Список вопросов к экзамену по линейной алгебре

ПРОГРАММА ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ
И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
ФЭН (Эн1, Эн2, ТЭ, АТЭ), 1 курс.
1. Матрицы, их сложение, умножение на числа, перемножение и свойства этих
операций.
2. Определители и их свойства. Элементарные преобразования строк и столбцов,
их связь со значением определителя и использование для его вычисления.
3. Алгебраические дополнения элементов квадратной матрицы. Разложение
определителя по строке или по столбцу. Невырожденные системы и правило
Крамера. Определение и формула обратной матрицы.
4. Числовые множества N, Z. Поля Q, R, и Zр. Расширения полей Q(√2) и С = R(i).
Модуль, аргумент, степени и корни из комплексного числа. Алгебраическая замкнутость
поля С.
5. Пространство геометрических векторов. Сложение и умножение на числа;
восемь свойств линейных операций с векторами.
6. Абстрактное линейное пространство и его восемь аксиом. Простейшие
следствия.
7. Линейные комбинация, (не)зависимость и (не)выразимость, их взаимосвязь.
Базис линейного пространства, разложение по базису и координаты, их
единственность. Действия над векторами в координатной форме.
8. Линейная независимость и зависимость геометрических векторов; базисы на
прямой, на плоскости и в геометрическом векторном пространстве.
9. Декартов базис и координаты, связь координат с проекциями на базисные оси.
10. Скалярное произведение, его определение и свойства: симметричность,
однородность, положительность и дистрибутивность. Выражение длин, углов,
проекций. Критерий ортогональности.
11. Ориентированная тройка векторов, её эквивалентные определения
и циклическое свойство.
12. Векторное произведение, его определение и свойства: антикоммутативность,
дистрибутивность,
неассоциативность
и однородность.
Приложения
к
вычислению
площадей
и восстановлению
перпендикуляров.
Критерий
коллинеарности.
13. Определение и свойства смешанного произведения. Геометрический смысл его
модуля и знака. Критерий компланарности.
14. Выражение произведений векторов через декартовы координаты.
15. Различные способы аналитического описания прямой и плоскости.
Нахождение углов и расстояний между точками, прямыми и плоскостями.
16. Система линейных алгебраических уравнений, её векторно-столбцовая и
матричная формы. Частное и общее решения, совместность и определённость.
17. Верхнетреугольная до k-го столбца, трапециевидная с заполнением l и
единичная слева порядка r матрицы. Элементарные (гауссовы) преобразования
расширенной матрицы системы.
18. Прямой ход Гаусса. Диагностика совместности системы по трапециевидной
форме расширенной матрицы.
19. Обратный ход Гаусса. Свободные и связанные (ранговые) неизвестные. Запись
решения в векторной форме. Фундаментальная система решений однородной
системы. Структура общего решения системы.
20. Собственные векторы и числа матрицы: их определение и нахождение. Гауссов
способ нахождения обратной матрицы.
21. Теорема о размерности. Ранг системы векторов; строчный и столбцовый ранги
матрицы. Теорема о ранге.
1
22. Линейные операторы и действия с ними. Алгебра линейных операторов.
Матрица линейного оператора в произвольном базисе.
23. Матрица в собственном базисе. Критерий приводимости матрицы к
диагональному виду, необходимые и достаточные условия.
24. Смена базиса, матрица прямого и обратного переходов. Формула
преобразования матрицы оператора при смене базиса.
25. Собственные числа, векторы, базис и диагонализация симметрической
матрицы.
26. Квадратичные формы, их симметризованная матричная запись и
канонический вид.
27. Знаковая определённость квадратичных форм. Спектральный критерий и
критерий Сильвестра.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
1. Кроме задач, аналогичных примерам из контрольных работ и типового расчёта,
в билеты будут включены разнообразные геометрические задачи на отыскание
углов и расстояний, а также неоднородные системы линейных уравнений.
2. При написании ответа вам желательно проявить знакомство со всеми
четырьмя основными разделами курса, а именно:
(А) определители и матрицы;
(В) векторная алгебра и аналитическая геометрия;
(С) системы уравнений;
(D) линейные операторы и квадратичные формы.
Поэтому распределите время на подготовку так, чтобы ознакомиться со
всеми разделами; по теории основательно выучите хотя бы определения и
формулировки, не пренебрегайте просмотром того, как на практических занятиях
решались задачи не из ТР. А если у вас не хватает уверенности в абстрактном
мышлении, продумайте заранее, какие примеры вы можете привести вместо
общих рассуждений (например, в методе Гаусса).
3. Поскольку экзамен проводится в письменной форме, основным развлечением
для экзаменатора оказывается поиск смартфонов и внешних запоминающих
элементов у экзаменующихся и изгнание вносителей таковых.
4. Продолжительность чистого времени 90 мин., выйти можно только сдав работу.
…А вообще, для большинства из ваших предшественников всё кончалось
благополучно, так что
 ПОЗДРАВЛЯЮ ВАС С НОВЫМ ГОДОМ!
И ЖЕЛАЮ ВСЕВОЗМОЖНЫХ УСПЕХОВ —
И ПО АЛГЕБРЕ, И ВО ВСЁМ ОСТАЛЬНОМ 
Ваш А.В. Чехонадских
2