1 ДАВЛЕНИЕ СВЕТА В ПРАВЫХ И ЛЕВЫХ СРЕДАХ М.В

ДАВЛЕНИЕ СВЕТА В ПРАВЫХ И ЛЕВЫХ СРЕДАХ
М.В. Давидович
Научно-исследовательский университет, Саратовский государственный университет
им. Н.Г. Чернышевского, Саратов, Россия.
E-mail: davidovichmv@info.sgu.ru
Рассмотрены балансные соотношения для импульса и определено давление плоской монохроматической волны на слой среды с произвольной дисперсией. Показана возможность отрицательного давления на такой слой в безграничной левой среде, а также и в безграничной правой
среде с малыми потерями в случае, когда электрические потери превышают магнитные. Давление на полуплоскость или пластину с любым типом дисперсии при падении на них плоской
монохроматической волны из вакуума всегда положительное в правых и левых средах. Прозрачные среды и структуры с равными проницаемостями давления не испытывают.
1. Введение
Давление света, весьма слабое в слабых полях, было, тем не менее, измерено
П.Н. Лебедевым еще в 1899 г. С появлением мощных лазеров стало возможным измерять силу давления света на микрочастицы, расположенные в относительно прозрачных
средах (жидкостях и газах). Указанная сила может существенно превышать силу тяжести. Эти измерения демонстрируют положительный знак (давление направлено от источника) вне зависимости от характера дисперсии в среде (см. литературу в [1] а также
[2–8]). Впервые о возможности отрицательного давления света было высказано в работе В.Г. Веселаго [9] в связи с рассмотрением свойств сред с отрицательной рефракцией
(ОР). Они в этой работе были названы левыми. Предполагалось именно отрицательное
давление (т.е. притяжение к источнику) на частицы в левых средах (ЛС), т.е. средах с
ОР. В таких средах вектор фазовой скорости (ФС) v p и волновой вектор k антипараллельны вектору Пойнтинга S : k  S или образуют тупой угол. Противный случай,
когда векторы параллельны или образуют тупой угол, соответствует правым средам
(ПС). Он будет обозначаться так: k  S . В ПС (обычных средах) векторы E , H и k
образуют правую тройку векторов, т.е. поток мощности S  E  H направлен вдоль k ,
тогда как в ЛС тройка левая, и поток мощности идет вспять фазовой скорости. В таких
средах волны обратные, а дисперсия аномальная отрицательная [10]. В оптике это соответствует ОР. В [9] для “доказательства” отрицательного давления использована отрицательная групповая скорость. Для характеристики дисперсии всегда можно ввести
положительный коэффициент замедления n  v p / c , v p  v p (в абсолютно прозрачных
средах ему соответствует показатель преломления или индекс рефракции). Аномальная
дисперсия имеет место, если   n   0 , при этом она положительная в случае k  S
1
и отрицательная в случае k  S [10,11]. Среда в разных частотных диапазонах может
быть как правой, так и левой. ОР могут демонстрировать обычные природные вещества
в области аномальной дисперсии, например, вблизи частоты диполь-дипольного (или
другого мультипольного) перехода. В окрестности такой частоты среду можно описать
в рамках модели осциллятора Лоренца [12].
В последнее время начали широко исследоваться левые метаматериалы – искусственные среды (ИС), обладающие в определенных частотных интервалах свойствами
ЛС. Такие ЛС обычно представляют собой периодические металлические фотонные
кристаллы (ФК) и весьма приближенно описываются одновременно отрицательными
диэлектрической о магнитной проницаемостями     0 ,     0 . Относительно недавно такие ИС предложено создавать и с использованием диэлектрических ФК, также
считая, что для них возможно выполнение свойства     0 ,     0 [13,14]. В работах [11,15] для давления плоской монохроматической волны (ПМВ) в ЛС получено отрицательное значение именно на основе использования отрицательных проницаемостей. В работе [16] также рассмотрено отрицательное давление (положительное натяжение) света в ЛС. Там использовался отрицательный показатель преломления n и. В
[11] показано, что результаты работ [9,16] ошибочны. Далее мы также покажем, что все
исходные предпосылки работ [9,16] ошибочны. Ошибочны и их результаты, а также
методы их получения. Как будет показано, непосредственно использовать значения
  0 ,   0 в нестационарных формулах или в формулах статики нельзя: они соответствуют сильной пространственной дисперсии, когда они комплексные. При этом проявляется и пространственная дисперсия. Например, нельзя определять энергию по
формуле статики или по формуле Бриллюэна ([17], стр. 382).
Цель данной работы – исследование вопроса о давлении света в безграничных
ПС и ЛС, а также в ограниченных структурах (в виде пластины и полупространства) из
таких материалов. Исследован и вопрос о давлении на тела, помещенные в такие среды
или структуры. Везде в работе мы в основном рассматриваем стационарный (монохро  E exp it  ikr . Здесь
матический) случай, т.е. исследуем давление ПМВ вида E
0
электрическое поле (с точкой) считается комплексным, а его амплитуда E 0 – действительной. Далее будем определять все фазовые сдвиги относительно амплитуды E 0 и
   E cost  kr . Все известные
вводить действительные поля, например, E  ReE
0
ИС, обладающие свойствами ЛС, не являются средами изотропными. Более того, они
биизотпропные [18], что означает линейную связь всех индукций с обоими полями
(электрическим и магнитным). В таких средах спектральные проницаемости тензорные
2
и комплексные. Кроме того, они зависят от волнового вектора k , что означает сильную
пространственную дисперсию. Для описания бианизотропии двух комплексных тензоров ˆ и  не достаточно [18]. В диссипативных средах проницаемости также всегда
комплексные [17].
В данной работе мы абстрагируемся от принципиальной возможности получения сред со скалярными проницаемостями, одновременно имеющими на рассматриваемой частоте отрицательные действительные части. В основном исследуется монохроматические волны, хотя ряд выводов для волновых пакетов (цугов) будет сделан. Зависимость от волнового вектора k для нас также не принципиальна, поскольку будем исследовать только нормальное падение волн (в изотропной среде возможна зависимость
только от k 2  k02 / c 2 , которая сводится к зависимости от частоты. Считаем, что среда описывается диэлектрической      i  и магнитной      i  проницаемостями, в которых    0 ,    0 (что соответствует диссипации), а значения величин   и
  могут быть любыми (зависимость от частоты опущена). При     0 волна распространяется, а при     0 затухает.
2. Давление в безграничной среде
В безграничной среде можно рассматривать давление ПМВ на слой среды, или
на объекты в среде. Давление света связано с балансом импульса электромагнитного
поля в среде и с тензором энергии-импульса [11,19–22]. По своей структуре ТЭИ представляет запись законов сохранения энергии и импульса в четырехмерной форме. В работе [19] он выводится из принципа наименьшего действия путем варьирования действия (хотя может быть выведен непосредственно из уравнений Максвелла путем формулировки соответствующих дифференциальных законов сохранения) [1,23,24]. ТЭИ в
[19] вводится для поля в вакууме в отсутствии свободных зарядов. Первоначально получается несимметричная его форма ([19], стр. 110)
Ti k  
Al kl 1 k
F   l Flm F lm ,
l
x
4
(1)
а затем она симметризуется, и получается симметричный ТЭИ в форме Абрагама.
Минковским был введен другой несимметричный ТЭИ, справедливый для недиспергирующей среды с константами  и  . Для системы поле плюс сплошная недиспергирующая среда Абрагам также ввел свой ТЭИ (см. [11]). Более века существует контроверсия Абрагама-Минковского по поводу того, какой ТЭИ правильный (см., например,
[1,11]). Оба тензора – объекты релятивистки ковариантные, т.е. преобразуются как тен3
зоры в 4-пространстве Минковского [11]. Для симметризации тензора Абрагама в [19]
использована добавка
A / x F
l
l
k
l
, означающая отсутствие зарядов, т.е. условие
  E  0 . Таким образом, ТЭИ в [19] – это тензор поля в вакууме. Далее в [19] вводится
симметричный ТЭИ системы поле плюс невзаимодействующие заряды. Для ответа на
вопрос, должен ли ТЭИ системы поле плюс вещество (СПВ) быть симметричным, следует учесть, замкнута или нет система [1,20,21]. ТЭИ электромагнитного поля в вакууме симметричный, поскольку система замкнута. Если дополнить его симметричным
ТЭИ нескольких движущихся в вакууме зарядов, полный ТЭИ также симметричный
[19], В электродинамике сплошных сред часто рассматривают поля в веществе, созданные сторонними источниками. Указанные источники могут быть вне объема, занятого
веществом, или вне рассматриваемого объема. Для ПМВ они расположены на бесконечности и не участвуют в балансе энергии и импульса. Такая СПВ незамкнутая, а ее
ТЭМ несимметричный (и обязан быть таковым). В среде без дисперсии получаем
несимметричный ТЭИ Минковского (дисперсию начали учитывать со времен работ
Зоммерфельда и Бриллюэна [25,26]). В общем нестационарном случае плотность энергии СПВ интегрально связана с полями (формула (5) работы [1]) и не может явно быть
выписана через значения полей и индукций в текущий момент времени (см. также
[27,28]). Более того, и трехмерный тензор потока импульса ̂ (формула (14) в [1]) связан с текущими значениями полей и индукций посредством дифференциального уравнения и тоже в общем случае явно через них не выражается. В отсутствии дисперсии в
безграничной однородной имеем ˆ  ̂ , где ˆ – тензор натяжений (напряжений)
Максвелла (в [19] он взять с обратным знаком), который симметричен [19,22]. Неподвижную диспергирующую среду в общем случае следует описывать нелокальными
(интегральными) во времени и в пространстве материальными соотношениями для
электрической индукции [1,18,19 ]
Dr, t    0
t
  ˆr, r, t  t Er, t d
3
r dt  
V
t
 c 1   ˆr, r, t  t Hr, t d 3 r dt  ,
(2)
V
и аналогично для магнитной индукции B (для которой вводится тензоры ˆ r, r, t  t  ,
ˆr, r, t  t  ). Здесь два тензора ˆ и ˆ отвечают за кросс-поляризацию, объем V принадлежит шару r  r  ct  t , а соответствующий интеграл по нему означает учет
пространственной дисперсии. В неоднородных средах тензорные ядра в соотношениях
типа (2) являются функциями координат, а в однородных средах – разности координат.
4
Все свойства среды (в том числе и токи) описываются векторами индукций D и B . В
(2) предположено, что источники поля действуют бесконечно (и соответственно находятся на бесконечности). В противном случае в качестве нижнего временного предела
следует поставить момент начала действия источников. Если нас интересует поле в некотором объеме, то за начало интегрирования можно взять момент входа поля в объем.
При этом до этого момента поле отсутствовало, его энергия и импульс были равны нулю (как и энергия и импульс вещества (с точностью до энергии покоя).
Процесс взаимодействия поля с веществом, вообще говоря, нестационарный,
неравновесный и нелинейный. При этом на вещество действуют силы, оно ускоряется и
нагревается. Большие плотности энергии поля изменяют свойства пространствавремени. Соответственно пространство перестает быть плоским пространством Минковского, а полный ТЭИ уже не является тензором, преобразующимся как пара векторов при переходе от одной инерциальной системы координат к другой. Кроме того,
нельзя ввести сопутствующую веществу инерциальную систему отсчета [11]: вещество
ускоряется полем. Указанные рассуждения приведены для того, чтобы показать, что
определяемый из балансных соотношений ТЭИ не обязан преобразовываться как тензор. Мы считаем амплитуду волны настолько слабой, что процессами ускорения и
нагрева вещества можно пренебречь – среда неподвижная, равновесная и находится
при постоянной температуре. Тем не менее, при связях типа (2) ТЭИ нестационарного
процесса возбуждения поля в веществе сторонними источниками несимметричный и не
есть тензор в пространстве Минковского. Единственной величиной, явно выраженной
через индукции, в нем является плотность импульса по Минковскому g M  D  B . Все
компоненты этого ТЭИ зависят от предыстории процесса создания поля и его взаимодействия с веществом, и не факт, что они обязаны преобразовываться как 4-тензор. В
[11] рассмотрена история введения различных форм ТЭИ (см., также обзоры из списка
литературы в [1,23,24]). То обстоятельство, что налагается требование его преобразования как тензора, связано именно с наличием этого свойства в вакууме (среды с постоянными  и  , подобные вакууму, для нестационарных процессов не существуют).
Выясним, когда определенный в [1] тензор потока импульса ̂ симметричный и
выполнено ˆ  ̂ . Через поля и индукции определена только его дивергенция. Предположим, что дисперсии нет: D 0E , B  0 H . Берем только электрические части и

выписываем   ˆ  ˆ

x


  i ˆ ix  ˆ xi :
 0 E    Ex   x xx   y xy   z xz    0 Ex  E .
(3)
5
Указанное выражение равно нулю, если   E  0 . Рассмотрим тело в вакууме с такой
диэлектрической проницаемостью, зависящей только от координат. Поскольку
  E  0 (нет сторонних зарядов), то   E  E   /  . Если тело однородно, то
внутри него   E  0 , однако на его поверхности возникают связанные поверхностные
заряды, и соотношение (3), в общем, не равно нулю. Для равенства нулю необходимо
рассмотреть бесконечную среду. Это как раз и соответствует ТЭИ по Минковскому.
Это же соответствует и условию симметризации (1), только для вакуума. Тогда тензор
ˆ характеризует натяжение, а ̂ – давление на единичную площадку (в нашем случае
никаких других сил, включая и пондеромоторные, нет). Однако на площадку действуют
силы с обеих сторон, поэтому следует рассматривать воздействие на некий слой вещества и определять изменение потока импульса из этого слоя.
Итак, мы рассматриваем плоскую волну с поляризацией в направлении оси x,
движущуюся вдоль оси z:
E  x0 E  x0 E0 cost  z  exp  z  ,
D  x0 D  x0 0  E0 cost  z  e  exp  z  ,
H  y0H  y0
B  y0B  y0
(4)
E0
cost  z    exp  z  ,
Z0 
 0  E0
cost  z   m   exp  z  .
Z0 
(5)
Движение в направлении оси z означает движение энергии. Соответственно   0 , т.е.
энергия в направлении движения затухает. В ПС   0 , а в левой среде соответственно
  0 . В наших соотношениях Z 0  0 /  0 ,    /    exp i  ,    exp ie  ,
   exp i m  . Нетрудно видеть, что поля и индукции (4)–(5) удовлетворяют уравнениям Максвелла без источников в нестационарной форме вида
  z H  t D ,
  z E  t B .
(6)
Действительно, подставляя (4)–(5) в (6), получим решения волнового уравнения вида
A cost  z   B sint  z   0 . Для удовлетворения (6) в любой момент в произвольной точке следует потребовать равенства нулю их коэффициентов:
 cos    sin  
  0  sin  e   0 ,
Z0 
(7)
 sin     cos 
  0  cos e   0 ,
Z0 
(8)
6
 
0 
sin  m     0 ,
Z0 
(9)
 
0 
cos m     0 .
Z0 
(10)
Для того чтобы убедиться в правильности (7)–(10) выразим  и  из (9), (10) и подставим, например, в (7). Получаем sin2  m   sine   0 . Это тождество, т.к.
2   m  e (согласно (4), (5)).
Для плотности потока импульса из нестационарных уравнений Максвелла в
произвольной диспергирующей среде (2) в [1] получено уравнение
  ˆ   ˆ    Fr, t  
 Br, t     Hr, t   Dr, t     Er, t 
,
(11)
и общее уравнение баланса импульса (формулы (13), (15) из [1]). В неплоской (неоднородной) нестационарной волне все три компоненты импульса могут переноситься, вообще говоря, во всевозможных направлениях, тогда как поток энергии имеет одно
направление S . По-видимому, для нестационарной волны в произвольном теле направления потоков могут составлять любые (в том числе и тупые) углы с S . В рассмотренной плоской волне также есть только одна компонента импульса ( P M  z 0 Dx By ) и одна
компонента тензора его потока ˆ zz   , т.е. вектор потока z 0  . Используя (11), легко
проверить, что в плоской волне направление потока импульса совпадает с направлением потока мощности S в ПС и обратно ему в ЛС, тогда как всегда P M  S . В нашем
случае из общего балансного уравнения имеем
 z    t g zM  0 .
(12)
Уравнение баланса импульса (12) получается путем умножения 1-го уравнения (6) на
B , второго – на D и сложения. Соответственно (с точностью до постоянных) имеем
g zM  DB ,
 z   B z H  D z E .
(13)
Балансное уравнение (12) выполнено, если импульс определен с точностью до произвольной функции координаты, а поток – времени. Однако в нестационарном поле всегда есть момент, когда поле в некоторой точке отсутствует, поэтому эти функции тождественно равны нулю. Но возможна и боле общая калибровка. Из (11) и (13) имеем
exp 2z  0   E02  z   cos t  z   m    
1
   cost  z      sin t  z    
,
 cos t  z   e     cos t  z    sin t  z 
(14)
7
 t g zM  
 0   0  E02
exp  2 z  sin 2t  2z   e   m    .
Z0 
(15)
Все квадратичные по полям и/или индукциям члены (в том числе и давление) в гармонической волне колеблются с частотой 2 . Поэтому их надо усреднять за период. Указанную процедуру будем обозначать скобкой Дирака
M
z
P
. Имеем
  E02
 2
exp  2z  cos e   m    ,
2с Z 0 
(16)
2 exp 2z  0  E02   z    
1
  sin  m    cos m    sin  e      cos e     .
(17)

   m   
    m   
 2 cos3 / 2  sin e
   cos e

2
2





Заметим, что (14) можно проинтегрировать и определить величину  с точностью до
постоянной. Она содержит колеблющиеся с удвоенной частотой и постоянные во времени члены. После усреднения находим   4   exp  2z  0  E02 . Далее нам по1
ток импульса не понадобится. Он определяет давление на единичную поверхность. Но
следует также учесть и давление с другой стороны этой поверхности. Поэтому важна
производная потока по нормали. Также находим соотношения для вектора Пойнтинга
S  z 0   Z 0  E02 cost  z  cost  z    ,
1
S  z 0 S  z 0   Z 0  E02 cos  / 2 ,
1
(18)
Теперь замечаем, что  t g zM  0 , тогда как  t    exp  2z  0  E02 / 2  0 , т.е. уравнение (12) не выполняется в среднем. Более того, оно и не выполняется в каждый момент. Причина в том, что определить плотность импульса можно с точностью до произвольной функции f t , z  такой, что  t f t , z    z 1st , z  . Здесь  z 1 – оператор взятия
первообразной (интегрирования). Тогда st , z  можно добавить в поток, и баланс не изменится. Можно, например, взять st , z   t  z z  , и тогда баланс сохраняется. В (12)
плотности сил сторонних источников отсутствуют. Физический смысл указанного противоречия в следующем. Мы предположили, что среда бесконечная и покоится, записав
уравнения Максвелла в сопутствующей среде системе координат. Поэтому g M есть
импульс поля в такой среде. При движении волна передает импульс среде, который теряется (среда неподвижна). Если рассматриваются нестационарные уравнения, нельзя
использовать безграничные структуры, т.е. любое тело должно иметь конечный объем.
При движении волны в нем тело будет ускоряться. Поэтому для строгого вывода ба8
лансных уравнений импульса следует рассматривать движущуюся (вообще говоря,
ускоренно) среду или тело в лабораторной системе и включать импульс среды в баланс
[8,11,20,21]. При малых ускорениях и скоростях, однако, можно использовать усредненный первый член в (12) для определения давления. В гармонической волне пополнение потерянного полем импульса идет за счет бесконечно удаленных источников
(которые в балансе не рассматриваются) за счет потока импульса. Это возможно в силу
экспоненциального затухания. Если затухания нет, импульс среде не передается,
 z    z g zM  0 , и баланс выполняется. Соответственно член st , z   t  z z  есть
переданная веществу плотность импульса на момент t , отсчитываемая от момента
t  0 . Тем самым мы показали, что плотность силы, действующая на вещество, есть
pz     z z  .
Рассмотрим слой вещества z, z  dz  . Давление на его левую границу определяется значением z  , а на правую – величиной  z  dz  . Для полного давления
имеем dP  z   z  dz     z z  dz . Согласно балансному уравнению увеличение импульса бесконечно тонкого слоя равно приращению давления на него:
 t g zM z    z Pz     z z  .
(19)
Баланс (19) справедлив с учетом потерь импульса. Давление на слой конечной толщины h определяется интегралом
z h
Pz, h      z z  dz   
z
 0  E02
exp  2z 1  exp  2h  .
4
(20)
Давление на полубесконечный при z  0 слой абсолютно жесткой (упругой среды)
можно считать приложенным на его границе. Оно равно

P     z z  dz   
0
 0  E02
 0 .
4
(21)
Анализируя (17), (20) и (21), видим, что знак давления и потока определяется знаком
 : при   0 давление отрицательное (при этом отрицательный и поток  ), а при
  0 положительное (соответственно при положительном потоке). Заметим, что в
идеальной среде без дисперсии D   0E , B  0 H , и уравнение для потока интегрируется:   u  DE  BH  / 2 , причем u   0E  0 H  / 2 – статическая формула для
плотности энергии (это приближенно справедливо на очень низких частотах). В общем
случае диспергирующих сред эти формулы использовать нельзя, тем более подставляя
в них отрицательные проницаемости, их модули и т.п.
9
3. Теоремы о комплексном и колеблющемся импульсе
При анализе гармонических во времени процессов обычно используют спектральные формы уравнений Максвелла. В нашем случае это уравнения
  z H  i 0E  iD ,
  z E  i 0 H  iB .
(22)
Здесь поля и проницаемости суть комплексные функции частоты. В работе [28] рассмотрены комплексные теоремы Пойнтинга в форме теорем о комплексной мощности и
о колеблющейся мощности и выяснен их физический смысл. Сделаем это для импульса. Умножим первое уравнение на 0 H , второе – на  0E и сложим:


  z 0 H 2   0E 2 / 2  2i 0E 0 H  t D B  .
(23)
Теперь повторим указанную процедуру, используя комплексно сопряженные поля:

2
2
  z  0  H   0 E  / 2  2i 0 0 ReE H   2ic Re S / v 2p ,


(24)
в затем и комплексно сопряженные индукции:






   B  H  D  E  . Имеем
 B  z H  D  z E  i D B   D  B  2i Re D B  .
(25)


Определим плотность потока формулой z
Re z    0 ,
z
z
~
 z   Im  z   2 Re D B  . Слева стоит плотность потока, а с права со знаком минус
 




производная плотности импульса по времени, которую берем в виде g zM  Re D B  .
Указанный импульс, связанный с потоком, можно назвать переносимым. Для уравне~
ния (23) введем колеблющиеся с удвоенной частотой величины   0 H 2   0E 2 / 2 ,


g~zM  D B . Первую по аналогии с [28] можно назвать колеблющейся плотностью потока
(она совпадает с колеблющейся плотностью энергии [28]), а вторую – колеблющейся
плотностью импульса. Что касается соотношения (24), то это просто формула балансного типа, в которую входит комплексный колеблющийся вектор Пойнтинга и комплексная фазовая скорость.
4. Давление в некоторых средах
В качестве первого примера рассмотрим немагнитный металл на низких частотах.
Для
него
  1,
m  0 ,
  i 0 /  0  ,
e  3 / 2 ,
  3 / 4 ,
     0 0 / 2 , поэтому   2 sin9 / 4 / 2  cos 2 9 / 8  2 и давление положительное.
Рассмотрим дистиллированную воду на малых частотах. Тогда    81 ,    1 ,
e   arctan  /    1 ,   9k0 ,    tan e / 2 . Имеем   9k0 cos 3e / 4e / 2 .
10
В силу отрицательности  e давление малое, но отрицательное. Следует заметить, что
это отрицательное давление в безграничной однородной среде на слой воды. При падении волны из вакуума давление на поверхность воды положительное. Пусть теперь частота такова, что     k0 40 (что имеет место согласно формуле Дебая при   100
ГГц).
e   / 4 ,
Тогда

e   / 4 ,
  /8
и
имеем

  2 cos 2 3 / 16  sin3 / 8 / 2  0 , и давление положительное.
Рассмотрим общий случай произвольного магнитодиэлектрика. Поскольку
  k0         i , для определения фазовой постоянной и постоянной затухания кроме (9) и (10) имеем соотношения
  k0        2        2         / 2 ,
(26)
  k0        2        2         / 2 .
(27)




Случаю      ,      соответствует почти прозрачная среда. Для нее затухание
(27)
мало,
e  2   e ,
 m  2   m ,
tan e,m    1 ,
    /   exp i e   m  / 2 ,   k0    exp  i e   m  / 2 , потому в (26) следует
взять знак плюс (волна прямая). Для этой волны   k0    ,     e   m  / 2 ,
   e   m  / 2 , поэтому
  k0     e   m  / 2   .
(28)
Если электрические потери выше магнитных (что обычно имеет место), то давление
отрицательное, в противном случае – положительное. Если потери равны – давления
нет. Пусть теперь реализуется случай      ,      , что означает e   m   / 4 ,
  0 ,     k0    . Для него   2 sine   cose   0, и давления нет.
Рассмотрим ЛС с     1 и малыми потерями    1 ,    1 . Для нее
e     e ,
m     m ,
tan e,m    1 ,
  exp i e   m  / 2 ,
  k0 exp  i e   m  / 2 , потому в (26) следует взять знак минус (волна обратная).
Для такой волны   k0 ,     e   m  / 2 ,    e   m  / 2 , поэтому

 3 e   m  
 3 e   m  
  2k0 cos3 / 2 e   m  cos
 / 2  sin
 .
4
4





(29)
При очень малых потерях углы в (29) малы, и можно записать   k0  e   m  / 2 , т.е.
давление отрицательное. В отсутствии потерь для гипотетической среды [9]     1
11
(антивакуума) давление равно нулю. Такая среда абсолютно прозрачна, имеет фазовую
скорость v p  c , скорость переноса энергии ve , импульса vm и групповую скорость v g ,
равные c / 3 , при этом импульс переносится вспять энергии. Последнее обстоятельство
связано тем, что в такой среде средняя за период энергия поля есть u F   0 E02 / 2 ,
средняя запасенная электрическая и магнитная энергии колебаний вещества равны
энергии поля: uME  uMM  u E , а вектор Пойнтинга есть S  c u F , поскольку переносится только полевая часть энергии. Соответственно полная энергия системы поле
плюю с вещество равна u FM  3 0 E02 / 2 , а ve  S / u FM  c / 3 . Доказать высказанные
утверждения можно, используя уравнения Максвелла в форме, приведенной ниже.
Рассмотрим, наконец, среду с ОР и большими потерями:      i  ,
     i  . Здесь штрихованные величины положительные. Имеем e   m  5 / 4 .
В данном случае   2k0    exp 5i / 4 , т.е.     k0    ,   0 . Получаем
  2k0 2 , т.е. давление отрицательное. Еще раз подчеркнем, что указанные результаты не следует распространять на какие-либо объекты. Для этого надо определить давление с учетом сил Лоренца, действующих на среду объекта, что является предметом
следующего раздела. Если среда обладает свойством    , то   1 ,   0 , e   m ,
  k0  exp ie  ,
  k0  sine  ,
  k0  cose  ,
поэтому
имеем
  2 sine    cose  . Затухание всегда положительное, поскольку    e  2 .
Если потерь нет, то   0 как при   0 , так и при   0 .
5. Давление на основе сил Лоренца
Известно, что влияние среды можно описать токами ее поляризации (электрическим J ep и магнитным J mp ), формально записав уравнения Максвелла как для вакуума,
т.е. внеся токи поляризации в их правую часть [29]:
  H   0  t E  J ep ,
   E  0  t H  J mp .
(30)
Это соответствует принципу вторичных источников. Уравнения (30) записаны для свободного поля без сторонних источников, которые в случае необходимости можно добавить в правые части. Слева в этих уравнениях стоят полные токи (электрический   H
и магнитный    E ). Они равны соответствующему току смещения в вакууме и току
поляризации среды. Имеем J ep   t P e   t D   0 E , J mp   t P m   t B  0 H  . Магнит-
12
ную поляризацию P m обычно называют намагниченностью. Одна из форм баланса импульса с использованием (30) выглядит следующим образом:
  ˆ   t g  Fr, t    t gr, t   f pL r, t  ,
(31)
где вектор F определен согласно (11),  t g  0 D   t H   0 B   t E , f pL  J ep  B  D  J mp
– сила Лоренца, действующая на вещество в среде. Впервые такие силы были введены
еще в работе А. Эйнштейна и Я. Лауба [30]. По поводу этой силы была дискуссия о
том, следует ли ее брать как для вакуума, или как в среде (см. [31]). Далее будет показано, что индукции следует определять как в вакууме. Смысл баланса (31) следующий:
сумма потока импульса из некоторого элемента объема (потери импульса на излучение)
плюс приращение импульса в этом объеме плюс импульс, переданный веществу этого
объема (т.е. потери импульса за счет ускорения вещества) равны нулю (поскольку нет
сторонних источников импульса). Теперь мы видим, что для определения плотности
импульса следует интегрировать по времени:
gr, t    t1  0 D   t H   0 B   t E 
t
   0 Dr, t    t Hr, t    0 Br, t    t Er, t dt 
.
0
~
Однако если дисперсии нет, то  t g  0 0E   t H   0 0  t E  H   t g A   t f A , где
~
g A  S / c 2 – импульс Абрагама, а f A – некоторая сила типа силы Абрагама, определя-
емая из уравнения
~
 t f A  0 0   1E   t H   0 0   1 t E  H ,
т.е. тоже путем интегрирования. Заметим, что введенная Абрагама сила определяется
следующим
образом:
f A  gM  g A
и
для
недиспергирующей
среды
равна
f A    1S / c 2 .
Наконец, баланс можно записать, умножив векторно первое уравнение в (30) на
 0 H , второе – на  0 E и вычтя одно из другого:
  ˆ 0   t g A  F0 r, t    t g A r, t   f 0Lp r, t  .
(32)
Здесь F0  0 H    H   0E    E – плотность потока импульса в вакууме, g A – импульс Абрагама, который по своему смыслу есть импульс электромагнитного поля в
вакууме [11,19], а сила Лоренца также взята так, как она определена в вакууме:
f 0Lp  0 J ep  H   0 E  J mp . Видим, что именно эта форма баланса наиболее удобна, т.к.
именно f 0Lp действует на малый элемент вещества, расположенный в вакууме, и именно
она должна использоваться для анализа сил, действующих на конечные объекты в ва13
кууме. Естественно мы рассматриваем электрически нейтральные тела, поэтому электрическая часть силы Лоренца, связанная с воздействием на заряды, отсутствует. Теперь смысл баланса (32) совсем ясен: импульс поля расходуется на его поток через поверхность и на передачу импульса веществу. Переданный в единицу времени импульс
следует определять так:
FL t    t Gt    f 0Lp r, t d 3 r ,
(33)
V
а полный импульс тела получается интегрированием (33) повремени. Для нашего случая плоской волны сила Лоренца направлена по оси z и равна f 0Lp  0 J pe H   0 EJ pm .
6. Давление на структуры
Рассмотрим давление плоской монохроматической волны, падающей из вакуума
на полуплоскость. Задача решается весьма просто с использованием закона сохранения
импульса.
Именно,
комплексный
R  1    / 1     R exp i R  ,
а
коэффициент
коэффициент
отражения
прохождение
есть
(пропускания)
T  1  R  T exp iT  . Соответственно коэффициент отражения по мощности есть R .
2
Плотность импульса в падающей волне g zA  S / c 2 , а в отраженной она равна
 R S / c 2 . Отраженные фотоны – это фотоны, рассеянные абсолютно упруго. Они пе2
2
редают веществу плотность импульса 2 R S / c 2 . Если R  0 ( T  1 ) и вещество абсолютно прозрачно (   0 ), то ему импульс не передается и содержится в квазифотонах.
Указанному случаю реальные диспергирующие среды не соответствуют. Ему соответствует закон сохранения энергии и баланс импульса при Q  0 :
R 
2
Здесь R , 
2
1
T
2
1
T  Q 1 .
2
(34)
соответственно мощности в отраженной и прошедшей волнах, а Q –
плотность мощности диссипации (тепловых потерь) при единичной падающей мощности. Соответственно импульс 2 R S / c 2 передается веществу, импульс 1  R S / c 2 со2
держится в поле при z  0 , а импульс 
2
1
2
T S / c 2 имеют казифотоны при z  0 . Пол-
ный баланс импульса сохраняется в том смысле, что в полупространстве z  0 содержится его плотность 1  R S / c 2 , а при z  0 1  R S / c 2 . Средняя же плотность такая,
2
2
как в падающей волне. Если R  1 ( T  0 ), то поля в веществе нет (этот случай приближено соответствует металлам на сверхнизких частотах), все фотоны отражаются
14
абсолютно упруго и передают плотность импульса 2S / c 2 . Давление на поверхность
2S / c можно определить, выражая поверхностный ток через магнитное поле и исполь-
зуя силу Лоренца для вакуума, поскольку на металле Н  1  R E0 / Z 0 . Видим, что
давление, определенное через силу Лоренца, в точности равно давлению, определенному на основе импульса, переданного фотонами. Если R  0 , но   0 , вся плотность
g zA  S / c 2 импульса волны поглощается и передается веществу. Плотность при z  0
нулевая, а при z  0 удвоенная. Опять средняя плотность равна S / c 2 , а давление на
поверхность есть S / c . Если поглощение происходит на очень малой длине, это приближенно соответствует идеально поглощающему экрану. В общем случае Q  0 веществу передается импульс



G  2 R  Q S / c2  1  R  
2
2
1
2

T S / c2
(35)
и соответственно на него оказывается давление P  G / c .
Импульс, переданный веществу, можно определить, используя только плотность
силы Лоренца f 0Lp  0 J ep  H   0 E  J mp . Именно, комплексные поля и индукции
при z  0 , соответствующие действительным величинам (4) и (5) следует умножить на
T . Соответственно амплитуда величин (4) и (5) получит множитель T , а в волновые
функции добавится фаза T . Далее следует просто вычислить интеграл

P   f 0Lp z  dz  f 0Lp 0 / 2  .
(36)
0
Заметим, что f 0Lp z   f 0Lp 0 exp  2z  . Указанное давление приложено по всей глубине, но при большом затухании (как у металлов) можно считать, что оно приложено к
поверхности. С помощью достаточно громоздких выкладок можно показать, что интеграл (36) в точности равен G / c . Мы этого делать не будем. Данный результат для металла приведен в [22] (стр. 488–490). Он в [22] получен в предположении, что для металла   1 и   1 (это проницаемости кристаллической решетки, в которой дисперсией на сверхнизких частотах можно пренебречь), а комплексная проницаемость определена только через проводимость на постоянном токе. Этот же результат для давления
на металл в более общей форме может быть получен при использовании формулы П.
Друде        P2 /  2  ic , описывающей электронную плазму в кристаллической решетке с проницаемостью   . Теперь мы видим, что требование брать силу Лоренца в вакууме обязательное – иначе получится неверный результат (скажем, для меди
15
  ~ 10 , а для электротехнической стали   1 , но давление от этих значений практически не зависит).
Пусть теперь имеется слой вещества при 0  z  d , на который также нормально
падает волна из вакуума и за которым тоже для простоты вакуум. Мы перейдем к записи полей в комплексной форме, что упростит выкладки. Пишем только электрическое
поле. Слева имеем
E  E0 exp it  ik 0 z   R  exp it  ik 0 z  .
(37)
В области пластины будет соответственно
E  A E0 exp it  iz  exp  z   A E0 exp it  iz  exp z  ,
(38)
а за пластиной
E  TE0 exp it  ik 0 z  d  .
(39)
Теперь следует сшить поля E и H при z  0 и z  d . В результате получим соотношения
A



ik0 1  R  A  A i   ,
(40)
A exp  id  exp  d   A exp id  exp d   T ,
(41)
1  R  A  A ,

exp  id  exp  d   A exp id  exp d  i     ik0T .
(42)
Далее следует записать действительные поля и индукции, соответствующие (37)–(39) и
определить давление на пластину
d
P   f 0Lp z  dz  f 0Lp 0
0
1  exp  2d 
exp 2d   1
 f 0Lp 0
.
2
2
(43)
Здесь плотность силы содержит экспоненциально затухающую и нарастающую компоненты. Но амплитуда нарастающей компоненты имеет множитель exp  4d  , соответствующий двукратному прохождению волной слоя.
Определим импульс, переданный пластине. За счет отражения передается плотность импульса 2 R S / c 2 . Баланс мощности здесь такой же, как в (34) при   1 .
2
2
Плотность T S / c 2 переносится фотонами справа от пластины. Соответственно пластине передается еще импульс QS / c 2 . Для переданного импульса имеем формулу (35),
в которой следует положить   1 , и давление P  G / c . Отличие в том, что для полуплоскости T  1  R , 1  R  / 1  R    , а для пластины T связано с R более сложными
соотношениями, определяемыми (40)–(42). Мы их не приводим. Значение   1 в (35)
соответствует тому, что справа от пластины вакуум. Теперь следует найти f 0Lp 0 и
16
f 0Lp 0 , используя соотношения (37)–(42) и показать, что интеграл (43) действительно
совпадает с P  G / c . Это весьма громоздкая процедура, которую мы делать не будем.
Только подчеркнем, что давление на слой всегда положительное вне зависимости от
дисперсии. От конкретного закона дисперсии зависит только величина P . При больших d   результат для пластины совпадает с результатом для полуплоскости. В
этом случае давление определяется только импедансом  .
7. О давлении на объекты в средах и структурах
Объекты произвольной формы искажают плоскую монохроматическую волну,
поэтому следует ставить вопрос о силах, воздействующих на них. В общем случае произвольного поля знак силы может быть любым. Он определяется границами объекта и
окружения, отражениями, поляризацией и рядом других факторов. Важны направления
потоков импульса к границе тела. Примером может служить воздействие оптического
сканирующего зондового микроскопа на диэлектрические и металлические микрообъекты. Соответствующие задачи весьма сложны и не являются предметом настоящего
рассмотрения. Говорить о давлении плоской волны можно на нанообъекты, слабо ее
возмущающие и имеющие вид тонких пластин. Соответственно поперечные размеры
пластин должны быть порядка длины волны в среде, чтобы слабо возмущать волну, а
их параметры не сильно отличаться от параметров среды. Поскольку доказана возможность отрицательного направления потока импульса, давление на такую пластину в
принципе может быть отрицательным. Однако указанное свойство доказано для безграничных сред. Для хорошо прозрачных сред давление весьма мало, а при больших
потерях в средах с ОР достигающая пластины мощность будет весьма мала. Следует
заметить, что отрицательное давление строго доказано для безграничной однородной
среды для слоя этой же среды. Измерить указанное давление невозможно. Для доказательства возможности отрицательного давления на слой, включенный в другую среду
или пластину, следует использовать вышеизложенный подход для многослойной среды. При этом реализовать такой случай экспериментально, расположив источник плоской монохроматической волны в среде, очень трудно или практически невозможно.
Следует исследовать случай падения из вакуума плоской волны на пластину, в которой
находится рассматриваемый слой. Эта задача весьма сложна. Как видно из изложенного, полное давление на границу пластины со слоем положительное. Еще более сложен
вопрос о давлении волнового пакета (цуга). Здесь следует использовать строго нестационарный подход. По-видимому, в этом случае давление в плоских квазимонохрома-
17
тических волнах всегда положительное. Следует указать на то, что свойство ИС сред с
отрицательными проницаемостями возникает при накоплении в указанных средах
энергии колебаний токов поляризации, для чего требуется время. Пользоваться в нестационарном случае  и  нельзя в принципе: нужно использовать соотношения типа
(2).
8. Заключение
Показано, что отрицательное давление полоской монохроматической волны на
слой диспергирующей безграничной левой среды с ОР отрицательное. При этом слабое
отрицательное давление возможно и в правой среде при малых потерях, если электрические потери превышают магнитные. Давление же на полуплоскость или пластину из
любой диспергирующей среды (правой или левой) всегда положительное в силу того,
что в диссипативных структурах всегда R  T  1 . Указанное неравенство может
2
2
нарушаться только при наличии в пластине или полуплоскости активной среды с отрицательными потерями. Но отрицательные потери могут быть только в конечных структурах (иначе возможно безграничное увеличение амплитуды), т.е. полуплоскость из
рассмотрения выпадает. Кроме того, отрицательные потери без наличия распределенных сторонних источников в среде возможны только в нестационарном случае, при
этом  со временем стремится к нулю. Случай постоянного  означает наличие сторонних источников. Отдаваемый ими импульс не учитывался в рассмотренном балансе.
Результаты работ [9,16], касающиеся отрицательного давления, ошибочны. Это в
частности, хорошо показано в работе [11]. В этой работе отрицательное давление в ЛС
доказано с использованием отрицательных проницаемостей и отрицательного потока,
что справедливо только для безграничной среды. Гипотетические прозрачные среды и
структуры с     0 (как и аналогичные недиспергирующие структуры с     0 )
не испытывают давления вообще. Ошибочны также и все исходные посылки работы
[16]. Так, там указано на перенос массы фотоном от излучателя к приемнику, хотя и
правильно утверждается, что фотон массы не имеет (по этому поводу также см. [1]).
Перенос массы отдельным фотоном невозможен. Можно говорить только о перераспределении массы фотонами с противоположными импульсами, при этом масса замкнутой системы и ее центр масс не изменяются. Так, Солнце теряет массу, которая
перераспределяется к периферии солнечной системы по всем направлениям.
18
ЛИТЕРАТУРА
1. М. В. Давидович, О законах сохранения энергии и импульса электромагнитного поля
в среде и при дифракции на проводящей пластине, УФН 180, 6, 623 (2010).
2. R. N. C. Pfeifer, T. A. Nieminen, N. R. Heckenberg, et al., Constraining Validity of the
Minkowski Energy–Momentum Tensor, Phys. Rev. A 79, 2, 023813 (2009).
3. H. Rubinsztein-Dunlop, T. A. Nieminen, M. E. J. Friese, et al., Optical trapping of absorbing particles, Advances in Quantum Chemistry, 30, 469 (1998).
4. H. H. Brito, Propellantless Propulsion by Electromagnetic Inertia Manipulation: Theory
and Experiment, in Space Technology and Applications International Forum, ed. by M.S.
El-Genk, The American Institute of Physics (1999), p. 994.
5. N. R. Heckenberg, M. E. J. Friese, T. A. Nieminen , et al., Mechanical effects of optical
vortices, in Optical Vortices (Horizons in World Physics 228), ed. by M. Vasnetsov, Nova
Science Publishers (1999), p. 75.
6. S. Antoci, L. Mihich, Electrodynamic forces in elastic matter, Nuovo Cim. B115, 77
(2000).
7. Y. N. Obukhov, F. W. Hehl, Electromagnetic energy-momentum and forces in matter,
Phys. Rev. A. 311, 277 (2003).
8. В.П. Макаров, А.А. Рухадзе, Сила, действующая на вещество в электромагнитном
поле, УФН 179, 9, 995 (2009).
9. В. Г. Веселаго, УФН 92, 3, 517 (1967).
10.Р. А. Силин, Периодические волноводы, Фазис, Москва (2002).
11.В. П. Макаров, А. А. Рухадзе, УФН 181, 12, 1356 (2011).
12.А. И. Ахиезер, И. А. Ахиезер, Электромагнетизм и электромагнитные волны,
Высшая школа, Москва (1985).
13.И. Б. Вендик, О .Г. Вендик, М. С. Гашинова, Письма в ЖТФ 32, 10, 30 (2006).
14.R. Merlin, PNAS 10, 6, 1693 (2009).
15.Yannopapas V, Galiatsatos P.G. Phys. Rev. A 77 043819 (2008)
16.В. Г. Веселаго, УФН 179, 689 (2009).
17.Ландау Л Д, Лившиц Е М Электродинамика сплошных сред (М.: Наука, 1982).
18.R. D. Graglia, P.L.E. Uslenghi, R.E. Zich, IEEE Trans. AP-39, 1, 83 (1991).
19.Л. Д. Ландау. Е. М. Лифшиц, Теория поля, Наука, Москва (1973).
20.Новаку В. Введение в электродинамику. М.: ИЛ, 1963. 304 с.
21.Мёллер К. Теория относительности. М.: Атомиздат, 1975. 400 с.
22.И. Е. Тамм, Основы теории электричества, Наука, Москва (1976).
23.В. Л. Гинзбург, О законах сохранения энергии и импульса при излучении электромагнитных волн (фотонов) в среде и о тензоре энергии-импульса в макроскопической
электродинамике, УФН 110, 2, 309 (1973).
24.В. Л. Гинзбург, В. А. Угаров, Несколько замечаний о силах и тензоре энергииимпульса в макроскопической электродинамике, УФН 118, 1, 175 (1976).
25.A. Sommerfeld , Ann. d. Phys 44, 10, 177 (1914).
26.L. Brillouin, ibid., p. 203.
27.Ю. С. Бараш, В. Л. Гинзбург, О выражении для плотности энергии и выделяющегося тепла в электродинамике диспергирующей и поглощающей среды, УФН 118, 3,
523 (1976).
28.Л. А. Вайнштейн, Электромагнитные волны, Радио и связь, Москва, (1988).
29.Г. Т. Марков, А. Ф. Чаплин, Возбуждение электромагнитных волн, Радио и связь,
Москва (1983).
30.A. Einstein and J. Laub, Uber die im elektromagnetischen Felde auf ruhende Körper ausgeübten pondermotorischen Kräfte, Ann. Phys. (Leipzig), 26, 541 (1908).
19
31.В. И. Павлов, О дискуссии по поводу пондеромоторных сил, УФН 124, 2, 345 (1978).
АВТОРЕФЕРАТ
В работе рассмотрены балансные соотношения для импульса и определено давление плоской монохроматической волны на слой среды с произвольной дисперсией.
Показана возможность отрицательного давления на такой слой в безграничной левой
среде с отрицательной рефракцией, а также и в безграничной правой среде с малыми
потерями в случае, когда электрические потери превышают магнитные. Отрицательное
давление характеризуется отрицательной плотностью потока импульса. Приведены соотношения для импульса и его потока в диспергирующих средах. Определено давление
на полуплоскость или пластину с любым типом дисперсии при падении на них плоской
монохроматической волны из вакуума, которое всегда положительное в правых и левых средах. Прозрачные среды и структуры с равными проницаемостями давления не
испытывают. Измерить указанное отрицательное давление на слой однородного безграничного вещества не представляется возможным, т.к. при этом нарушается условие
однородности и монохроматичности. Показано также, что ряд выводов работ В.Г. Веселаго (УФН 92, 3, 517, 1967 и УФН 179, 689, 2009) ошибочны.
Сведения об авторе
Давидович Михаил Владимирович, д.ф.-м.н. (2000), профессор (2002) , Соросовский профессор (2001), Соросовский доцент (2000), IEEE Senior Member (2001), профессор РАЕ, Vice-Chair of IEEE MTT/ED/AP/CPMT/PS Saratov-Penza Chapter, профессор кафедры радиотехники и электродинамики НИУ, Саратовского им. Н.Г. Чернышевского государственного университета.
Служебный адрес и телефон: СГУ, Астраханская 83, 410012, Саратов, Россия, тел.
8-8452-514562.
Домашний адрес и телефон: площадь Кирова, д.8, кв. 169, Саратов, 410012, Россия, тел.
8-8452-736650 (д.), +7-9172054873 (м.), 8-8452-514562 (р.).
E-mail: DavidovichMV@info.sgu.ru
20