В. Е. ЗОТЕЕВ ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ

В. Е. ЗОТЕЕВ
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ
ДИССИПАТИВНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
НА ОСНОВЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Под редакцией В.П. Радченко
Москва
Машиностроение
2009
УДК 681.518
ББК 32.81
З-88
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, профессор А.И. Жданов;
д-р техн. наук, профессор П.К. Кузнецов
З-88
Зотеев В.Е.
Параметрическая идентификация диссипативных механических
систем на основе разностных уравнений / Под ред. В.П. Радченко.
– М: Машиностроение, 2009. – 344 с.: ил.
ISBN 978-5-94275-450-1
Изложены результаты теоретических и экспериментальных исследований в области математического моделирования нелинейных диссипативных механических систем. Представлены линейно-параметрические дискретные модели, связывающие в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений мгновенных значений реакции диссипативной
системы на типовые тестовые воздействия. Предложен новый эффективный
метод параметрической идентификации диссипативных механических систем, в основе которого лежит итерационная процедура среднеквадратичного
оценивания коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели в
форме стохастического разностного уравнения. Приведены результаты использования данного метода определения параметров диссипативной системы при оценке технического состояния различных механических конструкций и материалов.
Книга предназначена для научных и инженерно-технических работников, занимающихся исследованием вибрационных характеристик машин
и механизмов по экспериментальным данным с использованием современных средств вычислений и обработки информации. Книга также может быть
полезной для научных работников и аспирантов, занимающихся вопросами
математического моделирования и разработкой численных методов параметрической идентификации систем различной физической природы.
УДК 681.518
ББК 32.81
ISBN 978-5-94275-450-1
© В.Е. Зотеев, 2009
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 1. Диссипативные механические системы и методы
определения их динамических характеристик по
результатам эксперимента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Диссипативные механические системы и их динамические
характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Методы определения динамических характеристик диссипативных механических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 2. Построение линейно-параметрических дискретных моделей диссипативных механических систем . . . . . . . . . . .
2.1. Математическое описание нелинейных диссипативных систем при типовых тестовых воздействиях . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Математические модели огибающей амплитуд колебаний
нелинейных диссипативных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Математические основы и принципы построения линейно
параметрических дискретных моделей . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Линейно-параметрические дискретные модели колебаний
систем с линейно-вязким трением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Линейно-параметрические дискретные модели колебаний
систем с кулоновым (сухим) трением . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Линейно-параметрические дискретные модели колебаний
систем с турбулентным (гидродинамическим) трением . . . .
2.7. Линейно-параметрические дискретные модели колебаний
систем с нелинейными диссипативными силами общего
вида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 3. Разработка и исследование метода параметрической
идентификации диссипативных систем на основе стохастических разностных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Численный метод определения динамических характеристик
диссипативных систем на основе линейнопараметрических дискретных моделей . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Стохастические разностные уравнения, описывающие
результаты измерений колебаний диссипативной механической системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Итерационный метод среднеквадратичного оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения . . . . .
3.4. Анализ и оценка погрешности вычисления динамических
характеристик диссипативных систем на основе стохастических разностных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
11
11
22
32
33
65
72
108
113
119
122
129
129
150
172
220
3
Глава 4. Применение разностных уравнений при параметрической идентификации различных систем в машиностроении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Применение разностных уравнений при оценке технического состояния силовых элементов шасси самолета . . . . . .
4.2. Применение разностных уравнений в алгоритмах измерительных устройств цифровых осциллографов . . . . . . . . . . . .
4.3. Применение разностных уравнений в задачах обнаружения
некачественной сборки деталей прессованием . . . . . . . . . . .
4.4. Определение параметров кривой ползучести на основе стохастических разностных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Определение параметров передаточной функции на основе
разностных уравнений, описывающих кривую разгона объекта управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 5. Синтез специализированных устройств для определения динамических характеристик диссипативных систем на основе разностных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . .
Библиографический список. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
241
241
246
247
262
278
314
333
ПРЕДИСЛОВИЕ
Для успешного развития всех отраслей промышленности и экономики в целом требуется постоянное решение комплекса проблем,
связанных с разработкой и внедрением новых технологий в отечественном машиностроении. Эти новые прогрессивные технологии
предполагают создание и эффективное функционирование научно
спроектированных систем наблюдений и измерений с использованием оценочных процедур идентификации, прогнозирования и принятия решений на всех этапах существования механической системы от
проектирования и изготовления до монтажа, эксплуатации и ремонта.
Современные механические системы (МС) – это сложные машины и конструкции, отдельные и взаимодействующие механизмы, их
узлы и детали, а также конструкционные материалы, применяемые в
машиностроении. Основными тенденциями развития МС являются
увеличение их мощности и быстродействия, усложнение внутренней
структуры и технологичности, уменьшение шумов и вибраций, снижение металлоемкости и габаритов при высокой динамической нагруженности, возрастание функциональной, а в ряде случаев и социальной, ответственности МС. Всѐ это требует повышения надежности и долговечности МС, внедрения эффективных систем менеджмента качества выпускаемой машиностроительной продукции на основе оперативной и достоверной информации о текущем состоянии
механической системы и обнаружения дефектов на ранней стадии их
возникновения.
Таким образом, проблема качественных изменений в машиностроении неразрывно связана с проблемой оценки технического состояния механической системы в процессе ее эксплуатации, при
прочностных или других испытаниях. В этой связи важнейшей задачей является удачный выбор диагностического признака технического состояния МС. Во многих случаях таким информативным признаком служат динамические характеристики (ДХ) механической системы [14, 21, 70, 87, 115, 116, 133]. Результаты многочисленных исследований на конкретных примерах подтверждают непосредственную связь между техническим состоянием различного рода механических систем (например, усталостным разрушением материалов,
возникновением и развитием микротрещин в деталях, появлением
недопустимых люфтов в узлах конструкций, значительным износом
5
контактирующих поверхностей, технологическим браком при сборке
и т.п.) и динамическими характеристиками системы. Оценке демпфирующих свойств конструкционных материалов посвящены работы
[24, 93, 96]. Связь усталостной прочности деталей машин с параметрами петли механического гистерезиса можно найти в [116]. Результаты теоретических и экспериментальных исследований по вибродиагностике и прогнозированию долговечности двигателей и взлетнопосадочных устройств летательных аппаратов представлены в работах [12, 70]. Большое количество работ посвящено оценке технического состояния газотурбинных двигателей и их узлов на основе анализа их динамических характеристик [17, 69]. Взаимосвязь прочности и долговечности узлов и деталей автомобиля с параметрами возбужденных в них колебаний рассматриваются в [99].
Динамические характеристики, выполняя функции диагностического признака технического состояния механической колебательной
системы, описывают ее внутренние свойства. Широкий спектр ДХ
включает временные импульсные и переходные характеристики
(время переходного процесса, время затухания колебаний, величина
перерегулирования и т.п.), частотные характеристики (амплитудночастотная, фазочастотная, амплитудно-фазовая частотная характеристики), параметры колебательной системы (собственные и резонансные частоты, коэффициенты демпфирования, поглощения и потерь,
декремент колебаний и т.п.), характеристики нелинейности системы
(характеристика нелинейности восстанавливающей силы, степень
нелинейности силы трения, параметры петли гистерезиса), статистические характеристики вибросигнала (функция и плотность распределения, дисперсия, интенсивность и энтропия вибросигнала, коэффициенты эксцесса и асимметрии, квантили распределения и др.)
[32]. Такое многообразие динамических характеристик обуславливает разработку и использование различных по своей природе, трудоемкости и точности методов оценки ДХ по результатам мониторинга
механической системы в процессе ее эксплуатации или испытаний.
В настоящее время существуют различные подходы и способы
определения динамических характеристик механической колебательной системы [16, 32, 95]. Среди них лидирующее место занимают высокоэффективные методы вибродиагностики, ориентированные на применение современных средств и алгоритмов вычислений и
обработки информации, например, методы цифрового спектрального
6
анализа, методы корреляционного анализа на основе стохастических
параметрических моделей временных рядов [32, 71, 86].
Однако область применения этих методов существенно ограничена кругом задач, в которых основным диагностическим признаком
технического состояния механической системы является характеристика рассеяния колебательной энергии, в том числе характеристика
нелинейности диссипативной силы, например, показатель степени в
n 1
уравнении r  y  by y , описывающем сопротивление, пропорциональное n -ной степени скорости движения системы при частотнозависимом трении, или в уравнении    An1 , описывающем зависимость рассеиваемой энергии колебаний (площади петли гистерезиса) от их амплитуды
A , а также в уравнении
y2
, которое описывает замкнутую петлю гистеA2
резиса, где  и n – постоянные конструкции, причем  – коэффициент, зависящий как от материала и вида конструкции, так и от
формы колебаний, а n зависит только от материала [92, 93]. Такие
задачи возникают, в частности, при разработке гидравлических
амортизаторов, исследованиях конструкционного демпфирования, то
есть демпфирования, обусловленного потерями на трение в неподвижных соединениях (прессовых, заклепочных, резьбовых, шлицевых и т.п.), или внутреннего трения в материале при его циклическом деформировании.
Широко применяемые на практике методы определения характеристик рассеяния энергии колебаний различных механических
конструкций и демпфирующих свойств материалов совершенно не
вписываются в формат современных информационных технологий,
применяемых в вибродиагностике. Как правило, эти методы громоздки, нередко требуют графических построений, применяемые
алгоритмы вычислений построены на детерминированных моделях и
используют минимально необходимое число точек эксперимента при
полном отсутствии процедур, связанных со статистической обработкой результатов наблюдений.
Таким образом, необходимость коренного улучшения качества
машиностроительных конструкций требует разработки и применения
при диагностике технического состояния большого класса МС высокоточных, оперативных методов определения динамических харакN  y   cy  An 1 
7
теристик, в том числе характеристик нелинейности механической
системы как диагностического признака ее технического состояния,
методов, соответствующих современному уровню компьютеризации
и автоматизации исследований динамических процессов в машинах и
механизмах. Основой разработки таких методов могут стать стохастические параметрические модели временных рядов, описывающие
результаты наблюдений колебаний диссипативной системы в дискретные моменты времени, коэффициенты в которых известным образом связаны с динамическими характеристиками системы.
Настоящая монография посвящена вопросам синтеза и анализа
линейно-параметрических дискретных моделей, описывающих в
форме стохастических разностных уравнений результаты наблюдений мгновенных значений ординат колебаний нелинейных диссипативных механических систем, а также разработке и исследованию
численного метода определения динамических характеристик МС,
ориентированного на современный уровень компьютеризации и автоматизации исследований динамических процессов в машинах и
механизмах и позволяющего обеспечить высокую помехозащищенность оценок ДХ, существенно повысить их точность и оперативность вычисления по сравнению с известными классическими методами определения характеристик рассеяния энергии колебаний механической системы.
Монография состоит из пяти глав. В первой главе рассматриваются математическое описание нелинейных диссипативных механических систем и их динамические характеристики, которые наиболее
часто используются при оценке технического состояние МС, а также
систематизируются и анализируются известные методы определения
динамических характеристик.
Вторая глава посвящена разработке и математическому описанию класса линейно-параметрических дискретных моделей (ЛПДМ),
описывающих в рекуррентной форме временные последовательности
мгновенных значений ординат колебаний нелинейных диссипативных систем. В первой части второй главы рассматривается математическое описание в форме решений квазилинейных дифференциальных уравнений колебаний диссипативных систем при типовых
тестовых воздействиях. Формируются и исследуются уравнения огибающих амплитуд колебаний систем с кулоновым (сухим), линейновязким и турбулентным (гидродинамическим) трением, а также нелинейных систем с диссипативными силами, пропорциональными n 8
ной степени скорости движения, и систем с гистерезисным трением.
Вторая, основная часть этой главы посвящена разработке математических основ и принципов построения линейно-параметрических
дискретных моделей. Рассматривается два подхода к формированию
ЛПДМ. В основе первого подхода лежат специального вида функции
и математический аппарат линейной (матричной) алгебры. Основу
второго подхода к построению ЛПДМ составляет z - преобразование. В заключительной части второй главы подробно описываются и
систематизируются линейно-параметрические дискретные модели
колебаний систем с линейно-вязким, кулоновым, турбулентным трением, а также систем с диссипативными силами общего вида и систем с гистерезисным трением. Приводятся соотношения и формулы,
связывающие ДХ диссипативных систем с коэффициентами соответствующих линейно-параметрических дискретных моделей.
Третья глава посвящена разработке и описанию нового метода
определения динамических характеристик нелинейной диссипативной системы, в основе которого лежит среднеквадратичное оценивание коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели. В
первой части этой главы описывается алгоритм метода параметрической идентификации нелинейной диссипативной механической системы на основе ЛПДМ, анализируются его этапы и рассматриваются
основные проблемы, возникающие при его реализации. Второй часть
третьей главы посвящена построению и систематизации линейнопараметрических дискретных моделей, описывающих в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений мгновенных значений колебаний диссипативной системы при различных типовых воздействиях. Здесь же для каждого типа ЛПДМ описываются
элементы соответствующей обобщенной регрессионной модели, в
том числе элементы матрицы линейного преобразования случайной
аддитивной помехи в результатах наблюдений. В третьей части этой
главы рассматривается итерационный метод среднеквадратичного
оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения.
Исследуются его сходимость и эффективность по сравнению с классическим методом наименьших квадратов. В заключительной части
третьей главы проводится поэтапный анализ процесса формирования
результирующей погрешности вычисления ДХ на основе итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов
стохастического разностного уравнения, выявляются основные составляющие погрешности вычисления динамических характеристик
9
и рассматриваются способы из уменьшения. Поэтапно описывается
процедура статистической оценки погрешности результата вычислений ДХ, приводятся необходимые формулы для расчетов, а также
результаты численно-аналитических исследований достоверности и
корректности предлагаемой методики оценки погрешности и полученных соотношений.
В четвертой главе приводятся примеры применения линейнопараметрических дискретных моделей, описывающих в форме стохастических разностных уравнений результаты наблюдений мгновенных значений динамического процесса, в задачах параметрической идентификации различных систем в машиностроении.
Пятая глава посвящена синтезу специализированных устройств
для определения динамических характеристик диссипативных систем на основе разностных уравнений. В ней приведены блок-схемы
устройств для измерения декремента колебаний в системах с линейно-вязким и турбулентным трением, показателя затухания в системах
с турбулентным и кулоновым трением. Представлены соответствующие временные диаграммы, поясняющие работу устройств.
Автор выражает благодарность доктору физ.-мат. наук, профессору В.П. Радченко за ряд полезных советов и замечаний, а также за
большую помощь при подготовке этого издания. Кроме того, автор
считает своим долгом выразить благодарность доктору технических
наук, профессору В.К. Семенычеву за поддержку на начальном этапе
решения проблемных задач, входящих в предмет исследования данной монографии.
10
1. ДИССИПАТИВНЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
И МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИХ ДИНАМИЧЕСКИХ
ХАРАКТЕРИСТИК ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ЭКСПЕРИМЕНТА
1.1. Диссипативные механические системы и их
динамические характеристики
Большой класс механических систем образуют системы, в которых происходит диссипация (рассеяние) энергии колебаний, возбужденных в системе тем или иным образом. Причем обычно за время
затухания число колебаний достаточно велико (десятки, сотни), т.е.
выполняется условие малой диссипации.
Математические модели диссипативных систем традиционно
строятся на основе описания действующих в системе сил (моментов
сил). Такой подход приводит в общем случае к матричному нелинейному дифференциальному уравнению относительно обобщенных
координат [16, 32, 92]
   
 
M ss y  R y, y  Css y  P,
(1.1)
где M s s и C s  s – матрицы коэффициентов инерции и упругости
 
 
размерностью s  s  ; R y, y  r  y, y, i  1, 2,, s
– векторi 

функция диссипативных сил; y и P – вектора размерностью s
обобщенных координат и внешних возмущающих сил, соответственно; s – число степеней свободы системы.
При малой диссипации колебательной энергии система (1.1) является квазилинейной. Следовательно, при выполнении соответст 
вующих условий (дифференцируемости функций ri  y, y, i  1, 2,, s,
и невырожденности матриц BS S и C S S ) допускается линеаризация
 
вектор-функции R y, y :
 

 
R y, y B
y  C y  D,
ss
ss


r1 , r2 ,, rs 
r1 , r2 ,, rs 
и Cs s 
– матрицы Якоби.
 y1 , y2 ,, ys 
 y1 , y2 ,, ys 
Условие малой диссипации (слабой нелинейности), которое в
этом случае математически может быть описано формулой
где Bs  s 
11
M B 
1
2
M 1 C  C 
 1,
позволяет принять гипотезу Базеля, т.е. пренебречь диссипативными
связями между собственными формами и считать матрицу M 1B
диагональной [16, 32]. Это означает, что при указанных ограничениях математическая модель диссипативной МС может быть представлена системой скалярных, нелинейных в общем случае, дифференциальных уравнений вида
m yt   ryt , yt   c yt   Pt ,
(1.2)
где m и с – масса и коэффициент жесткости; cy t  – линейная сила
упругости (восстанавливающая сила); r  yt , yt  – внутренняя, в
общем случае нелинейная, диссипативная сила (сила трения), обуславливающая рассеяние энергии колебаний на данной собственной
c
, P t  – внешнее возбуждающее воздействие.
частоте 0 
m
При малой диссипации энергии колебаний уравнение (1.2) является квазилинейным, а динамический процесс в системе представляет собой затухающие по амплитуде колебания с частотой близкой к
собственной частоте системы   0 .
С учетом действующих на систему сил модель диссипативной
механической системы можно представить в виде структурной схемы, изображенной на рис. 1.1.
В зависимости от природы диссипативных сил (внутреннее трение в материале, конструкционное трение в опорах, шарнирах, сочленениях, силы сопротивления жидкой и газообразной среды, силы,
возникающие с нагружением поглотителей энергии и т.п.) различают
частотно-зависимое и частотно-независимое трение [11, 16, 32, 92,
93]. При частотно-зависимом трении (например, в различных демпфирующих устройствах), как правило, полагают, что диссипативные
силы пропорциональны n–ной степени скорости движения:
n 1
ryt , yt   byt  yt  , а дифференциальное уравнение, описывающее движение таких систем, имеет вид [11, 16, 92]
n 1
(1.3)
myt   byt  yt   cyt   Pt .
12
восстанавливающая сила
c
cy t 
сила инерции
1
m
P t 
диссипативная сила
y t 
y t 
my t 
внешнее воздействие


y t 
частотно-зависимое трение
r  y  by y
r  y, y 
n1
r  y 
y
частотно-независимое
(гистерезисное) трение
ry
ry
y
Р и с. 1.1. Структурная схема нелинейной диссипативной
механической системы
При n = 0, 1 и 2 имеем уравнения, описывающие важнейшие для
практики частные случаи движения систем с кулоновым (сухим), линейно-вязким и турбулентным (гидродинамическим) трением:
yt 
m yt   b
 c yt   Pt ,
(1.4)
yt 
m yt   b yt   c yt   Pt ,
(1.5)
m yt   b yt  yt   c yt   Pt .
(1.6)
Частотно-независимое трение (например, внутреннее трение в
материалах, конструкционное трение в опорах и формально неподвижных соединениях) обусловлено гистерезисными явлениями, возникающими при знакопеременной скорости движения системы [16,
32, 92, 93]. При исследовании свободных и установившихся вынуж13
денных колебаний систем с гистерезисным трением установлено, что
энергия, рассеиваемая за цикл колебаний, практически не зависит от
формы петли гистерезиса, но вполне определяется ее площадью [92,
93]. При описании закона изменения силы гистерезисного трения
r  y  (формы петли гистерезиса) обычно отдают предпочтение эллиптической форме (см. рис. 1.2) [93]:
r  y   sign y   t  
b

an 1 
y2
,
a2
1, при y  t   0,

где а – амплитуда колебаний, sign y  t    0, при y  t   0,

 1, при y  t   0.
N  cy  r  y 

b

an 1
b

y2
a2
cy
an
a
y
Р и с. 1.2. Гистерезисная спираль при свободных или установившихся
вынужденных колебаниях механической системы
При этом очевидно, что гистерезисная сила, а следовательно, и
рассеиваемая энергия W, не зависят от частоты процесса:
W  ba n 1 , где b и n – постоянные, зависящие от материала и типа
конструкции. Уравнение, описывающее свободные ( Pt   0 ) или
установившиеся вынужденные ( Pt   P0 sin ω p t ) гармонические колебания систем с частотно-независимым (внутренним гистерезисным) трением, имеет вид [93]
14
y2
 c y  t   P  t  . (1.7)

a2
В рассматриваемом классе диссипативных систем позиционные
(восстанавливающие) силы считаются упругими, то есть пропорциональными отклонению системы: Q  cy , где с – коэффициент жесткости.
В правой части уравнений (1.3) и (1.7) функция P(t) описывает
действующее на механическую систему внешнее возбуждающее воздействие. Законы изменения вынуждающих сил, распространенных в
расчетной практике, рассматриваются в [16]. Среди них наиболее
часто используются:
 идеальное ударное воздействие, представляющее собой мгновенный импульс энергии, приложенный к системе в момент t  0 , математически может быть описано  – функцией:
m y   t   b sign y   t  
an
1

P  t     t    при t  0,
0 при t  0,

   t  dt  1;

 ступенчатое (единичное) воздействие Pt   P0 0 t  , предполагающее мгновенное изменение (скачок) энергии на входе системы от
исходного (нулевого) до нового (единичного) уровня, где

при t  0 ,
 0  t   0,
1, при t  0 .
В первом случае в диссипативной системе имеет место режим
свободных колебаний, во втором – переходный режим.
Математические модели колебаний в форме дифференциальных
уравнений (1.3) и (1.7) в общем случае нелинейные (за исключением
частного случая при n = 1, соответствующего линейному дифференциальному уравнению (1.5)) и адекватно описывают динамические
процессы в области низких частот до 200 Гц. В диапазоне более высоких частот необходимо учитывать распределенность параметров
механической системы.
Известные способы построения решений нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих свободные колебания диссипативных механических систем, условно можно разделить на две
группы: методы, в основе которых лежит представление решения в
виде асимптотических разложений по малому параметру [16, 83, 89,
92], и методы, базирующиеся на решении уравнения энергетического
15
баланса в системе [11, 16, 92, 93]. Оба подхода используют условие
малой диссипации энергии колебаний, предполагают вид решения в
форме
y  t   a  t  cos  t   0 
(1.8)
и тем самым сводят исходную задачу к определению функции огибающей амплитуд колебаний a  t  , приводя при этом к идентичным
результатам.
Уравнение свободных колебаний систем с диссипативными силами, пропорциональными n-ной степени скорости движения, имеет
вид [11, 92]
a0
y t  
cos  t   0  , (1.9)
n 1
b

n

1
n 1 1  n  1 a
J nt
  0
2 c
где a0 и  0 – соответственно амплитуда и фаза колебаний в начальный момент времени t = 0.
Значения интеграла в формуле (1.9)
2
Jn 
 sin 
n 1
d ,
(1.10)
0
как функции от n, приведены в табл. 1.1, а график функции
J n  J  n  представлен на рис.1.3.
Таблица 1.1
Значения параметра
Jn
n
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Jn
4,00
3,77
3,58
3,42
3,27
3,14
3,03
2,92
n
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
Jn
2,83
2,75
2,67
2,60
2,53
2,47
2,41
2,37
При n = 0, 1 и 2 из (1.9) соответственно получаем

2b  
y  t    a0 
t  cos  t   0  ,
c 

y  t   a0 e
16

b
t
2m
cos t   0  ,
(1.11)
(1.12)
a0
(1.13)
cos t  0  .
4b
1
a0t
3 m
Уравнение свободных колебаний систем с гистерезисным (частотно-независимым) трением имеет вид [92, 93]
a0
(1.14)
y t  
cos t   0  .
b

n

1
n 1 1   n  1
a0 t
2 c
При решении нелинейных
Jn
уравнений (1.3) и (1.7) с правой частью P  t   P0 sin  p t (гармоничеy t  
3,5
3,0
ское возбуждение) методом энергетического баланса получены зависимости амплитуды установившихся колебаний y  t   a cos  p t  0 
2,5
от их частоты  p [11, 92, 93]. В ча-
2,0
0,0
1,0
2,0
n
Р и с. 1.3. График функции J n
стности, эта зависимость для систем с трением, пропорциональным
n-ной степени скорости движения,
описывается функцией в неявном
виде
P0
c
a  p  
,
(1.15)
n 1 2
2


  p2   b p J n  a  p   
1  2   

c
   


где  – собственная (резонансная) частота системы.
Так, например, в случае турбулентного трения при n = 2,
J 2  2,667 и из формулы (1.15) имеем
2
17
a  p  
P0
c
 
1 
 
2
p
2
  8b a  p  

  

3 c
 

2
2
p
2
.
Решив биквадратное уравнение относительно a  p  , получаем
выражение для амплитуд колебаний
4
2
  p2  256 P0b2 p4   p2 
a  p  
 1  2  .
1  2  
  
9 2 c3
8 2b p2
  


Для систем с гистерезисным трением зависимость амплитуды
установившихся колебаний от частоты имеет вид [92]
P0
c
a  
.
(1.16)
3 c
 
p
2
n 1


    b  a  p   
1 
  

c
   


Определение и классификация динамических характеристик колебательных систем даны в [16, 32]. При описании свойств нелинейных диссипативных систем наиболее часто используются частотные
характеристики, диссипативные характеристики и характеристики
нелинейности системы.
В практике исследований диссипативных систем с одной степенью свободы широко применяются следующие частотные характеристики [11, 16, 32, 92, 93, 96]:
c
– собственная частота системы 0 
, которая характериm
зует частоту свободных колебаний системы в отсутствии диссипативных сил. С учетом упругости (линейности) восстанавливающей
силы собственная частота постоянна в течение всего времени затухания колебаний;
– резонансная частота  рез , соответствующая частоте гармо2
p
2
2
нического возбуждения системы, при которой амплитуда колебаний
имеет наибольшее значение. При малой диссипации колебательной
18
энергии собственная и резонансная частоты практически совпадают с
частотой  свободных колебаний системы: 0   рез   ;
– ширина резонансного пика  на уровне половинной мощности сигнала, характеризующая потери энергии колебаний в системе.
Для линейной диссипативной системы величина  соответствует
2
от максимального значения ампли2
0,707
туды, а декремент колебаний вычисляется по формуле   
.
0
К основным диссипативным характеристикам механических
систем относятся [11, 16, 32, 92, 93, 96]:
W
– коэффициент поглощения  
, который характеризует
W
относительную величину рассеяния энергии W за цикл колебаний,
ca 2
где W 
– амплитудное значение потенциальной энергии, c –
2
жесткость системы;
– коэффициент демпфирования h, который характеризует темп
относительного затухания колебаний в единицу времени, в общем
случае является функцией времени, и, следовательно, зависит от амплитуды колебаний. Для линейных систем коэффициент демпфироb
вания есть величина постоянная h 
. Для описания диссипатив2m
ных свойств линейной колебательной системы с одной степенью
свободы используется также относительный коэффициент демпфирования  , равный отношению коэффициента демпфирования к его
уровню, составляющему  
c
, которое соответствует переm
ходу затухающих колебаний к апериодическому (монотонному)
движению механической системы;
– логарифмический декремент колебаний . Это традиционная и
наиболее часто применяемая в практике исследований характеристика диссипации энергии. В общем случае для нелинейных систем декремент колебаний зависит от амплитуды свободных колебаний и ха-
критическому значению hкр  0 
19
рактеризует темп относительного затухания за период колебаний.
Декремент колебаний определяется выражением [11, 16, 32, 92, 96]:
a
(1.17)
  ln i ,
ai 1
где a i и ai 1 – две последующие амплитуды колебаний в начале и
конце i–того периода (цикла) колебаний.
При известном законе изменения амплитуд колебаний a t  декda T
ремент колебаний вычисляется по формуле [92]:     , где
dt a
2
– период колебаний.
T

Для систем с диссипативными силами, пропорциональными
n-ой степени скорости движения, (частотно-зависимым трением),
зависимость декремента колебаний от амплитуды имеет вид [11, 32,
92]:
 a  
b n
J n a n 1 ,
c
(1.18)
2
где параметр J n описывается формулой: J n 
 sin
n 1
d
0
В частности, для систем с кулоновым трением n  0 :
 a  
4b
;
ca
(1.19)
для систем с линейно–вязким трением n  1 :

b
T;
2m
(1.20)
для систем с турбулентным трением n  2
8b
 a   a .
(1.21)
3m
При гистерезисном (частотно–независимом) трении декремент
колебаний описывается формулой [92, 93]
20
 a   a n1 .
b
c
(1.22)
В частности, при n  1 декремент колебаний не зависит от их амплитуды.
Графики амплитудной зависимости декремента колебаний при
различных значениях n представлены на рис. 1.4.


8,0


n  0,5
n  0,5 n  0,0
n  0,0
1,5
6,0
n  1,0
1,0
4,0
2,0
0,0
n  1,5
n  1,0
n  2,0
0,5
n  1,5
n  3,0
n  2,0
n  3,0
0,2
0,4
0,6
а
0,8
a
a0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
a
a0
б
Р и с. 1.4. Графики зависимости приведенного декремента колебаний от относительной амплитуды свободных колебаний при
различной
нелинейности
диссипативной
силы:
а - частотно-зависимое трение, б - частотно-независимое трение
Для оценки демпфирующих свойств механических систем используются и другие характеристики, например, коэффициент затухания , коэффициент потерь , тангенс угла потерь tg  0 , добротность системы Q [16, 32, 92]. Однако эти характеристики являются
производными от основных и связаны с ними формулами:
2
2 h 
   ,  
  2  2 tg  0 ,  
.

Q
4 2   2
Большое значение при исследовании механической системы
имеет оценка степени ее нелинейности. Для систем с частотнозависимым трением основным параметром, характеризующим нелинейность системы, является показатель степени скорости движения
системы n. Для систем с гистерезисным (частотно-независимым)
трением показатель нелинейности n имеет другой физический смысл
21
– он является геометрическим параметром петли гистерезиса, определяя ее площадь, то есть величину рассеиваемой за цикл колебаний
энергии W.
Не менее важной характеристикой нелинейности механической
системы является амплитудная зависимость декремента колебаний
 a  , которая может быть получена экспериментально на основе
анализа огибающей амплитуд свободных колебаний с использованием формулы (1.17). Кривые амплитудной зависимости декремента
колебаний являются диагностическим признаком, так как позволяют
визуально определить момент качественного изменения типа нелинейности системы, а, следовательно, и ее технического состояния,
например, в процессе эксплуатации или ресурсных испытаний [70,
96].
1.2. Методы определения динамических характеристик
диссипативных механических систем
Обзор известных методов определения динамических характеристик диссипативных механических систем [16, 22, 32, 76, 85, 95,
96, 108] целесообразно проводить на основе анализа функциональных возможностей и области эффективного применения для каждого
метода. При таком подходе, во-первых, следует обратить внимание
на эффективность применения метода к существенно нелинейным
системам, анализируя методическую составляющую погрешности,
обусловленную линеаризацией диссипативной силы. Во-вторых, необходимо позиционировать метод по его возможности оценки степени нелинейности механической системы, как важнейшего диагностического признака ее технического состояния. В-третьих, рассматривать тот или иной метод следует с учетом современного уровня
развития средств вычислений и обработки информации, обращая
внимание на степень адаптации метода к требованиям компьютеризации и автоматизации экспериментальных исследований.
Систематизация известных методов в зависимости от способа
определения динамических характеристик и области описания диссипативной системы позволяет выделить следующие группы методов: методы, основанные на непосредственном определении характеристик рассеяния колебательной энергии; методы, использующие
описание динамических систем в частотной области; методы, использующие описание динамических систем во временной области, и
22
методы, в основе которых лежат стохастические модели временных
рядов и корреляционный и спектральный анализы.
К методам, основанным на непосредственном определении ДХ,
обычно относят следующие методы.
Метод определения собственной частоты в режиме свободных
колебаний [16]. Определение собственной частоты  0 квазилинейной диссипативной системы с одной степенью свободы состоит в
измерении любым из известных способов и технических средств частоты  свободных колебаний. При этом принимают: 0   .
Энергетический метод и метод гистерезисной петли [96]. Эти
методы наиболее распространены среди методов, основанных на непосредственном измерении потерь энергии в колебательной системе.
Они, как правило, требуют дополнительных затрат на постановку и
проведение эксперимента, обладают невысокой точностью и поэтому
нашли ограниченное применение.
Среди известных методов определения динамических характеристик, основанных на описании динамической системы в частотной
области, можно выделить методы спектрального анализа и один из
традиционных способов оценки демпфирующих свойств механической системы – метод «кривой резонанса» [16, 96].
Метод «кривой резонанса» использует зависимость ширины резонансного пика амплитудно-частотной характеристики перемещения от величины диссипативной силы. Известны соотношения, учитывающие нелинейный характер сил трения [96]:
 p   k

0
,
1
2

2
 B1  a p   
1

  ,
B1 a  
r  y, ysin  d ,
где
k    1  

m
B
a




1
p

0

 

 p – декремент колебаний, соответствующий резонансной амплитуде

a p ;  – ширина резонансного пика на уровне, составляющем  –
часть   1 максимальной амплитуды при резонансе a p (рис.1.5);
r  y, y – некоторая нелинейная функция, описывающая диссипативную силу (силу трения) в системе; y  a cos ,   t  .
23
В системах с гистерезисным трением при степенной зависимости декремента колебаний от амплитуды (1.22) независимо от формы
k
петли гистерезиса коэффициент
принимает значения

[96].
1   2n
k 
Для обычно используемых уровней резонансного пика   0,5 и

2
 0,707 коэффициент k принимает вид k0,5 
2
2n 1
22 n  1
,
2n 1
.
k0,707 
2n  1
Параметр n , характеризующий сте-
a
ap
a p
пень нелинейности системы, определяется из выражения [96]
  2

0, 5




ln

2

 0,707 


.
n

1

Р и с. 1.5. Резонансный
ln 2
пик амплитудно-частотной
Для систем с линейно вязким тренихарактеристики
перемеем n  1 из (1.14) получаются известщения
диссипативной
ные расчетные зависимости [16, 32]:
механической
системы
0, 707
 0,5
p 

, p 
. (1.23)
0
3 0
О погрешности оценки декремента колебаний системы с гистерезисным трением по формулам (1.23) можно судить по рис.1.6.
К недостаткам данного метода следует отнести его невысокую
точность, а также необходимость построения экспериментальной
резонансной кривой посредством возбуждения колебаний с постоянной амплитудой возбуждающей силы.
Методы спектрального анализа [30, 32, 73, 86] и тесно связанные с ними корреляционные методы позволяют идентифицировать
динамические системы по спектральным характеристикам входных и
выходных сигналов. Эти методы универсальны, хорошо себя зарекомендовали, однако применение их при анализе моногармонических
0

24
колебаний нелинейных диссипативных механических систем, в том
числе систем с гистерезисным трением, зачастую нецелесообразно,
так как они используют линеаризованную модель динамической системы, требуют значительных вычислительных затрат и приводят к
большим ошибкам смещения при
использовании формул (1.23)
,%
[32].
В то же время методы спек  0,707
30
трального оценивания нашли широкое применение при модальном
анализе сложных механических
20
конструкций, описываемых линейными моделями с n степенями
  0,5
свободы. При этом часто возни10
кает проблема различимости
  0,25
близких по частотам мод колебаний. Пути решения этой задачи на
1
2
0
n
основе методов параметрического
Р и с. 1.6. Зависимость погрешноспектрального анализа рассматсти от параметра n при определении декремента колебаний систем риваются в [79, 80, 94, 118, 119].
Традиционно методы, оснос гистерезисным трением
по
линейным формулам
ванные на описании динамической системы во временной области, являются основными методами определения динамических
характеристик нелинейных диссипативных систем. К ним относятся
метод затухающих колебаний, метод, использующий преобразования
Гильберта, методы, основанные на идентификации коэффициентов
дифференциального уравнения (с оговоркой, что эти методы могут
быть использованы и в частотной области) и наиболее перспективные методы на основе стохастических моделей временных рядов,
использующие корреляционный и спектральный анализы.
Метод затухающих колебаний [16, 85, 95, 96] является одним из
наиболее распространенных методов определения декремента колебаний и его амплитудной зависимости. Он лежит в основе различных
технических устройств для определения характеристик демпфирования [8, 85, 90, 130] и заключается в анализе огибающей амплитуд
колебаний по экспериментальной виброграмме (рис. 1.7). В основе
метода лежит формула
25

1
a
ln i .
N ai  N
(1.24)
где N – число периодов в заданном перепаде амплитуд колебаний a i
и ai  N .
Существуют
различные
схемы
проведения
экспеa i ai ai  N
римента и соответствующие им алгоритмы вычислений. Например, фиксируются два уровня амплиt
туды (обычно отличающиеся
между
собой в 2 раза) и
N jT
подсчитывается чисN 3T
N mT
N1T N 2T
ло колебаний N в
Р и с. 1.7. Виброграмма свободных затухающих заданном интервале
колебаний и схема ее обработки
амплитуд [90, 130].
Основные недостатки такого способа в том, что, во-первых, за один цикл испытаний
можно получить лишь одно значение характеристики демпфирования; во-вторых, по сути, принимается экспоненциальная модель огибающей амплитуд колебаний, что для нелинейных систем может оказаться принципиально неприемлемым. При этом исключена возможность оценки характеристик нелинейности системы. При декрементах колебаний более 10% погрешность такого способа превышает
20% [8].
Более совершенным является способ, при котором вся виброграмма свободных колебаний разбивается на ряд участков с числом
циклов N, зависящим от интенсивности убывания амплитуд
(см. рис.1.7); при этом обычно огибающая аппроксимируется многочленом [8, 96].
Вычисленный по (1.24) декремент колебаний приписывается
y t 
ср
j
средней амплитуде на данном участке aicp 
ai  ai  N
. Такой подход
2
позволяет построить амплитудную зависимость декремента колеба26
ний, то есть оценить степень нелинейности системы. Недостатком
метода является потеря точности вычислений за счет применения
амплитудных детекторов, принципиально небольшого числа измерений, используемых при вычислении одной оценки декремента колебаний, и игнорирования в алгоритме вычислений, априорно известной функциональной модели огибающей амплитуд колебаний.
Максимальная погрешность при вычислении декремента колебаний определяется по формуле [96]
h
  %  102 i ,
 ai
где hi – абсолютная ошибка в измерении i–того размаха колебаний;
ai  ai  ai  N . Очевидно, что при малых значениях декремента колебаний и невысокой точности измерения амплитуд погрешность
может составлять десятки процентов.
В [16] рассматривается способ оценки параметров b и n нелинейной диссипативной силы, пропорциональной n-ой степени скорости движения, по огибающей экспериментальной виброграммы свободных колебаний. Применяемый при этом алгоритм использует
графические построения и дает приемлемые результаты только в ограниченной области изменения оцениваемых параметров.
Метод, использующий преобразование Гильберта, [16, 31, 32]
основан на использовании результатов вычислений мгновенных значений огибающей амплитуд свободных колебаний с помощью интегрального преобразования Гильберта [32]:
at   y 2 t   yг2 t  , где yг t   
1


y 
   t d .

Техническая реализация преобразования Гильберта осуществля-
ется с помощью фильтра с импульсной характеристикой t  . В
режиме нормального функционирования системы, когда входное
возмущение, в первом приближении, описывается моделью нормального белого шума, можно воспользоваться интегральным преобразованием Гильберта корреляционной функции процесса колебаний
[32].
По сути, это усовершенствованный метод затухающих колебаний, позволяющий повысить точность оценки диссипативных характеристик за счет существенного увеличения числа всех точек, дис1
27
кретно отображающих свободные колебания (по сравнению с числом
пиковых точек).
Методы, основанные на идентификации коэффициентов дифференциальных уравнений [37, 68, 108, 126], позволяют определять
матрицы массы, демпфирования и жесткости в общем случае многомерной механической системы по экспериментально снятым частотным характеристикам или временным записям возмущений и реакций системы. При этом обычно модель механической системы принимается в виде линейного дифференциального (в общем случае
матричного) уравнения, что при анализе существенно нелинейных
систем недопустимо. В [108] рассматриваются методы идентификации параметров нелинейных систем по временным реализациям, однако при этом нелинейное демпфирование должно быть описано в
виде линейной комбинации известных функций, а задача сводится к
определению коэффициентов этих комбинаций. Несмотря на хорошую теоретическую и алгоритмическую разработку этих методов,
применение их при оценке параметров нелинейных диссипативных
систем ограничено, во-первых, необходимостью располагать информацией не только о перемещениях, но также о скоростях и ускорениях, и, во-вторых, случаями, когда линейная модель колебаний заведомо неприемлема.
Методы на основе стохастических моделей временных рядов [7,
35, 71, 81, 86, 132] обычно используются при определении собственных частот и форм колебаний линеаризованных динамических систем с n степенями свободы [86], в том числе, при оценке частоты и
декремента колебаний одно-модальной линейной диссипативной
системы в режиме свободных колебаний [7, 71]. В основе метода лежат детерминированные экспоненциальные модели в форме разностных уравнений, учитывающие присутствие аддитивного шума в результатах наблюдений. На первом этапе с помощью известных статистических методов анализа временных рядов вычисляются коэффициенты в разностном уравнении. Затем находятся комплексные
экспоненты, определяющие относительные коэффициенты демпфирования и собственные частоты. Для этого используется метод Прони, а при моногармонических колебаниях – непосредственно соотношения, полученные в [7].
Методы на основе стохастических моделей временных рядов,
использующие корреляционный и спектральный анализ, являются
наиболее перспективными методами определения динамических ха28
рактеристик диссипативных механических систем. Основное их преимущество заключается в использовании статистических методов
параметрической идентификации систем, что позволяет обеспечить
помехозащищенность и вычислительную устойчивость оценок коэффициентов стохастических разностных уравнений, а, следовательно, и динамических характеристик системы. При этом возможность
формирования выборок достаточно больших объемов гарантирует
высокую точность даже при использовании простых, но надежных
методов статистической обработки, например, метода наименьших
квадратов. К достоинствам этих методов можно отнести и простоту
реализации необходимых режимов функционирования механической
системы, возможность одновременного определения, как собственной частоты, так и диссипативных характеристик, а также их ориентацию
на
применение
в
современных
информационновычислительных комплексах экспериментальных исследований машин и механизмов.
Практически единственным, но принципиально важным для
анализа нелинейных диссипативных систем, недостатком этих методов является то, что они используют линеаризованные модели механической системы. Используя эти методы невозможно оценить степень нелинейности реальной диссипативной системы, так как в соответствующих стохастических моделях временных рядов априорно не
заложена информация о нелинейной природе сил трения.
Завершая краткий обзор наиболее распространенных в практике
эксперимента методов определения динамических характеристик
диссипативных механических систем, можно сделать следующие выводы.
Во-первых, практически все применяемые при экспериментальных исследованиях методы предполагают линеаризацию математической модели, описывающей в той или иной форме динамический
процесс в диссипативной механической системе. Это проявляется в
использовании либо линейного дифференциального уравнения, либо
экспоненциальной модели огибающей амплитуд колебаний, что является одним из источников систематической погрешности в оценках
динамических характеристик (погрешность, связанная с неадекватностью модели), а для систем с сильной нелинейностью вообще не
допустимо.
Во-вторых, методы, использующие линеаризованные модели
колебаний механической системы, принципиально не позволяют
29
оценить степень нелинейности действующих в системе сил трения,
то есть практически бесполезны в задачах идентификации одного из
основных диагностических признаков технического состояния диссипативной системы.
В-третьих, наиболее распространенным режимом функционирования системы при определении демпфирующих характеристик являются ее свободные колебания, обусловленные ударным воздействием на систему. Этот режим прост в реализации, а соответствующая
ему импульсная характеристика используется в основных алгоритмах идентификации диссипативной системы. Однако в реальных механических системах свободные колебания устанавливаются не
мгновенно, а в течение некоторого промежутка времени. Такого рода
переходный режим обусловлен инерционностью источника возбуждения и, при ее соизмеримости с инерционностью исследуемой системы, движение последней в значительной степени определяется
именно переходным режимом. При этом применение известных методов зачастую приводит к неверным результатам, особенно при обработке начального участка виброграммы. В первую очередь это относится к системам с относительно большим демпфированием (не
более десятка колебаний за время их полного затухания) и является
признаком ограниченности функциональных возможностей известных методов.
Для расширения функциональных возможностей методов целесообразно в математических моделях входное воздействие считать в
первом приближении монотонной (возрастающей или убывающей)
функцией, например, линейно изменяющейся или экспоненциальной.
Полученные при этом уравнения, разрешенные относительно обобщенной координаты и соответствующие переходному режиму,
должны лечь в основу новых алгоритмов обработки экспериментальных виброграмм. Такой подход, заключающийся в уточнении математической модели, позволит повысить не только точность, но и быстродействие определения динамических характеристик за счет возможности обработки начальных участков виброграмм, а также исследовать системы с высоким коэффициентом демпфирования.
В-четвертых, большинство из известных методов за время одной
реализации затухающих колебаний не предусматривает получение
избыточного числа измерений, используемых для вычисления одной
оценки динамических характеристик (например, метод резонансной
кривой, метод затухающих колебаний). Тем самым исключается воз30
можность обеспечения помехозащищенности этих оценок за счет
применения статистических методов обработки экспериментальных
данных.
В-пятых, алгоритмы вычислений, предполагают достаточно
громоздкие промежуточные графические построения (например, резонансной кривой, частотных характеристик, виброграммы свободных колебаний) [16, 32, 96] или функциональные дополнительные
преобразования колебаний с помощью различных технических устройств (преобразования Гильберта [31, 32], выделение огибающей
колебаний с помощью амплитудных селекторов [8, 90, 130]). Во всех
случаях это вносит дополнительные погрешности в результаты вычислений оценок динамических характеристик и не способствует
эффективному применению вычислительной техники при экспериментальных исследованиях.
Таким образом, анализ известных методов параметрической
идентификации диссипативных механических систем позволяет сделать вывод о том, что эти методы не отвечают в полной мере тем
возросшим требованиям, которые современное машиностроение
предъявляет к их точности, быстродействию и функциональным
возможностям, в том числе, связанных с оценкой степени нелинейности системы. Наиболее перспективными в этом отношении являются методы, в основе которых лежат параметрические модели временных рядов, описывающие результаты измерений колебаний системы. Они в большей степени, чем другие, соответствуют современному уровню и тенденциям развития вибродиагностики и позволяют
обеспечить помехозащищенность оценок динамических характеристик за счет применения статистических методов обработки результатов наблюдений на базе компьютеризации экспериментальных исследований.
31
2. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНЕЙНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ
ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ ДИССИПАТИВНЫХ
МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В основе метода параметрической идентификации нелинейных
диссипативных механических систем лежат линейно-параметрические дискретные модели (ЛПДМ), которые в форме стохастических
разностных уравнений описывают результаты измерений реакции
системы на типовое тестовое воздействие. Построение линейнопараметрических дискретных моФизическая модель диссипативной
делей предполагает изучение, анамеханической системы
лиз и систематизацию известного
математического описания диссиМатематическая модель в форме
пативных систем (а при необходиобыкновенного дифференциального
мости – разработку такого описауравнения, описывающего реакцию
системы на типовое тестовое возния) в форме обыкновенных дифдействие
ференциальных уравнений и их
решений, непосредственно описыМатематическая модель в форме
вающих динамический процесс в
непрерывной функции, описываюсистеме. Основные этапы матемащей решение ОДУ при заданных
начальных условиях
тического моделирования диссипативных механических систем,
Линейно-параметрическая дискретпоследовательная реализация коная модель в виде рекуррентной
торых необходима для разработки
формулы
метода параметрической идентификации на основе стохастических
Линейно-параметрическая
дисразностных уравнений, представкретная модель в форме стохастилены на рис. 2.1. Математическое
ческих разностных уравнений
описание нелинейных диссипативных систем в форме обыкновенСтохастическое
Стохастическое
ных дифференциальных уравнений
разностное
разностное
уравнение,
уравнение,
разработано в достаточно полном
описывающее
описывающее
объеме и представлено в [11, 16,
результаты наэквивалентное
32, 92, 93, 96]. Приближенные реблюдений
случайное
шения таких дифференциальных
возмущение
уравнений обычно рассматриваютР и с. 2.1. Схема математического ся для режимов свободных и вымоделирования
нужденных гармонических коле32
баний. При других типовых тестовых воздействиях, как правило, используется принцип суперпозиции решений, что не всегда оправдано
в силу нелинейности системы и приводит к искажению математической модели.
2.1. Математическое описание нелинейных диссипативных
систем при типовых тестовых воздействиях
При экспериментальных исследованиях динамических характеристик диссипативной механической системы одной из важнейших
задач является выбор наиболее эффективного испытательного воздействия и методов обработки результатов наблюдений на входе и
выходе системы. Критериями такого выбора могут служить трудоемкость, энергоемкость и длительность испытаний, стоимость организации эксперимента, а также оперативность и точность результатов получения и обработки экспериментальной информации. Определение динамических характеристик диссипативной системы по
результатам наблюдений, полученных в ходе научно-технических
или прочностных промышленных испытаний, наиболее просто реализуется при подаче на вход системы типовых тестовых воздействий. К основным детерминированным тестовым воздействиям традиционно относят ударное импульсное воздействие и моногармоническое воздействие со сканирующей частотой [32].
Важнейшей характеристикой ударного импульсного воздействия является длительность его действия. Идеализацией бесконечно
короткого по времени импульсного воздействия является дельтафункция. При импульсном испытании диссипативной системы отказ
от измерения входного воздействия возможен благодаря малой длительности действия импульса по сравнению с длительностью процесса свободных колебаний. При этом режим свободных колебаний,
то есть реакция системы, наблюдаемая с момента исчезновения импульса, представляет собой импульсную характеристику системы
при некоторых произвольных начальных условиях. На практике, для
того чтобы обоснованно отказаться от измерения и анализа входного
импульса, достаточно обеспечить величину длительности импульса
не более  0,05  0,1 f 01 , где f 0 – максимальная собственная частота
системы [32].
33
Применение моногармонических входных воздействий является
одним из наиболее распространенных режимов испытаний диссипативных систем. Подавая на вход системы моногармоническое воздействие известной частоты и измеряя отношение амплитуд и сдвиг
фаз между входом и выходом, можно построить экспериментальные
амплитудные и фазовые частотные характеристики системы. При
этом важен рациональный выбор скорости и закона сканирования
частоты входного сигнала [32].
При разработке математического описания в режимах, отличных
от свободных и установившихся вынужденных колебаний, следует
задать некоторый класс F функций, описывающих многообразие заданных входных воздействий P(t). При этом будем исходить из двух
предпосылок.
Во-первых, следует ориентироваться на типовые тестовые воздействия, распространенные в практике экспериментальных исследований [16]. Во-вторых, функции из класса F с целью учета инерционности источника возбуждения должны соответствующим образом аппроксимировать идеальное импульсное (t) и ступенчатое
P0 0  t  воздействия на некотором промежутке времени tп.п. (время
переходного процесса в системе возбуждения). Таким требованиям в
первом приближении отвечают монотонные непрерывные и ограниченные на [0, tп.п] функции.
Целесообразность той или иной аппроксимации будет зависеть
от соотношения ДХ исследуемой системы и инерционности источника возбуждения. При относительно малой инерционности, когда за
время tп.п. система может совершить не более одного колебания, возбуждение можно классифицировать как импульсное или ступенчатое
воздействие. В противном случае для описания воздействия целесообразно использовать одну из функций, принадлежащих классу F.
Указанными свойствами обладают следующие функции [16]:
P

0t  0 ,
 t ,

(2.1)
P t   
P
0
P ,
t ,
 0

 t 
P  t   P0 1  e
,


34
(2.2)

 2 t 2
P  t   P0 1  e


,

(2.3)
 P0 
 
1  cos t  ,

P  t    2 
 
P ,
 0

 P0   t ,
P t   
0 ,

P  t   P0 e
 t
P  t   P0 e
 2 t 2
0  t ,
(2.4)
  t,
0t 
P0

P0

,
(2.5)
 t,
,
(2.6)
,
 P0 

 1  cos
P t    2 

0 ,

(2.7)

t ,

0  t ,
(2.8)
  t.
Представленные функции (2.1)–(2.8) не исчерпывают всего многообразия F ,но просты и в первом приближении достаточно хорошо
учитывают инерционность источника возбуждения. Функции (2.1)–
(2.4) (кривые 1–4 на рис. 2.2, б) имеют положительную производную
и могут быть использованы при аппроксимации процесса приложения энергии к системе, тогда как функции (2.5)–(2.8) (кривые 5-8 на
рис. 2.2, в) имеют отрицательную производную и могут быть использованы при аппроксимации процесса снятия воздействия.
Идеальные импульсное и ступенчатое воздействия описываются
разрывными функциями, которые не содержатся в классе непрерывных функций. Однако для Р(t)=0 и P(t)=P0 из F и при соответствующих начальных условиях уравнение (1.2) описывает свободные колебания и реакцию системы на ступенчатое воздействие. Следовательно, известные математические модели свободных колебаний
(1.9) и (1.14) будут описываться более общими решениями уравнений (1.3) и (1.7), как частные случаи при Р(t)=0.
35
P 0σ 0
P(t)
3
1
2
4
P0
P0
0
Θ
0
t
t
б
а
P(t)
P0
7 5
0
6
в
8
Θ
t
Р и с. 2.2. Графики функций, описывающих типовые тестовые воздействия: а – скачкообразное ступенчатое; б – монотонно возрастающие
функции, описывающие тестовые воздействия воздействие; в –
монотонно убывающие функции, описывающие тестовые воздействия
Для системы с частотно-независимым трением более традиционно описание рассеяния энергии колебаний выражением
W  ba n1 , чем уравнением петли гистерезиса. Это связано с тем,
что для многих материалов экспериментально установлено: мерой
диссипации служит площадь петли гистерезиса, а форма петли роли
не играет [16, 92, 93]. С учетом простоты решения соответствующего
уравнения обычно отдают предпочтение эллиптической форме петли
[92]. Однако такая модель гистерезисного трения и соответствующее
y2
, справедливы только

a2
для режимов свободных или установившихся вынужденных колебаний, когда изменение направления движения системы происходит
через каждую половину периода колебаний.
Рассмотрим задачу конкретизации функции r(y), описывающей
гистерезисную силу в дифференциальном уравнении (1.2), при воздействиях Р(t) из класса F.
ей уравнение r  y   sign  y  t   
36
b
an 1 
Малая диссипация энергии колебаний обуславливает квазилинейный характер дифференциального уравнения (1.2) и выбор его
решения в форме суперпозиции гармонической и монотонной составляющих [16, 83, 92]
y  t   a  t  cos  t   0   Q  t  ,
(2.9)
где а(t) – уравнение огибающей амплитуд колебаний;  – частота
колебаний; 0 – начальная фаза колебаний при t = 0; Q(t) – уравнение
вынужденной составляющей в решении (2.9). При воздействиях на
систему из класса F функция Q(t) также будет принадлежать классу
монотонных непрерывных функций.
Для любого временного интервала, равного периоду колебаний
2
, в силу малой диссипации энергии справедливы соотношеT

ния
 T
Q  t   Qt  Qt  t   ,
(2.10)
2

где Qt соответствует значению Q(t) в середине рассматриваемого инT
тервала (при t  ), Qt  const . При этом
2
a  t   at  const ,
y  t   at  sin  t   0   Qt .
(2.11)
Qt
 1 , физическая интерпреat 
1. Пусть выполняется условие
тация которого означает, что система совершает движение в двух
противоположных направлениях, а отклонение силы упругого сопротивления от линейности может быть представлено в форме двух
криволинейных ветвей, образующих петлю гистерезиса.
Введем новую переменную   t   0 . Тогда для любого интервала изменения этой переменной длиной 2 формулы (2.9) и
(2.11) с учетом (2.10) принимают вид
y    at cos   Qt 
y    at sin  
Qt

Qt

  0    ,
(2.12)
.
37
На основании (2.12) находим, что функция y() принимает эксQ
k
тремальные значения в точках k   1 arcsin t   k ,
k Z .
at 
Будем рассматривать динамику системы на интервале
 0 , 0  2  , из чего следует (с учетом t = 0 в начале интервала),
что 0 = 0. При этом y()<0 при 0    1 , и y()>0 при
Q
1    0  2 , где 0  arcsin t и 1    0 .
at 
Значения функции y() в экстремальных точках  0 , 1 и
0  2 соответственно равны:
2
 Q 
T
y 0   at 1   t   Qt  Qt ,
2
 at  
2
 Q 
Q
Q
y 1    at 1   t   Qt  2 t arcsin t ,

at
 at  
2
 Q 
T
y 0  2   at 1   t   Qt  Qt .
2
 at  
Равенство y 0  2   y 0   QtT означает, что петля гистерезиса при Qt  0 имеет спиQ
N
0  arcsin t
ралеобразную форму (см.
at 
рис. 2.3 при Qt  0 ), вследствие линейного перемещения
системы за цикл колебаний
на величину QtT . При
r2
QtT  0 (режим свободных
cy
r1
колебаний или реакция сисQ/tT
темы на ступенчатое воздействие) гистерезисная спираль
y(π-φ0)
y(φ0) y(φ0+2π)
y вырождается в замкнутую
Р и с. 2.3. Гистерезисная спираль при петлю гистерезиса (см. рис.
переходных режимах в колебательной 1.2).
системе
При
аналитическом
38
описании гистерезисной силы r(y) за основу примем эллиптическую
форму криволинейных ветвей [92]. При этом геометрические размеры гистерезисной спирали (см. рис. 2.3) (большая полуось yt и координата yt центра эллипса) будут зависеть от направления движения системы, и определяться формулами:

t
y 
yt 
y 0   y 1 
2
y 0   y 1 
2
2
 Q 
Q 
Q  
 at 1   t   t  arcsin t   ,

at  2 
 at  
 Qt 
Qt  
Qt 
  arcsin

2
at  
при отрицательном направлении, и формулами:

t
y 
yt 
y 0  2   y 1 
2
y 0  2   y 1 
2
2
 Q 
Q  
Q 
 at 1   t   t   arcsin t  ,
2
at 
 at  
 Qt 
Qt  
Qt 
  arcsin

2
at  
при положительном направлении движения.
С учетом предложений Давиденкова Н.Н. и Сорокина Е.С. [92],
независимо от направления движения системы малую ось эллипса
max r  y   r  yt   r  yt  выберем пропорциональной n-ой степени
наибольшего отклонения Qt обобщенной координаты от вынужденной составляющей (в точках 1,3 и 5 кривой y   на рис. 2.4):
Q 
T


Qt  y 0    Qt  Qt   y 1    Qt  2 t 0  
2
 


2
 Q 
T

 y 0  2    Qt  Qt   at 1   t  .
2

 at  
Тогда, объединив в одну формулу уравнения, описывающие нижнюю (при y     0 ) и верхнюю (при y     0 ) ветви гистерезисной
спирали r(y), получаем:
r  y   sign  y   t   
b

2
 a
n
t
 y  yt 
1 
 ,
 yt 
(2.13)
39
y
y
5
1
1
2
-1
4
r(y) 1

2
0
-1
2
4

3
2
3
2 φ
3
a
y
4
y
4
3
3
2
2
/
1/
1
3
r(y)
5
/
4 5
1
2/
1
2
-1
0

2
/
1
б
y 5/
3

3
2
2 φ
y
7
7
6
5
6
5 4
r(y)
4
/
5
4
4
4
3
3
2 1′, 2′, 3′
2
1
1
1, 2, 3
0
в

2
-1
1

3
2
Р и с. 2.4. График гистерезисной петли при различных значениях
а–
40
Qt
Q
Qt
1
 ; в– t  1
 0 ; б–
 at 2
 at
 at
2 φ
Qt
 at
:
2
 Q 
Q 
Q 

где  at  at 1   t  , yt  Qt  t  sign  y   t     arcsin t  ,

2
at  
 at  
2
 Q 
Q 
Q 

yt  at 1   t   t  sign  y   t     arcsin t  .

2
at 
 at  
(2.14)
На рис. 2.4 представлены графики гистерезисной петли в систеQt
1.
ме переменных  , y   , r  y  при различных значениях
at 
При
Q
 0 (см. рис. 2.4, а), что соответствует режиму свободных
at 
колебаний системы, смещение за цикл колебаний отсутствует (точка
1 совпадает с точкой 5), петля гистерезиса замкнута, max r  y   1 .
При
Qt
1
 (см. рис. 2.4, б)
at 
2
max r  y  
гистерезисной спирали, которая при
3
, петля имеет форму
2
Qt
 1 (см. рис. 2.4, в) выроat 
ждается в прямую r(y) = 0. При этом смещение (расстояние между
точками 1 и 5) составляет QtT .
Пусть выполняется условие
Qt
 1 (система совершает двиat 
жение только в обратном направлении). Тогда функция y    знакопостоянна на любом произвольном периоде колебаний, причем
sign  y t   sign Q t  . В этом случае гистерезисные явления в
системе отсутствуют и r(y) = 0.
Таким образом, в переходных режимах диссипация энергии колебаний, обусловленная гистерезисным трением, происходит только
Qt
 1 . При этом дифференциальное уравнение колепри условии
at 
баний системы с гистерезисным трением (частотно-независимым)
при входных воздействиях P(t) из класса F имеет вид
41
 y t   y t  
1 
  P t  , (2.15)
  y  t  
2
my  t   cy  t   sign  y  t  
b

a  t 
n
где  a  t  , y  t  и y(t) – описываются формулами (2.14).
Уравнение (2.15) обобщает известную математическую модель
(1.7), которая является частным случаем при P(t) = 0 и Qt  0 .
Разработка математических моделей нелинейных диссипативных систем в форме уравнений, разрешенных относительно обобщенной координаты, предполагает, во-первых, решение (в общем
случае – приближенное) соответствующих дифференциальных уравнений. Во-вторых, в тех случаях, когда полученные приближенные
решения описываются достаточно сложными функциями, целесообразно (а иногда просто необходимо) рассмотреть и реализовать возможность упрощения (аппроксимации) этих функций с учетом заданной тем или иным образом меры приближения (адекватности).
Прежде чем приступить к решению нелинейных дифференциальных уравнений (1.3) и (2.15) при входных воздействиях P(t) из
класса F, приведем эти уравнения к безразмерному виду. Введем
масштабные множители
c
Mt 
 ,
My  c.
m


Тогда переход от старых переменных t , y  t   к новым t, u t 
будет осуществляться по формулам t  M t t  и
u  M y y , а уравне-
ние (1.2) в безразмерной форме примет вид
u  t   u t    f  u t  , u t   F t  ,
(2.16)
 u t  M t

 t 
,
u t   , F  t   P 
где , f u  t  , u   t    r 
.
 M y M y

 Mt 
В частности, для систем с диссипативными силами, пропорциональными п -ной степени скорости движения, имеем:
u  t   u  t    u  t   u  t 
n

2
где   bc m
42
n

2
n 1
 F t  ,
(2.17)
 b n c  n , а для систем с гистерезисным трением при
выполнении условия
Qt
 1 получаем:
at 
 u t   u t  
1 
  F t  ,
 u  t  
2
u  t   u  t    sign u  t     a  t 
n
(2.18)
b
,
 cn
2

a  t   a  t  1   Qt  ,
 a t  






Qt 

,
u  t   Q  t   Qt  sign u   t   arcsin
2
a  t  



2

 Qt 

Qt 

  Qt  sign u   t   arcsin
.
u  t   a  t  1  
2
a  t  

 a t  

В безразмерных координатах частота колебаний  =1 (T=2).
При n = 0, n = 1 и n = 2 из (2.18) получаем (как частный случай)
уравнения в безразмерной форме, описывающие колебания систем
соответственно с кулоновым, линейно-вязким и турбулентным трением при воздействиях F(t), принадлежащих классу F монотонных
функций:
где  
u  t   u  t   
u  t 
 F t  ,
u  t 
u   t   u  t    u   t   F  t  ,
 b ,

b
cm
,
(2.19)
(2.20)
b
.
(2.21)
cm
Следующим шагом при разработке линейно-параметрических
дискретных моделей, описывающих результаты измерений мгновенных значений колебаний нелинейных диссипативных механических
систем с силами трения, пропорциональными п-ной степени скорости движения, а также с гистерезисным трением, является решение
дифференциальных уравнений (2.17) - (2.21).
u t   u t    u t  u t   F t  ,  
43
Одним из наиболее эффективных способов приближенного решения дифференциальных уравнений, описывающих колебания нелинейных диссипативных систем, является метод энергетического
баланса [11, 92, 93]. В основе метода лежит уравнение, связывающее
изменение энергии системы с работой всех действующих в системе
сил за один цикл колебаний. Изменение энергии (потенциальной и
кинетической) в системе (2.16) происходит под действием двух сил:
внешней возбуждающей F(t) и внутренней силы трения –  f  u , u   .
За счет последней в системе происходит диссипация (рассеяние)
энергии, проявляющееся в затухании колебаний.
Пусть произвольному моменту времени t =  соответствует интервал    ,    , равный периоду колебаний. Согласно закону
сохранения энергии за время равное периоду колебаний Т = 2 изменение потенциальной П и кинетической Т энергий в системе
должно уравновешиваться суммой работ внешней возбуждающей
силы АF и внутренней диссипативной силы Аf :
Af AF
П T
,
(2.22)



2 2
2
2
где П 
u2 t 
2
 
– изменение потенциальной энергии за период
 
u   t  
колебаний; T  
2
2  
– изменение кинетической энергии за
 
период колебаний; Af  
 
f u  t  , u   t   u   t dt

 
– работа сил тре-

 
ния за период колебаний; AF 
 F  t  u   t  dt
– работа внешней
 
силы за период колебаний.
В силу малой диссипации энергии в нелинейной системе (малом
значении параметра ) уравнение (2.16) является квазилинейным, и
его решение (закон движения системы) будем искать в виде
u  t   a  t  cos  t   0   Q  t  ,
(2.23)
44
где a(t) – уравнение огибающей амплитуд колебаний, Q(t) – уравнение монотонной составляющей решения, 0 – начальная фаза колебаний. В силу произвола выбора момента времени t = , не нарушая
общности подхода, можно положить 0 = 0.
Из квазилинейности уравнения (2.16) следует, что функция Q(t)
принадлежит тому же классу F монотонных функций, что и функция F(t). Вследствие малой диссипации энергии колебаний на произвольно выбранном интервале времени    ,    , монотонные
функции Q(t) и F(t) могут быть линеаризованы: Q  t   Qt  Qt  t    ,
F  t   Ft  Ft  t    , где Qt и Ft – значения функций Q(t) и F(t) в
середине интервала при t = , а Qt и Ft  – постоянные на данном
отрезке времени. Тогда на    ,    функция u(t) и ее производная могут быть представлены в виде
u  t   a  t  cos  t       Qt  Qt  t    ,
u   t   a  t  cos  t       a  t  sin  t       Qt .
Условие малой диссипации энергии колебаний позволяет рассматривать исходную задачу с позиций методов возмущений (асимптотических разложений) [89]. При таком подходе уравнение (2.16)
является возмущенным, а его решение (2.23) может быть представлено в виде разложения по малому параметру .
Так как сила трения  f  u , u    O    , то работа этой силы и
обусловленные ею потери энергии W за цикл колебаний также есть
величина порядка : A f  O    . Поэтому целесообразно использовать разложение первого порядка и в уравнении энергетического баланса (2.22) считать значимыми только члены, величина которых
имеет порядок не более чем . Из формул, связывающих потери
энергии за цикл колебаний, коэффициент поглощения  и декремент
колебаний [92, 93], следует, что at  O    . Следовательно, членами,
содержащими  at  O  2  , можно пренебречь. Это позволяет существенно упростить решение задачи с точностью до величины порядка . Так как
a
a
a
 t  ln t   t   t 2 ,
at  2
at
at
45
at 
 
2
  at
  O    . Это означает, что на произвольном
4 
at 
периоде колебаний с точностью до  функция a(t) также может быть
линеаризована:
a  t   at  at  t    , t      ,    .
С учетом указанных допущений получаем
то at  
П 
u2 t 
2
u   t  
T  
2
 
 
 
2
1
  a  t  cos  t       Qt  Qt  t   

2
 
 2  atat  atQt  at Qt  Qt Qt  ;
2  
 
 
1
  a  t  cos  t       a  t  sin  t       Qt
 0;
2
 
 
AF
 F  t   a  t  cos  t       a  t  sin  t       Qt  dt 
2  
 atFt  at Ft   QtFt .
Тогда уравнение энергетического баланса (2.22) принимает вид
 f
(2.24)
atat  atQt  at Qt  Qt Qt 
 atFt  at Ft   QtFt .
2
Полученное соотношение обобщает известное уравнение энергетического баланса для режима свободных колебаний [11, 92, 93], вытекающее из (2.24) при Ft  Qt  0 .
Рассмотрим нелинейные системы (2.17) с диссипативными силами, пропорциональными п-ной степени скорости движения. С учетом условия  at  O  2 и принятых выше допущений при вычисле-
 
нии f можно положить: u   t   at sin  t       Qt . Тогда получаем:
Af
2

n 1
Q
  
 n1 2



u
t
u
t
u
t
dt

at   sin   t
  

2  
2
at
0
  t     . Отсюда имеем
Af
 n1
n 1

at J  n,    Qt ,
2
2
J
n
,

где функция 
 определяется формулой
46
n 1
d , где
(2.25)
J  n,   
2

 sin   
n 1
d  2 
n 1
0
, 
Qt
.
at
(2.26)
Функция J(n,) является обобщением интеграла Jn (1.10) , применяемого в моделях свободных колебаний нелинейных систем
[11, 92]. В табл. 2.1 представлены рассчитанные по (2.26) значения, а
на рис. 2.5 изображена криволинейная поверхность, описываемая
функцией J  n,   при 0  n  2,5 и 0    1,0 . Изолиния  = 0 (первая строка табл. 2.1) в сечении поверхности является графиком зависимости интеграла J n от показателя нелинейности диссипативной
системы (см. рис. 1.3).
Таблица 2.1
Значения функции J(n,α) для моделей колебаний систем
с диссипативными силами, пропорциональными n–степени
скорости движения
α
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
n=0,0
4,00
3,39
2,82
2,30
1,81
1,37
0,98
0,63
0,34
0,12
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
n=0,5
3,50
3,34
3,09
2,82
2,54
2,26
2,00
1,77
1,56
1,38
1,26
1,18
1,12
1,07
1,02
0,98
0,95
0,92
0,89
0,87
0,84
n=1,0
3,14
3,14
3,14
3,14
3,14
3,14
3,14
3,14
3,14
3,14
3,14
3,14
3,14
3,14
3,14
3,14
3,14
3,14
3,14
3,14
3,14
n=1,5
2,88
2,95
3,12
3,38
3,68
4,02
4,38
4,75
5,11
5,46
5,78
6,09
6,38
6,65
6,91
7,16
7,40
7,64
7,86
8,08
8,30
n=2,0
2,67
2,78
3,10
3,59
4,21
4,94
5,76
6,64
7,55
8,48
9,42
10,37
11,31
12,25
13,19
14,14
15,08
16,96
16,96
17,91
18,85
n=2,5
2,50
2,65
3,09
3,80
4,76
5,95
7,33
8,88
10,59
12,44
14,40
16,48
18,67
20,95
23,32
25,78
28,33
33,68
33,68
36,47
39,33
47
n
J(n,α)
2,5
2,0
1,5
4 0,5
2
0
0,2
1,0
0,4
0,6
0,8
1,0
α
Р и с. 2.5. Криволинейная поверхность, описываемая функцией J(n,α)
Рассмотрим режим, соответствующий движению системы после
затухания в ней колебаний (установившийся режим). В этом случае:
Af
n 1
a(t) = 0, at  t   0 , а
  Qt . Тогда уравнение энергетического
2
баланса принимает вид
n 1
Qt Qt   Qt  QtFt .
Оно имеет два решения: Qt = const и Qt  Ft   sign Qt Qt . Первый случай означает отсутствие изменения энергии в системе за период колебаний и самостоятельного интереса не представляет. Во
втором случае, с учетом линейности на рассматриваемом промежутn 1
ке    ,    функций Q  t  и F  t  , имеем Qt   Qt Qt  Ft и
n
Qt  Ft  . Следовательно,
Qt  Ft   sign  F t Ft .
n
(2.27)
При Ft   0 решение (2.27) включает в себя, как частный случай,
Qt  Ft  const .
С учетом (2.27) с точностью до O    уравнение энергетического баланса (2.24) принимает вид:
48
at  
 n
at J  n,  .
2
(2.28)
При условии J  n,   = const уравнение (2.28) имеет решение
a0

, при n  1,


n 1
n

1
a0 J  n,   t
 1   n  1
a t   
(2.29)
2



 a0 exp  
J  n,   t  ,
при n  1 ,

 2

F
где J  n,   определяется по (2.26) при   t .
a0
Таким образом, колебания систем с диссипативными силами,
пропорциональными п-ной степени скорости движения, при переходных режимах описываются формулой  n  1 :
a0
u t  
n 1

1   n  1
J  n,  a0n 1t
2
cos  t   0  
 F  t    sign  F   t   F   t  .
n
(2.30)
Рассмотрим описание функции J  n,   для частных случаев,
соответствующих колебаниям систем с кулоновым, линейно-вязким
и турбулентным трением.
Для систем с кулоновым трением (n = 0) функция J  n,   описывается выражением: J  n,  
2
  sin    d  2 
. При   1
0
справедливо равенство
   sin     , 0    1,

(2.31)
 sin     
1    0  2 ,

 sin    ,
где 0  arcsin  , 1    0 .
С учетом периодичности подынтегральной функции промежуток
интегрирования  0;2  можно заменить на 0 ;0  2  .
49
0
0  2
1
1
Тогда J 0       sin     d 
   sin     d  2 

 4cos0  40  2   4 1   2  4 arcsin   2  .
При   1 имеем  sin     sign    sin     . Тогда полу2
чаем J 0    sign      sin     d  2   0 .
0
Таким образом, для систем с кулоновым трением функция
J  n,   описывается выражением
4 1   2 4  arcsin   2  , при   1,
J 0    
(2.32)
при   1.
0,
При линейно-вязком трении (n = 1) функция J  n,   не зависит
от величины  и равна
J1   
2
   sin    
2
d  2    .
2
(2.33)
0
Рассмотрим системы с турбулентным трением (n = 2). Функция
(2.26) в этом случае принимает вид J 2   
2
  sin   
3
d  2  .
3
0
При   1 с учетом выражения (2.31) имеем
2
  sin   
0

3
0
d     sin     d 
3
0  2
   sin    

1
3
d 
1
2
3

4  11 2  cos 0  4    2 0.

3
2

Тогда J 2   
2
3
3

4  11 2  1   2  4    2  arcsin   2  .

3
2

2
При   1 : J 2    sign      sin     d  2   3  .
3
3
0
Таким образом, для систем с турбулентным трением функция
J  n,   определяется формулой
50
2
3
3
2
2
2
  4  11  1    4     arcsin   2  , при   1,
(2.34)
J 2     3
2

3  ,
при   1.

Полученные решения обобщают известные результаты. В частном случае (при  = 0) из (2.32)–(2.34) вытекают значения интеграла
J n (1.10), применяемого при описании свободных колебаний систем
с кулоновым
 J0  4 ,
линейно-вязким
 J1   
и турбулентным
8

 J 2   трением [27, 32, 34].
3

Уравнения колебаний систем при переходных режимах в частных случаях, соответствующих кулоновому, линейно-вязкому и турбулентному трению, принимают вид



u  t    a0 
J 0t  cos  t   0   F  t    sign  F   t  , (2.35)
2



2

Ft 
4 1   Ft    4 Ft  arcsin Ft   2 Ft  , при
 1,

a0 
a0
a0
a0
a0

где J 0  

Ft 
при
1 ,
0,
a0

  
u  t   a0 exp   t  cos  t   0   F  t  ,
(2.36)
 2 
2
a0
u t  
cos  t  0   F  t    sign  F   t    F   t  , (2.37)

1
a0 J 2t
2
2
2
2
 



 2  4  11 Ft   1   Ft    4 Ft   3   Ft    arcsin Ft  
3 
a0  2  a0  
a0
 a0  
 a0 


 
3

F
Ft

1 ,
где J 2   2 t ,при
a
a
0
0


3 Ft  , при Ft 1 .

a0
a0

51
Рассмотрим системы с гистерезисным трением, колебания которых при переходных режимах описываются уравнением (2.15). Гистерезисная сила, обуславливающая диссипацию энергии колебаний
Q
системы при t  1 , определяется выражением
at
 u t   u t  
 f  u, u  r  u   sign u  t  a n  t  1  
 ,
 u  t  
Qt
 1 r u   0 .
где a  t  , u  t  и u  t  находятся по (2.14). При
at
2
При замене переменной   t     с учетом найденного ранее
соотношения u   t   at sin  t       Qt получаем:
1, при 0    1 ,

sign u     1, при 1    0  2 ,
 0, при      ,
0
1


Q
где 0  arcsin t , 1    0 .
a0
Не нарушая общности рассмотрения, для простоты изложения,
работу, совершаемую гистерезисной силой r  u  , вычислим на периоде колебаний 0 , 0  2  . При этом, очевидно, что уравнение
энергетического баланса для указанного интервала описывается тем
же самым выражением (2.24).
Используя принятые ранее допущения о линеаризации на промежутке    0 , 0  2  функций Q    Qt  Qt   0    ,
F    Ft  Ft   0    и a    at  at   0    , получаем:
Af


atn
2
2

 0  2
u 1 

0
 u    ut 
sign u     1  
 u    d  
 ut 
2
2
 u  u1 


atn    1  
 du 
 u  
2
u1 


0
52
u  0  2  

u 1 
2

 u  u2 
1 
 du  ,
 u2 

2
 Q 
at  at 1   t  ,
 at 
u 1   at  Qt  2Qt0 ,
где
 

u1  Qt  Qt    0  ,
2





u1  at  Qt    0  ,
 2

При
замене
переменной
u 0   at  Qt  Qt ,
u 0  2   at  Qt  Qt ,


u2  Qt  Qt   0  ,
2





u2  at  Qt   0  .
2

u u
имеем
v
du  udv
u
и v 0   v 0  2   1 , v 1   1 .
Тогда:


4
 f
2

1
1



 atn   u1  1  v2 dv  u2  1  v 2 dv  
2
1
1


 a   u1   u2  
n
t

2
n 1
t
a
  Q  2 
1   t  
  at  
Обозначим:
J   n,    1   2 
n
2

n
2
2


 1   Qt   Qt arcsin Qt  .

at
at 
 at 



1   2  arcsin  ,

Qt
.
at
(2.38)
В табл. 2.2 представлены значения функции J   n,   при
0  n  2,5 и 0    1,0 , а на рис. 2.6 изображена криволинейная поверхность, описываемая этой функцией. При  = 0 (первая строка
табл. 2.2) из (2.38) следует, что J    . Таким образом полученное
соотношение обобщает известный результат [11, 92, 93].
С учетом (2.38) получаем
  n 1
 at J   n,   , при
 f  2

2

при
0 ,

Qt
 1,
at
Qt
 1.
at
(2.39)
53
Таблица 2.2
Значения функции JГ(n,α) в моделях колебаний систем
с гистерезисным трением
α
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
n=0,0
3,14
3,15
3,16
3,18
3,20
3,24
3,28
3,34
3,40
3,47
3,54
3,63
3,73
3,83
3,95
4,08
4,22
4,37
4,54
4,72
4,93
n=0,5
3,14
3,14
3,15
3,16
3,17
3,19
3,21
3,23
3,25
3,25
3,30
3,32
3,33
3,34
3,34
3,32
3,27
3,17
2,99
2,64
0,00
n=1,0
3,14
3,14
3,14
3,14
3,14
3,14
3,13
3,13
3,11
3,09
3,07
3,03
2,98
2,91
2,82
2,70
2,53
2,30
1,98
1,47
0,00
n=1,5
3,14
3,14
3,13
3,12
3,11
3,09
3,06
3,02
2,98
2,92
2,86
2,77
2,67
2,54
2,38
2,19
1,96
1,67
1,31
0,82
0,00
n=2,0
3,14
3,14
3,13
3,11
3,08
3,04
2,99
2,93
2,85
2,76
2,66
2,53
2,38
2,21
2,01
1,78
1,52
1,21
0,86
0,46
0,00
n=2,5
3,14
3,14
3,12
3,09
3,05
2,99
2,92
2,83
2,73
2,61
2,47
2,31
2,13
1,93
1,70
1,45
1,18
0,88
0,57
0,26
0,00
При отсутствии колебаний в системе (установившийся режим)
гистерезисная сила равна нулю,  f  0 , а уравнение энергетического баланса принимает вид Qt Qt  QtFt . Отсюда для систем с гистерезисным трением имеем
Q t   F t  .
54
(2.40)
n
JГ(n,α)
2,5
2,0
1,5
π
1,0
2
0,5
1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
α
Р и с. 2.6. Криволинейная поверхность, описываемая функцией JГ(n,α)
Из подстановки (2.39) и (2.40) в уравнение энергетического баланса (2.24) следует, что уравнение огибающей амплитуд колебаний
и его решение для систем с гистерезисным трением описываются
соотношениями (2.28) и (2.29) при замене функции J  n,   на функF
цию J Г  n,  , где   t . Колебания систем с гистерезисным треa0
нием при переходных режимах описываются формулами
a0
u t  
cos  t   0   F  t  , n  1 , (2.41)

n

1
n 1 1   n  1
a0 J   n,  t
2
 

u  t   a0 exp  
J   n,  t  cos  t   0   F  t  , n  1 ,
(2.42)
 2

F
где J Г  n,  определяется по формуле (2.38) при   t .
a0
Полученные выше соотношения можно применить при описании одной из основных характеристик диссипации колебательной
55
энергии – декремента колебаний. Используя формулу  t  
at
2 и
at
уравнение (2.28), для систем с диссипативными силами, пропорциональными п-ной степени скорости движения, можно получить
 0   a0n 1 J  n,  ,
(2.43)
а для систем с гистерезисным трением –
 0   a0n 1 J   n,  ,
(2.44)
где 0 – декремент колебаний, соответствующий моменту времени
t = 0.
В частности, для систем с кулоновым (п = 0) и турбулентным
(п = 2) трением, соответственно имеем
2
 

Ft 
 4  1   Ft    Ft  arcsin Ft    Ft   ,
при
1 ,


 a0 
a0 
a0
a0 2 a0 
a0


0   

Ft 
0,
при
1 .
a0

2
2

 

 a  2  4  11 Ft    1   Ft   
 
 
 0 3 
 a0  
 a0 
 


2
3
Ft 
Ft  
Ft 
 Ft   3  Ft   
 0  4      arcsin  2
1 ,
 , при
a0
a0 
a0
 a0  2  a0  


Ft 
Ft 

при
1.
3 a0 a ,
a0
0


С учетом формул (2.43) и (2.44) приближенные решения уравнений колебаний систем с диссипативными силами, пропорциональными п-ной степени скорости движения, и систем с гистерезисным
трением имеют вид:
n
a0
u t  
cos  t   0   F  t    sign F   t  F   t  , (2.45)

n 1 1   n  1 0 t
2
56
a0
u t  
(2.46)
cos  t   0   F  t  ,

0
n 1 1   n  1
t
2
где декремент колебания 0 определяется по формуле (2.43) или
(2.44) с учетом (2.26) или (2.38).
Очевидно, что, несмотря на различную физическую природу сил
трения, действующих в системах, огибающая амплитуд колебаний
описывается одной и той же функцией. Это обстоятельство указывает на возможность единого подхода к построению и исследованию
моделей колебаний систем с различной природой сил трения.
При скачкообразном ступенчатом воздействии F  t   F0 0  t 
формулы (2.45) и (2.46) принимают вид
u t  
2
где  0   a0n 1  sin 
n 1
a0

n 1 1   n  1 0 t
2
cos  t   0   F0 ,
(2.47)
d при трении, пропорциональном п-ной
0
степени скорости движения или  0   a0n 1 при гистерезисном трении. Соответственно, для систем с кулоновым (п = 0) и турбулентным
(п = 2) трением имеем
2 

u  t    a0  t  cos  t   0   F0 ,
(2.48)
 

a0
(2.49)
u t  
cos  t   0   F0 .
4
1
a0t
3
При разработке математического описания колебаний диссипативных механических систем в форме приближенных решений уравнения (2.16) при входных воздействиях, принадлежащих классу монотонных функций, учитывался квазилинейный характер дифференциального уравнения, обусловленный малостью величины внутренней диссипативной силы  f  u, u  . При этом большинство из построенных формул описывают решения соответствующих дифференциальных уравнений с точностью до величин порядка O  2  .
57
Этого вполне достаточно для применения полученных решений в
практических расчетах. Однако ни одна задача прикладной математики не может считаться до конца решенной без достоверной оценки
погрешности результатов вычислений. Теоретическая оценка погрешности построенных моделей в форме решений (2.35), (2.37),
(2.41), (2.42) и (2.45)-(2.49) затруднена и зачастую нецелесообразна.
Поэтому были проведены численно-аналитические исследования
адекватности полученных приближенных решений дифференциальных уравнений, описывающих колебания механической системы с
диссипативными силами, пропорциональными n–ой степени скорости движения, при некоторых типах тестового воздействия на систему.
Моделировались динамические процессы в системах с диссипативными силами, пропорциональными п–степени скорости движения, при единичном ступенчатом F  t    0  t  (см. табл. 2.3), линейно изменяющемся F  t    t (см. табл. 2.4) и экспоненциальном
F  t   F0 1  et  (см. табл. 2.5) воздействиях. При компьютерном
моделировании величина  в нелинейных дифференциальных уравнениях и декремент колебаний 0 в уравнениях, разрешенных относительно обобщенной координаты, выбирались таким образом, чтобы обеспечить время tз.к. затухания колебаний (от единичного до 0,05
уровня) равным 20Т, 40Т, 120Т, где Т = 2 – период колебаний. При
экспоненциальном воздействии это соответствует 0,5; 1,0 и 3,0 постоянной времени апериодического процесса. Время наблюдения
принималось равным tнб. = 125Т, начальные условия соответствовали
а0 = 1, 0 = 0. Рассматривались системы при п = 0,0 (кулоново трение); 0,5; 1,0 (линейно–вязкое трение); 1,5; 2,0 (турбулентное трение); 2,5. За точное решение u  t  принималось численное решение
дифференциального уравнения методом Рунге–Кутта четвертого порядка точности, найденное с относительной погрешностью, не превышающей 0,1 % [28]. В качестве меры адекватности была выбрана
метрика
max u  t   u  t 
t 0; tнабл . 
,% 
100% .
max u  t 
t0; tнабл . 
58
При линейно изменяющемся и экспоненциальном воздействиях
F
изменялось отношение t : 0,01; 0,1; 1,0; 2,0. Результаты исследоваa0
ний представлены в табл. 2.3 – 2.5 и свидетельствуют о высокой точности построенных приближенных решений дифференциальных
уравнений в широком диапазоне изменения параметров системы.
Таблица 2.3
Относительная погрешность (%) приближенных
решений при ступенчатом воздействии
tзк
n=0,0
n=0,5
n=1,0
n=1,5
n=2,0
n=2,5
20
40
120
0,1
0,1
0,2
0,0
0,0
0,1
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,1
0,1
0,0
Таблица 2.4
Относительная погрешность (%) приближенных
решений при линейно изменяющемся воздействии
tзк
20
40
120
Ft 
a0
n=0,0
n=0,5
n=1,0
n=1,5
n=2,0
n=2,5
0,01
0,1
1,0
2,0
0,01
0,1
1,0
2,0
0,01
0,1
1,0
2,0
1,1
1,0
0,0
0,0
0,6
0,5
0,0
0,0
0,2
0,2
0,0
0,0
0,3
0,3
0,1
0,0
0,2
0,2
0,1
0,0
0,0
0,1
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,1
0,3
0,2
0,0
0,0
0,1
0,1
0,1
0,0
0,1
0,1
0,0
0,1
0,8
0,2
0,0
0,1
0,4
0,3
0,1
0,0
0,1
0,3
0,2
0,2
1,7
0,1
0,1
0,2
1,1
0,2
0,1
0,1
0,4
0,4
0,1
59
Таблица 2.5
Относительная погрешность ( в %) приближенных
решений при экспоненциальном воздействии
tзк
20
40
120
Ft 
a0
0,01
0,1
1,0
2,0
0,01
0,1
1,0
2,0
0,01
0,1
1,0
2,0
n=0,0
n=0,5
n=1,0
n=1,5
n=2,0
n=2,5
1,4
1,2
0,4
0,2
0,9
0,8
0,4
0,2
0,7
0,6
0,4
0,1
0,3
0,3
0,2
0,0
0,1
0,2
0,1
0,1
0,1
0,1
0,2
0,1
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,1
0,2
0,1
0,1
0,0
0,1
0,1
0,0
0,0
0,1
0,1
0,1
0,1
0,7
0,2
0,5
0,1
0,3
0,2
0,2
0,0
0,1
0,2
0,1
0,2
1,5
0,9
0,9
0,2
0,9
0,4
1,4
0,1
0,3
0,2
0,4
Переходя от решений уравнений в безразмерной форме к приближенным решениям исходных дифференциальных уравнений (1.3)
и (2.15) при функциях Р(t) из класса F , соответственно получаем
P t  b
a0
y t  
cos t   0  
 n 1 sign  P  t   P  t  , (2.50)
c
c

0
n 1 1   n  1
t
T
где
P
b n
 t ,
(2.51)
0 
J  n,  a0n1 ,
c a0
c
a0
y t  
n 1
1   n  1
0 
60
0
T
cos t   0  
t
b
J   n,  a0n1 ,
c
P t 
c

,
Pt 
1,
c a0 
Pt 
.
c a0
(2.52)
(2.53)
В частных случаях диссипативной механической системы при
кулоновом (п = 0), линейно-вязком (п = 1) и турбулентном (п = 2)
трении соответственно имеем
P t  b
b


y  t    a0 
J 0t  cos t   0  
 sign  P  t   , (2.54)
2 c
c
c


P t  b
b 

y  t    a0 
t  cos t   0  
 2 P  t  ,
(2.55)
mc 
c
c

P t  b
2
a0
cos t   0  
 3 sign  P  t   P  t  ,
b
c
c
1  a0
J 2t
2 m
(2.56)
где параметры J0 и J2 вычисляются по формулам (2.32) и (2.34) при
P
 t .
ca0
В режиме свободных колебаний при P(t)=0 формулы (2.50),
(2.52), (2.54) – (2.56) вырождаются в известные соотношения (1.9),
(1.14), (1.11)–(1.13) [92, 93].
При ступенчатом воздействии P  t   P0 0  t  (P(t) = 0 при t > 0)
переходные характеристики систем при трении, пропорциональном
п–степени скорости движения, гистерезисном трении, систем с кулоновым, линейно-вязким и турбулентным трением соответственно
описываются выражениями
a0
P
y t  
cos t   0   0 ,
(2.57)
n 1
c
b

n

1
n 1 1  n  1 a
J nt
  0
2 c
a0
P
y t  
cos t   0   0 ,
(2.58)
c
b

n

1
n 1 1   n  1 a
t
0
2 c
P
2b 

y  t    a0 
t  cos t   0   0 ,
(2.59)
c 
c

P
 b 
y  t   a0 exp  
t  cos t   0   0 ,
(2.60)
c
 2m 
y t  
61
a0
P
(2.61)
cos t   0   0 .
4b
с
1  a0
t
3 m
Параметры уравнений, описывающих колебания систем с кулоновым, турбулентным и гистерезисным трением в переходных режимах при основных типовых тестовых воздействиях, представлены
в табл. 2.6 – 2.8.
y t  
Таблица 2.6
Параметры уравнения
  
yt   a0 1  0 t cos t   0   Qt 
 T 
колебаний системы с кулоновым трением в переходных
режимах при основных типовых воздействиях
Входное
воздействие P t 
 t
1
  t
2
  0,   0.
3

 1  e t

 e  t
4
  0,   0.
5
6
62

 
1  cos t 
2
 

 
1  cos t ,
2
 
  0,   0,
t  0, 
0

 4b
 ca0





0 ,


2


 1       arcsin      ,

ca0
ca0 2 ca0 
 ca0 



 4b
 ca0





0 ,


2


 1       arcsin      ,


ca

ca

ca

2
ca

0
0
0
 0 


при
при
при
при


ca0

Pt  b

c
c
 1,
ca0
ca0
Q t 
 1.
Pt  b

c
c
Pt  b

c
c
 1,

ca0
 1.
2



2
 4b  1       arcsin      ,


 ca0 
2 ca0
2 ca0 4 ca0 
 2 ca0 





при

1,

2 ca0



0,
при
 1.

2 ca0


Pt  b

c
c
Pt  b

c
c
Pt  b

c
c
Таблица 2.7
yt  
Параметры уравнения
cos t   0   Qt 
a0
1
0
T
t
колебаний системы с турбулентным трением в переходных
режимах при основных типовых воздействиях
Входное
воздействие P t 
1
2
0
2
2
2

 



 2b a  1  4  11    1      2   3      






0
 m 3 
ca0  
ca0 
ca0  2  ca0  





 

3


 

 , при

1 ,
 arcsin
ca0
ca0 
ca0



3 b


  t

a0
,
при
1.
ca0
ca0
 m
  0,   0. 
 t
2
2
2

 



 2b a  1  4  11    1      2   3      






 m 0 3 


ca0 2  ca0  
 ca0  
 ca0 


 

3

 




arcsin


,
при

1
,

ca0
ca0 
ca0


 3 b

 e t

,
при
1.
ca0
 сm

  0,   0.
3  1  e t 
4
5
6
2
2
2

 



 2b a  1  4  11    1        3      






 m 0 3 


2

ca

2

ca


ca

2
2

ca

0
0
0
0

 



 

 

3





 , при

1 ,
 arcsin
2 ca0
2 ca0 
2 ca0


 3 2 b


  
,
при
1.
1  cos t ,  2 сm
2 ca0
2
 

  0,   0,
t  0, 

 
1  cos t 
2
 
Q t 
Pt  b
 3
c
c
Pt  b
 3
c
c
Pt  b
2
 3   e 2 t
c
c
Pt  b
2
 3   e  2 t
c
c
P t  b
 3
c
c
  
2 

t
 sin

 2 
P t  b
 3
c
c
2
  
2 

t
 sin

 2 
2
63
Таблица 2.8
Параметры уравнения
y t  
cost   0  
a0
0
1  n  1
T
t
Pt 
c
колебаний системы с гистерезисным трением в переходных
режимах при основных типовых воздействиях
Входное
воздействие P t 
1
 t
2
 t
  0,   0

3
 1  e t
4
 e  t

  0,   0
5
6
64

 
1  cos t 
2
 

 
1  cos t ,
2
 
  0,   0,
t  0, 
0
n

2
2

 b n 1      2 
  

 
   1 
 
arcsin
 a0 1  
 ca  
c a0
c a0 
  c a0   
c
 0 

 




при
 1,

ca 0



0,
при
 1.

c a0


n

2
2

 b n 1      2 
  

 
   1  
 
arcsin
 a 0 1  
ca 0
c a 0  
  ca 0   
 ca 0 
c

 




при
1

ca 0



0,
при
 1.

ca 0


n

2
2

 b n 1      2 
  

 
   1  
 
arcsin
,
 a0 1  
2 ca0
ca0 
  2 ca0   
 2 ca0 
c





при
 1,

2

ca0



0,
при
 1.

2 ca0


Из (2.45) следует, что вынужденная составляющая в решении
содержит малый параметр  . При малой диссипации энергии колебаний в системе и невысокой скорости изменения входного воздействия этим слагаемым можно пренебречь и тогда решения уравнений
колебаний систем с диссипативными силами, пропорциональными
п–степени скорости движения, и систем с гистерезисным трением
совпадают и описываются выражением (2.61) или в безразмерных
координатах формулой (2.46).
2.2. Математические модели огибающей амплитуд колебаний нелинейных диссипативных систем
Полученные приближенные решения дифференциальных уравнений на достаточно большом промежутке времени с высокой точностью описывают колебания нелинейных диссипативных систем
при типовых тестовых воздействиях. Однако, из-за иррациональности выражения для огибающей амплитуд колебаний при произвольном п построение на их основе линейно-параметрических дискретных моделей существенно затруднено. Исключение составляют модели колебаний систем с линейно-вязким (п = 1), кулоновым (п = 0)
или турбулентным (п = 2) трением, огибающая амплитуд колебаний
в которых описывается экспоненциальной или простой рациональной функцией.
Решить задачу упрощения уравнения для огибающей с целью
получения формальной основы для построения линейнопараметрических дискретных моделей можно за счет некоторого ограничения интервала времени, на котором уравнения с заданной
точностью описывают динамический процесс в системе.
Рассмотрим уравнение огибающей амплитуд колебаний систем с
диссипативными силами, пропорциональными п-ной степени скорости движения, а также систем с гистерезисным трением
a0
a t  
,
(2.62)
t
n 1 1   n  1 0
T
содержащее малый параметр  0 (декремент колебаний, соответствующий начальному моменту времени).
65
Используя разложение в степенной ряд по аргументу
 0t
самой
T
функции a  t  или знаменателя в (2.62), соответственно получаем
k
  t   1k k 
i  2    0t  
a  t   a0 1  0  
n


  i  1   T   
T k 2 k i 2 




1


  t n   t  2 n  n  2    t 3

 0
,
(2.63)
 a0 1  0   0   

...
 T 
T 2 T 
3






a0
a t  

k
k

 i  1    0t 
1   1 
n
i   T 
k 1 i 1 
a0

.
(2.64)
2
3
 0t  n    0t   n  2    0t 
1
 1  
 1  1  n 
 ...
T  2   T   2  3   T 
При малой диссипации энергии колебаний параметр 0 мал, а
t
аргумент 0 зависит от времени t. С учетом интервала сходимости
T
степенных рядов, входящих в выражения (2.63) и (2.64), ограничение
T
на параметр t имеет вид: tcx. 
. Очевидно, что при п = 1 ряды
n 1 0
сходятся при любом сколь угодно большом t, а построенные разложения соответствуют экспоненциальной функции, описывающей
огибающую амплитуд колебаний систем с линейно-вязким трением.
Ограничиваясь в разложении (2.63) двумя членами, получаем
следующую модель огибающей амплитуд колебаний нелинейных
систем
  t
a  t   a0 1  0  ,
(2.65)
T 

Квазилинейный характер процессов в диссипативных системах
(близость дифференциального уравнения к линейному) позволяет
предложить в качестве математической модели также функцию, опи66
сывающую огибающую амплитуд колебаний систем с линейновязким трением
  t
a  t   a0 exp   0  .
(2.66)
 T 
Если ограничиться в разложении (2.64) двумя или тремя членами, то получим следующие модели огибающей амплитуд колебаний
нелинейных систем:
a0
,
(2.67)
a t  
 0t
1
T
a0
a t  
.
(2.68)
2
 0t  n    0t 
1
 1  
T  2  T 
В качестве оценки погрешности приближений функции (2.62)
at   aˆ t 
моделями (2.65)–(2.68) используем выражение t  
, где
a0
a  t  – уравнение (2.62), а â  t  – приближение функции огибающей
амплитуд колебаний формулами (2.65)–(2.68).
При использовании первой модели (выражение (2.65)) имеем:
n t 
1   0 
2 T 
2 
1
 0t  1n

, 0  1.
1   n  1 T 


t
При малых значениях аргумента 0 получаем
T
2
n t 
1   0  .
(2.69)
2 T 
Отсюда, интервал времени, в течение которого модель (2.65) с
заданной погрешностью зад. описывает огибающую амплитуд колебаний, определяется выражением
2 зад.
n T.
tкр. 
(2.70)
0
При использовании третьей и четвертой моделей (выражения
(2.67) и (2,68)) аналогично получаем
2
67
n  t 
3  1   0  ,
2 T 
2
(2.71)
откуда
tкр. 
2 зад.
2n
0
T,
(2.72)
 n  2    t 
 4   1   1  n   0    3 ,
 2  3   T 
3
(2.73)
и далее
tкр. 
2 зад.
 2  n  3  2n 
0
T.
(2.74)
Погрешность приближения функции (2.62) экспоненциальной
моделью (2.66) определяется с учетом разложения в ряд экспоненты,
что дает
2
n 1  0 t 
2 
,
(2.75)
2  T 
откуда
2 зад.
n 1
(2.76)
tкр. 
T.
0
С учетом априорной информации о периоде и декременте колебаний, показателя нелинейности, формулы (2.69)–(2.76) позволяют
аналитически оценить интервал времени, в течение которого погрешность аппроксимации огибающей амплитуд колебаний не будет
превышать заданной величины зад.
Анализируя полученные соотношения, приходим к выводу, что
погрешности приближения уравнения огибающей при п = 0, 1, 2 первой, второй и третьей моделями, соответственно, равны нулю. Эти
модели с высокой точностью описывают динамические процессы в
системах с кулоновым, линейно-вязким и турбулентным трением в
течение всего времени затухания колебаний. Погрешность аппроксимации функции (2.62) при использовании модели (2.68) стремится
68
к нулю для систем, у которых показатель нелинейности равен п = 2
3
или n  .
2
Проведены численно-аналитические исследования адекватности
каждой из четырех аппроксимаций функции (2.62) огибающей амплитуд колебаний при различных значениях показателя нелинейности.
На рис. 2.7 представлены результаты исследований зависимости
относительной погрешности аппроксимации функции (2.62) моделяt
ми (2.65) – (2.68) (кривые 1–4) от отношения
, где tзк – время заt зк .
тухания колебаний (от единичного до 0,05 уровня), при различных п.
Использованное значение tзк = 25Т соответствует системам с достаточно высокой степенью диссипации энергии.
Анализируя полученные результаты, можно сделать следующие
выводы. Во–первых, пользуясь построенными графиками рис. 2.7
можно при заданной погрешности зад для каждой из четырех моделей определить интервал времени, в течение которого относительная
погрешность аппроксимации не превысит заданного значения:
<зад. Во–вторых, в зависимости от показателя нелинейности системы п можно выбрать тип модели, наилучшим образом аппроксимирующей огибающую амплитуд колебаний. Например, при малых
значениях п (0<n<1) целесообразно использовать модели (2.65),
(2.66) и (2.68), а при 1<n<2 – модели (2.66) – (2.68). В–третьих, общая тенденция для всех моделей такова, что при значительном увеличении п интервал времени адекватности существенно уменьшается
(рис. 2.7 д,е). При этом наилучшие результаты соответствуют третьей и четвертой моделям, а наихудшие – первой модели. Наиболее
предпочтительны системы с п = 0,81,2 (квазилинейность), наименее
– с n  2,0 (существенная нелинейность).
На рис. 2.8 построены границы областей адекватного (с погрешностью 1%, 3%, 5%) приближения функции a(t) моделями (2.65) –
(2.68). В зависимости от степени нелинейности п в диапазоне значений от 0,0 до 3,0 и допустимой погрешности доп.= 1%, 3%, 5% для
каждой из четырех моделей можно найти критическое значение временного интервала адекватности в относительных (к времени затухания) единицах.
69
n=0,0
Δ,%
n=0,5
Δ,%
3
40
40
3
2
30
30
4
20
10
2
10
0,2
0,6
0,4
0,8
1
t
1
0
4
20
t з .к .
0
0,4
0,2
n=1,0
40
0,8
б
a
Δ,%
0,6
t
t з .к .
n=1,5
Δ,%
40
1
30
30
3
20
1
20
2
10
0
10
4
0,2
2
0,6 0,8
0,4
в
t з .к .
n=2,0
Δ,%
40
t
3
0
0,2
0,6 0,8
г
t з .к .
n=2,5
Δ,%
1
t
4
0,4
40 1
4
30
30
20
2
10
10
3, 4
0
0,2
2
20
0,4
t
0,6
д
0,8
t з .к .
0
3
t
0,2
0,4
0,6
е
0,8
t з .к .
Р и с. 2.7. Временные зависимости погрешности аппроксимации функции a(t) моделями (2.65) – (2.68) (кривые 1-4) при
различных значениях показателя нелинейности
70
t
t
t зк
t зк
5%
3%
1%
0,1
0,1
0,01
0,001
5%
3%
1%
0,01
0
1,0
n
2,0
0,001
0
1,0
б
а
n
2,0
t
t
t зк
t зк
5%
3%
1%
0,1
0,1
0,01
0,01
0,001
0
5%
3%
1%
1,0
2,0
в
n
0,001
0
1,0
г
2,0
n
Р и с. 2.8. Области адекватного (с погрешностью 1%, 3%, 5%) приближения огибающей амплитуд колебаний:
a0
t
t 


а – a (t )  a0 1   0  ; б – a(t )  a0 exp   0  ; в – a (t ) 
;
t
T

T

1 0
T
a0
г – a(t ) 
2
t  n  t 
1   0  1    0 
T  2  T 
Интегральной оценкой эффективности модели может служить
площадь криволинейной фигуры, расположенной под изолиниями.
Очевидно, что в диапазоне 0,0  n  3,0 наилучшей в этом отношении является четвертая модель, наихудшей – модель (2.65).
71
Таким образом, при описании колебаний нелинейных диссипативных систем при входных воздействиях P(t) из класса F будем использовать следующие модели:
P t 
  t
y  t   a0 1  0  cos t   0  
,
(2.77)
T 
c

P t 
  t
y  t   a0 exp 1  0  cos t   0  
,
(2.78)
T 
c

y t  
y t  
a0
1
 0t
cos t   0  
P t 
c
,
T
a0
cos t   0  
(2.79)
P t 
,
(2.80)
c
n    0t 
1
 1  
T  2  T 
где 0 – декремент колебаний, определяемый по формуле (2.51) или
(2.53) в зависимости от природы диссипативной силы.
Выбор той или иной модели определяется априорной информацией о типе нелинейности системы и ее динамических характеристиках. Так, при описании колебаний систем с кулоновым (п = 0), линейно-вязким (п = 1) или турбулентным (п = 2) трением следует использовать, соответственно, модели (2.77), (2.78) или (2.79). С учетом принятой модели по формулам (2.69)–(2.76) или графикам, представленным на рис. 2.8, следует оценить критические значения промежутков времени, в течение которых погрешность аппроксимации
не превышает заданной величины.
Модель (2.80) обобщает модель (2.79), содержит параметр п, то
есть характеристику нелинейности системы, и может быть использована при решении задачи классификации широкого класса нелинейных систем, что является принципиально новым и существенно расширяет функциональные возможности этой модели.
 0t 
2
2.3. Математические основы и принципы построения линейно-параметрических дискретных моделей
Рассмотрение принципов построения и разработку на их основе
линейно-параметрических дискретных моделей в форме разностных
уравнений необходимо начать с нескольких замечаний.
72
Во-первых, несмотря на то, что любую из моделей (2.77)–(2.80)
(с учетом допустимой погрешности аппроксимации на заданном
временном интервале) можно использовать для описания колебаний
диссипативной системы как с частотно-зависимым, так и с частотнонезависимым трением, очевидно, что каждая модель связана с определенным типом силы трения (нелинейности). Поэтому введем следующую терминологию: модели (2.77)–(2.79) и соответствующие им
линейно-параметрические дискретные модели в форме стохастических разностных уравнений будем идентифицировать моделями систем с кулоновым, линейно-вязким и турбулентным трением, соответственно. Модель (2.80) и разработанные на ее основе разностные
уравнения, содержащие параметр нелинейности п, будем классифицировать как модели систем с диссипативными силами общего вида.
Во-вторых, хотя построенные выше модели описывают динамику диссипативной системы со слабой нелинейностью при типовых
тестовых воздействиях, монотонная составляющая в уравнениях
(2.77)–(2.80) может быть обусловлена и рядом других причин, например, нестабильностью (нестационарностью) параметров системы
и т.п. Поэтому эти уравнения можно интерпретировать более широко, как модели нестационарных режимов колебаний диссипативных
систем. Аддитивную составляющую в нестационарных моделях будем рассматривать, как некоторую монотонную функцию
P t 
, где с – коэффициент жесткости системы.
F t  
c
Так как для систем со слабой нелинейностью F(t) относительно
периода колебаний является медленно меняющейся функцией времени, то ее можно считать трендом [13, 86, 132]. При таком подходе
расширяется область применения разработанных линейнопараметрических дискретных моделей, как моделей, содержащих
тренд.
В–третьих, при определении параметров тренда следует различать два подхода к построению разностных уравнений колебаний.
При одном походе разработанные модели могут быть использованы
для оценивания не только динамических характеристик системы, но
и параметров монотонной составляющей F(t), а следовательно, и параметров входного воздействия Р(t).
Другой подход заключается в оценке только динамических характеристик системы. Он, как правило, приводит к более простым
73
линейно-параметрическим дискретным моделям, коэффициенты которых, однако, не связаны с параметрами монотонной составляющей.
Если тип входного воздействия известен, то, следовательно, определен и вид функции F(t), для которой можно априори подобрать
подходящую аппроксимацию и оценить степень ее адекватности. В
частности, в первом приближении, в качестве аппроксимативной могут быть использованы линейная F  t   f 0  f1t или экспоненциальная F  t   f 0  f1e  t функции.
При отсутствии точной информации о характере монотонной
составляющей наиболее целесообразна полиномиальная аппроксимация [72, 112], при которой степень многочлена (полиномиального
тренда) выбирается с учетом заданной меры адекватности модели
наблюдаемым нестационарным колебаниям.
В основе новых современных технологий идентификации диссипативных механических систем по результатам наблюдений, полученных в ходе физического эксперимента, лежат линейнопараметрические дискретные модели (ЛПДМ). Эти модели в форме
разностных уравнений линейно связывают дискретные значения
приближенных решений дифференциальных уравнений, описывающих колебания диссипативных механических систем.
Можно выделить два различных подхода к решению задачи
формирования линейно-параметрической дискретной модели, описывающей последовательность дискретных значений некоторой нелинейной функции. Первый их них использует функции, удовлетворяющие некоторым условиям. В основе второго лежит z- преобразование дискретной функции.
Рассмотрим систему линейно независимых функций i  t  ,
i  1, n , определенных на множестве D . Эту систему можно принять
за базис n – мерного линейного пространства L, каждый элемент которого может быть представлен в виде линейной комбинации функций  i :
n
f  t    aii  t  .
i 1
(2.81)
Пусть коэффициенты в разложении (2.81) известным образом
зависят от некоторого параметра  из той же области определения
D , что и переменная t. Очевидно, что в этом случае имеем парамет74
рическое семейство L функций
n
f  t,    ai  i  t  ,
(2.82)
i 1
принадлежащих линейному пространству L.
Теорема 2.1. (Необходимое условие).
Пусть
функция
n
f  t,    ai  i  t   L может быть представлена в виде
i 1
n
f  t      ai  i  t  ,
i 1
причем существуют m  n значений параметра  i  D
(2.83)
i  1, m 
таких, что функции f  t   i  линейно независимые.
Тогда коэффициенты ai   , i  1, n , в разложении (2.83), как
функции от параметра  , принадлежат линейному пространству
L, образуют его базис и могут быть представлены в виде
n
ai     c ji j    c1i1    c2i2      cnin   , i  1, n , (2.84)
j 1
где cij – элементы невырожденной матрицы перехода от базиса
 t  к базису a t  , i  1, n .
i
i
Доказательство. Из (2.83) следует, что при любом фиксированном   D функции f  t     L  L . С учетом коммутативности
операции сложения можно записать
n
f  t     f   t    ai  t i   .
(2.85)
i 1
Полагая в (2.85) n различных значений   D : 1 ,  2 , …,  n , таких чтобы функции f  t   i  , i  1, n , были линейно независимы, получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно
функций ai  t  :
1  1  a1  t    2  1  a2  t      n  1  an  t   f  t   1  ;

1  2  a1  t   2  2  a2  t      n  2  an  t   f  t   2  ;
  a t    a t      a t  f t   .
 n
n n n 
 1 n 1  2 n 2 
75
Так как функции  i   , i  1, n , по определению линейно неза1  1   2  1   n  1  


висимые, то матрица   1  2   2  2   n  2   этой системы
 

 1  n   2  n   n  n  
уравнений невырожденная. Следовательно, существует обратная
матрица 1  ij1  , i, j  1, n . Тогда имеем ai  t   ij1 f  t   j  .
n
j 1
Так как функции f  t   j   L , j  1, n , линейно независимые, а матрица 1 невырожденная, то функции ai  t  , i  1, n , также принадлежат линейному пространству L, линейно независимые и образуют
базис пространства L. Следовательно, каждую из функций ai  t 
можно представить в виде линейной комбинации базисных функций
i  t  :
n
ai  t    cij j  t  .
(2.86)
j 1
Так как ai  t  , i  1, n , и  j  t  , j  1, n , являются линейно независимыми функциями, то матрица
 c11 c12 c1n 


C  c21 c22 c2n 
c

 n1 cn 2 cnn 
перехода от базиса  j  t  к базису ai  t  – невырожденная.
С учетом (2.86) и (2.85) имеем:
n  n
n

 n

f  t        cij j  t  i       ciji    j  t  .
i 1  j 1
j 1  i 1


Сравнивая полученное соотношение с (2.83), получаем
n
ai     c ji j   , что и требовалось доказать.
j 1
Введем вектор a     a1( ), a2 ( ),, an ( )  , состоящий из коэффициентов
разложения,
и
вектор
базисных
функций
T
76
 t   1(t),2 (t),,n (t)  . Тогда формулы (2.83), (2.84) и (2.86)
T
принимают вид: f t     a( )T  t    a( ),  t  , a    C T   ,
n
a  t   C  t  , где  a,    aii – скалярное произведение векторов.
i 1
Отсюда следует, что C  CT , то есть матрица перехода от базиса
 j  t  к базису ai t  – симметричная.
Рассмотрим, как можно найти коэффициенты c ji в разложении
(2.84). При известных функциях  i   и ai   , i  1, n , имеем уравнение
 n  1
c1i1    c2i2      cnin    ai   .
Дифференцируя
раз обе части этого равенства, получаем систему из n уравне-
ний относительно неизвестных c ji , j  1, n :
c     c       c     a   ;
1i 1
2i 2
ni n
i






c



c





c



a
 1i 1   2i 2  
ni n  
i   ;
  n 1
 n 1
 n 1
 n 1

c1i1    c2i2      cnin    ai   .
(2.87)
Определитель этой системы есть определитель Вронского. Он
отличен от нуля, так как система функций i   линейно независима. Следовательно, система (2.87) имеет единственное решение,
которое можно представить в виде ci   1ai , где ci   c1i , c2i ,, cni 
T

n 1
– i -тый столбец матрицы C ; ai  ai   , ai   , , ai 
содержащий функцию ai   и ее производные до

T
– вектор,
 n  1
порядка
 1  
2  
 n   


2  
 n    – матрица размера
включительно;    1  
  n 1

 n 1
 n 1
1   2   n   
n  n , i -тый столбец которой содержит базисную функцию  i   и
ее производные до  n  1 порядка включительно.
77
Аналогично вычисляются элементы других столбцов матрицы
линейного преобразования C . Таким образом, матрицу линейного
преобразования можно вычислить по формуле
(2.88)
C  1 A ,
 a1  
a2  
an   


a2  
an    – матрица размера n  n ,
где A   a1  
  n 1

 n 1
 n 1
 a1   a2   an   
столбцы которой образуют вектора ai , i  1, n .
В качестве примера рассмотрим функцию f  t   5et  2t 2 . Эта
функция удовлетворяет условию (2.83): f  t     a1   et  a2   t 2 
a3   t  a4    1 , где базисными функциями являются линейно не-
зависимые функции 1  t   et ,  2  t   t 2 , 3  t   t и 4  t   1 , а коэффициенты разложения, зависящие от параметра  , описываются
формулами: a1    5e , a2    2 , a3    4 и a4    2 2 . Причем a1  0   5 , a2  0   2 , a3  0   0 и a4  0   0 . Очевидно, что матрица  для этой системы базисных функций, ее обратная матрица
e  2  1 
 

e 2 1 0 
1

,
 и матрица A имеют соответственно вид:   
e
2 0 0
 

0 0 0 
e
0 0 0

e 


5e 2 4 2 2 
1
0 0 1


 

5e
0 4 4 


2
2

 1  
A

и
.
5e 0
0 1 
 1 
0
4 


 


0
0
0 
 2  2  2  2 
5e
1 

2
2


Тогда матрица C линейного преобразования базисных функций
i t  будет равна
78
5 0 0 0 
0 0 0 2 
1
.
C  A
0 0 4 0 


0 2 0 0 
В некоторой области D изменения независимой переменной t
n
рассмотрим два обобщенных многочлена:   t    aii  t  по сисi 1
теме линейно независимых функций i  t  , i  1, n , и многочлен
m
  t    b j j  t 
по системе линейно независимых функций
j 1
 t  ,
j
j  1, m , причем на множестве D многочлен   t   0 .
Пусть эти обобщенные многочлены обладают свойством (2.83):
n
m
  t      ai  i  t  ,
  t      b j   j  t  ,
i 1
(2.89)
j 1
где ai   , i  1, n , и b j   , j  1, m , – некоторые системы линейно
независимых функций, при этом ai  0   ai , b j  0   b j .
Определим класс H непрерывных на множестве D функций ви t 
да f  t  
таких, что
 t 
n
f t    
n
 a    t 
i 1
m
i
i
 b j   j  t 
j 1
,
(2.90)
m
где   t    ai  0 i  t  и   t    b j  0  j  t  – обобщенные многоi 1
j 1
члены, удовлетворяющие условию (2.89). Так как функция
  t   1  a0 (0) 0  t  , где a0    1 и 0  t   1 , формально удовлетворяет условию (2.89), то сами обобщенные многочлены, удовлетво1
ряющие условию (2.89), и функции вида f  t   m
 H, как
b

t


 j j
j 1
79
частные случаи выражения (2.90), принадлежат классу H . Также
1
1
 H в
очевидно, что если f  t   H, то и функция  f  t   
f t 
области ее определения.
В качестве примера функций класса H приведем некоторые известные и широко используемые в математическом анализе элементарные функции.
1. Степенная функция f  t   t n  H, n  Z .
Действительно, при n  0 :
n
n 1
i 0
i 1
f  t      t      Cni t i n i   ai  i  t   H, где базисные функции
n
i  t   t i 1 и ai    Cnn 1i n 1i , i  1, n  1 , Cni 
n!
. Матрица C
i ! n  i !
 n  1   n  1
a  t   C  t  имеет вид
базисных
размера
0
0

0
C
0
0

1
преобразования
0 0
0
0 0
0
0 0 Cnn  2
0 Cn2
0
n 0
0
0 0
0
0
n
0
0
0
0
функций
1
0 
0
.
0
0

0 
При n  0 имеем f  t   1 H, если положить a1    1 и 1  t   1 .
При n  0 : f  t    
1
t   
n

1
n
C t 
i 0
i i n i
n

a0  0  t 
n 1
 b    t 
j 1
j
 H, где
j
a0    1 , 0  t   1 ,  j  t   t j 1 , b j    Cnj 1 n 1 j , j  1, n  1 .
2. Тригонометрические функции f  t   sin t  H, f  t   cos x H.
Для функции f  t   sin t , используя известное соотношение,
2
получаем
f  t     sin  t     sin t cos  cos t sin    ai  i  t   H,
i 1
80
где 1  t   sin t , 2  t   cos t , a1    2    cos , a2    1    sin  .
0 1 
Матрица преобразования: C  
.
1 0 
Аналогично
для
функции
f  t   cos t
имеем:
2
f  t      ai  i  t  , где 1  t   cos t , 2  t   sin t , a1    cos ,
i 1
1 0 
a2     sin . Матрица преобразования: C  
.
 0 1
3. Показательная функция f  t   a t  H.
Действительно:
f  t     a  t    a a t  a1  1  t   H,
где
1  t   a , a1    1    a .
Рассмотрим некоторые свойства функций из класса H.
Теорема 2.2. Пусть функции f1  t   H и f 2  t   H. Тогда линейная комбинация этих функций, их произведение и отношение
также будут принадлежать классу функций H, то есть:
f1  t 
c1 f1  t   c2 f 2  t   H,
f1  t  f 2  t   H
f2 t   0 ,
 H,
и
f2 t 

t
где c1 и c2 –произвольные постоянные.
Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай функций
из класса H , представимых в форме обобщенных многочленов по
системе i  t  с действительными коэффициентами ai , зависящими
n
m
i 1
j 1
от  : 1  t    a1i  0 1i  t   H и  2  t    a2 j  0 2 j  t   H. – обобщенные многочлены по системе функций i  x  .
n
n
i 1
i 1
Очевидно, что c1  t    ca1i  0 1i  t    ai  0 1i  t   H, где
c – произвольная постоянная, ai  0   ca1i  0  , i  1, n . Теперь пока-
жем, что сумма двух обобщенных многочленов 1  t    2  t   H.
Действительно, определяя операцию сложения обычным для функции действительного переменного образом, имеем:
81
n1
n2
n1  n2
i 1
j 1
k 1
1  t    2  t    a1i  0 1i  t    a2 j  0 2 j  t  
 a  0 t   H,
k
k
a1k  0  , k  1, n1,
1k  t  , k  1, n1,
где ak  0   
k  t   
a2,k  n1  0  , k  n1  1, n1  n2 ,
2,k  n1  t  , k  n1  1, n1  n2.
при условии 1i   2i    . В противном случае в полученном
обобщенном многочлене следует привести подобные.
Аналогично, определяя произведение 1  t    2  t  обычным для
функции действительного переменного образом, имеем:
n1
n2
n1n2
i 1
j 1
k 1
1  t    2  t    a1i1i  t    a2 j2 j  t    akk  t   H,
где ak  a1, p a2, k  p 1 n2 , k  t   1, p  t 2, k  p1n2 t  , k   p  1 n2  1, pn2 ,
p  1, n1 .
Таким образом, умножение на число, сложение, вычитание и
произведение любых двух обобщенных многочленов из класса
функций H также есть функция, принадлежащая классу H. Это означает, что совокупность обобщенных многочленов из класса H после
введения в нее описанным выше способом операций сложения и умножения превращается в кольцо.
Теперь рассмотрим две функции из класса H, но более общего
 t 
 t 
вида: f1  t   1  H и f 2  t   2  H, где 1,2  t  и 1,2  t  –
1  t 
2 t 
обобщенные многочлены из класса функций H, удовлетворяющие
c  t 
условию (2.89). Очевидно, что cf1  t   1
также принадлежит
1  t 
классу H. Рассмотрим арифметическую сумму этих функций, кото t  2 t   t 


рую можно представить в виде: f1  t   f 2  t   1
,
1  t   2  t    t 
где функции   t   1  t   2  t    2  t  1  t  и   t   1  t   2  t 
принадлежат классу H. Следовательно, и сумма функций
f1  t   f 2  t   H , а значит, и любая их линейная комбинация
c1 f1  t   c2 f 2  t   H .
82
Рассмотрим произведение двух функций из класса H . Анало t   t   t 

гично получаем f1  t   f 2  t   1  2
, где функции
1  t   2  t    t 
  t   1  t    2  t  и   t   1  t   2  t  принадлежат классу H. Сле-
довательно, f1  t   f 2  t   H .
Пусть f 2  t   0 . Рассмотрим отношение двух функций из класса H:
f1  t  1  t   2  t    t 



. Здесь функции   t   1  t   2  t 
f 2  t  1  t   2  t    t 
и   t   1  t   2  t  принадлежат классу H. Следовательно, и отношение этих функций также принадлежит классу H :
f1  t 
H .
f2 t 
Таким образом, любые арифметические действия над функциями из класса H приводят к функции, обладающей свойством (2.90),
то есть к функции, также принадлежащей классу H.
 t 
Очевидно, что функция вида f  t  
, где обобщенные
1   t 
n
m
i 1
j 1
многочлены   t    ai  0 i  t   H и   t    b j  0  j  t   H,
также принадлежит классу функций H.
Пусть некоторая нелинейная функция y  t  представима в виде
n
y t  
 a  0   t 
i 1
m
i
i
1   b j  0  j  t 
 H.
(2.91)
j 1
Зафиксируем ее значение в некоторой точке t  tk : yk  y  tk  :
n
yk 
 a  t 
i 1
m
0i
i
k
1   b0 j j  tk 
 H.
(2.92)
j 1
83
Обозначим значения функции (2.91) в точках tk   l через
yk l  y  tk   l  , а значения функций ai   и b j   , i  1, n , j  1, m ,
при    l , как ali  ai  l  и blj  b j  l  , l  1, p . В частности, имеем:
n
yk 1  y  tk   1  
 a1ii  tk 
i 1
m
1   b1 j j  tk 
n
, yk  2  y  t k   2  
j 1
 a  t 
yk  l  y  t k   l  
i 1
m
li i
k
1   blj j  tk 
k
1   b2 j j  tk 
, ,
j 1
n
 a  t 
2i i
i 1
m
n
, , y k  p  y  t k   p  
j 1
 a  t 
i 1
m
pi i
k
1   bpj j  tk 
.
j 1
После простых преобразований отсюда можно получить линейную алгебраическую систему из p – уравнений относительно i  tk  ,
i  1, n , и  j  tk  , j  1, m :
m
 n
  a1ii  tk    yk 1b1 j j  tk   yk 1;
 i 1
j 1
 n
m

(2.93)
  a2ii  tk    yk  2b2 j j  tk   yk  2 ;
j 1
 i 1
m
 n
 a pii  tk    yk  pbpj j  tk   yk  p .
 i 1
j 1
Эту систему в матричной форме можно представить следующим
образом:
(2.94)
A  YB  y ,
 a11 a12

где A   a21 a22
a
 p1 a p 2
 p  n
84
 b11 b12
a1n 


a2n  и B   b21 b22
b
a pn 
 p1 bp 2
b1m 

b2 m  – матрицы размера
bpm 
 yk 1
0
0 


yk  2
0  – диагои  p  m , соответственно; Y   0
 0
0
yk  p 

нальная матрица размера  p  p  , элементами которой являются дискретные значения функции (2.91); векторы из базисных функций


  1  tk  ,2  tk  ,,n  tk   Rn ;    1  tk  , 2  tk  ,, m  tk   Rm ;
y   yk 1, yk 2 ,, yk  p   R p – вектор в правой части системы.

Рассмотрим различные варианты формулировки и решения задачи линейной алгебры для системы (2.94).
Пусть неизвестными в системе линейных уравнений (2.94) являются значения базисных функций в точке tk . В этом случае систе-
ма принимает вид: D  y , где матрица D   A YB  , элементы которой
i  1, p ,
описываются
имеет
формулой:
размер
aij ,
dij  
 yk ibi, j  n ,
 p   n  m
и
j  1, n,
j  n  1, n  m
вектор
,
неизвестных
      1  tk  , ,n  tk  , 1  tk  , , m  tk   Rn m .
При p  n  m и невырожденности матрицы D имеем   D1 y
nm
 Dn1 y 
   Dn1 
или     1  y   1  . Отсюда i  tk     d n1  yk  j , i  1, n , и
ij
j 1
   Dm 
 Dm y 
T
T
nm
 i  tk     d m1 ij yk  j ,
i  1, m .
Здесь
j 1
Dn1 –
матрица
размера
n   n  m , включающая первые n строк матрицы D1 , с элементами  d n1  , i  1, n , j  1, n  m ; Dm1 – матрица размера m   n  m ,
ij
включающая последние m строк матрицы D1 , с элементами  d m1  ,
ij
i  1, m , j  1, n  m .
Подставляя найденные значения базисных функций в (2.92), поnm
лучаем yk 
q y
j 1
nm
j k j
1   g j yk  j
, где q j   a0i  d n1  и g j   b0i  d m1  . Отn
i 1
m
ij
i 1
ij
j 1
сюда имеем разностное уравнение вида
85
nm
nm
i 1
i 1
yk   qi yk i   gi yk yk i ,
(2.95)
в котором коэффициенты qi и g i , в соответствии с (2.93), нелинейно зависят от дискретных значений y k функции (2.91).
Например, для функциональной зависимости
a cos t   0 
,
(2.96)
y t   0
0
1 t
T
описывающей свободные колебания систем с турбулентным трением, построение разностного уравнения вида (2.95) сводится к следующей процедуре.
a cos t  0  cos  i  a0 sin t  0  sin  i
Так как y  t   i   0
, то


1 0 t  0 i
T
T
для некоторой произвольной точки tk можно записать соотношение,
связывающее параметры функции (2.96):
  0 i 
1 
 yk i  cos  i 1  tk   sin  i 2  tk   yk i 1  tk  , (2.97)
T 

где базисные функции в точке tk описываются выражениями:
t
1  tk   a0 cos tk   0  , 2  tk   a0 sin tk   0  и  1  tk   0 k . При
T
равномерной дискретизации функции (2.96) значения параметра  i
изменяются по закону:  i  i , где  – период дискретизации. Обозначая 1 
 0
и полагая в (2.97) i  1,2,3 , получаем систему из трех
T
уравнений относительно базисных функций:
cos  1  tk   sin   2  tk   yk 1 1  tk   1  1  yk 1,

cos 2 1  tk   sin 2  2  tk   yk  2 1  tk   1  21  yk  2 ,

cos3 1  tk   sin 3  2  tk   yk 3 1  tk   1  31  yk 3.
Элементы обратной матрицы D1 для этой системы имеют вид:
d121   1  02 yk 1  yk 3  / z ,
d111   02  1 yk 2  0 yk 3  / z ,

86

 

 2 
d131   0 yk 1  yk  2  / z , d211   0 02  3 yk 2   0  1 yk 3  / det D ,
 2

 2

2
 




d221  0  02  3 yk 1  yk 3  / det D , d231    0  1 yk 1  0 yk 2  / det D ,
2
2

  2


1
d311  d331  , d321  0 , где det D  sin    yk 1  0 yk  2  yk 3  –
z
z
det D
определитель матрицы D системы уравнений, z 
. Очевидно,
sin 
что матрица D не вырождена при yk 1  yk 3  0 yk 2 , где
0  2cos  . Тогда разностное уравнение, описывающее свободные
колебания систем с турбулентным трением, может быть представле-




3
3
i 1
i 1
но в виде yk   d1i 1 yk i   d3i1 yk yk i , где коэффициенты d ij1 выражаются через yk 1 , yk  2 , yk  3 и параметр 0 описанным выше образом. Подставляя значения этих коэффициентов, можно получить
разностное уравнение в развернутом виде
20 yk 1 yk 3   02  1 yk 1 yk 2  yk 2 yk 3
.
(2.98)
yk 
yk 1  20 yk 2  3 yk 3
Разностное уравнение (2.98) в рекуррентной форме выражает
любое мгновенное значение y k ординаты свободных колебаний системы с турбулентным трением через три предшествующих мгновенных значения yk 1 , yk  2 и yk  3 при равномерной дискретизации
функции (2.86). Это уравнение не принадлежит классу линейнопараметрических дискретных моделей, так как оно нелинейно относительно входящих в него параметров 0 и   02  1 . Однако из
него можно получить уравнение вида
yk yk 1  3 yk yk 3  yk  2 yk 3  20  yk yk  2  yk 1 yk 3    yk 1 yk  2 , (2.99)
которое является линейным относительно коэффициентов 0 и  .
Пусть среди базисных функций  i , i  1, n , и  j , j  1, m , есть
такие, которые не содержат параметров нелинейной зависимости
(2.91) (или содержат их линейно). В этом случае при построении
разностного уравнения нет необходимости исключать эти функции
87
из выражения (2.92). При этом порядок системы линейных уравнений (2.93) и, следовательно, количество отсчетов yk i в разностном
уравнении уменьшается на число таких базисных функций. В частности, если этими функциями являются  j  t  , j  1, m , то система
линейных уравнений (2.94) может быть представлена в виде
A  y  YB ,
(2.100)
где матрицы A и Y имеют размер  n  n  , а матрица B –  n  m .
Отсюда при невырожденной матрице A получаем   A1  y  YB 
n
m


или в развернутой форме i  tk    aij1  yk  j  yk  j  b jl l  tt   , где
j 1
l 1


1
1
aij – элементы обратной матрицы A . Разностное уравнение в этом
случае является линейным относительно отсчетов yk  j , j  1, n , и
n
n
принимает вид yk   d j yk  j , где d j 
j 1

n
m

1 
a
1

b jl l  tk  

0i ij 
 l 1
.
   a
j 1
i 1
m
1   b0 j j  tk 
j 1
Отсюда можно получить линейно-параметрическую дискретную модель с коэффициентами  j , j  1, n  m  nm . Эти коэффициенты известным образом связаны с параметрами нелинейной зависимости
(2.91), которые являются объектом ее идентификации:
n
m
j 1
l 1
n
m
yk    j yk  j   n l  l  tk  yk    n  m j 1ml  l  tk  yk  j  , (2.101)
где
j 1 l 1
n
 j   a0i aij1 , j  1, n , nl  b0l , l  1, m ,  n  m   j 1 m  l   jb jl ,
i 1
j  1, n , l  1, m .
Применим
такой
алгоритм
построения
линейнопараметрической дискретной модели к диссипативной системе с
турбулентным трением.
При равномерной дискретизации с периодом  функциональной
зависимости (2.96) получаем уравнения
88
  
yk 1  0 tk   a0 cos tk   0  ,
T 

 

yk 1 1  0 tk  1   a0 cos tk   0  cos   a0 sin tk   0  sin  ,
T


 

yk  2 1  0 tk  21   a0 cos tk   0  cos 2  a0 sin tk   0  sin 2 ,
T


где 0  2cos  , 1 
 0
.
T
Из двух последних уравнений можно получить:
 t

 t

a0 cos tk   0   0 1  0 k  1  yk 1  1  0 k  21  yk  2 .
T
T




Подставляя этот результат в первое уравнение, после простых преобразований получаем линейно-параметрическую дискретную модель вида
t

t

t

yk  yk  2  0 yk 1  1  k yk   k  2  yk  2   01  k  1 yk 1 . (2.102)






При непосредственном применении формулы (2.101) для зависимости (2.96) следует положить n  m  2 , a01  1 , a02  0 ,  1  tk   tk ,
 2  tk   1 , b01  b11  b21 
1
, b02  0 , b12  1 и b22  21 . В этом слу
чае коэффициенты  j , j  1, 8 , в разностном уравнении (2.101) принимают значения: 1  0 , 2  1 , 3  

1
,  4  0 , 5  0 1 ,


1
и 8  21 , а само уравнение (2.101)

yk  1 yk 1  2 yk 2  3tk yk  4 yk  5tk yk 1  6 yk 1  7tk yk 2  8 yk 2
6  01 ,
7  
приводится к виду
yk  0 yk 1  yk 2  1
tk

yk  01
tk

yk 1  01 yk 1  1
tk

yk 2  21 yk 2 .
Отсюда после простых преобразований получаем разностное
уравнение (2.102).
При равномерной дискретизации функциональной зависимости
с периодом  можно положить tk  k , k  0,1,2, . Тогда линейно89
параметрическая дискретная модель в форме разностного уравнения
(2.102) принимает вид
yk  yk 2  0 yk 1  1 kyk   k  2 yk 2   2  k  1 yk 1 , (2.103)
где 2  01 , k  2,3,4, .
Полученная модель (2.103) принципиально отличается от разностного уравнения (2.99). Она содержит коэффициенты, функционально связанные не только с частотой  колебаний системы, но и с
декрементом колебаний  0 , соответствующим начальному моменту
времени t0  0 . Это является существенным достоинством разностного уравнения (2.103).
В основе второго подхода к построению линейнопараметрических дискретных моделей колебаний диссипативных
механических систем лежит следующая теорема.
Теорема 2.3. (достаточное условие линейности дискретной
модели).
Пусть функция y  t  : D  y   t  R :t  0 представима в виде
y  t   a  t   cos t    , где a  t   0 ,   0 ,   R .
Тогда для формирования линейно-параметрической дискретной
модели вида
R
 f k, y , y
r 1
r
r
k
k 1
,, yk  N   f R 1  k , yk , yk 1 ,, yk  N  , где
f r  k , yk , yk 1 ,, yk  N  , r  1, R  1 – действительные рациональные
функции своих аргументов, достаточно, чтобы мультипликативная
P  t  e  t
компонента a  t  описывалась функцией вида a  t   m
, где
Qn  t 
Pm  t 
Qn  t 
– дробно-рациональная функция  m  n  , не имеющая нулей
на промежутке t   0,    и полюсов на промежутке t   0,    .
Доказательство.
Pm  t  e  t
Pm  t  e  t
a
t

y
t

cos t    . ОсуПусть  
. Тогда  
Qn  t 
Qn  t 
ществляя равномерную дискретизацию функции y  t  с периодом дискре-
90
тизации  : yk  y  k  , k  0,1, 2, , получаем дискретную, нелинейную относительно параметров a j , bi ,  ,  , модель вида
Pm  k  e  k
yk 
m
или yk 
 a k e 
j 
k
j
j 0
cos  k    , k  0,1,2, , где b0  1 .
n
b k
cos  k   
Qn  k 
l
l
l 0
Применяя к полученной дискретной функции z – преобразоваn
 m
ние, получаем: Z  bl k l yk    a j Z k j e  k cos  k    . Нетрудно
 l 0
 j 0
e 2 cos  z 1e cos   
 k
cos  k    
убедиться, что Z e
,
z 2  1 z 1  2
где
2  e 2 .
1  2cos  ,
известного
 при F z 
  z
dz
d z 
P
z  .
получить Z k f  
z   z   
Z kf k    z
dF  z 
 z 1
dF  z
Из
P1  z
1
1
1
2
соотношения
1

 1 z  2
1
можно
1
2 j 1 1
j
k
2
2j
1
1
Тогда
имеем
2
P2 j1 1  z 1 
n
 m
Z  bl k l yk    a j
j
 l 0
 j 0  z 2  1 z 1  2 2
или
P2m1 1  z 1 
n

.
Z  bl k l yk  
m
 l 0
  z 2  1 z 1  2 2
2m
 n

Отсюда  z 2  1 z 1  2  Z  bl k l yk   P2m1 1  z 1  .
 l 0

Можно убедиться, что
z
2
 1 z  2 
1
2m
2m 2m  i
   C2i m C2jm i z 2
i 0 j 0
m1
 2i  j
1j 2i .
91
Тогда в пространстве изображений получаем
2m 2m  i
n
  C
l 0 i 0 j 0
где P2m1 1  z 1  
i
2m
2m1 1

q 0
C2jm i 1j 2i bl z 2
m 1
 2i  j
 Z k l yk   P2m1 1  z 1  ,
p q z 1 .
Возвращаясь в пространство оригиналов, получаем
2m 2m  i
  C2i m C2jm i 1j 2i bl  k  2m1  2i  j  yk 2m1  2i  j 
n
l
l 0 i 0 j 0
2m1 1

q 0
pq k  q ,
1 при k  q;
где  k  q  
0 при k  q.
При k  2m1  1 получаем линейно-параметрическую дискретную модель вида
2m 2m  i
n
  C
l 0 i 0 j 0
i
2m
C2jm i 1j 2i bl  k  2m 1  2i  j  yk  2m1  2i  j  0 .
l
Переобозначим коэффициенты дискретной модели: r  1j 2i bl ,
i  0, 2 m ,
l  0, n ,
j  0, 2m  i ,
r  0,  2m  1 2m1  1  n  1 . При
i  j  l  0 имеем слагаемое, не содержащее параметров нелинейной
функции y  t  : C20m C20m 110 20b0  k  2m1  yk 2m1  yk 2m1 .
0
Обозначим


2m 2m 1
f r k , yk , yk 1 ,, yk  2m1    C2i m C2jm i  k  2m 1  2i  j  yk  2m1  2i  j .
i 0 j 0
Тогда полученная дискретная модель может быть представлена в
виде
R
 f k, y , y
r 1
где
r
r
k
k 1
,, yk  N   f R 1  k , yk , yk 1 ,, yk  N  ,
R   2m  1 2m1  1  n  1  1,
f R 1  k , yk , yk 1 , , yk  N   yk  2m1 ,
N  2m1 , что и требовалось доказать.
Линейные параметрические дискретные модели (ЛПДМ) строятся на основе уравнений колебаний, разрешенных относительно
обобщенной координаты. Нестационарный режим колебаний диссипативных систем со слабой нелинейностью в общем виде описываетt  0   F  t, где а(t) – монотонно
ся уравнением y  t  a t c o s 
92
убывающая, медленно изменяющаяся (вследствие малой диссипации
энергии) функция; F(t) – монотонная составляющая в уравнении колебаний.
Полученная в результате временной дискретизации с периодом 
последовательность отсчетов обобщенной координаты yk  y  k 
может быть описана дискретной функцией
yk  ak cos  k   0   Fk ,
(2.104)
где ak  a  k  , Fk  F  k  .
Представим (2.104) в виде
B  k  yk  a0 cos  k   0   B  k  Fk ,
(2.105)
где B(k) – дискретная функция, значения которой совпадают со значениями непрерывной, в общем случае нелинейной по параметрам,
a
функции B  t   0 при t  k  , k  N , a(t )  0 .
a t 
Применим z–преобразовани3 [29] к дискретным функциям в
(2.105):
cos 0  z 1 cos    0 
Z  B  k  yk   a0
 Z B  k  Fk  , (2.106)
z 2  0 z 1  1
где 0  2cos  .
Пусть
Z B  k  Fk 
изображение
рациональной функцией
Rl 1  z 1 
Ql  z 1 
представлено
дробно-
, где Rl 1  z 1  и Ql  z 1    qi z  i –
l
i 0
многочлены степени  l  1 и l от z–1.
Тогда из (2.106) в пространстве z–изображений получаем уравнение вида  Dl  2  z 1   o z 1Ql  z 1   Z B  k  yk   El 1  z 1  ,
где
D
1
l 2
El 1
l 2
 z    d z  1  z   Q  z  ,
 z   a cos  a cos     z  Q  z    z
i 0
i
2
i
1
l
1
1
0
0
0
0
1
l
2
 0 z 1  1 Rl 1  z 1  .
Возвращаясь с помощью обратного z–преобразования в пространство оригиналов, используя при этом теорему смещения [29],
получаем разностное уравнение
93
l 2
l 1
i 0
i 0
  qi  qi 2  0 qi 1  B  k  i  yk i   ei k i ,
(2.107)
где ei – коэффициенты многочлена El 1  z 1  ;  k – дискретная дельта–
1, при k  0 ,
последовательность:  k  
qi  0 , при i<0 и i>l.
0, при k  0 ,
Для того чтобы дискретная модель (2.107) была линейной,
должна быть линейной по параметрам дискретная функция B(k), а
следовательно, и B(t). В частности, такому требованию отвечает
m
многочлен Bm  k    b j k j , где т – степень многочлена.
j 0
Таким образом, представление функции B  t  
a0
в виде мноa t 
гочлена от t (например, с помощью линеаризации), коэффициенты
которого через известные соотношения связаны с параметрами нелинейной функции, является достаточным условием построения линейно-параметрической дискретной модели.
Использование математического аппарата z–преобразования и
представление функции B(t) в форме многочлена допускают различные подходы к построению ЛПДМ в зависимости от требований и
условий проведения экспериментальных исследований. Целесообразность того или иного подхода определяется априорной информацией о параметрах входного воздействия и частоте колебаний, возможностью проведения дискретных по времени измерений входного
воздействия, видом функции, описывающей монотонную составляющую. Систематизация подходов к построению ЛПДМ в зависимости от перечисленных выше факторов представлена в виде схемы
на рис. 2.9.
Наиболее общим является подход, предполагающий отсутствие
дискретных измерений входного воздействия, использующий полиномиальную аппроксимацию монотонной составляющей и позволяющий, при необходимости, вычислять параметры входного воздействия.
Представим функцию F(t) в виде многочлена степени п , используя разложение в ряд Тейлора в окрестности точки t = 0, что всегда
можно сделать в силу аналитичности функции
94
F t   F  0  F   0 t 
1.Измерение входного
2!
t2  
1  n
F  0  t n  Fn  t  . (2.108)
n!
Отсутствие результатов
измерений входного
воздействия
воздействия в дискретные
F   0 
моменты
Использование измерений входного
воздействия
времени
Математические операции над функцией,
описывающей тренд
разложение в степенной ряд
2.Форма
мате-
Многочлен относительно
дискретного времени
матического
описания
коэффициенты многочлена
тренда
3.Априорная
подлежат
информация о определению
не подлежат
определению
применение z-преобразования
Полиномиальная дробь
в пространстве изображений
параметры функций в
пространстве изображений
известны
(заданы)
не
известны
параметрах
тренда
4.Априорная
ин-
формация
о
частоте колебаний системы
– частота колебаний системы неизвестна и подлежит определению
2.110–
–2.112
2.114–
–2.116
2.114–
–2.122
2.118–
–2.121
2.123–
–2.125
– частота колебаний системы известна и не подлежит определению
2.126,
2.111
2.130,
2.131
2.130,
2.131
2.128,
2.129
2.132–
–2.134
Р и с. 2.9. Систематизация подходов к построению ЛПДМ
и разностных уравнений в зависимости от требований и
возможностей экспериментальных исследований
На небольших отрезках времени, достаточных для оперативной
идентификации системы, функции F(t) близки к линейным. Поэтому
соответствующим выбором числа членов разложения всегда можно
обеспечить заданную точность приближения.
95
Для дискретных моментов времени из (2.108) получаем
n
F0i i
2
n
i
 , i  0, n .
Fn  k   f 0  f1k  f 2 k    f n k   f i k , где f i 
i!
i 0
Представим уравнение (2.104) в виде
Bm  k  yk  a0 cos  k   0   Bm  k  Fn  k  .
(2.109)
Отсюда
cos 0  z 1 cos    0 
Z Bm  k    yk  Fn  k    a0
.
z 2  0 z 1  1
После простых преобразований в пространстве изображений,
используя теорему смещения, можно получить равенство
Bm  k   yk  Fn  k    0 Bm  k  1  yk 1  Fn  k  1   Bm  k  2  


  yk 2  Fn  k  2    a0 cos 0   k  a0 cos   0   k 1.
Отсюда при k  2 получаем линейное разностное уравнение, описывающее колебания диссипативной системы:
m
m
0 yk 1    j  k j yk   k  2  yk 2    m  j  k  1 yk 1 
j 1
j


j
j 1
m n
   j k j  yk  yk  2 .
(2.110)
j 0
Здесь коэффициенты ЛПДМ описываются формулами
0  2cos  ,  j  b j , m  j  0  j , j  1, m ,

nm
i 1




g

 1  2i  0  gi ,

0
0

i 0

n  m 1

i 3
i
i
1   g1    1 Ci 1  2  0  gi 1 ,
i 0

.........................................................

nm j
 j   g j    1i  2 j 1 Cii j  2i  0  gi  j ,

i 0
.........................................................

 n  m   0  2  g n  m ,


96
(2.111)
где переменные g j , j  0, n  m , являются коэффициентами мноnm
гочлена Gn  m  k    g j k j  Bm  k  Fn  k  и при т  п вычисляются по
j 0
формулам
 j
 bi f j i , 0  j  m ,
 i 0
m
g j   bi f j i , m  j  n ,
 i 0
n m j
  bm i f j  m i  , n  j  n  m .
 i 0
(2.112)
Для случая т  п в (2.112) достаточно переобозначить переменные
(заменить литеру b на литеру f и наоборот).
Порядок модели (2.110) определяется числом коэффициентов
ЛПДМ и равен п+3m+2. Данная модель реализует наиболее общий
подход и с учетом (2.111) и (2.112) позволяет найти не только динамические характеристики системы, но и параметры тренда.
Рассмотрим частный случай, соответствующий режиму свободных колебаний: F  t   0 , т.е. f i  0, i  0, n . Согласно (2.111) и
(2.112) переменные g j и  j , j  0, n  m , также равны нулю. Разностное уравнение (2.110) вырождается в уравнение вида
2
0 yk 1  1  kyk   k  2  yk  2   2  k 2 yk   k  2  yk  2   ...


m
2
m
  m  k yk   k  2  yk  2   m 1  k  1 yk 1  m  2  k  1 yk 1  ...


  2m  k  1 yk 1  yk  yk 2 , k  2,
где коэффициенты i определяются формулами
m
(2.113)
0  2cos ,  j  bj , j  1, m, m j  0 j , j  1, m . (2.114)
Линейная дискретная модель (2.113) имеет порядок r = 2m+1 и
описывает свободные колебания нелинейной диссипативной системы.
Способность к идентификации тренда означает расширение
функциональных возможностей ЛПДМ (2.110). Однако, если в ходе
эксперимента не требуется определение параметров монотонной составляющей, то целесообразно использовать более простую (мень97
шего порядка), а, следовательно, и более устойчивую в вычислительном отношении модель.
Для построения такой модели, с учетом формул
z–преобразования для последовательности k j [29], представим изображение z Gnm  k  в виде дробно-рациональной функции (полиномиальной
z Gn  m  k  
дроби)
Rl 1  z 1 
1  z 
1 l
,
где
l  n  m 1 ,
Rl 1  z 1  и 1  z 1     1 Cli z i – многочлены степени  l  1 и l
l
l
i
i 0
относительно z –1 .
Тогда из (2.109) следует:
z  Bm  k  yk   a0
cos 0  z 1 cos    0 

Rl 1  z 1 
.
1  z 
Отсюда D  z  z B  k  y    z Q  z  z B  k  y   E  z  ,
где Q  z    q z  1  z  ; D  z    d z  1  z   1  z  ;
l 2
l
El 1  z
1
1
1
m
l
1
a
0
z 2  0 z 1  1
i 0
k
0
1 l
i
i
1
l
l 2
1 l
m
1
k
l 2
i
l 1
2
1
1 l
i
i 0
cos 0  z cos   0  1  z 1  
1
l
 1  0 z 1  z 2   Rl 1  z 1  .
Коэффициенты qi и d i соответствующих многочленов вычисляются по формулам
qi   1i Cli ;
i  0, l ,
q0  1,

(2.115)

i
i
i 2
d

q

q


1
C

C
,
i

0,
l

2,
d

1.





i
i
i

2
l
l
0

при условии Cli  0 при i < 0 и i > l , и для многочленов до седьмой
степени включительно представлены в табл. 2.9.
Возвращаясь в пространство оригиналов и используя при этом
теорему смещения, после простых алгебраических преобразований,
для k  l + 2 получаем разностное уравнение в виде
l
m
 l 2

j
0  qi yk i 1    j   di  k  i  yk i  
i 0
j 1
 i 0

98
m
j
 l
 l 2
  m  j   qi  k   i  1 yk i 1    di yk i .
j 1
 i 0
 i 0
(2.116)
Здесь коэффициенты  j , j  0,2m описываются формулами (2.114).
При таком подходе порядок полученной ЛПДМ равен 2т+1, что
на l+1 меньше, чем в предыдущем случае.
Таблица 2.9
Коэффициенты многочленов Ql  z 1  и Dl  2  z 1 
 
1
Коэффициенты многочлена Dl  2 z
l
d9 d8
d7 d6
d2
d1
d0
-1
7
-22 42 -56
56 -42 22
-7
1
7
1
-6
16 -26
30 -26 16
-6
1
6
-1
5
-11
15 -15 11
5
1
5
1
-4
7
-8
7
-4
1
4
-1
3
-4
4
-3
1
3
1
-2
2
-2
1
2
-1
1
-1
1
1
1
1
-1
2
1
-2
1
3
1
-3
3
4
1
-4
6
-4
1
5
1
-5
10
-10
5
-1
6
1
-6
15
-20 15
-6
1
-7
21
-35 35 -21
7
q0 q1
q2
q3
q6 q7
7
-1
q4 q5
d5
1
-1
Коэффициенты многочлена Ql  z
1

d4
d3
l
Модель в форме (2.116) при коэффициентах  j и m j , j  0, m
содержит функции от взвешенных отсчетов ординат колебаний y k в
виде их линейных комбинаций:
n  m 1
j

 L1 j  n, k    qi  n   k   i  1  yk  i 1 ,

i 0
(2.117)

n m3
j
 L  n, k  
d i  n  k  1 yk i ,

 2 j
i 0
где qi  n  и d i  n  зависят от степени п аппроксимирующего многочлена Fn  t  и определяются по (2.115) или выбираются из табл. 2.9
при l  n  m  1 .
При увеличении степени аппроксимирующего многочлена
Fn  t  с целью повышения адекватности математической модели из99
менение линейных комбинаций (2.117) может быть описано рекуррентными формулами

 L1 j  n  1, k   L1 j  n, k   L1 j  n, k  1 ,


 L2 j  n  1, k   L2 j  n, k   L2 j  n, k  1 , j  0, m .
Таким образом, данная модель имеет преимущества, связанные
с возможностью реализации итерационной процедуры уточнения
оценок динамических характеристик. Это достигается за счет увеличения порядка многочлена, аппроксимирующего монотонную составляющую.
Рассмотренные подходы не связаны с конкретным видом функции F  t  , требуют только ее аналитичности и в этом смысле универсальны. Наиболее эффективны эти подходы при полиномиальных
функциях F  t  , в частности, при линейно изменяющемся тренде.
Иной подход, в основе которого лежит применение z–
преобразования непосредственно к функции F  t  , учитывает конкретный вид этой функции и тем самым позволяет устранить погрешность аппроксимации ее многочленом. Единственным требованием является представимость изображения функции в виде рациональной дроби.
Применяя z–преобразование к (2.105), получаем
cos 0  z 1 cos   0 
z  Bm  k  yk   a0
 z Bm  k  F  k  ,
1  0 z 1  z 2
где 0  2cos  .
Так как Bm  k  многочлен степени т, а z F  k  может быть
представлено в виде z F  k  
Sn 1  z 1 
Pn  z 1 
, где Sn1  z 1  и Pn  z 1  –
соответственно многочлены степени п – 1 и n относительно z 1 , то
Rl 1  z 1 
1 m
j
z Bm  k  F  k    b j z k P  k  
,
c j 0
Ql  z 1 
где l  n  m  1 , Ql  z 1    qi z i   Pn  z 1  
i 0
l
100
m 1
, причем всегда мож-
но обеспечить выполнение условия q0  1 .
Тогда получаем:
Ql  z 1 1  0 z 1  z 2  z Bm  k  yk  
 a0 cos 0  z 1 cos   0  Ql  z 1   1  0 z 1  z 2  Rl 1  z 1  .
Отсюда для k  l  2 в зависимости от вида алгебраических преобразований в пространстве изображений можно получить различные по
форме разностные уравнения.
Если коэффициенты модели определить по формулам
1  0  q1 , 2  0 q1  q2 , i  0 qi 1  qi  qi 2 , i  3, l  2,


(2.118)
l  2 j  b j , l  2im  j  i b j , i  1, l  2, i  2, j  1, m ,


l  2 2 m  j   0 q1  q2  1 b j , i  2, j  1, m ,
полагая при этом qi  0 при i  0 и i  l  2 , а q0  1 , то соответствующее разностное уравнение принимает вид
l 2

i 1
i
m
l 2
m
j 1
i 1
j 1
yk i   l  2 j k j yk    l  2im  j  k  i  yk i  yk  yk  2 ,
j
k l 2
(2.119)
Порядок этой модели r   l  2  m  1  m . В частности, при экспоненциальной монотонно убывающей аддитивной составляющей в
модели колебаний систем с турбулентным трением (п=1, т=1, l=2)
число коэффициентов модели (2.119) равно 9, а сама модель принимает вид
1 yk 1  2 yk  2  3 yk 3  4 yk  4  5 k yk  6  k  1 yk 1 
7  k  2  yk  2  8  k  3 yk 3  9  k  4  yk  4  yk  yk  2 , k  4 .
Применение других алгебраических преобразований в пространстве изображений приводит к разностному уравнению вида
m
l
0 yk 1    j  k j yk   k  2  yk  2    m i  yk i  yk i  2  
j 1
l
m
j


i 1
l
j
j
 l im j  k  i  yk i   k  i  2  yk  i  2    l  l 1 mi yk i 1 

 i 1
i 1 j 1
101
l
m
 l 1 m 2l im  j  k   i  1 yk i 1  yk  yk  2 , k  l  2 ,
j
(2.120)
i  0 j 1
в котором коэффициенты  j , j  0,1,, 2l  m  1  2m описываются
формулами
  2cos  ;   b , j  1, m ;   q , i  1, l ;
j
j
m i
i
 0

(2.121)
l  im  j  b j qi , i  1, l , j  1, m; l   l 1 m  i  0 qi , i  1, l ;

 l 1 m  2l  im  j  0 b j qi , i  0, l , j  1, m .
Порядок альтернативной модели r  2l  m  1  2m  1 . Легко
убедиться, что для любых значений n , m  N эта модель имеет
больший порядок и, следовательно, в этом отношении проигрывает.
Однако, в отличие от предыдущей, она позволяет непосредственно
оценивать коэффициенты qi , связанные с параметрами тренда, и
функцию частоты колебаний 0  2cos  .
Если параметры входного воздействия известны, то коэффициенты qi многочлена Ql z 1 могут быть определены априори. В этом
 
случае разностные уравнения (2.119) и (2.120), при условии qi  0
для i  0 и i  l , приводятся к одному и тому же виду:
l
m
l 2
j 1
i 0
0  qi yk i 1    j   qi  qi  2  k  i  yk i 
i 0
m
l
j 1
i 0
j
l 2
 m j  qi  k   i  1  yk i 1    qi  qi  2  yk i ,
j
(2.122)
i 0
где коэффициенты модели  j , j  0,2m , описываются формулами
(2.114). Эта модель имеет порядок r  2m  1 . Очевидно, что она по
форме, совпадая с моделью (2.116), обобщает ее. Последняя может
рассматриваться как частный случай, при котором знаменатель полиномиальной
дроби
равен
1  z 
z–изображению многочлена степени
1 n
,
 n  1 ,
что
соответствует
описывающего тренд.
При этом qi , i  0, l в (2.122) выражаются через биномиальные коэффициенты по формулам (2.115).
102
Если экспериментальные исследования колебаний нелинейной
диссипативной системы предполагают измерение входного воздействия через равные промежутки времени, то полученная в результате
этого последовательность Pk , k  N , может быть непосредственно
использована в алгоритме построения разностного уравнения.
Дискретная функция (2.104) в пространстве изображений может
быть представлена в виде

P 

z  Bm  k   yk  k   1  0 z 1  z 2   a0 cos 0  z 1a0 cos   0  .
c 


Отсюда, используя свойства z–преобразования, получаем линейную
дискретную модель
m
m b
m
j
j
j
j
b j  k j yk   k  2  yk  2    k j Pk   k  2  Pk  2    0b j  k  1 yk 1 





j 0
j 0 c
j 0
m
bj
j 0
c
  0
 k  1
j
Pk 1  a0 cos 0   k  a0 cos   0   k 1 ,
где  k – дискретная дельта-последовательность.
В частности, при k  2 имеем
m
m
0 yk 1    j  k j yk   k  2  yk 2    m  j  k  1 yk 1 
j 1
m
j


j
j 1
m
j
j
 2 m1 j  k j Pk   k  2  Pk  2    3m 2 j  k  1 Pk 1  yk  yk  2 , (2.123)


j 0
j 0
где
1

0  2cos  ;  j  b j , j  1, m ; m  j  0b j , j  1, m ; 2 m 1  c ;
(2.124)

j
0  j
0

 , j  1, m ; 3m  2  ; 3m  2 j 
, j  1, m .
 2 m 1 j c
c
c
Порядок построенной модели r  4m  3 .
Если имеется априорная информация о жесткости МС, например, при известной частоте колебаний  и массе системы т жесткость может быть вычислена по формуле c  m 2 , то модель (2.123)
упрощается и принимает вид
 
P  m
P 
P 
j

0  yk 1  k 1     j  k j  yk  k    k  2   yk  2  k  2   
c  j 1  
c 
c 


103
m
P 
P
P
j
  m  j  k  1  yk 1  k 1   yk  k  yk  2  k  2 , k  2 .
c
c
c


j 1
(2.125)
Здесь коэффициенты  j , j  0,2m , описываются формулами (2.114),
а порядок модели r  2m  1 .
При Pk  0,  k  N , имеем частный случай, соответствующий
режиму свободных колебаний. При этом модели (2.123) и (2.125)
принимают вид (2.113).
При диагностике технического состояния механической системы наибольший интерес представляет определение характеристик
рассеяния колебательной энергии, в том числе нелинейности диссипативной силы. Определение частоты колебаний системы, как самостоятельная задача, в ряде случаев не представляет особого интереса
и достаточно просто и точно решается с помощью современных технических средств [16, 32].
При известной частоте колебаний (а значит, и известном коэффициенте 0 ) построенные выше модели упрощаются, существенно
уменьшается число параметров модели (ее порядок), а, следовательно, повышается вычислительная устойчивость алгоритмов вычисления динамических характеристик.
При использовании полиномиального тренда легко убедиться,
что модель (2.110) трансформируется в модель вида
m
nm
  j 0  k  1 yk 1  k j yk   k  2 yk 2    j k j 
j 1
j

j

j 0
 yk  0 yk 1  yk 2 , k  2 .
Здесь коэффициенты
 j , j  1, m ,  j , j  0, n  m , определяются
формулами (2.111), порядок модели равен n  2m  1 .
В частном случае, соответствующем режиму свободных колебаний при известной частоте , имеем
2
2
1 0  k  1 yk 1  kyk   k  2  yk  2   2 0  k  1 yk 1  k 2 yk   k  2  yk  2  


m
m
m
...  m 0  k  1 yk 1  k yk   k  2  yk  2  


 yk  0 yk 1  yk 2 , k  2.
(2.127)
При использовании подхода, не предусматривающего определение параметров тренда, при известной частоте колебаний, разност104
(2.1
ное уравнение будет получено ниже, как частный случай более общего решения.
В том случае, когда в основе построения ЛПДМ лежит применение z–преобразования непосредственно к функции F  t  и представление изображения в форме полиномиальной дроби, разностное
уравнение с учетом известной частоты колебаний выводится из
уравнения (2.120) и принимает вид
m

j 1
j
 k j yk  0  k  1 j yk 1   k  2  j yk  2  


l
  m i  yk i  0 yk  i 1  yk  i  2  
i 1
l
m
j
j
j
 l im j  k  i  yk i  0  k  i  1 yk i 1   k  i  2  yk i  2  


i 1 j 1
 0 yk 1  yk  yk 2 ,
k l 2 .
(2.128)
Порядок модели r   m  1 l  m , а ее коэффициенты описываются формулами
 j  bj , mi  qi , l im j   j mi ,
i  1, l , j  1, m . (2.129)
Если при этом параметры тренда известны (заданы), то модель
(2.128) трансформируется в модель порядка r  m , разностное уравнение которой имеет вид
m
l
   q  k  i 
j
j 1
i 0
i
j
yk i  0  k  i  1 yk i 1   k  i  2  yk i  2  

j
j
l
  qi 0 yk i 1  yk i  yk i  2  , k  l  2,
(2.130)
i 0
где
 j  bj , j  1, m .
(2.131)
Частным случаем уравнения (2.130) при qi   1 Cli , i  0, l ,
является модель, не предусматривающая определение коэффициентов многочлена, описывающего тренд.
При использовании результатов эквидистантных измерений
входного воздействия и известной частоте колебаний соответствующие ЛПДМ могут быть описаны разностными уравнениями, полученными из (2.123) и (2.125) с учетом известной величины 0 :
i
105
m

j 1
j
 k j yk  0  k  1 j yk 1   k  2  j yk  2   m 1  Pk  0 Pk 1  Pk  2  


m
j
j
 m1 j  k j Pk  0  k  1 Pk 1   k  2  Pk  2  


j 1
 0 yk 1  yk  yk 2 , k  2 ,
где коэффициенты модели  j определяются по формулам
(2.132)
bj
1
(2.133)
, j  1, m .
c
c
При известной жесткости системы имеем
m
 
P 
P 
P 
j
j
 j  k j  yk  k   0  k  1  yk 1  k 1    k  2   yk  2  k  2   

c 
c 
c 


j 1
 
P  
P  
P 

 0  yk 1  k 1    yk  k    yk  2  k  2  , k  2 ,
(2.134)
c  
c  
c 

 j  b j , m1  , m1 j 
где  j  bj , j  1, m .
Рассмотренные подходы к построению ЛПДМ и соответствующие им разностные уравнения систематизированы в виде схемы,
представленной на рис. 2.9.
Несмотря на разнообразие построенных моделей в зависимости
от требований и возможностей экспериментальных исследований,
все они могут быть рассмотрены с единых позиций, на основе общих
приемов, используемых во всех подходах, таких как локализация
гармонической функции с последующим ее z–преобразованием и
представление монотонных функций в виде многочленов относительно дискретного времени (в пространстве оригиналов) или относительно переменной z 1 (в пространстве изображений).
Такое обобщение позволяет не только добиться компактной записи полученных формул, но, что более важно, определить место
разработанного математического описания в современной классификации линейных параметрических дискретных моделей и на основании этого выбрать наиболее эффективные алгоритмы идентификации.
Все построенные модели, независимо от используемого подхода, посредством некоторого преобразования могут быть представлены в форме разностного уравнения с переменными коэффициентами,
106
которые при малой диссипации энергии колебаний (слабой нелинейности) являются медленно изменяющимися функциями.
При таком представлении модели (2.110) и (2.126) имеют вид
 k yk   k 1 yk 1   k 2 yk 2  k ,
k 2,
где
m

m

j 1

 k  1    j k j ;  k 1  0 1    j  k  1  ;
j 1
m
j

nm
 k 2  1    j  k  2  ;
 k   i k i .
j
j 1
(2.135)
i 0
Для большинства полученных моделей: (2.116), (2.119), (2.122),
(2.128) и (2.130) разностное уравнение с переменными коэффициентами принимает вид
 k yk   k 1 yk 1  ...   k l  2 yk l  2   0, k  l  2 .
Здесь коэффициенты  k  i описываются формулой

m

j 1

 k i   qi  qi 2  0 qi 1  1    j  k  i   , i  1, l  2 ,
j

где qi  0 при i  0 и i  l .
Модели (2.123), (2.125), (2.132) и (2.134), предусматривающие
измерение параметров входного воздействия, могут быть представлены в виде разностных уравнений, в которых переменными являются коэффициенты не только при отсчетах выходной обобщенной координаты, но и при отсчетах входного воздействия:
где  k  i
 k yk   k 1 yk 1   k 2 yk 2  k Pk  k 1 Pk 1  k 2 Pk 2 ,

описываются формулами (2.135), а  k i  k i , i  0, 2 .
c
В частном случае, соответствующему режиму свободных колебаний, все три разностных уравнения с переменными коэффициентами вырождаются в уравнение вида
 k yk   k 1 yk 1   k 2 yk 2  0,
k 2,
где  k i , i  0, 2 описываются формулами (2.135).
Таким образом, единая форма математического описания не зависит от используемого подхода. Это позволяет определить класс
107
полученных моделей, как дискретных моделей, описываемых линейными разностными уравнениями с переменными коэффициентами.
Особо следует отметить подход, связанный с построением модели (2.116), которая позволяет при отсутствии априорной информации о характере монотонной составляющей, последовательно увеличивая число используемых отсчетов ординат колебаний и изменяя
соответствующим образом коэффициенты в линейных комбинациях,
обеспечить требуемую точность математического описания колебаний диссипативной системы.
При разработке линейно-параметрических дискретных моделей
колебаний для основных типов диссипативных систем применим
рассмотренные выше подходы к функциональным зависимостям
(2.77)–(2.80). Для каждого типа модели построим разностные уравнения, соответствующие наиболее распространенным режимам
функционирования системы (свободные колебания, реакция системы
на ступенчатое, линейное и экспоненциальное воздействие), а также
ЛПДМ, описывающую реакцию системы при полиномиальной аппроксимации аддитивной составляющей в решении соответствующего дифференциального уравнения.
2.4. Линейно-параметрические дискретные модели
колебаний систем с линейно-вязким трением
Это наиболее простой тип моделей, который соответствует линеаризованному дифференциальному уравнению. Дискретная функция, описывающая временную последовательность отсчетов ординат
колебаний этих систем, имеет вид
 
yk  a0 exp   0
 T

k  cos  k   0   Fk , k  N .

(2.136)
Очевидно, что существует простое по форме z–преобразование
  
выражения exp   0 k  cos  k   0  [29]. Поэтому аппроксимация
 T 
огибающей колебаний дробно–рациональной функцией в данном
случае не целесообразна, так как повлечет за собой дополнительную
погрешность.
Применение z–преобразования к (2.136) дает
108
 
cos 0  z 1 exp   0  cos    0 
 T 
z  yk   a0
 z Fk  ,
1  1 z 1  2 z 2
(2.137)
 
 2  
где 1  2exp   0  cos  , 2  exp   0  .
 T 
 T 
Пусть монотонная составляющая на некотором промежутке
времени с достаточно высокой точностью аппроксимируется линейной функцией
f
F t   f0  1 t .

Используя подход, приводящий к модели (2.110), получаем
1   z
1
1
 2 z 2  z  yk  f0  f1k 
 
 a0 cos 0  z 1a0 exp   0  cos   0  .
 T 
Отсюда с помощью обратного z–преобразования, используя теорему
смещения [29], после простых алгебраических преобразований, имеем
 
1 yk 1  2 yk  2  0  1k  yk  a0 cos 0  k  a0 exp   0  cos   0  k 1 ,
 T 
1, при k  0,
где  k  
– дискретная дельта–последовательность.
0, при k  0,
При k  2 разностное уравнение принимает вид
1 yk 1  2 yk 2  0  1k  yk .
Здесь коэффициенты модели вычисляются по формулам
(2.13

  0 
 2 0 
1  2exp  
 cos  ; 2  exp   T  ;
T
(2.139)





  f 1       f    2  ;   f 1      .
0
1
2
1
1
2
1
1
1
2
 0
Случай f0  f1  0 соответствует режиму свободных колебаний:
1 yk 1  2 yk 2  yk ,
k  2,
(2.140
где 1 и 2 описываются формулами (2.139).
109
Случай f1  0 , f0  const  0 соответствует ступенчатому скачкообразному воздействию на систему. При этом уравнение (2.138)
вырождается в уравнение
1 yk 1  2 yk 2  0  yk ,
k 2,
коэффициенты которого определяются по формулам:
 
 2 
1  2exp   0  cos  ; 2  exp  
 ; 0  f 0 1  1  2  . (2.141)
 T 
 T 
Пусть монотонная составляющая аппроксимируется экспоненциальной функцией
F  t   f 0  f1 exp   t  .
При этом случай f1   f 0 соответствует приложению воздействия к
системе, а f 0  0 – его снятию (см. соответственно формулы (2.2)
или (2.6)).
Z– изображение последовательности отсчетов экспоненциальf 0  f1   f 0 e   f1  z 1
ной функции (2.142) имеет вид Z Fk  
.
1  1  e   z 1  e  z 2
Тогда с учетом (2.137) получаем уравнение в пространстве изображений
1  z1 1  1z1  2 z2  3 z3  z  yk   g0  g1z1  g2 z 2  g3 z 3 ,
где
  0 
 cos   exp    ,
 T 
 2  
 
2  exp   0   2exp     exp   0
 T 
 T
 2  
3  exp   0  exp    ,
 T 
g0  a0 cos 0  f0  f1 ,
1  2exp  

 cos  ,

 
g1  a0 cos 0 1  exp      exp   0  cos    0  
 T 
 
 2exp   0  cos    f 0  f1   f 0 exp     f1 ;
 T 
110
(2
 
g 2  a0 cos 0  exp     a0 exp   0  cos   0  
 T 
 2  
1  exp     exp   0   f 0  f1  
 T 
 
 2exp   0
 T

 cos   f 0 exp     f1 ;

 
g 3  a0 exp   0  cos    0   exp    
 T 
(2.143)
 2 0 
  f 0 exp     f1  exp  
.
 T 
Отсюда для k  4 получаем разностное уравнение вида
1  yk 1  yk  2   2  yk  2  yk 3   3  yk 3  yk  4   yk  yk 1 , (2.144)
коэффициенты которого определяются формулами (2.143).
Очевидно, что разностное уравнение (2.144) не зависит от характера (возрастания или убывания) экспоненциальной функции, а
определяется только ее постоянной времени .
Реализуя подход, позволяющий в моделях рекуррентно изменять
линейные комбинации отсчетов y k с целью обеспечения необходимой точности аппроксимации монотонной составляющей многочленом степени п, представим изображение последовательности
Rn  z 1 
Fk  F  k  в виде Z  Fk  
, где Rn z 1 – некоторый мно1 n 1
1  z 
 
гочлен степени п относительно z–1.
После подстановки в (2.137) и простых алгебраических преобразований в пространстве z–изображений получаем
n 1
n 1
1   1 Cni 1 z  i 1 z  yk   2   1 Cni 1 z i  2 z  yk  
i
i 0
n 1
i
i 0
   1 Cni 1 z  i z  yk   En  2  z 1  ,
i
i 0
где En 2  z 1  – многочлен степени  n  2  относительно z–1, коэффициенты которого определяются начальными условиями; Cni 1 – биномиальные коэффициенты.
111
Возвращаясь в пространство оригиналов, используя при этом
теорему смещения, для k  n  3 получаем разностное уравнение
n 1
n 1
n 1
1   1 Cni 1 yk 1i 2   1 Cni 1 yk 2i    1 Cni 1 yk i , (2.145)
i
i 0
i 0
i
i
i 0
коэффициенты 1 и 2 которого определяются формулами (2.141).
В частных случаях при п = 0 (ступенчатое скачкообразное воздействие) и п = 1 (линейно–изменяющееся воздействие) соответственно имеем
1  yk 1  yk  2   2  yk  2  yk 3   yk  yk 1 ,
k  3 , (2.146)
1  yk 1  2 yk 2  yk 3   2  yk 2  2 yk 3  yk 4  
 yk  2 yk 1  yk 2 ,
k  4 . (2.147)
Очевидна следующая интерпретация полученных результатов.
Модели (2.146), (2.147) и (2.145) по сути дела есть ничто иное, как
дискретная модель (2.140) свободных колебаний системы с линейно–
вязким трением, записанная в первых, вторых и, в общем случае,
 n  1 конечных разностях, соответственно [28]. Тогда (2.145) в конечных разностях можно представить в виде
1 n1 yk  2n  2  n1 yk 3n   n1 yk 1n , (2.148)
n 1
где  n 1 yk l 1 n    1 Cni 1 yk l i – конечная разность порядка  n  1 ,
i
i 0
l  0,1,2 .
Отсюда следует важный вывод. С целью повышения степени
адекватности линейно параметрической дискретной модели в форме
разностного уравнения колебаний систем с линейно-вязким трением
целесообразно перейти к разностям в соответствии с (2.148). При
этом порядок конечной разности определяется степенью п многочлена, аппроксимирующего монотонную составляющую. При отсутствии надежной априорной информации о степени аппроксимирующего многочлена процедура формирования ЛПДМ может иметь рекуррентный характер и быть прервана, когда мера адекватности стабилизируется.
112
2.5. Линейно параметрические дискретные модели колебаний систем с кулоновым (сухим) трением
Временная последовательность отсчетов ординат колебаний
системы с кулоновым трением описывается дискретной функцией
  
yk  a0 1  0 k  cos  k   0   Fk , k  N .
(2.149)
T 

Так как огибающая амплитуд колебаний описывается линейной
функцией, то одним из подходов к построению соответствующего
разностного уравнения является использование z–преобразования:
   
 f  f z 1  f 2 z 2  f 3 z 3
z 1  0 k  cos  k    0   0 1
,
1
2 2
T 


1


z

z


0
 
где 0  2cos  , f 0  cos 0 , f1  1  0
T


 cos    0  



2cos   0  ; f 2  2cos   cos    0   1  2 0  cos 0 ;
T 

 
f3  1  0  cos    0  . Тогда модель колебаний систем с кулоT 

новым трением в пространстве изображений может быть описана
выражением
1  20  z 1  z 3    2  02  z 2  z 4   z  yk  Fk   f 0  f1 z 1  f 2 z 2  f3 z 3 .


f
Используя линейную модель для тренда F  t   f 0  1 t , воз-

вращаясь в пространство оригиналов, получаем
1  yk 1  yk 3   2 yk 2  0  1k  yk  2 yk 2  yk 4  f0 k  f1 k 1  f 2 k 2  f3 k 3 ,
где k – дискретная дельта-последовательность, а коэффициенты модели определяются формулами

12


4cos

;


,0   f 0  2 f1  4  21  2  ;
 1
2
(2.150)
4

  f  4  2    .
1
2
 1 1
Отсюда для k  4 получаем разностное уравнение вида
1  yk 1  yk 3   2 yk  2  0  1k  yk  2 yk  2  yk  4 .
(2.151)
113
Так как коэффициенты модели (2.151) не зависят от характеристик затухания колебаний, то данная модель имеет весьма ограниченные функциональные возможности и не позволяет оценивать
диссипативные характеристики системы.
Устранить указанный недостаток можно только изменив способ
построения разностного уравнения.
Представим исходное уравнение (2.149) в виде
yk  Fk
 a0 cos  k   0  ,
1  1k
где 1 
 0
. Используя z–преобразование, можно получить выражеT
y F
y F
y F
ние k k  0 k 1 k 1  k  2 k  2  a0 cos 0   k  a0 cos   0   k 1 ,
1  1k
1  1  k  1 1  1  k  2 
где k – дискретная дельта–последовательность, 0  2cos  .
При линейной аппроксимации монотонной составляющей и
k  2 отсюда следует разностное уравнение, описывающее колебания системы с кулоновым трением:
0 yk 1  1  2k  3 yk   2k 1 yk 2   2  k  1 k  2 yk  k  k  1 yk 2  
3  k  1 yk 1  4 k  k  2  yk 1  0  1k   2 k 2  3k 3  yk  yk 2 ,
коэффициенты которого определяются формулами
(2.152)
 0

2
2
0  2cos  , 1  T , 2  1 , 3  20 1 , 4  0 1 ,

 0  f 0  2  0  41  22  3   f1  2  0  21  3  ,

1   f 0  41  42  3  24   f1  2  0  81  42  23  24  , (2.153)

 2  f 0  22  4   f1  61  42  3  34  ,
  f  2    .
1
2
4
 3

Для режима свободных колебаний ( f0  f1  0 ) уравнение
(2.152) вырождается в уравнение вида
0 yk 1  1  2k  3 yk   2k 1 yk 2   2  k  1 k  2 yk  k  k  1 yk 2  
3  k  1 yk 1  4 k  k  2  yk 1  yk  yk  2 ,
114
k  2,
(2.154)
а при ступенчатом скачкообразном воздействии ( f1  0 ) в (2.152)
следует положить 3  0 . При этом  0 , 1 и  2 принимают вид
0  f 0  2  0  41  22  3  ; 1  f 0  41  42  3  24  ;

(2.155)


 2  f 0  22  4  .
При аппроксимации тренда экспоненциальной функцией (2.142)
исходное уравнение (2.149) можно представить в виде
yk  f 0
e k
.
 a0 cos  k   0   f1
 0
 0
1
k
1
k
T
T
Построение разностного уравнения при таком подходе осуществляется в два этапа. На первом этапе после применения z– преобразования к дискретным функциям в данном уравнении и последующего возвращения в пространство оригиналов, для k  2 получаем
yk  f 0
y f
y f
 0 k 1 0  k  2 0 
1  1k
1  1  k  1 1  1  k  2 
 1

0 e
e2
 f1e k 


,
1  1k 1  1  k  1 1  1  k  2  
где 0  2cos  ;
1 
 0
. Отсюда следует соотношение
T
 yk  f0  1  1  2k  3  2  k  1 k  2  
0  yk 1  f 0   1  1  2k  2   2 k  k  2  
  yk 2  f0   1  1  2k  1  2 k  k  1  e k Q2  k  , k  2,
где 2  12 , Q2  k  – квадратный трехчлен относительно k, коэффициенты которого зависят от диссипативных и резонансных характеристик системы и параметров тренда.
На втором этапе к полученному выше уравнению применим еще
раз z–преобразование. Так как при этом изображение правой части
E3  z 1 
имеет вид
, где E3  z 1  – некоторый многочлен
1 3
1  exp     z 
третьей степени относительно z–1, то уравнение колебаний системы в
пространстве изображений будет иметь вид
115
1  3e

z 1  3e2 z 2  z 3   z  yk  2  f 0  
 1  1  2k  1  2 k  k  1 
0  yk 1  f 0   1  1  2k  2   2 k  k  2  

  yk  f 0  1  1  2k  3  2  k  1 k  2   E3  z 1  .
Отсюда, возвращаясь в пространство оригиналов, после алгебраических преобразований, для k  5 получаем дискретную модель
колебаний систем с кулоновым трением при аппроксимации тренда
экспоненциальной функцией
3
3
   1 C y
i
6i
i 0
3
i
3 k 1 i
  1 6i  1 C3i  2k  3  2i  yk i   2k  1  2i  yk  2i  
i
i 0
  2 6i  1 C3i  k  1  i   k  2  i  yk i   k  i  yk  2i  
i
i 0
3
3
  3 6i  1 C3i  k  1  i  yk 1i   4 6i  1 C3i  k  i  k  2  i  yk 1i 
i
i 0
3
i
i 0
 6i 1  1 C3i  yk 1  yk  2i  +
i 1
i 1
0  1k   2 k 2  yk  yk 2 ,
k  2.
Коэффициенты данной модели описываются формулами
 0

2
2
0  2cos  , 1  T , 2  1 , 3  20 1 , 4  0 1 ,

5  e , 6 i  i 5 , i  0,4, 11  52 , 12 i  i 11 , i  0,4,

3
17  5 , 18i  i 17 , i  0,4,
  f 2    4  2    6  3  24  24 
0
1
2
3
5
6
7
8
 0 0


6


10


6


3


36


54


9


24


217 
(2.157)

9
10
11
12
13
14
15
16
  16  32  4  15 ;
19
20
21
22 
 18
   f  4  4    2  12  24  3  12  12 
0
1
2
3
4
7
8
9
10
13
1
 3614  315  1816  419  1620  21  822  ;

 2  f 0  22  4  68  310  614  316  220  22  .

116
Модель (2.156) имеет порядок, равный 26, однако для идентификации системы необходимы только два коэффициента: 0 и 1, а
для оценки постоянной времени апериодической составляющей –
один коэффициент 5.
Рассмотрим наиболее общий случай, соответствующий аппроксимации тренда многочленом степени п. Построение линейно параметрической дискретной модели в этом случае также следует проводить в два этапа.
Представим уравнение (2.149) в виде
n
yk
 a0 cos  k   0  
 0
1
fk
i 0
i
i
 0
.
k
1
k
T
T
На первом этапе после применения z-преобразования и простых
алгебраических преобразований для k2 получаем разностное уравнение вида
yk 1  1  2k  3  2  k  1 k  2  0 yk 1 1  1  2k  2  2k  k  2 
n
 yk  2 1  1  2k  1  2 k  k  1   fi k i 1  1  2k  3  2  k  1 k  2  
i 0
n
n
0  fi k 1  1  2k  2   2 k  k  2    fi k i 1  1  2k  1  2 k  k  1 .
i
i 0
i 0
Так как правая часть равенства представляет собой многочлен
степени  n  2  относительно переменной k, то z-преобразование
правой части имеет вид
E n  2  z 1 
1  z 
1 n  3
, где En 2  z 1  – многочлен сте-
пени  n  2  относительно z 1 .
С учетом этого уравнение в пространстве изображений может
быть записано в форме
n 3
  1 C
i 0
i

z  Z yk 1  1  2k  3  2  k  1 k  2  
i
i
n 3
0 yk 1 1  1  2k  2  2 k  k  2 

 yk 2 1  1  2k  1  2 k  k  1  En2  z 1  , k  0 .
117
Отсюда, возвращаясь в пространство оригиналов, после алгебраических преобразований, для k  5 получаем линейную дискретную модель в виде разностного уравнения
n 3
n 3
0   1 Cni 3 yk 1i  1   1 Cni 3  2k  3  2i  yk i   2k  1  2i  yk  2i  
i
i 0
n 3
i
i 0
n 3
2   1 Cni 3  k  1  i   k  2  i  yk 2i   3   1 Cni 3  k  1  i  
i 0
n 3
i
i
i 0
n 3
4   1 Cni 3  k  i  k  2  i  yk 1i    1 Cni 3  yk i  yk 2i  , k  n  5 . (2.158)
i
i 0
i
i 0
Коэффициенты разностного уравнения (2.158) определяются
формулами
0  2cos  , 1 
 0
, 2  12 , 3  201 , 4  012 . (2.159)
T
В частности, при аппроксимации тренда линейной функцией
 n  1 уравнение (2.158) принимает вид
0  yk 1  4 yk 2  6 yk 3  4 yk 4  yk 5   1  2k  3 yk  8 k  2 yk 6 
 14k  31 yk  2  16  k  2  yk 3  14k  25 yk  4  8  k  2  yk 5 
  2k  5 yk 6   2  k  1 k  2 yk  4  k  2 k  3 yk 1 
  7k 2  43k  72 yk 2  8  k 2  6k  11 yk 3 
  7k 2  41k  66  yk 4  4  k  3 k  4  yk 5   k  4  k  5 yk 6  
3  k  1 yk 1  4  k  2 yk 2  6  k  3 yk 3  4  k  4 yk 4   k  5 yk 5  
4 k  k  2 yk 1  4  k  1 k  3 yk 2  6  k  2 k  4 yk 3 
4  k  3 k  5 yk 4   k  4 k  6 yk 5  
 yk  4 yk 1  7 yk 2  8 yk 3  7 yk 4  4 yk 5  yk 6 ,
k 5.
(2.160)
При  n  0  имеем уравнение, описывающее реакцию системы с
кулоновым трением на ступенчатое скачкообразное воздействие:
0  yk 1  3 yk 2  3 yk 3  yk 4   1  2k  3 yk  3 2k  5 yk 1 
2 3k  11 yk 2  2  4k  9 yk 3  3 2k  5 yk 4   2k  7  yk 5  
118
2  k  1 k  2 yk  3 k  2 k  3 yk 1  2  2k 2  11k  18 yk 2 
2  k 2  9k  13 yk 3  3 k  3 k  2 yk 4   k  4 k  3 yk 5  
3  k  1 yk 1  3 k  2 yk 2  3 k  3 yk 3   k  4 yk 4  
4 k  k  2 yk 1  3 k  1 k  3 yk 2  3 k  2 k  4 yk 3   k  3 k  5 yk 4  
 yk  3 yk 1  4 yk 2  4 yk 3  3 yk 4  yk 5 ,
k 5.
(2.161)
Случай n  3 соответствует режиму свободных колебаний и
приводит к разностному уравнению (2.154).
2.6. Линейно параметрические дискретные модели колебаний систем с турбулентным (гидродинамическим) трением
Временная последовательность отсчетов ординат колебаний
систем с турбулентным трением описывается дискретной функцией
yk 
a0
1
 0
T
cos  k   0   Fk ,
kN .
k
При построении ЛПДМ в форме разностных уравнений можно
непосредственно воспользоваться результатами, полученными выше.
При этом степень многочлена Bm  k  следует положить равной единице: m  1 , а коэффициенты равными b0  0, b1 
 0
T
.
При аппроксимации тренда линейной функцией F  t   f 0 
что соответствует значению n  1 , из (2.110) следует
f1

t,
0 yk 1  1 kyk   k  2 yk 2   2  k  1 yk 1  0  1k  2k 2 
 yk  yk  2 , k  2 .
(2.162)
Здесь коэффициенты ЛПДМ с учетом (2.111) и (2.112) определяются
формулами
119
 0

0  2cos  , 1  T , 2  0 1 ,

(2.163)
 0  f 0  2  0  21  2   f1  2  0  41  2  ,

1  f 0  21  2   f1  2  0  41  22  ,  2  f1  21  2  .

При f 0  0 и f1  0 , что соответствует режиму свободных колебаний системы, уравнение (2.162) вырождается в уравнение вида
0 yk 1  1 kyk   k  2 yk 2   2  k  1 yk 1  yk  yk 2 , k  2, (2.164)
где
0  2cos  , 1 
 0
(2.165)
, 2  0 1 .
T
В другом частном случае, соответствующем ступенчатому скачкообразному воздействию  f1  0, f 0  0  , имеем
0 yk 1  1 kyk   k  2 yk 2   2  k  1 yk 1  0  1k 
 yk  yk 2 ,
(2.166)
где 0  f 0  2  0  21  2  ; 1  f 0  2  21  .
При аппроксимации тренда экспоненциальной функцией (2.144)
используем z-изображение соответствующей последовательности,
представленной выше. Применяя подход, при котором изображение
аппроксимирующей функции используется в виде рациональной
дроби от z–1, полагаем m  1 , n  2 , l  n  m  1  4 .
Коэффициенты многочлена Ql  z 1   1  z 1 1  e z 1  
m 1
в
этом случае определяются формулами
q0  1, q1  2 1  e  , q2  1  4e ,




q4  e2 .

 q3  2e 1  e  ,
Тогда в зависимости от вида алгебраических преобразований в пространстве изображений можно получить две различные по форме
линейно параметрические дискретные модели, описывающие колебания систем с турбулентным трением при экспоненциальной форме
аддитивной составляющей.
120
Если не ставится задача непосредственной оценки параметров
тренда, то может быть использовано разностное уравнение вида
6
6
i 1
i 1
 i yk i  7 kyk  7i  k  i  yk i  yk  yk 2 , k  6 . (2.167)
Порядок этой модели r  13 , а ее коэффициенты вычисляются
по формулам
1  0  q1 , 2  0 q1  q2 , 3  0 q2  q1  q3 ,

4  0 q3  q2  q4 , 5  0 q4  q3 , 6  q4 ,


7  T , 8  17 , 9   0 q1  1  q2  7 ,

9i  2i 7 , i  1, 4, 0  2cos  .
(2.168)
На основании модели (2.120) может быть построено иное разностное уравнение, позволяющее непосредственно оценивать постоянную времени апериодического процесса и функцию частоты колебаний 0 :
4


y



ky

k

2
y


1 i  yk i  yk  2 i  



k 2 
 0 k 1 1  k
i 0

5
 4
  5 i  k  i  yk i   k  2  i  yk  2 i    8 i yk i  (2.169)
i 2
 i 1
 5
k  2.
   13 i  k  i  yk i  yk  yk  2 ,
 i 1
Здесь порядок модели равен r = 19, а коэффициенты вычисляются по
формулам


0  2cos  , 1  , 1 i  qi , i  1, 4, 4 i  1i , i  2,5,
T
(2.170)

    , i  2,5,     ,      , i  2,5.
0 i
14
0 1
13 i
0 1 i
 8 i
При построении разностного уравнения колебаний систем с турбулентным трением и аппроксимации тренда многочленом n-ной
степени можно воспользоваться полученной ранее моделью (2.116),
положив m  1 , l  n  m  1  n  2 :
121
n2
n4
i 0
i 0
n2
0  qi yk 1i  1  di  k  i  yk i  2  qi  k  1  i  yk 1i 
i 0
n4
  di yk i , k  n  4.
(2.171)
i 0
Здесь 0  2cos  , 1 
 0
, 2  0 1 , а коэффициенты qi и di выT
числяются по формулам (2.115).
В частности, при аппроксимации входного воздействия линейной функцией  n  1, l  3 получаем
0  yk 1  3 yk 2  3 yk 3  yk  4   1 kyk  3  k  1 yk 1 
4  k  2  yk 2  4  k  3 yk 3  3  k  4  yk 4   k  5 yk 5  
2  k  1 yk 1  3  k  2  yk 2  3  k  3 yk 3   k  4  yk 4  
(2.172)
 yk  3 yk 1  4 yk 2  4 yk 3  3 yk 4  yk 5 , k  5.
По сравнению с (2.162) модель (2.172) не позволяет оценивать
параметры тренда, но имеет порядок r  3 и, следовательно, более
предпочтительна с точки зрения устойчивости алгоритмов вычисления ее коэффициентов.
При m  1 и n  0 имеем l  2 . Тогда из (2.116) получается разностное уравнение, описывающее реакцию системы с турбулентным
трением на ступенчатое скачкообразное воздействие:
0  yk 1  2 yk 2  yk 3   1 kyk  2  k  1 yk 1  2  k  2 yk 2 
2  k  3 yk 3   k  4 yk 4  
2  k  1 yk 1  2  k  2 yk 2   k  3 yk 3  
 yk  2 yk 1  2 yk 2  2 yk 3  yk 4 , k  4 . (2.173)
Случай l  0 и m  1 соответствует режиму свободных колебаний, а уравнение (2.116) вырождается в разностное уравнение
(2.164).
2.7. Линейно параметрические дискретные модели
колебаний систем с диссипативными силами общего вида
Линейно параметрические дискретные модели колебаний систем с диссипативными силами общего вида представляют особый
122
интерес, так как содержат параметр п, характеризующий нелинейность системы и тем самым определяющий тип диссипативной силы.
Эти модели позволяют не только оценить диссипативные и резонансные характеристики системы, но и решить задачу классификации типа нелинейности.
В соответствии с уравнением (2.80) дискретная функция, описывающая временную последовательность отсчетов ординат колебаний
таких систем, имеет вид
yk 
a0
 0
 n    
1
k  1   0  k 2
T
 2  T 
2
cos  k   0   Fk , k  N . (2.174)
Для построения разностных уравнений колебаний при монотонном характере воздействия на систему воспользуемся полученными
в п. 2.3 результатами, положив в многочлене Bm  k  из формулы
 n    
(2.109) m  2 , b1 
, b2  1   0  .
T
 2  T 
При линеаризованной функции, описывающей тренд, на основании (2.110) разностное уравнение колебаний систем с диссипативными силами общего вида может быть представлено в форме
 0
2
0 yk 1  1  kyk   k  2  yk  2   2  k 2 yk   k  2  yk  2  
2


3  k  1 yk 1  4  k  1 yk 1  0  1k   2 k 2  3 k 3 
2
 yk  yk 2 , k  2. (2.175)
Здесь коэффициенты ЛПДМ с учетом (2.111), (2.112) описываются
формулами
 n    
, 2  1   0  , 3  0 1 , 4  0 2 ,
T
 2  T 
0  f 0  2  0  21  42  3  4   f1  2  0  41  82  3  4  ;
0  2cos  , 1 
 0
2
1  f 0  21  42  3  24   f1  2  0  41  122  23  34  ;
 2  f 0  22  4   f1  21  62  3  34  ; 3  f1  22  4  . (2.176)
123
Рассмотрим некоторые частные случаи. Режиму свободных колебаний соответствует f0  f1  0 и, следовательно,  j  0, j  1,3 . В
этом случае из (2.175) получаем линейно параметрическую дискретную модель вида
2
0 yk 1  1  kyk   k  2  yk  2   2 k 2 yk   k  2  yk  2  


3  k  1 yk 1  4  k  1 yk 1  yk  yk 2 , k  2, (2.177)
2
 0
 n    
, 2  1   0  , 3  0 1 , 4  02 .
где 0  2cos  , 1 
T
 2  T 
При ступенчатом скачкообразном воздействии  f1  0, f 0  0 
модель принимает вид
2
0 yk 1  1 kyk   k  2  yk 2   2 k 2 yk   k  2  yk 2   3  k  1 yk 1 


2
4  k  1 yk 1  0  1k  2 k 2  yk  yk 2 , k  2,
2
(2.178)
где  0  f 0  2  0  21  42  3  4  ; 1  f 0  21  42  3  24  ;
 2  f 0  22  4  .
При аппроксимации тренда экспоненциальной функцией, используя полученные выше результаты, полагаем m  2 , l  6 . Коэффициенты многочлена l  z 1   1  z 1 1  e z 1   равны:
3
q0  0, q1  31  e  , q2  31  3e  e2  ,
q3   1  9 e  9 e2  e3  , q4  3e 1  3e  e2  ,
q5  3e2 1  e  , q6  e3 . (2.179)
Если коэффициенты ЛПДМ определить формулами
1  0  q1 , 2  0 q1  q2 , 3  0 q2  q3  q1 , 4  0 q3  q4  q1 ,
5  0 q4  q5  q3 , 6  0 q5  q6  q4 , 7  0 q6  q5 , 8  q7 ,
 0
n    

9 
, 10   1    0  , 11  19 , 12  110 ,
T
2  T 

13   0 q1  q2  1 9 , 14   0 q1  q2  1 10 , 9  2i  i 9 ,
2
10 2i  i 10 , i  3,8, 0  2cos  , (2.180)
то разностное уравнение имеет порядок r  26 и в соответствии с
124
(2.119) может быть представлено в виде
8
 y
i 1
i
k i
8
8
i 1
i 1
 9 kyk  10 k 2 yk   9 2i  k  i  yk i   10 2i  k  i  yk i 
2
 yk  yk  2 , k  8 . (2.181)
Порядок альтернативной модели r  41 , а сама она в соответствии с (2.120) описывается выражением
2
0 yk 1  1  kyk   k  2  yk  2   2 k 2 yk   k  2  yk  2  


6
6
i 1
6
i 1
 2i  yk i  yk  2i    7  2i  k  i  yk i   k  2  i  yk  2i  
6
2
2
 8 2i  k  i  yk i   k  2  i  yk 2i    20i yk 1i 

 i 1
i 1
6
6
i 0
i 0
 27  2i  k  1  i  yk 1i   28 2i  k  1  i  yk 1i  yk  yk 2 ,
2
k  8.
Здесь коэффициенты, с учетом (2.178), определяются по формулам:
2
 0
 n    0 
0  2cos  , 1 
, 2  1  
 , 2 i  qi , i  1, 6,
T
 2  T 
7  2i  1qi , 8 2i  2 qi , 20i  0 qi , i  1,6,
27  2i  0 1qi , 28 2i  0 2 qi ,
i  0,6.
При выборе той или иной модели следует руководствоваться
указанными выше соображениями.
При аппроксимации монотонной составляющей многочленом
степени п следует воспользоваться полученной ранее моделью
(2.116), приняв m  2, l  n  3 . В этом случае получаем линейно
параметрическую дискретную модель вида
n 3
n 5
i 0
n3
i 0
n 5
0  qi yk 1i  1  di  k  i  yk i  2  di  k  i  yk i 
2
i 0
n 3
3  qi  k  1  i  yk 1i  4  qi  k  1  i  yk 1i 
i 0
2
i 0
n 5
  di yk i , k  n  6 . (2.182)
i 0
Здесь  j , j  0, 1, 2,, 4 , определяются по формулам
125
 0
 n    
0  2cos  , 1 
, 2  1   0  , 3  0 1 , 4  0 2 , (2.183)
T
 2  T 
а коэффициенты ai и d i вычисляются в соответствии с (2.115).
В частности, при аппроксимации многочленом первой степени
 l  4  имеем
2
0  yk 1  4 yk 2  6 yk 3  4 yk 4  yk 5   1 kyk  4  k  1 yk 1 
7  k  2  yk  2  8  k  3 yk 3  7  k  4  yk  4 
4  k  5 yk 5   k  6  yk 6   2  k 2 yk  4  k  1 yk 1 

2
7  k  2 yk 2  8 k  3 yk 3  7  k  4 yk 4  4  k  5 yk 5 
2
2
2
2
  k  6  yk 6   3  k  1 yk 1  4  k  2  yk  2  6  k  3 yk 3 

2
2
4  k  4  yk  4   k  5 yk 5   4  k  1 yk 1  4  k  2  yk  2 

2
2
2
6  k  3 yk 3  4  k  4  yk  4   k  5 yk 5  

 yk  4 yk 1  7 yk 2  8 yk 3  7 yk 4  4 yk 5  yk 6 , k  6 .
2
(2.184)
Здесь  j , j  0, 1, 2,, 4 описываются формулами (2.183).
При m  2 и l  3 из (2.116) вытекает разностное уравнение,
описывающее реакцию системы с диссипативными силами общего
вида на ступенчатое скачкообразное воздействие
0  yk 1  3 yk 2  3 yk 3  yk 4   1 kyk  3 k  1 yk 1  4  k  2 yk 2 
4  k  3 yk 3  3  k  4  yk 4   k  5 yk 5   2 k 2 yk  3  k  1 yk 1 

2
2
2
2
4  k  2  yk  2  4  k  3 yk 3  3  k  4  yk  4   k  5 yk 5  

3  k  1 yk 1  3 k  2 yk 2  3 k  3 yk 3   k  4 yk 4  
2
4  k  1 yk 1  3  k  2  yk  2  3  k  3 yk 3 

2
  k  4  yk  4   yk  3 yk 1  4 yk  2  4 yk 3  3 yk  4  yk 5 , k  5, (2.185)

2
2
2
где  j , j  0, 1, 2,, 4 , описываются формулами (2.183).
126
Модели (2.184) и (2.185) по сравнению с (2.175) и (2.177) имеют
меньший порядок и, следовательно, приводят к более устойчивым
алгоритмам вычисления их коэффициентов. Однако они не позволяют оценивать параметры полиномиального тренда.
Тип диссипативной системы:
Тип входного
тестового
воздействия:
1. Линейно
изменяющееся
воздействие
2. Скачкообразное
ступенчатое
воздействие
3.
Ударное
(режим
2. Системы
3. Системы
4. Системы с
с линейно вязким
с
с турбулентным
диссипативной
трением
трением
трением
силой
кулоновым
вида
общего
r=4
2.138
2.139
r=9
2.152
2.153
r=6
2.162
2.163
r=3
2.138
2.141
r=8
2.152
2.155
r=5
2.166
2.163
r=8
2.178
2.183
r=2
2.140
2.139
r=5
2.154
2.153
r=3
2.164
2.165
r=5
2.177
2.183
r=3
2.144
2.143
r=21
2.156
2.157
r=13
2.167
2.168
r=26
2.181
2.180
r=2
2.145
2.141
r=5
2.158
2.159
r=3
2.171
2.165
r=5
2.182
2.183
r=2
2.147
2.141
r=5
2.160
2.159
r=3
2.172
2.165
r=5
2.184
2.183
r=2
2.146
2.141
r=5
2.161
2.159
r=3
2.173
2.165
r=5
2.185
2.183
r=9
2.175
2.176
им-
пульсное воздействие
1. Системы
сво-
бодных
колебаний)
Вид
аппроксимации
монотонной
составляющей:
4. Аппроксимация
экспоненциальной
функцией
5. Полиномиальная
аппроксимация
многочленом
n -ой степени,
6.
Линейной
в частности:
функцией (n=1)
7. Многочленом
нулевой степени
(n=0)
Р и с. 2.10. Систематизация линейно параметрических дискретных
моделей колебаний диссипативных систем при типовых тестовых
воздействиях
127
Случай m  2 и l  0 соответствует режиму свободных колебаний. При этом уравнение (2.116) вырождается в разностное уравнение (2.177).
Разработанные выше линейно параметрические дискретные модели в форме разностных уравнений обеспечивают полноту математического описания колебаний диссипативных механических систем
в нестационарных режимах. Они образуют фундамент, на котором
могут быть сформированы модели, учитывающие априори известную собственную частоту или использующие результаты измерений
входного воздействия. В каждом конкретном случае трансформация
соответствующей модели может быть осуществлена способами, изложенными в п. 2.3.
Полученные результаты систематизированы в виде схемы, представленной на рис. 2.10. В прямоугольниках указаны порядок модели, номера соответствующего разностного уравнения и формул, связывающих коэффициенты модели с динамическими характеристиками системы.
128
3. РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДА
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ
ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ
СТОХАСТИЧЕСКИХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1. Численный метод определения динамических
характеристик диссипативных систем на основе
линейно-параметрических дискретных моделей
Разработанные линейно-параметрические дискретные модели в
форме разностных уравнений лежат в основе определения динамических характеристик диссипативных систем со слабой нелинейностью
по результатам наблюдений мгновенных значений отклика системы
на некоторое типовое тестовое воздействие.
Параметрическая идентификация нелинейной диссипативной
системы на основе виброграммы колебаний предполагает ряд последовательных этапов. Блок-схема численного метода определения динамических характеристик, в основе которого лежит линейнопараметрическая дискретная модель в форме разностных уравнений,
представлена на рис. 3.1.
Постановка задачи исследования и анализ априорной информации. Это первый этап в определении динамических характеристик
диссипативной колебательной системы. Он влияет практически на
все последующие этапы, определяя, в конечном счете, не только достоверность результатов, но и саму возможность их получения.
Постановка задачи исследования должна осуществляться с учетом двух основных факторов: обоснования выбора информативных
параметров технического состояния системы и анализа условий проведения эксперимента, в частности, возможности практической реализации воздействия на систему и технических характеристик измерительной аппаратуры.
В зависимости от этого постановка задачи исследования может
иметь следующее содержание:
 определение диссипативных (декремента колебаний  ) и резонансных (собственной частоты 0 , частоты колебаний  ) характеристик;
129
Постановка
задачи
исследования

Анализ
априорной
информации
τ, N
Формирование
выборки результатов
наблюдений
yk
Выбор линейнопараметрической
дискретной модели
Формирование
обобщенной
регрессионной
модели
b  F  
  P 
Выбор метода
среднеквадратического
оценивания
Среднеквадратичное
оценивание коэффициентов линейнопараметрической
дискретной модели
̂
Оценка и анализ
погрешности
результатов
вычислений
Вычисление
динамических
характеристик
 ,  0 , n
̂ , ˆ0 , n̂
Р и с. 3.1. Блок-схема численного метода определения динамических
характеристик диссипативных систем на основе линейнопараметрических дискретных моделей
 оценка степени нелинейности n , и тем самым определение типа диссипативной силы, т.е. структурная идентификация системы;
 определение параметров тренда при нестационарных режимах
и, как следствие, параметров входного воздействия;
 построение амплитудной зависимости декремента колебаний
как информативной характеристики технического состояния механической системы.
Постановка задачи исследования тесным образом взаимосвязана
с анализом априорной информации о системе. Наиболее важной с
130
точки зрения эффективности алгоритмов идентификации является
следующая априорная информация:
 тип диссипативной силы (например, линейно-вязкое, турбулентное, кулоново трение), обуславливающей затухание колебаний.
Эта информация может быть представлена характеристикой нелинейности n и является определяющей при выборе типа линейнопараметрической дискретной модели колебаний;
 собственная частота системы 0 . В этом случае постановка задачи сводится к оценке только диссипативных характеристик, что
позволяет использовать более простые ЛПДМ;
 результаты измерений входного воздействия на систему. Это в
ряде случаев также существенно упрощает задачу идентификации,
позволяет использовать модели меньшего порядка и, как следствие,
повышает достоверность результатов вычислений;
 математическое описание детерминированных трендов в наблюдаемом процессе (вид функции монотонной составляющей F(t) в
уравнении колебаний);
 вероятностные и спектральные характеристики случайной аддитивной помехи в результатах измерения ординат колебаний, а
также метрологические характеристики используемых средств измерения.
Формирование выборки результатов наблюдений. На данном
этапе решается задача выбора периода дискретизации  при формировании выборки y k , k  N , эквидистантных результатов измерений
мгновенных значений ординат колебаний при заданном времени наблюдения tнабл. . Период дискретизации  определяет максимально
t

возможный объем выборки: N   набл.  .



Если выразить время наблюдения в периодах колебаний Т:
t

NT   набл.  , то данное соотношение принимает вид N  NT  N , где
T


T 
N    характеризует число отсчетов y k за период колебаний.
 
Рассмотрим основные требования, предъявляемые к выбору значений tнабл. ,  и N с учетом их влияния на точность вычисления оценок динамических характеристик.
131
Если нет специальных ограничений, связанных с оперативностью определения динамических характеристик, время наблюдения
следует выбирать соизмеримым со временем полного затухания колебаний: tнабл.  t з.к . (например, время наблюдения tнабл. выбирать таким образом, чтобы выполнялось равенство a  tнабл.   0,05a0. , где
a0  a  0  – значение огибающей амплитуд колебаний a  t  в начальный момент времени, соответствующий t  0 ). Очевидно, что в этом
случае для получения одной оценки параметров системы используется только одна реализация затухающих колебаний. В ряде случаев
существуют ограничения на длительность временного интервала наблюдений, например, связанные с погрешностью аппроксимации
огибающей колебаний одной из моделей (2.65)–(2.68). В частности,
применение экспоненциальной модели (2.66) при построении амплитудной зависимости декремента колебаний   ai  в системах с отно-
сительно высокой степенью нелинейности  n0,5;1,5 требует коротких  NT  10  интервалов времени наблюдения. В таких случаях
tнабл. следует выбирать с учетом допустимой погрешности аппроксимации на основе соотношений (2.69)–(2.76) или графиков (см. рис.2.7
– 2.8).
Правильный выбор периода дискретизации является необходимым условием обеспечения устойчивости алгоритмов вычисления и
помехозащищенности оценок коэффициентов ЛПДМ. В соответствии с теоремой Котельникова величина  должна удовлетворять не-
равенству  

[10, 32, 71, 91]. Поэтому при выборе периода дис2
кретизации  необходимо использовать априорную информацию о
частоте колебаний  (собственной частоте системы 0 ).
В условиях аддитивной помехи эффективно использовать выборки большого объема, позволяющие посредством статистических
методов обработки экспериментальных данных обеспечить помехозащищенность оценок [6, 15, 23, 39, 74, 101, 107, 112, 127]. Стремление к увеличению N при фиксированном tнабл. . означает необходимость уменьшения периода дискретизации  . Однако имеет место
существенная зависимость меры обусловленности матрицы нормальной системы уравнений при среднеквадратичном оценивании
132
коэффициентов ЛПДМ от периода дискретизации [43, 58, 63, 64, 67].
Причем значительное уменьшение  вызывает резкое увеличение
числа обусловленности и, тем самым, приводит к неустойчивости
алгоритмов вычисления оценок динамических характеристик. При
этом на степень такой зависимости оказывают влияние тип используемого разностного уравнения (в первую очередь, его порядок),
объем выборки N (и, следовательно, объем вычислений), численный
метод решения системы нормальных уравнений и т.п. Таким образом, окончательный выбор периода дискретизации  должен быть
сделан только после проведения исследований его влияния на устойчивость вычисления коэффициентов ЛПДМ с учетом конкретной
модели в форме разностного уравнения, типа нелинейности системы,
а также используемых алгоритмов обработки результатов измерений.
Выбор линейно-параметрической дискретной модели (ЛПДМ).
Адекватность линейно-параметрической дискретной модели исследуемому динамическому процессу непосредственно влияет на достоверность результатов вычислений оценок динамических характеристик. При выборе ЛПДМ следует в максимальной степени использовать всю имеющуюся априорную информацию о динамической системе.
В первую очередь необходимо учитывать априори известный
тип диссипативной силы. В зависимости от этого следует выбирать и
вид модели. Тип тестового воздействия, режим функционирования
или функция, описывающая тренд, также лежат в основе рекомендаций по выбору разностного уравнения: (2.138), (2.140), (2.144)–
(2.147) для систем с линейно-вязким трением; уравнений (2.152),
(2.154), (2.156), (2.157)–(2.161) для систем с кулоновым трением и
моделей (2.162), (2.164), (2.166), (2.167), (2.169)–(2.173) для систем с
турбулентным трением.
При отсутствии априорной информации о типе диссипативной
силы следует использовать дискретные модели, соответствующие
системам с диссипативными силами общего вида: (2.175), (2.177),
(2.178), (2.181), (2.182), (2.184), (2.185). В таких случаях эти модели
не только наиболее адекватны динамическим процессам в диссипативной системе, но и позволяют оценивать характеристику нелинейности п, т.е. решать задачу структурной идентификации системы.
При этом может быть рекомендована двухэтапная процедура
выбора разностного уравнения: на первом этапе используются модели, соответствующие системам с диссипативными силами общего
133
вида и оценивается характеристика нелинейности п. Затем, на втором
этапе, с учетом полученного значения п, по графикам, представленным на рис. 2.7 и рис. 2.8, выбирается наиболее подходящая (адекватная) модель среди моделей (2.77)–(2.79) и используется соответствующее ей разностное уравнение.
При построении амплитудной зависимости декремента колебаний на небольших временных интервалах наблюдений целесообразно применять модели для систем с линейно-вязким трением. Действительно, во-первых, при малой диссипации энергии колебаний аппроксимация на ограниченных отрезках времени исходного квазилинейного уравнения (1.2) линейным дифференциальным уравнением
(1.5) означает использование при описании огибающей амплитуд
колебаний экспоненциальной функции. Во-вторых, эти модели имеют сравнительно невысокий порядок, и, следовательно, предпочтительнее в отношении устойчивости алгоритмов вычисления их коэффициентов.
При выборе наиболее подходящей функции, аппроксимирующей
монотонную составляющую (тренд) в моделях колебаний, следует
использовать априорную информацию о режиме функционирования
и характере входного воздействия на систему, учитывая при этом
необходимость оценки параметров аппроксимирующей функции.
Формирование обобщенной регрессионной модели. Построенные
выше линейно-параметрические дискретные модели описывают в
рекуррентной форме временную последовательность мгновенных
значений y k отклика диссипативной системы на некоторое типовое
тестовое воздействие. При известных коэффициентах  j и нескольких  l  1 начальных значениях y0 , y1 ,, yl 2 , где l – число последовательных отсчетов yk , yk 1 ,, yk l 1 , используемых в разностном
уравнении, по этим моделям можно формировать выборки дискретных значений y k , k  l  1, N  1 , любых объемов N . Каждая из таких моделей, по определению линейных относительно коэффициентов  j , в общем виде может быть представлена следующим образом:
 1 fi1  2 fi 2    r fir  bi , i  1,2,3, .
(3.1)
Здесь переменные f ij , j  1, r , и bi линейно зависят от не более чем l
последовательных отсчетов yk , yk 1 ,, yk l 1 , совокупность которых
(номер отсчета k  l  1) определяется индексом i по формуле
134
k  i  l  2 . Коэффициенты c pj  i  и c pb  i  в линейных комбинациях
f ij 
l j  l 1

p 0
c pj  i  yi l  2  p и bi 
lb  l 1
 c i  y
p 0
i l 2 p
pb
в общем случае могут
явно зависеть (не обязательно линейно) от номера отсчета k  l  1 и,
следовательно, от индекса i  k  l  2 . Формулы, описывающие элементы f ij и bi для основных типов линейно-параметрических дискретных моделей, представлены в табл. 3.1 – 3.4.
Режим свободных
колебаний
ЛПДМ: (2.140) l=3
Столбцы матрицы и правая
часть СЛАУ
Таблица 3.1
Элементы СЛАУ, формируемых на основе линейно-параметрических
дискретных моделей колебаний систем с линейно вязким трением
Полиномиальная аппроксимация монотонной составляющей:
многочленом
нулевой степени;
ЛПДМ: (2.146) l=4
линейной функцией;
ЛПДМ: (2.147) l=5
f i1
yi
yi 1  yi
yi  2  2 yi 1  yi
fi 2
 yi 1
  yi  yi 1 
  yi 1  2 yi  yi 1 
bi
yi 1
yi  2  yi 1
yi 3  2 yi  2  yi 1
многочленом
n– степени;
ЛПДМ: (2.145) l=n+4
n 1
 (1) C
p
p
n 1 i  n 1 p
p 0
n 1
 (1)
y
p 1
Cnp1 yi  n  p
p 0
n 1
 (1) C
p
p 0
p
n 1 i  n  2  p
y
Столбцы матрицы
и правая часть
СЛАУ
Таблица 3.2
Элементы СЛАУ, формируемых на основе линейно-параметрических
дискретных моделей колебаний систем с кулоновым трением
Режим свободных колебаний
ЛПДМ:
(2.154) l=3
Полиномиальная аппроксимация монотонной составляющей:
многочленом
нулевой степени;
ЛПДМ: (2.161) l=6
3
f i1
yi
 (1) C
p
p 0
p
3
линейной функцией;
ЛПДМ: (2.160) l=7
n 3
4
yi3 p
 (1) C
p
p 0
p
4
многочленом
n– степени;
ЛПДМ: (2.158) l=n+6
yi4 p
 (1) C
p
p 0
p
n3 i  n3 p
y
135
Столбцы матрицы
и правая часть
СЛАУ
Окончание табл. 3.2
Режим свободных колебаний
ЛПДМ:
(2.154) l=3
Полиномиальная аппроксимация монотонной составляющей:
многочленом
нулевой степени;
ЛПДМ: (2.161) l=6
линейной функцией;
ЛПДМ: (2.160) l=7
3
fi 2
 2i  1 yi 1 
  2i  1 yi 1
 (1) pC3p  2i  5  2 p  
 yi  4  p 
 i  i  1 yi 1 
p
4
n 3
 (1) pCnp3  2i  2n  5  2 p  
p 0
 yi5 p   2i  9  2 p  yi3 p 
 yi  n  4  p   2i  2n  7  2 p  yi  n  2  p 
4
 (1) C  i  n  3  p  
  2i  7  2 p  yi  2  p 
n 3
 (1) C  i  3  p  
 (1)
  i  2  p  yi 4 p 
  i  3  p  yi 5 p 
  i  n  2  p  yi n4 p 
  i  5  p  yi 3 p 
  i  n  4  p  yi n2 p 
4
 (1)
p
fi 3
p
p 0
3
 i  i  1 yi 1 
3
 (1) C  2i  7  2 p  
p 0
многочленом
n– степени;
ЛПДМ: (2.158) l=n+6
p
3
p 0
  i  4  p  yi 2 p 
p 0
p
C4p  i  4  p  
p
n 3
fi 4
iyi
3
 (1)
p 0
C3p  i  3  p  yi3 p
p 1
p 0
3
 i  1 i  1 yi
yi 1  yi 1
 yin3 p
n 3
 (1) C i  5  p  
 (1) C  i  n  4  p  
  i  2  p  yi3 p
  i  3  p  yi4 p
  i  n  2  p  yin3 p
p
3
p 0
3
bi
4
Cnp3  i  n  3  p  
p 1
p 0
 (1) C i  4  p  
p
fi 5
 (1) p1C4p i  4  p  yi4 p
p
n 3
p 0
 (1)
p 0
p
C3p  yi 4 p 
 yi 2 p 
p
p
4
p 0
4
 (1)
p
p 0
C4p  yi 5 p 
 yi 3 p 
p
p
n 3
p 0
n 3
 (1)
p 0
p
Cnp3  yi  n 4 p 
 yi n2 p 
Столбцы матрицы
и правая часть
СЛАУ
Таблица 3.3
Элементы СЛАУ, формируемых на основе линейно-параметрических
дискретных моделей колебаний систем с турбулентным трением
f i1
fi 2
136
Режим свободных колебаний
ЛПДМ:
(2.164) l=3
yi
Полиномиальная аппроксимация монотонной составляющей:
многочленом
нулевой степени;
ЛПДМ: (2.13) l=5
yi2  2 yi1  yi
  i  1 yi 1 
  i  3 yi  3  2  i  2  yi  2 
  i  1 yi 1 
 2  i  1 yi 1  2iyi   i  1 yi 1 
линейной функцией;
ЛПДМ: (2.172) l=6
yi  3  3 yi  2 
3 yi 1  yi
  i  4  yi4  3  i  3 yi3 
4  i  2  yi2  4  i  1 yi1 
3iyi   i  1 yi1 
многочленом
n– степени;
ЛПДМ: (2.171) l=n+5
n2
 (1)
p 1
p 0
n 4
Cnp2 yi n2 p
 (1)  C
p 0
p 1
p
n 2
 Cnp22  
  i  n  3  p  yi n3 p
Столбцы матрицы
и правая часть
СЛАУ
Окончание табл. 3.3
Режим сво- Полиномиальная аппроксимация монотонной составляющей:
бодных колебаний
а) многочленом
б) линейной функцией; в) многочленом
ЛПДМ:
нулевой степени;
ЛПДМ: (2.172) l=6
n– степени;
(2.164) l=3
ЛПДМ: (2.13) l=5
ЛПДМ: (2.171) l=n+5
 i  3 yi3 
3  i  2  yi 2 
3  i  1 yi 1  iyi
 i  2  yi2  2  i  1 yi1 
fi 3
iyi
bi
yi 1  yi 1
iyi
n2
 (1) p 1Cnp 2 i  n  2  p  
p 0
 yi  n  2  p
yi3  2 yi2  2 yi1 
yi 4  3 yi 3  4 yi 2 
n4
2 yi  yi1
4 yi 1  3 yi  yi 1
p 0
 (1) p  Cnp 2  Cnp22  yi  n  3 p
Столбцы матрицы
и правая часть
СЛАУ
Таблица 3.4
Элементы СЛАУ, формируемых на основе линейно-параметрических
дискретных моделей колебаний систем с диссипативными силами
общего вида
f i1
fi 2
Режим сво- Полиномиальная аппроксимация монотонной составляющей:
бодных колебаний
а) многочленом
б) линейной функцией; в) многочленом
ЛПДМ:
нулевой степени;
ЛПДМ: (2.184) l=7
n– степени;
(2.177) l=3
ЛПДМ: (2.185) l=6
ЛПДМ: (2.182) l=n+6
yi
  i  1 yi 1 
  i  1 yi 1 
yi  3  3 yi  2 
3 yi 1  yi
p 0
  i  4  yi  4  3  i  3 yi  3 
4  i  2  yi  2 
4  i  1 yi 1  3iyi
  i  1 yi 1 
fi 3
fi 4
  i  1 yi 1 

2
iyi
 (1)  C
6
 (1)
C4p yi 4 p
p 1
p
4
p 0
 C4p2  
n 5
p
Cnp3 yin3 p
 (1)  C
p 1
p 0
p
n 3
 Cnp32  
  i  5  p  yi5 p
  i  n  4  p  yin4 p
 (1)  C
 (1)  C
2
2
  i  1 yi 1 

p
p 0
  i  4  yi  4  3  i  3 yi  3 

2
n 3
4
 (1)
4  i  2  yi  2 
2
4  i  1 yi 1 
2
3i 2 yi   i  1 yi 1 

2
 i  3 yi3 
3  i  2  yi 2 
3  i  1 yi 1  iyi
6
p 1
p
4
p 0
 C4p2  
2
4
p 0
p 1
p
n 3
 Cnp32  
2
 (1) C  i  4  p  y
p
4
p 0
  i  n  4  p  yi n4 p
  i  5  p  yi 5 p
p
n 5
i  4 p
n3
 (1) pCnp 3  i  n  3  p  yi  n  3 p
p 0
137
Столбцы матрицы
и правая часть
СЛАУ
Окончание табл. 3.4
Режим сво- Полиномиальная аппроксимация монотонной составляющей:
бодных
колебаний
а) многочленом
б) линейной функцией; в) многочленом
ЛПДМ:
нулевой степени;
ЛПДМ: (2.184) l=7
n– степени;
(2.177) l=3
ЛПДМ: (2.185) l=6
ЛПДМ: (2.182) l=n+6
 i  3 yi3 
4
n3
2
2
 (1) pC4p  i  4  p  yi  4  p p0 (1) pCnp3 i  n  3  p 2 yi  n 3 p
3  i  2  yi2 
p 0
2
3  i  1 yi1  i 2 yi
2
fi 5
i 2 yi
bi
yi 1  yi 1
yi 4  3 yi 3  4 yi 2 
4 yi 1  3 yi  yi 1
 (1)  C
6
p
p 0
p
4
 C4p2  yi5 p
n5
 (1) p  Cnp3  Cnp32  yi  n  4 p
p 0
Рассмотрим обратную задачу: найти коэффициенты  j уравнения (3.1) по известным значениям y k , k  0,1,2, , то есть известным
значениям переменных f ij и bi . Очевидно, что эта задача является
задачей линейной алгебры, и ее решение сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных  j . Так как прямая задача определяется не только коэффициентами разностного уравнения, но и  l  1 начальными условиями, то для корректности формулировки обратной задачи потребуется
введение
дополнительных
 l  1 неизвестных  j ,
j  r  1, r  l  1 , удовлетворяющих условию
 r 1  y0 ;

(3.2)
 r  2  y1 ;

 r  l 1  yl  2 .
Очевидно, что (3.2) можно формально представить в виде (3.1),
1, j  r  i;
bi  yi 1 , i  1, l  1 . Тогда обратесли обозначить: f ij  
0, j  r  i,
ную задачу можно описать системой линейных алгебраических
уравнений F  b , где матрицу F можно представить в блочном
 0 E
виде F  
 . Здесь E – единичная матрица размера
 F1 0 
138
 l  1   l  1 , а
F1 – матрица, имеющая r столбцов, строки которой
описываются уравнением (3.1) при различных значениях i  1,2,3, .
Вектор неизвестных коэффициентов   Rn , n  r  l  1, может быть
представлен в виде    1 , 2 ,, r , r 1 ,, r l 1  . Первые l  1 элеT
ментов вектора b   b0T
b1T  описываются правой частью выражеT
ния (3.2), а остальные – правой частью уравнения (3.1) при различных значениях i  1,2,3, .
Для того чтобы система уравнений F  b имела единственное
решение необходимо, чтобы число ее строк было бы больше или
равным числу ее столбцов n  r  l  1. Отсюда следует, что количество строк в матрице F1 должно быть не менее r . Для их формирования достаточно взять любые r уравнений вида (3.1), полагая
i  i1 , i2 ,, iq ,, ir для iq  N , q  1, r . Очевидно, что при этом решение системы F  b распадается на две автономные задачи: вычисление коэффициентов  j , j  1, r , посредством решения системы
уравнений F1  b1 и вычисление  j , j  r  1, n , по простым формулам (3.2).
Такой детерминированный подход к решению задачи вычисления коэффициентов разностного уравнения по дискретным значениям некоторой известной функциональной зависимости эффективен
только при отсутствии в результатах наблюдений случайной помехи.
В условиях реального научно-технического или промышленного
эксперимента результаты измерений y k содержат аддитивную случайную помеху  k : yk  y k   k , где y k – истинное (точное) значение
динамического процесса в момент tk   k , k  0,1,2, ,  – период
дискретизации непрерывной функциональной зависимости.
С учетом случайной помехи в результатах наблюдений модели
(3.1) и (3.2) принимают вид:
bk   1 f k1  2 f k 2    r f kr  k , k  1,2,3, , (3.3)
 y0  r 1   0 ;

 y1  r  2  1 ;
y  
r  l 1   l  2 ,
 l 2
(3.4)
139
где  k – некоторое эквивалентное случайное возмущение. Линейная
зависимость переменных f ij и bi от результатов наблюдений y k позволяет описать случайное эквивалентное возмущение  k в форме
линейной комбинации l последовательных отсчетов  k 1 ,  k ,  k 1 ,
…,  k l 2 случайной помехи в результатах наблюдений, k  1,2,3, .
С учетом введенных выше обозначений можно получить следующее
уравнение:

r


r


j 1


j 1

 k  cl 1,b  k     j cl 1, j  k    k 1  cl  2,b  k     j cl  2, j  k    k  
r
r




  c1,b  k     j c1, j  k    k l 3  c0,b  k     j c0, j  k    k l  2 ,
j 1
j 1




k  1, 2,3,.
(3.5)
r
Обозначим
pkj  cl  j ,b  k    q cl  j ,q  k  . Тогда (3.5) можно
q 1
представить в виде линейной комбинации
l
k  pk1 k 1  pk 2 k    pkl  k l  2   pkj  k  2 j , k  1,2,3, . (3.6)
j 1
Наличие в уравнениях (3.3) – (3.6) случайной аддитивной составляющей позволяет классифицировать эти модели как стохастические разностные уравнения [72]. При условии, что  k
 k  0,1, 2,
– некоррелированные, нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и одинаковыми дисперсиями  2 , стохастическое разностное уравнение (3.6)
представляет собой модель скользящего среднего CC  l  1 порядка
l  1 [13, 20].
Переход от детерминированных моделей (3.1) и (3.2) к стохастическим разностным уравнениям (3.3), (3.4) и (3.6) позволяет поновому классифицировать задачу определения коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели, а именно, как задачу
прикладного линейного регрессионного анализа [20, 34, 112]. При
yk ,
использовании
выборки
результатов
измерений
k  0,1,2,, N  1 , объем которой равен N , построенные стохастиче140
ские разностные уравнения позволяют сформировать обобщенную
регрессионную модель [20], которая в матричной форме принимает
вид
(3.7)
b  F  ,
(3.8)
  P  .
0
Здесь F  
 F1
E
– матрица размера N  n , имеющая блочную
0 
структуру; E – единичная матрица размера  l  1   l  1 ; F1 – матрица размера  N  l  1  r , элементы которой формируются на основе соответствующей ЛПДМ;    1 , 2 ,, r , r 1 ,, r l 1  – n мерный вектор неизвестных коэффициентов, подлежащий оценке
T
одним из методов статистического анализа; b   y0 , y1 ,, yl 2
b1T  –
T
N - мерный вектор свободных членов обобщенной регрессионной
модели, первые l  1 элементы которого совпадают с первыми l  1
членами выборки результатов наблюдений, а следующие  N  l  1 ,
образующие вектор b1 , вычисляются на основе соответствующей
ЛПДМ. Вектор    0 , 1 ,,  l 2 1T  – ненаблюдаемый N - мерT
ный вектор случайного эквивалентного возмущения в обобщенной
регрессионной модели (3.7). Первые l  1 элемента этого вектора
совпадают с первыми l  1 элементами вектора случайной аддитивной помехи в результатах наблюдений    0 , 1 ,,  N  . Остальные
T
элементы вектора  , составляющие вектор 1 размера
 N  l  1 ,
 E 0
могут быть найдены с учетом формулы (3.5). Матрица P  

 P1 
линейного преобразования вектора  случайной помехи в результатах наблюдений имеет размер N  N и блочную структуру: E – единичная матрица размера  l  1   l  1 ; P1 – ленточная, l – диагональ-
ная матрица размера  N  l  1  N , элементы которой описываются
формулами в (3.5).
Среднеквадратичное оценивание коэффициентов ЛПДМ.
Обобщенная регрессионная модель в форме матричных уравнений
141
(3.7) и (3.8) лежит в основе вычисления помехозащищенных оценок
коэффициентов ЛПДМ, описывающей в форме разностного уравнения результаты измерений мгновенных значений отклика системы на
типовое тестовое воздействие. Основной проблемой на данном этапе
алгоритма параметрической идентификации является проблема выбора наиболее эффективного статистического метода оценивания
коэффициентов разностного уравнения.
Широкий спектр современных методов параметрической идентификации динамических систем [13, 71, 72, 86, 91, 131, 132] позволяет успешно решить эту проблему на основе априорной информации о статистических свойствах случайной помехи в результатах наблюдений с учетом принятого критерия адекватности построенной
математической модели экспериментальным данным. Как правило,
нормальный закон распределения случайной помехи и использование выборок достаточно большого объема обуславливают применение классических статистических методов обработки данных, в основе которых лежит среднеквадратичный критерий аппроксимации
[20, 23]. При существенных отклонениях распределения от гауссовского, использовании выборок небольшого объема с целью исключения влияния грубых погрешностей и промахов, к которым чувствительны классические методы, в практике обработки экспериментальных данных применяют робастные методы [20, 23, 123]. Однако вопрос о целесообразности их использования надо решать на основе
анализа и непосредственно для конкретной задачи математического
моделирования.
Оптимальный выбор метода среднеквадратичного приближения
обычно выполняется на основе известной стохастической модели
временной последовательности случайной помехи, например, модели
авторегрессии (АР), модели скользящего среднего (СС) или модели
смешанного процесса авторегрессии - скользящего среднего (АР-СС)
[13, 20, 32, 71, 72]. При отсутствии априорной информации стохастических свойствах и моделях случайной помехи в результатах наблюдений обычно полагают ее значения в различные моменты времени
некоррелированными, имеющими нулевое математическое ожидание
и одинаковые дисперсии. В этом, наиболее простом случае, для
оценки коэффициентов разностного уравнения можно применить
традиционный метод наименьших квадратов (МНК) [20, 84, 112].
В соответствии с классическим МНК оценки коэффициентов
разностного уравнения находятся из условия минимизации суммы
142
квадратов
N
ˆ
i 1
2
i
 min на множестве элементов вектора . При мат-
ричной форме записи обобщенной регрессионной модели (3.7) вычисление коэффициентов ЛПДМ на основе классического метода
наименьших квадратов сводится к решению системы нормальных
уравнений F T F ˆ  F T b . Отсюда получаем формулу вычисления
МНК-оценок:
1
(3.9)
ˆ   F T F  F T b .
Однако такой подход к решению задачи вычисления коэффициентов разностного уравнения дает удовлетворительные результаты
только при сравнительно малой величине случайной помехи в результатах наблюдений. Результаты численно-аналитических исследований показали, что МНК-оценки коэффициентов разностных
уравнений, вычисленные по формуле (3.9), имеют недопустимо
большое смещение, что существенно ограничивает их применение
при вычислении динамических характеристик системы [46, 47, 50,
57, 59, 61].
При отсутствии априорной информации о характере аддитивной
помехи МНК является базовым методом, на основе которого реализуются другие, более эффективные, алгоритмы оценивания, например, обобщенный метод наименьших квадратов, метод инструментальной переменной и т.п. [20, 112, 131, 132]. Проблема выбора эффективного алгоритма среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения является важнейшей задачей при практической реализации численного метода определения динамических
характеристик диссипативной системы. Она должна решаться только
на основе всестороннего анализа используемой
линейнопараметрических дискретных моделей.
Вычисление динамических характеристик. Достоверные оценки
коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели, полученные на основе статистических методов прикладного линейного
регрессионного анализа, позволяют:
 вычислить динамические характеристики диссипативной системы;
 оценить характер нелинейности системы (параметр n);
 определить динамические параметры функции, описывающей
монотонную составляющую;
143
 вычислить начальную амплитуду и фазу колебаний, соответствующие моменту времени первого отсчета;
 построить амплитудную зависимость декремента колебаний.
В основе вычисления динамических характеристик лежат полученные во второй главе соотношения, связывающие коэффициенты
ЛПДМ с частотой и декрементом колебаний.
Для систем с линейно-вязким трением в режиме свободных колебаний при ступенчатом скачкообразном воздействии и, в общем
случае, при полиномиальном тренде из (2.139) следует

 ln 2
1
  arccos 1 ,
0  
.
(3.10)


2 2
arccos 1
2 2
Для систем с кулоновым, турбулентным трением и для систем с
диссипативными силами общего вида независимо от типа разностного уравнения из формул (2.159), (2.165) и (2.187) получаем

2 1
1
.
(3.11)
  arccos 0 ,
0 
0

2
arccos
2
Характеристика нелинейности п на основании (2.183) может
быть найдена по коэффициентам 1 и 2 дискретной модели колебаний системы с диссипативными силами общего вида по формуле

 
n  2  1  22  .
(3.12)
 1 
Для систем с линейно-вязким трением с экспоненциальной аппроксимации тренда при вычислении динамических характеристик и
постоянной времени апериодической составляющей следует использовать соотношения (2.143). На их основе можно получить



ln 3



z
z


1
1
z
, 0  
,
  arccos
z



2 3 z
1  z

arccos
(3.13)

2 3 z


1
,
  
 ln z

где z – единственный действительный корень кубического уравнения
z 3  1 z 2  2 z  3  0 .
144
Для определения параметров функции, аппроксимирующей монотонную составляющую в уравнении колебаний, следует воспользоваться полученными во второй главе соотношениями. Эти соотношения связывают параметры линейной функции F  t   f 0  f1t , многочлена нулевой степени F  t   f 0 и экспоненциальной функции
F  t   f 0  f1 exp   t  с коэффициентами соответствующих ЛПДМ
для различных типов диссипативной системы. Формулы для вычисления параметров этих функций в зависимости от типа системы и
вида аппроксимации монотонной составляющей представлены в
табл. 3.5.
Таблица 3.5
Определение параметров монотонной составляющей на основе
коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели
Тип системы
(используемые
разностные
уравнения)
Вид аппроксимации монотонной составляющей
Полиномиальная аппроксимация
много- Экспоненциальная
членом
линейной функцией
аппроксимация
нулевой
степени
f0
1. Системы с
линейно вязким
трением
(2.138), (2.144)
 0 1  1  2   1  1  22 
1  1  2 
2
f1
f0

1
1  1  2
0
1  1  2
1
 ln z , где z -
2. Системы с
кулоновым
 2  22  4   3  61  42  3  34 
3
трением
2
22  4
22  4 

(2.152),
(2.155), (2.156)
3. Системы с
турбулентным     2     2    4  2 
1
2
1
2
0
1
2
трением
2
2  21 

(2.162),
(2.166), (2.169)
2
22  4

корень уравнения
z 3  1 z 2  2 z  3  0
1
 ln 5

2
2  21
1
2  21

1
ln 5
2
4. Системы с
диссипативны 2  4  22   3  21  62  3  34 
3
ми
силами
2
4  22
4  22 

общего вида
(2.175), (2.178)
2
4  22

1
ln 8
3
145
При построении формул, позволяющих через коэффициенты
ЛПДМ вычислять начальную амплитуду и фазу колебаний, достаточно использовать разностные уравнения для свободных колебаний
системы. Выбор режима свободных колебаний обусловлен, вопервых, широким распространением ударных воздействий в качестве
типовых тестовых, во-вторых, простотой вывода основных формул
без потери их общности и, в-третьих, возможностью сведения разностных уравнений для нестационарных режимов колебаний к виду,
позволяющему использовать описанную ниже процедуру.
Обособляя гармоническую составляющую в дискретной функции yk  ak cos  k   0  , получаем
 y  cos 0  z 1 cos    0 
Z k 
.
1  0 z 1  z 2
 ak 
Отсюда следует
yk
y
y
 0 k 1  k  2  cos 0 k  cos   0   k 1 , где
ak
ak 1 ak  2
 k – дискретная дельта-последовательность.
Полагая k = 0 и k = 1, получаем
 y0  a0 cos 0 ,

y0
 y1
 a  0 a   cos   0  .
0
 1
После алгебраических преобразований имеем
2

a0 
 0 y0  2 y1 
a1 
y
a0  y02  
,  0  arccos 0 .
2
4  0
a0
(3.14)
Значение амплитуды колебаний a1 в момент времени t1   в зависимости от типа диссипативной системы с учетом формул (2.65)–
(2.68) определяется следующим образом: для систем с линейно 
вязким трением a1  a0 e x p  0   a0  2; для систем с кулоно T 
 
вым трением a1  a 0 1  0   a 01   1 ; для систем с турбулентT 

146
ным трением
a1 
a0
1
 0
a0
; для систем с диссипативными си1  1
T
a0
лами общего вида a1 
j
 0

a0
, где ко1  1  2
 n    
 1   0 
T  2  T 
относятся к соответствующей
1
эффициенты

2
линейно-
параметрической дискретной модели.
С учетом этих формул начальная амплитуда колебаний, под которой следует понимать значение огибающей амплитуд колебаний в
момент времени первого отсчета в выборке результатов наблюдений,
может быть описана следующими выражениями:
 для систем с линейно-вязким трением:
    24 
  1 3
2
a0 
2
3
42  1
2
3  y0 ,
,
4  y1 ;
(3.15)
 для систем с кулоновым трением:
2

26 
 0 5 

1  1 
a0  52  
,
4  02
5  y0 ,
6  y1 ;
(3.16)
 для систем с турбулентным трением:
0 3  24 1  1  
a0    
, 3  y0 , 4  y1 ; (3.17)
4  02
2
2
3
 для систем с диссипативными силами общего вида:
0 5  26 1  1  2  
a0    
, 5  y0 , 6  y1 . (3.18)
4  02
2
2
5
При использовании полученных соотношений для нахождения
помехозащищенных оценок динамических характеристик диссипативной системы в формулах (3.10) – (3.13), (3.15) – (3.18) коэффициенты ЛПДМ следует заменить на их оценки.
Построение амплитудной зависимости декремента колебаний
  a  , как одного из основных диагностических признаков технического состояния системы, можно реализовать следующим образом.
147
Выбирается число М точек, используемых для построения амплитудной зависимости. Время одной реализации затухающих колебаний
разбивается этими точками таким образом, что они фиксируют начало ( y0i – первый отсчет) каждого из М интервалов. Выбор длительности  ti интервала зависит от интенсивности затухания, степени
нелинейности диссипативной силы и модели, которая лежит в основе
идентификации.
Использование априорной информации о типе системы позволяет подобрать наиболее точную модель и тем самым использовать
временные интервалы большой длительности. При этом обычно имеет место перекрывание интервалов друг другом (см. рис.3.2).
При отсутствии априорной информации о типе системы операa(t)
a(t)
a01
a01
a02
a02
a03
a03
a(t)
0
Δt1
Δt2
a(t)
t 0
Δt1 Δt2 Δt3
Δt4
t
Δt3
Р и с. 3.2. Построение амплитудной
зависимости декремента колебаний
при перекрывании интервалов друг
другом
Р и с. 3.3. Выбор временных
интервалов при экспоненциальной аппроксимации огибающей
амплитуд колебаний
тивность предлагаемого способа позволяет получать помехозащищенные оценки на сравнительно коротких промежутках времени. В
таких случаях наиболее целесообразна аппроксимация огибающей
колебаний экспоненциальной функцией (линеаризация дифференциального уравнения) и выбор дискретной модели (2.148), так как последняя имеет наименьший порядок (r = 2) и соответствует наиболее
148
устойчивому вычислительному алгоритму. При этом временные интервалы могут быть короче, чем расстояние между точками
(см. рис.3.3). При выборе длины временных интервалов следует учитывать также взаимосвязь между объемом выборки N i и периодом
дискретизации  i для данного i–того интервала.
Для каждого временного интервала по представленной выше
схеме определяются a0i и  0i , соответствующие первому отсчету
y0i , i  1, M . Полученная совокупность точек   0 i , a0 i  , i  1, M , ис-
пользуется при построении графика зависимости   a  .
Если требуется аналитическое выражение для этой зависимости,
то могут быть использованы как методы интерполирования (равномерного приближения функции) [9, 19, 28, 125], так и статистические
методы среднеквадратичного приближения функции [19, 28, 84, 101,
125]. При этом необходимо задать вид функциональной зависимости
(например, в форме многочлена).
Оценка и анализ погрешности результатов вычислений. Это заключительный и очень важный этап численного метода параметрической идентификации диссипативной системы. Задача определения
динамических характеристик не может считаться до конца решенной
без оценки достоверности полученных результатов. На этом этапе
необходимо найти статистические характеристики случайной аддитивной помехи в результатах наблюдений; проанализировать источники и механизм формирования результирующей погрешности; оценить точность вычисления динамических характеристик, а также
рассмотреть возможные пути повышения достоверности полученных
оценок.
Априорная информация в той или иной форме об аддитивной
помехе (например, известные метрологические характеристики
средств измерения) и статистические оценки ее вероятностных характеристик являются основой расчетов результирующей погрешности.
Механизм формирования результирующей погрешности определяется заложенным в схему идентификации алгоритмом. Здесь можно выделить три основных момента: выбор разностного уравнения
колебаний системы, среднеквадратичное оценивание коэффициентов
разностного уравнения и вычисление на основе этих коэффициентов
динамических характеристик диссипативной системы.
149
Выбор линейно-параметрической дискретной модели для описания колебаний исследуемой системы основывается на априорной
информации о типе диссипативной силы, режиме возбуждения колебаний и подробно рассмотрен выше. На данном шаге также необходимы исследования адекватности модели, включающие в себя оценку погрешности, связанной с аппроксимацией огибающей амплитуд
колебаний, и проверку согласованности экспериментальных данных
с используемой линейно-параметрической дискретной моделью [13,
15, 101, 109, 132].
На втором этапе огромное значение имеет грамотный анализ устойчивости вычисления среднеквадратичных оценок коэффициентов
разностного уравнения. Здесь же необходимы исследования эффективности известных и разработка новых, специально ориентированных на данную ЛПДМ, методов повышения вычислительной устойчивости для задач линейной алгебры [20, 42-44, 63, 64, 112].
Сравнительно простой является задача вычисления погрешности
динамических характеристик системы по статистическим оценкам
погрешности коэффициентов разностного уравнения на основе известных соотношений [23, 100].
Таким образом, задача оценки результирующей погрешности
вычисления динамических характеристик диссипативных систем решается с помощью известных и широко распространенных статистических методов параметрической идентификации, что является
большим достоинством численного метода, в основе которого лежат
стохастические разностные уравнения.
Результирующая погрешность оценок динамических характеристик должна удовлетворять требованиям, предъявляемым к точности
исследований. В противном случае необходимо рассмотреть возможные пути уменьшения результирующей погрешности или обосновать корректировку требований к точности оценок.
3.2. Стохастические разностные уравнения, описывающие
результаты
измерений
колебаний
диссипативной
механической системы
Разработанные во второй главе линейно-параметрические дискретные модели описывают в рекуррентной форме временные последовательности мгновенных значений теоретической функциональной
зависимости реакции диссипативной системы на некоторое типовое
150
тестовое воздействие. Применение таких детерминированных моделей непосредственно в задаче параметрической идентификации динамической системы недопустимо, так как они принципиально не
учитывают в своей структуре случайную аддитивную помеху в результатах наблюдений.
Обозначим дискретные значения теоретических функциональных зависимостей, для которых построены ЛПДМ, через y k ,
k  0,1,2, . Результаты наблюдений y k в практике эксперимента
всегда содержат случайную помеху (шум), которую будем считать
аддитивной:
(3.19)
yk  y k   k .
В дальнейшем будем предполагать, что аддитивная случайная
помеха  k имеет нормальное распределение, нулевое математическое ожидание, ее значения в различные моменты времени имеют
одинаковые дисперсии  2 и не коррелированны между собой. В
матричной форме эти предположения относительно статистических
свойств случайной аддитивной помехи можно представить следующим образом:
T
M     , V    M    M      M     E 2 , (3.20)


где   1 ,  2 ,,  N 1  – вектор случайной помехи в результатах наT
блюдений y k , образующих выборку объема N ; M  – оператор ма-
тематического ожидания; V  – матрица дисперсий-ковариаций; E –
единичная матрица.
Свойство аддитивности случайной помехи нисколько не ограничивает области применения разработанных математических моделей
и алгоритмов, так как мультипликативную модель шума можно всегда представить в виде аддитивной модели [122]. Действительно,
пусть имеем мультипликативную помеху  k : M  k   1 , D  k    2 ,
то есть yk  y k  k . Отсюда получаем: yk  y k    k  1 y k  y k   k , где
M  k   M  k  1  0 , D  k   y k2 2 . Очевидно, что в этом случае
аддитивная помеха  k обладает свойством гетероскедастичности
(дисперсия зависит от значения наблюдаемой величины), которую
при среднеквадратическом приближении можно учесть посредством
весовой матрицы (взвешенного метода наименьших квадратов).
151
Выражая из (3.19) y k  yk   k и подставляя в разностные уравнения, описывающие в рекуррентной форме мгновенные значения
теоретических функциональных зависимостей, получаем модели,
содержащие аддитивную составляющую  k , линейно зависящую не
более чем от l последовательных отсчетов. При этом разностные
уравнения становятся стохастическими [72], а их линейность относительно коэффициентов позволяет идентифицировать эти уравнения
как линейные регрессионные модели [20].
В общем случае эти модели, как линейные регрессионные, можно представить в виде
bk   1 f k1  2 f k 2    n f kn  k , k  1,2,3,, N , (3.21)
причем первые  l  1 уравнений: k  1,2,3,, l  1 , описываются
формулами (3.4), то есть
1, j  r  k ;
j  1, n , k  1, l  1 . (3.22)
bk  yk 1 , f kj  
0, j  r  k ,
Здесь r – число первых коэффициентов регрессионной модели, связанных только с динамическими характеристиками диссипативной
системы, n  r  l  1. Последние  l  1 коэффициентов в регрессионной модели (3.21) описываются формулами r  k  y k 1 , k  1, l  1 .
В матричной форме регрессионная модель, сформированная на
основе стохастических разностных уравнений, описывается выражениями (3.7) и (3.8). Основная задача при разработке обобщенной регрессионной модели в форме (3.7) и (3.8) заключается в конкретизации элементов матрицы регрессоров F , вектора b , а также элементов матрицы P линейного преобразования вектора случайной помехи, для основных видов построенных линейно-параметрических дискретных моделей.
Следует отметить, что при реализации наиболее общего подхода
к построению линейно-параметрической дискретной модели, использующего полиномиальную аппроксимацию монотонной составляющей, вид и элементы матрицы P не зависят от степени аппроксимирующего многочлена. На формирование матрицы P оказывает
влияние только та часть разностного уравнения, которая описывает
свободные колебания диссипативной системы.
Рассмотрим дискретную модель достаточно общего вида (2.110).
152
При k  3 ее можно представить следующим образом:
m
m
0 y k  2    j  k  1 y k 1   k  3 y k 3    m j  k  2  y k  2 
j 1
j
j


m n
j
j 1
  2 m 1 j  k  1  y k 1  y k 3 .
j
(3.23)
j 0
Эта модель содержит 2m  1 коэффициентов  j , j  0, 2 m , функционально связанных с динамическими характеристиками системы, и
m  n  1 коэффициентов 2 m 1 j , j  0, m  n , описывающих полиномиальный тренд. Полагая в (3.23) y k  yk   k и вводя дополнительно
два коэффициента 3m n  2  y0 и 3m n 3  y1 для оценки начальных
условий, получаем систему стохастических разностных уравнений:
y0  3m n 2   0 ,
y1  3m n 3  1 ,
m
j
j
yk 1  yk 3  0 yk  2    j  k  1 yk 1   k  3 yk 3  


j 1
m
m n
 m  j  k  2  yk  2   2 m 1 j  k  1  k , k  3,4,, N , (3.24)
j
j 1
j
j 0

m

j 1


m


j 1

 k  1    j  k  3   k 3  0   m  j  k  2    k  2 
j
j

(3.25)
m

j
 1    j  k  1   k 1 ,
k  3, 4,, N .
 j 1

Отсюда при 2m1 j  0, j  0, m  n , получаем стохастические
разностные уравнения, описывающие режим свободных колебаний
нелинейной диссипативной системы
y0  2m1   0 ,
y1  2 m 2  1 ,
m
j
j
yk 1  yk 3  0 yk  2    j  k  1 yk 1   k  3 yk 3  


j 1
m
  m  j  k  2  yk  2 k , k  3,4,, N .
j
(3.26)
j 1
Очевидно, что стохастическое разностное уравнение эквивалентного случайного возмущения  k для этой модели также описы153
вается формулой (3.25), так как оно не включает коэффициенты
2m1 j , j  0, m  n .
0
Для разностных уравнений (3.26) матрица F  
 F1
E
в обоб0 
щенной регрессионной модели (3.7) имеет размер N   2m  3 , где
m  0 – степень многочлена, аппроксимирующего положительную
функцию B  t  при описании огибающей амплитуд колебаний выражением
вида
 N  2    2m  1
a t  
a0
.
B t 
Элементы
матрицы
F1
размера
– регрессоры f kj , j  1, 2m  1 , k  3, N , описывае-
мые формулами
y ,
j  1;
 k 2
j 1
j 1

(3.27)
f kj    k  1 yk 1   k  3 yk 3  , j  2, m  1;



j  m 1

yk  2 ,
j  m  2, 2m  1.
 k  2 
Описание остальных двух регрессоров матрицы обобщенной
регрессионной модели F : f kj , j  2m  2, 2m  3 , определяется еди-
ничной и нулевой матрицами, и оно очевидно.
Элементы вектора b   y0 , y1 b1T 
T
свободных членов в обоб-
щенной регрессионной модели могут быть представлены в виде
bk  yk 1  yk 3 , k  3, N .
(3.28)
Из стохастического разностного уравнения эквивалентного случайного возмущения (3.25) получаем формулы для описания элементов pkj матрицы линейного преобразования случайной помехи
 E 0
P  
 размера N  N . Эта матрица имеет блочную структуру.
 P1 
Первые две строки матрицы P определяются единичной и нулевой
матрицами и могут быть описаны следующим образом:
1, j  k ;
pkj  
, k  1,2 , j  1, N .
(3.29)
0, j  k ,
154
При k  3 элементы ленточной трех диагональной подматрицы
P1 размера  N  2   N описываются формулами
1  j  k  2;
0,

m
1   i  k  3i ,
j  k  2;
 i 1

m

i

k  3, N . (3.30)
pkj  0 1   i  k  2   , j  k  1;
i

1



m

i
j  k;
1   i  k  1 ,
 i 1
0,
k  1  j  N.

При использовании ЛПДМ (3.24), которая учитывает параметры
монотонной составляющей, число регрессоров модели увеличивается
на m  n  1 , размер матрицы F становится равным N   3m  n  4  ,
а новые регрессоры в матрице F1 описываются формулами
f kj   k  1
j  2 m 2
,
j  2m  2, 3m  n  2 , k  3, N .
(3.31)
При этом матрица P линейного преобразования случайной помехи в результатах эксперимента не изменяется.
Рассмотрим стохастические разностные уравнения и на их основе сформируем матрицы F и P , вектор b для обобщенных регрессионных моделей, описывающих реакцию диссипативных систем с
линейно-вязким, кулоновым, турбулентным трением, а также системы с нелинейной силой трения общего вида, при основных видах
типового тестового воздействия: импульсном, ступенчатом, линейном.
В соответствии с формулой (2.140), описывающей ЛПДМ свободных колебаний систем с линейно-вязким трением, имеем систему
стохастических разностных уравнений:
y0  3   0 ,
y1  4  1 ,
yk 1  1 yk 2  2 yk 3  k ,
(3.32)
1   0 ,
2  1 ,
k  2 k 3  1 k 2   k 1 ,
k  3.
(3.33)
155
Отсюда элементы матрицы F размера N  4 и вектора b в обобщенной регрессионной модели описываются формулами
k  1,2;
k  1,2;


0,
0,
f k1  
fk 2  
 yk  2 , k  3, N ,
 yk 3 , k  3, N ,


1, k  j  2;
f kj  
j  3, 4,
bk  yk 1 , k  1, N . (3.34)
0, k  j  2,
При описании реакции системы с линейно-вязким трением на
ступенчатое скачкообразное воздействие порядок разностного уравнения увеличивается на единицу, а в матрицу F следует добавить
столбец fk 3   0,0,1,1,,1  R N , изменив при этом на единицу номер двух последующих столбцов.
При линейном тренде, который учитывается в (2.138), в обобщенную регрессионную модель следует ввести уже два дополниk  1,2;
0,
T

тельных регрессора: fk 3   0,0,1,1,,1  R N и f k 4  

k  1, k  3, N
с корректировкой номера последующих двух столбцов.
Матрица P линейного преобразования случайной помехи при
использовании ЛПДМ для систем с линейно-вязким трением в режиме свободных колебаний, при ступенчатом скачкообразном воздействии или с линейном трендом одна и та же. Элементы ее строк
описываются выражениями:
T
1,

0,
0,


pkj  2 ,

1 ,
1,

0,
k  j,
k  j,
k  1, 2;
k  1, 2;
1  j  k  2, k  3, N ;
j  k  2,
k  3, N ;
j  k  1,
k  3, N ;
j  k,
k  3, N ;
(3.35)
k  1  j  N , k  3, N .
Для строк (3.35), начиная с четвертой, можно использовать простую рекуррентную формулу
156
j  1;

0,
pkj  

 pk 1, j 1 , j  2, N , k  4, N .
При экспоненциальном тренде в уравнении колебаний системы с
линейно-вязким трением с учетом формулы (2.144) стохастические
разностные уравнения имеют вид:
y2  6   2 ,
y3  7   3 ,
y0  4   0 ,
y1  5  1 ,
yk 1  yk  2  1  yk  2  yk 3   2  yk 3  yk  4   3  yk  4  yk 5   k , (3.36)
1   0 ,
2  1 , 3   2 , 4   3 ,
k  3 k 5   2  3   k  4   1  2   k 3  1  1   k  2   k 1 , k  5, N . (3.37)
На основании формулы (3.36) столбцы матрицы F1 размера
N  3 , входящей в структуру матрицы обобщенной регрессионной
 0 E
модели F  
 , где E – единичная матрица размера 4  4 , опи F1 0 
сываются следующей формулой:
f kj   1
j 1
y
k 1 j
 yk 2 j  ,
j  1, 3 ,
k  5, N .
(3.38)
Элементы вектора b можно представить в виде
 yk 1 ,
k  1, 4;
(3.39)
bk  
 yk 1  yk  2 , k  5, N .
Строки матрицы P1 размера  N  4   4 , входящей в структуру
 E 0
матрицы P  
 линейного преобразования вектора случайной
 P1 
помехи  , описываются выражениями:
3 ,


  2  3  ,
    ,
2
p5 j   1
 1  1  ,

1,

0, 6 

j  1;
j  2;
j  3;
j  4;
j  1;

0,
pkj  

 pk 1, j 1 , j  2, N ,
k  6, N . (3.40)
j  5;
j  N,
157
Рассмотрим достаточно простые стохастические разностные
уравнения, описывающие результаты измерений мгновенных значений отклика системы с линейно-вязким трением на ступенчатое
скачкообразное и линейно изменяющееся воздействия. На основании
(2.146) и (2.147) можно получить формулы для ступенчатого скачкообразного воздействия:
y0  3   0 ,
y1  4  1 ,
y2  5   2 ,
yk 1  yk  2  1  yk  2  yk 3   2  yk 3  yk  4   k ,
1   0 ,
(3.41)
2  1 , 3   2 ,
k  2 k  4   1  2   k 3  1  1   k  2   k 1 , k  4, N ,
(3.42)
и формулы для линейно изменяющегося воздействия:
y0  3   0 ,
y1  4  1 ,
y2  5   2 ,
y3  6   3 ,
yk 1  2 yk  2  yk 3  1  yk  2  2 yk 3  yk  4   2  yk 3  2 yk  4  yk 5   k , (3.43)
1   0 ,
2  1 , 3   2 , 4   3 ,
k  2 k 5   1  22   k  4  1  21  2   k 3   2  1   k  2   k 1 , k  5, N . (3.44)
Элементы матрицы F и вектора b в обобщенной регрессионной
модели, а также строки матрицы P линейного преобразования вектора случайной помехи, описываются формулами
f kj   1
j 1
y
k 1 j
 yk 2 j  , bk  yk 1  yk 2 ,
  2 ,
   ,
2
 1

p4 j    1  1  ,

1,


0, 5 
k  4, N , j  1, 2 ,
(3.45)
j  1;
j  2;
j  3;
j  4;
j  N,
j  1;
0,
pkj  
 pk 1, j 1 , j  2, N ,
k  5, N
(3.46)
при ступенчатом скачкообразном воздействии или формулами
f kj   1
j 1
y
k 1 j
 2 yk 2 j  yk 3 j  , bk  yk 1  2 yk 2  yk 3 ,
k  5, N ,
158
j  1, 2 ,
(3.47)
2 ,


  1  22  ,
 1  2   ,
1
2
p5 j  
  2  1  ,

1,

0,
6

j  1;
j  2;
j  3;
j  4;
j  1;
0,
pkj  
 pk 1, j 1 , j  2, N ,
k  6, N
(3.48)
j  5;
j  N,
при линейно изменяющемся воздействии.
При кулоновом трении свободные колебания диссипативной
системы с учетом (2.154) описываются стохастическими разностными уравнениями
y0  5   0 ,
y1  6  1 ,
yk 1  yk 3  0 yk 2  1  2k  5 yk 1   2k  3 yk 3  
2  k  2 k  3 yk 1   k  1 k  2 yk 3   3  k  2 yk 2 
 4  k  1 k  3 yk 2   k ,
1   0 ,
k  3, N ,
(3.49)
2  1 ,
k  1  1  2k  3  2  k  1 k  2  k 3  0 1  21  k  2 
2  k  1 k  3  k 2  1  1  2k  5  2  k  2 k  3  k 1 . (3.50)
Элементы матрицы F и вектора b в соответствующей обобщенной регрессионной модели могут быть описаны формулами
1, j  k  5;
f kj  
j  1, 7,
0, j  k  5,
f k1  yk 2 ,
bk  yk 1 ,
k  1, 2;
f k 2   2k  5  yk 1   2k  3 yk 3 ,
fk 3   k  2 k  3 yk 1   k  1 k  2 yk 3  ,
f k 4    k  2  yk  2 ,
bk  yk 1  yk 3 ,
f k 5   k  1 k  3 yk  2 ,
k  3, N ,
k  3, N ;
k  3, N ;
k  3, N ;
(3.51)
а строки матрицы P линейного преобразования вектора  случайной помехи с учетом ее структуры имеют вид
159
1, k  j ,

0, k  j ,

1 j  k  3  k 1
0,
pkj  
1  1  2k  3  2  k  1 k  2  ,
 1  2 k  2   k  1 k  3  ,
 2  

1
 0
1   2k  5   k  2 k  3 ,
 2


1

j  1, N ,
k  1, 2;
j  1, N ,
k  1, 2;
j  N ,,
k  3, N ;
j  k  2,
k  3, N ;
j  k  1,
k  3, N ;
j  k,
k  3, N .
(3.52)
Обобщением модели (3.49) является стохастическое разностное
уравнение
y0  9   0 ,
y1  10  1 ,
yk 1  yk 3  0 yk 2  1  2k  5 yk 1   2k  3 yk 3  
2  k  2 k  3 yk 1   k  1 k  2 yk 3   3  k  2 yk 2 
(3.53)
4  k  1 k  3 yk 2  5  6  k  1  7  k  1  8  k  1  k , k  3, N ,
построенное на основе (2.152) и описывающее результаты измерений
мгновенных значений отклика системы с кулоновым трением на линейно изменяющееся воздействие. При описании соответствующей
регрессионной модели следует ввести в (3.51) дополнительно четыре
j 6
регрессора: f kj   k  1 , j  6, 9, k  3, N .
2
3
Если в (3.53) положить 8  0 , то получим стохастическое разностное уравнение, описывающее результаты измерений мгновенных
значений переходной характеристики системы с кулоновым трением.
Число регрессоров при этом уменьшается на единицу.
Матрица P линейного преобразования случайной помехи в
этих обоих случаях не изменяется и описывается формулами (3.52).
При использовании рекуррентной формулы (2.161) для описания
переходной характеристики системы с кулоновым трением соответствующие стохастические разностные уравнения имеют вид
y0  5   0 ,
y1  6  1 , y2  7   2 ,
y3  8   3 ,
y4  9   4 ,
yk 1  3 yk  2  4 yk 3  4 yk  4  3 yk 5  yk 6  0  yk  2  3 yk 3  3 yk  4  yk 5  
1  2k  5 yk 1  3 2k  7  yk 2  2 3k  14 yk 3  2  4k  13 yk 4 
160
3 2k  7 yk 5   2k  9 yk 6   2  k  2 k  3 yk 1  3 k  3 k  4 yk 2 
2  2k 2  15k  31 yk 3  2  k 2  11k  14 yk 4  3 k  3 k  4 yk 5 
  k  4 k  5 yk 6   3  k  2 yk 2  3 k  3 yk 3  3 k  4 yk 4 
  k  5 yk 5   4  k  1 k  3 yk 2  3 k  2 k  4 yk 3 
3 k  3 k  5 yk 4   k  4 k  6 yk 5   k ,
k  6, N .
(3.54)
1   0 , 2  1 , 3   2 , 4   3 , 5   4 ,
k  
 1  1  2k  9  2  k  4 k  5  k 6  3  0  31  2k  7  
32  k  3 k  4  3  k  5  4  k  4 k  6  k 5 
 4  30  21  4k  13  22  k 2  11k  14   33  k  4  
34  k  3 k  5  k 4  4  30  21  3k  14   22  2k 2  15k  31 
33  k  3  34  k  2 k  4  k 3  
 3  0  31  2k  7  
32  k  3 k  4  3  k  2  4  k  1 k  3  k 2 
 1  1  2k  5  2  k  2 k  3  k 1 ,
k  6, N .
(3.55)
Регрессоры f kj , j  1, 10 , и элементы вектора b с учетом (3.54)
имеют вид
1, j  k  5;
f kj  
j  1, 10,
0, j  k  5,
bk  yk 1 ,
f k1  yk 2  3 yk 3  3 yk 4  yk 5 ,
k  1,5;
k  6, N ;
f k 2   2k  5 yk 1  3  2k  7  yk  2  2  3k  14  yk 3  2  4k  13 yk  4 
3  2k  7  yk 5   2k  9  yk 6 ,
k  6, N ;
fk 3   k  2 k  3 yk 1  3 k  3 k  4 yk 2 
2  2k 2  15k  31 yk 3  2  k 2  11k  14 yk 4 
3 k  3 k  4 yk 5   k  4 k  5 yk 6  , k  6, N ;
fk 4   k  2 yk 2  3 k  3 yk 3  3 k  4 yk 4   k  5 yk 5  ,
161
f k 5   k  1 k  3 yk  2  3  k  2  k  4  yk 3 
3  k  3 k  5  yk  4   k  4  k  6  yk 5 ,
k  6, N ;
f k 6  f k 7  f k 8  f k 9  f k10  0,
k  6, N ;
bk  yk 1  3 yk  2  4 yk 3  4 yk  4  3 yk 5  yk 6 ,
k  6, N . (3.56)
Очевидно, что в этом случае при описании элементов матрицы
 E 
P  
 линейного преобразования случайной помехи, где E –
 P1 
единичная матрица размера  l  1 , интерес представляют только
строки с номерами k  l , где l – число последовательных отсчетов
y k , yk 1 , …, yk l 1 в используемом разностном уравнении. С учетом
свойств матрицы P1 , входящей в структуры матрицы P , достаточно
описать l – элементов plj , j  1, l , строки с номером k  l . Элементы
pkj , k  l  1, N , j  1, N , остальных строк можно вычислить, исполь-
зуя рекуррентную формулу

0, 1  j  k  l  1  k  j  N ;
k  l  1, N . (3.57)
pkj  k   
k  l  1  j  k,

 pk 1, j 1  k  ,
Здесь pkj  k  – некоторая функция от целочисленного параметра k (в
частности, может быть константой), вид которой зависит от номера
столбца j . Для стохастического разностного уравнения (3.55) l  6 ,
шесть первых элементов шестой строки матрицы P описываются
формулами
p61  k   1  1  2k  9   2  k  4  k  5  , p62  k   3  0  31  2k  7  
32  k  3 k  4   3  k  5   4  k  4  k  6  ,
p63  4  30  21  4k  13  22  k 2  11k  14  33  k  4 
34  k  3 k  5  ,
p64  4  30  21  3k  14  22  2k 2  15k  31 
33  k  3  34  k  2  k  4  ,
p65  3  0  31  2k  7   32  k  3 k  4   3  k  2   4  k  1 k  3 ,
162
p66  1  1  2k  5   2  k  2  k  3 .
Тогда в соответствии с (3.57) имеем рекуррентные формулы для вычисления элементов седьмой строки: p71  k   0 , p72  k   p61  k  ,,
p77  k   p66  k  , p78  k   0,, p7 N  k   0 . Аналогично описываются
ненулевые элементы восьмой, девятой и всех последующих строк,
k  8,9,10,, N :
pN , N 5  k  ,,  p83  k   p72  k   p61  k  ,
pN , N  4  k  ,,  p84  k   p73  k   p62  k  , ,
pN , N  k  ,,  p88  k   p77  k   p66  k  .
Рассмотрим стохастические разностные уравнения, описывающие результаты измерений мгновенных значений динамического
процесса в системах с турбулентным трением. В соответствии с
ЛПДМ (2.162), учитывающей линейный тренд, имеем
y0  6   0 ,
y1  7  1 ,
yk 1  yk 3  0 yk 2  1  k  1 yk 1   k  3 yk 3   2  k  2 yk 2 
3  4  k  1  5  k  1  k ,
2  1 ,
k  3, N ,
2
1   0 ,
(3.58)
k  1  1  k  3  k 3  0 1  1  k  2  k 2  1  1  k  1  k 1 . (3.59)
Элементы матрицы F и вектора b в соответствующей обобщенной регрессионной модели могут быть описаны формулами
1, j  k  6;
f kj  
j  1, 8,
0, j  k  6,
bk  yk 1 ,
k  3, N ;
f k1  yk 2 ,
fk 2   k  1 yk 1   k  3 yk 3  ,
k  3, N ;
f k 3   k  2  yk  2 ,
fk 4  1,
k  1, 2;
fk 5  k  1,
k  3, N ;
fk 6   k  1 ,
2
k  3, N ;
f k 7  f k 8  0,
k  3, N
bk  yk 1  yk 3 ,
k  3, N ,
(3.60)
163
а строки матрицы P линейного преобразования вектора  случайной помехи с учетом ее структуры имеют вид
 1, k  j ,
j  1, N ,

0, k  j ,
j  1, N ,

1  j  k  3,
0,

pkj  1  1  k  3 ,
j  k  2,

0 1  1  k  2   , j  k  1,

j  k,
1  1  k  1 ,

k 1 j  N,
0,
k  1, 2;
k  1, 2;
k  3, N ;
k  3, N ;
(3.61)
k  3, N ;
k  3, N ;
k  3, N .
Исключая из модели (3.58) слагаемое 5  k  1 , а из обобщен2
ной регрессионной модели – регрессор f k 6 , получаем ЛПДМ, описывающую результаты измерений мгновенных значений переходной
характеристики системы с турбулентным трением.
Из выражений (3.58) и (3.60) при 3  4  5  0 вытекает стохастическое разностное уравнение
y0  3   0 ,
yk 1  yk 3  0 yk 2 
y1  4  1 ,
1  k  1 yk 1   k  3 yk 3   2  k  2 yk 2  k , k  3, N , (3.62)
а также формулы для описания элементов матрицы F и вектора b в
обобщенной регрессионной модели, соответствующей режиму свободных колебаний системы с турбулентным трением:
1, j  k  3;
f kj  
j  1, 5,
0, j  k  3,
bk  yk 1 ,
k  1,2 ;
k  3, N ;
fk 2   k  1 yk 1   k  3 yk 3  ,
f k 3   k  2  yk  2 ,
f k 4  f k 5  0, bk  yk 1  yk 3 , k  3, N . (3.63)
Стохастическое уравнение случайного эквивалентного возмущения и элементы матрицы P для переходной и импульсной характеристики системы с турбулентным трением одинаковые и описываются формулами (3.59) и (3.61), соответственно.
f k1  yk 2 ,
164
При использовании рекуррентной формулы (2.173) для описания
переходной характеристики системы с турбулентным трением (ее
реакции на ступенчатое скачкообразное воздействие) стохастические
разностные уравнения принимают вид
y0  3   0 ,
y1  4  1 , y2  5   2 , y3  6   3 ,
yk 1  2 yk  2  2 yk 3  2 yk  4  yk 5  0  yk  2  2 yk 3  yk  4  
1  k  1 yk 1  2  k  2 yk 2  2  k  3 yk 3  2  k  4 yk 4   k  5 yk 5  
2  k  2 yk 2  2  k  3 yk 3   k  4 yk 4   k , k  5, N ,
1   0 ,
(3.64)
2  1 , 3   2 , 4   3 ,
k  1  1  k  5  k 5  2  0   21  2  k  4  k 4 
2 1  0   1  2  k  3  k 3  2  0   21  2  k  2  k 2 
 1  1  k  1  k 1 ,
k  5, N . (3.65)
Отсюда получаем формулы, описывающие элементы f kj и bk в соответствующей обобщенной регрессионной модели:
1, j  k  3;
f kj  
j  1, 7,
0, j  k  3,
bk  yk 1 ,
f k1  yk 2  2 yk 3  yk 4 ,
k  1, 4;
k  5, N ;
fk 2   k  1 yk 1  2  k  2 yk 2  2  k  3 yk 3 
2  k  4 yk 4   k  5 yk 5  ,
k  5, N ;
f k 3   k  2  yk  2  2  k  3  y k  3   k  4  y k  4 ,
k  5, N ;
f k 4  f k 5  f k 6  f k 7  0,
k  5, N
bk  yk 1  2 yk 2  2 yk 3  2 yk 4  yk 5 ,
k  5, N ,
(3.66)
а также формулы, описывающие элементы матрицы P линейного
преобразования вектора случайной помехи в результатах наблюдений:
165
 1, k  j ,
j  1, N ,

0, k  j ,
j  1, N ,

0,
1  j  k  5,

j  k  4,
1  1  k  5  ,

pkj    2  0   21  2  k  4   ,

2 1  0   1  2  k  3  ,

  2  0   21  2  k  2   ,

j  k,
1  1  k  1 ,

k 1 j  N,
0,
k  1, 4;
k  1, 4;
k  5, N ;
k  5, N ;
j  k  3,
k  5, N ;
j  k  2,
k  5, N ;
j  k  1,
k  5, N ;
(3.67)
k  5, N ;
k  5, N .
При использовании линейно-параметрических дискретных моделей (2.177), (2.178) и (2.175) колебаний систем с диссипативными
силами общего вида стохастические разностные уравнения, описывающие свободные колебания, переходную характеристику и отклик
системы на линейно изменяющееся воздействие соответственно,
имеют вид
y0  5   0 ,
y1  6  1 ,
yk 1  yk 3  0 yk 2  1  k  1 yk 1   k  3 yk 3  
2
2
2
2  k  1 yk 1   k  3 yk 3   3  k  2  yk  2  4  k  2  yk  2  k , (3.68)


y0  8   0 ,
y1  9  1 ,
yk 1  yk 3  0 yk 2  1  k  1 yk 1   k  3 yk 3  
2
2
2
2  k  1 yk 1   k  3 yk 3   3  k  2  yk 2  4  k  2  yk 2 


5  6  k  1  7  k  1  k ,
2
y0  9   0 ,
k  3, N ,
y1  10  1 ,
yk 1  yk 3  0 yk 2  1  k  1 yk 1   k  3 yk 3  
2
2
2
2  k  1 yk 1   k  3 yk 3   3  k  2  yk 2  4  k  2  yk 2 


166
(3.69)
5  6  k  1  7  k  1  8  k  1  k ,
2
3
k  3, N .
(3.70)
Первые пять столбцов f kj , j  1, 5 , матрицы F в обобщенных
регрессионных моделях, соответствующих уравнениям (3.68) –
(3.70), одинаковы и имеют вид
fkj  0, j  1, 5,
k  1,2;
fk 2   k  1 yk 1   k  3 yk 3  ,
f k 1  yk  2 ,
2
2
f k 3    k  1 yk 1   k  3 yk 3  ,


k  3, N ;
f k 4   k  2  yk  2 ,
fk 5   k  2 yk 2 ,
k  3, N ;
k  3, N .
2
(3.71)
При использовании модели (3.69) в матрицу F следует ввести
k  1,2;
0,

дополнительно три регрессора: f kj  
j  6, 7,8,
j 6

 k  1 , k  3, N ,
а при использовании разностного уравнения (3.70) – еще и четверk  1,2;
0,
тый: f k 9  
Последние два регрессора и вектор b во
3
 k  1 , k  3, N .
всех трех моделях (3.68) – (3.70) одинаковы и равны:
1, k  j  n  2;
k  1, N , j  n  1, n , где n – общее число регf kj  
0, k  j  n  2,
рессоров в модели (соответственно, n  7, 10, 11 );
k  1,2;

 yk 1 ,
(3.72)
bk  
y

y
,
k

3,
N
.

k 3
 k 1
Стохастическое уравнение случайного эквивалентного возмущения в моделях (3.68) – (3.70) имеет один и тот же вид:
1   0 ,
2  1 ,
2
2
k  1  1  k  3  2  k  3   k 3  0 1  1  k  2   2  k  2    k 2 




k  3, N .
 1  1  k  1  2  k  1   k 1 ,
(3.73)


Отсюда элементы матрицы P линейного преобразования случайной
помехи в результатах наблюдений описываются формулами
2
167

k  1, 2;
 1, k  j , j  1, N ,
0, k  j , j  1, N ,
k  1, 2;

0,
1  j  k  3,

2
pkj  1  1  k  3  2  k  3 ,
j  k  2,

2
0 1  1  k  2   2  k  2   , j  k  1,

1  1  k  1  2  k  12 ,
j  k,

0,
k 1 j  N,
k  3, N ;
k  3, N ; (3.74)
k  3, N ;
k  3, N ;
k  3, N .
При использовании рекуррентной формулы (2.185) для описания
реакции системы с диссипативными силами общего вида на ступенчатое скачкообразное воздействие (переходной характеристики) стохастические разностные уравнения принимают вид
y0  5   0 ,
y1  6  1 , y2  7   2 , y3  8   3 , y4  9   4 ,
yk 1  3 yk  2  4 yk 3  4 yk  4  3 yk 5  yk 6  0  yk  2  3 yk 3  3 yk  4  yk 5  
1  k  1 yk 1  3 k  2 yk 2  4  k  3 yk 3  4  k  4 yk 4  3 k  5 yk 5 
  k  6  yk 6   2  k  1 yk 1  3  k  2  yk  2  4  k  3 yk 3 

2
2
2
4  k  4  yk  4  3  k  5  yk 5   k  6  yk 6   3  k  2  yk 2 

2
2
2
3  k  3 yk 3  3  k  4  yk  4   k  5 yk 5   4  k  2  yk  2 

2
3  k  3 yk 3  3  k  4  yk  4   k  5 yk 5   k ,

2
1   0 ,
2
2
2  1 , 3   2 , 4   3 , 5   4 ,
2
k   1  1  k  6   2  k  6    k 6 


2
  0  3 1  1  k  5  2  k  5   k 5 


168
k  6, N ,
(3.75)
2
  30  4  1  1  k  4   2  k  4    k  4 


2
  30  4  1  1  k  3  2  k  3   k 3 


2
  0  3 1  1  k  2   2  k  2    k  2 


2
k  6, N .
 1  1  k  1  2  k  1   k 1 .


(3.76)
Отсюда получаем формулы, описывающие элементы f kj и bk в
соответствующей обобщенной регрессионной модели:
1, j  k  5;
f kj  
j  1, 10,
0, j  k  5,
bk  yk 1 ,
k  1,5;
k  6, N ;
f k1  yk 2  3 yk 3  3 yk 4  yk 5 ,
fk 2   k  1 yk 1  3 k  2 yk 2  4  k  3 yk 3 
4  k  4 yk 4  3 k  5 yk 5   k  6 yk 6  ,
k  6, N ;
f k 3    k  1 yk 1  3  k  2  yk  2  4  k  3 yk 3 

2
2
2
4  k  4  yk  4  3  k  5 yk 5   k  6  yk 6  ,

2
2
2
k  6, N ;
f k 4   k  2  yk  2  3  k  3  y k  3  3  k  4  y k  4   k  5  y k  5 ,
k  6, N ;
fk 5   k  2 yk 2  3 k  3 yk 3  3 k  4 yk 4   k  5 yk 5 , k  6, N ;
2
2
f k 6  f k 7  f k 8  f k 9  f k10  0,
2
2
k  6, N ;
k  6, N , (3.77)
bk  yk 1  3 yk 2  4 yk 3  4 yk  4  3 yk 5  yk 6 ,
а также формулы, описывающие элементы матрицы P линейного
преобразования вектора случайной помехи в результатах наблюдений:
169
 1, k  j ,
j  1, N ,
k  1,5;

j  1, N ,
k  1,5;
0, k  j ,

1
0,
 
2

 1  1  k  6   2  k  6   ,

2
 0  3 1  1  k  5   2  k  5   ,



2
pkj  
 3  4  1  1  k  4   2  k  4   ,


  0

2
 30  4  1  1  k  3  2  k  3  ,

  0  3 1  1  k  2   2  k  2 2  ,



2
 1   k  1   k  1  ,
 2  
1


k 1
0,
j  k  6, k  6, N ;
j  k  5, k  6, N ;
j  k  4, k  6, N ;
j  k  3, k  6, N ;
(3.78)
j  k  2, k  6, N ;
j  k  1, k  6, N ;
j  k,
k  6, N ;
j  N,
k  6, N .
Описанные выше линейно-параметрические дискретные модели
в форме стохастических разностных уравнений, элементы матрицы
F и вектора b в обобщенной регрессионной модели b  F    , а
также элементы матрицы P линейного преобразования   P  вектора случайной помехи в результатах наблюдений систематизированы в табл. 3.6. В этой таблице для различных типов диссипативной
системы и тестовых воздействий: импульсного (режим свободных
колебаний), ступенчатого скачкообразного (переходная характеристика) и линейно изменяющегося, указаны номера соответствующих
формул, а также l – число последовательных значений результатов
наблюдений, используемых в дискретной модели; r – число коэффициентов в разностном уравнении, функционально связанных с динамическими характеристиками системы; n  r  l  1– общее число
регрессоров (коэффициентов) модели (порядок модели), включающее  l  1 коэффициентов, функционально связанных с начальными
условиями для данной реализации экспериментальной виброграммы.
170
Таблица 3.6
Систематизация стохастических разностных уравнений в зависимости
от типа диссипативной системы и вида тестового воздействия
Тип диссипативной системы и
вид тестового воздействия
Стохастическое
разностное уравнение
колебаний
диссипативной
системы
Обобщенная
регрессионная модель
эквивалентного
случайного
возмущения
F
b
P
3.32
3.33
3.34
3.34
3.35
3.41
3.42
3.45
3.45
3.46
3.43
3.44
3.47
3.47
3.48
3.49
3.50
3.51
3.51
3.52
3.53, 3.54
3.50, 3.55
3.51
3.56
3.51
3.56
3.52
3.57
3.53
3.50
3.51
3.51
3.52
3.62
3.59
3.63
3.63
3.61
3.58, 3.64
3.59, 3.65
3.63
3.66
3.63
3.66
3.61
3.67
3.58
3.59
3.60
3.60
3.61
3.68
3.73
3.71
3.72
3.74
3.69, 3.75
3.73, 3.76
3.71
3.77
3.72
3.77
3.74
3.78
3.70
3.73
3.71
3.72
3.74
1. Системы с линейно-вязким
трением
1.1. Импульсное воздействие:
l=3, r=2, n=4
1.2. Ступенчатое скачкообразное
Воздействие: l=3(4), r=3(2), n=5
1.3. Линейно изменяющееся
Воздействие: l=3(5), r=4(2), n=6
2. Системы с кулоновым
трением
2.1. Импульсное воздействие:
l=3, r=5, n=7
2.2. Ступенчатое скачкообразное
воздействие: l=3(6), r=8(5), n=10
2.3. Линейно изменяющееся
воздействие: l=3, r=9, n=11
3. Системы с турбулентным
трением
3.1. Импульсное воздействие:
l=3, r=3, n=5
3.2. Ступенчатое скачкообразное
воздействие: l=3(5), r=5(3), n=7
3.3. Линейно изменяющееся
воздействие: l=3, r=6, n=8
4. Системы с диссипативными
силами общего вида
4.1. Импульсное воздействие:
l=3, r=5, n=7
4.2. Ступенчатое скачкообразное
воздействие: l=3(6), r=8(5), n=10
4.3. Линейно изменяющееся
воздействие: l=3, r=9, n=11
171
3.3. Итерационный метод среднеквадратичного оценивания
коэффициентов разностного уравнения
Представление математического описания результатов измерений мгновенных значений отклика системы на типовое тестовое воздействие в форме обобщенной регрессионной модели b  F   
позволяет свести задачу определения динамических характеристик
диссипативной системы к задаче прикладного линейного регрессионного анализа [20, 34, 112]. Основным методом вычисления коэффициентов регрессионной модели является классический метод
наименьших квадратов. В соответствии с методом наименьших
квадратов (МНК) оценки коэффициентов ЛПДМ в форме стохастических разностных уравнений определяются из условия минимизации функционала:
2
2
ˆ  b  F ˆ  min .
(3.79)
Однако оценки коэффициентов ˆ j , найденные таким образом, будут
наилучшими линейными оценками только при выполнении основных
положений классического регрессионного анализа [20], среди которых важнейшую роль играют требования, предъявляемые к статистическим характеристикам случайного возмущения  k . Для вектора
эквивалентного случайного возмущения   1 ,2 ,N  , составT
ленного из нормально распределенных случайных величин  k , эти
требования можно сформулировать в виде
T
M     , V    M   M     M     E 2 , (3.80)


где M   – оператор математического ожидания; V   – матрица
дисперсий-ковариаций вектора  ; E и  – единичная матрица и
нулевой вектор, соответственно;  2 – дисперсия случайных величин
 k . При нарушении этих требований оценки коэффициентов регрессионной модели становятся неэффективными и, что еще хуже, смещенными. Для устранения этого серьезного недостатка в таких случаях используют различные алгоритмы обобщенного метода наименьших квадратов (ОМНК) [20, 112, 131]. Для их успешной реализации должна быть известна матрица дисперсий-ковариаций V  
случайного возмущения либо параметры стохастической модели
172
временного ряда  k  , например, процесса авторегрессии (АР) или
процесса скользящего среднего (СС) [13, 20, 71, 72]. Как правило,
истинные значения этих параметров (элементов матрицы) неизвестны, и приходится использовать их оценки, полученные тем или иным
образом. Поэтому важнейшей задачей при разработке эффективного
метода среднеквадратичного вычисления коэффициентов ЛПДМ является задача моделирования эквивалентного случайного возмущения на основе статистического оценивания параметров его математической модели.
Одним из основополагающих свойств обобщенных регрессионных моделей, описывающих динамические процессы в диссипативной системе, является зависимость регрессоров f j   f kj 
,
k 1, N
j  1, r , от результатов наблюдений yk  yˆ k   k , и, следовательно, от
случайной аддитивной помехи  k в этих результатах. Для большинства построенных ЛПДМ колебаний диссипативной системы эта заqkj
j
висимость имеет линейный характер: f kj   cki  yk i 1 , k  l , N , где
i 1
cki j  ( j  1, r ) – действительные коэффициенты, число и значения которых зависит от номера строки k , qkj  l  1 . Поэтому с учетом
свойства аддитивности случайной помехи зависимость регрессоров
f kj от  k также будет линейной.
Будем полагать, что значения случайной помехи  k в результатах наблюдений некоррелированны, имеют нормальный закон распределения, нулевое математическое ожидание и одинаковые дисперсии  2 : M     , V    E 2 . В этом случае регрессоры можно рассматривать как случайные вектора f  f   , где
 
f  f
j
kj
j
k 1, N
j
j
– значение регрессора, вычисленное при истинных зна-
чениях y k отклика системы, а N - мерный вектор случайного эквивалентного возмущения  j :  kj 
qkj  l 1

i 1
cki j  k i 1 , k  l , N , можно пред-
ставить в виде  j  C j  , где C j – некоторая детерминированная матрица линейного преобразования размера N  N , включающая нуле173
вые
блоки.
Тогда
очевидно,
что
M  f j   f j
и
V  f j   M  j Tj   C j CTj  2  G j 2 , где G j  C j C Tj .
Аналогично для свободного члена обобщенной регрессионной
модели b имеем b  b   b , где b  bk
– значение свободного
 
члена,
bk 
вычисленное
qbk l 1

i 1

при
истинных
k 1, N
значениях
y k ,
а
b :

ckib  k i 1 , k  1, N – N - мерный вектор случайного эквива-
лентного возмущения, который можно представить в виде b  Cb ,
где Cb – некоторая детерминированная матрица размера N  N ,
включающая блоки единичной и нулевой матриц. Тогда очевидно,
что M b   b и V b  M bbT   Gb 2 , где Gb  CbCbT .
Рассмотрим стохастическое описание элементов обобщенной
регрессионной модели для основных типов диссипативных систем в
режиме свободных колебаний. Для других режимов функционирования диссипативной системы ее математическое описание в форме
обобщенной регрессионной модели требует введения дополнительных регрессоров, как правило, независящих от результатов наблюдений и поэтому имеющих детерминированный характер.
Для систем с линейно-вязким трением обобщенная регрессионная модель (3.34) содержит два регрессора, зависящих от результатов
наблюдений. Элементы векторов случайного эквивалентного возмущения для этих регрессоров и свободного члена описываются формулами
k  1,2;
k  1,2;
0,
0,


bk   k 1 , k  1, N .
k1  
k 2  


 k 2 , k  3, N ,
 k 3 , k  3, N ,
Соответствующие им матрицы линейного преобразования вектора
случайной помехи могут быть представлены в виде
1


 1 
, C2   
(3.81)
C1  

 , Cb  E2 ,
2 E1 2 
 E1 3 
где E1 и E2 – единичные матрицы  N  2  и N порядка; 1 , 2 и
3 – нулевые матрицы размера 2  N ,  N  2   1 и  N  2   2 соответственно.
174
Для систем с турбулентным трением обобщенная регрессионная
модель (3.62) включает три зависящих от результатов наблюдений
регрессора. Элементы векторов случайного эквивалентного возмущения для этих регрессоров и свободного члена описываются формулами
k  1, 2;
0,
k  1,2;
0,


k 2  
k1  

  k  1  k 1   k  3  k 3  , k  3, N ,
 k 2 , k  3, N ,


k  1,2;

k  1, 2;
 ,
0,
bk   k 1
k 3  


 k  2   k 2 , k  3, N ,
 k 3   k 1 , k  3, N .
Соответствующие им матрицы линейного преобразования вектора
случайной помехи могут быть описаны следующим образом:
1


C1  
 , где E – единичная матрица  N  2  порядка; 1
2 E 2 
и 2 – нулевые матрицы размера 2  N и  N  2   1 соответственно;
 2
ckj
0,

   k  3 ,

 0,

  k  1 ,
0,
1

j  1, N ;
k  1, 2;
j  k  2;
k  3, N ;
j  k  1;
k  3, N ;
j  k;
k  3, N ;
j  k  3  k  1  j  N ; k  3, N ,
0,
j  1, N ;


ckj   k  2  , j  k  1;


0, 1  j  k  2 
1, j  k ;

0, j  k ;

ckj b   1,
j k 2 

j  k  1;
0,
0, 1  j  k  3 

k  1, 2;
 3
k  3, N ;
k  j  N ; k  3, N ,
j  1, N ;
k  1, 2;
j  1, N ;
k  1, 2;
j  k;
k  3, N ;
(3.82)
k  3, N ;
k  1  j  N ; k  3, N .
175
Для систем с диссипативными силами общего вида обобщенная
регрессионная модель (3.62) включает уже пять зависящих от результатов наблюдений регрессора. Элементы векторов случайного
эквивалентного возмущения для этих регрессоров и свободного члена описываются формулами
k  1, 2;
0,
k  1,2;
0,


k 2  
k1  

  k  1  k 1   k  3  k 3  , k  3, N ,
 k 2 , k  3, N ,

k  1, 2;
0,
k 3  
2
2


  k  1  k 1   k  3  k 3  , k  3, N ,
k  1, 2;
k  1, 2;
0,
0,


k 5  
k 4  
2


 k  2   k  2 , k  3, N ,
 k  2   k  2 , k  3, N ,

k  1, 2;
 ,
bk   k 1

 k 3   k 1 , k  3, N .
Соответствующие им матрицы линейного преобразования вектора случайной помехи могут быть описаны следующим образом:
1


C1  
 , где E – единичная матрица  N  2  порядка; 1
2 E 2 
и 2 – нулевые матрицы размера 2  N и  N  2   1 соответственно;
 2
ckj
 3
ckj
176
0,

   k  3 ,

 0,

  k  1 ,
0,
1

j  1, N ;
k  1, 2;
j  k  2;
k  3, N ;
j  k  1;
k  3, N ;
j  k;
k  3, N ;
j  k  3  k  1  j  N ; k  3, N ,
0,
j  1, N ;

2
  k  3 , j  k  2;


 0,
j  k  1;

2
  k  1 , j  k ;

1  j  k  3  k 1  j  N;

0,
k  1, 2;
k  3, N ;
k  3, N ;
k  3, N ;
k  3, N ,
0,
j  1, N ;


c   k  2  , j  k  1;


0, 1  j  k  2  k  j  N ;
0,
j  1, N ;

2

5
ckj    k  2  , j  k  1;

0, 1  j  k  2  k  j  N ;
1, j  k ;
j  1, N ;

j  1, N ;
0, j  k ;
b 
ckj  1,
j  k  2  j  k;

j  k  1;
0,
0, 1  j  k  3  k  1  j  N ;

 4
kj
k  1, 2;
k  3, N ;
k  3, N ,
k  1, 2;
k  3, N ;
k  3, N ,
k  1, 2;
k  1, 2;
k  3, N ;
(3.83)
k  3, N ;
k  3, N .
Рассмотрим, как влияет зависимость элементов регрессоров от
случайной помехи в результатах наблюдений на свойства оценок коэффициентов стохастического разностного уравнения, полученных
классическим методом наименьших квадратов.
МНК– оценки коэффициентов регрессионной модели b  F   
1
описываются формулой (3.9): ˆ   F T F  F T b . Отсюда с учетом

формулы (3.7) имеем ˆ  F T F

1


1
F T F        F T F  F T , где
 – вектор истинных (точных) значений коэффициентов ЛПДМ. При
малых значениях случайной помехи  k в первом приближении мож1
1
но принять M  F T F     F T F  . Тогда математическое ожидание


вектора оценок может быть представлено в следующем виде:
1
M ˆ      F T F  M  F T  . Матрицу регрессоров в обобщенной
регрессионной модели можно представить в виде F  F  F , где
F – возмущение матрицы F , обусловленное случайной помехой в
результатах наблюдений. Первые r столбцов матрицы F – это
177
векторы  j , j  1, r . Остальные n  r столбцов этой матрицы состоят
из одних нулей. Тогда с учетом того, что M    M     , имеем
M  F T   F T M    M F T   M F T  .
Следовательно, смещение вектора оценок  можно представить в
виде
1
M ˆ      F T F  M  F T  .
(3.84)
Строки матрицы F T описываются векторами  j , причем n  r
последние из них – нулевые. Очевидно, что j -тый элемент вектора

FT можно представить в виде F T

j
  Tj    T CTj P    T Q j ,
где Q j  C Tj P , а C j и P – известные детерминированные матрицы,
элементы которых формируются на основе используемого стохастического разностного уравнения. Тогда с учетом того, что
 2 , k  j;

, можно получить: M  F T  j   trQ j   2 ,
M  k  j    


0,
k

j
,


N
N
N
где trQ j   qii j    cki j  pki – след матрицы Q j . Отсюда следует:
i 1
k 1 i 1
M F     trQ1 , trQ2 ,, trQr ,0,0,,0   2  g T  2 .
Таким образом, оценить смещение вектора оценок коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели можно по формуле
1
M ˆ      F T F  g 2 ,
(3.85)
T
T
где g   trQ1 , trQ2 ,, trQr ,0,0,,0 – n - мерный вектор, у которого
последние n  r элементов равны нулю.
Для разностных уравнений, описывающих колебания систем с
линейно-вязким трением, в соответствии с формулами (3.35) и (3.81),
вектор g имеет вид:
T
(3.86)
g    N  2 1 , 2 ,0,0 .
Для моделей, описывающих колебания систем с турбулентным
трением, с учетом соотношений (2.164) и (3.82) элементы вектора g
можно представить в виде
T
178
N 1 

g1  0  N  2  1 
1  ,
2


 N  2 N 2  9 N  19 

g 2    N  1 N  2   1 
 6 ,
3


 N  1 N  2  
0 
3  1  2 N  3 , g 4  g5  0 . (3.87)
6
Для проверки адекватности полученных соотношений, описывающих смещение МНК- оценок, были проведены численноаналитические исследования на основе компьютерного моделирования. В форме тестового сигнала генерировалась выборка мгновенных
значений y k свободных колебаний систем с линейно-вязким и турбулентным трением с параметрами   0,05 ,   2 , a  1 ,   1
g3  
0
0
0
и   0,2 . Объем выборки N изменялся от 10 до 100. В отсчеты y k
добавлялась случайная помеха  k , величина которой варьировалась
от 0% до 10% в относительных к мощности полезного сигнала единицах.
Результаты численно-аналитических исследований зависимости
смещения оценок коэффициентов, непосредственно связанных с динамическими характеристиками, от величины случайной помехи
 ,% и объема выборки N приведены в табл. 3.7 – 3.10, а также изображены в виде точек на рис. 3.4 - 3.6. Смещение M ˆ j    j оценок
коэффициентов ˆ представлено в относительных к точному значеj
нию  j единицах:  j 
M ˆ j    j
100% .

j
Каждая экспериментальная оценка смещения  j ,% , находилась на основе усреднения 1000 независимых оценок соответствующего коэффициента ˆ j , вычисленных при одних и тех же значениях
параметров тестового сигнала и дисперсии случайной помехи. Величины смещения ˆj ,% , представленные в табл. 3.7 – 3.10, вычислялись на основе полученных соотношений (3.85) – (3.87).
179
Таблица 3.7
Зависимость смещения МНК-оценок коэффициентов разностного уравнения свободных колебаний систем с линейновязким трением от величины случайной помехи в результатах
наблюдений  N  50 
 ,%
1
1 ,% 0,02
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,07
0,15
0,27
0,43
0,61
0,79
1,09
1,35
1,67
ˆ1 ,%
0,02
0,07
0,15
0,26
0,41
0,57
0,79
1,02
1,26
1,66
2 ,%
ˆ ,%
0,01
0,05
0,11
0,21
0,33
0,46
0,61
0,82
1,02
1,26
0,01
0,05
0,12
0,21
0,32
0,45
0,63
0,81
1,00
1,31
2
Таблица 3.8
Зависимость смещения МНК-оценок коэффициентов разностного уравнения свободных колебаний систем с линейно
вязким трением от объема выборки   , %  10% 
N
1 ,%
ˆ ,%
1
2 ,%
ˆ ,%
2
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1,82
170,
1,73
1,63
1,68
1,61
1,66
1,66
1,63
1,61
1,65
1,56
1,56
1,51
1,65
1,51
1,58
1,59
1,62
1,59
1,09
1,25
1,24
1,24
1,26
1,25
1,26
1,28
1,27
1,26
1,34
1,24
1,24
1,21
1,30
1,20
1,26
1,27
1,29
1,26
Таблица 3.9
Зависимость смещения МНК-оценок коэффициентов разностного уравнения свободных колебаний систем с турбулентным
трением от величины случайной помехи в результатах наблюдений  N  50 
 ,% 0,5
0 ,% 0,01
1,0
0,06
1,5
0,11
2,0
0,18
2,5
0,26
3,0
0,31
3,5
0,41
4,0
0,51
4,5
0,58
5,0
0,62
ˆ0 ,% 0,01
0,06
0,13
0,19
0,12
0,61
0,60
0,71
0,85
0,93
1 ,%
ˆ ,%
7,5
28,3
58,8
91,6
126,4
160,8
192,5
218,9
241,5
261,8
7,6
26,9
60,8
81,8
139,5
154,4
192,4
205,8
251,2
260,6
1
180
Таблица 3.10
Зависимость смещения МНК-оценок коэффициентов разностного уравнения свободных колебаний систем с турбулентным
трением от объема выборки    1% 
N
0 ,%
ˆ ,%
0
1 ,%
ˆ ,%
1
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0,05
0,08
0,05
0,06
0,05
0,06
0,06
0,06
0,07
0,06
0,05
0,04
0,05
0,05
0,04
0,04
0,05
0,10
0,03
0,05
3,2
8,4
13,9
20,3
27,9
36,1
44,2
52,1
59,6
67,6
3,6
8,5
14,5
22,1
28,6
36,9
44,8
53,1
64,5
76,9
 ,%
4
3
1,6
1
2
1,2
0,8
0,4
0
4
2
6
8
 ,%
,%
Р и с. 3.4. Зависимость смещения оценок коэффициентов
разностного уравнения для систем с линейно-вязким трением
от величины случайной помехи
1 ,%
По результатам исследований
можно сделать вывод, что, вопервых, МНК– оценки коэффициентов разностного уравнения для
систем с линейно-вязким трением
имеют относительно небольшое
смещение. Во-вторых, это смещение практически не зависит от
объема выборки.
На рис. 3.4 точки 1 и 3 соответствуют экспериментально полученным результатам вычисления
смещения МНК– оценок коэффициентов ˆ1 и ˆ2 для систем с ли1 ,%
60
200
2
1
1
2
40
100
20
0
1
2
3
4
 ,%
Р и с. 3.5. Зависимость смещения оценки ̂1 от величины
случайной помехи для систем с
турбулентным трением
0
20
40
60
80
N
Р и с. 3.6. Зависимость
смещения оценки ̂1 от
объема выборки
для
систем с
турбулентным трением
181
нейно-вязким трением. Точки 2 и 4 на рис. 3.4 соответствуют смещению МНК- оценок коэффициентов ˆ1 и ˆ2 , вычисленному на основе
формул (3.85) и (3.86).
При исследовании величины смещения МНК- оценок коэффициентов ЛПДМ для систем с турбулентным трением установлено,
что смещение оценки коэффициента ˆ0 достаточно мало и практически не зависит от объема выборки. Однако даже при небольшой величине случайной помехи в результатах наблюдений смещение оценок коэффициентов ˆ1 и ˆ2 очень велико и существенно зависит от
объема выборки. Аналогичные выводы о недопустимо большом
смещении МНК- оценок коэффициентов разностного уравнения, связанных с декрементом колебания, можно сделать по результатам
численно-аналитических исследований моделей колебаний систем с
кулоновым трением и систем с диссипативными силами общего вида.
На рис. 3.5 и рис. 3.6 точки 1 описывают зависимости экспериментально полученных оценок смещения коэффициента ˆ1 разностного уравнения для систем с турбулентным трением от величины
случайной помехи и от объема выборки, соответственно. Точки 2 на
этих же рисунках соответствуют результатам вычисления смещения
на основе формул (3.85) и (3.87). Очевидно, что полученные формулы (3.85) – (3.87) с высокой точностью описывают смещение МНКоценок коэффициентов разностного уравнения систем как с линейновязким, так и с турбулентным трением.
Таким
образом,
оценки
коэффициентов
линейнопараметрических дискретных моделей колебаний диссипативных
систем, полученные на основе классической процедуры метода наименьших квадратов, имеют недопустимо большое смещение и, следовательно, суммарную среднеквадратичную ошибку




2
2
M  ˆ     D ˆ   M ˆ    ,




2


где D ˆ   M  ˆ  M ˆ   – дисперсия вектора оценок коэффици

ентов ЛПДМ. Дальнейшее применение таких оценок приводит к
полной потере достоверности результатов вычисления динамических
характеристик диссипативной системы.
182
Для устранения смещения в оценках коэффициентов разностного уравнения можно применить известные методы, в основе которых
лежат стохастические модели эквивалентного случайного возмущения  [20, 71, 72, 131]. Сравним эффективность различных методов
устранения смещения среднеквадратичных оценок коэффициентов
разностного уравнения на примере свободных колебаний диссипативной системы с турбулентным трением [41].
Вначале рассмотрим методы, основанные на построении и использовании авторегрессионной модели эквивалентного случайного
возмущения  k . С учетом (3.62) представим линейнопараметрическую дискретную модель свободных колебаний системы
с турбулентным трением в форме обобщенной регрессионной модели, строки которой описываются формулой
b1  4   0 ,
b2  5  1 ,
k  3, N ,
(3.88)
bk  0 f1k  1 f 2 k  2 f3k  k ,
bk  yk 3  yk 1 ,
f1k  yk  2 ,
b1  y0 ,
b2  y1 ,
где
f2k   k  3 yk 3   k  1 yk 1  , f3k   k  2  yk  2 . Эквивалентное
случайное возмущение  k представим как авторегрессионный (АР)
процесс порядка s [13, 20]:
(3.89)
k  1k 1  2k 2     sk  s  k ,
где k  N  0, 2  – случайные независимые величины, имеющие
нормальное распределение, нулевое математическое ожидание и
одинаковые дисперсии  2 .
ˆ  0
j
Вычислив с помощью метода наименьших квадратов оценки
j  1, 5 коэффициентов регрессионной модели (3.88), можно


e1  y0  ˆ4 ,
e2  y1  ˆ5 ,
остатки
ek  bk  ˆ0 0 f1k  ˆ10  f 2 k  ˆ20  f3 k , k  3, N , которые используются в
качестве значений эквивалентного случайного возмущения k  ek .
Заменив в (3.89) значения  k остатками ek , получаем:
найти
ek  1ek 1  2 ek 2    s ek  s  k ,
k  s  1, N .
183
Отсюда, применяя МНК, можно найти оценки коэффициентов авто-
чим
эти
оценки
через
2
s


 ek    j ek  j   min . Обозна
k  s 1 
j 1

ˆ j , j  1,2,3,, s . Тогда разность
 ˆ   может служить оценкой слу-
регрессионной модели (3.89):
N
ek  ˆ1ek 1  ˆ 2 ek  2    ˆ s ek  s
k
k
чайной величины  k . Используя приближенные замены, обобщенную регрессионную модель (3.88) можно преобразовать к виду
bk  ˆ1ek 1  ˆ 2 ek  2   ˆ s ek  s  0 f1k  1 f 2 k  2 f3k  ˆk , k  s  1, N .
Применяя метод наименьших квадратов к этой преобразованной моN
 ˆ
дели:
k  s 1
2
k

N
 b
k  s 1
k
 eˆk  0 f1k  1 f 2 k  2 f3k   min ,
2
где
eˆk  ˆ1ek 1  ˆ 2ek 2    ˆ s ek  s , получаем новые оценки коэффициентов ˆ1 , смещение которых уменьшается за счет устранения сущестj
венной корреляции между возмущением ˆk и элементами регрессоров f jk . Очевидно, что эффективность метода зависит как от адекватности AP  s  – модели случайному эквивалентному возмущению
 , так и от точности МНК–оценок ˆ0 , полученных на первом шаге
k
j
алгоритма вычислений. При необходимости процедуру вычислений
можно повторять несколько раз, однако при этом не следует забывать о проблеме сходимости метода.
Рассмотрим другой подход к решению задачи устранения смещения МНК–оценок  j , связанного с корреляцией между  k и элементами матрицы F . Введем в рассмотрение линейный оператор
сдвига на j шагов назад B j  yk   z  j  yk   yk  j . Тогда (3.89) можно
s


представить в виде k 1    j z  j   k . В [13] показано, что для
j 1


стационарности процесса авторегрессии необходимо, чтобы корни
s
уравнения 1   i Bi  0 лежали вне единичного круга, а обратиi 1
мость процесса авторегрессии обеспечена без каких-либо дополнительных ограничений на его параметры.
184
s
Применяя оператор 1   ˆ j z  j к обеим частям стохастического
j 1
разностного уравнения (3.88), получаем преобразованную модель
k  1, N  2  s ,
bk  0 f1k  1 f 2k  2 f3k  k ,
(3.90)
где
s
s


bk  1   ˆ j z  j  bk  yk 1 s  yk 1 s   ˆ j  yk 1 s  j  yk 1 s  j  ,
j 1
j 1


s
s


f1k  1   ˆ j z  j  f1k  yk  s   ˆ j yk  s  j ,
j 1
j 1


s


f 2k  1   ˆ j z  j  f 2 k    k  1  s  yk 1 s   k  1  s  yk 1 s  
j 1


s
  ˆ j  k  1  s  j  yk 1 s   k  1  s  j  yk 1 s  ,
j 1
s
s


f3k  1   ˆ j z  j  f3k   k  s  yk  s   ˆ j  k  s  j  yk  s  j .
j 1
j 1


В представленных выше формулах оценки ˆ j коэффициентов
AP  s  модели находятся, как и выше, методом наименьших квадратов из уравнения (3.89), в котором вместо отсчетов эквивалентного
случайного возмущения  k используются остатки ek .
Применение к преобразованной модели (3.90) метода наимень-
ших квадратов
N 2 s
 b
k 1

k
 0 f1k  1 f 2k  2 f3k  
2
N  2 s
 ˆ
k 1
2
k
 min по-
зволяет уменьшить смещение оценок  j и тем самым повысить точность вычисления динамических характеристик систем с турбулентным трением.
Данная процедура также может выполняться итеративно. При
этом после каждого шага число уравнений в нормальной системе
уменьшается на величину s , где s – порядок АР модели, используемой при описании эквивалентного случайного возмущения  k . ЧисN 5
ло циклов итераций ограничено величиной miter 
. При испольs
185
зовании итерационной процедуры важнейшим элементом является
исследование ее сходимости.
Проведены численно-аналитические исследования эффективности методов среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения на основе описания эквивалентного случайного
возмущения в форме авторегрессионной модели порядка s. Генериa0
ровалась выборка значений функции y  t  
cos t   0  ,
 0
1
t
2
описывающей свободные колебания систем с турбулентным трением, с периодом дискретизации   0,2T и объемом N  50 . Параметры тестового сигнала имели следующие значения: a0  1 ,  0  1 ,
 0  0,05 ,   2 . К отсчетам смоделированного сигнала добавлялась случайная аддитивная помеха мощностью 1% от основного сигнала. Оценки смещения в результатах вычислений декремента колебаний находились на основе 1000 независимых испытаний в одной
точке численного эксперимента. В качестве модели случайного возмущения  k использовалась авторегрессионная модель (3.89), порядок которой s изменялся от двух до шести. Число итераций в алгоритме вычислений, использующем преобразование модели (3.90), не
превышало шести. Смещение оценки декремента колебаний (в относительных к точному значению единицах) при использовании классического метода наименьших квадратов составило 28%. Результаты
исследований представлены на рис. 3.7. По ним можно сделать вывод, что увеличение порядка АР модели случайного эквивалентного
возмущения с 2 до 5 при трех-пяти итерациях позволяет уменьшить
смещение оценки декремента на порядок по сравнению с МНК–
оценкой.
Рассмотренные выше методы среднеквадратичного оценивания
коэффициентов ЛПДМ имеют существенный недостаток. Стохастические модели, описывающие в форме процесса авторегрессии эквивалентное случайное возмущение  k и не учитывающие априорно
известный характер зависимости этого возмущения от случайной
аддитивной помехи  k , весьма приблизительны и не позволяют существенно уменьшить смещение оценок, по крайней мере до величины, соизмеримой с их среднеквадратичным отклонением.
186
 ,%
 ,%
20
20
n=1
10
0
n=5
n=3
0
2
s
4
s=2
1
s=4
2
s=5
10
0
0
2
4
n
a
б
Р и с. 3.7. Зависимости смещения оценок декремента колебаний (в
относительных единицах) a – от порядка АР(s) модели эквивалентного случайного возмущения; б – от числа итераций n при
реализации алгоритма обобщенного метода наименьших квадратов
Для устранения этого недостатка можно использовать стохастическую АР модель эквивалентного случайного возмущения, построенную на основе линейно-параметрической дискретной модели динамического процесса. В частности, для систем с турбулентным тре1   0 ,
2  1 ,
нием в соответствии с (3.59) имеем:
k  1  1  k  3  k 3  0 1  1  k  2  k 2  1  1  k  1  k 1 , k  3, N .
Эта модель относится к классу стохастических моделей скользящего
среднего [13]. Отсюда возмущение  k можно представить в виде
k  z 1 1  0 z 1  z 2 1  k1   k  , где z i – оператор сдвига на i ша-
гов назад: z  i k   k i . Пусть существует обратный оператор
z 1  0 z 1  z 2  . Тогда его можно представить в виде бесконечного
1

ряда z 1  0 z 1  z 2   z   q z1 q , в котором коэффициенты  q
1
q 1
связаны рекуррентной формулой
 q  0 q 1   q  2 , q  2,3,4, ,  0  1 , 1  0 .
(3.91)
С учетом этого можно получить:
187



1 
1 
1 q 
 z   q z k  
k 1   qk 1q  .
1  k 1 
1  k 1 
q 1
q 1


Ограничиваясь в этом разложении первыми s членами, получаем
авторегрессионную модель AP  s  1 случайного возмущения  k
k 
порядка  s  1 :
ˆk 
s
s
1 
q 
1


z


  q  k 1  qk q 1 ,
1  k 1  q 1
q 0

(3.92)
в которой коэффициенты  q описываются формулами
q 
q
q  0, s .
,
(3.93)
1  k 1
В отличие от рассмотренного выше алгоритма вычислений здесь
коэффициенты АР модели вычисляются не по остаткам e k , а на основе оценок коэффициентов разностного уравнения. Алгоритм вычисления оценок коэффициентов ЛПДМ на основе преобразований,
использующих стохастическую модель случайной помехи  k , описывается следующей итерационной процедурой.
1. Методом наименьших квадратов находятся начальные оценки
коэффициентов ˆ0 , j  1, 3 , обобщенной регрессионной модели
j
(3.88).
2. По формулам (3.91) и (3.93) вычисляются коэффициенты ˆqi 
стохастической модели (3.92), где i  0,1,2, – номер итерации.
3. По
формулам
s
f jki 1   ˆ qi  f j,ik s  q  2 ,
j  1,3 ,
q 0
s
bki 1   ˆ qi bkis  q  2 , k  1, N  2  s преобразуются регрессоры и леq 0
вая часть обобщенной регрессионной модели (3.87).
4. Методом наименьших квадратов находятся оценки ˆj i 1 для
i 1
i 1
i 1
i 1
преобразованной модели bk   0 f1k   1 f 2k   2 f3k   ˆk .
Этапы 2 – 4 выполняются итеративно. Процедура заканчивается
после достижения заданного числа итераций.
188
При тех же самых исходных данных и аналогичной организации
численного эксперимента были проведены исследования эффективности применения метода преобразования ЛПДМ на основе стохастической модели случайного возмущения (3.92). Результаты исследований представлены на рис. 3.8.
По результатам этих исследований можно сделать вывод, что
увеличение как порядка стохастической модели (3.92) случайного
возмущения до 10, так и числа итераций в алгоритме вычислений до
пяти, приводит к существенному уменьшению погрешности вычислений. В частности, смещение (в относительных единицах) оценки
декремента колебаний уменьшилась с 28% при классическом методе
наименьших квадратов до 0,1% при использовании метода преобразования ЛПДМ на основе стохастической модели случайного возмущения (3.92).
 ,%
 ,%
15
3
n=1
10
n=2
n=3
5
0
0
2
s=3
2
s=6
s=8
1
4
6
8
s
0
1
2
3
4
n
б
а
Р и с. 3.8. Зависимости смещения оценок декремента колебаний
(в относительных единицах): а – от порядка АР(s) модели; б – от
числа итераций при использовании стохастического уравнения
эквивалентного случайного возмущения
При сравнении эффективности двух рассмотренных выше подходов к вычислению среднеквадратичных оценок коэффициентов
ЛПДМ очевидное преимущество имеет итерационный численный
метод, использующий априорно известный вид стохастической модели случайного возмущения (3.59). Результаты вычислений с использованием этого метода на порядок точнее оценок, полученных
189
методом, использующим классическую АР модель эквивалентного
случайного возмущения.
Рассмотрим другой подход к вычислению среднеквадратичных
оценок коэффициентов разностного уравнения, в основе которого
лежит использование стохастической модели эквивалентного случайного возмущения в матричной форме.
Из обобщенной регрессионной модели колебаний диссипативной системы
b  F    ,

  P 
при условии невырожденности матрицы P линейного преобразования вектора случайной помехи вытекает равенство
P1b  P1 F    .
(3.94)
Тогда среднеквадратичные оценки коэффициентов разностного
уравнения можно найти на основе минимизации функционала
2
2
ˆ  P 1b  P 1F ˆ  min .
(3.95)


Очевидно, что вычисленные таким образом оценки коэффициентов разностного уравнения обеспечивают также минимальное отклонение y  yˆ (в формате среднеквадратичного приближения) смоделированной функции, описывающей мгновенные значения yˆ k динамического процесса в системе, от экспериментальных данных y k .
Минимизация функционала (3.95) приводит к решению нормальной системы уравнений, нелинейных относительно переменных
 j . Для этого может быть применен численный итерационный метод
[47, 55]. На первом шаге алгоритма этого метода вычисляется на0
чальное приближение ̂   – вектор МНК- оценок регрессионных ко2
2
эффициентов: ˆ  b  F ˆ  min . Откуда
ˆ 0   F T F  F T b .
1
(3.96)
 
0
Затем на основе этих оценок формируется матрица Pˆ0  P ˆ   и
вычисляется обратная матрица Pˆ01 . Если подставим эту матрицу в
формулу (3.94), то получим линейную регрессионную модель вида
Pˆ01 b  Pˆ01 F    1 , где  1  Pˆ01 . При этом функционал (3.95)
190
принимает вид ˆ 1
2
2
 Pˆ01 b  Pˆ01 F ˆ  min . Очевидно, что этот
функционал является линейным относительно параметров  j . Его
минимизация приводит к нормальной системе линейных алгебраических уравнений, решение которой имеет вид
 
ˆ1   F T Pˆ1
T
1
 
Pˆ01 F  F T Pˆ01

T
Pˆ01 b .

Вводя матрицу ˆ0  Pˆ0 PˆT0 , получаем формулу для вычисле0
1
ния уточненного приближения ˆ 1   F T ˆ10 F  F T ˆ10 b . Это новое
приближение вектора среднеквадратичных оценок коэффициентов
разностного уравнения используется для вычисления матрицы
P 1  P ˆ1 и т.д. Таким образом, в основе алгоритма численного
ˆ

 
метода среднеквадратичного оценивания коэффициентов линейнопараметрической дискретной модели лежат рекуррентные формулы
1
ˆ k    F T ˆ1 F  F T ˆ1  b ,
ˆk   Pˆk  PˆTk  ,
k 1
k 1
 
Pˆ k   P ˆ  k  ,
k  1,2,3, .
(3.97)
(3.98)
(3.99)
Если положить Pˆ k 1  E , где E – единичная матрица, то формула (3.97) вырождается в формулу (3.96), описывающую начальное
приближение вектора оценки регрессионных коэффициентов.
Рассмотрим систему нелинейных уравнений
 ˆ , ˆ ,, ˆ  ,
 ˆ , ˆ ,, ˆ  ,
 ˆ , ˆ ,, ˆ  ,
ˆ  q
1
 1
ˆ
2  q2

ˆn  qn

1
2
n
1
2
n
1
2
n
которая в матричной форме имеет вид
 
ˆ  q ˆ ,
(3.100)
191
 
где вектор-функция q ˆ описывается выражением
  
q ˆ  F T 1 (ˆ ) F

1
F T 1 (ˆ ) b .
(3.101)
В n -мерном пространстве ведем норму вектора  и матрицы W
n
следующим образом:   max i , W  max  wij .
i 1, n
i 1, n
j 1
 
Теорема 3.1. (Достаточное условие). Пусть функции qi ˆ и
qi (ˆ)
, i, j  1, n , определены и непрерывны в известной замкнутой
ˆ
j
области G действительного n -мерного пространства E n , причем
в области G выполняется неравенство

n
N
 max 
  max
ˆ
G
 i 1, n
j 1 k 1
ik
 F T  1 (ˆ ) F
ˆ

j

1

FT e   1,

(3.102)
где ik - элементы матрицы 1 (ˆ ) размера N  N ; e  b  F ˆ –
вектор остатков. Тогда, если последовательные приближения


ˆ  k   q ˆ  k 1 ,
k  1,2,3, ,
(3.103)
не выходят из области G : ˆ  k   G , то: 1) независимо от выбора
начального приближения ˆ  0  G процесс итерации (3.103) сходится, то есть существует предел lim ˆ k    ; 2) предельный вектор
k 
 является единственным решением уравнения (3.100) в области
G ; 3) имеет место оценка
 ˆ k  ˆ k 1
.
(3.104)
 
1
1
2
1
2
Доказательство. Пусть ˆ   , ˆ    G и q ˆ  , q ˆ   G . Тогда
  ˆ k  
   
известно [19, 121], что существует вектор   G такой, что выполняется неравенство
192
   
 
q ˆ 1  q ˆ  2  W    ˆ 1  ˆ  2  max
W ˆ  ˆ 1  ˆ  2 , (3.105)
ˆ
G
 q (ˆ ) 
где W     i
 – матрица Якоби системы функций qi ˆ ,
ˆ


 ˆ 
j 

  
i  1, n , по переменным ˆ1 , ˆ2 ,  , ˆn , вычисленная в точке   G . В
развернутой форме матрица Якоби размера n  n имеет вид
 q1 q1 q1 
 ˆ ˆ ˆ 
1
2
n 
ˆ
W  
.
(3.106)
 qn qn qn 
 ˆ

 ˆ2 ˆn 
 1

 
Покажем, что при выполнении условия (3.102) выполняется неравенство max W ˆ    1 , то есть отображение (3.100) является
 
ˆG
сжимающим в области G . Действительно, матрицу Якоби (3.106)
 q q
q
q 
можно представить в виде W ˆ  

 , где ˆ –
ˆ
ˆ
ˆ
 j
n 
 1 2
вектор-функции, j  1, n . С учетом формулы (3.101) получаем
 

  F T 1 (ˆ ) F

q
 
ˆ
 j
ˆ j

 F  (ˆ ) F
T
1

1
F
T

1

 F T 1 (ˆ )b  F T 1 (ˆ ) F

  1 (ˆ ) 
ˆ j

1
  F T 1 (ˆ )b 

Тогда матрица Якоби (3.106) принимает вид
1
W ˆ  F T 1 (ˆ) F F T U (ˆ) ,
  

b  F ˆ  .
Обозначая вектор остатков через e  b  F ˆ , получаем
  1 (ˆ ) 
1
q
T
1 ˆ
T
 F  ( ) F F
e , j  1, n .
ˆ j
ˆ j

ˆ j

(3.107)
(3.108)
193
 1 (ˆ)
1 (ˆ)
1 (ˆ) 
где U (ˆ)  
e
e 
e    M1e M 2e  M ne –
ˆ2
ˆn
 ˆ1

  1 (ˆ ) 
матрица размера N  n . Элементы ikj матрицы M j  
,
 ˆ j 

размер которой равен N  N , вычисляются по формуле ikj  ik ,
ˆ
где ik
i, k  1, N  – элементы матрицы 
j
1
(ˆ ) размера N  N .
Тогда элементы u ij матрицы U (ˆ) могут быть описаны формуn
ik
ek . Оценим норму матрицы U (ˆ) : U (ˆ )  max  uij 
ˆ
i 1, N
k 1 
j 1
N
лой uij  
j
n
n N
n N
ik
ik
ik
ek  max 
ek  e max 
,
ˆ
ˆ
ˆ
i 1, N
i 1, N
k 1  j
j 1 k 1  j
j 1 k 1  j
N
 max  
i 1, N
j 1
где e  max ek . Тогда в соответствии с (3.108) получаем
k 1, N
 
W ˆ  F T 1 (ˆ) F

1

F T U (ˆ)  F T 1 (ˆ) F

1
n
N
F T e max 
i 1, N
j 1 k 1
ik
.
ˆ
j
Следовательно, с учетом условия (3.102) теоремы имеем оценку
n N


1
ik
T
1 ˆ
T
ˆ    max  max
 1.
max
W


F

(

)
F
F
e

ˆG
ˆG  i 1, n j 1 k 1 ˆ

j

Тогда усиливая неравенство (3.105), получаем
q ˆ 1  q ˆ  2   ˆ 1  ˆ  2 ,
(3.109)
 


   
где 0    1 . Следовательно, отображение (3.100) является сжимающим в области G .
Покажем, что при выполнении условия (3.109), где  описывается равенством (3.102), итерационный процесс (3.103) сходится. Для
этого используем обобщенный критерий Коши. Имеем
ˆ  k 1  ˆ  k   q ˆ  k   q ˆ  k 1   ˆ  k   ˆ  k 1   2 ˆ  k 1  ˆ  k  2 
  
194

   k ˆ 1  ˆ  0 .
(3.110)
Рассмотрим норму разности ˆ  k  p   ˆ  k  :

 



ˆ  k  p   ˆ  k   ˆ  k 1  ˆ  k   ˆ  k  2  ˆ  k 1    ˆ  k  p   ˆ  k  p 1 
p 1
  ˆ  k 1i   ˆ  k i  .
i 0
Отсюда с учетом (3.110) имеем
(3.111)
 k  p
k 
 0
k ˆ 1
ˆ
ˆ
ˆ

    
 k 1 ˆ1  ˆ 0     k  p 1 ˆ1  ˆ0   k 1       p 1  ˆ1  ˆ 0 

 k 1   p 
1
ˆ 1  ˆ  0 . Следовательно, выполняется неравенство:
 k ˆ 1 ˆ  0
(3.112)
  .
1
Так как 0    1 и, следовательно, lim k  0 , то из (3.112) следует,
ˆ  k  p   ˆ  k  
k 
что для всякого   0 существует N  N    такое, что при k  N   
k p
k
и p  0 выполняется неравенство ˆ    ˆ     , то есть для по-
 
следовательности ˆ  k  , k  0,1,2, , выполнен критерий Коши. Поэтому существует предел lim ˆ k    , причем   G в силу замкнуk 
тости области G .
Вектор  является решением уравнения (3.100), так как, переходя к пределу при k  в равенстве (3.103) и учитывая непрерывq ˆ ,
ность
в
области
вектор-функции
имеем
G


 
lim ˆ  k   q lim ˆ  k 1 или
k 
k 
  q   ,
(3.113)
то есть  – решение уравнения (3.100).
195
Это решение единственное в области G . Действительно, пусть
 есть другое решение уравнения (3.100), то есть
 
 q  .
(3.114)
Тогда, вычитая из (3.113) равенство (3.114), получаем выражение
 
 q    q       
    q     q  . Отсюда, с учетом формулы (3.109), имеем
 
1      
или
 0 . Так как
  1 , то 1    0 , следовательно, должно выполняться условие
    0 . А это возможно только в случае     0 , то есть когда    .
Так
как
в
соответствии
ˆ  k 2  ˆ k 1   ˆ k 1  ˆ k  ,
с
(3.110)
имеем
ˆ k 3  ˆ k  2   ˆ  k  2  ˆ  k 1   2 ˆ  k 1  ˆ  k  , …,
ˆ k i 1  ˆ k i    i ˆ k 1  ˆ k  , i  1,2,3, , то из формулы (3.111)
получаем
p 1
p 1
i 0
i 0
ˆ  k  p   ˆ  k    ˆ  k 1i   ˆ  k i   ˆ  k 1  ˆ  k    i 
 1  
1
 ˆ  k 1  ˆ  k  

1
1
p
p
  ˆ   ˆ
k
k 1
. Отсюда, переходя к пре-
 ˆ k  ˆ k 1
делу при p  , получаем оценку   ˆ k  
, где
 
1
 определяется соотношением (3.102). Теорема доказана.
Следствие 3.1. Формула (3.104) позволяет дать апостериорную
оценку погрешности k - того приближения. Из нее следует, что при
заданной погрешности  для выполнения неравенства   ˆ  k   
достаточно выполнения условия
ˆ k   ˆ k 1   0 
где  определяется формулой (3.102).
196
1

,
(3.115)
Следствие 3.2. Вектор остатков e в формуле (3.102) можно
представить в виде
1
e  b  F ˆ  F   ˆ  P    F F T  1 (ˆ ) F F T  1 (ˆ ) P   P  




  E  F  F  (ˆ) F  F  (ˆ)  P    E  M  P   HP  .


Здесь матрицы M  F  F  (ˆ) F  F  (ˆ) и
H  E  M  E  F  F  (ˆ ) F  F  (ˆ)

1
1
T

1
T
T

1
1
T

T


1
1
1
T
1
(3.116)
идемпотентны, то есть M  M  M  M 2 и H  H  H  H 2 . Действительно, имеем:
1
1
M  M  F F T 1 (ˆ) F F T 1 (ˆ) F F T 1 (ˆ) F F T 1 (ˆ ) 


 F F T 1 (ˆ ) F


1


F T 1 (ˆ)  M . Аналогично: HH   E  M  E  M  
 E  2M  M 2  E  2M  M  E  M  H .
Тогда справедливо неравенство e  HP    HPˆ   . Отсюда, используя (3.102), можно сформулировать ограничение на величину случайной помехи в результатах наблюдений, позволяющее
обеспечить достаточное условие сходимости итерационной процедуры (3.103):
1
 
, (3.117)
n N
1
ik
max 
 F T 1 (ˆ ) F F T HPˆ
ˆ
i 1, n


j 1 k 1
j


где матрица H описывается выражением (3.116).
Известно, что с вероятностью 0,997 все значения нормально
распределенной центрированной случайной величины  k попадают в
интервал 3  . Поэтому с учетом равенства M  k   0 имеем:
  max  k  3  . Тогда, используя (3.117), получаем оценку
k 1, N
2
n N


1

 2  3max  ik  F T 1 (ˆ) F F T HPˆ  . (3.118)
 i 1, n j 1 k 1 ˆ j

В условиях теоремы 3.1 требуется, чтобы все последовательные
приближения ˆ k  принадлежали области G . Однако на практике,


197
как правило, это проверить достаточно сложно. Введем дополнительное условие, обеспечивающее принадлежность всех приближений ˆ k  замкнутой области G : ˆ  k   G, k  0,1, 2, .
Теорема 3.2. Пусть выполняются условия теоремы 3.1 и
множество S   , r   ˆ : ˆ    r (замкнутый шар радиуса r с


центром в точке  ) – замкнутая ограниченная область, целиком
лежащая в G , причем
(3.119)
q       1    r ,
где  – вектор истинных значений коэффициентов разностного
уравнения;   1 – коэффициент сжатия, который определяется
соотношением (3.102). Пусть ˆ  0  S , где ̂  0 – первоначальная
оценка, найденная методом наименьших квадратов по формуле
(3.96). Тогда итерационный процесс (3.103) сходится и справедливы
заключения теоремы 3.1.
Доказательство. Очевидно, достаточно показать, что все последовательные приближения ˆ k  , k  0,1,2, , содержатся в области S
и, следовательно, в области G .
Начальное приближение ˆ  0  S и, следовательно, выполняется
неравенство ˆ  0    r . Методом математической индукции покажем, что справедливо неравенство
ˆ  k     r , k  1,2,3, . Для
1
этого сначала покажем, что ˆ     r .
 
ˆ 1    ˆ 1  q     q       q ˆ  0  q     q      
  ˆ 0    1    r   r  1    r  r .
Теперь предположим, что ˆ  k 1  S , то есть справедливо нераk 1
k
венство ˆ     r . Покажем, что отсюда следует ˆ      r , то
есть, что ˆ  k   S .
198


ˆ  k     ˆ  k   q     q       q ˆ  k 1  q     q      
  ˆ k 1    1    r   r  1    r  r .
Таким образом, получаем, что ˆ  k   S при любых k  0,1,2, ,
и, следовательно, ˆ  k   G , так как S  G . Тогда на основании теоремы 3.1 процесс итерации (3.103) сходится к единственному на множестве S решению уравнения (3.100) и имеет место оценка (3.104).
Теорема доказана.
Следствие 3.3. Покажем, что при выполнении условий теоремы
3.2, справедливо неравенство
  ˆ  k   2 k r ,
(3.120)
где  определяется соотношением (3.102).
Действительно, так как предельная точка   S и начальное
0
0
приближение ˆ  0  S , то   ˆ         ˆ   r  r  2r .


k
k 1
k 1
При 0    1 имеем:   ˆ    q     q ˆ       ˆ   
  2   ˆ k 2     k   ˆ 0 . Следовательно:   ˆ  k   2 k r .
Формула (3.120) позволяет получить априорную оценку погрешности k - того приближения и найти число итераций, необходиk
мое для достижения заданной точности  :   ˆ   2 k r   . От-
ln   ln 2r
.
ln 
Следствие 3.4. При выполнении условий теоремы 3.2 установим
ограничения на величину случайной помехи в результатах наблюдений, обеспечивающие выполнение неравенства (3.119) и, следовательно, сходимость итерационной процедуры.
В соответствии с (3.101), (3.7) и (3.8) имеем
сюда следует k 
q      F T 1 ( ) F  F T 1 ( ) b   F T 1 ( ) F  F T 1 ( )  F   P   
1
1
    F T 1 ( ) F  F T  P1   . Тогда условие (3.119) принимает
1
T
199
вид q        F T  1 ( ) F  F T  P1    1    r . Отсюда можно
1
получить оценку:  
лы
T
1    r
F
T
 ( ) F  F
1
1
T
. С учетом форму-
P 
1 T

  max  k  3  имеем неравенство, выполнение которого
k 1, N
обеспечивает сходимость итерационной процедуры (3.103):
 2 
1   
2
r2
9  F  ( ) F  F
T
1
1
T
P 
2
1 T
.
(3.121)

Замечание. При вычислении производных
ik
удобно испольˆ
j
зовать элементы матрицы P линейного преобразования случайной
помехи в результатах измерений:
  Pˆ PˆT 
T
T
1 (ˆ)
(ˆ) 1 ˆ
 1 (ˆ)
 ( )    Pˆ1  Pˆ1      Pˆ1  Pˆ1 
ˆ
ˆ
ˆ
j
j
j

Pˆ  1 Pˆ   1
1

  Pˆ .
   P  Pˆ
  Pˆ

ˆ j   ˆ j   


В частности, с учетом формул (3.35) и (3.61), описывающих элементы матрицы P линейного преобразования вектора случайной
помехи в результатах наблюдений для систем с линейно–вязким и
турбулентным трением, соответственно имеем для систем с линейновязким трением:
T
1 T
ˆ
0
0
P 0

1 0

0
0
0
1
0

0
0
0
0
1

0






0
0
0
0

1
0
0 0 0
0 0 0
0

0 P 1 0 0
,

0 2 0 1 0

  
0 0 0
0






0
0
0
0

1
0
0
0
0

0
0
0
0  P
,
  , j  3,4 ,
0   j

0 
где  – нулевая матрица, и для систем с турбулентным трением:
200
0
0
0
0
0
0
0  1  
0
 1

P 0
0
 1  21 

0  



0
0
0

0
0
0

0
0
0 0
0 0
0
0
 0 
2
0
0

3
P 0 1 20
 0 0
2

3
0
1
 



0
0
0
0

0 0
0
0
0 0
0 0
0 1
P 0 0

2   
0 0

0 0
0
0
0
2

0
0

0
0

0
0

0
0

0
0



  1   N  3 1 
0

0
 1   N  2  1 
0
0
0
0
4

0
0
0
0
0 
0 ,


0
0 

0
0
0 

0
0
0 

0
0
0 


0
0
0 

0
0
0 ,



 

   N  3 0
N 2
0 

N 3
  N  2  0 N  1
0
0
0  P


  , j  4,5 .
0 ,
   j
0

0 

0
0

0
0

0
0

0
0



   N  3
0

0
  N  2
Рассмотрим основные свойства оценок ˆ j коэффициентов разностного уравнения, вычисленных на основе итерационной процедуры. Так как оценка вектора коэффициентов ̂ , полученная при использовании итерационного метода, удовлетворяет равенству
1
ˆ  F T 1 (ˆ) F F T 1 (ˆ)b ,
(3.122)


то ее можно представить в виде: ˆ   F  (ˆ ) F  F  (ˆ )b 
  F  (ˆ) F  F  (ˆ)  F   P       F  (ˆ) F  F  (ˆ) P  .
T
T
1
1
T
1

1
1
T
1
T
1
1
T
1

Тогда математическое ожидание вектора оценок:
201


1
M ˆ   M   F T 1 (ˆ) F F T 1 (ˆ) P   


1
   M  F T 1 (ˆ) F F T 1 (ˆ) P      F T 1 (ˆ) F






1
T
M  F T  P1    .


Величина   M ˆ    , равная

  F T  1 (ˆ ) F
описывает смещение оценки ̂ .

1
T
M  F T  P1    ,




(3.123)

T
Найдем матрицу V ˆ   M  ˆ  M ˆ  ˆ  M ˆ   диспер

сий-ковариаций вектора оценок коэффициентов разностного уравнения. С учетом формулы M ˆ      , где  – смещение оценки,
имеем
T
T


V ˆ   M  ˆ  M ˆ  ˆ  M ˆ    M  ˆ   ˆ      T .
















T
F T 1 (ˆ ) P  , то M  ˆ   ˆ    


1
1
 M  F T 1 (ˆ) F F T 1 (ˆ) P  T PT 1 (ˆ) F F T 1 (ˆ) F  


1
1
 F T 1 (ˆ ) F  2 . Следовательно, V ˆ   F T 1 (ˆ) F  2   T .
Применение итерационной процедуры среднеквадратичного
оценивания коэффициентов разностного уравнения обеспечивает
незначительное смещение. Поэтому матрица дисперсий-ковариаций
вектора оценок коэффициентов разностного уравнения может быть
описана формулой
1
V ˆ   F T  1 (ˆ ) F  2 .
(3.124)
Как было показано выше, вектор остатков имеет вид
e  b  F ˆ  HP  , где матрица H описывается формулой (3.116).
Так как ˆ    F T 1 (ˆ ) F


1








Тогда M  e   HP M    0 , а матрица дисперсий-ковариаций остатT
ков может быть представлена в виде V  e  M  e  M e   e  M e   


202
 M eeT   HP M  T  PT H T  H  H T  2  H (ˆ)H T  2 .
Из формулы (3.123) следует, что в основе описания смещения
оценок коэффициентов разностного уравнения лежит обратная матрица P1 .
Рассмотрим алгоритм формирования элементов обратной матрицы для матриц P наиболее общего вида, описывающих линейное
преобразование вектора случайной помехи в системах с кулоновым,
линейно-вязким и турбулентным трением, а также в системах с диссипативными силами общего вида. Эти матрицы имеют одинаковую
 E 
структуру P  
 , где P1 – ленточная трех диагональная матри P1 
ца размера  N  2   N . Действительно, в соответствии с формулами
(3.30), (3.35), (3.52), (3.61) и (3.74) матрицы линейного преобразования вектора случайной помехи для разностного уравнения наиболее
общего вида (2.110), уравнений, описывающих колебания систем с
линейно-вязким (2.140), кулоновым (2.154) и турбулентным трением
(2.162), а также с диссипативными силами общего вида (2.185), в
развернутой форме описываются следующими выражениями:
0
0
0
1
0
1
0
0

m
m


i
 0  1  
2 i
0
 i  1 
0

i 1
 i1 

m
m
m


P  
0
1   i
0 1   2i i  1   3i i

i 1
i 1
 i 1






0
0
0
0


0
1 0
0 1
0
   1
1
P   2
0

1
2




 0 0
0
0
0
0
1

0












0
0
0
0

2




0
0


,
0
0





m
m


i
i
0 1    N  2  i  1    N  1 i 

i 1
 i1


0
0
0
0
0
0

1
0
0
0
,
0

1 
0
0
(3.125)
203
1
0
0
0


0
1
0
0
1  3  2  1  2
1  1
0
1
2
0
1

P 
0
1  51  62 0 1  41  32  1  31  22







0
0
0
0


0



0
,

0


0





 1   2 N  5  1   N 2  5 N  6  2 
0
0
0
1
0
1
0
0
 1  1  
1  21
0
0
1
P  
1  1
0 1  21  1  31
0





0
0
0
 0
0
0
0
1
0
1
0
0
 1  1    
1

2


4

0


0
1
2
1
2
P  
1  1  2
0 1  21  42  1  31  92
0





0
0
0
0


0



0


0
 , (3.126)

0





 1   N  1 1 

0



0


0
.

0





2
 1   N  1 1   N  1 2 
Очевидно, что в общем виде представленные выше матрицы
можно записать следующим образом:
0
0
0
0 
0
0
0 
 1
 0
1
0
0
0 
0
0
0 
p p
p
0
0 
0
0
0 
 31 32 33

0 p42 p43 p44 0 
0
0
0 

. (3.127)
P  
0
0 p53 p54 p55 
0
0
0 
 



 


 


0
0
0
0  pN 1, N  2 pN 1, N 1 0 
 0
0
0
0
0  pN , N  2
pN , N 1 pNN 
 0
Тогда элементы pi11 первого столбца обратной матрицы найдутся из
решения системы линейных алгебраических уравнений с матрицей
P и правой частью 1,0,0,,0 . В результате получаем сначала
T
первые три элемента первого столбца обратной матрицы: p111  1 ,
p
1
1
1
1
p21
 0 , p111 p31  p21
p32  p31
p33  0 , откуда p31
  31 . Остальные
p33
204
элементы первого столбца, начиная с четвертого элемента, вычисляются по рекуррентной формуле
1
pi11    pi11,1 pi ,i 1  pi12,1 pi ,i 2  , i  4, N . Аналогично вычисляются
pii
элементы второго столбца обратной матрицы P1 . Вначале получаp
1
1
1
1
 1 , p121 p31  p22
p32  p32
p33  0 , откуда p32
ем: p121  0 , p22
  32 .
p33
Для вычисления остальных элементов второго столбца, начиная с
четвертого,
можно
использовать
рекуррентную
формулу
1
pi21    pi11,2 pi ,i 1  pi12,2 pi ,i 2  , i  4, N .
pii
Для вычисления элементов третьего, четвертого и последующих
столбцов обратной матрицы P1 аналогичным образом получены
следующие рекуррентные формулы:
1
p1j1  p21j    p j 11, j  0 ,
p jj1 
,
p jj
1
 pi11, j pi,i 1  pi12, j pi,i 2  , j  3, N , i  j  1, N . (3.128)
pii
Очевидно, что достаточным условием невырожденности матрицы P является условие pii  0 , i  1, N . Можно показать, что формулы (3.128) могут быть также использованы и при описании элементов первого и второго столбцов обратной матрицы. Таким образом, обобщая полученные выше результаты, алгоритм вычисления
обратной матрицы P1 для матриц вида (3.127) может быть описан
одной простой рекуррентной формулой вида


0,
при i  j;


1
(3.129)
pij1  
,
при i  j;
pii

 1
1
1
  pi 1, j pi ,i 1  pi  2, j pi ,i  2  , при i  j ,
p
 ii
где j  1,2,3,, N , i  1,2,3,, N , p20  0 .
pij1  
205
Построенные в соответствии с разработанным алгоритмом обращения матрицы P линейного преобразования случайной помехи
обратные матрицы P1 для систем с линейно-вязким и турбулентным трением могут быть описаны следующими формулами:
при j  i,
i  1, 2;
1,
0,
при j  i,
i  1, 2;

 1
1
1
pij  1 pi 1, j  2 pi  2, j , при j  i, i  3, 4,5,, N ; , j  1, N , (3.130)

при j  i, i  3, 4,5,, N ;
1,
0,
при j  i, i  3, 4,5,, N ,
при i  j , i  1, 2; j  1, 2,..., N ;
1,
0,
при i  j , i  1, 2; j  1, 2,..., N ;

i  2

, при i  3, 4,..., N ; j  1;
 1   i  1 1

(3.131)
pij1   i 1 1  1 
,
при i  3, 4,..., N ; j  2;
1   i  1 1

при i  j; i  1, 2,..., N , j  3, 4,..., N ;
0,


i  j 1
при i  j , i  1, 2,..., N , j  3, 4,..., N ,
1   i  1  ,
1

i  1,
1,

где i  0 ,
i  2,

0 i 1  i  2 , i  3.
В развернутой форме обратные матрицы соответственно имеют
вид:
1
0
0
 0


0
1
0
 0

2
1
1
 0


12
12  2
1
 0

1
1
1 p421  2 p321
12  2
 0 ,
P1   1 p41  2 p31





 

1
1
1
1
1
1
 1 pk 1,1  2 pk  2,1 1 pk 1,2  2 pk  2,2 1 pk 1,3  2 pk  2,3  0 




 
 1

1
1
1
1
1
1 pN 1,1  2 pN  2,1 1 pN 1,2  2 pN  2,2 1 pN 1,3  2 pN  2,3  1 
206
1
0
0
0


0
1
0
0


1






2
1
1
1
 
0

1  21
1  21
1  21

3 1  1 
2
1
  2

1

3

1

3

1

3

1

31
1
1
1
P1  





k 1 1  1 
k  2
k  2
 k 3

 1   k  1 1 1   k  1 1 1   k  1 1 1   k  1 1






 N 1 1  1 

 N 2
 N 2
 N 3

 1   N  1 1 1   N  1 1 1   N  1 1 1   N  1 1












0


.
0





0





1

1   N  1 1 
0
0
Рассмотрим, как меняется величина смещения оценок коэффициентов разностного уравнения при использовании итерационной
процедуры. В соответствии с формулой (3.123), описывающей смещение среднеквадратичных оценок, вычисленных на основе итераT
T
ционной процедуры, имеем M  F T  P1     M  F T  P1    , где




F – матрица, первые r столбцов которой образуют векторы
 j  C j  , j  1, r , где C j – некоторая известная детерминированная
матрица линейного преобразования случайной помехи. Очевидно,
что j -тый элемент вектора   F T  P1   можно представить в
T
виде  j   T C Tj  P1     T Q j  , где матрица квадратичной формы
T
Q j описывается соотношением
Q j   P1C j  .
T
(3.132)
2

 , k  j;
С учетом того, что выполняется условие M  k  j    

0, k  j,
N
N
N
j
j
имеем M  j    2  pik1cki    2  qii   trQ j   2 , где trQ j – след
i 1 k 1
i 1
 j
матрицы Q j ; cki – элементы матрицы C j . Отсюда следует:
T
T
M  F T  P1      trQ1 , trQ2 ,, trQr ,0,0,,0   2  g T  2 .


207
Таким образом, вектор смещения оценок коэффициентов разностного уравнения, вычисленный с использованием итерационной
процедуры, с учетом формулы (3.123), может быть описан выражением
1
  F T 1 (ˆ ) F g  2 ,
(3.133)



где компоненты n – мерного вектора g   trQ1, , trQr ,0,0,,0
T
описываются через элементы матриц Q j в соответствии с формулой
(3.132).
С учетом соотношений (3.81), (3.82), (3.130) и (3.131), описывающих элементы матриц C j и P1 для наиболее распространенных
типов диссипативных систем, построены соответствующие матрицы
Q j , лежащие в основе формирования вектора g в формуле (3.133).
Для разностных уравнений, описывающих колебания систем с линейно-вязким трением, эти матрицы имеют вид
0

0
0 0 0 0

0 0 1   2     p 1   p 1 
1
1
2
1 N 1,2
2 N  2,2


1
1
0
0
0
1



p


p

,
1
1
N

1,3
2
N

2,3
Q1 
   




0 0 0 0

0

1


0

0
0 0 0 0

2
1
1
0 0 1 1 1  2  1 pN 1,1  2 pN  2,1 


1
 1 pN11,2  2 pN1 2,2 
0 0 0 1



.
Q2      
0 0 0 0

0

1
0 0 0 0

0

0


0

0
0 0 0 0

Очевидно, что след обеих матриц равен нулю: trQ1  trQ2  0 .
Это означает, что вектор g нулевой и, следовательно, смещение в
оценках практически отсутствует (с точностью до принятых допущений).
Для разностных уравнений, описывающих колебания систем с
турбулентным трением, ненулевые матрицы Q j , j  1, 3 , имеют вид
208
0

0


0
Q1  



0

0
0
0
0
0

0


0
3
 N 2
1
0


1  21 1  31 1  41
1   N  1 1 

0
 N 3
1
0
0


1  31 1  41
1   N  1 1  ,








1
0
0
0
0


1   N  1 1 

0
0
0
0

0
0

0


0


Q2  0

0




0

0

0


0
Q3  



0

0
0
0
0
0
0 
2
1  21
0
0
0
0


0
0
0
0
0
1


1  31
1  41
20
2 3


1  31
1  41
30
3


1  31
1  41
4
0

1  41


0
0
 N 3






0
0




1   N  1 1 

2 N 2


1   N  1 1 
3 N 3


,
1   N  1 1 

4 N 4


1   N  1 1 



N 1


1   N  1 1 


0
0
0
0
3
1
0
1  21 1  31 1  41
20
2
0
0
1  31 1  41





0
0
0
0

0
0
0
0






1   N  1 1 

2 N 3

1   N  1 1  ,


N 2 

1   N  1 1 

0
0
 N 2
где 1  1 , 2  0 , i  0 i 1  i 2 , i  3, N  2 .
209
Очевидно, что след матриц Q1 и Q3 равен нулю: trQ1  trQ3  0 .
N 1
k
Однако имеем trQ2  
. Таким образом, при нулевых матk  2 1  k 1
рицах Q4  Q5   получаем, что вектор g может быть представлен
в виде
T
N 1


k
g   0;  
;0;0;0  ,
k  2 1  k 1


показать,
что
справедливо
(3.134)
причем
легко
неравенство
 N  2  N  1 .
g 
2
Для проверки адекватности полученных соотношений, описывающих смещение оценок коэффициентов разностного уравнения,
полученных с использованием итерационной процедуры, были проведены численно-аналитические исследования на основе компьютерного моделирования. Эксперимент проводился при тех же самых
условиях и параметрах тестового сигнала, что и при исследовании
смещения МНК– оценок без использования итерационной процедуры. Генерировалась выборка мгновенных значений y k свободных
колебаний систем с линейно-вязким и турбулентным трением с параметрами 0  0,05 ,   2 , a0  1 ,  0  1 и   0,2 . Объем выборки N изменялся от 10 до 100. В отсчеты y k добавлялась случайная
помеха  k , величина которой варьировалась от 0% до 10% в относительных к мощности полезного сигнала единицах. Смещение
M ˆ j    j оценок коэффициентов ˆ j вычислялось в относительM ˆ j    j

ных к точному значению  j единицах:  j 
 100% .

j
Каждая экспериментальная оценка смещения  j ,% находилась на
основе усреднения 1000 независимых оценок соответствующего коэффициента ˆ j , вычисленных при одних и тех же значениях параметров тестового сигнала и дисперсии случайной помехи.
Результаты численно-аналитических исследований сходимости
итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффи210
циентов разностного уравнения представлены в табл. 3.11 для систем
с линейно-вязким трением и в табл. 3.12 для систем с турбулентным
трением. Величина смещения (в относительных единицах) при числе
итераций, равном нулю (первый столбец таблицы), соответствует
МНК– оценкам, вычисленным без использования итерационной процедуры.
Таблица 3.11
Зависимость смещения оценок коэффициентов разностного
уравнения свободных колебаний систем с линейно-вязким трением от числа итераций    10%, N  50 
Число
итераций
ˆ1 ,%
ˆ ,%
2
0
1
2
3
4
5
1,64
0,00
0,02
0,01
0,01
0,01
1,25
0,01
0,02
0,00
0,00
0,00
Таблица 3.12
Зависимость смещения оценок коэффициентов разностного
уравнения свободных колебаний систем с турбулентным трением
от числа итераций  N  50 
Число итераций
ˆ0 ,%
ˆ1 ,%
  1%
  3%
  1%
  3%
0
1
2
3
4
5
0,06
0,34
28,05
159,7
0,00
0,02
0,22
2,00
0,00
0,00
0,20
1,74
0,00
0,04
0,20
1,67
0,00
0,01
0,21
1,77
0,00
0,00
0,16
1,54
На рис. 3.9 представлены графики зависимости смещения оценок коэффициентов разностного уравнения 0 и 1 от числа итераций для систем с турбулентным трением при   3% . Очевидно, что
как для систем с линейно-вязким трением, так и для нелинейных
диссипативных систем с турбулентным трением, сходимость итерационной процедуры обеспечивается уже на первой – второй итерациях. При этом для систем с линейно-вязким трением смещение оценок практически устраняется, а для систем с турбулентным трением
оно уменьшается более чем на два порядка.
Результаты исследований эффективности итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного
211
ˆ,%
100
2
10
1
1
10-1
10-2
1
0
2
3
4
n
Р и с. 3.9. Зависимости смещения
оценок коэффициентов разностного уравнения ˆ0 (точки 1) и ̂1
(точки 2) (в относительных единицах) от числа итераций для
систем с турбулентным трением
уравнения на примере систем с
линейно-вязким и турбулентным
трением представлены в табл.
3.13 – 3.15. В первых двух таблицах приведены результаты численно-аналитических исследований зависимости смещения от
величины случайной помехи в
результатах наблюдений. Так как
применение итерационной процедуры (число итераций равнялось
трем) уменьшает смещение оценок на несколько порядков, то
результаты вычислений представлены в логарифмическом масштабе:
M ˆ j    j
.
lg   j   lg  

j
На рис. 3.10 представлены зависимости оценок смещения ̂1
(а) и  ̂2 (б) коэффициентов разностного уравнения колебаний систем с линейно-вязким трением от величины случайной помехи в результатах наблюдений. Точки 1 соответствуют результатам вычислений без использования итерационной процедуры, а точки 2 – результатам, полученным на основе итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения.
Таблица 3.13
Сравнительный анализ зависимостей смещения оценок коэффициентов разностного уравнения для систем с линейновязким трением от величины случайной помехи в результатах
наблюдений  N  50 
 ,%
0,5
 
МНК -3,70

МНК -3,89
lg ˆ1
lg ˆ2
212

Итер.
метод
Итер.
метод
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
-3,25 -2,87 -2,58 -2,38 -2,21 -2,08 -1,98 -1,87 -1,78
-5,13 -4,85 -4,71 -4,27 -4,19 -3,94 -4,37 -3,94 -4,03 -4,04
-3,32 -2,96 -2,69 -2,50 -2,33 -2,21 -2,11 -1,99 -1,90
-4,98 -5,30 -5,30 -4,55 -5,23 -4,30 -4,43 -5,32 -3,81 -4,86
Таблица 3.14
Сравнительный анализ зависимостей смещения оценок коэффициентов разностного уравнения для систем с турбулентным трением от величины случайной помехи в результатах наблюдений  N  50 
 ,%
 
lg ˆ1
0,5
МНК -1,12
Итер.
метод
1,0
1,5
2,0
-0,55 -0,23 -0,04
2,5
0,11
3,0
0,21
3,5
0,28
4,0
0,34
4,5
0,38
5,0
0,42
-3,43 -2,98 -2,34 -2,28 -1,93 -1,77 -1,61 -1,53 -1,45 -1,34
ˆ1 ,%
ˆ2 ,%
10
10
1
1
1
1
10-1
10-1
2
2
10-2
10-2
10-3
10-3
0
2
4
6
8
 ,%
0
2
4
6
8
 ,%
б
а
Р и с. 3.10. Зависимости смещения оценок коэффициентов разностного уравнения: а – 1 и б – 2 (в относительных единицах) от величины случайной помехи при использовании метода наименьших
квадратов (точки 1) и на основе итерационной процедуры (точки 2)
для систем с линейно-вязким трением
Результаты аналогичных исследований, но для систем с турбулентным трением, представлены на рис. 3.11.
В табл. 3.15 приведены результаты численно-аналитических исследований зависимости смещения оценки коэффициента 1 от объема выборки при различной величине случайной помехи в результатах наблюдений: 1% и 3% от мощности наблюдаемых колебаний
системы с турбулентным трением. На рис. 3.12 эти зависимости для
  3% представлены в виде точек: точки 1 соответствуют результатам вычислений без использования, а точки 2 – с использованием
213
итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения для систем с турбулентным трением.
ˆ1 , %
ˆ1 , %
100
1
1
10
10
2
1
1
2
0,1
0
1
2
3
4
 ,%
Р и с. 3.11. Зависимости смещения
оценки коэффициента 1 (в относительных единицах) от величины
случайной помехи при использовании метода наименьших квадратов
(точки 1) и на основе итерационной
процедуры (точки 2) для систем с
турбулентным трением
0,1
0
20
40
60
80
N
Р и с. 3.12. Зависимости смещения оценки коэффициента 1 (в
относительных единицах) от объема выборки (б) при использовании метода наименьших квадратов (точки 1) и на основе итерационной процедуры (точки 2)
для систем с турбулентным
трением
Таблица 3.15
Сравнительный анализ зависимостей смещения оценок коэффициентов разностного уравнения для систем с турбулентным трением от объема выборки
10
N
 
МНК -1,64
 
МНК -0,59
lg ˆ1
  1%
lg ˆ1
  3%
Итер.
метод
Итер.
метод
20
30
40
50
60
70
80
90
100
-1,12 -0,86 -0,68 -0,56 -0,45 -0,36 -0,28 -0,22 -0,17
-2,42 -2,26 -2,62 -2,69 -2,73 -2,75 -2,73 -3,01 -2,90 -2,85
-0,18
0,02
0,14
0,20
0,25
0,27
0,28
0,29
0,29
-1,70 -1,72 -1,64 -1,78 -1,80 -1,89 -1,85 -1,87 -1,90 -1,91
Полученные результаты численно–аналитических исследований
смещения оценок коэффициентов ˆ j подтверждают высокую эффективность итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания
коэффициентов стохастического разностного уравнения. Применение итерационной процедуры позволяет существенно, на несколько
214
порядков, уменьшить смещение оценок, а в ряде случаев практически устранить это смещение.
На заключительном этапе численно–аналитических исследований проведена проверка адекватности формул (3.133) и (3.134), описывающих смещение коэффициентов разностного уравнения, вычисленных с использованием итерационной процедуры, для систем с
турбулентным трением. В табл. 3.16 приведены результаты исследований зависимости оценки смещения ̂1 от величины случайной
помехи при различных объемах выборки ( N  50 и N  100 ), полученные с помощью формул (3.133) и (3.134), а также на основе численного эксперимента.
Таблица 3.16
Результаты исследования адекватности формулы оценки смещения при использовании итерационной процедуры для
систем с турбулентным трением
 ,%
ˆ1 , % теорет.
N  50 эксперим.
ˆ1 , % теорет.
N  100 эксперим.
0,5
0,05
0,04
0,04
0,02
1,0
0,21
0,11
0,15
0,16
1,5
0,47
0,45
0,33
0,35
2,0
0,84
0,52
0,58
0,55
2,5
1,27
1,18
0,91
0,91
3,0
1,81
1,71
1,38
1,27
3,5
2,65
2,45
1,80
1,64
4,0
3,25
2,98
2,19
2,13
4,5
4,27
3,52
2,97
2,76
5,0
5,21
4,61
3,65
3,32
На рис. 3.13 эти зависимости представлены в виде графиков.
Кривые 1 и 3 (для N  50 и ˆ , %
1
N  100 , соответственно) опи1
сывают зависимости оценок
2
смещения, полученных по ана4
литическим формулам. Кривые 2
3
( N  50 ) и 4 ( N  100 ) на рис.
4
3.13 построены на основе чис2
ленного моделирования и вычисления выборочных моментов
посредством усреднения 1000
 ,%
1
2
3
4
0
оценок для каждой точки эксперимента. Очевидно, что резуль- Р и с. 3.13. Зависимости смещения
таты численного эксперимента оценки коэффициента 1 (в относипрактически совпадают с ре- тельных единицах) от величины
зультатами вычислений по фор- случайной помехи при использовании итерационной процедуры для
мулам (3.133) и (3.134).
систем с турбулентным трением
215
Устранение смещения в оценках коэффициентов стохастического разностного уравнения за счет применения итерационной процедуры позволяет существенно повысить достоверность результатов
вычисления динамических характеристик нелинейных диссипативных систем. В табл. 3.17 и 3.18 представлены результаты численноаналитических исследований зависимости погрешности вычисления
оценок декремента колебаний систем с турбулентным трением от
величины случайной помехи без использования и с использованием
итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения.
Таблица 3.17
Зависимости смещения оценки декремента колебаний системы с
турбулентным трением от величины случайной помехи без использования и с использованием итерационной процедуры  N  50 
 ,%
 
lg ˆ
0,5
МНК -0,67
Итер.
метод
1,0
-0,17
1,5
0,05
2,0
0,18
2,5
0,24
3,0
0,29
3,5
0,31
4,0
0,33
4,5
0,35
5,0
0,36
-3,42 -2,81 -2,49 -2,24 -2,05 -1,95 -1,73 -1,65 -1,55 -1,45
В табл. 3.17 приведены результаты вычислений, а на рис. 3.14
представлены зависимости, смещения оценок декремента колебаний.
Точки 1 соответствуют результатам, полученным без использования,
а точки 2 – с использованием итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания. Видно, что применение итерационной процедуры позволяет на 2-3 порядка уменьшить смещение оценок декремента колебаний.
Таблица 3.18
Зависимости среднего квадратического отклонения (в относительных единицах) оценки декремента колебаний системы с
турбулентным трением от величины случайной помехи без использования и с использованием итерационной процедуры
 N  50 
 ,%
МНК
0,5
2,58
1,0
7,54
1,5
12,9
2,0
18,8
2,5
21,6
3,0
23,5
3,5
23,1
4,0
22,6
4,5
23,8
5,0
22,3
метод
0,73
1,47
2,22
3,02
3,71
4,50
5,10
5,86
6,74
7,28
 ˆ  , % Итер.
216
В табл. 3.18 представлены результаты вычислений, а на рис. 3.15
изображены зависимости среднего квадратического отклонения оценок декремента колебаний (в относительных к точным значениям
единицах) от величины случайной помехи в результатах наблюдений. Точки 1 соответствуют среднеквадратическим отклонениям
оценок, найденных без использования, а точки 2 – с использованием
итерационной процедуры. Видно, что в диапазоне изменения величины случайной помехи от 0% до 5% среднее квадратическое отклонение оценок декремента колебаний, полученных на основе итерационной процедуры в 3 раза меньше, чем среднее квадратическое отклонение обычных МНК– оценок.
ˆ, %
 ˆ  ,%
100
1
30
1
10
2
2
1
10
0,1
0
1
2
3
4
 ,%
Р и с. 3.14. Зависимости смещения
оценки декремента колебаний системы с турбулентным трением от
величины случайной помехи
0
1
2
3
4
 ,%
Р и с. 3.15. Зависимости среднего
квадратического отклонения оценки декремента колебаний системы
с турбулентным трением
от
величины случайной помехи
Аналогичные результаты получены и при численно - аналитических исследованиях зависимости погрешности вычисления декремента колебаний систем с турбулентным трением от объема выборки. В табл. 3.19 приведены, а на рис. 3.16 представлены в виде точек,
результаты численно-аналитических исследований зависимости
смещения оценок декремента колебаний от объема выборки результатов наблюдений, вычисленных без использования (точки 1) и с использованием (точки 2) итерационной процедуры.
217
Таблица 3.19
Зависимости смещения оценки декремента колебаний системы с турбулентным трением от объема выборки без использования и с использованием итерационной процедуры    3% 
10
N
 
lg ˆ
МНК -0,61
Итер.
метод
20
-0,18
30
0,02
40
0,13
50
0,21
60
0,25
70
0,27
80
0,28
90
0,29
100
0,29
-2,12 -1,71 -1,73 -1,74 -1,77 -1,77 -1,85 -1,86 -1,87 -1,92
По результатам исследований можно сделать следующие выводы: во-первых, применение итерационной процедуры уменьшает
смещение оценок более чем на два порядка, практически устраняя
его. Во-вторых, характер зависимости принципиально различается: с
увеличением объема выборки смещение обычных МНК - оценок резко возрастает, в то время как смещение оценок, полученных на основе итерационной процедуры, суˆ, %
щественно не изменяется.
В табл. 3.20 представлены, а
на рис. 3.17 изображены в виде
100
точек, результаты численно1
аналитических исследований за10
2
висимости среднего квадратического отклонения (в относитель1
ных к точному значению единицах) оценок декремента колеба20 40 60 80
0
N ний систем с турбулентным треР и с. 3.16. Зависимости смеще- нием от объема выборки. Точки 1
ния оценки декремента колеба- соответствуют результатам выний системы с турбулентным числений без использования, а
точки 2 – с использованием итетрением от объема выборки
рационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения. Видно, что с увеличением объема
выборки среднее квадратическое отклонение уменьшается, причем
среднеквадратическое отклонение оценок декремента колебаний,
вычисленное на основе итерационной процедуры, в несколько раз
меньше, чем среднеквадратическое отклонение МНК - оценок.
218
Таблица 3.20
Зависимости среднего квадратического отклонения (в относительных единицах) оценки декремента колебаний системы с
турбулентным трением от объема выборки без использования и
с использованием итерационной процедуры    3% 
МНК
10
50,5
20
32,8
30
30,5
40
26,6
50
23,2
60
19,4
70
15,9
80
11,3
90
9,15
100
7,53
метод
39,6
15,1
8,55
5,88
4,42
3,61
3,10
2,61
2,30
2,04
N
 ˆ  , % Итер.
Исследование смещения и дисперсий оценок частоты колебаний
диссипативной системы, найденных на основе линейнопараметрической дискретной модели, показали, что погрешность вычисления частоты колебаний мала и составляет доли процента от истинного значения в широком диапазоне изменения характеристик
системы и параметров обработки экспериментальных виброграмм.
 ˆ  ,%
1
40
2
20
N
Р и с. 3.17. Зависимости среднего
квадратического отклонения оценки декремента колебаний системы
с турбулентным трением
от
объема выборки
0
20
40
60
80
Таким образом, результаты численно-аналитических исследований полностью подтверждают эффективность итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения, применение которой в задачах
определения параметров нелинейной диссипативной системы
позволяет добиться высокой точности и достоверности результатов вычисления динамических характеристик.
219
3.4. Анализ и оценка погрешности вычисления
динамических характеристик диссипативных систем
на основе стохастических разностных уравнений
Оценка погрешности результата вычислений динамических характеристик является составной частью процедуры обработки физического эксперимента на основе линейно-параметрических дискретных моделей. Для успешного решения этой задачи необходимо выявить источники составляющих результирующей погрешности, указать на возможные пути уменьшения их влияния, исследовать помехозащищенность разработанных численных методов, определить параметры, непосредственно связанные с помехоустойчивостью алгоритмов вычисления, и найти их оптимальные значения.
Анализ процесса формирования результирующей погрешности
условно может быть разбит на четыре этапа: математическое моделирование динамического процесса, формирование выборки результатов наблюдений мгновенных значений колебаний системы, среднеквадратичное оценивание коэффициентов стохастического разностного уравнения и непосредственное вычисление динамических характеристик по коэффициентам линейно-параметрической дискретной модели.
Математическое описание нелинейной диссипативной системы в
форме линейно-параметрической дискретной модели, лежащей в основе алгоритмов оценки динамических характеристик, состоит из
четырех последовательных шагов, каждый из которых обуславливает
свою составляющую в неадекватности модели физическому объекту.
Идеализация при описании физических законов в форме дифференциальных уравнений приводит к методической, систематической
погрешности, величина которой определяется степенью несоответствия реальных диссипативных сил, действующих в системе, моделям,
принятым для их описания. Для ее уменьшения необходимо уточнить исходное дифференциальное уравнение, что, во-первых, существенно (а зачастую и неоправданно) усложнит модель и, во-вторых,
по сути, изменит класс механической системы, описываемый этим
уравнением.
При недопустимо высокой погрешности, связанной с неадекватностью математического описания, следует рассмотреть вопрос о
соответствии исследуемой системы классу нелинейных диссипативных механических систем и, как следствие, о целесообразности при220
менения разработанных алгоритмов. Однако следует отметить, что
ограничения, накладываемые на механическую систему, как объект
исследования (во-первых, принадлежность классу нелинейных диссипативных систем и, во-вторых, условие малой диссипации энергии
колебаний), с высокой надежностью гарантируют малое значение
данной составляющей погрешности.
Построение модели в форме уравнения, разрешенного относительно обобщенной координаты, заключается в приближенном решении квазилинейного дифференциального уравнения при некоторых допущениях (представление решения в форме (2.9), принадлежность аддитивной составляющей классу непрерывных монотонных
функций, использование асимптотических разложений первого порядка и т.п.). В основе этих допущений лежит условие малой диссипации энергии колебаний. Погрешность, связанная с этими допущениями, является методической, систематической. Ее можно считать
второй составляющей неадекватности модели. Эта составляющая
может быть уменьшена, например, за счет повышения порядка асимптотического разложения решения нелинейного дифференциального
уравнения [16, 83, 89]. Однако, как было показано выше, ее величина
незначительна и в достаточно широком диапазоне изменения параметров колебательной системы составляет доли процента.
На третьем шаге формирования линейно-параметрической дискретной модели решается задача аппроксимации огибающей амплитуд колебаний. Связанная с этой процедурой погрешность описывается формулами (2.69), (2.75), (2.71) и (2.73) в зависимости от вида
используемой модели. Проведенные выше исследования зависимости этой составляющей погрешности от степени нелинейности и вида модели позволяют соответствующим образом выбрать временной
интервал наблюдений и обеспечить требуемую точность аппроксимации огибающей амплитуд колебаний (см. рис. 2.7, рис. 2.8).
Построение линейно-параметрической дискретной модели предполагает дискретизацию непрерывной функции. Погрешность, связанная с дискретизацией, формируется на этапе сбора экспериментальных данных и зависит от технических характеристик аналогоцифрового преобразователя (АЦП).
Построение линейно-параметрической дискретной модели, по
сути, представляет собой совокупность тождественных алгебраических преобразований в пространстве z–преобразований, которые непосредственно не вносят погрешности в конечный результат. Однако
221
следует отметить, что, несмотря на эквивалентность различных разностных уравнений для одной и той же дискретной функции, соответствующие им системы нормальных уравнений не равноценны в
отношении устойчивости вычисления их решения.
Структурный анализ погрешности, формируемой на первом этапе алгоритма определения динамических характеристик и связанной
с неадекватностью математической модели, позволяет априорно оценить вклад каждой составляющей в общую погрешность и указать
пути их уменьшения.
Погрешность, связанная с неадекватностью модели, является
методической и может быть учтена в систематической составляющей
случайной аддитивной помехи в результатах наблюдений. Для оценки степени неадекватности линейно-параметрической дискретной
модели могут быть использованы известные статистические методы
[6, 72, 107, 131, 132]. При этом с помощью одного из критериев согласия решается вопрос о соответствии модели опытным данным и
целесообразности ее применения в данном эксперименте.
Формирование выборки результатов наблюдений мгновенных
значений колебаний системы (второй этап) предполагает, во-первых,
выбор параметров обработки экспериментальной виброграммы и, вовторых, проведение измерений и ввод в ЭВМ числовых значений
отсчетов ординат колебаний. Основным источником погрешности на
этом этапе являются средства измерения, а также устройства для
преобразования и передачи информации от объекта исследования к
ЭВМ.
Здесь необходимо выделить три составляющие инструментальной погрешности. Основная из них определяется метрологическими
характеристиками средств измерения. Заданные в форме предельно
допустимых отклонений показаний прибора от истинных значений
измеряемой величины, они являются основой расчета результирующей погрешности ДХ и, в первом приближении, могут быть приняты
за количественные характеристики аддитивной помехи в результатах
измерений. Выбор более точных средств измерения с целью уменьшения инструментальной погрешности должен быть обоснован с
учетом других составляющих ошибки в исходных данных.
Две другие составляющие инструментальной погрешности связаны с аналого-цифровым преобразованием вибрационных сигналов,
которое заключается в выполнении двух операций: дискретизации по
времени и квантования по уровню.
222
Циклическая дискретизация непрерывной реализации вносит
погрешность, связанную с флуктуацией  в реальном преобразователе, что приводит к завышению оценок декремента [71]. Для устранения возможного смещения в оценках декремента дискретизация
должна осуществляться с погрешностью менее 0,05%. В [32] рассматривается погрешность, связанная с возможным изменением сигнала за время преобразования одного измерения (апертурного времени), и даются рекомендации по выбору аналого-цифрового преобразователя, исходя из собственной частоты системы.
Погрешности, связанные с квантованием вибросигналов, подробно исследуются в [16, 32, 71, 91]. В частности, в [71] утверждается, что погрешность квантования можно рассматривать как внешнюю аддитивную помеху (шум квантования), которая ведет к завышению оценки декремента колебаний. Там же устанавливается связь
смещения оценки декремента с параметрами дискретизации, и даются рекомендации по устранению этого смещения. В [32] приводятся
формулы выбора параметров АЦП в зависимости от величин динамического диапазона и ошибки оценки минимального уровня сигнала.
Для обеспечения заданной точности вычисления динамических
характеристик особое внимание следует уделять выбору периода
дискретизации  . Этот параметр существенным образом влияет на
меру обусловленности матрицы нормальной системы уравнений [40,
71], и, как следствие, определяет устойчивость вычисления оценок
коэффициентов разностного уравнения.
Можно указать два основных подхода к решению задачи улучшения обусловленности матрицы СЛАУ. Первый предполагает проведение исследований зависимости меры обусловленности от параметра  с целью выявления его оптимального значения. Второй подход
заключается
в
разработке
специальных
линейнопараметрических дискретных моделей, инвариантных к изменению
периода дискретизации. Решение проблемы, связанной с вычислительной устойчивостью, имеет первостепенное значение при разработке алгоритмов идентификации, так как недостаточное внимание к
этой проблеме может привести не только к увеличению погрешности
результатов вычисления, но, что гораздо хуже, к потере устойчивости оценок, то есть отсутствию каких-либо гарантий относительно их
достоверности.
223
Среднеквадратичное оценивание коэффициентов стохастического разностного уравнения (третий этап) играет огромную роль в процессе формирования результирующей погрешности вычисления динамических характеристик диссипативной системы. Главной задачей
на данном этапе является обоснованный выбор статистического метода оценивания коэффициентов разностного уравнения. Постановка
этой задачи в формате прикладного регрессионного анализа позволяет эффективно применять для ее решения известные методы среднеквадратического оценивания.
Применение в качестве основного метода вычисления коэффициентов классического метода наименьших квадратов [6, 20, 112,
131] приводит к смещению оценок коэффициентов разностного
уравнения и увеличению дисперсии этих оценок [20, 112, 131]. Аналогичный эффект связан с ограниченностью объема выборки, используемой при статистической обработке экспериментальных данных [71, 131].
Для повышения эффективности среднеквадратичного оценивания необходимо учитывать статистические характеристики случайной аддитивной помехи и априорную информацию об элементах
матрицы регрессоров (например, наличие корреляции между ними).
В зависимости от этого следует использовать другие, более эффективные, современные методы идентификации (например, обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК), метод инструментальной
(вспомогательной) переменной и т.п.) [20, 112, 131, 132], в том числе,
робастные методы. Эти методы устойчивы к нарушению предположений о нормальном законе распределения, а также при наличии
грубых погрешностей (промахов) в экспериментальных данных [20,
123].
Проведенные численно-аналитические исследования построенных линейно-параметрических дискретных моделей, описывающих в
форме стохастических разностных уравнений результаты наблюдений мгновенных значений колебаний диссипативной системы, позволяют сделать вывод о высокой эффективности разработанной
итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения [46, 55].
Выбор численного метода решения системы нормальных уравнений, формируемой на основе разностных уравнений, ограничен
пакетом прикладных программ из математического обеспечения
ЭВМ. Основным критерием выбора является устойчивость к плохой
224
обусловленности матрицы системы нормальных уравнений. Накопление ошибок округлений в процессе вычислений при неудачном
выборе численного метода решения системы линейных уравнений
(особенно для систем высокого порядка) даже при малых ошибках в
исходных данных приводит к большим погрешностям, а то и вовсе к
результату, не имеющему смысла. Подробный анализ устойчивости и
рекомендации к выбору метода численного решения СЛАУ можно
найти в [18, 20]. Наиболее подходящими для решения нормальной
системы уравнений с симметричной, положительно определенной
матрицей являются метод квадратного корня (метод, использующий
разложение Холецкого) и методы, использующие ортогональное разложение [18, 20, 112]. Однако следует отметить, что при очень плохой обусловленности ни один из этих методов не гарантирует устойчивых оценок коэффициентов линейно-параметрической дискретной
модели.
Процесс вычисления с помощью ЭВМ неизбежно сопровождается погрешностями округлений, связанными с ограниченностью
разрядной сетки машины [20, 121]. Максимальная относительная погрешность при округлении определяется формулой  max  0,5 1 k ,
где  – основание системы счисления, k – количество разрядов
мантиссы числа. Погрешности округлений в сочетании с плохо организованным алгоритмом может внести достаточно весомый вклад в
результирующую погрешность. Для уменьшения составляющей такого рода следует перейти к вычислениям с двойной точностью либо
использовать более совершенные ЭВМ.
Последний этап формирования результирующей погрешности
связан с вычислением динамических характеристик по коэффициентам линейно-параметрической дискретной модели.
Применение при этом формул элементарных функций приводит
к ошибкам, связанным с ограничением бесконечного математического процесса (ошибки ограничения). Эта составляющая погрешности
практически не оказывает влияния на результат, так как ее всегда
можно сделать в несколько раз меньше погрешности исходных данных. Основное же влияние данного этапа на формирование результирующей погрешности заключается в распространении (передаче)
погрешности оценок коэффициентов разностного уравнения на
оценки динамических характеристик системы. Однако по сравнению
с передачей ошибок от результатов наблюдений, используемых в
элементах матрицы регрессоров, к оценкам коэффициентов ЛПДМ
225
при решении плохо обусловленной линейной регрессионной задачи,
эта составляющая незначительна. Следует только выявлять и, повозможности, избегать тех значений параметров, при которых небольшие вариации коэффициентов разностного уравнения приводят
к существенному изменению динамических характеристик.
Проведенный анализ процесса формирования погрешности оценок динамических характеристик, включающий в себя выявление
источников составляющих погрешности, изучение характера и оценку степени влияния на этот процесс основных этапов предлагаемого
алгоритма идентификации, а также анализ способов уменьшения составляющих, позволяет сделать следующие выводы.
Во-первых, основным источником погрешности оценок динамических характеристик, в первом приближении, может считаться случайная аддитивная помеха в результатах наблюдений. Она обусловлена совокупностью многих факторов, главным образом, влиянием
различного рода неучтенных сил на основную форму колебаний, погрешностью средств измерения и посторонним шумом в каналах передачи и обработки информации.
Во-вторых, основным инструментом повышения точности оценок динамических характеристик является обоснованный выбор эффективного метода среднеквадратичного оценивания коэффициентов
разностного уравнения, а также разработка помехоустойчивых алгоритмов, позволяющих устранить или существенно уменьшить смещение этих оценок.
В-третьих, основным параметром, определяющим устойчивость
вычисления среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения, является период дискретизации экспериментальной
виброграммы колебаний. Выбор оптимального значения этого параметра, а также разработка специальных моделей и алгоритмов оценивания, инвариантных к его изменению, является одной из важнейших задач параметрической идентификации нелинейной диссипативной системы.
Результаты анализа процесса формирования погрешности оценок динамических характеристик нелинейной диссипативной системы, вычисленных на основе среднеквадратичного оценивания коэффициентов стохастических разностных уравнений, описывающих
результаты наблюдений мгновенных значений колебаний, систематизированы в табл. 3.21. Проведенный качественный анализ является
226
основой для вывода основных количественных соотношений, описывающих процесс формирования результирующей погрешности.
Таблица 3.21
Анализ составляющих погрешности вычислений динамических
характеристик и способы их уменьшения
Составляющая
результирующей
Способы
погрешности или
уменьшения
характер влияния
погрешности
на процесс ее формирования
1
2
3
4
1. Моделирование диссипативной системы
1. Математичес Идеализация
Уточнение опиПогрешность,
кое описание в при описании связанная с несаний физичеформе диффе- физических
ских явлений в
точностью
ренциального
законов
форме диффеописания фиуравнения (ДУ)
ренциального
зических явлеуравнения
Источники погрешности или
Этап алгоритма
параметры,
идентификации
влияющие на ее
величину
2. Разработка
модели в форме уравнения,
разрешенного
относительно
обобщенной
координаты
Совокупность
допущений,
лежащих в
основе решения ДУ
3. Упрощение
уравнения огибающей амплитуд колебаний
Аппроксимация
огибающей
амплитуд колебаний
ний, в частности, диссипации
энергии
колебаний.
Методическая,
систематическая
Погрешность,
связанная с
приближенным решением ДУ.
Методическая,
систематическая
Погрешность, связанная с аппроксимацией.
Методическая, систематическая
Повышение
порядка асимптотического
разложения
решения [83,89]
Выбор интервала наблюдения в соответствии с данными рекомендациями
227
Продолжение таблицы 3.21
2
3
4
2. Формирование выборки результатов наблюдений
4. Построение
Порядок
Ухудшает
обу- Предпочтение
линейномодели
словленность мат- моделям меньпараметричерицы
системы шего порядка
ской дискретнормальных уравной модели
нений и, тем са(ЛПДМ)
мым, приводит к
вычислительной
неустойчивости
оценивания коэффициентов ЛПДМ
5. Обработка
Цифровая
Смещение оценок
1. Выбор поломногокомпополосовая
декремента колесы пропускания
нентного сигфильтрация
баний.
фильтра в завинала с целью
Систематическая
симости
от
выделения
диапазона оценеобходимого
ниваемых значастотного
чений
декредиапазона
мента.
2. Использован
ие
градуировочных характеристик при
различном отношении сигнал/шум
6. Выбор пара- 1. Период
1. Ухудшает
обу- 1. Выбор оптиметров обработ- дискретизации словленность мат- мальных значеки эксперименрицы системы нор- ний  и N на
тальной вибромальных уравнений основе исследограммы
и, тем самым, при- ваний зависиводит к вычисли- мости устойчительной неустойчи- вости вычислевости
оценивания ний от этих пакоэффициентов раз- раметров
ностного уравнения 2. Разработка
2. Объем
2. Смещение оценок моделей, инвавыборки
коэффициентов раз- риантных к изностного уравнения менению парапри ограниченном метров обработобъеме выборки N
ки виброграммы
228
1
Продолжение таблицы 3.21
2
3
4
1. Средства из- Основная и допол- Выбор более
мерения (СИ).
нительная погреш- точных
2. Не
учиты- ности СИ.
средств измеваемые случай- Инструментальная. рения
ные шумы в Систематическая и
каналах пере- случайная
дачи информации
8. Аналого1. Нестабильно Погрешность
Выбор АЦП с
цифровое пре- сть
периода АЦП.
учетом динаобразование
дискретизации. Методическая, ин- мических ха(АЦП) и ввод 2. Изменение
струментальная,
рактеристик
данных в ЭВМ сигнала за апер систематическая
системы и третурное время.
буемой точно3. Шумы квансти оцениватования.
ния
3. Среднеквадратичное оценивание коэффициентов
стохастического разностного уравнения
9. Выбор ста- 1. Нарушение
Увеличение дис- 1. Применение
тистического
основных
персии и смещение итерационной
метода оцени- предпосылок
оценок коэффици- процедуры
вания коэффи- линейного
ентов ЛПДМ
среднеквадрациентов разно- регрессионнотичного оценистного уравне- го анализа.
вания коэффиния
2. Ограниченн
циентов разноый объем выстного уравнеборки
ния.
2. Использован
ие робастных
методов обработки данных
10. Выбор чис- Накопление
Приводит к неус- Применение
ленного мето- ошибок в про- тойчивости проце- численных меда
решения цессе вычис- дуры оценивания тодов, устойчисистемы нор- лений
коэффициентов
вых к плохой
мальных уравЛПДМ
обусловленнонений
сти
матрицы
системы
нормальных уравнений
1
7. Измерение
мгновенных
значений виброграммы
229
Окончание таблицы 3.21
2
3
4
4. Вычисление динамических характеристик
11. Проведение Ограниченная
Погрешность
1. Переход
к
расчетов
на длина разрядокругления
вычислениям с
ЭВМ
ной сетки
двойной точностью.
2. Использован
ие более совершенных
средств
вычислений
12. Вычислени Погрешность
Распространение
Выбор оптие
динамиче- оценок коэф- погрешности оце- мальных знаских характе- фициентов
нок коэффициен- чений
параристик по ко- разностного
тов
разностного метров в завиэффициентам
уравнения
уравнения на оцен- симости
от
разностного
ки динамических характеристик
уравнения
характеристик дис- динамического
сипативной систе- процесса
мы
1
Рассмотрим процедуру оценки погрешности результатов вычислений динамических характеристик. Оценки динамических характеристик, полученные при статистической обработке результатов наблюдений мгновенных значений ординат колебаний, следует рассматривать как случайные величины. В качестве основных характеристик погрешности можно использовать среднее квадратичное отклонение (СКО) оценки, ее смещение, а также доверительный интервал, границы которого определяют предельную абсолютную погрешность с заданной доверительной вероятностью. Таким образом,
оценка погрешности результатов вычисления динамических характеристик заключается в нахождении оценок СКО и доверительных интервалов для каждого из параметров.
Процедуру вычисления погрешности динамических характеристик диссипативной системы можно разбить на следующие основные
этапы: вычисление оценки s 2 дисперсии случайной помехи в результатах наблюдений; вычисление дисперсий s 2 ˆ j  и ковариаций
cov ˆi , ˆ j  оценок коэффициентов разностного уравнения; вычисле230
ние дисперсий оценок динамических характеристик диссипативной
системы; вычисление с заданной вероятностью доверительных границ случайной составляющей погрешности. Эти границы могут рассматриваться как предельные абсолютные погрешности  ,  0 и
n (с заданной доверительной вероятностью) динамических характеристик:   ˆ   ,  0  ˆ0   0 , n  nˆ  n . На заключительном
этапе процедуры вычисления результирующей погрешности находятся предельные относительные погрешности  ,   ,  n оценок
динамических характеристик диссипативной системы.
Как правило, дисперсия  2 случайной помехи в результатах наблюдений неизвестна. Применение итерационной процедуры при
2
2
минимизации функционала J  P 1b  P 1F ˆ  ˆ  min позво


ляет оценить величину дисперсии  2 случайного возмущения по
результатам среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения. Для этого вначале находятся остатки
ek  yk 1  yˆ k 1 . k  1,2,3,, N , где yˆ k – мгновенные значения динамического процесса в диссипативной системе, вычисленные на основе соответствующей модели колебаний и полученных оценок параметров этой модели. При использовании обобщенной регрессионной
модели (3.7), (3.8) эти остатки можно найти по формуле
e  Pˆ1b  Pˆ1F ˆ , где ̂ – вектор оценок коэффициентов разностного
уравнения; Pˆ1 – матрица, элементы которой вычислены по найденным оценкам ˆ j . Тогда в качестве оценки дисперсии  2 случайной
N
помехи можно использовать либо оценку s 2 
e
e
k 1
k
e
N 1
2
, где
1 N
 ek , N – объем выборки, либо остаточную дисперсию
N k 1
N
2
sост

 ek2
N 1
 y
k
 yˆ k 
2
k 1
, где n – число коэффициентов в обоб k 0
N n
N n
щенной регрессионной модели. Очевидно, что при малом выбороч-
231
2
ном среднем e и больших объемах выборки N , оценки s 2 и sост
практически совпадают.
На примере диссипативной системы с турбулентным трением
проведены численно-аналитические исследования, подтверждающие
2
правомерность использования выборочных дисперсий s 2 и sост
в
качестве оценки дисперсии  2 случайной помехи в результатах наблюдений. Для различных значений случайной помехи в результатах
наблюдений yk  yk   k , величина которой изменялась в диапазоне
от 0 до 5% от мощности моделируемого динамического процесса в
2
системе с турбулентным трением, были вычислены оценки s 2 , sост
,а
2
также оценка ˆ  , найденная непосредственно по выборке значений
 k случайной помехи, добавляемой в тестовый сигнал:
N 1
 
 
2
1 N 1
  k . Объем выборки результатов наN k 0
N 1
блюдений: N  100 . Результаты вычислений представлены в табл.
3.22.
ˆ 2 
k 0
k
, где  
Таблица 3.22
Оценки дисперсии   случайной помехи и соответствующие
наблюдаемые значения F- критерия
2
 ,%
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
ˆ2 104 0,06 0,25 0,57 1,01 1,58 2,28 3,10 4,05 5,12 6,33
s 2 104 0,08 0,26 0,58 1,07 1,68 2,26 3,16 3,99 7,19 7,10
F1
1,20 1,01 1,02 1,06 1,06 1,01 1,02 1,02 1,40 1,12
2
sост
104 0,08 0,27 0,61 1,11 1,75 2,35 3,30 4,16 7,50 7,40
F2
1,25 1,06 1,07 1,10 1,10 1,03 1,06 1,03 1,46 1,17
2
Для сравнения выборочных дисперсий ˆ 2 и s 2 ( ˆ 2 и sост
) при
2
уровне значимости  проверяется нулевая гипотеза H 0 : ˆ  s 2
2
2
( ˆ 2  sост
) при конкурирующей гипотезе ˆ 2  s 2 ( ˆ 2  sост
). Наблюдаемые значения критерия (отношение большей выборочной диспер-
232
сии к меньшей) F1 
max ˆ 2 , s 2 
min ˆ 2 , s 2 
и F2 
2
max ˆ 2 , sост

2
min ˆ 2 , sост

представлены
в четвертой и шестой строках табл. 3.22. При объеме выборки
N  100 , уровне значимости   0,05 и числах степеней свободы
k1  k2  99 , k3  95 критические точки распределения Фишера равны
F1кр  F  0,025;99;99   1, 486
и
F2 кр  F  0,025;99;95   1, 494 .
Очевидно, что по всем точкам табл. 3.22 выполняются неравенства
F1  F1кр и F2  F2кр . Таким образом, нет основания отвергнуть нуле2
вую гипотезу и, следовательно, выборочные дисперсии s 2 и sост
можно принять за оценки дисперсии  2 случайной помехи в результатах наблюдений.
Применение итерационной процедуры среднеквадратичного
оценивания коэффициентов разностного уравнения приводит к оцен1
кам ˆ   F T 1 F  F T 1b , где матрица  ˆ  Pˆ PˆT . Отсюда можно
ˆ
ˆ

получить ˆ     F T ˆ1 F  F T  P
1
дание
вектора

1 T
ˆ
оценок
имеет
 
 . Тогда математическое оживид
M [ˆ ]    ˆ ,
где
ˆ  M  F T  ˆ1 F  F T  Pˆ1    – смещение, обусловленное корре

ляцией между случайным возмущением  и элементами матрицы
F . Полагая случайные возмущения  k в результатах наблюдений
1
T
некоррелированными, имеющими одинаковые дисперсии  2 и нулевые математические ожидания M [ k ]  0 , ковариационную матрицу



T
V [ˆ]  M  ˆ  M [ˆ] ˆ  M [ˆ]  вектора оценок коэффициентов


линейно-параметрической дискретной модели можно представить в
1
виде V [ˆ ]  M  F T  ˆ1 F    2  ˆˆT . При использовании итера

ционной процедуры смещение в оценках незначительно, и в первом
приближении им можно пренебречь. Кроме того, при малых значеk
ниях
случайного
возмущения
можно
принять
233
1
1
M  F T ˆ1 F     F T ˆ1 F  . Тогда, обозначив диагональные эле

менты матрицы C   F T ˆ1F 
1
через cij , i, j  1, n , оценки диспер-
сий и ковариаций коэффициентов ˆi можно вычислить по формулам
(3.135)
 2ˆ  s 2 [ˆi ]  cii s 2 ,
cov[ˆi , ˆj ]  cij s2 ,
i
где s – оценка дисперсии  2 случайного возмущения в результатах
наблюдений, полученная тем или иным образом.
Оценки дисперсий результатов вычисления динамических характеристик диссипативной системы можно найти по формуле [23]:
2
2
n 1 n
 a  2 ˆ
a a
s  aˆ    
s
[

]

2
cov[ˆi , ˆ j ] ,



i






i 1 
i 1 j i 1
i 
i
j
n
2
где â – оценка динамической характеристики, зависящая от коэффициентов  j соответствующего разностного уравнения.
В частности, при использовании разностного уравнения (3.32),
описывающего результаты измерений мгновенных значений свободных колебаний системы с линейно-вязким трением, с учетом формул
(3.10), имеем
1
s 2 ˆ  
4ˆ22 s 2 [ˆ1 ]  4ˆ1ˆ2 cov[ˆ1 , ˆ2 ]  ˆ12 s 2 [ˆ2 ] ,
2 ˆ2
2
4  4ˆ  ˆ
2

2
1



2
2
   2 ˆ
   2 ˆ
 
s [ˆ]  
cov[ˆ1 , ˆ2 ]  
 s [1 ]  2
 s [2 ] , (3.136)
1 2
 1 
 2 
2


ˆ 4ˆ2  ˆ12
 ˆ1 ln ˆ2  2
 ln ˆ2



где
и
.

2
1
2ˆ 2 2 ˆ2 4ˆ2  ˆ12
ˆ 2 2 4ˆ2  ˆ12
При использовании линейно-параметрической дискретной модели (3.58), описывающей мгновенные значения колебаний системы с
турбулентным трением, с учетом соотношений (3.11) оценки дисперсий результатов вычисления динамических характеристик можно
найти по формулам
234
s 2 [ˆ0 ] 
ˆ 2 3
4 2
ˆ 2 s 2 [ˆ ]  2ˆ 
ˆ 4  ˆ02 cov[ˆ0 , ˆ1 ] 
1
0
1
2 

ˆ
4
 
 4  ˆ  s [ˆ ] ,
ˆ 
4 4
2
0
0
s 2 [ˆ ] 
2
1

2

1
4  ˆ 2
0

s 2 [ˆ0 ] .
(3.137)
При вычислении дисперсий оценок начальных амплитуды и фазы колебаний можно воспользоваться одной и той же формулой [23]:
2
2
2
 f  2 ˆ  f  2 ˆ  f  2 ˆ
f f
s [f ]
cov[ˆ0 , ˆ3 ] 
 s [0 ]  
 s [3 ]  
 s [4 ]  2










0
3
 4
 0
 3
f f

f

f
2
cov[ˆ0 , ˆ4 ]  2
cov[ˆ3 , ˆ4 ],
0 4
3 4
в которой следует полагать f  aˆ0 для начальной амплитуды и
f  ˆ 0 для начальной фазы колебаний. При этом соответствующие
частные производные имеют вид
2
ˆ  ˆ 0 
a0 aˆ0 sinˆ 0 sin 

,
2
ˆ
0
2sin 


1  ˆ1 sinˆ 0
a0

,
ˆ
4
sin 
ˆ  ˆ 0 
a0 sin 

,
ˆ
3
sin 
ˆ  ˆ 0 
 0 cosˆ 0 sin 

,
2
ˆ
0
2sin 


1  ˆ1 cosˆ 0
ˆ  ˆ 0 
 0 cos 
 0


,
.
ˆ
ˆ
3
aˆ0 sin 
4
aˆ0 sin 
Для нелинейных систем с диссипативными силами общего вида
выборочные дисперсии оценок частоты ̂ и декремента ˆ0 колебаний описываются формулами (3.137), а дисперсия оценки параметра
нелинейности системы n̂ с учетом формулы (3.12) может быть представлена в виде
s 2  nˆ  
4  ˆ2 2 ˆ
42 s [1 ]  4ˆ1ˆ2 cov[ˆ1 , ˆ2 ]  ˆ12 s 2 [ˆ2 ] .
6 
ˆ

(3.138)
1
235
При построении доверительных границ случайной погрешности
результата вычисления динамических характеристик ̂ и ˆ0 можно
воспользоваться формулами [23]:
  t s[ˆ ] ,
(3.139)
 0  t s[ˆ0 ] ,
где s[ˆ ] и s[ˆ0 ] – оценки среднего квадратического отклонения
(СКО) рассматриваемого параметра, вычисленные по одной из формул (3.136) - (3.138). В первом приближении можно считать, что статистика t в (3.139) имеет распределение Стьюдента с   N  n степенями свободы. В этом случае при доверительной вероятности
  0,99 (   0,95 ) и числах степеней свободы   25 достаточно
принять t   2,8 ( t   2,1 ).
Так как при нелинейной зависимости функция распределения
погрешности результата измерения неизвестна, то доверительный
интервал для случайной погрешности целесообразно строить не на
основе распределения Стьюдента, а с использованием неравенства
Чебышева [23]. Считая распределение погрешности результата вычислений симметричным и одномодальным, неравенство Чебышева,
например, при оценке доверительного интервала для декремента ко4
лебаний можно представить в виде P  0  t  [ˆ0 ]  2 [23]. В
9t
этом случае границы доверительного интервала вычисляются на основе (3.139), где величина t находится из формулы доверительной


4
. В частности, при   0,95 величина t   2,98 ,
9t 2
а при   0,99 соответственно имеем t   6,67 .
вероятности   1 
Найденная по формуле (3.139) величина может рассматриваться
в качестве предельной абсолютной погрешности (с заданной вероятностью) результата вычисления рассматриваемого параметра диссипативной системы:   ˆ   ,  0  ˆ0   0 , n  nˆ  n , где n - характеристика (показатель) нелинейности диссипативной силы.
На заключительном этапе процедуры оценивания погрешности
вычисления параметров диссипативной системы находятся предель

ные относительные погрешности, например:   
,   0 ,
ˆ
ˆ
0
236
n 
n
, и делается вывод о соответствии точности оценок динамиnˆ
ческих характеристик системы заданным требованиям.
Проведены численно-аналитические исследования достоверности и корректности рассмотренной методики оценивания погрешности результатов вычисления динамических характеристик диссипативной системы на основе стохастических разностных уравнений. На
рис. 3.18 и рис. 3.19 представлены зависимости оценок предельной
относительной погрешности результатов вычисления декремента колебаний от величины случайной помехи, построенные по описанной
методике для систем с линейно-вязким и турбулентным трением.
 ,%
 ,%
1
4
1
8
2
2
6
3
3
4
2
2
0
1
2
3
4
Р и с. 3.18. Зависимости
 ,%
оце-
0
1
2
3
4
Р и с. 3.19. Зависимости
 ,%
оце-
нок предельной относительной
нок предельной относительной
погрешности (кривые 1 и 2) и
погрешности (кривые 1 и 2) и
экспериментально найденных
экспериментально найденных
относительных погрешностей
относительных погрешностей
(точки 3) вычисления декре-
(точки 3) вычисления декре-
мента колебаний от величины
мента колебаний от величины
В каждой точке численного эксперимента, соответствующей заслучайной помехи для систем
случайной
помехи для сисданному
значению
мощности случайного возмущения  i  i  0, 25%
с турбулентным трением
выборок
было вычислено но
пять оценок частоты и декремента колебаний, их относительные погрешности, а также оценки предельных относительных погрешностей   ij ,   ij  i  0,1, 2,, 20; j 1, 2,,5  . Кривые 1 и 2 опилинейно-вязким
трением
0,1,с 2,
, 20  , на основе
тестовых
 i тем
237
сывают зависимости максимальной и минимальной из оценок предельной относительной погрешности   ij , найденных на основе
пяти повторных вычислений с использованием формул (3.135) –
(3.139)
в
каждой
точке
численного
эксперимента:
 max  0 i  max   ij ,  min  0 i  min   ij . Точки 3 на этих
j 1,10


j 1,10


рисунках соответствуют результатам вычислений относительной погрешности оценки декремента колебаний, полученным непосредственно при компьютерном моделировании динамических процессов в
системах с линейно-вязким (см. рис. 3.18) или турбулентным (см.
рис. 3.19) трением.
Результаты численно-аналитических исследований достоверности и корректности формул, описывающих оценку погрешности вычисления динамических характеристик, для систем с диссипативными силами общего вида представлены на рис. 3.20 и рис. 3.21.
 ,%
n , %
1
1
15
2
10
40
2
3
3
20
5
0
1
2
 ,%
Р и с. 3.20. Зависимости оценок
предельной относительной погрешности (кривые 1 и 2) и экспериментально найденных относительных
погрешностей
(точки 3) вычисления декремента колебаний от величины
случайной помехи для систем с
диссипативными силами общего вида
238
0
1
2
 ,%
Р и с. 3.21. Зависимости оценок
предельной относительной погрешности (кривые 1 и 2) и экспериментально найденных относительных
погрешностей
(точки 3) вычисления показателя нелинейности от величины
случайной помехи для систем с
диссипативными силами общего вида
В каждой точке численного эксперимента, соответствующей
фиксированному
значению
мощности
случайной
помехи
 i  i  0,15% , i  0; 20 , было проведено десять независимых тестовых
испытаний при одних и тех же значениях динамических характеристик:   2 ,  0  0,05 , n  1,5 и параметрах формирования выборки результатов измерений   0,2 и N  100 .
В каждом тестовом испытании вычислялись оценки динамических характеристик ˆ ij , ˆ0ij и nˆij , относительные погрешности этих
оценок, а также в соответствии с формулами (3.135) – (3.139) находились апостериорные значения предельных относительных погрешностей   ij ,   ij и   n ij , i  0, 20 , j  1, 10 . Затем для каждой
i -той точки численного эксперимента вычислялись максимальное и
минимальное значения предельной относительной погрешности:
 max  i  max   ij ,  min  i  min   ij ,
 
   max     ,
 n   max     ,
 max
 max
0 i
i
j 1, 10
j 1, 10
 ij
n ij
 
   min     ,
 n   min     .
j 1, 10
j 1, 10
 min
 min
0 i
i
j 1, 10
j 1, 10
 ij
n ij
На рис. 3.20 представлены зависимости относительной погрешности (точки 3) и оценок предельной относительной погрешности
вычисления декремента колебаний от величины случайной помехи в
результатах наблюдений. Кривая 1 описывает зависимость максимальных значений  max   0 i , а кривая 2 – минимальных значений
 min   0 i предельных относительных погрешностей.
Зависимости относительной погрешности (точки 3) и оценок
предельной относительной погрешности вычисления показателя нелинейности диссипативной системы от величины случайной помехи
представлены на рис. 3.21. Соответственно, кривая 1 описывает зависимость максимальных значений  max  n i , а кривая 2 – минимальных значений  min  n i предельных относительных погрешностей.
Очевидно, что практически все точки, соответствующие относительным погрешностям вычисления декремента колебаний (см.
рис. 3.18 – рис. 3.20) и показателя нелинейности (см. рис. 3.21), укладываются в границы, описываемые минимальными значениями пре239
дельной относительной погрешности. Из результатов исследований,
представленных на рис. 3.20 и рис. 3.21, видно, что статистические
вероятности попадания относительной погрешности в построенные
доверительные интервалы равны 0,99 для оценки декремента колебаний и 0,98 – для оценки показателя нелинейности, то есть не превышают значения доверительной вероятности   0,95 , которое используется при вычислении границ относительной погрешности
(предельных относительных погрешностей). Это означает, что при
практических расчетах вполне достаточно одной реализации динамического процесса в диссипативной системе (одной выборки результатов наблюдений), чтобы достоверно оценить предельные абсолютную и относительную погрешности вычисления любого параметра системы.
240
4. ПРИМЕНЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ РАЗЛИЧНЫХ
СИСТЕМ В МАШИНОСТРОЕНИИ
4.1. Применение разностных уравнений при оценке
технического состояния силовых элементов шасси самолета
Одной из актуальных задач, входящих в мониторинг механических систем, является задача определения, моделирования и построения процесса накопления усталостных повреждений. Можно
проследить тенденцию обращения в современных методах мониторинга механических систем к измерению и последующему анализу
таких физико-механических характеристик, как ширина петли механического гистерезиса и декремент колебаний.
На практике долговечность отдельной механической системы,
как правило, отличается от ее усредненной величины. Назначаемый
ресурс реально всегда занижен, причем в несколько раз, вследствие
чего значительная часть конструкций снимается с эксплуатации, далеко не исчерпав своего ресурса. Поэтому важную роль в прогнозировании индивидуального остаточного ресурса играет анализ изменения динамических характеристик в ходе прочностных испытаниях
механической системы.
Построенные модели были апробированы при разработке методов и средств диагностирования взлетно-посадочных устройств для
эксплуатации по техническому состоянию. При анализе отказов и
неисправностей
силовых элементов шасси самолетов ТУ-134 и
ТУ-154 была выбрана простая, но
ответственная и
часто выходящая
из строя конструкция: тормозная тяга 1344105-50 (рис. 4.1). Р и с. 4.1. Тормозная тяга шасси самолета ТУ-134
после 500 тыс. циклов нагружения
Конструк241
тивно тяга состоит из цилиндрической части и двух проушин, изготовленных из стали марки 30 ХГСНА. Цилиндрическая часть представляет собой полый цилиндр с внутренней резьбой на его концах.
Проушины соединены с цилиндрической частью резьбовым соединением и сваркой.
Для циклического нагружения была спроектирована и изготовлена специальная оснастка, состоящая из гильзы, цангового захвата,
стакана, запирающей иглы и т.д. (рис. 4.2). Нагружение тормозной
тяги проводилось в динамическом режиме с частотой 430 циклов в
минуту, нагрузкой 12 т на универсальной гидравлической испытательной машине типа
МУП-50. При нагружении тормозная тяга испытывала как растягивающие, так и сжимающие усилия, а рабочая точка находилась на
среднем участке кривой
усталости, моделируя
эксплуатационный режим. По истечении 2550 тысяч циклов нагружения тормозная тяга
подвешивалась на упругом подвесе и ударником (с той же поверхностной твердостью, что и
у тяги) в ней возбуждаР и с. 4.2. Установка для циклического на- лись свободные колебагружения тормозной тяги шасси самолета
ния, параметры которых
ТУ-134
определялись предложенными методами.
Для съема сигнала упругих механических колебаний, их усиления и фильтрации использовался агрегатированный трехканальный
измеритель параметров вибраций и удара (АГИВУ-3), укомплектованный пьезоэлектрическими преобразователями типа КД-35 производства фирмы RFT (Германия), работающими в режиме аксельмометров. Виброскорости и виброперемещения формировались в
242
АГИВУ-3 последовательным аппаратурным интегрированием виброускорений. АГИВУ-3 обеспечил основную погрешность измерений 15% в диапазоне виброускорений от 1 до 10000 Гц, виброскоростей от 10 до 10000 Гц и виброперемещений от 0,1 до 1000 Гц с неравномерностью амплитудно-частотной характеристики первичных
преобразователей 5% для диапазона от 5 до 14000 Гц.
Пьезоэлектрические преобразователи, ориентированные на прием поперечных волн, крепились в средней части тормозной тяги с
помощью хомута. Полоса пропускания частот фильтра в АГИВУ-3
устанавливалась так, чтобы не искажать затухающие сигналы первой
гармоники (осуществлялся визуальный контроль с помощью осциллографа С1-18) и подавлять более высокочастотные гармонические
составляющие колебаний и низкочастотные модулирующие колебания.
Структурная схема организации прочностного эксперимента на
тормозной тяге представлена на рис. 4.3.
Осциллограф
ЭВМ
МУП-50
Ударник
Тормозная
тяга
АГИВУ-3
Микроконтроллер
Микро ЭВМ
Р и с. 4.3. Структурная схема организации прочностного эксперимента
на тормозной тяге шасси самолета ТУ-134
Регистрация и обработка экспериментальной виброграммы проводилась двумя способами. В первом случае использовался специально разработанный микроконтроллер в стандарте КАМАК массой
0,8 кг с автономным питанием, который размешался вблизи объекта
испытаний, а затем транспортировался к ЭВМ для ввода и обработки
данных. Оцифровка осуществлялась по одному или двум каналам с
амплитудой в диапазоне от –50 до 50 в и четырьмя фиксированными
243
частотами дискретизации: 16 кГц по одному каналу и 4 кГц, 2 кГц и
500 Гц по двум каналам. Количество отсчетов сигнала, снимаемого в
течении одного эксперимента, равнялось 15, 63, 255 и 2047 для
одного или двух каналов. Запуск микроконтроллера осуществлялся
от кнопки или автоматически, в момент, когда отдельный сигнал
пересекает пороговый уровень “сверху вниз” или с задержкой на два
периода дискретизации после момента пересечения порогового
уровня, значение которого регулировалось. Разброс моментов
дискретизации относительно частоты дискретизации составлял не
более 4 мкс на всех частотах дискретизации.
Второй способ, более универсальный, позволил работать непосредственно возле объекта исследований. Он основан на применении
микро ЭВМ со специально разработанным, программируемым АЦП.
Период дискретизации входного сигнала задавался от 100 мкс до
1,07с с шагом 10 мс. Количество входных каналов равнялось двум,
динамический диапазон входного сигнала – от 0,02 до 1,00 в, а частотный – от 0 до 2000 Гц.
Комплекс АГИВУ-3 и каждый из описанных способов регистрации и обработки ординат колебаний обеспечили экспериментальную
проверку описанных выше методов оценки динамических характеристик по одной или нескольким фазовым переменным.
На рис.4.4 представлены кривые зависимости декремента колебаний   Nц  и меры неадекватности модели s N ц от числа циклов
 
нагружения в процессе ресурсных испытаний. Результаты вычислений, полученные с использованием описанной методики и аппаратуры, привязаны к одному и тому же значению огибающей амплитуд
колебаний. При построении графиков зависимостей осуществлялась
нормировка по начальным значениям при Nц  0 декремента колебаний и меры неадекватности. При сглаживании результатов вычислений использовался метод четвертых разностей [121].
Характер зависимостей   Nц  и s N ц близок к зависимости
 
ширины петли механического гистерезиса l  N w  . На рис. 4.5 представлены типичные экспериментальные зависимости изменения l
для трех образцов циклически упрочняющихся материалов в функции числа циклов гармонического нагружения с постоянной амплитудой напряжения  а .
244
, s
l
3
1
6
1
5
2
2
4
2
3
1
3
2
1
0
100 200 300
Nц  10-3
Р и с. 4.4. Зависимости декремента колебаний  (кривая
1) и меры неадекватности s
(кривая
2)
линейнопараметрической дискретной
модели от числа циклов нагружения при ресурсных
испытаниях тормозной тяги
ТУ-134
0
Nр
100
Nр
300
Nр
500 Nц  10-3
Р и с. 4.5. Зависимость ширины петли механического
гистерезиса от числа циклов
нагружения
Первый образец испытывался при напряжении 290 МПа, а второй и третий – при напряжении 275 МПа. На полученных зависимостях четко прослеживаются стадии стабилизации свойств материала,
отделяющие период приработки механической системы от периода
упрочнения. Аналогичный характер зависимости l  N w  имеет место и для других видов материалов, например, циклически разупрочняющихся, а также при различных видах напряженного состояния
(растяжение – сжатие, изгиб, кручение) для широкого класса конструкционных сталей (сталь 45, сталь 15 КП и др.), чугунов, сплавов и
ряда конструкций [87, 97, 115, 120, 124].
За число циклов до разрушения N р принималось число циклов,
соответствующее появлению усталостной трещины на поверхности
образца длиной 1 - 1,5 мм. Причем число циклов развития этой трещины до окончательного разрушения составляло от 0,5 до 12% общей долговечности. Как правило, значение N р (информативный параметр технического состояния МС) соответствует минимальному
значению l циклически разупрочняющихся материалов (см. рис.
245
4.4 и рис. 4.5). Таким образом, на рис. 4.4 можно выделить стадию
стабилизации, соответствующее ей значение декремента и воспользоваться известными методами определения параметров кривой усталости и долговечности. Аналогичный характер зависимостей
  Nц  и s  Nц  зарегистрирован при прочностных испытаниях всех
пяти тормозных тяг.
4.2. Применение разностных уравнений в алгоритмах
измерительных устройств цифровых осциллографов
Разработанные линейно-параметрические дискретные модели в
форме разностных уравнений и методы оценки динамических характеристик колебательных систем на их основе могут найти применение при динамических измерениях с помощью магнитоэлектрических систем: осциллографов, входных преобразователей фотоэлектрооптических усилителей, входных приборов сейсмографов, виброметров и т. п., моделями которых служат линейные инерционные
или колебательные звенья [77, 78, 98, 129].
Так, алгоритмы на основе линейно-параметрических дискретных моделей были реализованы в серийно выпускаемых с 1988 г.
цифровых осциллографах С9-20, С9-21, С9-22, С9-23, С7-20, которые
используются в качестве автономных приборов или измерительных
каналов и подсистем в информационно-измерительных системах и
информационно-вычислительных комплексах [128, 129]. При этом
до 70% задач цифрового осциллографирования связано с исследованием однократных сигналов.
Разработанные методы измерений на основе линейнопараметрических дискретных моделей реализованы в блоке Я9С-42
обработки и индикации, входящем в указанные осциллографы (рис.
4.6). Основу блока составляет встраиваемая микро ЭВМ “Электроника-81”, которая ведет обработку больших массивов измерительной
информации.
Конструктивно Я9С-42 представляет собой моноблок в приборном корпусе “Надел-75” высотой 240 мм. С передней панели набирается последовательность операций обработки и выбора режима обработки, меню программ. Возможно на базе Я9С-42 создание многоканальной (до 128 каналов) автоматизированной системы путем под246
ключения до восьми цифровых преобразователей конфигурации, а
также подключение к внешним ЭВМ различных типов, т.е. создание
многоканальных многоуровневых информационно-измерительных
систем.
Р и с. 4.6. Блок обработки и индикации Я9С-42,
входящий в семейство цифровых осциллографов
4.3. Применение
разностных
уравнений
в
задачах
обнаружения некачественной сборки деталей прессованием
Разработанный алгоритм определения динамических характеристик диссипативных систем на основе линейно-параметрических
дискретных моделей в форме стохастических разностных уравнений
реализован в виде пакета прикладных программ и прошел апробацию в научно – технических экспериментах по определению некачественной технологической сборки механической системы «вал –
втулка» (в частности, для подшипниковой промышленности).
247
Эксперименты проводились с целью расширения функциональных возможностей и повышения точности обнаружения некачественной сборки за счет фиксации локальных дефектов. В основу экспериментов лег запатентованный способ определения некачественной сборки. Способ заключается в измерении величины колебаний
поверхности контакта соединяемых деталей, машинном анализе измеренных колебаний, по результатам которого определяют погрешности сборки. В процессе сборки осуществляют возбуждение колебаний одиночным импульсом в соединяемых деталях и определяют
некачественную сборку по результатам анализа параметров отклика.
Возбуждение колебаний одиночным импульсом и анализ динамических характеристик проводят последовательно для ряда значений
координат линейного относительного перемещения деталей (в частности, глубины запрессовки вала во втулку).
На рис. 4.7 представлена схема организации эксперимента по
определению некачественной сборки на основе анализа динамических характеристик системы вал-втулка в режиме свободных колебаний.
Деталь 1 стержневого типа с помощью схвата 2 вставляется в
отверстие детали 3, установленной на базирующем приспособлении.
Отклонение размеров и форма поверхностей контакта приводят к
изменению упругодемпфирующих связей между ними и к изменению величины декремента колебаний. Колебания поверхностей контакта с помощью датчика вибрации 5, закрепленного на детали 3,
преобразуются в электрический сигнал. Электрический сигнал с датчика вибрации 5 поступает на вход агрегатированного трехканального измерителя параметров вибраций и удара (АГИВУ-3) 6, в котором
выделяются основная собственная частота колебаний и сигнал нормируется по амплитуде.
В эксперименте предусмотрены два режима. Первый режим
предполагает обработку информации в реальном масштабе времени
непосредственно в ходе эксперимента и может быть использован в
автоматизированном сборочном производстве. В этом случае для
формирования выборки ординат колебаний и согласования АГИВУ-3
с ЭВМ используется аналого-цифровой преобразователь (АЦП) 7,
сигнал с которого поступает в микрокомпьютер 8.
Второй режим предназначен для сбора, хранения и последующей обработки результатов эксперимента на персональной ЭВМ.
248
Для его реализации использовался специально разработанный микроконтроллер 9.
Р и с. 4.7. Схема организации эксперимента по определению некачественной сборки на основе анализа динамических характеристик механической
системы «вал – втулка»
Относительное вертикальное перемещение детали 1 в отверстие
детали 3 осуществляется следующим образом: деталь привода 13
передает вращение винту 12, что приводит к поступательному перемещению гайки 14 и жестко связанных с ней кронштейна 15, ползуна
16 и штанги 18 со схватом 2. Ползун 16 установлен на направляющей вертикальных перемещений 17.
Информация о перемещении детали 1 в вертикальном направлении формируется следующим образом: вращение винта 12 преобразователем перемещения 10 преобразуется в электрический сигнал,
249
пропорциональный вертикальному перемещению детали 1. С выхода
преобразователя перемещения 10 электрический сигнал поступает на
вход микрокомпьютера 8 и на вход блока 11 управления ударником.
На основе полученной информации о вертикальном перемещении
детали 1 блок 11 управления ударником в соответствии с заранее установленным диапазоном перемещений формирует управляющее
воздействие, т.е. подключает кратковременно напряжение питания к
обмотке 22 катушки 21 электромагнита. Под действием электромагнитных сил сердечник 23 с ударником 25 через отверстие в губке
схвата 2 наносит удар по детали 1 стержневого типа. После отключения питания возвратная пружина 24 перемещает сердечник 23 с
ударником 25 в первоначальное положение.
Импульсом удара в соединяемых деталях 1 и 3 возбуждают свободные колебания, которые датчиком 5 вибрации преобразуются в
электрический сигнал.
После прохождения сигнала через АГИВУ-3 6 и программируемый аналого-цифровой преобразователь 7 по заложенным в микрокомпьютер 8 алгоритмам вычисляются оценки динамических характеристик механической системы, после чего они сравниваются с эталонными значениями декремента колебаний и жесткости, соответствующим фактической площади контакта и контактному давлению
для текущего значения координаты линейного относительного перемещения деталей.
Значение координаты линейного относительного перемещения
деталей 1 и 3 формируется в преобразователе перемещения 10 и поступает на микрокомпьютер 8, в памяти которого для каждого значения координаты линейного относительного перемещения деталей
хранятся эталонные значения динамических характеристик.
Следующий цикл определения параметров свободных колебаний осуществляется аналогично уже для очередного значения координаты линейного относительного перемещения деталей.
Описанная схема организации эксперимента для определения
некачественной сборки была использована для изучения зависимостей динамических характеристик от глубины запрессовки вала во
втулку при различном натяге (зазоре) в соединении.
Геометрические размеры и технические характеристики исследуемого соединения представлены на рис. 4.8.
250
В ходе эксперимента использовались четыре различных соединения, у которых внешний диаметр вала отличался от внутреннего
диаметра втулки на величину D = –0,021 мм, что соответствует зазору, и на D=0,020; 0,050 и 0,100 мм, что обеспечивает натяг в соединении.
20
16
27
60
4
245
2 фаски
20D
50
2
3,90
8,90
Р и с. 4.8. Геометрические размеры исследуемого
соединения
Указанным выше способом в соединениях возбуждались свободные колебания, снималась виброграмма, ординаты колебаний
измерялись через равные промежутки времени  и формировались
выборки результатов измерений объемом N = 40. Период дискретизации  выбрался равным 0,0001 сек, что обеспечивало, примерно, от
10 до 20 отсчетов за период колебаний. То есть оценка динамических
характеристик формировалась за 2 - 4 периода колебаний, что свидетельствует о высокой оперативности используемого метода определения параметров системы. Результаты измерений, полученные на
основе обработки виброграмм свободных колебаний, заносились в
файл данных. Предельная приведенная относительная погрешность
измерений не превышала 5%.
При вычислениях динамических характеристик использовался
двух шаговый алгоритм на основе линейно-параметрической дискретной модели, позволяющей существенно повысить устойчивость
вычисления оценок коэффициентов стохастического разностного
уравнения
251
k
k

 k 2

k

2

0 yk l  1  yk    2  yk 2l   2   yk    2  yk 2l  
l

l

l

 l 

2
k

k

 3   1 yk l  4   1 yk l  k  yk  yk  2l , k  2l . (4.1)
l
l




На первом шаге полагалось l  1, что соответствует разностному
уравнению
2
0 yk 1  1  kyk   k  2  yk  2   2  k 2 yk   k  2  yk  2  


3  k  1 yk 1  4  k  1 yk 1  k  yk  yk 2 , k  2.
2
Вычисленное на этом шаге значение частоты f (погрешность
не превышала 10%) использовалось для определения оптимального
1
значения lопт 
. На втором шаге результаты уточнялись в сред4 f
нем на один порядок за счет применения разностного уравнения
(4.1).
Для обработки данных, полученных в ходе научнопромышленного эксперимента по определению некачественной
сборки механической системы «вал-втулка», в системе визуального
проектирования Delphi разработан пакет прикладных программ. Он
включает в себя модули, представленные на рис. 4.9 в окне операционной системы Windows.
Основным модулем, реализующим алгоритм обработки экспериментальных данных, является модуль Vdinxar. На его основе определяются динамические характеристики и статистические оценки
погрешности их вычисления для исследуемой механической системы. Входными переменными программы являются технические характеристики изделия: mass – масса соединения (mass=0,176 кг), параметры обработки виброграммы:  – период дискретизации
(=0,0001 с) и nv – объем выборки (nv = 40); r – порядок используемой модели (r=5) и массив данных y k , k  1, nv .
Процесс вычислений динамических характеристик включает два
этапа. На первом этапе (k=1) значение параметра l полагается равным 1 и вычисляется только оценка частоты колебаний f. На основе
этой оценки при втором вхождении в процедуру Algoritm вычисляется оптимальное значение l.
252
Р и с. 4.9. Модули пакета прикладных программ для
обработки результатов эксперимента
Процедура Algoritm выполняет следующие функции: формирование регрессоров a ij и bi , i 1, m , j 1,5 ; процедуру МNК для вычисления коэффициентов i линейно-параметрической дискретной
модели; вычисление динамических характеристик (частоты и декремента колебаний), показателя нелинейности и жесткости соединения; вычисление статистических оценок относительной погрешности
вычисления динамических характеристик.
Процедура МNK использует при решении системы нормальных
уравнений метод квадратного корня. Входными параметрами процедуры являются: r  5 – порядок модели; m  nv  2l – число уравнений в системе линейных алгебраических уравнений; aij и


bi i 1, m ; j  1,5 – регрессоры в обобщенной регрессионной модели. В процедуре вычисляются коэффициенты разностного уравнения, границы доверительных интервалов для их оценок, мера обусловленности матрицы. Остальные модули обеспечивают удобство и
простоту использования пакета программ, формируют систему диалоговых и информационных окон, набор ниспадающих меню и кнопок управления.
253
При запуске проекта Paket модуль UMainForm загружает главную форму программы, содержащую основное меню (рис. 4.10). Основное меню содержит следующие опции: «Исходные данные», «Результаты», «Справка» и «Выход».
Р и с. 4.10 Главная форма и основное меню
программы
Раздел «Исходные данные» содержит две команды: «Просмотреть» и «Отредактировать», выполнение которых поддерживают модули UData и UCommon. При активизации команды «Просмотреть»
выводится окно с данными эксперимента (рис. 4.11), которые должны быть предварительно записаны в текстовый файл exsdan.fr. При
обращении к опции «Отредактировать» появляется аналогичное окно, но в этом случае предоставляется возможность вносить изменения в исходные данные.
Опция основного меню «Результаты» включает подразделы
«Протокол» и «Графики» (см. рис. 4.10). При обращении к опции
«Протокол» открывается окно диалога (рис. 4.12), в котором необходимо указать характеристики соединения: номер соединения и глубину запрессовки вала во втулку. Данная процедура обеспечивается
модулем UОkno1.
Модуль UProt формирует окно «Протокол результатов обработки эксперимента» (рис. 4.13), в котором содержатся не только оценки динамических характеристик исследуемой механической системы: декремента колебаний, собственной частоты, показателя нели254
нейности и жесткости конструкции, но относительные погрешности
(в %) их вычисления.
Опция «Графики» содержит два подраздела «По глубине запрессовки» и «По натягу» (см. рис. 4.10). При обращении к подменю «По
Р и с. 4.11. Окно для просмотра или редактирования
результатов эксперимента
глубине запрессовки» с помощью модуля UOkno2 открывается окно
диалога «Номер соединения» (рис.4.14), в котором в зависимости от
величины натяга (зазора) следует указать номер соединения, с которым проводится эксперимент. В результате этого строится график
исследуемой зависимости, который выводится в окно «Зависимость жесткости соединения от
глубины запрессовки» (рис. 4.15).
Данная процедура выполняется
модулем UGraf1.
Аналогично, при обращении
к опции «По натягу» с помощью
Р и с. 4.12. Окно диалога для
модуля UOkno3 открывается окввода характеристик соединения
но диалога «Глубина запрессовки» (рис. 4.16), в котором следует
указать в мм глубину запрессовки исследуемого соединения. В результате этого строится график исследуемой зависимости, который
255
Р и с. 4.13. Окно вывода результатов вычисления динамических характеристик механической системы
выводится в окно «Зависимость жесткости от натяга (зазора) в соединении». Данная процедура выполняется модулем UGraf2.
Раздел основного меню «Справка» содержит две опции: «Технические характеристики» и «О программе…». При выборе подменю
«Технические характеристики» модуль USpr активизирует окно, в
котором содержится информация о технических характеристиках
исследуемых образцов (рис. 4.17).
При выборе опции «О программе…» с помощью модуля UAbout
выводится окно, в котором представлена информация о программе и
ее разработчиках.
Для выхода из программы следует активизировать опцию «Выход» из основного меню или использовать кнопку «Закрыть»,
расположенную в правом верхнем углу главного окна программы(рис. 4.10).
Р и с. 4.14. Окно диалога для ввода номера соединения
256
Р и с. 4.15. Окно вывода графика зависимости жесткости соединения
от глубины запрессовки
Результаты обработки 20 экспериментально снятых виброграмм
приведены в табл. 4.1 – 4.4.
В зависимости от глубины запрессовки h = 5, 10, 15, 20 и
25 мм и разности диаметров между валом и втулкой (зазор или натяг
в соединении) D = –0,021; 0,020; 0,050 и 0,100 мм в таблицах приведены результаты вычислений декремента колебаний (табл. 4.1), частоты колебаний (табл. 4.2), жесткости соединения (табл. 4.3) и показателя нелинейности (табл. 4.4). При этом для каждого значения указывается относительная погрешность вычислений, найденная по
приведенным выше формулам.
При исследовании точности
использовались интервальные
оценки коэффициентов разностного уравнения с доверительной вероятностью 0,95. Из полученных результатов следует,
что даже при небольшом объеР и с. 4.16. Окно диалога для ввода значения глубины запрессовки
ме выборки и высокой оперативности получения результата
257
точность оценок достаточно велика (единицы процента) в широком
диапазоне изменения технологических параметров сборки.
Таблица 4.1
Результаты вычислений декремента колебаний и
соответствующей относительной погрешности (%) в зависимости
от глубины запрессовки и натяга (зазора) в соединении
№ соединения
Натяг (зазор)
в соединении
D, мм
1
-0,021
2
0,020
3
0,050
4
0,100
Глубина запрессовки h, мм
5
10
15
20
25
0,97
(2,7%)
0,78
(6,5%)
0,60
(2,9%)
0,48
(2,3%)
1,10
(4,0%)
0,90
(3,7%)
0,69
(3,1%)
0,56
(1,7%)
1,42
(4,6%)
1,13
(5,0%)
0,92
(2,6%)
0,67
(3,3%)
1,78
(4,7%)
1,31
(7,3%)
1,06
(4,4%)
0,82
(5,7%)
1,95
(7,3%)
1,46
(8,9%)
1,17
(3,0%)
0,97
(4,9%)
Таблица 4.2
Результаты вычислений частоты колебаний (Гц)
и соответствующей относительной погрешности (%)
в зависимости от глубины запрессовки и натяга (зазора)
в соединении
№ соединения
258
Натяг (зазор)
в соединении
D, мм
1
-0,021
2
0,020
3
0,050
4
0,100
Глубина запрессовки h, мм
5
10
15
20
25
882
(1,3%)
385
(2,7%)
594
(1,2%)
860
(0,7%)
951
(1,4%)
420
(1,7%)
645
(1,4%)
916
(0,5%)
1026
(2,5%)
439
(3,7%)
655
(1,4%)
965
(1,1%)
1025
(2,9%)
547
(5,1%)
723
(2,1%)
987
(2,0%)
1208
(5,0%)
615
(6,1%)
857
(1,7%)
1075
(1,9%)
Таблица 4.3
 6 н
Результаты вычислений жесткости соединения  10
 и
м

соответствующей относительной погрешности (%) в зависимости
от глубины запрессовки и натяга (зазора) в соединении.
№ соединения
Натяг (зазор)
в соединении
D, мм
1
-0,021
2
0,020
3
0,050
4
0,100
Глубина запрессовки h, мм
5
10
15
20
25
0,54
(1,3%)
0,10
(2,7%)
0,25
(1,2%)
0,51
(0,7%)
0,63
(1,4%)
0,11
(1,7%)
0,29
(1,4%)
0,58
(0,5%)
0,73
(2,5%)
0,13
(3,7%)
0,30
(1,4%)
0,65
(1,1%)
0,78
(2,9%)
0,21
(5,1%)
0,36
(2,1%)
0,68
(2,0%)
1,01
(5,0%)
0,26
(6,1%)
0,51
(1,7%)
0,80
(1,9%)
Таблица 4.4
Результаты вычислений показателя нелинейности и
соответствующей относительной погрешности (%) в зависимости
от глубины запрессовки и натяга (зазора) в соединении
№ соединения
Натяг (зазор)
в соединении
D, мм
1
-0,021
2
0,020
3
0,050
4
0,100
Глубина запрессовки h, мм
5
10
15
20
25
1,89
(3,9%)
1,53
(18%)
1,51
(10%)
1,39
(10%)
1,71
(6,2%)
1,47
(9,1%)
1,41
(10%)
1,25
(6,6%)
1,79
(3,6%)
1,52
(7,4%)
1,51
(5,2%)
1,27
(10%)
1,73
(4,3%)
1,42
(12%)
1,50
(9,1%)
1,17
(14%)
1,73
(5,6%)
1,33
(10%)
1,46
(5,3%)
1,27
(13%)
По результатам вычислений в соответствии с табл. 4.1 – 4.4 построены кривые зависимости декремента колебаний (рис. 4.18 и
рис. 4.19), жесткости соединения (рис. 4.20 и рис. 4.21) и показателя
нелинейности (рис. 4.22 и рис. 4.23) от параметров технологической
сборки (от глубины запрессовки вала во втулку: рис. 4.18, рис. 4.20 и
259
рис. 4.22; от натяга (зазора) в
соединении: рис. 4.19, рис. 4.21
и рис. 4.23). Кривые 1, 2, 3 и 4 в
первом случае соответствуют
зазору D = –0,021 мм и натягу D
= 0,020; 0,050; 0,100 мм. Во
втором случае кривые 1, 2, 3, 4
и 5 описывают зависимость динамических характеристик от
разности диаметров D вала и
втулки при различной глубине
запрессовки h = 5, 10, 15, 20 и
25 мм.
Полученные зависимости
позволяют сделать следующие
Р и с. 4.17. Окно информации о
выводы. С увеличением глубитехнических
характеристиках
ны запрессовки диссипация
исследуемых соединений
энергии колебаний возрастает в
два раза (рис. 4.18). В то же время увеличение натяга в соединении
приводит к уменьшению декремента колебаний также в среднем в
два раза (рис. 4.19). Жесткость соединения (а также функционально
связанная с ней частота колебаний) с глубиной запрессовки возрастает в 1,8 раза (рис. 4.20). При
δ
увеличении натяга в соединении
с 0,020 мм до 0,100 мм жесткость
увеличилась в 3 раза (рис. 4.21).
1.5
Зазор в соединении качественно
изменяет внутренние связи в ме1
1
ханической системе, что приво2
дит к резкому увеличению собственной частоты колебаний.
3
0.5
4
Полученные результаты показали, что тип диссипативной
0
силы (степень нелинейности) в
15
10
5
20 h, мм ходе эксперимента практически
0
Р и с. 4.18. Зависимость декре- не изменялся (рис. 4.22). Можно
мента колебаний от глубины
отметить лишь некоторую тензапрессовки
денцию к усилению линейности
260
системы с увеличением натяга в соединении (рис. 4.23).
c 106

2
4
1
1
0,25
0
-0.02
0 0.02 0.04 0.06 D, мм
Р и с. 4.19. Зависимость декремента колебаний от натяга (зазора) в соединении
0
-0,02 0 0,02 0,04 0,06 D, мм
Р и с. 4.20. Зависимость жесткости соединения от натяга (зазора)
в соединении
c 106
n
0.75
1.5
0.5
1
2
1
0.25
3
4
0.5
0
3 2
0,5
0.5
0
5
0,75
5
1.5 4
3
2
1
5
10
15
20 h, мм
Р и с. 4.21. Зависимость жесткости соединения от глубины
запрессовки
0
1
2
3
4
0
5
10
15
20 h, мм
Р и с. 4.22. Зависимость показателя нелинейности от
глубины запрессовки
261
n
Вычисленные для данных
образцов динамические характеристики могут быть использованы в качестве эталонных значений при автоматизированной
сборке.
1
3
1,5
1,75
4
5
2
1,25
-0,02
1
0
0,02 0,04 0,06
D, мм
Р и с. 4.23. Зависимость показателя нелинейности от натяга
(зазора) в соединении
4.4. Определение параметров кривой ползучести на основе
стохастических разностных уравнений
Известно, что результаты экспериментальных исследований в
теории ползучести имеют существенный разброс [102-104]. В этих
условиях применение более совершенных детерминированных моделей для повышения точности расчетов нецелесообразно, так как полученные результаты будут характеризовать поведение некоторой
«осредненной» конструкции. Классические стохастические теории
ползучести со случайными параметрами и функциями (например,
[33, 103, 110]) ориентированы на использование генеральной совокупности однотипных изделий, вследствие чего соответствующие
математические ожидания деформации или времени до разрушения
имеют широкую полосу естественного разброса. Очевидно, что такая
информация практически бесполезна для прогнозирования индивидуального поведения конкретного образца конструкции. Поэтому
получили развитие статистические методы прогнозирования работоспособности элементов конструкций в условиях ползучести по их
техническому состоянию [36, 106]. В основе этих методов лежат
экспериментальные характеристики, полученные на начальном этапе
эксплуатации конкретной конструкции. Они позволяют осуществить
262
переход от стохастических уравнений, описывающих поведение
группы конструкций, к стохастическим уравнениям с вполне определенными значениями случайных величин, соответствующих данной
конструкции. Это позволяет построить модель для прогнозирования
поведения конкретного конструктивного элемента, достоверность
которой достаточно высока, так как при этом учитываются индивидуальные деформационные свойства изделия. Поэтому одной из
важнейших проблем в машиностроении является проблема построения уточненных моделей неупругого реологического деформирования материалов и элементов конструкций с целью прогнозирования
индивидуальных деформационных свойств. В связи с этим особое
значение приобретают методы параметрической идентификации
кривых ползучести на основе результатов наблюдений, полученных
в ходе промышленного или научно-технического эксперимента.
Среди известных методов параметрической идентификации по праву
лидирующее место занимает метод, в основе которого лежит последовательное выделение экспоненциальных составляющих в кривых
ползучести [111]. Однако при всех его достоинствах точность оценивания параметров кривой ползучести на основе этого метода, а также
его функциональные возможности существенно ограничены из-за
его недостатков. К ним можно отнести: отсутствие в этом методе
алгоритмов статистической обработки экспериментальных данных;
применение интерполяции к предварительно сглаженным экспериментальным данным, что существенно искажает оценки параметров
экспоненциальных составляющих при наличии случайной помехи в
результатах наблюдений; требование выпуклости и монотонности
функции, описывающей экспериментальную кривую ползучести, что
не всегда выполняется в практике эксперимента.
Современный уровень развития средств вычислений и методов
статистической обработки экспериментальных данных позволяет
внедрить в практику параметрической идентификации кривых ползучести новые перспективные технологии (Hi-Tech методы), в основе
которых лежат линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме стохастических разностных уравнений отклик
системы на некоторое типовое тестовое воздействие [54, 105]. Применение такого похода к решению задач определения параметров
кривой ползучести по результатам наблюдений позволяет сущест263
венно повысить точность прогнозирования процессов неупругого
реологического деформирования.
Рассмотрим построение линейно-параметрической дискретной
модели вначале в виде рекуррентной формулы, связывающей несколько последовательных мгновенных значений кривой ползучести,
а затем в форме стохастических разностных уравнений, описывающих результаты измерений при параметрической идентификации
кривой ползучести в ходе эксперимента. В соответствии с разработанной теорией неупругого реологического деформирования материалов уравнение кривой ползучести ~y t  при постоянном напряжении может быть представлено в виде суммы нескольких (обычно от
двух до четырех) экспоненциальных составляющих [111]:
p
y  t    ai 1  exp   i t  .
(4.2)
i 1
При равномерной с периодом  дискретизации непрерывной функции (4.2) получаем ее дискретный аналог ~
yk   ai 1  exp   ik 
p
i 1
p
p
i 1
i 1
или ~
yk  aS   ai exp   ik  , где aS   ai , k  0,1, 2, . Отсюда
можно получить систему уравнений
p
~
y

a

i1ai exp   ik 

k

1
S

i 1

p
~
 yk 2  aS   i2 ai exp   ik 

i 1

p
~
y

a

i p ai exp   ik ,
 k p

S
i 1

в которой i  exp   i  ,
i  1, p .
Обозначая ui  ai exp   ik  , i  1, p , эту систему можно пред-
в матричной форме Mu  v , где u  u1 , u2 ,, u p  ,
T
v  aS  ~
yk 1 , aS  ~
yk 2 , , aS  ~
yk  p  , а матрица M имеет вид
ставить
264
T
 11
 2
1
M 

 p
 1
 21   p1 

 22   p2 
.
 


  p p 
y k можно представить в виде
При этом дискретную функцию ~

p
2
p
~
yk  aS   ui . Очевидно, что значения  i
i 1
i  1, p 
различны и не
равны нулю. Определитель матрицы M можно записать в виде:
1
det M  12  p  W 11 , 21 ,,  p1   0 , где W 11 ,  21 ,,  p1  –
определитель Вандермонда. Следовательно, матрица M невырожденная и имеет обратную матрицу G  M 1 с элементами g ij ,
i, j  1, p . Из решения системы находим u  M 1v  Gv , или в разверp
p
p
j 1
j 1
нутой форме – ui   g ij v j  aS  g ij   g ij ~
yk  j , i  1, p . Тогда дисj 1
кретная
~y
k
функция
может
быть
представлена
в
виде


~
yk  aS 1   g ij    g ij ~
yk  j . Введем обозначения:
j 1 i 1

 j 1 i 1
p
p
p
p

p
p
p


p

 j   gij , i  1, p ,  p1  aS 1   g ij   aS 1    j  .
j 1 i 1
j 1




В итоге получаем линейно-параметрическую дискретную модель,
описывающую в виде рекуррентной формулы последовательность
мгновенных значений кривой ползучести (4.2):
p
~
y  ~
y   , k  p, N  1 .
(4.3)
i 1

k
j 1
j
k j
p 1
Очевидно, что начальные значения ~y k при k  0,1, 2,, p  1 могут быть описаны формулами
~
y0  0 ,
p
~
y1   ai 1  i    p  2 ,
i 1
~
y2   ai 1  i2    p3 ,  ,
p
i 1
~
y p1   ai 1  ip1   2 p .
p
i 1
265
Установим функциональную связь между параметрами  i
i  1, p 
кривой ползучести (4.2) и коэффициентами  j
 j  1, p 
линейно-параметрической дискретной модели в форме разностного
уравнения (4.3). Для этого докажем следующее утверждение.
Пусть M  a1 , a2 , , a p  – множество различных между собой и
i  1, p  чисел. Определим множество X
X  x : x  a , i  1, p, где a  M . Рассмот-
отличных от нуля ai  0
1
следующим образом:
i
i
i
i
рим алгебраическое уравнение степени p с коэффициентами  j
 j  1, p  вида
x p  1 x p 1  2 x p 2     p 1 x   p  0 .
(4.4)
Тогда для того, чтобы уравнение (4.4) имело p различных корней, принадлежащих множеству X , необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты  j в уравнении (4.4) удовлетворяли условию
p
 j   bij , j  1, p ,
(4.5)
i 1
где bij – элементы матрицы B  A1 , обратной любой квадратной

матрице A , столбцы которой имеют вид ai , ai2 , ai3 ,, aip  , i  1, p
T
то есть квадратной матрице
 a1 a2 
a2 a2 
1
2
A
  
 p
p
a1 a2 

ap 
a 2p 
,
(4.6)


a pp 
определяемой с точностью до порядка следования столбцов матрицы.
Докажем необходимость. Пусть все корни уравнения (4.4) различны, отличны от нуля и принадлежат множеству X . Покажем, что в
этом случае коэффициенты уравнения удовлетворяют условию (4.5).
Так как xi  ai1 i  1, p корни уравнения (4.4), то справедливы

равенства
266


1


 p11  p22    p1   p  0 .
p
ai ai
ai
ai
Отсюда
aip  p  aip1 p1  aip2  p2    ai 1  1  0
i  1, p  .
Имеем систему из p алгебраических уравнений линейную относительно переменных  j , j  1, p :
a11  a12 2    a1p1 p1  a1p  p  1

2
p 1
p
a2 1  a2 2    a2  p1  a2  p  1


a   a 2     a p1  a p   1,
p 2
p
p 1
p p
 p 1
которую можно представить в матричной форме
(4.7)
AT   e ,
где A – матрица, элементы которой описываются формулой (4.10),
T
T
векторы   1 , 2 ,,  p  и e  1,1,,1 .
Очевидно,
что
определитель
матрицы
det A  a1a2  a pW a1 , a2 ,, a p  , где W a1 , a2 ,, a p  есть определитель
Вандермонда. Так как по условию элементы матрицы различны и не
равны нулю, то det A  0 , следовательно, матрица A невырожденная
и существует обратная матрица B  A1 . Тогда из (4.7) имеем
1
  AT  e   BT e , откуда
 1 
 b11 b21
 

 2     b12 b22
 
 
 

 p 
b1 p b2 p
 b p1   1 
 b p 2   1 
 
   
  
 b pp   1 
p
p
p
i 1
i 1
i 1
или 1   bi1 , 2   bi 2 , …,  p   bip , что и требовалось доказать.
Докажем достаточность. Пусть коэффициенты алгебраического
p
уравнения (4.4) описываются формулами  j   bij , j  1, p , где bij
i 1
определяются через элементы матрицы A указанным выше образом.
Покажем, что в этом случае корни xi уравнения (4.4) различны и
равны обратным значениям элементов ai первой строки матрицы A :
xi  ai1 , i  1, p .
267
Из формул (4.5) следует
1    b11  b21  b31    bp1  ,
2    b12  b22  b31    bp 2  ,

 p    b1 p  b2 p  b3 p    bpp 
   BT e . Так как B  A1 , то
T
1
  A1  e  AT  e . Отсюда e  AT    , где  – нулевой вектор.
или
в
матричной
форме
В развернутой форме имеем
1  a11  a12 2    a1p 1 p 1  a1p  p  0,
1  a2 1  a22 2    a2p 1 p 1  a2p  p  0,

1  a p 1  a 2p 2    a pp 1 p 1  a pp  p  0.
Так как по условию ai  0 , i  1, p , то отсюда получаем:
a1 p  1a1 ( p 1)  2 a1 ( p  2)     p 1a11   p  0,
a2 p  1a2 ( p 1)  2 a2 ( p  2)     p 1a21   p  0,

a p p  1a p ( p 1)  2 a p ( p  2)     p 1a p1   p  0.
Это означает, что числа ai1 , i  1, p , являются корнями алгебраического уравнения (4.4), а так как ai1 различны, то и корни этого уравнения различны. Других корней в соответствии с основной теоремой
алгебры уравнение (4.4) не имеет. Таким образом, xi  ai1 , i  1, p ,
что и требовалось доказать.
Заметим, что матрица A определяется с точностью до порядка
следования ее столбцов. Любая перестановка столбцов в матрице A
приводит к соответствующей перестановке строк в обратной матриp
це B  A1 так, что значения коэффициентов  j   bij не изменяi 1
ются, а, следовательно, не изменяются и корни уравнения (4.4).
Таким образом, для того чтобы по известным коэффициентам
 j , j  1, p , разностного уравнения (4.3) найти параметры  i ,
268
i  1, p , в уравнении кривой ползучести (4.2), следует вначале вычис-
лить корни  i , i  1, p , алгебраического уравнения степени p :
 p  1 p1  2  p2     p1   p  0 ,
(4.8)
а затем воспользоваться формулами
ln i
, i  1, p .
i  

(4.9)
При параметрической идентификации кривой ползучести в процессе эксперимента формируется выборка результатов измерений
yk  ~
yk   k , которые содержат случайную помеху  k , k  0, N  1 ,
где N – объем выборки. В первом приближении можно предположить, что случайные возмущения  k имеют нулевое математическое
ожидание, одинаковые дисперсии  2 и не коррелированны между
собой, В этом случае линейно-параметрическая дискретная модель
(4.3) принимает вид стохастического разностного уравнения

 ,
k  0,
 0

yk   p 1 k   k ,
k  1, p  1,
 p
1
  y        , k  p, N  1

j k j
p 1
j k j
k

j 1
j p
(4.10)
и может быть представлена в форме обобщенной регрессионной модели:
b  F  ,

  P .
(4.11)
Здесь   (1 , 2 ,  , 2 p )T – вектор неизвестных коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели;   ( 0 , 1 ,...,  N 1 )T – Nмерный вектор случайной помехи в результатах наблюдений;
  (1 , 2 ,..., N )T – N -мерный вектор эквивалентного случайного
возмущения
в
стохастическом
разностном
уравнении;
T
b  ( y0 , y1 , ..., y N 1 ) –
вектор
правой
части;
N -мерный
F   f1  f 2  .  f p  f p1  .  f 2 p  – матрица регрессоров размера N  2 p ,
столбцы которой описываются формулами
269
f1  (0, 0,  , 0, y p1 , y p ,  , y N 2 )T ,
f p  (0, 0,  , 0, y0 , y1 ,  , y N  p1 )T ,
f 2  (0, 0,, 0, y p2 , y p1 ,, y N 3 )T , ,
f p1  (0, 0, , 0,1,1, ,1)T ,
f p 2  (0, 1,  , 0, 0,  , 0)T , , f 2 p  (0, 0,,1, 0,, 0)T .
Матрица P размера N  N в стохастическом разностном уравнении эквивалентного возмущения – нижняя треугольная. Первые p
1, j  i,
pij  
0, j  i.
j  1, N . Остальные строки матрицы P имеют вид:
p p1    p ,   p1 ,   p2 ,,   2 ,  1 ,1, 0,, 0 ,
i  1, p ,
строк матрицы описываются формулой
p p2  0,   p ,   p1 ,   p2 , ,   2 ,  1 ,1, 0, , 0 , ,
pN  0,, 0,   p ,   p1 ,   p2 ,,   2 ,  1 ,1 .
Помехоустойчивое определение параметров  i и ai кривой ползучести (4.2) сводится к среднеквадратичному оцениванию коэффициентов  j линейно-параметрической дискретной модели (4.10), при
котором могут быть использованы различные схемы вычислений.
Наиболее простым является алгоритм, в основе которого лежит ми2
2
нимизации функционала ˆ  b  F ˆ  min . В этом случае оценки коэффициентов стохастического разностного уравнения вычисляются по формуле
1
ˆ  F T F  F T b .
(4.12)
Однако такой подход мало эффективен из-за большого смещения оценок, обусловленного корреляцией между элементами матрицы F и эквивалентным случайным возмущением  k . Можно показать, что величина смещения в оценке вектора коэффициентов раз-

ностного уравнения приближенно равна  N  p  2 F T F

1 
 , где
  1, 2 ,, p ,0,,0T ,  2 – дисперсия случайного возмущения
в результатах наблюдений. Другой, более эффективный и помехоустойчивый метод среднеквадратичного оценивания коэффициентов
стохастического разностного уравнения использует минимизацию
2
2
функционала ˆ  y  y  min . В основе такого подхода лежит
применение итерационной процедуры уточнения среднеквадратич270
ных оценок коэффициентов  j , что позволяет практически устранить смещение в оценках и тем самым добиться высокой точности
вычисления параметров исследуемой функции [105].
Рассмотрим алгоритм итерационного метода среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения. Из формулы (4.11) получаем P1b  P1 F   . Элементы pij1 обратной матрицы P1 зависят от коэффициентов  j и описываются формулами
1,
pij1  
0,
p

1

k pi1k , j , j  i,
 
j  i,
1
при i  1, p , j  1, N и pij   kp1
j  i.
  k pi1k , j , j  i
 k 1
при i  p  1, N , j  1, N .
В основе итерационной процедуры лежит минимизация функ2
2
ционала ˆ  P  k1 b  P  k1 F ˆ  min , где Pˆ 1 – обратная матрица,
ˆ
ˆ
k
при вычислении элементов которой используются оценки ̂jk  коэффициентов разностного уравнения, найденные на k -той итерации.
Очевидно, что данный функционал представляет собой квадратичную форму относительно искомых коэффициентов  j . Следовательно, он достигает своего неотрицательного минимума. При этом нетрудно показать, что минимум данного функционала достигается в
точке
1
(4.13)
ˆk 1  F T    F  F T    b ,
ˆ k
где ˆ   Pˆ 1  Pˆ 1  .
ˆ k
T
k
k
k
На первом шаге итерационной процедуры среднеквадратичного
оценивания коэффициентов разностного уравнения по формуле
1
(4.12) находится начальное приближение ˆ0   F T F  F T b . Затем,
полагая в формуле (4.13) k  0 и ˆ k   ˆ0  , вычисляется следующее
1
приближение ˆ1  F T ˆ  F  F T ˆ  b . Оно вновь подставляется в
0
0
правую часть формулы (4.13) и находится новое приближение ̂ 2  и
т.д. Процесс уточнения среднеквадратичных оценок коэффициентов
стохастического разностного уравнения продолжается до тех пор,
271
пока выполняется условие ˆ k 1  ˆ k   0,01 ˆ k  . Результаты численно-аналитических исследований показали не только хорошую
сходимость итерационной процедуры (три – четыре итерации), но и
еѐ высокую эффективность по сравнению с обычным МНК –
оцениванием. За счет устранения смещения в оценках ̂ j погрешность вычисления характеристик кривой ползучести уменьшается в
десятки и сотни раз в широком диапазоне изменения параметров
численно-аналитического эксперимента.
Найденные среднеквадратические оценки ̂ j коэффициентов
линейно-параметрической дискретной модели (4.10) лежат в основе
вычисления помехоустойчивых оценок параметров кривой ползучести  i и ai , i  1, p . Для этого сначала находятся корни  i i  1, p


алгебраического уравнения (4.8):  p  ˆ 1 p1  ˆ 2 p2   ˆ p1  ˆ p  0 .
Затем по формулам (4.9) вычисляются оценки параметров
ˆ i   1 ln i i  1, p . На заключительном этапе по найденным ̂ i и


 i посредством решения системы линейных алгебраических уравнений

ˆp 1
,
aˆ1  aˆ2    aˆ p 
p

ˆ
1   i

i 1

1  1  aˆ1  1  2  aˆ2    1   p  aˆ p  ˆp  2 ,

2
2
2
1  1  aˆ1  1  2  aˆ2    1   p  aˆ p  ˆp 3 ,


 1   p 1 aˆ  1   p 1 aˆ    1   p 1 aˆ  ˆ
1  2 2
 p  p 2p
1






вычисляются оценки коэффициентов ai i  1, p в функции (4.2).
Проведена апробация разработанного метода идентификации
кривой ползучести на основе стохастических разностных уравнений
272
в научно-техническом эксперименте. Исследовался образец полихлорвинилового пластиката длиной 1000 мм, площадью сечения 1,2
мм2 при температуре 20 C и нагрузке P  5,6 Н . Результаты эксперимента по деформации ползучести yэ  t  за 8 часов представлены в
табл. 4.5, а также изображены в виде точек 1 на рис. 4.24.
Таблица 4.5
Экспериментальные данные по деформации ползучести
yэ. t  (образец №25) и результаты вычислений методом
выделения экспоненциальных составляющих y1 t 
и на основе стохастических разностных уравнений y2 t 
t, час
yэ(t)·103
y1(t)·103
y2(t)·103
t, час
yэ(t)·103
y1(t)·103
y2(t)·103
0,000
0,00
0,00
0,00
2.0
16,0
15,17
15,95
0,0041 0,0166 0,0333 0,0833
1,00
3,00
4,50
7,00
1,00
2,96
4,50
6,67
0,65
2,31
3,99
6,85
3,0
4,0
5,0
6,0
17,0
18,0
18,5
19,0
16,48 17,51 18,31 18,94
17,09 17,93 18,58 19,08
0,25
9,50
9,50
9,85
7,0
19,5
19,44
19,46
0,50
1,0
12,50 13,50
11,58 13,37
11,84 14,00
8,0
20,0
19,82
19,76
Кривая 2 на рис. 4.24 соответствует кривой ползучести, полученной известным методом выделения экспоненциальных составляющих [102], а кривая 3 – методом, в основе которого лежит среднеквадратичное оценивание коэффициентов стохастического разностного уравнения, описывающего результаты эксперимента [209].
Очевидно, что вторая кривая более близка к экспериментальным
точкам, чем первая в интервале от 1 до 6 часов.
При использовании известного метода выделения экспоненциальных составляющих [102] среднеквадратичная оценка погрешности аппроксимации экспериментальных данных (в относительных
единицах) составила 2,8 %. При этом построенная модель кривой
ползучести содержит пять экспоненциальных составляющих:
y1 t   8,47  10 3 1  e 0,24t  1,39  10 3 1  e 0,25t  6,54  10 3 1  e 3,92t 

3

4,34  10 1  e

37,96t

  0,53  10 1  e
3

157,82t
,


273
из которых первые две практически одинаковы, а доля последней
составляет всего 3,6 % от общей мощности сигнала, что статистически незначимо. Построенная на основе стохастических разностных
уравнений модель кривой ползучести аппроксимирует экспериментальные данные с погрешностью 2,5 % и содержит только три экспоненциальные составляющие:
y 2 t   7,99  10 3 1  e 0, 26t  6,06  10 3 1  e 2,33t  6,70  10 3 1  e 21,82t .






При этом величины  i , i  1, 3 , различаются примерно на порядок,
что полностью соответствует теории построения уточненных моделей неупругого реологического деформирования материалов и элементов конструкций.
y  t  103
1
15
2
3
10
5
0
t, час
8
Р и с . 4.24. Экспериментальные точки 1 и кривые ползуче2
4
6
сти, построенные методом выделения экспоненциальных составляющих (кривая 2) и на основе стохастических разностных
уравнений (кривая 3) (образец №25)
Применение разностных уравнений при определении параметров кривой ползучести по экспериментальным данным позволяет
использовать алгоритм известного метода выделения экспоненциальных составляющих [102], но на принципиально новой основе, тем
самым, расширяя его функциональные возможности и повышая точность оценивания. Рассмотрим метод параметрической идентификации кривой ползучести, в основе которого лежат стохастические
разностные уравнения, описывающие мгновенные значения отдельных экспоненциальных составляющих.
274
Выделим в уравнении кривой ползучести (4.2) экспоненциальную составляющую вида
~
(4.14)
y t   as  a exp  t .
Стохастические разностные уравнения, описывающие результаты измерений yk  ~
yk   k , k  0, N  1 , экспоненциальной составляющей (4.14) имеют вид

 y0  3   0 ,


0   0 ,
yk  1 yk 1  2  k ,
k  1 k 1   k ,
k  1, N  1.
(4.15)
Здесь N – объем выборки результатов измерений с периодом дискретизации  ;  k – аддитивная случайная помеха в результатах наблюдений;  j – коэффициенты линейно-параметрической дискретной модели, связанные с параметрами экспоненциальной составляющей формулами:
1  exp    , 2  1  1 as , 3  as  a .
(4.16)
В частном случае для экспоненциальной составляющей вида
~
(4.17)
y t   a1  exp  t 
число коэффициентов модели уменьшается на единицу, а формулы
(4.15) и (4.16) также имеют место, если положить as  a, 3  0 .
В основе помехозащищенного метода определения параметров
экспоненциальных составляющих кривой ползучести лежит среднеквадратичное оценивание коэффициентов  j в стохастическом разностном уравнении (4.15). Итерационная процедура среднеквадратичного оценивания коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели позволяет практически устранить смещение в оценках результатов вычислений и тем самым обеспечить высокую точность параметрической идентификации.
Алгоритм параметрической идентификации кривой ползучести
на основе стохастических разностных уравнений требует формирования выборки с равномерной дискретизацией экспериментальных
данных и включает процедуру последовательного выделения фиксированного числа экспоненциальных составляющих вида (4.14) и
(4.16). Итерационная процедура выделения экспонент на основе статистической обработки экспериментальных данных состоит из следующих шагов:
275
 выбор начального отсчета n0 в выборке экспериментальных
данных y k , k  0, N  1 , при выделении текущей экспоненциальной
составляющей: n0  k0 n0,99 , где индекс n0,99 выбирается из условия
y n0,99   0,99 y N 1 , k0 0, 2; 0,5 –коэффициент выбора первого
отсчета;
 итерационная процедура среднеквадратичного оценивания коэффициентов  j линейно-параметрической дискретной модели в
форме стохастических разностных уравнений (4.15);
 оценка параметров экспоненциальной составляющей (4.14) по
формулам
1

    2
   ln 1 , as  2 , a  2 3 3 ;

1  1
1  3
 удаление текущей экспоненциальной составляющей вида
(4.17) из результатов наблюдений.
На заключительном этапе вычисляются параметры экспоненциальных составляющих вида (4.14) и (4.17), а также находится оценка
адекватности построенной модели кривой ползучести экспериментальным данным.
Число экспоненциальных составляющих в алгоритме параметрической идентификации кривой ползучести определяется автоматически на основе сравнения среднеквадратических отклонений данных эксперимента от результатов вычислений по построенным моделям с различным числом экспонент. При обработке опытных данных, соответствующих различным материалам, нагрузкам и температурным режимам, экспериментально установлено, что число экспоненциальных составляющих в модели кривой ползучести, как правило, не превышает трех, иногда четырех единиц.
Апробация алгоритма определения параметров кривой ползучести на основе выделения и идентификации отдельных экспоненциальных составляющих по их разностным уравнениям проводилась в
условиях аналогичных описанным выше, но на другом образце полихлорвинилового пластиката. Результаты эксперимента по деформации ползучести yэ  t  представлены в табл. 4.6, а также изображены в виде точек 1 на рис. 4.25. Кривая 2 на рис. 4.25 описывает
276
кривую ползучести, построенную известным методом выделения
экспоненциальных составляющих [102]:
y1 t   13,72  10 3 1  e 0,10t  2,68  10 3 1  e 0,37t  7,71  10 3 1  e 4,57t 










5,76  10 3 1  e 43,50t  0,57  10 3 1  e 12,77t ,
а кривая 3 – методом, в основе которого лежит идентификация отдельных экспоненциальных составляющих с использованием разностных уравнений:
y 2 t   10,94  10 3 1  e 0,15t  5,64  10 3 1  e 1,60t  9,62  10 3 1  e 13,81t .
Очевидно, что применение нового метода позволяет повысить
адекватность модели кривой ползучести экспериментальным данным. Более того, в тех случаях, когда результаты эксперимента не
позволяют использовать известный метод [102], применение алгоритма оценивания параметров экспоненциальных составляющих на
основе среднеквадратичных оценок коэффициентов разностных
уравнений приводит к вполне удовлетворительным результатам и
хорошей адекватности построенной модели экспериментальным
данным.






Таблица 4.6
Экспериментальные данные по деформации ползучести yэ.  t 
(образец №23) и результаты вычислений, полученные
с использованием выделения экспоненциальных составляющих
известным методом y1 t  и на основе разностных уравнений y2  t 
t, час
0
yэ.(t)·103 0
y1(t)·103
0
y2(t)·103 0,00
t, час
1
yэ(t)·103 15
y1(t)·103 14,92
y2(t)·103 15,59
0,0042 0,0083
0,5
2
1,08
2,00
0,58
1,13
2
3
18
19
16,73 18,18
17,78 19,07
0,0167
3
3,46
2,15
4
20
19,40
20,06
0,0333
5
5,37
3,89
5
21
20,45
20,89
0,0833
8
7,86
7,41
6
21,5
21,36
21,61
0,25
11
11,02
11,56
7
22
22,16
22,23
0,5
14
13,22
13,48
8
23
22,87
22,76
277
y  t  103
1
2
16
3
8
00
2
4
6
t, час
8
Р и с . 4.25. Экспериментальные точки 1 и
кривые ползучести, построенные с использованием выделения экспоненциальных составляющих известным методом (кривая 2) и на основе
разностных уравнений (кривая 3) (образец №23)
4.5. Определение параметров передаточной функции на
основе разностных уравнений, описывающих кривую
разгона объекта управления
Важнейшей задачей при анализе и синтезе систем автоматического регулирования является параметрическая идентификация объекта управления. С этой целью применяются различные тестовые
воздействия на технологический объект, например, импульсное или
ступенчатое воздействие. В практике экспериментальных исследований для определения параметров передаточной функции объекта
управления широко используется переходная характеристика или
кривая разгона (реакция системы на ступенчатое воздействие) [25,
26, 132]. Известны различные способы определения параметров передаточной функции объекта по его экспериментально снятой переходной характеристике, например, графический метод [25] или метод площадей [117]. Однако эти способы имеют ряд недостатков,
278
обусловленных низким уровнем развития информационных технологий на момент разработки методов. Во-первых, они используют детерминированные математические модели, принципиально не учитывающие случайный характер возмущений в результатах эксперимента. Во-вторых, алгоритмы вычислений громоздки, используют
графические построения, а результаты расчетов содержат методическую погрешность, которая может существенно повлиять на точность оценивания параметров передаточной функции. В-третьих, известные методы, как правило, не позволяют достоверно оценить погрешность результатов вычисления коэффициентов передаточной
функции. Таким образом, используемые в практике эксперимента
способы оценки параметров передаточной функции по кривой разгона не ориентированы на современный уровень развития средств вычислений и эффективное применение статистических методов обработки информации.
Устранить недостатки известных методов и, тем самым, существенно повысить точность параметрической идентификации системы
можно на основе линейно-параметрических дискретных моделей,
описывающих в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений мгновенных значений кривой разгона технологического объекта. Линейно-параметрическая дискретная модель –
это математическая модель, описывающая в рекуррентной форме
линейную комбинацию результатов нескольких последовательных
измерений наблюдаемой функциональной зависимости. Коэффициенты в этих моделях известным образом связаны с параметрами исследуемого процесса. Определение параметров передаточной функции объекта управления на основе разностных уравнений состоит из
двух основных этапов. Вначале с использованием статистических
методов анализа [112, 131, 132] вычисляются среднеквадратичные
оценки коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели. На втором этапе по найденным коэффициентам определяются
параметры кривой разгона и передаточной функции объекта, а также
оценки погрешности результатов вычислений.
Рассмотрим алгоритм и эффективность метода, в основе которого лежат разностные уравнения, на примере определения параметров
передаточной функции котельного агрегата [117]. В табл. 4.7 приведены результаты измерений y k , k  0, 26 , изменения давления пара
за переходной зоной прямоточного котла высокого давления (в отно279
сительных к pmax  5 ama единицах), обусловленного ступенчатым
м3
. Эксперименчас
тальные данные получены с шагом (периодом дискретизации)
  0,25 мин .
возмущением топлива (газа) на величину 7000
Таблица 4.7
Экспериментальные данные изменения давления пара
(в относительных единицах) за переходной зоной
прямоточного котла высокого давления
k
tk , мин
yk
k
tk , мин
yk
k
tk , мин
yk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
0,000
0,020
0,045
0,065
0,090
0,133
0,175
0,233
0,285
9
10
11
12
13
14
15
16
17
2,25
2,50
2,75
3,00
3,25
3,50
3,75
4,00
4,25
0,330
0,379
0,430
0,485
0,540
0,595
0,650
0,710
0,780
18
19
20
21
22
23
24
25
26
4,50
4,75
5,00
5,25
5,50
5,75
6,00
6,25
6,50
0,830
0,885
0,950
0,980
0,998
0,999
1,000
1,000
1,000
Передаточную функцию технологического объекта управления
принимаем в виде
W s 
Y s
kП

,
3
X  s  a3s  a2 s 2  a1s  1
(4.18)
где ai , i  1, 3 , – коэффициенты передаточной функции, подлежащие
y 
определению; k П 
– коэффициент передачи в установившемx 
ся режиме; Y  s  – изображение Лапласа функции y  t  , описывающей изменение давления пара за переходной зоной прямоточного
котла, и X  s  – изображение Лапласа функции x  t  , описывающей
входное возмущение топливом (газом).
280
Соответствующее дифференциальное уравнение при нулевых
начальных условиях y  0   y  0   y  0   0 и ступенчатом воздей x0 , t  0;
м3
ствии x  t   
где x0  7000
, может быть представлено в
час
0, t  0,
x
виде a3 y  t   a2 y  t   a1 y  t   y  t   k П 0 . Решение этого уравpmax
нения описывается функцией y  t  в относительных к pmax  5 ama
единицах.
Можно выделить два различных подхода к решению задачи параметрической идентификации. Если принять y     pmax  5 ama ,
м3
можно априорно вычислить коэфчас
p
5 ama  час
фициент передачи k П  max 
. Дифференциальное
x0
7000
м3
уравнение принимает вид
a3 y  t   a2 y  t   a1 y  t   y  t   1 ,
(4.19)
то с учетом x     x0  7000
и определению подлежат только коэффициенты ai передаточной
функции. При втором подходе установившееся значение y    отклика объекта на ступенчатое воздействие считается неизвестным. В
этом случае дифференциальное уравнение можно привести к виду
a3 y  t   a2 y  t   a1 y  t   y  t   k1 ,
(4.20)
м3
, а в задачу параметрической идентификаama  час
ции дополнительно входит оценка коэффициента передачи k П . Очевидно, что уравнение (4.19) есть частный случай дифференциального
5 ama  час
уравнения (4.20), соответствующий k1  1 или k П 
.
7000
м3
Характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальным уравнениям (4.19) и (4.20), имеет вид
a
a
1
r3  2 r2  1 r   0 .
(4.21)
a3
a3
a3
где k1  k П 1400
281
В зависимости от характера его корней решения дифференциального уравнения (4.20) могут быть представлены следующим образом. Пусть r1 действительный корень характеристического уравнения (4.21).
Если r2  r1 и r3  r1 – действительные различные корни кубического уравнения (4.21), то решение дифференциального уравнения
(4.20) имеет вид
y  t   C1e r1t  C2e r2t  C3e r3t  k1 ,
(4.22)
где произвольные постоянные C1 , C 2 и C3 находятся из решения
задачи Коши при нулевых начальных условиях:
C1  C2  C3  k1;

rC
1 1  r2C2  r3C3  0;
 2
2
2
r1 C1  r2 C2  r3 C3  0.
Из этой системы линейных алгебраических уравнений получаем:
r2r3k1
r1r3k1
r1r2k1
C1  
, C2 
, C3  
. (4.23)
 r1  r2  r1  r3 
 r1  r2  r2  r3 
 r1  r3  r2  r3 
Пусть r2  r3  r1 – действительные одинаковые корни кубического уравнения (4.21). Тогда решение дифференциального уравнения (4.20) имеет вид
y  t   C1e r1t   C2  C3t  e r2t  k1 ,
(4.24)
где произвольные постоянные C1 , C 2 и C3 находятся из решения
системы линейных алгебраических уравнений
C1  C2  k1;

rC
1 1  r2C2  C3  0;
 2
2
r1 C1  r2 C2  2r2C3  0.
Отсюда получаем
r  2r  r  k
r 2k
rr k
C1   2 1 2 , C2  1 2 1 2 1 , C3   1 2 1 . (4.25)
 r1  r2 
 r1  r2 
 r1  r2 
Если все корни характеристического уравнения равны между
собой: r1  r2  r3 , то они действительные, а решение дифференциального уравнения (4.20) принимает вид
(4.26)
y  t   C1  C2t  C3t 2  ert1  k1 ,
282
где произвольные постоянные C1 , C 2 и C3 находятся из решения
задачи Коши при нулевых начальных условиях:
C1  k1;

rC
1 1  C2  0;
 2
1 2  2C3  0.
r1 C1  2rC
Отсюда получаем:
r 2k
(4.27)
C1  k1 ,
C2  r1k1 ,
C3   1 1 .
2
И, наконец, в случае, когда r2    i и r3    i – комплексно-сопряженные корни кубического уравнения (4.21), решение дифференциального уравнения (4.20) может быть представлено либо в
виде
y  t   C1e r1t  e t  A cos t  B sin t   k1 ,
(4.28)
где произвольные действительные постоянные C1 , A и B находятся
из системы линейных алгебраических уравнений
C  A  k ;
1
1


rC
1 1   A   B  0;
 2
2
2

r1 C1      A  2 B  0
по формулам
 2   2  k1 , A  r1  2  r1  k1 , B   r1  2   2   r1  k1 (4.29)
C1  
2
2
2
 r1      2
  r1      2 
 r1      2


либо в виде (4.22)
y  t   C1e r1t  C2e r2t  C3e r3t  k1 ,
где C1 – действительная произвольная постоянная, а C 2 и C3 – комA  iB
A  iB
плексно-сопряженные величины: C2 
и C3 
.
2
2
При равномерной дискретизации с шагом  непрерывной функции y  t  получаем дискретную функцию y k  y  k  , k  0,1,2, ,
которая описывает мгновенные значения решения дифференциального уравнения (4.20). В зависимости от корней характеристического
уравнения (4.21) имеем следующие дискретные модели:
283
y k  C1er1 k  C2er2 k  C3er3 k  k1 ,
y k  C1e
r1 k
  C2  C3 k  e  k1 ,
yk   C1  C2 k  C3 k  e
2 2
y k  C1e
r1 k
(4.30)
r2
 k
e
r1 k
(4.31)
 k1 ,
(4.32)
 A cos  k  B sin  k   k1 ,
(4.33)
соответствующие непрерывным функциям (4.22), (4.24), (4.26) и
(4.28).
Рассмотрим построение линейно-параметрической дискретной
модели, в рекуррентной форме описывающей последовательность
мгновенных значений решения (4.22), которое может содержать не
только действительные, но и комплексно-сопряженные корни характеристического уравнения (то есть гармоническую составляющую).
Из (4.30) можно получить
y k 1  k1  C1er1 k er1  C2er2 k er2  C3er3 k er3 ,
y k  2  k1  C1er1 k e2r1  C2er2 k e2r2  C3e r3 k e 2r3 ,
y k 3  k1  C1er1 k e3r1  C2er2 k e3r2  C3er3 k e3r3 .
Обозначим
i  eri , i  1,3 ,
(4.34)
Тогда эти равенства можно представить как систему линейных
алгебраических уравнений, которая в матричной форме имеет вид
C1e r1 k 
 y k 1  k1 
 1 2 3 
 r2 k 



2
2
2
MX  Y , где M   1 2 3  , X  C2e  , Y   y k  2  k1  . От r3 k 
 y k  2  k1 
 13 23 33 
C3e 
C1e r1 k 


1
сюда X  M 1Y или C2e r2 k  
 r3 k  det M
C3e 
 M 11
M
 12
 M 13
M 21
M 22
M 23
M 31   y k 1  k1 


M 32    y k  2  k1  ,
M 33   y k 3  k1 
где M ij – алгебраические дополнения матрицы M . Тогда дискретную модель (4.30) можно представить в виде
3
3
y k  k1   Cie
i 1
284
ri k

 M1 j
j 1
det M
3
 yk 1  k1  
M2 j
j 1
det M
3
 yk 2  k1  
M
j 1
3j
det M
 yk 3  k1  .
Определитель матрицы M легко вычисляется через определитель Вандермонда: det M  12 3  3  1  3  2  2  1  . Вычисляя алгебраические дополнения, можно получить
3
M
j 1
1j
  3  1  3  2  2  1  12  13  23  ,
2j
   3  1  3  2  2  1  1  2  3  ,
3j
  3  1  3  2  2  3  .
3
M
j 1
3
M
j 1
Подставляя полученные результаты, получаем
y k  k1  1  y k 1  k1   2  y k 2  k1   3  y k 3  k1  ,
(4.35)
где
 1
1
1 
1


, 2   
. (4.36)
 , 3 
12 3
1 2 3
 1 2 13  2 3 
Очевидно, что с учетом (4.36) значения 1, 2 и  3 можно найти
из решения кубического уравнения с действительными коэффициентами
3 3  2 2  1  1  0 ,
(4.37)
причем один корень уравнения (4.37) всегда действительный, а два
других могут быть комплексными, но при этом обязательно сопряженными. Из (4.35) получаем линейно-параметрическую дискретную
модель, рекуррентно связывающую четыре последовательных значения решения дифференциального уравнения (4.20) при различных
корнях его характеристического уравнения (в том числе и комплексно-сопряженных)
yk  1 yk 1  2 yk 2  3 y k 3  4 ,
k  3,4,5, , (4.38)
где
4  k1 1  1  2  3  .
(4.39)
Разностное уравнение (4.38) с учетом условия y 0  0 можно дополнить равенствами
 y1  5;

(4.40)
 y 2  6 ;
 y   y   y   ,
1 2
2 1
4
 3
1 
1

1

1
285
причем в зависимости от характера корней кубического уравнения
(4.21) имеем


 y0  C1  C2  C3  k1  0;

C1 C2 C3
(4.41)

 k1  5;
 y1  
1 2 3


C C
C
 y 2  12  22  32  k1  6
1 2 3

при действительных корнях r1 , r2 , r3 и


 y0  C1  A  k1  0;

C1


(4.42)
 y1   Ae cos   Be sin   k1  5;

1


C
2
2
 y 2  12  Ae cos 2  Be sin 2  k1  6
1

при двух комплексно-сопряженных корнях характеристического
уравнения (4.21).
Можно показать, что для случая кратных действительных корней характеристического уравнения линейно-параметрическая дискретная модель также описывается формулами (4.38), (4.40) и (4.41)
с учетом равенства 2  3 или 1  2  3 .
Рассмотрим соотношение между типом корней характеристического уравнения (4.21) и характером корней кубического уравнения с
действительными коэффициентами (4.37). Во-первых, один из корней r1 характеристического уравнения всегда действительный (так
как коэффициенты характеристического уравнения действительные
числа). Поэтому соответствующий ему корень 1  er1 кубического
уравнения (4.37) также будет действительным, не равным нулю, числом. Во-вторых, остальные два корня r2 и r3 характеристического
уравнения (4.21) могут быть либо действительными числами, либо
комплексно-сопряженными. Если r2 и r3 – действительные числа
(различные или равные, но отличные от нуля), то соответствующие
им  2 и  3 также будут различными или равными между собой дей286
ствительными числами, причем оба положительные. Если при этом
r2  r3  r1  r , то соответственно, 2  3  1    er  0 .
При комплексно-сопряженных корнях r2,3    i характеристического уравнения (4.21) имеем 2  er2  e cos   ie sin  ,
3  er   e cos   ie sin  , или 2,3  u  iv , где u  e cos 

и v  e sin  . При v  0 , то есть при   n , n  Z , имеем два

3
комплексно-сопряженных корня кубического уравнения (4.37). При
2

n , n  Z , получаем два равных действительных положитель-


 2n  1 , n  Z имеем два

равных действительных отрицательных корня 2  3  e  0 .
Анализ зависимости характера корней  i кубического уравненых корня 2  3  e  0 . При  
ния (4.37) от коэффициентов линейно-параметрической дискретной
модели позволяет решить задачу идентификации вида кривой разгона (типа корней ri характеристического уравнения (4.21)) на основе
оценок ˆ . При решении кубического уравнения с действительными
j
коэффициентами по формулам Кардано характер корней определяет q 2 p3 
ся на основе дискриминанта уравнения [82] D  108    , где
 4 27 
p и q – коэффициенты неполного кубического уравнения
x3  px  q  0 . Можно показать, что уравнение (4.37) приводится к

неполному кубическому уравнению подстановкой   x  2 . При
33
этом коэффициенты неполного уравнения описываются формулами
 2  313
223  9123  2732
p 2
q

,
.
(4.43)
332
2733
В таком случае дискриминант может быть представлен в виде
2732  21  212  92  3  22  12  42 
.
D
34
287
Очевидно, что знак дискриминанта определяется знаком его
числителя (идентификатора D ):
(4.44)
D  2732  21  212  92  3  22  12  42  .
При D  0 , то есть D  2732  21  212  92  3  22  12  42   0 ,
кубическое уравнение (4.37) имеет три различных действительных
корня:  i , i  1, 3 . Причем в соответствии с (4.34) i  0 . Тогда и
характеристическое уравнение (4.21) также будет иметь три различ1
ных действительных корня ri   ln i , i  1, 3 .

При D  0 имеем один положительный 1  0 и два одинаковых
2  3 действительных корня. Для неполного кубического уравнения с действительными коэффициентами x3  px  q  0 в этом случае x1  2x2  0 и x1x22  q . Отсюда легко получаем: x1  2 3 
q
,
2
q
, где берѐтся действительное значение радикала [82].
2
q 
q 
Следовательно, имеем: 1  2 3   2 и 2  3   3   2 , где
2 33
2 33
x2  x3   3 
q
223  9123  2732
. Так как 1  0 по условию, то должно вы2733
q 2

.
2 63
Рассмотрим знак равных между собой действительных корней
кубического уравнения (4.37). При 2  3  0 должно выполняться
полняться неравенство
условие
3

3

q

  2 . Пусть 23  0 . Тогда получаем
2
33
противоречии условию
3

чаем двойное неравенство
288
3

q
 0 , что
2
q 2

 0 . Пусть 23  0 . Тогда полу2 63
2 3 q

    2 . В этом случае харак63
2
33
теристическое уравнение будет иметь равные действительные корни
1
r2  r3   ln 2 .

При 2  3  0 должно выполняться условие
3

q

  2 . При
2
33
23  0 это неравенство будет верно всегда при выполнении условия
3

условие
q 2

. При 23  0 , напротив, всегда будет выполняться
2 63
3

q 2

. В этом случае характеристическое уравнение
2 63
может иметь два комплексно-сопряженных корня r2,3    i , где
1

   ln  2  и   .


Для частного случая трех действительных равных корней кубического уравнения (4.37) 1  2  3    0 должно дополнительно
p  0
выполняться условие 
, при этом x1  x2  x3  0 . С учетом
q  0
формул (4.93) отсюда можно получить следующие равенства:
1
9
3   12 или 2  
12
3
.
(4.45)
2 3
  0 . Отсюда
33 1
и из формул (4.45) следует, что для случая трех равных действительных корней должны выполняться неравенства 1  0 , 2  0 и 3  0 .
Корни характеристического уравнения в этом случае вычисляются
1
по формуле r1  r2  r3   ln  .

При D  0 ( D  0 ) кубическое уравнение (4.37) имеет один по1  0
ложительный действительный
и два комплексносопряженных 2,3  u  iv  v  0  корня. Среди корней характеристического уравнения (4.21) также будет один действительный
При этом очевидно, что 1  2  3    
289
1
r1   ln 1 и два комплексно-сопряженных корня r2,3    i , где

1
1
v
ln  u 2  v 2  и   arcrtg .
2

u
Эти формулы обобщают рассмотренный выше случай кратных
корней. Действительно, при v  0 равные действительные корни
2  3 можно представить в показательной форме комплексного
 
0, при u  0;
числа следующим образом:  2,3  u ei , где   
Тогда
 , при u  0.
 1
при u  0;
0, при u  0;
 ln u,
 
1
1
   
   ln  u 2    ln u   
  , при u  0.
2

 1 ln  u  , при u  0,

 
Полученные выше результаты исследований систематизированы
в виде табл. 4.8.
Таблица 4.8
Систематизация корней характеристического уравнения в
зависимости от коэффициентов разностного уравнения
№
1
Идентификатор
D (4.94)
D0
D0,
2  
2

2
1
,
3
23  0;

2
3 q
  2   3 ,
3

где q описывается формулой (4.43)
290
Характер корней кубического уравнения (4.37)
Тип корней характеристического уравнения (4.21)
Три различных действительных положительных
Три различных действительных корня
1
ri   ln i , i  1, 3 .

Один действительный корень
1
r1   ln 1 и два равных

действительных корня
1
r2  r3   ln 2

корня i  0 , i  1, 3 .
Один
действительный
положительный корень
q 
1  2 3   2  0 ;
2 33
два равных положительных действительных корq 
ня 2  3   3   2  0
2 33
Окончание табл. 4.8
№
Идентификатор
D (4.94)
D0,
2  
3

2
1
,
3
23  0 или
23  0;

2
3 q
  2   3
3

D0,
4
2  

2
1
3
,
1  0 , 2  0 ,
3  0
5
D0
Характер корней кубического уравнения (4.37)
Тип корней характеристического уравнения (4.21)
Один
действительный
положительный корень
Один действительный корень
1
r1   ln 1 и два комплекс
но-сопряженных корня
1

r2,3   ln  2   i


q 2
0;
2 33
два равных отрицательных действительных корq 
ня 2  3   3   2  0
2 33
Три равных положительных действительных корня
3
1   2  3     0
1
1  2 3  
Один
действительный
положительный
корень
1  0 и два комплексносопряженных корня
2,3  u  iv
Три равных действительных
корня
1
r1  r2  r3   ln 

Один действительный корень
1
r1   ln 1 и два комплекс
но-сопряженных корня
1
1
v
r2,3   ln  u 2  v 2   i arctg


u
При обработке экспериментальных данных следует учитывать,
что результаты измерений y k содержат аддитивную случайную помеху  k : yk  y k   k . В этом случае дискретная модель (4.39), (4.40)
принимает вид стохастических разностных уравнений
 y1  5  1,

 y2  6   2 ,

(4.46)
 y3  1 y2  2 y1  4  21  1 2   3 ,
 y   y   y   y    ,
1 k 1
2 k 2
3 k 3
4
k
 k
k  3 k 3  2 k  2  1 k 1   k ,
k  4, N  1.
Записывая (4.46) в матричной форме, получаем обобщенную
регрессионную модель [20]
291
b  F    ,

  P  ,
(4.47)
где    1, 2 , 3, 4 , 5, 6  – вектор неизвестных коэффициентов лиT
нейно-параметрической дискретной модели;   1,  2 ,,  N 1  –
вектор случайного возмущения в результатах наблюдений;
T
  1,  2,  21  
1 2   3,,  3 N 4  2 N 3  
1 N 2   N 1  – вектор эквиT
валентного случайного возмущения в обобщенной регрессионной
модели. Матрица F и вектор b в левой части обобщенной регрессионной модели имеют вид
0
0
0 1 0
 0
 y1 
 0

 y 
0
0
0 0 1

 2 
 y2

 y3 
y1
0
1 0 0




(4.48)
F   y3
y2
y1 1 0 0  ,
b   y4  ,
 y4



y3
y2 1 0 0
y


 5 
 y N 3 y N  4 y N 5 1 0 0 
 yN 2 
y

y 
 N  2 y N 3 y N  4 1 0 0 
 N 1 
а элементы матрицы P линейного преобразования случайного возмущения в результатах эксперимента могут быть представлены следующим образом:
j  i;
 0,

j  1, i  2;
 0,
 1,
j  i;

i  1, N  1 , j  1, N  1 .
pij  1,
j  i  1, i  3;
 ,
j  i  2, i  3;
 2
3 ,
j  i  3, i  4;

j  i  4, i  5;
 0,
Среднеквадратичные
оценки
коэффициентов
линейнопараметрической дискретной модели вычисляются на основе мини2
2
мизации функционала ˆ  P 1b  P 1F ˆ  min . Для этого ис
292

пользуется итерационная процедура уточнения среднеквадратичных
оценок ̂ , которую можно описать рекуррентной формулой
ˆ (k )   F T  Pˆ1

T
1

Pˆ(1k 1) F  F T Pˆ(1k 1)


T
Pˆ(1k 1)b , k  1,2,3, . (4.49)

При вычислении матрицы Pˆ( 1k 1) компоненты ˆ(j k 1) , j  1, 3 ,
( k 1)
 k  1 – го приближения вектора оценок ˆ (k 1)
подставляются в об-
1
ратную матрицу P , элементы которой описываются формулами
 0,
 1,

 2 ,

 1,
1
pij  
1
1
1 pi 1, j  2 pi  2, j
 0,

 1,
 p 1 ,
 i 1, j 1
j  1, 2; i  j;
j  1, 2; i  j;
j  1; i  3;
j  2,
i  3;
 3 p
, j  1, 2; i  4;
j  3;
j  3;
i  j;
i  j;
j  3;
i  j.
1
i  3, j
(4.50)
Вначале в матрице P полагается 1  2  3  0 , то есть P  E ,
где E – единичная матрица. В этом случае начальные среднеквадра2
2
тичные оценки ̂ (0) находятся из условия ˆ  b  F ˆ  min по
формуле
ˆ (0)   F T F  F T b .
1
(4.51)
Полученные значения подставляются в матрицу P1 и миними2
зируется функционал Pˆ(0)1 b  Pˆ(0)1 F ˆ  min , в результате чего получаем новые оценки коэффициентов линейно-параметрической
дискретной
модели
1
ˆ (1)   F T  Pˆ1  Pˆ1 F  F T  Pˆ1  Pˆ1 b . Эти
T
T


1
оценки вновь подставляются в матрицу P и по формуле (4.49) при
(0)
(0)
(0)
(0)
k  2 находится следующее приближение ̂ (2) и т.д. Процесс уточнения следует продолжать до тех пор, пока не будет выполнено условие ˆ (k )  ˆ (k 1)  0,01 ˆ (k ) (обычно требуется не более трех – че293
тырех итераций). Полученные на последней итерации оценки ̂
принимаются за среднеквадратичные оценки коэффициентов разностного уравнения, минимизирующие сумму квадратов отклонений
экспериментальных данных y k от значений yˆ k , вычисленных на основе построенной модели (4.46).
На втором этапе оценивания параметров передаточной функции
вначале решается кубическое уравнение (4.37), коэффициентами которого являются среднеквадратичные оценки ˆ j , j  1, 3 . Затем с
учетом формулы (4.34), используя найденные корни этого уравнения
ˆ j  0 , j  1, 3 , вычисляются оценки параметров кривой разгона rˆj ,
j  1, 3 . При действительных корнях ˆ j применяется формула
1
rˆj   ln ˆ j .
(4.52)

Если уравнение (4.37) имеет два комплексно-сопряженных корˆ 2,3  uˆ  ivˆ , то оценки соответствующих комплексносопряженных корней r̂2,3  ˆ  iˆ характеристического уравнения
ня
(4.21) могут быть найдены по формулам
ˆ  uˆ 2  vˆ2 ,
vˆ

arctg uˆ ,

vˆ

ˆ
arg   arctg   ,
uˆ

vˆ

arctg uˆ   ,

1
ˆ   ln ˆ ,

uˆ  0;
uˆ  0, vˆ  0;
uˆ  0, vˆ  0;
1
ˆ  arg ˆ .

(4.53)
Оценка коэффициента передачи k1 вычисляется по формуле
ˆ4
kˆ1 
.
(4.54)
1  ˆ1  ˆ2  ˆ3
Оценки aˆ j
 j  1, 3
коэффициентов передаточной функции
(4.18) с учетом (4.21) могут быть вычислены по формулам
294
1
1
1
1


, aˆ3  
(4.55)
rˆ1rˆ2 rˆ1rˆ3 rˆ2rˆ3
rˆ1rˆ2rˆ3
при действительных корнях rˆj характеристического уравнения (4.21)
aˆ1  
1 1 1
  ,
rˆ1 rˆ2 rˆ3
aˆ2 
или по формулам
rˆ  2ˆ
1
2ˆ rˆ1  ˆ 2  ˆ 2
, aˆ2  1 2
, aˆ3  
, (4.56)
aˆ1  
2
2
2
2
rˆ1 ˆ  ˆ 
rˆ1 ˆ  ˆ 2 
rˆ1 ˆ  ˆ 
если характеристическое уравнение имеет один действительный r̂1 и
два комплексно-сопряженных корня r̂2,3  ˆ  iˆ .
Оценки произвольных постоянных Сˆ , j  1, 3 , в решении дифj
ференциального уравнения, описывающего кривую разгона, для случая действительных корней характеристического уравнения можно
найти из системы линейных алгебраических уравнений

ˆ ˆ
ˆ
ˆ
C1  C2  C3  k1,
 Cˆ Cˆ Cˆ
1
2
(4.57)
 3  ˆ5  kˆ1,
 
ˆ
ˆ


ˆ 3
2
 1
 Cˆ Cˆ
ˆ
 12  22  C32  ˆ6  kˆ1.
 ˆ1 ˆ 2 ˆ 3
При комплексно-сопряженных корнях характеристического
уравнения (4.21) оценки произвольных постоянных С̂1 , Â и B̂ в решении (4.28) находятся из системы уравнений

ˆ ˆ
ˆ
C1  A  k1,
 Cˆ
1
ˆ ˆ cos 
ˆ ˆ sin 
ˆ  Be
ˆ  ˆ5  kˆ1,
(4.58)
  Ae
ˆ
 1
 Cˆ
ˆ 2ˆ cos 2
ˆ 2ˆ sin 2
 12  Ae
ˆ  Be
ˆ  ˆ6  kˆ1.
 ˆ1
На заключительном этапе параметрической идентификации
кривой разгона необходимо дать оценку адекватности построенной
модели (4.46) экспериментальным данным, а также погрешности вычисления параметров передаточной функции.
295
Для этого вначале находится оценка s2 дисперсии случайного
возмущения  k в результатах измерений y k мгновенных значений
кривой разгона:
N 1
s2 
 y
k 0
 yˆ k 
k
N 6
2
,
(4.59)
где yˆ k – значения кривой разгона, вычисленные по построенной математической модели либо в форме разностного уравнения
yˆ0  0, yˆ1  ˆ5 , yˆ 2  ˆ6 ,
yˆ  ˆ yˆ  ˆ yˆ  ˆ yˆ  ˆ , k  3, N  1 ,
(4.60)
k
1 k 1
2 k 2
3 k 3
4
либо, в зависимости от вида корней характеристического уравнения,
в форме одной из дискретных функций:
yˆ k  Cˆ1erˆ1 k  Cˆ 2erˆ2 k  Cˆ3e rˆ3 k  kˆ1 ,
yˆ  Cˆ erˆ1 k  Cˆ  Cˆ  k er2  kˆ ,
k
yˆ k
yˆ k

(4.61)

  Cˆ  Cˆ  k  Cˆ  k  e  kˆ ,
ˆ k  Bˆ sin 
ˆ k   kˆ .
 Cˆ e  e  Aˆ cos 
1
2
3
2 2
1
2
rˆ1 k
(4.62)
1
rˆ1 k
3
(4.63)
1
ˆ k

1
(4.64)
1
Затем вычисляется матрица дисперсий-ковариаций оценок коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели [20]

V     F T Pˆ(1k )


T
1
Pˆ(1k ) F  s2 .

(4.65)
Диагональные элементы этой матрицы являются оценками дисперсий коэффициентов разностного уравнения: s2j  c jj s2 , где c jj –


1
T
диагональные элементы матрицы C   F T Pˆ(1k ) Pˆ(1k ) F  .


Для оценки дисперсий и ковариаций результатов вычисления
параметров кривой разгона и коэффициентов передаточной функции
можно воспользоваться следующими формулами [23]. Пусть имеем
m нелинейных функциональных зависимостей случайных аргументов  j , j  1, n :
296
 1  1  1, 2 , , n  ;

 2  2  1, 2 ,, n  ;
      ,  , ,   .
m
1
2
n
 m
Тогда оценка дисперсии случайной величины  i , i  1, m , может быть найдена по формуле
2
n 1 n
  
i i
si    i  s2j  2 
cov   j , k  ,
(4.66)





j 1 
j 1 k  j 1  j k
j 
где cov   j , k    jk s j sk – оценка ковариации случайных величин  j и
n
2
k ;  jk – оценка коэффициента корреляции этих величин; s  s2 –
j
j
среднеквадратическое отклонение случайной величины  j .
Очевидно, что выражение (4.66) есть квадратичная форма относительно переменных s j , j  1, n , которую можно представить в
матричном виде
s2i  d iT V     d i ,
(4.67)
T
  
 
где d i   i , i ,, i  – вектор, элементами которого являютn 
 1 2
ся частные производные от функции  i по аргументам  j ; V    –
матрица оценок дисперсий-ковариаций случайных величин ˆ j :

s21
cov  1, 2  cov  1, n  


V    cov  2 , 1 
s22
cov  2 , n    Cs2 .
cov   ,   cov   ,  

s2n
n
1
n
2


(4.68)
Для вычисления оценок ковариаций cov  i , l  можно воспользоваться аналогичной формулой
cov  i , l   d iT V    d l .
(4.69)
С учетом (4.67) и (4.69) матрицу оценок дисперсий-ковариаций
случайных величин  i , i  1, m , можно представить в виде
V     M T V    M ,
(4.70)
где матрица M размера  n  m имеет вид
297
    
2
m
 1







 1
1
1 
    
2
m
.
(4.71)
M  1
 2 2 2 
    
2
m
 1
 n n n 


При нахождении оценок дисперсий s 2ˆ i корней кубического
уравнения (4.37) можно использовать различные подходы к вычислению частных производных от функций, описывающих зависимости корней  i , i  1, 3 , от коэффициентов  j , j  1, 3 , разностного
уравнения. Первый из них основан на непосредственном вычислении
частной производной от заданной явно или неявно функции. Второй
подход заключается в формировании и решении системы линейных
алгебраических уравнений относительно частных производных. В
основе этого подхода лежит нелинейная система уравнений, полученная в соответствии с теоремой Виета.
При действительных корнях кубического уравнения (4.37) зависимость корня уравнения  i , i  1, 3 , от коэффициентов  j , может
быть представлена в неявном виде 3i3  2i2  1i  1  0 . Считая
коэффициенты  j независимыми друг от друга, отсюда легко можно
получить
i
i j

, i  1, 3 , j  1, 3 .
 j
33i2  22 i  1
Используя второй подход, с учетом формул Виета

2
 1  2  3   ;
3


1
 12  13  2 3  ;
3


1
 12 3  ,
3

получаем матричное уравнение
298
(4.72)
(4.73)
(4.74)
GM T  L ,
где M – матрица, элементы которой описываются формулой (4.71)
при m  3 ;
1
1 
 1

(4.75)
G   2  3 1  3 1  2  ;
 2 3
13
12 

1
2 
0 

3 32 

1
 
(4.76)
L
0
 12  .
3 
 3

1
0
 2
0
3 

Так как по условию величины  i , i  1, 3 , не равны между собой, то матрица G не вырождена. Следовательно, существует обратная матрица G1 такая, что
M  LT  G 1  .
T
В соответствии с решением (4.77) имеем формулы
 1
1

,







3 1
2  1  3 
 1
 
2
2

,

 1 3  1   2   2  3 
 
3
,
 3 
3  1  3  2  3 
 1
 1
12


,

3  1  2  1  3 
 2
 
22
2

,

 2 3  1  2  2  3 
 
32
 3 
,
3  1  3  2  3 
 2
(4.77)
(4.78)
(4.79)
299
 1
  2  11  1
 2 2 1
,

 3 3  1  2  1  3 
 
  2  12  1
2
(4.80)
 2 2 2
,

3  1  2  2  3 
 3
 
  2  13  1
 3 2 2 3
.
 3 3  1  3  2  3 
Очевидно, что формулы (4.78) – (4.80), как и эквивалентные им
формулы (4.72), верны только при условии отсутствия кратных корней кубического уравнения (4.37).
Пусть кубическое уравнение 3 3  2 2  1  1  0 имеет два
одинаковых действительных корня 2  3 . Тогда в соответствии с
теоремой Виета имеем систему из трех уравнений

2
 1  2 2   ,
3


1
2
(4.81)
 21 2   2  ,

3


1
2
 1 2 
3

относительно трех переменных 1 ,  2 и 3 . Из (4.81) можно вывести формулы для вычисления простого корня 1 и кратного корня  2
через коэффициенты кубического уравнения:
   93
 3  4123  932
2  1 2
,
,
(4.82)
1  2
2
2  313  22 
3  313  2 
а также описать соотношение 3  3  1, 2  , связывающее эти коэффициенты, при котором кубическое уравнение имеет два одинаковых
корня
3
1 
3   1  212  92   2  12  32   , 12  32  0 .
(4.83)
27 

Полагая в (4.82) 1 , 2 и 3 независимыми переменными, получаем выражения для частных производных от простого корня кубического уравнения 1 , вычисленного по формуле (4.82)
300

3
2
 1  2  273 2 ,
 1  3    2 
1 3
2

 1 51223  24  121232  18232

,

2
3  313  22 
 2

2
2
2 2
3
5
 1  121 23  92 3  612 3  2 ,
2
 
32  313  22 
 3
(4.84)
и формулы частных производных от кратного корня кубического
уравнения  2 , найденного по формуле (4.82):

3
2
  2   2  273 ,
2
 
2  313  22 
 1
 
2
2
 2 12  31 3  1823

,

2
2  313  22 
 2

32  12  32 
  2


.

2
2  313  22 
 3
(4.85)
При трех равных действительных корнях кубического уравнения
 1  2  3    выполняется условие 2  0 , 13  0 . Можно показать, что в этом случае корень уравнения вычисляется по формуле
3
3
1
   sign3 

. Отсюда очевидно, что
3
1
2
3
 
3
 2,

1
 1

3
 
 sign3 
,

2 23
 2
 
1


.

33 3 3
 3
(4.86)
301
При одном действительном 1 и двух комплексно-сопряженных
корнях 2,3  u  iv кубического уравнения (4.37) формулы Виета
принимают вид

2
 1  2u   ,
3


1
2
2
21u  u  v  ,
3


1
2
2
 1  u  v   .
3

Отсюда частные производные
(4.87)
1 u
v
,
и
могут быть найдены
 j  j
 j
аналогично случаю различных действительных корней из матричного уравнения (4.74) по формуле M  LT  G 1  при условии, что матT
рица M имеет вид
 1

 1
 
M  1
 2
 1

 3
u
1
u
2
u
3
v 

1 
v 
,
2 
v 

3 
(4.88)
а матрица G описывается формулой
 1
G   2u
u 2  v 2
2
0 
2  1  u  2v  .
21u
21v 
(4.89)
Формулы, описывающие частные производные при таком подходе, имеют вид
302
 
1
 1 
;
2
2
3  1  u  v 2  21u 
 1

12
 1

;

2
2
2





u

v

2

u


2
3
1
1


2 12  11  1
 1 
,
 3 32  12  u 2  v 2  21u 


1
 u 
;
 1 23  12  u 2  v 2  21u 

 u
u 2  21u  v 2


;

23  12  u 2  v 2  21u 
 2

2
2
 u 2  u  21u  v   11  1

,
2
2
2
2
 
2



u

v

2

u


3
3
1
1

(4.90)
(4.91)

u 2  v 2  1u
 v 
;
 1 2v3  12  u 2  v 2  21u 

 v
u 3  uv 2  1u 2  1v 2
(4.92)

;

2
2
2
 2 2v3  1  u  v  21u 

3
2
2
2
2
2
 v 2  u  uv  1u  1v   1  u  v  1u   1  u
.
  
2v32  12  u 2  v 2  21u 
 3
Рассмотрим другой подход к построению формул для частных
производных при комплексно-сопряженных корнях кубического
уравнения (4.37). Из (4.87) можно получить три кубических уравнения относительно каждой действительной переменной 1 , u и v 2 в
этой системе:
313  212  11  1  0 ,
832u3  823u 2  2  22  13  u  12  3  0 ,
6434v 6  3232  22  313  v 4  4  22  313  v 2  18123  1222 
2
2732  423  4133  0.
303
Отсюда, дифференцируя каждое из выражений как неявно заданную
функцию, соответственно получаем:
 1
1

,

2
331  22 1  1
 1
 
12
1

,
(4.93)

2
331  22 1  1
 2
 
13
 1 
,
3312  22 1  1
 3
 u
23u  2


,
2 2
243 u  1623u  2  22  13 
 1

83u 2  42u  1
 u

,

2432u 2  1623u  2  22  13 
 2

163u 3  82u 2  21u  1
 u  
,
2 2
2
 3
24

u

16


u

2






3
2
3
2
1
3

(4.94)

3 4
2
2
2
2
 v 483 v  123  2  313  v  923  12  61 3

,
2
 
4v  4834v 4  1632  22  313  v 2   22  313  
 1



2 4
2
2
2
 v
3223 v  82  2  313  v  913  1 2  622


,
(4.95)

2
4v  4834v 4  1632  22  313  v 2   22  313  
 2



 v 128 3v 6  16  2 2  9   v 4  12   2  3   v 2  9   27  2 3
3
3
2
1 3
1
2
1 3
1 2
3
1


.
2
4
4
2
2
2
2
 3
4v  483 v  163  2  313  v   2  313  



Используя полученные выше соотношения, матрицу оценок
T
дисперсий-ковариаций V  ˆ  для вектора ˆ   ˆ1, uˆ, vˆ  можно вычислить по формуле (4.70) при m  3 , где матрица частных производных M описывается выражением (4.88).
Оценки дисперсий параметров кривой разгона rˆi , ̂ , ̂ и k̂1 с
учетом соотношений (4.52) – (4.54) можно вычислить по формулам
1
sr2i  2 2 s2i ,
(4.96)
 ˆ i
304
 
   2
   2
s  
cov uˆ, vˆ   
 su  2
 sv ,
u v
 u 
 v 
2
2
2
(4.97)
 
   2
   2
s2  
cov uˆ, vˆ   
 su  2
 sv ,

u

u

v


 v 
sk21  dk1T V ˆ   dk1 ,
2
где
2
(4.98)
(4.99)

uˆ

,
2
u
  uˆ  vˆ 2 

vˆ

,
2
v
  uˆ  vˆ 2 
(4.100)

vˆ

,
2
u
  uˆ  vˆ 2 

uˆ

,
2
v   uˆ  vˆ 2 
(4.101)
T
 k k k k 
вектор частных производных dk1   1 ; 1 ; 1 ; 1  содержит
 1 2 3 4 
элементы
k1
ˆ4
k1
1
j  1, 3 ,


, (4.102)
2 ,
ˆ
 j
4 1  1  ˆ2  ˆ3
1  ˆ  ˆ  ˆ

1
2
3

а матрица оценок дисперсий-ковариаций V  ˆ  обобщенной регрес 
сионной модели (4.47) вычисляется по формуле (4.68).
В более общем случае находится матрица оценок дисперсийT
ковариаций различных действительных корней rˆ   rˆ1, rˆ2 , rˆ3  характеристического уравнения (4.21):
V  rˆ   RT  V  ˆ  R ,
(4.103)
где
 1

0
0 
 ˆ
 1

1
(4.104)
R 0

0 ,


ˆ 2

1 
0

 0

ˆ 3 

а матрица оценок дисперсий-ковариаций V  ˆ  вычисляется по формуле (4.70).
305
Очевидно, что диагональные элементы матрицы V  rˆ  будут
описываться формулами (4.96), а ковариации – формулами
r rj
cov  rˆi , rˆj   i
cov  ˆ i , ˆ j  , i, j  1, 3 .
(4.105)
i  j
Аналогично по формуле (4.103) вычисляется матрица оценок
дисперсий-ковариаций для случая одного действительного и двух
T
комплексно-сопряженных корней. В этом случае rˆ   rˆ1,ˆ , ˆ  , а
матрица частных производных R имеет вид


 1

0
0
 ˆ1



uˆ
vˆ
.
R 0


2
2
2
2 
  uˆ  vˆ 
  uˆ  vˆ  

vˆ
uˆ



 0
2
2
2
2
  uˆ  vˆ    uˆ  vˆ  

(4.106)
При вычислении оценок дисперсий коэффициентов aˆi , i  1, 3 ,
передаточной функции (4.18) можно использовать формулу вида
(4.67)
sa2i  daiT  V  rˆ   dai ,
i  1, 3 ,
(4.107)
T
 a a a 
где элементы вектора dai   i ; i ; i  для случая действитель r1 r2 r3 
ных корней ri характеристического уравнения (4.21) с учетом (4.55)
описываются выражениями
a1 1
 ,
rj rˆj2
i  1, 3 ,
a2
1 1 1
 2  ,
r2
rˆ2  rˆ1 rˆ3 
a3
1
 2
,
r1 rˆ1 rˆ2rˆ3
306
a2
1 1 1
 2   ,
r1
rˆ1  rˆ2 rˆ3 
a2
1 1 1
 2  ,
r3
rˆ3  rˆ1 rˆ2 
a3
1
 2 ,
r2 rˆ2 rˆ1rˆ3
a3
1
 2 .
r3 rˆ3 rˆ1rˆ2
(4.108)
При одном действительном r1 и двух комплексно-сопряженных
корнях r2,3    i в соответствии с (4.56) элементы вектора
T
 a a a 
dai   i ; i ; i  описываются формулами
 r1   
2
2
a1 2 ˆ  ˆ 
a1 1

,
 ,
 ˆ 2  ˆ 2 2
r1 r12
a2
2ˆ
 2 2
,
r1
r1 ˆ  ˆ 2 
a3
1
 2 2
,
r1 r1 ˆ  ˆ 2 
2
2
a2 2 ˆ  ˆ  ˆ rˆ1 

,
2

rˆ1 ˆ 2  ˆ 2 
a3
2
,

 rˆ1 ˆ 2  ˆ 2 2
ˆˆ
a1
4
,

2
 ˆ  ˆ 2 2
2ˆ  rˆ1  2ˆ 
a2
,

2

rˆ1 ˆ 2  ˆ 2 
a3
2ˆ
. (4.109)

 rˆ1 ˆ 2  ˆ 2 2
На заключительном этапе процедуры оценивания погрешности
находятся границы доверительных интервалов для оценок параметров кривой разгона и коэффициентов передаточной функции. Для
этого может быть использована формула [20, 23]
(4.110)
a  t sa ,
где a – граница доверительного интервала для параметра a ;
t  t  ,   – величина, которая берется из таблицы распределения
Стьюдента ( t – распределения) при числе степеней свободы
  N  n и доверительной вероятности 1   (  - уровень значимости); sa  sa2 – среднеквадратическое отклонение оценки параметра
a ; N – объем выборки результатов наблюдений; n – число коэффициентов соответствующей линейно-параметрической дискретной
модели. При N  70 и доверительной вероятности 0,95 (уровне значимости   0,05 ) можно принять t  2,00 [23].
Отношение величины a к абсолютной величине самого параa
100% характеризует относительную
метра a (в процентах)  a 
a
погрешность вычисления данного параметра.
Для оценки адекватности построенной математической модели в
форме разностного уравнения (4.60) или в виде дискретной функции
307
(4.61) – (4.64), описывающей мгновенные значения кривой разгона,
может быть использована следующая характеристика:
N 1
y  yˆ
y
100% 
y
 y
k 0
k
 yˆ k 
2
100% .
N 1
y
k 0
(4.111)
2
k
Эта величина использует евклидову норму в N – мерном арифметическом пространстве и характеризует в относительных единицах
среднеквадратичное отклонение экспериментальных данных yk от
результатов вычислений yˆ k , выполненных на основе построенной
математической модели.
Описанная выше процедура определения параметров передаточной функции объекта на основе разностного уравнения кривой разгона может быть систематизирована в виде табл. 4.9.
Таблица 4.9
Алгоритм определения параметров передаточной функции объекта
управления на основе разностного уравнения кривой разгона
№
1
2
3
Название и содержание этапа в алгоритме
параметрической идентификации
Формирование выборки результатов измерений yk
с шагом дискретизации  и объемом N
Формирование элементов матрицы F и вектора b в
обобщенной регрессионной модели (4.47)
Среднеквадратичное оценивание коэффициентов
линейно-параметрической дискретной модели
3.1. Вычисление первоначальной оценки ̂
ентов разностного уравнения
 0
коэффици-
3.2. Вычисление обратной матрицы P1 линейного преобразования случайной аддитивной помехи
Формулы для
вычислений
(4.48)
(4.51)
(4.50)
k 
3.3. Уточнение среднеквадратичных оценок ˆ
коэффициентов разностного уравнения
3.4. Проверка условия завершения итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания
308
(4.49)
Окончание табл.4.9
№
4
Название и содержание этапа в алгоритме
параметрической идентификации
Вычисление оценок параметров кривой разгона
и коэффициентов передаточной функции
4.1. Решение кубического уравнения (4.37)
4.2. Идентификация типа кривой разгона
4.3. Вычисление корней характеристического уравнения
4.4. Вычисление коэффициента передачи k1
4.5. Вычисление коэффициентов передаточной функции
4.6. Вычисление произвольных постоянных в кривой
разгона
5
Формулы для
вычислений
(4.44)
(4.52), (4.53)
(4.54)
(4.55), (4.56)
(4.57), (4.58)
Оценка погрешности результатов вычислений
5.1. Вычисление мгновенных значений кривой разгона на
основе построенной математической модели
(4.60) – (4.64)
5.2. Вычисление оценки дисперсии s2 случайной аддитивной помехи в результатах наблюдений
(4.59)
5.3. Вычисление матрицы V ˆ  дисперсий-ковариаций
 
коэффициентов линейно-параметрической дискретной
модели (4.60)
5.4. Вычисление элементов матрицы M (частных произ-
i
водных
) в зависимости от характера корней кубиче j
ского уравнения (4.37)
5.5. Вычисление матрицы V  ˆ  дисперсий-ковариаций
оценок корней кубического уравнения (4.37)
(4.65)
(4.72),
(4.75) – (4.77),
(4.78) – (4.80),
(4.84) – (4.86),
(4.90) – (4.95)
(4.70)
5.6. Вычисление матрицы V  rˆ 
дисперсий-ковариаций (4.96) – (4.98),
(4.103) – (4.106)
оценок корней характеристического уравнения (4.21)
5.7. Вычисление оценки дисперсии для коэффициента пе(4.99) – (4.102)
редачи k1
5.8. Вычисление оценок дисперсий для коэффициентов
(4.107) – (4.109)
передаточной функции
5.9. Вычисление границ доверительных интервалов для
оценок параметров кривой разгона и коэффициентов пере(4.110)
даточной функции
5.10. Оценка адекватности построенной математической
(4.111)
модели кривой разгона экспериментальным данным
309
Применение описанного выше алгоритма определения параметров передаточной функции объекта управления на основе разностных уравнений к экспериментальным данным изменения давления
пара, представленным в табл. 4.7, дает следующие результаты.
Период дискретизации в математической модели кривой разгона
определяется шагом измерения экспериментальных данных и составляет   0,25 мин . Объем выборки результатов измерений принимаем равным N  40 , учитывая, что при времени эксперимента
tk  6 мин результаты наблюдений практически не изменяются:
yk  1,000 . С учетом принятой структуры (4.18) передаточной функции объекта управления выбираем линейно-параметрическую дискретную модель в форме разностного уравнения (4.40).
В соответствии с (4.48) сформирована матрица F размера
 25  6 и вектор b , содержащий 25 элементов. Вычисленные по
1
формуле ˆ  0   F T F  F T b первоначальные оценки коэффициентов
ˆ1 0  1,765 ;
разностного
уравнения,
оказались
равными:
ˆ2 0  0,709 ; ˆ3 0  0,070 ; ˆ4 0  0,014 ; ˆ5 0  0,020 ; ˆ6 0  0,045 .
Результаты применения итерационной процедуры уточнения
первоначальных оценок коэффициентов разностного уравнения с
использованием формул (4.50) и (4.49) представлены в табл. 4.10.
Таблица 4.10
Результаты вычислений на основе итерационной процедуры
среднеквадратичного оценивания коэффициентов
разностного уравнения
k
0
1
2
3
4
ˆ1 k 
ˆ2 k 
ˆ3 k 
ˆ4 k 
ˆ5 k 
ˆ6 k 
1,765
2,772
2,812
2,813
2,813
-0,709
-2,599
-2,678
-2,681
-2,681
-0,070
0,824
0,863
0,864
0,864
0,014
0,004
0,003
0,003
0,003
0,020
0,024
0,029
0,029
0,029
0,045
0,043
0,054
0,055
0,055
Очевидно, что уже на четвертой итерации результаты вычислений совпадают с точностью до трех знаков после запятой.
Таким образом, линейно-параметрическая дискретная модель,
описывающая в форме разностного уравнения результаты измерений
310
мгновенных значений кривой разгона, может быть представлена соотношениями
yˆ 0  0; yˆ1  0,029;
yˆ 2  0,055;
(4.112)
yˆ k  2,813 yˆ k 1  2,681yˆ k  2  0,864 yˆ k 3  0,003, k  3, 4,
Соответствующее кубическое уравнение (4.37) принимает вид
0,864 3  2,681 2  2,813  1  0 .
Это уравнение имеет один действительный корень 1  1,070 и
два комплексно-сопряженных корня 2,3  1,016  i0, 223 . Идентификатор D в соответствии с (4.44) равен D  0,00031  0 . Следовательно, характеристическое уравнение (4.21) также имеет один действительный и два комплексно-сопряженных корня, которые вычисляются по формулам (4.52) и (4.53): r1  0, 270 и r2,3  0,157  i 0,863 .
Коэффициент передачи k1 вычисляется по формуле (4.54) и равен k1  1,156 . Произвольные постоянные в математической модели
кривой разгона (4.28) определяются из решения системы (4.58), которая принимает вид
Cˆ1  Aˆ  1,156;


0,935Cˆ1  0,939 Aˆ  0, 206Bˆ  1,128;

ˆ
ˆ
ˆ

0,874C1  0,840 A  0,387 B  1,102.
Отсюда получаем Cˆ1  1, 236 , Aˆ  0,080 и Bˆ  0, 229 . Таким образом, кривая разгона описывается уравнением вида
yˆ  t   1,156  1, 236e 0,27t  e 0,157t  0,08cos 0,86t  0, 229sin 0,86t  . (4.113)
Коэффициенты aˆi передаточной функции (4.18) определяются
по формулам (4.56) и равны aˆ1  4,117 , aˆ2  2,808 и aˆ3  4,819 . При
этом коэффициент передачи в передаточной функции (4.18) равен
k ama  час
ama  час
.
kП  1
 0,000826
3
1400
м
м3
Таким образом, передаточная функция котельного агрегата имеет вид
0,000826
ama  час
W s 
.
4.114)
3
2
4,819s  2,808s  4,117s  1
м3
311
Найдем оценки погрешности полученных результатов. Для этого
сначала по формуле (4.112) или (4.113) вычисляются мгновенные
значения кривой разгона yˆ k , k  0, 39 . Затем по формуле (4.59) находится оценка дисперсии s2 случайной помехи в результатах наблюдений: s2  0,000239 . Матрица дисперсий-ковариаций оценок
коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели
(4.112) ˆ j , j  1, 4 , имеет вид
 0,00122 0,00228 0,00108 1,75 105 


0,00228 0,00427 0,00203 3, 21 105 

ˆ


.
V   
 0,00108 0,00203 0,00096 1,50 105 


5
3, 21 105 1,50 105 2,96 107 
 1,75 10
Отсюда, используя (4.110), можно найти границы доверительных
интервалов для оценок коэффициентов ˆ j , а сами коэффициенты
записать в виде: 1  2,81  0,07 , 2  2,68  0,13 , 3  0,864  0,062
и 4  0,0035  0,0011 .
Для вычисления матрицы дисперсий ковариаций оценок корней
кубического уравнения (4.37) найдена матрица M частных произ 23,57 11,78 0, 255
 i
i, j  1, 3 : M   25, 21 12,03 2,366  . С учетом этой
водных


 j
 26,97 11,69 5,081 
матрицы, формул (4.70) и (4.103), а также вычисленной в соответст0
0 
 3,739

вии с (4.106) матрицы R 
3,757 0,824 , получена мат 0
 0
0,824 3,757 
рица дисперсий-ковариаций оценок корней
 0,00195 0,00215
уравнения (4.21): V  rˆ   0,00215 0,00252

 0,00057 0,00051
характеристического
0,00057 
0,00051 .
0,00075 
На заключительном этапе процедуры оценивания погрешности
результатов вычислений с учетом формул (4.107) и (4.109) находятся
дисперсии оценок коэффициентов aˆi передаточной функции (4.114):
312
sa21  0, 254 , sa22  0,054 и sa23  1,116 . Отсюда с учетом (4.110) вычис-
ляются границы доверительных интервалов оценок коэффициентов
aˆi , а сами коэффициенты могут быть записаны в виде:
a1  4,12  1,01 , a2  2,81  0,46 , a3  4,82  2,1 .
На рис. 4.26 в виде точек 1 изображены экспериментальные
данные изменения давления пара за переходной зоной прямоточного
котла высокого давления, представленные в табл. 4.7.
Кривая 2 на y t

рис. 4.26 описыва1
ет переходную ха1,00
рактеристику, со2
ответствующую
передаточной
3
0,75
функции, найденной методом площадей [117]. Сред- 0,50
неквадратичное
отклонение точек
этой кривой от 0,25
экспериментальных данных (в от2
4
6
8
0
носительных едиt, ч
ницах), вычисленное в соответствии Р и с. 4.26. Экспериментальные данные (точки 1) и
восстановленные по ним кривые разгона методом
с
формулой площадей (кривая 2) и методом на основе
(4.111), равно 4,2
разностного уравнения (кривая 3)
%. Кривая 3 на рис.
4.26 описывается уравнением (4.113) и соответствует передаточной
функции (4.114), построенной на основе линейно-параметрической
дискретной модели в форме стохастических разностных уравнений.
Среднеквадратичное отклонение этой кривой от экспериментальных
данных, представленных в табл. 4.7, в относительных единицах составляет 1,8 %.
Таким образом, очевидно, что определение передаточной функции на основе разностных уравнений, описывающих результаты наблюдений мгновенных значений переходной характеристики объекта
управления, позволяет существенно (более чем в два раза) повысить
адекватность математической модели экспериментальным данным.
313
5. СИНТЕЗ
СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫХ
УСТРОЙСТВ
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРСТИК
ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ РАЗНОСТНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Рассмотренные методы определения динамических характеристик нелинейных диссипативных систем на основе линейнопарааметрических дискретных моделей могут быть положены в основу аппаратурной реализации и синтеза специализированных устройств [1-5]. Разработанные и защищенные авторскими свидетельствами на изобретение такие устройства обладают повышенной точностью и быстродействием.
Рассмотрим устройство для измерения логарифмического декремента колебаний в системах с линейно-вязким трением [1], структурная схема которого представлена на рис. 5.1.
г
y(t)
1
6
7
δ
д
б
3
2
в
4
а
5
Р и с. 5.1. Блок–схема устройства для измерения логарифмического декремента колебаний
Вход устройства подключен к первому запоминающему блоку 1,
через инвертор 2 ко второму запоминающему блоку 3 и к компаратору 4. Сигнал с компаратора через коммутатор 5 может подаваться
либо на управляющий вход первого запоминающего блока 1, либо на
управляющий вход второго запоминающего блока 3. Выходы запоминающих блоков 1 и 3 подключены к входам дифференциального
логарифмического усилителя 6, сигнал с которого подается на вход
блока 7 вычисления модуля.
314
Устройство работает следующим образом. На вход устройства
поступает сигнал y  t  , представляющий собой затухающие по экспоненциальному закону гармонические колебания (см. рис. 5.2), возбужденные в исследуемой системе. В моменты времени tn ,
T
T
и так далее, когда ордината колебаний
tn  2  tn  , t n  4  tn  2 
2
2
равна нулю  yn  yn  2  yn  4    0  , сигнал, поступающий с выхода
компаратора 4 на вход коммутатора 5, изменяется указанным на рис.
5.2 образом ( T –период колебаний). Коммутирующий блок 5 работает в режиме двухпозиционного распределителя импульсов с задержкой на период опроса  :   tn1  tn  tn3  tn 2  tn5  tn 4  и так
далее. Рассмотрим работу устройства, начиная с момента времени tn ,
когда ордината колебаний равна нулю: yn  0 . Через период опроса
 (т.е. в момент времени tn 1  tn   ) с первого коммутирующего
блока 5 на управляющий вход первого запоминающего блока 1 поступает сигнал (импульс тока), который обеспечивает запись в запоминающий блок 1 значения ординаты колебаний yn 1 . Полярность
записанного сигнала – положительная. В следующий момент равенства нулю ординаты колебаний (момент времени tn  2 ) изменение
сигнала на выходе компаратора 4, то есть на входе коммутирующего
блока 5, вызывает через период опроса (т.е. в момент времени
tn 3  tn  2   ) появление на втором выходе коммутирующего блока 5
управляющего сигнала, который поступает на управляющий вход
второго запоминающего блока 3. В результате в запоминающий блок
3 записывается проинвертированное значение ординаты колебаний,
соответствующей моменту времени tn 3 . Так как в этот момент времени ордината колебаний отрицательная, то величина yn  3 , поступающая с выхода запоминающего блока 3 на второй вход дифференциального усилителя 6, положительная.
Таким образом, начиная с момента времени tn 3 , на оба входа
дифференциального логарифмического усилителя 6 поступают сигналы: на первый вход yn 1 , на второй вход   yn  3  . С выхода дифференциального логарифмического усилителя 6 на вход блока 7 вычисления модуля поступает сигнал равный логарифму отношения
315
y t 
y  t   Ae t sin t
tn  7
tn
tn 1
tn  3
T
2
T
2
tn  5
t
а
б
в
t
τ
τ
τ
t
г
t
д
t
е
t
δ
t
tn  2
tn  4
tn  6
t n  8 tn  9
t
Р и с. 5.2. Временные диаграммы работы устройства для
измерения логарифмического декремента колебаний
316
 y 
ln   n 1  . С выхода блока 7 вычисления модуля снимается сигнал
 yn  3 
 yn 1 

0.
 yn  3 
Через период опроса  после следующего момента tn  4 равенства нулю ординаты колебаний: yn  4  0 (в момент времени
tn 5  tn  4   ) в первое запоминающее устройство 1 записывается
значение ординаты колебаний yn  5 , причем yn 5  0 . С момента времени tn 5 с выхода запоминающего блока 1 на первых вход дифференциального логарифмического усилителя 6 подается сигнал yn  5 , а
с выхода запоминающего блока 3 на второй вход дифференциального усилителя 6 – сигнал   yn  3   0 . С выхода устройства для измерения логарифмического декремента колебаний поступает сигнал
 y 
  2 ln   n 5  . Таким образом, на выходе устройства постоянно
 yn 3 
формируется сигнал, соответствующий величине декремента колебаний анализируемой системы. Преимуществом данного устройства
по сравнению с аналогами [85] является более высокая точность
оценки декремента колебаний диагностируемого объекта за счет
увеличения в два раза числа измерений декремента за один период
колебаний.
Рассмотрим синтез специализированных устройств для измерения диссипативных характеристик систем с турбулентным трением.
В основе аппаратурной реализации устройства для вычисления декремента колебаний лежит организация такого режима измерений,
чтобы каждое второе измерение в совокупности yk , yk 1 и yk  2 равнялось нулю (рис. 5.3). Это условие позволяет обеспечить выполнение соотношения
y  yk  3
  ak   2 k
, k  0,1, 2, ,
(5.1)
yk  3
полученное для систем с турбулентным трением.
Структурная схема устройства представлена на рис. 5.4 и включает следующие блоки.
 yn 1 
 , где
 yn 3 
  2 ln  
317
yk
yk 5
yk 1  0
τ
τ
τ
yk  4  0
τ
yk  2
t
yk 3
y k 1  0
Р и с. 5.3. Схема организации измерений затухающих колебаний в устройстве для измерения
декремента колебаний в системах с турбулентным
трением
г
y(t)
1
6
7
δ
д
б
е
2
в
3
а
4
5
Р и с. 5.4 Блок – схема устройства для измерения декремента колебаний в системах с турбулентным трением
Вход устройства подключен к входам запоминающих устройств
1 и 2 и к входу компаратора 3. Сигнал с выход компаратора 3 подается на вход коммутирующего устройства 4, первый выход которого
подключен к управляющему входу первого запоминающего устройства 1 и первому управляющему входу коммутатора 5, а второй выход подключен к управляющему входу второго запоминающего устройства 2 и ко второму управляющему входу коммутатора 5. Выходы запоминающих устройств 1 и 2 подключены к входам сравнивающего устройства 6 и, соответственно, к первому и второму вхо318
дам коммутатора 5. Выход сравнивающего устройства 6 подключен к
первому входу делителя 7, а выход коммутатора 5 подключен ко
второму входу делителя 7. На выходе делителя 7 формируется сигнал, соответствующий декременту колебаний системы.
Устройство работает следующим образом. На вход устройства
a0
поступает сигнал y  t  
sin t  0  , представляющий собой

1 t
T
затухающие по гиперболе гармонические колебания (см. рис. 5.5),
возбужденные в системе тем или иным образом. В моменты времени
T
T
tn , tn 2  tn  , tn 4  tn 2  и так далее, когда ордината колебаний
2
2
равна нулю  yn  yn  2  yn  4    0  , сигнал, поступающий с выхода
компаратора 3 на вход коммутирующего устройства 4, изменяется
указанным на рис. 5.5, а образом ( T –период колебаний). Коммутирующее устройство 4 работает в режиме двухпозиционного распределителя
импульсов
с
задержкой
на
время
  tn1  tn  tn3  tn 2  tn5  tn 4  и т.д.
В момент времени tn ордината колебаний равно нулю: yn  0 .
T
Через время задержки  , которое выбирается из соотношения   ,
2
с первого выхода коммутирующего устройства 4 на управляющий
вход первого запоминающего устройства 1 и на первый управляющий вход коммутатора 5 поступает сигнал (импульс тока), который
обеспечивает запись в запоминающее устройство 1 и появление на
выходе коммутатора 5 значения ординаты колебаний yn 1  0 (рис.
5.5 г, е). Полярность записанного сигнала положительная.
В следующий момент tn 1 равенства нулю ординаты колебаний
изменение сигнала на выходе компаратора 3, то есть на входе коммутирующего устройства 4, вызовет через время задержки  (т.е. в момент tn 3  tn  2   ) появление на втором выходе коммутирующего
устройства 4 управляющего сигнала (импульса тока), который поступает на управляющий вход второго запоминающего устройства 2
и второй управляющий вход коммутатора 5.
В результате в запоминающее устройство 2 запишется, а на
выходе коммутатора 5 появится, значение ординаты колебания yn  3 ,
319
y t 
y t  
tn
1

T
sin t  0 
t
tn  7
tn  4
tn  2
tn  3
tn 1
a0
t n  5 tn  6
t
а
б
в
T
t
τ
τ
t
τ
г
τ
yn 1
τ
t
yn5
д
yn  7
yn3
t
t
е
yn 1
tn  5
tn  3
yn3
yn5 t
n7
yn  7
t
Р и с. 5.5. Временные диаграммы работы устройства
для измерения декремента колебаний в системах с
турбулентным трением
соответствующее моменту времени tn 3 . Полярность записанного
сигнала отрицательная. Таким образом, начиная с момента времени
320
tn 3 , на оба входа сравнивающего устройства 6 поступают сигналы
разной полярности: на первый вход yn 1 , на второй – yn  3 , причем
yn 1  yn 3 , так как процесс колебаний затухающий. С выхода сравнивающего устройства 6 на первый вход делителя 7 поступает сигнал равный 2  yn 1  yn 3  . На второй вход делителя 7 в рассматри-
ваемом цикле измерения (т.е. в промежутке времени tn  3 , tn  5  ) поступает сигнал отрицательной полярности yn  3 . С выхода делителя 7
y  yn  3
снимается сигнал  n 1  2 n 1
, значение которого будет соyn  3
храняться на выходе устройства в течении интервала времени
tn 3 , tn 5  , причем yn1  yn3  0 , yn3  0 и, следовательно,  n1  0 .
Через время  после следующего момента времени tn  4 равенства нулю ординаты колебаний ( yn  4  0 ), то есть в моменты
tn 5  tn  4   , в первое запоминающее устройство 1 запишется, а на
выходе коммутатора 5 появится, значение ординаты колебаний yn  5 ,
причем yn 5  0 . С момента tn 5 (в течении интервала времени
tn  5 , tn  7  )
с выхода запоминающего устройства 1 на первый вход
сравнивающего устройства 6 будет подаваться сигнал yn  5 , а с выхода второго запоминающего устройства 2 на второй вход сравнивающего устройства 6 – сигнал yn  3 отрицательной полярности
( yn 3  0 ), причем yn 3  yn 5 , так как процесс колебаний затухающий. С выхода сравнивающего устройства 6 на первый вход делителя 7 будет поступать сигнал положительной полярности
2  yn 3  yn 5  , так как yn3  yn5  0 . На второй вход делителя 7 в
данном цикле измерения поступает сигнал yn 5  0 . Следовательно, с
выхода делителя 7 будет сниматься положительный сигнал
y  yn  5
 n 3  2 n 3
, значение которого будет сохраняться на выходе
yn  5
устройства в течении последующего периода времени
tn  5 , tn  7  .
Очевидно, что и в этом случае  n 3  0 .
Аналогично можно показать, что в следующие интервалы вре321
мени tn  7 , tn  9  , tn 9 , tn 11  и так далее на выходе устройства будем
иметь, соответственно,  n 5  2
yn  5  yn  7
y  yn  9
,  n  7  2 n  7
yn  7
yn  9
и
так далее.
Таким образом, на выходе устройства будет формироваться сигнал, пропорциональный отношению суммы двух измеренных последовательно одна за другой ординат колебаний yi и yi 1 к значению
последующей из них yi 1 . Измерение ординат колебаний yi и yi 1
осуществляется через время задержки  после, соответственно, iтого и  i  1 -го пересечения колебаний оси времени:
 i  2
yi  yi 1
.
yi 1
Последующее значение ординаты колебаний yi 1 в одном цикле
измерения декремента колебаний служит предыдущим значением
ординаты колебаний yi в следующем цикле. Поэтому измерение
декремента колебаний происходит непрерывно за время, равное половине периода колебаний. На выходе устройства сигнал, соответствующий измеренному значению декремента колебаний в данном
цикле измерений, сохраняется в течении времени, равного половине
периода колебания. Рассмотренное устройство [3] и по сравнению с
аналогом [85] имеет более высокую точность измерения за счет
уменьшения динамической составляющей методической погрешности.
Другой диссипативной характеристикой системы с турбулент  ai 
ным трением является показатель затухания  
, который в
ai
отличие от декремента колебаний не зависит от амплитуды колебаний в рассматриваемый момент времени. В основе синтеза устройства для измерения показателя затухания колебаний в системах с турбулентным трением лежит соотношение
1
1
 k

,
(5.2)
yk yk  2
полученное из линейной дискретной модели для систем с турбулентным трением для трех соседних отчетов yk , yk 1 и yk  2 при условии
322
организации такого режима измерений, чтобы каждое второе измерение в этой совокупности равнялось нулю (см. рис. 5.3). В выражение (5.2) входит коэффициент k:
sin 
.
(5.3)
k 

Очевидно, что при больших значениях параметра N 
2

(чис-
ла периодов дискретизации  за время одного периода колебаний)
k  N    . Погрешность аппроксимации k  N  двумя членами
разложения при N  10 не превышает 0,3%. При N  20 она со-
ставляет 0,008%. При более грубой аппроксимации k  N    относительную методическую погрешность  k вычисления показателя
затухания по выражению (5.2) можно оценить по формуле
2
sin
N 2 2
.
 k  1 

2
3N2
N
Отсюда следует соотношение, которое необходимо учитывать при
настройке параметров блока задержки в устройстве для измерения
показателя затухания:
6 k
.
(5.4)


Пользуясь (5.4), можно по заданному значению относительной
погрешности  k выбрать период дискретизации  . Так, полагая
 k  1% , из (5.4) получаем   0,04T , что технически вполне реализуемо. Более целесообразно настройку параметра k проводить в соответствии с формулой (5.3) с учетом известной, как правило, частоты колебаний.
Структурная схема устройства для измерения показателя затухания в системах с турбулентным трением представлена на рис. 5.6.
Устройство содержит блок задержки 1, предназначенный для задержки входного сигнала y  t  на период дискретизации  ; два делителя 2 и 4 для вычисления величин обратных значениям y k и yk  2
входного сигнала; два элемента памяти 3 и 5, в которых в течение
323
1
1
и
; компараyk
yk  2
тор 6 и коммутирующий блок 7, управляющие работой рассматриваемого устройства; сумматор 8 и блок вычисления модуля 9, реализующие вычисления в соответствии с формулой (5.2). На рис. 5.7
приведены временные диаграммы, поясняющие работу устройства.
Устройство работает следующим образом. На вход устройства
поступает сигнал y  t  , представляющий собой затухающие по ги-
полпериода колебаний сохраняются значения
y(t)
г
2
1
3
8
4
а
ε
д
б
6
9
5
7
в
Р и с. 5.6. Блок–схема устройства для измерения показателя
затухания в системах с турбулентным трением
перболическому закону гармонические колебания (см. рис. 5.7). Блок
задержки 1 осуществляет задержку ординат колебаний относительно
T
входного сигнала на время  . В моменты времени t2 , t5  t2  ,
2
T
и так далее (равенства нулю ординат колебаний
tn  tn  3 
2
y2  y5   yn    0 ) сигнал, поступающий с выхода компаратора 6
на вход коммутирующего блока 7, изменяется указанным на
рис. 5.7, а образом, где T – период колебаний.
Коммутирующий блок 7 работает в режиме двухпозиционного
распределителя импульсов с задержкой на период дискретизации 
(рис. 5.7, б, в):   t3  t2  t6  t5    tn1  tn и т.д.
324
y t 
y t  
a0
1
y1
t1
T
sin t  0 
t
t6 tn 1
t 4 t5
t 2 t3
tn tn 1
tn
y3
τ

T
2
t
T
2
а
б
t
в
t
г
τ
д
1
yn 1
1
y4
1
y1
1
y3
τ
τ
τ
1
y6
t1 t2 t3
t 4 t5 t 6
t
1
y n 1
е
tn tn 1 tn 1
t
t
t
Р и с. 5.7. Временные диаграммы работы устройства для измерения показателя затухания
в системах с турбулентным трением
325
В момент времени t2 , когда ордината колебаний равна нулю
( y2  0 ), с первого выхода коммутирующего блока 7 на управляющий вход элемента памяти 3 поступает сигнал (импульс тока). Он
1
обеспечивает запись в элемент памяти 3 величины
, где y1 – знаy1
чение ординаты колебаний, соответствующее моменту времени t1 ,
поступающее с блока задержки 1 через делитель 2 на вход элемента
памяти 3 в момент времени t2  t1   . Полярность записанного сигнала положительная (см. рис. 5.7, г). Через время, равное времени
задержки  , с второго выхода коммутирующего блока 7 на управляющий вход второго элемента памяти 5 поступает сигнал, который
1
, где y3 – значение ординаты кообеспечивает запись величины
y3
лебаний, соответствующее моменту времени t3  t2   , поступающее
с входа устройства через делитель 4 на вход элемента памяти 5. Полярность записанного сигнала отрицательная (см. рис. 5.7, д). Таким
образом, с момента времени t3 на первый и второй входы сумматора
1
1
8 поступают сигналы
и
, соответственно. Сигнал, поступаюy1
y3
щий в момент времени t3 с второго выхода коммутирующего блока 5
на управляющий вход сумматора 8, обеспечивает запись в сумматоре
1 1 
8 величины k    , и на выходе блока вычисления модуля 9
 y1 y3 
1 1
формируется сигнал 1  k    .
 y1 y3 
В следующий момент времени t5 равенства нулю ординаты колебания ( y5  0 ) работа компаратора 6 и коммутирующего блока 7
будет происходить аналогичным образом. В момент времени t5 про1
изойдет запись в первый элемент памяти 3 величины
, где y 4 –
y4
значение ординаты колебаний, соответствующее моменту времени
t4 , поступающее с блока 1 задержки через делитель 2 на вход эле326
мента памяти 3 в момент времени t5  t4   . Полярность записанного сигнала отрицательная (на рис. 5.7, г). Через время  во второй
1
элемент памяти 5 запишется величина
, где y6 – значение ордиy6
наты колебаний, соответствующее моменту времени t6  t5   , поступающее с входа устройства через делитель 4 на вход элемента
памяти 5. Полярность записанного сигнала положительная (на рис.
5.7, д). Сигнал, поступающий в момент времени t6 с второго выхода
коммутирующего блока 5 на управляющий вход сумматора 8, обес 1
1 
печивает запись в сумматор 8 величины k    и, соответствен y 4 y6 
но, на выходе блока вычисления модуля 9 (выходе устройства) вели 1
1
чины  2  k    . В последующие циклы измерения работа
 y4 y6 
устройства происходит аналогично.
Таким образом, за один цикл измерения, равный полпериода коT
лебаний
, на выходе устройства формируется сигнал
2
 1
1 
n  k 

 , где  n – сигнал на выходе устройства в течение
 yn 1 yn 1 
n–ного цикла измерения; yn 1 и yn  2 – ординаты колебаний, соответствующие моментам времени tn 1  tn   и tn 1  tn   ; tn – момент
времени n –того равенства ординаты колебаний нулю.
Рассмотренное устройство [5] и по сравнению с аналогом [85]
имеет более высокую точность измерения. Это достигается тем, что,
во-первых, в качестве оценки диссипации энергии колебаний используется показатель затухания, не зависящий от амплитуды колебаний,
следовательно, сохраняющий свое значение в течение всего времени
наблюдения. Это позволяет проводить усреднение результатов измерения в отдельных циклах и тем самым уменьшать случайную составляющую погрешности измерения. Во-вторых, полностью устраняется методическая погрешность измерения, обусловленная упрощением динамического процесса в системах с турбулентным трением. Увеличение аппаратурной точности устройства по сравнению с
327
аналогами может быть оценено в 10-25%. Рассмотренные структурные схемы устройств для измерения диссипативных характеристик
систем с турбулентным трением не исчерпывают всего многообразия
схем, которые могут быть синтезированы на основе линейных дискретных моделей. Устройства просты по структуре, не содержат блоков, затрудняющих их техническую реализацию.
Рассмотрим синтез устройства для измерения показателя затухания в системах с кулоновым трением. В основе синтеза лежит организация измерений ординат колебаний так, как это показано на
рис. 5.8.
y t 
a0
a2
a3
a5
a t 
y0
t0 τ
t1 t2
τ
y2
t3 t 4
τ
τ t5
t
y3
Р и с. 5.8. Схема организации измерений затухающих колебаний в устройстве для измерения показателя затухания в системах
с кулоновым трением.
Рассмотрим один цикл измерений, начинающийся с момента
времени t0 и использующий два нуля функции колебания. При условии равенства нулю второго измерения в тройке отсчетов y0 , y1 и
y 2 из линейной дискретной модели для систем с кулоновым трением
при k  2 и y1  0 получаем
1  y2  3 y0   2 2 y0  y2  y0 .
y  y0

 2
Отсюда с учетом 2  12 имеем 1 
, где  – показаa0T
2 y0
тель затухания, T –период колебаний,  –период опроса (дискретизации), a0 –амплитуда колебаний, соответствующая начальному моменту времени. Следовательно,
328

Очевидно, что a3  a0 
a0 
y0
и a3 
a0T  y2  y0 
2 y0

2
.
, причем справедливы соотношения
y3
. Отсюда получаем
sin 
2 y0  y3
T 


y0  y3 .
sin 
 sin 
Сравнивая это выражение с (5.5), получаем
4 y0  y3
T
.
y 2  y0
sin 
(5.5)
(5.6)
(5.7)
Полученное соотношение позволяет вычислять период колебаний по трем специальным образом выбранным отсчетам. Подставляя
в (5.6), получаем соотношение для вычисления показателя затухания
в системах с кулоновым трением
 k
 y0  y3 
2
y2  y0
,
(5.8)
4 

. Аппроксимируя функцию f   
двумя
 sin 
sin 
членами
разложения,
с
учетом
(5.7)
получаем
где k 
   1   2  y0  y2  . Тогда из (5.8) следует

f   
1


sin 
6
24  y0  y3 
2
2
4  y0  y3  
(5.9)

 y0  y2 .
 y0  y2
6
Погрешность такой аппроксимации может быть оценена по
4 4
2
формуле  f 
, где N 
– число периодов дискретизации 
4
9 N

за время одного периода колебаний. Отсюда, при выборе  следует
2,57
использовать соотношение N 
. Например, для обеспечения
4 
f
2
погрешности не более 0,5% период опроса следует выбирать из условия   0,1T .
329
Структурная схема устройства, реализующая алгоритм вычислений в соответствии с формулой (5.9), представлена на рис. 5.9.
y(t-τ)
y(t)
4
1
7
а
6
9
5
г
в
2
б
Блок вычислений
y0
3
8
10
12
11
13
14
15
ε
y3
y2
д
е
Р и с. 5.9. Блок–схема устройства для измерения показателя затухания в системах с кулоновым трением
Схема задержки 1 предназначена для задержки входного сигнала
y  t  на время, равное периоду опроса  . Нуль-орган 2 служит для
подачи сигнала (импульса тока) на коммутирующее устройство 3 в
момент, когда y  t   0 . Ключи управления 4, 5 и 6 коммутируют
входные сигналы y  t  или y  t    на элементы памяти 7, 8 и 9.
Сумматоры 10 и 11, квадратор 12, блок вычисления модуля 13, делитель 14 и сумматор 15, образующие блок вычислений, предназначены для реализации процесса вычислений показателя затухания  в
соответствии с формулой (5.9).
Временные диаграммы, поясняющие работу устройства, представлены на рис. 5.10. Устройство работает следующим образом. В
момент времени t1 , когда ордината колебаний равна нулю  y1  0  ,
нуль орган 2 выдает сигнал, поступающий на вход коммутирующего
устройства 3 (распределителя импульсов). В этот же момент времени
с первого выхода коммутирующего устройства 3 подается сигнал на
ключ управления 4, который коммутирует выход схемы задержки 1 с
входом элемента памяти 7.
При этом в элемент памяти 7 записывается значение ординаты
колебаний y0 , соответствующее моменту времени t0  t1   .
330
y t 
а
  t
y  t   a0 1  0  sin t   0 
T 

y0
τ
τ
y2
τ
y3
τ
t
а
y0
t
y3
б
t
в
г
д
е
t
t
t
t0 t1 t2
t3 t 4 t5
t
а
а
а
а а а
Р и с. 5.10. Временные диаграммы работы устройства для измерения показателя затухания в
системах с кулоновым трением
Через период опроса  (в момент времени t1   ) со второго выхода коммутирующего устройства 3 на ключ управления 5 подается
сигнал, открывающий ключ 5. В результате этого в элемент памяти 8
записывается значение y 2 , соответствующее моменту времени
t2  t1   . Таким образом, с момента времени t2 с выходов элемен331
тов памяти 7 и 8 снимаются сигналы, соответствующие значениям
y0 и y 2 . При следующем нуле функции колебания: y4  0 с нуль органа 2 на коммутирующее устройство 3 вновь подается сигнал, после
которого выход схемы задержки 1 через ключ управления 6 подключается к элементу памяти 9. В результате на выходе элемента памяти
9 будет сформирован сигнал y3 , соответствующий измерению в момент времени t3 . Время коммутации ключами управления 4, 5 и 6
должно быть мало ( tk  0,1 ), но достаточным для того, чтобы результат измерения был записан в соответствующий элемент памяти
полностью.
Значения y0 , y 2 и y3 с элементов памяти 7, 8 и 9 подаются на
входы блока вычислений. Значения y0 и y3 в сумматоре 10 складываются, сумма y0  y3 подается на вход квадратора 12, в котором вычисляется величина
 y0  y3 
2
. В сумматоре 11 вычисляется сумма
y0  y2 , а затем в блоке вычисления модуля 13 – абсолютная величи-
4  y0  y3 
на этой суммы. В делителе 14 вычисляется отношение
.
 y0  y2
Сигнал с выхода делителя 14 подается на один из входов сумматора
15. На другой вход сумматора 15 подается величина y0  y2 . На выходе сумматора 15 формируется сигнал в соответствии с формулой
(5.9). После вычисления значения  в момент времени t5 с коммутирующего устройства 3 на сумматор 15 подается сигнал, разрешающий выдачу полученного результата с выхода устройства в течение всего последующего цикла измерения.
Не вызывает затруднений техническая реализация рассмотренных устройств для измерения диссипативных характеристик систем с
линейно-вязким, турбулентным и кулоновым трением. Коммутирующее устройство представляет собой распределитель импульсов,
поступающих с нуль-органа или компаратора. Функции блока вычисления модуля может выполнять обычный двух полупериодный
выпрямитель. Реализация схемы задержки, нуль-органа, элементов
памяти, сравнивающего устройства, сумматоров подробно описана в
[38, 75, 88].
2
332
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. А.с. №1322198 (СССР), G 01 R 27/28, G 01 H 11/06. Устройство для измерения логарифмического декремента затухания колебаний. / В.К.Семенычев, В.Е.Зотеев. – №3986386/24–28; Заявлено
09.12.85; Опубл. 07.07.87, Бюл. № 25.
2. А.с. №1326931 (СССР), G 01 M 7/00, G 01 H 13/00. Способ
определения параметров затухания и резонансной частоты механической системы с турбулентным трением. / В.К.Семенычев,
В.Е.Зотеев. – №3894809/25–28; Заявлено 07.05.85; Опубл. 30.07.87,
Бюл. № 28.
3. А.с. №1396000 (СССР), G 01 N 19/00. Устройство для измерения декремента колебаний в системах с турбулентным трением. /
В.К.Семенычев, В.Е.Зотеев. – №4143470/24–28; Заявлено 06.11.86;
Опубл. 15.05.88, Бюл. № 18.
4. А.с. №1397767 (СССР), G 01 M 7/00. Способ определения
логарифмического декремента колебаний линейной механической
системы. / В.К.Семенычев, В.Е.Зотеев.–№4049658/25–28; Заявлено
24.02.86; Опубл. 23.05.88, Бюл. № 19.
5. А.с. №1539682 (СССР), G 01 R 27/28. Устройство для измерения затухания колебаний в системах с турбулентным трением. /
В.К.Семенычев, В.Е.Зотеев, А.Ю.Бучин. – №4358116/24–21; Заявлено 04.02.88; Опубл. 30.01.90, Бюл. № 4.
6. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. – М.:
Мир, 1976. – 756 с.
7. Баринов Ю.Г. Линейные дискретные временные модели
виброакустических сигналов в диагностике машин // Точность и надежность механических систем. Стохастическая локализация врожденности: Сб. науч. тр./ Рижск. политехн. ин–т. – Рига, 1983.
– С. 37–48.
8. Басков А.Г. Кратко А.Г., Бовсуновский А.П. и др. Автоматическая система измерения характеристики демпфирования колебаний механических систем на основе микроЭВМ // Проблемы прочности. – 1990. – № 1. – С. 110–112.
9. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные
методы – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 632 с.
10. Бендат Дж., Пирсол А. Применение корреляционного и
спектрального анализа. – М.: Высшая школа, 1980. – 408 с.
333
11. Божко А.Е., Голуб Н.М. Динамико–энергетические связи
колебательных систем. – Киев: Наук. думка, 1980. – 188 с.
12. Бойцов Б.В. Прогнозирование долговечности напряженных
конструкций: комплексное исследование шасси самолета. – М: Машиностроение, 1985. – 232 с.
13. Бокс. Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и
управление. Вып. 1. – М.: Мир, 1974. – 406 с.
14. Болотин В.В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций. – М.: Машиностроение, 1984. – 312 с.
15. Брандт З. Статистические методы анализа наблюдений.:
Пер. с англ. М.: Мир, 1975. 312 с.
16. Вибрации в технике: Справочник: В 6 т. – М.: Машиностроение, т.1 – 1978.– 352 с.; т.2 – 1979. – 351 с.; т.5 – 1981. – 496 с.
17. Вибрационный контроль технического состояния газотурбинных газоперекачивающих агрегатов. / Васильев Ю.И., Бескелетный М.С., Игуменцев Е.А. и др. – М.: Недра, 1987. – 197 с.
18. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления.–
М.: Наука, 1984. – 320 с.
19. Волков Е.А. Численные методы. – СПб.: Изд–во «Лань»,
2004. – 256 с.
20. Вучков И., Бояджиева Л., Солаков О. Прикладной линейный
регрессионный анализ. – М.: Финансы и статистика, 1987.
– 238 с.
21. Генкин М.Д., Соколова А.Г. Виброакустическая диагностика машин и механизмов. – М.: Машиностроение, 1987. – 288 с
22. Глаговский Б.А., Московенко И.Б. Низкочастотные акустические методы контроля в машиностроении. – Л.: Машиностроение,
1977.– 208 с.
23. Грановский В.А., Сирая Т.Н. Методы обработки экспериментальных данных при измерениях. – Л.: Энергоатомиздат, 1990.
– 288 с.
24. Григолюк Э.И., Кулаков Н.А. Метод исследования динамики и прочности конструкций с учетом матрицы демпфирования общего вида // Проблемы машиностроения и надежности машин.
– 1990. – № 5. – С. 15–19.
25. Гроп Д. Методы идентификации систем / Под ред. Е.И.
Кринецкого. – М.: Мир, 1979. – 302 с.
26. Дейч А.М. Методы идентификации динамических объектов.
– М.: Энергия, 1979. – 240 с.
334
27. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии. – М.:
Финансы и статистика, 1981. – 302 с.
28. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. – М.: Физматгиз, 1968. – 368 с.
29. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и z–преобразования. – М.: Наука, 1971. – 288 с.
30. Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения. – М.: Мир, вып.1, 1971, вып. 2, 1972. – 318 с.
31. Диментберг М.Ф., Абульханов А.Р. Об определении коэффициентов демпфирования по средним периодам огибающих случайных колебаний // Машиностроение. – 1970. – №4. – С. 10 – 12.
32. Добрынин С.А., Фельдман М.С., Фирсов Г.И. Методы автоматизированного исследования вибраций машин: Справочник. – М.:
Машиностроение, 1987. – 224 с.
33. Должковой А.А., Попов Н.Н., Радченко В.П. Решение стохастической краевой задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы методом малого параметра // ПМТФ. 2006. Т. 47. №1.
С. 161–171.
34. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ.
– М.: Статистика, 1973. – 232 с.
35. Дэвис, Хэммонд. Приближенное описание колебаний конструкций с большим числом собственных форм с помощью параметрических моделей и моделей, оперирующих огибающими // Конструирование и технология машиностроения. – 1986. – № 1. – С. 31–38.
36. Еремин Ю.А., Радченко В.П., Самарин Ю.П. Расчет индивидуальных деформационных свойств элементов конструкций в условиях ползучести // Машиноведение. – 1984. – №1. – С. 67–72.
37. Жезекель. Три новых метода идентификации форм колебаний конструкций // Конструирование и технология машиностроения.
– 1986. – № 1. – С. 14–31.
38. Жовинский В.И., Арховский В.Ф. Корреляционные устройства. – М.: Энергия, 1974. – 248 с.
39. Закс Л. Статистическое оценивание. – М.: Статистика, 1976.
40. Зотеев В.Е. Идентификация диссипативных и жесткостных
характеристик механических систем на основе линейных дискретных
моделей // Надежность и неупругое деформирование конструкций:
Сб. научн. тр./ Куйбышев.политехн.ин–т. – Куйбышев: КПтИ, 1990.
– С. 152–159.
335
41. Зотеев В.Е. Исследование и сравнительный анализ эффективности методов вычисления среднеквадратичных оценок коэффициентов линейно параметрических дискретных моделей колебаний
систем с турбулентным трением // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.–мат. науки. – 2005.
– № 34. – С.137–140.
42. Зотеев В.Е. Исследование устойчивости авторегрессионных
моделей колебаний диссипативных систем // Обозрение прикладной
и промышленной математики. – 2003. –Т. 10, вып. 3. –С. 653–654.
43. Зотеев В.Е. Исследование устойчивости авторегрессионных
моделей колебаний систем с линейно вязким и турбулентным трением. // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.–мат. науки. – 2003. – № 19. – С.53–58.
44. Зотеев В.Е. Исследование устойчивости вычислений среднеквадратичных оценок коэффициентов авторегрессионной модели
колебаний систем с турбулентным трением // Вестник Самарского
государственного технического университета. Серия физ.–мат. науки. – 2004. – № 26. – С.180–185.
45. Зотеев В.Е. Исследование эффективности применения линейных дискретных моделей при определении параметров математических моделей в форме обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико–математические науки. – 2002. – № 15.
– С.161–167.
46. Зотеев В.Е. Итерационный метод среднеквадратичного оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения колебания систем с турбулентным трением // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.–мат. науки.
– 2005. – № 38. – С.100–109.
47. Зотеев В.Е. Итерационный метод среднеквадратичного оценивания параметров корреляционной функции распределения случайного поля неупругой реологической деформации // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.–
мат. науки. – 2006. – № 42. – С.123–134.
48. Зотеев В.Е. Математические основы построения разностных
уравнений для задач параметрической идентификации // Вестник
Самарского государственного технического университета. Серия
физ.–мат. науки. – 2008. – № 2(17). – С.192–202.
336
49. Зотеев В.Е. Математическое описание и определение на его
основе динамических характеристик механических систем с гистерезисным трением // Неупругое деформации, прочность и надежность
конструкций: Сб. науч. тр. СамГТУ. – Самара: СамГТУ, 1993. –
С.145–151.
50. Зотеев В.Е. Обобщение метода наименьших квадратов при
вычислении коэффициентов линейно параметрической дискретной
модели колебаний систем с турбулентным трением // Обозрение
прикладной и промышленной математики. – 2004. –Т. 11, вып. 4.
– С. 818–819.
51. Зотеев В.Е. Определение динамических характеристик систем с турбулентным трением на основе стохастических разностных
уравнений колебаний // Известия вузов. Машиностроение. 2008. №4.
С. 30–40.
52. Зотеев В.Е. Определение диссипативных характеристик механической системы на основе стохастических разностных уравнений колебаний // Девятый Всерос. съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Т. 1: Сб. науч. тр. – Нижний
Новгород: Изд–во Нижегородского госуниверситета, 2006. – С. 57.
53. Зотеев В.Е. Определение параметров кривой разгона на основе стохастических разностных уравнений // Вестник Самарского
государственного технического университета. Серия техн. науки. –
2008. – № 2(22). – С. 29–37.
54. Зотеев В.Е. Параметрическая идентификация кривых ползучести на основе стохастических разностных уравнений // Вестник
Самарского госуд. техн. университета. Серия: Физ.–матем. науки.
2008, №1(16). С. 90–95.
55. Зотеев В.Е. Параметрическая идентификация линейной динамической системы на основе стохастических разностных уравнений // Математическое моделирование. – 2008. – Т. 20. – №9.
– С. 120–128.
56. Зотеев В.Е. Параметрическая идентификация нелинейных
диссипативных систем на основе современных информационных
технологий // Нелинейный динамический анализ – 2007: Тезисы доклада междунар. конгресса, Санкт–Петербург. – СПб.: Санкт–
Петербургский гос. университет, 2007. – С. 92.
57. Зотеев В.Е. Повышение точности среднеквадратичных оценок коэффициентов линейно параметрических дискретных моделей
колебаний систем с турбулентным трением // Вестник Самарского
337
государственного технического университета. Серия физ.–мат. науки. – 2004. – № 30. – С.194–197.
58. Зотеев В.Е. Повышение устойчивости вычислений динамических характеристик систем с линейно вязким трением // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Всерос. науч. конф.
Часть 2: Сб. научн. тр. – Самара: СамГТУ, 2004. – С.103–106.
59. Зотеев В.Е. Помехозащищенный метод определения параметров линейной динамической системы на основе импульсной характеристики // Вестник Самарского государственного технического
университета. Серия физ.–мат. науки. – 2007. – № 1(14). – С.138–142.
60. Зотеев В.Е. Разработка и исследование линейных дискретных моделей колебаний диссипативных систем // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико–
математические науки. – 1999. – № 7. – С. 170–177.
61. Зотеев В.Е. Разработка и исследование эффективности итерационных методов среднеквадратичного оценивания коэффициентов линейно параметрической дискретной модели колебаний систем
с турбулентным трением // Обозрение прикладной и промышленной
математики. – 2005. –Т. 12, вып. 2. – С. 372.
62. Зотеев В.Е. Сравнительный анализ методов определения
динамических характеристик диссипативной системы // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.–
мат. науки. – 2006. – № 43. – С. 153–158.
63. Зотеев В.Е. Устойчивость алгоритмов идентификации нелинейных диссипативных систем на основе авторегрессионных моделей. // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды шестой межвуз. конф. Часть 2: Сб. научн. тр. / Инж. акад. РФ, СамГТУ. –
Самара: СамГТУ, 1996. – С. 151–153.
64. Зотеев В.Е., Иранова А.А. Повышение устойчивости среднеквадратичного оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения для систем с турбулентным трением // Обозрение
прикладной и промышленной математики. – 2008. – Т. 15, вып. 2.
–С. 302.
65. Зотеев В.Е., Попова Д.Н. Определение динамических характеристик нелинейных диссипативных систем на основе стохастического разностного уравнения // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.–мат. науки. – 2006. – №
42. – С. 162–168.
338
66. Зотеев В.Е., Попова Д.Н. Оценка нелинейности сил трения
на основе стохастического разностного уравнения колебаний диссипативной системы // Обозрение прикладной и промышленной математики. – 2005. –Т. 12, вып. 2. – С. 373.
67. Иранова А.А., Зотеев В.Е. Повышение устойчивости среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения
колебаний систем с турбулентным трением // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Четвертой Всерос. науч. конф.
Часть 4: Сб. науч. тр. – Самара: СамГТУ, 2007. – С. 59–63.
68. Кано. Метод идентификации линейных динамических систем со многими входами и выходами при экспериментальном модальном анализе механических конструкций // Современное машиностроение. – 1990. – № 1. – С. 6–13.
69. Карасев В.А., Максимов В.П., Сидоренко М.К. Вибрационная диагностика газотурбинных двигателей. – М.: Машиностроение,
1978. – 132 с.
70. Карасев В.А., Ройтман А.Б. Доводка эксплуатируемых машин. Вибродиагностические методы. – М.: Машиностроение, 1986. –
192 с.
71. Кармалита В.А. Цифровая обработка случайных колебаний.
– М.: Машиностроение, 1986. – 80 с.
72. Кашьяп Р.Л., Рао А.Р. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным. – М.: Наука, 1983.–
384 с.
73. Кей С.М., Марпл–мл. С.П. Современные методы спектрального анализа. Обзор. ТИИЭР. – 1981. – № 11. – С. 5–51.
74. Кендалл М., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. – М.: Наука, 1976. – 376 с.
75. Коломбет С.А., Стародуб Г.И., Алексенко А.Г. Применение
прецизионных аналоговых ИИС. – М.: Радио и связь, 1981. – 224 с.
76. Кононенко В.О., Плахтиенко Н.П. Методы идентификации
механических нелинейных колебательных систем. – Киев: Наук.
думка, 1976. – 116 с.
77. Конюхов Н.Е., Медников Ф.М., Нечаевский М.Л. Электромагнитные датчики механических величин. – М.: Машиностроение,
1987. – 256 с.
78. Куликовский К.Л., Купер В.Я. Методы и средства измерений. – М: Энергоатомиздат, 1986. – 448 с.
339
79. Кумаресан Р, Тафтс Д.И. Улучшенные методы спектрального разрешения, III : Эффективная реализация // ТИИЭР. – 1980.
– Т. 68. – № 10.– С. 218–220.
80. Кумаресан Р. Точное оценивание частот с помощью частотно–полюсного фильтра, имеющего, в основном, нулевые коэффициенты. // ТИИЭР. – 1982. – Т.70. – № 8. – С. 102–104.
81. Кумаресан Р., Тафтс Д.У., Шарф Л.Л. Метод Прони для зашумленных данных: подбор составляющих сигнала и выбор порядка
моделей с экспоненциальными сигналами. // ТИИЭР. – 1984. – Т. 72.
– № 2. – С. 97–99.
82. Курош А.Г. Курс высшей алгебры – М.: Наука, 1971.
– 432 с.
83. Левитский Н.И. Колебания в механизмах: – М.: Наука. Гл.
ред. физ.–мат. лит., 1988. – 336 с.
84. Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпирических формул. – М.: Высш. шк., 1988. – 239 с.
85. Марков С.И., Минаев В.М., Артамонов Б.И. Идентификация колебательных систем автоматического регулирования Л.: Энергия, 1975. – 96 с.
86. Марпл.–мл. С.А. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ. – М.: Мир, 1990. – 584 с.
87. Матвеев В.В. Демпфирование колебаний деформируемых
тел. Киев: Наук. думка, 1985. – 264 с.
88. Мелик–Шахнозаров А.М., Маркатун М.Г. Цифровые измерительные системы корреляционного типа. – М.: Энергоатомиздат,
1985. – 128 с.
89. Найфэ А. Введение в методы возмущений: Пер. с англ. – М.:
Мир, 1984. 535 с.
90. Островский Л.И., Медвинский М.Д. Прибор для автоматического измерения декремента колебаний // Рассеяние энергии при
колебаниях упругих систем. – Киев: Наук. думка, 1968. – С. 214–221.
91. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов.
Основные методы. – М.: Мир, 1982. – 428 с.
92. Пановко А.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. – Л.: Машиностроение, 1976. – 320 с.
93. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих
систем. – М.: Физматгиз, 1960. – 194 с.
340
94. Партхасаратхи С., Тафтс Д.У. Оценка параметров экспоненциально затухающих синусоид по методу максимального правдоподобия // ТИИЭР. – 1985. – Т. 73. – № 10. – С. 100–101.
95. Писаренко Г.С., Матвеев В.А., Яковлев А.П. Методы определения характеристик колебаний упругих систем. – Киев: Наук.
думка, 1976. – 88 с.
96. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Вибропоглощающие свойства конструкционных материалов: Справочник. – Киев: Наук. думка, 1971. – 376 с.
97. Постников В.С. Внутреннее трение в металлах. – М.: Металлургия, 1974. – 352 с.
98. Приборы и системы для измерения вибрации, шума и удара:
Справочник в 2–х кн. / Под ред. В.В.Клюева. – М.: Машиностроение,
1978. – Кн.1. – 477 с.; Кн. 2. – 439 с.
99. Прочность и долговечность автомобиля. / Гольд Б.В., Оболенский Е.П., Стефанович Ю.Г. и др. – М.: Машиностроение, 1974.
– 328 с.
100. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 496 с.
101. Пустыльник Е.И. Статистические методы анализа и обработки наблюдений. – М.: Наука, 1968.
102. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. – М.:
Наука, 1966. 752 с.
103. Радченко В.П. Энергетический подход к прогнозированию
ползучести и длительной прочности материалов в стохастической
постановке // Проблемы прочности. – 1992. – №2. – С. 34–40.
104. Радченко В.П., Дудкин С.А., Тимофеев М.И. Экспериментальное исследование и анализ полей неупругих микро– и макро неоднородностей сплава АД –1 // Вестник Самарского гос. техн. университета. Серия: Физ.–матем. науки. 2002. – Вып. 16. – С. 111–117.
105. Радченко В.П., Зотеев В.Е. Определение динамических характеристик механической системы на основе стохастических разностных уравнений колебаний // Известия вузов. Машиностроение.
–2007. – №1. – С. 3–10.
106. Радченко В.П., Павлова Г.А. Прогнозирование индивидуальной надежности элементов конструкции при ползучести на стадии эксплуатации по лидеру // Известия вузов. Машиностроение. –
1989. – №11. – С. 23–27.
341
107. Рао С.Р. Линейные статистические методы и их применение. – М.: Наука, 1968. – 547 с.
108. Редько С.Ф., Ушкалов В.Ф., Яковлев В.П. Идентификация
механических систем. Определение динамических характеристик и
параметров. – Киев: Наук. думка, 1985. – 216 с.
109. Румишский Л.З. Математическая обработка результатов
эксперимента. – М.: Наука, 1971. – 193 с.
110. Самарин Ю.П. О применении стохастических уравнений в
теории ползучести материалов // Изв. АН СССР. МТТ. – 1974. – №1.
– С. 88–94.
111. Самарин Ю.П. Построение экспоненциальных аппроксимаций для кривых ползучести методом последовательного выделения
экспоненциальных слагаемых // Проблемы прочности. – 1974. – №9.
– С. 24–27.
112. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. – М.: Мир,
1980. – 456 с.
113. Семенычев В.К., Зотеев В.Е. Определение динамических
характеристик колебательных систем с турбулентным трением.
// Изв. вузов СССР. Приборостроение. – 1990. – № 11. – С. 42–45.
114. Семенычев В.К., Зотеев В.Е. Определение параметров затухающих колебаний на основе разностных схем // Проблемы прочности. – 1988. – № 12. – С. 101–105.
115. Сидоров О.Т. Использование динамических характеристик
изделия для оценки его технического состояния // Проблемы прочности. – 1983.– №6. – С. 112–114.
116. Соколов В.И. О возможности обнаружения трещин в составных элементах по изменению характеристик конструкционного
демпфирования // В сб. Динамика, выносливость и надежность авиационных конструкций и систем. – М.: МИИГА, 1978. – С. 30–35.
117. Стефани Е.П. Основы расчета настройки регуляторов теплоэнергетических процессов. – М.: Энергия, 1972. – 328 с.
118. Тафтс Д.И., Кумаресан Р. Оценивание частот суммы нескольких синусоид: Модификация метода линейного предсказания,
сравнимая по эффективности с методами максимального правдоподобия // ТИИЭР. – 1982. – Т.70. – № 9. – С. 77–94.
119. Тафтс Д.И., Кумаресан Р. Улучшенные методы спектрального разрешения // ТИИЭР. – 1980. – Т. 68. – № 3. – С. 137–138.
342
120. Трощенко В.Т., Митченко Е.И. Прогнозирование долговечности при программном циклическом нагружении с учетом рассеяния свойств // Проблемы прочности. – 1984. – №10. – С. 3–8.
121. Турчак Л.И. Основы численных методов. – М.: Наука, 1987.
– 320 с.
122. Тырсин А.Н. Построение моделей авторегрессии временных
рядов при наличии помех // Математическое моделирование. – 2005.
– Т. 17. – №1. – С. 10–16.
123. Устойчивые статистические методы оценки данных // Под
ред. Л.Р. Лонера, Г.Н. Уилкинсона. – М.: Машиностроение, 1984. –
232 с.
124. Фавстов Ю.К., Шульга Ю.Н. Сплавы с высокими демпфирующими свойствами. – М.: Металлургия, 1973. – 256 с.
125. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 400 с.
126. Фритцен. Идентификация матриц массы, демпфирования и
жесткости механических систем // Конструирование и технология
машиностроения. – 1986. – № 1. – С. 11–13.
127. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами. – М.: Мир, 1973. – 958 с.
128. Цапенко М.П. Измерительные и информационные системы.
– М.: Энергия, 1974. – 320 с.
129. Цема М.И. Измерение и обработка параметров монотонно
затухающих сигналов. – Киев: Наук.думка, 1988. – 120 с.
130. Чайковский Б.С., Позен Н.Л., Иванов Р.К. и др. Прибор для
автоматического счета числа циклов затухающих колебаний в заданном интервале изменения амплитуды // Проблемы прочности. – 1970.
– № 9. – С. 112–113.
131. Штейнберг Ш.Е. Идентификация в системах управления. –
М.: Энергоатомиздат, 1987. – 80 с.
132. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления.
Оценивание параметров и состояния. – М.: Мир. 1975. – 241 с.
133. Явленский К.Н., Явленский А.К. Вибродиагностика и прогнозирование качества механических систем. – Л. : Машиностроение,
1983. – 239 с.
343
Научное издание
Зотеев Владимир Евгеньевич
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ
ДИССИПАТИВНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
НА ОСНОВЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Редактор Е.С. Захарова
Верстка О.С. Афанасьева
Сдано в набор 15.01.09. Подписано в печать 25.02.09.
Формат 60х88 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times New Roman.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 19,8. Уч.-изд. л. 19,2.
Тираж 500 экз. Рег. №43. Заказ №156
ООО «Издательство Машиностроение»,
107076, Москва, Стромынский пер., 4
Отпечатано в типографии
Самарского государственного технического университета,
443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Корпус 8