(10)Сексенбаев, Жетписов

40
1
Pl (k1,n1)  (n  1)Pl (k1,n1)1  (l  1)Pl (k1,n1)  , l  c ;
  l   n
1
Pc(k1,n1)  Pc(,kn1)1  (n  1)Pc(k1,n1)1  ;
Pc(,kn) 
  c
2) при постоянном времени обслуживания, т.е.
0 при x  a
B ( x)  
, a  0, (a)  c,
1 при x  a
получим
P1,0(1)  (1  ea )
Pl (, nk ) 
 

(n  1) ( k 1)
l 1
Pl (, nk )  1  e  (  n ) a  
Pl (k1,n1) 
Pl 1, n 1 
Pl (k1,n1)  ,
  n
a (  n)
   n

(n  1) ( k 1) 

Pc(,kn)  (1  ea )  Pc(k1,n1)  Pc(,kn1)1 
Pc 1,n 1  , k  2.



l  c,
Список литературы
1. Шнепс М.А. Системы распределения информации. — М.: Наука, 1979.
2. Атенсиа И.М., Бочаров П.П., ДАпиче Ч., Фонг Н.Х. Однолинейная система массового обслуживания с многомерным
пуассоновским потоком и повторными заявками // Автоматика и телемеханика. — 2000. — № 11. — С. 123–138.
3. Фалин Г.И. Система М/G/1 с повторными вызовами в условиях большой загрузки // Вестн. МГУ. Сер. Математика, механика. — 1980. — № 6. — С. 48–50.
4. Аубакиров Т.У. Аппроксимация системы обслуживания с повторными требованиями при большой интенсивности повторения // Тез. всесоюзн. науч.-техн. конф. «Применение статистических методов в производстве и управлении». —
Пермь, 1990. — С.41–42.
5. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. — М.: Наука, 1987.
УДК 517.1
К.Сексенбаев, К.Жетписов
Карагандинский государственный университет им. Е.А.Букетова
СПЛЕТЕНИЕ ГРУПП И ПОСТРОЕНИЕ ХОПФОВЫХ ГРУПП
Мақалада топ және мен реті жай сан болатын топтың оралымының хопфолық топ болатындығы дәлелденді және реті жай сан болатын группаны сол жаққа бірнеше рет қайталағанда да хопфолық группа болатындығы көрсетілді.
In this article it is proofed that interlace of Hopf groups and group of simple order over ring without
divisors of zero is Hopf group too. It is showed a method of constracting some Hopf groups for this
case.
Слабое произведение (сплетение) Rwr U / A моноида с полугруппой U определено в [1].
Пусть D — ультрафильтр на множестве I. Тогда действие R на A определяет действие
R D
на
I
A  {1,
, n}, []a  a , если {i (i)a  a} D, a, a  A , где [] — элемент на
R D
I
лем  .
с представите-
41
Теорема 1. Пусть А конечно. Тогда
  Rwr U A / D    R Dwr U D / A 

I
R D
на A  {1,

I
, где действие
I
, n} определяется так же, как и выше.
I
Определим по действию моноида R на A алгебраическую систему:
A=  R  A, P1; Q1; R , , c1 ,
, cn  , где
x P( x)  R, x Q( x)  A, A  {a ,
1
, an },
A
ci  ai ,  R
— умножение в R, — действие.
Аналогично определяется по действию моноида S на A алгебраическая система
B  S  A, P1 , Q1 , S , , c1 , , cn  .
Следствие 1. Если A и B элементарно эквивалентны, U и V — элементарно эквивалентные полугруппы, то RwrU / A элементарно эквивалентно SwrV / A.
Следствие 2. Пусть моноиды R и S действуют допустимо [1] на А и В соответственно, кроме того, А и В конечны. Тогда если  RwrU / A   SwrV / A , то A  B и U  V .
Вопрос о хопфости сплетения циклической группы с хопфовой абелевой группой для простого р
рассматривался в работе [2]. Напомним некоторые необходимые определения и обозначения. Группа
G называется хопфовой, если она неизоморфна со своей фактор-группой по нетривиальному нормальную делителю.
Пусть А и В — группы. Рассмотрим декартову степень АВ группы А. АВ есть множество всех
функций, заданных на В со значениями в А. Множество АВ превращается в группу А заданием покоординатного умножения функций из АВ ; если А, g  АВ , то (fg)(b)=f(b)g(b) для всякого b  B .
Полным сплетением групп А и В называется полупрямое произведение группы А и В, причем
элементы из В действуют на элементы А следующим образом:
f b1 (b)  f (bb11 ).
Подгруппа полного сплетения групп А и В, порожденная подгруппой В и подгруппой А всех
функций f  A, таких, что f (b)  1 лишь для конечного числа координат b  B , называется сплетением групп А и В. Полное сплетение W групп А и В обозначается через Аr B.
Сплетение групп А и В обозначается через Аr B . Через Z p ( B) обозначим групповое кольцо
группы В над простым полем характеристики р, где р — простое число. Через Z(B) обозначим групповое кольцо группы В над кольцом целых чисел. Через G={a}wrB обозначим дискретное сплетение
циклической группы {a} с абелевой группой В.
Пусть G1 ={a}wrB, a p  1, B  G0 — хопфова и Z p (G0 ) — без делителей нуля, тогда G1 — хопфова. Аналогично определим G2  {a}wrG1 , где G1 — хопфова, Z p (G1 ) — без делителей нуля.
Теорема 2. Для любого n  N , если Gn  {a}wrGn1 , a p  1, Gn1 — хопфова и Z p (Gn 1 ) — без делителей нуля, то Gn — хопфова.
Доказательство. Докажем теорему 2 по индукции n  N .
Пусть Gn  {a}wrGn 1. Тогда Gn можно представить в виде
Gn  A r Gn 1 , где A   {ab }, b 1ax b  axb .
bGn1
Докажем следующую лемму, характеризующую одно свойство сплетения двух групп.
Лемма 1. Если Gn  {a}wrGn 1 , a p  1, Z p (Gn 1 ) — без делителей нуля, c  A и c  1, то подгруппа {c, Gn 1} изоморфна с подгруппой {c}wr Gn 1 .
Доказательство. Пусть c  ab11 ab22
abkk , где  i — показатели и bi  Gn 1 .
Элементу с ставится в соответствие элемент   1b1   2b2 
  k bk
группового кольца
1
cb и b1 cb ставят-
Z p ( Gn1 ). Это соответствие является взаимооднозначным. Тогда элементам b
ся в соответствие элементы b и b. Отсюда следует, что элементу
n
Пb
i 1

j
c j b j соответствует эле-
42
n
n
j 1
j 1
мент  (  j b j )    j b j . Мы должны доказать, что подгруппа {cb j / b j  Gn 1} разлагается в прямое
произведение
П{c
b j B
bj
} , где с=с1 cb j  bj 1c1 b j . Для этого достаточно установить, что
{cb0 }  {cb j b j  b0 и b j  Gn 1}  1 .
(*)
Допустим, что имеет место такое соотношение
n

b01c1b0  Пbj 1c1 j b j , где b0  b j ,
j 1
которому соответствует следующее соотношение в Z p (Gn 1 ) :
n
b0    j b j .
(1)
j 1
После преобразований из (1) получаем
n
 (b0    j b j )  0 .
(2)
j 1
Ясно, что
n
b0    j b j  0 и   0.
j 1
Мы знаем, что Z p (Gn 1 ) без делителей нуля, поэтому соотношение (2) не выполняется, когда
n
d0    j b j  0 и   0 .
j 1
Это противоречие доказывает справедливость соотношения (*). Тем самым доказано, что подгруппа {c, Gn 1} представляется следующим образом:
{c, Gn 1}  DrGn 1 , где D 
c  c1 и cb  b1cb.
П {c },
b
bGn1
Из этого соотношения следует, что {c, Gn 1}  {c}wrGn 1. Лемма 1 доказана.
Случай леммы, когда {a} — бесконечная циклическая группа, доказывается аналогично.
Пусть  — эпиморфизм группы Gn и (Gn )  Gn , Ker   N .
Нам надо показать, что  является автоморфизмом группы Gn , когда Gn  {a}wrGn 1 , Gn 1 —
хопфова, a p  1, Z p (Gn 1 ) без делителей нуля. Для этой цели докажем следующую лемму:
Лемма 2. N  Gn 1  {1}.
Доказательство. Пусть N  Gn 1  N1 . Образуем группу {a}wr
где  — гомоморфизм группы Gn 1 на
Gn 1
N1
Gn 1
N1


. Пусть Gn 1 
Gn 1
N1
,
, тогда сможем построить отображение  :
b  b  (b) ,
ab  ab , b  Gn 1 .
Ясно, что  является гомоморфизмом группы Gn на {a}wr
Для кратности обозначим группу {a}wr
Пусть Кer  M  {N1Gn } , тогда
Gn
M
Gn 1
N1 .
через Т.
N1
 {a}wr
Gn 1
Gn 1
N , поэтому
N
.
N1 Подгруппа 1 содержится в
M  N . Отсюда имеем
Gn
M

Gn
M
N
.
M
(3)
43
G
Подгруппа N M является нормальным делителем в n
, тогда ей соответствует в группе
M
G
T  {a}wr n 1
некоторый нормальный делитель N 2 , содержащийся в базисной подгруппе группы
N1
Т, поэтому имеет место следующее соотношение:
Gn
M
.
(4)
T
N
N2
M
Известно, что
G
(Gn )  n  Gn  {a}wrGn 1 .
(5)
N
Тогда в силу соотношений (3)–(5) получаем, что
T
 {a}wrGn 1 .
(6)
N2
Пусть T  A1 
Gn 1
N1
, где A1 — базисная подгруппа. Ранее мы отмечали, что N 2  A1 . Следова-
тельно,
N2 
Gn 1
N1
 {1}.
(7)
Подгруппа N 2 , как нормальный делитель группы Т, определяет некоторый гомоморфизм  , такой, что
 (T )  T
.
(8)
N2
В силу соотношения (7) группа  (T ) представляется следующим образом:
G
(9)
 (T )  ( A1 )r   n1  .
N1 

На основании соотношения (6), (8), (9) имеем, что
G
( A1 )  n1   {a}wrGn1.
N1 

G
Поэтому группа  (T ) представляется как сплетение двух групп, причем   n 1  должно быть
N1 

верхней подгруппой. Отсюда получаем следующее соотношение:
G
G
{(a )}wr   n1   {a}wrGn1 ,где a  A1 , {(a )}  {a} и   n1   Gn1
N
N1 
1


согласно теореме 10 в [3].
G
G
Соотношение   n 1   B обозначает, что гомоморфный образ группы n 1 N изоморфен с
N1 
1

группой Gn 1 . Поэтому выполняется следующее соотношение:
Gn 1
 Gn 1 ,
N3
где N3  N1 и
N3
N1
является нормальным делителем группы
Gn 1
N1
.
Группа Gn 1 хопфова, следовательно, N 3  {1}. Из этого имеем N1  {1}. Тем самым лемма доказана.
Лемма 3. N  A.
Доказательство следует из леммы 2.
Лемма 4. (Gn )  {(ab11 ab22 abkk )}wr (Gn 1 ) .
Доказательство. Понятно, что (Gn )  ( A)  (Gn1 ). Подгруппа (Gn 1 ) содержит только элементы бесконечного порядка, потому что Z p (Gn 1 ) без делителей нуля. Подгруппа ( A) содержит
только элементы порядка р. Следовательно, ( A) (Gn 1 )  {1}. ( A) является нормальным дели-
44
adkk )
телем группы (Gn ). Тогда (Gn )  ( А)r(Gn1 ). Поэтому в ( А) найдется элемент (ad11 ad22
такой, что (Gn )  {(ad11 ad22
adkk )}wr (Gn 1 ).
Примечание. Если элемент a бесконечного порядка, то доказательство ( A)  (Gn1 )  {1} приводится следующим образом:
Пусть (( A) (Gn1 ))  d  1. Тогда (ab11 ab22 abkk )  (b) , где di  Gn 1 , b  Gn 1. Из этого соотношения
1
d1
2
d2
a a
получим
k
dk
(ab11 ab22
abkk ) =1.
Это
означает,
что
ad11 ad22
adkk b 1  h  N .
Тогда
1
a h  b  A.
Это противоречие доказывает справедливость соотношения ( A)  (Gn1 )  {1} , чего не может
быть.
Лемма 5. ( a1 )  1.
Доказательство. Если ( a1 )  1 , то для всех b  Gn 1 (ab )  1. Поэтому (Gn )  (Gn 1 ) и
Gn  Gn 1 . Такого не может быть.
Замечание. Леммы 1–5 справедливы, когда {a} - бесконечная циклическая группа.
Вернемся к доказательству теоремы 2. Пусть ad11 ad22
adee , где di  Gn 1 , согласно леммам 1 и 5
можно утверждать, что подгруппа {(a1 ), (Gn 1 )} изоморфна группе {(a1 )}wr ( B ). С другой стороны, группы {(a1 ), (Gn 1 )} и {(a1}wr (Gn 1 ) не могут быть изоморфными, т.к. (ad11 ad22
группе {(a1 ), (Gn 1 )} , а в сплетении {(a1 )}, (Gn 1 ) элемент (ad11 ad22
adee )  1 в
adee ) отличен от единицы.
Теорема доказана.
Теорема 3. Если Gn  {a}wrGn 1 и {a} — бесконечная циклическая группа, Gn 1 — хопфова
группа, Z (Gn 1 ) — без делителей нуля, то Gn — тоже хопфова группа.
Доказательство следует из теоремы 2.
Следствие 1. Если Z p (Gn 1 ) — без делителей нуля и Gn 1 — хопфова группа, то Z p (Gn 1 ) —
также хопфова группа.
Следствие 2. Если Z (Gn 1 ) — без делителей нуля и Gn 1 — хопфова группа, то Z (Gn 1 ) — тоже
хопфова группа.
Следствия 1, 2 следуют из теорем 2 и 3.
Список литературы
1. Skornjakov L.A. On the wreath produet of monoids // Univ. Algebra and Applicatione. — Warsawa, 1982. — C. 181–785.
2. Сексенбаев К. О хопфовости сплетения двух групп // Докл. АНКазССР. — №3(1971). — С. 50–54.
3. Neumann P.M. On the structure of standard wreath prodacts of groups // Math. Zeitchr. — 84(1964). — P. 343–373.