tyrbox - Сумський державний університет

Министерство образования и науки Украины
Сумский государственный университет
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ТЕОРИИ ТУРБОКОМПРЕССОРОВ
Учебное пособие
Рекомендовано ученым советом
Сумского государственного университета
Сумы
Сумский государственный университет
2014
УДК 621.515:533.6
ББК 31.76я7
К17
Рецензенты:
А. Р. Якуба – доктор технических наук, профессор, профессор кафедры
инженерных
технологий
пищевых
производств
Сумского
национального аграрного университета;
А. Г. Гусак – кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры
прикладной
гидроаэромеханики
Сумского
государственного
университета
Рекомендовано к печати ученым советом
Сумского государственного университета
(протокол № 2 от 11 сентября 2014 г.)
К17
Калинкевич Н. В.
Сборник задач по теории турбокомпрессоров : учебное
пособие / Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. – Сумы : Сумский
государственный университет, 2014. – 132 с.
ISBN 978-966-657-537-4
В сборнике задач приведены основные теоретические сведения, необходимые
для решения задач, примеры решения типовых задач и в конце каждого раздела
предлагаются задачи для самостоятельного решения. Необходимые дополнительные
данные (значения коэффициентов, таблицы свойств газов и жидкостей, вспомогательные
графики) представлены в основном тексте сборника и приложении, что облегчает
работу и не требует использования вспомогательной литературы.
Для студентов высших учебных заведений образования ІІІ–IV уровней
аккредитации направлений подготовки «Энергомашиностроение», «Энергетика»,
«Механика».
УДК 621.515:533.6
ББК 31.76я7
ISBN 978-966-657-537-4
 Калинкевич Н. В., Шарапов С. О., 2014
 Сумский государственный университет, 2014
Навчальне видання
Калінкевич Микола Васильович,
Шарапов Сергій Олегович
ЗБІРНИК ЗАДАЧ ІЗ ТЕОРІЇ ТУРБОКОМПРЕСОРІВ
Навчальний посібник
(Російською мовою)
Художнє оформлення обкладинки С. О. Шарапова
Редактор Н. А. Гавриленко
Комп’ютерне верстання С. О. Шарапова
Формат 60х84/16. Ум. друк. арк. 7,67. Обл.-вид. арк. 5,32. Тираж 300 пр. Зам. №
Видавець та виготовлювач
Сумський державний університет,
вул. Римського-Корсакова, 2, м. Суми, 40007
Свідоцтво суб’єкта видавничої справи ДК № 3062 від 17.12.2007.
СОДЕРЖАНИЕ
С.
Введение
5
1 Термодинамические основы теории турбокомпрессоров
7
1.1 Основные физические свойства газов
7
1.2 Модель идеального газа
8
1.3 Модель реального газа
12
Примеры решения задач
18
Задачи для самостоятельного решения
22
2 Газодинамические основы теории турбокомпрессоров
27
2.1 Основные уравнения для турбокомпрессоров
27
2.2 Газодинамические функции
31
Примеры решения задач
34
Задачи для самостоятельного решения
37
3 Обтекание профилей и решеток профилей
40
3.1 Профиль, решетка профилей
40
3.2 Сила взаимодействия профиля с потоком
43
3.3 Аэродинамические коэффициенты
49
Примеры решения задач
51
Задачи для самостоятельного решения
60
4 Течение газа в каналах турбокомпрессоров
65
4.1 Течение газа в каналах различной геометрической
формы
65
Примеры решения задач
78
Задачи для самостоятельного решения
86
3
5 Газодинамическое подобие турбокомпрессоров
92
5.1 Основные положения теории подобия
92
5.2 Критерии подобия
96
5.3 Характеристики турбокомпрессоров
101
Примеры решения задач
109
Задачи для самостоятельного решения
112
6 Турбулентность
116
6.1 Механизмы турбулентности
116
6.2 Моделирование турбулентности
122
Список рекомендованной литературы
130
Приложение А
131
4
Введение
ВВЕДЕНИЕ
Дисциплина «Теория турбокомпрессоров» является
базовой для изучения специальных дисциплин, связанных с
проектированием,
математическим
моделированием
и
проведением испытаний турбокомпрессоров.
Данный сборник задач является дополнением к учебному
пособию «Теория турбокомпрессоров» Н. В. Калинкевича и
А. Г. Гусака и его содержание в наибольшей степени
соответствует учебной программе по дисциплине «Теория
турбокомпрессоров» для студентов специальностей 6.05060403
«Холодильные машины и установки» и 6.05060405
«Компрессоры, пневмоагрегаты и вакуумная техника»
направления подготовки 6.050604 «Энергомашиностроение».
Для
улучшения
понимания
учебного
материала
содержание сборника задач полностью соответствует
содержанию вышеуказанного пособия. Сборник задач имеет
следующие разделы:
1 Термодинамические основы теории турбомашин.
2 Газодинамические основы теории турбомашин.
3 Обтекание профилей и решеток профилей.
4 Течение газа в каналах турбомашин.
5 Газодинамическое подобие турбомашин.
6 Турбулентность.
В сборнике задач принята следующая последовательность
изложения материала: в начале каждого раздела кратко
изложены основные теоретические сведения, необходимые для
решения задач, затем приведены примеры решения типовых
задач по данной теме, а в конце каждого раздела предлагаются
задачи для самостоятельного решения.
Для использования данного сборника задач необходимы
знания основных разделов следующих дисциплин:
- высшей математики (дифференциальное и интегральное
5
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
исчисления, дифференциальные уравнения, аналитическая
геометрия, векторная алгебра, теория рядов);
- физики (физические основы механики, молекулярнокинетическая теория газов);
- теоретической механики (статика, кинематика и
динамика твердого тела);
- технической термодинамики (термодинамика идеальных
и реальных газов);
- газодинамики (газодинамика сжимаемой жидкости,
основы теории пограничного слоя, расчет одно-, двух- и
трехмерных течений сжимаемой жидкости).
Использование данного сборника задач не требует
дополнительной литературы. Все необходимые для решения
задач данные приведены в тексте задач и в приложениях.
Данный сборник задач может использоваться на
практических
занятиях
по
дисциплине
«Теория
турбокомпрессоров» и для самоподготовки студентов к сдаче
зачетов и экзаменов.
6
1 Термодинамические основы теории турбокомпрессоров
1 ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ТЕОРИИ ТУРБОКОМПРЕССОРОВ
1.1 Основные физические свойства газов
Физические свойства газов определяются их молекулярной
структурой.
Характерными физическими свойствами газов являются
текучесть, вязкость, сжимаемость.
Текучесть – это свойство газа заполнять весь объем, в
который помещен газ.
Вязкость – это свойство газа сопротивляться деформации.
Величина сопротивления зависит от скорости деформации.
Данные свойства объясняются силами взаимодействия
молекул газа между собой.
При движении вязких газов получается различная
структура потока. Режим течения газа определяется числом
Рейнольдса: при малых числах Рейнольдса течение ламинарное,
при больших – турбулентное.
Число Рейнольдса определяется по формуле
Re 
cd

,
(1.1)
где с – скорость, м/с,
d – характерный размер, м,
 – коэффициент кинематической вязкости, м2/с.
Сжимаемость – это способность газа под действием
внешних сил изменять свой объем.
Для оценки сжимаемости потока газа служит отношение
скорости потока к скорости звука при тех же параметрах газа.
7
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Данное отношение называется числом Маха
M 
c
,
a
(1.2)
где а – местная скорость звука, которая определяется по
формуле
a
p

,
(1.3)
где р – давление газа, Па,
 – плотность газа, кг/м3.
Для идеального газа формулу (1.3) можно записать в виде
a  k  R T ,
(1.4)
где k – показатель адиабаты,
R – газовая постоянная, Дж/(кг  К),
Т – температура газа, К.
Для дозвуковых течений М < 1, для сверхзвуковых М > 1.
М = 1 показывает, что скорость потока равна местной скорости
звука. При М < 0,3 принято считать, что сжимаемостью газа
можно принебречь, т. е. принимать  = const.
1.2 Модель идеального газа
В газовой динамике «идеальный газ» – это невязкий газ.
Его
физическая
модель
предусматривает
следующие
допущения:
- объем частицы газа равен нулю (т. е. диаметр молекулы
пренебрежимо мал по сравнению со средним расстоянием
между молекулами);
- импульс передается только при соударениях (т. е. силы
8
1 Термодинамические основы теории турбокомпрессоров
притяжения между молекулами не учитываются, а силы
отталкивания возникают только при соударениях);
- суммарная энергия частиц газа постоянна (т. е. нет
передачи энергии за счет передачи тепла или излучением).
Согласно молекулярно-кинетической теории в данном
случае частицы газа движутся независимо друг от друга,
давление газа на стенку равно сумме импульсов в единицу
времени, переданных при столкновении частиц со стенкой,
энергия — сумме энергий частиц газа.
При давлениях газа р, существенно меньше критического
давления ркр, и температурах Т, больших, чем критическая
температура Ткр, можно считать, что газ находится в идеально
газовом состоянии и использовать для расчетов уравнение
состояния Менделеева – Клапейрона
p   R  T .
(1.5)
Теплоемкость идеального газа ср считается независящей от
давления, т. е. является функцией температуры и может быть
вычислена по формуле
2
3
c ид
р  a0  a1  T  a2  T  a3  T .
(1.6)
Значения коэффициентов а0, а1, а2 и а3 для некоторых
газов приведены в приложении А.
Для идеального газа справедливо уравнение Майера
c p  c  R ,
где ср – удельная изобарная теплоемкость, Дж/(кг  К),
с – удельная изохорная теплоемкость, Дж/(кг  К).
9
(1.7)
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Показатель адиабаты определяется по формуле
k
cp
c
.
(1.8)
Политропный процесс – это процесс, при котором
теплоемкость постоянна. Политропными являются все основные
термодинамические процессы идеального газа (изобарный,
изохорный, изотермический, адиабатный).
Уравнение политропного процесса имеет вид
dp
d
 n
0
p

(1.9)
или в интегральном виде
p  n 
p
n
 const .
(1.10)
Уравнение процесса является пятипараметрическим, т. е.
позволяет определить неизвестный пятый параметр, если
известны остальные четыре. Обычно это используется для
определения температуры газа в конце процесса сжатия:
p 
T2  T1   2 
 p1 
n 1
n
,
(1.11)
где п – показатель политропы, который рассчитывается по
формуле
n
ln  p 2 p1 
.
ln 1  2 
10
(1.12)
1 Термодинамические основы теории турбокомпрессоров
Выполнить измерение температуры проще, чем измерение
удельного объема, поэтому для определения показателя
политропы используется газодинамическая функция

ln  p 2 p1 
n
.

n  1 ln T2 T1 
(1.13)
Для идеального газа газодинамическую функцию  можно
определять по формуле
 
n
k

 n ,
n 1 k 1
(1.14)
где п – политропный коэффициент полезного действия.
Теплоемкость политропного процесса определяется по
формуле
c n  c 
nk
,
n 1
(1.15)
а теплота, подводимая или отводимая в политропном процессе,
рассчитывается по формуле
q  cn  T2  T1  .
(1.16)
Удельная работа (Дж/кг), совершаемая в политропном
процессе, определяется по формуле
n 1


n


p
n
n
2

l n     dp 
 R  T1     1 
 R  T2  T1  . (1.17)
 p1 
 n 1
n 1
p1


p2
11
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Термодинамические уравнения для идеального газа
используются при расчетах воздушных турбокомпрессоров, т. е.
для небольших давлений.
Свойства реального газа при больших давлениях или
низких температурах значительно отличаются от свойств
идеального газа, поэтому использование уравнений для
идеального газа дает большую погрешность.
1.3 Модель реального газа
В общем виде термическое уравнение состояния реального
газа записывается обычно в виде
p   z  R  T ,
(1.18)
где z – коэффициент сжимаемости, который для
однокомпонентного
газа
может
быть
определен
с
использованием какого-либо уравнения состояния реального
газа.
Термодинамические свойства газовых смесей можно
определить с помощью обобщенных таблиц и графиков
коэффициентов сжимаемости z, энтальпий i и теплоемкостей ср
в зависимости от приведенных температур и давлений.
Приведенные
параметры
состояния
определяются
соотношениями
pr 
p
,
p кр
(1.19)
Tr 
T
,
Tкр
(1.20)
где ркр и Ткр – критические давление и температура вещества,
или псевдокритические параметры газовой смеси.
Псевдокритические параметры газовой смеси обычно
12
1 Термодинамические основы теории турбокомпрессоров
определяются по методу Кея, который является наиболее
простым:
pкр   xi  pкрi ,
(1.21)
Tкр   xi  Tкрi ,
(1.22)
 кр   xi   крi .
(1.23)
Для смеси газов из k
концентрацией i-го компонента xi
k
с ид
р 
x
i 1
i
компонентов
с
мольной
  i  c ид
pi

.
(1.24)
Молярная масса смеси газов
k
   xi   i .
(1.25)
i 1
Значения коэффициента сжимаемости находятся
использованием номограммы, показанной на рис. 1.1.
Изобарная теплоемкость определятся по формуле
c p  c ид
p  с р .
с
(1.26)
где c ид
p определяется по формуле (1.6), поправка к теплоемкости
с р определяется по номограмме, показанной на рис. 1.2.
13
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Рисунок 1.1 – Номограмма для определения значений
коэффициента сжимаемости z
Теплоемкость при постоянном объеме определяется по
формуле
с  c p  R  z 
1  X 2 ,
Y
(1.27)
где Х и Y – функции сжимаемости, которые определяются в
зависимости от рr и Тr с использованием номограмм,
показанных на рис. 1.3 и 1.4.
14
1 Термодинамические основы теории турбокомпрессоров
Рисунок 1.2 – Поправка к теплоемкости с р
15
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Рисунок 1.3 – Функция сжимаемости Х
Рисунок 1.4 – Функция сжимаемости Y
16
1 Термодинамические основы теории турбокомпрессоров
Для реального газа с р с  k . Расчет параметров газа с
помощью уравнений политропного процесса идеального газа
может приводить к заметным погрешностям.
Для расчета параметров реального газа используют метод,
в котором определяются два показателя политропы – объемный
и температурный.
Устанавливается
связь
между
температурами
и
давлениями аппроксимацией процесса с постоянным значением
показателя степени пТ:
T2  p 2 
 
T1  p1 
nT 1
nT
и
p  dT nT  1
.

T  dp
nT
Связь между удельными объемами
устанавливается аппроксимацией процесса
значением показателя степени п:
1  p 2 
 
 2  p1 
1
n
и
p  d
1

.
  dp n
(1.30)
и давлениями
с постоянным
(1.31)
Для определения взаимосвязи между пТ и п используется
условие, которое считается единым и для идеальных, и для
реальных газов:
  dp
di
  n  const .
17
(1.32)
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Примеры решения задач
Задача 1.1
Определить объемный расход на выходе из воздушного
центробежного компрессора при таких условиях: т  12 кг с ,
рн  0, 4 МПа , Т н  295 К , п  1,5 .
Решение
Объемный расход на выходе из
компрессора можно определить по формуле
Vк 
т
к
центробежного
,
где к – плотность воздуха на выходе из компрессора.
Плотность воздуха на выходе из компрессора можно
определить с помощью уравнения состояния:
к 
рк
,
R  Tк
где рк – давление воздуха на выходе из компрессора,
R – газовая постоянная воздуха,
Тк – температура воздуха на выходе из компрессора.
Давление воздуха на выходе из компрессора определяется
с помощью уравнения процесса:
Т 
рк  рн   к 
 Тн 
п
п 1
,
где п – показатель политропы процесса сжатия.
18
1 Термодинамические основы теории турбокомпрессоров
Вычисляем значения параметров:
1,5
 570 1,51
рк  0, 4 106  
 3, 73 106 Па ,

 295 
к 
3, 73 106
 22,8 кг м3 .
287  570
Объемный расход
компрессора равен
на
Vк 
выходе
из
центробежного
12
 0,53 м3 с .
22,8
Задача 1.2
Известны такие параметры воздушного центробежного
2
компрессора: Т н  270 К , рн  1 кгс см , рк  0,8 МПа , п  1,5 ,
f к  0, 4 м 2 ,
сн  ск  20 м с .
Определить
массовую
производительность и потребляемую компрессором мощность,
считая, что qвн = 0.
Решение
Массовый расход компрессора может быть найден по
формуле
т  ск  f к  к .
Для применения данной формулы нужно определить
плотность воздуха на выходе из компрессора.
Плотность воздуха на выходе из компрессора можно
определить с помощью уравнения состояния:
19
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
к 
рк
.
R  Tк
Температура воздуха на выходе из
определяется с помощью уравнения процесса:
р 
Тк  Тн   к 
 рн 
компрессора
п 1
п
.
Потребляемую компрессором мощность можно определить
по формуле
Ni  m  li ,
где li – удельная полная работа (полный напор).
Для определения li в данной задаче необходимо
использовать уравнение сохранения энергии в виде первого
закона термодинамики:
li  i  
c2
 qвн .
2
c 2 ск2  сн2
 0 , qвн = 0.
По условиям задачи  
2
2
Разность энтальпий i  iк  iн .
Для идеального газа i  с р  Т .
Тогда li  с р  Т к  Т н  .
Вычисляем значения параметров:
20
1 Термодинамические основы теории турбокомпрессоров
1,51
 0,8 106  1,5
Т к  270  
 540 К .
6 
 0,110 
Значение средней температуры
Т ср 
Т н  Т к 270  540

 405 К .
2
2
Значение теплоемкости для воздуха можно взять из
справочной литературы или определить по (1.6). Для среднего
значения температуры воздуха Т ср  405 К теплоемкость
ср = 1014 Дж/(кг · К).
0,8 106
к 
 5,16 кг м3 .
287  540
т  20  0, 4  5,16  41, 28 кг с .
Массовый расход компрессора
li  1014   540  270  2,74 105 Дж кг .
Мощность, потребляемая компрессором,
Ni  41, 28  2, 74 105  11,31106 Вт  11,31МВт .
21
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.3
Определите массовый и объемный расходы на выходе из
воздушного центробежного компрессора для следующих
условий его работы: Pн  10 кгс / см 2 , Pк  3 МПа , Т н  450 К ,
n  1,5 , Cн  25 м с , f н  0,5 м 2 .
Ответ: m  9,6 кг с , Vк  0, 6 м3 с .
Задача 1.4
Определите массовый и объемный расходы на входе в
центробежный компрессор для следующих условий его работы:
Pн  1 кгс см 2 ,
iк  430 кДж кг , Т н  270 К ,
n  1,5 ,
M c  0,1 , f к  0, 25 м 2 .
k
3
Ответ: m  33,59 кг с , Vн  26, 04 м с .
Задача 1.5
Определите массовый расход воздушного центробежного
компрессора для следующих условий его работы: Pн  0, 2 МПа ,
3
3
iк  400 кДж / кг ,  н  2 кг м , n  1,8 , Vк  5 м с .
Ответ: m  11,8 кг с .
Задача 1.6
Определите объемный расход на выходе из воздушного
центробежного компрессора для следующих условий его
iн  300 кДж кг ,
Pн  3 МПа ,
Т к  600 К ,
работы:
n  1,5 , m  670 кг с .
3
Ответ: Vк  30,9 м с .
22
1 Термодинамические основы теории турбокомпрессоров
Задача 1.7
Определите массовый и объемный расходы на входе в
воздушный центробежный компрессор для следующих условий
2
его работы: Рк = 2 МПа, Pк  5 кгс см , i к  400 кДж/кг,
n  1,8 , dк = 0,1 м, Мск = 0,1.
Ответ: m  5,5 кг с , Vн  0, 69 м3 с .
Задача 1.8
Определите объемный расход на выходе из воздушного
центробежного компрессора, если известно, что: Pн  3 МПа ,
Т н  600 К , iн  300 кДж кг , n  2 , m  600 кг с .
Ответ: Vк  8,5 м3 с .
Задача 1.9
Определите массовый и объемный расходы на выходе из
воздушного центробежного компрессора, если известно, что:
Pн  2 кгс см 2 , Рк = 1,6 МПа,
n  1,5 ,
Т н  300 К ,
f н  0,5 м2, M сн  0,15 .
Ответ: m  59,86 кг с , Vк  6,12 м3 с .
Задача 1.10
Определите объемный расход на выходе из воздушного
центробежного компрессора, если известно, что: Pн  0,5 МПа ,
Т К  600 К , Т Н  300 К , n  1,5 , m  10 кг с .
Ответ: Vк  0, 215 м3 с .
Задача 1.11
Определите
какую
площадь
входного
патрубка
центробежного компрессора следует выбрать, чтобы скорость
воздуха на входе была не более 30м/с. Известны следующие
параметры Т н  310 К , Pк  0,8 МПа , n  1,5 , iк  600 кДж/кг,
Vк  24 м3 / мин .
23
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Ответ: f н  0,296 м2.
Задача 1.12
Известны
следующие
центробежного компрессора:
параметры
воздушного
N  5 МВт , Pн  0,15 МПа ,
Т н  300 К , n  1,5 , iк  500 кДж кг ,  м ех  0,96 .
Определите массовый и объемный расходы газа на выходе
из компрессора, считая, что внешний теплообмен отсутствует
qвнеш  0 ; скорости газа на входе и выходе равны C н  C к .
Ответ: m  25, 2 кг с , Vк  5, 29 м3 с .
Задача 1.13
Известны
следующие
центробежного компрессора:
параметры
Ni  6 МВт ,
воздушного
Pн  1,5 МПа ,
2
Т к  500 К , n  1,5 , Pк  20 кгс см .
Определите массовый и объемный расходы газа на входе в
компрессор, считая, что внешний теплообмен отсутствует
qвнеш  0 ; скорости газа на входе и выходе равны C н  C к .
Ответ: m  138, 2 кг с , Vн  12, 04 м3 с .
Задача 1.14
Известны
следующие
параметры
воздушного
N i  8МВт ,
центробежного
компрессора:
Pн  10кг / см 2 ,
Pк  2 МПа , Т к  350 К , n  1,7 .
Определите массовый и объемный расходы газа на входе в
компрессор, считая, что внешний теплообмен отсутствует
qвнеш  0 ; скорости газа на входе и выходе равны C н  C к .
Ответ: m  95, 4 кг / с , Vн  7, 2 м3 / с .
Задача 1.15
Известны
следующие
24
параметры
воздушного
1 Термодинамические основы теории турбокомпрессоров
центробежного
компрессора:
Т н  300 К ,
Pн  3 кгс см 2 ,
Pк  0,9 МПа , n  1,8 , f к  0, 4 м .
Определите
массовый
расход
и
потребляемую
компрессором мощность, считая, что внешний теплообмен
отсутствует qвнеш  0 ; скорости газа на входе и выходе равны
C н  C к =20м/с.
2
Ответ: m  51, 2 кг с , Ni  60, 4 МВт .
Задача 1.16
Известны
следующие
параметры
воздушного
2
центробежного компрессора: Ni  6 МВт , Pн  10 кгс см ,
Pк  4 МПа , Т к  400 К , n  1,7 , скорости газа на входе и
выходе компрессора равны, удельная работа по преодолению
сил трения lr = qтр = 20% lпол.
Определите массовый и объемный расходы на входе в
компрессор.
3
Ответ: m  34,8 кг с , Vн  2,3 м с .
Задача 1.17
Известны
следующие
параметры
воздушного
2
центробежного компрессора: Т н  300 К , Pн  3 кгс см ,
Pк  0,9 МПа , n  2 , f к  0,5 м 2 , M ск  0,12 .
Определите
массовый
расход
и
потребляемую
компрессором мощность, считая qвнеш  0 ; скорости газа на
входе и выходе компрессора равными C н  C к .
Ответ: m  165,5 кг с , Ni  36,5 МВт .
Задача 1.18
Известны
следующие
25
параметры
воздушного
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Pн  1 кгс см 2 , Pк  0,8 МПа ,
центробежного компрессора:
Т к  250 К , n  1,5 , C н  C к = 20 м/с, f к  0, 4 м 2 .
Определите
массовый
расход
компрессором мощность, считая qвнеш  0 .
и
потребляемую
Ответ: m  88,8 кг с , Ni  11 МВт .
Задача 1.19
Известны
следующие
центробежного
компрессора:
параметры
Ni  6 МВт ,
воздушного
Т н  250 К ,
iк  500 кДж/кг, Pн  2 МПа , n  2 .
Определите объемный и массовый расходы на выходе из
компрессора, считая что qвнеш  0 ; C н  C к , механические потери
равны 0.
Ответ: Vк  0, 435 м3 с , m  24,12 кг с .
Задача 1.20
Известны
следующие
параметры
центробежного компрессора: Pн  1 кгс см 2 ,
воздушного
Pк  0,8 МПа ,
n  1,5 , iн  270 кДж/кг, Cк =20 м/с, f к  0, 7 м 2 .
Определите массовый расход и мощность привода, считая
механические потери равными нулю, qвнеш  0 ; C н  C к .
Ответ: m  73,1 кг с , N пр  19, 6 МВт .
26
2 Газодинамические основы теории турбокомпрессоров
2 ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ТЕОРИИ ТУРБОКОМПРЕССОРОВ
2.1 Основные уравнения для турбокомпрессоров
Уравнение неразрывности (уравнение сплошности)
получается из закона сохранения массы конечного объема V
сплошной среды:


 div   c   0 .
t
(2.1)
Данное уравнение справедливо как для установившегося,
так и для неустановившегося движения сжимаемой и
несжимаемой жидкостей.

 0 , тогда уравнение
Для установившегося течения
t
неразрывности принимает вид

div   c   0 .
(2.2)
Для струйки тока с площадью сечения df
  c  df  dm  const .
(2.3)
Для канала с ортогональной площадью сечения f
   c  df
 m   ср  cср  f .
(2.4)
f
Принимая плотность постоянной по сечению ( = const),
осредненная по расходу скорость определяется по уравнению
27
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
ccp 
1
 c  df .
f f
(2.5)
Согласно закону сохранения импульса изменение
импульса изолированной системы равно импульсу сил,
действующих на данную систему.
Для объема V, ограниченного поверхностью f, уравнение
импульса имеет вид

K


    c n  c  df     F  dV   p n  df .
t f
V
f
(2.6)

где K     c  dV – количество движения (импульс) массы в
V
объеме V;
сп – нормальная к поверхности f составляющая скорости;

pn – напряжение поверхностных сил.
K
 0.
t
Уравнение движения Навье – Стокса представляет собой
систему дифференциальных уравнений движения вязкой среды.
Являясь, по сути, уравнениями импульса, уравнения движения
Навье – Стокса в векторной форме записи имеет вид
Для установившегося течения


 1 p
ci  ci
 1

 cj 
F 
 v  c    v  grad divc  , (2.7)
t
x j
 xi
3

где F – массовая сила;
р – давление;
2
2
2
  2  2  2 – оператор Лапласа;
x
y
z
28
2 Газодинамические основы теории турбокомпрессоров
c y
c
 c
divc  x 
 z – дивергенция скорости.
x
y
z
Уравнения Рейнольдса – это уравнения Навье – Стокса,
осредненные по Рейнольдсу. Используются для описания
турбулентных течений. Метод осреднения Рейнольдса
заключается в замене случайно изменяющихся характеристик
потока (скорость, давление, плотность) суммами осредненных и
пульсационных составляющих:

ci  ci  ci .
(2.8)
Осредненная во времени скорость
t T 2
1
c
c  dt .
T t T 2
(2.9)
Уравнение движения Навье – Стокса, осредненное по
Рейнольдсу (уравнение Рейнольдса), имеет вид
c j
t
 cj 
 1 p
ci

F 

x j
 xi xk
 c j

  v 
 c j  ck ,  j  1, 2, 3 . (2.10)
 xk

Уравнение Рейнольдса отличается от уравнения Навье –

 c j  c k  .
Стокса наличием компонента
x k
Величины  ij     cic j называются турбулентными
напряжениями. Связь между ними и скоростями деформаций
устанавливается на основе полуэмпирических теорий
турбулентности.
Согласно закону сохранения момента импульса изменение
момента импульса изолированной системы равно главному
моменту сил, действующих на эту систему.
29
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Уравнение имеет вид
M
 
 
 
  r  c     c n  df   r  F    dV   r  p n   df , (2.11)
t
f
V
f
 
где M   r  c     dV – момент импульса.
V
При выполнении газодинамических расчетов турбомашин
широкое применение имеет уравнение Эйлера.
Уравнение
Эйлера
устанавливает
связь
между
энергетическими
показателями
турбомашины
и
кинематическими параметрами потока газа в проточной части
данной турбомашины:
hT  cu 2  u 2  cu1  u1  .
(2.12)
Закон сохранения энергии – фундаментальный закон
природы, установленный эмпирически и заключающийся в том,
что энергия изолированной (замкнутой) системы сохраняется во
времени. Иными словами, энергия не может возникнуть из
ничего и не может исчезнуть в никуда, она может только
переходить из одной формы в другую. Закон сохранения
энергии встречается в различных разделах физики и проявляется
в сохранении различных видов энергии. Например, в
термодинамике закон сохранения энергии называется первым
началом термодинамики:
li  i  
c2
 qвнешн. .
2
В интегральном виде уравнение Бернулли имеет вид
30
(2.13)
2 Газодинамические основы теории турбокомпрессоров
hi  hп  hд  h r ,
(2.14)
где hi – полный напор;
2
hn     dp – политропный напор;
1
c 2  c12
– динамический напор;
hд  2
2
2
hr   dl r – «потери» напора.
1
2.2 Газодинамические функции
Газодинамические функции получены из уравнения
энергии путем его преобразования с помощью уравнения
изоэнтропы. Газодинамические функции представляют собой
отношения параметров движущегося и адиабатически
заторможенного потоков. Функции зависят только от
физических свойств газа (k) и скоростного коэффициента
  c a кр (или числа Маха M). Следует отметить, что в
некоторых книгах   c a кр называют приведенной скоростью.
Здесь акр – критическая скорость звука. Критической
называют скорость потока, равную местной скорости звука, т. е.
скорость при М = 1.
Критическая скорость звука определяется по формуле
a кр 
2k
 R T * .
k 1
(2.15)
Во
многих
задачах
использование
скоростного
коэффициента вместо числа Маха является более удобным.
Критическая скорость в энергетически изолированных потоках
31
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
постоянна. Между числом Маха и скоростным коэффициентом
существует однозначная зависимость
2
c2
c 2 a кр
2  2
,
M  2  2  2 
k  1  k  1  2
a
a кр a
2
(2.16)
или

2

k  1  M 2

.
k  1  M 2  2
(2.17)
Формулы для определения газодинамических функций в
зависимости от относительной скорости и от числа Маха имеют
следующий вид:
- газодинамическая функция температуры
   
T
k 1 2
 1
 
T*
k 1
1
;
k 1
2
1
M
2
(2.18)
- газодинамическая функция давления
k
p  k  1 2  k 1
   
 1 
  
p *  k 1

1
 k 1

M 2
1 
2


- газодинамическая функция плотности
32
k
k 1
; (2.19)
2 Газодинамические основы теории турбокомпрессоров
1
  k  1 2  k 1
   
 1 
  
 *  k 1

1
 k 1

M 2
1 
2


1
k 1
. (2.20)
Данные функции связаны между собой
      k 1 ,       k    k 1 ,            . (2.21)
1
k
Еще одна газодинамическая функция – это функция
расхода. Функция расхода через относительную скорость или
через число Маха выражается следующим образом:
1
 k  1  k 1
q
      
 2 
(2.22)
и
k 1
k 1
 k  1  2k 1  k  1
 2k 1
q
 1 
M2
M .

2
 2 


(2.23)
Газодинамические функции позволяют в уравнениях,
характеризующих движение газа, вместо температуры T,
давления p, плотности  и скорости c использовать один
параметр – скоростной коэффициент , что упрощает
нахождение решения.
Значения газодинамических функций температуры,
давления и плотности находятся в диапазоне 0 – 1:
0              1 .
Примеры решения задач
33
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Задача 2.1
Известны такие параметры торможения: р* = 0,5 · 106 Па,
Т* = 300 К и площадь выходного сечения конического патрубка
f = 3,14 см2.
Определить скорость истечения и массовый расход
воздуха через этот конический насадок в атмосферу.
Решение
Определяем режим истечения потока из насадка в
атмосферу. Для этого рассчитываем отношение давлений:

pнс
105
1

  0, 2 .
6
р * 0,5 10
5
Поскольку для воздуха βкр = 0,528, то имеем β < βкр, т. е.
истечение критическое (звуковое).
При этом скорость истечения воздуха равняется
критической скорости звука:
скр  акр 
2k
2 1, 4
 R T * 
 287  300  316,9  м с  .
k 1
1, 4  1
Критический массовый расход можно определить по
формуле
1
*
 2  k 1 p
т  ткр  кр  акр  f   кр   *  акр  f  

акр  f .

R T *
 k 1 
т  0,634  5,807  316,9  3,14 104  0,366  кг с  .
Необходимо отметить, что при звуковом режиме
истечения массовый расход является максимально возможным
34
2 Газодинамические основы теории турбокомпрессоров
для заданных р* и Т*.
Максимальный массовый расход можно также определить
по формуле
тmax 
f кр  р*  В
R T *
,
k 1
2  k 1
где B  f  k   k  
 , для воздуха В = 0,685.
 k 1 
Тогда получим
тmax 
3,14 104  0,5 106  0,685
 0,366  кг с  .
287  300
Задача 2.2
В точке А невозмущенного потока воздуха перед телом
давление составляет 1,033 бар, плотность – 1,29 кг/м3, скорость
– 100 м/с. Давление в точке В равняется 0,5 бар. В точке С
течение имеет критическую скорость. Определить числа Маха в
точках А и В, а также давление в точке С, считая течение
изоэнтропным.
Решение
Определяем число Маха в точке А:
МА 
сА

аА
сА
100

 0, 299 .
5
pA
1,
033

10
k
1, 4 
A
1, 29
Число Маха в точке В определяем по формуле
35
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
р

р*
1
 k 1

M 2 
1 
2


k
k 1
.
Для этого сначала определяем полное давление. Поскольку
движение воздуха изоэнтропное, то полное давление во всех
точках считаем постоянным.
Полное давление определяем для параметров точки А:
k
 k 1
 k 1
p*  p A   1 
 M A2  
2


 1, 4  1

 1, 033 105  1 
 0, 2992 
2


1,4
1,4 1
.
 1, 099 105
Тогда число Маха в точке В
k 1
1,4 1
 р*  k
 1, 099  1,4
1

 1
 0,5 
рВ 



МВ 

 1,123 .
k 1
1, 4  1
2
2
Поскольку в точке С течение имеет критическую скорость,
давление определяем с помощью газодинамической функции
давления для критического сечения:
k
 2  k 1
5
5
рС  р  
  1,099 10  0,528  0,58110  Па  .
 k 1 
*
Задачи для самостоятельного решения
36
2 Газодинамические основы теории турбокомпрессоров
Задача 2.3
Скорость воздушного потока равняется w = 250 м/с,
температура торможения Т* = 400 К. Определите число Маха и
скоростной коэффициент, а также критическую температуру.
Ответ: М = 0,68,   0, 62 , Ткр = 486 К.
Задача 2.4
Поток воздуха при статическом давлении р = 0,9 · 105 Па и
температуре Т = 475 К движется со скоростью w = 140 м/с.
Определите
параметры
изоэнтропного
торможения
(температуру Т*, давление р*, плотность *).
Ответ: Т* = 443 К, р* = 0,97 · 105 Па, * = 0,69 кг/м3.
Задача 2.5
Определите динамическое давление воздуха
статическом давлении р = 17 кПа и числе Маха М = 2,1.
Ответ: р* = 1,87 кПа.
при
Задача 2.6
Из бака с воздухом при давлении р = 0,15 МПа и
плотности  = 1,8 кг/м3 выходит струя воздуха со скоростью
w = 250 м/с. Определите критическую скорость и скорость звука
в струе.
Ответ: акр = 311,6 м/с, а = 341,4 м/с.
Задача 2.7
Газ с показателем адиабаты k = 1,35 проходит по трубе
переменного сечения, причем течение является одномерным.
Отношение статического давления к полному в каком-то
сечении трубы равняется () = 0,75. Определите число Маха в
этом сечении.
Ответ: М = 0,66.
Задача 2.8
37
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Определите
теоретическую
скорость
адиабатного
истечения кислорода, который находится под давлением
р1 = 8 МПа и при температуре t = -40 0C в среду с
противодавлением р2 = 4 МПа.
Ответ: акр = 302,4 м/с.
Задача 2.9
Определите
максимально
возможную
скорость
адиабатного истечения воздуха, движущегося со скоростью
w = 150 м/с и при статической температуре Т = 300 К.
Ответ: скр = 316,9 м/с.
Задача 2.10
Термометр, закрепленный на крыле самолета, показывает
температуру 2 0С. Определите температуру атмосферы, если
известно, что скорость самолета w = 700 км/ч.
Ответ: То.с = 253 К.
Задача 2.11
Поток перегретого водяного пара движется со скоростью
w = 250 м/с, статическое давление р = 1,5 · 105 Па, статическая
температура Т = 573 К. Определите параметры изоэнтропного
торможения (температуру Т*, давление р*, плотность *). Для
водяного пара принять k = 1,3, R = 461,5 кДж/(кг · К).
Ответ: Т* = 555 К, р* = 1,34 · 105 Па, * = 0,48 кг/м3.
Задача 2.12
Температура воздуха в резервуаре большого объема
Т* = 500 К. Температура воздуха в струе, вытекающей из
резервуара Т = 400 К. Какова скорость потока в струе? Является
она дозвуковой или сверхзвуковой?
Ответ: с = 401 м/с, струя дозвуковая.
Задача 2.13
Определите критическую скорость и критическую
температуру для потока воздуха, если температура торможения
38
2 Газодинамические основы теории турбокомпрессоров
равна Т* = 600 К.
Ответ: акр = 448,2 м/с, Ткр = 500 К.
Задача 2.14
Температура воздуха в баке Т = 350 К. Воздух выходит из
бака через сопло со скоростью в 2,5 раза меньше теоретически
возможной максимальной скорости истечения. Определите
статическую температуру воздуха в струе.
Ответ: Т* = 365 К.
Задача 2.15
Поток воздуха при давлении р= 20 кПа и температуре
t = -15 0С движется со скоростью w = 100 м/с. Определите
параметры торможения данного потока при адиабатном
торможении до состояния покоя. Задачу решите по формулам и
с помощью газодинамических функций.
Ответ: Т* = 252 К, р* = 18,5 кПа, * = 0,25 кг/м3.
Задача 2.16
Тело движется в атмосфере со скоростью w = 1200 м/с.
Давление воздуха равняется р = 40 кПа, а плотность  = 800 г/м3.
Определите число Маха и скоростной коэффициент. Задачу
решить по формулам и с помощью газодинамических функций.
Ответ: М = 4,97,  = 4,99.
Задача 2.17
Газ под давлением р = 8 кгс/см2 имеет плотность
 = 9,6 кг/м3 и движется со скоростью w = 150 м/с. Теплоемкость
газа при постоянном давлении равна ср = 1090 Дж/(кг · К),
газовая постоянная R = 297 Дж/(кг · К). Пренебрегая неполнотой
торможения газа на термометре, определите температуру,
которую покажет термометр, неподвижно установленный в
газовом потоке.
Ответ: Т = 289,7 К.
39
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
3 ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЕЙ
И РЕШЕТОК ПРОФИЛЕЙ
3.1 Профиль, решетка профилей
Профилем называется сечение лопатки поверхностью тока.
Для турбомашин различного типа форма поверхности тока
также различна: в осевом компрессоре поверхности тока близки
к форме круглого цилиндра, в центробежном компрессоре
профили получаются пересечением лопаток плоскостью,
перпендикулярной оси вращения. Для осерадиальных рабочих
колес
поверхностью
тока
является
криволинейная
осесимметричная поверхность.
Профиль лопатки показан на рис. 3.1. На данном рисунке
указаны
основные
геометрические
параметры,
характеризующие профиль.
Выпуклая поверхность лопатки называется спинкой, а
вогнутая корытцем. Часто координаты профиля задаются
зависимостями yсп  f  x  , yкор  f  x  в табличном виде.
Обычно задаются безразмерные координаты
x  x B,
yсп  yсп B и yкор  yкор B , где B – хорда профиля.
Другой способ задания координат профиля основан на
использовании аналитических зависимостей для выпуклой и
вогнутой
поверхностей
профиля.
Могут
задаваться
аналитическая зависимость для средней линии профиля
(например, дуга окружности) и распределение толщины
профиля вдоль его длины   f  l  .
Толщина профиля может задаваться также в виде
распределения диаметров вписанных окружностей вдоль хорды
d  f  B .
40
3 Обтекание профилей и решеток профилей
Рисунок 3.1 – Профиль лопатки
Угол изогнутости профиля определяется как сумма углов
на входе и на выходе   1   2 .
Для осевых компрессоров пересечение рабочих и
направляющих аппаратов поверхностью тока образует
кольцевую решетку профилей (рис. 3.2).

z
Рисунок 3.2 – Кольцевая решетка профилей
Развертка кольцевой
решеткой. Поскольку радиус
2   r
больше шага t 
, где z
z
решетке, профили лопаток
различаются незначительно.
решетки называется плоской
поверхности тока r значительно
– количество лопаток в кольцевой
кольцевой и плоской решеток
41
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
При пересечении лопаток рабочих колес, диффузоров и
обратных
направляющих
аппаратов
центробежных
компрессоров плоскостью, перпендикулярной оси вращения,
получаются круговые решетки профилей. Круговая решетка
профилей показана на рис. 3.3.
Основные геометрические параметры круговой решетки:
 л1 и  л 2 – входной и выходной углы лопатки;
R1 и R2 – радиусы расположения входных и выходных
кромок лопаток;
2  R
, где z – количество лопаток.
t – шаг решетки, t 
z
Рисунок 3.3 – Круговая решетка профилей
Угол лопатки – это угол между касательной к средней
линии лопатки и перпендикуляром к рассматриваемому
радиусу–вектору профиля R .
Густотой решетки называется отношение хорды или длины
лопатки к шагу – B t или l t .
Шаг определяется на среднем радиусе решетки. Иногда
густота решетки характеризуется отношением aср t , где aср –
диаметр вписанной в межлопаточный канал окружности на
среднем радиусе решетки Rср .
42
3 Обтекание профилей и решеток профилей
Если средняя линия профиля круговой решетки выполнена
по дуге окружности, то радиус средней линии профиля rл и
радиус центров rц определяются по формулам:
rл 
D
2
2
 D12 
4   D2  cos  л 2  D1  cos  л1 
,
rц  rл2  D22 / 4  rл  D2  cos  л 2 .
(3.1)
(3.2)
Местный угол раскрытия эквивалентного конического
диффузора определяется по формуле

2 
z
 R  cos  ë 
 1 
.
rë


(3.3)
Следует отметить, что течение газа в круговых решетках
происходит в принципиально других условиях, чем в
кольцевых и плоских из-за наличия сил Кориолиса. При
рассмотрении течения газа в круговых решетках требуется
учитывать закрутку потока из-за действия центробежных сил,
связанных с вращением ротора.
3.2 Сила взаимодействия профиля с потоком
Силу взаимодействия профиля с потоком можно
определить как сумму проекций нормальных сил давления и
касательных напряжений на направления z и u :
R  Rz  Ru .
(3.2)
Составляющие суммарной аэродинамической силы по
соответствующим осям на единицу высоты лопатки:
43
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Ru 
  p sin 
  cos  s  ds 
s
вып
Rz 
  p cos 
  p sin 
  cos  s  ds , (3.3)
s
вог
s
  sin  s  ds 
вып
  p cos 
s
  sin  s  ds . (3.4)
вог
Интегралы берутся по выпуклой и вогнутой поверхностям
профиля, где ds – элементарная площадка поверхности профиля;
βs – угол касательной к элементарной площадке поверхности
профиля.
Окружная составляющая силы Ru позволяет определить
мощность, необходимую для вращения рабочего колеса:
rнар
N   M z   z л
 r  R dr ,
u
(3.5)
rвт
где ω – угловая скорость ротора; dr – элементарная высота
лопатки между наружным и втулочным радиусами, zл – число
лопаток рабочего колеса.
Осевая составляющая силы Rz позволяет определить
величину осевого усилия, действующего на рабочее колесо:
rнар
Fz  z
 R dr .
z
(3.6)
rвт
Суммарная сила R позволяет определить величину
изгибных напряжений лопаток рабочего колеса.
Схематизация реального течения потенциальным потоком
дает приемлемую точность при определении давлений, сил и
моментов сил, действующих на профиль в решетке.
Результаты
испытаний
решеток
профилей
в
аэродинамических трубах показывают, что по сравнению с
44
3 Обтекание профилей и решеток профилей
силами давления силы трения газа о поверхность невелики, имея
порядок 1-2 %. В инженерных расчетах допустимо пренебрегать
силами трения, тогда
P  Pu  Pz ,
Pu 
Pz 

p sin  s ds 
p cos  s ds 
(3.7)
(3.8)
вып
 p sin  ds ,
вог

 p cos  ds .
(3.9)
вып
s
s
вог
Использование формул (3.7), (3.8) и (3.9) возможно, если
известны распределения давлений на поверхностях профиля.
Определение распределений давлений и скоростей на
поверхностях лопаток турбомашин путем измерений или
расчета является сложной и трудоемкой задачей. Удобнее
пользоваться теоремой Жуковского, которая связывает
аэродинамическую силу с сравнительно легко определяемыми
параметрами потока перед решеткой и за решеткой.
Обтекание горизонтальной решетки профилей потоком
невязкого газа представлено на рис. 3.4.
Теорема Жуковского о подъемной силе для лопатки в
решетке формулируется так: подъемная сила P, с которой поток
действует на лопатку единичной длины, равна произведению
плотности газа , циркуляции скорости вокруг профиля Г и
средней векторной скорости wcp:
P   Гwср .
(3.10)
Циркуляция определяется по формуле


Г  t  wu2  wu1 .
45
(3.11)
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Рисунок 3.4 – Обтекание аэродинамической решетки профилей
потоком невязкого газа
Проекции аэродинамической силы, выраженные через
циркуляцию, имеют вид Pu   Гwz и Pz   Гwu ср .
P
Вектор
аэродинамической
силы
направлен
перпендикулярно направлению вектора скорости wср :
tg ср 
wz
wu ср

 Г wz
P
 u .
Pz
 Г wu ср
(3.12)
Теорема Жуковского о подъемной силе для лопатки в
решетке формулируется следующим образом: подъемная сила P,
46
3 Обтекание профилей и решеток профилей
с которой поток действует на лопатку единичной длины, равна
произведению плотности газа , циркуляции скорости вокруг
профиля Г и средней векторной скорости wcp.
Теорема Жуковского относится в равной мере как к
неподвижной, так и к вращающейся решетке.
Учет сжимаемости газа. Учет сжимаемости газа может
быть сделан следующим образом. В формуле (3.18) следует
использовать среднюю арифметическую величину плотности
  2
газа  ср  1
.
2
Теорема Жуковского для потока вязкого газа. В тех
случаях, когда целью расчета является определение
сопротивления движению газа в решетках турбомашин, теория
идеального газа не приемлема. В отличие от течения невязкого
газа при течении вязкого газа на лопатки действуют силы
трения, что приводит к появлению касательных напряжений, а
также изменяется величина давления газа за решеткой.
Для того чтобы различать аэродинамические силы для
вязкого и невязкого течения газа в решетке, силы для вязкого
течения будут обозначаться R.
Как и для невязкого потока, используя теорему об
изменении импульса, запишем выражения для окружной и
осевой составляющих аэродинамической силы, действующей на
лопатку со стороны газа (рис. 3.5):
m   wu2  wu1    Ru ,
(3.13)
m   wz2  wz1   t   p2  p1   Rz .
(3.14)
Вследствие влияния вязкости изменение давления в
решетке меньше, чем изменение динамического напора на
величину потерь pw :
w12  w22
p2  p1   
 pw .
2
47
(3.15)
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
2
Тогда Rz  t  0,5    wu22  wu1
  pw  t , т. е.
Rz   Гwu ср  pw  t  Pz  R .
(3.16)
Рисунок 3.5 – Обтекание аэродинамической решетки профилей
потоком вязкого газа
Так как Ru  Pu , получаем
R  P  R .
(3.17)
Итак, силу R взаимодействия потока вязкого газа с
профилем решетки можно представить как сумму силы
48
3 Обтекание профилей и решеток профилей
Жуковского P и силы сопротивления R  pw  t , равной
произведению потерянного в решетке давления на шаг решетки
и направленной по оси z (рис. 3.5).
3.3 Аэродинамические коэффициенты
Аэродинамические силы
удобно представлять
в
безразмерном виде. Для этого силы делятся на характерную
площадь и на характерное давление, в результате чего
получаются
соответствующие
аэродинамические
коэффициенты.
В качестве характерной площади принято использовать
однозначно и легко определяемую величину S  B  l , или
применительно к плоской решетке S  B 1 м . За характерное
1
давление принимают скоростной напор q   wср2 . Тогда
2
полная сила взаимодействия потока с профилем решетки
w2
выразится формулой R  cR  ср S , где cR – коэффициент
2
пропорциональности, называемый коэффициентом полной
аэродинамической силы. Величина cR зависит от формы
профиля, угла его установки в решетке βB, шага t, угла атаки i и
других параметров решетки. Силу R удобно представить как
сумму двух составляющих:
– подъемной силы Ra , перпендикулярной средневекторной
скорости wср ,
– профильного сопротивления Rw , параллельного скорости
wср .
По аналогии с R составляющие Ra и Rw представляются
для лопатки единичной высоты в виде
49
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Ra  ca 
wср2
2
B ; Rw  cw 
wср2
2
B,
(3.18)
где ca – коэффициент подъемной силы; cw – коэффициент
профильного сопротивления.
Аэродинамические силы P, R, Ra , Rw , Ru показаны на
рис. 3.6. Данные силы связаны между собой следующим
соотношением:
Ru  P sin  ср  Ra sin  ср  Rw cos ср .
(3.19)
Рисунок 3.6 – К определению аэродинамических
коэффициентов
Выразим силы в уравнении (3.26) с помощью ранее
полученных формул:
50
3 Обтекание профилей и решеток профилей
 Гwz  
2
ср
w
2
B sin  ср  ca 
wср2
2
B sin  ср  cw 
wср2
2
B cos  ср . (3.20)
Последним слагаемым в формуле (3.27) в силу его малости
можно пренебрегать. Тогда получим формулу для связи
коэффициента подъемной силы с циркуляцией:
Г
1
сa Bwср .
2
(3.21)
Качеством
профиля
называется
отношение
аэродинамических коэффициентов ca cw . Величина, обратная
качеству профиля, называется коэффициентом скольжения
  cw ca . Коэффициент скольжения равен тангенсу угла между
подъемной силой Ra и результирующей силой R .
Примеры решения задач
Задача 3.1
Кольцевая решетка профилей вращается с угловой
скоростью  = 520 р/с. Воздух поступает в решетку вдоль оси со
скоростью с1 = 75 м/с. Параметры воздуха на входе в решетку
имеют следующие значения: давление р1 = 1,1 бар, температура
Т1 = 293 К. Для прямой решетки профилей единичной высоты
(рис. 3.7), построенной для радиуса r = 480 мм, количество
лопаток z = 50 шт., хорда профиля B = 70 мм, направление
вектора скорости на выходе из решетки β2 = 350, качество
профиля µ = 27. Определите циркуляцию скорости, силу
лобового сопротивления и коэффициент подъемной силы.
51
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Рисунок 3.7 – Прямая решетка профилей
Определяем
профилей:
Решение
линейную скорость
плоской
решетки
u    r  520  0, 48  249,6 м с .
Определяем параметры потока на входе в решетку. Поток
поступает в решетку в осевом направлении. Окружная проекция
равна нулю.
сu1  0 м с .
Осевая проекция
сz1  c1  75 м с .
Плотность на входе можно
уравнение состояния по формуле
определить,
p1
1,1  105
1 

1,31 кг м3 .
R  T1 287  293
используя
Здесь R  287 Дж  кг  К  - газовая постоянная воздуха.
52
3 Обтекание профилей и решеток профилей
Строим треугольник скоростей на выходе из решетки:
C2
Cz2
2
W2
U
Для плоской решетки сz 2  сz1 .
Определяем скорость потока на выходе в относительном
движении по формуле
w2 
сz 2
75

 130, 7 м с .
sin  2 sin 35
Скорость потока на выходе в абсолютном движении
находим по теореме косинусов
c2  u 2  w 22  2  u  w 2  cos  2 
 249, 62  130, 72  249, 6 130, 7  cos 35  242,3 м с
Окружная проекция
сu 2  c22  cz2  242,32  752  230, 2 м с .
Циркуляция скорости определяется по формуле
Г  t   cu 2  cu1  .
2  3,14  0, 48
 0, 06 м .
50
Г  0,06   230, 2  0   13,8 м2 с .
Шаг решетки t 
53
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Подъемная сила определяется по формуле
Pа    cср  Г ,
где cср 
c1  c2
– средняя скорость.
2
Средняя скорость cср 
75  242,3
 158, 6 м с .
2
Подъемная сила Pa  1,31158,6 13,8  2867 Н .
Сила лобового сопротивления определяется по формуле
Pw 
Pа


2867
 106, 2 Н .
27
Коэффициент подъемной силы
cа 
Pa
2867

 2,5 .
2
B     cср 2  0, 07 1,31  158, 6 2 2  
Задача 3.2
В неподвижную прямую решетку профилей (рис. 3.8)
поступает газ с давлением р1 = 1,2 бар и температурой
Т1 = 303 К. Направление вектора скорости на входе в решетку
1 = 490, на выходе угол потока 2 = 800. Скорость потока на
выходе из решетки с2 = 70 м/с. Шаг решетки t = 75 мм, хорда
профиля B = 70 мм. Качество профиля µ = 30. Определите
циркуляцию скорости, подъемную силу (для невязкого течения)
и отношение скоростей с1/с2.
54
3 Обтекание профилей и решеток профилей
Рисунок 3.8 – Прямая решетка профилей
Решение
p1
1, 2 105
Определяем плотность 1 

 1,37 кг / м3 .
R  T1 287  303
Сначала определяем параметры потока на выходе из
решетки. Осевая проекция скорости
сz 2  c2  sin  2  70  sin 80  68,9 м с .
Окружная проекция
сu 2  c2  cos  2  70  cos80  12,1 м с .
C2
Cz2
Cu2
Определяем параметры потока на входе в решетку.
55
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Осевые проекции скоростей на входе и выходе равны
сz 2  сz1  68,9 м / с .
Значение скорости на входе
c1 
с z1
68,9

 91,9 м с .
sin 1 sin 49
Окружная проекция скорости на входе
сu1 
c z1
68,9

 60,3 м с .
tg1 tg49
C1
Cz1
Cu1
Циркуляция скорости
Г  t   cu 2  cu1   0, 075  12,1  60,3  3, 6 м 2 с .
Подъемная сила
Pа    cср  Г ,
где средняя скорость cср 
c1  c2 91,9  70

 81 м с .
2
2
Pа  1,37  81 3, 6  382 Н .
Определение отношения скоростей с1/с2:
c1 c2  91,9 70  1,31 .
56
3 Обтекание профилей и решеток профилей
Задача 3.3
Круговая решетка профилей (рис. 3.9) вращается вокруг
оси с угловой скоростью ω = 1300 р/с. Начальный и конечный
диаметры решетки D1 = 270 мм и D2 = 450 мм. Начальный и
конечный углы лопатки βл1 = 310 и βл2 = 400. Радиус кривизны
лопаток Rл = 420 мм. Количество лопаток zл = 16 шт. Размеры
поперечного сечения канала на радиусе r = 180 мм – а = 60 мм и
b = 30 мм. Газ поступает в решетку с давлением р1 = 1,2 бар и
температурой Т1 = 305 К. Скорость потока на входе с1 = 90 м/с,
проекция скорости сu1 = 20 м/с. Массовый расход газа т = 5 кг/с.
Плотность газа в сечении межлопаточного канала на радиусе r –
ср = 1,5 1. Скорость потока на выходе w2 = 60 м/с. Можно
принимать, что β2 = βл2. Определить скорости на передней и
задней сторонах лопатки (для радиуса r), теоретический напор
hT и скорость потока в относительном движении на входе w1.
Рисунок 3.9 – Круговая решетка профилей
Решение
Определяем плотность на входе в решетку:
p1
1,2  105
1 

 1,37 кг м3 .
R  T1 287  305
57
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Скорость на передней стороне лопатки определяется по
формуле

а 
wп  wср  1 
  a .
 2  Rл 
Скорость на задней стороне лопатки определяется по
формуле

а 
wз  wср  1 
  a.
 2  Rл 
Среднюю скорость находим по формуле
wср 
m
.
ср  fср  z л
Площадь fср  a  b  0,06  0,03  0,0018 м2 .
Плотность ср  1,5  1  1,5 1,37  2,06 кг м3 .
Средняя скорость wср 
5
 84,3 м с .
2, 06  0, 0018 16
0, 06 

wп  84,3  1 
  1300  0, 06  12, 2 м с .
 2  0, 42 
0, 06 

wз  84,3  1 
  1300  0, 06  156, 4 м с .
 2  0, 42 
Определяем скорость потока в относительном движении
на входе в решетку.
Построим треугольник скоростей на входе в решетку.
58
3 Обтекание профилей и решеток профилей
Скорость потока в относительном движении на входе
находим из треугольника скоростей:
w1  cr21   u1  cu1  .
2
Окружная скорость
u1   
D1
0,27
 1300 
 175,5 м с .
2
2
Скорость cr1  c12  cu21  902  202  87,7 м с .
Скорость потока в относительном движении
w1  87,7 2  175,5  20   178,6 м с .
2
Теоретический напор определяем по формуле
hT  cu 2  u2  cu1  u1 .
Треугольник скоростей на выходе
59
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Окружная скорость
D2
0,45
 1300 
 292,5 м с .
2
2
Из
треугольника
скоростей
cu 2  u2  w2  cos 2  292,5  60  cos 40  246,5 м с .
u2   
находим
hT  246,5  292,5  20  175,5  68590 Дж кг .
Задачи для самостоятельного решения
Задача 3.4
Кольцевая решетка профилей вращается с угловой
скоростью  = 500 р/с. Воздух поступает в решетку вдоль оси со
скоростью с1 = 70 м/с. Для прямой решетки профилей
единичной высоты (рис. 3.7), построенной для радиуса
r = 500 мм, шаг решетки t = 100 мм, направление вектора
скорости на выходе из решетки β2 = 300. Определите
циркуляцию скорости.
Ответ: Г = 21,6 м2/с.
Задача 3.5
Кольцевая решетка профилей вращается с угловой
скоростью  = 520 р/с. Воздух поступает в решетку вдоль оси со
скоростью с1 = 75 м/с. Параметры воздуха на входе в решетку
имеют следующие значения: давление р1 = 1 бар, температура
Т1 = 288 К. Для прямой решетки профилей единичной высоты
(рис. 3.7), построенной для радиуса r = 500 мм, шаг решетки
60
3 Обтекание профилей и решеток профилей
t = 100 мм, хорда профиля В = 100 мм, направление вектора
скорости на выходе из решетки β2 = 300, качество профиля
µ = 25. Определите силу лобового сопротивления.
Ответ: Рw = 106,2 Н.
Задача 3.6
Кольцевая решетка профилей вращается с угловой
скоростью  = 540 р/с. Воздух поступает в решетку вдоль оси со
скоростью с1 = 80 м/с. Параметры воздуха на входе в решетку
имеют следующие значения: давление р1 = 1,2 бар, температура
Т1 = 300 К. Для прямой решетки профилей единичной высоты
(рис. 3.7), построенной для радиуса r = 460 мм, t = 70 мм, хорда
профиля В = 80 мм, направление вектора скорости на выходе из
решетки β2 = 300, качество профиля µ = 25. Определите
подъемную силу для невязкого течения.
Ответ: Ра = 3255 Н.
Задача 3.7
Кольцевая решетка профилей вращается с угловой
скоростью  = 560 р/с. Воздух поступает в решетку вдоль оси со
скоростью с1 = 77 м/с, угол потока на входе β1 = 850. Параметры
воздуха на входе в решетку имеют следующие значения:
давление р1 = 1,3 бар, температура Т1 = 305 К. Для прямой
решетки профилей единичной высоты (рис. 3.7), построенной
для радиуса r = 440 мм, t = 70 мм с количеством лопаток
z = 45 шт., хорда профиля В = 80 мм, направление вектора
скорости на выходе из решетки β2 = 750, коэффициент лобового
сопротивления сw =0,02. Определите качество профиля.
Ответ: µ = 14,5.
Задача 3.8
Кольцевая решетка профилей вращается с угловой
скоростью  = 580 р/с. Воздух поступает в решетку вдоль оси со
скоростью с1 = 75 м/с. Для прямой решетки профилей
единичной высоты (рис. 3.7), построенной для радиуса
r = 460 мм, t = 70 мм, хорда профиля В = 80 мм, направление
61
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
вектора скорости на выходе из решетки β2 = 300. Определите
отношение скоростей w1/w2.
Ответ: w1/w2 = 1,78.
Задача 3.9
В неподвижную прямую решетку профилей (рис. 3.8)
поступает газ. Направление вектора скорости на входе в
решетку 1 = 450, на выходе поток имеет осевое направление
(сu2 = 0). Скорость потока на выходе из решетки с2 = 80 м/с, шаг
решетки t = 95 мм, хорда профиля В = 90 мм, качество профиля
µ = 25. Определите циркуляцию скорости.
Ответ: Г = 7,6 м2/с.
Задача 3.10
В неподвижную прямую решетку профилей (рис. 3.8)
поступает газ с давлением р1 = 1,1 бар и температурой
Т1 = 305 К. Направление вектора скорости на входе в решетку
1 = 470, на выходе поток имеет угол 2 = 850. Скорость потока
на выходе из решетки с2 = 75 м/с, шаг решетки t = 85 мм, хорда
профиля В = 85 мм, качество профиля µ = 27. Определите силу
лобового сопротивления.
Ответ: Рw = 22,1 Н.
Задача 3.11
В неподвижную прямую решетку профилей (рис. 3.8)
поступает газ. Направление вектора скорости на входе в
решетку 1 = 490, на выходе поток имеет угол 2 = 800. Скорость
потока на выходе из решетки с2 = 70 м/с, шаг решетки t = 75 мм,
хорда профиля В = 70 мм, качество профиля µ = 30. Определите
отношение скоростей с1/с2.
Ответ: с1/с2 = 1,31.
Задача 3.12
В неподвижную прямую решетку профилей (рис. 3.8)
поступает газ с давлением р1 = 1,3 бар и температурой
Т1 = 303 К. Скорость потока на входе в решетку с1 = 130 м/с, на
62
3 Обтекание профилей и решеток профилей
выходе поток имеет угол 2 = 750. Скорость потока на выходе из
решетки с2 = 65 м/с, шаг решетки t = 70 мм, хорда профиля
В = 65 мм, коэффициент лобового сопротивления сw =0,02.
Определите скорость потока на выходе.
Ответ: с2 = 91,9 м/с.
Задача 3.13
В неподвижную прямую решетку профилей (рис. 3.8)
поступает газ. Скорость потока на входе в решетку с1 = 140 м/с,
на входе поток имеет угол 1 = 510. На выходе угол потока
2 = 730. Шаг решетки t = 77 мм, хорда профиля В = 73 мм,
качество профиля µ = 34. Определите подъемную силу для
невязкого течения.
Ответ: Ра = 357 Н.
Задача 3.14
Круговая решетка профилей (рис. 3.9) вращается вокруг
оси с угловой скоростью  = 1400 р/с. Радиус кривизны лопаток
Rл = 400 мм. Количество лопаток zл = 18 шт. Размеры
поперечного сечения канала на радиусе r = 160 мм – а = 50 мм и
b = 25 мм. Газ поступает в решетку с давлением р1 = 1,2 бар и
температурой Т1 = 305 К. Массовый расход газа т = 10 кг/с.
Плотность газа в сечении межлопаточного канала на радиусе r –
ср = 1,4 · 1. Определите скорости на передней и задней
сторонах лопатки для радиуса r.
Ответ: wn = 176,2 м/с, wз = 287,2 м/с.
Задача 3.15
Круговая решетка профилей (рис. 3.9) вращается вокруг
оси с угловой скоростью  = 1300 р/с. Начальный и конечный
диаметры решетки D1 = 270 мм и D2 = 450 мм. Начальный и
конечный углы лопатки βл1 = 310 и βл2 = 400. Скорость потока на
входе с1 = 90 м/с, проекция скорости сu1 = 20 м/с. Скорость
потока на выходе w2 = 60 м/с.
63
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Можно принять, что β2 = βл2. Определите теоретический
напор hT.
Ответ: hT = 68590 Дж/кг.
Задача 3.16
Круговая решетка профилей (рис. 3.9) вращается вокруг
оси с угловой скоростью  = 1100 р/с. Начальный и конечный
диаметры решетки D1 = 300 мм и D1 = 500 мм. Начальный и
конечный углы лопатки βл1 = 320 и βл2 = 450. Скорость потока на
входе с1 = 95 м/с, проекция скорости сu1 = 25 м/с. Массовый
расход газа т = 6 кг/с. Плотность газа в сечении
межлопаточного канала на радиусе r – ср = 1,6 · 1. Скорость
потока на выходе w2 = 70 м/с. Массовый расход газа т = 15 кг/с.
Можно принять, что β2 = βл2. Определите теоретическую
мощность NT.
Ответ: NT = 868,3 кВт.
64
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
4 ТЕЧЕНИЕ ГАЗА В КАНАЛАХ ТУРБОКОМПРЕССОРОВ
4.1 Течение газа в каналах
различной геометрической формы
Каналы в проточной части турбокомпрессоров можно
классифицировать по различным признакам: по геометрической
форме; являются ли каналы подвижными (роторными) или
неподвижными (статорными); относятся к лопаточному
аппарату или являются безлопаточными.
По геометрической форме каналы разделяются на
следующие виды:
– прямоосные каналы. К ним относятся патрубки входных
и выходных устройств турбокомпрессоров;
–
криволинейные
межлопаточные
каналы.
Это
межлопаточные каналы рабочих колёс, лопаточных диффузоров
и
обратных
направляющих
аппаратов
центробежных
компрессоров. В осевом компрессоре это межлопаточные
каналы рабочих и направляющих аппаратов;
– осесимметричные безлопаточные каналы. К таким
каналам относятся безлопаточные диффузоры центробежных
компрессоров;
– осесимметричные криволинейные каналы. Это
радиально-осевые каналы входных устройств, осерадиальные
каналы на входе в рабочие колеса, поворотные колена между
диффузором и обратным направляющим аппаратом;
– пространственные каналы, не обладающие осевой
симметрией.
Это
входные
и
выходные
устройства
турбокомпрессоров.
Простейший характер имеет движение газа в неподвижном
прямолинейном канале. При движении невязкого газа
взаимодействие с прямолинейным каналом отсутствует: силы
вязкости отсутствуют по определению, а так как прямой канал
не изменяет направления движения, то инерциальные силы не
возникают.
65
4 Течение газа в каналах турбокомпрессоров
Для невязкого потока силы вязкого трения отсутствуют,
поэтому все частицы жидкости двигаются с одинаковой
скоростью. Скорость невязкого потока, при которой расход
равен расходу вязкого потока, называется среднерасходной
(средней) скоростью. Тогда
m  cср  f   .
(4.1)
Следовательно, формально средняя скорость может быть
определена как фиктивная скорость, с которой должны были бы
двигаться все частицы жидкости для того, чтобы расход был
равен его истинному значению (рис. 4.1).
c
R
cñð
Рисунок 4.1 – Эпюра скоростей в сечении трубы
Среднерасходная скорость используется для определения
потерь напора.
Потери напора определяются по формуле
2
l   cср
p    
.
d
2
Для потери напора имеем
66
(4.2)
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
2
l cср
h    
.
d 2
(4.3)
Полученное соотношение носит название формулы Дарси.
64
Для ламинарного течения  
, для турбулентного –
Re
0,316
(формула Блазиуса).
 4
Re
Для
турбокомпрессоров
характерны
течения
с
уменьшением скорости, то есть диффузорные течения, поэтому
будем рассматривать преимущественно течения диффузорные.
Площади поперечного сечения канала связаны со скоростями
уравнением Гюгонио:
M
2
1 dc 1 df
,
 1  
 
c dx f dx
(4.4)
где M – число Маха.
Из зависимости (4.4) следует, что для дозвукового течения
( M  1 ) знаки df dx и dc dx противоположны. Следовательно,
для уменьшения скорости потока dc dx  0 площади в
направлении течения должны возрастать: df dx  0 .
При малых M относительное изменение плотности газа
намного (в М2 раз) меньше относительного изменения скорости
 
V 

потока 
 , что дает основание для использования

V


при этом модели несжимаемой жидкости.
Диффузорность потока является важным фактором,
который существенно влияет на структуру потока и на величину
потерь напора в каналах. Особенность течения газа в
диффузорных каналах – это течение в направлении повышения
67
4 Течение газа в каналах турбокомпрессоров
статического давления, так называемое градиентное течение.
В соответствии с уравнением Бернулли в невязком ядре
потока
 c2 
 d    0,

2
dp
dp

 cdc .
(4.5)
Диффузоры предназначены для снижения скорости, т. е.
dc dx  0 . Тогда
dp dx  0 , т. е. градиент давления
положительный.
В ядре потока газовые частицы движутся в область
высокого давления за счет снижения своей кинетической
энергии.
Преодоление сил сопротивления движению частицами
пограничного слоя происходит как за счет собственной
кинетической энергии, так и за счет касательного напряжения со
стороны более быстро движущихся частиц, расположенных
дальше от стенки.
Наиболее
простая
модель
реальных
каналов
турбокомпрессоров – это прямоосный диффузор круглого или
прямоугольного сечения с прямолинейными образующими
стенок. Такие диффузоры применяются в разных технических
устройствах для снижения скорости и повышения давления.
Часто диффузоры соединяют участки трубопроводов с разным
поперечным сечением.
Форма диффузора круглого сечения определяется его
длиной и углом раскрытия  . Диффузоры прямоугольного
сечения, у которых размеры сечения изменяются только в одной
плоскости, называются плоскими диффузорами.
На рис. 4.2 показана схема диффузоров с одинаковыми
площадями на входе и выходе, но с различной длиной и
соответственно с различным углом раскрытия.
68
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Рисунок 4.2 – Схемы диффузоров
Угол раскрытия конического диффузора определяется по
формуле
tg

2

r2  r1
L

F2  F1
3,14  L
.
(4.6)
Для каналов сложной формы (в том числе криволинейных)
используется эквивалентный угол раскрытия, который
определяется по формуле, аналогичной (4.6):
tg
 экв
2

F2  F1
3,14  Lэкв

r2экв  r1экв
.
Lэкв
(4.7)
Каналу сложной формы ставится в соответствие
конический диффузор с длиной, равной длине рассматриваемого
канала, и с одинаковыми площадями входного и выходного
2
2
 F1 ,
F2экв   r2экв
 F2 . Потери в
сечений: Lэкв  L , F1экв   r1экв
канале произвольной формы можно рассчитать приближенно по
формулам для конического диффузора. Вероятнее всего,
действительные потери будут больше, так как усложнение
формы канала ведет к росту потерь.
Приближенные инженерные методы определения потерь и
оптимальных геометрических соотношений диффузоров
базируются на обширных экспериментах, понятных физических
69
4 Течение газа в каналах турбокомпрессоров
моделях течения и состоят из системы достаточно простых
алгебраических соотношений.
Потери в диффузорах условно делятся на потери трения и
потери расширения, под которыми подразумеваются потери,
связанные с вихреобразованием при наличии отрывов, т. е.
применяется условная схема деления действительных потерь на
две группы:
h д  h тр  h расш ,
(4.8)
 д   тр   расш .
(4.9)
или в безразмерном виде
Потери трения в диффузоре рассчитывают упрощенно,
принимая значение коэффициента трения  постоянным и
равным коэффициенту трения труб:
2
dl c 2
hтр      .
(5.10)
dг 2
1
Следует четко представлять условность этого приема, так
как в диффузоре касательные напряжения и скорости по длине
трубы уменьшаются, поэтому величина  уменьшается по
длине диффузора.
Интегрирование уравнения (4.10) для конического
диффузора приводит к формуле
 тр
  c 2 


 1   2   .
8 sin( / 2 )   c1  

(4.11)

Для коэффициента потерь расширения  расш предложена
следующая эмпирическая формула:
70
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
2
2
 c 
 F 
 расш = k1  расш 1 - 2   k1  расш 1 - 1  ,
(4.12)
 c1 
 F2 
где k1 – эмпирический коэффициент, учитывающий состояние
поля скоростей и пограничного слоя на входе в диффузор.
Коэффициент  расш для углов   0  400 определяется по
формуле
 расш  3,2k2 tg( vэ / 2 )
1,25
,
(4.13)
где k2 – коэффициент, характеризующий форму поперечного
сечения диффузора. Значение коэффициента k2 равно единице
для конических диффузоров, а для диффузоров другой формы
определяются с помощью эмпирических формул.
При
рассмотрении
течения
в
осесимметричном
криволинейном канале используем две системы координат.
Прямоугольная декартова система координат z, r, u , где ось z
направлена вдоль оси симметрии канала, ось r – вдоль радиуса,
а ось u ортогональна осям z и r . Криволинейная система
координат состоит из меридиональных проекций линий тока s и
ортогоналей к ним n ; cm – меридиональная проекция скорости;
cu – окружная проекция скорости; Rm – радиус кривизны линии
тока в меридиональной плоскости;  – угол между
направлением вектора скорости cm и направлением оси z . На
рис. 4.3 показаны центробежные
силы cu2 r
действующие на частицу газа единичной массы.
71
и cm2 Rm ,
4 Течение газа в каналах турбокомпрессоров
Рисунок 4.3 – Схема течения газа
в осесимметричном криволинейном канале
Дифференциальные уравнения движения для невязкой
жидкости:
сm сu2
1 p
   сm 
  sin  0 ,
 s
s
r
2
с2
1 p с
   u  cos   m  0 .
 n r
Rm
(4.14)
Уравнение Бернулли для невязкой жидкости
cu2 cm2
 p    const .

2 2
1
(4.15)
После дифференцирования уравнения (4.15) и подстановки
72
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
полученных зависимостей в (4.14) получаем
cu cu
  sin   0 ,
s
r
cu 
(4.16)
cu
c
c2
c2
 cm  m  u  cos   m  0 .
n
n
r
Rm
(4.17)
После преобразований и интегрирования уравнения (4.16)
и (4.17) принимают такой вид
сu  r  const ,
cm  cm0  e

dn
Rm
(4.18)
(4.19)
 cm0  e A ,
где cm0 – скорость на втулочной поверхности канала.
Интеграл
A
dn
Rm
можно определить, если известна
зависимость Rm  f  n  .
nj
nj
dn
 k j  dn для
Легко определяется интеграл Aj  
Rm 0
0
линейного закона изменения кривизны вдоль нормали (кривизна
1
– величина обратная радиусу кривизны k   R  ):
n 2j  1
1 
Aj 



(4.20)
.
Rвт 2  b  Rпер Rвт 
Влияние кривизны на структуру потока качественно такое
же, как в криволинейной трубе. Вдоль периферийной
поверхности сначала наступает ускоренное (конфузорное)
течение, а затем – диффузорное. У втулки картина течения
обратная: сначала течение диффузорное, а затем – конфузорное.
nj
73
4 Течение газа в каналах турбокомпрессоров
Рассмотрим движение невязкого газа в межлопаточном
канале круговой вращающейся решетки. Для выяснения
закономерностей течения рассмотрим условие равновесия
газовой частицы массой dm    b  ds  dn , где b – ширина
канала в направлении оси z в меридиональной плоскости: ds и
dn – размеры частицы в направлении осей s и n (рис. 4.4).
Рисунок 4.4 – Схема сил, действующих на частицу газа в
межлопаточном канале
Уравнение равновесия в направлении нормали
1 p w2 u 2

 cos   2 w .
 n rs
r
(4.21)
Уравнение равновесия в направлении движения
1 p
w
  2 r sin   w
.
 s
s
74
(4.22)
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
При совместном решении уравнений равновесия (4.21) и
dr
dr
(4.22) с учетом того, что cos  
, sin   , получаем
dn
ds
уравнение для градиента относительной скорости вдоль
нормали:
w
w
 2  .
n
rs
(4.23)
При условии, что rs  rл  const уравнение (4.23) легко
интегрируется после разделения переменных:
w

wср
n
dw
dn
 .
2  rл  w 0 rл
(4.24)
После
преобразований
получаем
формулу
для
определения скорости вдоль нормали в межлопаточном канале:

n
w  wср  1    2 n ,
 rл 
(4.25)
где wср – скорость на средней линии канала.
Обозначим расстояние между лопатками вдоль нормали a ,
тогда для задней стороны лопатки n  a 2 , а для передней
стороны n   a 2 .
Формулы для определения скоростей на передней и задней
поверхностях лопаток имеют вид


a 
a 
wп  wср  1 
   a , wз  wср  1 
   a . (4.26)
 2rл 
 2rл 
75
4 Течение газа в каналах турбокомпрессоров
Обозначим компоненты правой части формулы (4.26)

n 
wI  wср  1 
 и wII  2n , тогда
 2rл 
w  wI  wII .
(4.27)
Скорость wI соответствует течению газа в межлопаточном
канале при   0 , т. е. в неподвижном канале. Скорость wI
называется скоростью транзитного потока. Величина скорости
wI зависит от величины средней скорости wср и величины
кривизны rл .
Скорость
wII
соответствует
течению
газа
в
межлопаточном канале при wср  0  m  0  , т. е. для канала,
закрытого на входе и выходе. Скорость
wII
называется
вихревой скоростью. Величина скорости wII зависит от
величины угловой скорости  и величины a .
Расстояние между лопатками по нормали можно
определить по формуле
a  t sin  л   л 
2 r
sin  л   л ,
z
(4.28)
где  л – толщина лопатки.
В зависимости от соотношения значений скоростей wI и
wII скорость на передней стороне лопаток может быть больше
или меньше нуля. Из формулы (4.27) следует, что
положительные значения скорость wп будет иметь, если
76
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
wср 
a
.

a 
1

2rл 

(4.29)
Физический смысл отрицательных значений скоростей на
передней стороне лопаток состоит в обратном течении возле
данной стороны. Следует обратить внимание, что речь идет не
об отрыве потока, так как рассматривается невязкое течение.
Возможность образования зоны обратного течения в невязком
потоке – это проявление особенности вращающейся круговой
лопаточной решетки. В других каналах проточной части
турбокомпрессоров такое невозможно.
Обратное течение негативно влияет на структуру потока в
каналах рабочего колеса и его эффективность. При
проектировании РК следует геометрические размеры выбирать с
учетом уравнения (4.29).
Диссипация энергии в каналах оценивается с помощью
коэффициента потерь  , который определяется по формуле
 
p
.
0,5    cср2
(4.40)
Потери напора определяются по формуле
h   
cср2
2
,
(4.41)
а потери мощности по формуле
N  m  
77
cср2
2
.
(4.42)
4 Течение газа в каналах турбокомпрессоров
Примеры решения задач
Задача 4.1
Канал имеет поперечное сечение круглой формы (рис. 4.5).
Входной участок канала диффузорный. Диаметр входного
сечения d1 = 180 мм. Диаметр выходного сечения d1 = 230 мм.
Длина входного участка L1 = 1,15 м. Средняя часть канала
изогнута на угол  = 500. Радиус кривизны средней линии
канала Rср = 550 мм. Выходной участок канала имеет длину
L2 = 0,8 м.
Воздух на входе в канал имеет следующие параметры:
давление рвх = 1,25 бар, температура Твх = 298 К, скорость
wвх = 35 м/с.
Определить наименьшее значение скорости и давления в
канале, значение скорости на выходе из канала, потери напора
на входном участке и угол раскрытия диффузора.
Плотность на входе можно
уравнение состояния по формуле
вх 
определить,
используя
pвх
0,125 106

 1,46 кг м3 .
R  Tвх 287  298
Здесь R = 287 Дж/(кг · К) – газовая постоянная воздуха.
Площадь на входе
f 
  d вх2
4

3,14  0,182
 0,025 м 2 .
4
78
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Рисунок 4.5 – Схема криволинейного канала круглого сечения
Тогда массовый расход
m  вх  f вх  wвх  1,46  0,025  35  1,28 кг с .
Скорости в поперечном сечении криволинейного участка
канала определяются по формуле
c  cвх  e A ,
где A  dn ; R – радиус кривизны.
R
Если кривизна изменяется линейно вдоль нормали, то
A
ni
n2  1
1 .
 i 


Rвн 2  b  Rнар Rвн 
Радиус кривизны для внутренней поверхности
Rвн  Rср 
d
0,23
 0,55 
 0,435 м .
2
2
79
4 Течение газа в каналах турбокомпрессоров
Радиус кривизны для наружной поверхности
d
0,23
Rнар  Rср   0,55 
 0,665 м .
2
2
Определяем А для n  
d
d
и n :
2
2
0,115 0,1152  1
1 
Aвн  



 0,287 ,
0,435 2  0,23  0,665 0,435 
Aнар
0,115 0,1152  1
1 




 0,241.
0,435 2  0,23  0,665 0,435 
Средняя скорость потока на входе в криволинейный
участок канала определяется по формуле
cвых 
m
.
вых  fвых
Площадь на выходе
2
  d вых
3,14  0,232
f вых 

 0,0415 м 2 .
4
4
Тогда
cвых 
m
1,28

 21,1 м с.
вых  fвых 1,46  0,0415
Тогда скорость на внутренней поверхности:
cвн  21,1  e0,287  28,1 м с .
Скорость на наружной поверхности:
cнар  21,1 e0,241  16,6 м с .
80
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Наименьшее значение скорости на криволинейном участке
канала равно 16,6 м/с. Наименьшее значение давления на
криволинейном участке канала будет там, где скорость
наибольшая. Полное давление считаем одинаковым в любом
сечении канала:
p  p  0,5    c 2  pвх  0,5  вх  cвх2  1,25  105  0,5  1,46  352  125895 Па .
2
Тогда pmin  p  0,5    cmax
 125000 Па .
Скорость потока на выходе равна
cвых 
m
1,28

 21,1 м с .
вых  f вых 1,46  0,0415
Потери напора в диффузоре определяются по формуле
hd  0,5  cвх2   диф ,
2

f 
  1  1 
f 2  – коэффициент потерь в диффузоре,
где   
диф
8  sin 
2
.
  0,04
 
2
 диф
0,025 

0,04  1 
0,0415 


 0,035 .
2,6
8  sin
2
 
Тогда h  0,5  352  0,035  21,4 Дж кг .
Тангенс угла раскрытия диффузора определяется по
формуле
 2 
tg 
f2 
 l
f1

0,0415  0,025
 0,0225    2,60 .
3,14  1,15
81
4 Течение газа в каналах турбокомпрессоров
Задача 4.2
Канал имеет поперечное сечение прямоугольной формы
(рис. 4.6). Входной участок канала диффузорный. Размеры
входного сечения а1 = 270 мм и b1 = 270 мм. Длина
прямолинейного входного участка L1 = 0,75 м. Средняя часть
канала изогнута на угол  = 600. Радиус кривизны средней
линии канала Rср = 700 мм. Площадь поперечного сечения
криволинейного входного и выходного участков постоянна.
Выходной участок канала имеет длину L2 = 1,3 м.
Воздух на входе в канал имеет следующие параметры:
давление рвх = 1 кгс/см2, температура Твх = 310 К, скорость
wвх = 35 м/с.
Определите наименьшее значение скорости и давления в
канале, значение скорости на выходе из канала, потери давления
на выходном участке, потери мощности и угол раскрытия
эквивалентного конического диффузора.
Рисунок 4.6 – Схема криволинейного канала
прямоугольного сечения
82
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Плотность на входе можно
уравнение состояния по формуле
вх 
определить,
используя
pвх
0,1 106

 1,14 кг м3 .
R  Tвх 287  310
Площадь на входе
f вх  a1  b1  0,27  0,22  0,059 м2 .
Тогда массовый расход
m  вх  f вх  wвх  1,14  0,059  35  2,4 кг с .
Скорости в поперечном сечении криволинейного участка
канала определяются по формуле
c  cвх  e A ,
где A 
dn
 R ; R – радиус кривизны.
Если кривизна изменяется линейно вдоль нормали, то
A
ni
n2  1
1 
 i 

.
Rвн 2  b  Rнар Rвн 
Радиус кривизны для внутренней поверхности
Rвн  Rср 
b
0,27
 0,7 
 0,565 м .
2
2
83
4 Течение газа в каналах турбокомпрессоров
Радиус кривизны для наружной поверхности
Rнар  Rср 
Определяем
b
0,27
 0,7 
 0,835 м .
2
2
A для n   d и n  d :
2
2
0,135 0,1352  1
1 
Aвн  



 0,258 ,
0,565 2  0,27  0,835 0,565 
Aнар 
0,135 0,1352  1
1 



 0,22 .
0,565 2  0,27  0,835 0,565 
Площадь на входе в криволинейный канал
f  a2  b2  0,27  0,27  0,073 м2 .
Cкорость потока на входе в криволинейный канал
c
m
2,4

 28,8 м с .
  f 1,14  0,073
Тогда скорость на внутренней поверхности:
cвн  28,8  e0,258  37,3 м с .
Скорость на наружной поверхности:
cнар  28,8  e0,22  23 м с .
Наименьшее значение скорости в канале равно 23 м/с.
84
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Наименьшее значение давления на криволинейном участке
канала будет там, где скорость наибольшая.
Полное давление считаем одинаковым в любом сечении
канала:
p  p  0,5    c 2  pвх  0,5  вх  cвх2  0,1 106  0,5  1,14  352  100700 Па.
2
Тогда pmin  p  0,5    cmax
 99905 Па .
Скорость на выходе из канала равна свых = 28,8 м/с.
Тогда давление будет
2
pвых  p  0,5    cвых
 100225 Па .
Потери мощности определяются по формуле
N  h  m .
Потери напора
h  0,5  cвх2   тр   пов   диф  ,
где  тр    L – коэффициент потерь трения,  = 0,04;
d
4 f
4  a  b – гидравлический диаметр;
dг 

П
2  a  b
 пов  0,9  sin  
R
0,21
ср
n
0,25
– коэффициент потерь поворотного
колена;
2
 диф

f 
  1  1 
f 2  – коэффициент потерь в диффузоре.
 
8  sin 
2
 
85
4 Течение газа в каналах турбокомпрессоров
dг 
4  0,27  0,27
 0,27 м .
2   0,27  0,27 
 тр  0,04 
 пов  0,9  sin 60 
1,3
 0,19 ;
0,27
0,21
 0,7
0,27 
0,25
 0,129 ;
2
 диф
 0,059 
0,04  1 

 0,073   0,009 .

8  sin 2,3
2
 
Тогда h  0,5  352   0,19  0,129  0,009   201 Дж кг .
Потери мощности N  201  2,4  482 Вт .
Тангенс угла раскрытия диффузора определяется по
формуле
 2 
tg 
f 2  f1
 l

0,073  0,059
 0,02    2,30 .
3,14  0,75
Задачи для самостоятельного решения
Задача 4.3
Канал имеет поперечное сечение круглой формы (рис. 4.5).
Входной участок канала диффузорный. Диаметр входного
сечения d1 = 200 мм. Диаметр выходного сечения d1 = 250 мм.
Длина входного участка L1 = 1,05 м. Средняя часть канала
изогнута на угол  = 450. Радиус кривизны средней линии
канала Rср = 500 мм. Выходной участок канала имеет длину
L2 = 0,7 м.
86
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Воздух на входе в канал имеет следующие параметры:
давление рвх = 0,12 МПа, температура Твх = 20 0С, скорость
wвх = 30 м/с.
Определите наименьшее значение скорости и давления в
канале, значение давления на выходе из канала, угол раскрытия
диффузора.
Ответ: wmin = 5,43 м/с, рmin = 118136 Па, рвых = 126130 Па,
 = 8,20.
Задача 4.4
Канал имеет поперечное сечение круглой формы (рис. 4.5).
Входной участок канала диффузорный. Диаметр входного
сечения d1 = 150 мм. Диаметр выходного сечения d1 = 190 мм.
Длина входного участка L1 = 1,25 м. Средняя часть канала
изогнута на угол  = 550. Радиус кривизны средней линии
канала Rср = 600 мм. Выходной участок канала имеет длину
L2 = 0,9 м.
Воздух на входе в канал имеет следующие параметры:
давление рвх = 1,3 бар, температура Твх = 300 К, скорость
wвх = 40 м/с.
Определите наибольшее значение скорости и давления в
канале, значение давления на выходе из канала и как изменятся
потери при уменьшении длины в 1,5 раза.
Ответ: wmax = 40 м/с, рmax = 130890 Па, pвых = 130760 Па,
hд  10 Дж кг .
Задача 4.5
Канал имеет поперечное сечение круглой формы (рис. 4.7).
Длина прямолинейного входного участка L1 = 1,1 м. Средняя
часть канала изогнута на угол  = 650. Радиус кривизны средней
линии канала Rср = 700 мм. Площадь поперечного сечения
входного и криволинейного участков канала постоянна.
Диаметр входного сечения d1 = 100 мм. Выходной участок
канала диффузорный, имеет длину L2 = 0,75 м. Диаметр
входного сечения d1 = 150 мм.
87
4 Течение газа в каналах турбокомпрессоров
Воздух на входе в канал имеет следующие параметры:
давление рвх =1,25 бар, температура Твх = 300 К, скорость
wвх = 40 м/с.
Определите наибольшее значение скорости и давления в
канале, значение скорости на выходе из канала и угол раскрытия
диффузора.
Ответ: wmax = 14,58 м/с, рmax = 125076 Па, wвых = 12,23 м/с,
 = 10,70.
Рисунок 4.7 – Схема криволинейного канала круглого сечения
Задача 4.6
Канал имеет поперечное сечение круглой формы (рис. 4.7).
Длина прямолинейного входного участка L1 = 1,4 м. Средняя
часть канала изогнута на угол  = 500. Радиус кривизны средней
линии канала Rср = 600 мм. Площадь поперечного сечения
входного и криволинейного участков канала постоянна.
Диаметр входного сечения d1 = 160 мм. Выходной участок
канала диффузорный, имеет длину L2 = 1,1 м. Диаметр
выходного сечения d2 = 200 мм.
Воздух на входе в канал имеет следующие параметры:
давление рвх =1,4 бар, температура Твх = 300 К, скорость
wвх = 25 м/с.
88
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Определите наименьшее значение скорости и давления в
канале, значение скорости на выходе из канала и как изменятся
потери при уменьшении длины диффузора в 2 раза.
Ответ: wmin = 13,41 м/с, рmin = 139661 Па, wвых = 15,92 м/с,
hд  2,5 Дж кг .
Задача 4.7
Канал имеет поперечное сечение прямоугольной формы
(рис. 4.6). Входной участок канала диффузорный. Размеры
входного сечения а1 = 300 мм и b1 = 300 мм. Длина
прямолинейного входного участка L1 = 1,5 м. Средняя часть
канала изогнута на угол  = 550. Радиус кривизны средней
линии канала Rср = 650 мм. Площадь поперечного сечения
криволинейного входного и выходного участков постоянна.
Выходной участок канала имеет длину L2 = 1,2 м.
Воздух на входе в канал имеет следующие параметры:
давление рвх = 0,145 МПа, температура Твх = 305 К, скорость
wвх = 30 м/с.
Определите наибольшее значение скорости и давления в
канале и потери напора во входном участке.
Ответ: wmax = 46,95 м/с, рmax = 145522 Па, hвх = 48 Дж/кг.
Задача 4.8
Канал имеет поперечное сечение прямоугольной формы
(рис. 4.6). Входной участок канала диффузорный. Размеры
входного сечения а1 = 270 мм и b1 = 220 мм. Длина
прямолинейного входного участка L1 = 0,75 м. Средняя часть
канала изогнута на угол  = 450. Радиус кривизны средней
линии канала Rср = 550 мм. Площадь поперечного сечения
криволинейного входного и выходного участков постоянна.
Выходной участок канала имеет длину L2 = 1 м.
Воздух на входе в канал имеет следующие параметры:
давление рвх = 0,1 МПа, температура Твх = 310 К, скорость
wвх = 35 м/с.
Определите наименьшее значение скорости и давления в
89
4 Течение газа в каналах турбокомпрессоров
канале, значение давления на выходе из канала и как изменяться
потери при уменьшении длины диффузора в 1,5 раза.
Ответ: wmin = 29 м/с, рmin = 98538 Па, рвых = 99311 Па,
hд  4 Дж кг .
Задача 4.9
Канал имеет поперечное сечение прямоугольной формы
(рис. 4.8). Длина прямолинейного входного участка L1 = 0,7 м.
Средняя часть канала изогнута на угол  = 450. Радиус кривизны
средней линии канала Rср = 500 мм. Площадь поперечного
сечения криволинейного входного и выходного участка
постоянна. Размеры входного сечения а1 = 100 мм и b1 = 150 мм.
Выходной участок канала имеет длину L2 = 0,8 м. Размеры
входного сечения а1 = 100 мм и b1 = 200 мм.
Воздух на входе в канал имеет следующие параметры:
давление рвх = 0,1 МПа, температура Твх = 0 0С, скорость
wвх = 20 м/с.
Определите наибольшее значение скорости и давления в
канале, значение скорости на выходе из канала, потери напора и
угол раскрытия эквивалентного конического диффузора.
Ответ: wmax = 18,1 м/с, рmax = 100103 Па, wвых = 15 м/с,
экв = 5,380, h  147 Дж кг .
Задача 4.10
Канал имеет поперечное сечение прямоугольной формы
(рис. 4.8). Длина прямолинейного входного участка L1 = 0,9 м.
Средняя часть канала изогнута на угол  = 550. Радиус кривизны
средней линии канала Rср = 600 мм. Площадь поперечного
сечения криволинейного входного и выходного участков
постоянна. Размеры входного сечения а1 = 200 мм и b1 = 250 мм.
Выходной участок канала имеет длину L2 = 1 м. Размеры
входного сечения а1 = 200 мм и b1 = 300 мм.
Воздух на входе в канал имеет следующие параметры:
давление рвх = 0,115 МПа, температура Твх = 20 0С, скорость
wвх = 30 м/с.
90
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Определите наибольшее значение скорости и давления в
канале, значение давления на выходе из канала и как изменятся
потери при уменьшении радиуса кривизны в 2 раза.
Ответ: wmin = 16,7 м/с, рmin = 114245 Па, рвых = 115428 Па,
hкр  15 Дж кг .
Рисунок 4.8 – Схема криволинейного канала
прямоугольного сечения
91
5 Газодинамическое подобие турбокомпрессоров
5 ГАЗОДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ
ТУРБОКОМПРЕССОРОВ
5.1 Основные положения теории подобия
Теория подобия – учение об условиях подобия различных
объектов (физических явлений, процессов, аппаратов, систем),
отличающихся масштабами, геометрией или физической
природой.
Одно из наиболее удачных определений понятия подобия
принадлежит академику Л. И. Седову: «Подобными называются
такие явления (процессы), когда по характеристикам одного из
них можно получить характеристики другого простым
пересчетом, аналогичным переходу от одной системы единиц к
другой».
Теория подобия опирается на учение о размерностях
физических величин и служит основой физического
моделирования.
Предметом теории подобия является установление
критериев подобия различных физических явлений и изучение с
помощью этих критериев свойств самих явлений.
Различают
геометрическое,
физическое,
физикохимическое и математическое подобие.
При
геометрическом
подобии
пропорциональны
геометрические характеристики соответствующих элементов
объектов (например, длины, высоты или диаметры аппаратов).
При физическом подобии в пространстве и времени
подобны поля соответствующих физических параметров двух
объектов, например при кинематическом подобии – поля
скоростей, при динамическом подобии – системы действующих
сил или силовых полей (силы инерции, тяжести, вязкости,
давления и др.); при механическом или гидромеханическом
подобии,
предполагающем
наличие
геометрического,
кинематического и динамического подобия, – упругие системы,
потоки жидкостей, газов или их смесей и др.; при подобии
92
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
тепловых процессов – соответствующие поля температур и
тепловых потоков; при подобии массообменных процессов –
потоки веществ и поля их концентраций и др.; при подобии
химических процессов – поля концентраций, температур и др.;
при электродинамическом подобии – поля токов, нагрузок,
мощностей, электромагнитных сил.
Для сложных физических и физико-химических процессов,
включающих механические, гидромеханические, тепло- и
массообменные явления, теория подобия устанавливает условия
подобия.
Понятие подобия в отношении физических величин
применимо только к явлениям одного рода, которые
качественно одинаковы, и аналитически описываются одними
уравнениями и по форме, и по содержанию. Если аналитические
уравнения двух каких-либо явлений одинаковы по форме, но
различны по физическому содержанию, то такие явления
называют аналогичными.
При математическом подобии рассматриваемые объекты
описываются одинаковыми уравнениями, что позволяет
говорить, например, о подобии тепловых и массообменных
процессов и т. п. Такая аналогия существует, например, между
явлениями теплопроводности и электричества. Основной закон
и в том, и в другом случае формулируется одинаково: поток
(тепла q , электричества i ) пропорционален градиенту
(температуры – grad t , потенциала – grad u ), соответственно
законы Фурье и Ома q    grad t , i    grad u , где  и  –
коэффициенты пропорциональности, то есть коэффициент
теплопроводности и коэффициент удельной проводимости.
Впервые с понятием подобия встречаемся в геометрии, в
которой введено понятие геометрически подобных фигур.
93
5 Газодинамическое подобие турбокомпрессоров
Рисунок 5.1 – Подобные треугольники
Например, изображенные на рис. 5.1 треугольники
обладают следующим свойством: их соответствующие углы
равны, а соответствующие стороны пропорциональны, то есть
l1 l2 l3
  C,
l1 l2 l3
(5.2)
где С – коэффициент пропорциональности, или константа
подобия.
Условия физического подобия. Подобие двух физических
явлений означает подобие всех величин, характеризующих
рассматриваемые явления, то есть любая величина  
пропорциональна однородной с ней величине   второго
явления:
   C    ,
где C
(5.3)
– коэффициент пропорциональности – называется
константой подобия величины  .
C не зависит ни от координат, ни от времени.
Рассмотрим условия кинематического подобия.
По определению скорость c – это отношение пути l ко
времени движения, т. е.
94
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
c
l

.
(5.4)
l
l 
, c  .

 
Разделив эти равенства друг на друга, получим
Для двух подобных потоков жидкости c 
c c 
l  l 
   
(5.5)
kl kc  k
,
 1 . Здесь kc , k , kl – константы подобия.
k
kl
Рассмотрим условия динамического подобия. Согласно
второму закону Ньютона сила F равна массе m , умноженной
на ускорение a , то есть F  m  a  m  c  . После преобразования
получим
или kc 
F   m  c  idem  Ne , kF k km k c  1 .
(5.6)
Основные положения теории подобия формулируются в
виде трех теорем.
Первая теорема подобия: подобные между собою явления
имеют одинаковые критерии подобия.
Вторая
теорема
подобия:
зависимость
между
переменными, характеризующими явление, может быть
представлена в виде зависимости между критериями подобия
k1 , k2 ,..., kn :
f  k1 , k2 ,..., kn   0 .
(5.7)
Данная
зависимость
называется
критериальным
уравнением. Помимо критериев подобия, в это уравнение могут
входить так называемые симплексы – безразмерные отношения
95
5 Газодинамическое подобие турбокомпрессоров
однородных физических величин.
Третья теорема подобия: подобны те явления, условия
однородности которых подобны и критерии, составленные из
условий однозначности, численно одинаковы.
Условия однозначности состоят из начальных и граничных
условий задачи, или краевых условий. Критерии, полученные из
этих условий, называются определяющими.
Возможна такая формулировка третьей теоремы подобия:
явления подобны, если определяющие критерии инвариантны
(одинаковы).
Критерии, составленные из величин, не входящих в
условия однозначности, называются неопределяющими.
Когда устанавливается подобие, то неопределяющие
критерии сами собой получаются также одинаковыми. Это
следствие установившегося подобия. Следовательно, теория
подобия позволяет, не интегрируя дифференциальных
уравнений, получить из них критерии подобия, а из опытных
данных установить критериальные зависимости, которые будут
справедливы для всех подобных между собой процессов.
5.2 Критерии подобия
Критерий подобия – безразмерное число, составленное из
размерных
физических
параметров,
определяющих
рассматриваемое физическое явление. Равенство всех
однотипных критериев подобия для двух физических явлений и
систем – необходимое и достаточное условие физического
подобия данных систем.
Всякая новая комбинация из критериев подобия также
является критерием подобия, что даёт возможность в каждом
конкретном случае выбрать наиболее удобные и характерные
критерии.
Если известны уравнения, описывающие рассматриваемое
физическое явление, то критерии подобия для этого явления
можно получить, приводя уравнения к безразмерному виду
путём введения некоторых характерных значений для каждого
96
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
из определяющих физических параметров, входящих в систему
уравнений. Тогда критерии подобия определятся как
безразмерные коэффициенты, появляющиеся перед некоторыми
из членов новой, безразмерной системы уравнений.
Заметим, что критерии подобия, полученные из
дифференциальных или проинтегрированных выражений, одни
и те же.
Если математическая модель процесса известна, но не
может быть проинтегрирована, то числа подобия могут быть
найдены методом, который был предложен
известным
американским математиком и гидродинамиком Г. Биркгофом,
названный им инспекционным анализом. Как следует из
названия,
метод
заключается
в
организованном по
определенным
правилам
«инспектировании»
дифференциальных уравнений, которое должно выявить числа
подобия, позволяющие моделировать процесс.
Для критериев (чисел) подобия принята специальная
система обозначений в виде двух первых букв, как правило,
фамилий ученых, внесших значительный вклад в данную
область знания, и соответствующих наименований. Каждый из
критериев подобия имеет определенный физический смысл как
величина, пропорциональная соотношению однотипных
физических величин. Сводка наиболее распространенных в
гидромеханических и тепловых процессах критериев (чисел)
подобия и входящих в них величин представлена в таблицах.
97
5 Газодинамическое подобие турбокомпрессоров
Таблица 5.1 – Гидромеханические процессы
Критерий
Формула
Физический смысл
2
Ньютона
Мера
соотношения
действующей на
Ne  Fl / mc
систему силы и силы инерции
2
Вебера
We  c l  /  Мера соотношения сил инерции и
поверхностного
натяжения;
отражает влияние последней на
движение потока движение потока
РейноRe  cl  /   Мера соотношения сил инерции и
льдса
вязкости; отражает влияние силы
 cl / 
трения на движение потока
2
Фруда
Мера соотношения сил инерции и
Fr  c / gl
тяжести;
отражает
влияние
последней на движение потока
2
Эйлера
Мера
соотношения
между
Eu  p /  c
изменением
силы
гидростатического давления и силы
инерции;
отражает
влияние
перепада давления на движение
потока
Галилея Ga  Re2 / Fr  Характеризует влияние сил тяжести
и инерции при естественной
 l 3  2 g /  2 конвекции
Архимеда
Ar  Ga   /   Характеризует
Гомохронности
Ho  c / l
Маха
M c/a
влияние на силу
тяжести плотности потока при
естественной конвекции
Характеризует
одинаковость
протекания процессов во времени
при нестационарном движении
потока
Характеризует
влияние
сжимаемости
потока
на
его
движение
98
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Таблица 5.2 – Тепловые процессы
Критерий
Формула
Физический смысл
НуссельМера
интенсивности
теплоотдачи
Nu  l / 
та
на границе раздела фаз
ПрандтPr  c /   Мера соотношения вязкостных и
ля
температуропроводных
свойств
 / a
теплоносителей; мера соотношения
полей скоростей и температур в
потоке
Пекле
Pe  Re Pr  Мера соотношения между теплотой,
переносимой
конвекцией
и
 cl / a
теплопроводностью
Грасгофа Gr  gl 3 t /  2 Мера соотношения сил трения,
инерции
и
подъемной
(архимедовой) силы, определяемой
разностью плотностей в различных
точках неизотермического потока
при свободной конвекции
Фурье
Характеризует
нестационарность
Fo   / l 2
переноса
теплоты
путем
теплопроводности при изменении
температуры во времени
Био
Характеризует
постоянство
Bi  l / 
отношения
внутреннего
термического
сопротивления
нестационарной теплопроводности
к
внешнему
термическому
сопротивлению теплоотдаче
Стантона St  Nu / Re Pr Характеризует
соотношение
(Стэнтоколичества теплоты, переносимой
на)
конвекцией и движущимся потоком
жидкости (газа); интенсивность
диссипации энергии в потоке
99
5 Газодинамическое подобие турбокомпрессоров
Таблица 5.3 – Тепловые процессы
Величина
Время
Давление, разность давлений
Динамическая вязкость
Кинематическая вязкость
Коэффициент диффузии
Коэффициент объемного
расширения
Коэффициент
температуропроводности
Коэффициент теплоотдачи
Коэффициент теплопроводности
Масса
Определяющий геометрический
размер
Плотность жидкости (газа)
Поверхностное натяжение
Сила
Скорость
Скорость звука
Температура, разность температур
Удельная теплоемкость
(при постоянном давлении)
100
Обозначение

Единица
измерения
с
Па
Па·с
м2/с
м2/с
К-1
a
м2/с


m
Вт/(м2·К)
Вт/(м2·К)
кг
м

p , p


D
l, d


F
с
азв
T , T
ср
кг/м3
Н/м
Н
м/с
м/с
К
Дж/(кг·К)
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
5.3 Характеристики турбокомпрессоров
Графические
П  f V  , КПД
зависимости
отношения
давлений
 n  f V  и мощности N  f V  от
производительности называют размерными характеристиками
компрессора.
Зависимость отношения давлений от производительности
называют напорной характеристикой.
Газодинамические характеристики компрессора позволяют
оценивать его энергетические и экономические свойства,
прогнозировать значения производительности, давления газа,
потребляемой мощности в процессе регулирования компрессора
во время его эксплуатации.
Для примера на рис. 5.2 приведены типовые размерные
характеристики центробежного компрессора.
п
П
п 0
п
П0
П
Vн
Vн 0
Рисунок 5.2 – Размерные характеристики
центробежного компрессора:
k – показатель адиабаты, R – газовая постоянная,
рн – давление начальное, Тн – температура начальная,
 – угловая скорость ротора
101
5 Газодинамическое подобие турбокомпрессоров
Размерные характеристики зависят от многих параметров:
свойств газа k и R ; давления и температуры на входе в
компрессор pн , Tн ; угловой скорости ротора  .
При изменении любого из этих параметров характеристики
изменяются. Поэтому размерные характеристики определяются
для стандартных давлений и температур.
При построении размерных характеристик используются
разнообразные параметры компрессора, которые характеризуют
его производительность, напор, мощность и КПД.
Иногда используются приведенные параметры.
В меньшей степени зависят от изменения режимных
параметров безразмерные характеристики. Безразмерные
характеристики показывают взаимозависимость безразмерных
параметров компрессора.

n
п0
п
 nо
п
Фо
Ф
Рисунок 5.3 – Безразмерные характеристики
центробежного компрессора:
k – показатель адиабаты, M u 2 – условное число Маха,
Reu 2 – условное число Рейнольдса
102
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Рисунок 5.4 – Размерные характеристики центробежного
компрессора для ГПА
103
5 Газодинамическое подобие турбокомпрессоров
На рис. 5.3 представлены типовые безразмерные
характеристики центробежного компрессора.
При
построении
безразмерных
характеристик
используются безразмерные параметры – коэффициенты
расхода и коэффициенты напора.
Пересчет характеристик из размерного в безразмерный вид
выполняется на основе теории газодинамического подобия.
На рис. 5.4 представлены размерные характеристики
центробежного компрессора для газоперекачивающего агрегата.
Верхняя кривая – зависимость приведенной мощности от
приведенного объемного расхода на входе в компрессор.
Средняя кривая – зависимость КПД от приведенного объемного
расхода на входе в компрессор. В нижней части рисунка
показаны напорные характеристики для различных значений
частот вращения, указанные в безразмерном виде: n n ном . При
увеличении частоты вращения ротора увеличивается отношение
давлений компрессора П . Здесь же показаны линии равных
мощностей.
На рис. 5.5 показаны напорные характеристики осевого
компрессора для различных значений частот вращения n n ном в
диапазоне 0,5–1,0. На рисунке массовая производительность
компрессора задана в безразмерном виде G G расч . Как видно из
рисунка, увеличение частоты вращения позволяет существенно
увеличить степень повышения давления и производительность.
Теория подобия позволяет получить формулы для
пересчета расходов, напоров и мощностей турбокомпрессоров
для подобных режимов работы. Эти зависимости могут
применяться для расчета параметров геометрически подобных
машин, а также для одного и того же компрессора, работающего
на различных (но подобных) режимах.
Введем следующие обозначения для параметров:
– параметры с индексом «мод» относятся к модели;
– параметры с индексом «нат» относятся к натуре.
При расчете параметров одного и того же компрессора
индекс «мод» относится к одному режиму работы, индекс «нат»
104
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
– к другому.
Установим взаимозависимость расходов натуры и модели.
Объемный расход газа в турбокомпрессоре определяется по
формуле V  с  F , где F – площадь в каком-либо сечении
проточной части компрессора; c – расходная составляющая
скорости в данном сечении, например, на входе в компрессор.
Тогда отношение объемных расходов натуры и модели будет
равно
Рисунок 5.5 – Размерные характеристики осевого компрессора
105
5 Газодинамическое подобие турбокомпрессоров
Тогда отношение объемных расходов натуры и модели
будет равно
Vнат cнат  Fнат
.

Vмод смод  Fмод
(5.8)
Так как для подобных процессов отношение каких-либо
сходственных параметров модели и натуры равно отношению
любых других сходственных параметров, отношение скоростей
cнат смод можно заменить на отношение скоростей uнат uмод .
Здесь u    r – окружная скорость на диаметре d  2  r ,  –
угловая скорость.
Отношение сходственных геометрических размеров
модели и натуры (коэффициент моделирования) обозначим
u

i  dнат d мод . Тогда нат  нат  i .
u мод  мод
F
Так как нат  i 2 , получаем
Fмод
Vнат нат 3

i .
Vмод мод
(5.9)
Теперь получим зависимость, связывающую напоры
натуры и модели.
Теоретический напор турбокомпрессора определяется по
формуле
hT  cu 2  u2  cu1  u1
или
 c u 
hT  cu 2  u2 1  u1  1  .
(5.10)
c
u
u2
2 

Отношение скоростей cu1 cu 2 заменяем на отношение
скоростей u1 u2 .
106
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Тогда можно записать, что отношение напоров натуры и
модели будет
  u 2 
1   1  
hTнат cu 2 н  u2 н   u2   н
.
(5.11)


hTмод сu 2 м  u2 м   u  2 
1   1  
  u2   м
Для подобных процессов выражения в скобках в формуле
(55.11) для натуры и модели равны, т. е их можно сократить.
Отношение скоростей cu 2 н сu 2 м можно заменить на отношение
скоростей u2 н u2 м . Так как u2н u2 м  н м   i , получаем
2
hTнат  нат  2

 i .
hTмод   мод 
(5.12)
Теоретическая мощность турбокомпрессора определяется
по формуле
NT  m  hT  V    hT .
(5.13)
Отношение мощностей натуры и модели
N нат mнат  hTнат Vнат  нат  hTнат
.


N мод mмод  hTмод Vмод   мод  hTмод
(5.14)
После подстановки в формулу (5.14) выражений из (5.9) и
(5.12) получаем
N нат  нат

N мод  мод
3
 нат  5

 i .
  мод 
107
(5.15)
5 Газодинамическое подобие турбокомпрессоров
Формулы (5.9), (5.12) и (5.14) можно использовать для
определения расходов, напоров и мощностей подобных
турбокомпрессоров, определения частоты вращения подобного
турбокомпрессора, параметров одного и того же компрессора
при изменении частоты вращения, а также для определения
коэффициента моделирования при проектировании компрессора
по известным характеристикам модели.
Например, задан напор hTнат . Тогда
нат
h

D
  мод  2 мод   Tнат 
D2 нат  hTмод 
0,5
.
(5.16)
Параметры компрессора при изменении частоты вращения
определяются по формулам:
Vнат  Vмод 
нат
,
 мод
(5.17)
2
hTнат
 
 hTмод   н  ,
 м 
(5.18)
3
N нат  N мод
 нат  нат 

 .
 мод   мод 
(5.19)
С помощью формул (5.17) и (5.18) можно определить
частоту вращения ротора компрессора, при которой
обеспечивается требуемый расход или напор.
Необходимо помнить, что при изменении частоты
вращения изменяется число Рейнольдса. Если работа
компрессора происходит не в области автомодельности по числу
Рейнольдса, то формулы (5.17), (5.18) и (5.19) дают
приближенный результат.
108
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Коэффициент моделирования для обеспечения требуемого
расхода при проектировании компрессора для известных
параметров модели Vмод и  мод находится по формуле
i
3
Vнат  мод
.

Vмод нат
(5.20)
Из уравнений (5.17) и (5.18) следует
2
hTнат
V 
 hTмод   нат  .
 Vмод 
(5.21)
Данная зависимость называется параболой подобных
режимов. Если напоры и расходы турбокомпрессора с
изменением частоты вращения соответствуют зависимости
(5.21), то внутренний КПД остается постоянным.
Примеры решения задач
Задача 5.1
Модель ступени центробежного компрессора при
испытании на воздухе с угловой скоростью вращения ротора
  700 рад с имеет следующие параметры:
- объемный расход газа на входе в компрессор Vвх  350 м3 мин ;
- отношение давлений П  1, 4 ;
- потребляемая компрессором мощность Ni  200 кВт .
Диаметр рабочего колеса модели D2  0,3 м .
Определите коэффициент моделирования для ступени
центробежного компрессора для сжатия природного газа
R  507 Дж /  кг  К  с объемным расходом газа на входе в
109
5 Газодинамическое подобие турбокомпрессоров
компрессор Vвх  400 м3 мин , угловой скоростью вращения
  500 рад с . Определите также потребляемую компрессором
мощность N i , считая, что обеспечивается газодинамическое
подобие процессов сжатия газа. Давление природного газа на
входе в компрессор 4 МПа.
Решение
Объемные расходы подобных компрессоров связаны
соотношением
  
Vн  Vн     i 3 .
 
Тогда коэффициент моделирования
i3
Мощности
соотношением
Vн  3 400 700
 

 1,17.
Vн 
350 500
подобных
компрессоров

  
N   N     i5  .

 
3
Плотность определяется по формуле

p .
R T
Отношение плотностей
  p  R  T p  R 4  106  287



 22,6 .
 p  R  T p  R 105  507
110
связаны
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Тогда
3
 500 
5
N   200  
  1,17  22,6  3610 кВт  3,6 МВт .
700


Задача 5.2
Для проведения исследований центробежного компрессора
для сжатия азота модель выполнена в 1,5 раза меньше натуры.
При проведении испытаний модели на воздухе при частоте
n  3000 об / мин
вращения
отношение
давлений
на
номинальном режиме составило 1,3, а коэффициент полезного
действия п  0,85 .
Определите, каким будет отношение давлений натурного
компрессора при работе на азоте при n  5000 об мин .
Решение
Напоры подобных компрессоров связаны соотношением
2
2
h     2  5000 
2
   i 
  1,5  6,25.
h    
 3000 
Политропный
формуле
напор
компрессора
можно
найти
по
 kk1 
k
h
  n  R  T   П n  1 .


k 1


Газовая постоянная для воздуха Rв =287 Дж/(кгК), газовая
постоянная для азота Rа = 297 Дж/(кгК). Показатели адиабаты
для воздуха и азота k = 1,4.
Отношение напоров
111
5 Газодинамическое подобие турбокомпрессоров
 kk1 
 kk1 
n
n  Rа  T   Па  1 Rа   Па n  1




hа



.


k 1
k 1
hв




n  Rв  T   Пв k n  1 Rв   Пв k n  1








Подставляем значения:
1
 1,41,40,85

297   Па
 1


hа

  11,25  П 0,336  1  6,25.

 а

1,4 1
hв
 1,40,85 
287  1,3
 1




Отсюда Па  1,5552,98  3,73 .
Задачи для самостоятельного решения
Задача 5.3
Модель ступени центробежного компрессора при
испытании на воздухе с угловой скоростью вращения ротора
  500 рад с имеет следующие параметры:
- объемный расход газа на входе в компрессор Vвх  250 м3 мин ;
- отношение давлений П  1,3 ;
- потребляемая компрессором мощность Ni  200 кВт .
Диаметр рабочего колеса модели D2  0, 25 м .
Определите коэффициент моделирования для ступени
центробежного компрессора для сжатия природного газа
R  507 Дж /  кг  К  с объемным расходом газа на входе в
компрессор Vвх  300 м3 мин , угловой скоростью вращения
  400 рад с . Определите также потребляемую компрессором
112
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
мощность N i , считая, что обеспечивается газодинамическое
подобие процессов сжатия газа. Давление природного газа на
входе в компрессор 3,6 МПа.
Ответ: i = 1,22, Ni  10,8 МВт .
Задача 5.4
Для проведения исследований центробежного компрессора
для сжатия азота модель выполнена в 2 раза меньше натуры.
При проведении испытаний модели на воздухе при частоте
вращения
отношение
давлений
на
n  1500 об мин
номинальном режиме составило 1,5, а коэффициент полезного
действия п  0,85 .
Определите, каким будет отношение давлений натурного
компрессора при работе на азоте при n  3000 об мин .
Ответ: Па = 5,17.
Задача 5.5
Центробежный компрессор при угловой скорости
вращения ротора   700 рад с имеет следующие параметры:
расход m = 5 кг/с; степень повышения давления П = 2;
политропный КПД  п  0,83 .
Известно, что диаметр рабочего колеса D2  0,5 м ,
температура воздуха на входе в компрессор Tн  300 К ,
давление воздуха на входе в компрессор Pн  0,1 МПа .
Определите объемную производительность на входе в
компрессор V н , степень повышения давления П
и
потребляемую компрессором мощность N i при   900 рад с .
Ответ: Vн  5,5 м3 с , П  2, 91 , Ni  864,1 кВт .
Задача 5.6
Центробежный компрессор при сжатии природного газа
имеет следующие параметры:
113
5 Газодинамическое подобие турбокомпрессоров
- объемная производительность на входе в компрессор
Vн  300 м3 мин ;
- отношение давлений П = 1,5;
- потребляемая компрессором мощность N  6 МВт .
Определите, как изменяются значения этих параметров
при изменении состава природного газа и соответственно
молярной массы газа от значения   17 кг кмоль до значения
  25 кг кмоль . Газодинамическое подобие процессов сжатия
газа обеспечивается. Расчеты выполните для одинаковых
значений коэффициентов расхода.
Ответ: Vн  Vн  300 м3 мин , П' = 1,79, N   4 МВт .
Задача 5.7
Модель ступени центробежного компрессора с диаметром
рабочего колеса D2  0,35 м при испытании на воздухе с
угловой скоростью вращения ротора   800 рад / с имеет
следующие параметры:
- объемный расход газа на входе в компрессор Vвх  250 м3 мин ;
- политропный напор hn  1,2  10 4 Дж / кг ;
- потребляемая компрессором мощность Ni  55 кВт .
Определите коэффициент моделирования для ступени
центробежного компрессора с объемной производительностью
Vн  400 м3 мин при работе с угловой скоростью вращения
  500 рад с . Определите также потребляемую компрессором
мощность N i , считая, что обеспечивается газодинамическое
подобие процессов сжатия газа.
Ответ: i = 1,37, Ni  65 кВт .
Задача 5.8
Определите, какой должна быть мощность привода для
проведения
механических
испытаний
центробежного
компрессора на воздушном стенде, если при сжатии природного
114
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
газа
мощность,
потребляемая
R  507 Дж  кг  К 
компрессором, равна 6 МВт. Давление природного газа на входе
в компрессор Pн  4 МПа , а температура Tн  300 К .
Ответ: Nв  265 кВт .
Задача 5.9
При работе центробежного компрессора изменилось
значение температуры газа на входе от t  10 0C до t  20 0C .
Считая, что газодинамическое подобие процессов сжатия
газа обеспечивается, определите, как изменяются:
- объемная производительность на входе в компрессор V н ;
- степень повышения давления П ;
- потребляемая компрессором мощность N i .
Ответ: V н увеличивается на 2 %, П увеличивается на 4 %,
N i увеличивается на 2,4 %.
Задача 5.10
При сжатии воздуха центробежный компрессор имеет
следующие параметры:
- объемная производительность на входе в компрессор
V н = 3,5 м3/с;
- степень повышения давления П  8 ;
- потребляемая компрессором мощность N i = 1000 кВт.
Определите значения этих параметров при сжатии метана.
Расчет выполните для одинаковых значений коэффициентов
расхода. Газодинамическое подобие процессов сжатия газа
обеспечивается.
Ответ: Vн  4, 6 м3 с , П' = 4,75, N   1240 кВт .
115
6 Турбулентность
6 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
6.1 Механизмы турбулентности
Течения жидкостей и газов, наблюдаемые в природных
условиях и технических устройствах, делятся на два сильно
отличающиеся друг от друга типа: ламинарные – спокойные,
плавные, регулярные и турбулентные, в которых скорость,
давление, температура и другие гидродинамические величины
изменяются хаотично, неупорядоченно не только во времени, но
и в пространстве.
Наиболее
емкое
и
содержательное
определение
турбулентности
принадлежит
П.
Брэдшоу
(1971):
«турбулентность – это трехмерное нестационарное движение, в
котором вследствие растяжения вихрей создается непрерывное
распределение пульсаций скорости в интервале длин волн от
минимальных,
определяемых
вязкими
силами,
до
максимальных, определяемых граничными условиями течения.
Она является обычным состоянием движущейся жидкости, за
исключением течений при малых числах Рейнольдса».
Существование резко различающихся ламинарных и
турбулентных режимов течения было замечено еще в первой
половине XIX в., но начало теории турбулентности было
положено лишь в конце того же столетия в работах Осборна
Рейнольдса (1883). Изучая условия перехода ламинарного
течения жидкости в трубах в турбулентное, Рейнольдс
установил существование общего критерия динамического
подобия течений вязкой несжимаемой жидкости, названного
впоследствии его именем: Re = с ⋅ L/ν – число Рейнольдса, где с
и L – характерные масштабы скорости и длины в
рассматриваемом течении, а ν – кинематический коэффициент
вязкости.
Наиболее распространенной является интерпретация числа
Рейнольдса как меры относительной значимости сил инерции и
сил вязкости, действующих внутри жидкости. Силы инерции,
116
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
если они существенно превосходят силы вязкости, что
соответствует большим числам Re, вызывают перемешивание
конечных объемов жидкости, движущихся с разными
скоростями. В результате осуществляется передача энергии от
крупномасштабных структур (вихрей) к менее крупным,
образующимся за счет потери устойчивости более крупных
вихрей. Иными словами, крупномасштабные структуры играют
роль аккумуляторов энергии из основного потока. Поглощая
энергию основного потока, данные структуры оказываются
сильно анизотропными, завихренными и существенно
отличаются от течения к течению.
Основным механизмом генерации энергии турбулентности
является деформация структур, представляющая собой
трехмерный процесс, поэтому все развитые турбулентные
течения являются трехмерными. Посредством нелинейных
взаимодействий крупномасштабные структуры передают часть
своей энергии менее крупным структурам и т. д., в результате
реализуется так называемый каскадный механизм передачи
энергии.
Впервые описание этого процесса было дано Льюисом
Ричардсоном (1922). Согласно Ричардсону каскадный процесс
передачи энергии в турбулентном потоке, базирующийся на
представлении о существовании иерархии вихрей, завершается
на самых мелкомасштабных структурах вязкой диссипацией
кинетической энергии в тепло.
Феноменологическую картину такого течения (каскад
Ричардсона) удобно представить в виде, показанном на рис. 6.1.
Вихри разных масштабов изображены овалами, разне-сенными
на разные строки согласно своим размерам. Энергия в
изображенный каскад масштабов поступает на самом крупном
масштабе, спускается по каскаду вниз, до вихрей размера
порядка  и рассеивается под воздействием вязкости. В рамках
данного представления скорость поступления энергии в каскад,
скорость переноса энергии вниз по каскаду и скорость ее
рассеивания на диссипативных масштабах одинакова (обозначим
ее  ). Кроме того, такая картина течения предполагает
117
6 Турбулентность
локальность взаимодействия между вихрями: вихри масштаба
n 1 и
n могут взаимодействовать только с вихрями размера
n 1 , т. е. предполагается, что взаимодействие вихрей, масштабы
которых сильно отличаются, можно рассматривать как перенос
мелких вихрей под воздействием поля скорости крупных вихрей
без обмена энергией между ними.
Вследствие хаотичности процесса передачи энергии от
движений данного масштаба к движению меньших масштабов
анизотропность,
неоднородность
и
нестационарность
осредненного движения должны все меньше и меньше
сказываться на статистическом режиме пульсаций все меньших
и меньших масштабов. Поэтому можно утверждать, что влияние
среднего течения практически перестает сказываться на
структуре пульсаций (за исключением лишь наиболее
крупномасштабных).
Однако
понимание
роли
мелкомасштабной
турбулентности в процессах турбулентного переноса пришло
лишь после опубликования работы Джеффри Тэйлора (1935), в
которой впервые было введено понятие об однородной и
изотропной турбулентности. Основным свойством такой
турбулентности
является
ее
слабая
зависимость
от
индивидуальных особенностей течения (локальная изотропия).
В предельном случае можно говорить об инвариантности
свойств изотропной турбулентности относительно любых
ортогональных преобразований (параллельных переносов,
вращений и т. д.).
Наиболее важные и принципиальные результаты в
изучении мелкомасштабной турбулентности были получены
Андреем Николаевичем Колмогоровым (1941) – создателем
целостной теории локально-изотропной турбулентности.
Прежде
всего,
Колмогоров
существенно
дополнил
представление о каскадном процессе передачи энергии, отметив
ослабление ориентирующего влияния среднего течения при
каждом переходе к более мелким структурам и, исходя из этого,
сформулировал гипотезу о том, что статистический режим
118
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
достаточно
мелкомасштабной
турбулентности,
т. е.
турбулентности при больших числах Рейнольдса, является
универсальным и определяется лишь двумя размерными
параметрами – средней скоростью диссипации энергии  и
коэффициентом вязкости  . Из сказанного не следует, что
статистический режим мелкомасштабной турбулентности
совсем не зависит от осредненного течения. Последнее влияет
на этот режим через величину потока энергии, передающегося
от самых крупных структур через всю их иерархию, вплоть до
самых малых, на которых механическая энергия превращается в
тепло. Средняя скорость диссипации  , характеризующая



Рисунок 6.1 – Схема каскада турбулентных вихрей
среднее количество энергии, переходящей в тепло в единице
массы жидкости за единицу времени, определяется
соотношением
с
1
 

      сi x  j x  ,
j
i
2 i,j 
2
119
(6.1)
6 Турбулентность
где ci  ci  ci .
Здесь ci – мгновенное значение скорости; чертой сверху
обозначено осредненное ее значение; штрихом – пульсационная
скорость. Диссипацией энергии осредненного течения под
влиянием молекулярной вязкости при больших числах
Рейнольдса обычно пренебрегают.
Гипотеза
Колмогорова
об
универсальности
статистического режима мелкомасштабной турбулентности и его
зависимости только от диссипации  и коэффициента вязкости
 , а также соображения размерности позволяют оценить
нижнюю границу линейных, скоростных и временных
масштабов структур (вихрей), участвующих в процессе
диссипации энергии:
 
1
3
к    , V    4 , t   
к
к
1
2
.
(6.2)
Названный колмогоровским масштаб ηĸ характеризует
линейные размеры структур, на которые вязкость еще оказывает
существенное влияние.
Степень многомасштабности процессов турбулентного
переноса можно оценить, соотнося наибольший характерный
размер течения L с колмогоровским масштабом ηĸ. Из
соображений размерности ясно, что отношение L/ηĸ
пропорционально числу Рейнольдса в степени 3/4, т. е.
L
3
к
ReL 4 .
(6.3)
Для пограничного слоя наименьшим масштабом является
1
2

l   w , где
w   w 
вязкостный масштаб
–
 
динамическая скорость;  w – напряжение трения на стенке.
120
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
Составляя отношение толщины слоя  к l и используя для
оценок известные степенные зависимости толщины слоя и
коэффициента трения на пластине от числа Рейнольдса
Rex  c  x , можно показать, что

Re 

 w
Rex0 ,8 .
(6.4)
Справедливость колмогоровской теории локальноизотропной турбулентности была подтверждена результатами
многочисленных экспериментов.
Замыкание системы уравнений движения Навье – Стокса,
осредненных по Рейнольдсу, выполняется путем установки
связей между рейнольдсовыми напряжениями  ij и скоростями
деформаций.
Уравнения переноса, используемые в моделях с одним или
двумя дифференциальными уравнениями, в общем виде можно
записать таким образом:

Ф
Ф
Ф 
Ф 
  cj 
 PD
   Г Ф  
  A.
t
x j
x j 
x j 
(6.5)
Параметры Ф, P, D, ГФ , A в уравнении (6.5) имеют
разную форму для разных уравнений переноса – кинетической
энергии турбулентных пульсаций, скорости диссипации
кинетической энергии и удельной скорости диссипации.
Формулы для данных параметров для каждого вида
уравнений приведены в табл. 6.1.
Параметр A  0 для всех моделей, кроме модели Ментора
SST, для которой
1 k 
A  2 1  F1    2
.
(6.6)
 x j x j
121
6 Турбулентность
Таблица 6.1 – Параметры уравнения (6.5)
Ф
P
Уравнение
Кинетическая
энергия
Скорость
диссипации
кинетической
энергии
Удельная
скорость
диссипации
 или
 ci
x j
k
 ij 

 c
c 1  ij i
k x j



k
 ij
ГФ
D
  k

 ci
x j
c 2 
2
k
 2

k


  t
Значения констант, которые входят в уравнения табл. 6.1,
приведены в табл. 6.2.
6.2 Моделирование турбулентности
Модели турбулентности, используемые в инженерных
приложениях, основаны на концепции вязкости и турбулентной
диффузии.
Наиболее
простыми
моделями,
определяющими
турбулентную вязкость  t , являются алгебраические модели, в
которых связь между турбулентной вязкостью и параметрами
осредненного потока задается алгебраическими соотношениями.
Более сложными являются модели с одним или двумя
дифференциальными уравнениями.
Согласно гипотезе Бусинеска турбулентные напряжения
могут быть выражены формулами того же вида, что и
вязкостные
напряжения.
Для
тензора
рейнольдсовых
напряжений это дает
 с с j  2
cicj   t   i 
(6.7)
  k   ij ,
 x
 j xi  3
122
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
где  ij – коэффициент Кронекера.
Данное уравнение не вводит модели турбулентности, а
только характеризует структуру такой модели. При этом
основной задачей является задание функции турбулентной
вязкости  t . В отличие от коэффициента молекулярной вязкости
ν коэффициент  t определяется состоянием турбулентного
течения и не связан со свойствами жидкости. Значение  t может
значительно изменяться от точки к точке в пространстве в
зависимости от характера течения.
Понятие турбулентной вязкости имеет ряд недостатков.
Предположение об изотропности турбулентной вязкости
неверно во многих сложных течениях, таких как закрученные
потоки, вторичные течения в квадратном канале и т. д. Иногда
наряду с тензором рейнольдсовых напряжений используется
тензор анизотропии:
aij 
cicj
2
  ij .
k
3
(9.8)
Алгебраическая модель для описания распределения  t
впервые была предложена Прандтлем в 1925 г. и известна как
модель смешения. Работа Прандтля, по сути, положила начало
всей современной полуэмпирической теории турбулентности,
что и предопределило ее феноменальный успех в последующие
годы. Одним из важнейших результатов теории Прандтля
явилось установление универсального логарифмического закона
для профиля скоростей в пристеночных областях течений в
трубах, каналах, пограничных слоях.
Модель Прандтля записывается в виде
 t  lm2 
123
cx
,
x
(6.9)
6 Турбулентность
где lm – длина пути смешения, определяемая эмпирически.
В пограничном слое полагают, что lm  к  y , где к  0,4 –
число Кармана, y – расстояние от стенки.
Некоторую конкуренцию теории Прандтля составила
теория Т. Кармана, в рамках которой локальные свойства потока
определялись первой и второй производными от осредненной
скорости по поперечной координате. В этом случае из
соображений размерности следует формула
 dc 
t    к  
 dy 
2
4
2
 d 2c 
 2 .
 dy 
(6.10)
Отсутствие в формуле Кармана (6.10) пути перемешивания
делает ее в некоторых случаях предпочтительной по сравнению
с формулой Прандтля (6.9).
Существенным недостатком формулы (6.10) является
невозможность ее применения к расчету течений, в которых
профили скоростей имеют точку перегиба ( d 2 c dy 2  0 ), в
частности струйных течений.
Популярными алгебраическими моделями являются:
двухслойные модели Себеси – Смита, Болдуина – Ломакса,
модель с половинным уравнением Джонсона – Кинга и т. д.
Оценка применимости алгебраических моделей турбулентности
детально обсуждена в работе Уилкокса.
К преимуществам алгебраических моделей можно отнести:
скорость вычислений, простоту калибровки и модификаций с
учетом специфики рассматриваемых течений.
Однако очевидна и узкая специализация данных моделей,
поскольку они опираются на эмпирическую информацию о
структуре исследуемых течений; кроме этого, алгебраические
модели предполагают локальное равновесие моделируемой
турбулентности. Это означает, что в каждой точке пространства
наблюдается баланс генерации и диссипации турбулентной
энергии, на который не влияют ни перенос из соседних точек,
124
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
ни предыдущее развитие процесса.
Таким образом, алгебраические модели неприменимы в
случаях с доминирующим влиянием конвективного и
диффузионного
переноса
турбулентности
или
когда
доминирующую роль играет предыстория процесса. Кроме того,
большие трудности для сложных типов течений представляет
задание распределений длины смешения.
По аналогии с кинетической теорией газов можно ожидать,
что турбулентная вязкость с достаточной точностью
представляется в виде
 t  ct  l ,
(6.11)
где ct – характерная пульсационная составляющая скорости; l –
характерный линейный масштаб турбулентности. Проблема
состоит в оценке и определении ct и l.
Чтобы преодолеть ограниченность гипотезы пути
смешения и алгебраических моделей вообще, были разработаны
модели турбулентности, позволяющие учитывать влияние
нелокальных эффектов (эффектов переноса) путем решения
дифференциального уравнения для ct или l .
С физической точки зрения для величины ct наиболее
подходящим оказывается масштаб k , где k – кинетическая
энергия турбулентных пульсаций. Если такой масштаб
использовать для определения турбулентной вязкости в
уравнении (6.8), то получается выражение Колмогорова –
Прандтля:
 t  C  k  L ,
(6.12)
где C – эмпирическая функция местного турбулентного числа
Рейнольдса.
Модели с одним дифференциальным уравнением обладают
125
6 Турбулентность
большей универсальностью к описанию турбулентных течений с
учетом сжимаемости, переходных явлений, кривизны и отрыва
потока, однако объектами их применения, как правило,
являются простые конфигурации потоков. Как и в случае
алгебраических моделей, в моделях с одним дифференциальным
уравнением сильна привязка к калибровочным типам течений.
Снять указанные ограничения можно, например, при
определении масштаба турбулентности введением независимой
переменной, т. е. решением дополнительного уравнения
переноса.
Более универсальными моделями в инженерных расчетах
турбулентных
потоков
являются
модели
с
двумя
дифференциальными уравнениями.
Большое распространение получили двупараметрические
модели, в которых вместо уравнения для масштаба
турбулентности используется уравнение для скорости
диссипации энергии турбулентности  . Семейство данных
моделей получило название k   – моделей турбулентности.
Базисную роль для многочисленного семейства k   – моделей
имеет следующее уравнение:



 cj 

t
x j x j
  t  
  c c j

  c 1  t  k 
k  x j xk
   x j 

2
. (6.13)
  c 2
k

Уравнение (6.13) может быть использовано для описания
развитых турбулентных течений, т. е. течений, на которых не
сказываются
вязкостные,
пристеночные
эффекты.
Неудовлетворительная эффективность k   моделей при
расчете пристенных течений привела к использованию так
называемых пристеночных функций, которые позволяют снести
граничные условия с поверхности в точки, расположенные вне
области влияния вязкости (как правило, в область
логарифмического профиля скоростей).
Сущность
введения
пристеночных
функций
126
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
применительно к k   – модели сводится к заданию скорости,
кинетической энергии турбулентности и скорости диссипации в
некоторой точке а, расположенной в области логарифмического
профиля скоростей:
ca 1  ya w 
0,5
2
1,5
0,25
 ln  E
 ; ka  C  w ;  a  ka  C  к  ya  . (6.14)
w к 
 
Здесь
C  0,09 ; к  0,4 ;
E  7,7 ;
ya – расстояние от
поверхности до точки а; w   w  .
Средством, позволившим существенно улучшить описание
пристенных течений в рамках рассматриваемого класса моделей
турбулентности, явилось использование вместо уравнения для
скорости диссипации  уравнения для параметра    C  k .
Данный параметр, иногда называемый «псевдозавихренностью»,
имеет размерность частоты (1/с) и характеризует величину
скорости диссипации, приходящуюся на единицу кинетической
энергии турбулентности.
Первая такая модель была предложена Колмогоровым
(1942). Данная модель содержит уравнение переноса
кинетической энергии турбулентности k и удельной скорости
диссипации энергии  . Разработка k   – модели Уилкокса
стала крупным успехом в моделировании пристенных течений
при больших продольных перепадах давления.
Одной из наиболее представительных современных
дифференциальных моделей, упоминавшихся выше, является
k   – модель Ментера.
так называемая двухзональная
Высокая эффективность этой, по сути, гибридной модели
связана с использованием во внутренней (пристеночной)
области k   – модели, изначально ориентированной на
разрешение мелкомасштабной турбулентности, а во внешней –
k   – модели,
предназначенной
для
описания
крупномасштабных когерентных структур.
127
6 Турбулентность
В табл. 6.2 приведены значения констант, которые входят
в уравнения табл. 6.1, для моделей турбулентности с двумя
дифференциальными уравнениями: k   , k   , k    SST  .
(SST – shear stress transport).
Таблица 6.2 – Значения констант моделей с двумя
дифференциальными уравнениями
c
c 1
c 2
k

Модель k  
1,44 1,92
1
1,3
0,09



k
0,09
0,07
5
5/9
0,5
1
1
 k1
Модель k  
 1
Модель
k    SST 
0,09
 2
1 1    1k 2
0,07
5
2
1 0,85
k2
2
0,09 0,0828
2 2    2 k 2
2
1

0,5
 1
0,5
2
0,856
Так как модели с двумя дифференциальными уравнениями
базируются на предположении Буссинеска, им присущи такие
же недостатки.
Одним из способов преодолеть эти недостатки является
введение нелинейных членов в уравнение Буссинеска. Обычно в
нелинейных моделях используют тензор анизотропии
рейнольдсовых напряжений вместо обычного тензора
рейнольдсовых напряжений. Кроме этого, в нелинейных
128
Н. В. Калинкевич, С. О. Шарапов. Сборник задач по теории турбокомпрессоров
моделях
используются тензор деформации
скоростей
1  с с 
и
тензор
завихренности
Sij    i  j 
2  x j xi 
1  с с 
ij    i  j  .
2  x j xi 
Нелинейные модели, хотя и позволяют устранить ряд
недостатков, присущих предположению Буссинеска, обладают
сами таким существенным недостатком, как большое
количество модельных констант.
Избежать привязки к константам можно путем
использования
алгебраических
моделей
рейнольдсовых
напряжений.
129
Список рекомендованной литературы
СПИСОК РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абрамович Г. Н. Прикладная газовая динамика /
Г. Н. Абрамович. – М. : Наука, 1976. – 888 с.
2. Диксон С. Л. Сборник задач по турбомашинам:
Механика жидкостей и газов и термодинамика / пер. с англ.
В. Д. Молякова. – М. : Машиностроение, 1981. – 70 с.
3. Калинкевич Н. В.
Теория
турбокомпрессоров
/
Н. В. Калинкевич,
А. Г. Гусак.
–
Сумы :
Сумский
государственный университет, 2011. – 221 с.
4. Рид Р. Свойства газов и жидкостей / Р. Рид,
Дж. Праусниц, Т. Шервуд. – Л. : Химия, 1982. – 582 с.
5. Самойлович Г. С. Гидрогазодинамика : учебник для
вузов / Г. С. Самойлович. – М. : Машиностроение, 1990. – 384 с.
6. Самойлович Г. С. Сборник задач по гидроаэромеханике /
Г. С. Самойлович, В. В. Нитусов. – М. : Машиностроение, 1986. –
152 с.
7. Теоретические основы теплотехники. Теплотехнический
эксперимент : справочник / под общ. ред. В. А. Григорьева,
В. М. Зорина. – М. : Энергоатомиздат, 1988. – 560 с.
8. Теория и расчет турбокомпрессоров / К. П. Селезнев,
Ю. Б. Галеркин, С. А. Анисимов и др. – Л. : Машиностроение,
1986. – 392 с.
9. Техническая термодинамика : учеб. для маш. вузов / под
ред. В. И. Крутова. – 3-е изд., перераб. и доп. – М. : Вища
школа, 1991. – 384 с.
130
Приложение А
ПРИЛОЖЕНИЕ А. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ
131