Лекция 6. Молекулярная механика. Силовые поля.

Лекция 6. Молекулярная механика. Силовые
поля.
Курс: Молекулярное моделирование в применении к
биомолекулам
Головин А.В. 1
1 МГУ
им М.В. Ломоносова, Факультет Биоинженерии и Биоинформатики
Москва, 2013
Раздел:
Содержание
Введение
Силовые поля
Ковалентные взаимодействия
Нековалентные взаимодействия
Головин А.В.
(ФББ МГУ им М.В. Ломоносова)
Весна, 2013
2 / 30
Раздел:
Введение
Уравнение Шредингера
2 2
~
∂
∂2
∂2
∂Ψ(r, t)
− (
+
+
+ V Ψ(r, t) = i~
m ∂x ∂y ∂z
∂t
Или:
HΨ = EΨ;
H=
−~2 2
Ze2
∇ −
m
4πε0 r
Современные базисы предполагают примерно 60 функций на
атом. Итого: 900 функций на аминокислоту.
• Можно апроксимировать электронную плотность
уравнениями класической физики.
Головин А.В.
(ФББ МГУ им М.В. Ломоносова)
Весна, 2013
3 / 30
Раздел:
Введение
Молекулярная механика (MM)
• В ММ электронная структура атома замещается на
достаточно простые уравнения с параметрами.
• Наборы параметров называются силовыми полями.
• Используется допущение Борна-Оппенгеймера (электроны
быстро адаптируются к движению ядер)
• Расчёт энергии происходит на основе положения ядер.
• Упрощения позволяют работать с большими системами
• В некоторых случаях ММ подходы могут давать результаты,
сравнимые по точности с методами QM.
Головин А.В.
(ФББ МГУ им М.В. Ломоносова)
Весна, 2013
4 / 30
Раздел:
Введение
Простое уравнение силового поля (СП)
U=
X ki
X ki
X Vn
(li − l0 )2 +
(φi − φ0 )2 +
(1 + cos(nω − γ))+
2
2
2
torsions
bonds
angles
" !
6 #
N X
N
X
σij 12
σij
qi qj
+
4ij
−
+
rij
rij
4π0 rij
i=1 j=i+1
Углы
Торсионные углы
Связи
+
Ван-дер-Ваальсовы взаимодействия
-
Кулоновские взаимодействия
Головин А.В.
(ФББ МГУ им М.В. Ломоносова)
Весна, 2013
5 / 30
Раздел:
Введение
Пропан
Головин А.В.
(ФББ МГУ им М.В. Ломоносова)
Весна, 2013
6 / 30
Раздел:
Силовые поля
Основные особенности силовых полей
• Большинство параметров неотделимо от поля.
• Параметризация ММ сильно зависит от целей исследования.
• Большинство силовых полей параметризованы для
воспроизведения структуры.
• Силовые поля — это результат оптимизации параметров.
• Силовые поля — это эмпирически найденные данные.
Головин А.В.
(ФББ МГУ им М.В. Ломоносова)
Весна, 2013
7 / 30
Раздел:
Силовые поля
Типы атомов в СП
Головин А.В.
(ФББ МГУ им М.В. Ломоносова)
Весна, 2013
8 / 30
Раздел:
Ковалентные взаимодействия
Потенциал для описания связи
3
Morse
Потенциал Морзе
Более распространённый
U (l) =
ki
(li − l0 )2
2
Головин А.В.
2
E
U (l) = De {1 − e[−a(l−l0 )] }2
1
0
(ФББ МГУ им М.В. Ломоносова)
2
2.1
2.2
r
2.3
2.4
Весна, 2013
9 / 30
Раздел:
Ковалентные взаимодействия
Параметры при описании связи
E=
k
(r − r0 )2
2
связь
r0 ,A
k, kcal mol-1 A-2
Csp3 -Csp3
1.523
317
Csp2 -Csp2
1.337
690
Csp2 -Osp2
1.208
777
Csp3 -Nsp3
1.438
367
Головин А.В.
(ФББ МГУ им М.В. Ломоносова)
Весна, 2013
10 / 30
Раздел:
Ковалентные взаимодействия
Кубический и прочие варианты
4 · 10−2
Morse
2(x − 2)2
2(x − 2)2 (1 − 4(x − 2) − 8(x − 2)2 )
−2
E
3 · 10
2 · 10−2
1 · 10−2
0
2
2.2
2.4
r
U=
ki
(li −l0 )2 (1−k 0 (li −l0 )−k 00 (li −l0 )2 −k 000 (li −l0 )3 −k 0000 (li −l0 )4 . . . )
2
Головин А.В.
(ФББ МГУ им М.В. Ломоносова)
Весна, 2013
11 / 30
Раздел:
Ковалентные взаимодействия
Потенциал валентного угла
U (φ) =
ki
(φi − φ0 )2
2
или
U (φ) =
ki
2 (φi
− φ0 )2 (1 − k 0 (φi − φ0 ) − k 00 (φi − φ0 )2 −
−k 000 (φi − φ0 )3 − k 0000 (φi − φ0 )4 . . . )
Головин А.В.
(ФББ МГУ им М.В. Ломоносова)
Весна, 2013
12 / 30
Раздел:
Ковалентные взаимодействия
Потенциал торсионного угла
U (ω) =
X Vn
(1 + cos(nω − γ))
2
torsions
OH
O
Рассмотрим О-С-С-О (сахар в ДНК)
1 (1 + cos(3πω))
4
1 (1 + cos(2πω))
4
HO
OH
OH
1 (1 + cos(3πω)) + 1 (1 + cos(2πω))
4
4
1
E
1
OH
0.5
0.5
0
−200 −100
Головин А.В.
0
ω
100
200
0
−200
(ФББ МГУ им М.В. Ломоносова)
−100
0
ω
100
200
Весна, 2013
13 / 30
Раздел:
Ковалентные взаимодействия
Потенциал торсионного угла
U (ω) =
V1
V2
2
(1 + cosω) + (1 + cos2ω) + V3 1 + cos3ω) . . .
2
2
(
• Для поля ММ2 используют три члена.
• Поле OPLS использует ряды с 4-ю слагаемыми.
U (ω) =
1
[F1 (1 + cosω) + F2 (1 − cos2ω) + F3 (1 + cos3ω) + F4 (1 − cos4ω)]
2
Головин А.В.
(ФББ МГУ им М.В. Ломоносова)
Весна, 2013
14 / 30
Раздел:
Ковалентные взаимодействия
"Неправильные" торсионные углы
U (ω) = V1 (1 − cosω)
U (ω) = V1 (ω − ω0 )2
Для циклобутанона кислород должен находиться в одной
плоскости с1,с2,с3.
Используют потенциал, где перечисление не 1-2-3-4, а 1-4-2-3
Головин А.В.
(ФББ МГУ им М.В. Ломоносова)
Весна, 2013
15 / 30
Раздел:
Ковалентные взаимодействия
Кросс-составляющие в силовых полях
Кросс-составляющие отражают зависимость состояния одной
связи или угла от состояния соседней связи.
Существуют: strech-strech, strech-bend, strech-torsion
U (l1 , l2 ) =
U (l1 , l2 , φ) =
Головин А.В.
Kl1 l2
(l1 − l1,0 )2 (l2 − l2,0 )2
2
Kl1 l2 φ
[(l1−l1,0 )2 +(l2−l2,0 )2 ](φ−φ0 )
2
(ФББ МГУ им М.В. Ломоносова)
Весна, 2013
16 / 30
Раздел:
Нековалентные взаимодействия
Нековалентные взаимодействия
• Нековалентные взаимодействия являются определяющими
в формировании структуры биополимеров.
• Так как эти взаимодействия реализуются через пространство,
то часто они описываются как функции, обратно
пропорциональные расстоянию между двумя атомами.
Головин А.В.
(ФББ МГУ им М.В. Ломоносова)
Весна, 2013
17 / 30
Раздел:
Нековалентные взаимодействия
Электростатические взаимодействия
Допустим, что поверхность единичного потенциала можно
представить зарядами в центрах атомов.
Тогда электростатические взаимодействия будут описываться по
закону Кулона:
q1 q2
U (q1 , q2 ) =
;
4π0 r rij
U=
NA X
NB
X
i=1 j=1
Головин А.В.
qi qj
4π0 r rij
(ФББ МГУ им М.В. Ломоносова)
Весна, 2013
18 / 30
Раздел:
Нековалентные взаимодействия
Электростатические взаимодействия
Очевидно, что количество вычислений растет значительно
быстрее количества частичных зарядов.
Существуют следующие упрощения:
• Разрастание центрального мультиполя (ММ малых молекул)
• Двойное обрезание
• Потенциал реакционного поля
• Суммирование Эвальда
Головин А.В.
(ФББ МГУ им М.В. Ломоносова)
Весна, 2013
19 / 30
Раздел:
Нековалентные взаимодействия
Двойное обрезание
Для сферы А мы считаем все частичные заряды, а для сферы А-В
мы будем считать взаимодействие групп зарядов с нашим
атомом.
U1 =
NA
X
i=1
Головин А.В.
Ngroup
X
q1 qj
q1 qi
+
4π0 r r1
4π0 r r1j
(ФББ МГУ им М.В. Ломоносова)
j=1
Весна, 2013
20 / 30
Раздел:
Нековалентные взаимодействия
Потенциал реакционного поля
Основная идея: мы считаем, что за некоторым расстоянием
плотность заряда одинаковая, и, следовательно, известна некая
диэлектрическая проницаемость среды.
"
#
3
rf − r rij
3rf
q1 qi
q1 qi
Uij =
1+
−
3
4π0 r r1i
2rf + r rc
4π0 r rc 2r f + r
Головин А.В.
(ФББ МГУ им М.В. Ломоносова)
Весна, 2013
21 / 30
Раздел:
Нековалентные взаимодействия
Суммирование Эвальда
Основная идея: нам нужно учитывать не только заряды в
ближайшем окружении, но и, как в кристалле, заряды,
находящиеся в соседних ячейках.
Uij =
Ny Nz N
Nx X
X
XXX
x=1 y=1 z=1 i=1 j=1
N
qi qi
4π0 r rij
Это сходится, но очень медленно.
Головин А.В.
(ФББ МГУ им М.В. Ломоносова)
Весна, 2013
22 / 30
Раздел:
Нековалентные взаимодействия
Суммирование Эвальда
Эвальд предложил перевести этот ряд в сумму 2-ух быстро
сходящихся рядов и константы.
U = Udir + Urec + U0
Udir = f /2
PN PNx PNy PNz
i,j
PN
Urec = f2 πV
U0 =
fβ
√
π
i,j qi qi
PN
i
z=1 qi qi
y=1
x=1
P
mx
P
my
erf c(βrij ,n )
rij,n
exp(−πm/β)2 +2πim(ri ·rj ) 2
nz
m
P
qi2
Где бета - это параметр, определяющий соотношение прямого и
обратного взаимодействий
Головин А.В.
(ФББ МГУ им М.В. Ломоносова)
Весна, 2013
23 / 30
Раздел:
Нековалентные взаимодействия
Суммирование Эвальда vs двойное обрезание
Self-assembly with PME
Головин А.В.
Self-assembly with Cut-off
(ФББ МГУ им М.В. Ломоносова)
Весна, 2013
24 / 30
Раздел:
Нековалентные взаимодействия
Ван-дер-Ваальсовы взаимодействия
• В основе природы Ван-дер-Ваальсовых взаимодействий
лежат электронные эффекты: дисперсионные и обменные.
• В принципе, рассчитать такие эффекты можно в QM, но это
далеко не тривиальная задача.
• В ММ нам надо считать такие взаимодействия быстро, на
сегодняшний день наиболее часто используют потенциал
Леонарда-Джонса:
UV dW =
N X
N
X
"
4ij
i=1 j=i+1
Головин А.В.
(ФББ МГУ им М.В. Ломоносова)
σij
rij
12
−
σij
rij
6 #
Весна, 2013
25 / 30
Раздел:
Нековалентные взаимодействия
Ван-дер-Ваальсовы взаимодействия
Наряду с потенциалом Леонарда-Джонса используют потенциал
Букингама:
Vbh (rij ) = Aij exp(−Bij rij ) −
Головин А.В.
(ФББ МГУ им М.В. Ломоносова)
Cij
6
rij
Весна, 2013
26 / 30
Раздел:
Нековалентные взаимодействия
Взаимодействия между разными типами атомов
Константы для разных типов атомов будут разные. Для их
определения существуют правила смешивания:
σAB = 1/2(σAA + σBB )
√
AB = AA BB
Это не единственный вариант правила смешивания, но такой
подход наиболее распространён для моделирования
биологических систем
Головин А.В.
(ФББ МГУ им М.В. Ломоносова)
Весна, 2013
27 / 30
Раздел:
Нековалентные взаимодействия
Различия для 1-4 взаимодействий
• Так как 1-4 взаимодействия могу быть уже учтены в описании
торсионного угла, то может быть, что силовых полях такие
нековалентные взаимодействия не учитываются.
• В полях семейства AMBER, 1-4 VdW взаимодействия всё-таки
учитываются, но их потенциал делится на 2.
Головин А.В.
(ФББ МГУ им М.В. Ломоносова)
Весна, 2013
28 / 30
Раздел:
Нековалентные взаимодействия
Водородные связи
• В силовых полях водородная связь часто описывается как
комбинация Ван-дер-Ваальсовых и Кулоновских
взаимодействий
• Существуют силовые поля, где водородная связь задаётся
своим потенциалом на основе потенциала Леонарда-Джонса
10-12:
UHB =
Головин А.В.
A 10 C 12
−
r
r
(ФББ МГУ им М.В. Ломоносова)
Весна, 2013
29 / 30
Раздел:
Нековалентные взаимодействия
Водородные связи
Для точного описания водородной связи вносят поправки,
учитывающие геометрию водородной связи:
UHB =
C
D
− 4
6
d
d
UHB =
A
10
rH..Ac
Головин А.В.
cosm θ
−
C
12
rH..Ac
cos2 θDon−H...Acc cos4 ωLP −Acc...H
(ФББ МГУ им М.В. Ломоносова)
Весна, 2013
30 / 30