования электромагнитного механизма фоторождения γe → eν ν̄, нейтринного тормозного излучения на ядре e− (Ze) →
→ e− (Ze)ν ν̄, аннигиляции e− e+ → ν ν̄ и распада
плазмона γ → ν ν̄. Изучен также вклад (∼mν ) интерференции слабого и электромагнитного взаимодействий в указанные процессы. Проводилось
сравнение светимостей Lem и Lw за счет электромагнитного и слабого механизмов образования ν ν̄пар соответственно. Показано, что оба механизма
могут играть важную роль в энергопотерях звезд.
В [17] найдены нейтринные светимости нуклонной
материи нейтронной звезды в процессах тормозного излучения nn → nnν ν̄ и np → npν ν̄ за счет
электромагнитного механизма. Они оказались на
несколько порядков меньше известных светимостей в данных процессах, идущих за счет слабого
механизма.
В настоящей работе мы ограничимся случаем
вырожденного электронного газа в сильном магнитном поле H:
T μ − m,
H > (μ2 − m2 )/(2e),
(4)
где T – температура и μ μ(T = 0) ≡ εF =
= m2 + p2F – химический потенциал электронного газа; m – масса электрона; εF и pF – энергия
и импульс Ферми. В этом случае электроны среды
2)
Используются система единиц, в которой = c = kB =
= 1, α = e2 /4π 1/137, и псевдоевклидова метрика с
сигнатурой (+ − −−); â = γ β aβ – свертка матриц Дирака γ β с 4-вектором aβ = (a0 , a); γ 5 = −iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 .
находятся на основном уровне Ландау (главное
квантовое число n = 0) и
pF = 2π 2 ne /h,
(5)
где ne – концентрация электронов; h = eH (заряд
электрона −e < 0). Учитывая, что при условиях (4)
для начального (теплового) фотона с законом дисперсии (13), (14)
√ (см. ниже) характерные значения
энергии k0 eH, заключаем, что и конечный, и
виртуальный электроны в рассматриваемых процессах также занимают лишь основной уровень
Ландау, где спин электрона, как известно, может
быть ориентирован только против направления
магнитного поля.
Волновая функция электрона на основном
уровне в постоянном однородном магнитном поле
H||Oz, заданном 4-потенциалом Aμ = (0, 0, xH, 0),
имеет вид [18]
1/4
h
(2p0 Ly Lz )−1/2 ×
(6)
ψ(t, r) =
π
η2
u(p|| ),
× exp −ip0 t + ipy y + ipz z −
2
где Ly , Lz – нормировочные длины по осям y и
√
z; энергия электрона p0 = m2 + p2z ; η = h(x +
+ py /h); биспинор u(p|| ) имеет вид
1
u p|| = √ (0, δ+ , 0, δ− )T ,
2
√
√
δ± = p− ± p+ , p± = p0 ± pz ,
(7)
p+ p− = p2|| = m2 .
Этот биспинор нормирован условием
ū(p|| )u(p|| ) = 2m,
ū = u+ γ 0 ,
а матрица плотности
u(p|| )ū(p|| ) = (p̂|| + m)Σ− ,
где p|| = (p0 , 0, 0, pz ); Σ− = (1 − Σ3 )/2, Σ3 = iγ 1 γ 2 .
В выражении для функции Грина электрона [19]
также ограничимся учетом вклада лишь основного
уровня n = 0:
1/2 ∞
h
dpy
×
(8)
G(x, x ) π
2π
−∞
1
× exp − (η 2 + η 2 ) + ipy (y − y ) ×
2
2
d p||
exp[−ip0 (t − t ) +
×
(2π)2
+ ipz (z − z )]G(p|| )Σ− .
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
том 75
№ 11
2012
СЛАБЫЙ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ МЕХАНИЗМЫ
В этом выражении η = η(x → x ), а
G(p|| ) = S(p|| ) +
2πiδ(p2||
−m )×
2
(9)
× NF (p0 )( p̂|| + m)
– фурье-образ функции Грина в двумерном пространстве (0, 3), где первый член описывает вакуумный вклад
p̂|| + m
,
(10)
S(p|| ) = 2
p|| − m2 + i0
а второй – вклад среды, состоящей из электронов
и позитронов с функцией распределения Ферми
NF (p0 ) = θ(p0 )(e(p0 −μ)/T + 1)−1 +
−1
(−p0 +μ)/T
+ θ(−p0 )(e
+ 1)
(11)
,
причем при условиях (4) вкладом позитронов (второе слагаемое в (11)) можно пренебречь: он подавлен фактором exp[−(m + μ)/T ].
Для корректного расчета процессов в замагниченной среде необходим учет дисперсии фотона.
Закон дисперсии фотона в присутствии плазмы и
сильного магнитного поля существенно отличается
от вакуумного [20]. В этих условиях распространяются фотоны двух разных поляризаций – моды 2 и
3 согласно принятой в работе [20] нумерации четырех собственных векторов оператора поляризации
фотона. Их векторы поляризации есть
(2)
α =
F̃αβ kβ
,
H k2
(3)
α =
Fαβ kβ
,
2
H k⊥
(12)
где Fαβ и F̃αβ – тензор внешнего электромагнитного поля и дуальный к нему; kα – 4-импульс фотона;
2 = k 2 + k 2 ; k 2 = k 2 − k 2 ; k 2 = k 2 − k 2 . Хорошо
k⊥
x
y
z
0
⊥
||
||
известно [4, 20], что в сверхсильном магнитном поле достаточно учитывать взаимодействие электронов только с фотонами моды 2. В рассматриваемом
случае T m мы можем не учитывать влияние
порогов рождения электрон-позитронных пар на
дисперсию фотона, и закон дисперсии для моды 2
в этом приближении имеет вид
2
= ωp2 ,
k2 = k02 − kz2 − k⊥
(13)
где ωp – плазменная частота [20]. Можно сказать,
что фотон приобретает ненулевую массу. Для условий (4) она приближенно определяется выражением
2α H pF 1/2
m,
(14)
ωp = k0 (k = 0) =
π H0 εF
которое может быть получено из общей формулы (3.2) работы [20] (на с. 96). Здесь H0 = m2 /e =
= 4.41 × 1013 Гс.
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
том 75
№ 11
2012
1381
Другие особенности дисперсии фотона в магнитном поле становятся существенными в окрестности энергетических порогов рождения электронпозитронных пар и поглощения фотона электроном, переходящим при этом на другой уровень
Ландау. В нашем случае самый низкий порог –
первый порог рождения пар k2 = 4m2 , отвечающий рождению электрона и позитрона на нулевом
уровне Ландау. Однако при T 2m эффективны
фотоны с энергией k0 2m, и можно не учитывать поведение дисперсионной кривой фотона даже
вблизи этого порога.
В случае электромагнитного механизма фоторождения нейтринной пары электрон испускает
виртуальный фотон, который и рождает пару. Пропагатор этого фотона, в котором в нашем случае
следует учесть только вклад моды 2 (см. (12)),
имеет вид
(2) (2)
Dαβ (k) =
α β
k 2 − κ2
.
(15)
Здесь κ2 – соответствующее (в общем случае комплексное) собственное значение поляризационного
оператора фотона, причем Reκ2 = ωp2 (см. (13))
для условий (4), а Imκ2 = −k0 Γ, где Γ – полная
вероятность процессов поглощения виртуального
фотона (см., например, [21]). В рассматриваемых
условиях кинематически запрещено и рождение
пар, и магнитотормозное поглощение фотона электроном среды. Таким образом, основным процессом, дающим вклад в Imκ2 , оказывается эффект
Комптона γe− → e− γ с участием электронов среды
(см. ниже).
Заметим также, что перенормировкой волновой
√
(2)
(2)
функции фотона (α → Z2 α ) в замагниченной
среде в√рассматриваемых условиях можно пренебречь ( Z2 1) [5].
2. ФОТОРОЖДЕНИЕ НЕЙТРИННОЙ ПАРЫ
НА ЭЛЕКТРОНЕ (СЛАБЫЙ МЕХАНИЗМ)
S-матричный элемент процесса фоторождения
нейтринной пары на электроне за счет слабого взаимодействия с учетом (6) и (8) после интегрирования по пространственно-временным координатам
может быть записан в виде
Sf i =
(2π)3 δ(023) (p + k − p − q − q )
Mw ,
Ly Lz (25 V 3 k0 p0 p0 q0 q0 )1/2
eGF
Mw = √ jα J α ,
2
(16)
где трехмерная дельта-функция выражает законы сохранения указанных в скобках компонент
1382
БОРИСОВ и др.
полного 4-импульса; V = Lx Ly Lz – нормировочный объем; GF – постоянная Ферми; нейтринный и
электронный токи
j α = ūν (q )γ α (1 + γ 5 )uν (−q),
J
α
(17)
= ū(p|| )[Γα S(p|| + k|| )ˆ
+
+ ˆS(p|| − k|| )Γα ]u(p|| ),
где
nB (k0 ) = (ek0 /T − 1)−1 ,
nF (p0 ) = (e(p0 −μ)/T + 1)−1
– функции распределения Бозе и Ферми для фотонов и электронов соответственно.
Для квадрата приведенного матричного элемента (см. (16)) в (19) находим выражение (заметим,
что в рассматриваемом случае поляризации начальных и конечных частиц фиксированы: электроны поляризованы против направления магнитного
поля, фотоны имеют поляризацию типа 2 (см. (12)),
безмассовые нейтрино (антинейтрино) поляризованы против (вдоль) своих импульсов):
R = N αβ Jα Jβ∗ ,
N αβ = j α j β∗ =
(21)
= tr q̂ γ α (1 + γ 5 )q̂γ β (1 + γ 5 ) =
= 8(q α q β − gαβ q · q − iεαβλρ qλ qρ ),
причем в последнем учтен только вакуумный
вклад (10) в электронную функцию Грина (9) –
вклад среды отсутствует, так как для рассматриваемого процесса виртуальные электроны не
могут выходить на массовую оболочку (см. также [4]). Здесь q и q – 4-импульсы нейтрино и
антинейтрино (считаем их безмассовыми: q 2 =
= q 2 = 0, учитывая космологическое ограничение
на
нейтрино [8]:
сумму масс легких (активных)
mν 1 эВ); k|| , p|| и p|| – двумерные (в пространстве (0, 3)) импульсы фотона, начального и
(2)
конечного электронов; ˆ = γ α α (см. (12)); Γα =
α
5
= γ (gV + gA γ ), причем векторная и аксиальная
константы электрон-нейтринной связи зависят от
аромата = e, μ, τ нейтрино ν [8]:
1
1
(18)
gV = ± + 2w, gA = ± ,
2
2
где верхние (нижние) знаки относятся к νe (νμ и ντ );
w = sin2 θW 0.231 – параметр слабого смешивания.
Общее выражение для светимости среды (скорости потерь энергии единицей объема за счет излучения нейтринных пар в рассматриваемом процессе) имеет вид
3 3 3 d kd qd q dpy dpy dpz dpz
×
(19)
Lw =
(2π)13 · 25 q0 q0 k0 p0 p0 Lx
× (2π)3 δ(023) p + k − p − q − q |Mw |2 ×
× (q0 + q0 )nB (k0 )nF (p0 ) 1 − nF p0 ,
|Mw |2 = 2παG2F R,
где нейтринный тензор
(20)
а компоненты электронного тока (см. (17)) получаются прямым вычислением с учетом (7), (10) и (12):
J α = (J0 , 0, 0, Jz );
1
1
1
L(a, b) − L(a, −b ) ,
J0 = √
Δ
2 a Δ
(22)
δ+ + δ−
δ− ) −
L(a, b) = (agA + bgV )(δ+
δ− + δ−
δ+ ),
− (agV + bgA )(δ+
a = k||2 ,
b = 2k|| · p̃|| = 2(k0 pz − kz p0 ),
b = 2k|| · p̃|| = 2(k0 pz − kz p0 ),
Δ = a + 2k|| · p|| ,
Δ = a − 2k|| · p|| ;
Jz = J0 (gA ↔ gV ).
Здесь штрихи относятся к конечному электрону, а
величины δ± определены в (7). Интегрирование по
импульсам нейтрино и антинейтрино в (19) удобно провести путем вставки “разложения единицы”
(см. [5])
1 = d4 Qδ(4) (q + q − Q)
и известного соотношения (см. [22], с. 23)
3 3 d q d q (4)
δ (q + q − Q)q α q β =
(23)
q0 q0
π
= (2Qα Qβ + Q2 gαβ ),
6
что дает (см. (20) и (21))
d3 q d3 q (4)
δ (q + q − Q)R = (24)
R̄ ≡ d2 Q⊥
q0 q0
4
2
2
+ Q2+ J−
),
= π 2 Q2|| θ(Q2|| )(Q2− J+
3
где J± = J0 ± Jz , Q± = Q0 ± Qz , а ступенчатая
θ-функция Хевисайда выражает кинематическое
ограничение
Q2|| = Q20 − Q2z ≥ 0.
(25)
Учитывая (22), приведем (24) к виду
28 2 2
2
π (gV + gA
)k||2 Q2|| θ(Q2||) ×
3
2
mQ2||
(p|| · p|| + m2 ).
×
ΔΔ
R̄ =
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
том 75
№ 11
(26)
2012
СЛАБЫЙ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ МЕХАНИЗМЫ
В результате для светимости (19) получаем выражение
2 m6
αG2F g+
H
×
3 · 25 π 7 H0
3
2 Q2
3
k
||
||
d kdpz dpz
θ(Q2||)
×
×
k0 p0 p0
Δ2 Δ2
× Q0 nB (k0 )nF (p0 ) 1 − nF p0 ,
Lw =
(27)
где в силу закона сохранения Q|| = k|| + p|| − p|| .
Здесь использованы “холостое интегрирование”
(см. [18], с. 227)
(28)
dpy = hLx
и приближенное равенство (см. (26) и (7))
p|| · p|| p2|| = m2 ,
справедливое при условии k0 m, а также выполнено суммирование по трем нейтринным ароматам
(см. (18)):
2
2
=
(gV2 + gA
)=
(29)
g+
=e,μ,τ
= 12w2 − 2w +
3
1.679.
2
В рассматриваемом случае сильно вырожденного электронного газа основной вклад в светимость (27) дают электроны с энергиями, близкими
к энергии Ферми (см. (4)):
(30)
|p0 − εF | T, p0 − εF T,
и с экспоненциальной точностью O(exp(−(εF −
− m)/T )) можно выделить в (27) интеграл от
произведения фермиевских факторов (см., например, [3]):
∞
dxnF (x)(1 − nF (x − y)) = y(ey − 1)−1 , (31)
−∞
где x = (p0 − εF )/T ; y = (Q0 − k0 )/T , а в остальных множителях положить p0 = εF .
Дальнейшее интегрирование в (27) аналитически удается провести в двух предельных случаях:
нерелятивистском (pF m) и ультрарелятивистском (pF m).
В нерелятивистском случае имеем εF m, и
дополнительно предположим, что ωp T (это позволяет вместо (13) использовать вакуумный закон
дисперсии k2 = 0). Тогда (см. (22)) Δ 2mk0 , Δ −2mk0 (так как k0 T m), а кинематическое
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
том 75
№ 11
2012
1383
ограничение (25) дает область изменения переменной y (см. (31)): −vF k+ ≤ T y ≤ vF k− , где k± =
= k0 ± kz , vF = pF /εF 1, и в существенной области |y| 1, что позволяет заменить интеграл (31)
на 1. Дальнейшее интегрирование по y, азимутальному и полярному углам вектора k становится тривиальным, а интеграл по энергии фотона сводится
к табличному:
∞
x7 (ex − 1)−1 dx = (2π)8 /480.
0
В итоге получаем выражение для светимости
Lw =
2(2π)2
2 H m 9
αG2F g+
T .
4725
H 0 pF
(32)
Этот результат отличается множителем π/2 от соответствующего результата работы [5] и совпадает
с результатом [4].
В
релятивистском случае εF m и (см. (14))
ωp (2/π)αH/H0 m T при сравнительно
низких температурах.
Тогда импульс фотона
ωp T ωp , k||2 k02 ωp2 , Δ −Δ |k| 2k · p|| 2εF ωp , а с учетом законов сохранения
получаем Q2|| ωp2 + 2ωp (Q0 − k0 ). Следовательно,
подынтегральное выражение вообще не зависит от
углов в данном приближении. После стандартного
интегрирования по dpz dpz с учетом (31) светимость (27) представляется в виде
2 m6
αG2F g+
H 4πT 2
×
(33)
3 · 25 π 7 H0 ωp ε2F
∞
∞
y
2
(ωp + T y) ×
dy y
× dkk nB (k0 )
e −1
Lw = 2
−y0
0
×
ωp2 [ωp (ωp + 2T y)]3
(2ωp εF )4
,
где k = |k|; y = (Q0 − k0 )/T (см. (31)); y0 =
= ωp /(2T ) 1, причем первый множитель 2 в (33)
учитывает одинаковый вклад в интеграл по pz
малых окрестностей точек pz = ±pF (см. (30)):
||pz | − pF | T pF . Интеграл по k сводится к
стандартному гауссову с учетом аппроксимации
nB (k0 ) e−ωp /T exp[−k2 /(2ωp T )]. Интеграл по y
представляется в виде
1
dt(1 − e−y0 t )−1 t(t − 2)(t − 1)3 ,
−∞
и главный член его асимптотики при y0 1 (основной вклад дает область 0 < t < 1) равен 1/12. В
1384
БОРИСОВ и др.
итоге находим:
2 ω9
αG2F g+
p
11/2
×
576(2π)
H m 6 T 3/2 −ωp /T
e
.
×
H0 εF
ωp
Lw =
(34)
Выражение (34) существенно отличается от полученного в работе [5] результата в виде однократного интеграла и включает подавляющий фактор
(m/εF )6 e−ωp /T . Это означает, что при условиях
εF m и T ωp фоторождение нейтринных пар не
вносит существенного вклада в энергопотери среды, основным же процессом оказывается распад
фотона γ → ν ν̄ [5].
3. ФОТОРОЖДЕНИЕ НЕЙТРИННОЙ ПАРЫ
НА ЭЛЕКТРОНЕ (ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ
МЕХАНИЗМ)
Матричный элемент для электромагнитного механизма фоторождения нейтринной пары на электроне дается выражением (см. (15))
β (2)
α (2)
β
jem
Jem
α
,
(35)
Mem = e2
Q2 − κ 2
α и электронный J α электрогде нейтринный jem
em
магнитные токи получаются из соответствующих
выражений для слабых токов (17) путем замен
γ α (1 + γ 5 ) → V α (Q) (см. (3)) и Γα → γ α (т.е. в (22)
надо положить gV = 1, gA = 0). Квадрат модуля
матричного элемента, проинтегрированный по импульсам нейтрино и антинейтрино с помощью соотношения (23), имеет характерный резонансный
вид, обусловленный возможностью выхода виртуального фотона на массовую оболочку:
3 3 d q d q (4)
δ (q + q − Q) |Mem |2 =
(36)
q0 q0
2
256π 4 2 2 m2
e μ̄ν k||
×
=
3
ΔΔ
2
×
Q2|| (Q2 )
(Q2 − ωp2 )2 + (Q0 Γ)2
,
где Γ – полная вероятность комптоновского рассеяния (γe → eγ) массивного фотона (плазмона) с
4-импульсом Q (Q2 = ωp2 ) и введено обозначение
2
2
+ g2ν
) = μ2ν + d2ν .
μ̄2ν = μ2B (f2ν
(37)
Сделав в (19) замену матричного элемента Mw
на Mem (35), с учетом (36) и (28) проинтегрируем
по поперечной компоненте Q⊥ импульса виртуального фотона, используя (слабую) асимптотическую формулу для резонансного множителя вида (окрестность резонанса Q2 ωp2 дает основной
вклад):
−1
(x − a)2 + ε2
π
δ(x − a), |ε| 1.
|ε|
В результате для нейтринной светимости среды за
счет электромагнитного механизма получаем выражение
3
α2 μ̄2ν 6 4 H
d kdpz dpz
m
ω
×
(38)
Lem =
p
24π 5
H0
k0 p0 p0
k||2 Q2||
×
× θ(Q2|| − ωp2 )Γ−1
(ΔΔ )2
× nB (k0 )nF (p0 )(1 − nF (p0 )).
Здесь θ-функция выражает кинематическое ограничение, отличное от (25): Q2|| ≥ ωp2 .
Заметим, что вклад интерференции слабого и
электромагнитного механизмов в нейтринную светимость пропорционален (малой) массе нейтрино,
и мы его не учитываем.
Далее, как и в разд. 2, рассмотрим нерелятивистский и релятивистский предельные случаи,
в которых можно получить сравнительно простые
асимптотические формулы для светимости (38).
В нерелятивистском случае (pF m и ωp T )
полная вероятность комптоновского рассеяния дается асимптотической формулой
2
Γ=
4α2 H m Q
T
(1 + nB (Q0 )),
3π H0 pF Q20
(39)
подставляя которую в (38) и проведя вычисления,
аналогичные таковым для слабого механизма, находим асимптотику для нейтринной светимости:
Lem =
μ̄2ν 4 3
ω T .
24π 3 p
(40)
Верхнее (относительное) ограничение на эффективный магнитный момент μ̄ν нейтрино (см. (37))
найдем из требования, чтобы нейтринная светимость в электромагнитном канале не превышала
таковую в слабом канале: Lem < Lw . Тогда, сравнивая (40) и (32), c учетом (14) и (5) получаем:
1 2 1/2 g+
μ̄ν
GF m2 ×
<
(41)
μB
15 7
α
H ne −3/2 T 3
.
×
H 0 m3
m
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
том 75
№ 11
2012
СЛАБЫЙ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ МЕХАНИЗМЫ
Представим этот результат в виде, удобном для
астрофизических приложений:
−3/2
(42)
μ̄ν /μB < 9.3 × 10−15 H13 ρ6 T83 ,
6
13
3
где H13 = H/(10 Гс); ρ6 = ρ/ 10 г/см ; T8 =
= T /(108 К). Здесь использовано соотношение
(см., например, [23]) ne 0.5ρ/mp , где ρ – плотность звездного вещества, mp – масса протона.
Например, при (здесь и ниже в (51) численные значения параметров выбраны так, чтобы выполнялись условия применимости асимптотических формул для светимости)
T = 1.8 × 108 К,
H = 2.5 × 1012 Гс,
получаем ограничение
(43)
(44)
−z
π2 z2
t
=
+
+
et − 1
3
2
(46)
+ z ln(1 − e−z ) − Li2 (e−z ),
которая выражается через известную спецфункцию – дилогарифм
x
∞
dt
xn
ln(1 − t) =
.
Li2 (x) = −
2
t
n
n=1
0
Подставляя (45) в (38), получим асимптотическую формулу для светимости в релятивистском
случае (ее вывод аналогичен выводу (34)):
3/2
K μ̄2ν
7 T
ωp
e−ωp /T .
(47)
Lem =
ωp
12(2π)3
Здесь численный коэффициент K определяется
интегралом (см. (46))
∞
π
2 −x2 /2
dθ sin θ ×
(48)
K = dxx e
0
∞
×
(ey
− 21 x2 sin2 θ
0
dyy
2.507.
− 1) f y + 12 x2 sin2 θ
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
том 75
№ 11
2012
или в “астрофизическом” виде:
4 −3
ρ6 .
μ̄ν /μB < 9.3 × 10−17 H13
(50)
Положив
H = 3 × 1015 Гс, ρ = 109 г/см3 ,
(51)
μ̄ν /μB < 7.6 × 10−16 ,
которое близко к известным астрофизическим
ограничениям [8].
В релятивистском случае (pF m и ωp T )
асимптотика вероятности комптоновского рассеяния имеет вид
2
Q − ωp2
α2 H m 6 T 2
,
(45)
f
Γ=
π H0 εF ωp
2ωp T
где введена функция
∞
f (z) = dt
Из (47), (34) и условия Lem < Lw находим ограничение на эффективный магнитный момент:
2α 1/2
μ̄ν
< 4(2π)−33/4
×
(49)
μB
3K
4 ne −3
H
2
,
× g+ GF m
H0
m3
получаем из (50) ограничение
ρ = 5.4 × 104 г/см3
μ̄ν /μB < 1.1 × 10−12 ,
1385
(52)
жесткость которого имеет относительный характер
ввиду сильного подавления фоторождения нейтринных пар за счет слабого механизма в релятивистском случае (см. (34)).
Как показано в [5], в интервале значений
плотности вещества 108 ρ 1010 г/см3 основной вклад в нейтринную светимость дает распад
плазмона γ → ν ν̄. Сравнивая соответствующее
выражение для светимости из работы [5] с (47), находим более слабое ограничение на эффективный
магнитный момент:
(53)
μ̄ν /μB < 4(2π)−7/4 (Kα)−1/2 ×
× gV + GF m2 (H/H0 )1/2 = 1.7 × 10−12 H13 ,
1/2
где использована эффективная константа связи
(ср. (29))
3
gV2 = 12w2 − 2w + 0.929.
gV2 + =
4
=e,μ,τ
Для условий (51) получаем ограничение
μ̄ν /μB < 2.9 × 10−11 ,
(54)
которое близко к (1) и (2).
4. ОБСУЖДЕНИЕ
Вычислена светимость сильно замагниченного
вырожденного электронного газа (в условиях нейтронных звезд) в процессе фоторождения нейтринных пар на электронах за счет слабого и электромагнитного механизмов в нерелятивистском (εF m) и релятивистском (εF m) случаях. Найдены верхние ограничения на эффективный магнитный момент нейтрино μ̄ν , которые оказались
близки к известным астрофизическим и лабораторным ограничениям. Электромагнитный механизм
фоторождения нейтринных пар оказывается эффективнее слабого механизма при μ̄ν 10−12 μB
1386
БОРИСОВ и др.
в нерелятивистском случае (см. (44)) и при μ̄ν 10−15 μB в релятивистском случае (см. (52)),
однако в последнем случае гораздо более эффективным механизмом энергопотерь является распад
плазмона вплоть до μ̄ν 10−11 μB (см. (54)).
Авторы благодарят П.А. Эминова за полезное
обсуждение полученных результатов, К.В. Степаньянца и О.Г. Харланова за помощь в численных
расчетах, а также рецензента за конструктивные
замечания.
11. Б. К. Керимов, М. Я. Сафин, Н. Хайдар, Изв. АН
СССР. Сер. физ. 52, 136 (1988).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
15. Б. К. Керимов, С. М. Зейналов, Тезисы докладов
40-го совещания по ядерной спектроскопии и
структуре атомного ядра (Ленинград, 1990),
с. 250.
16. Б. К. Керимов, С. М. Зейналов, В. Н. Ализаде, Препринт №303, Институт физики АН АзССР (Баку,
1989).
1. M. Fukugita and T. Yanagida, Physics of Neutrinos:
and Applications to Astrophysics (Springer, Berlin;
Heidelberg, 2003).
2. R. C. Duncan and C. Thompson, Astrophys. J. 392,
L9 (1992).
3. D. G. Yakovlev, A. D. Kaminker, O. Y. Gnedin, and
P. Haensel, Phys. Rept. 354, 1 (2001).
4. В. В. Скобелев, ЖЭТФ 117, 1059 (2000) [JETP 90,
919 (2000)].
5. М. В. Чистяков, Д. А. Румянцев, ЖЭТФ 134, 627
(2008) [JETP 107, 533 (2008)].
6. K. Fujikawa and R. E. Shrock, Phys. Rev. Lett. 45,
963 (1980).
7. C. Giunti, A. I. Studenikin, ЯФ 72, 2151
(2009) [Phys. Atom. Nucl. 72, 2089 (2009)]
[arXiv:0812.3646 [hep-ph]].
8. Particle Data Group (K. Nakamura et al.), J. Phys. G
37, 075021 (2010).
9. Borexino Collab. (C. Arpesella et al.), Phys. Rev. Lett.
101, 091302 (2008).
10. A. G. Beda et al., Письма в ЭЧАЯ 7, 667
(2010) [Phys. Part. Nucl. Lett. 7, 406 (2010)]
[arXiv:0906.1926 [hep-ex]];
arXiv:1005.2736
[hep-ex].
12. Б. К. Керимов, В. Н. Халилов, В. П. Цветков,
Вестн. МГУ. Сер. 3, Физика, астрономия, №6, 21
(1985); №2, 28 (1989).
13. Б. К. Керимов, С. М. Зейналов, Вестн. МГУ, Сер. 3,
Физика, астрономия, №1, 3 (1990).
14. B. K. Kerimov, S. M. Zeinalov, V. N. Alizade, and
A. M. Mourão, Phys. Lett. B 274, 477 (1992); in Proceedings of the International Tallinn Symposium
on Neutrino Physics (Tallinn, 1990), p. 61.
17. P. Jaikumar, K. R. S. Balaji, and C. Gale, Phys. Rev.
C 69, 055804 (2004) [astro-ph/0402315].
18. А. А. Соколов, И. М. Тернов, В. Ч. Жуковский,
А. В. Борисов, Квантовая электродинамика
(Изд-во Моск. ун-та, Москва, 1983).
19. А. В. Борисов, А. С. Вшивцев, В. Ч. Жуковский,
П. А. Эминов, УФН 167, 241 (1997) [Phys. Usp. 40,
229 (1997)].
20. А. Е. Шабад, Тр. ФИАН 192, 5 (1988).
21. M. H. Thoma, Phys. Rev. D 51, 862 (1995).
22. Л. Б. Окунь, Лептоны и кварки (Наука, Москва,
1990).
23. В. М. Липунов, Астрофизика нейтронных звезд
(Наука, Москва, 1987).
WEAK AND ELECTROMAGNETIC MECHANISMS OF NEUTRINO PAIR
PHOTOPRODUCTION IN A STRONGLY MAGNETIZED ELECTRON GAS
A. V. Borisov, B. K. Kerimov , P. E. Sizin
We calculate neutrino luminosity of a degenerate electron gas in a strong magnetic field due to photoproduction of neutrino pairs via weak and electromagnetic interaction mechanisms taking into account
neutrino electromagnetic form factors. It is shown that the neutrino luminosity in the electromagnetic
reaction channel can be far more powerful than that in the weak one. We obtain relative upper bounds
on the effective neutrino magnetic moment.
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
том 75
№ 11
2012