Основные алгебраические структуры

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ФИЛИАЛ ТЮМГУ В Г. ТОБОЛЬСКЕ
Естественнонаучный факультет
Кафедра физики, математики и МП
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
____________________ ФИО
«___» __________ 2014 г.
Валицкас А.И.
Учебно-методический комплекс по дисциплине
«ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ»
Код и направление подготовки
44.04.01. “Педагогическое образование”
Профиль подготовки
“Математическое моделирование”
Квалификация (степень) выпускника
Магистр
Форма обучения
заочная
Тобольск
2011
Содержание
Er
ror
!
Bo
ok
Рабочая программа дисциплины
ma
rk
not
def
ine
d.
Приложение I
Планы лекций………………………………………………………………..… 22
Приложение II Планы практических занятий..…………………………………………..…… 23
Приложение III Литература……………………………………..…………………………….... 24
Приложение IV Планы практик………………………………………………………………... 27
Приложение V Темы самостоятельной работы студентов….……………………………… 28
Приложение VI Текущий и итоговый контроль……………………………………………… 30
Приложение VII Методические рекомендации изучающему дисциплину…………………… 32
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ФИЛИАЛ ТЮМГУ В Г. ТОБОЛЬСКЕ
Естественнонаучный факультет
Кафедра физики, математики и МП
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
____________________ ФИО
«___» __________ 2014 г.
Рабочая программа учебной дисциплины
«ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ»
Код и направление подготовки
44.04.01. “Педагогическое образование”
Профиль подготовки
Квалификация (степень) выпускника
Магистр
Форма обучения
заочная
Тобольск
2011
Содержание
1
2
3
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
5
Цели и задачи освоения дисциплины .
.
.
.
Место дисциплины в структуре ООП ВПО .
.
.
Требования к результатам освоения содержания дисциплины
Содержание и структура дисциплины .
.
.
.
Содержание разделов дисциплины
.
.
.
Структура дисциплины .
.
.
.
.
.
Лабораторные работы
.
.
.
.
.
.
Практические занятия .
.
.
.
.
.
Курсовой проект (курсовая работа) .
.
.
.
Самостоятельное изучение разделов дисциплины
.
Образовательные технологии .
.
.
.
.
5.1
Интерактивные образовательные технологии, используемые в аудиторных занятиях
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
7.1
7.2
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации
.
.
.
.
.
.
.
Учебно-методическое обеспечение дисциплины
.
.
.
Основная литература
.
.
.
.
.
.
.
Дополнительная литература
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7.3
Периодические издания
.
7.4
7.5
7.6
Интернет-ресурсы
.
.
.
.
.
.
.
Методические указания к лабораторным занятиям
.
.
Методические указания к практическим занятиям
.
.
Методические указания к курсовому проектированию и другим видам самостоятельной работы .
.
.
.
.
.
Программное обеспечение современных информационно-коммуникационных технологий
.
.
.
.
.
.
.
Материально-техническое обеспечение дисциплины
.
.
Лист согласования рабочей программы дисциплины
.
.
.
.
.
Дополнения и изменения в рабочей программе дисциплины
.
6
7.7
7.8
8
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
с.
6
8
8
10
10
11
12
12
13
13
13
Err
or!
Bo
ok
ma
rk
not
def
ine
d.
14
17
17
17
Err
or!
Boo
kma
rk
not
defi
ned.
19
19
19
20
21
21
21
Err
or!
Boo
kma
rk
not
defi
ned.
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Дисциплина “Основные алгебраические структуры” призвана ввести магистрантов в круг классических методов алгебры, являющихся фундаментом практически любой математической дисциплины, показать взаимосвязи алгебраических структур между собой и их применение в различных задачах.
Дисциплина “Основные алгебраические структуры” должна решать следующие задачи:
 вооружать студентов фундаментальными теоретическими знаниями по
алгебраическим методам решения математических задач;
 давать достаточный терминологический и понятийный запас, необходимый для самостоятельного изучения специальной литературы;
 предлагать строгие формальные доказательства основных результатов,
развивая культуру мышления студентов;
 демонстрировать наглядность большинства идей излагаемой теории,
открывающую дорогу многим приложениям;
 учить навыкам формулировки разнообразных теоретических и практических задач на языке алгебры;
 демонстрировать применение алгебраических методов для решения
разнообразных практических задач;
 пополнить алгоритмический запас студентов, позволяющий им решать
некоторые типовые задачи;
 обеспечить материал для самостоятельной работы.
В результате изучения дисциплины “Основные алгебраические структуры”
у студентов формируются навыки в следующих основных видах деятельности,
предусмотренные стандартом высшего профессионального образования:
в области педагогической деятельности:
– организация процесса обучения и воспитания в сфере образования с использованием новейших технологий, отражающих специфику предметной области;
– использование имеющихся возможностей образовательной среды и проектирование новых условий, в том числе информационных, для обеспечения качества
образования;
– осуществление профессионального самообразования и личностного роста, проектирование дальнейшего образовательного маршрута и профессиональной карьеры;
– преподавание физико-математических дисциплин и информатики в образовательных и средних образовательных учреждениях при специализированной переподготовке.
в области научно-исследовательской деятельности:
– применение основных понятий, идей, и методов дисциплины для решения базовых задач;
– решение математических проблем, соответствующих квалификации, возникающих при проведении научных и прикладных исследований;
– подготовка обзоров, аннотаций, составление рефератов и библиографии по тематике проводимых исследований.
в области методической деятельности:
– использование имеющихся возможностей образовательной и социальной среды
и проектирование новых сред, в том числе информационных, для обеспечения
развития методического сопровождения деятельности педагогов;
в области культурно-просветительской деятельности:
– создание просветительских программ и их реализация в целях популяризации
научных знаний и культурных традиций;
– использование современных информационно-коммуникационных технологий и
средств
массовой
информации
просветительских задач.
(СМИ)
для
решения
культурно-
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОП ВПО
Дисциплина “Основные алгебраические структуры” относится к вариативной части профессионального цикла дисциплин Федерального государственного
образовательного стандарта высшего профессионального образования
(ФГОС
ВПО) по направлению “Педагогическое образование”.
Дисциплина базируется на знаниях и навыках, полученных в рамках школьного курса математики или соответствующих дисциплин среднего и высшего
профессионального образования.
Содержание дисциплины
“Основные алгебраические структуры”
тесно
связано с другими курсами, входящими в ОП магистра направления “Педагогическое образование”.
 с геометрией;
 с теорией чисел;
 с дискретной математикой, включая комбинаторику, теорию графов и
теорию кодирования;
 с некоторыми разделами математического анализа;
 с некоторыми дисциплинами на стыке алгебры и информатики, например,
с “Компьютерной алгеброй”.
При этом изучение дисциплины
“Основные алгебраические структуры”
должно не только создать базу для изучения вышеперечисленных предметов и
решения прикладных задач, но обеспечить, в первую очередь, понимание фундаментального характера алгебры.
3. ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ
СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
В совокупности с другими дисциплинами базовой части математического
цикла ФГОС ВПО дисциплина “Основные алгебраические структуры” обеспе-
чивает инструментарий формирования следующих компетенций магистранта
направления “Математическое образование”:
• способностью к абстрактному мышлению, анализу, синтезу, способностью
совершенствовать и развивать свой интеллектуальный и общекультурный
уровень (ОК-1);
• способностью
руководить
исследовательской
работой
обучающихся
(ПК-3).
В результате освоения содержания дисциплины “Компьютерная алгебра”
магистрант должен:
ЗНАТЬ
 основные понятия фундаментальной алгебры;
 определения и свойства математических объектов в этой области;
 основные идеи формального и конструктивного подходов построения математики;
 формулировки основных утверждений, методы их доказательства;
 возможные сферы приложений алгебраических абстракций, необходимых
для успешного изучения математических и теоретико-информационных
дисциплин, решения задач, возникающих в информатике и других профессиональных сферах.
 применение основных разделов математики в математических исследованиях;
 важнейшие проблемы обоснования математики;
УМЕТЬ
 использовать аксиоматический метод и теоретико-множественный язык для
формулировки математических задач;
 применять основные алгебраические структуры и методы алгебры в математических исследованиях;
 видеть взаимосвязи между различными алгебраическими структурами и областями математики;
 доказывать свойства структур и основные результаты, связанные с ними.
ВЛАДЕТЬ
 теоретико-множественным языком и аксиоматическим методом;
 математическим аппаратом фундаментальной алгебры;
 методами решения типовых задач и доказательства утверждений, связанных
с алгебраическими структурами;
 методикой построения, анализа и применения математических моделей для
прикладных задач математики и информатики;
 навыками применения современного математического инструментария для
решения задач математики и информатики.
4. СОДЕРЖАНИЕ И СТРУКТУРА ДИСЦИПЛИНЫ
4. 1. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
№
Наименование
раздела
I
Группы, кольца,
поля, тела, алгебры и их гомоморфизмы
II
Векторные
пространства и тензорная алгебра
III
Теория полей и
некоммутативные
тела
Содержание раздела
Понятие группы как язык описания симметрий.
Кольца, поля, тела и алгебры как обобщения числовых систем. Нормальные делители групп и
идеалы колец и алгебр. Фактор-группы и факторалгебры. Делимость в коммутативных кольцах.
Кольца главных идеалов. Евклидовы кольца.
Факториальные кольца. Подполя и расширения
полей.
Тела и векторные пространства над телами. Базисы, размерность пространства. Двойственные
пространства. Системы линейных уравнений над
телами. Полилинейные симметричные и кососимметричные отображения векторных пространств над полем. Определители. Тензорное
произведение пространств.
Простое подполе и простое алгебраическое расширение поля. Алгебраически замкнутые поля.
Алгебраическая замкнутость поля комплексных
чисел. Поле частных. Простые трансцендентные
расширения полей. Поле p-адических чисел.
Форма
текущего
контроля
ДЗ
КР
ДЗ
КР
ДЗ
КР
Тело кватернионов. Теорема Фробениуса. Коль-
IV
Некоммутативные ца косых многочленов. Теорема Оре о классическом теле частных. Проблемы вложения полутела
групп в группы и колец в тела.
ДЗ
КР
4. 2. СТРУКТУРА ДИСЦИПЛИНЫ
Дисциплина “Основные алгебраические структуры” изучается на I-II курсах магистратуры. Общая трудоёмкость 7 зачётных единиц (252 часа), из них
28 аудиторных: 10 аудиторных часов I курсе и 18 аудиторных часов – на втором курсе. Самостоятельная работа студентов – 215 часов. Изучение завершается экзаменом и зачётом на II курсе. На каждом курсе предусмотрены контрольные работы.
Вид работы
Всего
Аудиторная работа:
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Самостоятельная работа:
Вид итогового контроля
(зачет, экзамен)
24
6
18
215
Трудоемкость, часов
I
II
курс
курс
8
16
2
4
6
12
64
151
КР, зачёт,
КР
экзамен
РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ, ИЗУЧАЕМЫЕ НА I КУРСЕ:
Количество часов
Аудиторная
работа
Л
ПЗ
№
Наименование раздела
I
Группы, кольца, поля, тела, алгебры
и их гомоморфизмы.
Векторные
пространства и тензорная алгебра
72
2
6
64
Итого:
72
2
6
64
Всего
СР
РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ, ИЗУЧАЕМЫЕ НА II КУРСЕ:
Количество часов
№
II
Наименование раздела
Теория
тела
полей.
Всего
Некоммутативные
Итого:
Аудиторная
работа
Л
ПЗ
СР
167
4
12
151
167
4
12
151
4. 3. ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ
Лабораторные работы по дисциплине не предусмотрены.
4. 4. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
№
занятия
№
раздела
1
I
3
4
1
2
3
4
5
6
II
Тема
Кол-во
часов
Группа подстановок. Группы, кольца и поля вычетов Zn , Zn
, Zp . Матричные группы. Подгруппы. Порядки элементов.
Разбиения группы на смежные классы. Нормальные подгруппы. Фактор-группы. Идеалы колец и алгебр. Фактор-кольца
и фактор-алгебры. Целые гауссовы числа. Кольца главных
идеалов. Факториальные кольца.
2
Тела и векторные пространства над телами. Линейная зависимость и независимость. Тело кватернионов. Линейная зависимость и независимость над кватернионами. Уравнения и
системы уравнений над кватернионами.
Полилинейные симметричные и кососимметричные отображения векторных пространств над полем. Определители.
Тензорное произведение пространств. Базисы и линейная зависимость.
Поля. Простые алгебраические расширения. Примеры. Алгебраически замкнутые поля. Поле комплексных чисел и его
алгебраическая замкнутость. Решение уравнений малых степеней над полем комплексных чисел.
Поле частных. Простые трансцендентные расширения полей.
Теорема Люрота.
Кольцо целых m-адических чисел и поле p-адических
чисел.
Теорема Фробениуса о классификации конечномерных альтернативных тел над R . Октавы.
Теорема Оре о классическом теле частных.
Кольца косых многочленов, поля косых дробей и ряды Лорана. Проблемы вложения полугрупп в группы и колец в тела.
2
2
2
2
2
2
2
2
4. 5. КУРСОВАЯ РАБОТА
Курсовые работы по дисциплине не предусмотрены.
4. 6. САМОСТОЯТЕЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ РАЗДЕЛОВ
ДИСЦИПЛИНЫ
№
раздела
I
II
Вопросы, выносимые на самостоятельное изучение
Фактор-группы.
Фактор-кольца и фактор-алгебры.
Целые гауссовы числа и евклидовы кольца.
Факториальные кольца.
Подполя и расширения полей.
Векторные пространства над телами.
Системы линейных уравнений над телами.
Двойственные пространства и тензорное произведение векторных пространств.
Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел.
Поле частных.
Простые трансцендентные расширения полей.
Теорема Люрота.
Кольцо целых m-адических чисел и поле p-адических чисел.
Тело кватернионов. Теорема Фробениуса.
Октавы.
Теорема Оре о классическом теле частных.
Кольца и тела косых многочленов.
Кол-во
часов
6
6
8
6
8
10
10
10
16
16
17
18
16
18
16
18
16
5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
При обучении можно использовать элементы активных деятельностных
технологий, технологий проблемного обучения (чтение проблемных лекций, ответы на вопросы, дискуссии, самостоятельные индивидуальные задания) и др. По
желанию преподавателя при чтении лекций и на практических занятиях можно
использовать мультимедийные технологии.
6. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ
УСПЕВАЕМОСТИ И ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ДЛЯ
САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
Что называется погруппой в группе ?
Какая подгруппа называется нормальной ?
Что называется идеалом кольца ?
В чём разница между идеалом кольца и алгебры ?
Как строится фактор-группа по нормальной подгруппе ?
Как строится фактор-кольцо по идеалу ?
Как вычислить произведение и обратный элемент в группе подстановок ?
Как вычислить произведение и обратный элемент в группе матриц ?
Как вычислить произведение в алгебре кватернионов ?
Что такое целое гауссово число ?
Перечислите основные свойства целых гауссовых чисел.
Приведите примеры вычислений в кольце целых гауссовых чисел.
Какое кольцо называется факториальным ?
Приведите примеры факториальных колец.
Почему кольцо главных идеалов факториально ?
Что такое подкольцо ? Приведите примеры подколец.
Что такое подполе ? Приведите примеры подполей.
Сформулируйте критерии подкольца и подполя.
Что такое простое алгебраическое расширение поля ?
Сформулируйте некоторые свойства алгебраических расширений полей.
Дайте определение векторного пространства над телом.
Сформулируйте основные свойства векторных пространств над телами.
Докажите некоторые свойства векторных пространств над телами.
Докажите существование базиса в векторном пространстве над телом.
Приведите некоторые свойства, выполненные для векторных пространств над полями, но не над телами.
Сформулируйте основные факты о системах линейных уравнений над телами.
Сформулируйте теорему о каноническом виде матрицы над телом.
Приведите некоторые свойства, выполненные для систем линейных уравнений над
полями, но не над телами.
Как определяется двойственное к данному векторному пространству ?
Какова размерность двойственного пространства ?
Каков стандартный базис двойственного пространства ?
Как определяется тензорное произведение векторных пространств ?
Какова размерность тензорного произведения векторных пространств ?
Каков стандартный базис тензорного произведения векторных пространств ?
Какое поле называется алгебраически замкнутым ?
Приведите примеры алгебраически замкнутых полей.
Почему поля Q , R не алгебраически замкнуты ?
Почему не алгебраически замкнуто поле Zp и любое конечное поле ?
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
Докажите формулы Кардано для решения кубических уравнений над C.
Обоснуйте метод Феррари для решения уравнений четвёртой степени над C .
Что такое поле частных коммутативной области целостности ?
Докажите теорему о существовании и единственности поля частных.
Дайте определение простого трансцендентного расширения поля.
Является ли кольцо F[[x]] рядов от переменной x на полем F простым трансцендентным расширением поля F ?
Сформулируйте теорему Люрота.
Докажите теорему Люрота.
Дайте определение кольца целых m-адических чисел и поля p-адических чисел.
Когда в кольце целых m-адических чисел есть делители нуля ?
Приведите пример вычисления в кольце целых m-адических чисел.
Как найти обратный элемент к конкретному элементу поля p-адических чисел ?
Дайте определение телу кватернионов.
Приведите примеры вычислений в теле кватернионов.
Сформулируйте основные свойства тела кватернионов.
Сформулируйте теорему Фробениуса.
Каковы основные этапы и идеи доказательства теоремы Фробениуса ?
Дайте определение телу октав.
Приведите примеры вычислений в теле октав.
Сформулируйте основные свойства тела октав.
Дайте определение кольцу косых многочленов и телам косых дробей и рядов Лорана.
Приведите примеры вычислений в кольце косых многочленов.
Сформулируйте теорему Оре.
Каковы основные этапы и идеи доказательства теоремы Оре.
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ЗАЧЁТА (I курс)
1. Группы и их основные свойства.
2. Кольца и их основные свойства.
3. Поля и их основные свойства.
4. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп, колец, полей.
5. Группа подстановок Sn и мультипликативная группа классов вычетов Zn .
6. Теорема Кэли.
7. Левые и правые смежные классы группы по подгруппе.
8. Теорема Лагранжа.
9. Нормальные подгруппы. Критерий нормальности.
10. Фактор-группы.
11. Идеалы колец и алгебр.
12. Фактор-кольца и фактор-алгебры.
13. Кольца главных идеалов.
14. Кольцо целых гауссовых чисел.
15. Евклидовы кольца.
16. Факториальные кольца.
17. Простые алгебраические расширения полей.
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ЗАЧЁТА (II курс)
Тела.
Векторные пространства над телами.
Основные свойства векторных пространств над телами.
Линейно зависимые и независимые системы векторов.
Базисы и размерность векторного пространства.
Канонический вид матрицы над телом.
Системы линейных уравнений над телами.
Уравнения и системы уравнений над кватернионами.
Критерии совместности и определённости системы линейных уравнений над
телами.
10. Полилинейные симметричные и кососимметричные отображения векторных
пространств над полями.
11. Определители матриц над полями и их основные свойства.
12. Тензорное произведение векторных пространств.
13. Линейно зависимые и независимые системы векторов в тензорном произведении векторных пространств.
14. Базисы и размерность тензорного произведения векторных пространств.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЭКЗАМЕНУ (II курс)
Поля и их простейшие свойства. Поля Q , R и Zp .
Алгебраически замкнутые поля. Критерии алгебраической замкнутости.
Поле комплексных чисел C. Алгебраическая замкнутость поля C.
Конструкция поля частных. Существование и единственность поля частных
коммутативной области целостности.
5. Простые трансцендентные расширения полей и их основные свойства.
6. Кольцо многочленов над полем, поля дробей и рядов Лорана над полем.
7. Кольцо формальных степенных рядов над полем. Теорема Люрота.
8. Кольцо целых m-адических чисел Kp . Сравнения в кольце Kp .
9. Поле целых p-адических чисел Qp . Сравнения в кольце Qp .
10. Тело кватернионов. Уравнения и системы уравнений над телом кватернионов.
11. Теорема Фробениуса о классификации конечномерных ассоциативных тел
над полем R.
12. Обобщённая теорема Фробениуса. Альтернативное тело октав.
13. Кольцо косых многочленов. Поля косых дробей и рядов Лорана.
14. .Теорема Оре: проверка свойств сложения.
15. Теорема Оре: проверка свойств умножения.
1.
2.
3.
4.
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ
7. 1. ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.
Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел – СПб.: Издательство “Лань”,
2005.
2.
Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
3.
Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. – СПб.: Издательство “Лань”, 2009.
4.
Кострикин А.И. Введение в алгебру (в 3-х Т.Т.). – М.: ФИЗМАТЛИТ, 20012004.
5.
Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
6.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – СПб.: Издательство “Лань”, 2008.
7.
Окунев Л.Я. Высшая алгебра. – СПб.: Издательство “Лань”, 2009.
8.
Окунев Л.Я. Сборник задач по высшей алгебре. – СПб.: Издательство
“Лань”, 2009.
9.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Лаборатория
Базовых Знаний, 2008.
10. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
11. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре. – СПб.: Издательство “Лань”, 2008.
12. Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – СПб.: Издательство “Лань”, 2008.
7. 2. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
13. Александров П.С. Введение в теорию групп. – М.: Наука, 1980.
14. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. – М.: Наука,
1983.
15. Белоногов В.А. Задачник по теории групп. – М.: Наука, 2000.
16. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С., Стеллецкий И.В.
Алгебра. – М.:
Просвещение, 1978.
17. Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. – М.: Просвещение, 1980.
18. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – М.: Наука, 1966.
19. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые её приложения. – М.: Наука,
1975.
20. Громов А.П. Учебное пособие по линейной алгебре. – М.: Просвещение,
1971.
21. Дальма А. Эварист Галуа – революционер и математик. – М.: Наука, 1984.
22. Евсюкова Е.В. Элементы теории групп: Учебно-методическое пособие для
студентов физико-математических факультетов пединститутов. – Тобольск:
изд-во ТГПИ, 1999.
23. Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. – М.: Наука, 1975.
24. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. – М.: Наука, 1975.
25. Калужнин Л.А., Сущанский В.И.
Преобразования и перестановки. – М.:
Наука, 1979.
26. Калужнин Л.А. Введение в общую алгебру. – М.: Наука, 1973.
27. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. – М.: Наука,
1973.
28. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. – СПб.: Издательство “Лань”, 2005.
29. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.
30. Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и
теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.
31. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. Части I, II. – М.: Просвещение, 1978.
32. Ляпин Е.С., Айзенштадт А.Я., Лесохин М.М. Упражнения по теории групп. –
СПб.: Издательство “Лань”, 2010.
33. Ленг С. Алгебра. – М.: Мир, 1968.
34. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – СПб.: Издательство “Лань”,
2009.
35. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. –М.: Наука, 1982.
36. Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. – М.: Наука, 1983.
37. Ширшов А.И., Жевлаков К.А., Слинько А.М., Шестаков И.П. Кольца, близкие к ассоциативным. – М.: Наука, 1978.
7. 3. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ИЗДАНИЯ
Не предусмотрено.
7. 4. ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСЫ
1.
2.
3.
Математика // Википедия: свободная энциклопедия. – Электрон. дан. – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Математика
Алгебра // Википедия: свободная энциклопедия. – Электрон. дан. – Режим
доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Алгебра
Поле // Википедия: свободная энциклопедия. – Электрон. дан. – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Поле
7. 5. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К
ЛАБОРАТОРНЫМ ЗАНЯТИЯМ
Лабораторные занятия по дисциплине не предусмотрено.
7. 6. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К
ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ
Дисциплина “Основные алгебраические структуры” изучается на I-II курсах магистратуры. Общая трудоёмкость 7 зачётных единиц (252 часа), из них
28 аудиторных: 10 аудиторных часов I курсе и 18 аудиторных часов – на втором курсе. Самостоятельная работа студентов – 215 часов. Изучение завершается экзаменом и зачётом на II курсе. На каждом курсе предусмотрены контрольные работы.
Практические занятия проводятся в соответствии с п. 4. 4 программы. Особое внимание следует уделить решению дополнительных задач, в которых студент может проявить свои знания и умение мыслить. Что касается теоретических
разделов, выносимых на самостоятельное изучение, то их усвоение контролируется с одной стороны контрольными вопросами, контрольными работами, а с
другой – вопросами для зачёта. Рекомендуется выполнять все домашние задания.
Отчётность по дисциплине осуществляется в форме зачёта, оценка на котором
складывается из трёх компонент: подтверждение знания теории, умения решать
стандартные задачи, и контроль усвоения тем, вынесенных на самостоятельное
изучение. На экзаменах каждый билет включает один теоретический вопрос и
одну задачу по теме билета.
7. 7. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КУРСОВОМУ
ПРОЕКТИРОВАНИЮ И ДРУГИМ ВИДАМ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Курсовое проектирование для дисциплины не предусмотрено.
Самостоятельная работа по дисциплине состоит из проработки теоретического материала по конспектам и учебникам, решения домашних задач, выполнения домашних контрольных работ и самостоятельного изучения некоторых разделов в соответствии с п. 4. 6 программы. Выполнение контрольных работ не составит труда для того, кто регулярно выполнял домашние задания. В свою очередь выполнение домашних заданий не станет камнем преткновения для студента,
регулярно посещавшего лекции и практические занятия и работавшего на них.
Сложнее с теоретическим материалом. Поэтому важно разбирать предоставляемые в электронном виде конспекты лекций. Вопросы по разделам для самостоятельного изучения представлены в п. 6 программы.
7. 8. ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ СОВРЕМЕННЫХ
ИНФОРМАЦИОННО-КОММУНИКАЦИОННЫХ
ТЕХНОЛОГИЙ
Для изучения электронных конспектов лекций студент должен иметь доступ к компьютеру с микропроцессором не ниже Pentium IV, объём ПЗУ не
меньше 2-3 ГБ, объем ОЗУ не меньше 512 МБ, операционная система Windows
XP / 7 с текстовым редактором Word – 2003.
8. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ
Компьютерный класс с компьютерами: микропроцессор не ниже Pentium IV,
объём ПЗУ не меньше 2-3 ГБ, объем ОЗУ не меньше 512 МБ, операционная
система Windows XP / 7 с текстовым редактором Word – 2003 и средами программирования TurboPascal или Delphi.
ПРИЛОЖЕНИЕ I
ПЛАНЫ ЛЕКЦИЙ
№
занятия
1
№
раздела
Тема
I
Группа подстановок. Группы, кольца и поля вычетов Zn , Zn
, Zp . Матричные группы. Подгруппы. Порядки элементов.
Разбиения группы на смежные классы. Нормальные подгруппы. Фактор-группы. Идеалы колец и алгебр. Фактор-кольца
и фактор-алгебры. Целые гауссовы числа. Кольца главных
идеалов. Факториальные кольца. Тела и векторные пространства над телами. Линейная зависимость и независимость. Тело кватернионов. Линейная зависимость и независимость над
кватернионами. Уравнения и системы уравнений над кватернионами. Полилинейные симметричные и кососимметричные
отображения векторных пространств над полем. Определители. Тензорное произведение пространств. Базисы и линейная
зависимость.
Поля. Простые алгебраические расширения. Примеры. Алгебраически замкнутые поля. Поле комплексных чисел и его
алгебраическая замкнутость. Решение уравнений малых степеней над полем комплексных чисел. Поле частных. Простые
трансцендентные расширения полей. Теорема Люрота.
2
II
Кольцо целых m-адических чисел и поле p-адических
чисел. Теорема Фробениуса о классификации конечномерных альтернативных тел над R . Октавы. Теорема Оре о
классическом теле частных. Кольца косых многочленов, поля
косых дробей и ряды Лорана. Проблемы вложения полугрупп
в группы и колец в тела.
ПРИЛОЖЕНИЕ II
ПЛАНЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
№
занятия
№
раздела
Группа подстановок. Группы, кольца и поля вычетов Zn , Zn
, Zp . Матричные группы. Подгруппы. Порядки элементов.
Разбиения группы на смежные классы. Нормальные подгруппы. Фактор-группы. Идеалы колец и алгебр. Фактор-кольца
и фактор-алгебры. Целые гауссовы числа. Кольца главных
идеалов. Факториальные кольца.
1
I
Тела и векторные пространства над телами. Линейная зависимость и независимость. Тело кватернионов. Линейная зависимость и независимость над кватернионами. Уравнения и
системы уравнений над кватернионами.
Полилинейные симметричные и кососимметричные отображения векторных пространств над полем. Определители.
Тензорное произведение пространств. Базисы и линейная зависимость.
Поля. Простые алгебраические расширения. Примеры. Алгебраически замкнутые поля. Поле комплексных чисел и его
алгебраическая замкнутость. Решение уравнений малых степеней над полем комплексных чисел.
Поле частных. Простые трансцендентные расширения полей.
Теорема Люрота.
II
Кольцо целых m-адических чисел и поле p-адических
чисел.
3
4
1
2
3
4
5
6
Тема
Теорема Фробениуса о классификации конечномерных альтернативных тел над R . Октавы.
Теорема Оре о классическом теле частных.
Кольца косых многочленов, поля косых дробей и ряды Лорана. Проблемы вложения полугрупп в группы и колец в тела.
ПРИЛОЖЕНИЕ III
ЛИТЕРАТУРА
7. 1. ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.
Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел – СПб.: Издательство “Лань”,
2005.
2.
Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
3.
Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. – СПб.: Издательство “Лань”, 2009.
4.
Кострикин А.И. Введение в алгебру (в 3-х Т.Т.). – М.: ФИЗМАТЛИТ, 20012004.
5.
Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
6.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – СПб.: Издательство “Лань”, 2008.
7.
Окунев Л.Я. Высшая алгебра. – СПб.: Издательство “Лань”, 2009.
8.
Окунев Л.Я. Сборник задач по высшей алгебре. – СПб.: Издательство
“Лань”, 2009.
9.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Лаборатория
Базовых Знаний, 2008.
10. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
11. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре. – СПб.: Издательство “Лань”, 2008.
12. Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – СПб.: Издательство “Лань”, 2008.
7. 2. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
13. Александров П.С. Введение в теорию групп. – М.: Наука, 1980.
14. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. – М.: Наука,
1983.
15. Белоногов В.А. Задачник по теории групп. – М.: Наука, 2000.
16. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С., Стеллецкий И.В.
Алгебра. – М.:
Просвещение, 1978.
17. Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. – М.: Просвещение, 1980.
18. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – М.: Наука, 1966.
19. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые её приложения. – М.: Наука,
1975.
20. Громов А.П. Учебное пособие по линейной алгебре. – М.: Просвещение,
1971.
21. Дальма А. Эварист Галуа – революционер и математик. – М.: Наука, 1984.
22. Евсюкова Е.В. Элементы теории групп: Учебно-методическое пособие для
студентов физико-математических факультетов пединститутов. – Тобольск:
изд-во ТГПИ, 1999.
23. Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. – М.: Наука, 1975.
24. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. – М.: Наука, 1975.
25. Калужнин Л.А., Сущанский В.И.
Преобразования и перестановки. – М.:
Наука, 1979.
26. Калужнин Л.А. Введение в общую алгебру. – М.: Наука, 1973.
27. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. – М.: Наука,
1973.
28. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. – СПб.: Издательство “Лань”, 2005.
29. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.
30. Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и
теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.
31. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. Части I, II. – М.: Просвещение, 1978.
32. Ляпин Е.С., Айзенштадт А.Я., Лесохин М.М. Упражнения по теории групп.
– СПб.: Издательство “Лань”, 2010.
33. Ленг С. Алгебра. – М.: Мир, 1968.
34. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – СПб.: Издательство “Лань”,
2009.
35. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. –М.: Наука, 1982.
36. Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. – М.: Наука, 1983.
37. Ширшов А.И., Жевлаков К.А., Слинько А.М., Шестаков И.П. Кольца, близкие к ассоциативным. – М.: Наука, 1978.
7. 3. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ИЗДАНИЯ
Не предусмотрено.
7. 4. ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСЫ
1.
2.
3.
Математика // Википедия: свободная энциклопедия. – Электрон. дан. – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Математика
Алгебра // Википедия: свободная энциклопедия. – Электрон. дан. – Режим
доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Алгебра
Поле // Википедия: свободная энциклопедия. – Электрон. дан. – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Поле
ПРИЛОЖЕНИЕ IV
ПЛАНЫ ПРАКТИК
Практики по дисциплине не предусмотрены.
ПРИЛОЖЕНИЕ V
ТЕМЫ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
№
раздела
I
II
Вопросы, выносимые на самостоятельное изучение
Фактор-группы.
Фактор-кольца и фактор-алгебры.
Целые гауссовы числа и евклидовы кольца.
Факториальные кольца.
Подполя и расширения полей.
Векторные пространства над телами.
Системы линейных уравнений над телами.
Двойственные пространства и тензорное произведение векторных пространств.
Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел.
Поле частных.
Простые трансцендентные расширения полей.
Теорема Люрота.
Кольцо целых m-адических чисел и поле p-адических чисел.
Тело кватернионов. Теорема Фробениуса.
Октавы.
Теорема Оре о классическом теле частных.
Кольца и тела косых многочленов.
Кол-во
часов
6
6
8
6
8
10
10
10
16
16
17
18
16
18
16
18
16
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ДЛЯ
САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
Что называется погруппой в группе ?
Какая подгруппа называется нормальной ?
Что называется идеалом кольца ?
В чём разница между идеалом кольца и алгебры ?
Как строится фактор-группа по нормальной подгруппе ?
Как строится фактор-кольцо по идеалу ?
Как вычислить произведение и обратный элемент в группе подстановок ?
Как вычислить произведение и обратный элемент в группе матриц ?
Как вычислить произведение в алгебре кватернионов ?
Что такое целое гауссово число ?
Перечислите основные свойства целых гауссовых чисел.
Приведите примеры вычислений в кольце целых гауссовых чисел.
Какое кольцо называется факториальным ?
Приведите примеры факториальных колец.
Почему кольцо главных идеалов факториально ?
Что такое подкольцо ? Приведите примеры подколец.
Что такое подполе ? Приведите примеры подполей.
Сформулируйте критерии подкольца и подполя.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
Что такое простое алгебраическое расширение поля ?
Сформулируйте некоторые свойства алгебраических расширений полей.
Дайте определение векторного пространства над телом.
Сформулируйте основные свойства векторных пространств над телами.
Докажите некоторые свойства векторных пространств над телами.
Докажите существование базиса в векторном пространстве над телом.
Приведите некоторые свойства, выполненные для векторных пространств над полями,
но не над телами.
Сформулируйте основные факты о системах линейных уравнений над телами.
Сформулируйте теорему о каноническом виде матрицы над телом.
Приведите некоторые свойства, выполненные для систем линейных уравнений над полями, но не над телами.
Как определяется двойственное к данному векторному пространству ?
Какова размерность двойственного пространства ?
Каков стандартный базис двойственного пространства ?
Как определяется тензорное произведение векторных пространств ?
Какова размерность тензорного произведения векторных пространств ?
Каков стандартный базис тензорного произведения векторных пространств ?
Какое поле называется алгебраически замкнутым ?
Приведите примеры алгебраически замкнутых полей.
Почему поля Q , R не алгебраически замкнуты ?
Почему не алгебраически замкнуто поле Zp и любое конечное поле ?
Докажите формулы Кардано для решения кубических уравнений над C.
Обоснуйте метод Феррари для решения уравнений четвёртой степени над C .
Что такое поле частных коммутативной области целостности ?
Докажите теорему о существовании и единственности поля частных.
Дайте определение простого трансцендентного расширения поля.
Является ли кольцо F[[x]] рядов от переменной x на полем F простым трансцендентным расширением поля F ?
Сформулируйте теорему Люрота.
Докажите теорему Люрота.
Дайте определение кольца целых m-адических чисел и поля p-адических чисел.
Когда в кольце целых m-адических чисел есть делители нуля ?
Приведите пример вычисления в кольце целых m-адических чисел.
Как найти обратный элемент к конкретному элементу поля p-адических чисел ?
Дайте определение телу кватернионов.
Приведите примеры вычислений в теле кватернионов.
Сформулируйте основные свойства тела кватернионов.
Сформулируйте теорему Фробениуса.
Каковы основные этапы и идеи доказательства теоремы Фробениуса ?
Дайте определение телу октав.
Приведите примеры вычислений в теле октав.
Сформулируйте основные свойства тела октав.
Дайте определение кольцу косых многочленов и телам косых дробей и рядов Лорана.
Приведите примеры вычислений в кольце косых многочленов.
Сформулируйте теорему Оре.
Каковы основные этапы и идеи доказательства теоремы Оре.
ПРИЛОЖЕНИЕ VI
ТЕКУЩИЙ И ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ЗАЧЁТА (I курс)
1. Группы и их основные свойства.
2. Кольца и их основные свойства.
3. Поля и их основные свойства.
4. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп, колец, полей.
5. Группа подстановок Sn и мультипликативная группа классов вычетов Zn .
6. Теорема Кэли.
7. Левые и правые смежные классы группы по подгруппе.
8. Теорема Лагранжа.
9. Нормальные подгруппы. Критерий нормальности.
10. Фактор-группы.
11. Идеалы колец и алгебр.
12. Фактор-кольца и фактор-алгебры.
13. Кольца главных идеалов.
14. Кольцо целых гауссовых чисел.
15. Евклидовы кольца.
16. Факториальные кольца.
17. Простые алгебраические расширения полей.
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ЗАЧЁТА (II курс)
Тела.
Векторные пространства над телами.
Основные свойства векторных пространств над телами.
Линейно зависимые и независимые системы векторов.
Базисы и размерность векторного пространства.
Канонический вид матрицы над телом.
Системы линейных уравнений над телами.
Уравнения и системы уравнений над кватернионами.
Критерии совместности и определённости системы линейных уравнений над
телами.
10. Полилинейные симметричные и кососимметричные отображения векторных
пространств над полями.
11. Определители матриц над полями и их основные свойства.
12. Тензорное произведение векторных пространств.
13. Линейно зависимые и независимые системы векторов в тензорном произведении векторных пространств.
14. Базисы и размерность тензорного произведения векторных пространств.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЭКЗАМЕНУ (II курс)
Поля и их простейшие свойства. Поля Q , R и Zp .
Алгебраически замкнутые поля. Критерии алгебраической замкнутости.
Поле комплексных чисел C. Алгебраическая замкнутость поля C.
Конструкция поля частных. Существование и единственность поля частных
коммутативной области целостности.
5. Простые трансцендентные расширения полей и их основные свойства.
6. Кольцо многочленов над полем, поля дробей и рядов Лорана над полем.
7. Кольцо формальных степенных рядов над полем. Теорема Люрота.
8. Кольцо целых m-адических чисел Kp . Сравнения в кольце Kp .
9. Поле целых p-адических чисел Qp . Сравнения в кольце Qp .
10. Тело кватернионов. Уравнения и системы уравнений над телом кватернионов.
11. Теорема Фробениуса о классификации конечномерных ассоциативных тел
над полем R.
12. Обобщённая теорема Фробениуса. Альтернативное тело октав.
13. Кольцо косых многочленов. Поля косых дробей и рядов Лорана.
14. .Теорема Оре: проверка свойств сложения.
15. Теорема Оре: проверка свойств умножения.
1.
2.
3.
4.
ПРИЛОЖЕНИЕ VII
Методические рекомендации для студентов
Дисциплина “Основные алгебраические структуры” изучается на I-II курсах магистратуры. Общая трудоёмкость 7 зачётных единиц (252 часа), из них
28 аудиторных: 10 аудиторных часов I курсе и 18 аудиторных часов – на втором курсе. Самостоятельная работа студентов – 215 часов. Изучение завершается экзаменом и зачётом на II курсе. На каждом курсе предусмотрены контрольные работы.
Практические занятия проводятся в соответствии с п. 4. 4 программы. Особое внимание следует уделить решению дополнительных задач, в которых студент может проявить свои знания и умение мыслить. Что касается теоретических
разделов, выносимых на самостоятельное изучение, то их усвоение контролируется с одной стороны контрольными вопросами, контрольными работами, а с
другой – вопросами для зачёта. Рекомендуется выполнять все домашние задания.
Отчётность по дисциплине осуществляется в форме зачёта, оценка на котором
складывается из трёх компонент: подтверждение знания теории, умения решать
стандартные задачи, и контроль усвоения тем, вынесенных на самостоятельное
изучение. На экзаменах каждый билет включает один теоретический вопрос и
одну задачу по теме билета.
Курсовое проектирование для дисциплины не предусмотрено.
Самостоятельная работа по дисциплине состоит из проработки теоретического материала по конспектам и учебникам, решения домашних задач, выполнения домашних контрольных работ и самостоятельного изучения некоторых разделов в соответствии с п. 4. 6 программы. Выполнение контрольных работ не составит труда для того, кто регулярно выполнял домашние задания. В свою очередь выполнение домашних заданий не станет камнем преткновения для студента,
регулярно посещавшего лекции и практические занятия и работавшего на них.
Сложнее с теоретическим материалом. Поэтому важно разбирать предоставляемые в электронном виде конспекты лекций. Вопросы по разделам для самостоятельного изучения представлены в п. 6 программы.