Лекция 6. Молекулярная механика. Силовые поля. Курс: Молекулярное моделирование в применении к биомолекулам Головин А.В. 1 1 МГУ им М.В. Ломоносова, Факультет Биоинженерии и Биоинформатики Москва, 2013 Раздел: Содержание Введение Силовые поля Ковалентные взаимодействия Нековалентные взаимодействия Головин А.В. (ФББ МГУ им М.В. Ломоносова) Весна, 2013 2 / 30 Раздел: Введение Уравнение Шредингера 2 2 ~ ∂ ∂2 ∂2 ∂Ψ(r, t) − ( + + + V Ψ(r, t) = i~ m ∂x ∂y ∂z ∂t Или: HΨ = EΨ; H= −~2 2 Ze2 ∇ − m 4πε0 r Современные базисы предполагают примерно 60 функций на атом. Итого: 900 функций на аминокислоту. • Можно апроксимировать электронную плотность уравнениями класической физики. Головин А.В. (ФББ МГУ им М.В. Ломоносова) Весна, 2013 3 / 30 Раздел: Введение Молекулярная механика (MM) • В ММ электронная структура атома замещается на достаточно простые уравнения с параметрами. • Наборы параметров называются силовыми полями. • Используется допущение Борна-Оппенгеймера (электроны быстро адаптируются к движению ядер) • Расчёт энергии происходит на основе положения ядер. • Упрощения позволяют работать с большими системами • В некоторых случаях ММ подходы могут давать результаты, сравнимые по точности с методами QM. Головин А.В. (ФББ МГУ им М.В. Ломоносова) Весна, 2013 4 / 30 Раздел: Введение Простое уравнение силового поля (СП) U= X ki X ki X Vn (li − l0 )2 + (φi − φ0 )2 + (1 + cos(nω − γ))+ 2 2 2 torsions bonds angles " ! 6 # N X N X σij 12 σij qi qj + 4ij − + rij rij 4π0 rij i=1 j=i+1 Углы Торсионные углы Связи + Ван-дер-Ваальсовы взаимодействия - Кулоновские взаимодействия Головин А.В. (ФББ МГУ им М.В. Ломоносова) Весна, 2013 5 / 30 Раздел: Введение Пропан Головин А.В. (ФББ МГУ им М.В. Ломоносова) Весна, 2013 6 / 30 Раздел: Силовые поля Основные особенности силовых полей • Большинство параметров неотделимо от поля. • Параметризация ММ сильно зависит от целей исследования. • Большинство силовых полей параметризованы для воспроизведения структуры. • Силовые поля — это результат оптимизации параметров. • Силовые поля — это эмпирически найденные данные. Головин А.В. (ФББ МГУ им М.В. Ломоносова) Весна, 2013 7 / 30 Раздел: Силовые поля Типы атомов в СП Головин А.В. (ФББ МГУ им М.В. Ломоносова) Весна, 2013 8 / 30 Раздел: Ковалентные взаимодействия Потенциал для описания связи 3 Morse Потенциал Морзе Более распространённый U (l) = ki (li − l0 )2 2 Головин А.В. 2 E U (l) = De {1 − e[−a(l−l0 )] }2 1 0 (ФББ МГУ им М.В. Ломоносова) 2 2.1 2.2 r 2.3 2.4 Весна, 2013 9 / 30 Раздел: Ковалентные взаимодействия Параметры при описании связи E= k (r − r0 )2 2 связь r0 ,A k, kcal mol-1 A-2 Csp3 -Csp3 1.523 317 Csp2 -Csp2 1.337 690 Csp2 -Osp2 1.208 777 Csp3 -Nsp3 1.438 367 Головин А.В. (ФББ МГУ им М.В. Ломоносова) Весна, 2013 10 / 30 Раздел: Ковалентные взаимодействия Кубический и прочие варианты 4 · 10−2 Morse 2(x − 2)2 2(x − 2)2 (1 − 4(x − 2) − 8(x − 2)2 ) −2 E 3 · 10 2 · 10−2 1 · 10−2 0 2 2.2 2.4 r U= ki (li −l0 )2 (1−k 0 (li −l0 )−k 00 (li −l0 )2 −k 000 (li −l0 )3 −k 0000 (li −l0 )4 . . . ) 2 Головин А.В. (ФББ МГУ им М.В. Ломоносова) Весна, 2013 11 / 30 Раздел: Ковалентные взаимодействия Потенциал валентного угла U (φ) = ki (φi − φ0 )2 2 или U (φ) = ki 2 (φi − φ0 )2 (1 − k 0 (φi − φ0 ) − k 00 (φi − φ0 )2 − −k 000 (φi − φ0 )3 − k 0000 (φi − φ0 )4 . . . ) Головин А.В. (ФББ МГУ им М.В. Ломоносова) Весна, 2013 12 / 30 Раздел: Ковалентные взаимодействия Потенциал торсионного угла U (ω) = X Vn (1 + cos(nω − γ)) 2 torsions OH O Рассмотрим О-С-С-О (сахар в ДНК) 1 (1 + cos(3πω)) 4 1 (1 + cos(2πω)) 4 HO OH OH 1 (1 + cos(3πω)) + 1 (1 + cos(2πω)) 4 4 1 E 1 OH 0.5 0.5 0 −200 −100 Головин А.В. 0 ω 100 200 0 −200 (ФББ МГУ им М.В. Ломоносова) −100 0 ω 100 200 Весна, 2013 13 / 30 Раздел: Ковалентные взаимодействия Потенциал торсионного угла U (ω) = V1 V2 2 (1 + cosω) + (1 + cos2ω) + V3 1 + cos3ω) . . . 2 2 ( • Для поля ММ2 используют три члена. • Поле OPLS использует ряды с 4-ю слагаемыми. U (ω) = 1 [F1 (1 + cosω) + F2 (1 − cos2ω) + F3 (1 + cos3ω) + F4 (1 − cos4ω)] 2 Головин А.В. (ФББ МГУ им М.В. Ломоносова) Весна, 2013 14 / 30 Раздел: Ковалентные взаимодействия "Неправильные" торсионные углы U (ω) = V1 (1 − cosω) U (ω) = V1 (ω − ω0 )2 Для циклобутанона кислород должен находиться в одной плоскости с1,с2,с3. Используют потенциал, где перечисление не 1-2-3-4, а 1-4-2-3 Головин А.В. (ФББ МГУ им М.В. Ломоносова) Весна, 2013 15 / 30 Раздел: Ковалентные взаимодействия Кросс-составляющие в силовых полях Кросс-составляющие отражают зависимость состояния одной связи или угла от состояния соседней связи. Существуют: strech-strech, strech-bend, strech-torsion U (l1 , l2 ) = U (l1 , l2 , φ) = Головин А.В. Kl1 l2 (l1 − l1,0 )2 (l2 − l2,0 )2 2 Kl1 l2 φ [(l1−l1,0 )2 +(l2−l2,0 )2 ](φ−φ0 ) 2 (ФББ МГУ им М.В. Ломоносова) Весна, 2013 16 / 30 Раздел: Нековалентные взаимодействия Нековалентные взаимодействия • Нековалентные взаимодействия являются определяющими в формировании структуры биополимеров. • Так как эти взаимодействия реализуются через пространство, то часто они описываются как функции, обратно пропорциональные расстоянию между двумя атомами. Головин А.В. (ФББ МГУ им М.В. Ломоносова) Весна, 2013 17 / 30 Раздел: Нековалентные взаимодействия Электростатические взаимодействия Допустим, что поверхность единичного потенциала можно представить зарядами в центрах атомов. Тогда электростатические взаимодействия будут описываться по закону Кулона: q1 q2 U (q1 , q2 ) = ; 4π0 r rij U= NA X NB X i=1 j=1 Головин А.В. qi qj 4π0 r rij (ФББ МГУ им М.В. Ломоносова) Весна, 2013 18 / 30 Раздел: Нековалентные взаимодействия Электростатические взаимодействия Очевидно, что количество вычислений растет значительно быстрее количества частичных зарядов. Существуют следующие упрощения: • Разрастание центрального мультиполя (ММ малых молекул) • Двойное обрезание • Потенциал реакционного поля • Суммирование Эвальда Головин А.В. (ФББ МГУ им М.В. Ломоносова) Весна, 2013 19 / 30 Раздел: Нековалентные взаимодействия Двойное обрезание Для сферы А мы считаем все частичные заряды, а для сферы А-В мы будем считать взаимодействие групп зарядов с нашим атомом. U1 = NA X i=1 Головин А.В. Ngroup X q1 qj q1 qi + 4π0 r r1 4π0 r r1j (ФББ МГУ им М.В. Ломоносова) j=1 Весна, 2013 20 / 30 Раздел: Нековалентные взаимодействия Потенциал реакционного поля Основная идея: мы считаем, что за некоторым расстоянием плотность заряда одинаковая, и, следовательно, известна некая диэлектрическая проницаемость среды. " # 3 rf − r rij 3rf q1 qi q1 qi Uij = 1+ − 3 4π0 r r1i 2rf + r rc 4π0 r rc 2r f + r Головин А.В. (ФББ МГУ им М.В. Ломоносова) Весна, 2013 21 / 30 Раздел: Нековалентные взаимодействия Суммирование Эвальда Основная идея: нам нужно учитывать не только заряды в ближайшем окружении, но и, как в кристалле, заряды, находящиеся в соседних ячейках. Uij = Ny Nz N Nx X X XXX x=1 y=1 z=1 i=1 j=1 N qi qi 4π0 r rij Это сходится, но очень медленно. Головин А.В. (ФББ МГУ им М.В. Ломоносова) Весна, 2013 22 / 30 Раздел: Нековалентные взаимодействия Суммирование Эвальда Эвальд предложил перевести этот ряд в сумму 2-ух быстро сходящихся рядов и константы. U = Udir + Urec + U0 Udir = f /2 PN PNx PNy PNz i,j PN Urec = f2 πV U0 = fβ √ π i,j qi qi PN i z=1 qi qi y=1 x=1 P mx P my erf c(βrij ,n ) rij,n exp(−πm/β)2 +2πim(ri ·rj ) 2 nz m P qi2 Где бета - это параметр, определяющий соотношение прямого и обратного взаимодействий Головин А.В. (ФББ МГУ им М.В. Ломоносова) Весна, 2013 23 / 30 Раздел: Нековалентные взаимодействия Суммирование Эвальда vs двойное обрезание Self-assembly with PME Головин А.В. Self-assembly with Cut-off (ФББ МГУ им М.В. Ломоносова) Весна, 2013 24 / 30 Раздел: Нековалентные взаимодействия Ван-дер-Ваальсовы взаимодействия • В основе природы Ван-дер-Ваальсовых взаимодействий лежат электронные эффекты: дисперсионные и обменные. • В принципе, рассчитать такие эффекты можно в QM, но это далеко не тривиальная задача. • В ММ нам надо считать такие взаимодействия быстро, на сегодняшний день наиболее часто используют потенциал Леонарда-Джонса: UV dW = N X N X " 4ij i=1 j=i+1 Головин А.В. (ФББ МГУ им М.В. Ломоносова) σij rij 12 − σij rij 6 # Весна, 2013 25 / 30 Раздел: Нековалентные взаимодействия Ван-дер-Ваальсовы взаимодействия Наряду с потенциалом Леонарда-Джонса используют потенциал Букингама: Vbh (rij ) = Aij exp(−Bij rij ) − Головин А.В. (ФББ МГУ им М.В. Ломоносова) Cij 6 rij Весна, 2013 26 / 30 Раздел: Нековалентные взаимодействия Взаимодействия между разными типами атомов Константы для разных типов атомов будут разные. Для их определения существуют правила смешивания: σAB = 1/2(σAA + σBB ) √ AB = AA BB Это не единственный вариант правила смешивания, но такой подход наиболее распространён для моделирования биологических систем Головин А.В. (ФББ МГУ им М.В. Ломоносова) Весна, 2013 27 / 30 Раздел: Нековалентные взаимодействия Различия для 1-4 взаимодействий • Так как 1-4 взаимодействия могу быть уже учтены в описании торсионного угла, то может быть, что силовых полях такие нековалентные взаимодействия не учитываются. • В полях семейства AMBER, 1-4 VdW взаимодействия всё-таки учитываются, но их потенциал делится на 2. Головин А.В. (ФББ МГУ им М.В. Ломоносова) Весна, 2013 28 / 30 Раздел: Нековалентные взаимодействия Водородные связи • В силовых полях водородная связь часто описывается как комбинация Ван-дер-Ваальсовых и Кулоновских взаимодействий • Существуют силовые поля, где водородная связь задаётся своим потенциалом на основе потенциала Леонарда-Джонса 10-12: UHB = Головин А.В. A 10 C 12 − r r (ФББ МГУ им М.В. Ломоносова) Весна, 2013 29 / 30 Раздел: Нековалентные взаимодействия Водородные связи Для точного описания водородной связи вносят поправки, учитывающие геометрию водородной связи: UHB = C D − 4 6 d d UHB = A 10 rH..Ac Головин А.В. cosm θ − C 12 rH..Ac cos2 θDon−H...Acc cos4 ωLP −Acc...H (ФББ МГУ им М.В. Ломоносова) Весна, 2013 30 / 30