Document 257367

Программа дисциплины «Методы оптимальных решений» составлена в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта для реализуемых образовательных программ высшего профессионального образования к структуре и результатам освоения основных образовательных программ бакалавриата по профессиональному циклу по направлению подготовки «Экономика».
Лекторы.
2.1. Кандидат физико-математических наук, доцент Якушева Елена Владимировна, кафедра
теории вероятностей механико-математического факультета МГУ, e-mail: yak212@yandex.ru и
кандидат физико-математических наук, доцент Якушев Андрей Германович, кафедра прикладной механики и управления механико-математического факультета МГУ, e-mail:
moids@yandex.ru
Методы оптимальных решений – семестровый курс для студентов второго курса Бакинского
филиала экономического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова, обучающихся по направлению
подготовки «Экономика».
Данный курс согласно общепринятым мировым стандартам входит в программу бакалавриата и
обеспечивает необходимый современный уровень математических знаний в структуре экономического образования. Курс относится к математическому и естественно-научному циклу (Б2). В ходе прохождения курса студенты получают систематическое изложение теоретических математических знаний, обеспечивающих необходимый кругозор, а также вырабатывают практические навыки решения
задач, ориентируются на применение знаний для решения практических задач, как в теоретической,
так и в прикладной постановке. Математический аппарат, изучаемый в рамках курса, активно используется при моделировании экономических процессов.
Для успешного освоения материала предполагается знакомство студента с курсами математического анализа, линейной алгебры и математики для экономистов.
Студент, приступающий к изучению курса «Методы оптимальных решений», должен:
знать: элементы аналитической геометрии в двух- и трехмерном пространстве; основы теории
систем линейных алгебраических уравнений; основы теории конечномерных линейных пространств;
основы теории матриц, применение матричной алгебры; понятие выпуклого множества и основные
свойства выпуклых множеств; основные свойства множества решений систем линейных неравенств,
понятие функции нескольких переменных и ее линии уровня; частные производные, производную
по направлению, градиент и дифференциал функции нескольких переменных; необходимые и достаточные условия экстремума функций нескольких переменных.
уметь: совершать операции над матрицами и решать матричные уравнения; решать и исследовать системы линейных алгебраических уравнений; находить частные производные, производные по
направлению, градиенты и дифференциалы функций нескольких переменных; исследовать функции
нескольких переменных на абсолютный и условный экстремумы, использовать метод Лагранжа;
владеть: навыками работы с векторами, матрицами, системами линейных алгебраических уравнений и неравенств, линейными операторами; основными методами исследования функций на экстремумы.
Основные разделы курса включают: постановку задачи линейного программирования, симплексный метод, его геометрическую интерпретацию; постановку задачи динамического программирования, принцип оптимальности Беллмана; другие методы оптимизации (оптимальность по Парето; принцип максимума Понтрягина).
В курсе даются основы современного инструментария, предназначенного для построения и
анализа моделей функционирования реальных (в том числе экономических) систем, исследования
разнообразных по содержанию оптимальных экономических задач.
В конце семестра студенты сдают экзамен по программе курса.
Программа курса предусматривает чтение лекций и проведение семинарских занятий, а также
регулярную самостоятельную работу студентов. Самостоятельная работа предусматривает изучение
теоретического материала, предложенного на лекциях, и решение домашних заданий. В течение семестра проводятся промежуточные контрольные работы.
1. Цель и задачи освоения дисциплины
Цель дисциплины: дать представление о возможностях математического моделирования в экономических исследованиях с использованием различных методов оптимизации; обучить основам построения моделей, носящих как теоретический, так и прикладной характер; достаточно полно ознакомить студентов с теорией и практикой линейного программирования, целочисленного программирования; дать представление о динамическом программировании и других методах оптимизации, в
том числе в многокритериальных задачах; привить навыки, позволяющие давать содержательную
интерпретацию полученным результатам и анализировать конкретные ситуации.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи: дать студентам
четкое понимание основных понятий теории оптимизации и их взаимосвязи; привить студентам умение самостоятельно изучать литературу по теории оптимизации; развить логическое и алгоритмическое мышление; развить навыки решения основных типов оптимизационных задач; показать возможности методов оптимальных решений в решении задач различных разделов экономики; научить студентов формулировать и анализировать модели экономических ситуаций.
Цели курса соответствуют компетенциям: ОК-1, ОК-6, ОК-7, ОК-9, ОК-10, ОК-12, ОК-13,
ОК-20, ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-4, ПК-5, ПК-6, ПК-10, ПК-12, ПК-14, ПК-15.
2. Место дисциплины в структуре образовательной программы
1. Дисциплина является обязательной.
2. Общепрофессиональные дисциплины, федеральная компонента, дисциплина "Методы оптимальных решений".
3. Курс опирается на материал курсов математического анализа, линейной алгебры и математики
для экономистов.
Понятия, методы и модели, изучаемые в курсе, используются в курсах «Статистика», «Многомерный статистический анализ», «Эконометрика», «Теория игр», «Макроэкономика», «Введение
в проектный анализ», «Маркетинг», «Финансовые рынки», «Экономика Труда», «Экономика отраслевых рынков», «Методы государственного регулирования экономики», «Основы менеджмента», «Основы демографии», «Основы управления рисками и страхования», «Принятие управленческого решения», «Управление маркетингом», «Стратегическое управление», «Управление проектами».
3. Требования к результатам освоения содержания дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
знать: постановку основных задач линейного программирования; симплексный метод решения
задач линейного программирования; двойственный симплексный метод; геометрическую интерпретацию
симплексного метода; признак оптимальности допустимого базисного решения; признак неограниченности целевой функции; признак возможной неединственности оптимального решения; понятие
вырожденного базисного решения; метод искусственного базиса; понятие двойственной задачи; теоремы двойственности; транспортную задачу; метод потенциалов решения транспортной задачи; связь
метода потенциалов с теорией двойственности; задачу о назначениях; целочисленные задачи линейного программирования; метод отсечений, отсечение Гомори; метод ветвей и границ; основные понятия теории графов; задачу о кратчайшем пути; задачу о максимальном потоке; связь сетевых задач с
линейным программированием; постановку задачи динамического программирования; принцип оптимальности Беллмана; задачу о рюкзаке; задачу распределения ресурсов;
уметь: строить модели конкретных экономических процессов; решать задачи линейного программирования симплексным методом; анализировать полученные решения с помощью теории двойственности; решать транспортные задачи; решать задачи о назначениях; решать целочисленные задачи линейного программирования; решать оптимизационные задачи на сетях; решать определенный
класс задач динамического программирования; строить множество Парето; интерпретировать полученные решения рассматриваемых оптимизационных моделей в терминах исходной содержательной
(экономической) задачи.
владеть: терминологией вышеуказанных разделов теории оптимизации; методами математического моделирования (в рамках данного курса); методами нахождения оптимальных решений в задачах
различного
типа;
методами
анализа
полученных
оптимальных
решений.
4. Содержание и структура дисциплины
Следующая таблица (на альбомном развороте) может быть разбита на несколько таблиц
N
раздела
1
2
3
Наименование
раздела
Трудоёмкость (академических часов) и содержание занятий
Аудиторная работа
Самостоятельная работа
Лекции
Семинары
Лабораторные
работы
Введение
__2__ часа. Задача линейного __2__ часа. Примеры задач __0__ часа.
__2__ часа. Примеры задач
программирования.
Поста- линейного
программировалинейного
программировановка, основные понятия. ния: задача планирования
ния: задача планирования
Примеры задач линейного производства; задача о диете;
производства; задача о диете;
программирования.
транспортная задача.
транспортная задача.
Геометрическая интерпрета- __2__ часа. Геометрическая
__3__ часа. Геометрическая
ция задачи линейного про- интерпретация и геометричеинтерпретация и геометричеграммирования
ское решение задачи лиское решение задачи линейного программирования в
нейного программирования в
случае двух переменных. Обслучае двух переменных. Обсуждение предпосылок к рассуждение предпосылок к рассмотрению
двойственной
смотрению
двойственной
задачи.
задачи.
Геометрия линей- __2__ часа. Выпуклость мно- __2__ часа. Выпуклость ги- __0__ часа.
__3__ часа. Выпуклость гиного программи- жеств допустимых решений и перплоскости и полупроперплоскости и полупрорования
оптимальных решений задачи странства. Теорема о пересестранства. Теорема о переселинейного
программирова- чении выпуклых множеств.
чении выпуклых множеств.
ния.
Выпуклость множества допуВыпуклость множества допустимых решений задачи листимых решений задачи линейного программирования.
нейного программирования.
__2__ часа. Понятие базис__4__ часа. Понятие базисного решения. Теоремы о суного решения. Теоремы о существовании базисных опществовании базисных оптимальных решений. Теоретимальных решений. Теорема о представлении многома о представлении многогранника.
гранника.
Симплексный
__2__ часа. Симплексный __2__ часа. Алгебра сим- __0__ часа.
__3__ часа. Алгебра симметод
метод. Признаки оптималь- плексного метода. Правильплексного метода. Правильности допустимого базисно- ность заполнения симплексность заполнения симплексго решения, неограниченно- ной таблицы. Признаки опной таблицы. Признаки оптисти целевой функции и не- тимальности
допустимого
мальности допустимого баединственности оптимально- базисного решения и незисного решения и неограниго решения. Нахождение оп- ограниченности
целевой
ченности целевой функции и
Форма
текущего
контроля
ДЗ, КР
ДЗ, КР
ДЗ, КР
4
Теория
двойственности и анализ чувствительности
5
Транспортная
дача
тимальных решений. Метод функции и неединственноискусственного базиса.
сти оптимального решения.
__2__ часа. Нахождение оптимальных решений и базисных оптимальных решений в случае одномерного и
двумерного
оптимального
множества. Метод искусственного базиса.
неединственности оптимального решения.
__4__ часа. Нахождение оптимальных решений и базисных оптимальных решений в
случае одномерного и двумерного оптимального множества. Метод искусственного базиса.
__2__ часа. Двойственность
в линейном программировании. Сопряженная задача и
задача, сопряженная к сопряженной. Теоремы о двойственности. Условия дополняющей нежесткости.
__3__ часа. Построение со- ДЗ, КР
пряженной задачи в стандартной, канонической и
общей формах. Задача, сопряженная к сопряженной.
Признак
оптимальности.
Теоремы двойственности.
__4__ часа. Условия дополняющей нежесткости. Теорема о маргинальных значениях. Геометрическая иллюстрация. Экономическая и
геометрическая интерпретация двойственных переменных. Двойственный симплексный метод.
__3__ часа. Различные формы ДЗ, КР
транспортной задачи. Ранг
матрицы ограничений транспортной задачи. Метод северо-западного угла и метод
минимального
элемента.
Цикл. Несуществование цикла из базисных клеток. Цикл
пересчета для каждой свободной клетки.
__4__ часа. Задача, двой-
за- __2__ часа. Формы транспортной задачи. Структура
допустимого
множества.
Двойственная задача. Метод
потенциалов. Задача с ограничениями на пропускную
способность. Задача о назначениях.
__2__ часа. Построение со- __0__ часа.
пряженной задачи в стандартной, канонической и
общей формах. Задача, сопряженная к сопряженной.
Признак
оптимальности.
Теоремы двойственности.
__2__ часа. Условия дополняющей нежесткости. Теорема о маргинальных значениях. Геометрическая иллюстрация. Экономическая и
геометрическая интерпретация двойственных переменных. Двойственный симплексный метод.
__2__ часа. Различные формы __0__ часа.
транспортной задачи. Ранг
матрицы ограничений транспортной задачи. Метод северо-западного угла и метод
минимального
элемента.
Цикл. Несуществование цикла из базисных клеток. Цикл
пересчета для каждой свободной клетки.
__2__ часа. Задача, двой-
6
Целочисленное
__2__ часа. Целочисленная
программирование задача линейного программирования. Метод ветвей и
границ. Основные понятия
теории графов. Задача о
кратчайшем пути. Задача о
максимальном потоке.
7
Элементы теории __2__ часа.
графов и оптимизация на сетях
8
Динамические
__2__ часа. Задача динамизадачи оптимиза- ческого программирования.
ции
Принцип
оптимальности
Беллмана. Постановка задачи оптимального управления. Принцип максимума
Понтрягина. Особое управление. Синтез оптимального
ственная к транспортной.
Метод потенциалов. Связь
коэффициентов
целевой
функции с потенциалами.
Транспортная задача с ограничениями на пропускную
способность. Задача о назначениях.
__2__ часа. Целочисленные __0__ часа.
задачи линейного программирования.
Метод
отсечений. Отсечение Данцига.
Отсечение Гомори; правильность отсечения Гомори.
__2__ часа. Комбинаторные
методы дискретного программирования. Метод ветвей
и границ. Некоторые экономические задачи целочисленного программирования.
__2__ часа. Основные поня- __0__ часа.
тия теории графов. Сетевые
методы; основные понятия.
Задача о кратчайшем пути.
Потоки в сетях. Задача о максимальном потоке. Многокритериальная оптимизационная задача. Оптимальность
по Парето.
__2__ часа. Задача динами- __0__ часа.
ческого программирования.
Принцип
оптимальности
Беллмана. Задачи о ранце и
распределении ресурсов.
__2__ часа. Постановка задачи оптимального управления.
Сопряженная система. Функ-
ственная к транспортной. Метод потенциалов. Связь коэффициентов целевой функции с
потенциалами. Транспортная
задача с ограничениями на
пропускную
способность.
Задача о назначениях.
__3__ часа. Целочисленные ДЗ, КР
задачи линейного программирования. Метод отсечений.
Отсечение Данцига. Отсечение Гомори; правильность
отсечения Гомори.
__4__ часа. Комбинаторные
методы дискретного программирования. Метод ветвей
и границ. Некоторые экономические задачи целочисленного программирования.
__2__ часа. Основные поня- ДЗ, КР
тия теории графов. Сетевые
методы; основные понятия.
Задача о кратчайшем пути.
Потоки в сетях. Задача о максимальном потоке. Многокритериальная оптимизационная задача. Оптимальность
по Парето.
__4__ часа. Задача динами- ДЗ, КР
ческого программирования.
Принцип
оптимальности
Беллмана. Задачи о ранце и
распределении ресурсов.
__3__ часа. Постановка задачи оптимального управления.
Сопряженная система. Функ-
управления.
ция Понтрягина. Необходиция Понтрягина. Необходимое условие оптимальности
мое условие оптимальности
управления.
управления.
__2__ часа. Принцип макси__4__ часа. Принцип максимума Понтрягина. Особое
мума Понтрягина. Особое
управление. Синтез оптиуправление. Синтез оптимального управления.
мального управления.
Семинары и лабораторные работы указываются только при их наличии в учебном плане (приложение 6). Остальные позиции заполняются в обязательном порядке.
Предусмотрены следующие формы текущего контроля успеваемости.
1. Защита лабораторной работы
(ЛР);
2. Расчетно-графическое задание
(РГЗ);
3. Домашнее задание (ДЗ);
4. Реферат (Р);
5. Эссе (Э);
6. Коллоквиум
(К);
7. Рубежный контроль
(РК);
8. Тестирование (Т);
9. Проект (П);
10. Контрольная работа
(КР);
11. Деловая игра (ДИ);
12. Опрос (Оп);
15. Рейтинговая система
(РС);
16. Обсуждение (Об).
4.1. Структура дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 108 часов, из них – аудиторных занятий 48 часов, самостоятельная работа – 66 часов.
Вид работы
Общая трудоёмкость, акад. часов
Аудиторная работа:
Лекции, акад. часов
Семинары, акад. часов
Лабораторные работы, акад. часов
Самостоятельная работа, акад. часов:
в том числе контактные часы
Вид итогового контроля (зачёт, зачёт с
оценкой, экзамен)
1
…
…
…
…
…
…
…
…
2
…
…
…
…
…
…
…
…
3
108
48
16
32
…
60
6
экз
Семестры
4
5
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
6
…
…
…
…
…
…
…
…
7
…
…
…
…
…
…
…
…
8
…
…
…
…
…
…
…
…
Всего
108
48
16
32
…
60
6
4.2. Содержание разделов дисциплины (аббревиатуры форм контроля указаны выше)
№
раздела
Наименование раздела
1
Введение. Оптимизационные задачи
Геометрия линейного
программирования
Симплексный метод
Теория двойственности
и анализ чувствительности
Транспортная задача
Целочисленное программирование
Элементы теории графов. Оптимизация на
сетях. Многокритериальные задачи.
Динамические задачи
оптимизации
2
3
4
5
6
7
8
Всего
11
Количество часов
Аудиторная работа
Лекции СемиЛаб.
нары
работы
2
4
0
Самостоятельная
работа
5
Форма
текущего
контроля
КР, ДЗ
13
2
4
0
7
КР, ДЗ
13
13
2
2
4
4
0
0
7
7
КР, ДЗ
КР, ДЗ
13
13
2
2
4
4
0
0
7
7
КР, ДЗ
КР, ДЗ
7
2
2
0
3
КР, ДЗ
19
2
6
0
11
КР, ДЗ
4.2.1. Лекции
№ раздела
1
Наименование
раздела
Введение
2
Симплексный
метод
Содержание раздела
Обсуждение основ математического моделирования в экономических исследованиях. Постановка задачи линейного программирования. Основные
понятия. Примеры задач линейного программирования: задача планирования производства, задача о диете, транспортная задача. Геометрическая
интерпретация и геометрическое решение задачи линейного программирования в случае двух переменных. Основные идеи симплексного метода.
Обсуждение предпосылок к рассмотрению двойственной задачи.
Алгебра симплексного метода. Симплексная таблица и работа с ней. Правильность заполнения симплексной таблицы. Признак оптимальности
3
Геометрия линейного программирования
4
Теория двойственности и
анализ
чувствительности
5
Транспортная
задача
6
Целочисленное
программирование
7
Оптимизация
на сетях
8
Динамические
допустимого базисного решения. Признак неограниченности целевой
функции. Признак неединственности оптимального решения.
Нахождение всех оптимальных решений и всех базисных оптимальных
решений в случае одномерного и двумерного оптимального множества.
Понятие вырожденного базисного решения. Проблемы, связанные с вырождением. Дополнительные переменные и их использование в симплексном методе. Метод искусственного базиса.
Понятие выпуклого множества. Выпуклость гиперплоскости и полупространства. Теорема о пересечении выпуклых множеств. Выпуклость
множества допустимых решений задачи линейного программирования.
Выпуклость множества оптимальных решений задачи линейного программирования. Понятие крайней точки выпуклого множества. Понятие
базисного решения. Теорема о соответствии крайних точек и допустимых
базисных решений. Теорема о существовании допустимого базисного
решения задачи линейного программирования в канонической форме.
Теорема о существовании базисного оптимального решения. Понятие выпуклой линейной комбинации, выпуклой оболочки. Выпуклость множества всех выпуклых линейных комбинаций конечного числа точек. Многогранное множество, многогранник. Теорема о представлении многогранника. Представление допустимого и оптимального множеств задачи
линейного программирования. Понятие ребра многогранного множества.
Теорема о том, что при решении задачи линейного программирования
симплексным методом переход от вершины к вершине осуществляется по
ребру.
Двойственность в линейном программировании. Построение сопряженной задачи в стандартной, канонической и общей формах. Задача,
сопряженная к сопряженной. Лемма о значениях целевых функций исходной и двойственной задач. Признак оптимальности. Первая теорема
двойственности. Вторая теорема двойственности.
Условия дополняющей нежесткости в случае задачи в стандартной форме
и в общем случае. Теорема о маргинальных значениях. Геометрическая
иллюстрация. Экономическая интерпретация двойственных переменных.
Геометрическая интерпретация двойственных переменных. Связь между
вырожденностью и неединственностью решения для пары взаимно двойственных задач. Двойственный симплексный метод.
Различные формы транспортной задачи. Структура допустимого множества замкнутой транспортной задачи. Ранг матрицы ограничений транспортной задачи. Нахождение исходного допустимого базисного решения
методом северо-западного угла и методом минимального элемента. Понятие цикла. Несуществование цикла из базисных клеток. Существование
единственного цикла пересчета для каждой свободной клетки. Задача,
двойственная к транспортной. Метод потенциалов решения транспортной
задачи. Связь коэффициентов целевой функции транспортной задачи при
выражении этой функции через свободные переменные с потенциалами.
Целочисленность базисного решения транспортной задачи с целочисленными ограничениями. Вопросы вырожденности и неединственности в
транспортной задаче. Транспортная задача с ограничениями на пропускную способность. Задача о назначениях.
Целочисленные задачи линейного программирования. Метод отсечений.
Отсечение Данцига. Отсечение Гомори; правильность отсечения Гомори.
Комбинаторные методы дискретного программирования. Метод ветвей и
границ. Некоторые экономические задачи целочисленного программирования.
Основные понятия теории графов. Сетевые методы; основные понятия.
Задача о кратчайшем пути. Потоки в сетях. Задача о максимальном потоке. Сетевые задачи и линейное программирование. Многокритериальная
оптимизационная задача. Оптимальность по Парето.
Постановка задачи динамического программирования. Принцип опти-
задачи оптими- мальности Беллмана. Примеры. Задача о ранце и о распределении ресурзации
сов. Постановка задачи оптимального управления. Сопряженная система.
Функция Понтрягина. Необходимое условие оптимальности управления.
Принцип максимума Понтрягина. Особое управление. Синтез оптимального управления.
4.2.2. Семинары (практические занятия)
№ раздела
1
№ занятия
1
2
2
2
4
3
5
6
4
7
8
5
9
10
6
11
12
7
13
8
14
15
16
Тема
Примеры задач линейного программирования: задача планирования
производства; задача о диете; транспортная задача.
Геометрическая интерпретация и геометрическое решение задачи линейного программирования в случае двух переменных. Обсуждение
предпосылок к рассмотрению двойственной задачи.
Выпуклость гиперплоскости и полупространства. Теорема о пересечении выпуклых множеств. Выпуклость множества допустимых решений задачи линейного программирования.
Понятие базисного решения. Теоремы о существовании базисных оптимальных решений. Теорема о представлении многогранника.
Алгебра симплексного метода. Правильность заполнения симплексной таблицы. Признаки оптимальности допустимого базисного решения и неограниченности целевой функции и неединственности оптимального решения.
Нахождение оптимальных решений и базисных оптимальных решений в случае одномерного и двумерного оптимального множества.
Метод искусственного базиса.
Построение сопряженной задачи в стандартной, канонической и общей формах. Задача, сопряженная к сопряженной. Признак оптимальности. Теоремы двойственности.
Условия дополняющей нежесткости. Теорема о маргинальных значениях. Геометрическая иллюстрация. Экономическая и геометрическая интерпретация двойственных переменных. Двойственный симплексный метод.
Различные формы транспортной задачи. Ранг матрицы ограничений
транспортной задачи. Метод северо-западного угла и метод минимального элемента. Цикл. Несуществование цикла из базисных клеток. Цикл пересчета для каждой свободной клетки.
Задача, двойственная к транспортной. Метод потенциалов. Связь коэффициентов целевой функции с потенциалами. Транспортная задача
с ограничениями на пропускную способность. Задача о назначениях.
Целочисленные задачи линейного программирования. Метод отсечений. Отсечение Данцига. Отсечение Гомори; правильность отсечения Гомори.
Комбинаторные методы дискретного программирования. Метод ветвей и границ. Некоторые экономические задачи целочисленного программирования.
Основные понятия теории графов. Сетевые методы; основные понятия. Задача о кратчайшем пути. Потоки в сетях. Задача о максимальном потоке. Многокритериальная оптимизационная задача. Оптимальность по Парето.
Задача динамического программирования. Принцип оптимальности
Беллмана. Задачи о ранце и распределении ресурсов.
Постановка задачи оптимального управления. Сопряженная система.
Функция Понтрягина. Необходимое условие оптимальности управления.
Принцип максимума Понтрягина. Особое управление. Синтез опти-
Кол-во
часов
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
мального управления.
4.2.3. Лабораторные работы
Лабораторные работы не предусматриваются.
4.2.4. Самостоятельное изучение разделов дисциплин
№ раздела
1
№ занятия
1
2
2
2
4
3
5
6
4
7
8
5
9
10
6
11
12
7
13
8
14
15
16
Вопросы, выносимые на самостоятельное изучение
Примеры задач линейного программирования: задача планирования
производства; задача о диете; транспортная задача.
Геометрическая интерпретация и геометрическое решение задачи линейного программирования в случае двух переменных. Обсуждение
предпосылок к рассмотрению двойственной задачи.
Выпуклость гиперплоскости и полупространства. Теорема о пересечении выпуклых множеств. Выпуклость множества допустимых решений задачи линейного программирования.
Понятие базисного решения. Теоремы о существовании базисных оптимальных решений. Теорема о представлении многогранника.
Алгебра симплексного метода. Правильность заполнения симплексной таблицы. Признаки оптимальности допустимого базисного решения и неограниченности целевой функции и неединственности оптимального решения.
Нахождение оптимальных решений и базисных оптимальных решений в случае одномерного и двумерного оптимального множества.
Метод искусственного базиса.
Построение сопряженной задачи в стандартной, канонической и общей формах. Задача, сопряженная к сопряженной. Признак оптимальности. Теоремы двойственности.
Условия дополняющей нежесткости. Теорема о маргинальных значениях. Геометрическая иллюстрация. Экономическая и геометрическая интерпретация двойственных переменных. Двойственный симплексный метод.
Различные формы транспортной задачи. Ранг матрицы ограничений
транспортной задачи. Метод северо-западного угла и метод минимального элемента. Цикл. Несуществование цикла из базисных клеток. Цикл пересчета для каждой свободной клетки.
Задача, двойственная к транспортной. Метод потенциалов. Связь коэффициентов целевой функции с потенциалами. Транспортная задача
с ограничениями на пропускную способность. Задача о назначениях.
Целочисленные задачи линейного программирования. Метод отсечений. Отсечение Данцига. Отсечение Гомори; правильность отсечения Гомори.
Комбинаторные методы дискретного программирования. Метод ветвей и границ. Некоторые экономические задачи целочисленного программирования.
Основные понятия теории графов. Сетевые методы; основные понятия. Задача о кратчайшем пути. Потоки в сетях. Задача о максимальном потоке. Многокритериальная оптимизационная задача. Оптимальность по Парето.
Задача динамического программирования. Принцип оптимальности
Беллмана. Задачи о ранце и распределении ресурсов.
Постановка задачи оптимального управления. Сопряженная система.
Функция Понтрягина. Необходимое условие оптимальности управления.
Принцип максимума Понтрягина. Особое управление. Синтез оптимального управления.
Кол-во
часов
2
3
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
2
4
3
4
4.2.5. Курсовая работа (перечислить несколько возможных тем)
Курсовая работа не предусматривается.
5. Образовательные технологии
 Лекции и семинарские занятия, разбор задач на семинарских занятиях,
 Проведение проверочных контрольных работ.
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации
1. Задача линейного программирования. Постановка, основные понятия. Примеры задач линейного
программирования: задача планирования производства; задача о диете; транспортная задача.
2. Геометрическая интерпретация и геометрическое решение задачи линейного программирования.
Случай двух переменных.
3. Выпуклое множество, гиперплоскость и полупространство. Теорема о пересечении выпуклых
множеств. Понятие крайней точки выпуклого множества.
4. Выпуклая линейная комбинация, выпуклая оболочка. Выпуклость множества всех выпуклых линейных комбинаций конечного числа точек. Многогранное множество, многогранник. Теорема о
представлении многогранника. Ребро многогранного множества.
5. Выпуклость множеств допустимых решений и оптимальных решений задачи линейного программирования. Теоремы о соответствии крайних точек и допустимых базисных решений и о существовании допустимого базисного решения задачи линейного программирования в канонической
форме; о существовании базисного оптимального решения. Переход от вершины к вершине осуществляется по ребру.
6. Симплексный метод. Симплексная таблица. Признаки оптимальности допустимого базисного
решения, неограниченности целевой функции и неединственности оптимального решения.
Нахождение оптимальных решений.
7. Двойственность в линейном программировании. Сопряженная задача и задача, сопряженная к
сопряженной. Признак оптимальности. Две теоремы о двойственности.
8. Условия дополняющей нежесткости. Теорема о маргинальных значениях. Экономическая и геометрическая интерпретации двойственных переменных. Связь между вырожденностью и неединственностью решения для пары взаимно двойственных задач. Двойственный симплексный метод.
9. Формы транспортной задачи. Структура допустимого множества. Ранг матрицы ограничений.
Методы северо-западного угла и минимального элемента. Цикл. Несуществование цикла из базисных клеток. Существование единственного цикла пересчета для каждой свободной клетки.
10. Двойственная задача. Метод потенциалов. Целочисленность базисного решения задачи с целочисленными ограничениями. Вырожденность и неединственность в транспортной задаче. Задача
с ограничениями на пропускную способность. Задача о назначениях.
11. Целочисленная задача линейного программирования. Метод отсечений. Отсечения Данцига и
Гомори. Метод ветвей и границ. Экономические задачи целочисленного программирования.
12. Основные понятия теории графов. Задача о кратчайшем пути. Задача о максимальном потоке.
13. Многокритериальные задачи. Оптимальность по Парето.
14. Задача динамического программирования. Принцип оптимальности Беллмана. Задачи о ранце и
распределении ресурсов.
15. Постановка задачи оптимального управления. Сопряженная система. Принцип максимума Понтрягина. Особое управление. Синтез оптимального управления.
7. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
Основная литература
1. Количественные методы в экономических исследованиях / Под ред. М.В. Грачевой, Л.Н.
Фадеевой, Ю.Н. Черемных. – М.: ЮНИТИ, 2004.
2. Линейное программирование: Учебно-методич. пособие / Под ред. Ю.Н.Черемных. – М.: Изд-во
Моск. ун-та, 1992.
3. Ашманов С.А., Тимохов А.В. Теория оптимизации в задачах и упражнениях. – М.: Наука, 1991.
Дополнительная литература
1. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. – М.: Высшая
Школа, 1980.
2. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. — М.: Высшая Школа,
1986.
3. Таха X. Введение в исследование операций (В 2-х книгах). – М.: Мир, 1985.
4. Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях. – М.: Мир, 1974.
5. Wayne L. Winston. Operations Research. (3rd Еd.). Duxbury Press, 1994.
8. Материально-техническое обеспечение
Обычная аудитория. Доска. Проекционное оборудование.
Фонд оценочных средств
1. Теоретические вопросы
1. Задача линейного программирования. Постановка, основные понятия. Примеры задач линейного
программирования: задача планирования производства; задача о диете; транспортная задача.
2. Геометрическая интерпретация и геометрическое решение задачи линейного программирования.
Случай двух переменных.
3. Выпуклое множество, гиперплоскость и полупространство. Теорема о пересечении выпуклых
множеств. Понятие крайней точки выпуклого множества.
4. Выпуклая линейная комбинация, выпуклая оболочка. Выпуклость множества всех выпуклых линейных комбинаций конечного числа точек. Многогранное множество, многогранник. Теорема о
представлении многогранника. Ребро многогранного множества.
5. Выпуклость множеств допустимых решений и оптимальных решений задачи линейного программирования. Теоремы о соответствии крайних точек и допустимых базисных решений и о существовании допустимого базисного решения задачи линейного программирования в канонической
форме; о существовании базисного оптимального решения. Переход от вершины к вершине осуществляется по ребру.
6. Симплексный метод. Симплексная таблица. Признаки оптимальности допустимого базисного
решения, неограниченности целевой функции и неединственности оптимального решения.
Нахождение оптимальных решений.
7. Двойственность в линейном программировании. Сопряженная задача и задача, сопряженная к
сопряженной. Признак оптимальности. Две теоремы о двойственности.
8. Условия дополняющей нежесткости. Теорема о маргинальных значениях. Экономическая и геометрическая интерпретации двойственных переменных. Связь между вырожденностью и неединственностью решения для пары взаимно двойственных задач. Двойственный симплексный метод.
9. Формы транспортной задачи. Структура допустимого множества. Ранг матрицы ограничений.
Методы северо-западного угла и минимального элемента. Цикл. Несуществование цикла из базисных клеток. Существование единственного цикла пересчета для каждой свободной клетки.
10. Двойственная задача. Метод потенциалов. Целочисленность базисного решения задачи с целочисленными ограничениями. Вырожденность и неединственность в транспортной задаче. Задача
с ограничениями на пропускную способность. Задача о назначениях.
11. Целочисленная задача линейного программирования. Метод отсечений. Отсечение Данцига. Отсечение Гомори. Метод ветвей и границ. Примеры экономических задач целочисленного программирования.
12. Основные понятия теории графов. Задача о кратчайшем пути. Задача о максимальном потоке.
13. Многокритериальные задачи. Оптимальность по Парето.
14. Задача динамического программирования. Принцип оптимальности Беллмана. Задачи о ранце и
распределении ресурсов.
15. Постановка задачи оптимального управления. Сопряженная система. Принцип максимума Понтрягина. Особое управление. Синтез оптимального управления.
Образец экзаменационного задания
Задание
Ответ
1. Решением задачи линейного программирования на максимум 1) F
является точка …
2) E
3) D
4) B
5) A
2. Область допустимых решений задачи линейного программиро- 1) 26
вания имеет вид
2) 28
3) 30
4) 24
Тогда максимальное значение функции Q  4x1  4x2 равно…
3. В задаче динамического программирования предполагается, что 1) s
k 1 и
состояние sk системы в конце k-го шага управления зависит от…
2) sk 1 и
xk
xk
3) sk 1 и xk 1
4) xk
4. Распределите инвестиции в объеме 60 млн руб. двум предприя- 1) x  10 ,
1
тиям так, чтобы суммарная прибыль, задаваемая таблицей, была
2) x1  20 ,
максимальна.
x2  50
x2  30
3) x1  40 , x2  20
4) x1  50 , x2  10
5. Транспортная задача будет закрытой при b  ...
1) b  80
2) b  65
3) b  70
4) b  75
6. Решите задачу коммивояжера, в которой расстояния между го- 1) 56
2) 55
3) 44
родами заданы матрицей
4) 43
7. Оборудование эксплуатируется в течение 5 лет. В начале каждо- 1) 2
го года необходимо принять решение: сохранить оборудование или 2) 3
заменить его новым. Стоимость нового оборудования равна 3) 4
P0  4000 рублей. После t лет эксплуатации оборудование можно 4) 5
продать по цене g (t )  P0  2t , а затраты на эксплуатацию в течение года равны r (t )  600(t  1) . В начале какого года эксплуатации
целесообразна замена оборудования?
8. Найдите условные экстремумы функции f ( x, y)  e2 xy при нали- 1) max значение e 2
чии ограничения f1( x, y)  x3  y3  x  y  4  0 .
2) min значение e 2
3) max значение 1
2) min значение 1
9. В двукритериальной задаче выбора укажите множество Парето
1) Сочи
2) Куба
3) Турция и Куба
4) Испания и Куба
10. Известны  и  – интенсивности потоков заявок и обслужива-
1)


2)


3)


4)


ния канала. Абсолютная пропускная способность одноканальной
СМО с отказами равна …