Интегрированные системы идентификации с учетом априорной

130
Доклады ТУСУРа. 2004 г. Автоматизированные системы обработки информации, управления и проектирования
УДК 519.71+517.977.5
ИНТЕГРИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ С УЧЕТОМ
АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ
А.М. Кориков, В.Л. Сергеев
Рассмотрены теоретические основы интегрированных систем идентификации. Приводятся математические модели исследуемых объектов идентификации и модели объектов-аналогов, представляющие дополнительные априорные данные, накопленный опыт и
знания. Дана классификация интегрированных систем моделей, обоснована структура интегрированных систем идентификации.
Развитие теории идентификации
Теория идентификации как самостоятельное научное направление имеет полувековую
историю развития: вначале идентификация систем развивалась в рамках кибернетики – науки
об управлении сложными динамическими системами, а в настоящее время идентификация систем рассматривается как необходимая и обязательная подсистема теории управления [1]. С 28
по 30 января 2004 г. проведена III международная конференция «Идентификация систем и задачи управления» (SICPRO’04) [2], на которой проблемы идентификации и управления обсуждались в контексте всей познавательной человеческой деятельности по решению актуальных
прикладных задач. Предполагается, что с 2004 г. конференции SICPRO будут проводиться ежегодно и превратятся в «одно из наиболее популярных мест встречи специалистов из разных
областей науки управления» [2].
Возникает естественный вопрос: в чем причина полувекового интереса к проблемам
идентификации ? При этом в последние годы наблюдается постоянное увеличение числа публикуемых работ по проблемам идентификации как в классическом направлении [3, 4], так и в
направлении развития новых подходов к решению проблем идентификации и управления [5–8].
Чтобы получить ответ на поставленный вопрос, обратимся к истории развития методов идентификации систем.
Задачей идентификации системы, или просто идентификации, является построение оптимальной в смысле заданных критериев качества математической модели этой системы,
учитывающей случайность наблюдений, по результатам измерений входных и выходных
переменных, т.е. построение формализованного математического представления системы.
Задачи идентификации принято различать в узком и широком смысле. В узком смысле
задача идентификации состоит в оценивании параметров и состояния системы по результатам
наблюдений над входными и выходными переменными. При этом известна структура системы
и задан класс моделей, к которому данная система относится.
При идентификации в широком смысле решаются такие задачи, как выбор структуры системы и задание класса моделей, оценивание степени стационарности и линейности системы,
выбор информативных переменных и т.д.
131
Доклады ТУСУРа. 2004 г. Автоматизированные системы обработки информации, управления и проектирования
Разработанные в 50–70 гг. XX века методы идентификации, как в узком, так и в широком
смысле, основаны на методах математической статистики, теории статистических решений,
математических методах оптимизации. В настоящее время широко известны классические методы идентификации: наименьших квадратов, максимального правдоподобия, стохастической
аппроксимации [9–15].
Разработаны также методы идентификации в условиях непараметрической априорной
неопределенности, когда исследователь располагает лишь общими сведениями о структуре
моделей объектов, такими как ограниченность функций, их гладкость, существование производных и т.д. [16, 17].
Использование классических методов идентификации при решении практических задач
часто связано с проблемой устойчивости решений. Действительно, в реальных условиях функционирования стохастических объектов исходная информация о модели объекта, статистических характеристиках помех, как правило, неточная, и в распоряжении исследователя имеется
ограниченный набор экспериментальных данных, заданный в виде одной ограниченной реализации процесса. При таких условиях отмеченные выше классические методы идентификации
часто оказываются неустойчивыми и неработоспособными.
В этой связи в 60–90 гг. XX века интенсивное развитие получили методы устойчивого (робастного) оценивания и идентификации систем, основанные на использовании различной дополнительной априорной информации о решении, статистических характеристиках помех и т.п.
Наиболее известные устойчивые (стабильные) алгоритмы идентификации сводятся, по существу, к вероятностно-статистическим методам (Байеса, максимума апостериорной вероятности и
т.п.), методам решения некорректных задач Тихонова, методам условной оптимизации при наличии ограничений [18–20].
В процессе идентификации создаются модели, необходимые для практического использования математических методов и современных компьютерных технологий. В силу исключительной важности именно проблемы идентификации в настоящее время становятся «узким местом» при проектировании наукоемких систем с управлением. В современных условиях [1, 2]
теория идентификации развивается на основе учета человеческого фактора в нормативных
(предписывающих) моделях идентификации и признания решающей роли неформальных действий лица, принимающего решения (ЛПР) в процессе идентификации. Чтобы ЛПР успешно
решало прикладные задачи в обстановке жестких ограничений на время поиска приемлемого
решения, ему необходима информационная поддержка на всех этапах идентификации. В [1, 5]
предлагается обсуждать проблемы идентификации в рамках двухэтапной модели процесса
решения прикладной задачи теории управления: на 1-м этапе разрабатывается адекватная постановка (модель) прикладной задачи, а на 2-м – осуществляется решение прикладной задачи
при известной адекватной постановке.
Подавляющее большинство известных методов идентификации систем [3, 4, 9–20], формирующих основу классической теории идентификации, способно обеспечить информационную
поддержку ЛПР на 2-м этапе решения прикладной задачи. Теория идентификации в классическом направлении продолжает активно развиваться, так как за прошедшие годы существенно
132
Доклады ТУСУРа. 2004 г. Автоматизированные системы обработки информации, управления и проектирования
изменился масштаб прикладных задач, повысились требования к качеству решения и времени
поиска приемлемого решения, появились новые компьютерные технологии. Развитие теории
идентификации в классическом направлении постоянно стимулируется необходимостью оптимизации процесса решения прикладных задач [1, 2, 4].
На упомянутом выше 1-м этапе решения прикладной задачи наблюдается иная ситуация.
Методы и средства, разработанные на основе классической теории идентификации, являются
лишь вспомогательными для ЛПР, адекватная постановка решаемой прикладной задачи конструируется (разрабатывается), как правило, лишь на основе интуиции и жизненного опыта ЛПР и
представляет собой неформальный итерационный процесс. В [5, 6] делается попытка формализации этого процесса. В наших работах [7, 8] предлагается осуществить формализацию интуиции и жизненного опыта ЛПР созданием сложных систем идентификации, основанных на
использовании интегрированных моделей. Интегрированные модели и системы идентификации, состоящие из согласованных моделей компонентов, позволяют отображать целостные,
системные свойства реальных объектов и существенно повышают качество процедур принятия
решений. Важным компонентом интегрированной системы являются формализованные модели, учитывающие дополнительную априорную информацию, накопленный опыт и знания ЛПР.
Интегрированные модели и системы идентификации обеспечивают решение актуальных задач
[7, 8]: создание эффективных процедур учета разнородной дополнительной априорной информации; обеспечение устойчивости решения; повышение точности алгоритмов идентификации
при малом объеме исходных данных; формализацию и учет накопленного опыта и знаний; создание системы согласованности исходных, дополнительных априорных данных, накопленного
опыта и знаний; оптимизацию решений прикладных задач.
Изложение основ теории интегрированных систем идентификации (ИСИ) начнем с простых математических моделей (статических и динамических), затем рассмотрим модели дополнительной априорной информации (модели «объект-аналог»), а также классификацию ИСИ и
их структуру.
Математические модели объектов идентификации
Объекты идентификации – технические, экономические или социальные системы, удобно
формально представлять в виде многополюсника со многими входами и выходами [21], где через
X = ( x 1 , x 2 , ..., x n ) обозначены входы объекта, а через Y = ( y1 , y2 ,..., ym ) – реакции
объекта на входные возмущения (рис. 1).
ξ
X
Объект F
Y
133
Доклады ТУСУРа. 2004 г. Автоматизированные системы обработки информации, управления и проектирования
Рис . 1 – Представление объекта идентификации
Все входы объекта представляют собой воздействия внешней среды на объект и являются какими-то определенными функциями состояния среды и времени. Поскольку состояние
среды никогда точно не известно, то входы и выходы объекта естественно рассматривать как
случайные функции времени, статистические свойства которых в общем случае не известны.
*
*
Однако обычно известны наблюдения входа и выхода, т.е. реализация функций X (t ) и Y (t ) .
Объект связывает входы
X * с его выходом Y * . Эту связь формально можно охаракте-
ризовать некоторым оператором F0 , таким, что
Y * = F0 ( X * , ξ ) ,
где
(1)
ξ – неконтролируемые источники случайных возмущений.
Поэтому под моделью объекта естественно также понимать некоторый оператор
F , пре-
образующий наблюдаемое входное воздействие на объект X в его реакцию Y = F ( X ) . При
классическом подходе задача идентификации заключается в построении модельного оператора F из некоторого класса операторов по наблюдениям X
*
*
и Y , который был бы близок к
F0 в смысле некоторого критерия оптимальности. Рассмотрим примеры видов операторов F
и соответствующие данным видам модели, наиболее часто используемые при решении практических задач. Более детальные перечень и описания видов операторов и моделей объектов
идентификации приведен в [3, 4, 9–13, 21].
Статические модели
1. Линейные детерминированные модели. Модель линейного статического объекта с n
входами и m выходами описывается системой линейных алгебраических уравнений
m
yi = ∑ α ij x j , i = 1, n
(2)
j =1
или в векторной форме
Y = AX , где Y = ( y1 , y 2 ,..., y n )T – вектор-столбец выходных перемен-
ных объекта в момент времени t;
объекта в момент времени t;
X = ( x1 , x2 ,..., xm ) T – вектор-столбец входных переменных
A = (α ij , i = 1, n, j = 1, m) – матрица коэффициентов.
Задача идентификации системы (2) состоит в оценивании матрицы коэффициентов
A.
2. Нелинейные параметрические модели (функции регрессии). Модель объекта в этом
случае представляем в виде известной функции с неизвестными параметрами
y = f (x, α ) ,
(3)
134
Доклады ТУСУРа. 2004 г. Автоматизированные системы обработки информации, управления и проектирования
где
y – выходная переменная объекта; f (x, α ) – известная функция двух векторных аргу-
ментов:
x = ( x1 , x2 ,K xm ) – входа объекта и α = (α1 , α 2 ,Kα m ) – вектора неизвестных пара-
метров.
Задача идентификации сводится к определению параметров α на основе экспериментальных наблюдений.
Частным случаем параметрических моделей являются модели, линейные относительно
оцениваемых параметров. Такие модели образуются в результате разложения искомой функции по заданной системе функций f (x, α ) =
∑ α φ (x ) , где φ (x ) – система векторных линейk
j =1
j
j
j
но независимых функций. Частным случаем такого представления является аппроксимация
функции f (x, α ) отрезком многомерного ряда Тейлора.
Отметим преимущества использования нелинейных моделей объектов:
1) нелинейность является существенным свойством большинства реальных объектов;
2) дополнительная информация часто позволяет выбрать достаточно точную нелинейную
модель с числом параметров значительно меньшим, чем для аналогичной линейной модели.
Приведем примеры
практического использования нелинейной регрессионной модели
объекта.
3.
Модель
производственных
функций.
Модель
описывается
уравнением
y = f ( x, α ) =
= α0 x1α1 x2α2 ,..., xmαm , где y – результат производства (объем дохода); x1 , x2 ,..., xm – затраты ,
факторы производства (капитала, труда, информации, технологии и т.д.). Параметры
α1 , α 2 ,..., α m отражают влияние факторов x1 , x2 ,..., xm на результат y .
4. Функция регрессии в задаче медицинской диагностики
f (t , α ) = α1 +
α2
exp( −α4t ) .
α3
Данная функция описывает изменения содержания сахара в плазме крови человека после «нагрузки» глюкозой. Используется в алгоритмах ранней диагностики заболеваний сахарным диабетом.
5. Функция регрессии в задаче интерпретации гидродинамических исследований скважин нефтяного месторождения
f (t , α ) = α1 + α2 ln(α3t + α4 ) .
Данная функция описывает изменение забойного давления нефтяных скважин после их
остановки в целях определения фильтрационных параметров
α1 , α2 , α3 , α4 нефтяной залежи.
6. Функция регрессии в задачах прогноза добычи нефти и оценки извлекаемых запасов
f (t , α) = α1t α2 exp( −α3t ) .
135
Доклады ТУСУРа. 2004 г. Автоматизированные системы обработки информации, управления и проектирования
Данная зависимость является простой моделью, отражающей изменения добычи нефти
в процессе разработки нефтяного месторождения. Используется для прогноза добычи нефти и
T
оценки извлекаемых запасов флюидов [7] S =
∫ f (t, α) dt , где T
– время окончания разработ-
0
ки нефтяного месторождения.
7. Статические стохастические модели. Статический стохастический объект в общем
случае описывается функцией вида
Y = F (X , ξ) ,
где
(4)
F – оператор объекта;
ξ – случайные неконтролируемые факторы (помехи), порожденные либо самим объек-
том, либо средствами сбора и передачи информации.
Обычно предполагается, что помехи аддитивные, т.е. регулярная и случайная составляющие выхода могут быть разделены:
Y = F (X ) + ξ .
(5)
Статистические свойства случайной составляющей
входа
ξ зависят от контролируемого
X.
Модель объекта строится в общем случае в виде нелинейной многомерной функции рег-
рессии вида
Y = F ( x) ,
(6)
которая не зависит от неконтролируемой случайной составляющей
ξ.
8. Непараметрические стохастические модели. Непараметрические стохастические
модели описываются функцией, относительно которой известны лишь достаточно общие сведения, такие как непрерывность, ограниченность, существование производных и т.д. При данных априорных предположениях в качестве модели объекта часто используют функцию регрессии (условное математическое ожидание)
y = f (x) =
∫ yP( y / x)dy ,
(7)
R1
где
P( y / x) – условная плотность вероятности выхода объекта.
Задача идентификации в данном случае заключается в оценке условной плотности веро-
ятности и функции регрессии на основе наблюдений входа и выходов объекта.
Динамические модели
В качестве математического описания динамических объектов наиболее часто используют
интегральные
уравнения,
обыкновенные
дифференциальные
уравнения,
дифференциальные уравнения в частных производных, конечно-разностные, дискретные
аналоги интегральных и дифференциальных уравнений.
136
Доклады ТУСУРа. 2004 г. Автоматизированные системы обработки информации, управления и проектирования
1. Динамические системы на основе интегральных уравнений. Модель линейного динамического объекта, на вход которого поступает сигнал
x(t ) , вызывающий реакцию y (t ) , часто
представляют в виде интегрального уравнения
t
y (t ) =
∫ h(t, τ)x( τ)dτ ,
(8)
−∞
где
h(t , τ ) – импульсная переходная функция (ИПФ) системы, h(t , τ ) = 0 при t < τ .
В стационарном случае
h(t , τ) = h (t − τ) уравнение (8) переходит в интегральное урав-
нение свертки
y (t ) =
t
∞
−∞
0
∫ h(t − τ)x(τ)dτ = ∫ h(τ)x(t − τ)dτ .
(9)
Задача идентификации заключается в определении ИПФ объекта h(t , τ ) либо h ( τ ) .
Наряду с описанием линейного объекта с помощью ИПФ можно использовать его описание с помощью передаточной функции ϕ ( t , p ) , связанной с ИПФ соотношениями
∞
ϕ( t , p ) =
∫ h (t , τ)e
−∞
σ+ j∞
− pτ
1
ϕ(t , p ) e pτdp .
dτ , h(t , τ) =
∫
2πj σ− j∞
(10)
В стационарном случае ϕ ( t , p ) = ϕ ( p ) .
Модель нелинейного динамического инерционного объекта строится в предположении,
что нелинейность и инерционность объекта можно разделить и представить объект в виде последовательной комбинации двух звеньев: нелинейного безынерционного и динамического линейного. В одномерном случае, предполагая, что инерционное звено стационарно, выход объекта
y (t ) связывают с его входом x(t ) одним из двух соотношений:
∞
⎡∞
⎤
y (t ) = ∫ h ( τ ) f [ x (t − τ)]dτ либо y (t ) = f ⎢ ∫ h( τ)x (t − τ)dτ ⎥ .
0
⎣0
⎦
(11)
Задача идентификации будет состоять в определении пары функций h(t ) и f (t ) .
2. Динамические системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями. Модель линейного динамического объекта, на вход которого поступает сигнал x(t ) ,
вызывающий сигнал y (t ) , часто представляют в виде обыкновенного дифференциального
уравнения
an
где
dn y
dy
dx m
dx
+
...
+
a
+
a
y
=
b
+ ... + b1 + b0 x ,
m
1
0
n
m
dt
dt
dt
dt
d i y (0) / dt i = y0i , i = 0,1,..., n − 1 , – начальные состояния системы;
n и m – параметры структуры (порядок) уравнения.
(12)
137
Доклады ТУСУРа. 2004 г. Автоматизированные системы обработки информации, управления и проектирования
Если система нестационарная, то коэффициенты уравнения ai и b j должны быть функциями времени. Задача идентификации заключается в определении порядка уравнения, коэффициентов ai , b j и начальных состояний (если они неизвестны).
Класс моделей на основе интегральных и обыкновенных дифференциальных уравнений
имеет свои преимущества и недостатки. Модели на основе дифференциальных уравнений могут приводить к большим ошибкам идентификации, если порядок модели не соответствует порядку объекта. Преимущество моделей на основе интегральных уравнений состоит в том, что
они не требуют явного знания порядка объекта. Однако в этом случае описание объекта является непараметрическим, бесконечномерным, поскольку определение функции эквивалентно
определению (заданию) бесчисленного числа параметров.
3. Нелинейные динамические модели. В непрерывном случае одномерный динамический
объект (один вход и один выход) может быть описан с помощью нелинейного дифференциального уравнения
y n (t ) = f ( y n−1 ,..., y, x m ,..., x) ,
где
(13)
f – нелинейная функция ( n + m + 1 )-го аргумента, которую и нужно идентифицировать.
4. Динамические системы, описываемые дифференциальными уравнениями в частных
производных. Динамические объекты, представленные дифференциальными уравнениями в
частных производных, имеют чрезвычайно широкое научное и практическое применение в разнообразных задачах гидротермодинамики, переноса излучения, прогноза погоды, динамики
атмосферы и океана и т.д. [22].
Дифференциальное
уравнение с частными производными
порядка
r есть функцио-
нальное уравнение вида
⎛
⎞
∂f ∂f
∂f ∂ 2 f
F ⎜ X, f ,
,
, ...,
, 2 , ... ⎟ = 0 ,
∂x1 ∂x2
∂xn ∂x1
⎝
⎠
(14)
содержащее по меньшей мере одну частную производную порядка
r от неизвестной функции
f ( X ) , где X = ( x1 , x2 ,..., xn ) .
В качестве примера рассмотрим дифференциальное уравнение параболического типа
однофазной фильтрации, которое описывает плоскорадиальный приток сжимаемой жидкости к
скважине нефтяного пласта:
стоянии
∂P ∂ 2 P ∂P
+
=
, где P – давление в момент времени t на расr∂r r∂r 2 χ∂t
r от оси скважины; χ – коэффициент пьезопроводности пласта, который характеризу-
ет скорость перераспределения давления в пласте.
Задача идентификации заключается в определении пьезопроводности пласта по результатам гидродинамических исследований скважины и регистрации кривой изменения давления
после остановки скважины.
5. Дискретные, конечно-разностные
аналоги интегральных и дифференциальных
уравнений. При решении задач идентификации широкое применение получили дискретные, ко-
138
Доклады ТУСУРа. 2004 г. Автоматизированные системы обработки информации, управления и проектирования
нечно-разностные аналоги интегральных и дифференциальных уравнений с использованием
численных методов [18].
Суть этих методов заключается в замене интегралов суммами, а производных их конечными разностями. Это позволяет свести интегральные и дифференциальные уравнения к
соответствующим системам сеточных алгебраических уравнений.
Решение уравнений определяется в узлах сетки, что часто требует запоминания большого объема данных и проведения больших вычислений.
Математические модели дополнительной априорной информации
Сведения об объектах идентификации условно можно разделить на следующие типы:
1) исходные и дополнительные данные (наблюдения входов и выходов объекта; дополнительные апостериорные и априорные данные);
2) априорная информации о структуре объекта;
3) априорная информация о статистических характеристиках случайных неконтролируемых переменных.
1. Исходные и дополнительные данные. Основным источником исходных данных для
идентификации являются результаты прямых наблюдений входных и выходных переменных
объекта.
В качестве дополнительных апостериорных (текущих) данных о переменных объекта могут быть использованы измерения, полученные из наблюдений косвенных переменных, функционально связанных с входными и выходными переменными объекта. К априорным могут
быть отнесены данные, полученные на основе экспертных оценок переменных объекта, различных методик их расчета и т.д.
Удобной моделью дополнительных апостериорных либо априорных данных является понятие объекта-аналога, т.е. системы, подобной исследуемому объекту.
Объект-аналог определим как реально существующий либо воображаемый упрощенный
объект, отражающий основные черты исследуемой системы, особенности ее строения и функционирования, представляющий и формализующий в виде моделей дополнительные апостериорные и априорные данные, накопленный опыт и знания.
Объект-аналог
F , изображенный на рис. 2, является некоторым отражением исследуе-
мого объекта F .
ξ
X
Исследуемый
объект F
Y
Z
Объектаналог F
Z
η
139
Доклады ТУСУРа. 2004 г. Автоматизированные системы обработки информации, управления и проектирования
Рис. 2 – Модель 1-го уровня ИСИ
Исследуемый объект и объект-аналог представляют некоторую интегрированную систему
взаимодействующих моделей первого уровня:
⎧Y = F ( X , ξ);
⎨
⎩ Z = F ( Z , η),
(15)
где η – случайные возмущения, связанные, например, с ошибками задания дополнительных
априорных данных.
Переменная
Z объекта-аналога может соответствовать входным X либо выходным Y
переменным, а также представлять параметры, функции (функционалы), определяющие структуру исследуемого объекта. Переменная
Z представляет дополнительные апостериорные
либо априорные данные.
Например, дополнительные априорные данные о параметрах модели нелинейного параметрического объекта (3) могут быть представлены объектом-аналогом
α = α + η , где η – слу-
чайные ошибки задания дополнительных данных α .
Дополнительные априорные сведения о выходной переменной исследуемого объекта
могут быть также представлены объектом-аналогом
y = g ( y ) + η , где g – некоторая неиз-
вестная функция регрессии.
Как и для исследуемых объектов, операторы и математические модели объектованалогов могут быть представлены математическими зависимостями (2)–(14). Объекты-аналоги
также могут быть статическими либо динамическими, линейными либо нелинейными системами.
Исследуемой системе может соответствовать не один, а несколько объектов-аналогов.
В этом случае интегрированная система первого уровня имеет вид
⎪⎧Y = F ( X , ξ);
⎨
⎪⎩ Z j = F j ( Z j , η), j = 1, m.
(16)
На основе интегрированной системы (16) могут быть представлены, например, исходные
и дополнительные данные о параметрах и выходе нелинейного параметрического статического
объекта в виде единой интегрированной стохастической системы взаимодействующих моделей:
⎧ y = f ( x, α) + ξ;
⎪
⎨ α j = α j + η j , j = 1, m;
⎪
⎩ yi = g ( yi ) + νi , i = 1, n.
(17)
140
Доклады ТУСУРа. 2004 г. Автоматизированные системы обработки информации, управления и проектирования
Объекты-аналоги Z в свою очередь могут быть использованы в качестве исходных исследуемых систем и иметь свои аналоги – Z . Тогда имеем интегрированную стохастическую
систему второго уровня:
⎧
⎪Y = F ( X , ξ);
⎪
⎨ Z j = F j ( Z j , η j ), j = 1, m;
⎪
⎪⎩ Z jk = F jk ( Z j , Z j , η jk ), k = 1, l.
(18)
В общем случае интегрированная система моделей может иметь неограниченное число
уровней и представляет некоторую иерархическую структуру.
2. Априорная информация о структуре объекта. Априорная информация о структуре
объекта известна еще до наблюдений входов и выходов объекта, носит в основном качественных характер и позволяет выбрать модель объекта и определить его структуру.
3. Априорная информация о статистических характеристиках случайных неконтролируемых переменных. Основная трудность идентификации систем состоит в том, что в большинстве реальных ситуаций наблюдения над исследуемыми объектами и объектамианалогами искажены случайными возмущениями, которые определяются многими причинами.
Погрешности могут появляться за счет ошибок регистрации входных и выходных переменных
объекта, ошибок выбора структуры модели объекта, ошибок задания дополнительной
априорной информации и т.д. Обычно эти ошибки описываются с помощью аддитивных помех.
Наличие помех, искажающих наблюдаемые входные и выходные сигналы, приводит к тому, что для идентификации должны использоваться статистические методы.
Плотности распределения вероятностей помех с формальной точки зрения могут быть
любыми. Однако на практике часто возникают типичные ситуации, связанные с одинаковым
механизмом их возникновения. Важную роль играют следующие законы распределения вероятностей помех: равномерный закон, нормальный закон, закон Лапласа.
Интегрированные системы моделей и их классификация
Под интегрированной системой моделей (рис. 3) будем понимать совокупность модели
исследуемого объекта и моделей объектов-аналогов.
Интегрированная система моделей
Модель исследуемого объекта
Модели объектов-аналогов
Рис. 3 – Интегрированная система моделей
Введем следующую классификацию интегрированных систем моделей (ИСМ):
1) линейные ИСМ –
линейные статические,
линейные динамические;
141
Доклады ТУСУРа. 2004 г. Автоматизированные системы обработки информации, управления и проектирования
2) нелинейные ИСМ –
нелинейные статические,
нелинейные динамические;
3) линейные непараметрические ИСМ –
линейные непараметрические статические,
линейные непараметрические динамические;
4) нелинейные непараметрические ИСМ –
нелинейные непараметрические статические,
нелинейные непараметрические динамические;
5) непараметрические ИСМ –
статические непараметрические,
динамические непараметрические.
Приведем примеры стохастических интегрированных систем моделей, основанных на стохастических моделях исходных объектов и стохастических моделях объектов-аналогов.
1. Линейные интегрированные системы моделей. Линейные интегрированные системы
моделей основаны на линейных статических либо динамических моделях исследуемых объектов и на линейных (статических либо динамических) моделях объектов-аналогов. В качестве
примера линейной статической интегрированной системы моделей первого уровня рассмотрим
регрессионную модель объекта и модель дополнительной априорной информации вида
⎧ * m
⎪ yi = ∑ xij α j + ξi , i = 1, n;
⎪
j =1
⎨
m
⎪ α = r α + η , j, k = 1, m,
∑
j
jk k
j
⎪⎩
k =1
где
(19)
yi* – измеренные значения выхода объекта y ;
x j – входные переменные объекта;
α j – неизвестные параметры модели объекта;
α j – дополнительные априорные данные о параметрах объекта, являющиеся в свою оче-
редь выходными переменными объекта-аналога;
rjk – некоторые известные параметры объекта-аналога;
xij – значения входных переменных;
ξi – ошибки измерения выхода объекта;
η j – ошибки задания априорной информации.
Модель (19) удобно представить в матричной форме
⎧ y * = Fα + ξ;
⎨
⎩α = Rα + η,
(20)
142
Доклады ТУСУРа. 2004 г. Автоматизированные системы обработки информации, управления и проектирования
где
F – матрица, которую часто называют матрицей планирования: F = ( xij , i = 1, n, j = 1, m);
y * , α, ξ – имеют смысл векторов-столбцов измерений выхода объекта, параметров моде-
ли и ошибок измерений выходной переменной объекта;
R = (r jk , j , k = 1, m) – матрица коэффициентов объекта-аналога;
α, η – векторы-столбцы дополнительных априорных данных и ошибок их задания.
Линейной считается интегрированная система моделей, в которой в качестве входных
переменных (регрессоров) объекта используются их функциональные преобразования вида
f j ( x ) . В данном случае матрица планирования имеет вид F = f j ( xij ) .
В качестве примера линейной динамической интегрированной системы моделей первого
уровня приведем уравнения
⎧ * T
⎪ yi = ∫ h( τ)x (ti − τ)d τ + ξi ;
⎨
0
⎪ h = h + η , i = 1, n,
i
i
⎩ i
(21)
где априорная информация об ИПФ h ( τ) задана в моменты измерения выхода объекта
yi* = y * (t i ), i = 1, n .
Используя представление ИПФ в виде ряда известных функций h(t ) =
m
∑α
j =1
j
f j (t ) , интег-
рированную систему моделей (21) можно свести к линейной статистической системе вида
*
⎪⎧ y t = Fα + ξ;
⎨
⎪⎩ h = Hα + η,
где
(22)
⎛T
⎞
F = ⎜ ∫ f j ( τ) x (ti − τ)dτ, j = 1, m, i = 1, n ⎟ ;
⎝0
⎠
H = f j (ti ) – матрица известных функций, вычисленных в точках ti ;
h – вектор-столбец дополнительных априорных данных о значениях ИПФ в моменты
времени ti .
В качестве примера рассмотрим линейную интегрированную систему моделей первого
уровня с двумя объектами-аналогами, которые дают возможность учитывать дополнительную
априорную информацию о параметрах модели исследуемого объекта и априорную информацию о выходе:
⎧ y * = Fα + ξ;
⎪
⎨ Γ1α = Rα + η;
⎪ Γ y = Hy + ν,
⎩ 2
где
F , R , H – известные матрицы;
(23)
143
Доклады ТУСУРа. 2004 г. Автоматизированные системы обработки информации, управления и проектирования
y = ( y1 , y 2 ,..., y n ) T – вектор дополнительных априорных данных о выходе объекта в моменты времени ti , заданный с ошибками ν = (ν 1 ,ν 2 ,...,ν n ) ;
T
Γ1 , Γ2 – диагональные (индикаторные) матрицы нулей либо единиц (где, например,
0 × α j означает, что априорная информация о j -й компоненте вектора α отсутствует).
При Г1 = (1, 0,0,...,0) , Г 2 = (0, 0,...,0) , R = H = I интегрированная система моделей
(23) переходит в интегрированную систему с одним объектом-аналогом, который представляет
дополнительную информацию только о первой компоненте вектора параметров α :
⎧ y * = Fα + ξ,
⎨
⎩ α1 = α1 + η1.
2. Нелинейные интегрированные системы моделей. Нелинейные интегрированные системы моделей основаны на нелинейных статических либо динамических моделях исследуемых
объектов и линейных либо нелинейных моделях объектов-аналогов.
В качестве примера рассмотрим нелинейную статическую интегрированную систему моделей, в которой линейная модель объекта-аналога представляет дополнительную априорную
информацию о неизвестных параметрах модели исследуемого объекта:
⎧ yi* = yi + ξi = f ( x i , α ) + ξi , i = 1, n;
⎨
⎩α = R ⋅ α + η,
где
(24)
yi* , i = 1, n , – измеренные с ошибками ξ i , i = 1, n, значения выхода объекта y ;
yi = f (x i , α ) – значения выхода модели объекта, полученные при соответствующих значениях входов x i = ( x1i , x 2i ,...x mi ) ;
α, R , η – определенные в (20) характеристики объекта-аналога.
Рассмотрим пример нелинейной динамической интегрированной системы моделей, в которой модель исследуемого объекта представлена конечно-разностным аналогом нелинейного дифференциального уравнения первого порядка
dy
= f ( yt , t , α, x t ) , y (0) = α 0 ,
dt
где
(25)
f ( yt , t , α, x t ) – нелинейная относительно параметров α функция;
α 0 – начальное значение.
При известной априорной информации о параметрах модели и выходе объекта
имеет
место нелинейная динамическая интегрированная система моделей:
⎧ yt* = yt + ξt = f '( yt −1 , yt , t , α, x t ) + ξt , t = 1, n, y (0) = y (0);
⎪
⎨ Г1α = Rα + η;
⎪ Г y = Hy + ν,
⎩ 2
(26)
144
Доклады ТУСУРа. 2004 г. Автоматизированные системы обработки информации, управления и проектирования
где
yt* – измеренное в моменты времени t значение выхода объекта yt ;
f ' ( yt −1 , yt , t , α, x t ) – конечно-разностная аппроксимация модели объекта;
x t = ( x1t , x2t ,..., xmt ) – заданные значения входных переменных объекта.
В общем случае для нелинейного дифференциального уравнения и s объектов-аналогов
динамическая нелинейная интегрированная система моделей примет вид
(
)
⎧ yt* = F yt , yt −i , t , α, x t , x t − j , i = 1, r1 , j = 1, r 2 ;
⎪
⎪⎪ yt −i = y (t − i ), x t − j = x(t − j ), i = 1, r1 , j = 1, r 2 ;
⎨
⎪ Г1k α k = R k α + ηk , k = 1, s1;
⎪
⎪⎩ Г2 l y l = Hl y + ν l , l = 1, s 2 , s = s1 + s2 ,
где
(27)
α k – векторы-столбцы дополнительных априорных данных, полученных с s1 объектов-
аналогов с ошибками ηk ;
y l – векторы-столбцы дополнительных априорных данных с s 2 объектов-аналогов, заданных с ошибками ν k ;
F – конечно-разностный оператор;
yt −i = y (t − i ), x t − j = x (t − j ) – начальные условия;
Г1k , Г2l – индикаторные диагональные матрицы вида (23).
3. Линейные непараметрические интегрированные системы моделей. Линейные непараметрические интегрированные системы моделей основаны на линейных статических либо
динамических моделях объекта и на непараметрических статических либо динамических моделях объектов-аналогов.
В качестве примера линейной непараметрической статической интегрированной системы
моделей, в которой дополнительная априорная информации о параметрах модели и выходе
объекта представлена классами непараметрических моделей, приведем уравнения
⎧ y * = Fα + ξ;
⎪
⎨α = f1 (α ) + η;
⎪
⎩ y = f 2 ( y ) + ν,
где
(28)
f1 , f 2 – неизвестные однозначные ограниченные функции.
Данная интегрированная система моделей является естественным представлением мо-
делей дополнительных априорных данных, поскольку часто не удается найти подходящее конечномерное параметрическое описание связи исследуемых объектов и объектов-аналогов.
4. Нелинейные непараметрические интегрированные системы моделей. Нелинейные
непараметрические интегрированные системы моделей основаны на нелинейных статических
145
Доклады ТУСУРа. 2004 г. Автоматизированные системы обработки информации, управления и проектирования
либо динамических моделях объекта и на непараметрических статических либо динамических
моделях объектов-аналогов.
В качестве примера нелинейной непараметрической статической интегрированной системы моделей, по аналогии с (28), приведем уравнения
⎧ y * = f ( x , α ) + ξ;
⎪
⎨α = f1 (α) + η;
⎪
⎩ y = f 2 ( y ) + ν,
(29)
f (x, α) – известная нелинейная функция регрессии.
где
5. Непараметрические интегрированные системы моделей. Непараметрические интегрированные системы моделей основаны на непараметрических статических либо динамических
моделях объекта и на непараметрических статических либо динамических моделях априорной
информации. Непараметрическую статическую стохастическую систему с одним объектоманалогом (модель двух черных ящиков) можно представить в виде
⎧ y * = f1 ( x ) + ξ ;
⎨
⎩ Гy = f 2 ( x ) + η,
где
(30)
f1 , f 2 – неизвестные однозначные функции,
Г – известная индикаторная матрица.
Данная интегрированная система моделей часто используется в случаях, когда объект
слабо изучен либо достаточно сложный для параметрического описания. С другой стороны, и
дополнительную априорную информацию о выходе объекта не удается представить в виде конечномерного параметрического описания.
Структура интегрированной системы идентификации
Под интегрированной системой идентификации понимается система разработки (проектирования) оптимальной в смысле заданных критериев качества интегрированной системы
моделей. Структура интегрированной системы идентификации представлена на рис. 4.
Интегрированная система идентификации
Интегрированная
система моделей
Критерии качества
и оптимальности
Алгоритмы адаптации (решение
оптимизационных задач)
Рис. 4 – Структура интегрированной системы идентификации
Интегрированные системы моделей достаточно подробно даны в предыдущем разделе,
поэтому ниже рассматриваются только критерии качества и оптимальности интегрированных
систем моделей и алгоритмы адаптации.
146
Доклады ТУСУРа. 2004 г. Автоматизированные системы обработки информации, управления и проектирования
Критерии качества и оптимальности. Комбинированные критерии качества интегрированной системы моделей, состоящие из комбинации частных критериев, предназначены для
объединения (слияния) моделей объекта и моделей объектов-аналогов.
Частные критерии качества представляют меры близости измеренных значений выходных переменных исследуемого объекта и выходных переменных объектов-аналогов к соответствующим значениям выходных переменных модели объекта и моделей объектов-аналогов.
В случае одной выходной переменной для оценки близости объекта и его модели, оценки близости дополнительных априорных данных их моделям вводится функция (функционал)
потерь
r (U ,V ) , обладающая свойствами расстояния:
1) r (U ,V ) > 0 ∀U ≠ V ;
2) r (U ,V ) = 0 ∀U = V ;
3)
r (U ,V ) ≤ r (U , Z ) + r ( Z ,V ) ∀U ,V , Z .
Например, средние потери от отклонения модели объекта y (t ) от соответствующих от*
клонений выхода объекта y (t ) на интервале [0, T ] будут равны
Q( α ) =
где
1T
*
∫ r ( y (t ), y (t ))dt ,
T 0
(31)
y (t ) = f ( x(t ), α ) ;
r – функция потерь.
В данном случае задача оптимизации заключается в определении вектора параметров
α * модели объекта, который бы минимизировал средние потери:
α* = arg min Q(α) ,
(32)
α∈Rm
где
arg min Q(α ) означает точку минимума функционала средних потерь Q(α ) .
α∈Rm
Сформулированный критерий оптимальности переводит процедуру определения параметров функции в задачу оптимизации. Функционал средних потерь часто называют критерием
качества модели объекта либо просто критерием качества.
Предполагая аддитивный характер ошибок измерения выхода объекта
yi* = f ( xi , α ) + ξi , i = 1, n ,
функционал качества часто выбирают в виде
n
n
i =1
i =1
Q(α ) = ∑ r ( yi* − f (x i , α )) = ∑ r (ξ i ) .
(33)
Выбор функции потерь r определяется вероятностно-статистическими характеристиками
случайных ошибок (помех) ξi , i = 1, n . Например, при независимости и нормальности ошибок
ξi , i = 1, n , имеющих ограниченную дисперсию σi2 = σ < ∞, i = 1, n , оптимальной является
147
Доклады ТУСУРа. 2004 г. Автоматизированные системы обработки информации, управления и проектирования
функция потерь r ( ξi ) = ξi , i = 1, n [13, 20], и критерий качества (33) переходит в широко ис2
пользуемый квадратичный критерий
n
Q(α) = ∑ ξi2 = y * − f ( x ,α) = ξ T ξ ,
2
(34)
i =1
где
y * – вектор измеренных значений выхода объекта;
f (x, α ) – вектор-столбец значений выхода объекта, полученный на основе модели объ-
екта в точках;
x – норма вектора x .
Часто используется взвешенный с весами wij , i, j = 1, n , функционал качества
Q( α ) = y * − f ( x , α )
2
Wy
= ( y * − f ( x, α ))T Wy ( y * − f ( x, α)) ,
(
где матрица Wy = wij , i , j = 1, n
)
(35)
определяется статистическими характеристиками вектора
*
случайных величин y .
Если распределение плотности вероятности величины ξi , i = 1, n , равно распределению
Лапласа
f ( x ) = σ −2 exp ( − x / 2σ2 ) , то оптимальным является критерий качества [20]
n
Q(α ) = ∑ yi* − f ( xi , α ) .
(36)
i =1
Частные критерии качества объектов-аналогов формируем по аналогии с рассмотренными функционалами качества. Например, для линейной интегрированной системы моделей с
учетом априорной информации о выходе объекта и параметрах модели объекта
⎧ y * = Fα + ξ;
⎪
⎨α = Rα + η1 ;
⎪ y = Hy + η
2
⎩
(37)
частные квадратичные критерии качества объектов-аналогов равны
2
J1 (α ) = α − Rα , J 2 (α ) = y − Hy
2
.
(38)
При использовании данных критериев качества предполагается, что векторы ошибок задания дополнительных априорных данных η1 и η2 распределены по нормальному закону.
При наличии априорной информации о статистических характеристиках ошибок η1 , η2
следует использовать взвешенные критерии вида
J1 (α ) = α − Rα
2
Wα
, J 2 (α ) = y − Hy
Wy
,
(39)
148
Доклады ТУСУРа. 2004 г. Автоматизированные системы обработки информации, управления и проектирования
где
чин
Wα , Wy – матрицы, связанные со статистическими характеристиками случайных вели-
α, y.
За критерий качества интегрированной системы моделей принимаем взвешенные част-
ные критерии качества вида
m
Φ(α ) = Q(α ) + ∑ β j J j (α ) ,
(40)
j =1
где
Q(α) – частный критерий качества модели исследуемого объекта;
J j (α ) – частные критерии качества моделей объектов-аналогов;
β j – некоторые управляющие переменные, определяющие вес дополнительных априорных данных.
Следует отметить,
что решение разнообразных задач обработки экспериментальных
данных, идентификации, оптимизации и управления связано с использованием взвешенных
критериев качества вида (40). Например, при решении задач оптимизации функций при наличии ограничений функционал типа
менные
Φ (α ) называют функцией Лагранжа, а управляющие пере-
β j имеют смысл множителей Лагранжа [19, 23].
При решении обратных некорректно поставленных задач [18] функционал
Φ (α ) имеет
смысл регуляризирующего (сглаживающего) критерия, а частные функционалы J j ,
j = 1, m ,
имеют смысл стабилизирующих функционалов, связанных с «гладкостью» искомого решения.
Так, например, при определении ИПФ
k (t ) интегрального уравнения (8) в качестве стаT
2
⎡ dk (t ) ⎤
билизирующего функционала используют J = ∫
⎢⎣ dt ⎥⎦ dt [18].
0
Новым в приведенной структуре взвешенного функционала (40) является наличие механизма, позволяющего учитывать разнородную дополнительную априорную информацию.
Оптимальная структура интегрированной системы моделей определяется критерием вида
α* (β* ), f * , f * = arg
где
min
α∈Rm , f ∈F , f ∈F , β∈R
Φ(α, f , f , β) ,
(41)
f * и f * представляют оптимальные функции из множества функций F , F , используе-
мых соответственно в качестве моделей исследуемого объекта и моделей объектов-аналогов;
α * (β * ) – оптимальные параметры модели объекта;
β* – оптимальные значения управляющих параметров.
Получение оптимальной структуры интегрированной системы моделей (41) представляет
достаточно сложную задачу проектирования, которую, как правило, решают последовательно:
149
Доклады ТУСУРа. 2004 г. Автоматизированные системы обработки информации, управления и проектирования
1) при заданной структуре моделей исследуемого объекта и объектов-аналогов получают оптимальные оценки неизвестных параметров
α* (β) = arg min Φ(α, f , f , β) ;
(42)
α∈Rm
2) определяют оптимальные значения управляющих параметров
β* = arg min Φ(α, f , f , β) ;
β∈R
(43)
3) определяют оптимальные модели объекта и оптимальные модели объектов-аналогов
*
f * , f = arg min Φ(α* , f , f , β* ) .
(44)
f ∈F , f ∈F
Алгоритмы адаптации. Алгоритм адаптации интегрированной системы моделей заключается в решении оптимизационных задач вида (42)–(44). Сложность решения оптимизационных задач зависит от сложности интегрированной системы моделей, сложности моделей объекта и моделей объектов-аналогов, размерности оцениваемых параметров функций.
Достаточно простые аналитические решения имеют место для линейных интегрированных систем моделей (20) и квадратичных функционалов качества (40). В данном случае имеет
место критерий оптимальности
(
α* (β) = arg min Φ = J + Q = y * − Fα
α
2
Wy
+ β α − Rα
2
Wα
)
(45)
и алгоритм адаптации сводится к решению систем линейных уравнений вида
( FT Wy F + β R T Wα R )α = ( FT Wy y * + β R T Wα α ) .
(46)
Для доказательства утверждения (46) достаточно взять производные от функционала Φ
по параметрам α и приравнять их к нулю:
∂Φ
= ∇αΦ = −2FT Wy ( y * − Fα ) − 2R T Wα (α − Rα ) = 0 .
∂α
В случае, если дополнительная информация о параметрах α получена с d1 объектованалогов, а дополнительная информация о выходе исследуемого объекта получена с d 2 объектов-аналогов, интегрированная система моделей примет вид
⎧ y * = F1α + ξ;
⎪
⎨α j = R1 j α + η1 j , j = 1, d 1;
⎪
⎩ y k = F2 k α + η2 k , k = 1, d 2 .
(47)
Для системы (47) соответствующим образом формируется комбинированный функционал качества как сумма взвешенных частных критериев качества исследуемого объекта и объектов-аналогов
Φ (α ) = y * − F1α
2
Wy
d1
+ ∑ β1 j α j − R1 j α
j =1
2
Wα
d2
+ ∑ β 2 k y k − F2 k α
k =1
2
Wy
,
150
Доклады ТУСУРа. 2004 г. Автоматизированные системы обработки информации, управления и проектирования
и алгоритм адаптации сводится к решению системы линейных уравнений вида
d1
d2
d1
d2
⎛ T
⎞
⎛ T
⎞
*
T
T
T
F
W
F
β
R
W
R
β
F
W
F
α
F
W
y
R
W
α
F2Tk Wy y ⎟ .(48
+
+
=
+
+
⎜ 1 y 1 ∑ j 1 j α 1 j ∑ k 2k y 2k ⎟
⎜
∑
∑
1j
y
α
j =1
k =1
j =1
k =1
⎝
⎠
⎝
⎠
)
Алгоритмы адаптации нелинейной интегрированной системы моделей вида (24) при использовании квадратичных критериев качества и градиентных методов оптимизации (ГауссаНьютона, Ньютона, сопряженных градиентов и т.п.) сводятся к последовательному решению
систем линейных алгебраических уравнений. Например, при использовании метода ГауссаНьютона алгоритм адаптации нелинейной интегрированной системы моделей (24) имеет вид
⎧⎪αi = α i −1 + hi ∆αi −1 ;
⎨ i −1 i −1
i −1
⎪⎩ A ∆α = B , i = 1, 2,3,...,
(49)
где приращение вектора параметров
∆α i −1 на каждом шаге i определяется путем решения
системы уравнений
(D
T
Wy D + β ⋅ R T Wα R )
i −1
∆αi −1 = ( DT Wy e + β ⋅ R T Wα ∆α ) ,
i −1
в которой
e
i −1
i −1
= y − f ( x, α ); D
*
ных по параметрам
i −1
⎛ ∂f (x i , α )
, i = 1, n , j = 1, m
=⎜
⎜ ∂α
j
⎝
i −1
⎞
⎟ – матрица частных производ⎟
⎠
α j , j = 1, m; ∆α 0 = (α − α 0 ) [7, 8].
Алгоритмы адаптации линейных и нелинейных непараметрических интегрированных систем моделей вида (28)–(30) при использовании квадратичных функционалов качества также
сводятся к решению систем линейных уравнений. Например, для линейной непараметрической
интегрированной системы моделей (28) алгоритм адаптации сводится к решению системы линейных уравнений вида
(F W F + К
T
y
где
1
+ FT К 2F ) α = ( FT Wy y * + K 1α + К 2 у ) ,
⎛ ⎛ α0 − α j
K 1 = diag ⎜ K ⎜ j
⎜
⎝ ⎝ h1
⎞
⎞
⎛ ⎛ yi0 − yi
K
=
,
j
=
1,
m
и
diag
⎟
⎟
⎜K⎜
2
⎟
⎝ ⎝ h2
⎠
⎠
матрицы весовых функций ( K h
(50)
⎞
⎞
⎟ , i = 1, n ⎟ – диагональные
⎠
⎠
→ 0, h → ∞, K h → C < ∞, h → 0 ), введенные по аналогии с
непараметрическими оценками плотности и регрессии [24].
Задача определения оптимальных значений управляющих параметров
оптимальной структуры моделей
β , определения
исследуемого объекта и структуры моделей объектов-
аналогов, как правило, не имеет аналитического решения и сводится к поиску минимума функции (функционала) одной либо многих переменных [23, 25].
В заключение отметим, что рассмотренные линейные, нелинейные и непараметрические интегрированные системы идентификации в зависимости от выбора матриц
R , Wy , Wα ,
151
Доклады ТУСУРа. 2004 г. Автоматизированные системы обработки информации, управления и проектирования
структуры дополнительных априорных данных, вектора управляющего параметра
β включают
широкий спектр известных классических алгоритмов идентификации и порождают новые алгоритмы, обеспечивающие комплексное решение проблем учета разнородной информации, устойчивости решения, ограниченности выборок, согласованности исходных и дополнительных
априорных данных, накопленного опыта и знаний; оптимизацию решений прикладных задач.
ЛИТЕРАТУРА
1. Прангишвили И.В. Международная конференция «Идентификация систем и задачи
управления» (SICPRO–2000), Москва, 26–28 сентября 2000 г. / И.В. Прангишвили, В.А. Лотоцкий, К.С. Гинсберг // Вестник РФФИ. –2001. – № 3 (25). – С. 44–57.
2. III Международная конференция «Идентификация систем и задачи управления» // Автоматика и телемеханика. – 2003. – № 11. – С. 202–204.
3. Клейман Е.Г. Идентификация нестационарных объектов / Е.Г. Клейман, И.А. Мочалов //
Автоматика и телемеханика. – 1994. – № 2. – С. 3–32.
4. Клейман Е.Г. Идентификация нестационарных объектов // Автоматика и телемеханика.
– 1999. – № 10. – С. 3–45.
5. Гинсберг К.С. Системные закономерности и теория идентификации // Автоматика и телемеханика. – 2002. – № 5. – С. 156–170.
6. Гинсберг К.С. Новый подход к структурной идентификации // Автоматика и телемеханика. – 2002. – № 6. – С. 85–98.
7. Сергеев В.Л. Идентификация систем с учетом априорной информации. – Томск: Изд-во
НТЛ, 1999. – 146 с.
8. Кориков А.М. Интегрированные модели и алгоритмы идентификации систем управления/ А.М. Кориков, В.Л. Сергеев // Проблемы современной электроники и систем управления.
Том 2. – Томск: Изд-во Том. гос. ун-та систем управления и радиоэлектроники, 2002. – С. 63–64.
9. Эйкофф Э. Основы идентификации систем управления. – М.: Мир, 1975. – 683 с.
10. Райбман Н.С. Построение моделей процессов производства / Н.С. Райбман, В.М. Чадеев. – М.: Энергия, 1975. – 375 с.
11. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации.– М.:Наука, 1984.– 320
с.
12. Рубан А.И. Идентификация и чувствительность сложных систем. – Томск: Изд-во Том.
гос. ун-та, 1982. – 303 с.
13. Идентификация динамических систем / Под. ред. А. Немуры. – Вильнюс: Минтис, 1974.
– 287 с.
14. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии. – М.: Финансы и статистика, 1981.
– 300 с.
15. Демиденко Е.З. Оптимизация и регрессия. – М.: Наука, 1989. – 296 с.
16. Катковник В.Я. Непараметрическая идентификация и сглаживание данных. – М.: Наука, 1985. – 336 с.
17. Добровидов А.В.
Непараметрическое
Г.М. Кошкин. – М.: Наука, 1997. – 336 с.
оценивание
сигналов /
А.В. Добровидов,
152
Доклады ТУСУРа. 2004 г. Автоматизированные системы обработки информации, управления и проектирования
18.Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. –
М.: Наука, 1979. – 288 с.
19. Ермаков С.М. Математическая теория оптимального эксперимента / С.М. Ермаков,
А.А. Живглявский. – М.: Наука, 1987. – 320 с.
20. Поляк Б.Т. Стабильное оценивание в условиях неполной информации / Б.Т. Поляк,
Я.З. Цыпкин // Вопросы кибернетики. Адаптивные системы управления. – М., 1977. – C. 6–14.
21. Справочник по теории автоматического управления / Под. ред. А.А. Красовского. – М.:
Наука, 1987. – 712 с.
22. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М. : Наука, 1980. – 535 с.
23. Рубан А.И. Оптимизация систем. Учеб. пособие. – Томск: Изд-во Том. гос. ун -та, 1984.
– 528 с.
24. Тарасенко Ф.П. Непараметрическая статистика. – Томск: Изд-во Том. гос. ун-та, 1975.
– 292 с.
25. Сергеев В.Л. К оптимизации регрессионных оценок непараметрического типа при ограниченных выборках // Математическая статистика и ее приложения. – Томск: Изд-во Том. гос.
ун-та, 1982. – Вып. 8. – C.123–148.