мгд волна разрежения как причина неоднородности коллапса

МГД ВОЛНА РАЗРЕЖЕНИЯ КАК ПРИЧИНА НЕОДНОРОДНОСТИ КОЛЛАПСА МАГНИТНЫХ
ВРАЩАЮЩИХСЯ ПРОТОЗВЕЗДНЫХ ОБЛАКОВ
А.Е. ДYДОPОВ, А.Г. ЖИЛКИН, Н.Ю. ЖИЛКИНА
Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия.
1. Введение
В настоящее время накоплено достаточное количество наблюдательных данных о магнитном поле [1, 2, 3]
и вращении [4] межзвездных молекулярных и протозвездных облаков (ядра молекулярных облаков), а также
молодых звездных объектов [5, 6]. Они показывают, что современное звездообразование происходит в результате коллапса и фрагментации существенно замагниченных вращающихся протозвездных облаков. Наблюдательно влияние магнитного поля и вращения прослеживается вплоть до образования молодых звезд типа Т
Тельца или Ae/Be звезд Хербига. Особенно примечательной является существенно магнитная структура молодых звездных объектов «нулевого» класса. Несмотря на предельно молодой возраст этих объектов ( 104 лет от
начала сжатия), они имеют явно уплощенную вдоль магнитного поля структуру и биполярные истечения [6].
На начальных стадиях коллапса протозвездное облако прозрачно для собственного инфракрасного излучения, поэтому температура облака с большой точностью остается постоянной. Изучение изотермической стадии
сжатия протозвездных облаков является важной задачей теории звездообразования, поскольку именно в это
время происходит формирование характерных профилей плотности, скорости и других величин, которые определяют основные параметры образующихся в результате коллапса протозвезд с аккреционными дисками.
Наблюдения и результаты численного моделирования показывают, что в результате процесса коллапса облако становится сильно неоднородным. Перепад плотности от периферии к центру может достигать 57 и бо–
лее порядков. Формирование непрозрачного ядра (протозвезды) происходит за характерное динамическое время (время свободного сжатия)
3π
,
t ff =
(1)
32Gρ0
где ρ0 – начальная плотность в облаке.
Кроме того, как показывают простые оценки, в результате взаимодействия вращения с крупномасштабным магнитным полем происходит перераспределение углового момента от центральных частей коллапсирующего протозвездного облака к периферии. Это позволяет вплотную подойти к решению важной астрофизической проблемы углового момента. С наблюдательной точки зрения эта проблема состоит в разрыве между значениями характерных угловых моментов межзвездных облаков и образующихся звезд. Согласно наблюдательным данным, угловые моменты протозвездных облаков превосходят угловые моменты одиночных
звезд в 104 − 105 раз [7]. С теоретической точки зрения, проблема углового момента заключается в том, что
центробежная сила препятствует сжатию протозвездного облака на стадиях, предшествующих формированию
непрозрачного ядра (протозвезды) [8].
В классической постановке задачи о сжатии первоначально однородного облака из заданного объема [9]
возникновение и развитие неоднородности связано с образованием центрированной волны разрежения, распространяющейся от границы облака к его центру [10] (рис. 1). Механизм возникновения этой волны разрежения можно понять в рамках известной в газовой динамике задачи о поршне, в которой роль «поршня» играет
собственная гравитация газа. В результате «распада разрыва» на границе облака формируется центрированная
волна разрежения, распространяющаяся к его центру. Фронт этой волны разрежения разбивает всю массу облака на две части. Во внутренней области вещество остается однородным и коллапсирует свободным образом
(отсутствует градиент давления). Во внешней области формируются неоднородные профили плотности, скорости и других величин.
2
Снежинск, 812 сентября 2003 г.
Рис 1. Возникновение неоднородности в классической постановке задачи о сжатии однородного облака
из заданного объема
В случае сферически–симметричного коллапса протозвездного облака момент времени фокусировки волны
разрежения (момент времени, при котором радиус переднего фронта становится равным нулю) определяется
безразмерным тепловым параметром
Π
εt =
(2)
Eg
 начальное отношение скалярного интеграла давления
Π = ∫ PdV
V
(3)
(
)
к модулю гравитационной энергии E g облака [11, 12]. В холодных облаках εt ≤ ε*t ≈ 0,34 фокусировка волны разрежения происходит в момент времени t * = t ff . При этом в области волны разрежения, непосредственно
примыкающей к фронту, формируется характерный автомодельный профиль плотности ρ ∝ r −2 и скорости
v ∝ −r −1 [9, 13, 14]. Вначале это достаточно узкая область, но с увеличением центральной плотности она расширяется. После выделения непрозрачного ядра (протозвезды) движение газа в его окрестности переходит
в аккреционный режим с характерным профилем плотности ρ ∝ r −3 2 .
(
В горячих облаках εt > ε*t
) фокусировка происходит ранее времени свободного сжатия (t* < t ff ) . После
отражения слабого разрыва в облаке формируется некоторый неоднородный профиль плотности, и на дальнейшее сжатие существенное влияние будет оказывать градиент давления. Сжатие таких облаков будет происходить заметно медленнее, поэтому этот случай может соответствовать квазистатическому сжатию горячих
или поддерживаемых турбулентным давлением облаков.
Во вращающихся немагнитных облаках скорость газа в направлениях вдоль и поперек оси вращения оказывается различной из–за действия центробежных сил. Поэтому поверхность фронта волны разрежения становится сплюснутой вдоль оси вращения [15]. В невращающихся магнитных облаках в однородной области магнитное поле остается однородным (а значит, бессиловым), поэтому во внутренней области на движение газа
оказывает влияние только сила самогравитации. Однако, в этом случае слабый разрыв распространяется по
газу с быстрой магнитозвуковой скоростью. В направлении вдоль магнитных силовых линий эта скорость
меньше, чем в поперечном направлении. Поэтому фронт волны разрежения в магнитном облаке принимает
вытянутую вдоль магнитных силовых линий форму [12].
В данной работе исследована динамика волны разрежения в коллапсирующих магнитных вращающихся
протозвездных облаках. Показано, что в коллапсирующих магнитных вращающихся протозвездных облаках
форма поверхности фронта волны разрежения может быть как вытянутой, так и сплюснутой вдоль оси вращения. В первом случае реализуется режим коллапса с доминирующей ролью электромагнитных сил, во втором –
режим коллапса с доминирующей ролью центробежных сил. В работе получен критерий, разделяющий эти два
режима коллапса.
Поскольку поверхность волны разрежения в коллапсирующих вращающихся магнитных облаках несферическая, то ее фокусировка и последующее отражение может сопровождаться появлением интенсивных
МГД–волн, способных существенным образом влиять на динамику коллапса. В некоторых случаях этот процесс, по–видимому, может даже приводить к образованию биполярных выбросов плазмы. Эти биполярные
выбросы могут являться триггерами магниторотационного механизма генерации струйных истечений в молодых звездных объектах.
VII Забабахинские научные чтения
3
Во внешней области формируется некоторый неоднородный профиль плотности, скорости и магнитного
поля. При этом из–за дифференциального вращения должна происходить генерация тороидального магнитного
поля, способствующего перераспределению углового момента между центральными частями облака и его
периферией.
Во втором разделе описана постановка задачи и основные уравнения. В третьем разделе рассмотрено численное решение уравнения движения фронта волны разрежения, исследована зависимость времени фокусировки от параметров задачи. В четвертом разделе описано аналитическое решение уравнения движения фронта
волны разрежения в приближении медленного вращения, полученное методом малых возмущений. В пятом
разделе проведено сравнение полученных аналитических решений с результатами прямого численного моделирования коллапса магнитных вращающихся протозвездных облаков. В шестом разделе описано сравнение
полученных результатов с наблюдательными данными о протозвездных облаках. В последнем разделе обсуждаются основные результаты работы.
2. Постановка задачи
2.1. Основные уравнения
Будем рассматривать задачу о коллапсе магнитного вращающегося протозвездного облака в рамках идеальной изотермической магнитной газодинамики. Система уравнений для описания самогравитирующих изотермических МГД течений может быть записана в следующем виде:
∂ρ
+ ∇ ⋅ ( ρv ) = 0,
∂t
(4)
∂v
1
1
+ ( v ⋅∇ ) v = − ∇P −
[B, rotB] − ∇Φ,
∂t
ρ
4πρ
(5)
∂B
= rot [ v, B ] , ∇ ⋅ B = 0,
∂t
(6)
∇ 2 Φ = 4πGρ.
(7)
Для замыкания этой системы уравнений необходимо использовать уравнение состояния идеального изотермического газа
ℜ
P = cT2 ρ, cT2 = T ,
(8)
µ
где cT  изотермическая скорость звука, ℜ = 8,314 ⋅107 эрг/моль·К  универсальная газовая постоянная,
µ  средний молекулярный вес.
Рассмотрим однородное протозвездное облако заданной массы, находящееся в равновесии по давлению
с внешней средой. Будем считать, что в начальный момент времени облако пронизано однородным магнитным
полем B0 , коллинеарным угловой скорости вращения Ω0 . В начальный момент времени силы собственной
гравитации газа ничем не уравновешены. Поэтому в следующий момент во всем объеме облака возникнет
движение газа, направленное к центру. На границе облака в результате «распада разрыва» сформируется центрированная быстрая МГД–волна разрежения, распространяющаяся к центру облака. Поверхность фронта этой
волны разрежения (поверхность слабого разрыва) разделяет всю массу коллапсирующего газа на две части.
Изучим отдельно течение газа во внутренней области, закон движения фронта волны разрежения и некоторые
особенности течения во внешней области.
2.2. Конфигурация течения во внутренней области
Для описания течения во внутренней области будем использовать цилиндрические координаты ( r , ϕ, z ) . При
этом в силу осевой симметрии задачи все расчетные величины не будут зависеть от азимутального угла ϕ .
Во внутренней области плотность газа остается однородной. Это означает, что градиент давления отсутствует и коллапс происходит свободным образом. Кроме того, магнитное поле и угловая скорость также должны
оставаться однородными. Поэтому во внутренней области решение уравнений (4–7) можно искать в следующем виде [17, 18, 15]:
4
Снежинск, 812 сентября 2003 г.
ρ ( r, t ) = ρ ( t ) , B ( r, t ) = ( 0, 0, B (t ) ) , Ω ( r, t ) = Ω ( t ) ,
(9)
v r ( r, t ) = H r ( t ) r , v z ( r, t ) = H z ( t ) z.
(10)
Отметим, что зависимость скорости течения от координат вида (10) соответствует частному случаю течений газа с однородной деформацией (см.[16]).
Перейдем к безразмерным переменным:
t = t0 τ, ρ(t ) = ρ0 σ(τ), B(t ) = B0 b(τ),
vr ( r , z, t ) =
r
z
r
hr ( τ ) , v z ( r , z , t ) = hz ( τ ) , vϕ ( r , z , t ) = ω ( τ ) ,
t0
t0
t0
(11)
(12)
где характерный временной масштаб
t0 =
1
.
(13)
4πGρ
Система исходных уравнений (4–7) сводится к следующей системе обыкновенных дифференциальных
уравнений:
σ + σ ( 2hr + hz ) = 0,
(14)
hr + hr2 = ω2 − σGr (e),
(15)
hz + hz2 = −σGz (e),
(16)
+ 2hr ω = 0,
ω
(17)
b + 2hr b = 0,
(18)
Функции Gr (e) и Gz (e) определяют компоненты гравитационной силы
g r = −4πGρ0 σGr (e)r , g z = −4πGρ0 σGz (e) z
(19)
Выражения для этих функций можно получить с помощью решения уравнения Пуассона для гравитационного потенциала однородного сплюснутого эллипсоида вращения:
Gr (e) =
1 − e2 
2
 arcsin e − e 1 − e  ,

2e3 
(20)
1 
2

 e − 1 − e arcsin e  .

e3 
(21)
Gz (e ) =
Величина
e = 1−
c2
(22)
a2
есть эксцентриситет эллипса с большой и малой полуосями a и c, соответственно.
В решении для внутренней области величины a(τ) и c(τ) играют роль пространственных масштабов
вдоль r и z–направлений. Нетрудно проверить, что они удовлетворяют уравнениям:
a = ahr , c = chz .
(23)
Систему уравнений (14–23) следует решать с начальными условиями:
σ(0) = 1, b(0) = 1, hr (0) = hz (0) = 0, ω(0) = ω0 , a(0) = c(0) = 1.
(24)
Однако порядок этой системы можно существенно понизить с помощью алгебраических интегралов, выражающих собой законы сохранения массы, углового момента и магнитного потока:
σ=
1
2
a c
, ω=
ω0
a
2
, b=
1
a2
.
(25)
5
VII Забабахинские научные чтения
В результате решение системы уравнений (14–23) сводится к нахождению только a(τ ) и c(τ ) . С помощью
простых преобразований для этих величин можно получить следующие уравнения:
a =
εω
a
3
c = −
Gr (e)
,
ac
−
Gz (e )
a2
(26)
(27)
,
где вращательный параметр
εω = ω02 =
Eω
(28)
Eg
есть начальное отношение энергии вращения облака к модулю его гравитационной энергии.
Порядок полученной системы уравнений можно понизить еще с помощью интеграла энергий (см. [17])
c
arccos
c 2 ω02
a
a + +
−
= ω02 − 1.
2
2
2 a2
a −c
(29)
2
Однако в этом нет необходимости, поскольку получить точное аналитическое решение системы (26–27) не
удается. Решать же ее численно удобнее в исходной форме (26–27). Интеграл (29) можно использовать для
проверки точности получаемого численного решения.
Следует отметить, что
1
lim Gr (e) = lim Gr (e) = .
(30)
3
e →0
e →0
Следовательно, при εω = 1/ 3 в начальный момент времени a = 0 , и это значение вращательного параметра
определяет центробежный барьер. При εω > 1/ 3 в радиальном направлении облако будет не сжиматься, а расширяться. Поэтому в дальнейших расчетах будем считать, что вращательный параметр изменяется в пределах
0 ≤ εω ≤ 1/ 3 .
2.3. Движение фронта волны разрежения
С учетом движения газа граница R переднего фронта волны разрежения определяется из решения уравнения
dR
= v ( R, t ) − u f ,
(31)
dt
где величина
 c 2 + u 2 1 
2
2
A +
uf =  T
 cT + u A
2
2


(
)
2
1/ 2 1/ 2

2 2
2 
− 4cT u A cos θ  


(32)
определяет быструю магнитозвуковую скорость, θ  угол между вектором магнитного поля B и вектором нормали n в данной точке поверхности фронта,
B
uA =
(33)
4πρ
 альфвеновская скорость.
Вдоль магнитных силовых линий угол θ равен 0 или π , поэтому в продольном направлении скорость движения границы волны разрежения по газу
u|| = max {cT , u A } .
В поперечном направлении угол θ =
(34)
π
и граница движется по газу со скоростью
2
u⊥ = cT2 + u 2A .
(35)
6
Снежинск, 812 сентября 2003 г.
Исследуем движение фронта волны разрежения только в продольном (вдоль координаты z) и поперечном
(вдоль координаты r) направлениях. Обозначим соответствующие координаты поверхности слабого разрыва
через Rrf и Z rf . Тогда, используя (31, 34, 35), получим
dRrf
dt
(
)
= v r Rrf , t − cT2 +
B2
,
4πρ

B 
= v z Z rf , t − max cT ,
.
dt
4πρ 

dZ rf
(
)
(36)
(37)
Следует отметить, что u|| < u⊥ . Однако, на одинаковом расстоянии от центра облака из–за действия центробежных сил в радиальном направлении скорость газа будет меньше, чем в продольном. Поэтому для данного момента времени поверхность переднего фронта волны разрежения в магнитном вращающемся облаке может быть как вытянутой вдоль оси вращения, так и сплюснутой.
Переходя в уравнениях (36, 37) к безразмерным переменным, преобразуем их к виду:
1
c
ξ = −
α 2 + α 2m
,
a
a2
(38)
1
c 

ζ = − max α, α m
,
c
a 

(39)
где обозначено:
ξ=
α=
rrf
a
, ζ=
εt
, αm =
5
zrf
c
,
2ε m
.
5
(40)
(41)
Безразмерный параметр
εm =
Em
Eg
(42)
есть начальное отношение магнитной энергии облака к модулю его гравитационной энергии. Уравнения (38,
39) с учетом начальных условий ξ(0) = ζ (0) = 1 необходимо решать совместно с системой (26, 27).
Следует заметить, что альфвеновская скорость u A во внутренней области коллапсирующих магнитных
вращающихся протозвездных облаков изменяется более сложным образом, по сравнению со случаем невращающихся облаков. В магнитных невращающихся облаках магнитное поле во внутренней однородной области
изменяется по степенному закону B ∝ ρ2 / 3 , который соответствует всестороннему сферически–симметричному сжатию облака с сохранением магнитного потока. В этом случае альфеновская скорость u A ∝ ρ1/ 6 и, следовательно, будет расти со временем. Во вращающихся магнитных облаках этот закон выполняется только на
начальных стадиях коллапса, когда форма облака мало отличается от сферической. На поздних стадиях сжатия
облако принимает сплюснутую дискообразную форму. Поэтому на этих стадиях закон сохранения магнитного
потока приводит к соотношениям: B = const , u A ∝ ρ−1/ 2 . Таким образом, в магнитных вращающихся протозвездных облаках альфвеновская скорость сначала растет, достигая некоторого максимума u A max в определенный момент времени, а затем начинает уменьшаться. Значение этого максимума и момент времени, в который
он достигается, определяются параметрами εt , ε m и εω , характеризующими начальное состояние облака.
Если изотермическая скорость звука cT в облаке больше этого максимального значения альфвеновской
скорости u A max , то фронт волны разрежения вдоль оси вращения с самого начала и вплоть до момента фокусировки будет распространяться по газу со скоростью cT . Если изотермическая скорость звука cT больше
начального значения альфвеновской скорости, но меньше ее максимального значения u A max , то на начальной
стадии коллапса фронт волны разрежения вдоль оси вращения будет распространяться по газу со скоростью
VII Забабахинские научные чтения
7
cT . Затем, если фокусировка еще не произошла, возможен переход в режим, при котором скорость фронта
волны разрежения по газу станет альфвеновской. После прохождения своего максимума альфвеновская скорость начинает убывать и на поздних стадиях сжатия, если фокусировка до сих пор еще не произошла, скорость фронта волны разрежения по газу может снова стать равной cT . Если в начальный момент времени изотермическая скорость звука cT меньше начального значения альфвеновской скорости, то скорость фронта
волны разрежения по газу вдоль оси вращения будет равна альфвеновской скорости u A . В этом случае на
поздних стадиях сжатия, если фокусировка еще не произошла, также возможен переход в режим, при котором
фронт волны разрежения будет распространяться по газу вдоль оси вращения со скоростью cT .
3. Численное решение уравнения движения фронта волны разрежения
3.1. Исследование формы поверхности фронта волны разрежения
Точное аналитическое решение системы уравнений (26, 27, 38, 39) в общем случае получить не удается.
Поэтому для исследования динамики быстрой МГД–волны разрежения в коллапсирующих протозвездных облаках эти уравнения были решены численно с помощью метода Рунге–Кутта 4–го порядка. Отметим, что
решения этих уравнений зависят от трех параметров εt , ε m и εω , характеризующих начальное состояние облака. Имеет смысл отдельно рассмотреть случаи магнитного невращающегося облака εω = 0 , вращающегося
немагнитного облака ε m = 0 и общий случай магнитного вращающегося облака εω ≠ 0, ε m ≠ 0 . Значение теплового параметра ε t во всех случаях было равно 0.3, что меньше критического значения 0.34
Магнитное невращающееся облако. Во внутренней области коллапсирующего магнитного невращающегося протозвездного облака магнитное поле остается однородным (а значит бессиловым) и изменяется со временем по закону B ∝ ρ2 / 3 . Поэтому скорость газа во внутренней области определяется из решения задачи о свободном коллапсе. Поверхность слабого разрыва движется по газу с быстрой магнитозвуковой скоростью,
еличина которой зависит от угла между вектором индукции магнитного поля и вектором нормали к данной
точке поверхности волнового фронта. В работе [12] получены аналитические решения уравнений (38, 39) для
rrf и zrf , соответствующие этому случаю.
На рис. 2 показаны зависимости от времени отношения ξ =
zrf
rrf
, характеризующего форму поверхности
фронта волны разрежения. Различные кривые на рисунке соответствуют различным значениям параметра ε m ,
характеризующего начальное магнитное поле. Видно, что величина ξ > 1 и неограниченно растет за конечное
время. Это означает, что форма поверхности фронта волны разрежения в коллапсирующем магнитном невращающемся облаке является вытянутой вдоль магнитных силовых линий. Это объясняется тем, что величина
быстрой магнитозвуковой скорости в направлении поперечном к силовым линиям магнитного поля больше,
чем в продольном направлении. Фокусировка волны разрежения в направлении поперечном к силовым линиям
магнитного поля происходит ранее фокусировки в продольном направлении.
Рис. 2. Зависимость от времени степени уплощенности поверхности фронта волны разрежения в коллапсирующем
магнитном невращающемся протозвездном облаке. Различные кривые соответствуют различным значениям параметра ε m
8
Снежинск, 812 сентября 2003 г.
Вращающееся немагнитное облако. В коллапсирующем вращающемся немагнитном протозвездном облаке
поверхность слабого разрыва движется по газу со скоростью звука cT . Из–за действия центробежной силы
скорость газа в направлении оси вращения больше, чем в поперечном направлении. Поэтому форма поверхности фронта волны разрежения в этом случае должна быть сплюснутой вдоль оси вращения [15].
На рис. 3 показаны зависимости от времени степени уплощенности ξ формы фронта волны разрежения.
Различные кривые на рисунке соответствуют различным значениям параметра εω , характеризующего начальное вращение облака. Видно, что величина ξ < 1 и за конечное время убывает до нулевого значения. Это и означает, что форма поверхности фронта волны разрежения в коллапсирующем вращающемся немагнитном
облаке является сплюснутой вдоль оси вращения. Фокусировка волны разрежения в направлении продольном
к оси вращения происходит ранее фокусировки в поперечном направлении.
Рис. 3. Зависимость от времени степени уплощенности поверхности фронта волны разрежения в коллапсирующем
немагнитном вращающемся протозвездном облаке. Различные кривые соответствуют различным значениям параметра εω
Магнитное вращающееся облако. В магнитном вращающемся облаке работают оба рассмотренных выше
эффекта. Поэтому форма поверхности фронта волны разрежения в таких облаках может эволюционировать
довольно сложным образом. На рис. 4 показаны зависимости от времени величины ξ для магнитных вращающихся облаков для случая εm = 0.2 . Различные кривые на рисунке соответствуют различным значениям
параметра εω .
Рис. 4. Зависимость от времени степени уплощенности Z rf Rrf поверхности фронта волны разрежения в коллапсирующем
магнитном вращающемся протозвездном облаке
Значение параметра εm = 0, 2 . Различные кривые соответствуют различным значениям параметра εω
VII Забабахинские научные чтения
9
Из рис. 4 видно, что в коллапсирующих магнитных вращающихся протозвездных облаках возможны два
сценария эволюции волны разрежения. Если вращение достаточно медленное, на динамику волны разрежение
большее влияние оказывает магнитное поле и поверхность волнового фронта принимает вытянутую вдоль
магнитных силовых линий форму. В этом случае величина неограниченно растет со временем. Фокусировка
волны разрежения в поперечном направлении в таких облаках происходит ранее фокусировки в продольном
направлении.
В случае быстрого вращения доминирующей является центробежная сила. Поэтому форма поверхности
фронта волны разрежения с течением времени становится сплюснутой вдоль оси вращения. В таких облаках
фокусировка волны разрежения в продольном направлении происходит ранее фокусировки в поперечном направлении. Интересно отметить, что в коллапсирующих магнитных вращающихся протозвездных облаках на
начальном этапе форма поверхности фронта волны разрежения всегда является вытянутой воль оси вращения
и только по прошествии некоторого времени в случае достаточно быстрого вращения она может принять
сплюснутую форму.
Два описанных сценария эволюции волны разрежения в коллапсирующих магнитных вращающихся протозвездных облаках разделяет некоторый промежуточный критический случай, когда фокусировка волны разрежения в продольном и поперечном направлениях происходит одновременно. В этом случае влияние магнитного поля и вращения на динамику волны разрежения уравновешены. На представленном рисунке этому случаю соответствует значение εω ≈ 0.1 .
3.2. Вычисление времени фокусировки
Определим время фокусировки t* как время, за которое поверхность фронта волны разрежения достигает
центра облака. Будем говорить о продольной фокусировке, если поверхность фронта волны разрежения впервые достигает центра облака в продольном направлении. Аналогично введем понятие поперечной фокусировки. Время фокусировки зависит от трех параметров: εt , ε m и εω . На рис. 5 показана численно рассчитанная
зависимость времени фокусировки t* от ε m и ε ω в случае, когда тепловой параметр εt = 0,3 . Как видно из
рисунка, с увеличением магнитного параметра ε m время фокусировки уменьшается, а с увеличением вращательного параметра εω  увеличивается. Такой характер зависимости t* (εm , εω ) нетрудно объяснить. Быстрая магнитозвуковая скорость увеличивается с ростом магнитного поля, поэтому время фокусировки t* должно уменьшаться с увеличением магнитного параметра ε m . С другой стороны с увеличением угловой скорости
увеличивается центробежная сила и, следовательно, скорость коллапсирующего газа замедляется. Поэтому
время фокусировки t* должно увеличиваться с увеличением вращательного параметра εω .
Рис. 5. Зависимость времени фокусировки от параметров ε m и εω . Сплошная линия соответствует критической кривой,
разделяющей два сценария эволюции волны разрежения с доминирующей ролью вращения (область A) и магнитного поля
(область B)
На рис. 5 показана критическая кривая, на которой фокусировка волны разрежения в продольном и поперечном направлениях происходит одновременно. Эта кривая определяет две области A и B значений параметров ε m и εω . В области A эволюция волны разрежения (и в целом коллапс) проходит с доминирующей ролью
вращения. Вблизи момента фокусировки поверхность фронта волны разрежения имеет сплюснутую вдоль оси
вращения форму. Поэтому при этих условиях фокусировка волны разрежения является продольной. В области
B на динамику волны разрежения (и в целом на коллапс) более сильное влияние оказывает магнитное поле.
В этом случае поверхность фронта волны разрежения имеет вытянутую вдоль оси вращения форму, а фокусировка волны разрежения является поперечной.
10
Снежинск, 812 сентября 2003 г.
3.3. Зависимости характеристик волны разрежения от теплового параметра
Динамика МГД–волны разрежения, а значит и коллапса магнитных вращающихся протозвездных облаков
определяется тремя параметрами, характеризующими начальное состояние облака: εt , ε m и εω . До сих пор
мы использовали фиксированное значение теплового параметра εt = 0.3 . Исследуем теперь более подробно
его влияние на динамику волны разрежения.
Рис. 6. Критические кривые, разделяющие два сценария эволюции волны разрежения с доминирующей ролью вращения
и магнитного поля, для различных значений параметра εt
На рис. 6 показаны численно рассчитанные критические кривые в области изменения параметров ε m и εω ,
разделяющие области с доминирующей ролью вращения и магнитного поля. Различные кривые на этом рисунке соответствуют различным значениям теплового параметра εt . Видно, что с увеличением параметра εt размеры области A, в которой эволюция волны разрежения происходит с доминирующей ролью вращения,
уменьшаются. Соответственно, размеры области B, в которой эволюция волны разрежения происходит с доминирующей ролью магнитного поля, увеличиваются. Такое поведение кривых нетрудно объяснить, если заметить, что с увеличением теплового параметра увеличивается скорость распространения слабого разрыва по
коллапсирующему газу (быстрая магнитозвуковая скорость). Поэтому для получение одной той же формы поверхности фронта волны разрежения требуется все более быстрое вращение, чтобы замедлить скорость газа.
4. Динамика волны разрежения в приближении медленного вращения.
4.1. Метод малых возмущений
В приближении медленного вращения величина εω является малым параметром задачи. В этом случае
уравнения, описывающие динамику волны разрежения, могут быть решены приближенно с помощью метода
малых возмущений.
Заметим, что в отсутствие вращения εω = 0 , a = c = r . При этом безразмерный радиус r удовлетворяет
уравнению:
1
r =−
(43)
3r 2
Удобно ввести параметр η , изменяющийся от 0 до 1 и удовлетворяющий соотношениям (см. [12]):
=
η
1
3 (1 − η)
2
,
2
τ = arcsin η + η (1 − η) .
3
(44)
(45)
VII Забабахинские научные чтения
11
Значение η = 1 соответствует времени свободного сжатия облака t ff . Безразмерный радиус связан с параметром η простым соотношением:
r = 1 − η.
(46)
Представим искомые величины a , c , rrf и zrf в уравнениях (26, 27, 38, 39) в следующем виде:
a = r + εωδa, c = r + εωδc, rrf = rrf0 + εωδr , zrf = zrf0 + ε ωδz ,
(47)
где rrf0 , zrf0  координаты поверхности фронта волны разрежения в магнитном невращающемся облаке
в поперечном и продольном направлениях (невозмущенные значения величин rrf и zrf ), выражения для которых найдены в работе [12]. Подставляя эти выражения в уравнения (26, 27) и ограничиваясь линейными по
параметру εω членами, получим:
⋅⋅
r 3 δa = 1 +
⋅⋅
r 3 δc =
7
3
δa + δc,
15
15
6
4
δa + δc.
15
15
(48)
(49)
Аналогично, подставляя соотношения (47) в уравнение (38), находим
r 2 α2 +
α 2m  2
α2
ξ = α + 2 m

r
r


α2
 δa − m δc.

2r

(50)
При этом
⋅
δξ =
δr 0 δa
− rrf
.
r
r2
(51)
В уравнении (39) рассмотрим отдельно частные случаи, когда cT > u A (облака со слабым магнитным полем) и cT ≤ u A (облака с сильным магнитным полем). В первом случае α > α m c a и метод малых возмущений приводит к уравнению
(52)
r 2 δζ = aδc,
где
⋅
δz
δc
δζ = − zrf0
.
(53)
r
r2
Во втором случае α ≤ α m c a и уравнение для δζ имеет следующий вид:
⋅
δc 

r 5 / 2 δζ = α m  δa +  .
2

(54)
4.2. Аналитическое решение для внутренней области
Построим сначала решения уравнений (48, 49), описывающих течение во внутренней однородной области.
Обозначим разность
δ = δa − δc .
(55)
Вычитая (49) из (48), получим
δ
r 3
δ = 1+ .
(56)
15
Это уравнение нужно решать с учетом начальных условий:
δ(0) = δ (0) = 0.
(57)
12
Снежинск, 812 сентября 2003 г.
Переходя в (56) к параметру η , получим следующее уравнение
δ
2
2η (1 − η) δ′′ + (1 − η) δ′ = 3 + ,
5
(58)
с начальными условиями:
δ(0) = 0, δ′(0) = 3.
Сделаем в уравнении (58) подстановку:
3/ 4
δ ( η) = (1 − η)
y
( η ) − 15.
(59)
(60)
Тогда для функции y ( x) получается следующее уравнение
2 
′ 
 1 − x 2 y ′ + ν (ν + 1) − µ  y = 0,


1 − x 2 

(
)
(61)
где ν = 1/ 2, µ = 265 /10 ≈ 1.628 . Частными решениями уравнения (61) являются функции Лежандра Pνµ ( x )
1–го и Qνµ ( x ) 2–го рода. Общее решение можно записать в виде
y ( x ) = c1Pνµ ( x ) + c2 Qνµ ( x ) .
(62)
Константы c1 и c2 можно найти из начальных условий. Используя известные свойства функций Лежандра
и проведя некоторые вычисления, для функции y ( x) можно получить следующее выражение:
 ν−µ 
Γ
+ 1
2

  π cos  π ν + µ  Pµ x − 2 sin  π ν + µ  Qµ x  ,
y ( x ) = 15
) ν ( )
)  ν ( )
 (
 (
µ ν+µ 1 
π
2

2

2 Γ


+


2
 2
1
(63)
где Γ ( x )  гамма функция Эйлера.
Полученное решение для функции δ ( η) показано на рисунке 7 (крестики). Видно, что на начальном
этапе функция δ ( η) изменяется практически линейным образом, а при η → 1 резко уходит на бесконечность.
На рисунке показаны также функции δ1 ( η ) и δ2 ( η) , соответствующие первому и второму приближению по
η точного решения δ ( η) :
3
δ1 ( η ) = 3η, δ2 ( η) = 3η + η2 .
5
Однако при больших значениях η эти функции сильно отличаются от точного решения.
Рис. 7. Точное и приближенные решения для функции δ ( η)
(64)
13
VII Забабахинские научные чтения
Достаточно точно описывает аналитическое решение другая функция
δ3 ( η) =
3η
(1 − η)1/ 5
.
(65)
Эта функция при η = 0 имеет такие же значения первой и второй производной, что и точное решение δ ( η) .
Кроме того, функция δ3 ( η) правильно ведет себя при η → 1 . В дальнейшем в качестве аналитического выражения для функции δ ( η) мы будем использовать более простую функцию δ3 ( η) .
Построим теперь решения уравнений (48, 49). Из (49) получаем уравнение
⋅⋅
r 3 δc =
2
2
δc + δ
3
5
(66)
с начальными условиями
⋅
δc ( 0 ) = δc ( 0 ) = 0
(67)
Переходя в (66) к параметру η , приходим к уравнению
6
2
2η (1 − η) δ′′ + (1 − η) δ′ − 2δc = δ
5
(68)
δc ( 0 ) = δc′ ( 0 ) = 0.
(69)
с начальными условиями
Сделаем в уравнении (68) подстановку
3/ 4
δc ( η) = (1 − η)
y
( η ).
(70)
Тогда для функции y ( x) получаем следующее уравнение
2 
′ 
δ( x)
 1 − x 2 y ′ + ν ( ν + 1) − µ  y = 12
,

2
7/4

5
1 − x 

1 − x2
(
)
(
)
(71)
где ν = 1/ 2 , µ = 5 / 2 . Частными решениями однородного уравнения (уравнение (71) без правой части) являются функции Лежандра 1–го и 2–го рода. Поэтому общее решение однородного уравнения должно иметь следующий вид
5/ 2
y ( x ) = c1P1/5 /22 ( x ) + c2 Q1/
2 ( x).
(72)
Функции Лежандра, определяющие это решение
P1/5 /22 ( x ) =
2
π
3x
(1 − x )
2 5/ 4
5/ 2
, Q1/
2 ( x ) = 0.
(73)
Поскольку функция Лежандра второго рода оказалось равной нулю, то выражение (72) позволяет построить
только одно нетривиальное частное решение
y1 ( x ) = P1/5 /22 ( x ) .
(74)
Однако, для нахождения второго нетривиального частного решения можно воспользоваться методом Остроградского – Лиувилля (см. [19], стр. 106)
y2 ( x ) = y1 ( x )
∫
e
∫
2 xdx
1− x 2
y12 ( x )
dx.
(75)
Для решения неоднородного уравнения (71) можно использовать метод вариации постоянных. Проведя несложные выкладки, получим:
14
Снежинск, 812 сентября 2003 г.
δc ( η) = −
9
η
10 1 − η
(
)
η (1 − η) − arcsin η .
(76)
Графики функций δc ( η) и δa ( η) = δc ( η ) + δ ( η ) показаны на рисунке 8. С помощью метода, аналогичного
использованному при построении функции δ3 ( η) , полученные решения можно приближенно описать функциями
δa1 ( η) =
3
η2
, δc1 ( η ) = ⋅
5 (1 − η )4 / 5
(1 − η)2 / 5
3η
(77)
Графики этих функций также показаны на рисунке 8. Видно, что функция δa1 ( η) дает очень хорошее приближение для δa ( η ) . Функция же δc1 ( η) хуже согласуется с точным решением при значениях η , близких к 1.
Рис. 8. Точные и приближенные решения для функций δc ( η) и δa ( η)
4.3. Уравнения движения фронта волны разрежения
Рассмотрим сначала наиболее простое уравнение (52) для величины ζ = zrf / c в случае облаков со слабым
магнитным полем cT > u A . Переходя в этом уравнении к параметру η и подставляя вместо δc ее приближенное выражение (77), получим
3 6α
η3 / 2
.
δζ ′ =
⋅
(78)
10 (1 − η )23 /10
В этом уравнении интеграл от правой части не выражается через элементарные функции. Однако, несложно
построить для него приближенное выражение. В результате находим
δζ =
3 6α
η5 / 2
⋅
.
25 (1 − η )23 /14
(79)
При этом искомая координата поверхности фронта волны разрежения zrf определяется следующим выражением:
zrf = zrf0
где
(
c
+ εω r δζ,
r
zrf0 = (1 − η ) 1 − 6α arcsin η
(80)
)
есть координата поверхности фронта в отсутствие вращения (см. [12]).
(81)
VII Забабахинские научные чтения
15
В случае облака с сильным магнитным полем ( cT < u A ), аналогичным образом можно прийти к следующему выражению:
η3 / 2
δζ = 6α m
.
(82)
(1 − η)3 / 2
Координата поверхности фронта волны разрежения zrf определяется тем же соотношением (80), где

1+ η 
3
zrf0 = (1 − η )  1 −
α ln
.

2
1 − η 

(83)
Рассмотрим, наконец, уравнение (50) для величины δξ , определяющей поперечную координату rrf поверхности фронта волны разрежения. Аналогично предыдущему можно получить следующее приближенное
решение этого уравнения:
2 6 α 2 + 2α m η3 / 2
,
⋅
k
3
α 2 + α m (1 − η)
(84)
3 19α 4 + 47α 4m + 71α 2 α 2m
.
50 α 2 + α 2 α 2 + 2α 2
(85)
δξ =
где
k=
(
m
)(
m
)
При этом координата поверхности фронта волны разрежения rrf определяется выражением:
rrf = rrf0
где
a
+ εω rδξ ,
r
rrf0 = (1 − η) (1 − αϕ ( η, α m / α ) ) ,
(86)
(87)
а функция
ϕ ( η, q ) = 6arctg
η
q2 + 1 − η
+
 1 + η 1 − η + q2 + q q2 + 1 − η 
3
.
q ln 
 1 − η 1 + η + q2 + q q2 + 1 − η 
2


(88)
5. Заключение
Динамика коллапса магнитных вращающихся протозвездных облаков в рамках классической постановки
задачи о сжатии облака из заданного объема характеризуется возникновением на границе облака в результате
распада разрыва центрированной быстрой МГД волны разрежения. Эта волна разрежения в дальнейшем
распространяется к центру облака. Фронт волны разрежения (поверхность слабого разрыва) разбивает весь
объем коллапсирующего облака на две области. Во внутренней области вещество остается однородным и характеризуется однородным вращением и магнитным полем. В этой области градиент давления отсутствует
и вещество коллапсирует свободно. Во внешней области формируются неоднородные профили плотности,
скорости, магнитного поля и угловой скорости. При этом с течением времени степень неоднородности может
сильно возрастать.
В зависимости от соотношения между параметрами модели, характеризующими начальные магнитное поле
и вращение в облаке, форма поверхности быстрой МГД–волны разрежения может быть как вытянутой, так
и сплюснутой вдоль оси вращения. Таким образом, рассматривая динамику волны разрежения, можно выделить два сценария коллапса магнитных вращающихся протозвездных облаков. В первом случае коллапс происходит с доминирующей ролью магнитного поля. При этом форма поверхности волны разрежения вытянута
вдоль оси вращения. Фокусировка волны разрежения происходит в направлении поперечном к направлению
силовых линий магнитного поля. Во втором случае форма поверхности волны разрежения оказывается сплюснутой вдоль оси вращения, и коллапс происходит с доминирующей ролью вращения. Фокусировка волны разрежения при этом происходит вдоль магнитных силовых линий. В работе получен критерий, разделяющий эти
два режима коллапса.
Таким образом, форма волны разрежения в коллапсирующих вращающихся магнитных протозвездных
облаках является несферической. Поэтому ее фокусировка и последующее отражение от центра может сопровождаться генерацией интенсивных МГД–волн, которые должны влиять на дальнейшую динамику коллапса.
16
Снежинск, 812 сентября 2003 г.
Фокусировка волны разрежения, форма поверхности которой вытянута вдоль магнитного поля, в некоторых
случаях, по–видимому, должна приводить к образованию биполярных выбросов плазмы. Эти выбросы могут
являться триггерами магниторотационного механизма генерации струйных истечений [20], наблюдаемых
в молодых звездных объектах нулевого класса возраста [5, 6].
Во внешней неоднородной области (за фронтом волны разрежения) дифференциальное вращение должно
приводить к интенсивной генерации тороидальной компоненты магнитного поля. Тороидальное магнитное
поле должно создавать тормозящий момент, способствующий перераспределению углового момента между
центральными частями протозвездного облака и его периферией. Кроме того, наличие тороидальной компоненты должно приводить к закручиванию и коллимации биполярных выбросов.
Основные выводы, полученные в работе на основе полуаналитических методов, хорошо согласуются с результатами прямого численного моделирования коллапса магнитных вращающихся протозвездных облаков
в рамках полуторамерного и двумерного приближений.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования России и Правительства Челябинской области, а также при частичной финансовой поддержке гранта РФФИ № 02–02–17642.
Ссылки
1. Heiles C., Goodman A.A., McKee C.F., Zweibel E.G. In Protostars and Palnets III. by edt E.N. Levy and J.I.
Lunine. – Tucson.: Univ. Arizona Press.  1993.  P. 327.
2. Дyдоpов А.Е., Остаточное магнитное поле звезд типа Т Тельца // Астрономический журнал.  1995. 
Т. 77.  № 6.  С.884893.
3. Vallee J.P. Observations of the magnetic fields inside and outside the Milky Way, starting with globules (∼1 parsec), filaments, clouds, superbubbles, spiral arms, galaxies, superclusters, and ending with the cosmological Universe’s background surface (at ∼8 Teraparsecs) // Fundamentals of Cosmic Physics.  1996.  V. 19. 
P. 189.
4. Phillips J.P. Rotation in molecular clouds // Astronomy and Astrophysics Supplement Series.  1999. 
V. 134.  P. 241254.
5. Gregersen E.M., Evans N.J.II, Zhou S., Choi M. New Protostellar Collapse Candidates: an HCO + Survey of the
Class 0 Sources // Astrophysical Journal.  1997.  V. 484.  P. 256276.
6. Andre P., Ward–Thompson D., Barsony M. Submillimeter continuum observations of Rho Ophiuchi A  The candidate protostar VLA 1623 and prestellar clumps // Astrophysical Journal.  1993.  V. 406.  P. 122141.
7. Goldsmith P.F., Arquilla R., In Protostars and Planets II, eds. D.C. Black, M.S. Matthews.  Tuscon.: Univ. Arisona Press.  1985.  P.136.
8. Mestel L. The magnetic field of a contracting gas cloud. I. Strict flux–freezing // M.N.R.A.S.  1966.  V. 133. 
P. 265284.
9. Larson R.B. Numerical calculations of the dynamics of a collapsing proto–star // M.N.R.A.S.  1969.  V. 145. 
P. 271295.
10. Зельдович Я.Б., Каждан Я.М. // Астрофизика.  1970.  V. 6.  P. 109.
11. Truelove K., Klein R.I., McKee C.F., Holliman II J.H., Howell L.H., Greenough J.A., Woods D.T. Self–gravitational Hydrodynamics with Three–dimensional Adaptive Mesh Refinement: Methodology and Applications to
Molecular Cloud Collapse and Fragmentation // Astrophysical Journal.  1998.  V. 495.  P. 821852.
12. Дудоров А.Е., Жилкин А.Г. Неавтомодельные режимы изотермического коллапса протозвездных облаков //
ЖЭТФ.  2003. Т. 123.  № 2.  С. 195202.
13. Penston M.V. Dynamics of self–gravitating gaseous spheres–III. Analytical results in the free–fall of isothermal
cases // M.N.R.A.S.  V. 144.  P. 425448.
14. Shu F.H. Self–similar collapse of isothermal spheres and star formation // Astrophysical Journal.  1977. 
V. 214.  P. 488497.
15. Tsuribe T., Inutsuka S. Criteria for Fragmentation of Rotating Isothermal Clouds. I. Semianalytic Approach // Astrophysical Journal.  1999.  V. 526.  P. 307313.
16. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике.  М.: Наук, 1981.  448 c.
17. Lynden–Bell D. On large scale instabilities during gravitational collapse and the evolution of shrinking Maclaurin
spheroids. // Astrophysical Journal.  1964.  V. 139.  P. 11951216.
18. Hutchins J.B. The thermal effects of H2 molecules in rotating and collapsing spheroidal gas clouds // Astrophysical
Journal.  1976.  V. 205.  P. 103121.
19. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.  М.: Наука, 1965.  424 с..
20. Uchida K., Shibata Yu. A magnetodynamic mechanism for the formation of astrophysical jets. I – Dynamical effects of the relaxation of nonlinear magnetic twists // Publ. Astron. Soc. Japan.  1985.  V. 37.  P. 3146.