УДК 532.529:541.182 Н. В. Дворянинова, С. И. Мартынов, Т. В. Пронькина

Гидродинамическое взаимодействие составных капель в линейном потоке
ВЕСТНИК ЮГОРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011 г. Выпуск 2 (21). С. 35–39
УДК 532.529:541.182
ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СОСТАВНЫХ КАПЕЛЬ В
ЛИНЕЙНОМ ПОТОКЕ
Н. В. Дворянинова, С. И. Мартынов, Т. В. Пронькина
Введение
При моделировании динамики многофазных сред одна из важнейших задач состоит в
определении сил, действующих на каждую фазу. Для одиночной сферической капли было
найдено аналитическое решение J. Hadamard [1] и W. Rybczynski [2]. Ими же был вычислен
коэффициент сопротивления капли.
В работах А. З. Зинченко [3], G. Hetsroni [4] находилась сила, действующая на каплю в
результате гидродинамического взаимодействия при малых числах Re. При Re > 1 получить
точное аналитическое решение даже для сферической капли невозможно, поэтому для построения численного решения используются численные методы [5, 6].
Практический интерес представляет вопрос о скорости и направлении движения составных капель вязкой жидкости под действием внешней силы, например, силы тяжести. В отличие от одиночной капли наличие включения в виде другой капли со своими физическими параметрами приводит к изменению внутреннего течения, что приводит к изменению гидродинамических сил, действующих на каплю. В случае составной капли силы зависят от относительных скоростей капли и ее включения. Другими словами, движение включения приводит
к появлению силы, действующей на каплю и, следовательно, к появлению у нее скорости. И
наоборот, движение самой капли вызывает силу, действующую на ее включение и приводящую ее в движение с определенной скоростью. Как следует из общих теорем динамики системы, такое относительное движение капли и ее включения не должно вызвать смещения
центра тяжести составной капли, однако приводит к смещению центров тяжести составляющих капли, что должно сказываться на траектории ее движения. Кроме того, такое сложное
движение должно вызывать дополнительную диссипацию энергии и, следовательно, приводить к увеличению эффективной вязкости составной эмульсии [7].
Ниже рассматривается постановка задачи и ее решение для составных капель эмульсии в
линейном потоке несущей жидкости. Учитывается гидродинамическое взаимодействие капель.
1. Постановка задачи для N составных капель
Пусть в неограниченной несжимаемой жидкости вязкости ηl находятся N составных сферических жидких частиц. Обозначим их Ah, где h изменяется от 1 до N. Каждая капля имеет
вязкость ηa и размер ah, соответственно. Сами капли представляют собой сложные структуры: внутри каждой из них находится жидкая сферическая частица Bh вязкости ηb и размера
bh, соответственно. Размеры частиц достаточно маленькие, чтобы уравнения движения жидкости вне и внутри частиц были линейными.
Уравнения для скорости и давления в несущей жидкости и внутри каждой из частиц записываются в приближении Стокса [8, 9]:
∇ ⋅ u = 0 , ∇ ⋅ v h = 0 , ∇ ⋅ wh = 0 , ∇ ⋅ v h = 0 ,
ηl ∇ 2 ⋅ u = ∇pl , ηa ∇ 2 ⋅ v h = ∇pah , ηb∇ 2 ⋅ wh = ∇pbh
здесь u , pl – скорость и давление в несущей жидкости; v h , pah – скорость и давление внутри
капли Ah; w h , pbh – скорость и давление внутри капли Bh.
Обозначим вектором x h положение произвольной точки несущей жидкости относительно центра капли Ah, а вектором y h – положение точки несущей жидкости относительно центра капли Bh.
35
Дворянинова Н. В., Мартынов С. И., Пронькина Т. В.
На поверхности каждой капли Ah можно записать следующие граничные условия:
1. Условие равенства скоростей жидкостей на границе капли Ah:
ui + U i = vih + Vi h , x h = a h ,
где U – скорость потока несущей жидкости, невозмущенного присутствием составных капель Ah, V h – скорость капли Ah.
2. Условие равенства касательных напряжений на поверхности жидкой частицы Ah:
(
⎛ ∂ (u + U ) ∂ u j + U j
i
i
+
ηl ⎜
⎜
∂x j
∂xi
⎝
) ⎞⎟ n τ
⎟
⎠
h h
j i
(
)
(
⎛ ∂ vih + Vi h
∂ v hj + V jh
⎜
+
= ηa
⎜
∂x j
∂xi
⎝
) ⎞⎟ n τ
⎟
⎠
h h
j i
,
при x h = a h . Здесь n h и τ h – единичные векторы нормали и касательной к поверхности капли Ah.
3. Условие непротекания несущей жидкости внутрь частицы Ah:
( ui + U i ) nih = 0 ,
x h = ah .
Соответствующие граничные условия записываются на поверхности каждой жидкой
частицы Bh.
На бесконечности имеем следующее граничное условие:
ui → 0 , x → ∞ .
То есть скорость возмущения обращается в нуль при бесконечном удалении от составных капель Ah.
Требуется найти скорость и давление потока несущей жидкости, скорость и давление
внутри частиц Ah и Bh. Зная их, можно определить силы, действующие на каждую из капель
со стороны внешней жидкой фазы.
2. Гидродинамическая сила, действующая на составную каплю в линейном потоке
Рассмотрим случай одной составной капли. Аналитическое решение задачи о гидродинамическом взаимодействии капель в однородном потоке позволяет вычислить силу F A ,
действующую со стороны несущей жидкости на жидкую частицу A1, и силу F B , действующую внутри капли A1 на частицу B1. Сила, действующая на произвольную частицу в жидкости, вычисляется следующим образом:
Fi =
⎡
⎛ ∂ui ∂u j ⎞ ⎤
−
+
ρδ
η
⎢
⎜
∫ ⎢ ij ⎜ ∂x j + ∂xi ⎟⎟ ⎥⎥ n j ds .
⎝
⎠⎦
⎣
Здесь интеграл берется по поверхности частицы, внешняя нормаль к которой есть вектор
n . Для вычисления сил необходимо знать распределения скорости и давления вокруг частиц.
Для частиц, находящихся в линейном потоке, выражения принимают следующий вид
rj rk ri
Fi A = 4πηl af1A E jk 2 ,
r
rj rk ri
Fi B = 4πηa bf1B E jk 2 .
r
Здесь f1 A , f1B – функции безразмерных параметров ηl / ηb , η a / ηb , a / b , ε . Выражения
для функций имеют сложный вид, поэтому их зависимость от указанных выше параметров
представлена в графическом виде.
36
Гидродинамическое взаимодействие составных капель в линейном потоке
Рисунок 1. Графики зависимости функций f1 A и f1B от параметра ε
при ηl / η a = 1, 2 , ηb / η a = 0, 5 , a / b = 5
Рисунок 2. Графики зависимости функций f1 A и f1B от параметра ηb / η a
при ηl / η a = 1, 2 , ε = 0,1 , a / b = 5
Рисунок 3. Графики зависимости функций f1 A и f1B от параметра ηl / η a
при ηb / η a = 0, 5 , ε = 0,1 , a / b = 5
Рисунок 4. Графики зависимости функций f1 A и f1B от параметра a / b
при ηl / η a = 1, 2 , ηb / η a = 0, 5 , ε = 0,1 .
37
Дворянинова Н. В., Мартынов С. И., Пронькина Т. В.
Полученные выражения для сил, действующих на составляющие капли, могут быть использованы для изучения динамики составной капли в линейном потоке
3. Поле скоростей внутри составной капли.
Ввиду сложности выражений, анализ, какое движение совершает включение можно провести, зная поле скоростей течения жидкостей в каждой из фаз. Рассмотрим составную каплю A1, содержащую жидкое включение B1, в линейном потоке вязкой жидкости при следующих значениях параметров a = 1, b = 0,2, ηl = 0,007, ηa = 0,01, ηb = 0,005, r = (0, 02; 0, 02; 0) ,
⎛0 1 0⎞
⎜
⎟
Eij = ⎜ 1 0 0 ⎟ .
⎜0 0 0⎟
⎝
⎠
Ниже приводятся рисунки полей скоростей внутри каждой их фаз.
Рисунок 5. Проекции поля u на плоскости Ox1x2 и Ox1x3
Рисунок 6. Проекции поля v 1 на плоскость Ox1x2 и Ox1x3
Рисунок 7. Проекции поля w1 на плоскость Ox1x2 и Ox1x3
38
Гидродинамическое взаимодействие составных капель в линейном потоке
Рисунок 8. Проекции поля w1 на плоскость x3 = 0,1 и x2 = 0,1
Полученные результаты свидетельствуют о сложной гидродинамической картине течения жидкости внутри составной капли. Наличие вихревых течений как в области A1, так и в
B1 позволяет предположить, что происходит увеличение диссипации энергии в составной капле, что и приводит к увеличению эффективной вязкости составной эмульсии.
ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Hadamard, J. Movement permanent lent d’une sphere liquide et visqueuse dans un liquide visqueux / J. Hadamard // Acad. sci. – 1911. – V. 152. – № 25. – P. 1735–1741.
Rybczynski, W. Uber die fortschreitende Bewegung einer fliissigen Kugel in einem zahen Medium / W. Rybczynski // Bull. Int. Acad. Sci. Cracovia. – 1911. – Ser. A. – № 1. – P. 40–46.
Зинченко, А. З. К расчету гидродинамического взаимодействия капель при малых числах
Рейнольдса [Текст] / А. З. Зинченко // Прикладная математика и механика. – 1978. –
Вып. 5. – С. 955–959.
Haber, S. On the low Reynolds number motion of two droplets / S. Haber, G. Hetsroni,
A. Solan // J. Multiphase Flow. – 1973. – V. 1. – P. 57–71.
Langtangen, H. P. Numerical methods for incompressible viscous flow / H. P. Langtangen,
K.-A. Masdal, R. Winther // Advances in Water Resources. – 2002. – V. 25. – P. 1125–1146.
Флетчер, К. Вычислительные методы в динамике жидкостей : в 2-х т. – Т. 2 : Методы
расчета различных течений [Текст] / К. Флетчер ; [пер. с англ.] : В. Ф. Каменецкий ; под
ред. Л. И. Турчака. – М. : Мир, 1991. – 552 с.
Мартынов, С. И. Моделирование взаимодействия капель в линейном потоке и вязкость
эмульсии [Текст] / С. И. Мартынов, Т. В. Пронькина // Информационные системы и технологии. – Орел, 2010. – № 3. – С. 86–90.
Ландау, Л. Д. Теоретическая физика. – Т. 6 : Гидродинамика [Текст] / Л. Д. Ландау,
Е. М. Лифшиц. – 3-е изд., перераб. – М. : Наука, 1986. – 736 с.
Бэтчелор, Дж. Введение в динамику жидкости [Текст] / Дж. Бэтчелор – М. : Мир, 1973. –
758 с.
39